T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KONVEKS FONKSİYONLAR VE MATRİS
EŞİTSİZLİKLERİ
Vildan BACAK
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Matematik Anabilim Dalı
Temmuz-2012
KONYA
Her Hakkı Saklıdır
ÖZET
YÜKSEK LİSANS TEZİ
KONVEKS FONKSİYONLAR VE MATRİS EŞİTSİZLİKLERİ
Vildan BACAK
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN
2012, 106 Sayfa
Jüri
Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN
Prof. Dr. Hasan ŞENAY
Prof. Dr. Durmuş BOZKURT
Bu tezde öncelikle konveks, konkav, matris konveks, matris monoton fonksiyonlar ve
majorizasyon için temel tanım ve teoremler verildi. Daha sonra majorizasyon ve konveks fonksiyonlarla
ilgili bilinen sonuçlardan bahsedildi ve bilinen bazı Hermite-Hadamard tipi eşitsizlikler ele alındı. Son
olarak, operatör (matris) konveks fonksiyonlar için elde edilen Hermite-Hadamard tipi eşitsizlikler ve
integral eşitsizlikleri verildi.
Anahtar Kelimeler: Hermite-Hadamard eşitsizliği, Hermityen matris, konkav fonksiyonlar,
konveks fonksiyonlar, majorizasyon, matris konveks fonksiyonlar, matris monoton fonksiyonlar, öz
değer.
iv
ABSTRACT
MS THESIS
CONVEX FUNCTIONS AND MATRIX INEQUALITIES
Vildan BACAK
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF
SELÇUK UNIVERSITY
THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE
IN MATHEMATICS
Advisor: Assoc. Prof. Dr. Ramazan TÜRKMEN
2012, 106 Pages
Jury
Assoc. Prof. Dr. Ramazan TÜRKMEN
Prof. Dr. Hasan ŞENAY
Prof. Dr. Durmuş BOZKURT
In this thesis firstly, the definitions and theorems for convex, concave, matrix convex, matrix
concave functions and majorization were given. Later, we mentioned about the well known results of
majorization and convex functions and we examined known Hermite-Hadamard inequalities for convex
functions. Finally, Hermite-Hadamard’s type inequalities and integral inequalities for operator (matrix)
convex functions were given.
Keywords: Concave functions, convex functions, eigenvalue, Hermite - Hadamard inequality,
Hermitian matrix, majorization, matrix convex functions, matrix monoton functions.
v
ÖNSÖZ
Bu tez çalışması, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim
Üyesi Doç. Dr. Ramazan Türkmen danışmanlığında hazırlanarak, Selçuk Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü’ne yüksek lisans tezi olarak sunulmuştur.
Bu çalışma 8 bölümden oluşmaktadır. Tezin 1. bölümü Giriş ve Kaynak
Araştırması’na ayrılmıştır. 2. bölümde tez içerisinde kullanılacak genel bilgilere yer
verilmiştir. 3. bölümde konveks fonksiyonlar ve konveks kümeler tanıtılmıştır. 4.
bölümde majorizasyon kavramı üzerinde durulmuştur. Majorizasyon ve konveks
fonksiyonlar arasındaki ilişki ele alınmıştır. 5. bölümde matris monoton ve matris
konveks fonksiyonların genel tanım ve teoremlerine ve bazı örneklere yer verilmiştir. 6.
bölümde konveks fonksiyonlar için bilinen Hermite-Hadamard ve integral eşitsizlikleri
verilmiştir. 7. bölümde araştırma sonuçlarına yer verilmiştir. Bu bölümde operatör
konveks fonksiyonlar için elde edilen Hermite-Hadamard eşitsizlikleri ve integral
eşitsizlikleri verilmiştir. Daha önceki çalışmalarla aralarındaki fark açıklanmıştır. 8.
bölüm sonuçlar ve önerilerden oluşmaktadır.
Yüksek lisans eğitimim boyunca bilgileriyle ve tecrübesiyle bana yol gösteren
danışmanım Sayın Doç. Dr. Ramazan Türkmen’e, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi
Matematik Bölümü’nün saygıdeğer öğretim elemanlarına ve benden desteğini hiç
esirgemeyen, her zaman iyi niyetiyle yanımda olan sevgili arkadaşım Ayşegül Özcan’a
ve aileme teşekkürlerimi sunarım.
Vildan BACAK
KONYA-2012
vi
İÇİNDEKİLER
ÖZET ..........................................................................................................................iv
ABSTRACT................................................................................................................. v
ÖNSÖZ .......................................................................................................................vi
İÇİNDEKİLER ........................................................................................................ vii
SİMGELER VE KISALTMALAR......................................................................... viii
1. GİRİŞ VE KAYNAK ARAŞTIRMASI .................................................................. 1
2. GENEL KAVRAMLAR ......................................................................................... 3
3. KONVEKS FONKSİYONLAR VE KONVEKS KÜMELER ............................... 9
3.1. Konveks Kümeler ...............................................................................................9
3.2. Konveks Fonksiyonlar ...................................................................................... 10
4. MAJORİZASYON VE KONVEKS FONKSİYONLAR ..................................... 22
4.1.Temel Gösterimler ............................................................................................. 22
4.2. Konveks ve Monoton Fonksiyonlar İçin Majorizasyon ..................................... 27
4.4. Log-Konveks Fonksiyonlar İçin Eşitsizlikler .................................................... 34
5. MATRİS MONOTON VE MATRİS KONVEKS FONKSİYONLAR................ 39
5.1.Tanımlar ve Basit Örnekler ................................................................................ 39
5.2.Temel Teoremler ............................................................................................... 43
6. HERMİTE-HADAMARD TİPİ EŞİTSİZLİKLER ............................................. 48
7. ARAŞTIRMA SONUÇLARI VE TARTIŞMA .................................................... 65
7.1. Operatör Konveks Fonksiyonlar İçin Eşitsizlikler ............................................. 65
7.2. Tartışma ......................................................................................................... 102
8. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ............................................................................ 103
8.1. Sonuçlar ......................................................................................................... 103
8.2. Öneriler .......................................................................................................... 103
KAYNAKLAR ........................................................................................................ 104
ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................................ 106
vii
SİMGELER VE KISALTMALAR
Simgeler
A  0 : A pozitif yarı tanımlı
A  0 : A pozitif tanımlı
A  B : A  B pozitif yarı tanımlı
A

n
 ( A)
H
I
I0
n
Mn
n

n

 n
 n
 mn
n
1/ 2
: A   A* A
: Kompleks sayılar kümesi
: Kompleks sayılar üzerinde n bileşenli vektörlerin kümesi
: A matrisinin spektrumu
: Hilbert uzay
: Reel sayılar kümesinin bir aralığı
: Reel sayılar kümesinin 0 içermeyen bir aralığı
: Hermityen matrisler kümesi
: n  n kompleks matrislerin kümesi
: n  n pozitif tanımlı matrislerin kümesi
: Reel sayılar kümesi
: Reel sayılar kümesi üzerinde n bileşenli vektörlerin kümesi
: Negatif olmayan reel sayılar kümesi
: Reel sayılar kümesi üzerinde bileşenleri negatif olmayan n bileşenli vektörlerin
kümesi
: Reel sayılar kümesi üzerinde bileşenleri pozitif olan n bileşenli vektörlerin
kümesi
: Elemanları reel sayılar olan m  n matrislerin kümesi
: n  n pozitif yarı tanımlı matrislerin kümesi
x
: Negatif koordinatların 0 ile yer değiştirmesiyle x’ten elde edilen vektör
x
: Tüm koordinatların mutlak değeri alınarak elde edilen vektör
x  y : x, y tarafından majorize edilmiştir
x  w y : x, y tarafından zayıf majorize edilmiştir
x  w y : x, y tarafından süper majorize edilmiştir
x  y : x  y  ( x1 y1 ,..., xn yn )
Kısaltmalar
det
exp
köş
log
: Determinant
: Eksponansiyel (üstel) fonksiyon
: Köşegen matris
: Logaritma fonksiyonu
viii
1
1. GİRİŞ VE KAYNAK ARAŞTIRMASI
Konvekslik; kökeni  ’nin değerini tahmin etmesi dolayısıyla, Arşimed’e
dayanan basit ve doğal bir kavramdır. Arşimed, konveks bir şeklin çevre uzunluğunun
onu çevreleyen diğer bir konveks şeklin çevre uzunluğundan daha küçük olduğunu fark
etmiştir.
Konvekslik, hayatımızın birçok evresinde karşımıza çıkmaktadır. Bunun en basit
örneği ayakta dik duruş pozisyonumuzdur. Ayaklarımızın kapladığı konveks alanın
içinde, ağırlık merkezimizin dik izdüşümü boyunca dengemizi korumaktayız. Konveks
fonksiyonlar teorisi, matematiğin hemen hemen tüm dallarında önemlidir. Ayrıca
endüstri, ticaret, tıp ve sanat gibi dalların nümerik uygulamalarında ve şans oyunlarının
dengesinin sağlanmasında da kullanılmaktadır.
Konveks fonksiyonların başlangıcı, Johan Ludwig William Valdemar Jensen’e
(1859-1925) dayanmaktadır. Fakat konveks fonksiyonlarla ilk uğraşan kişi Jensen
değildir. Jensen’ den önce çalışanlar arasında Ch. Hermite, O. Hölder ve O. Stolz vardır.
20. yüzyıl boyunca geometrik fonksiyonel analizde, matematiksel ekonomide, konveks
analizde ve lineer olmayan optimizasyonda yoğun araştırma faaliyetleri ve önemli
sonuçlar gerçekleştirilmiştir. G.H. Hardy, J.E. Littlewood ve G. Polya’nın 1934 yılında
basılan “Inequalities, Cambridge University Press, Great Britain” adlı kitabı konveks
fonksiyonlar konusunun popüler olmasında önemli rol oynamıştır.
Eşitsizlikler, matematiğin tüm dallarında geniş çalışma alanına sahip, sürekli
gelişmekte olan bir konudur. Bu konu, son yıllarda çok sayıda araştırmacının dikkatini
çekmektedir. Jensen, Hadamard, Hilbert, Hardy, Opial, Poincaré, Sobolev, Levin ve
Lyapunov isimleriyle özdeşleşmiş birçok eşitsizlik tipi arasında derin kökler vardır ve
bu eşitsizlik tipleri matematiğin farklı dallarında kullanılmaktadır. Eşitsizlikler
teorisinin gelişmesinde yukarıda bahsettiğimiz isimleriyle özdeşleşmiş eşitsizlikler
üzerine çalışmalar yapan araştırmacıların artmasıyla; çalışma alanlarının yenilenmesi ve
mevcut çalışma alanlarının genişlemesi bu teorinin cazibesini de arttırmaktadır.
Son yıllarda Hermite-Hadamard tipi eşitsizliklere ve integral eşitsizliklerine ilgi
artmıştır. S.S. Dragomir, B.G. Pachpatte, G. Zabandan gibi araştırmacıların bu alanda
yapılmış çalışmaları mevcuttur. B.G. Pachpatte 2003’te “On some inequalities for
convex functions, RGMIA Res. Rep. Coll., 6(E)” makalesinde elemanter işlemler
kullanarak konveks fonksiyonlar için eşitsizlikler vermiştir. M. Tunç 2011’de “On
some new inequalities for convex functions, Turk J Math, 35,1-7” makalesinde
Pachpatte’nin sonuçlarına benzer eşitsizlikler vermiştir. S.S. Dragomir 2011’de
2
“Hermite–Hadamard’s type inequalities for operator convex functions, Applied
Mathematics and Computation, 218, 766-772” makalesinde konveks fonksiyonlar için
var olan bir eşitsizliğin operatör konveks fonksiyonlar için de sağlandığı göstermiştir.
G. Zabandan 2009’da “A new refinement of the Hermite-Hadamard inequality for
convex functions, JIPAM, vol. 10, iss. 2, art.45” makalesinde Dragomir’in konveks
fonksiyonlar için kullandığı eşitsizliğin bir genellemesini yapmıştır. Bu tezde yukarıda
belirtilen araştırmacıların eşitsizliklerinden daha genel eşitsizlikler elde edilmiştir.
Matris monoton fonksiyonlar, ilk olarak K. Löwner (C. Loewner) tarafından
1934 yılında “Über monotone Matrixfunktionen, Math. Z. 38, 177-216” makalesinde
incelenmiştir. Daha sonra 1951’de Heinz, “Beitrage zur Strörungstheorie der
Spektralzerlegung, Math. Ann., 123, 415-438” makalesinde matris monotonluğu
kullanmıştır.
Matris konveks fonksiyonlar, ilk olarak F. Kraus tarafından 1936’da “Über
konvexe Matrixfunktionen, Math. Z.,41, 18-42” makalesinde incelenmiştir.
J.Bendat ve S.Sherman 1955’te “Monotone and convex operator functions,
Trans. Amer. Math. Soc., 79, 58-71” makalesinde Löwner ve Kraus’un teoremleri
üzerine yeni bir perspektif sağlamışlardır.
F. Zhang 2011’de “Matrix theory: Basic results and techniques, second ed.,
Springer, New York” kitabında matris teori üzerine bir çok tanım ve teorem vermiştir.
Ayrıca majorizasyon ve konveks fonksiyonlar için eşitsizlikler vermiştir.
J.S. Aujla ve F.C. Silva2003’te “Weak majorization inequalities and convex
functions, Linear Algebra and its Appl., 369, 217-233” makalelerinde konveks
fonksiyonlar için majorizasyon eşitsizlikleri vermişlerdir.
R.Bhatia 1997’de “Matrix analysis, Springer-Verlag, New York” kitabında
matris teori üzerine tanımlar, teoremler, problemler vermiştir. Ayrıca, operatör konveks
fonksiyonlar kavramına yer vermiş, tanım ve teoremler vermiştir.
Pecaric ve arkadaşları 1992’de “Convex functions, partial orderings and
statistichal applications, Mathematics in Science and Engineering, vol 187, Academic
Press Inc, USA” kitabında konveks fonksiyonlara, konveks fonksiyonlarla ilişkili
birçok tanım ve teoremlere yer vermiştir.
3
2. GENEL KAVRAMLAR
Tanım 2.1. A  M n olmak üzere A ’nın karakteristik polinomu P( )  det( I  A) ile
verilir. det( I  A)  0 denklemine A ’nın karakteristik denklemi ve karakteristik
denklemin köklerine de A ’nın öz değerleri denir. ( I  A) x  0 denkleminde i
(1  i  n) için karşılık gelen xi vektörüne A ’nın öz vektörü denir.
Tanım 2.2. A ’nın tüm öz değerlerinin kümesine A ’nın spektrumu denir ve  ( A) ile
gösterilir.
Tanım 2.3. A   aij   M n olmak üzere A ’nın köşegen elemanlarının toplamına A ’nın
n
izi denir ve iz ( A)   aii ile gösterilir.
i 1
Teorem 2.4. A, B  M n ,   olmak üzere aşağıdaki ifadeler vardır:
i)
iz ( A)  iz ( A)
ii)
iz ( A  B)  iz ( A)  iz ( B)
iii)
iz ( AB )  iz ( BA)
iv)
S , M n ’de tersinir matris olmak üzere iz ( S 1 AS )  iz ( A) ’dır.
v)
iz (0)  0, iz ( I )  n
vi)
iz ( A)   i ,  ( A)  1 ,..., n 
n
i 1
Tanım 2.5. A   aij   M n olmak üzere A ’nın transpozu AT   a ji  ve A ’nın adjointi
A*   a ji  ’dir. Adjoint aşağıdaki özelliklere sahiptir:
Teorem 2.6. A, B  M n ,   olmak üzere aşağıdaki ifadeler vardır:
* *
i)
A 
ii)
 A  B
iii)
 A 
iv)
 AB 
v)
det  A*   det( A)
vi)
izA*  izA
A
*
 A*  B *
*
  A*
*
 B * A*
4
vii)
 ’nın A ’nın bir öz değeri olması için gerek ve yeter şart  ’nın A* ’ın bir öz


değeri olmasıdır. Yani,   A*     A    :    ( A) ’dır.
viii)
* 1
A 
A ’nın tersinir olması için gerek ve yeter şart A* ’ın tersinir olmasıdır. Yani,
*
  A1  dır.
1/ 2
Tanım 2.7. | A |  A* A 
singüler değerler,
matrisinin öz değerlerine A ’nın singüler değerleri denir ve
s( A)   s1 ( A), s2 ( A),..., sn ( A)  ile gösterilir ve azalan sırada
sıralanırlar: s1 ( A)  s2 ( A)  ...  sn ( A)  0 .
Tanım 2.8. A   aij   M n olmak üzere
i)
i  j olmak üzere aij  0 ise A köşegen matris,
ii)
i  j olmak üzere aij  0 ise A üst üçgen matris,
iii)
AT  A ise A simetrik matris,
iv)
A*  A ise A Hermityen matris,
v)
A* A  AA* ise A normal matris,
vi)
A* A  AA*  I ise A üniter matris,
vii)
AT A  AAT  I ise A ortogonal matristir.
Not 2.9.
i)
A   aij   M n olmak üzere A ’nın Hermityen olması için gerek ve yeter şart
i, j  1, 2,..., n için aij  a ji olmasıdır. Eğer A Hermityen ise A ’nın köşegen elemanları
reeldir.
ii)
Hermityen iki matrisin toplamı Hermityendir.
iii)
Hermityen iki matrisin çarpımının Hermityen olması için gerek ve yeter şart
matrislerin değişmeli olmasıdır.
iv)
A  M n Hermityen ise AA* , A* A, A  A* Hermityendir.
v)
A Hermityen ise k  1, 2,... için Ak Hermityendir. Eğer A tersinir ise A1
Hermityendir.
vi)
Hermityen bir matrisin bütün öz değerleri reeldir.
5
Teorem 2.10 (Weyl Monotonluk Teoremi). A, B  n olmak üzere i ( A), i ( B) ve
i ( A  B) öz değerleri azalan sırada dizilsinler. Yani, 1 ( A)  2 ( A)    n ( A) ,
1 ( B)  2 ( B)    n ( B ) ve 1 ( A  B)  2 ( A  B)    n ( A  B) ’dir. Bu durumda
her bir k  1, 2,..., n için
k ( A)  1 ( B)  k ( A  B)  k ( A)  n ( B)
(2.1)
eşitsizliği vardır. (Bhatia,1997)
Tanım 2.11. Her satır ve sütununda bir tane 1 elemanı içeren ve diğer elemanları 0 olan
matrise permütasyon matris denir.
Tanım 2.12. A  M n matrisinin determinantı sıfırdan farklı ise matrise düzgün (regüler)
matris, determinantı sıfır ise matrise tekil (singüler) matris denir.
Tanım 2.13. V , K cismi üzerinde bir vektör uzayı ve
f :V V  K
(u, v )  f (u , v)  u , v
fonksiyonu;
i)
a, b  K ve u , v, w  V için au  bv, w  a u , w  b v, w ,
ii)
u , v  v, u ,
iii)
u, u  0 ( u, u  0  u  0 )
özelliklerini sağlıyorsa f fonksiyonuna, V vektör uzayı üzerinde bir iç çarpım ve V
uzayına da iç çarpım uzayı denir. V üzerinde tanımlanan bir iç çarpım, V üzerinde
u 
u, u
(2.2)
ile verilen bir norm ve
d (u , v)  u  v 
u  v, u  v
ile verilen bir metrik tanımlar.
(2.3)
6
Tanım 2.14. Üzerindeki iç çarpımla tanımlı metriğe göre tam olan iç çarpım uzayına
Hilbert uzayı denir.
Tanım 2.15. A Hermityen bir matris olmak üzere her x  n için Ax, x  x T Ax  0 ise
A matrisine pozitif yarı tanımlı matris denir. Her x  n için Ax, x  0 ise A
matrisine pozitif tanımlı matris denir.
A ve B Hermityen matrisler olmak üzere A  B pozitif yarı tanımlı ise A  B
ve pozitif tanımlı ise A  B yazılır. Burada “  ”, Hermityen matrisler kümesi üzerinde
kısmi bir sıralamadır ve kısmi Löwner sıralaması olarak bilinir ve aşağıdaki özellikleri
sağlar:
i)
A  n için A  A ’dır.
ii)
A  B ve B  A ise A  B ’dir.
iii)
A  B ve B  C ise A  C ’dir.
Pozitif tanımlı ve pozitif yarı tanımlı matrisleri karakterize eden birçok durum
vardır. Bunlardan birkaçı aşağıda listelenmiştir:
i)
A ’nın pozitif yarı tanımlı olması için gerek ve yeter şart A’nın Hermityen
olması ve tüm öz değerlerinin negatif olmamasıdır. A ’nın pozitif tanımlı olması için
gerek ve yeter şart A’nın Hermityen olması ve tüm öz değerlerinin pozitif olmasıdır.
ii)
A ’nın pozitif yarı tanımlı olması için gerek ve yeter şart Hermityen olması ve
tüm esas minörlerinin negatif olmamasıdır. A ’nın pozitif tanımlı olması için gerek ve
yeter şart A’nın Hermityen olması ve tüm esas minörlerinin pozitif olmasıdır.
iii)
A ’nın pozitif yarı tanımlı olması için gerek ve yeter şart bazı B matrisleri için
A  B* B olmasıdır. A ’nın pozitif tanımlı olması için gerek ve yeter şart A’nın
Hermityen olması ve B ’nin regüler olmasıdır.
iv)
A ’nın pozitif yarı tanımlı olması için gerek ve yeter şart üst üçgen T matrisleri
için A  T *T olmasıdır.
v)
A ’nın pozitif yarı tanımlı olması için gerek ve yeter şart bazı B matrisleri için
A  B 2 olmasıdır. Burada B bir tanedir. B  A1/2 yazılır ve A ’nın pozitif kare kökü
denir. A ’nın pozitif tanımlı olması için gerek ve yeter şart B ’nin pozitif tanımlı
olmasıdır. (Bhatia,2007)
7
Teorem
2.16. A  M n
olsun.
Bu
takdirde
U ,V  M n
üniter
matrisleri
ve
D  köş( s1 ( A),..., sn ( A)) için A  UDV * yazılabilir ki, bu ifadeye singüler değer
ayrışımı denir.
Teorem 2.17 (Spektral Ayrışım). A  M n ve A ’nın öz değerleri 1 ,..., n olsun. Bu
takdirde A ’nın normal olması için gerek ve yeter şart A ’nın üniter olarak
köşegenleştirilmesi, yani
U * AU  köş  1 ,..., n 
(2.4)
olacak şekilde bir U üniter matrisinin olmasıdır. f , I   aralığında tanımlı reel
değerli bir fonksiyon olsun. Bu durumda
f ( A)  U *  köş( f (1 ), f (2 ),..., f (n )) U
şeklinde tanımlanır. Özel olarak A ’nın Hermityen olması için gerek ve yeter şart i öz
değerlerinin reel olması ve A ’nın pozitif yarı tanımlı olması için gerek ve yeter şart i
öz değerlerinin negatif olmamasıdır.
Tanım 2.18. A, B  M n için  : M n   fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa
matris norm denir:
i)
ii)
A  0 ve A  0  A  0
Kompleks c skalerleri için cA  c A dır.
iii)
A B  A  B
iv)
AB  A B
Tanım 2.19. U ,V üniter matrisleri için
||| A |||||| UAV |||
ise ||| . ||| normuna üniter invaryant norm denir.
(2.5)
8
Not 2.20. ||| . ||| üniter invaryant bir norm için ||| A ||| değeri A ’nın singüler değerlerinin
bir fonksiyonudur: U ,V üniter matrisleri ve A matrisi için s (UAV )  s( A) ’dır.
Singüler değer eşitsizlikleri, kısmi Löwner sıralama eşitsizliklerinden daha zayıf ve
üniter invaryant norm eşitsizliklerinden daha güçlüdür. Yani,
(2.6)
A  B  s j ( A)  s j ( B ) ||| A |||||| B |||
dır.
Bazı özel matris norm türleri aşağıdadır:
i)
Frobenius norm (veya Hilbert- Schmidt norm) :
1/ 2
 n

|| A ||F  A 2    s 2j ( A) 
 j 1

ii)
1/ 2
  
 iz A
2
Spektral norm (veya operatör norm):
(2.8)
A  s1 ( A)
iii)
1  p   için Schatten p  norm :
1/ p
 n

|| A || p   s jp ( A) 
 j 1

iv)
(2.7)
1/ p
  
 iz A
p
(2.9)
k  1, 2,..., n için Ky- Fan k  norm :
k
|| A ||( k )   s j ( A)
j 1
(2.10)
9
3. KONVEKS FONKSİYONLAR VE KONVEKS KÜMELER
3.1. Konveks Kümeler
Tanım 3.1.1. C   n kümesi üzerindeki herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçası
üzerindeki noktalar, aynı kümede kalıyorsa C ’ye konveks küme ya da afin denir. Yani,
0    1 olmak üzere x1 , x2  C için
 x1  (1   ) x2  C
(3.1)
ise C   n kümesi konveks bir kümedir.
Aşağıda konveks kümelere ve konveks olmayan kümelere örnekler verilmiştir:
Şekil 3.1. (a) Konveks kümeler, (b) Konveks olmayan kümeler
Teorem 3.1.2. C1 , C2   n konveks iki küme olsun. Bu durumda
i)
C1  C2  {x1  x2 | x1  C1 , x2  C2 }   n konveks kümedir.
ii)
   için C1 konvekstir.
iii)
C1  C2 konvekstir.
iv)
Boş küme, konveks küme olarak düşünülür.
v)
Herhangi sayıda (sonlu, sayılabilir ya da sayılamaz) konveks kümelerin kesişimi
yine konveks bir kümedir. (Rockafellar,1970)
10
3.2. Konveks Fonksiyonlar
Tanım 3.2.1. x, y  I   ve 0    1 için
f  x  1    y    f  x   1    f ( y )
(3.2)
ise f : I   fonksiyonuna konveks fonksiyon denir.  
1
durumunda
2
 x  y  f ( x)  f ( y )
f

2
 2 
(3.3)
olur.
Şekil 3.2. Konveks fonksiyon
Örnek 3.2.2 (  Üzerindeki Konveks Fonksiyon Örnekleri).

Afin: Herhangi a, b   için f  x   ax  b fonksiyonu  üzerinde konveks bir
fonksiyondur.

Eksponansiyel: Herhangi a   için
f  x   eax fonksiyonu  üzerinde
konveks bir fonksiyondur.

Kuvvet: t  1 veya t  0 için f  x   xt fonksiyonu pozitif reel sayılar kümesi
   (0, ) üzerinde konveks bir fonksiyondur.
11

Mutlak değer kuvveti: p  1 için x
p
fonksiyonu  üzerinde konveks bir
fonksiyondur.

Negatif entropi:
f ( x)  x log x
fonksiyonu
 
üzerinde konveks bir
fonksiyondur.
Tanım 3.2.3. x, y  I ve 0    1 için
f  x  1    y    f  x   1    f ( y )
(3.4)
ise f : I   fonksiyonuna kesin konveks fonksiyon denir.
Tanım 3.2.4.  f fonksiyonu konveks ise f : I   fonksiyonuna konkav fonksiyon
denir.
Tanım 3.2.5.  f fonksiyonu kesin konveks ise f : I   fonksiyonuna kesin konkav
fonksiyon denir.
Şekil 3.3. Konkav Fonksiyon
Şekil 3.4. (a) grafiği konveks bir fonkiyon, (b) grafiği konkav bir fonksiyon ve (c) grafiği ne konveks ne
de konkav bir fonksiyondur
12
Örnek 3.2.6. (  Üzerindeki Konkav Fonksiyon Örnekleri)

Afin: Herhangi
a, b  
için

üzerinde
f  x   ax  b
konkav bir
fonksiyondur.

Kuvvet: 0  t  1 için pozitif reel sayılar kümesi   üzerinde f  x   xt
konkav bir fonksiyondur.

Logaritma:   üzerinde logx konkav bir fonksiyondur.
Teorem 3.2.7.
i)
f : I     ve g : I     fonksiyonları konveks ve   0 ise f  g ve
 f fonksiyonları da I aralığında konvekstir.
ii)
f : I     ve g : I     fonksiyonları konveks ve g artan ise g  f
bileşkesi konvekstir.
iii)
f : I     ve g : I     fonksiyonları konveks, negatif olmayan,
azalan (veya artan) ise h( x)  f ( x) g ( x) fonksiyonu da bu özellikleri sağlar.
iv)
Eğer f n : I     , sonlu bir f limit fonksiyonuna yakınsayan konveks
fonksiyonların bir dizisi ise f de konvekstir.(Roberts ve Varberg, 1973)
İspat:
i)
Konveks fonksiyon tanımından kolayca görülebilir.
ii)
x, y  I ve    0,1 olsun.
g  f  x  (1   ) y    g  f ( x )  (1   ) f ( y ) 
   g  f ( x)    (1   )  g  f ( y )  
(3.5)
   ( g  f )( x)  (1   )  ( g  f )( y )
dir.
iii)
x, y  I ve    0,1 olsun.
x  y   f ( x )  f ( y )  g ( y )  g ( x )   0
dır ve (3.6)’dan
(3.6)
13
f ( x) g ( y )  f ( y ) g ( x)  f ( x ) g ( x )  f ( y ) g ( y )
(3.7)
elde edilir. Eğer   0 ise
f  x  (1   ) y  g  x  (1   ) y 
  f ( x )  (1   ) f ( y )  g ( x)  (1   ) g ( y ) 
  2 f ( x) g ( x)   (1   )  f ( x ) g ( y )  f ( y ) g ( x)   (1   ) 2 f ( y ) g ( y )
(3.8)
  2 f ( x) g ( x)   (1   )  f ( x ) g ( x )  f ( y ) g ( y )   (1   ) 2 f ( y ) g ( y )
 f ( x ) g ( x)  2   (1   )   f ( y ) g ( y )  (1   )  (1   ) 2 
  f ( x) g ( x)  (1   ) f ( y ) g ( y )
eşitsizliği elde edilir.
iv)
x, y  I ve    0,1 olsun.
f  x  (1   ) y   lim f n  x  (1   ) y 
n 
 lim  f n ( x)  (1   ) f n ( y ) 
(3.9)
n
  f ( x)  (1   ) f ( y )
dir.
Örnek 3.2.8 (  n Üzerindeki Örnekler). Afin fonksiyonlar,  n üzerinde hem konveks
hem de konkav fonksiyonlardır. Tüm normlar  n üzerinde konvekstir.

Afin: Herhangi a, b, x  n için f  x   aT x  b fonksiyonu, hem konveks hem
konkav bir fonksiyondur.
1/ p

Normlar: l p norm: p  1 için x
p
 p
p
   xi 
 i 1

, l norm: x

 max i xi gibi
normlar konveks fonksiyonlardır.
m×n
Üzerindeki Örnekler). Afin fonksiyonlar,  mn üzerinde hem
Örnek 3.2.9 ( 
konveks hem de konkav fonksiyonlardır. Normlar,
fonksiyonlardır.
 mn
üzerinde konveks
14

A, X   mn
Afin:
ve
b
m
için
n
f ( X )  iz ( AT X )  b   aij xij  b
i 1 i 1
fonksiyonu hem konveks hem de konkav fonksiyondur.

Spektral (en büyük singüler değer) norm: max , n  n bir matrisin en büyük
öz
değerini
f (X )  X
2
belirtsin.
Bu
takdirde
X   mn
olmak
üzere
 (max ( X T X ))1/2 fonksiyonu konveks fonksiyondur.
Tanım 3.2.10. f : n   bir fonksiyon olmak üzere f ’nin grafiği
{( x, f ( x )) | x   n }
(3.10)
şeklinde tanımlanır.
Tanım 3.2.11.
i)
dom f  {x   n : f ( x)  } kümesine f ’nin tanım kümesi denir.
ii)
f : n   bir fonksiyon olmak üzere f ’nin epigrafiği (kesin epigrafiği)

epi  f   ( x, t )   n   | f ( x)  t , epis ( f )  ( x, t )   n   | f ( x)  t
şeklindedir.
f bir konveks fonksiyondur  epi  f  bir konveks kümedir.
Şekil 3.5. Konveks ve konveks olmayan fonksiyonlarda epigrafik

(3.11)
15
iii)
St ( f )  {x   n : f ( x )  t} ile tanımlanan kümeye f nin bir alt düzey kümesi
denir.
( x, t )  epi f  x  St ( f ) olduğu açıktır.
Şekil 3.6. Bir fonksiyonun epigrafiği ve kesin epigrafiği
Şekil 3.7.
f ( x)  x 2 fonksiyonunun S 25 ( f )  {x   n : x 2  25} alt düzey kümesi
Not 3.2.12.
i)
x, y  I   , p , q  0, p  q  0 için (3.2) ifadesi
16
 px  qy  pf ( x )  qf ( y )
f

pq
 pq 
(3.12)
ifadesine denktir.
ii)
(3.2)’nin basit geometrik yorumu,  x, f  x   ve  y , f  y   noktaları arasındaki
doğrunun grafiğin üzerinde olmasıdır.
 x, f  x  
ve
 y, f  y  
noktalarını birleştiren
doğrunun denklemi
f ( y )  f ( x) f ( s )  f ( x )

yx
sx
f ( y )  f ( x)
 f ( s)  f ( x) 
( s  x)
yx
(3.13)
şeklinde belirtilir. s  ty  (1  t ) x noktasında hesaplanırsa,
f ( y )  f ( x)
 t ( y  x )   f ( x)  t  f ( y )  f ( x ) 
yx
 tf ( y )  (1  t ) f ( x )
f (ty  (1  t ) x)  f ( x) 
elde edilir.
iii)
x1  x2  x3 olacak şekilde x1 , x2 , x3 I   ’de üç nokta ise (3.2) ifadesi
x1
f ( x1 ) 1
x2
f ( x2 ) 1  ( x3  x2 ) f ( x1 )  ( x1  x3 ) f ( x2 )  ( x2  x1 ) f ( x3 )  0
x3
f ( x3 ) 1
(3.14)
ifadesine denktir. Bu da
f ( x2 ) 
x2  x3
x x
f ( x1 )  1 2 f ( x3 )
x1  x3
x1  x3
(3.15)
ifadesine veya daha simetrik olarak ve x1 , x2 , x3 üzerinde monotonluk şartı olmaksızın
17
f ( x3 )
f ( x1 )
f ( x2 )


0
( x1  x2 )( x1  x3 ) ( x2  x3 )( x2  x1 ) ( x3  x1 )( x3  x2 )
(3.16)
ifadesine denktir.
iv)
Köşeleri ( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 )), ( x3 , f ( x3 )) olan üçgenin alanı
x1
1
P  x2
2
x3
f ( x1 ) 1
f ( x2 ) 1
(3.17)
f ( x3 ) 1
ile verilir.
v)
(3.15)’in diğer bir yazılışı
f ( x1 )  f ( x2 ) f ( x2 )  f ( x3 )

, ( x1  x3 ve x1 , x3  x2 )
x1  x2
x2  x3
(3.18)
şeklindedir. Böylece aşağıdaki sonuç geçerlidir:
Her c  I   noktası için
f ( x)  f ( c)
fonksiyonu I aralığında artan ise f
xc
fonksiyonu konvekstir. ( x  c )
vi)
(3.18)’i kullanarak aşağıdaki sonucu kolayca ispatalayabiliriz:
f , I 
aralığında konveks bir fonksiyon ve x1  y1 , x2  y2 , x1  x2 , y1  y2 ise aşağıdaki
eşitsizlik geçerlidir:
f ( x2 )  f ( x1 ) f ( y2 )  f ( y1 )

.
x2  x1
y2  y1
(Pecaric ve ark.1992)
Tanım 3.2.13. Her x, y   a, b  noktaları için
(3.19)
18
 x  y  f ( x)  f ( y )
f

2
 2 
eşitsizliği geçerliyse
f :  a, b    foksiyonuna
(3.20)
 a, b
üzerinde Jensen anlamda
konveks veya J -konveks denir. J -konveks bir f fonksiyonuna her ( x, y ), x  y nokta
çiftleri için (3.20)’de daha sıkı eşitsizlik sağlanırsa kesin J -konveks denir.
Konveks fonksiyonlar için Jensen eşitsizliği, matematik ve istatistikte çok
önemli eşitsizliklerden biridir. Diğer birçok eşitsizlik bu eşitsizlikten elde edilebilir.
Teorem 3.2.14 (Jensen Eşitsizliği). I ,  ’de bir aralık , f : I   konveks fonksiyon,
x1 ,..., xn  I ve 1   2  ...   n  1 olmak üzere 1 ,  2 ,...,  n  0 olsun. Bu durumda
n

i 1
n
f  i xi    i f ( xi )
(3.21)
i 1
eşitsizliği geçerlidir. Eğer f kesin konveks ise (3.21) ifadesi x1  ...  xn olmaksızın
kesindir. (Roberts ve Varberg, 1973)
İspat: (3.21)’in ispatı tümevarımdan yapılır. n  1 için eşitsizlik doğrudur. Farz edelim
ki n  k için doğru olsun. Bu durumda n  k  1 için doğruluğunu göstermemiz gerekir.
x1 ,..., xk , xk 1  I ve 1   2  ...   k   k 1  1 olmak üzere 1 ,  2 ,...,  k ,  k 1  0 olsun.
1 ,  2 ,...,  k 1 ’in en az bir tanesi 1’den küçük olmalıdır. Aksi halde eşitsizlik aşikardır.
 k 1  1 ve
u
k
1
2
x1 
x2  ... 
xk
1   k 1
1   k 1
1   k 1
(3.22)
olsun.
k
1
 ... 
1
1   k 1
1   k 1
ve
(3.23)
19
1 x1   2 x2  ...   k xk   k 1 xk 1  (1   k 1 )u   k 1 xk 1
(3.24)
olur. f konveks fonkiyon olduğundan,
f  (1   k 1 )u   k 1 xk 1   (1   k 1 ) f (u )   k 1 f ( xk 1 )
(3.25)
bulunur ve tümevarım hipotezinden
f (u ) 
k
1
2
f ( x1 ) 
f ( x2 )  ... 
f ( xk )
1   k 1
1   k 1
1   k 1
(3.26)
eşitsizliği vardır. (3.25) ve (3.26) eşitsizliklerinden
f 1 x1   2 x2  ...   k 1 xk 1   1 f ( x1 )   2 f ( x2 )  ...   k 1 f ( xk 1 )
(3.27)
elde edilir. Böylece eşitsizlik n  k  1 için kurulmuştur ve böylelikle eşitsizlik herhangi
pozitif n tamsayısı için geçerlidir.
Teorem 3.2.15 (Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği). Eğer xi  0,  i  0 ve
n

i
 1 ise
i 1
x11 x2 2 ...xn n  1 x1   2 x2  ...   n xn
(3.28)
dir. (Roberts ve Varberg, 1973)
İspat: xi  0 için ispatlamak yeterlidir. yi  log xi olsun. Bu durumda
xii  e i log xi  ei yi
(3.29)
dir. f (t )  et fonksiyonu (, ) aralığında konveks olduğundan Jensen eşitsizliği
kullanılarak,
20
n
i yi
n
i
i
x
 e i1
i 1
 n

 f    i yi 
 i 1

n
(3.30)
n
n
   i f ( yi )   i e yi    i xi
i 1
i 1
i 1
elde edilir.
Teorem 3.2.16. I   açık bir aralık olmak üzere reel değerli bir f fonksiyonunun
I ’da konveks olması için gerek ve yeter şart, f ’nin sürekli ve f ( x)  0 olmasıdır.
(Niculescu ve Persson, 2006)
Tanım 3.2.17. I   bir aralık olmak üzere eğer log f
konveks ise veya her
x, y  I ,    0,1 için
f ( x  (1   ) y)  f ( x) f ( y)1
(3.31)
ise f : I   fonksiyonuna log-konveks denir. I  (0, ) ve f pozitif iken x, y  I
ve 0    1 için
f ( x y1 )  f ( x) f ( y )1
(3.32)
ise çarpımsal konveks denir.
Eğer f çarpımsal konveks ise x  f ( e x ) dönüşümü (, ) aralığında logkonvekstir. Bunu görmek için  
f ( x y1 )  f ( x) f ( y )1  e x
e
xy
 (e x )1/ 2 (e y )1/ 2  e
2
2
xy
   e e  e
 ln  e
  ln e   2
 e
xy
2 xy
x y
x y
1
alınırsa
2
 1
y
 (e x ) (e y )1
 e xe y
2 xy
(3.33)
 e x y
xy  x  y  xy 
x y
2
21
olur ki, elde edilen son eşitsizlik aritmetik geometrik ortalama eşitsizliğidir ve böylece
x  f (e x )
dönüşümünün
(, )
aralığında
log-konveks
olduğu
görülür.
exp, sinh, cosh fonksiyonları çarpımsal konvekstir.
(3.31)’in tersi durumuna da log–konkav denir.
Not 3.2.18. f ve g konveks ve g artan ise g  f konveks olduğu için f  exp log f
olarak yazılabileceğinden log-konveks bir fonksiyon konvekstir. Tersi her zaman doğru
değildir. Bu doğrudan (3.28)’den ve (3.31)’den
f ( x) f ( y )1   f ( x)  (1   ) f ( y)
(3.34)
elde edilir. Böylece,
f  x  (1   ) y   f ( x) f ( y )1   f ( x)  (1   ) f ( y )
eşitsizliği yazılabilir.
(3.35)
22
4. MAJORİZASYON VE KONVEKS FONKSİYONLAR
Majorizasyon; öz değer, singüler değer ve matris normlarının matris
eşitsizliklerini oluşturmada önemli bir araçtır.
x   x1 , x2  ve y   y1 , y2  negatif olmayan reel vektörler olsun. Genelliği
bozmaksızın, vektörlerin bileşenleri azalan sırada sıralansın. Eğer x1  y1 ise x vektörü
y ’den büyüktür. Örneğin,  0.8, 0.2    0.6, 0.4  ’tür. Fakat bu yaklaşım 3 ya da daha
çok bileşen durumuna genişletilemez. Bu bölümde bileşen sayısı ikiden fazla olan
vektörler üzerindeki kısmi sıralama ele alınacaktır.
4.1.Temel Gösterimler
x   x1 ,..., xn    n olsun. x ve x , sırasıyla azalan ve artan sırada x ’in
koordinatlarının düzenlenmesiyle elde edilen vektörler olsun. Böylece, eğer

x   x1 ,..., xn

ise
x1  ...  xn ’dir. Benzer şekilde eğer

x   x1 ,..., xn

ise
x1  ...  xn dir. Not edelim ki,
xi  xni 1 ,
1 i  n
(4.1)
dir.
Tanım 4.1.1. x, y   n olsun. Eğer
k
k
 xi   yi , k  1, 2,..., n  1
i 1
(4.2)
i 1
ve
n
n
x y
i
i 1
i
i 1
ise x, y tarafından majorize edilmiştir denir ve x  y şeklinde gösterilir.
(4.3)
23
Benzer şekilde x1  x2    xn  0
ve
y1  y2    yn  0 azalan sıralı
bileşenli x, y   n vektörleri için x vektörü y vektörünü majorize eder denir ve eğer
k
k

i
n

i
x y
i 1
, k  1, 2,..., n  1 ve
i 1
n
 x   y ise
i
i 1
i
x  y yazılır.
i 1
k
k
 k  k 



x

y
,
k

1,
2,...,
n

1


i
i
  xi   yi , k  1, 2,..., n  1
i 1
i 1
 i 1
i 1

Eğer
n
n

x y
i
i 1
i 1

i
ve
 n  n 
  xi   y i  eşitsizlikleri varsa x, y tarafından zayıf majorize
 i 1
i 1

(süper majorize) edilir denir. Sembolle x  w y  x  w y  şeklinde gösterilir. Açıktır ki,
x  y  x  w y ’dir.
Örnek 4.1.2. Şekil 4.1.’deki durum göz önüne alınsın. İki farklı vektör görülmektedir.
A ve B şemalarında en büyük iki bileşen eşittir ( x1A  x1B ve x2A  x2B ). B şemasındaki en
küçük üç bileşen eşittir ( x3B  x4B  x5B ), fakat A şemasındaki en küçük üç bileşen eşit
değildir.( x3A  x4A  x5A ). Buna ek olarak, A ve B şemalarındaki tüm bileşenlerin toplamı
eşittir. Tanım 4.1.1.’de verilen sıralama uygulanarak A şemasındaki vektör, B
şemasındaki vektörü majorize eder( x A  x B ).(Jorswieck ve Boche,2006)
Şekil 4.1.Örnek vektörler:
x A  xB
Örnek 4.1.3. Aşağıdaki vektörler majorizasyon kullanılarak karşılaştırılabilir:
1  1
1
1
1 1

1 1

,
,...,
, 0   ...   , , 0,...,0   1, 0,..., 0 
 , ,...,   
n   n  1 n 1
n 1 
n n
2 2

Teorem 4.1.4. x, y , z   n olsun.
24
i)
x  w y  x1  y1 ve x  y  yn  xi  y1 ’dir.
ii)
Aşağıdaki ifadeler majorizasyon ve zayıf majorizasyonun geçişli olduğunu
gösterir:
x  y , y  z  x  z;
x  w y, y  w z  x  w z
iii)
x  z , y  z  px  qy  z; p, q  0, p  q  1.
iv)
x  w z , y  w z  px  qy  w z; p, q  0, p  q  1.
v)
x  y  x  w y ve  x  w  y 'dir.
vi)
P permütasyon matris olmak üzere x  y , y  x  x  yP ’dir.
vii)
P permütasyon matris olmak üzere x  w y, y  w x  x  yP ’dir. (Zhang,2011)
Teorem 4.1.5. Aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:
i)
x, y   n iken x  w y ’dir.
ii)
z   n için x  z ve z  y ’dir.
iii)
u   n için x  u ve u  y ’dir. (Zhang,2011)
x, y   n için x  y , bileşen toplamını ve x  y ,
x ve y ’nin Hadamard
çarpımını belirtir. x  , negatif koordinatların sıfır ile yer değiştirilmesiyle x ’ten elde
edilen bir vektör ve | x | , tüm koordinatların mutlak değeri alınarak elde edilen bir
vektördür.
Teorem 4.1.6. x, y   n olsun. Bu durumda
x  w y  t   için
i)
n

n
x t   y t
i

i
i 1
(4.4)
i 1
dır.
ii)
x  w y  t   için
n

n
 t  x    t  y 
i
i 1
dır.
i
i 1

(4.5)
25
x  y  t   için
iii)
n
n
 | xi  t |  | yi  t |
i 1
(4.6)
i 1
dir. (Bhatia,1997)
Teorem 4.1.7. x  ( x1 ,..., xn ) , y  ( y1 ,..., yn )   n olmak üzere
i)
x  w| x |
ii)
| x  y | w | x |  | y |
iii)
x  y   w x  y  x  y
n
n
n
 xi yi   xi yi   xi yi
iv)
i 1
i 1
i 1
dir. (Zhang,2011)
Bileşenleri negatif olmayan  n üzerindeki tüm vektörlerin kümesi  n ile
gösterilir. Yani, ui  0 için u  (u1 ,..., un )   n ’dir.
Teorem
4.1.8.
y  ( y1 ,..., yn )   n
x  ( x1 ,..., xn ) ,
n
n
Bu
durumda
n
u  (u1 ,..., un )   n için x  y   xi ui   yi ui
i 1
olsun.
ve u  (u1 ,..., un )   n için
i 1
n
x  w y   xi ui   yiui dir. (Zhang,2011)
i 1
i 1
Teorem 4.1.9. x, y, u , v   n olmak üzere
i)
x  w y  x  u  w y   u
ii)
x  w u, y  w v  x  y  w u   v
dir. (Zhang,2011)
Tanım 4.1.10. Satırları ve sütunları toplamı 1 olan, negatif olmayan bir kare matrise
ikili stokastik matris denir. Yani eğer,
i, j için aij  0
(4.7)
n
j için
a
ij
i 1
1
(4.8)
26
n
i için
a
1
ij
(4.9)
j 1
ise n  n bir A   aij  matrisine ikili stokastik matris denir.
Teorem 4.1.11. x  y olması için gerek ve yeter şart x  Py olacak şekilde ikili
stokastik bir P matrisinin olmasıdır. (Bhatia,1997)
Örnek 4.1.12. x   0.6, 0.4    0.8, 0.2   y olsun. İlgili stokastik matris
2
 0.6   3
 0.4    1
  

3
1
2

3
0.8


3
   P  
2   0.2 
1


3
3
1
3

2

3
ile verilir.
Teorem 4.1.13. Bir A matrisinin ikili stokastik olması için gerek ve yeter şart her x
vektörü için Ax  x olmasıdır. (Bhatia,1997)
Tanım 4.1.14. xk  0 ve yk  0 olmak üzere x   x1 ,..., xn  ve y   y1 ,..., yn  vektörleri
k
düşünülsün. Eğer k  1,..., n  1 için
k
 xi   yi ve
i 1
i 1
n
n
 xi   yi ise x , y tarafından
i 1
i 1
k
log-majorize edilmiştir denir. Yani, x  log y ’dir. Eğer k  1,..., n için
k
 xi   yi ise
i 1
i 1
x , y tarafından zayıf log-majorize edilmiştir denir ve x  w log y ile gösterilir.
Teorem 4.1.15. x, y   n olsun. Bu durumda
x  w log y  x  w y
(4.10)
dir. Yani,
k
k

i
k

i
x y
i 1
k
, k  1, 2,..., n   xi   yi , k  1, 2,..., n
i 1
dir. (Zhang, 2011)
i 1
i 1
(4.11)
27
4.2. Konveks ve Monoton Fonksiyonlar İçin Majorizasyon
Tanım 4.2.1.  n üzerinde tanımlı reel değerli bir  fonksiyonuna
x  y   ( x)   ( y)
(4.12)
ise Schur- konveks veya s-konveks denir.
x  ( x1 ,..., xn ) olmak üzere  ( x ) | x1 | ... | xn | fonksiyonu  n
Örneğin,
üzerinde Schur-konvekstir. Eğer x  y ise A  ( aij ) , n  n ikili stokastik bir matris
olmak üzere x  Ay olarak yazılabilir. Bu durumda
n
n
n
 ( x )   | xi |    a ji y j
i 1
i 1
j 1
n
n
n  n

  a ji | y j |     a ji  | y j |
i 1 j 1
i 1  j 1



(4.13)
1
n
 | y j |   ( y)
i 1
dir.
x  n
yazıldığı zaman,
f
fonksiyonunun x ’in tüm bileşenlerini içeren bir aralıkta tanımlı olduğu ve
f
Dikkat edelim ki,
fonksiyonunun
olmak üzere
f ( x)
x ’in tüm bileşenlerine uygulanabileceği anlaşılmalıdır. Yani,
x   x1 ,..., xn  ise f ( x )   f ( x1 ),..., f ( xn )  ’dir.
Teorem 4.2.2. x, y   n olsun. Bu takdirde
i)
f konveks ise
x  y  f ( x )  w f ( y ),
ii)
(4.14)
f artan ve konveks ise
x  w y  f ( x)  w f ( y)
(4.15)
28
dir. (Zhang,2011)
Sonuç 4.2.3. x, y   n olsun. Bu durumda
i)
x  y | x | w | y | , yani  | x1 |,...,| xn |  w | y1 |,...,| yn | ’dir.
ii)
x  y  x 2  w y 2 , yani x12 ,..., x n2  w y12 ,..., y n2 ’dir.
iii)
xi , yi pozitif olmak üzere ln x  w ln y  x  w y ’dir. (Zhang,2011)

 

İspat: | t | ve t 2 konveks olduklarından (i) ve (ii) açıktır. et artan ve konveks
olduğundan eln x  w eln y  x  w y bulunur ki, (iii) elde edilmiş olur.
Teorem 4.2.4. x, y   n olsun. Bu durumda
n
x  y  tüm f konveks fonksiyonları için
i)

i 1
n
f ( xi )   f ( yi )'dir.
i 1
n
x  w y  tüm f artan ve konveks fonksiyonları için
ii)

i 1
n
f ( xi )   f ( yi )'dir.
i 1
Eğer y , x ’in bir permütasyonu değilse x ve y ’nin tüm bileşenlerini içeren
iii)
herhangi
kesin
artan
n
x w y 

i 1
ve
kesin
konveks
f
fonksiyonu
için
n
f ( xi )   f ( yi ) ’dir. (Zhang,2011)
i 1
Teorem 4.2.5. x, y   n olsun. Bu durumda
x  y   w x  y  x  y 
(4.16)
ve
n
x

i
i 1
n

i
y
n
  x  y   x
i
i 1

i
i
 yi

(4.17)
i 1
dir. (Zhang,2011)
Teorem 4.2.6 (Weyl Majorant Teoremi). A , singüler değerleri s1  ...  sn ve öz
değerleri | 1 | ... | n | şeklinde dizilmiş n  n bir matris olsun. Bu durumda her t
29
değeri için  (et ) fonksiyonu konveks ve monoton artan olacak şekildeki her
 :      fonksiyonu için
 |  |  ...   |  |    ( s ),...,  ( s ) 
n
1
w
1
n
(4.18)
dir. Özel olarak her p  0 için
|  |
1
p
,...,| n | p   w  s1p ,..., snp 
(4.19)
dir. (Bhatia,1997)
Teorem 4.2.7. x, y   n olsun. Aşağıdaki iki ifade eşdeğerdir:
i)
x y
ii)
 :    konveks fonksiyonları için iz ( x)  iz ( y ) ’dir. (Bhatia,1997)
Teorem 4.2.8. x, y   n olsun. Aşağıdaki iki ifade eşdeğerdir:
i)
x w y
ii)
 :    monoton artan, konveks fonksiyonları için iz ( x)  iz ( y ) ’dir.
(Bhatia,1997)
4.3. Konveks Fonksiyonlar ve Zayıf Majorizasyon Eşitsizlikleri
A, B  n için aşağıdaki 3 sıralama tipi düşünülebilir:
i)
B  A  A  B pozitif yarı tanımlıdır.
ii)
(Öz değer eşitsizlikleri)
 ( B)   ( A)   j ( B)   j ( A)
iii)
(Zayıf majorizasyon)
( j  1, 2,..., n)
(4.20)
30
k
k
j 1
j 1
 ( B)  w  ( A)    j ( B)    j ( A)
( k  1, 2,..., n)
(4.21)
Buradan B  A   ( B )   ( A)   ( B )  w  ( A) olduğu görülebilir.
Spektrumları
I 
matrislerin kümesi n ( I )
aralığında bulunan n
üzerindeki tüm Hermityen
ile belirtilsin. I   üzerinde tanımlı, artan bir
f
fonksiyonu için A, B  n ( I ) olmak üzere
 ( B )   ( A)    f ( B )     f ( A) 
(4.22)
dır. I üzerinde tanımlı, artan, konveks bir f fonksiyonu için A, B  n ( I ) olmak üzere
 ( B )  w  ( A)    f ( B)   w   f ( A) 
(4.23)
dır.
Lemma 4.3.1. A  n ( I ) ve f , I üzerinde konveks bir fonksiyon olsun. x birim
vektörü için
f

Ax, x   f ( A) x, x
(4.24)
dir.(Bhatia,1997)
Lemma 4.3.2. A  n ( I ) olsun. Maksimum, u1 , u2 ,..., uk ortonormal vektörlerinin tüm
seçimlerinde geçerli olmak üzere
k
k
  j ( A)  max  Au j , u j
j 1
(k  1, 2,..., n)
j 1
dir. Bu ifade “Ky Fan Maksimum Prensibi” olarak bilinir. (Bhatia,1997)
Tanım 4.3.3. A  1 ise A n matrisine kontraksiyon denir.
(4.25)
31
Teorem 4.3.4.
f , I   üzerinde konveks bir fonksiyon olsun. Bu durumda
A, B  n ( I ) ve 0    1 için
  f  A  (1   ) B    w   f ( A)  (1   ) f ( B ) 
(4.26)
dir. Eğer 0  I ve f (0)  0 ise X  n kontraksiyonları ve A  n ( I ) için
  f ( X * AX )   w   X * f ( A) X 
(4.27)
dir. (Aujla ve Silva,2003)
İspat: 1 , 2 ,..., n ,
 A  (1   ) B ’nin
öz
değerleri
ve
u1 , u2 ,..., un ,
f (1 )  f (2 )  ...  f (n ) olacak şekilde sıralanmış ilgili ortonormal öz vektörler
olsun. k  1, 2,..., n olmak üzere sırasıyla f ’nin konveksliği, Lemma 4.3.1 ve Lemma
4.3.2 kullanılarak
k
k
j 1
j 1
  j  f  A  (1   ) B     f
k
  A  (1   ) Bu , u 
j
j


  f  Au j , u j  (1   ) Bu j , u j
j 1
k
   f

j 1

Au j , u j
  (1   ) f  Bu , u 
j
j
k
(4.28)
   f ( A)u j , u j  (1   ) f ( B )u j , u j 
j 1
k
   f ( A)  (1   ) f ( B)  u j , u j
j 1
k
   j  f ( A)  (1   ) f ( B ) 
j 1
elde edilir. Böylece ilk gösterim ispatlanmış olur. İkinci gösterimi ispatlamak için
1 , 2 ,..., n , X * AX ’in öz değerleri ve u1 , u2 ,..., un , f (1 )  f (2 )  ...  f (n ) olacak
şekilde sıralanmış ilgili ortonormal öz vektörler olsun. f (0)  0 olduğundan istenen
eşitsizliği ispatlamak için ||| Xu j ||| 0, j  1, 2,..., n olduğu düşünülsün. Bu durumda
32
f (0)  0 koşuluyla
sırasıyla
f ’nin konveksliği, Lemma 4.3.1 ve Lemma 4.3.2
kullanılarak
k
k
  j  f ( X * AX )    f
j 1
j 1

X * AXu j , u j

k


Xu j
Xu j
  f  ||| Xu j |||2 A
,
 1 ||| Xu j |||2  .0 


||| Xu j ||| ||| Xu j |||
j 1


k 



Xu j
Xu j
   ||| Xu j |||2 f  A
,
  1 ||| Xu j |||2  f (0) 
 ||| Xu j ||| ||| Xu j ||| 

j 1 




k 

Xu j
Xu j
   ||| Xu j |||2 f ( A)
,


||| Xu j ||| ||| Xu j ||| 
j 1

k
(4.29)
k
  X f ( A) Xu j , u j    j  X * f ( A) X 
*
j 1
j 1
elde edilir ve böylece ispat tamamlanmış olur.
Teorem 4.3.4’te r  0 ve I  (0, ) iken f (t )  t r alınarak aşağıdaki sonuç elde
edilir.
Sonuç 4.3.5. A, B  n olsun. Bu durumda r  0 için
  21r ( A  B)r   w  ( Ar  B r )
(4.30)
dir.(Aujla,2000)
[0, ) aralığındaki negatif olmayan, azalan her f fonksiyonu t  [0, ) olmak
üzere
f (2t )  2 f (t )
eşitsizliğini sağlar. Aşağıdaki sonuç, operatör monoton
fonksiyonlar için Ando ve Zhan (1999) tarafından ispatlanan eşitsizliklere benzer bir
eşitsizliktir.
Sonuç 4.3.6. f , t  [0, ) için f (2t )  2 f (t ) olacak şekilde [0, ) aralığında bir
konveks fonksiyon olsun. A, B  n için
  f ( A  B )   w   f ( A)  f ( B ) 
(4.31)
33
dir. (Aujla ve Silva,2003)
İspat: Teorem 4.3.4.’ten



 A B 
 f ( A)  f ( B ) 
f
 w  

2
 2 


(4.32)
elde edilir. A yerine 2A ve B yerine 2B koyulursa
 f (2 A)  f (2 B ) 
  f ( A  B)   w  

2


(4.33)
bulunur. f (2t )  2 f (t ) olduğundan f (2 A)  2 f ( A) ve f (2 B)  2 f ( B) dir. Böylece
 f (2 A)  f (2 B) 

  w   f ( A)  f ( B) 
2


(4.34)
dir. (4.33) ve (4.34)’ten istenen sonuç elde edilir.
Teorem 4.3.7 (Fan Baskınlık Teoremi). A ve B n  n matrisler olsun. Eğer
k  1, 2,..., n için
A (k )  B
(4.35)
(k )
ise tüm üniter invaryant normlar için
||| A |||||| B |||
(4.36)
dir.
Aşağıdaki sonuç Fan Baskınlık Teoreminden elde edilir.
Sonuç 4.3.8.
f, I
üzerinde negatif olmayan, konveks bir fonksiyon olsun.
A, B  n ( I ) ve 0    1 için
||| f  A  (1   ) B  ||||||  f ( A)  (1   ) f ( B) |||
(4.37)
34
dir. Eğer 0  I ve f (0)  0 ise X  n kontraksiyonları ve A  n ( I ) için
||| f  X * AX  |||||| X * f ( A) X |||
(4.38)
dir. (Aujla ve Silva,2003)
Teorem 4.3.4’e ek olarak f artan (veya azalan) hipotezi yüklenirse aşağıdaki
daha güçlü sonuç elde edilir.
Teorem 4.3.9. f , I üzerinde artan (veya azalan), konveks bir fonksiyon olsun.
A, B  n ( I ) ve 0    1 için
  f  A  (1   ) B      f ( A)  (1   ) f ( B ) 
(4.39)
dir. Eğer 0  I ve f (0)  0 ise X  n kontraksiyonları ve A  n ( I ) için
  f ( X * AX )     X * f ( A) X 
(4.40)
dir. (Aujla ve Silva,2003)
4.4. Log-Konveks Fonksiyonlar İçin Eşitsizlikler
Lemma 4.4.1. A, B  n ve 0  r  1 olsun. Bu durumda
1

  log  Ar / 2 B r Ar / 2    w  log  A1/ 2 BA1/ 2 
r



(4.41)
dir.(Ando,1998)
Lemma 4.4.2. A, B  n olmak üzere
1

lim  log  Ar / 2 B r Ar / 2    log A  log B
r 0  r

(4.42)
35
dir. (Ando,1998)
Lemma 4.4.1 ve Lemma 4.4.2’den aşağıdaki lemma elde edilir.
Lemma 4.4.3. A, B  n olmak üzere

  log A  log B   w  log  A1/2 BA1/ 2 

(4.43)
dir.
Teorem 4.4.4. f , I üzerinde log-konveks bir fonksiyon olsun. A, B  n ( I ) ve
0    1 için
  f  A  (1   ) B    w   f ( A) f ( B)1 
(4.44)
dir. (Aujla ve Silva,2003)
İspat: log f (t ) fonksiyonu I üzerinde konveks bir fonksiyon olsun. Böylece Teorem
4.3.4 ve Lemma 4.4.3’ten
  log f  A  (1   ) B    w   log f ( A)  (1   ) log f ( B) 
   log f ( A)  log f ( B)1 

 w  log  f ( A) / 2 f ( B)1 f ( A) / 2 
(4.45)

elde edilir. t  et fonksiyonu artan ve konveks olduğundan
  f  A  (1   ) B    w   f ( A) / 2 f ( B)1 f ( A) / 2 
   f ( A) f ( B)1 
(4.46)
bulunur ve ispat tamamlanır.
Herhangi X  n için  ( x)  w   x  olduğundan Fan Baskınlık Teoremi
yardımıyla aşağıdaki sonucun bir ispatı elde edilir.
36
Sonuç 4.4.5. f , I üzerinde bir log-konveks fonksiyon olsun.
A, B  n ( I ) ve
0    1 için
f  A  (1   ) B   f ( A) f ( B )1
(4.47)
dir. (Aujla ve Silva,2003)
Sonuç 4.4.6. a  1 ve A, B  n ( I ) olsun.
  A B   w   A B 
(4.48)
dir. (Aujla ve Silva,2003)
İspat:
p  max  A , B  olsun. Bu durumda  pI  A , B  pI ’dır.
f (t )  a t
fonksiyonu [ p, p ] üzerinde log-konvekstir. Böylece Teorem 4.4.4’ten 0    1 için
  a A (1 ) B   w   a Aa (1 ) B 
dir.  
(4.49)
1
alınıp A yerine 2A ve B yerine 2B yazılarak istenen eşitsizlik elde edilir.
2
Not 4.4.7. a  e durumunda Sonuç 4.4.6’nın özel bir durumu olarak ünlü GoldenThompson eşitsizliği olarak bilinen
iz  e A B   iz  e Ae B 
(4.50)
eşitsizliği elde edilir. Aşağıdaki sonuç Golden-Thompson eşitsizliğinin başka bir
genelleştirilmesi olarak düşünülebilir. (Aujla ve Silva,2003)
f,
Sonuç 4.4.8.
(0, )
aralığında çarpımsal konveks bir fonksiyon olsun.
A, B  n ( I ) ve 0    1 için




1
 f  e A(1 ) B   w  f  e A  f  e B 

(4.51)
37
dir. (Aujla ve Silva,2003)
Teorem 4.4.4’ün diğer bir uygulaması olarak genelleştirilmiş bir harmonikgeometrik ortalama (Young) eşitsizliği elde edilir.
Sonuç 4.4.9. A, B  n olsun. 0    1 olmak üzere r  0 için

  A1  (1   ) B 1 
r

w
  A r B (1 ) r 
(4.52)
dir. (Aujla ve Silva,2003)
İspat:

p  max A , A1 , B , B 1

olsun.  pI  A, A1 , B , B 1  pI
ve t  t  r
fonksiyonu (0, p] üzerinde log-konvekstir. Böylece Teorem 4.4.4 yardımıyla

r
  A  (1   ) B 
 A
 r
w
B  (1 ) r 
(4.53)
olur. A, A 1 ile ve B , B 1 ile yer değiştirirse

  A1  (1   ) B 1 
r

w
  A r B (1 ) r 
(4.54)
elde edilir ve ispat tamamlanır.
Not 4.4.10. Artan log-konveks bir f fonksiyonu için
  f  A  (1   ) B      f ( A) f ( B)(1 ) 
(4.55)
eşitsizliği geçerli değildir. A, B  n ve f (t )  et olsun. Bhatia (1997)’dan iyi bilinir ki
k

j 1
k
j
e A (1 ) B     j  e A e(1 ) B 
j 1
eşitsizliği vardır. Fakat
(k  1, 2,..., n)
(4.56)
38
n

j 1
j
e A (1 ) B   det  e A(1 ) B 
 det  e A e (1 ) B 
(4.57)
n
   j  e A e(1 ) B 
j 1
dir. Böylece A, B  n ve 1  i  n olmak üzere
i  e A (1 ) B   i e A e(1 ) B 
(4.58)
olacak şekilde bir i bulunabilir. (Aujla ve Silva,2003)
Not 4.4.11. Teorem 4.3.4’te  w yerine  w kullanıldığında ve Teorem 4.3.9’daki
eşitsizlikler tersi sıralamada alındığında “konveks fonksiyon” uygun “konkav
fonksiyon” ile yer değiştirilirse Teorem 4.3.4 ve Teorem 4.3.9 sağlanır. Bu durumda I
üzerindeki bir log-konkav fonksiyon için A, B  n ( I ) ve 0    1 olmak üzere
  f  A  (1   ) B    w   f ( A)  (1   ) f ( B ) 
(4.59)
tahmini yapılabilir. Fakat bu tahmin yanlıştır. Bunu görmek için
 4 5
 9 1
1
f (t )  t 6 , I  (0, ),   , A  
,B  


2
 5 7 
 1 1 
alınabilir. (Aujla ve Silva,2003)
(4.60)
39
5. MATRİS MONOTON VE MATRİS KONVEKS FONKSİYONLAR
Bu bölümde matris monoton fonksiyonlar ele alınacaktır. Bu fonksiyonlar
sıralama korunarak Hermityen matrislere genişletilebilen reel fonksiyonlardır. Matris
monoton fonksiyonlar önemli özelliklere sahiptir. Bunlardan bazıları bu bölümde ele
alınmıştır ve matris konveks fonksiyon kavramıyla da ilişkilidir. Bu bölümde bu iki
fonksiyon tipi incelenecektir.
5.1.Tanımlar ve Basit Örnekler
f,
I 
aralığında
tanımlanan
reel
değerli
bir
fonksiyon
olsun.
D  köş (1 ,..., n ) , I aralığında köşegen elemanları  j ’ler olan köşegen bir matris ise
f ( D )  köş ( f (1 ),..., f (n )) şeklinde tanımlanır. A , I aralığında öz değerleri  j ’ler
olan Hermityen bir matris ise
A  UDU * olacak şekilde D köşegen matrisi ve U
üniter matrisi vardır. Bu durumda f ( A)  Uf ( D )U * şeklinde yazılabilir. Bu şekilde öz
değerleri I ’da olan herhangi mertebeden tüm Hermityen matrisler için
f ( A)
tanımlanabilir.
Matris monotonluk kavramı, ilk olarak 1934 yılında K. T. Löwner tarafından ele
alınmıştır. Matrislerin matris değerli fonksiyonlarının monotonluğunu tanımlamak için
tüm n  n pozitif yarı tanımlı matrislerin kümesinde bir kısmi sıralamaya ihtiyaç vardır.
n  n pozitif yarı tanımlı matrislerin kümesi n ile gösterilsin. Buradaki sıralama,
Löwner sıralaması olarak bilinen “ A  B ise B  A pozitif yarı tanımlıdır ve A  B ise
B  A pozitif tanımlıdır” şeklinde tanımlanan sıralama olarak düşünülebilir.
Tanım 5.1.1 (Matris Monoton). f fonksiyonu Hermityen matrisler kümesi n ’de
Löwner sıralamasına göre monoton, yani A  B iken f ( A)  f ( B) ise f fonksiyonuna
n. mertebeden matris monoton fonksiyon denir. Fonksiyon tüm n mertebeleri için
sağlanırsa fonksiyona matris monoton veya operatör monoton denir.
Örnek 5.1.2.   0 için f (t )   t   fonksiyonu matris monotondur. Bunu görmek
için
A B
alalım.   0
için  A   B
ve  A   I   B   I ’dır. Böylece
f ( A)  f ( B) olur.
Tanım 5.1.3 (Matris Konveks). Matris konvekslik kavramı, ilk olarak F. Kraus
tarafından 1936’da ele alınmıştır. 0    1 ve A, B  n için
40
f ( A  (1   ) B)   f ( A)  (1   ) f ( B)
(5.1)
ise f fonksiyonuna n. mertebeden matris konveks denir. Fonksiyon tüm n mertebeleri
için sağlanırsa fonksiyona matris konveks veya operatör konveks denir.
f fonksiyonu    [0,1] ve A, B  n için
f ( A  (1   ) B)   f ( A)  (1   ) f ( B)
(5.2)
ise f fonksiyonuna n. mertebeden kesin matris konveks denir.
Not edelim ki A ve B ’nin öz değerleri bir I aralığında ise A ve B ’nin
herhangi kombinasyonlarının öz değerleri de yine I aralığındadır.
Sadece sürekli fonksiyonları düşünelim. Bu durumda, (5.1) ifadesi daha özel
olan
 A  B  f ( A)  f ( B )
f

2
 2 
(5.3)
ifadesiyle yer değiştirilebilir. (5.3) ifadesini sağlayan fonksiyonlara orta nokta matris
konveks denir ve eğer bu fonksiyonlar sürekli ise konvekstirler.
Not 5.1.4. Matris monoton fonksiyonlar kümesi ve matris konveks fonksiyonlar
kümesinin her ikisi de pozitif lineer dönüşümler ve limit işlemleri altında kapalıdır.
Diğer bir ifadeyle f ve g matris monoton,  ve  pozitif reel sayılar ise  f   g de
matris monotondur. f n matris monoton ve f n ( x )  f ( x) ise f de matris monotondur.
Bu işlemler matris konveks fonksiyonlar için de geçerlidir.
Örnek 5.1.5.  ,   ,   0 için f (t )   t 2   t   fonksiyonu matris konvekstir.
Bunu görmek için A, B Hermityen matrislerini ele alalım. Bu takdirde,
41
f ( A)  f ( B )

2
 A

2
 A B 
f

 2 
  A   I   B 2   B   I    A  B 2    A  B 

  
 
 I 



  2     2 
2



 A2   A   I   B 2   B   I   2




 ( A  AB  BA  B 2 )  A  B   I
2
4
2
2


 ( A2  B 2  AB  BA)  ( A  B )2  0
4
4
(5.4)
olur. Bu fonksiyon matris konvekstir fakat matris monoton değildir. Diğer bir ifadeyle
A, B pozitif matrisler olmak üzere B  A pozitif yarı tanımlı iken B 2  A2 pozitif yarı
tanımlı değildir. Bunu görmek için     0,   1 ve
 1 1
 2 1
A
, B 


 1 1
 1 1
(5.5)
matrislerini ele alalım. A  0, B  0 ve
1 0
B A
0
 0 0
(5.6)
olduğu açıktır. Fakat
3 1
B 2  A2  

1 0 
(5.7)
pozitif yarı tanımlı değildir.
Örnek 5.1.6. (0, ) aralığında f (t )  t 1 fonksiyonu matris konveks fonksiyondur.
Herhangi A, B Hermityen matrisleri için
1
( A1  B 1 )  A  B 
1
1
1
1
1 1
1
1

   ( A  B )( A  B ) ( A  B )   0
2
2
 2 
(5.8)
42
dır.
Örnek 5.1.7. 1  p   iken
f (t )  t1/ p fonksiyonu (0, ) aralığında matris
konvekstir.
Örnek 5.1.8. (0, ) aralığında f (t )  t 3 fonksiyonu matris konveks değildir. Bunu
görmek için
1 1
 3 1
A
,B  


1 1
 1 1
(5.9)
olsun.
3
A3  B 3  A  B   6 1 

 

2
 2  1 0
(5.10)
dır ve bu da pozitif yarı tanımlı değildir.
Not 5.1.9.
i)
Her matris monoton fonksiyon monotondur; fakat her monoton fonksiyon,
matris monoton değildir. f :[0, )   fonksiyonunun matris monoton olması için
gerek ve yeter şart

t
d  ( )
0 1  t
(5.11)
f (t )     t  
olacak şekilde   0 olmak üzere  ,  reel sabitlerin ve [0, ) üzerinde pozitif sonlu
bir  ölçüsünün var olmasıdır.
ii)
Her matris konveks fonksiyon konvekstir; fakat her konveks fonksiyon, matris
konveks değildir. Örneğin,
f ( x)  e x konvekstir, fakat matris konveks değildir.
f :[0, )   fonksiyonunun matris konveks olması için gerek ve yeter şart

t 2
d  ( )
0 1  t
f (t )     t   t 2  
(5.12)
43
olacak şekilde   0 olmak üzere  ,  ,  reel sabitlerin ve [0, ) üzerinde pozitif sonlu
bir  ölçüsünün var olmasıdır.
iii)
Her matris konveks fonksiyonun matris monoton olmasına gerek yoktur.
Örneğin, f ( A)  A2 fonksiyonu matris konvekstir fakat matris monoton değildir.
Tanım 5.1.10 (Matris Konkav).  f fonksiyonu matris konveks ise f fonksiyonu
matris konkavdır.
5.2.Temel Teoremler
Lemma 5.2.1. B  A ise her X matrisi için X * BX  X * AX elde edilir. (Bhatia,1997)
İspat: Her u vektörü için
u, X * BXu  Xu, BXu  Xu , AXu  u, X * AXu
(5.13)
elde edilir ve ispat tamamlanır. Ayrıca C pozitif matrisi, B  A ’nın pozitif karekökü
olmak üzere
X * ( B  A) X  X *CCX  (CX )* CX  0
(5.14)
şeklinde de ispatlanabilir.
Teorem
5.2.2.
f (t )  
1
t
fonksiyonu
 0,  
üzerinde
matris
monotondur.
(Bhatia,1997)
İspat: B  A  0 olsun. Lemma 5.2.1’den I  B 1/2 AB 1/2 ’dir. T  T 1 eşlemesi
değişen pozitif matrisler üzerinde sırayı koruduğundan I  B1/2 A1B1/2 elde edilir.
Tekrar Lemma 5.2.1 kullanılarak B 1  A1 elde edilir.
Lemma 5.2.3. B  A  0 ve B tersinir ise A1/2 B 1/2  1 ’dir. (Bhatia,1997)
İspat: B  A  0
ise
I  B 1/2 AB 1/ 2  ( A1/ 2 B 1/ 2 )* A1/ 2 B 1/ 2 ’dir
ve
buradan
A1/2 B 1/2  1 ’dir.
Teorem 5.2.4. f (t )  t1/ 2 fonksiyonu [0, ) üzerinde matris monotondur. (Bhatia,1997)
44
Örnek 5.2.5. f (t )  t
fonksiyonu 0 içeren herhangi bir aralıkta matris konveks
değildir. Bunu görmek için,
 1 1 
 2 0
A
,B  


 1 1
0 0
(5.15)
matrislerini alalım.
 1 1
 3 1
A  ( A* A)1/ 2  
, A  B 


 1 1 
 1 1 
(5.16)
dir. Fakat A  B  2 I ’dır. Buradan A  B  A  B ifadesi pozitif değildir.
Teorem 5.2.6.(Löwner-Heinz Teoremi)

1  p  0 için f (t )  t p fonksiyonu matris monoton ve matris konkavdır.

0  p  1 için f (t )  t p fonksiyonu matris monoton ve matris konkavdır.

1  p  2 için f (t )  t p fonksiyonu matris konvekstir.

Ayrıca f (t )  t log(t ) matris konveks iken f (t )  log(t ) matris konkav ve matris
monotondur. (Carlen, 2009)
Teorem 5.2.7. f :      sürekli bir fonksiyon olsun. f ’nin matris monoton olması
için gerek ve yeter şart f ’nin matris konkav olmasıdır. (Bhatia, 1997)
Teorem 5.2.8. f :      sürekli bir fonksiyon olsun. f ’nin matris monoton olması
için gerek ve yeter şart g (t ) 
1
fonksiyonunun matris konveks olmasıdır. (Bhatia,
f (t )
1997)
Teorem 5.2.9. f ,  0,   aralığında sürekli reel bir fonksiyon olsun. Bu durumda
aşağıdaki iki koşul eşdeğerdir:
i)
f matris konvekstir ve f (0)  0 ’dır.
ii)
g (t ) 
f (t )
fonksiyonu  0,   üzerinde matris monotondur. (Bhatia, 1997)
t
Aşağıdaki teorem matris monoton fonksiyonlar için bir matris eşitsizliğini ifade
eder:
45
Teorem 5.2.10. A, B  0 ve herhangi f matris monoton fonksiyonu için
1/2
 A B 
Af ( A)  Bf ( B )  

 2 
1/ 2
A B 
 f ( A)  f ( B)  

 2 
(5.17)
eşitsizliği vardır. (Audenaert,2007)
İspat: A, B pozitif yarı tanımlı olsun. t  t 1 fonksiyonu matris konvekstir. Böylece
A 1  B 1  A  B 


2
 2 
1
(5.18)
dir. A yerine A  I ve B yerine B  I yazılarak
A B 

( A  I )  (B  I )  2 I 

2 

1
1
1
(5.19)
bulunur.
Ck 
Ak
Bk

A I B  I
(5.20)
A B
2
(5.21)
ve
M
olsun. Bu gösterimlerle (5.19) eşitsizliği
C0  2( I  M ) 1
(5.22)
şekline dönüşür. Buradan
C0  M C0 M  2( I  M ) 1  2 M ( I  M )1 M  2 I
(5.23)
46
ifadesinde
tüm
çarpanlar
değişmeli
olduğundan
son
eşitlik
kolayca
elde
edilir. Ck  Ck 1  Ak  B k ’dir ve özel olarak C0  C1  2 I ’dır. Buradan (5.23) ifadesi
M (2 I  C1 ) M  C1
(5.24)
şekline dönüşür. Dahası C1  C2  2M olduğundan
C2  M C1 M
(5.25)
veya
1/ 2
1/ 2
A2
B2
B  A  B 
 A B   A



 


A  I B  I  2   A  I B  I  2 
(5.26)
olur.   0 için A yerine  1 A ve B yerine  1B yazılırsa ve  2 ile her iki taraf
çarpılırsa
1/2
1/ 2
 A2
 B2
 B  A  B 
 A B   A



 


A   I B   I  2   A   I B   I  2 
(5.27)
bulunur. Bu eşitsizlik pozitif bir d  ( ) ölçümü kullanılarak   [0, ) üzerinden
integrallenirse


0

 A2
 B2
d  ( )  
d  ( )
A  I
B  I
0
1/2 
  A  B 1/2
B 
 A B    A


 
 d  ( )  

 2   0  A  I B  I 
 2 
elde edilir. Buradan da
(5.28)
47


A
B
A
d  ( )  B 
d  ( )
A  I
B  I
0
0
(5.29)
1/2 
  A  B 1/2
B 
 A B    A


 
 d  ( )  

 2   0  A  I B  I 
 2 
ve
A( f ( A)   I   A)  B( f ( B)   I   B)
1/2
1/2
(5.30)
 A B 
 A B 

 ( f ( A)   I   A  f ( B)   I   B) 

 2 
 2 
2
A2  B 2
 A B 
bulunur. Kare fonksiyonun matris konveksliğinden 

yardımıyla

2
 2 
  0 için
1/ 2
 A B 
A( I   A)  B( I   B)  

 2 
1/ 2
A B 
 2 I   ( A  B)  

 2 
(5.31)
bulunur.(5.30) ve (5.31) ifadeleri toplanarak istenen eşitsizlik elde edilir.
Weyl monotonluk ve  j ( AB )   j ( BA) eşitliği kullanılarak aşağıdaki sonuç elde
edilir:
Sonuç 5.2.11. A, B  0 ve herhangi matris monoton f fonksiyonu için
 A B

 j  Af ( A)  Bf ( B )    j 
( f ( A)  f ( B )) 
 2

eşitsizliği vardır. (Audenaert,2007)
(5.32)
48
6. HERMİTE-HADAMARD TİPİ EŞİTSİZLİKLER
 üzerinde tanımlı herhangi bir f konveks fonksiyonu için
b
f ( a )  f ( b)
ab
(b  a) f 
, a, b  
   f ( x)dx  (b  a)
2
 2  a
(6.1)
eşitsizliği tüm f :  a , b    konveks fonksiyonları için literatürde Hermite-Hadamard
eşitsizliği olarak bilinir. Bu eşitsizlik ilk olarak 1881’de Hermite tarafından
bulunmuştur. Fakat bu sonuçtan matematik literatüründe hiçbir yerde bahsedilmemiştir
ve Hermite’in sonucu olarak bilinmemiştir. Konveks fonksiyonların tarihi ve teorisi
üzerine uzman Beckenbach, bu eşitsizliğin 1893’te Hadamard tarafından ispatlandığını
yazmıştır. Böylece (6.1) eşitsizliği Hermite- Hadamard eşitsizliği olarak bilinmektedir.
Teorem 6.1. I ,  ’de bir aralık, a, b  I ve a  b olmak üzere f : I     konveks
bir fonksiyon olsun. Bu durumda
b
1
f (a )  f (b)
 a b
f
f ( x )dx 


2
 2  ba a
(6.2)
olur. (Hadamard, 1893)
İspat: f , I üzerinde konveks olduğundan  a, b  aralığında sürekli ve  a, b aralığında
sınırlıdır. Dolayısıyla f bu aralıkta integrallenebilirdir. t   0,1 için
f (ta  (1  t )b)  tf (a)  (1  t ) f (b)
(6.3)
dir. Bu eşitsizlik  0,1 aralığında t ’ye göre integrallenirse
1

0
1
f  ta  (1  t )b  dt    tf (a )  (1  t ) f (b)  dt
0
1
1
 f (a)  tdt  f (b)  (1  t )dt
0

f ( a )  f (b )
2
0
(6.4)
49
elde edilir ki bu da Hermite-Hadamard eşitsizliğinin sağ tarafıdır. Diğer yandan, f , I
üzerinde konveks olduğundan t   0,1 için
 a b
 ta  (1  t )b (1  t )a  tb 
f

 f 

2
2
 2 


1
  f  ta  (1  t )b   f  (1  t )a  tb  
2
(6.5)
bulunur. Bu ifadenin her iki tarafı  0,1 üzerinden t ’ye göre integrallenirse
1
 a b  1
f
    f  ta  (1  t )b   f  (1  t )a  tb   dt
 2  20
1
1

1
   f  ta  (1  t )b  dt   f  (1  t )a  tb  dt 
2 0
0

(6.6)
elde edilir. Bu ifadede sağ taraftaki ikinci integralde 1  t  s yazılırsa
1
1

 ab  1 
f
   f  ta  (1  t )b  dt   f  sa  (1  s )b  ds 

 2  2 0
0

1
(6.7)
  f  ta  (1  t )b  dt
0
elde edilir ki bu da Hermite-Hadamard eşitsizliğinin sol tarafıdır. (6.4) ve (6.7)
ifadelerinden
b
f ( a )  f (b )
 a b 
f
   f  ta  (1  t )b  dt 
2
 2  a
(6.8)
elde edilir. (6.8) ifadesinde ta  (1  t )b  x değişken dönüşümü yapılırsa
b
1

0
f  ta  (1  t )b  dt 
1
f ( x )dx
b  a a
(6.9)
50
bulunur ve böylece ispat tamamlanmış olur.
Lemma 6.2. f , g :[a, b]   fonksiyonları için aşağıdaki durumlar denktir:
i)
f , g fonksiyonları [a, b] aralığında konvekstir.
ii)
x, y  [a, b]
için
f 0 (t )  f (tx  (1  t ) y )
f ((1  t ) x  ty) ,
veya
g 0 (t )  g (tx  (1  t ) y) veya g ((1  t ) x  ty) şeklinde tanımlanan
f 0 , g0 :  0,1  
fonksiyonları  0,1 üzerinde konvekstir. (Pecaric ve Dragomir,1991)
Konveks fonksiyonlar için Hermite- Hadamard tipi eşitsizlikler birçok yazar
tarafından ele alınmıştır. Bu eşitsizliklerden bazıları verilmiştir:
Teorem 6.3. f ve g reel değerli, negatif olmayan ve
[a, b] üzerinde konveks
fonksiyonlar olsun. M (a, b)  f (a) g (a)  f (b) g (b) ve N (a, b)  f (a ) g (b)  f (b) g (a)
olmak üzere
b
(i)
1
1
1
f ( x) g ( x)dx  M (a, b)  N (a, b)

ba a
3
6
(ii)
1
1
1
 ab  ab 
2f 
f ( x) g ( x)dx  M (a, b)  N (a, b)
g


6
3
 2   2  ba a
(6.10)
b
(6.11)
dir. (Pachpatte, 2003)
Not 6.4. a  0 ve b  1 seçilirse c, d pozitif sabitler olmak üzere f ( x)  cx ve
g ( x)  d (1  x) olur. Bu da (6.10) ve (6.11) eşitsizliklerinin geçerli olduğunu gösterir.
İspat: f ve g konveks fonksiyonlar olduğundan t   0,1 için
f (ta  (1  t )b)  tf (a)  (1  t ) f (b)
(6.12)
g (ta  (1  t )b)  tg (a)  (1  t ) g (b)
(6.13)
dir.(6.12) ve (6.13)’ten
51
f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b)
(6.14)
 t 2 f (a) g (a)  (1  t )2 f (b) g (b)  t (1  t )[ f (a ) g (b)  f (b) g (a )]
elde edilir. Lemma 6.2.’den f (ta  (1  t )b ) ve g (ta  (1  t )b) , [0,1] üzerinde konveks
[0,1]
olduğundan
aralığında
integrallenebilirdir
ve
sonuç
olarak
f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b) çarpımı da [0,1] aralığında integrallenebilirdir. Benzer
şekilde
f
ve
g , [ a, b ]
aralığında konveks olduğundan [ a, b ]
integrallenebilirdir ve böylece [ a, b ] aralığında
aralığında
fg de integrallenebilirdir. (6.14)
eşitsizliğinin her iki tarafı [0,1] üzerinden integrallenirse
1
1
1
 f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b)dt  3 M (a, b)  6 N (a, b)
(6.15)
0
bulunur. ta  (1  t )b  x alınırsa
b
1

0
f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b)dt 
1
f ( x) g ( x )dx
b  a a
elde edilir. (6.16) eşitliği (6.15)’te yerine yazılarak (6.10) eşitsizliği elde edilir.
f ve g konveks fonksiyonlar olduğundan t   a, b  için
(6.16)
52
 ab   ab 
f
g

 2   2 
 ta  (1  t )b (1  t )a  tb   ta  (1  t )b (1  t )a  tb 
 f


g

2
2
2
2

 

1
  f (ta  (1  t )b)  f ((1  t )a  tb) g (ta  (1  t )b)  g ((1  t )a  tb)
4
1
  f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b)  f ((1  t )a  tb) g ((1  t )a  tb)
4
1
  tf (a)  (1  t ) f (b)  (1  t ) g (a )  tg (b)
4
1
  (1  t ) f (a)  tf (b) tg (a )  (1  t ) g (b)
4
1
  f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b)  f ((1  t )a  tb) g ((1  t )a  tb)
4
1
  2t (1  t )  f (a ) g (a )  f (b) g (b)
4
1
  t 2  (1  t )2   f (a) g (b)  f (b) g (a )
4
(6.17)
elde edilir. Benzer şekilde (6.10) eşitsizliğinin ispatında olduğu gibi (6.17) eşitsizliğinin
her iki tarafı  0,1 üzerinden integrallenirse
 a b   a b 
f
g

 2   2 
11
   f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b)  f ((1  t )a  tb) g ((1  t )a  tb)  dt
40

(6.18)
1
1
M (a, b)  N (a, b)
12
6
eşitsizliği oluşur ve (6.18)’den
 a b   a b
f
g

 2   2 

11
 f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b)  dt
2 0

1
1
M (a, b)  N (a, b)
12
6
(6.19)
53
olduğu görülür. (6.19) eşitsizliğinin her iki tarafı 2 ile çarpılarak ve (6.16) eşitliği
kullanılarak (6.11) eşitsizliği elde edilmiş olur.
Teorem
6.5.
f , g :  a, b   
konveks
fonksiyonlar
olsun.
M (a, b)  f (a) g (a)  f (b) g (b) ve N (a, b)  f (a) g (b)  f (b) g (a) olmak üzere
b
b
f (a )
f (b )
(b  x) g ( x )dx 
( x  a) g ( x)dx
2 
(b  a) a
(b  a) 2 a
b

b
g (a )
g (b)
(b  x) f ( x )dx 
( x  a) f ( x)dx
2 
(b  a) a
(b  a) 2 a
(6.20)
b
M (a , b ) N ( a , b )
1



f ( x) g ( x)dx
3
6
b  a a
eşitsizliği vardır. (Tunç,2011)
İspat: f ve g konveks fonksiyonlar olduğundan t   0,1 için
f (ta  (1  t )b)  tf (a )  (1  t ) f (b)
(6.21)
g (ta  (1  t )b)  tg (a)  (1  t ) g (b)
(6.22)
dir. e, f , p, r   için e  f ve p  r ise er  fp  ep  fr eşitsizliği kullanılarak
f (ta  (1  t )b) tg (a)  (1  t ) g (b)  g (ta  (1  t )b) tf (a )  (1  t ) f (b) 
 tf (a )  (1  t ) f (b)tg (a)  (1  t ) g (b)  f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b)
(6.23)
elde edilir. Buradan
g (a)tf (ta  (1  t )b)  g (b)(1  t ) f (ta  (1  t )b)
 f (a )tg (ta  (1  t )b)  f (b)(1  t ) g (ta  (1  t )b)
 t 2 f (a) g (a )  (1  t )2 f (b) g (b)  t (1  t ) f (a ) g (b)  t (1  t ) f (b) g (a)
 f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b)
eşitsizliği oluşur.
(6.24)
54
Lemma 6.2.’den f (ta  (1  t )b ) ve g (ta  (1  t )b) , [0,1] üzerinde konveks
[0,1]
olduğundan
aralığında
integrallenebilirdir
ve
sonuç
olarak
f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b) çarpımı da [0,1] aralığında integrallenebilirdir. Benzer
şekilde
ve
f
g , [ a, b ]
aralığında konveks olduğundan [ a, b ]
integrallenebilirdir ve böylece [ a, b ] aralığında
aralığında
fg de integrallenebilirdir. (6.24)
eşitsizliğinin her iki tarafını [0,1] üzerinden integrallenirse
1
1
g (a ) tf (ta  (1  t )b)dt  g (b)  (1  t ) f (ta  (1  t )b)dt
0
0
1
1
 f (a)  tg (ta  (1  t )b)dt  f (b)  (1  t ) g (ta  (1  t )b)dt
0
0
1
1
1
2
(6.25)
2
 f (a ) g (a)  t dt  f (b) g (b)  (1  t ) dt  f (a) g (b)  t (1  t )dt
0
1
0
0
1
 f (b) g (a ) t (1  t )dt   f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b) dt
0
0
elde edilir. ta  (1  t )b  x , (a  b)dt  dx alınırsa
1
b
1
xb
0 tg (ta  (1  t )b)dt  b  a a a  b g ( x)dx
b
(6.26)
1

(b  x ) g ( x )dx
(b  a)2 a
ve
1
b
1
ax
0 (1  t ) g (ta  (1  t )b)dt  b  a a a  b g ( x)dx
b
1

( x  a) g ( x)dx
(b  a )2 a
ve benzer şekilde
(6.27)
55
b
1
 tf (ta  (1  t )b)dt 
0
1
(b  x ) f ( x )dx
(b  a )2 a
(6.28)
b
1
1
0 (1  t ) f (ta  (1  t )b)dt  (b  a)2 a ( x  a) f ( x)dx
(6.29)
elde edilir.
1
1
1
2
2
0 t dt  0 (1  t ) dt  3 ,
1
(6.30)
0
b
1

1
 t (1  t )dt  6
f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b)dt 
0
1
f ( x ) g ( x )dx
b  a a
(6.31)
şeklinde hesaplanabildiğinden ispat tamamlanmış olur.
Teorem
f , g :  a, b   
6.6.
konveks
fonksiyonlar
olsun.
M (a, b)  f (a) g (a)  f (b) g (b) ve N (a, b)  f (a) g (b)  f (b) g (a) olmak üzere
 a b 
f
b
 2  g ( x )dx 
b  a a


 ab 
g
b
 2  f ( x)dx
b  a a
b
1
f ( x) g ( x)dx
2(b  a) a
(6.32)
1
1
 a b  a b
M (a, b)  N (a, b)  f 
g

12
6
 2   2 
eşitsizliği elde edilir. (Tunç,2011)
İspat: f ve g konveks fonksiyonlar olduğundan t   0,1 için
 a b 
 ta  (1  t )b (1  t )a  tb 
f
 f



2
2
 2 


f (ta  (1  t )b)  f ((1  t )a  tb)

2
(6.33)
56
a b 
 ta  (1  t )b (1  t )a  tb 
g
 g



2
2
 2 


g (ta  (1  t )b)  g ((1  t )a  tb)

2
(6.34)
dir. (6.33) ve (6.34) Teorem 6.5.’in ispatında olduğu gibi çarpılırsa
 a  b   ta  (1  t )b (1  t )a  tb 
f

g

2
2
 2  

 a  b  f (ta  (1  t )b)  f ((1  t )a  tb)
g 

2
 2 
f (ta  (1  t )b)  f ((1  t )a  tb) g (ta  (1  t )b)  g ((1  t )a  tb)

2
2
 a b  a b
f 
g

 2   2 
(6.35)
elde edilir. Buradan
 a  b  g (ta  (1  t )b)  g ((1  t )a  tb)


2  2 
1


f
 a  b  f (ta  (1  t )b)  f ((1  t ) a  tb)


2  2 
1
1
4

1
4

1
4

1
4

1
4

1
4

1
4
g
 f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b) 
f ((1  t ) a  tb) g ((1  t )a  tb )
 f (ta  (1  t )b) g ((1  t ) a  tb ) 
f ((1  t )a  tb ) g ((1  t ) a  tb )  f 
 f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b) 
f ((1  t ) a  tb) g ((1  t )a  tb )
 abg ab
 

 2   2 
tf (a )  (1  t ) f (b) (1  t ) g ( a )  tg (b) 
ab  ab
g

 2   2 
(1  t ) f ( a )  tf (b) tg ( a )  (1  t ) g (b)   f 
 f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b ) 
f ((1  t )a  tb) g ((1  t ) a  tb)
 2t (1  t )  f ( a ) g ( a)  f (b) g (b) 
 abg ab
2
2
 t  (1  t )   f ( a) g (b)  f (b) g ( a)   f 
 

4
 2   2 
1
(6.36)
57
dir. Benzer şekilde Teorem 6.5’in ispatında olduğu gibi (6.36)’nın her iki tarafı  0,1
üzerinden integrallenirse
1
1  a b 
f
 g (ta  (1  t )b)  g ((1  t )a  tb)  dt
2  2  0
1
1  ab 
 g
  f (ta  (1  t )b)  f ((1  t )a  tb)  dt
2  2  0
1
1
   f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b)  f ((1  t )a  tb) g ((1  t )a  tb) dt
40
1
1
  f (a) g (a)  f (b) g (b)   2t (1  t ) dt
4
0
(6.37)
1
1
  f (a) g (b)  f (b) g (a )  t 2  (1  t )2  dt
4
0
1
 ab  ab 
f 
g
  dt
 2   2 0
eşitsizliği elde edilir. ta  (1  t )b  x , (1  t )a  tb  x alınırsa
b
1

f (ta  (1  t )b) g (ta  (1  t )b)dt 
0
1
f ( x ) g ( x )dx
b  a a
b
1
1

f (ta  (1  t )b)dt   f ((1  t )a  tb)dt 
0
(6.38)
0
1
f ( x)dx
b  a a
(6.39)
bulunur. (6.38) ve (6.39) eşitsizliklerinden
 a b
 a b
f
g
b
b
 2  g ( x)dx   2  f ( x)dx
b  a a
b  a a
b

1
f ( x ) g ( x )dx
2(b  a) a

1
1
M ( a, b)  N ( a, b) 
12
6
(6.40)
 a b   a b
f
g

 2   2 
58
elde edilir ve ispat tamamlanır.
Not 6.7. Not edelim ki f , g :  a , b    fonksiyonları konkav ise (6.20) ve (6.32)
eşitsizliklerinin işaretleri değişir.
Bazı özel ortalamalar aşağıda verilmiştir. Keyfi a, b (a  b) reel sayılarını ele
alalım.
A(a, b) 
K ( a, b) 
L( a, b) 
ab
, a, b   , (aritmetik ortalama)
2
a2  b2
, a, b   , (kuadratik ortalama)
2
ba
, a  b , ab  0 , (logaritmik ortalama)
ln b  ln a
G ( a, b)  ab , (geometrik ortalama)
(6.41)
(6.42)
(6.43)
(6.44)
1/ n
 bn 1  a n 1 
Ln (a, b)  
 , n   \ {1, 0}, a  b , (genelleştirilmiş log-ortalama) (6.45)
 (b  a)(n  1) 
Teorem 6.5 ve Teorem 6.6 kullanılarak reel sayıların özel ortalamalarının bazı
uygulamaları gösterilmiştir:
Uygulama 6.8. a, b  I 0 , a  b, 0  [a, b] ve n   \{1, 0}, a  b olmak üzere
4 A(a, b)  2 L(a, b) 2 K 2 (a, b)  4G 2 (a, b)

L(a, b)G 2 (a, b)
3G 4 (a, b)
(6.46)
dir. (Tunç,2011)
İspat: Teorem 6.5’teki eşitsizlikte x  [a, b] olmak üzere f ( x)  g ( x ) 
(6.46) sonucu elde edilir.
Uygulama 6.9. a, b  I 0 , a  b, 0  [a, b] ve n   \{1, 0}, a  b olmak üzere
1
alınırsa
x
59
2 An (a, b) Lnn (a, b) 
1 2n
K 2 ( a n , b n ) G 2 n ( a, b)
L2n (a, b) 

 A2 n ( a , b )
2
6
3
(6.47)
dir. (Tunç,2011)
İspat: Teorem 6.6’daki eşitsizlikte x  [a, b] ve n   \{1, 0}, a  b olmak üzere
f ( x)  g ( x)  x n alınırsa (6.47) sonucu elde edilir.
S. S. Dragomir (2011), operatör konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard
tipi bir eşitsizlik vermiştir:
Teorem 6.10. f : I   , I aralığında tanımlı operatör konveks bir fonksiyon olsun.
Spektrumları I aralığında bulunan herhangi A ve B Hermityen operatörleri için
  A  B   1   3A  B 
 A  3B  
 f  2    2  f  4   f  4 
   



 
1
  f  (1  t ) A  tB  dt
(6.48)
0

1   A  B  f ( A)  f ( B)   f ( A)  f ( B) 
f



2   2 
2
2


eşitsizliği vardır. (Dragomir, 2011)
1
İspat: Öncelikle f fonksiyonu konveks olduğundan
 f  (1  t ) A  tB  dt
operatör
0
değerli integrali, spektrumları I aralığında bulunan herhangi Hermityen A ve B
operatörleri için vardır.
Burada iki ispat verilecektir. İlkinde sadece operatör konveks fonksiyonların
tanımı kullanılmıştır. İkincisinde ise reel değerli fonksiyonlar için klasik HermiteHadamard eşitsizliği kullanılmıştır.
1.
Operatör konveks fonksiyonların tanımı yardımıyla herhangi t   0,1 ve
spektrumları I aralığında bulunan herhangi Hermityen C ve D operatörleri için
1
CD 1
f
   f  (1  t )C  tD   f  (1  t ) D  tC     f (C )  f ( D )
2
 2  2
eşitsizliği vardır. (6.49) eşitsizliği t   0,1 üzerinden integrallenirse ve
(6.49)
60
1
1
 f  (1  t )C  tD  dt   f  (1  t ) D  tC  dt
0
(6.50)
0
olduğu hesaba alınarak spektrumları I aralığında bulunan herhangi Hermityen C ve D
operatörleri için
1
1
CD
f
   f  (1  t )C  tD  dt   f (C )  f ( D)
2
 2  0
(6.51)
operatör konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard eşitsizliği elde edilir.
u  2t değişken dönüşümüyle u  0  t  0, u  1  t 
1
u
du
ve t  , dt 
2
2
2
olur ve
1
2
1

u
u
 du
2
 f  (1  t ) A  tB  dt   f  1  2  A  2 B 
0
0

11
2 0
1
elde
t
edilir.
Au Bu 

f  A

 du
2
2 

(6.52)

1
2 0
Au Bu Au Au 

f  A



 du
2
2
2
2 


11
2 0

 A B 
f  (1  u ) A  u 
  du
 2 

u  2t  1
u 1
du
, dt 
olur ve
2
2
değişken
dönüşümüyle
1
u  0  t  , u 1 t 1
2
ve
61
1
1

 f  (1  t ) A  tB  dt   f  1 
1
2
0

11
2 0
1
u 1
u  1  du
B
A
2 
2
 2
Au A Bu B 

f  A
 
  du
2 2 2 2


1
2 0
 A Au Bu B Bu Bu 
f 

 

 du
2 2 2
2 
2 2

11
2 0


 A B 
f  (1  u ) 
  uB  du
 2 


(6.53)
elde edilir. (6.51) eşitsizliği kullanılarak,
A B 

 A 2 
 3A  B 
f
 f 

2
 4 




(6.54)
1
A B 
1

 A  B 
  f  (1  u ) A  u
du   f ( A)  f 


2 
2

 2 
0
ve
 A B

 2 B
 A  3B 
f
 f 

2
 4 




(6.55)
1
A B
1   A B 



  f  (1  u )
 uB  du   f 
 f ( B) 

2
2  2 



0
1
ile çarpılırsa (6.48) eşitsizliği elde
2
elde edilir. (6.54) ve (6.55) eşitsizlikleri toplanıp
edilir.
2.
x  H (Hilbert uzay), x  1 ve A ve B spektrumları I aralığında bulunan
herhangi Hermityen operatörler olsun. Reel değerli  x , A, B :  0,1   fonksiyonu
 x , A, B (t )  f  (1  t ) A  tB  x, x
ile verilsin.
f
operatör konveks bir fonksiyon
olduğundan, t1 , t 2   0,1 ve  ,   0 olmak üzere     1 iken
62
 x, A, B  t1   t2   f  1   t1   t2   A   t1   t2  B  x, x


 f  1  t1  A  t1B    1  t2  A  t2 B  x, x



(6.56)

  f 1  t1  A  t1B  x, x   f 1  t2  A  t2 B  x, x
  x , A, B (t1 )   x , A, B (t2 )
eşitsizliği vardır ve  x , A, B fonksiyonunun  0,1 üzerinde konveks olduğunu gösterir.
Reel değerli fonksiyonlar için
b
1
g (a )  g (b)
 ab 
g
g ( s )ds 


2
 2  ba a
(6.57)
Hermite-Hadamard eşitsizliğini kullanarak
1
1

0



(0)   x, A, B (1/ 2)
1 2
1
2  
 x , A, B 

 x, A, B (t )dt  x, A, B

x , A, B 
 1

2
4
 2 
0 0


2
(6.58)
ve
1 
1
 2 1 
 x , A, B (1/ 2)   x, A, B (1)
1
3
 x , A, B 

(
t
)
dt

   x , A, B   
x
,
A
,
B

2
 4  1 1 1
 2 
2


2
elde edilir. (6.58) ve (6.59) eşitsizlikleri toplanıp
(6.59)
1
ile çarpılırsa
2
1
1
 3 
 x , A, B     x , A, B   

2
4
 4 
1
   x , A, B (t )dt
0

1   x , A, B (0)   x , A, B (1)
 1 
  x , A, B   

k
2
 2 
(6.60)
63
elde edilir. Böylece
1   3A  B 
f

2   4 
 A  3B  
f
  x, x
 4 
1
  f  (1  t ) A  tB  x, x dt
(6.61)
0

1   A  B  f ( A)  f ( B) 
f

 x, x
2   2 
2

bulunur. Son olarak f fonksiyonunun sürekliliğinden herhangi x  H için, x  1 ve
A ve B spektrumları I aralığında bulunan herhangi Hermityen operatörleri için
1
1
 f  (1  t ) A  tB  x, x
dt 
0
 f  (1  t ) A  tB  dtx, x
(6.62)
0
olduğundan (6.61) eşitsizliği (6.48) eşitsizliğini verir.
Zabandan (2009), Teorem 6.3.10’daki eşitsizliğin reel sayılar için olan ifadesinin
bir genelleştirmesini yapmıştır:
Teorem 6.11. f ,  a, b  aralığında konveks bir fonksiyon olsun.
1
xn  n
2
1
 n
2
2n

 f  a  i
i 1
2n

i 1
ba ba
 n 1 
2n
2 
(6.63)

 1ba
f  a  i   n 
 2 2 

ve
yn 
1
2
n 1
2n
 
i 
i 
a  n b
n 
2 

  f  1  2
i 1

n
2 1
1 
 n 1  f (a )  f (b)  2  f
2 
i 1
olmak üzere
  i 1 
i  1 
f  1  n  a  n b 
2 
2



i 
i
  1  2n  a  2n



b 

(6.64)
64
1
1
f (a)  f (b)
 a b 
f
f ( x)dx  yn 
  xn 

ba 0
2
 2 
(6.65)
dir.(Zabandan, 2009)
Sonuç 6.12. f ,  a, b  aralığında konveks bir fonksiyon olsun. xn ve yn , (6.63) ve
(6.64)’teki gibi tanımlansın. Bu durumda,
1   3a  b 
 a b 
f
  x0   f 

2  4 
 2 
 a  3b  
f
   x1
 4 
b
1
 ...  xn  ... 
f ( x)dx
b  a a
1

 ab 
 ...  yn  ...  y1   f (a)  2 f 
  f (b) 
4
 2 

f ( a )  f ( b)
 y0 
2
dır.(Zabandan, 2009)
(6.66)
65
7. ARAŞTIRMA SONUÇLARI VE TARTIŞMA
Bu bölümde operatör (matris) konveks fonksiyonlar için elde edilen HermiteHadamard tipi eşitsizlikler ve integral eşitsizlikleri verilmiştir.
7.1. Operatör Konveks Fonksiyonlar İçin Eşitsizlikler
Hermite- Hadamard eşitsizliği kullanılarak elde edilen eşitsizlikler ve integral
eşitsizlikleri oldukça elemanter işlemler kullanılarak ispatlanmıştır.
Teorem 7.1.1. f : I   , I aralığında tanımlı operatör konveks bir fonksiyon olsun.
Spektrumları I aralığında bulunan herhangi A ve B Hermityen operatörler ve t   0,1
için, k adım sayısı olmak üzere



 A  B   1 k 1
f
  
 2   k i 0
 (2k  2i  1) A  (2i  1) B 
f

2k


1
  f  (1  t ) A  tB  dt
(7.1)
0

1  k 1  (k  i ) A  iB  f ( A)  f ( B)   f ( A)  f ( B) 




k  i 1 
k
2
2



eşitsizliği vardır.
İspat: f fonksiyonu sürekli olduğundan, spektrumları I aralığında bulunan herhangi
1
A ve B Hermityen operatörleri için
 f  (1  t ) A  tB  dt
operatör değerli integral
0
vardır.
Teorem için iki farklı ispat verebiliriz. İlki operatör konveks fonksiyonların
tanımı kullanılarak ve ikincisi de reel değerli fonksiyonlar için Hermite-Hadamard
eşitsizliği kullanılarak verilecektir.
1.
Operatör konveks fonksiyon tanımından spektrumları
herhangi X ve Y Hermityen operatörleri ve t   0,1 için
I aralığında bulunan
66
 X Y
f
 2

 (1  t ) X  tY (1  t )Y  tX 

 f 

2
2



f  (1  t ) X  tY   f  (1  t )Y  tX 

2
f ( X )  f (Y )

2
1
eşitsizliğini elde ederiz.
(7.2)
1
 f  (1  t ) X  tY  dt   f  tX  (1  t )Y  dt
0
olduğunu hesaba
0
katarak (7.2) eşitsizliğini integrallersek
 X Y
f
 2
1
f ( X )  f (Y )

   f  (1  t ) X  tY  dt 
2
 0
(7.3)
Hermite- Hadamard eşitsizliği elde edilir.
u  kt
u
1
değişken dönüşümünü kullanırsak, u  kt  t  , dt  du olur.
k
k
u  0  t  0, u  1  t 
1
k

1
f  (1  t ) A  tB  dt 
0
1
k 0
1
olacağından
k
 u 
u 
f  1   A  B  du
k 
 k 
1
1
Au Bu 

  f  A

 du
k0 
k
k 
1

1
k 0
(7.4)
(k  1) A  B 

f  (1  u ) A  u
 du
k


elde edilir. u  kt  1 değişken dönüşümünü kullanırsak, u  kt  1  t 
olur.
1
2
u  0  t  , u  1  t  olacağından
k
k
u 1
1
, dt  du
k
k
67
2
k

1
k
11
f  (1  t ) A  tB  dt  
k0
  u 1 
u 1 
f  1 
B  du
 A
k 
k


1
1
Au A Bu B 

  f  A
 
  du
k0 
k
k
k
k
1

1
k 0
(7.5)

(k  2) A  2 B 
 (k  1) A  B 
f  (1  u ) 
u

 du
k
k




elde edilir ve işlemlere bu şekilde devam edilirse u  kt  (k 1) değişken dönüşümünü
kullanırsak, u  kt  (k  1)  t 
u 0t 
1

k 1
k
u  (k  1)
1
, dt  du olur.
k
k
k 1
, u  1  t  1 olacağından
k
1
  u  k 1 
u  k 1 
f  1 
A
B  du

k
k



1
Au
A Bu
B

f  A
 A 
 B   du
k
k
k
k

1
f  (1  t ) A  tB  dt  
k0

1
k 0
1
1
 
k0
(7.6)


 A  (k  1) B 
f  (1  u ) 
  uB  du.
k




elde edilir.
Hermite- Hadamard eşitsizliği kullanılarak
(k  1) A  B 

 A

 (2k  1) A  B 
k
f
 f 

2
2k






1
(k  1) A  B 

  f  (1  u ) A  u
du
k


0

1
f ( A) 
2 
 (k  1) A  B  
f
 ,
k


(7.7)
68
 (k  1) A  B (k  2) A  2 B 



 (2k  3) A  3B 
k
k
f
 f 

2
2k






1
(k  1) A  B
(k  2) A  2 B 

  f  (1  u )
u
 du
k
k


0

(7.8)
1   (k  1) A  B 
 (k  2) A  2 B  
f
 f 
 ,

2 
k
k



 ( k  2) A  2 B  ( k  3) A  3B 


 (2k  5) A  5 B 
k
k
f
 f 

2
2k






1


  f  (1  u )
0

( k  2) A  2 B
k
u
( k  3) A  3B 
du
k

(7.9)
1   ( k  2) A  2 B 
 ( k  3) A  3B   ,
f
 f 


2 
k
k



.
.
.
 A  (k  1) B

B

 A  (2k  1) B 
k
f
 f 

2
2k






1
A  (k  1) B


  f  (1  u )
 uB du
k


0

(7.10)
1   A  ( k  1) B 

f
  f  B 

2 
k


eşitsizlikleri elde edilir. (7.7), (7.8), (7.9), (7.10) ve aradaki diğer eşitsizlikler toplanarak
69


f  A
( k  1) A  B 
k
 ( k  1) A  B ( k  2) A  2 B 

 f 

k
k



 ( k  2) A  2 B ( k  3) A  3B 

  
k
k


f 
 ( k  1) A  B ( k  2) A  2 B 


k
k


f
1
(7.11)
 k f  (1  t ) A  tB  dt

0
1

 ( k  1) A  B 
 (k  2) A  2 B 
 A  ( k  1) B 
f ( A)  2 f 
2f 
   2 f 
  f ( B) 

2
k
k
k








eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliği toplam sembolü altında yazarsak
1 k 1

k i 0
 A(k  i )  iB A(k  i  1)  (i  1) B 



k
k
f

2




1
  f  (1  t ) A  tB )  dt
(7.12)
0
1 k

2k i 1
 A(k  i )  iB 
 A(k  i  1)  (i  1) B 
f
 f 

k
k




k 1
1  f ( A)  f ( B )
 (k  i ) A  iB  
 
 f 

k
2
k


i 1

veya
1 k 1

k i 0
  2k  2i  1 A  (2i  1) B 
f

2k


1
  f  (1  t ) A  tB )  dt
(7.13)
0

1  f ( A)  f ( B) k 1

k 
2
i 1
 (k  i) A  iB  
f

k


eşitsizlikleri elde edilir.
 A B 
(7.1) eşitsizliğinin sol tarafında k  1 alınırsa f 
 elde edilir ve (7.1)
 2 
eşitsizliğinin sağ tarafındaki eşitsizlik k  2 alınırsa sağlanır.
70
2.
x  H (Hilbert uzay), x  1 ve A ve B spektrumları I aralığında bulunan
herhangi Hermityen operatörler olsun. Reel değerli  x , A, B :  0,1   fonksiyonu
 x , A, B (t )  f  (1  t ) A  tB  x, x
ile verilsin.
f
operatör konveks bir fonksiyon
olduğundan, t1 , t 2   0,1 ve  ,   0 olmak üzere     1 iken
 x, A, B  t1   t2   f  1   t1   t2   A   t1   t2  B  x, x


 f  1  t1  A  t1B    1  t2  A  t2 B  x, x



(7.14)

  f 1  t1  A  t1B  x, x   f 1  t2  A  t2 B  x, x
  x , A, B (t1 )   x , A, B (t2 )
eşitsizliği vardır ve  x , A, B fonksiyonunun  0,1 üzerinde konveks olduğunu gösterir.
Reel değerli fonksiyonlar için
b
1
g (a )  g (b)
 ab 
g
g ( s )ds 


2
 2  ba a
(7.15)
Hermite-Hadamard eşitsizliğini kullanarak
1
k

(0)   x, A, B (1 / k )
 1 
 x, A, B    k   x , A, B (t )dt  x , A, B
2
 2k 
0
2
k

(1 / k )   x , A, B (2 / k )
 3 
 x, A, B    k   x , A, B (t )dt  x , A, B
2
 2k 
1
k

1
 x , A, B (k  1 / k )   x , A, B (1)
 2k  1 
 x , A, B 
  k   x, A, B (t )dt 
2
 2k 
k 1
k
eşitsizlikleri elde edilir.
(7.16)’daki eşitsizlikleri toplarsak ve
1
ile çarparsak
k
(7.16)
71
1
 1 
 3 
 2k  1  
 x , A, B     x , A, B       x , A, B 


k
 2k 
 2k 
 2k  
1
   x , A, B (t )dt
(7.17)
0

1   x , A, B (0)   x, A, B (1)
1
2
 k 1 
  x , A, B     x , A, B       x , A, B 


k
2
k
k
 k 
elde edilir. Böylece
 
1 
1 

3 
3 
B   f  1   A 
B 
 f  1   A 
2
k
2
k
2
k
2
k









x, x


  2k  1 
2k  1 
B
   f  1 

 A
2k 
2k




1
k
1
  f  (1  t ) A  tB  x, x dt
(7.18)
0

1
k
 f ( A) 

2


   f

f ( B)
 1 
1 
 f  1   A  B  
k 
 k 
  k 1 
k 1 
 1  k  A  k B 



 2 
2 
f  1   A  B 
k 
 k 
x, x



yazılabilir. (7.18) eşitsizliğini düzenlersek,
1  k 1

k  i 0
 (2k  2i  1) A  (2i  1) B  
f
  x, x
2k


1
  f  (1  t ) A  tB  x, x dt
(7.19)
0

1  f ( A)  f ( B) k 1

k 
2
i0
 (k  i ) A  iB  
f
  x, x
k


eşitsizliği elde edilir. Son olarak, f fonksiyonunun sürekliliğinden herhangi A ve B ,
spektrumları I aralığında bulunan Hermityen operatörler ve x  H olmak üzere
1

0
1
f  (1  t ) A  tB  x, x dt 
 f  (1  t ) A  tB  dtx, x
0
(7.20)
72
elde edilir. Böylece (7.19) eşitsizliğinden (7.1) eşitsizliği elde edilmiş olur.
Not 7.1.2. Teorem 7.1.1’deki eşitsizlik (6.48) eşitsizliğinden daha geneldir. Teorem
7.1.1’de k  2 alırsak, (6.48) eşitsizliği elde edilir.
Not 7.1.3. Teorem 7.1.1’deki eşitsizlik (6.65) eşitsizliğinden daha geneldir. Teorem
7.1.1’de
k  2n
alırsak,
(6.65)
eşitsizliği
elde
edilir.
(6.65)
eşitsizliğinde
k    2n , n  0,1, 2,... durumları yoktur. Fakat Teorem 7.1.1’de bu ifadeler de vardır.
Örnek 7.1.4. A ve B spektrumları I aralığında bulunan Hermityen matrisler olsun.
1 0 
1 1 
ve f ( x)  x 2 olarak seçelim. (6.48) eşitsizliği,
A
,B  


0 2
1 1
 21 9 
11 3 
 16 16  1
 8 8
X 
   f  (1  t ) A  tB  dt  
 Y
9 9 0
 3 7
 16 8 
 8 4 
ve k  3 için (7.1) eşitsizliği,
143 19 
 73
108 36  1
 54
Z 
   f  (1  t ) A  tB  dt  
 19 67  0
4
 36 54 
 9
4
9
 T
41 
27 
eşitsizliklerine dönüşür. Z  X  0 ve Y  T  0 olduğunu göstermemiz gerekir. Bir
matrisin pozitif yarı tanımlı olması için gerek ve yeter şart Hermityen olması ve tüm öz
değerlerinin negatif olmaması gerekir.(Bhatia,2007)
 5
 432
ZX 
 5
 144
5 
55 5 13 55 5 13
144 
’dir.

,

 ’dır ve Z  X ’in öz değerleri
25 
864 288 864 288
216 
Böylece Z  X ’in öz değerleri negatif olmadığından Z  X pozitiftir. Benzer şekilde
73
5 
5
 16 72 
Y T  
 ’dir ve Y  T ’nin öz değerleri
 5 25 
 72 108 
55 5 13 55 5 13
’dir.

,

432 144 432 144
Böylece Y  T ’in öz değerleri negatif olmadığından Y  T pozitiftir.
Örneği öz değerler bakımından inceleyebiliriz: Tanımlanan A, B matrisleri ve
f ( x)  x 2
fonksiyonu altında (6.48) eşitsizliğinde
ifadesinin öz değerleri
ifadesinin öz değerleri
1   5A  B 
f

3   6 
39 3 37 39 3 37

, 
32
32 32
32
ve
1   3A  B 
f

2   4 
 A  3B  
f

 4 
1   A  B  f ( A)  f ( B) 
f


2   2 
2

25 3 5 25 3 5
’dır. Teorem 7.1.1’de k  3 alırsak,

, 
16 16 16 16
 A B 
f

 2 
 A  5B  
f

 6 
ifadesinin
öz
değerleri
277
1453 277
1453
1   2A  B 
 A  2 B  f ( A)  f ( B) 
ve  f 

,

f


 ifadesinin
216
72 216
72
3  3 
2
 3 

öz değerleri de
155
265 155
265
olarak bulunur. Bu şartlar altında (6.48)

,

108
36 108
36
eşitsizliği,
1

1, 789  1   f  (1  t ) A  tB  dt   1, 981
0

1


0, 684  n   f  (1  t ) A  tB  dt   1,143
0

ve Teorem 7.1.1,
1

1,811  1   f  (1  t ) A  tB  dt   1,887
0

1

0, 752  n   f  (1  t ) A  tB  dt   0,982
0

eşitsizliklerine dönüşür. Burada 1 en büyük öz değer ve n en küçük öz değerdir.
Yukarıdaki eşitsizliklerden Teorem 7.1.1’in (6.48) eşitsizliğinden daha kuvvetli bir
eşitsizlik olduğu görülür.
k ’yi alabildiğimiz en büyük sayı olarak alırsak
1
 f  (1  t ) A  tB  dt ’nin sonucuna daha kesin olarak ulaşırız.
0
74
Teorem 7.1.5. f , g : I   , I aralığında tanımlı operatör konveks, negatif olmayan
fonksiyonlar olsun. Spektrumları I aralığında bulunan herhangi A ve B Hermityen
operatörler ve t   0,1 için M ( A, B)  f ( A) x, x g ( A) x, x  f ( B) x, x g ( B) x, x ,
N ( A, B)  f ( A) x, x g (B) x, x  f ( B) x, x g ( A) x, x olmak üzere
1
 f  (1  t ) A  tB  x, x
0
1
1
g  (1  t ) A  tB  x, x dt  M ( A, B )  N ( A, B )
3
6
(7.21)
eşitsizliği vardır.
İspat: x  H ,
Hermityen
x  1 ve A ve B spektrumları I
operatörler
olsun.
Reel
 x , A, B (t )  f  (1  t ) A  tB  x, x
 x , A, B (t )  g  (1  t ) A  tB  x, x
ve
değerli
aralığında bulunan herhangi
 x , A, B :  0,1  
 x , A, B :  0,1  
fonksiyonu
fonksiyonu
ile verilsin. f ve g operatör konveks fonksiyonlar
olduğundan, her t   0,1 için
f  (1  t ) A  tB  x, x  (1  t ) f ( A) x, x  t f ( B ) x, x ,
(7.22)
g  (1  t ) A  tB  x, x  (1  t ) g ( A) x, x  t g ( B ) x, x
(7.23)
eşitsizlikleri vardır. (7.22) ve (7.23)’ten
f  (1  t ) A  tB  x, x g  (1  t ) A  tB  x, x
 (1  t )2 f ( A) x, x g ( A) x, x  t 2 f ( B ) x, x g ( B ) x, x
(7.24)
t (1  t )  f ( A) x, x g ( B ) x, x  f ( B ) x, x g ( A) x, x 
eşitsizliği elde edilir.  x , A, B (t ) ve  x , A , B (t ) fonksiyonları
konveks
olduklarından,
 0,1
üzerinde
 0,1
integrallenebilirdir
üzerinde operatör
ve
sonuç
olarak
 x , A, B (t ) x , A , B (t ) çarpımı da  0,1 üzerinde integrallenebilirdir. (7.24) eşitsizliğinin her
iki tarafı  0,1 üzerinden integrallenirse
75
1
 f  (1  t ) A  tB  x, x
g  (1  t ) A  tB  x, x dt
0
 f ( A) x, x g ( A) x, x
1
1
2
 (1  t ) dt  f ( B) x, x g ( B) x, x
 t dt
0
2
(7.25)
0
1
  f ( A) x, x g ( B) x, x  f ( B) x, x g ( A) x, x   t (1  t )dt
0
elde edilir.
1
1
1
1
1
2
2
0 (1  t ) dt  0 t dt  3 , 0 t (1  t )dt  6
olduğundan (7.25) eşitsizliğinde yerlerine koyulursa istenen eşitsizlik elde edilir ve
böylece ispat tamamlanmış olur.
Not 7.1.6. (7.21) eşitsizliğinde x  (1  t ) A  tB , a  0, b  1 alınırsa (6.10) eşitsizliği
elde edilir.
Teorem 7.1.7. f , g : I   , I aralığında tanımlı operatör konveks, negatif olmayan
fonksiyonlar olsun. Spektrumları I aralığında bulunan herhangi A ve B Hermityen
operatörler
ve
t   0,1
için
k
adım
sayısı
ve
(k  i ) A  iB
 Z1 ,
k
(k  (i  1)) A  (i  1) B
 T2 olmak üzere
k
1
 f  (1  t ) A  tB  x, x
g  (1  t ) A  tB  x, x dt
0
1
 f ( A) x, x g ( A) x, x  f ( B) x, x g (B) x, x 
3k
2 k 1
  f  Z1  x , x g  Z1  x , x
3k i 1
1 k 1
   f  Z1  x, x g T2  x, x  f T2  x, x g  Z1  x, x 
6k i 0

eşitsizliği vardır.
(7.26)
76
İspat: x  H ,
x  1 ve A ve B spektrumları I
aralığında bulunan herhangi
Hermityen operatörler olsun. f ve g ’nin konveksliği ve Teorem 7.1.1’deki gibi u  kt
değişken dönüşümü kullanılırsa,
 u 
u 
f  (1  t ) A  tB  x, x  f  1   A  B  x, x
k 
 k 
(k  1) A  B 

 f  (1  u ) A  u
 x, x
k


(7.27)
 (k  1) A  B 
 (1  u ) f ( A) x, x  u f 
 x, x
k


ve
 u 
u 
g  (1  t ) A  tB  x, x  g  1   A  B  x, x
k 
 k 
(k  1) A  B 

 g  (1  u ) A  u
 x, x
k


(7.28)
 (k  1) A  B 
 (1  u ) g ( A) x, x  u g 
 x, x
k


elde edilir. (7.27) ve (7.28) taraf tarafa çarpılırsa,
(k  1) A  B 

f  1  u  A  u
 x, x
k


(k  1) A  B 

g  1  u  A  u
 x, x
k


 (k  1) A  B 
 (1  u )2 f ( A) x, x g ( A) x, x  u 2 f 
 x, x
k



u (1  u )  f ( A) x, x

 (k  1) A  B 
g
 x, x (7.29)
k


 (k  1) A  B 
 (k  1) A  B 
g
x, x  f 

 x, x
k
k





g ( A) x, x 

elde edilir. f ve g ’nin konveksliği ve u  kt  1 değişken dönüşümü kullanılırsa,
77
  u 1 
u 1 
f  (1  t ) A  tB  x, x  f  1 
B  x, x
A
k 
k


(k  1) A  B
(k  2) A  2 B 

 f  (1  u )
u
 x, x
k
k


(7.30)
 (k  1) A  B 
 (k  2) A  2 B 
 (1  u ) f 
 x, x  u f 
 x, x
k
k




ve
  u 1 
u 1 
g  (1  t ) A  tB  x, x  g  1 
B  x, x
A
k 
k


(k  1) A  B
(k  2) A  2 B 

 g  (1  u )
u
 x, x
k
k


(7.31)
 (k  1) A  B 
 (k  2) A  2 B 
 (1  u ) g 
 x, x  u g 
 x, x
k
k




elde edilir. (7.30) ve (7.31)’den
( k 1) A B ( k  2) A 2 B 

f  1u 
u
 x, x
k
k


 (1  u )
2
u (1  u )

( k 1) A B ( k  2) A 2 B 

g  1u 
u
 x, x
k
k


 ( k 1) A B 
f
 x, x
k


2
 ( k 1) A B 
g
 x,x  u
k


 ( k 1) A B 
f
 x, x
k


 ( k  2) A 2 B 
 ( k  2) A 2 B 
g
 x, x  f 
 x, x
k
k




 ( k  2) A 2 B 
f
 x,x
k


 ( k  2) A 2 B 
g
 x,x
k


 ( k 1) A B 
g
 x, x
k


(7.32)

elde edilir. İşlemlere bu şekilde u  kt  (k 1) değişkenine kadar devam edilir. f ve
g ’nin konveksliği ve u  kt  (k 1) değişken dönüşümü kullanılırsa,
  u  k 1 
u  k 1 
f  (1  t ) A  tB  x, x  f  1 
B  x, x
 A
k
k



A  (k  1) B


 f  (1  u )
 uB  x, x
k


 A  (k  1) B 
 (1  u ) f 
 x, x  u f  B  x, x
k


(7.33)
78
ve
  u  k 1 
u  k 1 
g  (1  t ) A  tB  x, x  g  1 
B  x, x
 A
k
k



A  (k  1) B


 g  (1  u )
 uB  x, x
k


(7.34)
 A  (k  1) B 
 (1  u ) g 
 x, x  u g  B  x, x
k


elde edilir. (7.33) ve (7.34)’ten


f  1  u 
A  ( k  1) B
k


 A  ( k  1) B  x, x

k


k


 uB  x, x
g
 A  ( k  1) B  x, x

k


u (1  u )  f 

A  ( k  1) B
 A  ( k  1) B  x, x  u 2 f ( B ) x, x g ( B ) x, x

k


 (1  u ) 2 f 



g  1  u 
 uB  x, x
g ( B ) x, x  f ( B ) x, x
(7.35)
 A  (k  1) B  x, x 


k



g
bulunur. (7.29) eşitsizliğinin her iki tarafı integrallenirse
1/ k
 f  (1  t ) A  tB  x, x
g  (1  t ) A  tB  x, x dt
0

1
1



k
f  (1  u ) A  u
0

f ( A) x, x
1
f
1
k
k


g  (1  u ) A  u
( k  1) A  B 
k
 x , x du

g ( A) x , x
2
(7.36)
 (1  u ) du
0
k

 x, x

1
1
k

(k  1) A  B 


 (k  1) A  B  x, x


k


f ( A) x, x
 (k  1) A  B  x, x

k


g
1
2
 u du
0
 (k  1) A  B  x , x  f  (k  1) A  B  x, x



k
k




g
1
g ( A) x , x
 u (1  u ) du

0
eşitsizliği elde edilir. (7.32) eşitsizliğinin her iki tarafı integrallenirse,
79
2/ k

f  (1t ) AtB  x, x g  (1t ) AtB  x, x dt

11 
(k 1) A B (k 2) A 2 B 
u
 x, x
 f  (1u )
k
k
k0 

1/ k

g  1u 

( k 1) A B (k 2) A 2 B 
u
 x, x du
k
k

1
 (k 1) A B 
2
 x, x  (1  u ) du
k


0

1  ( k 1) A B 
f
 x, x
k
k 


1  ( k 2) A 2 B 
f
 x, x
k
k 

(7.37)
g 
1
 ( k 2) A 2 B 
2
 x, x  u du
k


0
g 
  ( k 1) A B 
 (k 2) A 2 B 
 f 
 x, x g 
 x, x
k
k



1 

k




  f  ( k 2) A2 B  x, x g  ( k 1) A B  x, x
k
k






1
 u (1  u )du
 0


elde edilir. İşlemlere bu şekilde devam edilir. (7.35) eşitsizliğinin her iki tarafı
integrallenirse
1
f  (1  t ) A  tB  x , x

g  (1  t ) A  tB  x, x dt
k 1
k

1
1

k
f
0

1
f
k

 1  u  A  ( k  1) B  uB  x, x


k


 A  ( k  1) B  x, x


k


f ( B) x, x
k


 uB  x , x du
1
2
 (1  u ) du
(7.38)
0
g ( B ) x, x
2
 u du
0
1
k
 A  (k  1) B  x, x

k


g
A  ( k  1) B
1
1
k



g  1  u 


f
 A  ( k  1) B  x, x


k


1
g ( B ) x, x  f ( B ) x , x
 A  (k  1) B  x, x  u (1  u ) du


k


0
g
eşitsizliği elde edilir. Böylece aradaki işlemler de hesaba katılınca toplamda k tane
 1   1 2   k 1 
,1 aralıklarında
eşitsizlik elde edilir. Bu eşitsizlikler sırasıyla  0,  ,  ,  ,..., 
 k k k  k

tanımlıdır.
Bu
k
tane
eşitsizliğin
integral
kısımlarının
toplamı
1
 f  (1  t ) A  tB  g  (1  t ) A  tB  dt
integralini oluşturur ve diğer eşitsizliğin sol ve sağ
0
kısımlarını da toplam sembolleri altında gösterebiliriz ve böylece (7.26) eşitsizliği elde
edilmiş olur.
80
Not 7.1.8. (7.26) eşitsizliği, (7.21) eşitsizliğinin genel bir formudur. (7.26)’da k  1
alınırsa (7.21) eşitsizliği elde edilir.
Teorem 7.1.9. f , g : I   , I aralığında tanımlı operatör konveks, negatif olmayan
fonksiyonlar olsun. Spektrumları I aralığında bulunan herhangi A ve B Hermityen
operatörler,
t   0,1
için
k
adım
sayısı
ve
(k  i ) A  iB
 Z1 ,
k
(i  1) A  (k  (i  1)) B
iA  (k  i ) B
(k  (i  1)) A  (i  1) B
 T1 ,
 Z2 ,
 T2 olmak
k
k
k
üzere
 A B 
f
 x, x
 2 
 A B 
g
 x, x
 2 
1
1
  f  tA  (1  t ) B  x, x g  tA  (1  t ) B  x, x dt
20
1  k 1 f  Z1  x, x

24k  i 0  f  T1  x, x

1  k 1 f  Z1  x, x


12k  i 0  f T1  x, x


g T1  x, x  f  Z 2  x, x g T2  x, x


g  Z1  x, x  f  Z 2  x, x g T2  x, x 
g  Z 2  x, x  f T2  x, x g T1  x, x 

g T2  x, x  f  Z 2  x, x g  Z1  x, x 
(7.39)
eşitsizliği geçerlidir.
İspat: x  H ,
x  1 ve A ve B spektrumları I
aralığında bulunan herhangi
Hermityen operatörler olsun. f ve g ’nin konveksliği ve Teorem 7.1.1’deki gibi u  kt
değişken dönüşümü kullanılırsa,
 u 
u 
f  (1  t ) A  tB  x, x  f  1   A  B  x, x
k 
 k 
(k  1) A  B 

 f  (1  u ) A  u
 x, x
k


 (k  1) A  B 
 (1  u ) f ( A) x, x  u f 
 x, x
k


ve
(7.40)
81
u
 u 
f  tA  (1  t ) B  x, x  f  A   1   B  x, x
 k 
k
 A  (k  1) B

 f u
 (1  u ) B  x, x
k


(7.41)
 A  (k  1) B 
u f 
 x, x  (1  u ) f ( B) x, x
k


eşitsizlikleri elde edilir. Benzer şekilde u  kt  1 değişken dönüşümü kullanılırsa,
f  (1  t ) A  tB  x, x 

f  1 
u 1 
B  x, x
 A
k 
k

u 1



 f  (1  u )
( k  1) A  B
k
u
( k  2) A  2 B 
k
 x, x

(7.42)
 (k  1) A  B 
 (k  2) A  2 B 
 x, x  u f 
 x, x
k
k




 (1  u ) f 
ve
 u 1
 u 1  
f  tA  (1  t ) B  x, x  f 
A  1 
 B x, x
k  

 k
A  (k  1) B 
 2 A  (k  2) B
 f u
 (1  u )
 x, x
k
k


(7.43)
 2 A  (k  2) B 
 A  (k  1) B 
u f 
 x, x  (1  u ) f 
 x, x
k
k




eşitsizlikleri elde edilir. Benzer şekilde u  kt  2, u  kt  3,..., u  kt  (k  2) değişken
dönüşümleri yapılır. u  kt  (k 1) değişken dönüşümüyle,
f  (1  t ) A  tB  x, x 

f  1 
u  k 1 
A

k



 f  (1  u )
A  (k  1) B
k
u  k 1 
B  x, x
k



 uB  x, x
 A  ( k  1) B 
 x, x  u f  B  x, x
k


 (1  u ) f 
(7.44)
82
ve
 u  k 1
 u  k 1  
f  tA  (1  t ) B  x, x  f 
A  1 
 B  x, x
k

 
 k
(k  1) A  B 

 f  uA  (1  u )
 x, x
k


(7.45)
 (k  1) A  B 
 u f  A x, x  (1  u ) f 
 x, x
k


eşitsizlikleri elde edilir. f ve g ’nin konveksliğinden
 A B 
 tA  (1  t ) B (1  t ) A  tB 
f

 x, x  f 
 x, x
2
2
 2 



f  tA  (1  t ) B  x, x  f  (1  t ) A  tB  x, x
(7.46)
2
ve
 A B 
 tA  (1  t ) B (1  t ) A  tB 
g

 x, x  g 
 x, x
2
2
 2 



g  tA  (1  t ) B  x, x  g  (1  t ) A  tB  x, x
(7.47)
2
eşitsizlikleri bulunur. İlk olarak u  kt değişken dönüşümünde elde edilen değerler bu
eşitsizliklerde yerlerine yazılırsa,
f
 A  B  x , x  f  tA  (1  t ) B  x, x  f  (1  t ) A  tB  x, x


2
 2 
 A  (k  1) B  (1  u ) B  x, x  f  (1  u ) A  u (k  1) A  B  x , x (7.48)



k
k




f u

2
ve
83
 A  B  x, x  g  tA  (1  t ) B  x , x  g  (1  t ) A  tB  x , x

2
 2 
g
 A  (k  1) B  (1  u ) B  x , x  g  (1  u ) A  u (k  1) A  B  x, x (7.49)



k
k




g u

2
eşitsizlikleri elde edilir. (7.48) ve (7.49) eşitsizlikleri taraf tarafa çarpılırsa ve
u
A  (k  1) B
(k  1) A  B
 (1  u) B  X 1 , (1  u ) A  u
 Y1 alınırsa,
k
k
f
 
A B
x, x
g
2

1

f

 f  X  x, x

4  f Y  x, x
1
1

1
 f  X  x, x



1
u

4
f

1
 (1  u )

4
1
g  X 1  x, x 
k

 X  x, x
f  Y  x, x
1
g  Y1  x , x
1
g  Y1  x , x
g  Y1  x , x
x , x  (1  u ) f ( B ) x , x
f ( A) x , x  u
f

( k  1) A  B
k

g  X 1  x , x  f  Y1  x , x
1
 g  Y1  x , x
1
g  X 1  x, x  f
A  ( k  1) B
 f  X  x, x
4
  g  X  x, x
g  X 1  x , x  f  Y1  x , x
1
4
x, x
 f  Y1  x , x
1
1
AB
2
 X  x, x
4
 

x, x
g  Y1  x , x

u (1  u ) f A  ( k  1) B x, x g ( A) x, x

k

A  ( k  1) B
( k  1) A  B

x, x
g
1 u f
 
k
k
4
  (1  u ) f ( B ) x, x g ( A) x, x

( k  1) A  B
x, x
 u (1  u ) f ( B ) x, x g

k
2




x, x
2




u (1  u ) f ( A) x, x g A  ( k  1) B x, x

k

  (1  u ) f ( A) x, x g ( B ) x, x
1
 
( k  1) A  B
A  ( k  1) B
4 u f
x, x
g
k
k


( k  1) A  B
x, x g ( B ) x, x
 u (1  u ) f

k
2
2





g

x, x



  (1  u )
 
 u
 


A  ( k  1) B
k


( k  1) A  B

x, x


x , x  (1  u ) g ( B ) x , x


g ( A) x , x  u g
k





















(7.50)
84
eşitsizliği elde edilir. (7.50) eşitsizliğinin her iki tarafı  0,1 aralığında u ’ya göre
integrallenirse,
 A B 
f
 x, x
 2 
 A B 
g
 x, x
 2 
1/ k

k
  f  tA  (1  t ) B  x, x g  tA  (1  t ) B  x, x dt 
40


1/ k

k
   f  (1  t ) A  tB  x, x g  (1  t ) A  tB  x, x dt 
40


1   A  (k  1) B 
 f
 x, x
24  
k

g ( A) x, x  f ( B ) x, x

 (k  1) A  B 
g
 x, x 
k




1   A  (k  1) B 
 f
 x, x
12  
k


 (k  1) A  B 
g
 x, x  f ( B) x, x g ( A) x, x 
k




1 
 f ( A) x, x
24 

1 
 (k  1) A  B 
 f ( A) x, x g ( B ) x, x  f 
 x, x
12 
k


 A  (k  1) B 
 (k  1) A  B 
g
 x, x  f 
 x, x
k
k




(7.51)

g ( B ) x, x 


 A  (k  1) B 
g
 x, x 
k



eşitsizliği elde edilir. Benzer şekilde u  kt  1 değişken dönüşümü kullanılırsa,
f
 A  B  x, x  f  tA  (1  t ) B  x, x  f  (1  t ) A  tB  x , x


2
 2 
 2 A  ( k  2) B  (1  u ) A  ( k  1) B  x, x  f  (1  u ) ( k  1) A  B  u (k  2) A  2 B  x, x



k
k
k
k




(7.52)
f u

2
ve
g
  x, x

AB

g  tA  (1  t ) B  x , x  g  (1  t ) A  tB  x , x
2
g u

2 A  ( k  2) B
k
2
 (1  u )
A  ( k  1) B
k


x , x  g (1  u )
2
( k  1) A  B
k
u
( k  2) A  2 B
k

(7.53)
x, x
85
eşitsizlikleri bulunur. (7.52) ve (7.53) eşitsizlikleri taraf tarafa çarpılırsa ve
u
2 A  (k  2) B
A  (k  1) B
 (1  u)
 X2,
k
k
(1  u)
(k  1) A  B
(k  2) A  2B
u
 Y2
k
k
denirse,
 A  B  x, x

 2 
f

1
4


 f  X  x, x
2
 A  B  x, x

 2 
g
 f  Y2  x, x
  g  X  x, x
2
 g Y2  x , x

1  f  X 2  x, x
g  X 2  x , x  f  X 2  x, x g Y2  x , x 


4   f  Y2  x , x g  X 2  x , x  f  Y2  x, x g Y2  x , x 
1
4
 f  X  x, x
2
g  X 2  x, x  f Y2  x , x
g Y2  x , x

  (1  u ) f  ( k  1) A  B  x , x  u f  ( k  2) A  2 B  x, x




1  
k
k




 
4
 2 A  ( k  2) B  x , x  (1  u ) g  A  ( k  1) B  x , x
 u g 



k
k





 u f  2 A  ( k  2) B  x , x  (1  u ) f  A  (k  1) B  x, x




1  
k
k




 
4
 ( k  1) A  B  x , x  u g  (k  2) A  2 B  x , x
  (1  u ) g 



k
k






1
4
 f  X  x, x
2
g  X 2  x , x  f  Y2  x, x
g  Y2  x , x

 



 

 



 


 (k  1) A  B  x, x g  2 A  (k  2) B  x, x



u (1  u ) f 
k
k




 u 2 f  ( k  2) A  2 B  x, x g  2 A  (k  2) B  x, x




1
k
k




 
4
  (1  u ) 2 f  ( k  1) A  B  x, x g  A  (k  1) B  x , x

k
k





( k  2) A  2 B 
 A  ( k  1) B  x , x
 u (1  u ) f 
 x, x g 

k
k






 2 A  (k  2) B  x, x g  (k  1) A  B  x, x



u (1  u ) f 
k
k




A

(
k

1)
B
(
k

1)
A

B
 x, x g 
 x, x
  (1  u ) 2 f 




1
k
k




 
2
A

(
k

2)
B
(
k

2)
A

2
B
4
 x, x g 
 x, x
 u 2 f 




k
k





A

(
k

1)
B
(
k

2)
A

2
B
 x, x g 
 u (1  u ) f 


 x, x
k
k



























(7.54)
86
eşitsizliği elde edilir. (7.54) eşitsizliğinin her iki tarafı  0,1 aralığında u ’ya göre
integrallenirse,
 A B 
f
 x, x
 2 
 A B 
g
 x, x
 2 
k 2/ k
  f  tA  (1  t ) B  x, x g  tA  (1  t ) B  x, x dt
4 0

k
4
2/ k

f  (1  t ) A  tB  x, x g  (1  t ) A  tB  x, x dt
0

 f
1 

24 


 (k  1) A  B 

 x, x
k






A

(
k

1)
B


g
 x, x 
k



 2 A  (k  2) B 
g
 x, x
k


 (k  2) A  2 B 
f
 x, x
k


  (k  1) A  B 

 A  (k  1) B 
 f
 x, x g 
 x, x

k
k



1  



12 
 (k  2) A  2 B 
 2 A  (k  2) B 
x, x g 
x, x 
 f 


k
k






  2 A  (k  2) B 

 (k  1) A  B 
 f
 x, x g 
 x, x 
k
k




1

 

24 
 A  (k  1) B 
 (k  2) A  2 B 
 f 
 x, x g 
 x, x 
k
k







 f
1 

12 


 2 A  (k  2) B 

 x, x
k


 A  (k  1) B 
f
 x, x
k



 (k  2) A  2 B 
g
 x, x 
k




 (k  1) A  B 
g
x, x 

k



(7.55)
eşitsizliği elde edilir. Benzer şekilde u  kt  2 , u  kt  3 , … , u  kt  (k  2) ,
u  kt  (k  1) değişken dönüşümleri için eşitsizlikler elde edilir. (7.51), (7.55) ve diğer
değişken dönüşümleriyle elde edilen eşitsizlikler toplanınca istenen eşitsizlik elde
edilmiş olur.
Not 7.1.10. Teorem 7.1.9’da elde edilen sonuçta k  1 seçilirse (6.11) eşitsizliği elde
edilir. Teorem 7.1.9, (6.11) eşitsizliğinin genel halidir. Teorem 7.1.9’da k adım sayısı
büyüdükçe eşitsizlik daha kuvvetli hale gelmektedir.
87
Teorem 7.1.11. f , g : I   , I aralığında tanımlı operatör konveks, negatif olmayan
fonksiyonlar olsun. Spektrumları I aralığında bulunan herhangi A ve B Hermityen
operatörler ve t   0,1 için M ( A, B)  f ( A) x, x g ( A) x, x  f ( B) x, x
f ( B) x, x ,
N ( A, B)  f ( A) x, x g (B) x, x  f ( B) x, x g ( A) x, x olmak üzere
1
g ( A) x, x
 (1  t ) f  (1  t ) A  tB  x, x
dt
0
1
 g ( B ) x, x
 t f  (1  t ) A  tB  x, x
dt
0
1
 f ( A) x, x
 (1  t ) g  (1  t ) A  tB  x, x
dt
(7.56)
0
1
 f ( B ) x, x
 t g  (1  t ) A  tB  x, x
dt
0
1
  f  (1  t ) A  tB  x, x g  (1  t ) A  tB  x, x dt 
0
M ( A, B) N ( A, B)

3
6
eşitsizliği vardır.
İspat: x  H ,
Hermityen
x  1 ve A ve B spektrumları I
operatörler
olsun.
 x , A, B (t )  f  (1  t ) A  tB  x, x
 x , A, B (t )  g  (1  t ) A  tB  x, x
Reel
ve
değerli
aralığında bulunan herhangi
 x , A, B :  0,1  
 x , A, B :  0,1  
fonksiyonu
fonksiyonu
ile verilsin. f ve g operatör konveks fonksiyonlar
olduğundan, her t   0,1 için
f  (1  t ) A  tB  x, x  (1  t ) f ( A) x, x  t f ( B ) x, x ,
(7.57)
g  (1  t ) A  tB  x, x  (1  t ) g ( A) x, x  t g ( B ) x, x
(7.58)
eşitsizlikleri vardır. e, f , p, r   için e  f ve p  r ise er  fp  ep  fr eşitsizliği
kullanılarak,
88
f  (1  t ) A  tB  x, x  (1  t ) g ( A) x, x  t g ( B ) x, x

 g  (1  t ) A  tB  x, x  (1  t ) f ( A) x, x  t f ( B ) x, x

(7.59)
 f  (1  t ) A  tB  x, x g  (1  t ) A  tB  x, x
  (1  t ) g ( A) x, x  t g ( B ) x, x
 (1  t )
f ( A) x, x  t f ( B ) x, x
eşitsizliğine dönüşür.  x , A, B (t ) ve  x , A , B (t ) fonksiyonları
konveks
 0,1
olduklarından,
üzerinde

 0,1
integrallenebilirdir
üzerinde operatör
ve
sonuç
olarak
 x , A, B (t ) x , A , B (t ) çarpımı da  0,1 üzerinde integrallenebilirdir. (7.59) eşitsizliğinin her
iki tarafı  0,1 üzerinden integrallenirse
1
g ( A) x, x
 (1  t ) f  (1  t ) A  tB  x, x
dt
0
1
 g ( B) x, x
 t f  (1  t ) A  tB  x, x
dt
0
1
 f ( A) x, x
 (1  t ) g  (1  t ) A  tB  x, x
dt
0
1
 f ( B) x, x
 t g  (1  t ) A  tB  x, x
dt
0
1
  f  (1  t ) A  tB  x, x g  (1  t ) A  tB  x, x dt
0
1
 f ( A) x, x g ( A) x, x
2
 (1  t ) dt
0
1
  f ( A) x, x g ( B) x, x  f ( B) x, x g ( A) x, x   t (1  t )dt
0
1
 f ( B) x, x g ( B) x, x
2
 t dt
0
eşitsizliği elde edilir.
1
1
1
1
1
0 (1  t ) dt  0 t dt  3 , 0 t (1  t )dt  6
2
2
(7.60)
89
olduğundan (7.60) eşitsizliğinde yerlerine konulursa istenen eşitsizlik elde edilir ve
böylece ispat tamamlanmış olur.
Not 7.1.12. (7.56) eşitsizliğinde x  (1  t ) A  tB , a  0, b  1 alınırsa (6.20) eşitsizliği
elde edilir. Teorem 7.1.11’de verilen sonuç daha geneldir.
Teorem 7.1.13. f , g : I   , I aralığında tanımlı operatör konveks, negatif olmayan
fonksiyonlar olsun. Spektrumları I aralığında bulunan herhangi A ve B Hermityen
operatörler
ve
t   0,1
için
k
adım
sayısı
ve
(k  i ) A  iB
 Z1 ,
k
(k  (i  1)) A  (i  1) B
 T2 olmak üzere
k
1


 g  Z1  x, x  f  (1  t ) A  tB  x, x 1  (kt  i )  dt 
0


1


  g T2  x, x  f  (1  t ) A  tB  x, x (kt  i)dt

k 1


0



1
i 0 
 f  Z1  x, x  g  (1  t ) A  tB  x, x 1  (kt  i )  dt 


0


1


  f T2  x, x  g  (1  t ) A  tB  x, x (kt  i)dt

0


1
  f  (1  t ) A  tB  x, x g  (1  t ) A  tB  x, x dt
0
1
 f ( A) x, x g ( A) x, x  f ( B) x, x g (B) x, x 
3k
2 k 1
   f  Z1  x, x g  Z1  x, x 
3k i 1
1 k 1
   f  Z1  x, x g T2  x, x  f T2  x, x g  Z1  x, x 
6k i 0

(7.61)
eşitsizliği vardır.
İspat: x  H ,
x  1 ve A ve B spektrumları I
aralığında bulunan herhangi
Hermityen operatörler olsun. f ve g ’nin konveksliği ve Teorem 7.1.1’deki gibi u  kt
değişken dönüşümü kullanılırsa,
90
 u 
u 
f  (1  t ) A  tB  x, x  f  1   A  B  x, x
k 
 k 
(k  1) A  B 

 f  (1  u ) A  u
 x, x
k


(7.62)
 (k  1) A  B 
 (1  u ) f ( A) x, x  u f 
 x, x
k


ve
 u 
u 
g  (1  t ) A  tB  x, x  g  1   A  B  x, x
k 
 k 
(k  1) A  B 

 g  (1  u ) A  u
 x, x
k


(7.63)
 (k  1) A  B 
 (1  u ) g ( A) x, x  u g 
 x, x
k


elde edilir.
e, f , p, r  
için
e  f ve
pr
er  fp  ep  fr
ise
eşitsizliği
kullanılarak,
(k  1) A  B 

(1  u ) f  1  u  A  u
 x, x
k


(k  1) A  B 

u f  1  u  A  u
 x, x
k


 (k  1) A  B 
g
 x, x
k


(k  1) A  B 

(1  u ) g  1  u  A  u
 x, x
k


(k  1) A  B 

u g  1  u  A  u
 x, x
k


(k  1) A  B 

 f  1  u  A  u
 x, x
k


g ( A) x, x
f ( A) x, x
 (k  1) A  B 
f
 x, x
k


(k  1) A  B 

g  1  u  A  u
 x, x
k


 (k  1) A  B 
(1  u )2 f ( A) x, x g ( A) x, x  u 2 f 
 x, x
k



u (1  u )  f ( A) x, x

(7.64)
 (k  1) A  B 
g
 x, x
k


 (k  1) A  B 
 (k  1) A  B 
g
x, x  f 

 x, x
k
k





g ( A) x, x 

elde edilir. f ve g ’nin konveksliği ve u  kt  1 değişken dönüşümü kullanılırsa,
91
  u 1 
u 1 
f  (1  t ) A  tB  x, x  f  1 
B  x, x
A
k 
k


(k  1) A  B
(k  2) A  2 B 

 f  (1  u )
u
 x, x
k
k


(7.65)
 (k  1) A  B 
 (k  2) A  2 B 
 (1  u ) f 
 x, x  u f 
 x, x
k
k




ve
  u 1 
u 1 
g  (1  t ) A  tB  x, x  g  1 
B  x, x
A
k 
k


(k  1) A  B
(k  2) A  2 B 

 g  (1  u )
u
 x, x
k
k


 (k  1) A  B 
 (k  2) A  2 B 
 (1  u ) g 
 x, x  u g 
 x, x
k
k




elde edilir.(7.65) ve (7.66)’dan
(7.66)
92
(k  1) A  B
(k  2) A  2 B 

(1  u ) f  1  u 
u
 x, x
k
k


(k  1) A  B
(k  2) A  2 B 

u f  1  u 
u
 x, x
k
k


 (k  1) A  B 
g
 x, x
k


 (k  2) A  2 B 
g
 x, x
k


(k  1) A  B
(k  2) A  2 B 

(1  u ) g  1  u 
u
 x, x
k
k


(k  1) A  B
(k  2) A  2 B 

u g  1  u 
u
 x, x
k
k


 
(k  1) A  B
(k  2) A  2 B 
u
 f  1  u 
 x, x
k
k




 
(k  1) A  B
(k  2) A  2 B 
u
 g  1  u 
 x, x
k
k

 
 (k  1) A  B 
(1  u ) 2 f 
 x, x
k


 (k  2) A  2 B 
u 2 f 
 x, x
k



 f
u (1  u ) 

 

 (k  1) A  B 
f
 x, x
k


 (k  2) A  2 B 
f
 x, x
k








 (k  1) A  B 
g
 x, x
k


 (k  2) A  2 B 
g
 x, x
k


 (k  1) A  B 

 x, x
k


(7.67)




 (k  1) A  B 

g
x
,
x

k



 (k  2) A  2 B 
g
 x, x
k


 (k  2) A  2 B 
f
 x, x
k


elde edilir. İşlemlere bu şekilde u  kt  (k 1) değişkenine kadar devam edilir. f ve
g ’nin konveksliği ve u  kt  (k 1) değişken dönüşümü kullanılırsa,
  u  k 1 
u  k 1 
f  (1  t ) A  tB  x, x  f  1 
B  x, x
 A
k
k



A  (k  1) B


 f  (1  u )
 uB  x, x
k


 A  (k  1) B 
 (1  u ) f 
 x, x  u f  B  x, x
k


ve
(7.68)
93
  u  k 1 
u  k 1 
g  (1  t ) A  tB  x, x  g  1 
B  x, x
 A
k
k



A  (k  1) B


 g  (1  u )
 uB  x, x
k


(7.69)
 A  (k  1) B 
 (1  u ) g 
 x, x  u g  B  x, x
k


elde edilir. (7.68) ve (7.69)’dan
A  (k  1) B


(1  u ) f  1  u 
 uB  x, x
k


A  (k  1) B


u f  1  u 
 uB  x, x
k


g ( B ) x, x
A  (k  1) B


(1  u ) g  1  u 
 uB  x, x
k


A  (k  1) B


u g  1  u 
 uB  x, x
k


A  (k  1) B


 f  1  u 
 uB  x, x
k


 A  (k  1) B 
(1  u )2 f 
 x, x
k


  A  (k  1) B 
u (1  u )  f 
 x, x
k

 
 A  (k  1) B 
g
 x, x
k


 A  (k  1) B 
f
 x, x
k


f ( B ) x, x
(7.70)
A  (k  1) B


g  1  u 
 uB  x, x
k


 A  (k  1) B 
2
g
 x, x  u f ( B ) x, x g ( B ) x, x
k


g ( B) x, x  f ( B ) x, x
bulunur. (7.64) eşitsizliğinin her iki tarafı integrallenirse

 A  (k  1) B 
g
x, x 

k



94
1
f  (1  u ) A  u
0
1
 ( k  1) A  B 
 g
 x, x
k


1
1
 (k  1) A  B 
 x, x
k


1


  f  (1  u ) A  u
0
g  (1  u ) A  u
0
( k  1) A  B 
 x, x du

k
( k  1) A  B 
f  (1  u ) A  u
0
(k  1) A  B 
 x , x du

k
( k  1) A  B 


 x, x

k
 x, x du

k


u
 f
( k  1) A  B 


u
g  (1  u ) A  u
0
 x, x du

k


 (1  u)
f ( A) x, x
( k  1) A  B 


 (1  u )
g ( A) x, x
g  (1  u ) A  u
 x , x du

k
1
 (1  u )
 f ( A) x, x g ( A) x, x
2
du
0
 (k  1) A  B 
 x, x
k


 ( k  1) A  B 
 x, x
k


 f

g
1
2
 u du
0
1

g ( A) x, x   u (1  u ) du (7.71)
 (k  1) A  B 
 ( k  1) A  B 
 x, x  f 
 x, x
k
k




  f ( A) x, x
g

0
eşitsizliği elde edilir. (7.67) eşitsizliğinin her iki tarafı integrallenirse,
g

 g
f

f

( k  1) A  B
k



1


f
0


f
f


 f





1
x, x
k
k

( k  2) A  2 B
k

f
0



( k  1) A  B
( k  2) A  2 B
k
( k  1) A  B
k


x, x


g
x, x
( k  2) A  2 B
k
g
g
x, x
( k  1) A  B
k




( k  2) A  2 B

x , x du
x , x du
( k  1) A  B
g (1  u )
( k  2) A  2 B
u
k
k

x , x du
2
 (1  u ) du
0


( k  1) A  B
k



1
k
k
k
x, x
x, x
( k  2) A  2 B
g
( k  2) A  2 B
k
k
x, x
k
u
x , x du
x , x du
( k  2) A  2 B
( k  1) A  B
( k  2) A  2 B


u
k
u

k
g (1  u )
0
( k  2) A  2 B
u
g (1  u )

1
k
k
k

k
( k  1) A  B
0
u
( k  2) A  2 B
u

 (1  u )
x, x
( k  1) A  B
(1  u )
(1  u )
1
x, x
( k  1) A  B
k
f

1
u
x, x
(1  u )
( k  1) A  B

f
0
( k  2) A  2 B
( k  1) A  B
 (1  u )
1
x, x
2
 u du
0
x, x


  u (1  u ) du


1

x, x
0
(7.72)
95
elde edilir. İşlemlere bu şekilde devam edilir. (7.70) eşitsizliğinin her iki tarafı
integrallenirse
 A  (k  1) B 
g
 x, x
k


1
 g ( B ) x, x
u
0
1
 (1  u)
0
(k  1) A  B 

f  (1  u ) A  u
 x, x du
k


1
 A  (k  1) B 
 f
 x, x
k


1
 f ( B ) x, x
u
0
(k  1) A  B 

f  (1  u ) A  u
 x, x du
k


 (1  u )
0
(k  1) A  B 

g  (1  u ) A  u
 x, x du
k


(k  1) A  B 

g  (1  u ) A  u
 x, x du
k


1
(k  1) A  B 

  f  (1  u ) A  u
 x, x
k


0
 A  (k  1) B 
 f
 x, x
k


(k  1) A  B 

g  (1  u ) A  u
 x, x du
k


 A  (k  1) B 
g
 x, x
k


1
2
 (1  u ) du
0
1
2
 f ( B) x, x g ( B) x, x
 u du
0
  A  ( k  1) B 
 f 
 x, x
k

 
g ( B ) x , x  f ( B ) x, x
1
 A  ( k  1) B 
g
 x, x   u (1  u )du (7.73)
k


0
eşitsizliği elde edilir. Böylece aradaki işlemler de hesaba katılınca toplamda k tane
 1   1 2   k 1 
,1 aralıklarında
eşitsizlik elde edilir. Bu eşitsizlikler sırasıyla  0,  ,  ,  ,..., 
 k k k  k

tanımlıdır.
Bu
k
tane
eşitsizliğin
integral
kısımlarının
toplamı
1
 f  (1  t ) A  tB  g  (1  t ) A  tB  dt
integralini oluşturur ve diğer eşitsizliğin sol ve sağ
0
kısımlarını da toplam sembolleri altında gösterebiliriz ve böylece (7.61) eşitsizliği elde
edilmiş olur.
Not 7.1.14. (7.61) eşitsizliği, (7.56) eşitsizliğinin genel bir formudur. (7.61)’de k  1
alınırsa (7.56) eşitsizliği elde edilir.
Teorem 7.1.15. f , g : I   , I aralığında tanımlı operatör konveks, negatif olmayan
fonksiyonlar olsun. Spektrumları I aralığında bulunan herhangi A ve B Hermityen
operatörler
ve
t   0,1
için
k
adım
sayısı
ve
(k  i ) A  iB
 Z1 ,
k
96
(i  1) A  (k  (i  1)) B
iA  (k  i ) B
(k  (i  1)) A  (i  1) B
 T1 ,
 Z2 ,
 T2 olmak
k
k
k
üzere
 A B 
f
 x, x
 2 
1
 g tA  (1  t ) B  x, x
 A B 
 g
 x, x
 2 
 A B 
 f
 x, x
 2 

1
2k
dt
0
1
 f tA  (1  t ) B  x, x
dt
0
 A B 
g
 x, x
 2 
1
 f  tA  (1  t ) B  x, x
g  tA  (1  t ) B  x, x dt
(7.74)
0
1  k 1 f  Z1  x, x

24k  i 0  f T1  x, x

1  k 1 f  Z1  x, x


12k  i  0  f T1  x, x


g T1  x, x  f T2  x, x g  Z 2  x, x


g  Z1  x, x  f  Z 2  x, x g T2  x, x 
g  Z 2  x, x  f T2  x, x g T1  x, x 

g T2  x, x  f  Z 2  x, x g  Z1  x, x 
eşitsizliği geçerlidir.
İspat: x  H ,
x  1 ve A ve B spektrumları I
aralığında bulunan herhangi
Hermityen operatörler olsun. Teorem 7.1.9’un ispatında verilen (7.40)-(7.49) eşitsizleri
kullanılarak, (7.48) ve (7.49) eşitsizlikleri e, f , p, r   için e  f ve p  r ise
er  fp  ep  fr
(1  u ) A  u
eşitsizliğine
(k  1) A  B
 Y1 denirse,
k
uyarlanırsa
ve
u
A  (k  1) B
 (1  u) B  X 1 ,
k
97
f
 
 
A B
g  X 1  x , x  g  Y1  x , x
x, x
2
A B
f

2
x, x
g
2
f

 
AB
f
 f  Y1  x , x
1
AB
x, x
g
A B
A B
1
x, x
g


u

4
1
f

AB
A  ( k  1) B
x, x
k

g  Y1  x , x
x , x  (1  u ) f ( B ) x , x

  (1  u )
 

   
       







 


 (1  u )

4
f

 



g  X 1  x, x
1
g  X 1  x , x  f  Y1  x , x
1
1
g  Y1  x , x
2
 f  X  x, x
4
1
1
2

x, x
1
 
2
2
1
f
f ( A) x , x  u
f
( k  1) A  B
x, x
u g
A  ( k  1) B
x, x
A B
g
2
x, x 
2
u (1  u )
f
4
A  ( k  1) B
f
1
x, x
X 1 x, x
k


1
4
u
2
A  ( k  1) B
f

  (1  u )

x, x
x , x  (1  u ) g ( B ) x , x


( k  1) A  B
k
2
f ( B ) x, x
x, x
k
g ( A) x , x  u (1  u ) f ( B ) x , x


u (1  u ) f ( A) x, x g A  ( k  1) B x, x

k

  (1  u ) f ( A) x, x g ( B ) x, x
1
 
( k  1) A  B
A  ( k  1) B
4 u f
x, x
g
k
k


( k  1) A  B
x, x g ( B ) x, x
 u (1  u ) f

k
2
2






x, x
k
g X 1  x, x  f  Y1  x , x
g ( A) x, x
g
g











( k  1) A  B
k



k

( k  1) A  B
x, x
g ( A) x , x  u g
k
AB
 f  Y1  x , x
1
g  X 1  x , x  g  Y1  x , x
.
 
1

 X  x, x
x, x
 f  X  x, x g  X  x, x  f  Y  x, x

4   f  X  x, x g  Y  x, x  f  Y  x, x
1
f
x, x
2
2

AB
2
 X  x, x
 
 
2
2

 g

x, x
g  Y1  x , x









(7.75)
eşitsizliği elde edilir. (7.75) eşitsizliğinin her iki tarafı  0,1 aralığında u ’ya göre
integrallenirse,
98
k
 A B 
f
 x, x
2
 2 
1/ k
k
 A B 
g
 x, x
2  2 

 A B 
 f
 x, x
 2 
  g  tA  (1  t ) B  x, x

 g  (1  t ) A  tB  x, x dt
0
1
  f  tA  (1  t ) B  x, x

 f  (1  t ) A  tB  x, x dt
0
 A B 
g
 x, x
 2 
 f  tA  (1  t ) B  x, x g  tA  (1  t ) B  x, x

1/ k
k   f  (1  t ) A  tB  x, x g  (1  t ) A  tB  x, x
 
4 0   f  tA  (1  t ) B  x, x g  (1  t ) A  tB  x, x

  f  (1  t ) A  tB  x, x g  tA  (1  t ) B  x, x
 A B 
 A B 
 f
 x, x g 
 x, x
 2 
 2 



 dt



 f  tA  (1  t ) B  x, x g  tA  (1  t ) B  x, x

  f  (1  t ) A  tB  x, x g  (1  t ) A  tB  x, x

 dt

k

4
1/ k

0
  A  (k  1) B 
 (k  1) A  B 
x, x g 
 f

 x, x  f ( B) x, x g ( A) x, x
k
k



1  

12 
 (k  1) A  B 
 A  (k  1) B 
  f ( A) x, x g ( B) x, x  f 
 x, x g 
 x, x
k
k





  A  (k  1) B 
 (k  1) A  B 
 f
 x, x g ( A) x, x  f ( B) x, x g 
 x, x
k
k



1  

24 
 A  (k  1) B 
 (k  1) A  B 
  f ( A) x, x g 
 x, x  f 
 x, x g ( B) x, x
k
k

















(7.76)
eşitsizliği elde edilir. Benzer şekilde u  kt  1 değişken dönüşümü kullanılırsa,
f
 A  B  x, x  f  tA  (1  t ) B  x, x  f  (1  t ) A  tB  x , x


2
 2 
 2 A  ( k  2) B  (1  u ) A  ( k  1) B  x, x  f  (1  u ) ( k  1) A  B  u (k  2) A  2 B  x, x



k
k
k
k




f u

2
ve
(7.77)
99
g
  x, x

AB

g  tA  (1  t ) B  x , x  g  (1  t ) A  tB  x , x
2
g u

2 A  ( k  2) B
k
2
 (1  u )
A  ( k  1) B
k


x , x  g (1  u )
( k  1) A  B
k
u
( k  2) A  2 B
k

(7.78)
x, x
2
eşitsizlikleri bulunur. (7.77) ve (7.78) eşitsizlikleri e, f , p, r   için e  f ve p  r ise
er  fp  ep  fr eşitsizliğine uyarlanırsa ve u
(1  u)
2 A  (k  2) B
A  (k  1) B
 (1  u)
 X2,
k
k
(k  1) A  B
(k  2) A  2B
u
 Y2 denirse,
k
k
100
f
 
 
A B
x, x
 g  X  x, x  g Y  x, x 
2
2
2
A B
f

 g
2
x, x
g
2
 
A B
 
A B
x, x
 f  X  x, x  f Y  x, x 
2
2
2
2
x, x
2
1
  f  X  x, x  f Y  x, x   g  X  x , x  g Y  x, x 
4
2
 f
2
 
A B
x, x
g
2

 
A B
2
x, x
2
1  f  X  x, x g  X  x, x  f  X  x , x g Y  x , x 
2
2
2
2
4  f Y  x, x g  X  x, x  f Y  x , x g Y  x , x 
2
f

 
A B
2
x, x
2

2
1
4
g
2
 
A B
2
x, x
2
 f  X  x , x g  X  x, x  f Y  x, x g Y  x , x 
2
2
2
2


 ( k 1) A B 
 ( k  2) A 2 B 
 (1u ) f 

 x, x  u f 
 x, x
k
k





 



2
A

(
k

2)
B
A

(
k

1)
B
4  . u g 




x
,
x

(1

u
)
g
x
,
x







 
k
k








1 
 u f  2 A(k 2) B  x, x (1u ) f  A(k 1) B  x, x




k
k
1 




 
4  . (1u ) g  ( k 1) A B  x, x u g  (k 2) A2 B  x, x
 




k
k




 
 A  B  x, x

 2 
 f




 
 
 
 A  B  x, x

 2 
g
1
  f  X 2  x, x g  X 2  x, x  f Y2  x, x g Y2  x, x 
4

 ( k  1) A  B 
 2 A  ( k  2) B 
 x, x g 
 x, x
u (1  u ) f 
k
k




 2  ( k  2) A  2 B 
 2 A  ( k  2) B 
 x, x g 
 x, x
 u f 
k
k
1





4
 ( k  1) A  B  x, x g  A  ( k  1) B  x, x
2



  (1  u ) f 
k
k






 ( k  2) A  2 B  x, x g  A  (k  1) B  x, x
 u (1  u ) f 



k
k



















 ( k  2) A  2 B 
 (k  1) A  B 
 x, x g 
 x, x 
u (1  u ) f 
k
k







 A  ( k  1) B 
 ( k  1) A  B 
2
 x, x g 
 x, x 
  (1  u ) f 
k
k
1





 

4 2
2
A

(
k

2)
B
(
k

2)
A

2
B




 x, x g 
 x, x
 u f 

k
k








 A  ( k  1) B 
 (k  2) A  2 B 
 u (1  u ) f 
 x, x g 
 x, x 
k
k






(7.79)
101
eşitsizliği elde edilir. (7.79) eşitsizliğinin her iki tarafı  0,1 aralığında u ’ya göre
integrallenirse,
k
 A  B  x, x

 2 
f
2

k
2
 A  B  x, x

 2 
g
2/ k
  g  tA  (1  t ) B  x, x
 g  (1  t ) A  tB  x , x
2/k
  f  tA  (1  t ) B  x, x
 f  (1  t ) A  tB  x, x
 dt
0
 A  B  x, x g  A  B  x , x



 2 
 2 
2/ k
k  f  tA  (1  t ) B  x, x g  tA  (1  t ) B  x , x
 
4 0   f  (1  t ) A  tB  x, x g  (1  t ) A  tB  x , x

 dt
0
f
 f



1 
 
12 





 2 A  (k  2) B  x, x


k



 dt

 ( k  2) A  2 B  x , x

k





A  ( k  1) B 
( k  1) A  B 



f
 x, x g 
 x, x

k
k





( k  1) A  B 
A  ( k  1) B 



f
 x, x g 
 x, x

k
k





( k  2) A  2 B 
2 A  ( k  2) B 


f
 x, x g 
 x , x 
k
k





 f  ( k  2) A  2 B  x, x g  ( k  1) A  B  x, x 



 

k
k





  f  A  (k  1) B  x, x g  ( k  2) A  2 B  x, x 





1 
k
k







( k  1) A  B 
( k  2) A  2 B 
24 


 f
 x, x g 
 x, x 

k
k






  f  ( k  2) A  2 B  x, x g  A  ( k  1) B  x, x 


k
k




g
(7.80)
eşitsizliği elde edilir. Benzer şekilde u  kt  2 , u  kt  3 , … , u  kt  (k  2) ,
u  kt  (k 1) değişken dönüşümleri için eşitsizlikler elde edilir. (7.76), (7.80) ve diğer
değişken dönüşümleriyle elde edilen eşitsizlikler toplanınca istenen eşitsizlik elde
edilmiş olur.
Not 7.1.16. Teorem 7.1.15’de elde edilen sonuçta k  1 seçilirse (6.32) eşitsizliği elde
edilir. Teorem 7.1.15, (6.32) eşitsizliğinin genel halidir. Teorem 7.1.15’de k adım
sayısı büyüdükçe eşitsizlik daha kuvvetli hale gelmektedir.
102
7.2. Tartışma
Bu tezde konveks fonksiyonlar, matris konveks fonksiyonlar gibi fonksiyon
tiplerinin temel tanım ve teoremlerine yer verilmiştir. Matrisler için örnekleri verilerek
daha anlaşılır olması hedeflenmiştir. Konveks fonksiyonlar ve majorizasyon arasındaki
ilişki ele alınmıştır. Ayrıca Hermite-Hadamard tipi eşitsizlikler üzerine yapılan
çalışmalara yer verilmiş ve son olarak literatürde var olan Hermite-Hadamard tipi
eşitsizliklerden bazılarının genel formları elde edilmiştir.
103
8. SONUÇLAR VE ÖNERİLER
8.1. Sonuçlar
Bu tezde, operatör (matris) konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipi
eşitsizlikler ve integral eşitsizlikleri elde edilmiştir. Elde edilen eşitsizlikler daha önce
var olan eşitsizliklerin genellemesi niteliğindedir.
8.2. Öneriler
Konveks fonksiyonlar için yapılmış olan eşitsizlikler ve matris eşitsizlikleri
dikkate alınarak yeni eşitsizlikler elde edilebilir. Farklı tipteki konveks fonksiyonlar
incelenerek yeni eşitsizlik tipleri oluşturulabilir. Farklı tipteki konveks fonksiyonların
özellikleri kullanılarak operatör konveks fonksiyonlar için eşitsizlikler bulunabilir.
104
KAYNAKLAR
Ando, T, 1998, Operator-theoretic methods for matrix inequalities, unpublished notes.
Ando, T., Zhan, X., 1999, Norm inequalities related to operator monotone functions,
SIAM J. Matrix Anal. App., 22, 569-573.
Audenaert, K. M. R. , 2007, A singular value inequality for Heinz means, Linear
Algebra and its Applications, 422, 279-283.
Aujla J. S., 2000, Some norm inequalities for completely monotone functions, SIAM J.
Matrix Anal. App., 22, 569-573.
Aujla J. S. , Silva F. C. , 2003, Weak majorization inequalities and convex functions,
Linear Algebra and its Applications, 369, 217-233.
Bendat J., Sherman S., 1955, Monotone and convex operator functions, Trans. Amer.
Math. Soc., 79, 58-71.
Bhatia, R. , 1997, Matrix analysis, Springer-Verlag, New York, 112-117.
Bhatia, R. , 2007, Positive definite matrices, Princeton series in applied mathematics,
Princeton University Press, Priceton, NJ.
Boyd, S. , Vandenberghe, L., 2004, Convex optimization, Cambridge University Press,
New-York, 15-69.
Carlen E., 2009, Trace inequalities and quantum entropy:An introductory course,
Contemporary Mathematics, vol 529, 73-140.
Donoghue, W., 1974, Monotone matrix functions and analytic continuation, Springer,
Berlin, Heidelberg, New York.
Dragomir, S. S., 2011, Hermite–Hadamard’s type inequalities for operator convex
functions, Applied Mathematics and Computation, 218, 766-772.
Dragomir, S. S., 2012, Operator inequalies of the Jensen,Cebysev and Grüss type,
Springer Briefs in Mathematics, Berlin.
Hadamard, J., 1893, Etude sur les properties des fonctions entieres et en particulier
d’une fonction consideree par Riemann, J.Math. Pures appl., 58, 171-215.
Hardy, G.H., Littlewood, J.E., P’olya, G., 1934, Inequalities, Cambridge University
Press, Great Britain.
Heinz, 1951, Beitrage zur Strörungstheorie der Spektralzerlegung, Math. Ann., 123,415438.
Horn, A. R. , Johnson, C. R. , 1991, Topics in matrix analysis, Cambridge University
Press, New-York, 490-520.
105
Jensen, J.L.W.V.,1905, Om konvexe funktioner og uligheder mellem Middelvaerdier,
Nyt. Tidsskrift for Mathematik ,16B, 49-69.
Jensen, J.L.W.V.,1906, Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs
moyennes, Acta Math., 30, 175-193.
Jorswieck, E. , Boche, H. ,2006, Majorization and matrix-monotone functions in
wireless communications, Foundations and Trends in Communations and
Information Theory, vol 3, no 6, 553-701.
Krauss, F., 1936, Über konvexe Matrixfunktionen, Math.Z., 41,18-42.
Löwner, K., 1934, Über monotone Matrixfunktionen, Math. Z., 38, 177-216.
Mitrinovic, D.S., 1970, Analytic inequalities, Springer-Verlag, Berlin and New York.
Niculescu, C. P. , Persson, L. E. , 2006, Convex functions and their applications, A
contemporary approach, Springer, USA, 11-106.
Pachpatte, B. G., 2003, On some inequalities for convex functions, RGMIA Res. Rep.
Coll., 6(E).
Pecaric, J.E. , Proschan F. , Yong, Y.L., 1992, Convex functions, partial orderings and
statistichal applications, Mathematics in Science and Engineering, vol 187,
Academic Press Inc, USA.
Roberts, A. W., Varberg D. E., 1973, Convex functions, Academic Press Inc. , London,
15-220.
Rockafellar, R.T., 1970, Convex analysis, Princeton University Press, USA.
Tunç, M., 2011, On some new inequalities for convex functions, Turk J Math, 35,1-7.
Tunç, M., 2011, Bazı konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler ve
uygulamaları, Doktora Tezi, Atatürk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü,
Erzurum, 17-23.
Watkins, W. , 1974, Convex matrix funcions, Proceedings of the American
Mathematical Society, vol 44, no 1, 1-4.
Zabandan G.,2009, A new refinement of the Hermite-Hadamard inequality for convex
functions, JIPAM, vol. 10, iss. 2, art.45.
Zhang F., 2011, Matrix theory: Basic results and techniques, second ed., Springer, New
York, 325-348.
106
ÖZGEÇMİŞ
KİŞİSEL BİLGİLER
Adı Soyadı
Uyruğu
Doğum Yeri ve Tarihi
Telefon
Faks
e-mail
:
:
:
:
:
:
Vildan BACAK
T.C.
Bucak – 02.08.1987
0506 706 3399 – 0505 933 1722
vildanbacak@selcuk.edu.tr
EĞİTİM
Derece
Lise
:
Üniversite
:
Yüksek Lisans :
Doktora
:
Adı, İlçe, İl
Bucak Anadolu Lisesi, Bucak, Burdur
Selçuk Üniversitesi, Konya
Selçuk Üniversitesi , Konya
Bitirme Yılı
2006
2010
2012
İŞ DENEYİMLERİ
Yıl
1
Kurum
S.Ü.Fen Fakültesi
UZMANLIK ALANI Konveks fonksiyonlar, Matris toeri
YABANCI DİLLER İngilizce
BELİRTMEK İSTEĞİNİZ DİĞER ÖZELLİKLER
YAYINLAR
Görevi
Öğretim Yardımcısı