Ders Notu 2

Tanım 2.60. U = A ∩ V olacak şekilde R n de bir V açık kümesi varsa U ⊆ A kümesine
A ⊆ R n e göre açıktır denir.
Lemma 2.61. U ⊆ A , A ya göre açıktır ⇔ ∀u ∈ U için B ( u , δ ) ∩ A ⊆ U olacak şekilde
δ > 0 sayısı vardır.
İspat: ( ⇒ ) U ⊆ A , A ya göre açık olsun. O zaman U = A ∩ V olacak şekilde R n de V açık
kümesi vardır. ∀u ∈ U için u ∈ V ve V açık olduğundan B ( u , δ ) ⊆ V olacak şekilde δ > 0
sayısı vardır. Bu nedenle; B ( u , δ ) ∩ A ⊆ U olur.
( ⇐)
{
∀u ∈ U
için
B ( u, δ ) ∩ A ⊆ U
olacak
şekilde
δ (u ) > 0
vardır.
} olsun. O zaman açık kümelerin birleşimi de açık olduğundan açıktır.
V ∩ A = ∪ { B ( u, δ ( u ) ) u ∈ U } ⊆ U ve V nin tanımından V ∩ A , U nun bütün
V = B ( u, δ ( u ) ) u ∈ U
O zaman
noktalarını kapsar ve bu nedenle U = V ∩ A dir.
Teorem 2.62. f : A ⊆ R n → R m olsun. O zaman f nin A üzerinde sürekli olması için gerek ve
yeter şart her T ⊆ f ( A ) , f ( A ) ya göre açığı için f −1 (T ) A ya göre açık olmasıdır.
İspat: ( ⇒ ) A üzerinde f sürekli ve T de f ( A ) ya göre açık olsun. u ∈ f −1 (T ) alalım o
zaman f ( u ) ∈ T nin B ( f ( u ) , ε ) ∩ f ( A ) ⊆ T olacak şekilde ε − komşuluğu vardır. f sürekli
olduğundan ε − δ şartından x ∈ B ( u , δ ) ∩ A ⇒ f ( x ) ∈ B ( f ( u ) , ε ) olacak şekilde δ > 0
sayısı
vardır.
Bu
x ∈ B ( u, δ ) ∩ A
için
f ( x) ∈T
olduğunu
gösterir.
O
halde
B ( u , δ ) ∩ A ⊆ f −1 (T ) ve f −1 (T ) f ( A ) ya göre açıktır.
( ⇐)
Her T ⊆ f ( A ) , f ( A ) ya göre açık T kümesi için f −1 (T ) nin de A ya göre açık
olduğunu kabul edelim. Herhangi
a∈ A
ve herhangi
ε >0
alalım. O zaman
T = B ( f ( a ) , ε ) ∩ f ( A ) , f ( A ) ya göre açıktır. Lemma 2.61 den f −1 (T ) , A ya gire açık
olduğundan, B ( a, δ ) ∩ A ⊆ f −1 (T ) olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. Bunun anlamı;
x ∈ B ( a, δ ) ∩ A ise f ( x ) ∈ T olmasıdır. f ( x ) ∈ f ( A ) böyle x ler için otomatikman sağlanır.
Bu ε − δ şartının da sağlanması demektir.
R
deki
aralıkların
bir
özelliği
tek
parçadan
( a, b ) , [ a, b ) , ( a, b] , [ a, b] , ( −∞, b ) , ( a, ∞ ) ve [ a, ∞ )
oluşmasıdır.
Bir
I
aralığı
şeklinde olabilir. Tek bir noktayı da [ a, a ]
şeklinde dejenere aralık olarak tanımlayabiliriz. Bir aralığın önemli özelliği x, y ∈ I ve x < y
ise [ x, y ] , I da kapsanır.
Bir parçadan oluşan bir küme deyimi önemli bir kavram olan irtibatlılık kavramını verir.
Tanım 2.63. R n de bir A kümesi; U, V ayrık ve A ya göre açık olacak şekilde boştan farklı iki
küme iken A = U ∪ V şeklinde yazılabiliyorsa A ya irtibatsızdır denir. İrtibatsız olmayan
kümeye de irtibatlı küme denir.
Örnek 2.64.
A = [1, 2 ) ∪ ( 2,3] R de irtibatsızdır.
[1, 2 ) = A ∩ ( 0, 2 ) ve ( 2,3] = A ∩ ( 2, 4 )
[1, 2 )
ve
( 2,3]
kümeleri ayrık,
olduklarından A ya göre açıktırlar.
Örnek 2.65. A = [ 0,1] kümesi irtibatlıdır.
Çözüm: A nın irtibatsız olduğunu kabul edelim. U, V kümeleri R de açık iken [ 0,1] = U ∪ V ,
U = U1 ∩ [ 0,1] , V = V1 ∩ [ 0,1] , 0 ∈ U1 dir. Eğer gerekli ise notasyon değişikliği yapabiliriz. U1
{
açık olduğundan [ 0, ε ) ∈ U olacak şekilde ε > 0 vardır. x = sup u ∈ [ 0,1] [ 0, u ) ⊆ U
} olsun.
x ∈ [ 0,1] olduğundan ya x ∈ U yada x ∈ V dir. Eğer x ∈ U ise [ 0, x ] ⊆ U ve x < 1 olmak
zorundadır. Değilse V boş kümedir. x, U1 açık kümesine ait olduğunda ( x − δ , x + δ ) ⊆ U1
olacak şekilde δ > 0 vardır. Özel olarak [ 0, x + δ ) aralığı δ nın yeteri kadar küçük değerleri
için U da yatar. Bu ise x in üst sınır olmasıyla çelişir. O halde x ∈ V dir. Aynı nedenlerle V de
yatan ( x − δ1 , x + δ 1 ) şeklinde δ1 > 0 vardır. δ1 <
ε
2
için x −
δ1
2
U da yatar. Bu U ∩ V = ∅
olmasıyla çelişir.
Teorem 2.66. R nin I altkümesi irtibatlıdır ⇔ I bir aralıktır.
İspat: (Webb)
Teorem 2.67. f : A ⊆ R n → R m , A irtibatlı kümesi üzerinde sürekli ise f ( A ) irtibatlıdır.
İspat: f ( A ) nın irtibatsız olduğunu kabul edelim. O zaman U, V boştan farklı ayrık ve f ( A )
ya
göre
açık
cümleler
olmak
üzere
f ( A) = U ∪ V
yazılabilir.
O
zaman
A = f −1 ( f ( A ) ) = f −1 (U ∪ V ) = f −1 (U ) ∪ f −1 (V ) (f sürekli olduğundan) olur. Teorem 2.62
den f −1 (U ) ve f −1 (V ) A ya göre açıktır ve U, V ayrık, boştan farklı olduğundan; f −1 (U ) ve
f −1 (V ) de ayrık ve boştan farklıdır. Bu A nın irtibatsız olması ile çelişir. O halde kabulümüz
yanlış yani f ( A ) irtibatlıdır.
Sonuç 2.68. f : A ⊆ R n → R fonksiyonu A irtibatlı kümesi üzerinde sürekli ise f ( A ) R de
bir aralıktır.
İspat: Teorem 2.66 ve Teorem 2.67 den açıktır.
R n nin bir alt kümesi irtibatlı olmak zorunda değildir, fakat irtibatlı parçaların birleşimi
şeklinde yazılabilir.
Tanım 2.69. Bir A kümesinin maksimal irtibatlı altkümesine A nın bileşeni denir. Bu nedenle;
C irtibatlı ve A da C yi kapsayan başka irtibatlı küme yoksa C, A nın bir bileşenidir. Açık
olarak bir irtibatlı küme yalnız bir bileşene sahiptir.
Önerme 2.70. {C C ∈ F } irtibatlı kümeler ailesi için ∩ {C C ∈ F } ≠ ∅ ise ∪ {C C ∈ F } de
irtibatlıdır.
İspat:(Webb)
Önerme 2.71. A irtibatlı ve A ⊆ B ⊆ cl ( A ) ise B de irtibatlıdır.
İspat:(Webb)
Bir C kümesine A ya göre kapalıdır denir eğer F kapalı iken C = A ∩ F oluyorsa
Teorem 2.72. A herhangi bir küme olsun.
a) A nın herhangi bir bileşeni A ya göre kapalı kümedir.
b) Her bir a ∈ A, A nın bir bileşeninde yatar. Yani; A, kendi bileşenlerinin ayrık bileşimidir.
İspat: (Webb)
Teorem 2.73. Eğer A, R n nin açık altcümlesi ise A nın her bir bileşeni de açıktır.
İspat: (Webb)
Tanım 2.74. f : [ 0,1] → R n görüntü kümesi R n de eğri olan sürekli bir fonksiyon ise f ye R n
de bir yol denir. ∀x, y ∈ A için f ( 0 ) = x ve f (1) = y olacak şekilde bir yol varsa x, y
noktalarını birleştiren eğri yayı var A da kalıyorsa A ya yol irtibatlıdır denir.
Örnek 2.75. Bir konveks A kümesi yol irtibatlıdır. Gerçekten ∀x, y ∈ A için f : [ 0,1] → A ,
f ( t ) = (1 − t ) x + ty, f ( 0 ) = x, f (1) = y olduğundan A konveks kümesi irtibatlıdır.
Önerme 2.76. Yol irtibatlı bir küme irtibatlıdır.
İspat: (Webb)
Önerme 2.77. A, R n de açık irtibatlı bir küme ise A yol irtibatlıdır.
İspat: (Webb)
Önerme 2.78. Eğer A açık irtibatlı bir küme ise A nın herhangi iki noktası A nın içinde kalan
bir poligonal yol ile birleştirilebilir.
İspat: (Webb)
2.7. Lineer Operatörler ve Matrisler
Tanım 2.79. L : R n → R m fonksiyonu için ∀x, y ∈ R n ve α ∈ R için L ( x + y ) = L ( x ) + L ( y )
ve L (α x ) = α L ( x ) oluyorsa L ye lineer operatör denir. m = 1 halinde lineer fonksiyonel
denir.
Önerme 2.80. L : R n → R lineer fonksiyoneldir ⇔ ∀x ∈ R n için L ( x ) =< a, x > olacak
şekilde a ∈ R n vardır.
Önerme 2.81. L : R n → R m lineerdir ⇔ Her Li : R n → R , 1 ≤ i ≤ m bileşen fonksiyonu lineer
fonksiyoneldir.
Teorem 2.82. L : R n → R m dönüşümü lineerdir ⇔ A = ( aij ) ,1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n reel sayıları
vardır ki
n
L ( x ) = y ⇔ yi = ∑ aik xk , i = 1, 2,..., m
k =1
aij = L ( e j )
Örnek 2.83. a) L ( x, y ) = ( x, y, x + y ) , L : R 2 → R 3 lineer operatördür.
b) L ( x, y, z ) = x + y + 2 z , L : R 3 → R lineer fonksiyoneldir.
Teorem 2.84. Her L : R n → R m lineer operatörü R n üzerinde düzgün süreklidir.
İspat: Her bir bileşeninin R n üzerinde düzgün sürekli olduğunu göstermek ispat için
yetecektir. Buna göre L : R n → R lineer fonksiyonelinin düzgün sürekli olduğunu gösterelim.
Önerme 2.80 den L ( x ) =< a, x > olacak şekilde a ∈ R n vardır. Schwartz eşitsizliğinden
∀x ∈ R n için
L ( x) ≤ a x
olup ∀x, y için x − y < δ olsun.
L ( x) − L ( y) ≤ a x − y < a δ = ε
olur. O halde seçilen δ y den bağımsızdır.
Tanım 2.85. L : R n → R m bir lineer operatör olsun. Lx ≤ M x olacak şekilde M ≥ 0 sabiti
varsa L ye sınırlı operatör denir.
Tanım 2.86. Bir L lineer operatörü sınırlıdır ⇔ L süreklidir.
L : R n → R m lineer operatörü sınırlıdır.
n
m
Tanım 2.87. L : R → R lineer operatör ise boy ( sıfırlık ( L ) ) + boy ( imL ) = n