matematik - Pdf Kitap İndir
advertisement
ORTAÖĞRETİM
MATEMATİK
11. SINIF
DERS KİTABI
YAZARLAR
Metin ŞİŞMAN
Muslu LÖKÇÜ
Turgut OĞUZ
Özcan ATAK
DEVLET KİTAPLARI
ÜÇÜNCÜ BASKI
……………………., 2014
MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI YAYINLARI ......................................................................................... : 5752
DERS KİTAPLARI DİZİSİ .............................................................................................................. : 1555
14.?.Y.0002.4264
Her hakkı saklıdır ve Millî Eğitim Bakanlığı aittir. Kitabın metin, soru ve şekilleri
kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayınlanamaz.
EDİTÖR
Prof. Dr. Hüseyin ALKAN
DİL UZMANI
Hasan SILAY
GÖRSEL TASARIM
Rabia DALGIÇ EKİCİ
ÖLÇME-DEĞERLENDİRME UZMANI
Nuray SUNAR
PROGRAM GELİŞTİRME UZMANI
Ayşen GÜLEN
REHBERLİK UZMANI
Sinem BİLGİN
ISBN 978-975-11-3665-7
Millî Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulunun 08.12.2011 gün ve 259 sayılı kararı
ile ders kitabı olarak kabul edilmiş, Destek Hizmetleri Genel Müdürlüğünün 28.03.2014 gün
ve 1310094 sayılı yazısı ile üçüncü defa 212.881 adet basılmıştır.
Korkma, sönmez bu şafaklarda yüzen al sancak;
Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak.
O benim milletimin yıldızıdır, parlayacak;
O benimdir, o benim milletimindir ancak.
Bastığın yerleri toprak diyerek geçme, tanı:
Düşün altındaki binlerce kefensiz yatanı.
Sen şehit oğlusun, incitme, yazıktır, atanı:
Verme, dünyaları alsan da bu cennet vatanı.
Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilâl!
Kahraman ırkıma bir gül! Ne bu şiddet, bu celâl?
Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helâl.
Hakkıdır Hakk’a tapan milletimin istiklâl.
Kim bu cennet vatanın uğruna olmaz ki feda?
Şüheda fışkıracak toprağı sıksan, şüheda!
Cânı, cânânı, bütün varımı alsın da Huda,
Etmesin tek vatanımdan beni dünyada cüda.
Ben ezelden beridir hür yaşadım, hür yaşarım.
Hangi çılgın bana zincir vuracakmış? Şaşarım!
Kükremiş sel gibiyim, bendimi çiğner, aşarım.
Yırtarım dağları, enginlere sığmam, taşarım.
Ruhumun senden İlâhî, şudur ancak emeli:
Değmesin mabedimin göğsüne nâmahrem eli.
Bu ezanlar -ki şehadetleri dinin temeliEbedî yurdumun üstünde benim inlemeli.
Garbın âfâkını sarmışsa çelik zırhlı duvar,
Benim iman dolu göğsüm gibi serhaddim var.
Ulusun, korkma! Nasıl böyle bir imanı boğar,
Medeniyyet dediğin tek dişi kalmış canavar?
O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- taşım,
Her cerîhamdan İlâhî, boşanıp kanlı yaşım,
Fışkırır ruh-ı mücerret gibi yerden na’şım;
O zaman yükselerek arşa değer belki başım.
Arkadaş, yurduma alçakları uğratma sakın;
Siper et gövdeni, dursun bu hayâsızca akın.
Doğacaktır sana va’dettiği günler Hakk’ın;
Kim bilir, belki yarın, belki yarından da yakın
Dalgalan sen de şafaklar gibi ey şanlı hilâl!
Olsun artık dökülen kanlarımın hepsi helâl.
Ebediyyen sana yok, ırkıma yok izmihlâl;
Hakkıdır hür yaşamış bayrağımın hürriyyet;
Hakkıdır Hakk’a tapan milletimin istiklâl!
Mehmet Âkif Ersoy
GENÇLİĞE HİTABE
Ey Türk gençliği! Birinci vazifen, Türk istiklâlini, Türk Cumhuriyetini,
ilelebet muhafaza ve müdafaa etmektir.
Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. Bu temel, senin en
kıymetli hazinendir. İstikbalde dahi, seni bu hazineden mahrum etmek
isteyecek dâhilî ve hâricî bedhahların olacaktır. Bir gün, istiklâl ve cumhuriyeti
müdafaa mecburiyetine düşersen, vazifeye atılmak için, içinde bulunacağın
vaziyetin imkân ve şeraitini düşünmeyeceksin! Bu imkân ve şerait, çok
namüsait bir mahiyette tezahür edebilir. İstiklâl ve cumhuriyetine kastedecek
düşmanlar, bütün dünyada emsali görülmemiş bir galibiyetin mümessili
olabilirler. Cebren ve hile ile aziz vatanın bütün kaleleri zapt edilmiş, bütün
tersanelerine girilmiş, bütün orduları dağıtılmış ve memleketin her köşesi bilfiil
işgal edilmiş olabilir. Bütün bu şeraitten daha elîm ve daha vahim olmak üzere,
memleketin dâhilinde iktidara sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve hattâ hıyanet
içinde bulunabilirler. Hattâ bu iktidar sahipleri şahsî menfaatlerini,
müstevlîlerin siyasî emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fakr u zaruret içinde
harap ve bîtap düşmüş olabilir.
Ey Türk istikbalinin evlâdı! İşte, bu ahval ve şerait içinde dahi vazifen,
Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtarmaktır. Muhtaç olduğun kudret,
damarlarındaki asil kanda mevcuttur.
Mustafa Kemal Atatürk
İÇİNDEKİLER
1.ÜNİTE
KARMAŞIK SAYILAR
KARMAŞIK SAYILAR...................................................................................................................10
SANAL SAYI BİRİMİ VE KUVVETLERİ....................................................................................11
KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ...............................................................................................14
KARMAŞIK DÜZLEM.................................................................................................................15
BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ VE MODÜLÜ.................................................................17
KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ............................................21
KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ............................................23
KARMAŞIK SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ..................................................25
KARMAŞIK SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ..............................................26
EŞLENİK VE MODÜL ÖZELLİKLERİ.......................................................................................29
KARMAŞIK SAYILARDA İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER............32
İKİ KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ UZAKLIK.........................................................................33
KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL BİÇİMİ...........................................................................37
KUTUPSAL BİÇİMDE VERİLEN KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA ÇIKARMA, ÇARPMA VE
BÖLME İŞLEMLERİ....................................................................................................................42
KARMAŞIK SAYILARIN ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ.........................................47
KARMAŞIK SAYININ KUVVETLERİ........................................................................................48
KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ...............................................................................................50
1. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI...............................................................................54
2. ÜNİTE ÜSTEL FONKSİYON
ÜSTEL FONKSİYON..................................................................................................................56
LOGARİTMA FONKSİYONU......................................................................................................63
ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU VE DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU................70
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ.....................................................................74
TABAN DEĞİŞTİRME.................................................................................................................77
ÜSLÜ VE LOGARİTMİK DENKLEMLER İLE EŞİTSİZLİKLER...............................................83
2. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI...............................................................................88
3. ÜNİTE
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, OLASILIK VE İSTATİSTİK
SAYMA YÖNTEMLERİ...............................................................................................................90
FAKTÖRİYEL.................................................................................................................94
PERMÜTASYON...............................................................................................96
DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON......................................................................................100
TEKRARLI PERMÜTASYON.....................................................................................................103
KOMBİNASYON..........................................................................................................106
BİNOM AÇILIMI........................................................................................................................117
OLASILIK.........................................................................................................................120
OLASILIK FONKSİYONU.........................................................................................................123
EŞ OLASILI (OLUMLU) ÖRNEKLEM UZAY..........................................................................127
KOŞULLU OLASILIK................................................................................................................132
BAĞIMLI VE BAĞIMSIZ OLAYLAR.......................................................................................134
7
İSTATİSTİK........................................................................................................139
MERKEZİ EĞİLİM VE YAYILIM ÖLÇÜLERİ..........................................................................153
STANDART SAPMA.................................................................................................................155
STANDART PUANLAR.............................................................................................................159
3. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI..............................................................................163
4. ÜNİTE
TÜMEVARIM VE DİZİLER
TÜMEVARIM..........................................................................................................173
TOPLAM SEMBOLÜ................................................................................................................179
TOPLAM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ...............................................................................185
ÇARPIM SEMBOLÜ.................................................................................................................189
ÇARPIM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ................................................................................190
DİZİLER.........................................................................................................................194
DİZİLERDE İŞLEMLER............................................................................................................200
MONOTON DİZİLER................................................................................................................201
ARİTMETİK DİZİLER................................................................................................................204
GEOMETRİK DİZİLER.............................................................................................................211
4. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI..............................................................................218
5. ÜNİTE
MATRİS, DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
MATRİS.....................................................................................................................224
MATRİS
ÇEŞİTLERİ................................................................................................................227
İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ..........................................................................................................229
MATRİSLERDE TOPLAM İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ..........................................................232
BİR MATRİSİN BİR GERÇEK SAYI İLE ÇARPIMI...............................................................235
MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ.........................................................................................237
2X2 TÜRÜNDEN BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ..............................241
BİR MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)..............................................................................244
DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ...................................................................................247
DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN MATRİSLERLE GÖSTERİMİ VE ÇÖZÜMÜ.....249
DETERMİNANTLAR................................................................................................254
SARRUS KURALI.....................................................................................................................261
EK (ADJOİNT) MATRİS...........................................................................................................265
MATRİSLERİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ YARDIMIYLA DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ.........................................................................................................................268
CRAMMER KURALI.................................................................................................................270
5. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI............................................................................273
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARININ CEVAP ANAHTARI.........................................277
KAYNAKÇA.....................................................................................................................278
SÖZLÜK..............................................................................................................................279
8
ORGANİZASYON ŞEMASI
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ
ETKİNLİK
KAZANIMA AİT BAŞLIK
Kazanıma ait keşfettirici çalışma
Etkinlikte sorgulama basamağı
Etkinlikte sonuç basamağı Logaritma fonksiyonunda tabana eşit sayının görüntüsünün hangi reel sayı olacağını tartışınız.
log3 1 = m, log5 1 = n, log 1 = p ve ln 1 = r eşitliklerindeki m, n, p ve r değerlerini bulunuz.
İşlenişe ait çözümlü örnek
log2 2 = x, log3 3 = y, log 10 = z ve ln e = t eşitliklerindeki x, y, z ve t değerlerini bulunuz.
ÖRNEK
log5 3 = x, log5 7 = y ise log5 21 in x ve y cinsinden eşitini bulalım.
ÇÖZÜM
log5 21 = a ⇒
a ∈ R+ - { 1 }, n ∈ R ve x, y ∈ R+ için,
Bilgi notu veya hatırlatma
5a = 21 dir.
a) loga a = 1 ve loga 1 = 0 c) loga
b) loga (x.y) = loga x + loga y
()
x
= loga x - loga y y
İşlenişe ait pekiştirme soruları
ç) loga xn = n.loga x
dir.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulunuz.
a) log25 5 2.
Ünite sonu ölçme
değerlendirme soruları
b) log81 27
c) log32 1 64
ç) log 16
d) log 52 3 1
128
1
9
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
A - Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
1) Üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna ................................................. fonksiyonu denir.
2) Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna ................................................. fonksiyonu denir.
3) Üstel fonksiyonun grafiği ile logaritma fonksiyonunun grafiği ........................ doğrusuna göre
simetriktir.
B - Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
1) Tabanı 10 olan logaritmaya onluk logaritma denir.
(
)
2) Bütün üstel fonksiyondur artandır.
(
)
Haftalık 2 saat ile ilgili etkinlik, örnek, bilgi notu ve uygulama kısımlarını ihtiva eder.
KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ
ETKİNLİK
Aşağıdaki A ve B kümelerinde verilen karmaşık sayıları inceleyiniz.
A
• z2 = 2 + 5 i
• z1 = 2 + 5 i
• z3 = 5 + 2 i
• w1 = -2 + 4 i
B
• w3 = 4 - 2 i
• z4 = 7 i
• w4 = -4 - 2 i
• w2 = -2 + 4 i
A kümesindeki her bir karmaşık sayının B kümesindeki hangi karmaşık sayıya eşit olduğunu
tartışınız.
Eşit olduklarını söylediğiniz karmaşık sayıların gerçek ve sanal kısımlarını karşılaştırınız.
İki karmaşık sayının eşitliği ile ilgili bir genellemede bulununuz.
ÖRNEK
z1 = 2 + 5 i + m ve z2 = (n + 2) i - 6 karmaşık sayıları birbirine eşit ise m ve n değerlerini bulalım.
ÇÖZÜM
1.
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
A - Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
1) a, b ∈ R ve z = a + b i ise b ye z karmaşık sayısının ................................................. denir.
2) İki karmaşık sayının birbirine eşit olabilmesi için ................................................. olmalıdır.
B - Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
1) Her tam sayı bir rasyonel sayıdır.
( )
2) Her irrasyonel sayı bir karmaşık sayıdır.
( )
3) Her doğal sayı bir sanal sayıdır.
( )
4) Arg (z1.z2) = Arg (z1).Arg (z2) tür.
( )
C - Aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
1) Aşağıda verilen karmaşık sayıların sanal ve gerçek kısımlarını bulunuz.
7 + 3i
a) z = 4 - 2 i
b) z =
c) z = 5 i
2
2) Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a) x2 - 4x + 3 = 0
b) x2 + x + 5 = 0 Önce z1 ve z2 karmaşık sayılarını standart biçimde yazalım.
z1 = 2 + m + 5 i z2 = - 6 + (n + 2) i
⇒ z1 = z2 ⇒
2 + m = -6 O hâlde, z1 = 2 + (- 8) + 5 i ⇒ z1 = - 6 + 5 i
ve m = - 8 5=n+2
n = 3 olur.
ve z2 = - 6 + (3 + 2) i ⇒ z2 = - 6 + 5 i olur.
a, b, c, d ∈ R, z1 = a + b i ve z2 = c + d i olmak üzere,
z1 = z2 ⇔ a = c ve b = d dir.
UYGULAMA
a) z1 = 2
b) z2 = 5 i
ç) z4 = 2 + 5 i
ç) z = 9
1) Aşağıda verilen karmaşık sayıların gerçek ve sanal kısımlarını bulunuz.
d) z5 = 3 i + 2
c) z3 = 2 - 4 i
e) z6 = -2 + 5 i
2) Re(x + 4 i) + Im((x - 1) i ) = 11 denklemini sağlayan x değerini bulunuz.
c) x2 + 9 = 0
Haftalık 2 saat ile ilgili ünite değerlendirme ve
uygulama soruları gri zemin ile verilmiştir.
9
1. ÜNİTE
KARMAŞIK SAYILAR
Mandelbrot kümesi, Benoit Mandelbrot’un (Benö
Mandelburo) teorisidir. Matematikte Mandelbrot kümesi,
fraktal şekli oluşturan sınırları belirleyen, karmaşık düzlemdeki sayılar kümesidir. Fraktallar doğada, ağaçların
yapraklarının diziliminde ve akciğerlerin damarlarının
dallanmasında olduğu gibi birçok alanda doğal olarak
bulunur.
Mandelbrot kümesinin renklendirilmiş çizimi
ETKİNLİK
x + 3 = 0 denkleminin doğal sayılar kümesindeki çözümünü bulunuz. Bu denklemin doğal
sayılar kümesinin genişletilmesiyle elde edilen tam sayılar kümesindeki çözümünü tartışınız.
2x - 5 = 0 denkleminin tam sayılar kümesindeki çözümünü bulunuz. Aynı denklemin tam
sayılar kümesinin genişletilmesiyle elde edilen rasyonel sayılar kümesindeki çözümünü tartışınız.
x2 - 4 = 0 ve x2 + 25 = 0 denklemlerinin gerçek sayılar kümesindeki çözüm kümelerini bulunuz.
Gerçek sayılar kümesinin genişletilmesiyle oluşturulabilecek yeni bir kümede x2 + 25 = 0 denkleminin çözüm kümesinin boş kümeden farklı bir küme olup olamayacağını tartışınız.
ÖRNEK
x2 + 3 = 0 denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulalım.
ÇÖZÜM
x2 + 3 = 0
⇒
x2 = -3
⇒
x = -3 dir. -3 ∉ R olduğundan Ç = ∅ olur.
Bazı denklemlerin gerçek sayılarda çözümü olmadığından bu denklemlerin boş kümeden
farklı çözüm kümeleri için yeni bir sayı kümesine ihtiyaç vardır.
Carl Friedrich Gauss (Karl Firidrih Gavs) (1777 – 1855): Katkıda bulunduğu alanlardan bazıları; sayılar kuramı, analiz, diferansiyel geometri, jeodezi,
elektrik, manyetizma, astronomi ve optiktir. “Matematikçilerin prensi” ve “Antik
Çağlardan beri yaşamış en büyük matematikçi” olarak da bilinen Gauss, matematiğin ve bilimin pek çok alanını etkilemiştir. Tarihin en nüfuzlu matematikçilerinden biri olarak kabul edilir. Gauss, sanal sayıları doktora tezinde kullanması ile matematik dünyasında yeni bir pencere açmıştır.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
a) Her denklemin gerçek sayılar kümesinde bir çözümü .................................... .
b) x + 3 = 0 denkleminin doğal sayılar kümesindeki çözümü .................................... tür.
2) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
2
(
)
2
(
)
a) x + 16 = 0 denkleminin gerçek sayılarda kökü yoktur.
b) x + x - 6 = 0 denkleminin gerçek sayılarda kökü vardır.
3) Aşağıdaki denklemlerin gerçek sayılar kümesinde çözüm kümelerini bulunuz.
a) 5x + 15 = 0
10
b) 2x - 3 = 0
c) x2 - 16 = 0
ç) x2 + 49 = 0
ETKİNLİK
SANAL SAYI BİRİMİ VE KUVVETLERİ
Aşağıda yapılan işlemleri inceleyerek verilen boşlukları örneğe uygun biçimde doldurunuz.
-1 = 1.(-1) = 1.-1 = -1 -9 = 9.(-1) = 9.-1 = 3-1
-3 = 3.(-1) = 3.-1
-
1
=
4
1
.(-1) =
4
1
1
.-1 = .-1
2
4
-8 = .....................................................
-4 = .........................................................
Tüm negatif sayıların karekökleri için aynı işlem yapılabilir mi? Tartışınız.
Negatif sayıların kareköklerinde ortak çarpan hakkında bir genellemede bulununuz.
Negatif sayıların kareköklerini nasıl bir sembolle gösterebilirsiniz. Tartışınız.
ÖRNEK
-16
ve -20 ifadelerinin her birini -1 cinsinden yazalım.
ÇÖZÜM
-16 = 16.(-1) = 16.-1 = 4-1
-20 = 20.(-1) = 20.-1 = 25-1 dir.
Negatif sayıların karekökleri söz konusu olduğunda karşılaşılan -1 ortak çarpanına sanal sayı birimi denir. Matematikçi Euler (Öyler), bu sanal sayı birimini i ile göstermiştir. Yapısı
göz önüne alındığında, -1 = i ⇒ i2 = -1 olduğu görülür.
a > 0 olmak üzere, -a = a.i = i.a olarak ifade edilir. Negatif sayıların kareköklerine
sanal sayılar denir.
ÖRNEK
-32 ve -7 şeklindeki köklü ifadeleri sanal sayı birimi cinsinden yazalım.
ÇÖZÜM
-1 = i olduğuna göre -32 = 32.-1 = 42 i , -7 = 7.-1 = 7 i biçiminde yazılabilir.
ÖRNEK
-4.-9 işleminin sonucunu bulalım.
ÇÖZÜM
(I) : -4.-9 = (-4).(-9) = 36 = 6,
(II) : -4.-9 = 4.-1.9.-1 = 2 i .3 i = 6 i2 = 6.(-1) = -6 dır.
-4 ve -9 sayıları birer gerçek sayı olmadığından -4.-9 ≠ (-4).(-9) dir. Bu yüzden (I) deki
çözüm yanlıştır. Bu işlemin doğru çözümü (II) de görüldüğü gibidir.
ETKİNLİK
Aşağıdaki işlemleri noktalı yerleri doldurarak sonuçlandırınız.
i = -1, i2 = -1 olduğuna göre,
i3 = i2.i = .............. i5 = i4.i = ..............
i7 = i4.i3 = ..............
i4 = i2.i2 = .............. i6 = i4.i2 = ..............
i8 = i4.i4 = ..............
i nin hangi kuvvetlerinde aynı sonuçları bulduğunuzu tartışınız.
Sanal sayı biriminin kuvvetleri için bir genellemede bulununuz.
i20 = ..............
i41 = ..............
dır.
ÖRNEK
i60, i73, i82 ve i103
sayılarını bulalım.
11
ÇÖZÜM
15
i60 = (i 4 ) = 115 = 1,
18
i73 = i72 + 1 = i72. i = (i 4 ) . i = 118. i = 1. i = i
20
i82 = i80 + 2 = i80. i2 = (i 4 ) . i 2 = i 2 = -1
25
i103 = i100 + 3 = i100. i3 = (i 4 ) . i 3 = i 25 . i 3 = - i k
m
k, m ∈ N ve k nın 4 ile bölümünden kalan m ise i = i dir. Dolayısıyla n ∈ N olmak üzere,
1,
k = 4n
k
i
,
k = 4n + 1
i =
-1, k = 4n + 2
-i , k = 4n + 3 olur.
ÖRNEK
i24, i79, i186 ve i-13 sayılarının en sade şeklini bulalım.
ÇÖZÜM
6
19
i24 = (i 4 ) = 16 = 1
i79 = (i 4 ) .i3 = 119 .(- i ) = - i
46
-3
i186 = (i 4 ) .i2 = 146 .(-1) = -1
i-13 = (i 4 ) .i-1 = 1-3.i-1 = 1.i-1 = i 4 .i-1 = i4 - 1
=
bulunur.
ÖRNEK
n ∈ N olmak üzere,
i24n + 7 ve i2012n - 3
i3 = - i
sayılarının en sade şeklini bulalım.
ÇÖZÜM
6n
i24n + 7 = i24n. i7 = (i 4 ) .i4 .i3 = 16n .1.(- i ) = - i
503n -3
i2012n - 3 = i2012n. i-3 = (i 4 )
503n
.i = 1
4
4-3
.i = 1.i = i .i = i
-3
-3
-3
1
=i =i
bulunur.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
32 i
-144 = ?
-
12 i
25
=?
9
13 i
i
-13 = ?
5
3
-18 = ?
12 i
2) Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere uygun ifadeleri yazınız.
a) Sanal sayı birimi ......... ile gösterilir. b) -1 = i ise i + i = ............. dir.
3) Aşağıdaki verilen ifadelerin en sade şeklini sanal sayı biriminin kuvvetlerinden yararlanarak
bulunuz.
15
11+ 8n
a) i
12n
d) i
12
21
b) i
-12
e) i
-48n + 23
c) i
f)
-1907
i4n +15 + i24n - 2 i36n - 52
ç) i
g)
981
i300n + 123 + i76n + 1
i-28n + 2
ETKİNLİK
x2 + 2x + 4 = 0 denklemi veriliyor.
Denklemin diskriminantını bulunuz.
x1 = -b + Δ ve x2 = -b - Δ bağıntılarından yararlanarak denklemin köklerini köklü ifade
2a
2a
cinsinden yazınız.
Sanal sayı birimi kullanarak kökleri (a + b i) biçiminde ifade ediniz.
Elde ettiğiniz bu köklerin hangi sayı kümesine ait olabileceğini tartışınız.
ÖRNEK
x2 - 2x + 10 = 0 denkleminin köklerini bulalım.
ÇÖZÜM
Δ = b2 - 4ac = (-2)2 - 4.1.10 = 4 - 40 = -36 dir. Bu durumda denklemin gerçek kökü yoktur.
Kökleri sanal sayı biriminden yararlanarak yazalım.
x1 =
-b + Δ -(-2) + -36 2+6 i
-b - Δ -(-2) - -36 2 - 6 i
=
=
= 1+3 i ve x2 =
=
=
= 1- 3 i olur.
2
2
2a
2.1
2a
2.1
a, b ∈ R ve i = -1 sanal sayı birimi olmak üzere a + b i biçimindeki sayılara karmaşık
sayılar denir.
Bu sayıların oluşturduğu kümeye karmaşık (kompleks) sayılar kümesi adı verilir ve C ile
gösterilir. Başka bir deyişle, C = { z | z = a + b i, a, b ∈ R, i = -1 } kümesi karmaşık sayılar
kümesi olarak adlandırılır. Bu kümesinin elemanları standart biçimde z = a + b i olarak gösterilir.
Bu sayılara karmaşık sayılar denir. a ∈ R sayısına z nin gerçek kısmı Re(z), b ∈ R sayısına da z nin sanal kısmı Im(z) denir. Re(z) = a ve Im(z) = b biçiminde gösterilir.
ÖRNEK
z = 4 + 6 i sayısının gerçek (reel) ve sanal kısımlarını bulalım.
ÇÖZÜM
Re(z) = 4 ve
Im(z) = 6
dır.
ÖRNEK
z1 = 4 + 2 i, z2 = 4 ve z3 = 2 i karmaşık sayılarının gerçek ve sanal kısımlarını bulalım.
ÇÖZÜM
z1 = 4 + 2 i ise Re(z1) = 4 ve Im(z1) = 2
z2 = 4 + 0 i ise Re(z2) = 4 ve Im(z2) = 0
z3 = 0 + 2 i ise Re(z3) = 0 ve Im(z3) = 2 bulunur.
Bu sayıları dikkatlice incelediğimizde z2 nin sanal kısmı sıfır ve z3 ün de gerçek kısmı sıfır olankarmaşık sayı olduğunu görmekteyiz.
Dolayısıyla her gerçek sayının a + 0. i biçiminde, aynı şekilde her sanal sayının da 0 + b i biçiminde yazılabilen bir karmaşık sayı olduğu söylenebilir. O hâlde, hem gerçek sayılar hem de sanal
sayılar kümesi karmaşık sayılar kümesinin birer alt kümeleridir.
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Doğal Sayılar
Tam Sayılar Rasyonel Sayılar
Gerçek Sayılar
Karmaşık Sayılar
13
KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ
ETKİNLİK
Aşağıdaki A ve B kümelerinde verilen karmaşık sayıları inceleyiniz.
A
• z2 = 2 + 5 i
• z1 = 2 + 5 i
• w3 = 4 - 2 i
• z4 = 7 i
• w1 = -2 + 4 i
B
• z3 = 5 + 2 i
• w4 = -4 - 2 i
• w2 = -2 + 4 i
A kümesindeki her bir karmaşık sayının B kümesindeki hangi karmaşık sayıya eşit olduğunu
tartışınız.
Eşit olduklarını söylediğiniz karmaşık sayıların gerçek ve sanal kısımlarını karşılaştırınız.
İki karmaşık sayının eşitliği ile ilgili bir genellemede bulununuz.
ÖRNEK
z1 = 2 + 5 i + m ve z2 = (n + 2) i - 6 karmaşık sayıları birbirine eşit ise m ve n değerlerini bulalım.
ÇÖZÜM
Önce z1 ve z2 karmaşık sayılarını standart biçimde yazalım.
z1 = 2 + m + 5 i ⇒ z1 = z2 ⇒
z2 = - 6 + (n + 2) i
2 + m = -6 5=n+2
m = - 8 O hâlde, z1 = 2 + (- 8) + 5 i ⇒ z1 = - 6 + 5 i
ve n = 3 olur.
ve z2 = - 6 + (3 + 2) i ⇒ z2 = - 6 + 5 i olur.
a, b, c, d ∈ R, z1 = a + b i ve z2 = c + d i olmak üzere,
z1 = z2 ⇔ a = c ve b = d dir.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a) x - 4x - 21 = 0
2
{-
{
{
b) 9x + 25 = 0
2
c) x + 3x + 5 = 0
2
5
i, - 5
3
3
d) z5 = 3 i + 2
c) z3 = 2 - 4 i
e) z6 = -2 + 5 i
3) Re(x + 4 i) + Im((x - 1) i ) = 11 denklemini sağlayan x değerini bulunuz.
4) z1 = x - 2 + 3 i, z2 = 5 + (4 + y) i ve z1 = z2 ise (x - y) farkı kaçtır?
5) 3k + 4 i - 2 + m i = 2k - 5 i + 3 - 2m i ise (k + m) toplamı kaçtır?
A) -3
B) 2
C) 3
D) 5
E) 8
}
i}
i
11
i , - 11
2
2
b) z2 = 5 i
ç) z4 = 2 + 5 i
14
{ 7 , -3}
2) Aşağıda verilen karmaşık sayıların gerçek ve sanal kısımlarını bulunuz.
a) z1 = 2
}
3 11
+
i , - 3 - 11
i
2
2
2
2
KARMAŞIK DÜZLEM
ETKİNLİK
Aşağıda verilen bazı sanal sayılar, sayı doğrusundaki katsayıları ile eşleştirilmiştir. Boş kutuları uygun biçimde doldurunuz.
-4
-3
0
-1 -1
-2-3
2
-3 i
1 2
-i
2
3 13
4
4
2i
Bunun gibi bütün sanal sayıların eşlendiği noktaların oluşturduğu sayı doğrusuna sanal sayı
ekseni denir.
Şimdi de aşağıdaki A, B ve C kümelerinin elemanlarını inceleyiniz.
A
B
•0
•1
C
• 2i
•2
• -3
•0
• -i
• -4 i
•1+i
• 3 - 2i
•4-i
•0
A kümesinin elemanlarını aşağıdaki gerçek eksende, B kümesinin elemanlarını aşağıdaki
sanal eksende gösteriniz.
Gerçek eksen
0
Sanal eksen
0
Sanal eksen
3
2
1
-2 -3 -1
0
2
1 3 2
-1
3
4
Gerçek
eksen
2
-2
-2
Gerçek ve sanal eksenlerin ortak noktası olan başlangıç noktasında bu eksenlerin birbirine
dik kesiştirilmesi ile oluşan yukarıdaki düzlemi inceleyiniz.
Oluşturulan bu düzlemde C kümesinin elemanlarını gösteriniz.
Karmaşık sayılar kümesinin bütün elemanlarının gösterilip gösterilemeyeceğini tartışınız.
ÖRNEK
z1 = 2 + 0. i, z2 = 0 - 3 i, z3 = 2 + 5 i, z4 = -3 + 4 i, z5 = -1 - 2 i ve z6 = 3 - 4 i karmaşık sayılarını
gerçek ve sanal eksenlerin O noktasında dik kesişmesiyle oluşan düzlemde gösterelim.
15
ÇÖZÜM
Sanal eksen
z3 = 2 + 5 i
5
z4 = -3 + 4 i
4
3
2
-1
-5 -4 -3 -2
z5 = -1 - 2 i
1
0
1
2
3
4
5
Gerçek eksen
z1 = 2 + 0. i
-1
-2
z2 = 0 - 3 i -3
-4
z6 = 3 - 4 i
-5
Gerçek ve sanal eksenlerin başlangıç noktasında dik kesişmeleri ile oluşan sisteme karmaşık sayılar düzlemi ya da kısaca karmaşık düzlem adı verilir.
a, b ∈ R olmak üzere, z = a + b i karmaşık sayısı karmaşık düzlemde,
Sanal eksen
y
veya
z = a + bi
b
0
a
z = a + bi
b
Gerçek eksen
0
x
a
biçiminde gösterilir.
ÖRNEK
a) Re(z) < -2,
b) Im(z) ≤ 3,
c) Re(z) < -2 ve
gösterelim.
Im(z) ≤ 3 eşitsizliklerini sağlayan z karmaşık sayılarını karmaşık düzlemde
ÇÖZÜM
a)
b)
y
16
0
y
3
3
3
-2
c)
y
x
0
x
-2
0
x
ÖRNEK
Sanal kısmı sıfır olan tüm karmaşık sayıların karmaşık düzlemdeki geometrik yerini bulalım.
ÇÖZÜM
y
x
0
Gerçek eksen üzerindeki tüm noktalara
karşılık gelen karmaşık sayıların sanal kısmı sıfır
olduğundan aradığımız yer gerçek eksendir.
UYGULAMA
1) Aşağıda verilen karmaşık sayıları karmaşık düzlemde gösteriniz.
a) -3 + i
b) -2 i
c) 5 i ç) 2
d) 4 + 2 i
2) Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
a) Bir karmaşık sayı, gerçek kısmı ......................... eksenden, sanal kısmı .................................
eksenden alınarak karmaşık düzlemde gösterilir.
b) Gerçek kısmı sıfır olan karmaşık sayıların geometrik yeri ......................... eksendir.
3) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) z = 3 - 4 i ise Re(z) + Im(z) = 7 dir. b) a, b ∈ R ise z = a + b i sayısına karmaşık sayı denir.
(
(
)
)
4) 2 ≤ a ≤ 4 ve 1 ≤ b ≤ 3 olmak üzere, (a + b i) karmaşık sayılarını karmaşık düzlemde gösteriniz.
BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ VE MODÜLÜ
ETKİNLİK
Aşağıda verilen karmaşık sayı çiftlerinin her birini altlarında verilen karmaşık düzlemde gösteriniz.
z1 = 1 - 2 i ve z2 = 1 + 2 i
z3 = -2 + 5 i ve z4 = -2 - 5 i
y
0
y
x
0
x
Verilen sayı çiftlerinin karmaşık düzlemdeki görüntülerinin gerçek eksene göre durumlarını
açıklayınız.
ÖRNEK
Aşağıda verilen karmaşık sayılara karşılık gelen noktaların gerçek eksene göre simetriği olan
noktaları bulalım ve bu noktalara karşılık gelen karmaşık sayıları inceleyelim.
a) z1 = 3 + 2 i b) z2 = - 2 - 3 i
17
ÇÖZÜM
a)
b)
y
z1 = 3 + 2 i
2
y
z = -2 + 3 i
3
2 br
0
3
-2
x
3 br
2 br
x
0
-2
z = 3 - 2i
3 br
-3
z2 = -2 - 3 i
a, b ∈ R olmak üzere, a + b i ve a - b i karmaşık sayılarına birbirinin eşleniği denir. Bir karmaşık sayı ile eşleniğinin karşılık geldiği noktalar
gerçek eksene göre simetriktir.
Herhangi bir z karmaşık sayısının eşleniği z
ile gösterilir. z = a + b i karmaşık sayısının eşleniği z = a - b i karmaşık sayısıdır.
y
z = a + bi
b
a
0
x
z = a - b i
-b
ETKİNLİK
Aşağıdaki sayı doğrusu üzerindeki noktalara karşılık gelen sayıları inceleyiniz.
0
-5
3
Bu sayıların her birinin mutlak değeri ile eşlendiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığını ilişkilendiriniz.
Aşağıda verilen karmaşık düzlemlerde işaretlenen karmaşık sayıları inceleyiniz.
y
0
y
y
z1 = 2 + 0. i
x
3
z3 = 4 + 3 i
x
0
z2 = -3 i
0
x
4
z1, z2 ve z3 karmaşık sayılarının başlangıç noktasına olan uzaklıklarını bulunuz.
Bir karmaşık sayının başlangıç noktasına olan uzaklığının, gerçek ve sanal kısımlarının kullanılarak nasıl bulunabileceğini tartışınız.
ÖRNEK
z = -12 + 5 i karmaşık sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığını bulalım.
ÇÖZÜM
z = -12 + 5 i karmaşık sayısına karşılık gelen noktayı karmaşık düzlemde işaretleyerek başlangıç noktasına birleştirelim.
18
y
A z = -12 + 5 i
5
5 br
B
-12
O
12 br
y
z = a + bi
b
|
|z
0
b br
x
a
a br
x
ABO nde Pisagor bağıntısından yararlanarak,
|OA|2 = |OB|2 + |AB|2
|OA|2 = 12 2 + 52
|OA|2 = 169
|OA| = 13 br bulunur.
Karmaşık düzlemde bir z karmaşık sayısına karşılık gelen
noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına bu karmaşık sayının modülü denir ve |z| biçiminde gösterilir.
a, b ∈ R ve z = a + b i olmak üzere z karmaşık sayısının
modülü karmaşık düzlemde, |z| = | a + b i | = a2 + b2 dır.
ÖRNEK
z = 8 + 6 i ve z = 8 - 6 i karmaşık sayılarının modüllerini bulalım.
ÇÖZÜM
Sanal eksen
z = 8 + 6 i ve z = 8 - 6 i karmaşık sayılarına
karşılık gelen noktaları karmaşık düzlemde işaretleyerek z ile z modülünü bulalım.
z = 8 + 6i
6
| z|
8
0
| z
-6
|
Gerçek eksen
|z|
= 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 10
| z | =
z = 8 - 6 i
(-6)2 + 82 = 36 + 64 = 100 = 10
Bir z karmaşık sayısının modülü ile eşleniği olan z karmaşık sayısının modülü birbirine
eşittir. |z| = | z | dür.
ÖRNEK
z ∈ C, |z| = 7 ve z = 3 - 2a i olduğuna göre a nın pozitif değerini bulalım.
ÇÖZÜM
|z|
= | 3 - 2a i | = 7 ⇒
⇒
32 + (-2a)2 = 7
9 + 4a2 = 7
⇒ 9 + 4a2 = 49
⇒ 4a2 = 40
⇒ a2 = 10
⇒ a = 10, a = 10 olur.
19
ÖRNEK
|z|
= 2 koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki geometrik yerini bulalım.
ÇÖZÜM
z = x + y i alalım.
|z|
= 2 ⇒ | x + y i | = 2
⇒
x2 + y2 = 2
⇒ x2 + y2 = 4 olur.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun ifadeleri yazınız.
a) | 5 - 12 i | + | 6 - 8 i | + | -7 - 24 i | = ......................... dır.
b) Karmaşık düzlemde bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın orijine olan uzaklığına karmaşık sayının ......................... denir.
2) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
Modülü en küçük olan karmaşık sayıyı bulunuz.
5
Gerçek kısmı 5 ve modülü 13 olan karmaşık sayıları bulunuz.
12 i
5 - 12 i
z = 3 - 4 i ise z modülünü bulunuz.
0
3) z1 = 3 - i, z2 = 10 ve z3 = 1 + 3 i karmaşık sayılarının modüllerini bulunuz. Modülleri karşı-
laştırınız. Modülleri birbirine eşit karmaşık sayıların karşılık geldiği noktaların geometrik yeri nedir?
4) Aşağıda verilen çizelgedeki noktalı yerleri örneğe uygun biçimde doldurunuz.
Karmaşık sayı
Modülü
z = 8 + 15 i
8
15
z = -3 - 4 i
.....
.....
.....................
z = 7 - 24 i
.....
.....
.....
z = 3 - i
z = 5 + 7 i
z=
20
Gerçek Sanal
kısmı kısmı
1 3
+
i
2
2
Karmaşık sayının eşleniği
82 + 152 = 17 z = 8 - 15 i
Eşleniğin Eşleniğin
gerçek
sanal
kısmı
kısmı
Eşleniğin modülü
82 + (-15)2 = 17
8
-15
..................
.....
.....
..........................
.....................
..................
.....
.....
..........................
.....
.....................
..................
.....
.....
..........................
.....
.....
.....................
..................
.....
.....
..........................
.....
.....
.....................
..................
.....
.....
..........................
KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ
ETKİNLİK
Aşağıdaki tabloyu inceleyerek boş bırakılan yerleri doldurunuz.
z1
z2
z1 + z2
z1 - z2
3i
2i
3i + 2i = 5i
2 + 3i
1 - 5i
2 + 3i + 1 - 5i = 3 - 2i
3i - 2i = i
(2 + 3 i) - (1 - 5 i)
= 2 + 3i - 1 + 5 i = 1 + 8i
4
-2i
......................................................
......................................................
1 + 6i
3
1
+ i
2
2
-1 - i
1 - 5i
2
......................................................
......................................................
......................................................
......................................................
-i + 1
7 + 3i
......................................................
......................................................
Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken gerçek kısımlar ve sanal kısımlar
arasındaki bağıntıyı tartışınız.
ÖRNEK
z1 = 4 + (m - 2) i ve z2 = n - 5 + 6 i için z1 + z2 = 2 - i olduğuna göre m.n değerini bulalım.
ÇÖZÜM
z1 + z2 = 4 + (m - 2) i + n - 5 + 6 i
= 4 + n - 5 + (m - 2) i + 6 i
= n - 1 + [(m - 2) + 6 ] i
= n - 1 + (m + 4) i dır.
Bu durumda,
n - 1 + (m + 4) i = 2 - i
n - 1 = 2 ve
n=3
O hâlde, m.n = (-5).3 = 15 bulunur.
m + 4 = -1
m = -5
dir.
Karmaşık sayılar toplanırken veya çıkarılırken gerçek kısımlar kendi aralarında ve sanal
kısımlar kendi aralarında toplanır veya çıkarılır.
ETKİNLİK
z1 = 1 + 4 i, z2 = 5 + i ve z1 + z2 = 6 + 5 i karmaşık
sayılarına karşılık gelen noktalar karmaşık düzlemde
sırasıyla A, B ve C ile gösterilerek işaretlenmiş ve A ile
B noktaları O ve C ile birleştirilmiştir. İnceleyiniz.
y
|AO| ve |OB| nu z1 ve z2 nin modüllerinden
yararlanarak bulunuz.
5
4
4
z1 = 1 +
C
i
z1 + z2 = 6 + 5 i
A
O
B
1
1
5
z2 = 5 + i
x
6
1. Şekil
21
y
Oluşturulan AKC ile BLC nin hipotenüs uzunluklarını
Pisagor bağıntısı yardımıyla bulunuz.
|AC| ile |OB| nu ve |OA| ile |BC| nu karşılaştırınız.
Oluşan OACB dörtgenine ne ad verildiğini tartışınız.
5
4
1
K
C
A
L
B
O
1
x
5 6
z1 = 1 + 4i, z2 = 5 + i ve z1 - z2 = -4 + 3i karmaşık sayıları elde ediliyor. z1, -z2 ve z1 - z2 karmaşık
sayıları karmaşık düzlemde aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
y
|OA| ve |OL| nu z1 ve -z2 nin modüllerin-
den yararlanarak bulunuz.
Oluşturulan TLM ve MRA nin hipotenüs
uzunluklarını Pisagor bağıntısı yardımıyla bulunuz.
|OL| ile |MA| nu ve |OA| ile |LM| nu karşılaştırınız.
Oluşan OAML dörtgenine ne ad verildiğini tartışınız.
R
T M
A
4
z1-z2 = -4 + 3i
z1 = 1 + 4i
3
B
1
-5
O
-4
L
-z2 = -5 - i
-1
1
5
z2 = 5 + i
x
ÖRNEK
y
5
A
B
z1 = 1 + 5 i
Yandaki OABC paralelkenarında A noktasına z1 = 1 + 5 i,
C noktasına z2 = 7 +
1
O
C
1
7
i
karmaşık sayısı karşılık gelmektedir.
Buna göre B noktasına göre karşılık gelen karmaşık sayıyı bu-
z2 = 7 + i
lalım.
x
ÇÖZÜM
OABC paralelkenar olduğundan B köşesi z1 + z2 karmaşık sayısına karşılık gelir. O hâlde,
z1 + z2 = 1 + 5 i + 7 + i = 8 + 6 i
bulunur.
Karmaşık düzlemde ardışık üç köşesi z1, 0 + 0 i ve z2 karmaşık sayıları olan paralelkenarın dördüncü köşesi z1 + z2 karmaşık sayısı; z1, 0 + 0 i ve -z2 karmaşık sayıları olan paralelkenarın dördüncü köşesi z1 - z2 karmaşık sayısıdır.
y
z1
O
22
y
z1 + z2
z2
z1 - z2
z1
x
-z2
O
z2
x
TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
ETKİNLİK
Karmaşık sayılar kümesinden seçilen z1 = 3 + 4 i, z2 = 1 + 2 i ve z3 = 5 + 7 i karmaşık sayıları için,
z1 + z2 toplamının sonucunun bir karmaşık sayı olup olmadığını tartışınız.
z1 + z2 ile z2 + z1 ve (z1 + z2) + z3 ile z1 + (z2 + z3) toplamlarının sonuçlarını karşılaştırınız.
z1, z2 ve z3 karmaşık sayılarını 0 + 0 i karmaşık sayısı ile toplayınız ve sonuçları inceleyiniz.
z1 + (-z1) ile (-z1) + z1 toplamının hangi karmaşık sayıya eşit olduğunu söyleyiniz.
Karmaşık sayılarda toplama işleminin özellikleri hakkında genellemelerde bulununuz.
ÖRNEK
z1 = 2 + 3 i, z2 = -1 + 4 i ve z3 = 5 - 2 i karmaşık sayıları için,
a) z1 + z2
b) z1 + z2 ile z2 + z1
ç) z1 + 0 + 0 i ile 0 + 0 i + z1
c) (z1 + z2) + z3 ile z1 + (z2 + z3)
d) z1 + (-z1) ile (-z1) + z1
işlemlerini inceleyelim.
ÇÖZÜM
a) z1 + z2 = 2 + 3 i + (-1) + 4 i = 2 + (-1) + 3 i + 4 i = (1 + 7 i) ∈ C dir.
b) z1 + z2 = 1 + 7 i
z2 + z1 = -1 + 4 i + 2 + 3 i = -1 + 2 + 4 i + 3 i = 1 + 7 i dir. O hâlde, z1 + z2 = z2 + z1 dir.
c) z2 + z3 = -1 + 4 i + 5 - 2 i = -1 + 5 + 4 i - 2 i = 4 + 2 i
(z1 + z2) + z3 = 1 + 7 i + 5 - 2 i = 1 + 5 + 7 i - 2 i = 6 + 5 i
z1 + (z2 + z3) = 2 + 3 i + 4 + 2 i = 2 + 4 + 3 i + 2 i = 6 + 5 i dir. O hâlde, (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) dir.
ç) z1 + 0 + 0 i = 2 + 3 i + 0 + 0 i = 2 + 0 + 3 i + 0 i = 2 + 3 i = z1
0 + 0 i + z1 = 0 + 0i + 2 + 3 i = 0 + 2 + 0 i + 3 i = 2 + 3 i = z1 dir. O hâlde, z1 + 0 + 0i = 0 + 0i + z1 = z1 dir.
d) -z1 = -(2 + 3 i) = -2 - 3 i
z1 + (-z1) = 2 + 3 i + (-2 - 3 i) = 2 + (-2) + 3 i + ( - 3 i) = 0 + 0 i
(-z1) + z1 = -2 - 3i + 2 + 3i = -2 + 2 + (-3 i) + 3 i = 0 + 0 i dir. O hâlde, z1 + (-z1) = (-z1) + z1 = 0 + 0i dir.
∀z1, z2, z3 ∈ C için,
1) (z1 + z2) ∈ C olduğundan toplama işleminin kapalılık özelliği vardır.
2) z1 + z2 = z2 + z1 olduğundan toplama işleminin değişme özelliği vardır.
3) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) olduğundan toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
4) z1 + 0 + 0 i = 0 + 0 i + z1 = z1 olduğundan (0 + 0 i) toplama işleminin etkisiz elemanıdır.
5) z1 + (-z1) = (-z1) + z1 = 0 + 0 i olduğundan z1 = a + b i karmaşık sayısının toplama
işlemine göre tersi -z1 = -a - b i dir.
ÖRNEK
z1 = 2 - 3 i5 + 4 i11 ve z2 = -5 + 3 i16 + i21 sayıları veriliyor. z3 = (z1 + z2) + z2 olduğuna göre z3
karmaşık sayısının toplama işlemine göre tersini bulalım.
ÇÖZÜM
z1 = 2 - 3 i5 + 4 i11
z2 = -5 + 3 i16 + i21 z2 = -2 - i
4
4
8 3
z1 = 2 - 3. i . i + 4. i . i
z2 = -5 + 3.(i4 ) + i20 . i
2
5
z1 = 2 - 3.1. i - 4. (i4 ) . i z2 = -5 + 3. 14 + (i4 ) . i
z1 = 2 - 3 i - 4. 12 . i
z2 = -5 + 3. 1 + 15 . i
z1 = 2 - 3 i - 4 i
z2 = -5 + 3 + i
z1 = 2 - 7 i
z2 = -2 + i
23
z3 = [(2 - 7 i) + (-2 + i)] + (-2 - i) = -6 i + (-2 - i) = -2 - 7 i
olduğundan z3 ün toplama işlemine göre tersi 2 + 7 i karmaşık sayısı olur.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki ifadelerdeki noktalı yerleri doldurunuz.
a) z karmaşık sayısının eşleniği z ise z + z toplamı bir . ............................. sayıdır.
b) z1 = 3 - 2 i ve z2 = -2 + 3 i ise z1 + z2 = . ............................ dır.
2) z1 = 3 + 2 i, z2 = 2 - x i, z3 = y + 1 + 3 i ve z4 = 2y + (x + 2) i karmaşık sayıları arasında
z1 + z2 = z3 + z4 bağıntısı varsa x + y toplamını bulunuz. (x, y ∈ R)
3) z1 ve z2 karmaşık sayıları veriliyor. z1 = 3 + 4 i ve z1 + z2 = 5 - 2 i olduğuna göre z2 nin eşitini
bulunuz.
4) Toplamları bir gerçek sayı olan iki karmaşık sayı için ne söylenebilir?
5)
y
Yandaki karmaş›k düzlemde verilen AOCB paralelkenar›nda A noktas›na z1 = 1 + 4 i, C noktas›na z2 = 6 + i karmaş›k say›s› karş›l›k gelmektedir.
Buna göre B köşesine karş›l›k gelen karmaş›k say›y› yaz›n›z.
B
A
C
x
O
6)
Yandaki karmaş›k düzlemde verilen OKLM paralelkenar›nda K noktas›na z1 = -2 + 5i, L noktas›na
z2 = -6 + 6 i karmaş›k say›s› karş›l›k gelmektedir.
Buna göre M köşesine karş›l›k gelen karmaş›k say›y› yaz›n›z.
y
L
K
M
x
O
7) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
z1, z2 ve z3 karmaş›k say›lar› için,
z1 + z3 = 2 - 3 i, z3 + z2 = 5 + 4 i, z1 + z2 = 3 + 5 i toplamlar› veriliyor.
a) z1 + z2 + z3 toplam›n› bulunuz.
b) z2 nin toplama işlemine göre tersinin eşleniğini bulunuz.
8)
-3 + 6 i
5 + 6i
5 + 3i
y
Yandaki karmaşık düzlemden yararlanarak aşağıdaki
cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise
(Y) yazınız.
z1
6
z2
2
-2
O
z3
2
4
x
a) z = 3 - 4 i ise Re(z) + Im(z) = 7 dir.
(
)
b) a, b ∈ R ise z = a + b i sayısına
karmaşık sayı denir.
(
)
-3
9) z = a + b i olmak üzere, z + |z| = 2 + 4 i eşitliğini sağlayan z karmaş›k say›s›n› bulunuz.
24
KARMAŞIK SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ
ETKİNLİK
Aşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri, örnekleri inceleyerek doldurunuz.
z1
z2
z1. z2
2i
3i
2 i .3 i = 6 i = -6
3
4i
3.4 i = 12 i
2 + 3i
4 - 5i
2
(2 + 3 i).(4 - 5 i)
= 8 - 10 i + 12 i - 15 i 2
= 23 + 2 i
z1
z2
z1. z2
4i
1 + 2i
.....................................
5 - 3i
1 + 2i
.....................................
2
-3 - 5 i
1
+ 2i
2
.....................................
2 + 2i
2 - 2i
.....................................
İki karmaşık sayının çarpımında nelere dikkat edilmesi gerektiğini tartışınız.
ÖRNEK
z1 = 2 - 4 i ve z2 = 1 + i karmaşık sayıları için z1.z2 işleminin sonucunu bulalım.
ÇÖZÜM
z1.z2 = (2 - 4 i).(1 + i) = 2.(1 + i) - 4 i .(1 + i) = 2 + 2 i - 4 i - 4 i 2 = 2 + 2 i - 4 i - 4(-1) = 6 - 2 i dir.
∀a, b, c, d ∈ R ve z1 = a + b i, z2 = c + d i karmaşık sayıları için,
z1.z2 = (a + b i).(c + d i)
⇒
z1.z2 = (ac - bd) + (ad + bc) i dir.
ETKİNLİK
5 + 3i
karmaşık sayısını inceleyiniz.
1-i
Pay ve paydadaki ifadelerin karmaşık sayı olup olmadığını belirtiniz.
z karmaşık sayısını paydanın eşleniği ile genişletiniz.
Genişlettiğiniz bu karmaşık sayıyı standart biçimde yazınız.
Pay ve paydası karmaşık sayı olan karmaşık sayıları standart biçimde yazmak için ne yapılması gerektiğini tartışınız.
z=
ÖRNEK
z1 = 3 -
i
ve z2 = 1 + 2 i karmaşık sayıları için
z1
işleminin sonucunu bulalım.
z2
ÇÖZÜM
z1
z2
z1
işleminde pay ve paydayı (1 + 2 i) nin eşleniği olan (1 - 2 i) karmaşık sayısı ile genişletelim.
3 - i (3 - i).(1 - 2 i) 3(1 - 2 i) - i (1 - 2 i) 3 - 6 i - i + 2 i 3 - 6i - i - 2 1 - 7 i
=
=
=
=
=
olur.
z2 1 + 2 i (1 + 2i).(1 - 2i)
12 - 4 i 2
5
1 - 4.(-1)
5
(1 - 2i)
z1
1
7
Bu durumda,
=
- i olarak bulunur.
z2
5
5
2
=
z1
z2
işleminde pay ve payda z2 nin eşleniği ile çarpılarak ������������������������������
payda gerçek sayıya dönüştürü-
lür. Payda elde edilen karmaşık sayının gerçek ve sanal kısmı, paydadaki gerçek sayıya bölünür.
25
ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
ETKİNLİK
Karmaşık sayılar kümesinden seçilen z1 = 2 - 3 i, z2 = 3 + i ve z3 = 2 - 5 i karmaşık sayıları için,
z1.z2 çarpımının sonucunun bir karmaşık sayı olup olmadığını tartışınız.
z1.z2 ile z2.z1 ve (z1.z2).z3 ile z1.(z2.z3) çarpımlarının sonuçlarını karşılaştırınız.
z1, z2 ve z3 karmaşık sayılarını 1 karmaşık sayısı ile çarpınız ve sonuçları inceleyiniz.
1
1
z1. ile .z1 çarpımının hangi karmaşık sayıya eşit olduğunu söyleyiniz.
z1
z1
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin özellikleri hakkında genellemelerde bulununuz.
ÖRNEK
z1 = 1 - 2 i, z2 = 3 + 2 i ve z3 = 2 - 4 i karmaşık sayıları için,
a) z1.z2 işleminin sonucunu inceleyelim.
b) z1.z2 ile z2.z1 işlemlerinin sonuçlarını karşılaştıralım.
c) (z1.z2).z3 ile z1.(z2.z3) işlemlerinin sonuçlarını karşılaştıralım.
ç) z1.z = z1 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulalım.
d) z1.z = 1 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulalım.
e) z1.(z2 + z3) ile z1.z2 + z1.z3 işlemlerinin sonuçlarını karşılaştıralım.
ÇÖZÜM
a) z1.z2 = (1 - 2 i).(3 + 2 i) = 1.(3 + 2 i) - 2 i .(3 + 2 i) = 3 + 2 i - 6 i - 4 i 2 = 3 + 2 i - 6 i + 4
= 7 - 4 i ∈ C dir.
b) z1.z2 = 7 - 4 i bulmuştuk.
z2.z1 = (3 + 2 i).(1 - 2 i) = 3.(1 - 2 i) + 2 i .(1 - 2 i) = 3 - 6 i + 2 i - 4 i 2 = 7 - 4 i bulunur.
Bu durumda z1.z2 = z2.z1 olduğu görülür.
c) (z1.z2).z3 = [(1 - 2 i).(3 + 2 i)].(2 - 4 i) = [ 3 + 2 i - 6 i - 4 i 2 ].(2 - 4 i) = (7 - 4 i).(2 - 4 i)
= 14 - 28 i - 8 i + 16 i 2 = -2 - 36 i bulunur.
z1.(z2.z3) = (1 - 2 i).[(3 + 2 i).(2 - 4 i)] = (1 - 2 i).[ 6 - 12 i + 4 i - 8 i 2 ] = (1 - 2 i).(14 - 8 i)
= 14 - 8 i - 28 i + 16 i 2 = -2 - 36 i bulunur.
Bu durumda, (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3) olduğu görülür.
ç) z1.z = z ise (1 - 2 i).z = 1 - 2 i dir.
Buradan eşitliğin her iki tarafını (1 - 2 i) sayısına bölersek
(1 - 2 i).z
1 - 2i
=
⇒ z = 1 olduğu görülür.
1 - 2i
1 - 2i
1
d) z1.z = 1 eşitliğinde (1 - 2 i).z = 1 ise z =
olur. Verilen eşitlikte pay ve paydayı (1 + 2 i) ile
1 - 2i
genişletirsek, z =
1
(1 + 2 i)
(1 + 2 i)
1 + 2i
1 2
=
= 2
=
= +
2
1 - 2i
(1 - 2 i).(1 + 2 i)
1 - 4i
5 5
5
(1 + 2 i)
i
bulunur.
e) z1.(z2 + z3) = (1 - 2 i).[(3 + 2 i) + (2 - 4 i)] = (1 - 2 i).(5 - 2 i) = 5 - 2 i - 10 i + 4 i 2
= 1 - 12 i bulunur.
z1.z2 + z1.z3 = (1 - 2 i).(2 - 4 i) + (1 - 2 i).(2 - 4 i) = [ 3 + 2 i - 6 i - 4 i 2 ] + [ 2 - 4 i - 4 i + 8 i 2]
= (7 - 4 i) + (-6 - 8 i) = 1 - 12 i bulunur.
Bu durumda z1.(z2 + z3) = z1.z2 + z1.z3 olduğu görülür.
26
∀z1, z2, z3 karmaş›k say›lar› için,
1) z1.z2 ∈ C olduğundan karmaş›k say›lar kümesi çarpma işlemine göre kapal›d›r.
2) z1.1 = 1.z1 = z1 olduğundan 1 say›s› karmaş›k say›lar kümesinde çarpma işlemine göre
etkisiz elemand›r.
1
1
3) z1. = .z1 = 1 olduğundan karmaş›k say›lar kümesinde çarpma işlemine göre s›f›r
z1 z1
hariç her karmaş›k say›n›n tersi vard›r.
-
-
z karmaş›k say›s›n›n çarpma işlemine göre tersi z 1 ile gösterilir. z 1 =
1
biçiminde yaz›l›r.
z
4) z1.z2 = z2.z1 olduğundan karmaş›k say›lar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vard›r.
5) (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3) olduğundan karmaş›k say›lar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vard›r.
6) z1.(z2 + z3) = z1.z2 + z1.z3 olduğundan karmaş›k say›lar kümesinde çarpma işleminin
toplama işlemi üzerine dağ›lma özelliği vard›r.
ÖRNEK
2+i
3 + 4i
işleminin sonucunda elde edilen karmaşık sayının eşleniğinin sanal kısmını bulalım.
ÇÖZÜM
2+i
sayısını standart biçimde yazabilmek için pay ve payda 3 + 4i nin eşleniği ile genişletelim.
3 + 4i
2
2 + i = (2 + i).(3 - 4 i) = 6 - 8 i + 3 i - 4 i
2
9 - 16 i2
9 - 16 i
3 + 4i
(3 - 4 i)
10 - 5 i
=
=
Bu sayının eşleniği ise
25
2 1
- i şeklinde yazılır.
5 5
2 1
1
+ i olarak bulunur. Bu durumda eşleniğinin sanal kısmı ise dir.
5 5
5
ÖRNEK
z=
4-i
3 + 2i
+
karmaşık sayısının reel kısmını bulalım.
1+i
1-i
ÇÖZÜM
(4 - i).(1 - i) + (3 + 2 i).(1 + i)
(4 - 4 i - i +
4-i
3 + 2i
z =
+
=
=
2
1+i
1-i
1 -i
(1 - i) (1 + i)
=
(3 - 5 i) + (1 + 5 i)
2
=
i2 ) + (3 + 3 i + 2 i + 2 i2 )
2
4
= 2 bulunur.
2
Bu durumda Re(z) = 2 olur.
27
ÖRNEK
z = i + i2 + i3 + i4 + ..... + i22 ise z karmaşık sayısının gerçek kısmını bulalım.
ÇÖZÜM
+
i1 = i
i2 = -1
i3 = - i
i4 = 1
+
i5 = i
i6 = -1
i7 = - i
i8 = 1
7
8
0
2
olduğundan
0
3
4
5
6
z = i + i + i + i + i + i + i + i + ..... + i17 + i18 + i19 + i20 + i21 + i22
0
21
0
22
1
2
z=i +i =i +i
0
olduğundan z = -1 + i bulunur. Bu durumda Re(z) = -1 olur.
ÖRNEK
z = a + b i olmak üzere, 2 z + 4 z = 12 - 6 i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulalım.
ÇÖZÜM
z = a + b i ve z = a - b i karmaşık sayılarını 2z + 4 z = 12 - 6 i eşitliğinde yerine yazarsak
2(a + b i) + 4(a - b i) = 12 - 6 i
2a + 2b i + 4a - 4b i = 12 - 6 i
6a - 2b i = 12 - 6 i olur.
İki karmaşık sayı eşitliğinden 6a = 12 ve -2b = -6 ise a = 2 ve b = 3 bulunur.
Bu durumda, z = 2 + 3 i olur.
UYGULAMA
a) z1 = 2 i ve z2 = 3 + 2 i ise z1.z2 = ............................... dır. b) z = 3 + 4 i olduğuna göre
2) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
Im( z ) = .............................. dır.
-1
–2 – 2 i
–231
1 + 2i
0
(1 - i).(1 - i5).(1 - i9) = ?
(1 + i)2 + (1 - i)2 = ?
(2 + 2 i)2 + (2 - 2 i)2 = ?
3) z = a + b i olmak üzere, 2.z - z = 4 + 2 i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz.
4) z = i + i2 + i3 + i4 + i5 + i6 + i7 + ........+ i41 karmaşık sayısının standart şeklini bulunuz.
5) z =
6) z = a + b i için z. z = a2 + b2 olduğunu gösteriniz.
7) z =
-2 - 4 i
3 + 4i
+
1
1+
(1 + 2 i).(1 - i)
3-i
i
karmaşık sayısının sanal kısmını bulunuz.
karmaşık sayısı için Im(z) + Re(z) kaçtır?
8) z = (4 + 2 i)3.(4 - 2 i)3 işlemi için
28
1) Aşağıdaki ifadelerdeki noktalı yerleri doldurunuz.
1
sayısının gerçek kısmını bulunuz.
z
EŞLENİK VE MODÜL ÖZELLİKLERİ
ETKİNLİK
Aşağ›daki diyagramda verilen daire içine, z1 ve z2 karmaş›k say›lar› verilmiştir. Bu karmaşık
sayılardan yararlanarak boşlukları doldurunuz.
z1 - z2 = ..............
z1 : z2 = ..............
z1 = 2 +
z1 . z2 = ................
z1 = ...............
z1 + z2 = ..............
z1 . z2 = ................
i
(z1) = ...............
z2 = 5 - 4 i
z1 + z2 = ..............
z1 - z2 = ..............
z1 : z2 = ..............
Sonuçlar› aynı olan kutular› eşleyiniz.
Yaptığınız eşlemeleri kullanarak karmaşık sayıların eşlenikleri ile ilgili özellikleri belirtiniz.
ÖRNEK
z1 = 4 + 2 i ve z2 = 7 - 3 i karmaşık sayıları için,
a) (z1) ile z1 b) z1 + z2 ile z1 + z2 ç) z1 . z2 ile z1 . z2
c) z1 - z2 ile z1 - z2
d) ( z1 : z2 ) ile z1 : z2 karmaşık sayısını karşılaştıralım.
ÇÖZÜM
z1 = 4 + 2 i ve z2 = 7 - 3 i karmaşık sayıları için, z1 = 4 - 2 i ve z2 = 7 + 3 i dir.
a) (z1) = (4 - 2 i) = 4 + 2 i olur. Bu durumda (z1) = z1 bulunur.
b) z1 + z2 = (4 + 2 i + 7 - 3 i) = (11 -
i ) = 11 + i
z1 + z2 = (4 - 2 i) + (7 + 3 i) = 11 +
i
olur. Bu durumda z1 + z2 = z1 + z2 dir.
c) z1 - z2 = [(4 + 2 i) - (7 - 3 i) ] = (-3 + 5 i ) = -3 - 5 i bulunur.
z1 - z2 = (4 - 2 i) - (7 + 3 i) = -3 - 5 i dir. Bu durumda z1 - z2 = z1 - z2 olur.
ç) z1 . z2 = [(4 + 2 i).(7 - 3 i)] = (28 - 12 i + 14 i - 6 i
2
) = (34 + 2 i) = 34 - 2 i
z1 . z2 = (4 - 2 i).(7 + 3 i) = 28 + 12 i - 14 i - 6 i2 = 34 - 2 i dir.
O hâlde, z1 . z2 = z1 . z2 dir.
d) ( z1 : z2 ) =
z1 : z2 =
(
=
)(
)(
)(
)(
11 13
(4 + 2 i).(7 + 3 i)
28 + 12 i + 14 i + 6 i2
22 + 26 i
4 + 2i
i
+
=
=
=
=
2
7 - 3i
29 29
49 - 9 i
58
58
(7 + 3i)
11
29
-
13
29
i
)
dir.
(4 - 2 i).(7 - 3 i) 28 - 12 i - 14 i + 6 i2 22 - 26 i 11 13
4 - 2i
i dir.
=
=
=
=
7 + 3i
29 29
49 - 9 i2
58
58
(7 - 3i)
Bu durumda
( z1 : z2 ) = z1 : z2 olur.
29
∀z, z1, z2 karmaş›k say›lar› için,
1) ( z ) = z
2) z1 + z2 = z1 + z2
4) z1 . z2 = z1 . z2
5) ( z1 : z2 ) = z1 : z2
3) z1 - z2 = z1 - z2
(z2 ≠ 0)
dır.
ETKİNLİK
Yandaki A ve B kartlar›nda verilen işlemleri,
z1 = 5 + 12 i ve z2 = 3 - 4 i alarak doldurunuz.
Sonuçları aynı olan ifadeleri eşleyiniz.
Yaptığınız eşlemeleri kullanarak karmaşık sa-
B
=
z
| 1| ..............
A
z1
| z | = .............
2
|z1|.|z2| = .........
2
|z1.z2| = ...........
|z1|
= ...............
|z2|
z1.z1 = ............
yıların modülleri ile ilgili özellikleri belirtiniz.
ÖRNEK
z1 = 6 - 2 i ve z2 = 2 + 4 i karmaşık sayıları için,
a)
z1
| |
z2
ile
| z1 |
| z2 |
2
b) | z1.z2 | ile | z1 |.| z2 |
c) z1.z1 ile | z1 |
işlemlerinin sonucunu karşılaştıralım.
ÇÖZÜM
a)
z1
| | |
z2
=
(6 - 2 i).(2 - 4 i)
20 + 20 i
6 - 2i
2
2
=
=
= | 1 + i | = 1 + 1 = 2
20
2 + 4i
(2 + 4 i).(2 - 4 i)
(2 - 4 i)
| |
| |
| z1 |
62 + (-2)2
| 6 - 2i |
=
=
=
| z2 |
| 2 + 4i |
22 + 42
40
20
=
|
40
20
z1
| |
= 2 dir.
z2
=
| z1 |
dir.
| z2 |
b) | z1.z2 | = | (6 - 2 i).(2 + 4 i) | = | 20 - 20 i | = 202 + 202 = 202
| z1 |.| z2 | = | 6 - 2 i |.| 2 + 4 i | = 62 + (-2)2 . 22 + 42 = 40 . 20 = 202 dir. | z1.z2 | = | z1 |.| z2 | dir.
c) z1.z1 = (6 - 2 i).(6 + 2 i) = 36 + 12 i - 12 i - 4 i 2 = 40
2
2
2
| z1 | = | 6 - 2 i | = | 6 - 2 i |.| 6 - 2 i | = 40 . 40 = 40 dır. z1.z1 = | z1 | dir.
∀z1, z2 karmaş›k say›lar› için,
|z |
z
1) | z1.z2 | = | z1 |.| z2 |
2) 1 = 1 ; (z2 ≠ 0 + 0 i)
| z2 |
z2
| |
3) z1.z1 = | z1 |
2
dir.
ÖRNEK
z=
(5 + 22 i).(2 - 4 i)2
3 + 2 i
karmaşık sayısı için z.z işleminin sonucunu bulalım.
ÇÖZÜM
z.z = | z |
z.z =
30
|
2
olduğundan
(5 + 22 i).(2 - 4 i)2
3 + 2 i
|
2
=
(
|(5 + 22 i).(2 - 4 i)2 |
| 3 + 2 i |
2
)(
=
2
| 5 + 22 i |.| (2 - 4 i) |
| 3 + 2 i |
)
2
=
(
| 5 + 22 i |.| 2 - 4 i |
)(
2 2
| 3 + 2 i |
=
33.(20 )
11
)
2 2
=
33.202
= 3.400 = 1200 olur.
11
ÖRNEK
y
z3
5
Yandaki karmaşık düzlemde z1, z2 ve z3 karmaşık sayılarının
modülleri verilmiştir. Buna göre,
z1
4
| z1| + z2.z2 - z3.z3
x
|z1.z2|
3
işleminin sonucunu bulalım.
z2
ÇÖZÜM
2
z3.z3 = | z3| = 25 ve | z1.z2 | = | z1 |.| z2 | = 4.3 = 12 olduğundan
2
| z1| = | z1| = 4, z2.z2 = | z2| = 9,
| z1| + z2.z2 - z3.z3
|z1.z2|
=
4 + 9 - 25
12
=
-12
12
= -1 bulunur.
ÖRNEK
z . z + | z | - 6 = 0 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı için | z | yi bulalım.
ÇÖZÜM
2
2
z. z = | z | olduğundan | z | + | z | - 6 = 0 olur. | z | = x olsun.
x2 + x - 6 = 0 ⇒ (x + 3).(x - 2) = 0 ⇒ x = -3 veya x = 2 dir.
Dolayısıyla | z | = -3 veya | z | = 2 dir. | z |, negatif olamayacağı için | z | = 2 bulunur.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
z1 = 3 - 2 i ve z2 = 1 +
a) z1 + z2 = ?
c) z1 .z2 = ?
2)
|
i
b) | z1 . z2 | = ?
ç) z1 . z1 = ?
(5 + 12 i).(3 + 4 i)
(1 + 22 i).(6 - 8 i)
|
(2 + 2 i) .(1 - 2 i)
13
5+ i
5- i
4+ i
132
karmaşık sayıları için,
2
işleminin sonucunu bulunuz.
4
3) z =
A) 0,8
4) z1 = 3 + 2 i ve | z1 .z2 | = 13 ise | z2 | ifadesinin eşiti kaçtır?
5) z . z - 4.| z | + 3 = 0 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı için | z | yi bulunuz.
6) z = 3 +
(1 + 2 i).(1 + 3 i)
B) 1,6
i
ise z . z işleminin sonucunu bulunuz.
C) 3,2
D) 4,8
E) 6,4
ise z8 in modülünü bulunuz.
31
KARMAŞIK SAYILARDA İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
ETKİNLİK
x2 - 4x + 13 = 0 denkleminin çözüm kümesi için;
Denklemin diskriminantını bulunuz.
Çözüm kümesinin gerçek sayılar kümesinde varlığını tartışınız.
Sanal sayı biriminden yararlanarak kökleri bulunuz ve birbiriyle karşılaştırınız.
Bulduğunuz köklerin hangi sayı kümesine ait olduğunu belirtiniz.
ÖRNEK
x2 - 8x + 20 = 0 denkleminin köklerini bulalım ve kökleri birbiriyle karşılaştırarak denklemin çözüm
kümesini yazalım.
ÇÖZÜM
x2 - 8x + 20 = 0 denkleminin köklerini bulalım ve birbiriyle karşılaştıralım.
Denklemin diskrimantı, Δ = b2 - 4ac = (-8)2 - 4.1.20 = -16 dır.
Δ < 0 olduğundan gerçek kök yoktur. x1, 2 = -b Δ eşitliğinden,
2a
- (-8) - -16 8 - 4i 2.(4 - 2i)
- (-8) + -16 8 + 4i 2.(4 + 2i)
x1 =
=
=
= 4 - 2i, x2 =
=
=
= 4 + 2i dir.
2
2
2.1
2.1
2
2
x1 = 4 - 2i ile x2 = 4 + 2i birbirinin eşleniğidir. Bu denklemin çözüm kümesi, Ç = { 4 - 2 i, 4 + 2 i } olur.
a, b, c ∈ R, a ≠ 0 olmak üzere ax2 + bx + c = 0 biçimindeki ikinci dereceden gerçek
katsayılı bir denklemin köklerinden biri m + n i ise diğeri m - n i dir. (m, n ∈ R)
ÖRNEK
Köklerinden biri x1 = 3 - i olan gerçek katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi yazalım.
ÇÖZÜM
x2 kökü, x1 kökünün eşleniği olacağından x2 = 3 + i dir.
Kökleri x1 ve x2 olan denklem, x2 - (x1 + x2).x + x1.x2 = 0 biçimindedir.
x1 + x2 = 3 + i = 6
2
2
x1. x2 = (3 - i).(3 + i) = 9 - i = 10 dur. O hâlde denklem, x - 6x + 10 = 0 olarak bulunur.
ÖRNEK
z2 + 4z + k - 1 = 0 denkleminin köklerinden birisi z1 = -z - i ise k değerini bulalım.
ÇÖZÜM
1.Yol: z1 = -2 - i kök olduğundan denklemi
sağlar. O hâlde,
(-2 - i)2 + 4.(-2 - i) + k - 1= 0
4 + 4 i + i2 - 8 - 4 i + k - 1 = 0
4 - 1 - 8 + k - 1 = 0
-6 + k = 0
k = 6
bulunur.
ÖRNEK
x2 + (2 - i)x + 7 - i = 0 denklemini çözelim.
32
2.Yol: z1 = -2 - i ⇒ z2 = -2 + i dir.
c
k-1
z1.z2 =
⇒ (-2 - i).(-2 + i) =
a
1
bulunur.
4 - i2 = k - 1
4 + 1 = k - 1
5 = k - 1
k = 6
ÇÖZÜM
-b Δ
eşitliğinden,
2a
- (2 - i) + -25 -2 + i + 5i -2 + 6i
x2 =
=
=
= -1 + 3i dir.
2
2
2.1
Diskriminant, Δ = b2 - 4ac = (2 - i)2 - 4.1.(7 - i) = 4 - 4 i + i2 - 28 = -25 dir. x1,2 =
x1 =
- (2 - i) - -25
2.1
=
-2 + i - 5i -2 - 4i
=
= -1 - 2i,
2
2
Denklemin çözüm kümesi, Ç = { -1 - 2 i , -1 + 3 i } olur.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki ifadelerdeki noktalı yerleri doldurunuz.
a) Gerçek kat sayılı ikinci dereceden bir denklemin bir kökü 3 - 4 i ise diğer kökü ................ dir.
b) x2 + 3x + 4 = 0 denkleminin farklı iki kökü ................................................................. dır.
2) Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bularak doğru cevapları ile eşleştiriniz.
{–2 i , 2 i }
x2 + 2x + 5 = 0
{–3 i , 3 i }
x2 + 9 = 0
{–1–2 i , –1+2 i }
3) Köklerden biri aşağıda verilen ikinci dereceden gerçek katsayılı denklemi yazınız.
2-i
a) x1 = 4 - 3 i b) x1 = -2 + 5 i
c) x1 =
3
2
4) x - 2x + m - 2 = 0 denkleminin köklerinden biri x1 = 1 + i ise m kaçtır?
5) x3 + 8 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
6) x2 - (2 - 3 i)x - 5 - i = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
İKİ KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ UZAKLIK
ETKİNLİK
y
z1
5
z2
B
2
O
z1 = 7 + 5 i ve z2 = 3 + 2 i karmaşık sayıları
A
C
3
x
7
yandaki karmaşık düzlemde gösterilmiştir. Şekilden de
yararlanarak bu iki karmaşık sayı arasındaki uzaklığı
hesaplayınız.
z1 - z2 karmaşık sayısının modülünü bulunuz.
z1 ile z2 karmaşık sayılarının arasındaki uzaklık
ile | z1 - z2 | ni karşılaştırınız.
ÖRNEK
z1 = -2 + 3 i ve z2 = -4 + i karmaşık sayıları arasındaki uzaklığı | z1 - z2 | ile karşılaştıralım.
ÇÖZÜM
1.Yol: |AC| = 2 br, |BC| = 2 br dir. ABC de Pisagor bağıntısında,
2
2
2
2
|AB| = |AC| + |BC| ⇒ |AB| = 22 + 22
⇒ |AB| = 22 br olur.
y
z1
z2
B
-4
A
C
-2
3
1
O
x
2.Yol: z1 - z2 = (-2 + 3 i) - (-4 + i) = -2 + 3 i + 4 - i = 2 + 2 i
| z1 - z2 | = | 2 + 2 i | = 22 + 22 = 22 ise z1 ile z2 arasındaki
uzaklık, | z1 - z2 | ne eşittir.
z1, z2 ∈ C, z1 = a + b i ve z2 = c + d i olmak üzere, z1 ile z2 karmaşık sayıları arasındaki
uzaklık, bu sayıların farkının modülüne eşittir. Buna göre z1 ile z2 arasındaki uzaklık | z1 - z2 | ile
gösterilir.
33
ETKİNLİK
Yandaki karmaşık düzlemde 3 + 4 i karmaşık sayısına
2 birim uzaklıkta bulunan çember üzerinde z1, z2, z3 ve z4;
3 birim uzaklıkta bulunan çember üzerinde de z5, z6, z7 ve
7
z8 noktaları işaretlenmiştir.
z
6
2
z7
z
z1 in 3 + 4 i ye uzaklığı |z1 - (3 + 4 i)| = 2 biçiminde
1
5
3 + 4i
gösterildiğine
göre z2, z3, z4 ün 3 + 4 i ye uzaklıklarını ifade
4 z8 z 4
ediniz.
z
3
3
3 + 4 i karmaşık sayısına 2 birim uzaklıkta bulu2
z6
nan tüm z karmaşık sayılarını ifade eden eşitliği yazınız.
z5
1
x
z5 in 3 + 4 i ye uzaklığı |z5 - (3 + 4 i)| = 3 biçiminde
O 1 2 3 4 5 6 7
gösterildiğine göre z6, z7 ve z8 in 3 + 4 i ye uzaklıklarını
yazınız.
3 + 4 i karmaşık sayısına 3 birim uzaklıkta bulunan tüm z karmaşık sayılarını ifade eden
eşitliği yazınız.
Karmaşık düzlemde z0 sayısına r birim uzaklıkta bulunan z karmaşık sayılarını ifade eden
bir genellemede bulununuz.
y
8
ÖRNEK
| z - (3 - 5 i)| = 1 eşitliğinin karmaşık düzlemdeki görüntüsünü çizelim.
ÇÖZÜM
y
O
1
2
3
4
x
|z - (3 - 5i)| = 1 eşitliği 3 - 5i karmaşık sayısına 1 birim uzaklıkta
bulunan z karmaşık sayılarını ifade eder. Dolayısıyla bu eşitlik, merkezi 3 - 5 i ve yarıçapı 1 birim olan çember üzerindeki noktalara karşılık
gelen karmaşık sayılar olur.
-1
-2
-3
-4
3 - 5i
-5
Karmaşık düzlemde z0 karmaşık sayısından r birim uzaklıkta bulunan z karmaşık sayıları
| z - zo | = r eşitliğini sağlar ve merkezi z0, yarıçapı r olan çemberi belirtir. Çemberi oluşturan z
karmaşık sayılarının kümesi { z: | z - zo | = r, z ∈ C } biçiminde gösterilir.
ÖRNEK
| z - (2 + 2 i)| ≤ 2 eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüsünü çizelim.
ÇÖZÜM
y
34
2
M(2, 2)
O
2
x
| z - (2 + 2 i)| ≤ 2 eşitsizliğini karmaşık düzlemde 2 + 2 i
sayısına olan uzaklığı 2 birim ya da 2 birimden daha az olan
karmaşık sayıları ifade eder.
Bu karmaşık sayılar, karmaşık düzlemde merkezi (2, 2)
ve yarıçapı 2 birim olan çemberin üzerinde ya da iç bölgesindedir.
ÖRNEK
| z + 3 - 2 i | > 1 eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüsünü çizelim.
ÇÖZÜM
y
M(-3, 2)
2
x
O
-3
| z + 3 - 2 i | > 1 eşitsizliğini | z - (-3 + 2 i) | > 1 şeklinde
düzenlediğimizde bu eşitsizlik karmaşık düzlemde -3 + 2
i sayısına uzaklığı 1 birimden büyük olan karmaşık
sayıları ifade eder. Bu karmaşık sayılar, karmaşık düzlemde merkezi M(-3, 2) ve yarıçapı 1 birim olan çemberin dış
bölgesindedir.
ÖRNEK
1< | z - 4i | ≤ 2 eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüsünü bulalım.
ÇÖZÜM
y
1 < | z - 4 i | ≤ 2 eşitsizliği karmaşık düzlemde 4 i sayısına
uzaklığı 1 birimden büyük, 2 birimden küçük ya da eşit olan
karmaşık sayıları ifade eder. Bu karmaşık sayılar, yarıçapı
1 birim ve 2 birim olan (0, 4) merkezli çemberler arasında
kalan bölgededir.
6
5
M(0, 4) 4
3
2
1
x
O
z = x + y i, z0 = a + b i ve r ∈ R+ olmak üzere;
1) |z - z0| = r eşitsizliği merkezi (a, b) ve yarıçapı r birim olan bir çemberi belirtir.
2) |z - z0| < r eşitsizliği merkezi (a, b) ve yarıçapı r birim olan çemberin iç bölgesini belirtir.
3) |z - z0| > r eşitsizliği merkezi (a, b) ve yarıçapı r birim olan çemberin dış bölgesini belirtir.
ÖRNEK
A = {z = x + y i | |z| ≤ 4, i2 = -1} ve B = {z = x + y i | Re(z) ≥ 2, i2 = -1}
düzlemde karşılık gelen bölgeyi gösterelim.
ise A ∩ B kümesine karmaşık
ÇÖZÜM
z = x + y i olmak üzere |z| ≤ 4 eşitsizliği karmaşık düzlemde merkezi (0, 0), yarıçapı 4 birim olan
çemberin iç bölgesini belirtir. Bu karmaşık sayıların geometrik yer denklemi ise
|x + yi| ≤ 4
y
x2 + y2
4
2
2
x +y
-4
O
-4
2
4
x
A∩B
≤4
≤ 16 şeklindedir.
z = x + y i karmaşık sayısının reel kısmı Re(z) = x dir.
Re(z) ≥ 2 eşitsizliğinin geometrik yer denklemi x ≥ 2 dir.
Bu iki durum karmaşık düzlemde yandaki gibi gösterilir.
35
ÖRNEK
| z - 4 - 3 i | = 1 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarından modülü en küçük ve en büyük olanların modüllerini bulalım.
ÇÖZÜM
| z - 4 - 3 i | = 1 ⇒ | z - (4 + 3 i) | = 1 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayıları M(4, 3) ve yarıçapı
1 birim olan çember üzerindedir.
Modülü en büyük olan karmaşık sayı z1, en küçük olan ise z2 dir.
y
OMK nde Pisagor bağıntısından yararlanırsak,
z1
1
1 M
3
|OM|2 = |OK|2 + |MK|2
z2
|OM|2 = 42 + 32
K
4
O
x
|OM| = 5 br bulunur. Çemberin yarıçapı da 1 birim olduğundan
|z2| = 5 - 1 = 4 ve |z1| = 5 + 1 = 6 olarak bulunur.
UYGULAMA
1) Aşağıda verilen ifadelerdeki noktalı yerleri doldurunuz.
a) z1, z0 ∈ C ise |z1 - z0|, z0 ile z1 arasındaki ............................. gösterir. b) z ∈ C ise |z| = 4 eşitliğini sağlayan noktaların geometrik yeri .............................. dır.
2) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
2
3
5
7
z1 = 3 + 5 i ve z2 = -1 + 2 i ise |z1 - z2| değeri kaçtır?
|z| = 1 ise | z - 8 - 15 i | nin alabileceği kaç tam sayı
değeri vardır?
3) Karmaşık düzlemde -3 + 5 i noktası ile 3 + a i noktası arasındaki uzaklık 10 br ise a değerlerinin toplamını hesaplayınız.
4) z1.z1 = 9 eşitliğini sağlayan z1 karmaşık sayılarının geometrik yerini karmaşık düzlemde çiziniz.
5)
y
A
4
C
2
1
-3
Yandaki karmaşık düzlemde verilenlere göre;
O
B
1
a) [AC] nin uzunluğunu,
b) [AB] nin uzunluğunu bulunuz.
x
4
6) | z1 - z2 | = | z2 - z1 | eşitliğini, seçeceğiniz z karmaşık sayıları ile gösteriniz.
7) A = { z : | z - 4 + 3 i | < 2, Im(z) > -2 } kümesine karşılık gelen bölgeyi karmaşık düzlemde gösteriniz.
8) | z - 2 + 5 i | = | z - 3 + 4 i | eşitliğini sağlayan noktaları karmaşık düzlemdeki görüntüsünü çiziniz.
9) | z | ≤ 1 olmak üzere, | z - 12 + 5 i | nin en büyük değeri ile küçük değerinin toplamı kaçtır?
10) | z1 - 6 + 8i | = 1 ve | z2 - 10 + 5i | = 2 ise |z1 - z2| nin en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı
kaçtır?
36
A) 10
B) 8
C) 6
D) 5
E) 4
KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL BİÇİMİ
Fonksiyonların ve parametreler arasındaki bağıntıların kolayca anlaşılabilir biçimde ifade edilmesi için farklı grafiksel gösterim şekilleri kullanılır. y = f(x) işlevi en iyi, iki boyutlu kartezyen koordinat
sistemiyle gösterilir. Örnek olarak burada kartezyen koordinat sistemi ile radyo ve televizyon yayınlarındaki seslerin iletilmesinde kullanılan antenlere ait anten diyagramının çizimi görülüyor.
Θ
0 dB
-3 dB
-10 dB
Bir anten diyagramının kartezyen koordinat sistemi ile
gösterimi yandaki gibidir.
-20 dB
-30 dB
-40 dB
180o
240o
300o
0o
60o
120o
180o
Θ
0o
-3 dB
o
330
Aynı anten diyagramının daha kolay kavranabilmesi için
yandaki şekilde olduğu gibi kutupsal koordinatlar kullanılır.
Diyagram üzerindeki bir nokta, kutupsal koordinatlar
olarak adlandırılan bir açı ve bir uzaklık ile belirlenir. Bu diyagramdaki veriler bir noktaya yönlü olarak belirlenmiştir, bu
nokta merkez noktasıdır. (Başka bir konumdan bakıldığında
aynı nokta, tümüyle farklı yön ve uzaklıkta bulunur.)
30o
60o
-4
0d
B
300o
90o
-40 -30 -20 -10 0 dB
270o
120o
240o
-44 dB
150o
210o
o
180
ETKİNLİK
p
2
3p
4
6
5
E
3
D
(
A 4, p
6
2
p
-6 -5
-4 -3 -2 -1
)
p
6
B
p
6
1
H
1
0
2
3
4
5
6
-1
-2
7p
6
F
-3
-4
-5
K
-6
G
π
radyan açı yapan ve orijine
6
π
4 birim uzaklıkta bulunan A noktası 4,
ikilisi ile
6
gösterilmiştir. İnceleyiniz.
Aynı şekilde B, C, D, E, F, G, H ve K noktalarının 1. bileşenini orijine olan uzaklık ve 2. bileşenini yatay eksenle pozitif yönde yaptığı açı olacak
şekilde belirtiniz.
π
π
3π
Şimdi de M 2, , N 4, , P 5,
ve
4
3
2
sen ile pozitif yönde
C
4
Yandaki şekilde görüldüğü gibi yatay ek-
p
3
7p
4
3p
2
(
R 3,
)
( )
( ) ( ) (
)
7π
noktalarını kutupsal koordinat sisteminde
4
gösteriniz.
Bir noktayı belirtmek için (kartezyen koordinatlardan farklı olarak) noktaya karşılık gelen
ikililerdeki bileşenlerin neler olduğunu tartışınız.
37
ÖRNEK
( ) (
Yatay ekseni kullanarak A 1,
) (
π
2π
4π
, B 3,
, C 2,
3
3
4
)
(
ve D 4,
)
11π
noktalarını gösterelim.
6
ÇÖZÜM
(
B 3, 2π
3
)
3
2π
3
1
4π
3
2
(
( )
A 1,
π
4
4
11π
6
C 2, 4π
3
A, B, C ve D noktaları yandaki gibi
gösterilir.
π
4
(
)
D 4, 11π
6
)
Yatay eksene kutupsal eksen diyelim ve bu eksen üzerinde bir başlangıç noktası (merkez
noktası) alalım. Bir B noktasının başlangıç noktasına olan uzaklığı r, kutupsal eksen ile yaptığı
pozitif yönlü açının ölçüsü θ olmak üzere oluşturulan (r, θ) ikilisine B noktasının kutupsal
koordinatları denir ve B(r, θ) biçiminde ifade edilir.
B
şeklinde gösterilir.
r
Kutupsal eksen
θ
ÖRNEK
Analitik düzlemdeki A(2, 2) noktasının kutupsal koordinatlarda nasıl ifade edildiğini bulalım.
ÇÖZÜM
Dik koordinat sistemindeki x ekseni ile kutupsal koordinat sisteminin kutupsal ekseni ve karşılıklı
olarak başlangıç noktalarını bire bir eşleyelim.
OAB de Pisagor bağıntısından, |OA| = 22 br dir.
A(2, 2)
2
1
2
2
θ
O
1
Kutupsal eksen
B
2
3
θ
)
şeklinde ifade edilir.
OBA de cos θ değerini yazarak |OB| = x uzunluğunu
B
x
Kutupsal
eksen
ve sin θ cinsinden ifade ediniz.
38
π
4
Yanda kartezyen koordinatlarda verilen A(x, y) noktası kutupsal koordinatlarda A(r, θ) olarak ifade edilmiştir. İnceleyiniz.
A(x, y)
r
O
(
veya A 22,
ETKİNLİK
y
O hâlde, r = 22 br dir.
π
2
tan θ =
= 1 ve θ = 45o =
tür.
2
4
O hâlde, A noktası kutupsal biçimde A(22, 45o)
r ve cos θ cinsinden ifade ediniz.
OBA de sin θ değerini yazarak |AB| = y uzunluğunu r
Ayrıca θ değerini hesaplamak için tan θ değerini x ve y uzunlukları cinsinden yazınız.
Kartezyen koordinatların bileşenlerinin her birinin kutupsal koordinatlar cinsinden nasıl ifade
edilebileceğini tartışınız.
ÖRNEK
A(1, 3) noktasını kutupsal koordinatlar cinsinden yazalım.
ÇÖZÜM
OBA de Pisagor bağıntısından,
A(1, 3)
3
2
|OA|2 = 12 + (3)
r
θ
B
O
cos θ =
Kutupsal
eksen
1
O hâlde, θ =
sin θ =
( )
p
p
ve A 2,
3
3
ÖRNEK
|OB|
|OA|
⇒ |OA| = 2 br ⇒ r = 2 br
1
⇒ |OB| = |OA|.cos θ ⇒ 1 = 2.cos θ ⇒ cos θ =
2
|AB|
3
⇒ |AB| = |OA|.sin θ ⇒ 3 = 2.sin θ ⇒ sin θ =
|OA|
2
olur.
Kutupsal koordinatları (2, 50o) olan A noktasının kartezyen koordinatları (a, b) ise a ve b değerlerini bulalım.
ÇÖZÜM
A(a, b)
2
b
50
o
O
Kutupsal
eksen
B
a
OBA de, |OB| = a br, |AB| = b br ve |OA| = 2 br (r = 2) dir. Ayrıca,
|OB|
a
cos 50o =
⇒ cos 50o =
⇒ a = 2.cos 50o
2
|OA|
sin 50o =
|AB|
|OA|
⇒ sin 50o =
b
2
⇒ b = 2.sin 50o olur.
Kartezyen koordinatları (x, y) olan A noktası kutupsal koordinatlarla (r, θ) olarak ifade
edildiğinde,
y
x = r.cos θ, y = r.sin θ ve tan θ =
olur.
x
ÖRNEK
z = 23 + 2 i karmaşık sayısını kutupsal koordinatlar cinsinden yazalım.
ÇÖZÜM
Karmaşık düzlemde z = 23 + 2 i karmaşık sayısına karşılık gelen nokta kartezyen koordinatlarla A(23, 2) olarak ifade edilir. A noktasının kutupsal koordinatlarını bulalım.
OBA de Pisagor bağıntısından,
A(23, 2)
2
r
θ
O
B
23
|OA|2 = |OB|2 + |AB|2
Kutupsal
eksen
⇒ |OA|2 = (23)2 + 22
⇒ |OA|2 = 16
⇒ |OA| = 4 ise r = 4 olur.
39
m(AOB) = θ olmak üzere, tan θ =
|AB|
|OB|
⇒ tan θ =
2
23
⇒ tan θ =
1
⇒ θ=
π
dır.
6
3
π
π
π
O hâlde, A noktasının kutupsal koordinatları 4,
olur. Buradan, 23 = 4.cos
ve 2 = 4.sin
6
6
6
yazabiliriz. Bu değerleri z = 23 + 2 i karmaşık sayısında yazalım.
z = 4.cos
π
π
+ 4.sin
6
6
i
(
z = 4. cos
⇒
( )
π
π
+ i.sin
6
6
)
dır.
Genel olarak z = x + i y biçiminde gösterilen karmaşık sayı kutupsal koordinatları (r, θ)
alınarak, z = x + i y = r.cos θ + i.r.sin θ = r.(cos θ + i.sin θ) biçiminde yazılır.
Bu gösterime z nin kutupsal biçimi denir ve z = r.cis θ
Sanal
şeklinde
de gösterilir.
eksen
Kutupsal biçimdeki z = r.cis (θ + k.360o), (k ∈ Z)
z = x + iy
y
karmaşık sayıları da z = r.cis θ ile temsil edilir.
r
=
Kutupsal biçimde yazılan z = r cis θ karmaşık sayısında
Gerçek
|z|
θ
ya
z nin argümenti adı verilir.
eksen
θ
B
0 ≤ θ < 360o (0 ≤ θ < 2π) ise θ ya z nin esas argümenti
O
x
denir. Arg(z) = θ biçiminde gösterilir.
ÖRNEK
Aşagıdaki karmaşık sayıları kutupsal biçimde yazınız.
a) z = 1 + 3 i
b) z = -23 + 2 i
c) z = 3 i
ç) z = -4
ÇÖZÜM
2
2
3
a) z = 1 + 3 i ⇒ |z| = r = 1 + (3) = 4 = 2 dir. tan θ =
= 3 ve z karmaşık sayısı 1. bölgede
1
p
p
p
p
olduğundan Arg(z) = θ =
tür. O hâlde, z = r.cis θ ⇒ z = 2.cis
⇒ z = 2. cos + i.sin
olur.
3
3
3
3
(
(-23 )2 + 22 = 4 dir. tan θ =
b) z = -23 + 2 i ⇒ |z| = r =
2. bölgede olduğundan Arg(z) = θ =
O hâlde, z = r.cis θ ⇒ z = 4.cis
5p
6
5p
6
2
-23
=-
1
3
)
ve z karmaşık sayısı
tür.
(
⇒ z = 4. cos
5p
6
+ i.sin
5p
6
)
olur.
c) z = 3 i = 0 + 3 i ⇒ |z| = r = 02 + 32 = 3 tür. tan θ tanımsız ve z karmaşık sayısı sanal eksen
p
üzerinde olduğundan Arg(z) = θ =
tür.
2
O hâlde, z = r.cis θ ⇒ z = 3.cis
p
2
(
⇒ z = 3. cos
p
p
+ i.sin
2
2
)
olur.
ç) z = -4 = -4 + 0. i ⇒ |z| = r = (-4)2 + 02 = 4 tür.
tan θ = 0 ve z karmaşık sayısı gerçek eksen üzerinde olduğundan Arg(z) = θ = 0 dır.
O hâlde, z = r.cis θ ⇒ z = 4.cis 0 ⇒ z = 4.(cos 0 + i.sin 0) olur.
40
ÖRNEK
(
Kutupsal koordinatları 2,
ÇÖZÜM
r = 2 ve Arg(z) = θ =
)
11π
olan z karmaşık sayısını standart biçimde yazalım.
6
11π
olduğundan
6
(
z = r.cis θ = r.(cos θ + i .sin θ) = 2. cos
(
= 2. cos
) (
)
π
π
1
3
- i .sin
= 2.
- i.
= 3 - i olur.
2
6
6
2
ÖRNEK
) [ (
)
(
π
π
11π
11π
+ i .sin
= 2. cos 2π + i .sin 2π 6
6
6
6
)]
z = 1 - sin 20o + i .cos 20o karmaşık sayısının modülünü ve argümentini bulalım.
ÇÖZÜM
z = 1 - sin 20o + i .cos 20o
o
z = 1 - cos 70 + i .sin 70
HATIRLATMA
o
sin 20 = cos 70o
o
cos 20o = sin 70o
z = 1 - (1 - 2.sin2 35o) + i .2.sin 35o.cos 35o
2
o
o
z = 2.sin 35 + i .2.sin 35 .cos 35
cos 70o = 1 - 2.sin2 35o
o
sin 70o = 2.sin 35o.cos 35o
sin 35o = cos 55o
z = 2.sin 35o.(sin 35o + i .cos 35o)
cos 35o = sin 55o
z = 2.sin 35o.(cos 55o + i .sin 55o)
z = 2.sin 35o.cis 55o olduğundan |z| = 2.sin 35o ve Arg(z) = 55o olur.
U
YGULAMA
1) Aşağıda kutupsal koordinatları verilen noktalara karşılık gelen karmaşık sayıları kutupsal biçimde yazınız.
a) (10, 130o) b) (5, 240o) c) (2, 70o)
2) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
22.cis 45o
4.cis 270o
8.cis 240o
3.cis 120o
z = 2 + 2 i karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazınız.
z = -4 - 43 i karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazınız.
z = -4 karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazınız.
3) z = 2.cis 210o karmaşık sayısının standart biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 + i
4) Arg(z) = a ise Arg( z ) nin değerini araştırınız.
B) -3 + i
D) 3 - i
C) -3 - i
E) 1 + 3 i
5) Aşağıdaki karmaşık düzlemde verilen noktalara karşılık gelen karmaşık sayıları kutupsal biçimde yazınız.
a)
b)
c)
ç)
y
2
O
y
B
A
32
o
x
32o
3
O
y
x
22o
C
O
4
y
x
x
O
D
1
41
6) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) z = 1 - sin 40o + i .sin 40o ise Arg(z) = 40o dir. b) z = 1 + cos 80 + i .sin 80 ise |z| = 2.cos40 dir.
o
o
o
c) z = cos 50 - 1 + i .sin 50 ise Arg(z) = 115 dir.
o
o
o
(
)
(
)
(
)
KUTUPSAL BİÇİMDE VERİLEN KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA, ÇIKARMA,
ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ
ETKİNLİK
Aşağıdaki A, B ve C gruplarında verilen karmaşık sayıları inceleyiniz.
A Grubu
B Grubu
C Grubu
o
o
z1 = 8.cis 30 z5 = 4.cis 75 z9 = 2.cis 35o
z2 = 6.cis 135o
z6 = 4.cis 15o
z10 = cis 20o
o
o
z3 = 5.cis 120 z7 = 4.cis 105 z11 = 3.cis 75o
z4 = 3.cis 300o
z8 = 4.cis 165o
z12 = 4.cis 5o
A grubundan iki karmaşık sayı seçiniz ve seçtiğiniz karmaşık sayıları standart biçimde
yazarak toplamlarını ve farklarını bulunuz.
B ve C gruplarının her birinden ikişer karmaşık sayı seçtiğinizde bu sayıları kolayca standart
biçimde yazarak toplamlarını ve farklarını bulunuz.
B ve C gruplarının her birinden ikişer karmaşık sayı seçtiğinizde bu sayıları kolayca standart
biçimde yazarak toplamlarını ve farklarını bulabiliyor musunuz? Tartışınız.
B grubundaki karmaşık sayıların modüllerini inceleyiniz.
B grubundan iki karmaşık sayı seçiniz ve seçtiğiniz karmaşık sayıların toplamlarını ve farklarını bulmaya çalışınız. (Bunun için 10. sınıf Trigonometri konusundaki toplam ve fark formüllerinden
yararlanınız.)
Kutupsal biçimde verilen iki karmaşık sayının toplamlarını ve farklarını bulabilmek için bu
karmaşık sayıların hangi özellikleri tarşıması gerektiğini tartışınız.
ÖRNEK
z1 = 4.cis 40o, z2 = 2.cis 60o, z3 = 6.cis 255o, z4 = 6.cis 15o, z5 = 3.cis 22o ve z6 = 5.cis 10o
karmaşık sayıları için z1 + z2, z1 - z2, z3 + z4, z3 - z4, z5 + z6 ve z5 - z6 işlemlerini yapalım.
ÇÖZÜM
(
z1 = 4.cis 240o = 4.(cos 240o + i .sin 240o) = 4. -
(
z2 = 2.cis 60o = 2.(cos 60o + i .sin 60o) = 2.
)
1
- i 3 = -2 - 23 i
2
2
)
1
+ i 3 = 1 + 3 i
2
2
z1 + z2 = -2 - 23 i + 1 + 3 i = -1 - 3 i, z1 - z2 = -2 - 23 i - (1 + 3i) = -2 - 23 i - 1 - 3i = - 3 - 33 i
z3 = 6.cis 255o ve 6.cis 15o sayılarının modülleri 6 olduğundan,
z3 + z4 = 6.cis 255o + 6.cis 15o = 6.(cis 255o + cis 15o) = 6.(cos 255o + i .sin 255o + cos 15o + i .sin 15o)
42
= 6.[cos 255o + cos 15o + i .(sin 255o + sin 15o)]
= 6. 2.cos
= 6.[2.cos 135o.cos 120o +
= 12. -
[
(
255o + 15o
255o - 15o
255o - 15o
255o + 15o
.cos
+ i . 2.sin
.cos
2
2
2
2
( )[
]
)]
i .(2.sin 135o.cos 120o)] = 12.cos 120o.[cos 135o + i .sin 135o] 1
. - 2 + i .2 = 32 - 32 i dir.
2
2
2
z3 - z4 = 6.cis 255o - 6.cis 15o = 6.(cis 255o - cis 15o) = 6.[cos 255o + i .sin 255o - (cos 15o + i .sin 15o)]
= 6.[cos 255o - cos 15o + i .(sin 255o - sin 15o)]
= 6. -2.cos
= 6.[-2.sin 135o.sin 120o + i .(2.sin 120o.cos 135o)]
[
(
255o - 15o
255o + 15o
255o - 15o
255o + 15o
.sin
+ i . 2.sin
.cos
2
2
2
2
[
( )]
= -12.sin 120o.[sin 135o - i .cos 135o] = -12.3 . 2 - i . -2
2 2
2
)]
= -36 - 36 i dir.
z5 + z6 = 3.cis 22o + 5.cis 10o ve z5 - z6 = 3.cis 22o - 5.cis 10o olur.
Kutupsal biçimde verilen karmaşık sayıların toplamı veya farkı; standart biçiminde yazılabilenler standart biçimde yazılarak, modülleri eşit olanlar ise trigonometrideki toplam ve
fark formüllerinden faydalanılarak bulunur.
ÖRNEK
z1 = 2.cis 115o ve z2 = 5.cis 205o karmaşık sayıları için | z1 - z2 | nü bulalım.
ÇÖZÜM
| z1 - z2 |, z1 ile z2 karmaşık sayıları arasındaki uzaklıktır. z1 ve z2 yi karmaşık düzlemde gösterelim.
y
z1 A
o
|z
5
1
20
5
11
o
-z
2
|
2
ABO de, m(AOB) = 205o - 115o = 90o dir.
Pisagor bağıntısından,
O
z2
5
B
x
| z1 - z2 |2 = (5)2 + 22
| z1 - z2 |2 = 5 + 4
| z1 - z2 | = 3 olur.
ETKİNLİK
z1 = r1.cis α ve z2 = r2.cis β karmaşık sayıları veriliyor. z1 ve z2 karmaşık sayılarının aşağıdaki
çarpımını inceleyiniz.
z1.z2 = r1.cis α.r2 cis β
z1.z2 = r1.r2.cis α.cis β
z1.z2 = r1.r2.(cos α+ i.sin α) (cosβ+ i.sin β)
z1.z2 = r1.r2.(cos α + sin β + i.cos α.sin β + i.sin α.cos β + i2.sin α.sin β
z1.z2 = r1.r2.[(cos α + sin β - i.cos α.sin β + i.(sin α.cos β + sin β.cos α)]
z1.z2 = r1.r2. ...............................................................................................
Parantez içindeki trigomometrik ifadeleri noktalı yere en sade biçimde yazınız.
z1 ve z2 karmaşık sayılarının modüllerini ve argümentlerini inceleyiniz.
z1.z2 karmaşık sayısının modülünü ve argümetini belirtiniz.
Kutupsal biçimde verilen iki karmaşık sayının çarpımı için verilen karmaşık sayıların modül-
lerini ve argümentlerini kullanarak matematiksel bir model oluşturunuz.
43
ÖRNEK
z1 = 2.cis 40o ve z2 = 3.cis 20o karmaşık sayılarını çarpalım.
ÇÖZÜM
z1.z2 = 2.cis 40o.3.cis 20o = 2.3.cis 40o.cis 20o = 6.(cos 40o + i .sin 40o).(cos 20o + i .sin 20o)
= 6.(cos 40o.cos 20o + i .cos 40o.sin 20o + i .sin 40o.cos 20o + i2 .sin 40o.sin 20o)
= 6.[(cos 40o.cos 20o - sin 40o.cos 20o) + i .(sin 40o.cos 20o + sin 20o.cos 40o)]
bulunur.
= 6.[cos (40o + 20o) + i .sin (40o + 20o)] = 6.(cos 60o + i .sin 60o) = 6.
(
)
1
+ i .3 = 3 + 33 i
2
2
z1 = r1.cis α ve z2 = r2.cis β olmak üzere, z1. z2 = r1.r2.cis (α + β) dir.
Arg (z1) = α, Arg (z2) = β ve Arg (z1.z2) = α + β olduğundan,
Arg (z1.z2) = Arg (z1) + Arg (z2) olur.
ÖRNEK
y
z1
3
20
0
13
o
0
O
Yandaki şekilde verilen z1 ve z2 karmaşık sayıları için
z1.z2 işlemini yapalım.
o
x
4
z2
ÇÖZÜM
Şekilde verilenlere göre z1 = 3.cis 130o ve z2 = 4.cis 200o dir. O hâlde,
z1.z2 = 3.cis 130o.4.cis 200o = 3.4.cis (130o + 200o) = 12.cis 330o = 12.(cis 330o + i.sin 330o)
(
)
1
= 12.(cos 30o - i.sin 30o) = 12. 3 - i .
= 63 - 6 i
2
2
ÖRNEK
olur.
z1 = 1 + cos 20o + i .sin 20o, z2 = 1 - cos 70o + i .sin 70o karmaşık sayıları için z1.z2 karmaşık
sayısını gerçek ve sanal kısımlarını bulalım.
ÇÖZÜM
44
z1.z2 = (1 + cos 20o + i .sin 20o).(1 - sin 70o + i .sin 70o)
= (1 + 2.cos2 10o - 1 + i .2.sin 10o.cos 10o).(1 - cos 20o + i .sin 70o)
= (2.cos2 10o + i .2.sin 10o.cos 10o).(1 - 1 + 2.sin2 10o + i .sin 20o)
= 2.cos 10o.(cos 10o + i .sin 10o).(2.sin2 10o + i .2.sin 10o.cos 10o)
= 2.cos 10o.cis 10o.2.sin 10o.(sin 10o + i .cos 10o) = 2.cos 10o.cis 10o.2.sin 10o.(cos 80o + i .sin 80o)
= 2.cos 10o.cis 10o.2.sin 10o.cis 80o = 2.2.cos 10o.sin 10o.cis 10o.cis 80o = 2.sin 20o.cis (10o + 80o) = 2.sin 20o.cis 90o = 2.sin 20o.(cos 90o + i .sin 90o) = 2.sin 20o.(0 + 1.i ) = 2.i .sin 20o
Re(z1.z2) = 0 ve Im(z1.z2) = 2.sin 20o bulunur.
ETKİNLİK
ETKİNLİK
z1 = r1.cis a ve z2 = r2.cis β karmaşık sayıları veriliyor. Aşağıdaki
z1
z2
işlemini inceleyiniz.
Parantez içindeki trigonometrik ifadeleri en sade biçimde noktalı yere yazınız.
r .(cos a + i .sin a) (cos β - i .sin β)
r .cis a
z1
.
= 1
= 1
z2
r2.(cos β + i .sin β) (cos β - i .sin β)
r2.cis β
=
(cos a.cos β + sin a.sin β) + i .(sin a.cos β - sin β.cos a)
r2
(cos2 β + sin2 β)
r1
.
. ......................................................................................
=
z1 ve z2 karmaşık sayılarının modüllerini ve argümentlerini inceleyiniz.
z1
z2
karmaşık sayısının modülünü ve argümentini belirtiniz.
Kutupsal biçimde verilen iki karmaşık sayının bölümü için verilen karmaşık sayıların modüllerini ve argümentlerini kullanarak matematiksel bir model oluşturunuz.
ÖRNEK
z1 = 10.cis 340o ve z2 = 2.cis 130o karmaşık sayıları için
z1
z2
işlemini yapalım.
ÇÖZÜM
z1
z2
=
o
o
o
o
10.(cos 340o + i .sin 340o) 10 . cos 340 + i .sin 340 . cos 130 - i .sin 130
10.cis 340o
=
=
o
o
o
o
2.(cos 130 + i .sin 130 )
2 cos 130o + i .sin 130o cos 130 - i .sin 130
2.cis 130o
= 5.
o
o
o
o
o
o
o
o
cos 340 .cos 130 + sin 340 .sin 130 + i .(sin 340 .cos 130 - sin 130 .cos 340 )
cos2 130o + i .sin2 130o
= 5.[cos (340o - 130o) + i .sin (340o - 130o)] = 5.sin 210o = 5.(cos 210o + i .sin 210o)
(
)
5
53
1
= 5.(-cos 30o - i .sin 30o) = 5. - 3 - i .
=2
2
2
2
z1 = r1.cis a ve z2 = r2.cis β olmak üzere,
Arg (z1) = a, Arg (z2) = β ve Arg
( )
z1
z2
z1
z2
=
r1
r2
i
bulunur.
.cis (a - β) dır.
= a - β olduğundan Arg
( )
z1
z2
= Arg (z1) - Arg (z2) olur.
ÖRNEK
y
z1
6
O
x
o
140
o
310
2
Yandaki şekilde verilen z1 ve z2 karmaşık sayıları
z
için 1 işlemini yapalım.
z2
z2
45
ÇÖZÜM
Şekilde verilenlere göre z1 = 6.cis 140o, z2 = 2.cis 310o ve z2 = 2.cis (360o - 310o) = 2.cis 50o dir.
z
6.cis 140o 6
O hâlde, 1 =
= .cis (140o - 50o) = 3.cis 90o = 3.(cos 90o + i.sin 90o) = 3.(0 + i.1) = 3 i olur.
z2
2
2.cis 50o
ÖRNEK
sin 220o - i .cos 320o
sin 130o - i .sin 140o
işleminin sonucunu bulalım.
ÇÖZÜM
sin 220o = sin (180o + 40o) = -sin 40o = -cos 50o , cos 320o = cos (360o - 40o) = cos 40o = sin 50o
sin130o = sin (180o - 50o) = sin 50o = cos 40o ve sin140o = sin (180o - 40o) = sin 40o olduğundan
-(cos 50o + i .sin 50o)
-cis 50o
sin 220o - i .cos 320o
-cos 50o - i .sin 50o
=
=
=
sin 130o - i .sin 140o
cos 40o - i .sin 40o
cos (-40o) + i .sin (-40o)
cis (-40o)
= -cis [50o - (-40o)] = -cis 90o = -i
bulunur.
UYGULAMA
1) z1 = 10.cis 340 , z2 = 2.cis 230 ve z3 = 4.cis 130 karmaşık sayılarını kullanarak aşağıdaki
işlemleri yapınız.
a) z1 + z3 b) z2 - z1 c) z1 - z2 + z3
o
o
2) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
o
z1 = 2.cis 20o ve z2 = cis 110o ise | z1 - z2 | değeri kaçtır?
z1 = 3.cis 200o ve z2 = 3.cis 320o ise | z1 - z2 | değeri kaçtır?
z
z1 = 6.cis 200o ve z2 = 2.cis 110o ise 1 değeri kaçtır?
z2
33
5
3
23
3) Aşağıdaki çizelgeyi doldurunuz.
z1 = r1.cis θ1
o
2.cis 110
o
5.cis 62
o
3.cis 80
o
cis 45
z2 = r2.cis θ2
r1.r2
o
8.cis 11
θ1 + θ2
z1. z2 = r1.r2.cis (θ1 + θ2)
................ ................ ...........................................
o
3.cis 10
................ ................ ...........................................
o
3.cis 80
................ ................ ...........................................
cis 135o
................ ................ ...........................................
4) z1 = 4.cis 45°, z2 = 2.cis 25°, z3 = cis 55° ve z4 = cis 30° karmaşık sayıları veriliyor. z1+ z2 ve
z3 + z4 toplamlarını bulabileceğiniz yöntemleri tartışınız.
46
5) z1 = 2.cis 20° ve z2 = cis 110° karmaşık sayıları için |z1- z2| değerini hesaplayınız.
6) z1 = -2 - 2 i ve z2 = -3 +
7) z1 = 3.cis 120° ve z2 = cis 300° ise z1- z2 farkı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1
A) 3 i
2
2
8)
9) z =
B) -1
i
karmaş›k say›lar›nın çarp›m›n› kutupsal biçimde yaz›n›z.
C) 2
D)
(-cos 255o + i .sin 105o).(sin 260o - i .sin 350o)
o
o
o
o
(-sin 65 - i .cos 245 ).(-cos 160 - i .sin 290 )
-2.cis 85o.cis 15o
cis 250o
1 3
+
i
2
2
E) 1
karmaşık sayısını standart biçimde yazınız.
veriliyor. Arg (z) değerini bulunuz.
KARMAŞIK SAYILARIN ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ
ETKİNLİK
y
z = 3.cis 20o sayısının karmaşık düzlemdeki görüntü-
sü yanda verilmiştir. İnceleyiniz.
z karmaşık sayısını cis 10o ile çarparak elde ettiğiniz
3
sayının karmaşık düzlemdeki görüntüsünü işaretleyiniz.
20o
x
İşaretlediğiniz noktaya karşılık gelen karmaşık sayıO
nın kutupsal koordinatlarını inceleyiniz.
“z karmaşık sayısının karşılık geldiği nokta, orijin
etrafında pozitif yönde 10o döndürüldüğünde hangi noktaya gelir?” sorusunu tartışınız.
Benzer şekilde z karmaşık sayısını, sırasıyla cis 30o, cis 70o, cis 100o ve cis 160o sayıları ile
çarparak elde ettiğimiz karmaşık düzlemde işaretleyiniz.
İşaretlediğiniz noktalara karşılık gelen karmaşık sayıların kutupsal koordinatlarını inceleyiniz.
z karmaşık sayısının karşılık geldiği noktayı, y pozitif yönde sırasıyla 30o, 70o, 100o ve 160o
döndürdüğünüzde hangi noktalara ulaştığınızı tartışınız.
Bir z karmaşık sayısına karmaşık düzlemde karşılık gelen noktanın orijin etrafında pozitif
yönde αo kadar dönmesi sonucu elde edilen noktaya karşılık gelen karmaşık sayıyı z ve cis α ile
ilişkilendiriniz.
z
ÖRNEK
z = 2.cis 25o karmaşık sayısına karşılık gelen noktayı orijin etrafında pozitif yönde 20o döndürelim ve elde ettiğimiz noktaya karşılık gelen karmaşık sayı (zı) ile z = cis 20o sayısını ilişkilendirelim.
ÇÖZÜM
y
zı
2
o
o
20 2 45
25o
O
z
x
z.cis 20o = 2.cis 25o.cis 20o
= 2.cis (25o + 20o)
= 2.cis 45o
= zı dür.
Karmaşık düzlemde, z = r.cis θ sayısına karşılık gelen noktanın orijin etrafında pozitif
yönde α kadar döndürülmesiyle elde edilen noktaya karşılık gelen karmaşık sayı zı ise,
zı = z.cis α ⇒ zı = r.(cis θ).(cis α) ⇒ zı = r.cis (θ + α) olur.
ÖRNEK
z = 2 + 3 i karmaşık sayısına karşılık gelen noktanın orijin etrafında pozitif yönde 30o dönmesi
ile elde edilen noktaya karşılık gelen karmaşık sayıyı bulalım.
ÇÖZÜM
(
) (
1
zı = z.cis α = (2 + 3 i).cis (30o) = (2 + 3 i).(cos 30o + i .sin 30o) = (2 + 3 i ). 3 + i .
2
2
ÖRNEK
(
= 3 -
)
3
+ 1 + 33
2
2
)i
dır.
Karmaşık düzlemde z = 3 - i karmaşık sayısına karşılık gelen nokta orijin etrafında pozitif
yönde αo kadar döndürüldüğünde elde edilen noktaya z = 3 - i karmaşık sayısı karşılık gelmiştir.
Buna göre αo yi bulalım.
47
ÇÖZÜM
zı = z.cis α ⇒ 1 + 3 i = (3 - i).cis α ⇒ cis α =
olur. Dolayısıyla α = 90o bulunur.
1 + 3 i
3 - i
=
1 + 3 i 3 + i
.
= i = 0 + 1.i = cis 90o
3 - i 3 + i
U
YGULAMA
1) z = 5.(cos 50° + i .sin 50°) karmaşık sayısına karşılık gelen noktanın başlangıç noktası etrafında pozitif yönde 40° döndürülmesiyle elde edilen noktaya karşılık gelen karmaşık sayıyı, standart
biçimde yazınız.
2) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
z1 = 3 + 5 i ve z2 = 4. cis 30° karmaşık sayılarına karşılık gelen noktalar
ı
ı
başlangıç noktası etrafında pozitif yönde 90° döndürülüyor. Sırasıyla z1 ve z2
karmaşık sayılarına karşılık gelen noktalar elde ediliyor.
ı
ı
a) z1 = ? b) z2 = ?
3 - 5i
-5 + 3 i
-2 + 23 i
-23 + 2 i
3) z = 2 + 23 i karmaşık sayısına gelen nokta başlangıç noktası etrafında pozitif yönde αo
döndürüldüğünde elde edilen noktaya karşılık gelen karmaşık sayı -4 ise α kaç derecedir?
A) 30o
B) 60o
C) 90o
y
4)
O
D) 120o
z2
z1
z1
a
z2
karmaşık sayısına karşılık gelen nokta,
başlangıç noktası etrafında pozitif yönde 90o
döndürüldüğünde elde edilen noktaya karşılık gelen karmaşık sayıyı bulunuz.
x
a
E)150o
KARMAŞIK SAYININ KUVVETLERİ
ETKİNLİK
z = 2.cis 10o karmaşık sayısı veriliyor.
Kutupsal biçimde verilin iki karmaşık sayının çarpımında ve
2
z
=
z.z eşitliğinden faydalanarak z2 karmaşık sayısını hesaplayınız.
z
3
z3 = z.z.z eşitiliğnden z3 karmaşık sayısını kutupsal biçimde
10o
x
yazınız.
O
z karmaşık sayısını kuvvetlerini aldıkça elde ettiğiniz karmaşık
sayıların her birini kutupsal koordinatları ile z nin kutupsal koordinatlarını karşılaştırınız.
Kutupsal biçimde verilen z = r.cis α karmaşık sayısını, n. kuvveti alındığında elde edilen
karmaşık sayının z nin kutupsal koordinatları cinsinden yazımını tartışınız.
y
ÖRNEK
z = 3.cis 5o karmaşık sayısı için z2, z3 ve z20 karmaşık sayılarını bulalım.
ÇÖZÜM
2
o
o
o
o
2
o
o
2
z = z.z = (3.cis 5 ).(3.cis 5 ) = 3.3.(cis 5 ).(cis 5 ) = 3 .cis (5 + 5 ) = 3 .cis 10
o
z3 = z.z.z = (3.cis 5o).(3.cis 5o).(3.cis 5o) = 3.3.3.(cis 5o).(cis 5o).(cis 5o) = 33.cis (5 + 5 + 5) = 33.cis 15o
z20 = z.z.....z = (3.cis 5o).(3.cis 5o).........(3.cis 5o) = 3.3....3.cis (5 + 5 + .... + 5) = 320.cis 100o olur.
20 tane
48
20 tane
20 tane
20 tane
z = r.cis α ve n ∈ N+ olmak üzere, z karmaşık sayının n kuvveti,
zn = rn.cis (n.α) = rn.[cos (n.α) + i .sin (n.α)] dir. Bu kural De Moivre Kuralı olarak adllandırılır.
Arg (z) = α için Arg (zn) = n.α olduğundan Arg (zn) = n.α olduğundan Arg (zn) = n.Arg z dir.
Abraham De Moivre (Ebrıhım Dö Movr) (1667 – 1754), 1667’de
Fransa’nın Champagne (Şampanya) kentinde doğdu. İngiltere’ye yerleşen
De Moivre, kendi özel gayreti ile Sir Isaac Newton (Sör Ayzek Nivtın) ve
Edmund Halley (Edmınt Heliy) ile tanıştı. Newton’un Principia’sına (Prinsipiya) çok dikkatli çalıştı ve kısa sürede matematik alanında söz söyleyecek
büyük bir matematikçi oldu. 1697 yılında, Royal Society’ye (Royıl Sosayitiy)
üye seçildi. De Moivre, olasılıklar kuramının kurucularından biri olarak kabul
edilir. 1707 ve 1730 yıllarında kendi adıyla anılan ünlü De Moivre teoremini
yayımladı. Teorem onun karmaşık sayılar ve trigonometrik çalışmalarının
ürünüdür. Olasılık teorisi ve normal dağılımla ilgili çalışmaları vardır.
ÖRNEK
z=-
2 2
+
i karmaşık sayısı için z18 karmaşık sayısını standart biçimde yazalım.
2
2
ÇÖZÜM
2
b
2
+
=r=
=
= 1, tan α =
=
= -1 ve z karmaşık sayısına
4
4
a
-2
2
3p
karşılık gelen nokta, karmaşık düzlemin ikinci bölgesinde bulunduğundan α =
olur.
4
3p
n
n
Bu durumda, z = 1.cis
tür. z = r .cis (n.α) olduğundan
4
3p
27p
3p
3p
z18 = 118.cis 18.
= 1.cis
= cis
+ 6.2π = cis
= - i = 0 + (-1) i bulunur.
4
2
2
2
|z|
( ) ( )
2
2
(
2
2
+
2
)
2
2
2
( ) (
) ( )
UYGULAMA
1) Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
a) z = r.cis θ ise zn = .................................... dır.
b) z = r.cis 40o ise Arg(z60) =.................................... tür.
c) z1 = r1.cis a ve z2 = r2.cis θ ise Arg(z1 .z2 ) = .................................... dır.
2) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) z = 1 + 3 i ise z15 = -215 dir.
2
3
(
)
b) z = cos 36 + i.sin 36 ise z = i dir.
(
)
(
)
c) z = 2.cis 15 ise z = -8 + 83 i dir.
p
ç) Arg(z) =
ise Arg(z10) = 2p dir.
5
(
)
3) z = cis 270o ise z15 sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A) i
o
o
o
4) z =
8
B) -i
(1 + i)4
(3 - i )6
20
C) 1 - i
D) 1 + i
E) 2 - i
karmaşık sayısını standart biçimde yazınız.
49
5)
y
z2
3
z2
4
6
z1
z1
2
ifadesinin eşitini bulunuz.
x
10o
6) z1 = 2.cis 21o, z2 = 4.cis 20o, z3 = 2.cis 13o ise
7) z =
(cos 24o - i .sin 24o)2.(sin 16o - i .cos 16o)3
(-cos 5o - i .sin 5o)4
(z1.z2)4
2
z2
ifadesinin eşitini bulunuz.
karmaşık sayısının esas argümentini bulunuz.
8) z = -2.cis 40o ise Arg(i .z2) ifadesinin eşitini bulunuz.
KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ
ETKİNLİK
w2 = z eşitiliğini sağlayan w sayılarına z nin karekökleri denir. Buna göre, z = 4 + 43 i karma-
şık sayısının karekökleri olan wo ve w1 sayılarını bulmak için z karmaşık sayısını, z = r.cis (θ + k.2p)
(k ∈ Z) biçiminde yazınız.
w = t.cis α olmak üzere w2 sayısını, De Moivre kuralını kullanarak kutupsal biçimde yazınız.
w2 = z eşitliğini kullanarak t yi r, α yı θ cinsinden ifade ediniz.
w karmaşık sayısının kutupsal koordinatlarını r ve θ cinsinden olmak üzere yazınız.
k = 0 ve k = 1 değerleri için wo ve w1 karmaşık sayılarını bulunuz.
wo ve w1 karmaşık sayılarına karşılık gelen noktaları karmaşık düzlemde gösteriniz ve aralarındaki bağlantıyı tartışınız.
z = r.cis θ biçimindeki bir karmaşık sayının kareköklerini bulurken kullanabileceğiniz matematiksel bir model oluşturunuz.
ÖRNEK
z = -2 + 23 i karmaşık sayının kareköklerini bulalım.
ÇÖZÜM
2p
2
2
= r = (-2) + (23) = 4, tan θ = 23 = -3 ⇒ θ =
3
-2
2p
z = 4.cis
+ k.2p (k ∈ Z) dir.
3
|z|
(
)
w = t.cis α alalım. De Movire formülünden, w2 = t2.cis 2α ve w2 = z eşitiliğinden
(
t2.cis 2α = 4.cis
(
)
2p
+ k.2p
3
)
p
⇒ t2 = 4 ve 2α = 2p + k.2p ⇒ t = 2 ve α = + k.p
3
3
p
+ k.p olur.
3
p
p
p
1 3
k = 0 için, wo = 2.cis
= 2. cos + i.sin
= 2.
+
i = 1 + 3 i
3
3
3
2
2
w = 2.cis
k = 1 için, w1 = 2.cis
50
() (
( ) (
) (
)
i)
) (
-1 3
4p
4p
4p
= 2. cos
+ i.sin
= 2.
3
3
3
2
2
= -1 - 3 i bulunur.
z = r cis θ olmak üzere z karmaşık sayısının karekökleri,
θ
θ
wo = r .cis
ve w1 = r .cis
+ π dir.
2
2
Karmaşık düzlemde bu kareköklere karşılık gelen noktalar, yarıçapı r ve merkezi orijinde bulunan çember üzerinde bulunur ve orijine göre simetriktir.
()
(
)
ETKİNLİK
w3 = z eşitliğini sağlayan z nin küp kökleri denir. Buna göre z = -4 - 4 3 i karmaşık sayısının
küpkökleri olan w0, w1 ve w2 sayılarını bulabilmek için z karmaşık sayısını z = r.cis (θ + k.2π), (k ∈ Z)
biçiminde yazınız.
w = t.cis α olmak üzere w3 sayısını De Moivre kuralını kullanarak kutupsal biçimde yazınız.
w3 = z eşitliğini kullanarak t yi r ve α yı θ cinsinden ifade ediniz.
w karmaşık sayısının kutupsal koordinatlarını r ve θ cinsinden olmak üzere yazınız.
k = 0 için wo, k = 1 için w1 ve k = 2 için w2 karmaşık sayılarını bulunuz.
w0, w1 ve w2 karmaşık sayılarına karşılık gelen noktaları karmaşık düzlemde gösteriniz ve
aralarındaki bağıntıyı tartışınız.
z = r.cis θ biçimindeki bir karmaşık sayının küpköklerini bulurken kullanabileceğiniz matematiksel bir model oluşturunuz.
Ayrıca daha genel düşünerek kutupsal biçimde verilen bir karmaşık sayının n. dereceden köklerini veren matematiksel bir modeli tartışınız. Bu köklere karmaşık düzlemde karşılık gelen noktaların
geometrik yerini yorumlayınız.
ÖRNEK
z = 8 i karmaşık sayısının küp köklerini bulalım.
ÇÖZÜM
|z|
=r=
02 + 82 = 8 ve θ =
(
w = t.cis α alalım. De Moivre kuralından,
w3 = t3.cis 3α ve w3 = z eşitliğinden t3.cis 3α = 8.cis
t3 = 8 ve 3α =
p
+ k.2p ⇒
2
k = 0 için, wo = 2.cis
k = 1 için, w1 = 2.cis
k = 2 için, w2 = 2.cis
)
p
R
olduğundan z = 8.cis
+ k.2p dir.
2
2
t = 2 ve α =
() (
( ) (
( ) (
(
)
p
+ k.2p
2
p k.2p
+
⇒
3
6
w = 2.cis
) ( i)
i)
) (
i
i
)
p
p
p
1
= 2. cos + i.sin
= 2. 3 +
6
6
6
2
2
(
p
k.2p
+
3
6
)
olur.
= 3 + i
5p
5p
5p
1
= 2. cos
+ i.sin
= 2. - 3 +
6
6
6
2
2
= -3 + i
3p
3p
3p
= 2. cos
+ i.sin
= 2.(0 - ) = -2
2
2
2
bulunur.
z = r.cis θ olmak üzere z karmaşık sayısının küp kökleri,
wo = 3 r .cis
()
(
)
(
θ
θ + 2p
θ + 4p
, w1 = 3 r .cis
, w2 = 3 r .cis
3
3
3
)
dir.
Karmaşık düzlemde bu küp köklere karşılık gelen noktalar, bir eşkenar üçgenin köşeleridir ve 3 r yarıçaplı merkezil çember üzerinde bulunur.
51
Genel olarak, z = r.cis θ karmaşık sayısının n. dereceden kökleri,
n
1
n
z = z = n r . cis
(
θ + k.2p
n
)
(k ∈ Z)
bağıntısında k yerine 0, 1, 2,...., (n-1) değeri verilerek bulunur.
Bu köklerin karmaşık düzlemdeki görüntüleri bir düzgün n-genin köşeleridir ve n r yarıçaplı merkezil çember üzerinde bulunurlar.
ÖRNEK
z = -8 + 83 i karmaşık sayısının 4. dereceden köklerini bulalım. Bu köklere karşılık gelen noktaları karmaşık düzlemde işaretleyelim.
ÇÖZÜM
|z|
2
2
2p
2p
= r = (-8) + (83) = 16 ve tan θ = 83 = -3 ⇒ θ =
olduğundan z = 16.cis
tür.
3
3
-8
(
2p + k.2p
3
z = z = 16 .cis
4
1
4
4
(
(
(
(
)
(k ∈ Z)
)
)
)
)
2p + 0.2p
p
p
p
3
1
k = 0 için, zo = 2.cis
= 2. cis
= 2. cos + i.sin
= 2. 3 +
4
6
6
6
2
2
() (
) (
)
i
= 3 + i
2p + 1.2p
3
2p
2p
2p
1
k = 1 için, z1 = 2.cis
= 2. cis
= 2. cos
+ i.sin
= 2. - + 3 i = -1 + 3 i
4
3
3
3
2
2
( ) (
) (
)
2p + 2.2p
3
7p
7p
7p
1
k = 2 için, z2 = 2.cis
= 2. cis
= 2. cos
+ i.sin
= 2. - 3 4
6
6
6
2
2
( ) (
) (
)
i
= -3 - i
2p + 3.2p
3
5p
5p
5p
1
k = 3 için, z3 = 2.cis
= 2. cis
= 2. cos
+ i.sin
= 2. - 3 i = 1 - 3 i olur.
4
3
3
3
2
2
( ) (
) (
)
y
2
z1 = -1 + 3 i B
3
A
z0 = 3 +
1
1
-3
z2 = -3 -
i
3 2
-1 O
-2
-1
C
-3
-2
D
i
x
z nin 4. dereceden köklerine karşılık gelen
noktalar, karmaşık düzlemde aşağıdaki ABCD
karesinin köşeleridir.
z3 = 1 - 3 i
ÖRNEK
52
z = 5 + 12 i karmaşık sayısının kareköklerini bulalım.
ÇÖZÜM
x, y ∈ R ve w = x + y i olmak üzere, w2 = z eşitliğini sağlayan w sayıları z nin karekökleri olur.
O hâlde, (x + y i)2 = 5 + 12 i
6
⇒ x2 - y2 + 2xy i = 5 + 12 i ⇒ x2 - y2 = 5 ve 2xy = 12 ⇒ x.y = 6 ⇒ y =
olur.
x
6
y nin x cinsinden ifadesi olan
i, x2 - y2 = 5 eşitliğinde y yerine yazalım.
x
x2 -
( )
6
x
2
= 5 ⇒ x2 -
36
x4 - 36
=
5
⇒
= 5 ⇒ x4 - 5x2 - 36 = 0 ⇒ (x2 - 9).(x2 + 4) = 0
2
2
x
x
⇒ x2 = 9 ∨ x2 = -4 ⇒ x1 = -3 ∨ x2 = 3
x1 = -3 için y =
olur.
6
6
⇒ y1 = -2 ⇒ w0 = -3 - 2 i , x2 = 3 için y = ⇒ y2 = 2 ⇒ w1 = 3 + 2 i bulunur.
-3
3
UYGULAMA
1) Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
a) z = r.cis θ sayısının küpkökleri, karmaşık düzlemde bir .................................... üçgenin köşeleridir.
b) z = r.cis θ sayısının karekökleri w0 ve w1 ise w0 + w1 = .................................... dır.
c) z3 + 1 = 0 denkleminin ........................... farklı kökü vardır.
2) Aşağıdakilerden hangisi z = 16.cis 120o karmaşık sayısının dördüncü dereceden bir kökü değildir?
A) 4.cis 30o B) 4.cis 120o
C) 4.cis 210o
D) 4.cis 300o
E) 4.cis 330o
3) Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a) z3 + 33 - 3 i = 0
b) z3 + 8 = 0 c) z3 + 2 + 2 i = 0 4) z2 = 3 - 4 i karmaşık sayısının kökleri z1 ve z2 dir. Buna göre |z1 - z2| nedir?
5) z = 2 + 4 i karmaşık sayılarının küpköklerinin karmaşık düzlemde karşılık geldiği noktaları
birleştirdiğinizde elde edilen üçgenin çevresini bulunuz.
6) z2 - 4z + 16 = 0 denkleminin kökleri z1 ve z2 dir. Arg (z1) + Arg (z2) değerini bulunuz.
7) z2 - 2 i z + 3 = 0 denkleminin köklerini bulunuz.
8) z - 2 i = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
9)
y
w1
w0
x
O
w2
Yandaki karenin köşeleri z4 = a + b i denkleminin
kökleri olan w0, w1, w2 ve w3 karmaşık sayılarıdır.
a) w1 = -1 + 2 i ise w0, w2 ve w3 karmaşık sayılarını
bulunuz.
b) z4 = a + b i eşitliğindeki a ve b sayılarını bulunuz.
w3
10) z =
3 - 2 i
3 + 2 i
sayısının küpköklerini bulunuz.
53
1.
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
A - Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
1) a, b ∈ R ve z = a + b i ise b ye z karmaşık sayısının ................................................. denir.
2) İki karmaşık sayının birbirine eşit olabilmesi için ................................................. olmalıdır.
3) Bir karmaşık sayının düzlemdeki görüntüsü ile eşleniğinin görüntüsü ...............................
eksene göre simetriktir.
B - Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
1) Her tam sayı bir rasyonel sayıdır.
( )
2) Her irrasyonel sayı bir karmaşık sayıdır.
( )
3) Her doğal sayı bir sanal sayıdır.
( )
4) Arg (z1.z2) = Arg (z1).Arg (z2) tür.
( )
C - Aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
1) Aşağıda verilen karmaşık sayıların sanal ve gerçek kısımlarını bulunuz.
7 + 3i
a) z = 4 - 2 i
b) z =
c) z = 5 i
ç) z = 9
2
2) Aşağıda verilen karmaşık sayıları standart biçimde yazınız.
a) z = (3 - 2 i).(1 + i)
b) z =
d) z = (3 - 3 i)32.(6 + 6 i)32 4+i
2-i
c) z =
(
4 + 3i
3 - 4i
)
1
1
+
3+i 3-i
ç) z =
e) z = -9 + 2-16 - -4.-9 f) z = (3 + i).(3 + i3).(3 + i9).(3 + i27)
3) Aşağıda verilen karmaşık sayıların eşleniğini bulunuz.
26
13
a) z =
+
b) z = (4 - i)2.(1 + i) 3 - 2i
3 + 2i
4) Aşağıda verilen karmaşık sayıların modülünü bulunuz.
(3 - 2 i).(5 + i)
a) z = 3 - 2 i b) z =
6 - 4i
c) z =
4 - 2i
3 + 2i
c) z =
3 + 4i
5
5) Aşağıda verilen eşitliklerden yararlanarak z karmaşık sayılarını bulunuz.
a) 3 i + 2z = 5 - 4 i
6) Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
400
a) x2 - 4x + 3 = 0
b) 2 i z + 4 i = 6
c) 5z + i z = z + i
b) x2 + x + 5 = 0 ç) |z| + z = 2 + 4 i
c) x2 + 9 = 0
7) Aşağıdaki bağıntılarda verilen z karmaşık sayılarının geometrik görüntüsünü karmaşık düzlemde gösteriniz.
a) |z - (3 - 4 i)| = 5
8) Aşağıda kutupsal koordinatları verilen karmaşık sayıları kutupsal biçimde yazınız.
3p
11p
a) (2, 210o) b) 23,
c) 3,
4
6
54
b) |z| ≥ 1
(
c) |z + 2 + 3 i| ≤ 2
ç) |z + 3 i - 5| < 1
)
(
)
9) Aşağıdaki verilen karmaşık sayıları kutupsal biçimde yazınız.
1
a) z = 3 i
b) z = -5
c) z = -3 + 33 i
ç) z = - 3 i
2
2
10) Aşağıdaki karmaşık sayıları standart biçimde yazınız.
a) z = 3.(cos 60o + i.sin 60o) b) z = 4.cis 210o d) |z - 2 i - 4| ≥ 3
d) z = -4 + 4 i
c) z = 6.cis p
11) Aşağıdaki karmaşık sayıların kutupsal koordinatlarını bulunuz.
a) z = 4.(cos 20o + i.sin 20o)
b) z = 4.(-cos 140o + i.sin 140o)
c) z = 4.(-sin 20o - i .cos 20o)
12) z1 = 2.cis 40o, z2 = 3.cis 50o ve z3 = 6.cis 20o olduğuna göre aşağıda verilenleri kutupsal
biçimde yazınız.
z .z
2
a) z1.z2
b) z1.z3
c) z1 .z3.z2
ç) 1 2
z3
13) Aşağıdaki karmaşık sayıların kareköklerini bulunuz.
a) z = 3 + i
14) Aşağıdaki karmaşık sayıların küpköklerini bulunuz.
a) z = 27 i
b) z = 4 - 43 i
b) z = 4 - 43 i
c) z = -6 + 6 i
c) z = -8
p
15) Arg (z1) =
ve Arg (z2) = 2p olduğuna göre aşağıdakileri bulunuz.
4
3
z .z
2
a) Arg ( z1.z2 ) b) Arg 1 2
c) Arg (-z1)
ç) Arg (-1 + i) + Arg (z1.z2)
i
D - Aşağıdaki çoktan seçmeli soruları yanıtlayınız.
( )
1) z =
A) 3
2.(4 - 3 i).(3 + i)
2 + 4i
sayısının orijine olan uzaklığı kaç birimdir?
B) 5
C) 52
D) 53
E) 82
2) z1 = 7 - i ve z2 = k + 8 i karmaşık sayılarının belirttiği noktalar arasındaki uzaklık 15 birim
olduğuna göre k nın alacağı değerler toplamı kaçtır?
A) 6
3) z =
A) 4 4) z = 1 + cos 70o + i.sin 70o ise |z| kaçtır?
A) 2
8
B) 8
8i
4 - 4i
C) 10
D) 12
E) 14
D) 24
E) -24
D) cos 35o
E) sin 35o
ise z8 aşağıdakilerden hangisidir?
B) -48
C) 28
B) 2
C) 2.cos 35o
(-sin 190o + i.cos 10o).(-cos 220o - i.cos 130o)
5) z =
A) 40o
6) z = sin 18o + i.cos 18o ise z
karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A) i
C) 1
7) Arg (2 + x - 3 i) =
A) -1
i.sin 160o - sin 250o
B) 70o
C) 100o
10
B) -i
p
4
B) -2
ise Arg (z) kaç derecedir?
D) 120o
E) 150o
D) -1
E) 0
D) -4
E) -5
ise x kaçtır?
C) -3
8) |z - 4 + 43 i| = 4 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılardan argümenti en büyük olanın argümenti kaç derecedir?
A) 270o
B) 300o
C) 315o
D) 330o
E) 340o
55
2. ÜNİTE
ÜSTEL FONKSİYON
Kimi belgeler, satrancı Brahman’ın bulduğunu ve Şah’a hediye ettiğini söylemektedir. Aslında
Brahman bu hediyesi ile Şah’a “Sen ne kadar önemli bir insan olursan ol, adamların, vezirlerin, askerlerin olmadan hiçbir işe yaramazsın; hiçbir önemli iş yapamazsın.” türünde bir ders vermek istemiştir. Şah hediyeden çok memnun olmuş ve “Dile benden ne dilersen.” demiş.
Brahman Rahip, Şah’ın alması gereken dersi almadığını görünce “Bir miktar buğday istiyorum.” demiştir.
Şah, Brahman’ın alçak gönüllülüğüne hayran kalarak
dileğinin yerine getirilmesini emreder.
Brahman 64 kareli satranç tahtasının ilk karesine
bir, ikinci karesine iki, üçüncü karesine dört, yani her
kareye bir öncekinin iki katı buğday konularak doldurulmasını ister.
Brahman’ın isteği yerine getirilmeye çalışılırken ülkedeki buğdayların yetmeyeceği anlaşılır.
0
1. kareye 2
1
2. kareye 2
.
.
.
buğday = 1
buğday = 2
9
10. kareye 2 buğday = 512
.
.
.
30.
kareye2
.
.
.
29
buğday = 536 870 912
59
60.
kareye 2 buğday = 576 460 752 303 423 488
.
.
.
63
64. kareye2 buğday = 9 223 372 036 854 775 808
Yapılan hesaplamalar sonucunda Brahman’ın Şah’tan 18 446 744 373 709 551 615 tane buğday istediği ortaya çıkar.
Bu kadar buğdayı yetiştirmek için dünyanın 64 misli büyüklüğünde bir kara parçasına gereksinim olduğu görülünce Şah, Brahman’ı tebrik eder.
Üslü ifadelerle ilgili aşağıdaki özellikleri hatırlayalım.
xm = x.x.....x
x0 = 1 (x ≠ 0) m tane
xm.xn = xm + n
()
x
y
n
n
x
= n ; (y ≠ 0)
y
n
x1 = x
m
x
x
n
m - n
=x
(xm) = xm . n
()
1
x
m
=
1
m
x
= x-m ; (x ≠ 0)
a.xm + b.xm - c.xm = (a + b - c)xmam = an ⇒ m = n ; (a ∉ {-1, 0, 1})
56
ETKİNLİK
Aşağıdaki tabloda verilen x ile y arasındaki eşlemeyi inceleyiniz.
x
-2
-1
0
1
2
y
1
9
1
3
1
3
9
y
y = f(x)
9
8
x
x ile y arasında y = f(x) = 3 bağıntısı olduğunu, bu
bağıntının da bir fonksiyon belirttiğini görünüz. Bu fonksiyonun yandaki grafiğini inceleyerek tanım ve görüntü kümelerini yazınız.
7
6
5
4
3
2
1
-2
-1 O
13
19
1
2
3
x
x
Eğer f(x) = 3 fonksiyonunda tanım kümesi gerçek sayılar kümesine genişletilirse oluşan
yeni fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi olur. Grafiklerin çiziminde bilgisayar yazılımlarından ya da
grafik hesap makinelerinden yararlanılabilir.
x
x
3
-2
-1
0
1
9
1
3
1
0,1
0,6
1
1,1161... 1,9331...
3
1,2
1,4
3,7371... 4,6555...
y
x
y = f(x) = 3
4,6555
4
3,7371
3
2
1,9331
1,1161
1
O
13
19
x
1,2
1,4
0,1
1
2
-2
-1
Grafiği inceleyerek f(x) = 3x fonksiyonunun görüntü kümesini yazınız.
0,6
57
Gerçek sayılarda tanımlı y = ax bağıntısı veriliyor. Bu bağıntıda a nın değişen gerçek değer-
leri için oluşturulan bağıntıların tablo ve grafiklerini inceleyiniz.
x
a = 2 için y = 2 in tablosu,
x
x
y=2
...
-2
-1
-1
2
0
1
2
1
3
2
2
...
...
1
4
1
2
0,707
1
1,414
2
2,824
4
...
y
x
y=2
4
3
2,824
2
1,414
1
-2
a=
()
1
1
için y =
2
2
y=
()
1
2
1 O
2
1
2
4
3
2
2
in tablosu,
-
1
2
0
1
2
1
2
...
1
0,707
1
2
1
4
...
x
...
x
1
x
... - 2 - 1
x
-1
0,707
0,5
0,25
2
1,414
y
()
1
y=
2
dır.
x
4
3
2
1,414
0,707
0,5
0,25
-2
58
-1
1 O
2
1
x
1
2
1
3
2
2
x
a = -2 için y = (-2) in tablosu,
1
... - 2 - 1 2
x
...
x
y = (-2)
1
4
-
1
2
(i)
0
1
2
1
(ii)
-
3
2
1
(i) (-2)
2 ...
1
2
=
1
-2
1
2
∉ R, (ii) (-2) = -2 ∉ R,
3
- 2 (iii) 4 ...
(iii) (-2) 2 = -8 ∉ R dir.
1
2
a = 2, a = , a = -2 alarak yazılan y = ax bağıntılarından hangilerinin fonksiyon olduğunu
tartışınız.
y = ax bağıntılarından fonksiyon olanların tanım ve görüntü kümelerini yazınız.
ÖRNEK
x
a) y = f(x) = 1
x
b) y = f(x) = 4 fonksiyonlarının grafiklerini çizip, tanım ve değer kümelerini yazalım.
ÇÖZÜM
a)
x
x
y=1
...
-2
-1
0
1
2
...
...
1
1
1
1
1
...
y
x
y=1
1
x
O
x
y = 1 fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi {1} olup sabit fonksiyondur.
b)
x
x
y=4
...
-2
-1
...
1
16
1
4
-
1
2
1
2
0
1
2
1
...
1
2
4
...
y
y=4
x
4
3
2
1
-2
x
-1
1 O
2
12
14
1 16
1
2
x
1
+
y = 4 fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi R dır.
59
+
a ∈ R - { 1 } olmak üzere f: R
+
x
R , f(x) = a biçiminde tanımlanan fonksiyonlara
üstel fonksiyon denir.
ETKİNLİK
Aşağıdaki gruplarda verilen üstel fonksiyonların grafiklerini inceleyiniz.
1. Grup2. Grup
y
y
x
f(x) = 2
m(x) =
1
x
()
1
2
1
x
O
y
x
O
y
x
g(x) = 3
n(x) =
1
x
()
2
5
1
x
O
y
x
O
y
x
h(x) = 4
t(x) =
1
x
()
1
7
1
x
O
O
x
1. ve 2. grupta verilen üstel fonksiyonların tabanlarını 1 ile karşılaştırınız.
Tanım kümesinden seçilen farklı x değerleri arttıkça bu değerlerin görüntüleri de artıyorsa
artan fonksiyon, x değerleri arttıkça bu değerlerin görüntüleri azalıyorsa fonksiyona azalan fonksiyon
denmektedir. Buna göre hangi grupta bulunan fonksiyonların artan hangi grupta bulunan fonksiyonların azalan olduğunu tartışınız.
Üstel fonksiyonların tabanlarını göz önüne alarak artan veya azalan fonksiyon olmaları hakkında bir genellemede bulununuz.
ÖRNEK
+
f: R
x
R , f(x) = 5 ve g: R
+
R , g(x) =
( )
1
3
x
fonksiyonlarının artan veya azalan ol-
duğunu belirleyelim.
ÇÖZÜM
x
f(x) = 5 fonksiyonunda taban 5 olup 1 den büyüktür. Fonksiyonun tanım kümesinden seçeceği1
2
3
miz x = 1, x = 2, x = 3, ... değerleri için 1 < 2 < 3 ... iken 5 < 5 < 5 ... olur. Dolayısıyla x ler artarken
x
görüntüler de artmaktadır. O hâlde, f(x) = 5 fonksiyonu artan fonksiyondur.
60
( )
x
1
1
olup 0 <
< 1 dir. Fonksiyonun tanım kümesinden seçece3
3
1
2
3
1
1
1
ğimiz x = 1, x = 2, x = 3, ... değerleri için 1 < 2 < 3 ... iken
>
>
... olur. Dolayısıyla x
3
3
3
g(x) =
1
3
fonksiyonunda taban
( ) ( ) ( )
ler artarken görüntüler azalmaktadır. O hâlde, g(x) =
A ⊂ R olmak üzere f: A
∀x1, x2 ∈ A için,
( )
1
3
x
fonksiyonu azalan fonksiyondur.
R fonksiyonunda,
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) oluyorsa f artan,
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) oluyorsa f azalan,
x1 < x2 ⇒ f(x1) = f(x2) oluyorsa f sabit fonksiyondur. Buna göre,
+
+
a ∈ R - { 1 } olmak üzere f: R
için azalan fonksiyondur.
x
R , f(x) = a üstel fonksiyonu a > 1 için artan, 0 < a < 1
UYGULAMA
1) Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz.
a) Üstel fonksiyonların tanım kümesi ................................ dır.
x
b) f(x) = a üstel fonksiyonunun görüntü kümesi ................................ dır.
x
c) f(x) = a üstel fonksiyonunun grafiği y eksenini ................................ noktasında keser.
2) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) Üstel fonksiyonlar örtendir.
b) Tabanı birden büyük olan üstel fonksiyonlar azalandır.
c) Üstel fonksiyonlar bire birdir.
(
)
(
)
(
)
3)
Nilüfer çiçeği çoğalarak bir hafta sonunda kapladığı yüzeyin alanını iki katına çıkarmaktadır. Nilüfer çiçeğinin kapladığı
yüzeyin alanını veren fonksiyonun kuralını hafta sayısını x ile
göstererek yazınız.
+
4) f: R
R , f(x) =
( )
4
5
x
fonksiyonu için,
I) f(x) azalandır
II) f(x) artandır
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) I-II
B) II-III
C) II-III-IV
+
III) f(x) bire birdir
D) I-II-III
IV) f(x) örtendir
E) I-III-IV
+
x
5) a ∈ R - {1} olmak üzere f: R
R tan›mlanan f(x) = a fonksiyonunda a n›n değişen
değerleri için grafiklerini ayn› analitik düzlemde çizdiğinizde eğrilerin geçtiği ortak noktanın koordinatlarını bulunuz.
6) Aşağıdaki fonksiyonlardan artan ya da azalan olanları belirtiniz.
a) y =
()
7
5
x
b) y =
()
7
8
x
x
c) y = (0,2)
x
ç) y = 10
61
7) Aşağ›da verilen üstel fonksiyonlar›n tan›ml› olduğu aral›ktaki grafiklerini çiziniz.
+
x
a) f : R
R , f(x) = 5
c) h : R
R , h(x) =
+
+
d) m : R
( )
( )
1
2
R , m(x) =
x
2
5
+
x-1
b) g : R
R , g(x) = 3
ç) k : R
R , k(x) =
( )
x
1
4
+
x+1
John Napier (Con Napyer) (1550 - 1617), logaritmanın bulucusu
olarak bilinir. Napier, Saint Andrews (Sen Endivs) Üniversitesinde eğitim
görmüş ve matematiğe de ilgi duymuştur. Kendisi, amatör bir matematikçidir. Sayısal hesaplamaları kolaylaştıracak bir yol ararken, önce Napier cetvelleri diye bilinen, üzerinde rakamlar yazılmış küçük değnekler yardımıyla
yapılan bir çarpma veya bölme yöntemi buldu. 1, 2, 3,... şeklindeki aritmetik
dizi ile, buna karşılık gelen 10, 100, 1000,... biçimindeki geometrik dizi arasındaki ilişkiyi gördü. 1614 yılında yazdığı “Logaritma Kurallarının Tanımı”
adlı aritmetik dizi ile geometrik dizinin karşılaştırılmasından, matematiğe
logaritma kavramını getirdi.
ETKİNLİK
Aşağıdaki üstel fonksiyonların grafiklerini inceleyiniz.
y
y
f(x) = y = 3x
1
x
+
f: R
R f(x) = y = 3
x
O
+
g: R
x
x
1
O
()
3
g(x) = y =
5
g(x) = y =
R
()
3
5
xx
f ve g fonksiyonlarının her biri için tanım kümesi olan R den seçeceğiniz farklı değerlerin
görüntülerini karşılaştırınız.
Tanım kümesinden seçilen farklı elemanların görüntülerinin eşit olup olmadığını kontrol ediniz.
f ve g fonksiyonları bire bir midir? Tartışınız.
f ve g fonksiyonlarının her biri için değer kümesi olan R+ dan seçilebilecek gerçek sayıların
her birine tanım kümesinden eşlenen en az bir gerçek sayı olup olmadığını araştırınız.
f ve g fonksiyonlarının örtenliğini tartışınız.
Üstel fonksiyonlar bire bir ve örten midir? Tartışınız.
ÖRNEK
f: R
62
+
x
R , f(x) = 2 fonksiyonunun bire bir ve örtenliğini araştıralım.
ÇÖZÜM
y = f(x) in aşağıdaki grafiğini inceleyelim.
y
x
y=2
4
x eksenine paralel doğrular çizdiğimizde bu
doğrular, grafiği sadece bir noktada kestiğinden
x
y = 2 üstel fonksiyonu bire birdir (yatay doğru
testi).
+
x
∀y ∈ R için y = 2 olacak şekilde ∃x ∈ R
olduğundan f örtendir.
+
x
O hâlde, f: R
R , f(x) = 2 fonksiyonu
bire bir ve örtendir.
3
2
1
0,5
0,25
-2
-1
O
1
2
x
+
+
a ∈ R - { 1 } olmak üzere f: R
x
R , f(x) = a üstel fonksiyonu bire bir ve örtendir.
UYGULAMA
1) Grafik hesap makinesinden ya da bilgisayar yazılımından faydalanarak y =
()
3
2
x
ve y =
()
2
3
x
fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz ve bu fonksiyonların bire bir ve örten olup olmadıklarını araştırınız.
+
2) f: R
x
R , f(x) = 3 fonksiyonu,
a) bire bir midir?
b) örten midir? Araştırınız.
LOGARİTMA FONKSİYONU
ETKİNLİK
x
f(x) = a biçimindeki üstel fonksiyonların bire bir ve örten olduğunu biliyorsunuz. Öyleyse bu tür
fonksiyonların tersleri de vardır diyebilirsiniz. Buna göre,
+
+
x
f: R
R , a ∈ R - { 1 }, f(x) = a üstel fonksiyonunun aşağıdaki şemasını inceleyiniz.
f
R
•x
+
R
x
• y = f(x) = a
Şemadan yararlanarak f(x) = ax fonksiyonunun tersi olan f -1(x) fonksiyonunun tanım ve değer kümelerini belirtiniz.
f -1(x) fonksiyonunun kuralını bugüne kadar öğrendiğiniz cebirsel işlemlerle yazıp yazamayacağınızı tartışınız.
63
Bir üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.
+
+
f: R
R, a ∈ R - { 1 } olmak üzere f(x) = loga x biçiminde gösterilir.
loga x ifadesi x in a tabanındaki logaritması şeklinde okunur.
O hâlde, y = a
x
⇔ x = loga y dir.
ÖRNEK
+
R
x
R tanımlanan f ve g üstel fonksiyonları f(x) = 3 ve g(x) =
()
2
5
x
olarak veriliyor. Bu
fonksiyonların ters fonksiyonlarının kurallarını yazalım.
ÇÖZÜM
x
f(x) = y = 3
g(x) = y =
()
2
5
⇒
x = log3 y ⇒
y = log3 x dir. O hâlde, y = f -1(x) = log3 x olur.
⇒
x = log 2 y ⇒
y = log 2 x dir. O hâlde, y = g-1(x) = log 2 x olur.
x
5
5
5
ÖRNEK
Aşağıdaki üslü ifadeleri logaritma cinsinden yazalım.
2
3
3
a) 4 = 64
b) 8 = 4
ÇÖZÜM
x
y=a
⇔ loga y = x olduğundan,
a) 64 = 4
b) 4 = 8
2
3
3
⇔ log4 64 = 3
2
olur.
3
⇔ log8 4 =
ÖRNEK
Aşağıdaki logaritmalı ifadeleri üslü ifade biçiminde yazalım.
a) log3 1 = 0
b) log 1 289 = -2
17
ÇÖZÜM
x
y=a
⇔ loga y = x olduğundan,
0
a) log3 1 = 0 ⇔ 1 = 3
b) log 1 289 = -2 ⇔ 289 =
17
( )
1
17
-2
olur.
ÖRNEK
f:
( )
1
,∞
3
R tanımlı, f(x) = log2 (3x - 1) + 5 ise f -1(x) fonksiyonunun kuralını bulalım.
ÇÖZÜM
64
f(x) = y biçiminde verilen bire bir örten bir fonksiyonun tersinin kuralı, x yalnız bırakılarak y cin-
sinden yazıldığında en son işlemde x yerine y, y yerine x yazılarak bulunur.
Buna göre, log2 (3x - 1) + 5 = y
⇒
x =
⇒
log2 (3x - 1) = y - 5
⇒
3x - 1 = 2
y-5
⇒
3x = 2
y-5
+1
1 y-5
(2
+ 1)
3
1 x-5
(2
+ 1)
dir.
3
1 x-5
O hâlde, f -1(x) = (2
+ 1) bulunur.
3
⇒
y=
ÖRNEK
log2 [124 + log3 (2x + 1)] = 7
eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.
ÇÖZÜM
loga y = x ⇒ y = a olduğundan log2 [124 + log3 (2x + 1)] = 7
x
7
⇒ 124 + log3 (2x + 1) = 2
4
⇒ 2x + 1 = 3
⇒ log3 (2x + 1) = 4
⇒ 2x = 80 ⇒ x = 40 elde edilir.
ÖRNEK
f(x) = log2 (9 - x2) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım.
ÇÖZÜM
f(x) = loga g(x) biçimindeki bir fonksiyonun tanımlı olması için g(x) > 0, a > 0 ve a ≠ 1 koşullarının
2
birlikte sağlanması gerekmektedir. Bu durumda sadece (9 - x ) > 0 eşitsizliğini sağlayan x değerleri
için f(x) fonksiyonu tanımlıdır.
(9 - x2) > 0 ise
x
-3
+3
-
∞
∞
y = 9 - x2
olur.
Öyleyse f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi (-3, 3) olur.
ÖRNEK
Aşağıda grafikleri verilen üstel fonksiyonların terslerinin grafiklerini çizelim.
a)
b)
y
4
4
3
3
2
2
1
1
0,5
0,25
-2
-1
y
x
y = f(x) = 2
O
1
2
y = g(x) =
0,5
0,25
x
-2
-1
O
1
2
()
1
2
x
x
65
ÇÖZÜM
Bir f fonksiyonu ile tersi olan f-1 fonksiyonunun grafiği y = x doğrusuna göre simetrik olduğundan
yukarıdaki fonksiyonların terslerinin grafiği aşağıdaki gibidir.
a)
b)
y f(x) = 2x
y
g-1(x) = log x
1
2
1
1
O
O
x
x
()
1
2
x
1
=
y
=
x
x
1
g(x) =
y
f -1(x) = log2 x
y = f(x) = a üstel fonksiyonu ile tersi olan y = f -1(x) = loga x fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
x
ÖRNEK
Aşağıda R
+
R tanımlanan f(x) = log2 x ve g(x) = log 1 x fonksiyonlarının grafiklerini
2
inceleyerek farklı x değerlerinin görüntülerini karşılaştıralım. Bu fonksiyonların artan ya da azalan
olduğunu belirtelim.
y
y
g (x) = log x
f (x) = log2 x
f(x2)
f(x1)
f(4) = 2
2
f(2) = 1
1
1
2
2
f(1) = 0
2
1
4 x1
x2
x
O
g(2) = -1
11
42
4
1
g(4) = -2
g(x1)
g(x2)
ÇÖZÜM
•
f(x) = log2 x fonksiyonunun tabanı 2 dir.
1 < 2 ⇒ f(1) < f(2)
2 < 4 ⇒ f(2) < f(4)
..
.
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) olduğundan f(x) = log2 x fonksiyonu artandır.
•
g(x) = log 1 x fonksiyonunun tabanı
2
1
dir.
2
1 < 2 ⇒ g(1) > g(2)
2 < 4 ⇒ g(2) > g(4)
..
.
x1 < x2 ⇒ g(x1) > g(x2) olduğundan g(x) = log 1 x fonksiyonu azalandır.
2
66
x1
x2
x
+
+
a ∈ R - { 1 } olmak üzere f: R
R, f(x) = loga x logaritma fonksiyonu,
a > 1 için artan fonksiyon, 0 < a < 1 için azalan fonksiyondur.
ÖRNEK
f: (2, ∞)
R, f(x) = log4 (x - 2) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
ÇÖZÜM
f nin tanım kümesinden seçeceğimiz bazı x değerlerine karşılık gelen y değerleri aşağıdaki tabloda verildiği gibi olur.
x
3
4
5
6
7
0
y = log4 (x - 2)
0,5
0,79...
1
1,16...
Tablodan yararlanarak işaretleyeceğimiz bazı noktalar (3, 0), (4, 0,5), (5, 0,79), (6, 1), (7, 1,16)
dır. Bu noktaları düzlemde işaretleyelim. Çizimlerde dinamik geometri yazılımları kullanılarak grafik
üzerinde başka noktalar da bulunabilir. Ayrıca x - 2 > 0 olacağından grafik, x = 2 doğrusunun sağında aşağıdaki gibi çizilir.
y
2
y = log4 (x - 2)
1,16
1
0,79
0,5
O
1
2
3
4
5
6
x
7
ÖRNEK
y
3
R
2
Q
1
P
+
Yandaki şekilde R
R tanımlanan,
y = loga x, y = logb x ve y = logc x fonksiyonlarının grafikleri üzerinde P, Q ve R noktaları işaretlenmiştir.
O
1
64
1
y = loga x
Buna göre
x
b.c
değerini bulalım.
a
y = logb x
y = logc x
ÇÖZÜM
P
( )
1
, 1 noktası y = loga x fonksiyonunun grafiği üzerinde olduğundan fonksiyonunda x yerine
64
1
1
, y yerine 1 yazalım. loga
=1
64
64
⇒
a1 =
1
64
⇒
a=
1
olur.
64
67
Q
( )
1
1
, 2 noktası y = logb x fonksiyonunun grafiği üzerinde olduğundan x yerine
, y yerine 2
64
64
1
=2
64
yazalım. logb
R
b2 =
⇒
1
64
⇒
b=
1
8
olur.
( )
1
1
, 3 noktası y = logc x fonksiyonunun grafiği üzerinde olduğundan x yerine
, y yerine 3
64
64
1
1
1
b.c
= 3 ⇒ c3 =
⇒ c=
olur. O hâlde,
=
64
64
4
a
yazalım. logc
1 1
.
8 4
1
64
=
1 1 64
. .
= 2 bulunur.
8 4 1
UYGULAMA
1) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
+
a) f: R
+
b) g: R
c) h: R
x
x
4
log3 x
-1
R , f(x) = 3 ise f (x) i bulunuz.
R , g(x) =
+
()
1
2
x
-1
ise g (x) i bulunuz.
log 1 x
2
-1
R, h(x) = log4 x ise h (x) i bulunuz.
ç) m: (3, ∞)
x
4 +3
2
log3 x
-1
R, m(x) = log4 (x - 3) ise m (x) i bulunuz.
2) Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz.
a) Üstel fonksiyonların tersi ........................... fonksiyonudur.
x
b) f(x) = 3 + 1 üstel fonksiyonunun görüntü kümesi ................................... dır.
+
c) f(x) = loga x, f: R
R, a > 1 için ................................. bir fonksiyondur.
3) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) f(x) = log4 (3x - 5) fonksiyonunun görüntü kümesi (0, ∞) dır.
b) f(x) = log2
ç) f:
(
)
x-3
fonksiyonunun tanım kümesi (3, 9) dur.
9-x
(
)
(
)
( )
( )
1,
∞
2
-1
R, f(x) = log5 (2x - 1) ise f (x) =
x+4
x
5 +1
dir.
2
- 3 ise f -1(7) değerini bulunuz.
4) f bire bir ve örten fonksiyondur. f(x) = 2
5) f bire bir ve örten fonksiyondur. f(x) = log3 (x - 2) + 4 ise f -1(7) = a ise a değeri kaçtır?
6) f: (-∞, 4)
A) 4 - 5
-1
R, f(x) = 2.log5 (-x + 4) - 3 ise f (x) aşağıdakilerden hangisidir?
x+3
2 B) 4 + 5
x+3
2 C) 5 - 4
x-3
2 D) 5
x+3
2
- 4
E) 5
x-3
2
-4
7) Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz.
x-5
16 - x2
a) f(x) = log3
b) g(x) = logx (6 - x)
c) h(x) = log(x - 2)
9-x
x+1
(
68
)
(
)
8)
y
2
f(x) = loga x
1
O
1
2
3
Yanda f(x) = loga x fonksiyonunun grafiği çizilmiştir. Grafikten yararlanarak a değerini bulunuz.
x
4
9) Tanımlı olduğu aralıklar için aşağıdaki fonksiyonların grafiğini çiziniz.
a) f(x) = log3 (4 - x) b) g(x) = log 1 (x + 4)
2
10) Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların terslerinin grafiğini çiziniz.
a)
y
b)
f(x) = 4x
(
c) h(x) = log3 -
)
x
+2 5
y
1
O
x
O
c)
f(x) = log5 x
y=x
y=x
ç)
y
y
1
O
x
1
(
11) f: -
O
f(x) = log 1 x
y=x
)
()
2
3
x
x
R, f(x) = loga (bx + 5) fonksiyonunun grafiği x eksenini apsisi -2 olan
( )
noktada kesmektedir. f -1 12)
f(x) =
y=x
3
5
,∞
b
x
1
( )
13
7
= 3 ise f 16
4
değerini bulunuz.
y
5
f(x) = log5 (bx + 20)
Yanda f(x) = loga (bx + 20) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre (a + b) değerini bulunuz.
-5
O
3
x
69
13)
y
x
g(x) = b
h(x) = c
x
f(x) = a
x
x
A 1
x
x
O
x
Yanda f(x) = a , g(x) = b ve h(x) = c fonksiyonlarının grafikleri A(0, 1) noktasından geçmektedir. a,
b ve c sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.
14) Aşağıdaki tablolarda verilen ifadelerin doğru ya da yanlış olduklarını belirtiniz.
D
1
3
2 = 2 ⇔ log2 2 = 1
log2 8 = 3 ⇔ 2 = 8
2
3 = 9 ⇔ log3 9 = 2
Y
x
5 = y ⇔ log5 x = y
1
10 3 = x ⇔ log10 x =
4
loga b = 4 ⇔ b = a
log3
1
3
x
x
4
=4 ⇔ 3 =
3
3
2
loga 2 = 10 ⇔ a = 10
15) 4000 TL sini yıllık % 10 faiz ile bankaya yatıran bir kişinin;
a) Toplam parasının 2 yıl sonra ulaştığı miktarı bulunuz.
b) Anaparanın 3 katına çıkması için kaç yıl geçmesi gerektiğini tartışınız.
16) f: R
R, f(x) = log3 x fonksiyonu veriliyor. f -1(3) = m ise m değerini bulunuz.
+
2
17) f(x) = log2 (x + 4x + 5m - 2) fonksiyonu gerçek sayılarda tanımlı olduğuna göre m nin alacağı en küçük m tam sayı değeri kaçtır?
ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU VE DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU
ETKİNLİK
(
n ∈ R olmak üzere, değişik n değerleri için 1 +
1
n
)
n
ifadesinin sayısal karşılıklarını hesap
makinesi yardımıyla bulunuz ve aşağıdaki tabloları doldurunuz.
( )
1
1+
n
n
( )
n
1
1+
n
n
1
-1
10
-10
100
-100
1 000
-1 000
1 000 000
-1 000 000
1 000 000 000
-1 000 000 000
( )
1
n sayısının çok büyük pozitif ve çok küçük negatif değerler için 1 +
n
sayıyı belirtiniz.
70
n
n
ifadesinin yaklaştığı
ÖRNEK
Hesap makinesi yardımıyla loge 25 = ln 25 değerini aşağıdaki işlem basamaklarını takip ederek
bulalım.
ÇÖZÜM
35
ln
3,55534
Yıllar önce İsveçli matematikçi Leonard Euler (Leonard Öyler), benzer çalışmaları yapa-
( )
1
rak 1 +
n
n
ifadesinin 2,7182818284590452... irrasyonel sayısına yaklaştığını görmüş ve bu
sayıya e sayısı adını vermiştir.
Bir logaritma cetvelinin hazırlanmasında, taban olarak 1 den farklı pozitif bir gerçek sayı
seçilmelidir. John Napier (Con Nepiyı), logaritma cetvellerini ilk olarak Euler tarafından kullanılan e sayısına göre hazırlamıştır. loge a ifadesi matematikçiler tarafından ln a ile gösterilir.
UYGULAMA
Tabloda verilen logaritmalı ifadelerin yaklaşık değerlerini hesap makinesi yardımıyla bulunuz.
loge 220 = ln 220 = ..................... loge 0,05 = ln 0,05 = .....................
loge 1265 = ln 1265 = ....................... loge 2,98 = ln 2,98 = .....................
Leonard Euler (Leonard Öyler), 15 Nisan 1707’de İsviçre’nin Basel
kentinde doğmuştur. 18. yüzyılın en meşhur ve en üretken matematikçisi
olan Euler, matematik tarihinde de en çok eser ortaya koyan matematikçi
olarak görülür.
Kaynaklar, matematikle ilgili ortaya koyduğu eser sayısını seksen
olarak belirtir. Yaşamı boyunca 800 den fazla da makale yayınladığı bilinir.
Euler matematiğe, bu alanda yeni olan Euler Açıları, Euler Çemberi, Euler Değişmezi, Euler Doğrusu, Euler Formülleri, Euler Fonksiyonu,
Euler Şekilleri gibi pek çok kavram kazandır›r. Ayn› zamanda, bugün de
kulland›ğ›m›z matematiksel simgelerin isim babas›d›r. Bunlara pi, e say›s›,
i say›s›, f(x) vb. örnek verilebilir.
18 Eylül 1783’te 77 yaşında iken beyin kanaması sonucu St. Petersburg’da ölür.
ETKİNLİK
Sayım tarihi
Nüfus
21.10.1990
56 473 035
22.10.2000
67 844 903
1990 ve 2000 yıllarında yapılan genel nüfus sayımlarına göre Türkiye’nin nüfusu aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Bu verilere göre Türkiye’nin yıllık nüfus artış hızı
yaklaşık % 1,85’tir. Aynı artış hızıyla 2000’den t yıl son-
raki nüfusu veren bağıntı,
0,0185.t
P(t) = 67,8.e
(milyon kişi) (t = 0 ↔ 2000) biçiminde modelleniyor. Bu modele göre,
2021 yılında Türkiye’nin nüfusunun yaklaşık değerini bulunuz.
Türkiye’nin nüfusunun 80 000 000’a ulaşacağı yılı bulabilmek için neler yapabileceğinizi tartışınız.
71
ÖRNEK
x
e = 3 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.
ÇÖZÜM
x
e = 3 ise x = loge 3
x = ln e bulunur.
⇒
Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir. Bu fonksiyon
+
f: R
R, f(x) = loge x veya f(x) = ln x biçiminde gösterilir.
ÖRNEK
x-1
f: R
(2, ∞) tanımlı, f(x) = e
+ 2 fonksiyonunun tersini bulalım.
ÇÖZÜM
y=e
x-1
+2
x-1
ise e
= y - 2 ⇒ x - 1 = loge (y - 2) ⇒ x - 1 = ln (y - 2)
⇒ x = 1 + ln (y - 2) ⇒ f -1 (x) = 1 + ln (x - 2) bulunur.
John Napier (Con Nepiyı), e sembolüne göre logaritma cetvel- lerini tamamladıktan sonra zor bir sistem ortaya koyduğunu fark etmiştir. Daha sonraki yıllarda, 10 tabanlı yeni bir logaritma sisteminin
hesaplama işlerinde daha büyük kolaylık sağlayabileceğini düşünür.
Fakat bu yeni sisteme ait düşündüğü temel esasları bizzat ortaya koyamadan ölür. Napier’in bu çalışmaları Henry Briggs (Henri Birigs)
tarafından 1617 yılında tamamlanır. Henry Briggs 10 tabanına göre bir logaritma cetveli hazırlayarak 1’den 1000’e kadar olan sayıların 14 ondalıklı logaritma değerlerini gösterir.
log a
ETKİNLİK
Hesap makinelerindeki log sembolü 10 tabanındaki logaritma değerlerini hesaplamak için kullanılır. Örneğin, log10 23 ifadesinin değeri aşağıdaki şekilde hesaplanır.
32
log
1,50514
log10 23 kısaca log 23 olarak ifade edilir. Buna göre, log 23 ≅ 1,3617278 dir.
Aşağ›daki çizelgede verilen logaritmal› ifadelerin yaklaş›k değerlerini hesap makinesi ya da
bilgisayar yard›m›yla bulup noktal› yerleri doldurunuz.
log10 7 = log 7 = .............................................. log10 7800 = log 7800 = ..................................
log10 40 = log 40 = .......................................... log10 0,02 = log 0,02 = ....................................
log10 688 = log 688 = ...................................... log10 1000 = log 1000 = ...................................
72
m = 0,159 + 0,118.log d
Okyanus coğrafyası (Oşinografi) alanında yapılan araştırmalar, plaj yüzeyinin eğimi ile üzerindeki
kum taneciklerinin büyüklüğü arasında bir ilişki olduğunu göstermektedir.
Plajın eğimi m ile ve kum taneciklerinin ortalama çapı d (mm cinsinden) olmak üzere bu ilişki,
biçiminde modellenmiştir.
Modeli kullanarak aşağıdaki tabloda verilen noktalı yerleri doldurunuz.
Çap (d)
Kum türü
4 mm
Çakıl
2 mm
Granül
1 mm
Çok iri taneli
Plaj yüzeyinin eğimi
Çap (d)
0,5 mm
0,125 mm
0,0625 mm
Kum türü
Plaj yüzeyinin eğimi
İri taneli
İnce
Çok ince
Hangi tür plaj yüzeyinin eğiminin en fazla olduğunu belirtiniz.
ÖRNEK
f: R
+
R, f(x) = log x ise f(10000) değerini bulalım.
ÇÖZÜM
4
f(x) = log x ise f(10000) = log 10000 = log10 10 = a olsun.
log10 10 = a ise 10 = 10 dır. a = 4 bulunur. Bu durumda, f(10000) = 4 olur.
4
4
a
Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir. Bu fonksiyon,
+
f: R
R, f(x) = log10 x veya f(x) = log x biçiminde gösterilir.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki ifadelerin değerlerini hesap makinesi ya da bilgisayar yardımıyla bulunuz.
a) log 2,4
b) log 0,0326
c) ln 0,0054 ç) ln 24,1
2) Aşağıdakilerden hangilerinin hesap makinesinde hata verebileceğini tahmin ediniz. Tahmininizin doğru olup olmadığını kontrol ediniz.
a) log (-2)
b) log 41,3
c) ln 0 ç) ln |-4,2|
d) |log (-7,2)|
e) log (-4,8.3)
f) ln (ln 2) g) log (log 5)
3) f(x) = ln x fonksiyonunun görüntü kümesi negatif gerçek sayılardan oluştuğunda tanım kümesi için ne söylenebileceğini tartışınız.
4) Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz.
a) f: R
+
R, f(x) = lnx fonksiyonuna ........................... logaritma fonksiyonu denir.
+
b) f: R
R, f(x) = lnx fonksiyonunun tabanı ............................... sayısıdır.
13 - x
c) f(x) = ln
, fonksiyonunun en geniş tanım kümesi ................................ dır.
x+1
(
)
5)
ABD’li deprembilimciler Charles F. Richter (Çarls Rihter) ve Beno Gutenberg (Beno Gutınberg) tarafından
1935’te geliştirilen ve deprem ya da öteki sismik tedirginliklerin büyüklüğünün ölçülmesinde kullanılan ölçeğe
“Richter Ölçeği” denir.
Richter Ölçeği R ve depremde ortaya çıkan enerji miktarı E olmak üzere, R = 0,67.log(0,37.E) + 1,46 bağıntısı
ile, depremin büyüklüğü bulunur. Buna göre,
a) Saatte 996 239 516 kwh enerji açığa çıkması için kaç büyüklüğünde deprem olmalıdır?
73
b) 7 büyüklüğündeki bir depremde ortaya çıkması beklenen enerjiyi, aynı bağıntıyı kullanarak
hesaplayınız.
c) Depremin büyüklüğünü 1 birim arttırınca ortaya çıkan enerji miktarında görülen artışı bulunuz.
6) Yapılan araştırmalar 2017 yılında dünyanın tahminî nüfusunun 6,574 milyar olacağını göstermektedir. Dünyanın nüfus artış hızı yaklaşık % 1,3 tür. Aynı artış hızının süreceği düşünülerek
0,013.t
2010’den t yıl sonraki dünyanın P nüfusunun, P(t) = 6,574.e
(milyar kişi) modeli ile bulunabileceği görülebilir. Modelden yararlanarak dünya nüfusunun 10 milyar kişiye ulaşacağı yılı bulunuz.
7) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
+
a) f: R
x
R , f(x) = 10 ise f-1(x) = log x dir.
+
b) f: R
c) f: (-1, ∞)
x
R, f(x) = e ise f-1(x) = ln x dir.
x+1
-1
x+5
R, f(x) = ln
- 5 ise f (x) = 2.e - 1 dir.
2
( )
(
)
(
)
(
)
8) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz..
x+1
- 3 ise f (x) i bulunuz.
x-1
+ 2 ise g (x) i bulunuz.
a) f: (-3, ∞)
R, f(x) = e
b) g: (2, ∞)
R, g(x) = e
c) h: (-4, ∞)
ln
-1
x+1
x+3
e
ln[e.(x - 2)]
x+4
log
30
-1
R, h(x) = 3.10
( )
( )
-1
- 4 ise h (x) i bulunuz.
log (x - 1)
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ
ETKİNLİK
log2 2 = x, log3 3 = y, log 10 = z ve ln e = t eşitliklerindeki x, y, z ve t değerlerini bulunuz.
Genel olarak loga a sayısının hangi reel sayıya eşit olduğunu belirtiniz.
Logaritma fonksiyonunda tabana eşit sayının görüntüsünün hangi reel sayı olacağını tartışınız.
log3 1 = m, log5 1 = n, log 1 = p ve ln 1 = r eşitliklerindeki m, n, p ve r değerlerini bulunuz.
Genel olarak loga 1 sayısının hangi reel sayıya eşit olduğunu belirtiniz.
Farklı tabanlarda yazılmış 1 sayısının logaritmasının hangi sayıya eşit olduğunu belirtiniz.
Hesap makinesi kullanarak aşağıda verilen çizelgedeki noktalı yerleri doldurunuz.
I. Sütun
II. Sütun
III. Sütun
IV. Sütun
log 5 = ........... log 6 = ........... log 5 + log 6 = ................. log (5.6) = log 30 = ......................
log 10 = ......... log 20 = ......... log 10 + log 20 = ............. log (10.20) = log 200 = ................
log 4 = ........... log 3 = ........... log 4 + log 3 = ................. log (4.3) = log 12 = ......................
ln 8 = ............. ln 10 = ........... ln 8 + ln 10 = ................... ln (8.10) = ln 80 = ........................
74
Çizelgedeki her bir satırın III. ve IV. sütunlarını karşılaştırınız.
loga (b.c) = loga b + loga c eşitliğinin yazılıp yazılamayacağını tartışınız.
Hesap makinesi kullanarak aşağıda verilen çizelgedeki noktalı yerleri doldurunuz.
I. Sütun
II. Sütun
III. Sütun
IV. Sütun
log 8 = ................. log 4 = ................. log 8 - log 4 = .................... log
8
= log 2 = ....................
4
log 60 = ............... log 20 = ............... log 60 - log 20 = ................. log
60
= log 3 = ..................
20
1000
= log 10 = ...........
log 1000 = ........... log 100 = ............. log 1000 - log 100 = ............ log
100
ln 40 = ................. ln 5 = ................... ln 40 - ln 5 = ...................... ln
40
= ln 8 = ......................
5
Çizelgedeki her bir satırın III. ve IV. sütununda bulunan ifadeleri birbiriyle karşılaştırınız.
loga
Hesap makinesi kullanarak aşağıda verilen çizelgedeki noktalı yerleri doldurunuz.
()
b
= loga b - loga c eşitliğinin yazılıp yazılamayacağını tartışınız.
c
I. Sütun
II. Sütun
III. Sütun
2
log 5 = log 25 = ............................................. log 5 = .................. 2.log 5 = ...................
3
log 4 = log 64 = ............................................. log 4 = .................. 3.log 4 = ...................
4
log 10 = log 10000 = ..................................... log 10 = ................ 4.log 10 = .................
5
ln 2 = ln 32 = ................................................. ln 2 = .................... 5.ln 2 = .....................
Çizelgede her bir satırın I. ve III. sütununda bulunan ifadeleri birbiriyle karşılaştırınız.
loga xn = n.loga x olup olmadığını tartışınız.
ÖRNEK
log5 3 = x, log5 7 = y ise log5 21 in x ve y cinsinden eşitini bulalım.
ÇÖZÜM
a
x
y
log5 21 = a ⇒ 5 = 21, log5 3 = x ⇒ 5 = 3 ve log5 7 = y ⇒ 5 = 7 bulunur.
Bu eşitlikleri 5 = 3.7 eşitliğinde yerine yazarsak
a
a
5 = 3.7
a
x
y
a
x+y
⇒
5 = 5 .5
⇒
5 =5
⇒
a=x+y
log5 21 = x + y bulunur.
+
+
a ∈ R - { 1 }, n ∈ R ve x, y ∈ R için,
a) loga a = 1 ve loga 1 = 0 c) loga
()
x
= loga x - loga y y
b) loga (x.y) = loga x + loga y
n
ç) loga x = n.loga x
dir.
75
ÖRNEK
Ses düzeyi desibel (dB) ile ölçülür. Desibel, telefonun mucidi olan Alexander Graham Bell (Aleksandır Gıraham Bel)’in (1847-1922) soyadı ve onda bir anlamına gelen “desi” ekinin birleştirilmesiyle
oluşmuştur. Sesleri duyup duyamadığımız, sesin işitme sağlığımıza zararlı olup olmadığı ya da bir
aracın gürültülü olup olmadığı çoğu zaman ses şiddetine değil, ses düzeyine bakılarak yorumlanır.
2
Bir ses kaynağının, sesin yayılma doğrultusuna dik 1 m yüzeyden 1 saniyede yaydığı enerjiye
-12
2
2
sesin şiddeti denir. İnsan kulağı, en düşük 10 watt/m ile en yüksek 1 watt/m değerleri aralığındaki
sesleri duyabilir. Yani, insan kulağının zarar görmeden duyabileceği en yüksek ses şiddeti en düşük
ses şiddetinin 1 000 000 000 000 katıdır. Bu nedenle logaritmik bir ölçeğe ihtiyaç duyulur.
-12
2
Uluslararası referans ses şiddeti ℓ0 = 10 watt/m kabul edilmiştir. Ses şiddeti ℓ olan bir ses
kaynağının ses gücü düzeyi, L = 10.log
ℓ (dB)
ℓ0
olarak tanımlanmıştır.
Çeşitli ses kaynaklarının üretttiği ses düzeyleri tablo ile verilmiştir.
Ses düzeyi
(dB)
Bilinen Sesler
Ses düzeyi
(dB)
Bilinen Sesler
0
İnsan kulağının duyarlı olduğu en
düşük ses
70
Yoğun trafik, normal konuşma
20
Ağaçlık alanda yaprak hışırtısı
90
Çim biçme makinesi, sesli konuşma
30
Fısıltılı konuşma (1 m)
115
Rock konseri
50
Yağmur düşüşü, alçak sesli konuşma
140
Av tüfeği
Ses şiddeti aynı olan iki hoparlörlü bir müzikçaların hoparlöründen birisi çalıştığında ses düzeyi
80 dB olmaktadır. Bu müzikçaların iki hoparlörü birlikte çalışırsa ses düzeyinin kaç desibel olacağını
bulalım.
ÇÖZÜM
Öncelikle bu hoparlör çalıştığında oluşan ses şiddetini hesaplayalım.
L = 10.log
ℓ ⇒ 80 = 10.log ℓ ⇒ 8 = log ℓ - log 10-12 ⇒ 8 = log ℓ + 12 ⇒ log ℓ = -4
ℓ0
10-12
Buradan da ℓ = 10 bulunur. İki hoparlör açıldığında ses şiddeti 10 + 10 = 2.10
-4
yeni ses şiddeti ℓ = 2.10 olur. Bulunan değer kullanıldığında,
-4
L = 10.log
-4
-4
ℓ = 10.log 2.10-4 = 10.log 2.108 = 10.(log 2 + 8.log 10)
-12
ℓ0
10
≅ 10.(0,3 + 8)
(log2 ≅ 0,3)
≅ 10.(8,3)
≅ 83 dB
olarak bulunur.
ÖRNEK
Aşağıdaki logaritmalı ifadelerin eşitlerini bulalım.
a) log5 125
b) log3 81
c) log2 512
ÇÖZÜM
76
3
a) log5 125 = log5 5 = 3.log5 5 = 3.1 = 3
b) log3 81 = log3 3 = 4.log3 3 = 4.1 = 4
c) log2 512 = log2 2 = 9.log2 2 = 9.1 = 9
ç) log4 16 = log4 4 = log4 4 =
4
9
3
3
2
2
3
2
2
2
.log4 4 = .1 =
3
3
3
ç) log4 316
-4
olur. Yani
ÖRNEK
log 2 = x ve log 3 = y ise log 15 in değerini x ve y cinsinden bulalım.
ÇÖZÜM
log 15 = log 3.5 = log 3 + log 5 = log 3 + log
ÖRNEK
log 3 = a ve log 5 = b olduğuna göre log
( )
10
= log 3 + log 10 - log 2 = y + 1 - x
2
olur.
( )
128
un a ve b cinsinden değerini bulalım.
9
ÇÖZÜM
log
( )
128
10
7
2
= log 128 - log 9 = log 2 - log 3 = 7.log 2 - 2.log 3 = 7.log
- 2.log 3
9
5
= 7.(log 10 - log 5) - 2.log 3 = 7.(1 - b) - 2a = 7 - 7b - 2a
ÖRNEK
bulunur.
( )
3
2 3
ln (x .y ) = 22 ve ln x = 7 olduğuna göre x.y nin kaç olduğunu bulalım.
2
y
ÇÖZÜM
ln (x .y ) = 22
2
3
( )
3
ln x = 7
2
y
2
3
⇒
2
3
⇒
⇒
ln x + ln y = 22
⇒
ln x - ln y = 7
2.ln x + 3.ln y = 22
2.ln x - 3.ln y = 7 olur.
ln x = m ve ln y = n alalım. Bu durumda,
2m + 3n = 22
3m - 2n = 7
denklem sistemi elde edilir. Buradan m = 5 ve n = 4 olarak bulunur. O hâlde,
ln x = 5 ve ln y = 4 tür.
5
4
Dolayısıyla, x = e ve y = e
5
4
olur.x.y = e .e = e
9
bulunur.
TABAN DEĞİŞTİRME
ÖRNEK
log3 2 değerini hesap makinesi yardımıyla bulalım.
ÇÖZÜM
x
log3 2 = x eşitliğini 3 = 2 biçiminde yazabiliriz. Her iki tarafın 10 tabanında ve e tabanında
logaritmalarını alarak farklı iki yoldan çözüme ulaşalım.
I. Yol
II. Yol
x
x
x
x
3 = 2 ise log 3 = log 2
3 = 2 ise ln 3 = ln 2
x.log 3 = log 2
x.ln 3 = ln 2
x=
log 2
log 3
=
0,301029
0,477121
x =
x ≅ 0,63092
ln 2
ln 3
=
0,693147
1,098612
x ≅ 0,63092
77
Bu durumda log3 2 değerini hesaplarken,
log3 2 =
log 2
log 3
veya log3 2 =
ln 2
ln 3
eşitliklerinden yararlanabiliriz.
ÖRNEK
a) log10 100 ifadesini log2 100 ve log2 10 cinsinden,
b) log2 32 ifadesini de ln 32 ve ln 2 cinsinden yazalım.
ÇÖZÜM
a) log2 100 = a ve log2 10 = b olsun. Bu durumda,
a = log2 100
log10 100 = log10 10 = 2 =
2
⇒
a = log2 10
a
2
b
=
⇒
a = 2.log2 10
log2 100
a = 2.b
⇒
dur. O hâlde, log10 100 =
log2 10
b) ln 32 = x ve ln 2 = y olsun. Bu durumda,
5
x = ln 32
⇒
x = ln 2
log2 32 = log2 2 = 5 =
5
loga x =
logc x
logc a
x
y
=
⇒
ln 32
ln 2
⇒
x = 5.ln 2
⇒
x = 5.y
dir. O hâlde, log2 32 =
⇒
ln 32
ln 2
log2 100
dönüşümüne taban değiştirme kuralı denir. Böylece değişik tabanlı loga-
ifadesini en sade biçimde yazalım.
ÇÖZÜM
Kesrin payındaki ve paydasındaki logaritmaları 2 tabanında yazalım.
log4 32 =
log8 16 =
log2 32
log2 4
log2 16
log2 8
Dolayısıyla,
5
=
log2 2
2
log2 2
=
4
=
log4 32
log8 16
log2 2
3
log2 2
=
5.log2 2
2.log2 2
4.log2 2
3.log2 2
=
=
5.1
2.1
4.1
3.1
=
=
5
2
4
3
olur.
5
=
2
4
=
5 3 15
. =
dir.
2 4
8
3
ÖRNEK
log3 16 = m ise log4 27 nin m cinsinden değerini bulalım.
78
olur.
olur.
ÖRNEK
log8 16
log2 10
x
= 5 dir. Ayrıca
y
ritmik değerleri, istediğimiz bir tabanda logaritma biçiminde yazabiliriz.
log4 32
a
= 2 dir. Ayrıca
b
ÇÖZÜM
4
log3 16 = m ⇒ log3 2 = m ⇒ 4.log3 2 = m ⇒ log3 2 =
m
olur.
4
log4 27 ifadesini 3 tabanında yazalım.
log3 27
log4 27 =
log3 4
3
=
log3 3
2
log3 2
=
3.log3 3
2.log3 2
=
3.1
m
2.
4
=
3
m
4
=
3 2
6
. =
bulunur.
1 m m
ÖRNEK
+
+
m
a ∈ R - {1}, m, n ∈ R, (n ≠ 0) ve x ∈ R için logan x =
m
.loga x olduğunu gösterelim.
n
ÇÖZÜM
logan x
m
m
ifadesini önce 10 tabanında yazalım. logan x =
Taban değiştirme kuralından loga x =
log x
log a
log xm
n
log a
=
m
m.log x
n.log a
olduğundan logan x =
=
m log x
.
dır.
n log a
m
.loga x dir.
n
ÖRNEK
log x
+
+
a ∈ R - {1}, x ∈ R için a a = x olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM
(loga x)
a
= y diyelim. Eşitliğin her iki tarafının a tabanında logaritmasını alalım.
(loga x)
loga a
= loga y ⇒ (loga a).loga a = loga y
⇒ (loga a).1 = loga y
⇒ (loga a) = loga y olur.
log x
O hâlde, x = y dir. Dolayısıyla, a a = x olur.
+
+
a ∈ R - {1}, m, n ∈ R, (n ≠ 0), x ∈ R için,
m
logan x =
m
.loga x,
n
log x
a a = x
dir.
ÖRNEK
(log3 5).(log5 6).(log6 7).(log7 9) işleminin sonucunu bulalım.
ÇÖZÜM
Verilen logaritmaları 10 tabanında yazalım.
log 5 log 6 log 7 log 9 log 9
2
.
.
.
=
= log3 9 = log3 3 = 2 bulunur.
log 3 log 5 log 6 log 7 log 3
ÖRNEK
1
log3 6
+
1
log2 6
işleminin sonucunu bulalım.
79
ÇÖZÜM
Verilen logaritmaları 6 tabanında yazalım.
log3 6 =
O hâlde,
log6 6
log6 3
1
log3 6
=
+
1
log6 3
1
log2 6
ve log2 6 =
1
=
1
log6 3
+
log6 6
log6 2
1
+
=
1
log6 2
dır.
= log6 3 + log6 2 = log6 (3.2) = log6 6 = 1 bulunur.
1
log6 2
+
a, b, c ∈ R - {1}, d ∈ R olmak üzere,
loga b. logb c. logc d = loga d,
1
loga b =
dır.
1
logb a
ÖRNEK
a) log3 2, log3 5 ve log3 15 sayılarını karşılaştıralım.
b) log 1 9 sayısı hangi ardışık tam sayılar arasında bulunduğunu araştıralım.
2
ÇÖZÜM
a) 1 < 2 < 3 < 5 < 9 < 15 < 27 olduğundan ve a > 1 için f(x) = loga x fonksiyonu artan olduğundan
log3 1 < log3 2 < log3 3< log3 5< log3 9 < log3 15< log3 27
0 < log3 2 <
1 < log3 5<
2 < log3 15<
3
olur.
O hâlde, log3 2 < log3 5 < log3 15 dir.
b) 0 < a < 1 için f(x) = loga x fonksiyonu azalan olduğundan
8 < 9 < 16 eşitsizliğinden log 1 8 > log 1 9 > log 1 16 dır.
2
2
()
log 1 16 < log 1 9 < log 1 8 ⇒ log 1 1
2
2
2
2
2
-4
2
()
< log 1 9 < log 1 1
2
2
2
-3
⇒ -4 < log 1 9 < -3
2
olduğundan log 1 9 sayısı -4 ile -3 tam sayıları arasındadır.
2
Pozitif bir gerçek sayının logaritması ardışık iki tam sayı arasındadır.
ÖRNEK
log 3, log 12 ve log 145 sayılarının hangi ardışık tam sayılar arasında olduğunu bulalım ve onluk logaritması alınan sayıların basamak sayıları ile ilişkilendirelim.
80
ÇÖZÜM
1 < 3 < 10 ⇒
⇒
⇒
10 < 12 < 100 ⇒
⇒
⇒
100 < 145 < 1000 ⇒
⇒
⇒
log 1 < log 3 < log10
0 < log 3 < 1
log 3 sayısı (0 , 1) ndadır ve 3, 1 basamaklıdır.
log 10 < log 12 < log100
1 < log 12 < 2
log 12 sayısı (1 , 2) ndadır ve 12, 2 basamaklıdır.
log 100 < log 145 < log1000
2 < log 145 < 3
log 145 sayısı (2 , 3) ndadır ve 145, 3 basamaklıdır.
ÖRNEK
log 2 ≅ 0,3010 olduğu hesap makinesi veya bilgisayar ya da logaritma cetvelinden bulunabilir.
70
Buna göre 2 sayısının kaç basamaklı olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM
70
2
sayısının onluk logaritmasını bulalım.
log 2 = 70.log 2 = 70.(0,3010) = 21,07 dir.
log 2 sayısı (21, 22) ndadır ve 2
70
70
70
sayısı 22 basamaklıdır.
ETKİNLİK
+
y
y = log x
1
O
1
10
x
Yanda f: R
R, y = f(x) = log x fonksiyonunun grafiği verilmiştir. İnceleyiniz.
1 den büyük sayılar seçiniz ve grafikten faydalanarak seçtiğiniz sayıların görüntülerinin işaretini tartışınız.
0 ile 1 arasında sayılar seçiniz ve grafikten faydalanarak seçtiğiniz sayıların görün-
tülerinin işaretini tartışınız.
Pozitif sayıların onluk logaritmasının işareti hakkında bir genellemede bulununuz.
ÖRNEK
Pozitif gerçek sayılardan 100, 1000,
1
1
ve
sayılarının onluk logaritmalarının işaretlerini
100
1000
inceleyelim.
ÇÖZÜM
100 > 1,
1000 > 1,
log 100 = 2, 2 > 0
log 1000 = 3, 3 > 0
0<
1
< 1,
100
log
1
-2
= log 10 = -2, -2 < 0
100
0<
1
< 1,
1000
log
1
-3
= log 10 = -3, -3 < 0
1000
1 den büyük bir sayının onluk logaritması pozitif; 0 ile 1 arasındaki bir sayının onluk logaritması negatiftir.
81
ÖRNEK
log 5 ≅ 0,6989 olduğuna göre,
a) log 500
b) log 0,00625 sayılarının hangi aralıkta olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM
a) log 500 = log (100.5) = log 100 + log 5 ≅ 2 + 0,6989 ≅ 2,6989 olup log 500, (2, 3) aralığındadır.
-5
-5
-5
b) log 0,00625 = log (10 .625) = log 10 + log 625 = log 10 + log 54 = -5.log 10 + 4.log 5
≅ -5 + 4.(0,6989)
≅ -5 + 2,7956 ≅ -2,2044
log 0,00625, (-3, -2) aralığındadır.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz.
a) log25 5 = ........... dir.
b) log32
1
= ........... dir.
64
c) log 52 3
1
= ........... dir.
128
2) log7 3 = m ise log49 81 ifadesinin m türünden değerini bulunuz.
3) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
4
negatif bir sayıdır.
5
(
)
()
pozitif bir sayıdır.
(
)
c) log1905 1907 negatif bir sayıdır.
(
)
a) log3
b) log 1 5
7
4
4) log3 2 = a ve log8 81 = b ise a.b değerini bulunuz.
5) log3 5 = x ve log2 3 = y ise log80 360 ifadesinin x ve y cinsinden eşitini bulunuz.
A) xy + 2y + 3 B) x + 2y + 3 C) x + y + 3 4 + xy
4 + xy
4+y
6) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
a)
2
log8 36
+
2
log9 36
+
2
log3 36
değerini bulunuz.
b) log8 9.log27 16 değerini bulunuz.
c) 5
log25 (x + 2) + 1
log25 (x+1)+1
7) 5
82
D) xy + x + 3 E) xy + x
x+y
4 + xy
değerini bulunuz.
= 15 ise x değeri kaçtır?
5
7
8
9
3
5x+2
8) Aşağıda verilen ifadelerin hangi iki ardışık tam sayı arasında olduklarını bulunuz.
a) log 21
b) log2 3
d) log 3
c) ln 20 ç) log3 37
e) log2 0,05
9) a = log 23, b = log 313, c = log 52 olarak verilen sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
10) log 285 ≅ 2,4548 ise log 0,000285 ifadesinin yaklaşık değerini bulunuz.
11) log 3 = 0,4771 ise aşağıdaki ifadelerin yaklaşık değerlerini bulunuz.
1
a) log 300
b) log 0,0003
c) log
ç) log 0,081
27
ÜSLÜ VE LOGARİTMİK DENKLEMLER İLE EŞİTSİZLİKLER
ETKİNLİK
9x + 2.3x - 8 = 0 üslü denklemini ve log2 x + log2 (x + 7) = 3 denklemini çözmeye çalışınız.
x
x
x
Bunun için, 9 + 2.3 - 8 = 0 denkleminde 3 = m dönüşümü yaparak denklemi m cinsinden yazınız.
m değişkenine bağlı olarak yazdığınız ikinci dereceden denklemi çözerek m değerlerini
bulunuz.
Bulduğunuz kökleri 3x = m eşitliğinde m yerine yazarak x bilinmeyenini bulunuz ve verilen
denklemin çözüm kümesini yazınız.
log2 x + log2 (x + 7) = 3 denklemindeki 3 sayısını 2 tabanında logaritma cinsinden yazmak
için aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
3 = log2 (...........)
Logaritma özellikleri kullanılarak aşağıda verilen ifadedeki noktalı yerleri doldurunuz.
log2 [(...........).(...........)] = log2 (...........)
Aynı tabanda logaritmaları alınmış ifadelerin eşitliğini kullanarak x bilinmeyenini bulunuz.
Bulduğunuz x değerlerinin logaritması alınan ifadelerin pozitif olma şartını sağlayıp sağlama
dığını kontrol ederek denklemin çözüm kümesini yazınız.
Genel olarak logaritmalı denklemleri çözerken bulduğunuz x değerlerinin her biri çözüm kümesinin elemanı olur mu? Tartışınız.
ÖRNEK
x
-x
e - 5e
= 4 denklemini gerçek sayılar kümesinde çözelim.
ÇÖZÜM
2
x
-x
e - 5e
x 2
=4
⇒
x
(e ) - 4.e - 5= 0
x
e -
5
x
e
=4
⇒
(ex) - 5
x
e
=4
⇒
2
(ex) - 5 = 4.ex
x
(e = m diyelim)
m2 - 4.m - 5= 0 ⇒ (m - 5).(m + 1) = 0 x
⇒ m1 = 5 veya m2 = -1 dir.
m1 = 5 için e = 5 ⇒ x = ln 5 olur. Buradan ise Ç1 = {ln 5} dir.
x
m2 = -1 için e = -1 dir. Buradan ise Ç2 = {
} dir. Ç = Ç1 ∪ Ç2 = {ln 5} bulunur.
ÖRNEK
2
log4 (x + 7x) - log4 (x + 1) = 1 denklemini gerçek sayılar kümesinde çözelim.
83
ÇÖZÜM
(
)
2
(
2
)
2
log4 (x + 7x) - log4 (x + 1) = log4 x + 7x ve log4 4 = 1 olduğundan log4 x + 7x = log4 4 olur.
x+1
x+1
2
Buradan, x + 7x = 4 ⇒ x + 7x = 4x + 4 ⇒ x + 3x - 4 = 0 ⇒ (x - 1).(x + 4) = 0
x+1
2
2
⇒ x1 = 1 veya x2 = -4 bulunur.
x1 = 1
2
için
2
x + 7x = 1 + 7.1 = 8 > 0
2
ve
x+1=1+1=2>0
2
x2 = -4 için x + 7x = (-4) + 7.(-4) = 16 - 28 = -12 < 0
x + 1 = -4 + 1 = -3 < 0
O hâlde, x2 = -4 kök olarak çözüm kümesine yazılmaz. Dolayısıyla Ç = {1} olur.
loga f(x) = loga g(x) denkleminin çözümü için, f(x) > 0 ve g(x) > 0 şartıyla f(x) = g(x) denk-
lemi çözülür.
ÖRNEK
3
(logx 3)
4
= 27.x denkleminin gerçek sayılar kümesinde çözüm kümesini bulalım.
ÇÖZÜM
Verilen denklemin her iki tarafında 3 tabanında logaritma alalım.
(logx 3)
4
4
3
log3 3
= log3 (27.x ) ⇒ (logx 3).(log3 3) = log3 27 + log3 x ⇒ logx 3 = log3 3 + 4.log3 x
⇒
logx 3 = 3.log3 3 + 4.log3 x ⇒
m=3+
4
m
⇒ m=
3m + 4
m
logx 3 = 3 + 4.log3 x
(
logx 3 = m alınırsa log3 x =
)
1
olur.
m
2
⇒ m - 3m - 4 = 0 ⇒ (m - 4).(m + 1) = 0 ⇒ m1 = 4 veya m2 = -1 olur.
logx 3= 4 ⇒ x = 3 ⇒ x1 = 4 3
4
m1 = 4 için
-1
m2 = -1 için logx 3= -1 ⇒ x = 3 ⇒ x2 =
1
3
{
olur. Ç = 4 3,
1
3
}
bulunur.
ÖRNEK
(3ln x)
x
2
= x.e
denklemini gerçek sayılar kümesinde çözelim.
ÇÖZÜM
Denklemin her iki tarafında e tabanında logaritma alalım.
3ln x
2
2
ln x
= ln x.e ⇒ (3.ln x).ln x = ln x + ln e ⇒ (3.ln x).ln x = ln x + 2.ln e (ln x = m alalım)
2
⇒ 3.m.m = m + 2.1 ⇒ 3m - m - 2 = 0 ⇒ (3m + 2).(m - 1) = 0 ⇒ m1 = m1 = -
2
3
için
m2 = -1 için
84
ln x= -
2
3
-
⇒ x=e
1
2
3
⇒x =
1
e2
3
ln x = -1 ⇒ x2 = e = e olur. Ç =
{ }
1
3
e2
, e bulunur.
2
3
veya m2 = 1 olur.
ETKİNLİK
y
x
y=2
x
Yanda y = 2 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. İnceleyiniz.
4
2a > 2-1 eşitsizliğini sağlayan a gerçek sayıları ile -1 sa-
3
yısını grafikten de yararlanarak karşılaştırınız.
2b < 22 eşitsizliğini sağlayan b gerçek sayıları ile 3 sa-
2
yısını grafikten de yararlanarak karşılaştırınız.
1
0,5
-2
O
-1
1
x
2
y
()
( ) ( )
4
1
y=
0,25
-2
O
-1
1
2
eşitsizliğini sağlayan a gerçek sayıları ile 2
2
sayısını grafikten de yararlanarak karşılaştırınız.
()
1
2
fonksiyonunun grafiği verilmiştir. İnceleyiniz.
2
1
>
2
2
2
a
1
3
x
1
Yanda y =
x
() ()
b
1 < 1
2
x
-2
eşitsizliğini sağlayan b gerçek sayıları ile -2
2
sayısını grafikten de yararlanarak karşılaştırınız.
Yaptığınız karşılaştırmaları göz önüne alarak (ca < cb ⇒ a < b) olduğunun söylenebilmesi için
a
b
pozitif c gerçek sayısının hangi aralığın elemanı olduğunu ve (c < c ⇒ a > b) olduğunun söylenebilmesi için pozitif c gerçek sayısının hangi aralığın elemanı olduğunu tartışınız.
ÖRNEK
2 - 3x
16
x+2
<8
eşitsizliğinin çözüm kümesini gerçek sayılar kümesinde bulalım.
ÇÖZÜM
2 - 3x
16
x+2
<8
4 2 - 3x
⇒ (2
)
3 x+2
< (2
)
8 - 12x < 3x + 6
⇒
8 - 12x
3x + 6
⇒ 2
2 < 15x
⇒
(Her iki üslü ifadenin tabanı 2 olup 1 den büyüktür)
<2
⇒
2
15
< x olur. Ç =
(
2
15
)
, ∞ bulunur.
ÖRNEK
( )
3x - 5
9
<
25
( )
27
5 - 3x
eşitsizliğinin çözüm kümesini gerçek sayılar kümesinde bulalım.
125
ÇÖZÜM
( )
3x - 5
9
25
<
( )
27
125
5 - 3x
⇒
2 3x 5
()
3
5
<
3 5 3x
()
3
⇒
5
⇒
6x - 10 > 15 - 9x
⇒
15x > 25
a, b, c ∈ R, (
⇒
x>
()
3
6x - 10
<
5
()
3
15 - 9x
5
Her iki üslü ifadenin tabanı
25
15
⇒
x>
5
3
b
⇒ a < b ve
a
b
⇒ a>b
0 < c < 1 olmak üzere, c < c
5
olur. Ç =
a
c > 1 olmak üzere, c < c
3
olup
3
5
( ∞)
5
3
,
)
∈ (0, 1) dir
bulunur.
dir.
85
ETKİNLİK
y
y = log2 x
2
log2 m > log2 2 eşitsizliğini sağlayan m gerçek sayıları ile
2 sayısını grafikten de yararlanarak karşılaştırınız.
1
x
O
1
2
3
4
log2 n < log2 4 eşitsizliğini sağlayan n gerçek sayıları ile
4 sayısını grafikten de yararlanarak karşılaştırınız.
y
Yanda verilen y = log 1 x fonksiyonunun grafiğini inceleyiniz.
2
y = log 1 x
log 1 a < log 1 2 eşitsizliğini sağlayan a gerçek sayıları ile
2
2
1
O
-1
x
2
1
Yanda verilen y = log2 x fonksiyonunun grafiğini inceleyiniz.
1
2
3
2
2 sayısını grafikten de yararlanarak karşılaştırınız.
log 1 b > log 1 1 eşitsizliğini sağlayan b gerçek sayıları ile
4
2
2
1 sayısını grafikten de yararlanarak karşılaştırınız.
Yaptığınız karşılaştırmaları göz önüne alarak (loga b < loga c ⇒ b < c) olduğunun söylene-
bilmesi için pozitif a gerçek sayısının hangi aralığın elemanı olduğunu ve (loga b < loga c ⇒ b > c)
olduğunun söylenebilmesi için pozitif a gerçek sayısının hangi aralığın elemanı olduğunu tartışınız.
ÖRNEK
log2 (x - 3) < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini gerçek sayılar kümesinde bulalım.
ÇÖZÜM
3
3 sayısının 2 tabanında logaritma cinsinden yazalım. 3 = 3.1 ⇒ 3.log2 2 ⇒ log2 2
3
log2 (x - 3) < 3 ⇒ log2 (x - 3) < log2 2 ⇒
3
x-3<2
⇒ x < 11
dir. O hâlde,
dir. ........... (I)
Ayrıca logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerektiğinden x - 3 > 0 olmalıdır.
Dolayısıyla x > 3 olur. ................................. (II)
(I) ve (II) den 3 < x < 11 bulunur. Buradan Ç = (3, 11) olur.
ÖRNEK
log 1 (x - 1) > 2 eşitsizliğinin çözüm kümesini gerçek sayılar kümesinde bulalım.
2
ÇÖZÜM
3 sayısının
tabanında logaritma cinsinden yazalım. 2 = 2.1 ⇒ 2.log 1 1 ⇒ log 1 1
2
2
2
2
2
()
O hâlde, log 1 (x - 1) > 2 ⇒ log 1 (x - 1) > log 1 1
2
2
2
2
86
()
1
⇒ x<
5
4
tür. ........... (I)
2
⇒ x-1<
()
1
2
2
⇒ x < 1 +
1
4
2
dir. Ayrıca logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerektiğinden x - 1 > 0 olmalıdır.
Dolayısıyla x > 1 olur. ................................ (II)
( )
5
5
bulunur. Buradan Ç = 1,
olur.
4
4
(I) ve (II) den 1 < x <
a > 1 ve a, b ∈ R olmak üzere, loga f(x) < b eşitsizliğinin çözüm kümesi,
b
f(x) < a ve f(x) > 0 koşullarını sağlayan gerçek sayılardan,
0 < a < 1 ve a, b ∈ R olmak üzere, loga f(x) < b eşitsizliğinin çözüm kümesi,
b
f(x) > a ve f(x) > 0 koşullarını sağlayan gerçek sayılardan oluşur.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz.
2x - 1
a) 3
x-2
b) 2
= 27 ise x = ........... dir.
x
x+1
- 14 ise x = ........... dir.
x
c) e - 5.e = 4 ise x = ........... dir.
=2
ç) 5 - 2 = 0 ise x = ........... dir.
-x
2) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) log2 (2x - 1) - log2 x = 3 denkleminin çözüm kümesi ∅ dir.
(
)
b) log4 (x + 7) = 2 denkleminin çözüm kümesi {-3, 3} dür.
(
)
c) log2 x + log2 (x + 3) = 2 denkleminin çözüm kümesi {-4, 1} dir.
(
)
ç) ln [log (x + 1)] = 0 denkleminin çözüm kümesi {9} dur.
(
)
2
3) Aşağıdaki denklemlerin gerçek sayılardaki çözüm kümelerini bulunuz.
a) log3 (x + 6x - 7) - log3 (x + 7) = 1
c) log3 x - 3.logx 3 = 2
2
log x
6
= 10 .x
d) x
f) (log4 x) + log4 x = 8
2
2
b) log(m+1) (2m - m + 5) = 2
ln x
ç) 10
2
ln x
e) x
+x
ln 10
= 2000 2
= e .x
g) ln x - 2.lnx + 2 = 0
4) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz..
a) 2
b)
c)
5x - 1
>2
4x + 7
() ( )
( ) ≤
2
5
1
27
x+2
≤
125
8
2x - 1
1,∞
13
4x - 1
x+1
9
[ )
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
(8, ∞)
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
[ )
1, ∞
8
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
[5, ∞)
5) Aşağıdaki logaritmalı eşitsizliklerin gerçek sayılardaki çözüm aralıklarını bulunuz.
a) log5 (x - 1) < log2 25
b) log3 (x + 2) ≥ 2
c) log 2 (x + 4) ≥ log 2 (3x - 1) 3
3
87
ç) log 1 (4x - 1) < 0
3
f) log2
(
)
x-1
> 1
4-x
2.
e) log5 (log2 (3x - 1)) ≥ 0
d) 1 ≤ log4 (x + 1) < 2
g) 2 < log 1
3
(
)
2x - 5
< 3
81
ğ) log5 (x - 1) + log5 (x + 1) ≤ log5 8
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
A - Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
1) Üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna ................................................. fonksiyonu denir.
2) Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna ................................................. fonksiyonu denir.
3) Üstel fonksiyonun grafiği ile logaritma fonksiyonunun grafiği ........................ doğrusuna göre
simetriktir.
B - Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
1) Tabanı 10 olan logaritmaya onluk logaritma denir.
( )
2) Bütün üstel fonksiyonlar artandır.
( )
3) Tabanı 1 den büyük olan logaritma fonksiyonu artan fonksiyondur.
( )
4) log 2 = 1 - log 5
( )
C - Aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
1) Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
a) log2 8 +log 1 e
2
b) log7 8.log 1 49.log2 27 9
e
log3 2
c) 3
log5 4
+5
1
1
1
e) log2 (tan x) + log2 (cot x)
1 + log3 8
d)
2) Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
a) 1 ≤ log3 (x + 2) < 2
log7 35
log5 35
1
ç)
+
1
+
1 + log4 6
+
1 + log2 12
b) log 1 (x + 1) > 2
2
3) log 2 = a ise log 125 in a cinsinden eşitini bulunuz.
4) log3 2 = m ve log3 25 = n ise log12 30 un m ve n cinsinden eşitini bulunuz.
5) log2 11 = x, log3 10 = y ve log4 11 = z ise x, y ve z yi sıralayınız.
6) log 3 = 0,4771 ise 81
7)
75
y
Yanda f(x) = loga (x + b) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. a + b
toplamını bulunuz.
1
x
-3
f(x) = loga (x + b)
88
sayısı kaç basamaklıdır?
D - Aşağıdaki çoktan seçmeli soruları yanıtlayınız.
()
()
()
( )
2
3
4
199
+ log
+ log
+ ... + log
3
4
5
200
1) log
A) -4
2) log3 x + log3 x = 6 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
A) 3
3) f(x) = log3 (x + 2) - 2 fonksiyonunun tersi aşağıdakilerden hangisidir?
A) f-1(x) = e
B) -3
C) -2
B) 6
x+1
D) -1
C) 9
x+2
x
D) f (x) = 2 + 2
-1
3x - 2
4) f(x) = e
A) f-1(x) =
5) f(x) = logx
A) (0, 5)
E) 27
x+2
C) f-1(x) = 2
- 2
x-1
E) f (x) = 2
-1
- 3
-3
- 2 ise f-1(x) fonksiyonunu bulunuz.
ln x + 2
3
(
E) 2
D) 12
B) f-1(x) = 3
- 2
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
B) f-1(x) =
ln (x + 2) + 2
3
C) f-1(x) =
ln x - 2
3
D) f-1(x) =
ln x
3
x
E) f-1(x) = e - 2
)
25 - x2
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi hangisidir?
x+1
B) (-1, 5) - {1} C) (0, 5) - {1}
D) (-∞, - 5)
E) (-∞, - 5) ∪ (-1, 5)
6) log2 12 = x, log3 24 = y ve log4 15 = z��������������������������������������������������������
ise x, y, z arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
A) x < y < z
7) log3 125 = a ise log3 405 in a cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
8) e + 12e = 1 denklemin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {4, -3}
9) 1 < log (3x - 5) < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
A) 29
10) log2 3 = x ve log3 5 = y ise log4 225 ifadesinin x ve y cinsinden değeri nedir?
A) x + y
11)
A) 1
3a + 15
4
x
B) z < y < x
B)
a-3
4
C) x < z < y
C)
a+3
4
D) z < x < y
D)
a - 12
3
E) y < x < z
E)
a + 12
3
-x
B)
{ }
1 1
, 4 4
C) {ln 4, ln 3}
B) 30
2
log2 144
C) 31
B) (x + 1).y
+
4
log3 144
B) 2
+
C) x.(y + 1)
3
log4 144
C) 3
D) {ln 4}
D) 32
D) x.y
{
4
E) e ,
1
3
e
}
E) 33
E) 3x + y
işleminin sonucu kaçtır?
D) 4
E) 5
89
3. ÜNİTE
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, OLASILIK VE İSTATİSTİK
Kurtuluş savaşı yıllarında Ankara’daki at yarışlarını kendi himayesinde yaptıran Mustafa Kemal Atatürk,
1927 yılında emir vererek GAZİ koşusunun düzenlenmesini istemiştir. At yarışlarının modern toplum için
sosyal bir ihtiyaç olduğunu vurgulayan Atatürk, fırsat
buldukça hipodroma gelmekten büyük mutluluk duyardı.
Gazi Koşusu’nun en önemli özelliği, üç yaşındaki
safkan İngiliz taylarının yarışa sadece bir kez katılabilmeleridir.
Gazi Koşusu’nun diğer koşular arasında özel bir
yeri vardır. Bu koşuyu kazanan safkan, yılın en başarılı
atı ünvanını almakta ve ayrı bir değer kazanmaktadır.
2012 yılında yapılacak 86. Gazi Koşusu’na 23 tayın koşması beklenmektedir. Bu koşuda ilk üç
dereceye girenlerin kaç değişik biçimde sıralanabileceğini permütasyon bilgisini kullanarak bulabiliriz.
SAYMA YÖNTEMLERİ
ETKİNLİK
Sınıfınızda gözlüklü kaç öğrenci vardır?
Bir kulüpte 14 eskrim, 23 boks ve 21 tenis oynayan sporcu bulunduğuna göre toplam sporcu
sayısını bulunuz.
Her birinde altışar öğrenci bulunan 3 gruptan oluşan sınıfta toplam öğrenci sayısını bulunuz.
Yukarıdaki soruları yanıtlarken hangi sayma yöntemlerini kullandınız?
Genel olarak sayma işlemi yaparken hangi durumlarda hangi işlemleri kullandığınızı tartışınız.
ÖRNEK
A = {x | 1 ≤ x ≤ 40, x ∈ N} veriliyor. A kümesinin elemanlarından kaç tanesinin tüm basamaklarındaki rakamların asal sayı olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM
A kümesinin elemanlarından tüm basamaklarındaki rakamları asal sayı olan sayılar kümesi B
olsun.
B = {2, 3, 5, 7, 22, 23, 25, 27, 32, 33, 35, 37} dir. B kümesinin eleman sayısı s(B) = 12 dir.
ÖRNEK
Bir müzik korosundaki 13 bayan ve 17 erkek solist arasından bir temsilcinin kaç değişik biçimde
seçilebileceğini bulalım.
ÇÖZÜM
Bu temsilci 13 bayan veya 17 erkek solistten biri olacağından 13 + 17 = 30 farklı biçimde seçilebilir.
ÖRNEK
Bir bilgisayar firması üç aşamalı oyun programı tasarlıyor. C seviyesinde başarılı olan B seviyesine, B seviyesinde başarılı olan ise A seviyesine ulaşıyor. C seviyesinde karşısına 6, B seviyesinde
5 ve A seviyesinde ise 2 seçenek oyun sunuluyor. Yarışmaya C seviyesinde başlayan birinin kaç
değişik seçim yaparak oyunu tamamlayabileceğini bulalım.
90
ÇÖZÜM
C seviyesinde 6, B seviyesinde 5 ve A seviyesinde 2 seçenek oyun varsa bu durum aşağıdaki gibidir.
C
B
A
Bitiş
C seviyesinde başlayan biri B seviyesine geçmek için 6 oyunda birini, B seviyesinden A seviyesine geçmek için 5 oyundan birini, A seviyesinde bitişe geçmek için 2 oyundan birini seçerse oyuncu
6.5.2 = 60 farklı seçim yapabilir.
Sayılmak istenen nesneleri sayma sayıları kümesinin elemanları ile sıralı ve bire bir eşleyerek yapılan işleme, bire bir eşleme yoluyla sayma yöntemi denir.
Ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısını toplama işlemi yaparak bulmaya, toplama
yoluyla sayma yöntemi adı verilir.
Ayrık iki kümenin keşiminin eleman sayısını çarpma işlemi yaparak bulmaya, çarpma yoluyla sayma yöntemi adı verilir.
ÖRNEK
3 farklı eteği ve 2 farklı gömleği olan Rabia, bir etek ve bir gömleğini birlikte giymiştir. Bunun için
kaç değişik seçim yapabilir? Bulalım.
ÇÖZÜM
E1
G1
E2
G2
E3
E1
E2
E3
Gömleklere G1, G2 ve eteklere E1, E2, E3 dersek tüm seçimleri,
{(G1, E1), (G1, E2), (G1, E3), (G2, E1), (G2, E2), (G2, E3)} kümesinin elemanı olur.
Bu durumda farklı seçimlerinin eleman sayısı 2.3 = 6 bulunur. 91
m herhangi bir işlemin gerçekleşme yollarının sayısını, n de ikinci bir işlemin gerçekleşme
yollarının sayısını göstersin. m yoldan birisi ile yapılan ilk işlemden sonra ikinci işlem n yolla
yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m.n yolla yapılabilir. Bu durum işlem sayısı arttığında da
geçerlidir. Buna çarpma yoluyla sayma denir.
ÖRNEK
A kentinden B kentine 3 farklı, B kentinden C kentine 4 farklı yoldan gidilmektedir. A kentinden
C kentine B ye uğramak şartıyla kaç değişik seçim yapılarak gidilebileceğini bulalım.
ÇÖZÜM
b1
a1
A
a2
B
a3
b2
C
b3
b4
A kentinden B kentine gidilen yollar: a1, a2, a3
B kentinden C kentine gidilen yollar: b1, b2, b3, b4 olsun.
A kentinden C kentine gidilen yolların seçimleri, {(a1, b1), (a1, b2), (a1, b3), (a1, b4), (a2, b1),..., (a3, b4)}
kümesinin elemanlarıdır. Bu kümenin de eleman sayısı 3.4 = 12 bulunur.
ÖRNEK
0, 1, 2, 3, 4, 5 rakamlarını kullanarak üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabileceğini bulalım.
ÇÖZÜM
Birler basamağına 6 farklı rakam yazılabilir. Onlar basamağına 6 farklı rakam yazılabilir.
Yüzler basamağına 0 yazılamayacağından, 5 farklı rakam yazılabilir.
↓
↓
↓
5 . 6 . 6
Sonuç çarpma yolu ile 5.6.6 = 180 sayı yazılabileceği bulunur.
ÖRNEK
0, 1, 2, 3, 4 rakamları kullanılarak üç basamaklı ve rakamları farklı kaç sayı yazılabileceğini bulalım.
ÇÖZÜM
Yüzler basamağına 0 hariç 4 farklı rakam yazılabilir.
Onlar basamağına kalan 4 rakamdan biri yazılır.
Birler basamağına 3 rakam yazılabilir.
↓
↓
↓
4 . 4 . 3
İstenen şartları sağlayan 4.4.3 = 48 sayı yazılabilir.
ÖRNEK
Bir markette 5 farklı pirinç, 4 farklı makarna ve 6 farklı mercimek satılmaktadır. 1 paket pirinç,
1 paket makarna ve 1 paket mercimek almak isteyen bir kişinin kaç değişik seçim yapabileceğini
bulalım.
92
ÇÖZÜM
Pirinç
5
.
Makarna
4
.
Mercimek
6
5.4.6 = 120 değişik seçimde bulunabilir.
ÖRNEK
f
A
a•
b•
c•
d•
•m
•n
•p
•r
•s
•t
B
A = {a, b, c, d} ve B = {m, n, p, r, s, t} kümeleri
veriliyor.
A dan B ye tanımlı f fonksiyonu için f(c) = s koşulunu sağlayan kaç tane bire bir f fonksiyonu yazılacağını bulalım.
ÇÖZÜM
c elemanı s elemanı ile eşlendiğinden a, 5 elemandan biriyle, b dört elemandan biriyle eşleşebilir. Bu durumda A dan B ye tanımlanacak bire bir fonksiyonların sayısı,
a
b
c
d
↓
↓
↓
↓
5 . 4 . 1 . 3 = 60 bulunur.
UYGULAMA
1) 25 farklı matematik, 14 farklı fizik ve 12 farklı tarih kitabı bulunan bir kitapçıdan, 1 matematik,
1 fizik ve 1 tarih kitabı almak isteyen bir kişi kaç farklı seçim yapabilir?
2) 6 katlı bir apartman 4 renk kullanılarak boyanacaktır.
a) Her kat bu renklerden birisi ile boyanacaktır. Apartmanı boyamak için kaç farklı renk seçimi
yapılabilir?
b) Üst üste iki renk aynı olmamak üzere kaç farklı renk seçimi yapılabilir?
c) Üst üste üç katında herhangi iki katının aynı renge boyanmaması şartıyla kaç farklı renk seçimi yapılabilir?
3) A kentinden B kentine 4 farklı, B kentinden C kentine 5 farklı yoldan gidilmektedir. A kentinden
C kentine B ye uğramak şartıyla kaç değişik biçimde gidilir?
A) 4
B) 9
C) 10
D) 20
E) 4!.5!
4) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
0, 1, 2, 3, 4, 5 rakamları kullanılarak dört basamaklı,
a) Kaç farklı sayı yazılabilir?
b) Basamaklarında 5 rakamı bulunmayan kaç farklı sayı yazılabilir?
c) Basamaklarında en az biri 5 olan kaç farklı sayı yazılabilir?
ç) Rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?
d) Rakamları farklı kaç tek sayı yazılabilir?
e) Rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir?
f) Rakamları farklı ve 5 ile tam bölünebilen kaç sayı yazılabilir?
500
300
144
156
108
1080
580
220
5) Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz.
a) Yirmi kişilik bir sınıfta, bir başkan ve bir başkan yardımcısı için .................... seçim yapılabilir.
b) Dört farklı mektup, üç posta kutusuna ......................... farklı şekilde atılabilir.
93
6) s(A) = 4 ve s(B) = 5 olmak üzere A dan B ye,
a) Kaç fonksiyon tanımlanabilir?
b) Bire bir kaç fonksiyon tanımlanabilir?
7) 10 soruluk çoktan seçmeli bir testte, her sorunun dört cevap seçeneği vardır. Bu testin cevap
anahtarının kaç değişik şekilde hazırlanabileceğini araştırınız.
8) Bu yıl İzmir’de araç plakaları, şehir kod numarası, bir harf ve üç basamaklı bir sayıyla verilmektedir. Yüzler basamağı 0 olmadığına göre kaç araca plaka verilebilir? (29 harf kullanılacaktır)
9)
A
B
C
D
Aynı yol üzerinde bulunan A, B, C ve D şehirleri bulunmaktadır. A şehrinden D şehrine kaç değişik biçimde gidilebileceğini bulunuz.
FAKTÖRİYEL
ETKİNLİK
a = 1
b = 1.2
c = 1.2.3
d = 1.2.3.4
e = 1.2.3.4.5
f = 1.2.3.4.5.6
g = 1.2.3.4.5.6.7
h = 1.2.3.4.5.6.7.8
..
.
k = 1.2.3.4.5.6.7.8...n
Yukarıda verilenlere göre a, b, c, d, e, f, g, h, ... sayıları hangi kurala göre oluşturulmuştur?
e sayısını, d sayısı cinsinden ifade edebilir misiniz?
1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımının kısaca nasıl ifade edileceğini daha önceki
bilgilerinizi kullanarak belirtiniz.
ÖRNEK
7!
5!.2!
+
8!
6!.2!
işleminin sonucunu bulalım.
ÇÖZÜM
7!
5!.2!
=
7.6.5!
5!.2!
= 21,
8!
6!.2!
=
8.7.6!
6!.2!
= 28 dir. Buradan, 21 + 28 = 49 bulunur.
n bir doğal sayı olmak üzere, 1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir.
n! = 1.2.3.4.5...n şeklinde hesaplanır. Özel olarak, 0! = 1 ve 1! = 1 dir.
ÖRNEK
11!
9!
94
-
8!
7!
işleminin sonucunu bulalım.
ÇÖZÜM
11! = 11.10.9! ve 8! = 8.7! biçiminde yazarsak işlemin sonucu
11!
9!
-
8!
7!
=
11.10.9!
9!
-
8.7!
7!
= 110 − 8 = 102 bulunur.
ÖRNEK
(n + 2)!
n!
-
n!
= 30 eşitliğini sağlayan n sayısını bulalım.
(n – 2)!
ÇÖZÜM
(n + 2)! = (n + 2).(n + 1).n! ve n! = n.(n − 1).(n − 2)! eşitliklerini yazalım.
⇒
(n + 2)!
n!
-
n!
= 30
(n – 2)!
⇒
(n + 2).(n +1).n!
n!
n.(n – 1).(n – 2)!
–
(n – 2)!
= 30
⇒ (n2 + 3n + 2) – (n2 − n) = 30 ⇒ 4n + 2 = 30 ise n = 7 bulunur.
ÖRNEK
a, b ∈ N olmak üzere, a! = 20.b! olduğuna göre b nin alacağı kaç farklı değer olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM
a! = 20.b! için, b = 19 alınırsa a! = 20.19! = 20! olur. a! = 20.b! = 5.4.b! şeklinde yazıldığında
b = 3 olursa a! = 5.4.3! = 5! olur. Bu durumda b, iki farklı değer alır.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
a) 5! = 2 .t (n, t ∈ N) ise n sayısı en çok kaçtır?
132
6!
işleminin sonucu kaçtır?
4!
30
12! = t.10! eşitliğinde t tam sayısı kaçtır?
27
0! + 2! + 4! toplamı kaçtır?
108
n
3
2) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a)
5!
= 5
4!
(
)
b)
7!
= 56
5!
(
)
ç)
6! + 5! 35
=
5! - 4!
4
(
)
3) Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz.
a) (n + 1)! n!
b)
(n - 4)! (n - 3)!
c)
n!.(n + 1)!
(n + 2)!
95
4) Aşağıdaki eşitliklerde n doğal sayısını bulunuz.
(n - 1)!
(n + 1)!
a)
= 5 b)
= 56 (n - 2)!
(n - 1)!
c)
(3n + 3)!
(3n + 2)!
= 18
5) x, y ∈ N olmak üzere, x! = 210.y! ise x in alacağı doğal sayı değerlerini bulunuz.
A) 222
B) 232
C) 210
D) 420
E) 500
PERMÜTASYON
ETKİNLİK
Beş kişilik bir aile, yan yana sıralanmış beş sandalyeye oturarak fotoğraf çektirecektir.
İlk sandalyeye kaç farklı kişi oturabilir?
İlk sandalyeye bir kişi oturduktan sonra, ikinci sandalyeye kaç farklı kişi oturabilir?
(Aynı işlemleri üçüncü, dördüncü ve beşinci sandalyeler için de devam ettiriniz.)
Bu beş sandalyeye beş kişi kaç farklı sıralama ile oturabilir? Sayma yöntemlerini kullanarak
bulunuz.
Bulduğunuz sonucu faktöriyel kullanarak ifade edebilir misiniz?
Yan yana sıralanmış n tane sandalyeye, n kişi kaç farklı sıralama ile oturacağını bir genelleme yaparak bulmaya çalışınız.
ÖRNEK
YALÇIN kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız kaç değişik kelime yazılabileceğini bulalım.
ÇÖZÜM
↓
6
↓
5
↓
4
↓
3
↓
2
↓
1
6.5.4.3.2.1 = 6! = 720 değişik şekilde yazılabilir.
n tane nesnenin yan yana farklı dizilişlerinin sayısı P(n, n) şeklinde gösterilir. n tane elemanın
n li permütasyonu (sıralaması) diye okunur. P(n, n) = n! bağıntısı ile verilir.
ÖRNEK
Farklı 5 matematik ve 3 fizik kitabının kütüphanenin rafına;
a) Kaç değişik biçimde dizileceğini bulalım.
b) Matematik kitapları bir arada olmak şartıyla kaç değişik biçimde dizileceğini bulalım.
c) Aynı türden kitaplar bir arada olmak şartıyla kaç değişik biçimde dizileceğini bulalım.
ÇÖZÜM
a) 5 matematik ve 3 fizik kitabı rafa, P(8, 8) = 8! değişik biçimde dizilebilir.
b) Matematik kitaplarını tek bir kitap gibi düşünürsek,
M1 M2 M3 M4 M5
F1
F2
F3
P(4, 4) = 4! değişik biçimde dizilir. Ancak matematik kitapları da kendi içerisinde, P(5, 5) = 5! değişik
biçimde dizilir. Bu durumda tüm dizilişlerinin sayısı, P(4, 4).P(5, 5) = 4!.5! = 2880 olur.
c)
M1 M2 M3 M4 M5
F1 F2 F3
Aynı tür kitaplar bir arada olmak şartıyla tüm dizilişlerinin
sayısı, P(5, 5).P(3, 3).P(2, 2) = 5!.3!.2! = 1440 olarak bulunur.
96
ÖRNEK
5 erkek 4 kız öğrenciden oluşan bir halk oyunları ekibinin oyun esnasında iki erkek arasında bir
kız olacak şekilde kaç değişik biçimde dizileceğini bulalım.
ÇÖZÜM
Bu diziliş,
E
K
E
K
E
K
E
K
E
biçiminde olacaktır.
Kızlar ve erkekler kendi aralarında da yer değiştireceğinden tüm dizilişlerinin sayısı,
P(5, 5).P(4, 4) = 5!.4! = 120.24 = 2880 değişik biçimde olacaktır.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz.
a) TÜREV sözcüğünün harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız ............. farklı
sözcük yazılabilir.
b) 5 evli çift, eşler yan yana olmak üzere düz bir sıraya ................. farklı biçimde dizilirler.
2) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
Alsancak Stadı’nın tribünlerinde 4 Karşıyaka, 2 Altay ve 3 Göztepe taraftarı bir sıraya,
a) Karşıyaka taraftarları bir arada olmak üzere kaç farklı dizilişte
oturabilirler?
b) Göztepe taraftarları bir arada olmak üzere kaç değişik sıralamayla oturabilirler?
c) Aynı takımın taraftarları bir arada olmak üzere kaç değişik
biçimde oturabilir?
6!.4!
4!.2!.3!.3!
7!.3!
4!.3!.3!
3) Dört kız ve üç erkekten oluşan bir arkadaş grubu beraber tiyatroya gidiyor ve hepsi yan yana
oturuyor.
a) Erkeklerden belli iki tanesi uçlarda oturmak üzere kaç farklı dizilişte oturulabilir?
b) Herhangi iki kız arasında bir erkek bulunacak biçimde kaç farklı sıralamayla oturulabilir?
4) Beş erkek ve üç kız öğrencinin, kızlardan herhangi ikisinin yan yana olmamak şartıyla düz bir
sıraya kaç değişik şekilde sıralanacağını bulunuz.
A) 9!
B) 206!
ETKİNLİK
Zeynep Deniz Alperen
C) 5!.3!
D) 4!.6!
E) 6!.120
Yandaki görseli inceleyerek aşağıdaki soruları
cevaplandırınız.
Alperen oturacağı koltuğu kaç farklı şekilde
seçebilir?
Deniz oturacağı koltuğu kaç farklı şekilde
seçebilir?
Zeynep oturacağı koltuğu kaç farklı şekilde
seçebilir?
Üçünün birlikte bu koltukları kaç değişik biçimde seçip oturacaklarını çarpma yoluyla sayma
yöntemini kullanarak bulunuz.
97
Koltuk sayısı n tane, odaya gelen insan sayısı r tane olsaydı, r tane insan bu n tane koltuğu
kaç değişik biçimde seçip oturabilirdi? (r ≤ n) Tartışınız.
ÖRNEK
A, B, C, ve D harflerinden her biri yalnız bir kez kullanılarak, birbirinden farklı iki harfli kelimelerin
sayısını bulalım.
ÇÖZÜM
I
↓
II
I. kutuya 4 harften biri gelecektir.
↓
II. kutuya ise geriye kalan 3 harften biri gelecektir.
Sonuç çarpma yolu ile 4.3 = 12 bulunur.
4 . 3
n tane elemandan r tanesinin farklı dizilişlerinin sayısı P(n, r) biçiminde gösterilir ve n in r li
permütasyonu diye okunur (n ≥ r). P(n, r) =
n!
eşitliği ile hesaplanır.
(n – r)!
ÖRNEK
10 kişinin katıldığı bir yarışta ilk üç derecenin kaç farklı biçimde sonuçlanacağını bulalım.
ÇÖZÜM
Bu durumda 10 tane elemanın 3 tanesinin farklı dizilişleri sorulmaktadır.
P(10, 3) =
10!
10! 10.9.8.7!
=
=
= 720 biçimde sonuçlanabilir.
7!
(10 - 3)!
7!
ÖRNEK
P(n, 2) + 2.P(n, 1) = 42 eşitliğinde n değerini bulalım.
ÇÖZÜM
n!
= n.(n - 1)(n - 2)! = n2 - n,
(n - 2)!
(n - 2)!
n.(n – 1)!
n!
P(n, 1) =
=
=n
eşitlikleri yerine yazıldığında,
(n – 1)!
(n – 1)!
P(n, 2) =
2
2
n − n + 2n = 42 ⇒ n + n - 42 = 0 denklemi elde edilir. Buradan, (n + 7).(n - 6) = 0
n = -7 ∨ n = 6 bulunur. Ancak n ≥ 2 olacağından n = 6 olmalıdır.
ÖRNEK
A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde “1” olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM
A kümesinin üçlü permütasyonlarının sayısından “1” sayısının bulunmadığı üçlü permütasyonlarının sayısını çıkarırsak “1” sayısının bulunduğu üçlü permütasyonların sayısını buluruz.
P(5, 3) - P(4, 3) =
98
5!
4!
= 60 - 24 = 36 bulunur.
(5 - 3)! (4 - 3)!
ÖRNEK
6 kız ve 3 erkeğin, düz bir sıraya iki erkeğin yan yana gelmemesi şartıyla kaç değişik biçimde
sıralanabileceğini bulalım.
ÇÖZÜM
Herhangi iki erkek öğrenci yan yana gelmeyecek ise erkek öğrenciler aşağıdaki boşluklara gelecek şekilde dizilirler.
K
K
K
K
K
K
Bu durumda kızların dizilişlerinin sayısı P(6, 6) ve erkeklerin dizilişlerinin sayısı ise P(7, 3) işlemleriyle hesaplanır. Bu durumda istenilen dizilişlerin sayısı,
P(6, 6).P(7, 3) = 6!.7.6.5 = 720.210 = 151200 bulunur.
ÖRNEK
“SEMİHA” kelimesinin harfleri yan yana dizildiğinde kaç tanesinde sesli harflerin alfabetik sırada
olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM
SEMİHA kelimesinin harfleri ile yazılabilecek tüm kelimelerin sayısı, 6! = 720 tanedir.
A, E, İ sesli harfleri kendi içerisinde 3! = 6 farklı biçimde dizilir. Bu durumda sesli harflerin alfabetik sırada olduğu diziliş sayısı tüm dizilişlerin 1 i olur. Yani sonuç 720 = 120 bulunur.
6
6
UYGULAMA
1) Aşağıdaki boşlukları doldurunuz.
P(n, r) = ........
P(3, 0) = .........
P(6,3) = ........
P(4, 4) = ........
P(7, 2) = ........
P(n, n) = ........
2) 3.P(n, 2) + 2.P(n + 1, 1) = 46 eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır?
3) A = {a, b, c, d, e} kümesinin ikili permütasyonlarının sayısı kaçtır?
4) 20 kişilik bir sınıftan ilk 3 derece kaç değişik biçimde gerçekleşir?
5) A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde
a) “a” bulunur
b) “a” bulunur “b” bulunmaz
c) “a ve b” bulunur.
6) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile rakamları farklı ve birbirinden farklı üç basamaklı
kaç değişik sayı yazılabilir?
7) Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir?
A) 65
B) 50
C) 40
D) 36
E) 24
8) A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile en az iki basamağı aynı olan üç basamaklı kaç
değişik sayı yazılabilir?
9) 2.P(n, 2) + 50 = P(2n, 2) eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır?
99
10) 10 atletin katıldığı 1500 m. koşusunda altın, gümüş ve bronz madalyanın kaç farklı şekilde
dağıtılabileceğini bulunuz.
11) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
Yaşları farklı 5 kardeş ile bunların arkadaşı olan 3 çocuk fotoğraf
çektirecektir. Bu sekiz çocuğun;
4!.5!
8!
a) Hiçbir koşul olmaksızın,
b) Kardeşlerin yan yana olması koşuluyla,
8.5!
c) Misafir olan çocuklar yaşıtı olanlarla yanyana olmak şartıyla kaç
değişik şekilde sıralanabilirler? Bulunuz.
3!.4!
12) “METİN” kelimesinin harfleri yan yana dizildiğinde kaç tanesinde sessiz harfler alfabetik
sırada olur?
DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON
ETKİNLİK
Yandaki görselleri incelediğimizde
koltuk, sandalye ve taburenin yuvarlak
masaya göre dizilişlerinin değişmediğini
fark ettiniz mi?
Görsellerde koltuğa Berilsu,
sandalyeye Merve, tabureye Nisan oturmuş olsaydı yuvarlak masaya göre oturanların dizilişi değişir miydi? Tartışınız.
Görsellerde koltuğa Nisan, sandalyeye Berilsu, tabureye Merve oturmuş olsaydı, oturdukları yerler değişmiş
olmasına rağmen Berilsu, Merve ve Nisan’ın yuvarlak masadaki dizilişlerinde önceki duruma göre farklılık olur muydu? Tartışınız.
Etkinlik basamaklarından yararlanarak n tane farklı elemanın yuvarlak bir masa etrafında kaç
farklı şekilde sıralanabileceğini açıklayınız.
ETKİNLİK
1
2
I. Şekil
3
1
2
3
II. Şekil
Aydın, Burhan ve Cemil adında üç kişinin II. şekildeki gibi düz koltuklara oturma dizilişlerini
yazınız.
100
II. şekildeki koltukların I. şekildeki gibi yuvarlak bir masanın etrafına konulduğu düşünülürse
II. şekilde elde ettiğimiz her dizilişi I. şekildeki yuvarlak masa etrafına yerleştiriniz.
2
1
3
Aydın
1
2
3
Aydın
Burhan
Cemil
I. Şekil
II. Şekil
Yuvarlak masa etrafında elde ettiğiniz dizilişlerden aynı olanlar var mıdır? Varsa sayısı kaçtır?
Yuvarlak masa etrafındaki farklı dizilişlerin sayısı ile düz bir sıradaki farklı dizilişlerin sayıları
arasındaki farkın sebebi nedir?
Aydın 1 nolu koltukta oturduğunda yuvarlak masa etrafında elde edilen diziliş ve dizilişlerin
sayısı ile 2 ve 3 nolu koltuklara oturduğundaki diziliş ve dizilişlerinin sayısı aynı mıdır? Tartışınız.
ÖRNEK
4 kişinin yuvarlak bir masa etrafında kaç değişik biçimde sıralanacağını bulalım.
ÇÖZÜM
A, B, C ve D kişilerini yuvarlak masa etrafında sırasıyla 1, 2, 3 ve 4 nolu koltuklara dizilişleri saat
yönünde aşağıdaki gibidir.
1
C
3
3
2
4
A
4
B
C
D
B
3
2
C
4
B
D
2
1
C
A
B
4
1
D
A
A
2
D
1
3
Görüldüğü üzere görsellerdeki tüm dizilişler yuvarlak masa etrafında aynıdır. O zaman biz bu durumu
tek bir diziliş olarak kabul etmeliyiz. Saat yönündeki sıralama A, B, C, D normalde 4! kadar farklı biçimde oluşur. Ancak yuvarlak masa etrafındaki dizilişleri tüm durumların 4! = 3! kadar olacaktır.
4
1
n
2
A , A , A ,...., A kişilerinin yuvarlak masa etrafındaki n tane koltuğa
1
2
3
n
oturduklarında,
A1, 1 nolu koltukta iken elde edilen dizilişlerin sayısı a tanedir.
A1, 2 nolu koltukta iken elde edilen dizilişlerin sayısı a tanedir.
A1, 3 nolu koltukta iken elde edilen dizilişlerin sayısı a tanedir.
..
.
A1, (n) nolu koltukta iken elde edilen dizilişlerin sayısı a tanedir.
3
Bu yaklaşıma göre n tane dizilişin toplam sayısı n.a bulunur. A1, A2, A3,..., An ki şilerin düz
bir sıradaki dizilişlerinin sayısının n! olduğunu biliyoruz. Her iki dizilişin sayısı aynı olduğundan
n! = n.a yazılabilir. Buradan da, a = n! = (n - 1)! elde edilir. Yani n tane elemanın yuvarlak
n
masa etrafındaki farklı dizilişlerinin sayısı (n - 1)! dir.
101
ÖRNEK
Anne, baba ve üç çocuğun oluşturduğu bir ailenin,
a) Yuvarlak masa etrafındaki tüm dizilişlerinin sayısını bulalım.
b) Anne ile baba yan yana gelmek şartıyla tüm dizilişlerinin sayısını bulalım.
ÇÖZÜM
a) Ailenin tüm üyelerinin sayısı 5 olduğunda n = 5 tir.
Yuvarlak masa etrafındaki tüm dizilişlerinin sayısı (n - 1)! = (5 - 1)! = 4! = 24 olur.
b) Anne ile babayı bir kişi gibi düşünürsek n = 4 olur.
Yuvarlak masa etrafında bu 4 kişinin tüm dizilişlerinin sayısı, (n - 1)! = (4 - 1)! = 3! = 6 bulunur.
Ancak, anne ile baba kendi arasında 2! = 2 değişik biçimde de yer değiştireceğinden anne ile
babanın bir arada olduğu tüm dizilişlerinin sayısı 3!.2! = 6.2 = 12 olarak bulunur.
ÖRNEK
4 kız ve 2 erkek öğrenci yuvarlak masa etrafında erkekler yan yana olmak şartıyla kaç değişik
biçimde dizileceğini bulalım.
ÇÖZÜM
Erkekleri tek bir kişi gibi düşünecek olursak beş kişinin yuvarlak masa etrafındaki dizilişlerinin
sayısı (5 - 1)! = 4! = 24 tür. Aynı zamanda erkekler de kendi içlerinde 2! = 2 sayısı kadar yer değiştireceğinden tüm dizilişlerin sayısı 24.2 = 48 bulunur.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
6 erkek 3 kız öğrenci bir yuvarlak masa etrafında,
a) Kaç değişik biçimde dizilir?
b) Kızlar yan yana olmak şartıyla kaç değişik biçimde dizilir?
c) Kızlar yan yana olmamak şartıyla kaç değişik biçimde dizilir?
6!.3!
6!.50
8!
3!.4!
2) 5 evli çift yuvarlak masa etrafında,
a) Kaç farklı şekilde dizilir?
b) Evli çiftler birbirinden ayrılmamak şartıyla kaç farklı biçimde dizilir?
3) Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz.
a) 4 kız, 4 erkek öğrenci yuvarlak bir masa etrafında ................. değişik sıralanışta oturabilir.
b) 4 kız, 4 erkek öğrenci yuvarlak bir masa etrafında kızlar yan yana olmak üzere ............. farklı
sıralanışta oturabilir.
c) Herhangi iki erkeğin arasında yalnız bir kız olacak şekilde ............. farklı sıralanışta oturabilir.
4) Beş kız, üç erkek yuvarlak bir masa etrafında erkeklerden herhangi ikisi yan yana olmamak
şartıyla kaç değişik biçimde sıralanabilirler?
A) 6!.10
B) 7!
C) 6!.8
D) 8!.3!
E) 7!.5
5) Anne, baba ve 2 çocuktan oluşan bir aile yuvarlak masa etrafında,
a) Kaç farklı şekilde dizilir?
b) Anne ve baba bir arada olmak şartıyla kaç farklı biçimde dizilir?
102
TEKRARLI PERMÜTASYON
ETKİNLİK
Aşağıdaki tabloda,
A sütununa 1234 sayısının farklı dizilişlerini yazınız.
B sütununa 1123 sayısının farklı dizilişlerini yazınız.
C sütununa 1122 sayısının farklı dizilişlerini yazınız.
D sütununa 1112 sayısının farklı dizilişlerini yazınız.
E sütununa 1111 sayısının farklı dizilişlerini yazınız.
A
B
C
D
E
s(A) = ........
s(B) = ........
s(C) = ........
s(D) = ........
s(E) = ........
Tabloya göre,
B, C, D ve E sütunlarındaki eleman sayılarını A sütunundaki eleman sayılarıyla karşılaştırınız.
B, C, D ve E sütunlarındaki eleman sayılarının A sütunundaki eleman sayısına eşit olabilmesi
için sütunlarda verilen sayılarda nasıl bir değişiklik yapmalıyız?
s(A) = 2!.s(B), s(A) = 2!.2!.s(C), s(A) = 3!.s(D), s(A) = 4!.s(E) eşitliklerinde faktöriyelle gösterilen sayıların sütunlardaki tekrar eden sayılarla olan ilişkisini tartışınız.
ÖRNEK
ACABA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız beş harfli kaç farklı
kelime yazılabileceğini bulalım.
ÇÖZÜM
Yazılabilecek kelimelerin sayısı x olsun. A harflerini farklı harfler gibi düşünerek yazılabilecek
kelime sayısı çarpma kuralı gereği x.3! olur. Bu durumda x.3! = 5! eşitliğinden x = 20 olarak bulunur.
r1, r2, r3,..., rn tanesi aynı olan k tane elemanın farklı dizilişlerinin sayısı,
k!
r1!.r2!....rn!
for-
mülü ile bulunur.
Bazıları aynı türden olan k tane elemanın farklı dizilişlerine tekrarlı permütasyon denir.
ÖRNEK
MENEMEN kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız yedi harfli,
a) Kaç değişik kelime yazılabileceğini,
b) E ile başlayan kaç değişik kelime yazılabileceğini bulalım.
103
ÇÖZÜM
a) “MENEMEN” kelimesinde 7 harf bulunmaktadır.
E, E, E → 3 tane, M, M → 2 tane, N, N
7!
= 210 değişik kelime yazılır.
3!.2!.2!
→
2 tane olduğundan,
b) EMENEMN gibi E ile başlayan kelime sayısını bulmak için MENEMN altı harfli dizilişlerinin
sayısı bulunur.
6!
2!.2!.2!
=
720
8
= 90 olur.
ÖRNEK
22233444 sayısının rakamları kullanılarak sekiz basamaklı,
a) Kaç değişik sayı yazılabileceğini,
b) Kaç değişik tek sayı yazılabileceğini bulalım.
ÇÖZÜM
a) 22233444 sayısının rakamları ile
8!
3!.2!.3!
= 560 değişik sayı yazılır.
b) 22234443 tek sayı olması için sonu “3” olmalıdır.
7!
3!.3!
= 140 değişik tek sayı yazılır.
ÖRNEK
3322000 sayısının rakamları kullanılarak yedi basamaklı kaç değişik sayı yazılabileceğini bulalım.
ÇÖZÜM
3322000 sayısının rakamları ile
7!
2!.2!.3!
= 210 değişik yedi basamaklı sayı yazılır.
Ancak sayıların başına sıfır gelmemesi gerekmektedir. Bu durumda sıfırın başta olmadığı yedi
basamaklı sayılar, tüm sayıların
4
7
si olur. O hâlde, 210.
4
7
= 120 değişik yedi basamaklı sayı yazılabilir.
ÖRNEK
Yukarıda bir şehrin dik kesişen sokaklarının krokisi verilmiş-
A
tir.
a) A dan C ye en kısa yoldan kaç değişik biçimde gidilebileceğini bulalım.
B
b) B ye uğramak şartıyla A dan C ye en kısa yoldan kaç
değişik biçimde gidilebileceğini bulalım.
C
ÇÖZÜM
a)
A
a
b
b
A dan C ye gidilen yollar, aaaabbbbb, bbaabbbaa gibi farklı şekillerde yazılabilir. Bu durumda, en kısa yolların sayısı
aaaabbbbb nin tüm dizilişlerinin sayısı ile aynıdır.
b
a
a
a
B
a
b
a
a
a
b
104
b
b
b
b
b C
aaaabbbbb →
9!
4!.5!
= 126 dır.
b) Benzer yaklaşımla A dan B ye B den C ye gidilebilecek yolların sayısını hesaplarsak,
A → B ye
5!
3!.2!
= 10, B → C ye
ÖRNEK
A
Ş
A
= 6 dır. 10.6 = 60 değişik biçimde gidilir.
I
N
N
N
4!
2!.2!
L
U
I
R
F
L U
I
R A
L
U
F
I
R
U
L
I
Soldaki Ş harfinden başlayıp sağdaki A harfine kadar komşu harfleri izleyerek “ŞANLIURFA” kelimesi kaç farklı biçiminde
okunabilir?
ÇÖZÜM
Şekildeki gibi harflar arasındaki yolları belirtirsek Ş harfinden A harfine en kısa yoldan ddddyyyy nin dizilişlerinin sayısı
kadar “ŞANLIURFA” kelimesi okunur.
d I y
d
d N
d A N
Ş
A N
L
U y
I
R y
F y
L U
I
R A
L
U
F
I
R
U
L
I
Bunu tekrarlı permütasyon yardımıyla,
8!
4!.4!
= 70 buluruz.
UYGULAMA
1) Arkadaşının telefon numarasını unutan bir kişi, numaralarda iki tane 5, üç tane 7, iki tane 4
olduğunu anımsıyor. Bu kişi bu rakamlarla kaç değişik deneme yaparsa doğru numaraya ulaşır ve
arkadaşı ile kesinlikle konuşabilir?
A) 120
B) 200
C) 210
D) 300
E) 420
2) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
5 553 300 sayısının rakamları kullanılarak,
a) 150 değişik sayı yazılabilir.
( )
b) 5 ile bölünebilen 110 farklı sayı yazılabilir.
ç) 25 ile bölünen 34 farklı sayı yazılabilir.
(
)
(
)
2) 5 553 300 sayısının rakamlarını kullanarak yedi basamaklı,
a) Kaç farklı sayı yazılabilir?
b) 5 ile bölünebilen kaç farklı sayı yazılabilir?
c) 25 ile bölünebilen kaç farklı sayı yazılabilir?
3)
Şekildeki balonları alttan başlayacak şekilde atış yapmaya başlayan atıcı, balonları kaç değişik şekilde patlatabilir?
(Her atış tam isabettir ve atış yapılan balon patlar.)
105
4) Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz.
Özdeş 3 sarı, 2 beyaz ve 4 siyah boncuk bir ipe,
a) ................. değişik biçimde dizilir.
b) Aynı türden boncuklar bir arada olmak şartı ile .................. değişik biçimde dizilir.
c) Beyaz boncuklar yan yana olmak şartı ile .................. değişik biçimde dizilir.
5)
İ
6)
R
L
E
İ
S
B
R
L
U
E
İ
S
R
L
Baştaki B harfinden başlayıp sondaki U harfine kadar
komşu harfleri izleyerek BERİLSU kelimesi kaç farklı biçimde
okunabilir?
İ
A
C
D
B
Yanda bir şehrin dik kesişen sokaklarının krokisi verilmiştir.
a) A dan B ye en kısa yoldan kaç değişik biçimde gidilir?
b) A dan B ye, D ye uğramak şartıyla kaç değişik biçimde gidilir?
c) C-D yolu trafiğe kapatılırsa A dan B ye kaç değişik
biçimde gidilir?
KOMBİNASYON
Günlük hayatımızda farklı yerlerde farklı grupları görmekteyiz.
Bu grupların sayılarının kaç değişik biçimde oluşturabileceğinizi kombinasyon konusu yardımıyla öğreneceksiniz.
ETKİNLİK
A grubu
B grubu
{1, 2, 3}
{2, 3, 4}
{1, 3, 4}
{1, 2, 4}
A grubunda {1, 2, 3, 4} kümesinin üç elemanlı alt kümeleri yazılmıştır.
A grubundaki her bir alt kümenin elemanları ile üç basamaklı rakamları farklı sayıları B grubunda oklarla belirtilmiş yerlere yazınız.
A ve B gruplarındaki elemanları yazarken görülen temel fark nedir? Tartışınız.
{1, 2, 3, 4} kümesinin üç elemanlı her bir alt kümesi ile B grubunda kaç farklı diziliş (sayı)
yazdığınızı tartışınız.
A grubundaki üç elemanlı tüm alt kümelerin sayısını, B grubundaki tüm dizilişlerinin sayısı
ile üç elemanlı bir alt kümeden yazılan diziliş sayısını ilişkilendirerek bulunuz.
106
ÖRNEK
10 kişinin bulunduğu bir gruptan üç kişinin kaç değişik biçimde seçileceğini bulalım.
ÇÖZÜM
10 kişiden 3 ünün meydana getireceği tüm dizilişlerin sayısı, P(10, 3) =
10!
7!
= 720 dir.
3 kişinin farklı dizilişlerinin sayısı 3! = 6 olduğundan oluşan üç kişilik grupların sayısı
720
=120
6
olarak bulunur.
n, r ∈ N olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerine n nin r li kombinasyonu denir ve
()
n
r
P(n, r)
= C(n, r) =
=
r!
n!
r!(n – r)!
; (r ≤ n) şeklinde gösterilir.
ÖRNEK
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulalım.
a) C(9, 3)
b) C(6, 0)
c) C(7, 7)
ÇÖZÜM
a) C(9, 3) =
()
=
b) C(6, 0) =
()
=
c) C(7, 7) =
()
=
9
3
6
0
7
7
9!
3!.6!
6!
0!.6!
7!
0!.7!
=
9.8.7
3.2.1
= 84
=1
=1
ÖRNEK
Bir hastanedeki 34 doktor, 20 hemşire arasından 2 si doktor, 1 i hemşire olmak üzere üç kişilik
bir sağlık ekibinin kaç değişik biçimde oluşturulabileceğini bulalım.
ÇÖZÜM
34 doktor arasından 2 doktor
( )
34
2
, 20 hemşire arasından 1 hemşire
( )
20
1
değişik şekilde seçile-
bilir. Bu durumda sağlık ekibi,
( )( )
34
2
.
20
1
=
34!
.
20!
2!.32! 1!.19!
= 561.20
= 11220 değişik biçimde oluşturulabilir.
107
ÖRNEK
9 seçmeli dersten 3 tanesi aynı saatlerde verilmektedir. Bu durumda 2 seçmeli dersin kaç farklı
şekilde seçilebileceğini bulalım.
ÇÖZÜM
Aynı saatte ve farklı saatlerde okutulan derslerden biri,
( )( )
6
1
.
3
1
= 18 değişik şekilde seçilebilir.
Bu iki dersi farklı saatlerde okutulan derslerden seçersek
()
6
2
= 15 değişik seçimde yapılabilir.
Bu durumda 18 + 15 = 33 farklı şekilde bu iki ders seçilebilir.
ÖRNEK
Düzlemin herhangi 3 ü doğrusal olamayan 10 farklı noktası en çok kaç,
a) doğru
b) üçgen
c) dörtgen
ç) çember belirtir?
ÇÖZÜM
a) Farklı iki noktadan bir doğru geçeceğinden 10 nokta en çok
( )
10
2
= 45 doğru
b) Doğrusal olmayan üç nokta bir üçgen belirteceğinden 10 nokta en çok
( )
10
3
c) Doğrusal olmayan dört nokta bir dikdörtgen belirteceğinden 10 nokta en çok
gen
ç) Her üçgenin çevrel çemberi çizilebileceğinden 10 nokta en çok
( )
10
3
= 120 üçgen
( )
10
4
= 210 dört-
= 120 çember belirtir.
ÖRNEK
k1 k2
d1
d2
d3
d4
d5
d6
108
k3
k4
k5
Yandaki şekilde verilen d1, d2, d3, d4, d5 ve d6 doğruları birbirine paraleldir. Şekilde kaç farklı yamuk olduğunu
bulalım.
ÇÖZÜM
Yamuğun paralel olan iki kenarı d1, d2, d3, d4, d5 ve d6 doğrularından diğer iki kenarı ise düşey
k1, k2, k3, k4 ve k5 doğrularından seçilir. Bu durumda yamuk sayısı,
( )( )
6
2
.
5
2
= 15.10 = 150 olur.
ÖRNEK
Düzlemin dokuz farklı doğrusundan üçü birbirine paralel, dördü ise sabit bir A noktasından geçmektedir. Bu dokuz doğrunun en çok kaç noktada kesiştiğini bulalım.
ÇÖZÜM
9 farklı doğru koşulsuz
()
()
3
2
4
2
()
9
3
=
9.8.7
3.2.1
= 84 noktada kesişir. Bu 84 sayısından,
= 3 (paralel üç doğrunun kesişmemesi) ve
= 6 (sabit bir A noktasından geçen dört doğru) sayıları çıkarılmalı sonuca 1 (A noktası)
eklenmelidir.
Dolayısıyla aranan nokta sayısı, 84 - (3 + 6) + 1 = 76 bulunur.
ÖRNEK
A
Şekilde ABC nde [AB] üzerinde 4, [AC] üzerinde 5 ve [BC] üzerinde
doğrusal 3 nokta verilmiştir. Bu noktalar kullanılarak en çok kaç üçgen
çizilebileceğini bulalım.
B
C
ÇÖZÜM
ABC nin kenarları üzerinde toplam 4 + 5 + 3 =12 noktadan herhangi 3 tanesi seçilecektir. Ancak
doğrusal noktalardan yapılacak 3 lü seçimler bir üçgen belirtmeyeceğinden,
( ) () () ()
12 - 4 - 5 - 3 = 205 farklı üçgen çizilir.
3
3
3
3
ÖRNEK
A
d1
d2
Şekilde d1 // d2,
d1 doğrusu üzerinde 5, d2 doğrusu üzerinde 4 tane
doğrusal nokta bulunmaktadır.
a) Bu noktalar yardımıyla en çok kaç üçgen çizilebileceğini,
b) Bir köşesi A noktası olan kaç üçgen çizilebileceğini bulalım.
109
ÇÖZÜM
a) İki köşesini d1 doğrusu üzerinden, bir köşesini d2 doğrusu üzerinden seçebileceğimiz üçgen
sayısı,
( )( )
5
2
4
.
= 10.4 = 40 dır.
1
Bu kez de iki köşesini d1 üzerinden, bir köşesini d2 doğrusu üzerinden seçebileceğimiz üçgen
sayısı,
( )( )
5
1
.
4
2
= 5.6 = 30 olur.
Bu durumda paralel doğrular üzerindeki noktalar yardımıyla çizebileceğimiz üçgen sayısı toplam
40 + 30 =70 bulunur.
b) A köşesi seçilmiş olduğundan d1 doğrusu üzerinde nokta seçmeden sadece d2 doğrusu üze-
rinden iki farklı nokta seçersek
( )
4
2
çerek oluşturacağımız üçgen sayısı
= 6 veya bir köşesini d1 ve bir köşede d2 doğrusu üzerinden se-
( )( )
4
1
.
4
1
= 16 bulunur. O hâlde bir köşesi A noktası olan üçgen
sayısı 6 + 16 = 22 bulunur.
ÖRNEK
Şekildeki dikdörtgenin içerisine kenarlarına eşit aralıklarda paralel doğrular çizilmiştir.
a) Şekilde kaç tane dikdörtgen,
b) Şekilde kaç tane kare olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM
l1
a)
l2
l3
l4
l5
d1
d2
d3
d5
C = { __ __ __ __ }
yatay
( )
5
2
110
d4
d6
Dikdörtgendeki yatay doğruların oluşturduğu küme
A, dikey doğruların oluşturduğu küme B olsun.
A = {l1, l2, l3, l4, l5}, B = {d1, d2, d3, d4, d5, d6}
Bir dikdörtgen oluşturabilek için iki yatay ve iki dikey doğruya ihtiyaç vardır. Bu durumda aşağıdaki C
kümesinin farklı yazılışlarının sayısı bize çizebileceğimiz dikdörtgenlerin sayısını verir.
C kümesindeki yatay doğruları A kümesinden, dikey doğruları B kümesinden seçeriz.
dikey
.
( )
6
2
= 10.15 = 150 adet dikdörtgen vardır.
b)
() () () () ()
2
2
3
2
4
2
5
2
5
2
()
()
()
4
2
3
2
2
2
Şekildeki gibi köşegen doğruları üzerinde oluşacak
noktaların 2 elemanlı alt kümelerinin elemanları bu iki
noktayı köşegen kabul eden karelerin köşegenlerini belirtmektedir.
Bu durumda şekildeki dikdörtgende,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
3
+
2
+
4
2
+
5
2
+
5
2
+
4
2
+
3
2
+
2
2
= 1 + 3 + 6 + 10 + 10 + 6 + 3 + 1
= 50 tane kare bulunur.
ÖRNEK
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin beş elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde,
a) 6 bulunur
b) 6 bulunmaz
c) 6 ve 1 bulunur
ç) 6 ve 1 bulunmaz
d) 6 veya 1 bulunur
e) 6 veya 1 bulunmaz
f) 6 ve 1 bulunur, 2 bulunmaz.
ÇÖZÜM
A kümesinin beş elemanlı tüm alt kümeleri sayısı
()
9
5
= 126 tanedir.
a) Beş elemanlı alt kümelerde 6 bulunacağından diğer dört eleman geriye kalan sekiz elemandan seçilir.
O hâlde,
()
8
4
= 70 tane beş elemanlı alt kümede 6 bulunur.
b) 126 - 70 = 56 tane beş elemanlı alt kümede 6 bulunmaz.
c) Beş elemanlı alt kümelerde 6 ve 1 bulunacağından diğer üç eleman geriye kalan yedi elemandan seçilir.
O hâlde,
()
7
3
= 35 tane beş elemanlı alt kümede 6 ve 1 bulunur.
ç) 126 - 35 = 91 tane beş elemanlı alt kümede 6 ve 1 bulunmaz.
d) 6 ve 1 elemanları hariç diğer sekiz elemandan seçilen beş elemanlı kümelerin sayısı
()
7
5
= 21
dir. Bu 21 tane beş elemanlı alt kümede 6 da 1 de bulunmaz.
O hâlde, 126 - 21 = 105 tane beş elemanlı alt kümede 6 veya 1 bulunur.
e) 126 - 105 = 21 tane beş elemanlı alt kümede 6 veya 1 bulunmaz.
f) 6 ve 1 aranan beş elemanlı alt kümelerde bulunacağı için diğer üç eleman 2 dışındaki altı
elemandan seçilir.
O hâlde,
()
6
3
= 20 tane beş elemanlı alt kümede 6 ve 1 bulunur, 2 bulunmaz.
111
ÖRNEK
Bir öğrenci girdiği 12 soruluk bir sınavda 8 soru yanıtlayacaktır. İlk 3 sorudan en az 2 sini yanıtlamak şartıyla toplam 8 soruyu kaç değişik biçimde seçebileceğini bulalım.
ÇÖZÜM
İlk 3 sorudan 2 soru seçerse geriye kalan 9 sorudan 6 soru seçer. Bu durumda,
( )( )
( )( )
3
2
da,
3
3
.
.
9
6
9
5
= 252 ve ilk 3 sorudan 3 soru seçerse geriye kalan 9 sorudan 5 soru seçer. Bu durum= 126 farklı seçim yapar. O hâlde, 252 + 126 = 378 değişik biçimde soru seçer.
ÖRNEK
Yüksek öğrenimde eğitim gören 5 öğrenci, öğrenci değişim programıyla A ve B ülkelerine gönderilecektir. Her ülkeye en az bir öğrenci gönderilecek şekilde yapılan seçimin kaç değişik biçimde
olacağını bulalım.
ÇÖZÜM
A ülkesine 1 öğrenci, B ülkesine 4 öğrenci:
( )( )
=5
A ülkesine 2 öğrenci, B ülkesine 3 öğrenci:
( )( )
= 10
A ülkesine 3 öğrenci, B ülkesine 2 öğrenci:
( )( )
= 10
A ülkesine 4 öğrenci, B ülkesine 1 öğrenci:
( )( )
=5
5
1
5
2
5
3
5
4
.
.
.
.
4
4
3
3
2
2
1
1
Toplam 5 + 10 + 10 + 5 = 30 değişik biçimde seçim yapılabilir.
ÖRNEK
Bir otomobil firması 8 farklı otomobili A, B ve C isimle üç bayisine, birine 4, diğerlerine 2 şer
olmak üzere dağıtacaktır. Bu dağıtımın kaç farklı biçimde olacağını bulalım.
ÇÖZÜM
Bu 8 aracın dağıtımı,
A B
C
4
2
2
4
2
2
2
2
4
3!
2!
112
.
biçimde olabilir. Bu durumların sayısı tekrarlı permütasyon yardımıyla,
( )( )( )
5
2
.
3
3
.
3
3
= 3.70.6.1 = 1260 farklı biçimdedir.
ÖRNEK
Aşağıdaki özelliklerin doğruluğunu gösterelim.
1) C(n, r) = C(n, n - r)
2) C(n, 0) = C(n, n) = 1
3) C(n, 1) = C(n, n - 1) = n
4) C(n, 0) + C(n, 1) + .... + C(n, n) = 2
n
5) C(n, r - 1) + C(n, r) = C(n + 1, r)
ÇÖZÜM
1) C(n, r) =
C(n, n - r) =
=
n!
olduğundan,
(n - r)!.r!
n!
[n - (n - r)]!.(n - r)!
n!
n!
=
= C(n, r) dir.
[n - n + r]!.(n - r)! r!.(n - r)!
2) C(n, 0) =
n!
n!
=
=1
(n - 0)!.0!
n!.1
C(n, 0) = C(n, n) = 1 dir.
n!
n!
C(n, n) =
=
=1
(n - n)!.n!
0!.n!
3) C(n, 1) =
n.(n - 1)!
n!
=
=n
(n - 1)!.1!
(n - 1)!.1
C(n, n - 1) =
C(n, 1) = C(n, n - 1) = n dir.
n.(n - 1)!
n!
n!
=
=
=n
[n - (n - 1)]!.(n - 1)! [n - n + 1]!.(n - 1)! 1.(n - 1)!
4) n elemanlı bir kümenin, 0, 1, 2, .... , n elemanlı alt kümelerinin sayılarının toplamı tüm alt kün
melerinin sayısına eşit olacağından C(n, 0) + C(n, 1) + ..... + C(n, n) = 2 olur.
5) Pascal üçgeninin,
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
biçiminde olduğunu biliyoruz.
113
Bu üçgeni kombinasyon ile
()
0
0
() ()
1
1
0
1
() () ()
2
2
2
0
1
2
() () () ()
3
3
3
3
0
1
2
3
() () () () ()
4
4
4
4
4
0
1
2
3
4
() () () () () ()
5
5
5
5
5
5
0
1
2
3
4
5
biçiminde yazabiliriz. Buradan,
() () ()
() () ()
() () ()
1
0
2
1
4
2
+
+
+
1
1
2
2
4
3
=
=
=
2
1
3
2
5
3
..........................
olduğu görülür.
Bu durum genel olarak,
( ) () (
n
r-1
+
n
r
=
n+1
r
)
veya
C(n, r - 1) + C(n, r) = C(n + 1, r) biçiminde gösterilir. Ayrıca Pascal üçgenine Ömer Hayyam
üçgeni adı da verilir.
ÖRNEK
C(n, 7) = C(n, 3) ise n değerini bulalım.
ÇÖZÜM
C(n, r) = C(n, n - r) özelliğini kullanırsak,
C(n, 7) = C(n, 3) eşitliğinde r = 7, n - r = 3 olur.
Buradan,
n - 7 = 3 ise n = 10 bulunur.
ÖRNEK
C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, n) = 12 eşitliğini sağlayan n değerini bulalım.
114
ÇÖZÜM
C(n, 0) = 1, C(n, 1) = n ve C(n, n) = 1 değerlerini,
C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, n) = 12 eşitliğinde yerine yazarsak
1 + n + 1 = 12 ⇒ n = 10 bulunur.
ÖRNEK
C(9, 0) + C(9, 1) + C(9, 2) + ... + C(9, 8) toplamını bulalım.
ÇÖZÜM
C(9, 0) + C(9, 1) + ... + C(9, 8) = 29 - C(9, 9) = 512 - 1 = 511 dir.
ÖRNEK
C(12, 8) + C(12, 9) + C(13, 10) + C(14, 11) toplamı bulalım.
ÇÖZÜM
= C(12, 8) + C(12, 9) + C(13, 10) + C(14, 11)
=
=
C(13, 9) + C(13, 10) + C(14, 11)
C(14, 10) + C(14, 11) = C(15, 11) bulunur.
Buradan, C(15, 11) =
15!
= 1365 tir.
4!.11!
UYGULAMA
1) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
a) 3 kız ve 4 erkek öğrenci arasından 2 si kız, biri erkek olmak
üzere 3 kişi kaç değişik şekilde seçilebilir?
b) 10 öğrenci arasından 5 kişilik bir basketbol takımı seçilecektir. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?
c) 9 öğrenciden 3 ü spor kulübüne, 2 si satranç kulübüne seçilecektir. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?
ç) 2 doktor ve 4 hemşire arasından 3 kişilik bir sağlık ekibi seçilecektir. Sağlık ekibinde en az 1 doktor olmak üzere kaç farklı ekip
oluşturulabilir?
d) 8 futbol takımının katıldığı bir turnuvada her takım diğerleriyle bir maç yapacaktır.Bu turnuvada toplam kaç maç yapılır?
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
()
( )( )
2
1
.
4
2
+
2
2
.
4
1
10
5
3
2
9
3
.
.
4
1
9
2
8
2
9
3
.
6
2
2) Aralarında Levent ve Oya’nın da bulunduğu bir tiyatro grubunda bir oyun için 8 erkek oyuncu
arasından 5 erkek, 5 kadın oyuncu arasından 3 kadın oyuncu seçilecektir.
a) Bu oyun için kaç değişik oyuncu seçimi yapılabilir?
b) Levent, Oya ile oynamak istemediğine göre bu oyun için kaç değişik oyuncu seçimi yapılabilir?
3) 8 seçmeli dersten belli 3 ü aynı saatte okutulmaktadır. Bu derslerden 4 ders seçmek isteyen
bir öğrenci ders seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?
115
4) Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz.
() () () () () ()
........
a) 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 2
dir.
1
2
3
4
5
6
b)
() ()
c)
() ()
n
2
n
0
+
+
n
ise n = .............. dir.
5
n
n
= ............... dir.
5) Bir öğrenci girdiği 10 soruluk bir sınavda 6 soruyu cevaplayacaktır. İlk dört sorudan en az
üçünü cevaplamak şartıyla toplam 6 soruyu kaç değişik şekilde seçebilir?
A) 80
B) 90
6)
C) 92
D) 95
E) 98
Yandaki şekilde aynı düzlemde birbirine paralel 5 doğru ile
yine birbirine paralel 4 doğru kesiştiriliyor.
a) Birbirine paralel 5 doğrudan herhangi ikisini ve bunları kesen 4 doğrudan herhangi ikisini seçtiğimizde bir paralel kenar oluşur mu?
b) Şekilde en çok kaç tane paralel kenar meydana gelmiştir?
7)
B
A
C
Yandaki şekilde çember üzerinde sekiz nokta verilmiştir.
Köşeleri bu noktalardan seçilen,
a) Kaç üçgen oluşturulabilir?
b) Bir köşesi A olan kaç üçgen oluşturulabilir?
8)
Yandaki paralel doğrular üzerinde işaretlenmiş olan dokuz
noktadan herhangi üçünü köşe kabul eden kaç üçgen çizilebilir?
9) C(13, 2n - 5) = C(13, n) eşitliğinde n nin alabileceği değerleri bulunuz.
10) C(15, 7) + C(15, 8) + C(16, 9) + C(17,10) = C(18, r) eşitliğinde r nin alabileceği değerleri
bulunuz.
11) Aşağıdaki eşitliklerde n değerini bulunuz.
a) P(n, 2) = 30
116
b) C(n, 2) + P(n, 2) = 3
c)
C(n, 3)
C(n, 5)
=
2
3
BİNOM AÇILIMI
1 tane
2 tane
3 tane
4 tane
Her bir sırada bulunan uçak sayısındaki değişimi söyleyiniz.
ETKİNLİK
Aşağıdaki ifadeler çarpanlara ayırma yöntemlerinden faydalanarak yazılmıştır. İnceleyiniz.
0
(a + b) = 1
1
(a + b) = 1.a + 1.b
2
2
3
3
2
(a + b) = 1.a + 2.a.b + 1.b
2
2
3
(a + b) = 1.a + 3.a .b + 3.a.b + 1.b
Her bir açılımda kaç terim oluştuğunu söyleyiniz. Terim sayısını açılımın derecesi ile karşılaştırınız.
Yapılan açılımların her bir terimindeki a ve b değişkenlerinin kuvvetlerini inceleyiniz. Herhangi bir terimdeki a ve b nin kuvvetleri toplamını açılımın derecesi ile karşılaştırınız.
Açılımlarda oluşan katsayılar ile aşağıda verilen Pascal üçgenindeki (Hayyam üçgenindeki)
5
sayıları ve bu üçgendeki sayıların kombinasyonla yazılımını karşılaştırınız ve (a + b) açılımını yapınız.
()
0
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
5
0
1
3
6
10
0
1
5
2
0
3
1
4
10
()
(
1
() (
() ()
4
4
0
1
5
5
0
1
() (
) ()
() (
) ()
() (
1
1
0
1
2
)
()
2
1
2
3
3
1
2
4
2
5
5
2
3
) ()
() ()
) () ()
3
3
4
4
3
4
5
5
4
5
(a + b)5 açılımında 2. terimi inceleyiniz. Katsayısı ve değişkenlerin kuvvetleri arasındaki ilişkiyi söyleyiniz.
(a + b)n açılımını yapınız ve açılımda kaç terim olduğunu belirtiniz. Baştan (r+1). terimi yazınız.
ÖRNEK
7
(x − 2) açılımında baştan 4. terimi bulalım.
117
ÇÖZÜM
7
(x − 2) =
()
()
()
()
()
7 7
7 6
7 5
7 4
7 0
0
1
2
3
7
.x .(−2) +
.x .(−2) +
.x .(−2) +
.x .(−2) + .... +
.x .(−2)
0
1
2
3
7
1. terim
2. terim
Bu durumda baştan 4. terim
3. terim
4. terim
8. terim
()
7
3
.x4.(−8) = −280.x4 tür.
n
(a + b) açılımında, (n + 1) terim vardır. Her terimde a ve b nin üsleri toplamı n dir.
Baştan (r + 1).terim:
()
n n−r r
.a .b olarak verilmektedir.
r
ÖRNEK
(
x2 +
1
x
)
11
açılımında baştan 5. terimi bulalım.
ÇÖZÜM
n = 11 ve r + 1 = 5 ise r = 4 bulunur. Buradan,
( )
()
4
14
11 .(x2)11-4. 1 = 330.(x2)7. 1 = 330. x = 330.x10 bulunur.
4
x
x
4
x
ÖRNEK
(
2x −
1
x
)
8
açılımında sondan 3. terimi bulalım.
ÇÖZÜM
Açılımda 9 terim olduğunda sondan 3. terim baştan 7. terim olur. Bu durumda r + 1 = 7 ve r = 6
bulunur.
()
( )
8 .(2x)8-6. − 1
x
6
6
2
112
2
= 28.(2x) . 1 = 112. x =
bulunur.
6
4
6
x
x
x
ÖRNEK
15
(a2 + a.b3)
26
n
açılımındaki bir terim m.a .b ise m ve n sayılarını bulalım.
ÇÖZÜM
( )(
( )
( )
15 . a2)15-r.(a.b3)r eşitliğini düzenlersek,
r
15 .a30-r.b3r
r
olur. 30 - r = 26 ve n = 3r olması için r = 4, n = 12 bulunur.
15 .a26.b12 = 1365.a26.b12 ise m = 1365 ve n = 12 dir.
4
118
ÖRNEK
( )
x−
10
2
x
açılımında,
4
a) x terimin katsayısını,
b) Sabit terimini bulalım.
ÇÖZÜM
( )
a) x −
( )
10
r
3
açılımında x4 li terimi,
10-2r
x
( )
10
10
2
x
( ) ( ) ( )
10
.x
r
10-r
r
r
−
10 10-r (−2)
2
=
x .
r
x
r
x
r
.(−2) eşitliğinde, 10 − 2r = 4 olmasını sağlayan r = 3 değerini yerine yazarak buluruz.
4
3
4
.x .(−2) = 960.x4 tir. Bu durumda, x lü terimin katsayısı ise −960 olarak bulunur.
( )
10-2r
r
b) Sabit terim ise x0 lı terimdir. 10 .x
.(−2) eşitliğinde 10 − 2r = 0 için r = 5 bulunur.
r
( )
( )
0
5
Bu durumda, sabit terim 10 .x .(−2) = −32. 10 = −8064 olarak bulunur.
5
5
ÖRNEK
6
(32 + 2)
açılımındaki rasyonel terimleri bulunuz.
ÇÖZÜM
( )(
6 . 32 )6 - r.(2)r açılımında irrasyonel ifadeleri rasyonel yapabilmek için r yerine 0 ve 6 değerler
rini vermeliyiz.
Bu durumda rasyonel terimler,
r = 0 için,
( )(
r = 6 için,
( )(
6 . 32 )6 - 0.(2)0 = 1.(32 )6.1 = 1.22.1 = 4
0
6 . 32 )6 - 6.(2)6 = 1.(32 )0.(2)6 = 1.1.23 = 8 bulunur.
6
UYGULAMA
1) Aşağıda verilen ifadelerin açılımlarını yapınız.
4
a) (2a − b)
5
b) (a + b)
7
c) (a − 2b)
2) Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz.
(
a) 3x −
)
10
2
x
17
b) (x + 2y)
açılımında baştan 3. terimi ............... dır.
açılımından sondan 2. terimi ............... dır.
8
c) (3a − 2b) açılımında baştan 5. terimin katsayısını ............... dır.
119
(
3) x2 + 1
x
)
12
açılımında aşağıdaki istenilenleri bulunuz.
a) Baştan 4. terim (
4) x +
1
x
)
8
A) 1680
b) Sondan 2. terim
açılımındaki sabit terimi bulunuz.
B) 1580
(
)
(
)
5) x2 − 1
x
7
C) 1480
E) 1280
11
= .......... + k.x +.......... eşitliğinde k değeri kaçtır?
9
6) a − 2
2
b
D) 1380
6
n
açılımında bir terim k.a .b ise k + n kaçtır?
7) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
n
a) (x + y) açılımında n tane terim vardır.
( )
b) x − 2
x
4
ç) (x + y)
10
açılımında katsayıların toplamını bulmak için x yerine 1 yazılır. açılımında baştan 3. terimi
( )
10
2
8
2
.x .y dir.
(
)
(
)
(
)
OLASILIK
Olasılığın iki temel prensibi genetik problemlerini çözümünde kullanılır.
AA AA
AA
AA
11
1. Prensip: Şansa bağlı bir olayın bir
defa denenmesinden elde edilen sonuçlar,
aynı olayın daha sonraki denenme sonuçlarını etkilemez.
A a AA
AA
AA
AA
12
AA
Aa
12
1. prensibin genetiğe uygulanması
Genotipi Aa olan bir bireyin olası gamet-
Aa
leri,
1
1
.A + .a dır.
2
2
Aa Aa
a a AA
Genotipi AA olan bir bireyin olası gametAa
Aa
11
Aa
Aa
AA
14
a a Aa
Aa
Aa
12
120
Aa
12
Aa
aa
14
aa
12
aa
aa
aa
11
1
1
.A + .A = Hepsi A dır.
2
2
2. Prensip: İki bağımsız olayın birlikte
olma şansı, onların ayrı ayrı olma şanslarının çarpımına eşittir.
aa aa
aa
leri,
aa
2. prensibin genetiğe uygulanması
Bir ailenin doğacak üç çocuğundan
ikisinin erkek, birinin kız olma olasılığı
nedir? Araştırınız
ETKİNLİK
Bir madeni paranın yazı tura için havaya atılması.
Tavla oyununda oynanacak sayıyı belirlemek için iki zarın atılması.
Süper Lig’deki karşılaşmaların eşleme sırasının belirlendiği kura çekiminin yapılması.
Farklı renklerde bilyeler bulunan torbadan bir top çekilmesi.
Yukarıdaki işlemleri inceleyiniz. Her bir işlemde gelebilecek sonuçları belirtiniz.
Bir zar atılması işleminde,
Gelebilecek sonuçların kümesini yazınız.
Elemanları asal sayılardan oluşan alt kümeyi yazınız.
Elemanları tek sayı olanların alt kümesini ve çift sayı olanların alt kümesini yazarak bu kümeleri karşılaştırınız.
Elemanları 6 dan büyük olan alt kümeyi yazınız.
Elemanları 7 den küçük ve sayma sayılarından oluşan alt kümeyi yazınız.
Yazdığınız alt kümeleri karşılaştırarak benzer ve farklı yanlarını tartışınız.
ÖRNEK
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
İki zarın atılması deneyindeki çıktıların kümesi tablodaki gibidir.
a) Zarların üst yüzüne gelen sayıların aynı olduğu elemanların
oluşturduğu alt kümeyi yazalım.
b) Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamlarının 5 olduğu
alt küme ile 4 olduğu alt kümeyi yazarak karşılaştıralım.
c) Zarların üst yüzüne gelen sayıların çarpımlarının 48 olduğu
alt kümeyi yazalım.
ÇÖZÜM
a) Zarların üst yüzüne gelen sayıların aynı olduğu elemanların kümesi A olsun.
A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
b) Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 5 olduğu küme M, toplamlarının 4 olduğu küme
N olsun. M = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)}, N = {(1, 3), (3, 1), (2, 2)} ve M ∩ N = ∅ dir.
c) Zarların üst yüzüne gelen sayıların çarpımları hiçbir zaman 48 olmayacağından bu küme boş
küme olacaktır.
Bir madeni paranın ya da tavla zarının atılması, kura ile sınıftan bir öğrenci seçilmesi gibi
işlemlerden her birine matematiksel deney denir. Deneyin sonuçlarına ise deneyin çıktıları adı
verilir.
Bir deneyden elde edilebilecek tüm çıktıların kümesine örneklem uzay, örneklem uzayın
her bir elemanına örneklem nokta denir.
Örneklem uzayın her alt kümesine olay denir.
Örneklem uzayın alt kümelerinden boş kümeye imkansız olay, E örneklem uzayına kesin
olay denir.
Bir örneklem uzayında, iki olayın kesişimi boş küme ise bu iki olaya ayrık olaylar denir.
121
ÖRNEK
Bir madeni para havaya,
a) 1 kez atıldığında,
b) 2 kez atıldığında,
c) 3 kez atıldığında örnekleme uzayı yazınız.
ÇÖZÜM
a) Para bir kez atılırsa ya yazı (Y) ya da tura (T) geleceğinden örneklem uzay: E = {Y, T} dir.
b) Para iki kez atılırsa,
1. atış
2. atış
Y
Y
T
T
Y
T
biçiminde olacağından örneklem uzay: E = {(Y Y), (Y T),(T Y), (T T)} dir.
c) Para üç kez atılırsa,
1. atış
Y
2. atış
3. atış
Y
Y
T
T
T
Y
Y
T
Y
T
T
Y
T
biçiminde olacağından örneklem uzay: E = {(YYY), (YYT), (YTY), (YTT), (TYY), (TYT), (TTY), (TTT)}
dir.
UYGULAMA
1) Verilen örnekleri inceleyerek aşağıdaki soruların cevaplarını boşluklara yazınız.
I
a) Bir zar atıldığında üst yüzüne
3 ten büyük bir sayı gelmesi olayını yazınız.
II
................................................................
b) İki madeni para atıldığında ikisinin aynı gelB = {(Y, Y),(T, T)}
mesi olayını yazınız.
c) Bir çift zar atıldığında üst yüzüne gelen saC = {(1,1),(2, 2),(3, 3),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}
yıların aynı gelmesi olayını yazınız.
ç) Üç madeni para atıldığında ikisinin yazı, di................................................................
ğerinin tura gelmesi olayını yazınız.
d) {a, b, c, d} kümesinin iki elemanlı alt kümelerinden biri seçildiğinde içerisinde a olması
olayını yazınız.
................................................................
e) Üç madeni para atıldığında ilk ikisinin yazı,
üçüncüsünün tura gelmesi olayını yazınız.
................................................................
122
2)
2. zar
1. zar
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
İki zarın atılması deneyinde zarların üst yüzüne
gelen sayılar için yukarıdaki tabloyu örneğe uygun biçimde doldurunuz.
Tabloya göre,
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
a) Örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır?
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
b) Toplamlarının 9 olması olayını yazınız.
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
c) Çarpımlarının 6 olması olayını yazınız.
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
ç) İkisinin de aynı sayı gelmesi olayını yazınız.
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
d) En az birinin 3 olması olayını yazınız.
e) Bu deneyde, imkansız olaya ve kesin olaya birer örnek veriniz.
3) 4 elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri küçük kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor. Torbadan
rastgele bir kart seçildiğinde karttaki kümenin iki elemanlı olması olayının eleman sayısını yazınız.
4) İki basamaklı doğal sayılardan rastgele biri seçildiğinde seçilen sayının rakamlarının farklı
olması olayının eleman sayısını bulunuz.
5) Bir kutudaki 8 ampulden 3 ü bozuktur. Kutudan rastgele alınan 3 ampulün 2 sinin sağlam, 1
inin bozuk olması olayının eleman sayısını bulunuz.
6) Hilesiz bir madeni para 3 defa atıldığında, en az bir kez yazı gelmesi olayını yazınız.
7) Bir torbada 5 kırmızı ve 3 sarı bilye vardır. Torbadan alınan 5 bilyenin 3 ünün kırmızı, 2 sinin
sarı bilye olması olayının eleman sayısı kaçtır?
A) 20
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
Christian Huygens (1629–1695), (Kıristiyan Haygıns) Gökbilimci, matematikçi ve fizikçidir. Matematiğe çok küçük yaşta ilgi duymaya başlamıştır.
1656 da olasılık hesabını tanıtan çalışmasını ortaya koymuştur.
OLASILIK FONKSİYONU
ETKİNLİK
Okullar arası futbol turnuvasında, bizim okul takımının şu ana kadar attığı goller göz önüne alındığında oyuncuların gol atma olasılıkları aşağıdaki gibi bulunmuştur.
Oyuncuların gol atma olayları
Gol atma olasılıkları
Bilal (b)
Cemil (c)
Diğer (d)
0,6
0,3
0,1
Bundan sonra bizim takımın yapacağı maçlarda ilk golün atılmasında örneklem uzayı bulunuz.
Örneklem uzayın alt kümelerini yazınız ve bunlardan bir A kümesi oluşturunuz.
Yazdığınız olayların gerçekleşme olasılıklarını bulunuz ve bunlardan bir B kümesi oluşturunuz.
Bulduğunuz olasılıklardan en küçük ve en büyük olanı söyleyiniz.
İki olayın olasılığı ile bu olayların birleşimlerinin olasılığını ilişkilendiriniz.
123
A nın elemanları ile B nin elemanları arasında uygun eşlemeleri yaparak bir P bağıntısı
oluşturalım. P bağıntısı A dan B ye bir fonksiyon belirtir mi? Tartışınız.
ÖRNEK
Aşağıdakilerden hangilerinin bir olayın gerçekleşme olasılığı olabileceğini gösterelim.
a) P(A) = 1
b) P(B) =
5
4
c) P(C) = 0,23 ç) P(D) =
6
7
d) P(M) = 0
ÇÖZÜM
Herhangi bir olayın gerçekleşme olasılığı [0, 1] aralığının elemanı olmalıdır. Bu durumda a, c, ç
ve d seçenekleri bir olayın gerçekleşme olasılıkları olabilir.
ÖRNEK
E = {a, b, c, d} örneklem uzayında, P(a) =
1
1
1
, P(b) = P(d) = ve P(c) = ise P nin bir olasılık
3
4
6
fonksiyonu olup olmayacağını gösterelim.
ÇÖZÜM
P(a) + P(b) + P(c) + P(d) = 1 koşulunun sağlanması gerekir.
P(a) + P(b) + P(c) + P(d) =
1 1 1 1
+ + + = 1 olduğundan P bir olasılık fonksiyonudur.
3 4 6 4
Örneklem uzayın alt kümelerinden oluşan kümeden, [0, 1] aralığında tanımlanan ve aşağıdaki aksiyomları sağlayan fonksiyona olasılık fonksiyonu denir.
A, E örneklem uzayında bir olay olmak üzere,
a) 0 ≤ P(A) ≤ 1,
b) P(E) = 1,
c) A ∩ B = ∅ ise P(A ∪ B) = P(A) + P(B) dir.
A ve B bir E örneklem uzayında iki olay olsun. E de tanımlı P olasılık fonksiyonu için:
1) P(∅) = 0
2) A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
3) P(Aı) = 1 − P(A)
4) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) olur. İspatları aşağıdaki gibidir.
ÖRNEK
E örneklem uzayın herhangi iki olayı A ve B, A olayının tümleyeni Aı olsun. P olasılık fonksiyonu
olmak üzere,
a) A = ∅ ise P(A) nı bulalım.
b) A ⊂ B ise P(A) ile P(B) nı karşılaştıralım.
c) P(Aı) nı bulalım.
ç) P(A ∪ B) nı bulalım.
124
ÇÖZÜM
1) A = ∅ ise s(A) = 0 dır. Bu durumda, P(A) =
2) A ⊂ B ise s(A) ≤ s(B) olur. P(A) =
ı
s(A)
s(E)
s(A)
s(E)
=
ve P(B) =
0
s(E)
s(B)
s(E)
= 0 dır.
iken P(A) ≤ P(B) dır.
ı
3) A ∪ A = E ise s(A) + s(A ) = s(E) dir. Her iki tarafı s(E) ile bölersek,
s(A)
s(E)
ı
+
s(A )
s(E)
s(A)
= 1 dir. P(A) =
s(E)
ı
ve P(A ) =
ı
s(A )
s(E)
ı
ise P(A) + P(A ) = 1 dir.
ı
Bu durumda, P(A ) = 1 - P(A) bulunur.
4) s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B) dir. Her iki tarafı s(E) ile bölersek,
s(A ∪ B)
s(E)
=
s(A)
s(E)
+
s(A)
s(E)
s(A ∩ B)
-
s(E)
olur.
Bu durumda, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) dir.
ÖRNEK
E = {a, b, c} örneklem uzayında P bir olasılık fonksiyonu ve P(a) =
bulalım.
5
1
ve P(b) =
ise P(c) yi
12
2
ÇÖZÜM
P(a) + P(b) + P(c) = 1 ise
5
1
1
+ + P(c) = 1 dir. Buradan P(c) =
bulunur.
12 2
12
ÖRNEK
A, B ve C adında üç koşucunun bulunduğu bir yarışta yarışı A, B ve C nin kazanma olasılıkları
P(A), P(B) ve P(C) dir.
P(A) + P(B) =
3
5
ve P(B) + P(C) =
ise P(A) + P(C) kaçtır?
4
8
ÇÖZÜM
P(A) + P(B) + P(C) = 1
⇒
P(A) +
3
+ P(C) = 1
4
5
=1
8
P(A) + P(C) =
⇒
P(C) =
⇒
P(A) =
1
4
3
8
1 3 5
+ =
bulunur.
4 8 8
125
ÖRNEK
Bir zarın atılması deneyinde,
a) 6 gelmemesi olasılığını,
b) Asal veya çift sayı olma olasılığını bulalım.
ÇÖZÜM
a) 6 gelme olasılığı
1-
1
olduğundan, 6 gelmeme olasılığı:
6
1 5
=
olur.
6 6
b) Asal olma olayı A, çift sayı olma olayı B olsun.
P(A) =
3 1
3 1
1
= , P(B) = = , P(A ∩ B) = olur.
6 2
6 2
6
Gelen sayının asal veya çift sayı olma olasılığı:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
1 1 1 5
=
+ - =
dır.
2 2 6 6
UYGULAMA
1) E = {a, b, c} örneklem uzayında, aşağıda verilenlere bakarak hangilerinin bir olasılık fonksiyonu olabileceğini belirtiniz.
a) P(a) =
1
1
1
, P(b) = , P(c) = 2
3
6
b) P(a) =
1
1
1
, P(b) = , P(c) =
2
2
2
1
3
ç) P(a) =
1
1
, P(b) = P(c) =
4
3
c) P(a) = P(b) = P(c) =
2) E = {a, b, c, d} örneklem uzayında P(a) =
1
2
1
, P(c) =
, P(d) =
verilmiştir. Buna göre aşa3
15
5
ğıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz.
a) P(a) = ............... dır.
b) P(a) + P(b) = ............... dır.
c) P(a) + P(b) + P(c) + P(d) = ............... dır.
3) A, B ve C nin bulunduğu bir yarışta A, B ve C nin kazanma olasılıkları P(A), P(B), P(C) dir.
P(A) + P(B) =
126
A)
2
3
11
3
, P(B) + P(C) = ise P(B) kaçtır?
12
4
B)
1
12
C)
3
4
D)
1
2
E)
1
6
EŞ OLASILI (OLUMLU) ÖRNEKLEM UZAY
ETKİNLİK
Bir atletizm yarışmasında 100 m yarışına 8 atlet
katılacaktır.
Bu yarışın sonucunda atletlerin her birinin yarışı kazanma olasılıklarını, atletlerin bireysel
özelliklerini düşünerek yorumlayınız. Olasılıklar eşit olabilir mi?
10 öğrencinin isimleri eşit büyüklükteki kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor. Torbadan bir kart
çekilip üzerindeki isim okunuyor.
Her bir öğrencinin isminin okunma olasılığı eşit midir? İsimlerin okunma olasılıklarını bulunuz.
Her bir örneklem noktasının olasılıkları eşit olan bir örneklem uzayda bir olayın olasılığının
nasıl hesaplanabileceğini tartışınız.
ÖRNEK
Rakamlar kümesinden seçilen bir rakamın,
a) 1 olma olasılığını,
b) 3 olma olasılığını,
c) 5 olma olasılığını bulalım.
ÇÖZÜM
Rakamlar kümesinin oluşturduğu örneklem uzay, E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dir.
a) 1 in seçilmesi olasılığı
b) 3 ün seçilme olasılığı
c) 5 in seçilme olasılığı
1
dur.
10
1
dur.
10
1
dur.
10
Her bir örneklem noktasının olasılıkları eşit olan örneklem uzaya, eş olumlu (olasılı) örneklem uzay denir. Eş olumlu örnek uzayda, bir A olayının olasılığı, A nın eleman sayısının
örneklem uzayın eleman sayısına oranı olarak verilir ve
P(A) =
A olayının eleman sayısı
s(A)
=
bağıntısı ile gösterilir.
E olayının eleman sayısı
s(E)
127
ÖRNEK
E = {x, y, z, t, k} eş olumlu örneklem uzay ise her bir örneklem noktanın olasılığını bulalım.
ÇÖZÜM
E = {x, y, z, t, k} eş olumlu örneklem uzay olduğuna göre,
P(x) = P(y) = P(z) = P(t) = P(k) = a olsun.
P(x) + P(y) + P(z) + P(t) + P(k) = 1 ⇒ a + a + a + a + a + a = 1 dir.
Buradan, a =
1
1
bulunur. Buna göre, P(x) = P(y) = P(z) = P(t) = P(k) =
olur.
5
5
ÖRNEK
Bir torbada 4 mavi, 3 sarı ve 5 beyaz top vardır. Bu torbadan rastgele çekilen bir topun,
a) Mavi renkte olma olasılığı,
b) Sarı renkte olma olasılığı,
c) Sarı veya beyaz renkte olma olasılığı,
ç) Beyaz renkte olmama olasılığını bulalım.
ÇÖZÜM
a) Mavi renkte olma olasılığı P(M) =
b) Sarı renkte olma olasılığı P(S) =
4
1
=
tür.
12 3
3
1
=
tür.
12 4
c) Sarı veya beyaz renkte olma olasılığı bulunurken bu iki olay ayrık olduğundan
P(S) + P(B) =
3
5
8
2
+
=
=
bulunur.
12 12 12 3
ç) Beyaz renkte olmama olasılığı P(Bı) =
7
dir.
12
ÖRNEK
4 erkek ve 7 kızdan oluşan bir gruptan rastgele 5 kişi seçilecektir. Seçilen bu grupta,
a) 2 erkek 3 kız bulunma olasılığını,
b) En az 3 erkek bulunma olasılığını bulalım.
ÇÖZÜM
a) 5 kişilik bir grupta 2 erkek 3 kız bulunma olasılığı P(A) olsun.
P(A) =
128
( )( )
( )
4 . 7
2
3
11
5
=
5
11
dir.
b) En az üç erkek bulunması olasılığı, grupta 3 erkek 2 kız bulunma olasılığı ile 4 erkek ve 1 kız
bulunma olasılığının toplamı P(B) olsun.
P(B) =
( )( ) ( )( )
( )
( )
4 . 7
3
2
11
5
+
4 . 7
4
1
11
5
=
19
66
dir.
ÖRNEK
İki zarın havaya atılması deneyinde,
a) Üste gelen sayıların toplamının 5 olması olasılığını,
b) Üste gelen sayıların çarpımlarının 8 olması olasılığını,
c) Üste gelen sayıların her ikisinin de tek olması olasılığını,
ç) Üste gelen sayıların çarpımlarının 5 ile bölünebilmesi olasılığını bulalım.
ÇÖZÜM
a) Üste gelen sayıların toplamının 5 olması olayına A diyelim.
A = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} ise s(A) = 4 tür.
Örneklem uzayın eleman sayısı da s(E) = 6.6 = 36 olduğundan
P(A) =
4
1
s(A)
=
=
bulunur.
s(E) 36 9
b) Üste gelen sayıların çarpımlarının 8 olması olayı B olsun.
B = {(2, 4), (4, 2)} ise P(B) =
2
1
s(B)
=
=
dir.
s(E) 36 18
c) Üste gelen sayıların her ikisinin de tek sayı olması olayı C olsun.
C = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)} ise,
P(C) =
s(C)
s(E)
=
9
36
=
1
4
tür.
ç) Üste gelen sayıların çarpımlarının 5 ile bölünebilmesi olayı D olsun.
D = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6)} ise,
P(D) =
s(D)
s(E)
=
11
36
bulunur.
ÖRNEK
16 kız ve 12 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta kızların 8 i, erkeklerin 7 si gözlüklüdür. Sınıftan rastgele seçilen iki öğrencinin,
a) Birinin erkek, diğerinin kız olması olasılığını,
b) İkisinin de erkek olması olasılığını,
c) İkisinin de gözlüklü olma olasılığını,
ç) İkisinin de gözlüklü ve erkek olma olasılığını,
d) İkisinin de gözlüklü veya erkek olma olasılığını bulalım.
129
ÇÖZÜM
( )( )
( )
( )
( )
12 . 16
1
1
a)
28
2
c)
15
2
28
2
=
=
5
18
32
b)
63
ç)
(
(
(
(
d) P(G ∪ E) = P(G) + P(E) - P(G ∩ E) =
28
2
)
)
)
)
5
+
12
2
28
2
7
2
18
=
=
11
63
Gözlüksüz
Gözlüklü
Kız
8
8
Erkek
5
7
1
18
11
63
-
1
18
=
50
126
=
25
63
ÖRNEK
Üç madeni para atılması deneyinde,
a) Üçünün de tura gelmesi olasılığını,
b) İkisinin yazı, diğerinin tura gelmesi olasılığını bulalım.
ÇÖZÜM
Örneklem uzay, E = {(Y,Y,Y), (Y,Y,T), (Y,T,Y),(T,Y,Y),(T,T,Y),(T,Y,T),(Y,T,T),(T,T,T)} dir. s(E) = 8 dir.
a) Üçünün de tura gelmesi olayı A = {(T,T,T)} ise s(A) = 1 dir. P(A) =
s(A) 1
=
dir.
s(E) 8
b) İkisinin yazı, diğerinin tura gelmesi olayı,
B = {(Y,Y,T), (Y,T,Y), (T,Y,Y)} dir. s(B) = 3 tür. P(B) =
s(B) 3
=
dir.
s(E) 8
UYGULAMA
1) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) Bir parayı iki kez havaya attığımızda üste gelen yüzlerin yazı olma olasılığı
b) Bir zar atıldığında üste gelen yüzün en az 5 olması olasılığı
1
3
1
4
tür. tür. ç) Biri 25 Kr diğeri 50 Kr olan iki para havaya atıldığında en çok birinin yazı gelmesi olasılığı
2
3
tür.
ç) Yüksel’e göre yarın havanın yağışlı olma olasılığı % 30 ise havanın yağışlı
olmama olasılığı
1
3
tür. d) Bir çift zar atıldığında zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 10 olması olasılığı
130
1
12
dir.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2) E = {x, y, z, t} eş olumlu bir örneklem uzay olduğuna göre,
a) P({x}) = P({y}) = P({z}) = P({t}) olur mu? P({x}) değeri kaçtır?
b) P({y}) + P({t}) değerini bulunuz.
c) P({z}) + P({t}) + P({x}) değerini bulunuz.
3) Bir torbada aynı büyüklükte 2 beyaz, 3 kırmızı top vardır. Bu torbadan rastgele çekilen bir
bilyenin,
a) Beyaz olması olasılığını bulunuz.
b) Kırmızı olması olasılığını bulunuz.
c) Kırmızı veya beyaz olma olasılığını bulunuz.
4) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
11
120
Bir torbada bulunan 2 kırmızı, 3 beyaz, 5 sarı boncuk
arasından üçü çekiliyor. Buna göre,
20
a) Her birinin farklı renkte olması olasılığı kaçtır?
119
b) Üçünün de aynı renkte olması olasılığı kaçtır?
c) İkisinin beyaz birinin kırmızı olması olasılığı kaçtır?
4
ç) En az birinin kırmızı olması olasılığı kaçtır?
8
d) Sarı olmama olasılığı kaçtır?
e) En çok ikisinin beyaz olma olasılığı kaçtır?
1
120
1
15
1
12
2
3
5) Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz.
İki zar birlikte atıldığında zarların üst yüzüne gelen sayıların,
a) Toplamının 7 olma olasılığı ................................ dır.
b) Çarpımlarının tek sayı olma olasılığı ................................ dır.
c) En az birinin tek sayı olma olasılığı ................................ dır.
ç) En az birinin 2 olma olasılığı ................................ dır.
d) Toplamlarının 3 ile bölünebilen bir sayı olma olasılığı ................................ dır.
6) 7 öğretmen, 5 öğrenci arasından üç kişilik bir ekip oluşturulduğunda bu ekibin,
a) Üçünün de öğrenci olma olasılığını bulunuz.
b) İkisinin öğretmen olma olasılığını bulunuz.
c) En az birinin öğrenci olma olasılığını bulunuz.
131
7) 5 evli çift arasından iki kişi seçiliyor. Seçilen iki kişinin birbiriyle evli olma olasılığını bulunuz.
8) A, B ve C atlarının koştuğu bir yarışta, A nın kazanma olasılığı B nin 3 katı, B nin kazanma
olasılığı C nin 4 katıdır. A nın kazanma olasılığı nedir?
9) Herhangi üçü aynı doğru üzerinde olmayan A, B, C, D, E, F, G noktaları veriliyor. Köşeleri bu
noktalar olmak üzere oluşturulabilecek üçgenlerden rastgele biri seçiliyor. Bu üçgenin bir köşesi B
olan bir üçgen olma olasılığı kaçtır?
10) 19 kız ve 11 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta öğrenciler müzik ve resim derslerinden
birini seçmektedir. 12 kız ve 5 erkek müzik dersini seçtiğine göre, bu sınıftan rastgele seçilen bir
öğrencinin resim dersini seçen veya erkek bir öğrenci olma olasılığını bulunuz.
KOŞULLU OLASILIK
ETKİNLİK
30 kişilik bir sınıfta, 19 kişi basketbol,
13 kişi voleybol oynamaktadır. Her ikisini
de oynayanlar 5 kişidir.
Basketbol oynayanlar kümesini B ile voleybol oynayanlar kümesini V ile ifade ederek verilenleri Venn şeması ile gösteriniz.
Bu sınıftan rastgele bir öğrenci seçildiğinde,
B
V
1) Örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz.
2) Seçilen öğrencinin her iki oyunu oynama olasılığını bulunuz.
Sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin arasından rastgele bir öğrenci seçildiğinde,
3) Örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz.
B
V
4) Seçilen öğrencinin her iki oyunu da oynayan öğrenci olma olasılığını bulunuz.
1 ve 3 teki her iki deneyin örneklem uzaylarının eşit olmama sebebi sizce nedir ve 2 ve 4 teki
olaylar aynı olmasına rağmen, olasılıkların farklı olmasının sebebini açıklayınız.
ÖRNEK
Üç madeni paranın atılması deneyinde,
a) Üçünün de yazı gelme olasılığını,
b) Birincinin yazı gelme olasılığını
c) Birincinin yazı geldiği bilindiğine göre, üçünün de yazı gelme olasılığını bulunuz.
132
ÇÖZÜM
Üç madeni paranın atılması deneyinde örneklem uzay,
E = {(T,T,T), (T,Y,Y), (T,T,Y), (T,Y,T), (Y,Y,Y), (Y,T,Y), (Y,Y,T), (Y,T,T)} dır.
a) Üçünün de yazı gelme olayı A = {(Y,Y,Y)} ise
P(A) =
s(A)
1
=
s(E)
8
dir.
b) Birincinin yazı gelme olayı B = {(Y,Y,Y), (Y,T,Y), (Y,Y,T), (Y,T,T)} ise
P(B) =
s(B)
4
=
s(E)
8
=
1
dir.
2
c) Birincinin yazı geldiği bilindiğine göre yeni örneklem uzay, {(Y,Y,Y), (Y,T,Y), (Y,Y,T), (Y,T,T)}
olur.
Üçünün de yazı gelme olasılığı:
s(A)
s(B)
=
1
4
tür.
Eş olumlu E örneklem uzayının herhangi iki olayı A ve B olsun. P(B) > 0 ise, B olayının
gerçekleşmesi hâlinde, A olayının gerçekleşmesi olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu
olasılığı denir ve P(AB) biçiminde gösterilir. Koşullu olasılık,
P(AB) =
P(A ∩ B)
P(B)
=
s(A ∩ B)
s(B)
bağıntısı ile hesaplanır.
Koşullu olasılıktan elde edilen P(A ∩ B) = P(AB).P(B) eşitliğine olasılıkta çarpma kuralı
denir.
ÖRNEK
Bir zar atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayının 4 ten küçük olduğu bilindiğine göre 3 gelme olasılığını bulalım.
ÇÖZÜM
Örneklem uzay, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Gelen sayının 4 ten küçük olması olayı, B = {1, 2, 3} tür.
Gelen sayının 3 olması olayı, A = {3} tür. A ∩ B = {3} tür.
P(B) =
s(B)
s(E)
P(A ∩ B) =
=
3
6
=
1
2
s(A ∩ B)
s(E)
,
=
1
6
1
O hâlde, A nın B koşullu olasılığı, P(AB) =
P(A ∩ B)
P(B)
=
6
1
=
1
3
bulunur.
2
133
UYGULAMA
1) İki zar birlikte atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayıların toplamının 8 olduğu bilindiğine göre
zarın üst yüzüne gelen sayıların aynı olma olasılığı kaçtır?
1
1
1
1
1
A) B) C) D) E)
2
3
4
5
6
2) Bir sınıftaki öğrencilerin %20 si matematik, %24 ü fizik dersinden kalmıştır. Matematik dersinden kalanların %60 ı fizik dersinden de kalmıştır. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin fizik dersinden geçtiği bilindiğine göre, matematik dersinden kalmış olma olasılığı nedir?
3) Bir ülkedeki otomobillerin %60 ı yerli üretim diğerleri ise yabancı üretimdir. Yerli otomobillerin
%15 i, yabancı otomobillerin % 10 u arızalı çıkmıştır. Otomobillerden rastgele biri seçildiğinde, otomobilin arızalı olduğu bilindiğine göre bu otomobilin yerli otomobil olma olasılığını bulunuz.
4) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) Bir zar atılması deneyinde zarın üst yüzüne gelen sayının asal sayı olduğu
bilindiğine göre tek sayı olma olasılığı 2 tür. 3
b) İki madeni paranın atılması deneyinde ikisinin de aynı geldiği bilindiğine göre
birinin yazı diğerinin yazı gelmesi olasılığı 1 tür. 4
(
)
(
)
BAĞIMLI VE BAĞIMSIZ OLAYLAR
ETKİNLİK
Bir zar ile bir paranın birlikte atılma deneyinde örneklem uzayı yazınız.
Bu deneyde, A zarın tek gelme, B paranın tura gelme olasılığı olsun.
1. Zarın tek ve paranın tura gelme olasılığını yazınız. P(A ∩ B) = .............
2. Bu deneyde zarın tek gelme olasılığını bulunuz.
3. Bu deneyde paranın tura gelme olasılığını bulunuz.
P(A) = ...............
P (B) = ................
Bu üç durumu inceleyerek bulduğunuz sonuçları karşılaştırınız.
Bir örneklem uzayın iki olayı A ve B için P(A ∩ B) = P(A).P(B) eşitliği hangi durumlarda sağlanır? Tartışınız.
ÖRNEK
İki torbanın birincisinde 3 naneli ve 4 çilekli, ikincisinde 2 naneli ve 3 çilekli sakız vardır. Bu iki
torbanın her birinden birer sakız seçildiğinde ikisinin de çilekli olma olasılığını bulalım.
134
ÇÖZÜM
1. torbadan çilekli bir sakız seçme olasılığı
2. torbadan çilekli bir sakız seçme olasılığı
4
7
3
5
dir.
tir.
Bu iki torbanın her birinden birer sakız seçildiğinde ikisinin de çilekli olma olasılığını
4 3 12
. =
7 5 35
olarak buluruz.
E örneklem uzayında iki olay A ve B olsun.
P(A) > 0 olmak üzere,
P(A ∩ B) = P(A).P(B) ise A olayı, B olayından bağımsızdır denir. İki olay bağımsız değil
ise bunlara bağımlı olaylar adı verilir.
ÖRNEK
İki zar ile iki madeni paranın atılması deneyinde,
a) Zarların üst yüzüne gelen sayıların aynı ve paraların her ikisinin de tura gelmesi olasılığını,
b) Zarların üst yüzüne gelen sayıların aynı veya paraların her ikisinin de tura gelme olasılığını
bulalım.
ÇÖZÜM
a) İki zarın atılması deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı 36 dır. İki zarın üst yüzüne gelen
sayıların aynı olması olayı A ise, A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} dır.
Buradan, s(A) = 6 dır. P(A) =
6
36
=
1
bulunur.
6
b) İki madeni para atılması deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı 4 tür.
İki madeni para atılması deneyinde paraların ikisinin de tura gelmesi olayı B ise, B = {(T, T)} dır.
Buradan, s(B) = 1 dir. P(A) =
1
4
tür. Bu durumda, P(A ∩ B) = P(A).P(B) =
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) =
1
6
+
1
4
-
1
24
=
9
24
=
3
8
1 1
1
. =
6 4 24
bulunur.
ÖRNEK
A ve B adında iki nişancının bir hedefi vurma olasılıkları sırasıyla
3
7
ve
5
8
dir. Bu nişancılar aynı
hedefe birer atış yaptıklarında,
a) Yalnız A nın hedefi vurma olasılığını,
b) A ve B nin hedefi vurma olasılığını,
c) Hedefin vurulma olasılığını bulalım.
135
ÇÖZÜM
A nın ve B nin hedefi vurma olasılıkları sırasıyla P(A) =
a) B nin hedefi vurmama olasılığı, P(Bı) = 1 - P(B) =
P(A).P(Bı) =
3
8
3
7
ve P(B) =
5
8
dir.
ise yalnız A nın hedefi vurma olasılığı;
3 3
9
. =
bulunur.
7 8 56
b) A ve B nin hedefi vurma olasılığı,
P(A).P(B) =
3 5 15
. =
bulunur.
7 8 56
c) İkisinin de hedefi vurmama olasılığı,
P(Aı).P(Bı) =
4 3
3
3
11
. =
ise hedefin vurulma olasılığı: 1 =
olur.
7 8 14
14 14
ÖRNEK
A torbasında 4 mavi, 6 beyaz, B torbasında ise 2 mavi, 3 beyaz bilye vardır.
a) A dan B ye bir bilye atılıp, B den bir bilye çekildiğinde bu bilyenin beyaz renkte olma olasılığını,
b) A dan B ye bir bilye atılıp, B den A ya tekrar bir bilye atıldığında torbalardaki renk durumunun
bozulmama olasılığını bulalım.
ÇÖZÜM
a) A dan mavi bilye çekilip B ye atıldığında B den beyaz bilye çekilme olasılığı,
4 3 12 1
. =
=
bulunur.
10 6 60 5
A dan beyaz bilye çekilip, B ye atıldığında B den beyaz bilye çekilme olasılığı,
6 4 24 2
. =
=
olur.
10 6 60 5
Bu durumda,
2
5
+
1
5
=
3
5
bulunur.
b) Renk durumunun bozulmaması için A dan B ye beyaz bilye atıldığında B den de A ya beyaz
bilye atılmalıdır veya A dan B ye mavi atıldığında B den A ya mavi atılmalıdır.
A
136
6 4 2
. =
10 6 5
4 3 1
. =
10 6 5
B
2
5
+
1
5
=
3
5
bulunur.
ÖRNEK
Bir madeni para arka arkaya 5 kez atıldığında,
a) İlk üçünün yazı, diğerlerinin tura gelmesi olasılığını,
b) Üçünün yazı, diğerlerinin tura gelmesi olasılığını bulalım.
ÇÖZÜM
a) Sıra önemli olduğu için ilk üçünün yazı, diğerlerinin tura gelme olasılığı,
Y Y
1 1
.
2 2
Y T T
1 1 1
1
. . . =
bulunur.
2 2 2
32
b) Üçünün yazı, diğerlerinin tura gelme olasılığını hesaplarken birçok diziliş olacağından, tekrarlı
permütasyon yardımıyla istenen,
5! 1 1 1 1 1
1
5
. . . . . = 10.
=
olarak bulunur.
3!.2! 2 2 2 2 2
32 16
UYGULAMA
1) Bir kutuda 4 kırmızı ve 3 beyaz bilye vardır. Kutudan her seferinde çekilen bilye kutuya geri
konmak üzere peş peşe üç bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin ilk ikisinin kırmızı olması olasılığı nedir?
2) İki torbanın birincisinde 1 beyaz 2 siyah, ikincisinde 1 beyaz 3 siyah boncuk vardır. Havaya
bir madeni para atılıyor. Eğer yazı gelirse birinci torbadan, tura gelirse ikinci torbadan bir boncuk
çekiliyor. Çekilen boncuğun siyah olma olasılığı nedir?
3) Bir kişinin elindeki 6 anahtardan yalnız bir tanesi kapıyı açmaktadır. Bu kişi anahtarları rastgele deniyor ve kapıyı açmayan anahtarı bir kenara bırakıyor. Buna göre kapının,
a) Üçüncü denemede açılma olasılığını,
b) En geç üçüncü denemede açılma olasılığını bulunuz.
4) İki torbanın birincisinde 4 kırmızı 2 beyaz, ikincisinde 2 kırmızı 3 beyaz bilye vardır. Birinci
torbadan rastgele bir bilye çekilip rengine bakılmadan ikinci torbaya atılıyor. Bundan sonra 2. torbadan rastgele bir bilye çekildiğinde bunun beyaz olma olasılığını bulunuz.
5) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
Eda, Deniz ve Merve adındaki üç genç, okçuluk sporu yapmaktadır. Bu gençlerin her birinin
2 3 1
hedefi vurma olasılıkları sırasıyla , ,
dir. Üçü aynı anda hedefe atış yaptıklarında hedefin,
3 5 2
a) Yalnız Eda tarafından vurulma olasılığı
b) Sadece biri tarafından vurulma olasılığı
2
15
3
10
dir. (
)
dir. (
)
137
c) Hedefin üçü tarafından vurulma olasılığı
ç) Hedefin vurulma olasılığı
14
15
2
dir.
(
)
dir.
(
)
5
6) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
A torbasında eşit büyüklükte 4 beyaz 5 kırmızı, B torbasında 6 beyaz 2 kırmızı top vardır.
43
a) A ve B torbalarından birer top çekilip karşılıklı olarak
birbirinin içine atıldığında ilk durumdaki renk durumunun bozulmaması olasılığı kaçtır?
81
58
81
b) A torbasından 1 top çekilip B torbasına atılıyor. Sonra
B torbasından 1 top çekilip A torbasına atıldığında renk durumunun bozulmaması olasılığı nedir?
20
29
c) A torbasından bir top çekilip B torbasına atıldığında
ve B torbasından bir top çekildiğinde çekilen topun beyaz
olma olasılığı nedir?
17
36
40
ç) Rastgele bir torba seçilip seçilen torbadan bir top çekildiğinde çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre bu topun A torbasından çekilmiş olma olasılığı nedir?
41
8) Aralarında İrem ve İdil’in bulunduğu 8 kişi düz bir sıraya dizildiğinde İrem’in İdil’in sağında
olma olasılığını bulunuz?
2
7) a − 4a − 5 ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan a tam sayılarından bir tanesi seçildiğinde seçilen tam
sayının tek tam sayı olma olasılığı kaçtır?
4
3
2
1
5
A) B) C) D) E)
7
7
7
7
7
9) A torbasında 4 kırmızı ve 5 beyaz; B torbasında ise 2 kırmızı ve 4 beyaz top bulunmaktadır.
Bir çift zar atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların ikisi de tek ise A torbasından, ikisi de çift ise B
torbasından bir top çekiliyor. Çekilen topun kırmızı renkte olma olasılığı kaçtır?
7
1
5
1
1
A)
B) C) D) E)
36
6
36
9
12
10) A ve B bağımsız olaylardır.
2
1
P(A) =
ve P(B) =
ise P(A ∪ B) değeri kaçtır?
5
9
138
A)
19
20
B)
11
20
C)
17
20
D)
9
10
E)
3
10
İSTATİSTİK
İstatistik belirli bir amaç için veri toplama, tablo
ve grafiklerle özetleme, sonuçları yorumlama, sonuçların güven derecelerini açıklama, örneklerden el50
de edilen sonuçları kitle için genelleme, özellikler ara45
sındaki ilişkiyi araştırma, çeşitli konularda geleceğe
40
ilişkin tahmin yapma, deney düzenleme ve gözlem il35
Üretim
kelerini kapsayan bir bilimdir. Belirli bir amaç için veri30
lerin toplanması, sınıflandırılması, çözümlenmesi ve
Tüketim
25
sonuçlarının yorumlanması esasına dayanır.
20
İstatistik, fizik ve doğa bilimlerinden sosyal
15
bilimlere kadar geniş bir alanda uygulanır. Aynı za10
manda iş dünyası ve hükûmetle ilişkili tüm alanlarda
5
0
karar almak amacıyla kullanılır. İstatistik yukarıdaki
Ülkeler
A
B
C
D
E
anlamıyla tekildir. Sözcüğün çoğul anlamı, “sistemli
bir şekilde toplanan sayısal bilgiler”dir. Örnek olarak nüfus istatistikleri, çevre istatistikleri, spor istatistikleri, milli eğitim istatistikleri verilebilir.
İstatistiği öğrenmedeki amaç, bir araştırmada elde edilen verilerin uygun istatiksel yöntemler kullanılarak yorumlanacağını bilmektir. İstatistiksel yöntemler, toplanmış verilerin özetlenmesi veya açıklanması amacıyla kullanılır. Yandaki sütun grafiğine göre hangi ülkede üretim tüketime göre zayıftır.
%
Ülkelerin üretim ve tüketim yüzdeleri
Enerji kaynağı
Doğalgaz
Hidroelektrik
Daire grafiğine bakarak en çok kullanılan
enerji kaynağı ne olmalıdır?
Kömür
Nükleer
Petrol
ETKİNLİK
Aşağıdaki grafikleri inceleyiniz.
Türkiye’de erkek ve kadınların mezun oldukları
okullara göre elde ettikleri gelirler
1930-1955 yılları arası dünya
erkek ve kadın nüfusu
Aydoğan ailesinin
aylık harcaması
kişi
TL
Kira
Gıda
30000
25000
20000
Kadın
15000
Erkek
10000
Kadın
nüfusu
70
Erkek
nüfusu
o
30
Elektrik - 60
o
o
Su - Telefon 50 40
o
o
Tatil
Sağlık
5000
0
o
110
Okul İlköğretim
öncesi
Lise
Meslek Yüksekokul
lisesi
ve üstü
1. Grafik
Okul
1930 1935 1940 1945 1950 1955
2. Grafik
Yıl
Eğitim
3. Grafik
1. Grafikteki verileri göz önüne aldığınızda yüksek kazanç elde eden insanların eğitim durumu için ne söylenebilir?
2. Grafikteki verilere göre dünyada kadın ve erkek nüfusunun eşit olduğu yılı belirtiniz. Ayrıca
erkek nüfusunun hangi yıllar arasında hızla düştüğünü ve bu düşüşün sebebinin ne olabileceğini
tartşınız.
3. Grafikteki ailenin aylık giderinin en fazla ve en az olduğu dilimleri belirtiniz.
Yaptığınız çıkarımlarda kullandığınız grafiklerden hangisinin çizgi, hangisinin daire ve hangisinin sütün grafiği olduğunu tartışınız.
139
ÖRNEK
Türkiye İstatistik Kurumu verilerine göre 2010 ve 2011 yılı ilk beş ayında Tavuk eti üretimi yaklaşık olarak aşağıda çizelgede verilmiştir.
Tablo: 2010-2011 yılı ilk 5 aylık tavuk üretimi
Ocak
Şubat
Mart
Nisan
Mayıs
2010
100 000
90 000
110 000
120 000
120 000
2011
130 000
110 000
130 000
125 000
165 000
Çizelgeye karşılık gelen sütun grafiğini ve 2010 yılı ilk 5 aylık tavuk üretimi grafiğini çizelim.
ÇÖZÜM
2010-2011 yılı ilk 5 aylık tavuk üretim
Ton
180
160
2010 yılı ilk 5 aylık toplam üretim,
140
= 100 000 + 90 000 + 110 000 + 120 000 + 120 000
= 540 000 tondur.
120
100
2010
80
2011
60
40
20
0
Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs
Aylar
karşılık gelir.
Ocak ayı için;
540 000 360o
100 000 x
x ≅ 66,6o lik merkez açılı daire dilimi
2010 yılı ilk 5 aylık tavuk üretim
Ocak
Mayıs
80
Diğer aylar için de orantı kullanılarak hesaplama yapıldığında 2010 yılının ilk 5 aylık üretimine karşılık gelen daire grafiği yandaki gibidir.
Şubat
o
66,6
o
60
o
o
o
80
73,4
Mart
Nisan
ÖRNEK
Haftalık ısı değişimi
Isı(Co)
Yandaki çizgi grafiğinde bir haftalık ısı değişimi
görülmektedir.
28
26
a) En düşük ve en yüksek sıcaklık hangi günlerde
olmuştur?
24
22
b) Sıcaklık düşüşleri hangi günler arasındadır?
20
c) En büyük ısı farkı hangi ardışık günler arasındadır?
18
Günler
Pt Sl Çrş Pr Cu Ct Pz
140
ç) Hangi günlerde sıcaklıklar birbirine eşittir?
ÇÖZÜM
a) En düşük sıcaklık pazartesi (20o C) günü, en yüksek sıcaklık cuma (28o C) günüdür.
b) Sıcaklık düşüşleri, çarşambadan perşembeye ve cumadan cumartesiye geçişte gözlenmektedir.
c) En büyük ısı farkı perşembe ile cuma günleri arasında (28o C - 22o C = 6o C) dir.
ç) Salı ile perşembe (22o C) ve cumartesi ile pazar (26o C) günleri sıcaklıklar birbirine eşittir.
ETKİNLİK
13 kişilik bir öğrenci grubunda yapılan araştırmada haberleşmek için gün içinde kullandıkları
mesaj (SMS) aşağıdaki tabloda verilmiştir. İnceleyiniz.
Öğrenci
Can
Cem
Berk
Su
Maya
Ali
Metin
Burcu
Fatma
Turgut
Muslu
Özcan
Ata
Tablo: Öğrencilerin SMS kullanımı
Sms sayısı
9
8
5
6
2
3
6
3
6
3
6
5
8
Tablodaki verileri aşağıdaki noktalı yerlere küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
......., ......., ......., ......., ......., ......., ......., ......., ......., ......., ......., ......., .......,
Veri grubundaki en büyük ve en küçük değeri bulunuz. En büyük ve en küçük değer arasındaki farkı belirtiniz.
Veri grubunun tam ortasındaki değeri bulunuz.
En küçük deger ile tam ortadaki değer arasındaki ortanca değeri bulunuz. ......... (I)
En büyük değer ile tam ortadaki değerin arasındaki ortanca değeri bulunuz. ......... (II)
(I) ve (II) de elde ettiğiniz ortanca değerler arasındaki farkı bulunuz.
Yukarıda bulduğunuz tüm sonuçlara daha önce hangi isimleri verdiğinizi tartışınız.
ÖRNEK
65, 65, 60, 47, 54, 55, 62, 63, 64 şeklinde verilen veri grubundaki sayıları küçükten büyüğe
doğru sıraladığınızda,
a) En küçük ve en büyük değeri,
b) Tam ortadaki değeri,
c) En küçük değer ile ortadaki değerin ortanca değeri,
ç) En büyük değer ile ortadaki değerin arasındaki ortanca değeri bulalım.
ÇÖZÜM
Veri grubunu küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
47 , 54, 55 , 60 , 62 , 63, 64 , 65 , 65
En küçük
değer
Ortadaki
değer
En büyük
değer
a) En küçük değer 47 ve en büyük değer 65 tir.
b) Tam ortadaki değer 62 dir.
c) En küçük değer ile ortadaki değerler arasındaki ortanca değer 55 tir.
ç) En büyük değer ile ortadaki değerler arasındaki ortanca değer 64 tür.
141
Ortanca (Medyan): Veriler küçükten büyüğe doğru sıralandığında veri sayısı tek ise tam
ortada kalan değer ortancadır. Eğer veri sayısı çift ise tam ortadaki iki sayı toplanır ve ikiye
bölünür, çıkan sonuç ondalık da olsa ortancadır.
Açıklık (Aralık): Veri grubundaki en büyük değerden en küçük değer çıkarılarak bulunur.
Alt ve üst çeyrek: Veri grubunda veriler küçükten büyüğe doğru sıralandığında medyanın solunda kalan verilerin medyanına alt çeyrek; medyanın sağında kalan verilerin
medyanına ise üst çeyrek denir.
Çeyrekler açıklığı: Üst çeyrek ile alt çeyrek arasındaki farka denir.
ÖRNEK
Aşağıdaki veri gruplarındaki medyan, açıklık, alt çeyrek, üst çeyrek ve çeyrekler açıklığını bulalım.
a) 12, 11, 9, 7, 7, 13, 14, 8, 5
b) 2, 5, 7, 2, 3, 4, 5, 9
ÇÖZÜM
a) Verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
5, 7 ,
En küçük
değer
7, 8, 9 , 11, 12 , 13 , 14
En büyük
değer
Medyan
(Ortanca)
Medyan: Veri grubunun tam ortasındaki değer 9 dur.
Açıklık: En büyük değer - En küçük değer = 14 - 5 = 9 dur.
Alt Çeyrek: Medyanın solunda kalan verilerin medyanı alt çeyreği verir.Yani
Üst Çeyrek: Medyanın sağında kalan verilerin medyanı üst çeyreği verir.Yani
Çeyrekler Açıklığı: Üst Çeyrek - Alt Çeyrek = 12,5 - 7 = 5,5
b) Verileri küçükten büyüğe doğru sıralarsak,
2 ,
2 , 3 , 4, 5 , 5 , 7 ,
En büyük
değer
En küçük
değer
Medyan =
Açıklık: 9 - 2 = 7
142
9
4+5
2
= 4,5
7+7
= 7 dir.
2
12 + 13
= 12,5 tir.
2
Alt Çeyrek: Medyanın solunda kalan verilerin medyanı
2+3
= 2,5 tir.
2
Üst Çeyrek: Medyanın sağında kalan verilerin medyanı
5+7
= 6 dır.
2
Çeyrek Açıklığı: Üst Çeyrek - Alt Çeyrek = 6 - 2,5 = 3,5 tir.
ÖRNEK
Bir öğretmenin 12 öğrencisinin sınavda aldığı puanlar aşağıdaki gibidir.
55, 60, 62, 62, 64, 48, 49, 49, 50, 70, 75, 80
Ö
RNEK
Buna göre veri grubunun alt çeyrek, üst çeyrek ve çeyrekler açıklığı değerlerini bulalım.
ÇÖZÜM
Verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
ÇÖZÜM
48 , 49 , 49 , 50 , 55 , 60, 62 , 62 , 64 , 70 , 75 , 80
En küçük
değer
En büyük
değer
Medyan = 60 + 62 = 61
2
Alt Çeyrek: Medyanın solunda kalan verilerin medyanı
49 + 50
= 49,5 tir.
2
Üst Çeyrek: Medyanın sağında kalan verilerin medyanı 64 + 70 = 67 dir.
2
Çeyrekler Açıklığı = Üst Çeyrek - Alt Çeyrek = 67 - 49,5 = 17,5 bulunur.
Çeyrekler açıklığı iki grubu karşılaştırmada “düzenli olup olmadığı”, “verilerin birbirine yakın olup olmadığı” gibi konularda bizlere bilgi verir. Alt çeyrek ve üst çeyrek ise çeyreklerin
hangi sayı etrafında olduğunu görmemizi ve dolayısıyla gruplar üzerinde daha basit değerlendirme yapmamızı sağlar.
ETKİNLİK
A, B ve C isimli üç şirketin hisse senetlerinin İstanbul Menkul Kıymetler Borsasındaki (IMKB)
günlük değişimini gösteren tablo aşağıdaki gibidir.
Tablo: A, B ve C şirketlerinin hisse senedi değerinin gün içindeki değişimi
10 00
11 00
12 00
12 30
14 00
15 00
16 00
17 00
17 30
A
1,04
1,03
1,03
1,04
1,05
1,06
1,05
1,06
1,07
B
1,01
1,02
1,02
1,02
1,03
1,03
1,04
1,05
1,06
C
1,05
1,06
1,05
1,04
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
143
A şirketinin verilerini küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
1,03
1,03
En küçük değer
1,04
1,04
Alt Çeyrek = 1,035
1,05
1,05
1,06
Ortanca
(Medyan)
1,06
1,07
Üst Çeyrek = 1,06
En büyük değer
Bu durumu kutu grafiğinde aşağıdaki gibi gösteririz.
En küçük
değer
Alt
Çeyrek
Ortanca
Üst
Çeyrek
En büyük
değer
A şirketinin hisse senedi değeri değişim
Hisse
C
B
TL
1,07
1,02
1,025
1,03
1,035
1,04
1,045
1,05
1,055
1,06
1,165
A
Benzer yaklaşımla B ve C senetlerinin kutu grafiğini sizler yapınız.
Kutu grafiğini incelediğinizde A, B ve C şirketlerine ait hisse senetlerinin hangi değer aralığında daha çok işlem gördüğünü tartışınız.
ÖRNEK
A ve B şubelerinin matematik dersi notları
Şube
B
A
Not
30
35
40
45
50
60
80
A ve B şubelerinin matematik sınavından aldığı notların kutu grafikleri yukarıdaki gibidir. Grafiğe
göre aşağıdaki soruları cevaplayalım.
a) A ve B gruplarının alt çeyrek, üst çeyrek ve ortanca değerlerini bulunuz.
b) Hangi şube matematik sınavında daha başarılıdır?
c) A şubesinde alınan en yüksek puan ile B şubesinde alınan en düşük puanın arasında fark
nedir?
144
ÇÖZÜM
Tablo: A ve B şubelerine ait ortanca, alt
çeyrek ve üst çeyrek değerleri
a)
A ŞUBESİ
B ŞUBESİ
Ortanca
45
50
Alt çeyrek
40
45
Üst çeyrek
50
60
b) Verilerin dağılımını incelediğinizde B grubunun çeyrekler aralığındaki yığılma, A grubuna
göre daha yüksek olduğundan B grubu daha başarılıdır.
c) A şubesinde alınan en yüksek puan: 60
B şubesinde alınan en düşük puan: 35
60 - 35 = 25 bulunur.
Kutu grafiği, bir veri setinden elde edilen en küçük değer, en büyük değer, alt çeyrek, üst
çeyrek ve ortanca değerlerini içeren bir grafik türüdür. Kutu grafiği veri grubundaki verilerin
yığılımının kolayca yorumlanması hakkında bize bilgi verir.
ÖRNEK
Türkiye İstatistik Kurumu verilerine göre 2010-2011 yıllarında Türkiye’ye gelen turist sayısı yaklaşık olarak aşağıdaki gibi modellenmiştir.
Tablo: 2010-2011 yılları Türkiye’ye gelen turist sayısı
OCAK
ŞUBAT
MART
NİSAN
MAYIS
HAZİRAN TEMMUZ AĞUSTOS
EYLÜL
2010 1.250.000 1.300.000 1.200.000 2.000.000 3.000.000 3.400.000 5.700.000 5.300.000 3.800.000
2011 1.000.000 2.000.000 1.400.000 2.200.000 3.200.000 3.900.000 6.000.000 5.400.000 4.200.000
Bu modele göre 2010-2011 yıllarındaki turist sayısını belirten kutu grafiğini oluşturalım.
ÇÖZÜM
Bu veriler ışığında aşağıdaki tabloyu dolduralım.
Tablo: 2010-2011 yılları Türkiye’ye gelen turist sayısının yığılımı
En küçük değer
Alt çeyrek
Ortanca
Üst çeyrek
En büyük değer
2010
1.200.000
1.275.000
3.000.000
4.550.000
5.700.000
2011
1.000.000
1.700.000
3.200.000
4.800.000
6.000.000
Bu tabloya uygun kutu grafiği aşağıdaki gibidir.
2010-2011 yılları Türkiye’ye gelen turist sayısı
Yıl
2011
2010
1 1,5
2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7
Kişi sayısı
(milyon)
145
ETKİNLİK
Türkiye İstatistik Kurumu ve Maliye Bakanlığı verilerine göre aşağıdaki çizelgede bazı illerdeki iş yeri sayıları ve bu illerden toplanan vergi miktarları verilmiştir. İnceleyiniz.
Tablo: İllere göre işyeri sayısı ve toplanan vergi
İLLER
AĞRI
BİLECİK
VAN
DİYARBAKIR
ESKİŞEHİR
EDİRNE
RİZE
İŞYERİ SAYISI
2.090
3.110
5.719
10.424
13.803
7.088
8.724
TOPLANAN VERGİ
98.987
129.557
311.175
566.695
947.822
419.846
433.256
Her ilin iş yeri sayısını 1. bileşen, toplanan vergi miktarını 2. bileşen olarak kabul eden sıralı
ikilileri oluşturarak bu ikililere karşılık gelen noktaları aşağıdaki grafik üzerinde gösteriniz.
İllere göre işyeri sayısı ve toplanan vergi
Toplanan vergi (Bin TL)
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
2
1
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14
İşyeri sayısı
(Bin)
En az ve en çok iş yeri olan illeri belirleyiniz.
En az ve en çok toplanan vergi miktarlarını söyleyiniz.
İş yeri sayıları ile toplanan vergileri karşılaştırınız.
Vergi gelirlerinin artması ile iş yeri sayısı arasındaki ilişkiyi tartışınız.
ÖRNEK
5 ailenin gelir ve gider düzeyleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Tablo: Beş ailenin gelir ve giderleri
A
B
C
D
E
Gelir
700 TL
900 TL
1000 TL
1500 TL
3000 TL
Gider
200 TL
500 TL
550 TL
700 TL
1200 TL
Bu verilere uygun serpilme grafiğini oluşturalım.
ÇÖZÜM
Beş ailenin gelir ve giderleri
Gider (TL)
1250
1000
Grafikte de görüldüğü üzere geliri
fazla olan ailelerin gideri de fazla
olmaktadır.
750
500
250
0
500
146
1000
1500
2000
2500
3000
Gelir
(TL)
Serpilme grafikleri iki değişken arasındaki ilişkiyi gösteren bir grafiktir. Bu grafiklerin çiziminde elektronik tablolama yazılımlarından yararlanılabilir.
ÖRNEK
Aşağıdaki çizelgede 1945 ile 2000 yılları arasındaki nüfus artış hızı verilmiştir.
Tablo: 1945 - 2000 yılları arasındaki nüfus artışı
Yıllar
Nüfus artış
hızı (binde)
1940
1945
1950
1955
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
2000
17,03 10,59 21,73 27,75 28,53 24,62 25,19 25,00 20,65 24,88 21,71 18,28
Bu çizelgeye karşılık gelen serpilme grafiğinin çizelim.
ÇÖZÜM
Yatay eksene yılları, düşey eksene nüfus artış hızını yazalım. Bu durumda serpilme grafiği,
1945 - 2000 yılları arasındaki nüfus artışı
Nüfus Artış Hızı (binde)
30
25
20
15
2000
1990
1985
1980
1975
1970
1965
1960
1955
1950
1940
1945
10
Yıllar
biçiminde olur.
ÖRNEK
Bir anket firmasının yıl içerisinde illere göre satılan araç sayıları aşağıdaki serpilme grafiğinde
gösterilmiştir.
Araç (bin)
İllere göre araç satışı
25
Traktör
Otomobil
Kamyon
20
15
10
5
İller
İzmir
Konya İstanbul
Van
Kayseri Diyarbakır Trabzon
a) Grafiğe göre en fazla traktör, otomobil ve kamyon satılan illeri bulalım.
b) En az araç satışı hangi ilimizde gerçekleşmiştir?
ÇÖZÜM
a) Traktör satışı en fazla Konya, otomobil satışı en fazla İstanbul, kamyon satışıda en fazla
İstanbul’da gerçekleşmiştir.
b) En az araç satışı Van ilimizde gerçekleşmiştir.
147
ETKİNLİK
Aşağıda verilen veri gruplarını inceleyiniz ve 4 farklı veri grubunun grafiklerinin hangi grafik türü
ile daha rahat yorumlanıp çizilebileceğini yanlarında verilen çizelgelerdeki
içlerine X ile işaretleyerek belirtiniz.
Bir öğretmen, öğrencilerinin matematik notları ile Türkçe notları arasında bir ilişki olup olmadığını
belirlemek için rastgele seçtiği 10 öğrencisinin matematik ve Türkçe notlarını aşağıdaki gibi not ediyor.
Ayşe
Veli
Özcan
Beril
Berk
Suna
Sibel
Metin
Daire grafiği
Ata
Matematik
notları
Türkçe
notları
Ahmet
Tablo: On öğrencinin matematik ve Türkçe dersi notları
78
65
45
58
74
65
48
32
90
63
Serpilme grafiği
92
69
40
69
89
65
60
39
100
70
Çizgi grafiği
Kutu grafiği
A şirketinin bir ay içerisindeki giderlerinin yüzdelik olarak belirtilmiş veri grubu aşağıdaki gibidir.
Tablo: A şirketinin aylık giderleri
A şirketi
Maaş
% 70
Daire grafiği
Kırtasiye
%5
Çizgi grafiği
Elektrik
%10
Serpilme grafiği
Su
%8
Kutu grafiği
Diğer
%7
Postacı Mehmet, mektup dağıtımı yaparken saatte 2 km sabit hızla
iki nokta arasındaki uzaklığı katediyor. Saat 8:00 de işe başlayan Mehmet
11:00 de A noktasına, 12:30 da B noktasına varıyor. 1 saat mola verdikten
sonra dağıtma devam ederek saat 16:00 da C noktasına varıyor.
Daire grafiği
Çizgi grafiği
Serpilme grafiği
Kutu grafiği
Pelin ile Gülce’nin cumartesi günü saat 8:00 ile 20:00 arası 12 saatlik zaman dilimi içerisinde
değişik faaliyetlere harcadığı süreler (saat olarak) aşağıdaki çizelgede belirtilmiştir.
Dershane
Müzik
Spor
Satranç
Oyun
Dinlenme
Ders
Çalışma
Tablo: Pelin ve Gülce’nin 8:00 ile 20:00 arasındaki faaliyetleri
Pelin
3
1
2
1
1
2
2
Gülce
4
2
1
0
2
2
1
Daire grafiği
Çizgi grafiği
Serpilme grafiği
Kutu grafiği
Belirlediğiniz bir grafik türü ile yukarıdaki veri gruplarının grafiklerini çiziniz.
148
ÖRNEK
Kuru üzüm üretim grafiği
Kuru Üzüm
Üretimi (Ton)
35
30
25
20
15
10
2011
2010
2009
2008
2007
2006
2005
Yıllar
Yandaki grafik bir üzüm bağından
2005-2011 yılları arasında üretilen kuru
üzüm miktarlarını göstermektedir. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplandıralım.
a) Her bir yılda üretilen kuru üzüm
miktarlarını bulalım.
b) En yüksek ve en az üretim miktarı
hangi yılda olmuştur? Bulalım.
c) Bir önceki yıla göre üretim artışları
olan yılları belirtelim.
ç) Bir önceki yıla göre en çok üretim artışları olan yılları belirtelim.
d) Üretimin en az olduğu yılda üretimin düşme sebeplerinin neler olabileceğini belirtelim.
ÇÖZÜM
a) Her yıl üretilen kuru üzüm miktarları aşağıdaki gibidir.
Tablo: 2005 - 2011 yılları arası kuru üzüm üretimi
Yıllar
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Miktar (ton)
15
20
25
25
10
25
35
b) En yüksek üretim 2011 yılında ve en düşük üretim 2009 yılında gerçekleşmiştir.
c) Bir önceki yıla göre üretim artışı olan yılları 2006, 2007, 2010 ve 2011 dir.
ç) En çok üretim artışı olan yıl 2010 yılıdır.
d) Üretimin az olma sebebi kuraklık, ilaçlama hatası, doğa olayları vb. her şey olabilir.
Bir veri grubuna ait uygun grafik çizilirken,
• Bir değişkenin bir bütün içerisindeki oranını belirtmek için daire grafiği,
• Bir değişkenin zaman içerisindeki değişimi incelemek için çizgi grafiği,
• İki değişken arasındaki ilişkiyi göstermek için serpilme grafiği,
• Verilerin genişliğini, yığılımını öğrenmek için kutu grafiği seçilir.
ÖRNEK
Sarı ve yeşil biberin fiyat değişimi
Ürün
Yeşil biber
Sarı biber
1 1,5 2
3
4
5
TL
Yandaki kutu grafiğinde bir yıl içinde aylara göre sarı ve yeşil biberin 1 kg’ndaki fiyat
değişimi görülmektedir.
Grafiğe göre aşağıdaki soruları cevaplayalım.
1) Yeşil biberin yıl içindeki en düşük ve
en yüksek fiyatlarını belirtiniz.
2) En çok hangi fiyat aralığında yeşil biber satışı gözlenmektedir?
149
ÇÖZÜM
1) Yeşil biberin 1 kilogramı, yıl içinde en düşük 1,5 TL ve en yüksek 5 TL den satılmıştır.
2) En çok 2 ile 4 TL arasında yeşil biber satışı gözlenir.
ÖRNEK
Yatırım araçları dağılımı grafiği
Repo
100
o
Yandaki daire grafiğinde bir kişinin parasını yatırım araçlarındaki
değerlendirme şekli gösteriliyor. Bu kişi 2000 TL sini dövizde değerlendiriyorsa repoda değerlendirdiği kaç TL si bulunmaktadır?
o
40
Döviz
o
60
Altın
Hisse
senedi
ÇÖZÜM
Repoya karşılık gelen derece x olsun. x + 60o + 40o + 100o = 360o ise x = 160o bulunur.
Bu durumda basit bir orantıyla repoda değerlendirdiği miktar,
40o
2000 TL
160o
a
40.a = 2000.160 ise a = 8000 TL bulunur.
UYGULAMA
1) A, B ve C kaplarında bulunan şeker ve su
Yandaki grafikte A, B ve C kaplarında
bulunan şeker ve su miktarları belirtilmiştir.
A, B ve C kaplarındaki karışımların hepsi
başka bir kapta karıştırıldıklarında oluşan
karışımın şeker yüzdesi ne olur?
80
70
60
50
40
Su
30
Şeker
20
10
0
A
2)
B
Öğrenci aylık giderleri dağılımı
A
o
72
60o
o
B
66
78
o
E
D
150
C
A) 300
C
B) 224
A: Sinema
B: Telefon
C: Kırtasiye
D: Ulaşım
E: Yemek
C) 210
Yandaki dairesel grafik üniversite öğrencisinin aylık giderlerini belirtmektedir. Aylık geliri 900 TL olan bu öğrencinin ulaşıma ödediği
para kaç TL dir?
D) 160
E) 120
3)
Ayakkabı
Üretimi (Adet)
Ayakkabı üretim grafiği
Şekildeki grafik bir ayakkabı firmasının ürettiği ayakkabıların günlere
göre dağılımını göstermektedir.
Buna göre haftanın kaç günü ortalama üretimin üstündedir?
1600
1000
600
400
Günler
Pazartesi
Salı
Çarşamba Perşembe
4) Tablo: Turlara katılımcı sayısı
KAPODOKYA TURU
KARADENİZ TURU
GAP TURU
İSTANBUL TUR
ÇANAKKALE TURU
40
120
80
50
70
Cuma
Bir seyahat acentasının tatil programında belirtiği turlar ve
bu turlara katılacak kişi sayısı yandaki gibidir.
Bu turlara katılan kişilerin yüzdelik oranları en uygun hangi grafik türü ile ifade edlir? Belirtiniz. Ayrıca bu grafiği oluşturarak yorumlayınız.
5) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) Üst çeyrek ile alt çeyrek arasındaki farka çeyrekler açıklığı denir. (
)
b) Kutu grafiği veri grubundaki verilerin yığılımının kolayca yorumlanması hakkında bilgi verir. (
)
c) Verilerin genişliğini, yığılımını öğrenmek için serpilme grafiği seçilir.
(
)
Kıyafet alış ve satış fiyatları
6)
60
50
40
alış
30
satış
20
10
Yandaki sütun grafik bir mağazada satılan gömlek, kazak ve
pantolonların alış ve satış fiyatlarını
göstermektedir. Bu ürünlerden 10 ar
adet satıldığında mağaza işletmecisinin kaç lira kâr ettiğini bulunuz.
0
gömlek
7)
kazak
pantalon
Fabrika üretim ekibi
Teknisyen
O
40 o
İşçi
Mühendis
O merkezli dairesel grafikte bir
fabrikada üretimde çalışan kişiler
gösterilmektedir. İşçi sayısı teknisyenlerin 4 katıdır. Üretimde 16 teknisyen çalıştığına göre mühendis
ve işçi sayılarının toplamı kaçtır?
8) Aşağıda verilen veri gruplarının açıklığını, ortanca, alt çeyrek ve üst çeyrek değerlerini bulunuz.
a) 2, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 8, 8
b) 12, 9, 13,15, 14, 9, 12, 13, 13, 12
c) 103, 103, 102, 103, 105, 107, 108, 109, 105
151
9) Bir sınıfın matematik notları
4
0
o
36 o
48
o
60
o
3
F
24 o
5
Bir sınıfın matematik notları
Öğrenci sayısı
72
E
D
C
B
1
o
0
12
A
Notlar
2
0
1
2
3
4
5
Yukarıdaki daire ve sütun grafikleri 30 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin matematik dersi sınavından
aldıkları notları göstermektedir. A, B, C, D, E ve F noktalarına karşılık gelen öğrenci sayılarını bulunuz.
10) İstanbul Menkul Kıymetler Borsasında işlem yapan A, B ve C hisse senetlerinin bir işlem
gününde gördükleri fiyatlandırma aşağıdaki gibidir.
Tablo: A, B ve C hisse senetlerinin fiyat değişimi
10:00 10:30 11:00 12:00 12:30 14:00 14:30 15:00 15:30 16:00 16:30 17:00 17:30
A
3,01
3,01
3,01
3,00
2,99
2,98
2,98
2,99
3,00
3,00
2,99
2,98
2,97
B
2,96
2,97
2,97
2,98
2,99
3,00
3,00
3,01
3,02
3,03
3,03
3,04
3,04
Buna göre A ve B hisselerinin fiyatlandırıldığı kutu grafiğini çiziniz.
11) Aşağıda 10 farklı ailenin aylık gelirleri ile kira giderleri çizelgede verilmiştir.
Tablo: On aileye ait gelir ve gider
Aylık Gelir (TL)
1700
800
2000 4000 3000 1200 1000 5000 2500 3500
Kira Gideri (TL)
600
300
700
1000
900
500
400
1500
600
800
Çizelgeye karşılık gelen serpilme grafiğini çiziniz.
12)
Beş günlük borsa endeks değişimi
Endeks puanı
Yandaki çizgi grafiği borsa endeksinin
5 günlük değişimini göstemektedir. Borsa
endeksi;
54 500
54 000
a) En çok hangi gün yükselmiştir?
53 500
b) En çok hangi gün düşmüştür?
53 000
c) Hangi günlerde yükselmiştir?
52 500
52 000
Günler
Pt
Sl
Çr
Pr
ç) Hangi günlerde düşmüştür?
Cu
13) Bir sınıftaki 9 öğrencinin kimya ve matematik derslerinden 1. yazılıda aldıkları puanların listesi
aşağıdaki gibidir.
Tablo: Kimya ve matematik derslerine ait 1. yazılı notları
Berilsu
Ece
Ekin
Sena
Orçun
Yaren
Sedat
Murat
Kimya
72
69
75
76
72
63
68
80
90
Matematik
95
94
85
86
80
58
50
70
100
Yukarıdaki veri grubuna göre öğrencilerin notlarına ilişkin kutu grafiğini oluşturunuz.
152
Poyraz
MERKEZİ EĞİLİM VE YAYILIM ÖLÇÜLERİ
ETKİNLİK
A firmasının farklı 11 televizyon kanalında gün içinde yayınlattığı
reklam sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
1.KANAL
2.KANAL
3.KANAL
4.KANAL
5.KANAL
6.KANAL
7.KANAL
8.KANAL
9.KANAL
10.KANAL
11.KANAL
Tablo: A firmasına ait reklamların gün içinde 11 televizyon kanalında yayınlanma sayıları
4
3
4
5
5
5
2
6
7
3
2
Tabloya göre;
Verileri küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Bu veri grubunda en çok tekrar eden sayıyı bulunuz.
Bu veri grubunun aritmetik ortalamasını bulunuz.
Aritmetik ortalamanın altında ve üstünde reklam yayınlayan kanalları belirleyiniz.
A firmasının bir sonraki reklam anlaşmasında hangi kanalları tercih edeceğini tartışınız.
ÖRNEK
Öğrencilerin matematik
sınavından aldığı notlar
Öğrenci sayısı
Yandaki grafikte bir sınıftaki öğrencilerin matematik dersi sınavından aldıkları notlar verilmiştir.
Verilere göre sınav notlarının aritmetik ortalamasını ve aritmetik ortalamanın üstünde not alan öğrenci sayısını bulalım.
7
6
5
4
3
Notlar
1
2
3
4
5
ÇÖZÜM
Verilere küçükten büyüğe doğru sırlayalım.
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5
Sınavın aritmetik ortalaması =
1+1+1+1+1+1+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+4+4+4+5+5+5+5
25
6.1 + 5. 2 + 7.3 + 3.4 + 4.5
=
25
=
6 + 10 + 21 + 12 + 20
25
=
69
25
= 2,76 olur.
Bu durumda aritmetik ortalamanın üstünde not alan öğrenciler 3, 4 ve 5 alan öğrencilerdir. Dolasıyla bu öğrencilerin toplamının sayısı da 14 tür.
Tepe Değer (Mod): Veri grubunda en çok tekrar eden sayıdır. Bu değer birden fazla olabilir.
Aritmetik Ortalama: Ölçme sonuçlarının ağırlık merkezidir. Bir dağılımda yer alan tüm
ölçme sonuçları dikkate alındığında dağılım hakkında daha fazla bilgi verir. Aritmetik ortalama
x ile gösterilir.
153
x1, x2, ... , xn puanları, n veri sayısı olmak üzere; x =
x1 + x2 + ... + xn
n
biçiminde hesaplanır.
Aritmetik ortalama, mod ve ortanca değerlerine bir veri grubunun merkez eğilim ölçüleri;
aralık çeyrekler aralığı ve standart sapmaya da merkezi yayılım ölçüleri denir.
ÖRNEK
4, 5, 6, 5, 10, 8, 7, 7, 7, 3, 7 veri grubunun ortanca, aritmetik ortalama, mod, alt çeyrek, üst
çeyrek, aralık ve çeyrekler açıklığını bulalım.
ÇÖZÜM
Veri grubunu küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 10
En büyük
değer
En küçük değer
Alt çeyrek
Üst
çeyrek
Medyan
(Ortanca)
Aralık: En büyük değer - En küçük değer = 10 - 3 = 7
Çeyrekler aralığı: Üst çeyrek - Alt çeyrek = 7 - 5 = 2
Aritmetik ortalama:
3 + 4 + 5 + 5 + 6 + 7 + 7 + 7 + 8 + 10
11
= 62
11
≅ 5,63
Tepe değer (Mod): 7 bulunur.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki veri grubunun modu ile medyanın toplam değeri nedir?
4, 6, 10, 14, 16, 18, 4, 6, 8, 14, 14
A) 20
B) 22
C) 24
D) 26
E) 28
2) 15, 15, 18, x, 11, 25, 18, y, 11, 12 veri grubunun aritmetik ortalaması 16 ise x + y toplamı
nedir?
A) 35
B) 26
C) 25
D) 15
E) 10
3) İstanbul Menkul Kıymetler Borsası 18.11.2011 tarihli seansında bazı şirketlerin son işlem fiyatları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Tablo: 18.11.2011 tarihli bazı şirketlere ait son işlem fiyatları
HİSSE
THYAO
TEBBNK
VESTL
DYHOL
SKBNK
SKPLC
ISFIN
ISCTR
GARAN
TL
2,54
1,58
1,98
0,60
0,95
1,34
1,11
3,92
6,14
Yukarıda veri grubunun merkezi eğilim ve yayılım ölçülerini bulunuz.
4) Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz.
a) Veri grubunda en çok tekrar eden sayıya veri grubunun ............................ denir.
b) Aritmetik ortalama, mod ve ortanca değerlerine bir veri grubunun merkezi ..................... denir.
c) Aralık, çeyrekler aralığı ve standart sapmaya merkezi .......................... ölçüleri denir.
154
STANDART SAPMA
ETKİNLİK
Yumurta üretimi yapan bir firmanın A ve B ilçelerinde iki tavuk kümesi vardır. Bu kümeslerdeki 1 haftalık yumurta üretimi aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. İnceleyiniz.
Tablo: A ve B ilçelerindeki yumurta üretimi
Pazartesi
Salı
Çarşamba
Perşembe
Cuma
Cumartesi
Pazar
A
1500
1800
1650
1750
1525
1675
1650
B
1550
1725
1675
1700
1650
1550
1700
A ve B ilçelerinde bulunan kümeslerdeki yumurta üretiminin aritmetik ortalamasını bulunuz.
Hangi kümesteki yumurta üretiminin daha verimli olduğunu tartışınız.
Aritmetik ortalama, mod ve ortancanın merkezi eğilim ölçüsü olduğunu öğrenmiştik. İki
veri grubunu aritmetik ortalamalarının eşit veya birbirine yakın olması durumunda veri gruplarında yer alan çok küçük ve çok büyük değerler, verilerin dağılımını etkiler. Bu durumda
verilerin düzgün bir dağılım gösterip göstermediğini belirlemek için veri grubunun açıklığı ve
çeyrekler açıklığı gibi merkezi yayılma ölçülerine bakılır.
Açıklık ve çeyrekler açıklığı gibi merkezi yayılımını etkileyen değerler hakkında yeterli
bilgi vermeyebilir. Standart sapma aşağıdaki işlemler takip edilerek bulunur.
1) Verilerin aritmetik ortalaması bulunur.
2) Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki fark bulunur.
3) Bulunan farkların her birinin karesi alınır ve elde edilen sayılar toplanır.
4) Bu toplam, veri sayısının 1 eksiğine bölünür ve bölümün karekökü bulunur.
ÖRNEK
Türkiye genelindeki bir matematik yarışmasında okulu temsil edecek öğrenci Ata veya Beril’den
biri olacaktır. Bu öğrencilerin 10 deneme sınavında 40 soru üzerinden yaptıkları matematik netleri
aşağıdaki gibidir. Daha başarılı öğrenciyi seçelim.
Tablo: Ata ve Beril’in 10 adet sınava ait matematik netleri
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ata
37
40
33
35
39
38
36
30
35
37
Beril
40
38
31
34
39
37
38
31
34
38
ÇÖZÜM
Bu öğrencilerin aritmetik ortalamalarını bulalım.
Ata’nın aritmetik ortalaması =
Beril’in aritmetik ortalaması =
37 + 40 + 33 + 35 + 39 + 38 + 36 + 30 + 35 + 37
10
40 + 38 + 31 + 34 + 39 + 37 + 38 + 31 + 34 + 38
10
= 36
= 36
Görüldüğü üzere Ata ve Beril’in aritmetik ortalamları aynı olduğundan öğrenci tercihini yapabilmek için standart sapmaya bakalım.
2) Ata için standart sapma,
S1 =
(36-37)2 + (36-40)2 + (36-33)2 + (36-35)2 + (36-39)2 + (36-38)2 + (36-36)2 + (36-30)2 + (36-35)2 + (36-37)2
10 - 1
155
S1 =
S1 =
(-1)2 + (-4)2 + 32 + 12 + (-3)2 + (-2)2 + 02 + 62 + 12 + (-1)2
9
1 + 16 + 9 + 1 + 9 + 4 + 0 + 36 + 1 + 1
9
= 8,66
S1 ≅ 2,942 bulunur.
Beril için standart sapma,
S2 =
(36-40)2 + (36-38)2 + (36-31)2 + (36-34)2 + (36-39)2 + (36-37)2 + (36-38)2 + (36-31)2 + (36-34)2 + (36-38)2
S2 =
10 - 1
(-4)2 + (-2)2 + 52 + 22 + (-3)2 + (-1)2 + (-2)2 + 52 + 22 + (-2)2
9
S2 = 16 + 4 + 25 + 4 + 9 + 1 + 4 + 25 + 4 + 4 = 100 = 11,11
9
9
≅ 3,33 bulunur.
Ata’nın standart sapması Beril’in standart sapmasından daha küçük olduğundan Ata’yı seçeriz.
Standart sapma grup içindeki farklılaşma düzeyini gösteren değerdir. Standart sapma
değeri büyük çıkan gruplarda veriler arası farklılaşma düzeyini gösteren değerdir. Standart
sapma değeri büyük çıkan gruplarda veriler arası farklılaşma fazladır. Veriler birbirinden ve
aritmetik ortadan uzaktır. Standart sapma değeri küçük çıkan gruplarda veriler arası farklılaşma azdır. Veriler birbirine ve aritmetik ortaya yakındır. Veri gruplarından birini tercih etmek
durumunda kaldığımızda standart sapması düşük olan tutarlı olduğundan tercih edilir.
ETKİNLİK
Cep telefonu satışı yapan bir firma farklı teknoloji marketlerinde stand açarak satış yapmaktadır.
Firmanın bu standlarda görevlendirdiği A, B, C ve D kişilerinin bir hafta içerisinde yaptıkları cep
telefonu satışları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. İnceleyiniz.
Tablo: A, B, C ve D kişilerinin haftalık cep telefonu satışları
Kişi
Gün
Pazartesi
Salı
156
A
B
C
D
5
10
7
8
6
6
11
9
Çarşamba
9
13
12
14
Perşembe
15
11
10
15
Cuma
14
12
18
17
Cumartesi
14
17
15
10
Pazar
17
18
10
13
Bu tablo yardımıyla A, B, C ve D elamanlarına ait satışların merkezi eğilim ve yayılım ölçülerini hesaplayarak aşağıdaki tabloyu doldurunuz.
Tablo: A, B, C ve D kişilerinin haftalık cep telefonu satışlarıyla ilgili veriler
A
B
C
D
En düşük satışı
En yüksek satış
Ortanca(Medyan)
Tepe Değer(Mod)
Aralık
Standart Sapma
Düşünün ki firmanın sahibisiniz ve yeni açılacak bir teknoloji mağazasına en iyi satış yapan
elamanınızı göndermek için seçim yapmak zorundasınız. Bu durumda A, B, C ve D elamanlarından
hangisini seçerdiniz gerekçeleriyle belirtiniz.
ÖRNEK
Bir derste öğretmen, öğrencilerin ne kadar süre sonra 1 dakikanın
geçtiğini tahmin etmelerini ister. Öğrencilerin saniye olarak tahminleri
aşağıda verilmiştir. Buna göre hangi merkezi eğilim veri grubunu en iyi
temsil eder?
Veri Grubu: 67, 69, 66, 64, 61, 60, 63, 65, 65, 69, 69, 65, 68, 62, 63, 60
ÇÖZÜM
Verileri büyükten küçüğe sıralayalım.
• 60, 60, 61, 62, 63, 63, 64, 65, 65, 66, 67, 68, 69, 69, 69
Medyan
• 3 kez tekrar ettiği için mod = 69 dur.
• Aritmetik ortalalama ≅ 64,7
1 dakika 60 saniyedir. Bu yüzden 60 saniyeye en yakın olan merkezi eğilim ölçüsünü kullanmak
daha uygun olur. Yani böyle bir durumda en mantıklısı aritmetik ortalamayı seçmektir.
ÖRNEK
Voleybol oyuncusu Berilsu’nun 9 maçta kazandırdığı sayılar
aşağıdaki gibidir.
Tablo: Berilsu’nun oynadığı maçlarda kazandırdığı sayılar
Maçlar
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Kazandırdığı Sayılar
18
12
14
10
12
20
8
11
6
Bu veri grubuna ait merkezi yayılım ölçülerini bulalım.
157
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
Verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
6 ,
En küçük
değer
8,
11 ,
10 ,
Alt Çeyrek =
8 + 10
2
12 ,
Medyan = 12
=9
14 ,
12 ,
Üst Çeyrek =
18 ,
14 + 18
2
20
En büyük
değer
=16
• Bu veri grubuna dair aralık: En büyük değer - En küçük değer = 20 - 6 = 14
,
• Çeyrekler açıklığı: Üst çeyrek - Alt çeyrek = 16 - 9 = 7 dir.
UYGULAMA
1) Bir grup insandan 30 yaşındaki bir gencin yaşını tahmin etmeleri istenmiştir. Kişilerin tahminleri aşağıdaki gibidir. Merkezi eğilim ölçülerinden hangisi bu veri grubunu en iyi şekilde temsil
etmektedir.
32 , 33 , 31 , 30 , 35 , 35 , 38 , 39 , 34 , 33 , 28
2) Tatil yapmak için 3 ilden birini seçmek istiyorsunuz. Bu illerden 15-30 Temmuz tarihleri arasında güneşli günlerin sayısı aşağıda verilmiştir.
Tablo: Antalya, İzmir ve Aydın illerine ait güneşli gün sayısı
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Antalya
12
12
8
2
8
2
12
12
13
İzmir
11
11
10
9
10
12
15
9
12
Aydın
9
10
9
12
11
10
12
8
7
Bu verilere göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Bol güneşli bir tatil için işi şansa bırakmak istemiyorsanız 15-30 Temmuz tarihleri arasında
hangi ili seçersiniz? Nedenleriyle açıklayınız.
b) Tatil yapmak için il seçerken sadece ortalama gün sayısına bakmak yeterli olur mu? Değilse
bunun dışında hangi verilere de bakılmalıdır?
3) Lise öğrencisi Mustafa ile Ata’nın matematik sınavından aldıkları puanlar aşağıdaki gibidir. Bu
puanlara göre hangi öğrenci matematik dersinde daha başarılıdır?
Tablo: İllerin yıllara göre güneşli gün sayısı
Mustafa
76
81
90
100
80
74
79
Ata
80
77
82
98
90
72
81
4) Aşağıda Nur, Melek ve Hale’nin oynadıkları son 7 maçtaki basket sayıları verilmiştir.
Oynadıkları son 7 maçın basket sayıları aşağıda tabloda verilmiştir.
Tablo: Nur, Melek ve Hale’nin son 7 maçtaki basket sayıları
1.Maç
2.Maç
3.Maç
4.Maç
5.Maç
6.Maç
7.Maç
Nur
12
20
18
16
22
19
30
Melek
8
18
24
14
27
21
25
Hale
13
21
16
17
24
16
30
Yeni maç için bu üç oyuncudan birini seçmek durumunda kalsaydınız hangi oyuncuyu seçerdiniz?
158
5) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
13
7, 8, 8, 9, 12, 13, 13, 13, 13, 14 veri grubuna ait,
12,5
a) Standart sapma
11
b) Aritmetik ortalama
10
c) Mod
8
3
ç) Ortanca
6) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) Aritmetik ortalamaları eşit olan veri gruplarında standart sapması
küçük olan grup daha tutarlıdır. (
)
b) Standart sapma hesaplanırken aritmetik ortalama hesaplanmaz.
(
)
c) Standart sapma bir merkezi yayılım ölçüsüdür.
(
)
STANDART PUANLAR
ETKİNLİK
Bir öğrencinin girmiş olduğu sınavlardaki puanları gösteren tablo aşağıdaki gibidir.
Tablo: Bir öğrencinin matematik, fizik ve kimya derslerine ait sınav verileri
Puan
Sınıfın Aritmetik Ortalaması
Sınıfın Standart Sapması
Matematik
67
60
15
Fizik
74
70
12
Kimya
58
53
9
Tabloya göre sizce bu öğrenci hangi dersten daha başarılıdır? Gerekçesiyle belirtiniz.
Başarının öğrencinin aldığı puanın aritmetik ortalamaya uzaklığıyla bir ilgisi olup olmadığını
ve standart sapmanın bu değerlendirmede etkisinin ne olabileceğini tartışınız.
ÖRNEK
Bir öğrencinin girmiş olduğu sınavlardaki puanlarını gösteren tablo aşağıdaki gibidir.
Tablo: Bir öğrencinin Türkçe, felsefe ve coğrafya derslerine ait sınav verileri
Puan
Sınıfın Aritmetik Ortalaması
Sınıfın Standart Sapması
Türkçe
70
75
2
Felsefe
60
50
3
Coğrafya
80
90
4
Bu öğrencinin hangi dersten daha başarılı olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM
Bu örnekte olduğu gibi bir öğrencinin farklı sınavlardaki aldığı puanlara bakarak bir karşılaştırma
yapmak yanıltıcı olabilir. Bunun için puanları z standart puanlara çevirmek başarı durumunu tespit
etmede kolaylık sağlar.
159
z puan z =
Ham Puan - Aritmetik Ortalama
Standart Sapma
zTürkçe = 70 - 75 = - 5 ,
2
2
formülüyle hesaplanır.
zFelsefe = 60 - 50 = 10 ,
3
8
zCoğrafya = 80 - 90 = - 10
4
4
Bu hesaplamaya göre en başarılı olduğu ders felsefedir.
Öğrencinin farklı sınavlardaki aldığı puanlara bakarak bir karşılaştırma yapmak yanıltıcı
olur. Karşılaştırmanın yapılabilmesi için önce ham puanların ortak bir puan sistemine yani
standart puanlara çevrilmesi gerekir. Standart puan gözlenen puanların ortalamadan olan
farklarını standart sapma cinsinden belirtilmesidir. Standart puanlar, ham puanların standart
bir dağılıma dönüştürülmesidir. Bu dönüştürme işlemi için z ve T puanları kullanılır.
z Standart Puan: Yapılan ölçümler sonucu elde edilen puanların aritmetik ortalamasının
sıfır (0), standart sapmasının bir (1) olduğu puanlardır. z puanı kişinin puanının sınıf ortalamasından kaç standart sapma uzaklıkta olduğunu gösterir.
X - x
=
dir.
S
Standart Sapma
Bu hesaplama sonucu z puanı büyük olan en başarılı, z puanı en düşük olan en başarısızdır.
z=
Ham Puan - Aritmetik Ortalama
ÖRNEK
Hale’nin kimya, fizik ve biyoloji derslerine ilişkin verileri aşağıdaki tablodaki gibidir.
Tablo: Hale’nin kimya, fizik ve biyoloji derslerine ait sınav verileri
Ham puan
Sınıfın Aritmetik Ortalaması
Standart Sapma
Kimya
72
67
4
Fizik
61
69
8
Biyoloji
87
86
2
Tabloya göre Hale’nin hangi dersten daha başarılı olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM
Hale’nin hangi derste daha başarılı olduğunu bulabilmek için her bir dersin z puanını hesaplayalım.
X - x 72 - 67 5
X - x 61 - 69 -8
X - x 87 - 86 1
zKimya =
=
= , zFizik =
=
=
= -1, zBiyoloji =
=
=
S
S
S
4
8
2
4
8
2
Sonuçlarda görüldüğü üzere, zKimya > zBiyoloji > zFizik olduğundan Hale’nin en başarılı olduğu ders
kimyadır.
Bu problemde olduğu gibi z puanlar negatif değerler de alabilir. Değerlendirmeyi daha rahat
anlaşılabilir pozitif değerlere dönüştürmek istersek, bunun için T standart puanına ihtiyacımız olur.
T Standart Puan: z standart puanının kesirden veya eksiden kurtarılması için kullanılan bir
standart puan türüdür. z puanını T puanına çevirmek için aşağıdaki formülden yararlanılabilir.
T = 10.z + 50
T puanında aritmetik ortalama 50, standart sapma 10 kabul edilir.
160
ÖRNEK
Önceki örnekteki öğrencinin z puanları
zKimya =
5
,z
= -1, zBiyoloji = 1 idi. Bu puanları T standart puana çevirelim.
4 Fizik
2
ÇÖZÜM
T = 10.z + 50 formülünü kullanalım.
TKimya = 10.z+50 = 10. 5 + 50 = 62,5
4
TFizik = 10.z + 50 = 10.(-1) + 50 = 30
TBiyoloji = 10.z + 50 = 10. 1 + 50 = 55
2
Bu durumda da öğrencinin kimya dersinde, fizik ve biyoloji derslerine göre daha başarılı olduğu
söylenebilir.
ÖRNEK
9-A sınıfının matematik öğretmeni, sınavın çok zor olduğu söylemlerine karşılık sınavın ham puanlarını T standart puanına dönüştüreceğini ve herkesin bu puan türünden not alacağını belirtmiştir.
14 öğrencisi olan 9-A sınıfının notları aşağıdaki gibidir.
Tablo: 9-A sınıfına ait matematik dersi puanları
Ham Puan
20
43
42
38
17
24
29
45
50
42
39
27
33
31
Tabloya göre ham puanları belli olan öğrencilerin T puanlarını bulalım.
ÇÖZÜM
Gerekli işlemler yapıldığında sınıfın aritmetik ortalaması yaklaşık 34, standart sapmasının yaklaşık 10 olduğu bulunur.
Sınavdan en düşük 17 ve en yüksek 50 alınmıştır.Bu puanlar z ve T standart puanları aşağıdaki gibidir.
X - x 17 - 34
17 ham puanı için z =
=
= -17 = -1,7
S
10
10
T = 10.z + 50 = 10.(-1,7) + 50 = 33
50 ham puanı için z =
X - x 50 - 34
=
= 1,6
S
10
T = 10.z + 50 = 10.(1,6) + 50 = 66 bulunur.
Öğrencilerin z ve T puanları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Tablo: 9-A sınıfına ait matematik dersi z ve T puanları
Ham puan
z puan
T puan
20
43
42
38
-1,4 0,9
0,8
0,4 -1,7
-1
58
54
40
36
59
17
33
24
29
45
50
42
39
-0,5 1,1
1,6
0,8
0,5 -0,7 -0,1 -0,3
66
58
55
45
61
27
43
33
49
31
47
161
UYGULAMA
1) Cem adlı öğrencinin matematik, geometri, fizik ve beden eğitimi derslerinden aldığı notlar
aşağıdaki gibidir.
Tablo: Cem’in matematik, geometri, fizik ve beden eğitim derslerine ait veriler
Ham Puan
(X)
Sınıf Aritmetik Ortalaması
( x )
Standart Sapması
(S)
Matematik
69
60
12
Geometri
52
47
9
Fizik
75
73
10
Beden Eğitimi
95
90
10
Tabloya göre öğrencinin hangi dersten daha başarılı olduğunu bulunuz.
2) Bir sınıftaki 24 öğrencinin Türkçe sınavından aldıkları notlar aşağıdaki gibidir. Bu veri tablosuna göre,
Tablo: Bir sınıftaki 24 öğrenciye ait notlar
70
50
55
60
65
70
71
64
82
73
42
50
38
80
75
35
55
60
60
65
80
64
72
34
48
32
70
40
45
50
a) Sınıfın notlarının aritmetik ortalamasını bulunuz.
b) Standart sapmasını bulunuz.
c) Sınıfın puanlarını z ve T standart puanlarına dönüştürünüz.
3) Bir öğrencinin matematik dersinden ham puanı 40, T puanı 30 ve bu sınavın standart sapması
6 ise matematik dersine ait notların aritmetik ortalamasını bulunuz.
4) Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz.
a) z Puanı ............................ formülüyle hesaplanır.
b) T = 10z + 50 formülüyle dönüştürülen puanlara ..................... puanı denir.
c) z puanı büyük olan en .................................. z puanı küçük olan en .................................. dir.
5) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
162
a) zFizik > zKimya > zMatematik ise öğrencinin en başarılı olduğu ders matematiktir.
(
)
b) T puanın aritmetik ortalaması 50, standart sapması 10 dur.
(
)
c) T puanı bir standart puan türüdür.
(
)
3.
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
A - Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
1) Bir değişkenin bir bütün içerisindeki oranını belirtmek için .................................................
grafiği kullanılır.
2) Bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini incelemek için .................................................
grafiği kullanılır.
3) İki değişken arasındaki ilişkiyi göstermek için ................................................ grafiği kullanılır.
4) Verilenlerin genişliğini, yığılımını öğrenmek için .......................................................... grafiği
kullanılır.
B - Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
1) Verilenler küçükten büyüğe doğru sıralandığında en çok tekrar
eden sayı tepe değer (mod) dir.
(
)
2) n elemanlı bir kümenin r elemanlı tüm dizilişlerinin sayısına n nin
r li kombinasyonu denir.
(
)
3) Veri grubundaki sayılarının toplamının, gruptaki terim sayısına
bölümü aritmetik ortalamaya eşittir.
(
)
4) 5 kişinin yuvarlak masa etrafındaki farklı dizilişlerinin sayısı 6! dir.
(
)
5) z puanı negatif bir değer alamaz.
(
)
C - Aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
1) A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile 243 ten büyük rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?
2)
n!
m!
= 12 ise n doğal sayısının alabileceği değerleri bulunuz?
3) a ve b doğal sayılardır. a! - b! = 209.b! olduğuna göre a + b toplamı en az kaçtır?
4) (n - 5)! + (n + 1)! + (5 - n)! toplamının değeri kaçtır?
5) 1! + 2! + 3! + … + 80! toplamında elde edilen sayının birler basamağında hangi rakam bulunur?
6) 4 avukat ve 3 savcı, 3 kişi önde, 4 kişi arkada ve savcılar bir arada olmak şartıyla kaç farklı
biçimde dizilirler?
7) 2, 3, 4, 5 rakamlarını kullanarak yazılan ve rakamları farklı olan tüm sayılar yazıldığında,
a) Bu sayılardan üç basamaklı olan sayıların toplamı kaçtır?
b) Üç basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında 20. sırada hangi sayı bulunur?
c) Üç basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında 452 sayısı kaçıncı sırada olur?
8) Bir marketteki ayran, gazoz ve meyve suyu içeceklerinden toplam 5 tane alacak bir kişinin
kaç farklı seçeneği vardır?
163
9) 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarını kullanarak tek ve çift rakamların kendi arasında küçükten büyüğe
doğru sıralandığı 6 basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir? (Tek ve çift sayılar yan yana olmak zorunda değildir.)
10) 18 adet 1 TL lik banknottan oluşan toplam 18 TL, üç çocuğa kaç değişik biçimde dağıtılabilir?
11) C(n, 2) + P(n, 2) = 3 ise n değerini bulunuz.
12) P(n, 2) = 2.C(n, 3) + n ise n değerini bulunuz.
13) Bir davete katılan yedi kişiden her biri diğerleri ile tokalaşmıştır. Kaç tokalaşma gerçekleşmiştir?
14) Düzlemde yedi doğru en çok kaç noktada kesişir?
15) 10 doğrudan 4 ü bir A noktasından geçmekte, bunlardan farklı üçü birbirine paraleldir. Bu 10
doğrunun en çok kaç kesim noktası vardır?
16) A
Yanda bir şehrin dik kesişen sokaklarının krokisi verilmiştir.
B ye uğramak şartıyla A dan C ye en kısa yoldan kaç değişik biçimde gidilebileceğini bulunuz.
B
C
6
17)(32 + 2) açılımında rasyonel olan terimlerin toplamını bulunuz.
-2 10
18)(x3 + 2x
)
açılımında sabit terim nedir?
19)K = {A, T, Y, Z, M} kümesinin elemanları ile beş harfli, harfleri tekrarsız anlamlı ya da anlamsız tüm kelimeler kartlara yazılıp torbaya atılıyor. Torbadan bir kart çekildiğinde kartın üzerinde
yazan kelimelerin içinde “MAT” kelimesinin bulunması olasılığı nedir?
20)4 pozitif ve 6 negatif sayı arasından rastgele 3 sayı çekiliyor. Seçilen sayıların çarpımının
pozitif olması olasılığını bulunuz.
21)Bir fabrikada üretilen 20 ampulden 4’ü bozuk olduğuna göre bu ampullerden rastgele seçilen
bir ampulün bozuk olması olasılığını bulunuz.
22)Anne, baba ve dört çocuk yuvarlak masa etrafında rastgele oturduğunda, anne ile babanın
yan yana gelme olasılıklarını bulunuz.
23)Aynı büyüklükte 3 mavi, 4 sarı, 2 yeşil top bulunan bir torbadan rastgele üç top çekildiğinde,
I) Üçünün farklı renk olma olasılığını bulunuz.
II) İkisinin mavi, birisinin sarı renk olma olasılığını bulunuz.
III) Üçünün de aynı renk olma olasılıklarını bulunuz.
24) E örneklem uzayında iki olay A ve B dir.
P(A) =
164
5
3
2
, P(A ∩ B) =
ve P(Aı ∩ Bı) =
ise P(Bı) kaçtır?
11
11
11
25)PAPATYA kelimesinin harfleri yer değiştirilerek yedi harfli farklı kelimeler yazılıyor. Yazılan
kelimelerden biri seçildiğinde, seçilen kelimenin P ile başlayıp, P ile bitme olasılığı nedir?
26) Tablo: Halı fabrikasındaki işçilerin günlük üretimleri
İşçi
2
Üretim (m )
A
B
C
Ç
D
E
F
G
H
1,30
1,50
1,20
1,00
1,60
1,40
2,00
2,50
1,50
Bir halı fabrikasında üretilen halıların tamamı el yapımıdır. Üretim esnasında çalışan işçilerin
2
günlük üretimleri yukarıdaki tabloda verilmiştir. 280 m halı siparişi alan fabrika sahibi müşterisine
halıları kaç gün sonra teslim eder?
27) A ve B şirketlerine ait piyasa değerleri
TL
64
Yandaki kutu grafiğinde A ve B şirketlerinin bir
ay içeri-sindeki piyasa değerinin değişimi verilmiştir.
A şirketinin üst çeyrek değeri ile B şirketinin
medyanının toplamı kaçtır?
56
54
48
40
32
30
A
B
Şirket
D - Aşağıdaki çoktan seçmeli soruları yanıtlayınız.
1) Bir marketin rafında bulunan üzümlü, fındıklı ve sütlü çikolatadan toplam 5 paket alacak kişinin kaç farklı seçeneği vardır?
A) 21
B) 42
C) 120
D) 243
E) 125
2) “BERİLSU” kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız yazılabilecek 7 harfli kelimelerin kaç
tanesinde sesli harfler alfabetik sırada bulunur?
A) 7!
B) 960
C) 840
D) 760
E) 720
3) 13 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünde kaç değişik biçimde sonuçlanır?
13
2
13!
A) 13!
B) 2 C)
D) 13 E) 2
2!
4) 5 farklı mektup, üç posta kutusuna her bir posta kutusuna en az bir mektup atmak şartıyla kaç
değişik biçimde dağıtılır?
A) 1
B) 125
C) 243
D) 480
E) 540
5) Bir davete katılan 8 kişiden her biri diğeri ile tokalaşmıştır. Kaç tokalaşma gerçekleşmiştir?
A) 24
B) 28
C) 30
D) 48
E) 56
6) 8 tane doğrudan 3 ü birbirine paralel, diğerleri ise bir A noktasında kesişmektedir. Buna göre
8 doğrunun en çok kaç kesim noktası vardır?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
(
2
2
7) x x
A) 45
)
10
açılımında baştan 3. terimin katsayısı kaçtır?
B) 90
C) 180
D) -90
E) -180
165
(
1
8) 2x x
A) 70
)
8
açılımında sabit terim kaçtır?
B) 480
C) 560
D) 1120
E) 1560
9) Tersten okunuşu kendisine eşit olan doğal sayılara polindrom denir. Örneğin 232, 7653567
ya da 2222 gibi. Buna göre beş basamaklı kaç tane polindrom vardır?
A) 700
B) 900
C) 960
D) 1040
E) 1200
10)
12! - 11!
A)
1
10! + 9!
19
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B)
12
19
11) n ∈ N olmak üzere,
hangisidir?
A) 1
C) 60
1
(2n)!
B) 2
+
1
(2n-1)!
C) 3
D) 110
=
9
(2n+1)!
E) 180
denklemini sağlayan n değeri aşağıdakilerden
D) 4
E) 5
12) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı, beş ile tam bölünebilen üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
A) 12
B) 16
C) 20
D) 24
E) 36
13) Özdeş 4 ü kırmızı, 2 si beyaz olan 6 bayrak yan yana altı bayrak direğine en çok kaç farklı
şekilde asılabilir?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 24
E) 30
14) 8 kişiden 5 kişilik takım oluşturulacaktır. A, takıma seçildiği takdirde B nin de seçilmesi koşuluyla kaç değişik seçim yapılabilir?
A) 41
B) 28
C) 26
D) 20
E) 15
6
2 4
15) (2x - y) açılımında x y lı terimin katsayısı kaçtır?
A) 120
B) 100
C) 90
D) 85
E) 80
16) 2035233 sayısının rakamları yer değiştirilerek oluşturulan 7 basamaklı sayılardan kaç tanesi
5 ile tam bölünebilir?
A) 140
B) 130
C) 120
D) 110
E) 1000
17) Bir yüzme yarışında A, B ve C gibi üç yüzücü vardır. A ve B nin yarışı kazanma olasılıkları C
nin yarışı kazanma olasılığının iki katıdır. B nin yarışı kazanma olasılığı kaçtır?
A)
1
5
B)
2
5
C)
3
5
D)
4
5
E) 1
18) Bir okuldaki öğrencilerden % 25 i matematik, % 15 i kimya ve % 10 u da hem matematik hem
kimya derslerinden kalmıştır. Bir öğrenci rastgele seçiliyor. Seçilen öğrenci matematikten kalmış ise
kimyadan da kalma olasılığı kaçtır?
166
A)
2
3
B)
4
5
C)
3
5
D)
2
5
E)
1
5
19) A torbasında aynı büyüklükte 4 kırmızı, 2 beyaz bilye, B torbasında aynı büyüklükte 2 kırmızı, 5 beyaz bilye vardır. A torbasından bir bilye çekilir ve B torbasına konur; sonra B torbasından da
bir bilye çekildiğinde çekilen bilyenin kırmızı renkte olma olasılığı kaçtır?
A)
703
1205
B)
901
1680
C)
71
93
D)
1
2
1
E)
3
1 1
1
, ve tür. Her biri he6 4
3
defe bir atış yapmış ve sadece biri hedefi vurmuş ise bunun A olma olasılığı kaçtır?
20) A, B, C adındaki üç kişinin bir hedefi vurma olasılıkları sırasıyla
A)
6
31
(
2
21) x –
B)
A) -400
1
x
)
12
1
6
C)
7
31
D)
3
13
E)
1
31
açılımında sabit terim nedir?
B) -340
C) 335
D) 345
E) 495
22) Melis ve Nehir’in aralarında bulunduğu 6 kişi yuvarlak bir masanın etrafına, Melis ile Nehir
yan yana gelmemek üzere kaç değişik şekilde sıralanabilirler?
A) 30
B) 456
C) 72
D) 120
E) 240
23) Her bir sorunun 5 seçeneği bulunan 20 soruluk bir sınavda cevaplarını rastgele işaretliyor.
Yaren bu 20 soruyu kaç farklı şekilde cevaplandırabilir?
B) 100
20
24)Aşağıdaki şartlara uygun 7 basamaklı kaç değişik telefon numarası yazılabilir?
I. İlk iki basamaktaki rakamlar sırasıyla 3 ve 5,
II. Üçüncü basamağı çift,
III. Dördüncü basamağı 4 ten küçük,
IV. Beşinci ve yedinci basamağı tek,
V. Altıncı basamağı 8 olan.
A) 320
C) 400
D) 5 5
A) 20
B) 375
C) 5 10
D) 500
E) 20
E) 625
25)
Şekilde kaç tane üçgen vardır?
A) 12
B) 16
C) 30
D) 42
E) 154
26) Son rakamları beş olan üç basamaklı sayılar içerisinden rastgele rakamları farklı olan bir
sayı seçildiğinde bu sayının 3 ile bölünebilme olasılığı kaçtır?
A)
1
5
B)
1
6
C)
1
3
D)
2
9
E)
23
64
12
27) (32 + 2) açılımındaki her bir terim birer karta yazılıp torbaya atılıyor. Bu torbadan rastgele bir kart çekildiğinde çekilen kartın üzerinde yazan terimin rasyonel terim olma olasılığı nedir?
12
1
2
3
A) 1
B)
C)
D)
E)
13
13
13
13
167
28) A = {x | 1 ≤ x <120, x ∈ N} kümesi veriliyor. A kümesinin elemanlarından rastgele biri seçildiğinde 4 veya 6 ile bölünebilmesi olasılığı kaçtır?
68
29)
A)
30) Bir spor kulübündeki lisanslı sporcular
119
C)
13
A)
119
B)
39
119
D)
9
119
8
15
1
B)
5
C)
5
119
2
15
D)
7
15
E)
1
2
Sporcu sayısı
A Eskrim
B Basketbol
C Futbol
50
D Voleybol
20
A
B
C
Yandaki sütun grafiğinde bir spor kulübünde lisanslı sporcu sayıları verilmektedir. Bu grafikteki
değerlerle dairesel grafik çizildiğinde voleybolculara
o
ait daire diliminin merkez açısı 100 olduğuna göre
futbolculara ait merkez ölçüsü kaç derecedir?
Spor branşları
D
A) 80
31) 4, 5, 2, 7, 4, 2, 5, 7 sayı dizisinin modu kaçtır?
32) 6, 3, 1, 5, 3, 5, 6, 5, 3 sayı dizisinin modu kaçtır?
E)
20 adet kareden oluşmuş dikdörtgen şekildeki gibidir. Yandaki dikdörtgenlerden rastgele biri seçildiğinde bunun kare olması olasılığını
bulunuz.
60
B) 90
A) Hepsi
C) 100
B) 2
A) 6
C) 4
B) 6 ve 1
D) 110
D) 5
C) 3 ve 5
E) 120
E) Yoktur
D) 5 ve 6
E) 1 ve 3
33) Matematik ham puanı 40, T puanı 20, standart sapması 4.
Tarih ham puanı 5, T puanı 50, standart sapması 7.
Coğrafya ham puanı 50, T puanı 70, standart sapması 3.
Türkçe ham puanı 70, T puanı 30, standart sapması 5.
Fizik ham puanı 85, T puanı 60, standart sapması 6.
Yukarıdaki Ali’nin beş dersten girdiği sınavlardan aldığı puan türleri verilmiştir. Buna göre artimetik ortalaması en yüksek olan dersi bulunuz.
A) Matematik B) Tarih
C) Coğrafya
D) Fizik
E) Türkçe
İş y
Resmi
daire
eri
34) Doğal gaz tüketim alanları
o
20
6o
o
84
Ev
Dairesel grafikteki merkez açılar bir ülkedeki tüketilen doğal gaz
enerjisinin tüketim alanlarına göre dağılımını göstermektedir. Buna
göre tüketilen doğal gazın kaçta kaçı iş yerlerinde kullanılmaktadır?
o
250
Sanayi
168
A)
1
90
B)
1
60
C)
1
45
D)
1
30
E)
1
15
35) Bir belediye su hizmeti için her aboneden sayaç kirası olarak 600 TL, abonenin harcadığı her
ton su için 200 TL almaktadır. Harcanan su miktarı ile ödenen ücrete arasındaki bağıntıyı aşağıdaki
grafiklerden hangisi gösterir?
A)
B)
TL
C)
TL
TL
1400
1400
1400
1000
1000
1000
600
600
600
200
200
1
2
200
Su
(Ton)
3
4
D)
TL
1
2
3
Su
(Ton)
4
E)
2
3
4
Su
(Ton)
TL
800
1400
600
1000
400
600
200
1
200
1
2
3
Su
(Ton)
4
1
2
3
4
Su
(Ton)
36) 4, 3, 7, 4, 7 dizisinin aritmetik ortalaması ile standart sapmasının 2 katının toplamı kaçtır?
A) 5 + 5
B) 5 + 6
C) 5 + 14
37) Matematik sınavında alınan notlar
Öğrenci sayısı
D) 5 + 26
E) 5 + 27
Yandaki sütun grafiği bir sınıftaki öğrencilerin
Matematik sınavından aldıkları notların dağılımını
göstermektedir. 50 ve 50 nin üzerinde not alanlar
başarılı olduğuna göre bu sınıfta başarısız olanlar
sınıfın yüzde kaçıdır?
15
10
5
40
A) 25
50
60
70
B) 20
80
Alınan
not
C) 15
D) 10
E) 5
38) 15 ile 26 sayıları arasındaki doğal sayılardan 4 ile tam bölünenler çıkarılırsa geriye kalan
sayı dizisinin aritmetik ortası ile ortanca değer farkı kaçtır?
A)
3
5
B)
2
7
C)
1
7
1
D) - 7
E) -
2
7
+
39) A = {x | 19 < x ≤ 54, x = 9k, k ∈ Z } kümesinin elemanlarının oluşturduğu sayı dizisinin medyanı ile standart sapmasının karesinin toplamı kaçtır?
A)
495
2
B)
395
2
C)
327
2
D) 45
E) 9
169
40) 1, 1, 5, 2, 3, 9, 2, 5, 4, 5 dizisinin alt çeyreği ile modunun toplamı kaçtır?
A) 3
B) 3,5
41)
C) 4
D) 7
E) 7,5
Aralarında 15 km bulunan İnci ile Selda
evlerinden aynı anda karşılıklı V1 ve V2 hızları
İnci
Selda
ile hareket ediyorlar. İnci ile Selda harketlerinV2 = 3 km/sa
V1 = 2 km/sa
den kaç saat sonra ve İnci’nin evinden kaç km
uzaklıkta karşılaşırlar?
Bu problemin grafik çözümünü gösteren grafik aşağıdakilerden hangisidir?
15 km
A)
B)
Süre (saat)
İnci
3
İnci
3
2
6
10
D)
2
15
1
Yol
(km)
4
9
İnci
3
15
İnci
2
6
15
Yol
(km)
Süre (saat)
Selda
3
2
2
1
4
42)
Selda
1
Yol
(km)
E)
Süre (saat)
Süre (saat)
3
Selda
2
Selda
1
C)
Süre (saat)
9
15
Yol
(km)
İnci
1
Selda
4
12
15
Yol
(km)
M ile N yerleşkeleri arasındaki karayolu üzerinde şekildeki gibi M den 10 km uzaklıkta K ve K
den 20 km uzaklıkta ise L benzin istasyonları bulunmaktadır. Buna göre M den N ye doğru sabit bir
hız ile ilerleyen bir kamyonetin K ve L benzin istasyonlarına olan uzaklıkları toplamının zamana göre
değişimini gösteren grafik aşağıdakilerden hangisidir?
A)
M
K
L
N
B)
Uzaklık
(km)
C)
Uzaklık
(km)
40
40
40
30
30
30
20
20
20
10
10
10
Zaman
D)
E)
Uzaklık
(km)
40
40
30
30
20
20
10
10
Zaman
170
Zaman
Zaman
Uzaklık
(km)
Uzaklık
(km)
Zaman
43) Televizyon mağazasında aylara göre satış
Satış
miktarı
(tane)
Yandaki grafikte bir televizyon mağazasının
aylara göre satışını göstermektedir.
I) En çok satış yalnız Nisan ayında yapıl60
mıştır.
50
40
II) En az satış Ocak ile Mart aylarında ya30
pılmıştır.
20
III) Nisan ayındaki satış, Mart ayından 30
10
tane fazladır.
Aylar
Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haziran
IV) En az satış Haziran ayında yapılmıştır.
V) Televizyon satışının aritmetik ortalaması 30 dur.
Buna göre yukarıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
A) 1
44)
B) 2
C) 3
D) 4
Bir spor kulübünün sporcu sayısı
Sporcu sayısı
225
205
175
160
145
A
B
1
C
3
D
5
E
7
F
9
Aylar
11
E) 5
Yandaki grafik bir spor kulübünün sporcu
sayısının yıllara göre dağılımını göstermektedir.
I) C ve E aralığında sporcu sayısı artmamıştır.
II) En çok sporcu sayısı D aralığında azalmıştır.
III) En çok sporcu sayısı B aralığında artmıştır.
IV) En çok sporcu sayısı F aralığında art-
mıştır.
V) En çok sporcu sayısı ile en az sporcu sayısı 200 dir.
VI) Sporcu sayısı her yıl artmıştır.
Buna göre yukarıdakilerden kaç tanesi yanlıştır?
A) 6
B) 5
45)
22
37
21
41
36
28
35
40
42
39
23
34
43
35
38
30
A
28
24
41
C) 4
31
20
34
28
44
29
21
37
42
33
Kazılan tünel (m)
Gün sayısı
20 - 24
6
25 - 29
5
30 - 34
5
35 - 39
7
40 - 44
7
A) 27
B) 31
D) 3
E) 2
Yol yapım çalışması sırasında yolun dağa gelen kısmına
tünel kazılacaktır. Tünel kazı çalışmalarında günde kaç metre
kazıldığını gösteren veriler yanda verilmiştir.
Yukarıda verilenlere göre oluşturulan tabloda A yerine
hangi sayı gelmelidir?
C) 38
D) 42
E) 51
171
46)
Bir öğrencinin günlük etkinlikleri
Zaman
Yandaki grafik bir öğrencinin bir günlük
A: Okulda geçirdiği süreyi
B: Uykuda geirdiği süreyi
C: Oyunda geçirdiği süreyi
D: Dinlemede geçen süreyi göstermektedir.
Bu öğrenci oyunda geçirdiği sürenin kaç dakikasını uykuya ayırırsa uykuda geçirdiği süre oynadığı
sürenin 4 katı olur?
40
30
X
10
Etkinlik
A
B
A) 180
47)
C
D
B) 160
C) 156
D) 144
E) 120
Günlük sebze satışı
E
70o
100o
Domates
80o
60o
Patlıcan
A
Bir manavdaki sebzelerin dairesel günlük satış grafiği yandaki gibidir.
Bu manav bir günde toplam 180 kg sebze sattığına göre
bu günlük satışın sütun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
D
Havuç
50o
Patates
C
Ispanak
B
A)
B)
kg
kg
80
100
80
70
60
50
40
30
20
10
Sebze
A
C)
D
E
B
C
D)
kg
50
D
E
B
C
A
B
C
D
E
kg
60
50
40
40
30
20
10
20
Sebze
A
D
E
B
C
E)
kg
50
40
35
30
25
Sebze
A
172
Sebze
A
D
E
B
C
Sebze
4. ÜNİTE
TÜMEVARIM VE DİZİLER
1. Kiremit
2. Kiremit
3. Kiremit
.
.
.
.
.
TÜMEVARIM
Şekilde görülen kiremitlerden 1. kiremite bir şişe su dökülüyor
daha sonra suyun 2. kiremite ulaştığı gözleniyor. Böylece suyun
akışı devam ediyor ve n. kiremite suyun ulaştığı gözleniyorsa suyun
(n+1). kiremite ulaşıp ulaşamayacağını tartışınız.
n. Kiremit
n+1. Kiremit
ETKİNLİK
İnsanlara bazı konularda düşünceleri sorulduğunda herkesin ortak ve genel fikri birlikteliği
sağladığı durumlar vardır. Örneğin “Barajların dolması için yağış gereklidir.” ve benzeri durumlar
tartışılmaz. Her kesin tartışmasız kabul ettiği bu düşünce oluşumuna genelleme adı verilir.
Matematikte ise genelleme, bir kümedeki tüm elemanların aynı özelliği taşıdığı anlamına gelir.
Bu düşünce oluşumu bir ispat olmadığı gibi tutarlı varsayım altında kümenin her elemanı için doğru
olmasını ifade eder.
5 - 2 = 3, 11 - 4 = 7 olmasından “İki doğal sayının farkı yine bir doğal sayıdır.” varsayımını
tartışınız.
2 - 5 = -3 ∉ N, 4 - 11 = -7 ∉ N olduğundan doğal
sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değildir. O hâlde
“İki doğal sayının farkı yine bir doğal sayıdır.” varsayımının bir
genelleme olup olmayacağını tartışınız.
Resimdeki domino taşlarından 1. taşın devrilmesi 2.
nin devrilmesini, 2. devrilmesi de 3. nün devrilmesi sonucunu
ortaya koyar. Bu işlem sürdüğünde n. taşın devrilmesi durumunda (n + 1). taşın durumunu tartışınız.
ÖRNEK
"Pozitif çift tam sayılar 2 ile tam bölünür." varsayımının doğruluğunu araştıralım.
ÇÖZÜM
2 nin tam sayı katları olan sayılar 2 ile tam bölünür.
O hâlde pozitif tam sayılar kümesini A = {2, 4, 6, ...... ,2n, ...} biçiminde yazalım ve bu sayıların
2 nin tam sayı katları biçiminde yazılıp yazılamayacağına bakalım.
Kümenin birinci (en küçük) elemanı 2n dir ve 2 = 2.1 olduğundan 2 sayısı 2 ile tam bölünür.
Kümenin 2. elemanı 4 tür ve 4 = 2.2 olduğundan 4 sayısı 2 ile tam bölünür.
Kümenin n. elemanı 2n dir ve 2n sayısı 2 nin n katı olduğundan 2n sayısı 2 ile tam bölünür.
Kümenin (n+1). elemanı 2n + 2 dir ve2n + 2 = 2.(n + 1) olduğundan 2n+2 sayısı 2 nin n+1
katı olduğundan 2 ile tam bölünür. Dolayısıyla "pozitif çift tam sayılar 2 ile tam bölünür" varsayımı
doğrudur.
Genellemenin ispatında tümevarım yöntemi kullanılır. Bu yöntem, varsayım kümenin tüm
elemanları için geçerli olduğunun ortaya konmasına dayanır.
Tümevarım yönteminde de bir küme ile bu kümedeki bir P(n) açık önermesi birlikte düşünülür. Domino taşlarında olduğu gibi kümenin birinci elemanının P(n) önermesini sağladığını,
aynı şekilde ikinci elemanın da önermeyi sağladığı gösterilir. Bu düşünce kümenin n. elemanı
için P(n) önermesinin doğru olacağı varsayımını gerektirir. (n + 1). elemanın da doğru olduğunun gösterilmesine tümevarım yöntemiyle ispat denir.
Böylece kümenin her elemanının önermeyi doğruladığı sonucuna ulaşılır.
173
ÖRNEK
∀n ∈ N+ için, P(n) : 1 + 2 + 3 + ......... + n =
varım yöntemi ile gösterelim.
n.(n + 1)
açık önermesinin doğru olduğunu tüme2
ÇÖZÜM
1.(1 + 1)
2
n=1 için P(1) : 1 =
n=2 ..
.
n=k için P(2) : 1 + 2 =
⇒ 1=1 2.(2 + 1)
⇒ 3=3 2
⇒ P(1) doğrudur.
⇒ P(2) de doğrudur.
k.(k + 1)
önermesinin doğru olduğunu varsayalım.
2
(k + 1).(k + 1 + 1)
P(k + 1) : 1 + 2 + 3 + .... + k + k + 1 =
olduğunu göstermek
2
için P(k) : 1 + 2 + 3 + .... + k =
n = k + 1 için için doğru olduğunu varsaydığımız eşitliğin her iki tarafına (k + 1) ekleyelim:
k.(k + 1)
+ (k + 1)
2
k.(k + 1) + 2.(k + 1)
1 + 2 + 3 + .............. + k + (k + 1) =
2
(k + 1) + (k + 2)
1 + 2 + 3 + .............. + k + (k + 1) =
2
(k + 1).(k + 1 + 1)
1 + 2 + 3 + .............. + k + (k + 1) =
olur.
2
1 + 2 + 3 + .............. + k + (k + 1) =
Bu açık önermenin P(k + 1) önermesidir ve P(k + 1) önermesi de doğrudur. Dolayısıyla,
+
∀n ∈ N
için P(n) : 1 + 2 + 3 + .......... + n =
n.(n + 1)
önermesi doğru olur.
2
ÖRNEK
+
∀n ∈ N için, P(n) : 2 + 4 + 6 + .... + 2n = n.(n + 1) açık önermesin doğru olduğunu tümevarım
yöntemi ile gösterelim.
ÇÖZÜM
n = 1 için n = 2 için ..
.
n = k için n = k + 1 için P(1) : 2 = 1.(1 + 1)
P(2) : 2 + 4 = 2.(2 + 1)
⇒ 2=2 ⇒ 6=6 ⇒ P(1) doğrudur.
⇒ P(2) de doğrudur.
P(k) : 2 + 4 + 6 + .... + 2k = k.(k + 1) önermesinin doğru olduğunu varsayalım.
P(k + 1) : 2 + 4 + 6 + .... + 2.(k + 1) = (k + 1).(k + 1 + 1) olduğunu göstermek
için doğru olduğunu varsaydığımız eşitliğin her iki tarafına 2k + 2 ekleyelim:
2 + 4 + 6 + ............. + 2k + (2k + 2) = k.(k + 1) + (2k + 2)
2 + 4 + 6 + ............. + 2k + 2 = k.(k + 1) + 2.(k + 1)
2 + 4 + 6 + ............. + 2.(k + 1) = (k + 1).(k + 2)
2 + 4 + 6 + ............. + 2.(k + 1) = (k + 1).(k + 1 + 1)
Bu açık önerme P(k + 1) önermesidir ve doğrudur.
+
Dolayısyla, ∀n ∈ N
174
için P(n) : 2 + 4 + 6 + ..... + 2n = n.(n + 1) önermesi doğru olur.
ÖRNEK
+
∀n ∈ N için, P(n) : 1 + 3 + 5 + ..... + (2n − 1) = n2 açık önermesinin doğru olduğunu tümevarım
yöntemi ile gösterelim.
ÇÖZÜM
2
n = 1
n .= 2
..
n=k
n=k+1
için P(1) : 1 = 1 2
için P(2) : 1 + 3 = 2 ⇒ 1 = 1 ⇒
⇒ 4 = 4 ⇒
P(1) doğrudur.
P(2) de doğrudur.
2
için P(k) : 1 + 3 + 5 + ..... + (2k − 1) = k önermesinin doğru olduğunu varsayalım.
2
için P(k + 1) : 1 + 3 + 5 + ..... + 2.(k + 1) − 1 = (k + 1) olduğunu göstermek için
doğru olduğunu varsaydığımız eşitliğini her iki tarafına (2k + 1) ekleyelim.
2
1 + 3 + 5 + ....... + 2k − 1 + (2k + 1) = k + (2k + 1)
2
1 + 3 + 5 + ....... + [2.(k + 1) − 1] = (k + 1)
olur.
Bu açık önerme P(k + 1) önermesidir ve doğrudur.
2
O halde ∀n ∈ N+ için, P(n) : 1 + 3 + 5 + ..... + (2n − 1) = n
önermesi doğru olur.
ÖRNEK
+
2
2
2
2
∀n ∈ N için, P(n) : 1 + 2 + 3 + ..... + n =
tümevarım yöntemi ile gösterelim.
n.(n + 1).(2n + 1)
açık önermesinin doğru olduğu
6
ÇÖZÜM
2
1.(1 + 1).(2.1 + 1)
6
n=1
için
P(1) : 1 =
n=2
..
.
için
P(2) : 1 + 2 =
n=k
için
P(k) : 1 + 2 + 3 + ........ + k =
2
2
2
2
2.(2 + 1).(2.2 + 1)
⇒ 5 = 5 ⇒ P(2) de doğrudur.
6
2
2
nu varsayalım.
2
⇒ 1 = 1 ⇒ P(1) doğrudur.
2
k.(k + 1).(2k + 1)
önermesinin doğru olduğu6
2
2
n = k + 1 için P(k + 1) : 1 + 2 + 3 + ...... + (k + 1) =
(k + 1).(k + 1 + 1).[2.(k + 1) + 1]
6
oldu-
2
ğunu göstermek için doğru olduğunu varsaydığımız eşitliği her iki tarafına (k + 1) ni ekleyelim.
2
2
2
2
2
2
2
2
1 + 2 + 3 + ........ + k + (k + 1) =
2
1 + 2 + 3 + ........ + (k + 1) 2
2
2
2
1 + 2 + 3 + ........ + (k + 1) =
=
k.(k + 1).(2k + 1)
2
+ (k + 1)
6
2
k.(k + 1).(2k + 1) + 6.(k + 1)
6
(k + 1).[k.(2k + 1) + 6.(k + 1)]
6
2
(k + 1).[2k + 7k + 6]
=
6
(k + 1).[(k + 2).(2k + 3)]
=
6
2
2
2
2
1 + 2 + 3 + ...... + (k + 1) =
(k + 1).(k + 1 + 1).[2.(k + 1) +1]
6
olur.
175
Bu açık önerme P(k + 1) önermesidir ve doğrudur. Dolayısyla,
+
2
2
2
2
3
3
3
3
n.(n + 1).(2n + 1)
önermesi doğrudur.
6
∀n ∈ N için, P(n) : 1 + 2 + 3 + ..... + n =
ÖRNEK
+
(
∀n ∈ N için, P(n) : 1 + 2 + 3 + .... + n =
n.(n + 1)
2
)
2
açık önermesinin doğru olduğu tüme-
varım yöntemi ile gösterelim.
ÇÖZÜM
n=1
için
n=2
..
.
için
n=k
için 3
P(1) : 1 =
[
3
1.(1 + 1)
2
[
3
P(2) : 1 + 2 =
3
3
]
2
2.(2 + 1)
2
⇒ 1 = 1 ⇒ P(1) doğrudur.
2
] 3
3
P(k) : 1 + 2 + 3 + .... + k =
3
⇒ 9=9 ⇒
[
]
k.(k + 1)
2
P(2) de doğrudur.
2
önermesinin doğru olduğunu var-
saydığımız eşitliğin her iki tarafına (k + 1) ünü ekleyelim.
3
3
3
3
3
1 + 2 + 3 + .... + k + (k + 1) =
[
]
k.(k + 1)
2
2
2
3
+ (k + 1) =
2
k .(k + 1)
4
2
+ (k + 1) .(k + 1)
k .(k + 1)
4.(k + 1) .(k + 1) (k + 1) .[k + 4.(k + 1)]
=
+
=
4
4
4
(k + 1) .[k + 4k + 4]
(k + 1) .(k + 2)
=
=
4
4
2
2
2
2
3
3
3
3
2
2
2
3
1 + 2 + 3 + .... + k + (k + 1) =
2
2
(k + 1) .(k + 1 + 1)
4
=
[
2
(k + 1).(k + 1 + 1)
2
2
]
2
olur.
Bu açık önerme P(k + 1) önermesidir ve doğrudur. O hâlde ,
+
3
3
3
3
∀n ∈ N için, P(n) : 1 + 2 + 3 + ..... + n =
(
n.(n + 1)
2
)
2
önermesi doğrudur.
ÖRNEK
+
2
n-1
∀n ∈ N için, P(n) : 1 + r + r + ..... + n
tümevarım yöntemi ile gösterelim.
n
= 1 - r ; (r ≠ 1) açık önermesinin doğru olduğunu
1-r
ÇÖZÜM
176
1
n=1
için
P(1) : 1 = 1 - r
1-r
n=2
..
.
için
P(2) : 1 + r = 1 - r
1-r
n=k
için
P(k) : 1 + r + r + ...... + r
2
2
⇒ 1 = 1 ⇒ P(1) doğrudur.
⇒ 1 + r = 1 + r ⇒ P(2) de doğrudur.
k-1
k
= 1 - r önermesinin doğru olduğunu varsayalım.
1-r
k+1
2
k
P(k + 1) : 1 + r + r + .... + r = 1 - r
1-r
n = k +1 için olduğunu göstermek için doğru oldu-
k
ğunu varsaydığımız eşitliğin her iki tarafına r ekleyelim.
2
k-1
1 + r + r + ........ + r
k
k
k
+ r = 1 - r + r
1-r
k
k
r .(1 - r)
2
k
1 + r + r + ........ + r = 1 - r +
1-r
1-r
k
k
2
k
1 + r + r + ........ + r = 1 - r + r - r
1-r
k+1
2
k
1 + r + r + ........ + r = 1 - r
1-r
k+1
olur.
Bu açık önerme P(k + 1) önermesidir ve doğrudur. O hâlde,
2
n
= 1 - r ; (r ≠ 1) önermesi doğrudur.
1-r
n-1
∀n ∈ N+ için, P(n) : 1 + r + r + ........ + r
ÖRNEK
+
∀n ∈ N için, P(n) :
1
+
1
1.2 2.3
tümevarım yöntemi ile gösterelim.
+
1
3.4
1
+ ..... +
n.(n + 1)
=
n
n+1
açık önermesinin doğru olduğunu
ÇÖZÜM
n=1
için
P(1) :
n=2
için
P(2) :
n=k
için
olduğunu varsayalım.
n = k + 1 için 1
=
1.(1 + 1)
1 +
1.2
1
1+1
1
2.(2 + 1)
=
⇒
1 = 1
⇒ P(1) doğrudur.
⇒
2 = 2
⇒ P(2) de doğrudur.
2
2+1
2
2
3
3
1 + 1 + ..... +
1
P(k) : 1 +
= k
3.4
2.3
k.(k
+
1)
k+1
1.2
k+1
1
1 + 1 + ..... +
P(k + 1) : 1 +
=
olduğunu
3.4
2.3
1.2
(k + 1).(k + 1 + 1) k + 1 + 1
1
göstermek için doğru olduğunu varsaydığımız eşitliğin her iki tarafına
1 + 1 + 1 + ..... +
1.2
2.3
3.4
1 + 1 + 1 + ..... +
1.2
2.3
3.4
1 + 1 + 1 + ..... +
1.2
2.3
3.4
önermesinin doğru
1
k.(k + 1)
+
1
(k + 1).(k + 2)
1
(k + 1).(k + 2)
=
k
(k + 1)
(k + 2)
1
(k + 1).(k + 1 + 1)
=
=
=
+
k
k+1
+
(k + 1).(k + 2)
ekleyelim.
1
(k + 1).(k + 2)
1
(k + 1).(k + 2)
k.(k + 2) + 1
(k + 1).(k + 2)
=
2
k + 2k + 1
(k + 1).(k + 2)
2
=
(k + 1)
(k + 1).(k + 2)
k+1
k+2
177
1 + 1 + 1 + ..... +
3.4
2.3
1.2
1
(k + 1).(k + 1 + 1)
=
k+1
k+1+1
olur.
Bu açık önerme P(k + 1) önermesidir ve doğrudur. Dolayısıyla,
n
+
1 + 1 + ..... +
1
∀n ∈ N için, P(n) : 1 +
=
açık önermesinin doğrudur.
n.(n + 1) n + 1
1.2 2.3 3.4
+
∀n ∈ N için,
• 2 + 4 + 6 + ..... + 2n = n.(n + 1)
n
2
n-1
1 - r ; (r ≠ 1)
• 1 + r + r + ........ + r =
2
• 1 + 3 + 5 + .... + (2n - 1) = n 2
2
2
2
• 1 + 2 + 3 + ..... + n =
n.(n + 1)
• 1 + 2 + 3 +..... n =
2
1 + 1 + 1 + ..... +
•
3.4
2.3
1.2
1-r
(
3
3
3
3
n.(n + 1)
• 1 + 2 + 3 + ..... + n =
1
n.(n + 1)
n.(n + 1).(2n + 1) 6
=
n
n+1
2
)
2
dır.
ÖRNEK
+
∀n ∈ N olmak üzere 5n - 1 sayısının 4 ile tam bölünebildiğini tümevarım yöntemi ile gösterelim.
ÇÖZÜM
n=1
için 51 - 1 = 4 , 4 = 4.1 olduğundan 4 sayısı 4 ile tam bölünür.
n=2
.
.
.
için 52 − 1 = 24 , 24 = 4.6 olduğundan 24 sayısı 4 ile tam bölünür.
n = k
için
5 − 1 sayısının 4 ile bölünebildiğini varsayalım.
k
k
Bu durumda, 5 − 1 = 4.m (m ∈ Z) olur.
k+1
n = k + 1 için 5
− 1 sayısının 4 ile bölünebildiğini söylemek için doğru olduğunu varsay-
dığımız eşitliği 5 ile çarpalım.
k
5.(5 − 1) = 5.4.m
k+1
5
k+1
5
− 5 = 5.4.m
− 1 − 4 = 5.4.m
k+1
− 1 = 5.4.m + 4
k+1
− 1 = 4.(5.m + 1) ⇒ 5 − 1 sayısı da 4 ile tam bölünür.
5
5
k
UYGULAMA
+
1) ∀n ∈ N için, 1.1! + 2.2! + 3.3! + ..... + n.n! = (n + 1)! − 1 açık önermesinin doğru olduğunu
tümevarım yöntemi ile gösteriniz.
+
2) ∀n ∈ N için, n.(n + 1).(n + 2) ifadesinini 3 ile tam bölünebildiğini tümevarım yöntemi ile ispat
ediniz.
+
2n
3) ∀n ∈ N için, 3
− 1 sayısının 8 ile tam bölünebildiğini tümevarım yöntemi ile gösteriniz.
4) Karmaşık sayılardaki De Moivre formülünün doğru olduğunu tümevarım yöntemi ile gösteriniz
178
TOPLAM SEMBOLÜ (
)
19 mayıs Atatürk'ü Anma ve Gençlik ve Spor Bayramı törenlerinde öğrenciler bir kule gösterisi sunuyor. Gösteride en üstte
bir öğrenci olmak üzere, birbirini izleyen her katta, bir üsttekinin iki
katı sayıda öğrenci olacak şekilde altı katlı bir kule oluşturuluyor.
Verilere göre kule oluşturulurken her katta bulunan öğrenci
sayılarını bir örüntü olarak yazınız ve her örüntüdeki elemanların
toplamını bulunuz.
ETKİNLİK
8
8
(2k − 1) ifadesi açık olarak,
k=4
(2k − 1) = (2.4−1)+(2.5−1)+(2.6−1)+(2.7−1)+(2.8−1) k=4
= 7 + 9 + 11 + 13 + 15 biçiminde yazılır.
9
Bu yazımı inceleyerek,
7
k
k=2
5
,
2i ,
i=3
2 ifadelerini açık olarak yazınız.
n=1
6 + 12 + 18 + 24 + 30 + 36, 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 70, 7 + 12 + 17 + 22 + 27 ve
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 toplamlarını
sembolü ile ifade ediniz.
Bağıntısı belli olan örüntülerde elemanlar toplamının kısaca nasıl yazılabileceğini tartışınız.
ÖRNEK
1,
1 1 1 1 1
, , , ,
örüntüsündeki elemanların toplamı
4 9 16 25 36
sembolu ile kısaca ifade edilir.
ÇÖZÜM
1+
1 1
1
1
1
+ +
+
+
toplamındaki herbir terim bir rasyonel sayının karesidir. Buna göre
4 9 16 25 36
() () () () ()
1 1
1
1
1
1
2
1+ + +
+
+
=1 +
4 9 16 25 36
2
2
1
+
3
2
1
+
4
2
1
+
5
2
1
+
6
6
2
=
k=1
()
1
k
2
olur.
Bağıntısı belli olan örüntülerin elemanları toplamını kısaca ifade etmek için
sembolu kullanılır.
(Sigma)
n
ak biçiminde gösterilir.
a1 + a2 + a3 + ...... + an toplamı kısaca,
k=1
Bu ifade k = 1 den n ye kadar ak sayılarının toplamı diye okunur.
n: üst sınır (n ∈ Z)
n
ak
k=m
k : indis ya da değişken
m : alt sınır (m ∈ Z) (n ≥ m) dir.
179
ÖRNEK
999
k=1
( )
log k + 1
k
toplamını bulalım.
ÇÖZÜM
999
k=1
( )
( ) ( ) ( )
(
log k + 1 = log 1 + 1 + log 2 + 1 + log 3 + 1 + ......... + log 999 + 1
k
1
2
3
999
= log 2 + log 3 + log 4 + ....... + log 1000
2
3
999
= log 2. 3 . 4 . ..... . 1000 = log 1000 = 3
2 3
999
(
)
)
bulunur.
ÖRNEK
180
(cos ko) toplamını bulalım.
k=0
ÇÖZÜM
180
o
o
o
o
o
o
o
o
(cos ko) = cos0 + cos1 + .... + cos88 + cos89 + cos90 + cos91 + cos92 + .... + cos180
k=0
= 1+ cos1o + .... + cos88o + cos89o + cos90o + cos(180o−89o) + cos(180o−88o) + .... + cos (180o−1o) + (-1)
= 1 + cos1o + .... + cos88o + cos89o + cos90o − cos89o − cos88o − .... − cos 1o -1 = 0 bulunur.
ETKİNLİK
Aşağıda her satırın başında verilen bilyelerin sayısını bulmak için yapılanları inceleyiniz.
1
1=
1.2
2
1+2
3=
2.3
2
1+2+3
6 = 3.4
1+2+3+4
10 = 4.5
2
Bilye sayısı ile kurulan eşitlikleri karşılaştırınız.
180
2
Yaptığınız çıkarıma göre 5. satırdaki bilye sayısı için uygun olan eşitlikleri noktalı yere yazınız.
.....................
Bilye sayısı arttıkça eşleme yolu ile sayma yerine çarpma yolu ile saymanın daha kolay
olduğu görülmektedir. Buna göre yapılanlardan bir modellemeye geçip geçemeyeceğinizi tartışınız.
n satırında olması gereken bilye sayısı ile 1 den n ye kadar sayma sayılarının toplamı arasında bir kural oluşturunuz.
ÖRNEK
1 den 100 e kadar ardışık doğal sayıların toplamını bulalım.
ÇÖZÜM
1 den 3 e kadar ardışık doğal sayıların toplamı: 1 + 2 + 3 = 6 = 3.4
2
1 den 4 e kadar ardışık doğal sayıların toplamı: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 4.5 olduğuna göre
2
100 e kadar ardışık doğal sayıların toplamı da: 1 + 2 + 3 .......+ 100 = 100.101 = 50.101
2
= 5050 bulunur.
n
+
n ∈ N olmak üzere,
1 + 2 + 3 + ...... + n =
k=
k=1
n.(n + 1)
2
olur.
ÖRNEK
15 ten 75 e kadar doğal sayıların toplamını bulalım.
ÇÖZÜM
Önce 1 den 75 e kadar ardışık doğal sayıların toplamını yazalım.
75
k = 1 + 2 + 3 +............+ 14 + 15 + 16 +...................+ 75
k = 1
k =
75
k
75
k
=
k=1
k=1
75.76
14.15
=
2
dır.
k = 15
14
k
+
k=1
O hâlde,
2
75
14
k
+
k = 15
75
75
+
k
k = 15
⇒
75.76 − 14.15 = 2745
k =
2
2
bulunur.
k = 15
181
ETKİNLİK
Aşağıda her satırın başında verilen bilyelerin sayısını bulmak için yapılanları inceleyiniz.
1 = 12
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42
Her satırdaki bilye sayısı ile yanlarında yazılan eşitlikleri ilişkilendiriniz.
5. satırdaki bilye sayısı için uygun eşitliği noktalı yerlere yazınız.
...................................
Her bir satırdaki ardışık tek sayıların toplamındaki son tek sayı ile bilyelerin bulunduğu satır
arasında bir bağıntı oluşturunuz.
Ardışık tek sayıları toplamı ile bilyelerin bulunduğu satırın karesini karşılaştırınız.
n satırda olması gereken bilye sayısı ile ardışık tek sayılar ilk n terim toplamı arasında bir
bağıntı oluşturunuz.
ÖRNEK
1 + 3 + 5 + ............... + 37 toplamını bulalım.
ÇÖZÜM
Toplamdaki son tek sayı 37 dir. 37 sayısı 2n - 1 olarak alındığında toplam n2 ye eşit olacağından, 2n − 1 = 37 ⇒ 2n = 38
⇒ n = 19 olur.
1 + 3 + 5 + ................ + 37 = 192 = 361 bulunur.
n
+
(2k - 1) = n2 dir.
∀n ∈ N için, 1 + 3 + 5 +........................+ (2n - 1) =
k=1
182
ETKİNLİK
D
C
2
An
.
..
.
.
.
2
Yandaki ABCD dikdörtgeninde A1, A2, A3,...., An
içinde bulundukları kapalı bölgelerin alanlarını göstermektedir.
A3
2
A2
2 A
1
1
1
2
3
B
n
.
.
.
A
A1, A2, A3, ..........., An alanları için aşağıda yapılanları inceleyiniz.
2
A1 = 1.(1 + 2) = 1.3 = 3 = 3.1 = 3.1
A2 = (1 + 2).(1 + 2 + 2) − A1
2
= 15 − 3 = 12 = 3.4 = 3.2
A3 = (1 + 2 + 3).(1 + 2 + 2 + 2) − ( A1 + A2 )
2
= 42 − 15= 27 = 3.9 = 3.3
A4 = (1 + 2 + 3 + 4).(1 + 2 + 2 + 2 + 2) − ( A1 + A2 + A3 ) = 90 − 42 = 48 = 3.16 = 3.4
..
.
An = 3.n
2
2
A1, A2, A3 , .........., An toplamını yazınız.
ABCD dörtgensel bölgenin alanını, A(ABCD) = |AB|.|AD| = (1 + 2 + 3 + .... + n).(2n + 1)
n.(n + 1)
=
.(2n + 1) olarak yazabiliriz.
2
ABCD dikdörtgensel bölgesinin alanı ile A1, A2, A3, ...... , An toplamını karşılaştırınız.
Karşılaştırmanızdaki eşitlikten faydalanarak 1 den n ye kadar ardışık doğal sayıların kareleri
toplamı için n ye bağlı bir bağıntı oluşturunuz.
n
+
2
2
2
2
∀n ∈ N için, 1 + 2 + 3 + ......... + n =
k =
k=1
n(n +1).(2n+1)
6
dır.
ÖRNEK
1 den 20 ye kadar ardışık doğal sayıların kareleri toplamını bulalım.
ÇÖZÜM
20
2
2
2
2
2
1 + 2 + 3 + ....... + 20 =
k
k=1
=
20.21.41
= 2870 bulunur.
6
183
ETKİNLİK
N
M
n
An
.
..
.
.
.
A3
3
A2
2
A1
K
1
2
3
A1 + A2 + A3 + ... + An toplamını yazınız.
Ardışık iki kenar uzunluğundan faydalanarak
L
n
KLMN karesel bölgesinin alanını hesaplayınız.
KLMN karesel bölgenin alanı ile A1 + A2 + A3 + ... + An toplamını karşılaştırınız.
1 den n ye kadar ardışık doğal sayıların küpleri toplamı için n ye bağlı bir bağıntı oluşturunuz.
.
.
.
1
Yandaki KLMN karesinde A1, A2, A3 ,..., An içinde
bulundukları kapalı bölgelerin alanlarını göstermektedir.
A1, A2, A3,..., An alanları için aşağıda yapılanları inceleyiniz.
A1 = 1.1 = 1 = 13
3
A2 = (1+2).(1+2)−A1 = 9−1 = 8 = 2
3
A3 = (1+2+ 3).(1 +2+ 3)−(A1 +A 2) = 36−9 = 27 = 3
A4 = (1 + 2 + 3 + 4).(1 + 2 + 3 + 4) − (A1 + A2 + A3) 3
.. = 100 − 36 = 64 = 4
.
An = n3
n
+
∀n ∈ N için,
3
3
3
3
3
1 + 2 + 3 + ......... + n =
k =
k=1
[
n.(n + 1)
2
]
2
dir.
ÖRNEK
13 + 23 + 33 + ... + x3 = 2025 olduğuna göre x sayısını bulalım.
ÇÖZÜM
13 + 23 + 33 + ... + x3 =
[
x.(x + 1)
2
⇒ x.(x + 1) = 90 ⇒ x = 9 bulunur.
]
2
olduğundan
[
x.(x + 1)
2
]
2
= 2025 ⇒
x.(x + 1)
2
= 45
ETKİNLİK
Dede
Anneanne
Dede
Babaanne
Poyraz kendisinden itibaren geriye doğru bir
soy ağacı albümü oluşturmuştur. 6. kuşağa kadar bu
soy ağacında kaç kişinin yer aldığını hesaplamak is2
3
teyen Sinan, her kuşaktaki kişi sayısını 1, 2, 2 , 2 , ....
örüntüsünün elemanlarına denk geldiğini görmüş ve
örüntüdeki ilk 10 elemanın toplamına T diyerek aradığı
kişi sayısını,
2
Anne
Baba
Poyraz
3
4
5
T = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
2
3
4
5
6
+ -2.T = −2 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2
6
6
1T − 2T = 1 − 2
1 −2
bağıntısı ile 63 olarak bulmuştur.
1 −2
Poyraz'ın soy ağacında 10. kuşağa kadar kaç kişinin bulunduğunu veren bağıntıyı tartışınız.
n kuşak geri gidildiğinde soy ağacında yer alacak kişilerin sayısını veren bir matematiksel
model oluşturunuz.
6
(1−2).T = 1 − 2 ⇒ T =
184
n
+
2
n−1
∀n ∈ N için, 1 + r + r + ....... + r
=
r
k −1
1− r
=
n
1− r
k=1
dir.
ÖRNEK
20
k −1
3
toplamını hesaplayalım.
k=1
ÇÖZÜM
20
20
k −1
3
20
1−3
2
19
= 1 + 3 + 3 + ..... + 3 = 1 − 3 =
1−3
−2
k=1
=
1 20
.(3 − 1) dir.
2
TOPLAM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ
Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından periyodik olarak
genel nüfus sayımı yapılmaktadır. 81 ilin herbirinde yaşayan bireylerin toplamından yararlanarak Türkiye'nin genel nüfusuna
ulaşmaya yönelik nasıl bir model oluşturulabilir? Tartışınız.
ETKİNLİK
5
(k3 + k2) toplamını k değişkenine 1 den 5 e kadar değerler vererek açık biçiminde yazınız.
k=1
Yazdığınız eşitliği 1 den 5 e kadar doğal sayıların küpleri toplamı ile kareleri toplamının
toplamı olarak ifade ediniz.
5
Bu toplamları
(k3 + k2) toplamı ile karşılaştırınız.
sembolü ile yazarak
k=1
ÖRNEK
4
(k2 + k) toplamını bulalım.
k=1
ÇÖZÜM
4
2
2
2
2
2
2
2
2
(k2 + k) = (1 + 1) + (2 + 2) + (3 + 3) + (4 + 4) = 1 + 2 + 3 + 4 + 1 + 2 + 3 + 4
4
k=1
4
4.5.9 4.5
=
+
= 40 dır.
k +
k =
6
2
2
k=1
n
+
n
(ak bk) =
∀n ∈ N için,
k=1
n
b k dır.
ak
k=1
k=1
k=1
185
ÖRNEK
5
7 toplamını bulalım.
k=1
ÇÖZÜM
5
7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5.7 = 35 dir.
5 tane
k=1
n
+
∀n ∈ N için,
c = n.c dir. (c ∈ R)
k=1
ÖRNEK
6
3k toplamını bulalım.
k=1
ÇÖZÜM
6
6
k = 3.
3k = 3.1 + 3.2 + 3.3 + 3.4 + 3.5 + 3.6 = 3.(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3.
k=1
k=1
n
6.7
= 63 dir.
2
n
+
∀n ∈ N için,
c.ak = c.
k=1
dır. (c ∈ R)
ak
k=1
ÖRNEK
7
(2k) toplamını bulalım.
k=4
ÇÖZÜM
7
7
(2k) = (2.1)+(2.2)+(2.3)+(2.4)+(2.5)+(2.6)+(2.7) ⇒ 2.
k=4
7
∀n ∈ N için,
7
(2k)
p
k=1
ak dır. (1 < p < n)
k = p +1
k +
k=1
(2k)
k=4
(2k) = 56 - 12 = 44 bulunur.
(2k) ⇒
n
ak +
7
7
k=4
ak =
k=1
⇒ 56 = 12 +
k=4
n
+
186
k = 2.
k=1
7.8
3.4
⇒ 2.
= 2.
+
2
2
3
k=4
ÖRNEK
6
a)
4
k toplamı ile
(k + 2) toplamını
k=3
k=1
2
5
b)
2
k
2
toplamı ile
k = -2
toplamını karşılaştıralım ve toplamı istenilen ifadelerin in-
(k - 3)
k=1
dislerindeki değişimleri söyleyelim.
ÇÖZÜM
6
a)
4
k = 3 + 4 + 5 + 6 = 18 ve
(k + 2) = (1 + 2) + (2 + 2) + (3 + 2) + (4 + 2)
k=3
k=1
= 3 + 4 + 5 + 6 = 18 olur.
Her iki toplam da aynı sonucu vermektedir. Birinci toplamdaki alt ve üst sınırdan 2 çıkarılarak alt
sınır 1 yapılmakta ve toplamı bulunacak ifadede indisi 2 arttırılarak ikinci toplam elde edilmektedir.
2
2
b)
2
2
2
2
k2 = (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 ve
k = -2
5
2
2
2
2
2
2
(k - 3) = (1 - 3) + (2 - 3) + (3 - 3) + (4 - 3) + (5 - 3) = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
k=1
Yine her iki toplam aynı sonucu vermektedir. Birinci toplamdaki alt ve üst sınıra 3 eklenerek alt
sınır 1 yapılmakta ve toplamı bulunacak ifadede indis 3 azaltılarak ikinci toplam elde edilmektedir.
n
n-m
ak =
k=p
n+m
a k - m dir.
a k+m =
k=p-m
k=p+m
ÖRNEK
20
(k + 3) toplamını hesaplayalım.
k=5
ÇÖZÜM
20
16
20 − 4
[(k + 4) + 3] =
(k + 3) =
k =5
16
(k + 7) =
k =1
k=5−4
16
k+
k=1
k=1
16.17 + 16.7 = 248 bulunur.
7=
2
UYGULAMA
1) Aşağıdaki eşitliklerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
20
a)
(3k + 5) =
k=1
( )( ) ( )
10
10
3 .
k=1
10
k +
k=1
5
dır.
(
)
k=1
187
( )( )
( )
( )
16
16
b)
2
16
2
(k - 3k) =
k=1
- 3.
(
)
dır.
(
)
k3 (
)
k=1
5
3
k =
k
k=1
k
k=1
3
5
c)
dır.
k
k=1
17
14
ç)
3
(k - 3) =
k=4
k=1
2) Aşağıdaki toplamları
sembolü kullanarak gösteriniz.
a) 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 c)
7
b) 224 + 112 + 56 + 28 + 14 + 7 +
1 1 1
1
+ + + ... +
4 6 8
36
2
ç) log2 + log3 + ... + log40
3) Aşağıdaki toplamları açık biçimde yazıp hesaplayınız.
6
9
a)
4k 15
b)
k=2
c)
2
k k=3
[(−1)k + (2k −1)]
k=1
4) Aşağıdaki toplamları hesaplayınız.
2
7
a) 1 + 3 + 3 + ..... + 3
(
4
5)
5
)
4
(2p + k) toplamının sonucu,
k=1 p=1
2
(
3
b) 4 + 4 + 4 + ....... + 4
5
5
k =
2p +
k=1 p=1
)
4
p=1
k=1
10
(
)
5.6
2.
+ 5k =
2
4
(30+5k)
k=1
4
4
5k = 4.30 + 5.
30 +
=
k=1
k=1
5
a)
i=1
(
6
4.5
2
= 120 + 50 = 170 dir. Yapılan işlemleri inceleyerek,
)
9
(3i - 2j) b)
j=1
m=1
(
4
2mn
n =1
)
işlemlerini yapınız.
6) 2 + 4 + 6 + ..... + 2n = 2.(1 + 2 + ..... + n) eşitliğinden yararlanarak 2 den 2n e kadar olan
ardışık çift sayıların toplamını veren bir bağıntı oluşturunuz.
7) Her gün, cebindeki paranın yarısını harcayan bir kimse 5. günün sonunda parasının kaçta
kaçını harcamış olur?
6
8)
log k = log 720 eşitliğini sağlayan n sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
k=2
A) 6 188
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
9) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = 1089 ise n sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 15 B) 17
C) 19
D) 21
E) 23
10) 13 + 15 +17 + ....... + 41 toplamının değeri kaçtır?
A) 225 9
B) 289
( 12 )
k−1
11)
k =1
A)
127
64
C) 395
D) 405
E) 441
toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B)
255
128
C)
511
256
D)
1023
512
E)
2047
1024
6
12) log 2 = a olduğuna göre
2k.log 4 toplamının değeri kaçtır?
k=1
A) 42a B) 48a
C) 64a
ÇARPIM SEMBOLÜ
ETKİNLİK
7
D) 72a
E) 84a
( )
7
2k + 1 ifadesi açık olarak,
k=3
8
Bu yazımı inceleyerek,
2k + 1 = (2.3+1).(2.4+1).(2.5+1).(2.6+1).(2.7+1)
9
k,
k=2
= 7.9.11.13.15 biçiminde yazılır.
k=3
4
2p ,
p=3
2 ifadelerini açık olarak yazınız.
m=1
3.6.9.12.15, 1.4.9.16.25.36, 4.4.4.4.4 çarpımlarını
sembolü ile ifade ediniz.
Bir örüntüdeki elemanların çarpımının kısaca nasıl ifade edilebileceğini tartışınız.
ÖRNEK
2, 4, 6, 8, 10 örüntüsündeki elemanların çarpımını
sembolü ile kısaca ifade ediniz.
ÇÖZÜM
2.4.6.8.10 çarpımındaki her bir terim 2 nin katları olan tam sayılardır. Buna göre,
5
2.4.6.8.10 = (2.1).(2.2).(2.3).(2.4).(2.5) =
2k
olur.
k=1
Bir örüntünün elemanları çarpımını kısaca ifade etmek için
(pi) sembolü kullanılır.
n
a 1 .a 2 .a 3 . .... .a n çarpımı kısaca,
ak biçiminde gösterilir. Bu ifade, k = 1 den n ye kadar
k=1
ak sayılarının çarpımı diye okunur.
189
n: üst sınır (n ∈ Z),
n
k: indis ya da değişken (n ∈ Z),
m: alt sınır (m ∈ Z), (n ≥ m) dir.
ak ifadesinde, k=m
ÖRNEK
3.6.8.12. ..... .3n çarpımını
sembolü yardımı ile gösterelim.
ÇÖZÜM
n
(3k) olur.
3.6.8.12. .... .3n = (3.1).(3.2).(3.3).(3.4). .... .(3.n) =
k=1
ÖRNEK
11
( )
n−1
n
çarpımını bulalım.
k=5
ÇÖZÜM
11
k=5
( ) ( )( )( )( )( )( )( )
5−1 6−1 7−1 8−1 9−1 10−1 11−1
4
4 5 6 7 8 9 10
n−1
=
.
.
.
.
.
.
= . . . . . .
=
bu5
6
7
8
9
10
11
n
5 6 7 8 9 10 11 11
lunur.
ÇARPIM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ
ÖRNEK
4
3
çarpımını bulalım.
k=1
ÇÖZÜM
4
3
4
= 3.3.3.3 = 3 = 81 dir.
4 tane
k=1
n
+
n
∀n ∈ N için,
c =c
(c ∈ R) dir.
k=1
ÖRNEK
5
(2k) çarpımını bulalım.
k=1
ÇÖZÜM
5
5
5
5
(2k) = (2.1).(2.2).(2.3).(2.4).(2.5) = 2.2.2.2.2.1.2.3.4.5 = 2 .
k=1
190
5
k = 2 .5! = 2 .120 dir.
k=1
n
n
+
n
∀n ∈ N için,
c.ak = c .
k=1
(c ∈ R) dir.
ak
k=1
ÖRNEK
4
[k2.(2k + 1)]
çarpımını bulalım.
k=1
ÇÖZÜM
4
[k2.(2k + 1)] = [12.(2.1 + 1)]. [22.(2.2 + 1)]. [32.(2.3 + 1)]. [42.(2.4 + 1)]
k=1
2
2
2
2
= 1 .2 .3 .4 .(2.1 + 1).(2.2 + 1).(2.3 + 1).(2.4 + 1)
4
=
4
2
2
k .
(2k+1) = (4!) .(3.5.7.9) dur.
k=1
k=1
n
+
∀n ∈ N için,
n
n
a k .b k =
k=1
ak .
k=1
dir.
bk
k=1
ÖRNEK
5
k=1
( )
k2
k+1
çarpımını bulalım.
ÇÖZÜM
5
( ) ( )( )( )( )( )
2
k=1
2
2
2
2
1
2
3
4
5
k2
=
.
.
.
.
1+1 2+1 3+1 4+1 5+1
k+1
n
k2
=
2
2
2
2
2
1 .2 . 3 . 4 . 5
(1 + 1).(2 + 1).(3 + 1).(4 + 1).(5 + 1)
=
k=1
=
n
(5!)2
2.3.4.5.6
olur.
(k+1)
k=1
n
+
∀n ∈ N için,
n
a k :b k =
k=1
n
ak :
k=1
bk
dır.
k=1
ÖRNEK
9
k çarpımını bulalım.
k=5
191
ÇÖZÜM
9
9
4
k = 1.2.3.4.5.6.7.8.9 ⇒
k =
k=1
∀n ∈ N için,
k=1
p
n
ak =
k=1
9
k.
k=1
n
+
9
ak .
k=1
k ⇒ 9! = 4!.
k=5
ak
(1< p < n)
9
k =
k ⇒
k=5
k=5
9!
olur.
4!
dir.
k =p+1
ÖRNEK
10
a)
6
k çarpımı ile
k=5
(k + 4) çarpımını,
k=1
4
5
b)
(k + 3) çarpımı ile
k=0
(k + 2) çarpımını karşılaştıralım ve çarpımı istenilen ifadelerin
k=1
indislerindeki değişimleri söyleyelim.
ÇÖZÜM
10
a)
6
k = 5.6.7.8.9.10
ve
k=5
(k + 4) = (1 + 4).(2 + 4).(3 + 4).(4 + 4).(5 + 4).(6 + 4)
k=1
= 5.6.7.8.9.10 olur.
Her iki çarpım da aynı sonucu vermektedir. Birinci çarpımdaki alt ve üst sınırdan 4 çıkarılarak alt
sınır 1 yapılmakta ve çarpımı bulunacak ifadede indisi 4 arttırılarak ikinci çarpım elde edilmektedir.
4
b)
(k + 3) = (0 + 3).(1 + 3).(2 + 3).(3 + 3).(4 + 3) = 3.4.5.6.7 ve
k=0
5
(k + 2) = (1 + 3).(2 + 3).(3 + 3).(4 + 3).(5 + 3) = 3.4.5.6.7 olur.
k=1
Yine her iki çarpım aynı sonucu vermektedir. Birinci çarpımdaki alt ve üst sınıra 1 eklenerek alt
sınır 1 yapılmakta ve çarpımı bulunacak ifadede indis 1 azaltılarak ikinci çarpım elde edilmektedir.
n
n−m
ak + m =
ak =
k=p
n+m
k=p−m
ak − m
k=p+m
ÖRNEK
x+3
(3k) = 349
k=4
192
ise x değerini bulalım.
(n ≥ p) dir.
ÇÖZÜM
x+3
x
x+3−3
(3
(3 ) =
k=4
)
k+3
k
k = 4 −3
(3k + 3) = 3 4.3 5.3 6. ..... .3 x + 3 = 34 + 5 + 6 + .... + x + 3 = 349
=
k=1
4 + 5 + 6 + .... + x + 3 = 49 olur.
4 + 5 + 6 + .... + x + 3 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + .....+ x + 3 − (1 + 2 + 3)
(x + 3).(x + 4)
− 6 = 49
dur.
2
(x + 3).(x + 4)
2
(x + 3).(x + 4)
− 6 = 49 ⇒
2
= 55
⇒ (x + 3).(x + 4) = 110 ⇒ x = 7 bulunur.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki eşitliklerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
3
a)
(k3 + 2) =
k3 .
2
(
)
2 = 640 dır.
(
)
k=1
k=1
6
b)
k=1
3
dir.
k=1
10
( )( )
3
n=1
2) Aşağıdaki çarpma işlemlerinin sonuçlarını bulunuz.
17
a)
5
k.(k−4)
b)
69
k−11
c)
k
k=1
k=1
k = 11
32
6
25
ç)
log(k−1) k
d)
k=5
k
e)
2
k=1
k
2k
3
k = 10
3) Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
4
a)
80
3
2kp k=1
k
b)
2
k=1
p=1
5
2
c)
m=1
k k=1
k=1
2
2
4) x − 4x + a − 8 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
i=1
A) 1 B) 2
C) 3
xi.(2 + i) = −60 ise a kaçtır ?
D) 4
E) 5
193
DİZİLER
Efes tiyatrosu Anadolu’nun en büyük antik tiyatrosudur. Toplam 65 sırayı bulan tiyatro, iki orta yollu, üç
kademelidir. Birinci kademede 12 ışınsal yol, ikinci kademede 23, üçüncü kademede ise aynı sayıda ışınsal
yol vardır.
Güney batıya bakan tiyatro yaklaşık 19.000 kişi
kapasitelidir. İki ışınsal yol arasındaki ardışık basamaklara belli dizilişle oturan izleyiciler sesleri daha rahat
duyarlar.
ETKİNLİK
Aydın, Selçuk
Fibonacci sayılarını ilk kez
Leonardo Fibonacci ortaya koymuştur.
1202 yılında "Hesaplama
Kitabı" anlamına gelen "Liber
Abacci" isimli kitabında kapalı bir
ortamdaki tavşan ailesinin artışını, her tavşan çiftinin 1 ay sonra
bir çift yavru dünyaya getirerek
üreyecekleri gibi ideal varsayımlar altında hesaplamak ister.
Acaba bir yıl sonra bu ortamda
kaç tavşan olur?
Problemin çözümü için
yandaki şemayı inceleyiniz.
Fibonacci yaptığı hesaplar sonucunda her ayın sonunda
tavşan çiftlerin sayısının şemadaki gibi, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... olduğunu bulmuştur. Dizilişteki
sayılardan her birini kendisinden
hemen önce gelen ardışık iki sayı
ile karşılaştırınız.
Karşılaştırmanız sonucunda her bir ay sonundaki tavşan sayısının bularak problemi çözünüz.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... biçiminde artan sayılara Fibonacci Sayıları denir. Fibonacci sayılarında olduğu gibi, belli bir kurala göre yazılmış sayı gruplarına sayı dizisi denir.
Diziyi oluşturan her sayı dizinin terimi olarak adlandırılır.
Leonardo Fibonacci (Leonart Fibonaci) (1170-1250), yaygın olarak
ismiyle Fibonacci diye anılan, orta çağın en yetenekli matematikçisi olarak
kabul edilen matematikçidir. Dizileri keşfetti.
194
ETKİNLİK
Kalp dostu olarak bilinen zeytinyağı, zeytin meyvesinden elde edilmektedir. Aşağıdaki çizelgede zeytin miktarından (kg) üretilen
ortalama zeytin yağı miktarları (l) verilmiştir.
İnceleyiniz.
Zeytin yağı miktarı (l)
1
2
3
4
..
Zeytin miktarı (Kg)
4
8
12 16
..
Dizinin terimlerinin hangi kurala göre yazıldığını tartışınız.
Üretilen zeytinyağının litresine göre tüketilen zeytin miktarı 4, 8, 12, 16, .... biçiminde bir
dizi oluşturur. Bu dizinin birinci terimi 4, ikinci terimi 8 dir. Bu dizinin 15, 20 ve 50 terimlerini bulunuz.
Dizinin n. terimine karşılık gelen n değişkenine farklı sayma sayıları verdiğimizde dizinin
terimlerini elde edeceğiniz bir bağıntı yazınız.
ÖRNEK
3, 9, 27, 81, .... dizisinin hangi kurala göre yazıldığını, dizinin n. terimini ve 12. terimini bulalım.
ÇÖZÜM
Dizisinin terimlerinin inceledğimizde her bir terimin 3 ün kuvveti olduğunu kolayca söyleyebiliriz.
1
2
3
4
1. terimin 3 = 3, 2. terimin 3 = 9, 3. terimin 3 = 27 ve 4. terimin 3 = 81 olduğu görülmektedir.
n
12
Buna göre dizinin n. terimi 3 olur. Dolayısıyla dizinin 12. terimi 3 olarak bulunur.
Bir dizide n. terimi veren bağıntıya dizinin genel terim denir ve an ile gösterilir.
Genel terimi an olan dizi, (an) = (a1, a2, ...... , an,....) biçiminde yazılır.
1. terim
n. terim (Genel terim)
2. terim
ETKİNLİK
Genel terimi an = 3n−2 olan dizi,
(an) = (3n − 2) = (1, 4, 7, 10, ... , 3n − 2, ...) biçimindedir.
1. terim
2. terim 3. terim 4. terim
n. terim
Bu dizinin terimlerini ve aşağıdaki şemayı inceleyiniz.
+
N
•
•
•
•
1
2
3
4
•
•
•n
•
•
•
•
•
•
1
4
7
10
•
•
•
•3
R
n-2
•
•
Sayma sayıları kümesi ile dizinin terimleri arasında bire bir eşleme olup olmadığı tartışınız.
Benzer şekilde aşağıda verilen dizilerin elemanları ile sayma sayıları arasında eşlemeler
yaparak şemaları tamamlayınız.
195
+
N
(bn) =
( ) (
n
n
= 1 , 2 , 3 , ...... ,
, ........
n+1
n+1
2 3 4
)
R
•1
•2
•3
•
•
•
•
•n
+
N
(cn) = (−3n) = (−3, −6, −9, ........... , −3n, .......)
R
•1
•2
•3
•
•
•
•
•n
(an) = ( a1, a2, ....., an, .......) gösteriminin sayma sayıları kümesi ile dizinin elemanları arasında bire bir eşleme sağladığı görülmektedir. Bu bağıntının bir fonksiyon olup olmayacağını tartışınız.
Genel terim an olan sayı dizisi, sayma sayıları kümesinden gerçek sayılar kümesine tanımlanan bir fonksiyondur.
ÖRNEK
+
f:R→R,
g:N →R
f(x) = 2x − 1
g(x) = 2x − 1
fonksiyonlarının görüntü kümeleri ile (an) = (2n − 1) dizisinin terimlerini karşılaştıralım ve (an) = (2n − 1)
dizisinin grafiğini çizelim. Ayrıca f ile g fonksiyonlarını grafikleri ile birlikte karşılaştıralım.
ÇÖZÜM
f fonksiyonu doğrusal fonksiyon olduğundan grafiği düzlemde bir doğru gösterir. Tanım kümesi
gerçek sayılar olup her bir gerçek sayı f (x) = 2x − 1 kuralı ile mutlaka bir gerçek sayıya eşleneceğinden görüntü kümesi de gerçek sayılar kümesi olur. f fonksiyounun grafiği,
y
f(x)= 2x −1
f:R→R
4
3
2
1
−3 −2 −1
−1
1
2
x
1 2 3 4
−2
−3
−4
biçimindedir.
196
, f(x) = 2x − 1
x = −1 ⇒ f (−1) = 2 (−1) − 1 = −3 ........ (−1, −3)
x = 0 ⇒ f (0) = 2.0 − 1 = −1 ........ (0 , −1)
x = 1 ⇒ f 1 = 2. 1 − 1 = 0 2
2
2
() ()
........ ( )
x = 1 ⇒
f(1) = 2.(1) − 1 = −1
........ (1, 1)
x = 2 ⇒
f(2) = 2.2 − 1 = 3 ........ (2, 3) 1,0
2
g fonksiyonunun tanımı kümesi sayma sayıları olup her bir sayma sayısı g(x) = 2x −1 kuralı ile
mutlaka pozitif bir tek sayıya eşleneceğinden görüntü kümesi pozitif tek sayılar kümesidir. g fonksiyonunu grafiği de,
y
+
g : N → R , g(x) = 2x − 1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
(5,9)
(4,7)
(3,5)
(2,3)
(1,1)
x = 1
⇒ g(1) = 2.1 − 1 = 1
....... (1, 1)
x = 2
⇒ g(2) = 2.2 − 1 = 3
....... (2, 3)
x = 3
⇒ g(3) = 2.3 − 1 = 5
....... (3, 5)
x = 4
⇒ g(4) = 2.4 − 1 = 7
....... (4, 7)
x = 5
⇒ g(5) = 2.5 − 1 = 9
....... (5, 9)
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
biçimindedir.
(an) = (2n - 1) dizisinin terimleri, (an) = (2n - 1) = (1, 3, 5, 7, 9, ......., 2n - 1, .......) olduğunda
grafiği de,
(an) = (2n − 1)
y
7
6
5
4
3
2
1
(4,7)
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
(3,5)
(2,3)
(1,1)
1 2 3 4 5
x
⇒
⇒
⇒
⇒
a1 = 2.1 - 1 = 1
a2 = 2.2 - 1 = 3
a3 = 2.3 - 1 = 5
a4 = 2.4 - 1 = 7
.......
.......
.......
.......
(1, 1)
(2, 3)
(3, 5)
(4, 7)
biçiminde olur.
(an) dizisi, f ve g fonksiyonları ile karşılaştırıldığında tanım kümesinin f nin tanım kümesinden farklı ancak g nin tanım kümesi ile
aynı olduğu ve dizinin elemanları ile g fonksiyonun görüntü kümesinin elemanlarının eşitliği görülür.
ETKİNLİK
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Yüksel, arazisine 2 m boyunda bir kavak fidanı dikmiş ve her yılın sonunda fidanın 1 m büyüdüğünü gözlemlemiştir. Yüksel fidanın boyunu (n yıl olmak
üzere), (an) = (n + 2) dizisi ile modellediğine göre 6 yıl
boyunca fidanın boylarının ne olacağını, dizinin terimlerini yazarak bulunuz.
(an) dizisinin kaç terimden oluşacağını tartışınız.
(an) dizisinin grafiğinin terimlerinden faydala-
Fidanın boyu
(metre)
(an)
a1 = 1 + 2
Yıllar (n)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
narak yanda gösteriniz.
Dizisinin tanım kümesini söyleyerek kaç terimli bir dizi olacağını belirtiniz.
r ve r den küçük sayma sayılarının kümesi Ar = {1, 2, 3, ...... , r} olmak üzere A, kümesinden R ne tanımlanan her diziye r terimli sonlu dizi denir.
197
ETKİNLİK
(an) = (3) = (3, 3, ................., 3, ............), (bn) = (−4) = (−4, −4, ................., −4, ............) ve
(cn) = (5 − n) = (4, 3, 2,................., 5 − n, ............) dizilerinin terimlerini inceleyiniz.
(cn) dizisinin terimlerini birbiri ile karşılaştırınız.
(an) ve (bn) dizisinin terimlerini birbiri ile karşılaştınız.
Hangi dizilerin terimleri birbirine eşittir? Tartışınız.
ÖRNEK
(an) = ((−1)
) dizisinin terimlerini yazalım ve terimlerin birbirine eşit olup olmadığını söyleyelim.
n+1
ÇÖZÜM
(an) = ((−1)
)
n = 1 ⇒ n = 3 ⇒ a1 = (−1)
= (−1)2 = 1,
3+1
a3 = (−1)
= (−1)4 = 1,
n+1
1+1
n+1
(an) = (1, −1, 1, −1, ......... , ( −1)
n = 2
n = 4
2+1
a2 = (−1)
= (−1)3 = −1
4+1
5
a4 = (−1)
= (−1) = −1
⇒
⇒
, ......)
a1 ≠ a2 , a2 ≠ a3, ............ olduğundan terimler birbirine eşit değildir.
c ∈ R olmak üzere genel terimi an = c olan (an) = (c) = (c, c, ......., c, .....) dizisine sabit dizi
denir. Sabit dizide tüm terimler birbirine eşittir.
ETKİNLİK
(an) = (log 102n), (bn) = (2n), (cn) = (n2) dizilerinin terimlerini yazınız.
a1, b1 ve c1 terimlerini karşılaştırınız.
a2, b2 ve c2 terimlerini karşılaştırınız.
Hangi dizilerin terimleri karşılıklı olarak birbirine eşittir? Tartışınız.
ÖRNEK
(
n
(an) = (−1) ve (bn) = Sin (2n + 1).
p
2
)
dizilerinin terimlerini yazarak iki diziyi karşılaştıralım.
ÇÖZÜM
1
p
= −1
2
1
p
= −1
2
n = 1 ⇒ a1 = (−1) = −1, b1 = sin 3.
n = 3 ⇒ a3 = (−1) = −1, b3 = sin 3.
2
n = 2 ⇒ a2 = (−1) = 1, b2 = sin 5.
(
n
(
(an) = (−1, 1, −1,.........,(−1) ,...... ) ve (bn) = 1, −1, 1, −1,........., sin (2n + 1).
p
=1
2
) )
p
,......
2
dir.
a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3, ........., an = bn, ...... olur.
(an) ve (bn) iki dizi olmak üzere, ∀n ∈ N
+
diziler denir ve (an) = (bn) biçiminde gösterilir.
198
için an = bn oluyorsa (an) ve (bn) dizilerine eşit
UYGULAMA
1) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) Genel terimi an olan sayı dizisi R
R tanımlanan bir fonksiyondur.
(
)
b) Sabit dizi de her terim bir önceki terimden 3 fazladır.
(
)
(
)
(
c) (an) = sin n.
)
p
2
dizisinin 5. terimi 1 dir.
2) Aşağıdaki ifadelerde verilen noktalı yerleri doldurunuz.
a) Tüm terimleri aynı gerçek sayıya eşit olan dizilere ..................................... denir.
b) (an) = (7-n ) bir sonlu dizi ise n sayısı en çok ..................... olur.
c) Karşılıklı terimleri birbirine eşit olan dizilere ........................................... denir.
3) Aşağıdaki soru işaretli yerlere uygun sayıları yazarak dizi oluşturunuz.
a) -2, 2, -2, 2, ?
b) 1, 8, 27, 64, ?
c) 1, 3, 5, 7, 9, ?
d) 2, 2, 2, 2, 2, ?
4) Genel terim (an) =
5) (an) =
(
5n − 4
n+1
)
(
n+1
3n + 1
)
olan dizinin 8. terimi ile 3. terimi arasındaki farkı hesaplayınız.
dizisinin kaçıncı terimi 4 tür?
+
6) A ⊂ N olmak üzere A → R tanımlanan aşağıdaki fonksiyonların hangileri bir dizi belirtmez?
a) (an) =
(
n−1
n+3
)
7) Genel terimleri (an) =
lunuz.
(
(
)
)
)
π
)
(
b) (bn) = n + 2
n−1
(
3n − k
n+2
)
ve (bn) =
(
)
tn +5
7n − 1
(
c) (cn) = (4 − n)
)
olan diziler sabit dizi ise k ve t sayılarını bu-
)
k
8) (an) = 3n − 4 dizisi ile (bn) = 3 −
dizisi eşit diziler ise k kaçtır?
n
+
1
n+1
9) (an) =
3n + 15
dizisinin hangi terimleri tamsayıdır. Bu terimleri bulunuz.
n+1
(
(
10) (an) =
3n − 1
dizisi 6 terimli bir dizidir. Bu dizinin terimlerini yazınız.
2n + 1
11) (an) =
cos n.
(−1)n
dizisinin ilk üç terimini yazınız.
12) an+1 = an + 5 ve a3 = 15 ise a20 kaçtır?
13) (an) = (6 − n) beş terimli sonlu bir dizidir. Bu dizinin grafiğini çiziniz.
199
DİZİLERDE İŞLEMLER
ETKİNLİK
Fonksiyon bilgilerinizden A ⊂ R ve B ⊂ R olmak üzere f: A → R ve g: B → R fonksiyonları için
f(x) + g(x) = (f + g)(x), f(x) − g(x) = (f − g)(x), f(x).g(x) = (f.g)(x) ve f(x):g(x) = (f:g)(x),(g(x) ≠ 0)
işlemlerinin (A ∩ B) → R tanımlı olduğunu biliyorsunuz.
Dizilerin de fonksiyon olduğunu hatırlayınız ve (an) =
( )
1
n+1
ile (bn) =
(
)
n+2
dizilerinin terimlen+1
rini yazarak (an) + (bn) dizisinin terimlerini yazınız.
an ve bn genel terimlerini toplayarak (an + bn) dizisinin genel terimini yazınız.
(an + bn) dizisinin terimlerini yazınız.
(an) + (bn) dizisi ile (an + bn) dizisinin terimlerini karşılaştırınız.
Benzer işlemleri yaparak, (an) − (bn) dizisi ile (an − bn), (an).(bn) dizisi ile (an.bn), (an):(bn) dizisi
ile (an:bn) dizisini karşılaştırınız.
Dizilerin toplamı, çarpımı ve bölümü ile ilgili genellemelerde bulunuz.
ÖRNEK
( )
(
)
n+1
(an) = 1 ve (bn) =
dizisinin terimlerini yazalım ve (an) + (bn) ile (an + bn), (an) − (bn) ile
2
n
n
(an − bn), (an).(bn) ile (an.bn), (an):(bn) ile (an:bn) ve 3.(an) ile (3.an) dizilerini karşılaştıralım.
ÇÖZÜM
( ) (
)
(
) (
(an) = 1 = 1 , 1 , 1 ,...., 1 ,.... ve (bn) = n + 1 = 2 , 3 , 4 ,...., n + 1 , ....
n
n2
1 2 3
n
1 4 9
n2
• (an) + (bn) =
(
1
1
+
2, 1
1
2
(
(
3, 1
+
4
3
+
4 ,...., 1
9
) (
n
+
) (
)
) (
n + 1 , .... = 3 , 5 , 7 ,...., 2n + 1 , ....
n2
1 4 9
n2
(an + bn)= 1 + n + 1 = n + n + 1 = 2n + 1
n
n2
n2
n2
n2
)
) (
2.n + 1
= 2.1 + 1 , 2.1 + 1 , 2.3 + 1 ,....,
, .... = 3 , 5 , 7 , ......... , 2n + 1 , ....
2
2
2
2
n
1
2
3
1 4 9
n2
(an) + (bn) = (an + bn) dir.
• (an) − (bn) =
(
(
(
1
1
(an − bn) = 1 −
n
−
2, 1
−
3, 1
1 2
4
n+1 = n
n2
) (
−
4 ,...., 1
3
9
n
n + 1 = −1
−
n2
n2
n2
)
−
) (
n + 1 , .... = −1 , −1 , −1 ,...., −1 , ....
n2
1 4 9
n2
) (
= −1 , −1 , −1 , ......... , −1 , .... = −1 , −1 , −1 , ......... , −1 , ....
12 22 32
n2
1
4
9
n2
(an) − (bn) = (an − bn) dir.
(
) (
)
)
)
1 . 2 , 1 . 3 , 1 . 4 , ......... , 1 . n + 1 , .... = 2 , 3 , 4 , ......... , n + 1 , ....
2
1 8 27
n3
1 1 2 4 3 9
n n
(an .b n) = 1 . n + 1 = n + 1 = 23 , 3 , 4 ,...., n + 1 , .... = 2 , 3 , 4 ,...., n + 1 , ....
1 8 27
1 23 33
n3
n3
n3
n
n2
• (an).(bn) =
(
) ( ) (
(an).(bn) = (an .b n) dir.
200
)
) (
)
)
(
• (an):(bn) =
(
(
(
) (
1 , 2 , 3 , ......... , n , .........
=
2 3 4
n+1
(an:b n) =
)
2
1:2 1 3 1 4
1 n
1.1 1 4 1 9
, : , : ,...., 1 : n +2 1, .... =
, . , . ,...., .
,.... 1 1 2 4 3 9
n n+1
1 2 2 3 3 4
n n
) (
2
)
) (
) (
)
1 n
n
1 n+1
1 , 2 , 3 , ......... , n , .........
=
=
: 2 =
.
n n+1
n+1
n n
1+1 2+1 3+1
n+1
)
1 , 2 , 3 , ......... , n , .........
=
2 3 4
n+1
(an):(bn) = (an: bn) dir.
(
• 3.(an) = 3.
) (
1 1 1
3 3 3
, , , ......... , 1 , ......... =
, , , ......... , 3 , .........
1 2 3
1 2 3
n
n
( ) ( ) (
3 3 3
(3.a n)= 3. 1 = 3 =
, , , ......... , 3 , .........
1 2 3
n
n
n
)
)
3.(an) = (3.an) dir.
(an), (bn) gerçek sayı dizileri ve c ∈ R için,
(an) + (bn) = (an + bn)
(an) − (bn) = (an − bn)
c. (an) = (c.an)
(an):(bn) = (an:bn)
(an).(bn) = (an. bn)
+
(∀n ∈ N için bn
≠ 0) dir.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki ifadelerde verilen noktalı yerleri uygun biçimde doldurunuz.
(an) = (2n) ve (bn) = (n2 + n) dizileri için,
a) (an) + 3.(bn) dizisinin genel terimi ............................ dır. b) (an).(bn) dizisinin genel terimi ............................ dır.
c) (bn):(an) dizisinin genel terimi ............................ dır.
2) (an) = (4, 8, 12, ........., 4n, ....) ve (bn) = (1, 8, 27, ......... , n3, ....) dizileri için (an):(2bn) dizisinin
genel terimini bulunuz ve bu dizinin terimlerini yazınız.
3) (an) =
(
)
2n - 1
ve (bn) =
n+1
A) 5 (
B) 4
n-7
n+1
)
dizileri için (an) − (bn) dizisinin 3. terimi kaçtır?
C) 3
D) 2
E) 1
MONOTON DİZİLER
ETKİNLİK
(an) = (−3n) = (−3, −6, −9, ...... , −3n) dizisi incelenirse dizinin birinci terimi olan −3 ün ikinci
terim olan −6 dan büyük, ikinci terimi olan −6 nın üçüncü terim olan −9 dan büyük olduğu görülür.Bu
durum genellenirse dizinin terimleri için,
−3 > −6 > −9 > ....... > −3n > ....... eşitsizliği yazılabilir. Benzer yaklaşımla aşağıdaki dizileri inceleyiniz.
1
(bn) = (2n) = (2, 4, 6,.............., 2n, .....), (cn) =
= 1 , 1 , 1 , ......., 1 , ..........
2 3 4
n+1
n+1
( ) (
)
201
(bn) ve (cn) dizilerinin her birinin terimleri arasında sıralama yaparak terimler arasında (< ) ve
(<) işaretlerinden uygun olanını yazınız.
Aşağıdaki (dn), (en), (fn) dizilerini inceleyiniz.
(
(dn) = 0, 0, 1, .........., (n − 1).(n − 2) , ...........
2
)
(en) = ((1 − n).(n − 5n + 6)) = (0, 0, 0, −6, −24, .........., (1 − n).(n − 5n + 6), .....)
2
(fn) = ((−1 )
2n
)=
2
2n
(1, 1, 1, ........ , (−1) .............. )
(dn), (en) ve (fn) dizilerinin her birinde terimlerin arasında (<) ya da (>) sembolleri konularak
sıralama yapılabilir mi? Tartışınız.
Bu dizilerde terimler arasında (≥) yada (≤) sembolleri konularak sıralama yapılıp yapılamayacağını tartışınız.
bn + 1 − bn, cn + 1 − cn, dn + 1 − dn ve en + 1 − en farklarını 0 (sıfır) sayısı ile karşılaştıralım.
ÖRNEK
(an) = (3n − 1) dizisinin terimleri arasındaki sıralamayı yaparak an + 1 − an farkının işaretini inceleyelim.
ÇÖZÜM
(an) = (3n −1) = (3.1 − 1, 3.2 − 1, 3.3 − 1, ......., 3n − 1, ....) = (2, 5, 8, ......... , 3n − 1, .......)
2 < 5 < 8 < ....... < 3n − 1 < ..... an = 3n − 1 an + 1 − an = 3n + 2 − (3n − 1)
an + 1= 3(n + 1) − 1
= 3n + 2 − 3n + 1
= 3n + 2
=3
O hâlde, an + 1 − an > 0 dır. Yani, an + 1 − an pozitiftir.
+
(an) bir dizi olsun. ∀n ∈ N için ;
1) an + 1 − an > 0 veya
2) an + 1 − an < 0 veya
3) an + 1 − an ≥ 0 veya
4) an + 1 − an ≤ 0 veya
5) an + 1 − an = 0 veya
an + 1 > an ⇔ (an)
an + 1 < an ⇔ (an)
an + 1 ≥ an ⇔ (an)
an + 1 ≤ an ⇔ (an)
an + 1 = an ⇔ (an)
artan dizidir.
azalan dizidir.
azalmayan dizidir.
artmayan dizidir.
sabit dizidir.
şartlarından birini sağlayan diziye monoton dizi denir.
ÖRNEK
(an) =
(
)
(
)
) (
)
n − 2 , (b ) = 2n + 3 ve (c ) = (n − 2)2 dizilerinin monotonluk durumlarını inceleyelim.
n
n
n+2
n+1
ÇÖZÜM
an + 1 =
(
2
2
cn + 1 = (n + 1 − 2) = (n − 1) dir.
202
(
) (
)
2(n + 1) + 2
n+1−2
2n + 5
= n − 1 , bn + 1 =
=
ve
n
+
1
+
1
n+1+2
n+2
n+3
an + 1 − an =
2
2
n−1
− n−2 = n +n−2 − n +n−6 = 2 4
n+3
n+2
n + 5n + 6
n2 + 5n + 6
n2 + 5n + 6
(n + 2) (n + 3)
+
an + 1 − an farkı, ∀n ∈ N için pozitif olduğundan (an) monoton artandır.
−1
2n2 + 7n + 5 2n2 + 7n + 6
bn + 1 − bn = 2n + 5 − 2n + 3 = 2
− 2
= 2
n + 3n + 2
n + 3n + 2
n + 3n + 2
n +2
n+1
+
bn + 1 − bn farkı, ∀n ∈ N için negatif olduğundan (bn) monoton azalandır.
cn + 1 − cn = (n − 1)2 − (n − 2)2 = n2 − 2n + 1 − (n2 − 4n + 4) = 2n − 3
cn + 1 − cn ifadesi n = 1 için negatif, n > 1 için pozitif olduğundan monoton değildir.
ÖRNEK
(an) = (n2 − 3n + 2) dizisinin monotonluğunu inceleyelim.
ÇÖZÜM
2
an = n − 3n + 2
2
2
2
an + 1 = (n + 1) − 3(n + 1) + 2 = n + 2n + 1 − 3n − 3 + 2 = n − n
2
2
an + 1 − an = n − n − (n − 3n + 2) = 2n − 2 dir. an + 1 − an farkı n = 1 için 0, n > 1 için pozitif olduğundan an + 1 − an ≥ 0 dır. Dolayısıyla (an) monoton azalmayan dizidir.
Notlar
Sude
Ayşe
Seda
Mert
Kaya
Alya
Pelin
Elif
Berk
Cenk
Ali
Nur
Nil
Ata
Cem
Öğrenciler
Can
ÖRNEK
70 50 50 50 45 45 60 49 80 85 85 90 95 100 100 100
Yukarıdaki çizelgede bir sınıftaki öğrencilerin matematik dersi sınavından aldığı notlar verilmiştir. Notları küçükten büyüğe doğru sıralayarak bir (an) dizisi ve büyükten küçüğe doğru sıralayarak bir
(bn) dizisi oluşturalım. (an) ve (bn) dizilerinin monotonluğunu araştıralım.
ÇÖZÜM
(an) = (45, 45, 49, 50, 50, 50, 60, 70, 80, 85, 85, 90, 95, 100, 100, 100)
(bn) = (100, 100, 100, 95, 90, 85, 85, 80, 70, 60, 50, 50, 50, 49, 45, 45) dır.
+
∀n ∈ N için, an + 1 - an ≥ 0 olduğundan (an) monoton azalmayan dizidir.
bn+1 - bn ≤ 0 olduğundan (bn) monoton artmayan dizidir.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) Atletizm müsabakalarından 100 metre koşusuna katılan atletlerin
yarışı bitiriş dereceleri bir dizinin terimleri olarak modellenirse bu
dizi monoton artandır.
b) Takımların Türkiye Spor Toto Süper Ligi bitiriş sıralarında topladık-
ları puanlar bir dizinin terimleri olarak modellenirse bu dizi monoton
azalandır.
c) Monoton artan bir dizide ardışık terimlerin arasındaki fark daima
1 e eşittir.
(
)
(
)
(
)
203
2) Aşağıdaki ifadelerde verilen diziler için noktalı yerleri uygun biçimde doldurunuz.
an + 1
+
a) ∀n ∈ N için
an
bn + 1
+
b) ∀n ∈ N için
bn
cn + 1
+
c) ∀n ∈ N için
cn
dn + 1
+
ç) ∀n ∈ N için
dn
> 1 ise an dizisi ...................................... dir.
< 1 ise bn dizisi ...................................... dir.
≥ 1 ise cn dizisi ...................................... dir.
≤ 1 ise dn dizisi ...................................... dir.
3) Genel terim (an) = a.n + b biçimindeki dizilerde paydanın kökü, c.n + d = 0 ⇒ n = − d dir.
c.n + d
c
− d < 1 ise dizi monoton, − d > 1 ise dizi monoton değildir. Dizi monoton ise,
c
c
a.d − b.c > 0
⇒ (an) monoton artan,
a.d − b.c < 0
⇒ (an) monoton azalan,
a.d − b.c = 0
⇒ (an) sabit dizidir. Buna göre,
(
a) (an) = 2n + 1
3+n
)
b) (bn) =
(
n+1
2n + 2
)
(
c) (cn) = 5n − 3
n+4
)
ç) (dn) =
(
n+1
2n - 5
)
dizilerinin monotonluğunu araştırınız.
4) Aşağıdaki dizilerin monotonluk durumunu inceleyiniz.
a) (an) = (3n + 2)
b) (bn) =
( )
1
3+n
n
c) (cn) = (3 )
( )
ç) (dn) = n +n 1
3
ARİTMETİK DİZİLER
12:00 de kovaya 1 damla yağmur düşüyor.
12:01 de kovada 2 damla yağmur vardır.
12:02 de kovada 4 damla yağmur vardır.
12:03 de kovada 8 damla yağmur vardır.
Bir süre sonra kova ağzına kadar doluyor. Kova tam
dolduğunda saat 15:00 ise kova yarısına kadar dolduğunda
saat kaçtır? Tartışınız.
ETKİNLİK
Aşağıdaki dizilerin terimlerini inceleyiniz.
(an) = (n + 3) = (4, 5, 6, 7, ....... , n + 3, .....),
(bn) = (3n + 2) = (5, 8, 11, 14, ....... , 3n + 2, .....)
(cn) = (2n +1) = (3, 5, 7, 9, ....... , 2n + 1, .....),
(dn) = (2 ) = (2, 4, 8, 16, ....... ,2 , .....)
n
n
Her bir dizinin terimleri arasındaki farkı bulunuz.
Terimlerin arasındaki farkı göz önüne alarak diğerlerinden farklı olan diziyi belirtiniz.
Verilen dizilerden ortak özelliğe sahip olanlar için bir genellemede bulununuz.
204
ÖRNEK
(bn) = (n2 + 3) = (4, 7, 12, 19, ...., n2 + 3, ...)
(an) = (−2n) = (−2, −4, −6, −8, ...., −2n, ...),
() (
(dn) = 1 = 1, 1 , 1 , 1 , ...., 1 , ...
n
2 3 4
n
dizilerinden hangilerinde ardışık terimler arasındaki farklar eşittir? Araştıralım.
(cn) = (4n − 1) = (3, 7, 11, 15, ...., 4n − 1, ...),
)
ÇÖZÜM
a2 − a1 = −4 − (−2) = −2
a3 − a2 = −6 − (−4) = −2
..
.
b 2 − b1 = 7 − 4 = 3
b3 − b2 = 12 − 7 = 5
an + 1 − an = −2(n + 1) − (−2n) = −2
}
3 ≠ 5 dir.
}
1
1
−
= − 1 1
2
3
6
− 1 ≠−
1
1
1
12
6
d3 − d2 =
−
=−
12
4
3
c2 − c1 = 7 − 3 = 4
c3 − c2 = 11 − 7 = 4
.
.
.
cn + 1 − cn = 4(n + 1) − 1 − (4n − 1) = 4
d2 − d1 =
olduğu için (an) ve (cn) dizilerinin ardışık terimleri arasındaki farklar eşittir.
Ardışık terimleri arasındaki farkı sabit olan dizilere aritmetik dizi denir. (an) aritmetik di+
zisinde d ardışık terimler arasındaki ortak fark olmak üzere, ∀n ∈ N için, an + 1 − an = d dir.
ÖRNEK
1. terimi 2 ve ortak farkı 3 olan aritmetik diziyi yazalım.
ÇÖZÜM
İstenen aritmetik dizi (an) olsun. Bu durumda,
a1 = 2 ve a2 − a1 = 3 ⇒ a2 − 2 = 3 ⇒
a2 = 5 ve a3 − a2 = 3 ⇒ a3 − 5 = 3 ⇒
..
.
(an) = (2, 5, 8, ............, 3n − 1, ..........) dir.
a2 = 5
a3 = 8
ÖRNEK
(an) = (c), (c ∈ R) sabit dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM
(an) = (c, c, c, ............, c, ..........)
a1 = c, a2 = c, a3 = c, ....... , an = c, an + 1 = c dir.
a2 − a1 = c − c = 0
a3 − a2 = c − c = 0
..
.
an + 1 − an = c − c = 0
}
olduğundan her sabit dizi ortak farkı sıfır olan aritmetik dizidir.
ÖRNEK
(an) aritmetik dizi ve d gerçek sayısı da bu aritmetik dizinin ortak farkı olsun. Bu durumda aritmetik dizinin genel terimini ilk terim ve ortak farkı cinsinden yazalım.
205
ÇÖZÜM
(an) aritmetik dizisinde d ortak fark ise,
a2 − a1 = d
a3 − a2 = d
a4 − a3 = d
.
.
.
+ an − an - 1 = d
an − a1 = (n − 1).d
⇒
an = a1 + (n − 1).d olur.
(an) aritmetik dizisinde d ardışık terimler arasındaki ortak fark olmak üzere,
+
∀n ∈ N için, an = a1 + (n − 1).d dir.
ÖRNEK
İlk terim 7 ve ortak farkı -2 olan aritmetik dizinin genel terimini ve 28. terimini bulalım.
ÇÖZÜM
Aranan dizi (an) olsun. a1 = 7 ve d = −2 alınarak,
an = a1 + (n − 1).d ⇒ an = 7 + (n − 1).(−2)
28. terim de, a28 = −2.28 + 9 = −47
⇒ an = −2n + 9
olur.
bulunur.
ÖRNEK
Sonlu bir aritmetik dizide ilk terim a1, son terim an ve ortak fark d ise bu aritmetik dizinin terim
sayısını bulalım.
ÇÖZÜM
an = a1 + (n − 1).d olduğundan (n − 1).d = an − a1 dir. (n − 1) =
an − a1
d
⇒ n=
an − a1
d
+ 1 olur.
ÖRNEK
İlk terimi -5, son terimi 81 ve ortak farkı 2 olan sonlu aritmetik dizide terim sayısını bulalım.
ÇÖZÜM
an = 81, a1 = −5 ve d = 2 dir.
n=
81 − (−5)
an − a1
86
+ 1 ⇒ n =
+1 ⇒ n=
+ 1 ⇒ n = 44 bulunur.
2
2
d
ÖRNEK
Verilen iki sayı arasına (bu sayılarla birlikte) sonlu aritmetik dizi oluşturacak şeklide k tane sayı
yerleştirildiğinde elde edilen sonlu aritmetik dizinin ortak farkını bulalım.
ÇÖZÜM
x, y ∈ R ve x < y olsun. x ile y arasında sonlu aritmetik dizi oluşturacak şekilde k tane sayı yerleştirildiğinde dizinin terim sayısı n = k + 2 olur. an = a1 + (n − 1).d olduğundan d =
an = y, a1 = x alınırsa, d =
206
y−x
k+2−1
⇒ d=
y−x
k+1
bulunur.
an − a1
n−1
elde edilir.
Verilen iki sayı arasında (bu sayılarla birlikte) sonlu aritmetik dizi oluşturacak şeklide k
tane sayı yerleştirildiğinde elde edilen aritmetik dizinin ortak farkı d =
y−x
k+1
dir.
ÖRNEK
15 ile 63 sayıları arasına bu sayılarla birlikte sonlu aritmetik dizi oluşturacak şeklide 11 sayı daha
yerleştirilirse bu dizininin 6. terimini bulalım.
ÇÖZÜM
x = 15 , y = 63 ve k = 11 alınarak, d =
y−x
⇒
d=
63 - 15
48
=
= 4 bulunur.
11 + 1
12
k+1
a1 = 15, d = 4 olduğundan,
an = a1 + (n − 1).d ⇒ an = 15 + (n − 1).4 ⇒ an = 4n + 11 ⇒ a6 = 4.6 + 11 ⇒ a6 = 35 tir.
ÖRNEK
Bir aritmetik dizide herhangi bir terimin kendisine sağdan ve soldan eşit uzaklıkta bulunan terimlerle olan bağıntısını bulalım.
ÇÖZÜM
an teriminden, k terim önceki terim an - k olsun. Bu durumda,
an = a1 + (n − 1).d
an − k = a1 + (n − k − 1).d = a1 + nd − kd − d
⇒
⇒
+ an + k = a1 + (n + k − 1).d = a1 + nd + kd − d
an − k + an + k= 2a1 + 2nd − 2d
= 2.(a1 + nd − d) = 2.[a1 + (n − 1).d] = 2.an
⇒ an =
an - k + an + k
2
olur.
+
(an) aritmetik dizi olmak üzere, ∀n ∈ N için, an =
a n - k + an + k
dir.
2
O hâlde, bir aritmetik dizide herhangi bir terim kendisine sağdan ve soldan eşit uzaklıkta
bulunan terimlerin aritmetik ortasıdır.
a+c
Dolayısıyla a, b ve c sayıları bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi ise b =
olur.
2
ÖRNEK
Bir aritmetik dizide a5 = 23 ve a19 = 93 ise a12 kaçtır?
ÇÖZÜM
12 =
5 + 19
2
olduğundan a5 terimi a12 terimine soldan, a19 terimi a12 terimine sağdan 7 terim uzak-
lıktadır. O hâlde, a12 =
a5 + a19
2
=
23 + 93
2
= 58
bulunur.
ÖRNEK
n terimli bir aritmetik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimler arasındaki ilişkiyi araştıralım.
207
ÇÖZÜM
(an) aritmetik dizisinde baştan k terim ak, sondan k. terim an − k + 1 dır. an = a1 + (n - 1).d olduğundan,
+
ak = a1 + (k - 1).d = a1 + kd − d
an - k + 1 = a1 + (n - k + 1 − 1).d = a1 + nd − kd
ak + an - k + 1 = 2a1 + nd − d
= a1 + a1.(n - 1).d
= a1 + an
olur.
Sonlu bir aritmetik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin toplamı birbirine eşittir. O hâlde,
a1 + an = a2 + an − 1 = a3 + an − 2 = ............ = ak + an −k − 1 dir.
ÖRNEK
(an), 14 terimli sonlu aritmetik dizisinde a2 = 10 ve a13 = 43 ise bu dizinin terimleri toplamını bulalım.
ÇÖZÜM
a1 + a14 = a2 + a13 = a3 + a12 = a4 + a11 = a5 + a10 = a6 + a9 = a7 + a8 dir. O hâlde,
a1 + a14= 53
a2 + a13 = 53
..
.
+
a7 + a8 = 53
a1 + a2 + .......... + a14 = 7.53
= 371
bulunur.
ÖRNEK
Ortak farkı d ve k. terimi ak (1 < k < n ) olan (an) aritmetik dizisinin genel terimini yazalım.
ÇÖZÜM
an = a1 + (n − 1).d = a1 + nd − d
ak = a1 (k − 1).d = a1 kd d
an − ak = nd − kd = (n − k).d
an = ak + (n − k).d
bulunur.
+
∀n ∈ N için, ortak farkı d ve k. terimi ak (1 < k < n ) olan (an) aritmetik dizisinin genel terimi
an = ak + (n − k).d dir.
ÖRNEK
Beşinci terimi 28, ortak farkı 6 olan aritmetik dizinin 14. terimini bulalım.
ÇÖZÜM
Aritmetik dizi (an) olsun. Bu durumda a5 = 28 ve d = 6 alınarak
an = ak + (n − k ).d ⇒ an = 28 + (n − 5).6 ⇒ an = 6n − 2 ⇒ a14 = 6.14 − 2 ⇒ a14 = 82 bulunur.
208
ÖRNEK
Bir aritmetik dizide herhangi iki terim verildiğinde dizinin ortak farkını bu terimlerden faydalanarak bulalım.
ÇÖZÜM
(an) aritmetik dizisinin p. terimi ap, k. terimi ak (p > k) olsun.
an = a1 + (n - k).d olduğundan,
ap = a1 + (n - 1).d = a1 + pd - d
ak = a1 (k - 1).d = a1 kd
d
⇒ d=
ap - ak = pd - kd = (p - k).d
ap - ak
p-k
olur.
Bir aritmetik dizide herhangi iki terim verildiğinde dizinin ortak farkı d =
ap - ak
p-k
dir.
ÖRNEK
(an) aritmetik dizisinde 23. terim 163 ve 45. terim 317 ise bu dizinin 4. terimini bulalım.
ÇÖZÜM
ap = a45 = 317 ve ak = a23 = 163 alınarak, d =
a45 - a23
45 - 23
=
317 - 163 154
=
⇒ d = 7 dir.
45 - 23
22
an = ak + (n - k).d ⇒ an = 163 + (n - 23).7 ⇒ an = 7n + 2 ⇒ an = 7.4 + 2 ⇒ an = 30 bulunur.
ÖRNEK
(an) aritmetik dizisinin ilk n terim toplamına Sn diyerek Sn toplamını a1 ve an cinsinden ayrıca ilk
terim ve ortak fark cinsinden ayrıca ilk terim ve ortak fark cinsinden yazalım.
ÇÖZÜM
Sn = a1 + a2 + a3 + ....... + an - 1 + an
+
Sn= an + an - 1 + an - 2 + ....... + a2 + a1
2.Sn= (a1 + an) + (a2 + an - 1) + (a3 + an - 2) + .......... + (an - 1 + a2) + (an + a1)
= (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + .......... + (a1 + an) + (a1 + an) = n.(a1 + an)
Sn =
Sn
=
n
2
n
2
n tane
.(a1 + an) olur. Bu eşitilkte, an = a1 + (n - 1).d yazılırsa,
.[a1 + a1 + (n - 1).d]
⇒
Sn
=
n
2
.[2a1 + (n - 1).d] bulunur.
(an) aritmetik dizisinin ortak farkı d, ilk n terim toplamı Sn olmak üzere,
veya Sn
=
n
2
Sn =
.[2a1 + (n - 1).d] dir.
n
2
.(a1 + an)
ÖRNEK
Genel terimi an = 5n + 3 olan aritmetik dizinin ilk 16 terim toplamını bulalım.
209
ÇÖZÜM
an = 5n + 3 ⇒ a1 = 5.1 + 3 ⇒ a1 = 8 Sn =
dir.
n
n
16
n
.(a1 + an) = .(8 + 5n + 3) = .(5n + 11) =
.(5.16 +11) = 728
2
2
2
2
bulunur.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) Ardışık terimleri arasındaki farkı sabit olan dizilere aritmetik dizi denir.
(
)
b) Her sabit dizi ortak farkı 1 olan aritmetik dizidir. a+c
c) a, b ve c bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi ise b =
dir.
2
(
)
(
)
2) Aşağıdaki ifadelerde verilen noktalı yerleri uygun biçimde doldurunuz.
a) Ortak farkı sıfır olan aritmetik diziler ...................................... dir.
b) Bir aritmetik dizide herhangi bir terim kendisine sağdan ve soldan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin ...................................... dır.
c) Sonlu bir aritmetik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin toplamı ............
.......................... dir.
3) Aşağıdaki ilk terimleri ve ortak farkları verilen aritmetik dizileri bulunuz.
1
a) a1 = 2, d = -3
b) a1 = 0, d = 2
c) a1 = , d = -2
3
4) Mersinli köyünde yaşayan çiftçi Yahya arazisine 4500 zeytin fidanı dikecektir. 1. gün 80 fidan
dikmiştir. Her gün bir önceki günden 20 fidan fazla dikeceğine göre tüm fidanların dikimini kaç günde
tamamlar?
5) 7 ile 59 sayıları arasına bu sayılarla birlikte aritmetik dizi oluşturacak şekilde 12 sayı yerleştirilirse bu dizinin 4. terimi kaç olur?
A) 18 B) 19
C) 20
D) 21
E) 22
6) 43. terim 95 ve 21. terimi 51 olan aritmetik dizinin 30. terimi kaçtır?
A) 65 B) 66
C) 67
D) 68
E) 69
7) (an) aritmetik dizisinde a13 = 89 ve a29 = 201 ise a21 kaçtır?
A) 145 B) 150
C) 155
D) 160
E) 165
8) (an) aritmetik dizisinde a1 = 10 ve S15 = 465 ise ortak fark d kaçtır?
A) 1 B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2
9) (an) aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn = 2n + 7n dir. a13 kaçtır?
A) 36 B) 42
C) 48
D) 52
E) 60
10) Ardışık üç terimi 2x - 10, x + 8 ve 2x - 4 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?
A) 1 210
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
GEOMETRİK DİZİLER
ETKİNLİK
Aşağıdaki dizilerin terimlerini inceleyiniz.
n
n
(an) = (3 ) = (3, 9, 27, 81, ... , 3 , ...),
(() ) (
1
3
(cn) = 4.
n-1
= 4,
()
(bn) =
)
n-1
4 4 4
, ,
, ... ,4. 1
3 9 27
3
, ... ,
(dn) =
(( ) ) (
( ) (
2
3
n
=
() )
)
n
2 4 8 16
2
, ,
,
, ... ,
, ...
3 9 27 81
3
1 1 1 1
1
1
=
, , , , ... ,
, ...
2 3 4 5
n+1
n+1
Herbir dizinin ardışık terimlerini oranlayınız.
Ardışık terimleri arasındaki oranı değişmeyen diziler hangileridir? Tartışınız.
Ardışık terimleri arasındaki oranı göz önüne alarak verilen dizilerden ortak özelliğe sahip
olanlar için bir genellemede bulununuz.
ÖRNEK
() (
() (
3
5
(an) = 2.
(bn) =
n
n-1
1
2
=
() )
() )
6 18 54 162
3 n
,
,
,
, ................ , 2.
, .....
5 25 125 625
5
= 1,
n-1
1 1 1
1
, , , ................... ,
2 4 8
2
2
, .....
2
(cn) = (n ) = (1, 4, 9, 16, ................... , n , .....)
Dizilerinin hangilerinde ardışık terimler arasındaki oranlar eşittir? Bulalım.
ÇÖZÜM
18
a1 =
a2
6
18 5
3
25
ve a2 = 18 ⇒
=
=
. =
a
6
5
25
25 6
5
1
5
54
a2 =
18
ve a3 =
25
()
3
an - 1 = 2.
n-1
5
b1 = 1 ve b2 =
54
⇒
125
ve an = 2.
1
2
a3
()
3
b1
=
=
n
⇒
5
b2
⇒
a2
1
2
1
54 25
3
125
=
.
=
18
125 18
5
25
an + 1
an
2.
=
( )
1
2
n
ve bn + 1 =
( )
1
2
n+1
⇒
n-1
5
3
2.
n
a
a
a
= 3 olduğundan 2 = 3 = ... = n + 1 = 3 tir.
a1 a2
an
5
5
5
1
=
1
2
bn + 1
bn
1
, b2 =
=
2
()
()
1
bn =
()
()
3
ve b3 =
1
4
⇒
b3
b2
=
4
1 2
1
= . =
1
4 1
2
2
n+1
2
1
n
b
b
b
1
= 1 olduğundan 2 = 3 = ... = n + 1 =
dir.
b1 b2
bn
2
2
2
211
c2
c1 = 1 ve c2 = 4 ⇒
c1
c3
c2 = 4 ve c3 = 3 ⇒
c2
=
=
4
1
=4
9
4
olduğundan
c2
c1
≠
c3
c2
dir.
O hâlde, (an) ve (bn) dizilerinin ardışık terimleri arasındaki oran birbirine eşitir. (cn) dizisinin ardışık terimleri arasındaki oran birbirine eşit değildir.
Ardışık terimleri arasındaki oranı sabit olan dizilere geometik dizi denir. (an) geometrik
dizisinde r ardışık terimler arasındaki ortak oran (ortak çarpan) olmak üzere,
an + 1
+
∀n ∈ N için,
an
= r dir.
ÖRNEK
Birinci terimi 1 ve ortak çarpanı 4 olan geometrik diziyi yazalım.
ÇÖZÜM
İstenen geometrik dizi (an) olsun. Bu durumda,
a2
a
a1 = 1 ve
= 4 ⇒ 2 = 4 ⇒ a2 = 4
a1
1
a2 = 4 ve
a3
a2
=4 ⇒
a3
4
n-1
(an) = (1, 4, 16, ............. , 4
, ........)
dir.
= 4 ⇒ a3 = 16
ÖRNEK
(an) = (c), (c ∈ R, c ≠ 0) sabit dizisinin geometrik dizi olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM
(an) = (c) = (c, c, c, ....... , c, ......) dir. a1 = c, a2 = c, a3 = c, ....... , an = c, an + 1 = c dir.
a2
c
=
a1
c
= 1,
a3
a2
=
c
c
= 1, ...... ,
an + 1
an
=
c
c
=1
olduğundan sıfır sabit dizisi hariç her sabit dizi ortak çarpanı 1 olan geometrik dizidir.
ÖRNEK
(an) geometrik dizi ve r gerçek sayısı da bu geometrik dizinin ortak çarpanı olsun. Bu durumda
geometrik dizinin genel terimini ilk terimi ve ortak çarpanı cinsinden yazalım.
ÇÖZÜM
a2
a1
a3
a2
a4
a3
=r
=r
n - 1 tane ifade taraf tarafa çarpılırsa,
=r
an
an - 1
212
=r
a2 a3 a4
an
. . . ........ .
= r.r.r. .... .r
a1 a2 a3
an - 1
n - 1 tane
⇒
an
a1
n-1
=r
n-1
⇒ an = a1.r
olur.
(an) geometrik dizisinde r ardışık terimler arasındaki ortak çarpanı olmak üzere,
+
n-1
∀n ∈ N için, an = a1.r
dir.
ÖRNEK
Birinci terimi 5 ve ortak çarpanı 2 olan geometrik dizinin genel terimini ve 8. terimini bulalım.
ÇÖZÜM
Aranan geometrik dizi (an) olsun. Bu durumda a1 = 5 ve r = 2 alınarak,
an = a1 .r
n-1
⇒ an = 5.2
n-1
dir. 8. terim, a8 = 5.2
8-1
⇒ a8 = 5.128 ⇒ a8 = 640 bulunur.
ÖRNEK
Verilen iki sayı arasında (bu sayılarla birlikte) sonlu geometrik dizi oluşturacak şeklide k tane
sayı yerleştirildiğinde elde edilen geometrik dizinin ortak çarpanını bulalım.
ÇÖZÜM
x, y ∈ R ve x < y olsun. x ile y arasına geometrik dizi oluşturacak şekilde k tane sayı yerleştirildiğinde dizinin terim sayısı n = k + 2 olur.
an
n - 1 an
n-1
n-1
an = a1 .r
olduğundan, r
=
⇒ r=
elde edilir. an = y ve a1 = x alınırsa,
a1
a1
r=
n-1
y
x
ve n = k + 2 den r =
k+2-1
y
⇒ r=
x
k+1
y
bulunur.
x
Verilen iki sayı arasında (bu sayılarla birlikte) sonlu geometrik dizi oluşturacak şeklide k
tane sayı yerleştirildiğinde elde edilen geometrik dizinin ortak çarpanı r =
k+1
y
x
dir.
ÖRNEK
6 ile 3072 sayıları arasına bu sayılarla birlikte sonlu geometrik dizi oluşturacak şekilde 8 sayı
daha yerleştirilirse bu dizinin 4. terimini bulalım.
ÇÖZÜM
x = 6, y = 3072 ve k = 8 alınarak, r =
k+1
y
x
⇒ r=
9
3072
6
⇒ r = 512 ⇒ r = 2 bulunur.
9
Oluşan geometrik diziye (an) diyelim. Bu durumda,
n - 1
an = a1.r
(a1 = x = 6, r = 2) ⇒ an = 6.2
n = 4 için dizinin 4. terimi, a4 = 6.2
4-1
n-1
olur.
⇒ a4 = 6.2
3
⇒ a4 = 48 bulunur.
ÖRNEK
Bir geometrik dizide bir terimin kendisine sağdan ve soldan eşit aralıktaki terimlerle olan ilişkisini
araştıralım.
ÇÖZÜM
(an) geometrik dizisinde, an teriminden, k terim önceki terim an - k ve k terim sonraki terim an + k
olsun.
213
Bu durumda,
n-1
an = a1.r n-k-1
n
-k
-1
an - k = a1.r
= a1 .r .r .r n+k-1
n k -1
an + k = a1.r
= a1 .r .r .r
⇒
⇒
2
n 2
an - k .a n + k = (a1 ) .(r
an - k .a n + k = (a1 .r .r
an - k .a n + k = ( a 1 .r .r
an
n
n
2
) .(r -1)
-1 2
)
-1 2
)
2
⇒ an = an - k .a n + k ya da |an| = an - k .a n + k dır.
O hâlde bir geometrik dizide herhangi bir terim kendisine sağdan ve soldan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin geometrik ortasıdır. Dolayısıyla a, b ve c sayıları bir geometrik dizinin ardışık üç terimi
ise b2 = a.c olur.
+
(an) geometrik dizi olmak üzere, ∀n ∈ N için, |an| = an - k .a n + k dir.
O hâlde, bir geometrik dizide herhangi bir terim kendisine sağdan ve soldan eşit uzaklıkta
bulunan terimlerin geometrik ortasıdır.
2
Dolayısıyla a, b ve c sayıları bir geometrik dizinin ardışık üç terimi ise b = a.c olur.
ÖRNEK
(an) geometrik dizisinde a7 =
1 ve a = 1
ise a3 ün kaç olduğunu bulalım.
11
128
2048
ÇÖZÜM
a7 terimine a3 soldan, a11 sağdan 4 terim uzaklıktadır. O hâlde,
2
(a7) = a3 .a 11 ⇒
( )
1
7
2
2
= a3. 1
211
( )
1
128
⇒
2
= a3.
7
11
1
dir. 128 = 2 ve 2048 = 2 olduğundan,
2048
1 =a. 1
3
14
2
211
11
⇒ a3 = 2
214
⇒ a3 =
1
8
bulunur.
ÖRNEK
Ardışık üç terimi x - 3, 2x, 5x + 9 olan pozitif terimli geometrik dizinin ortak çarpanını bulalım.
ÇÖZÜM
2x terimine, x - 3 soldan ve 5x + 9 sağdan bir terim uzaklıkta olduğundan,
(2x)2 = (x - 3).(5x + 9) ⇒ 4x2 = 5x2 - 6x - 27 ⇒ x2 - 6x - 27 = 0 ⇒ (x - 9).(x + 3) = 0
54
x = 9 için dizinin ardışık üç terimi 6, 18, 54 tür. 18 =
= 3 olduğundan ortak çarpan r = 3 tür.
18
6
ÖRNEK
n terimli sonlu bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimler arasındaki
ilişkiyi araştıralım.
ÇÖZÜM
Sonlu (an) geometrik dizisinde baştan k terim ak, sondan k terim an - k + 1 dir.
an = a1.r
214
n-1
olduğundan,
ak = a1.r
k - 1
an - k - 1 = a1.r
2
ak .a n - k + 1 - 1 = a1 .r
⇒
n-k+1-1
k-1+n-k+1-1
= a1 .a 1 .r
n-1
= a1.a n
olur.
Sonlu bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin çarpımı
birbirine eşittir. O hâlde, a1 .a n = a2 .a n - 1 = a3 .a n - 2 = ......... = ak .a n - k + 1 dir.
ÖRNEK
(
)
1
geometrik dizisinde a.b.c.d.e çarpımını
16
Terimleri pozitif olan 7 terimli (an) = 4, a, b, c, d, e,
bulalım.
ÇÖZÜM
a1 .a 7 = a2 .a 6 = a3 .a 5
4.
ve
1
= a.e = b.d
16
2
c = a1 .a 7
2
c = 4.
O hâlde, a.b.c.d.e = a.e.b.d.c =
1
1
1
olduğundan a.e = , b.d =
16
4
4
1 1 1
1
. . =
4 4 2
32
ve c =
1
dir.
2
bulunur.
ÖRNEK
Ortak çarpanı r ve k. terimi ak (1 < k < n) olan (an) geometrik dizisinin genel terimini yazalım.
ÇÖZÜM
an = a1 .r
ak = a1 .r
n - 1
k-1
Buradan,
⇒
an = ak .r
n-k
an
ak
n -1
=
a1.r .r
k -1
a1.r .r
⇒
an
ak
n
=
r
k
r
⇒
an
ak
=r
n-k
bulunur.
+
∀n ∈ N için, ortak çarpanı r ve k. terimi ak (1 < k < n ) olan (an) geometrik dizisinin genel
terimi an = ak .r
n-k
dir.
ÖRNEK
İkinci terimi
3
ve ortak çarpımı 5 olan geometrik dizinin 7. terimi kaçtır?
25
ÇÖZÜM
Geometrik dizi (an) olsun. Bu durumda, a2 =
an = ak .r
n-k
⇒ an = a2 .r
n-2
⇒ an =
3
ve r = 5 alınarak,
25
3 n-2
3 5
3 5
.5
⇒ a7 = .5 ⇒ a7 = .5 ⇒ a7 = 375 bulunur.
2
25
25
5
ÖRNEK
Bir geometrik dizide herhangi iki terim verildiğinde dizinin ortak çarpımını bu terimden faydalanarak bulalım.
ÇÖZÜM
(an) geometrik dizisinin p terimi ap, k. terimi ak (p > k) olsun. an = a1 .r
n-1
olduğundan
215
ap = a1 .r
ak = a1 .r
p - 1
k-1
p
ap
⇒
=
ak
a1 .r .r
k
ap
-1
a1 .r .r
⇒
-1
ak
=
p
r
r
k
⇒
ap
ak
= rp - k ⇒ r =
Bir geometrik dizide herhangi iki terim verildiğinde dizinin ortak farkı, r =
p-k
ap
ak
p-k
ap
ak
bulunur.
dir.
ÖRNEK
(an) geometrik dizisinde a8 =
1
1
ve a11 =
ise a4 ün değeri kaçtır?
27
729
=ÇÖZÜM
r=
11 - 8
a11
⇒ r=
a8
an = ak .r
an =
1
n-k
1
729
1
27
⇒ an = a8 .r n
()
. 1
27 3
3
n-8
-8
1
()
⇒ r=
3
3
⇒ an =
4-8
. 1
27 3
⇒ a4 =
1
3
⇒ r=
1
27
.r n
-8
1
3
tür.
n-k
⇒ an = ak .r
⇒ an = a8 .r
n-8
⇒ a4 = 3 bulunur.
ÖRNEK
(an) geometrik dizisinin ilk n terim toplamına Sn diyerek Sn toplamını dizinin ilk terimini a1 ve ortak
çarpanını r cinsinden yazalım.
ÇÖZÜM
Sn = a1 + a2 + a3 + ................ + an
2-1
3-1
= a1 + a1.r
+ a1.r
+ ................ + a1.r
2
n-1
n-1
= a1 + a1.r + a1.r + ................... + a1.r
2
n-1
= a1.(1 + r + r + .............. + r
n
Sn = a1. 1 - r
1-r
)
;
(
1 + r + r2 + ...... + rn - 1 =
bulunur.
1 - rn
1-r
)
(an) geometrik dizisinin ortak çarpanı r, ilk n terim toplamı Sn olmak üzere,
n
Sn = a1. 1 - r dir.
1-r
ÖRNEK
Ortak çarpanı 3 ve ilk 6 teriminin toplamı 1456 olan geometrik dizinin ilk terimini bulalım.
ÇÖZÜM
n
Sn = a1. 1 - r dir. r = 3, n = 6 ve S6 = 1456 alınarak,
1-r
6
1456 = a1. 1 - 3
1-3
216
⇒ 1456 = a1. 728 ⇒ a1 = 4 bulunur.
2
UYGULAMA
1) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) Sıfır dizisi hariç diğer sabit diziler geometrik dizidir.
(
)
b) Sonlu bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan
terimlerin çarpımı birbirine eşittir. (
)
(
)
2
2
2
c) a, b ve c geometirk dizinin ardışık üç terimi ise b = a + c dir.
2) Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
a) Ardışık terimleri arasındaki oranı sabit olan dizilere ……........…….. denir.
b) Hem aritmetik dizi hem de geometrik dizi …...........................….. dır.
c) Bir geometrik dizide herhangi bir terim kendisine sağdan ve soldan eşit uzaklıkta bulunan
terimlerin …...........................….. dır.
3) Aşağıda ilk terimleri ve ortak çarpanları verilen geometrik dizilerin genel terimlerini bulunuz.
a) a1 = 3, r = 1 9
c) a1 = -2, r = 1 2
b) a1 = 2, r = 3
4) Bir geometrik dizide ardışık üç terim 4 -
20
x
,3-
15
x
ve
7
4
+
19
4x
ise x kaçtır?
5) Bir yumurta satıcısı haftanın ilk günü 1000 yumurta satmıştır. Takip eden her gün bir önceki
günün 3 katı yumurta sattığına göre bu satıcının 1 haftada kaç yumurta sattığını hesaplayınız.
6) -32 ile -1 sayıları arasına bu sayılarla birlikte geometrik dizi oluşturacak şekilde dört sayı
yerleştirilirse bu dizinin üçüncü terimi kaç olur?
A) -8
B) -4
C) 4
D) 8
E) 16
7) Dördüncü terimi 5 ve 10. terimi 320 olan geometrik dizinin 8. terimi kaçtır?
A) 20
B) 40
8) (an) geometrik dizisinde a3 =
A)
3
16
B)
3
32
9) (an) geometrik dizisinde a1 =
A)
26
9
B)
52
3
C) 60
3
4
C)
81
7
C)
D) 80
ve a9 =
3
64
ve r =
9
256
ise a6 kaçtır?
D)
104
3
1
3
E) 120
3
128
E)
9
64
ise S6 kaçtır?
D)
104
27
E)
52
9
10) Ardışık üç terimi 3x - 9, x + 1, 16 - 2x olan (an) dizisi hem aritmetik hem de geometrik dizidir. Bu dizinin 4. terimini bulunuz.
A) 12
B) 10
C) 9
D) 8
E) 6
217
4.
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
A - Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
1) Bağıntısı belli olan örüntülerin elemanları toplamını kısaca ifade etmek için ……….. sembolü
kullanılır.
2) Bir örüntünün elemanları çarpımını kısaca ifade etmek için …….. sembolü kullanılır.
3) Bir dizide n. terimini veren bağıntıya dizinin ………… denir.
4) Tüm terimleri birbirine eşit olan diziye ………. denir.
5) Ardışık terimleri arasındaki farkı eşit olan dizilere ………… denir.
B - Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
n
n.(n + 1).(2n + 1)
dır.
6
(
)
k = 5! dir.
(
)
(
)
dir.
(
)
5) Sonlu bir aritmetik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan
terimlerin toplamı birbirine eşittir.
(
)
6) Bir aritmetik dizide her terim kendisinden eşit uzaklıktaki terimlerin
geometrik ortasıdır.
(
)
7) Sıfır dizisi hariç diğer sabit diziler hem aritmetik hem geometrik dizidir.
(
)
+
(
)
+
9) (an) dizisinde ∀n ∈ N için an + 1 ≥ an ise (an) monoton artmayan dizidir.
(
)
10) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ….. dizisine Fibonacci dizisi denir.
(
)
(r ≠ 1) dir.
(
)
k.k! = n! - 1 dir.
(
)
(
)
1)
3
k =
k=1
5
2)
k=1
9-4
9
3)
[(k - 4)2 + (k - 4)]
2
(k + k) =
k=5
tür.
k=5-4
4) a, b, c bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi ise b =
a.c
2
8) (an) dizisinde ∀n ∈ N için an + 1 > an ise (an) monoton artan dizidir.
n
11) Bir aritmetik dizinin ilk n terim toplamı Sn = a1. 1 - r
1-r
n
12)
k=1
8
1
13)
k.(k + 1)
=
n
dir.
n+1
k=4
C - Aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
1) Aşağıdaki her bir toplamın değerini bulunuz.
7
a)
(k + 3)
k = -2
218
64
100
b)
(cos k)
k = 80
c)
( )
log2
k=3
k-1
k
20
( )
-1
2
k +k
ç)
d) 9.11 + 11.13 + 13.15 + ... + 21.23
k=1
2) Aşağıdaki her bir çarpımın değerini bulunuz.
2
a)
(k + 4)
b)
59
(
k = -3
k=1
10
7
ç)
d)
k
2 k = -4
)
1 +1
k
c)
( )
2
3
(p.k)
k=1
p=1
(k2 - k - 12)
k=1
D - Aşağıdaki çoktan seçmeli soruları yanıtlayınız.
30
1
2
k + 5k + 6
1)
toplamının değeri kaçtır?
k=1
A) 11 B) 10 30
33
7
(
2)
5
k=3
(2km)
)
C) 29 30
D) 31 E) 13
D) 710
E) 750
30
33
toplamının değeri kaçtır?
m=1
A) 345
B) 350
C) 355
3) f:N → R, f(k) = 2k - 1, g:N → R, g(k) = 3k +2 fonsiyonları veriliyor.
5
(gof)(k)
toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
k=2
A) 50
B) 60
C) 70
D) 80
E) 90
2
4) f(x) = 4x + 3, x1 = 2 ve x2 = -3 olduğuna göre,
(5xk - 1).f(xk) toplamının değeri kaçtır?
k=1
A) 3
B) 9
60
(
5)
n
(n + 1)!
C) 27
D) 81
E) 243
) toplamının sonucu kaçtır?
n=1
A) 1 -
1
60!
B) 60!
C) 59 60!
D) 1 - 1 61!
E) 1 + 1
61!
219
20
6) A =
21
k
ise A - 19.2
k.2
kaçtır?
k=1
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
7) 1.1! + 2.2! +3.3! +……+ 20.20! sayısının 20 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0
B) 10
C) 17
D) 18
E) 19
D) 230
E) 32
D) 13
E) 7
D) 4
E) 0
5
log k
8)
8
A) 32
C) 30
B) 40
26
9)
k=3
ifadesinin değeri kaçtır?
64
k=1
( ) çarpımının değeri kaçtır?
k+2
k+1
A) 28 B) 28 27
C) 26
3
7
10)
(k + 1) çarpımının sonucu kaçtır?
k = -3
A) 21
B) -21
C) -8
2
11) x - 5x - 7 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre
2
(3xk + 1) çarpımının sonucu kaçtır?
k=1
A) -48 B) -47
C) 39
x
x
+
12) f: N → R, f(x) =
k
+
2 ve g: N → R, g(x) =
k=1
A) 63 3
13)
k=1
A)
(
32
3
B) 64
2
p=1
D) -37
kp
3
)
B)
1+
k=1
C) 65
(
E) 28
)
1
fonksiyonları için (gof)(3) kaçtır?
k
D) 66
E) 67
çarpımının sonucu kaçtır?
16
3
C)
8
3
D)
4
3
E)
1
3
62
14)
log(k + 1)(k + 2) ifadesinin değeri kaçtır?
k=1
A) 4 220
B) 6
C) 8
D) 12
E) 18
15) (an) =
(
3n + p
n+2
) dizisi sabit dizi ise p kaçtır?
A) 3 B) 6
C) 9
D) 12
E) 15
16) (an) = (2n + 1) ve (bn) = (5n + 4) dizileri veriliyor. (an + 2.bn) dizisinin 3. terimi kaçtır?
A) 30 17) (an) =
A)
2
2
2
2
3
3
3
3
1 + 2 + 3 + .....+ n
1 + 2 + 3 +.....+ n
83
71
18) (an) =
(
B) 36
B)
k=1
A) 440
log k + 1
k
)
B) 512
(
2
19) (an) = n - 23n - 140
3n - 11
A) 25
B) 24
)
C)
ve (bn) =
(
51
32
n
E) 45
D)
49
125
E)
69
101
)
log2k dizileri veriliyor. a + b kaçtır?
9
4
4
k=1
C) 577
)
D) 44
dizisi veriliyor. a2 + a4 kaçtır?
77
90
n
(
C) 40
D) 670
E) 1024
dizisinin kaç terimi pozitif değildir?
C) 23
D) 22
E) 21
2
20) (an) = (2n - 17n + 1) dizisinin en küçük terimi kaçtır?
A) - 31 B) 7 4
4
(
C) 0
D) -2
E) -1
D) 12
E) 13
)
21) (an) = 12 - n dizisinin kaç terimi pozitiftir?
n+2
A) 9
B) 10
(
22) (an) = 5n + 9
kaçtır?
3n + k
A) 5
23) (an) =
)
dizisinin monoton artan olması için k nın alabileceği en küçük tam sayı değeri
B) 6
(
C) 11
C) 7
D) 8
E) 9
)
2n + 7
dizisinin monoton azalan olması için p nın alabileceği en küçük tam sayı
pn + 14
değeri kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 7
E) 10
24) Bir dizinin ilk n terim toplamı Sn = n3 + n - 4 tür. Bu dizinin 4. terimi kaçtır?
A) 41
B) 40
C) 39
D) 38
E) 37
25) İlk terimi 7, 8. terimi -28 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?
A) -5
B) -3
C) 5
D) 3
E) 4
221
26) 3 ile tam bölünebilen iki basamaklı sayıların toplamı kaçtır?
A) 555
B) 1500
C) 1665
D) 666
E) 1566
27) 19 ile 79 sayıları arasına bu sayılarla birlikte aritmetik dizi oluşturacak şekilde 19 sayı daha
yerleştirilirse bu dizinin 12. terimi kaç olur?
A) 40
B) 43
C) 46
D) 49
E) 52
28) 8. terimi -10 ve ortak farkı -2 olan aritmetik dizinin 17. terimi kaçtır?
A) 28
B) 30
C) 32
D) -30
E) -28
29)Bir aritmetik dizinin 15. terimi -24, 10. terimi -9 ise bu dizinin 21. terimi kaçtır?
A) -24
B) -42
C) -48
D) 42
E) 24
30)Bir aritmetik dizinin beşinci terimi 12, dokuzuncu terimi 36 dır. Bu dizinin ilk 10 terim toplamı
kaçtır?
A) 180
B) 150
C) 120
D) 90
E) 60
31)(an) aritmetik dizisinde a3 + a4 = 16 ve a1 + a5 = 14 olarak veriliyor. a17 kaçtır?
A) 33
B) 35
C) 37
D) 39
E) 41
32)4 terimli (an) = (x, y, z, 4) dizisi hem aritmetik hem geometrik dizi ise x2 + y2 + z2 toplamı
kaçtır?
A) 16
B) 24
C) 32
D) 48
E) 64
33)Ardışık üç terimi 2x - y, x + y, 3x + 4y + 21 olan dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir.
Bu dizinin 19. terimi kaçtır?
A) 6
B) 9
C) - 6
D) - 9
E) -12
34) 1. terimi 3 ve ortak çarpanı 2 olan geometrik dizinin 6. terimi kaçtır?
A) 32
B) 48
C) 64
D) 96
E) 120
35) 729 ile 9 sayıları arasına bu sayılarla birlikte geometrik dizi oluşturacak şekilde 7 sayı daha
yerleştirilirse bu dizinin 7. terimi kaçtır?
222
A) 1
B) 3
C) 9
D)
1
36) (an) geometrik dizisinde a2 = 1 ve a8 =
384
6
A) 1 24
B) 1 32
C) 1 48
1
3
E)
1
9
ise a5 kaçtır?
D) 1 64
E) 1
96
37) Ortak çarpanı 3 olan bir geometrik dizinin n. teriminin 3. terimine oranı 243 ise n kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
38)
1 , a, b, c, 5 bir geometrik dizinin ardışık beş terimi ise a.b.c kaçtır?
3125
A) 1 B) 1 625
5
C) 5
D) 25
E) 625
39) 3. terimi 3 ve ortak çarpanı 1 olan bir geometrik dizinin 8. terimi kaçtır?
A) 1 16
2
B) 3 16
2
C) 3 8
D) 1 64
E) 3
64
40) (an) geometrik dizisinde a5 = 27 ve a8 = 729 ise a2 kaçtır?
4
A) 4 3
B) 2
32
C) 1 3
D) 2 3
E) 4
41)Birinci terimi 3, üçüncü terimi 27 olan geometrik dizinin ilk 10 terim çarpımını bulunuz.
35
A) 3 40
B) 3 45
C) 3 50
D) 3 E) 3
55
42) 4. terimi 128, ortak çarpanı 4 olan geometrik dizinin 6. terimi kaçtır?
A) 2048
B) 2340
C) 3400
D) 1365
E) 980
43) Birinci terimi 2 olan geometrik dizinin ilk 6 teriminin toplamı ilk 3 terim toplamının 65 katıdır.
Bu geometrik dizinin 4. terimi kaçtır?
A) 16
B) 32
C) 64
D) 128
E) 256
44) Artan (an) geometrik dizisinde a3 + a4 = 36 ve a2 + a5 = 54 tür. a6 kaçtır?
A) 64
B) 72
C) 96
D) 108
E) 128
45) Konveks bir altıgenin iç açılarının ölçüleri bir aritmetik dizinin ardışık terimleridir. En küçük
o
açının ölçüsü 100 ise en büyük açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 110
B) 120
C) 130
D) 140
E) 150
46) 48 metre yükseklikten bırakılan bir top her defasında yüksekliğin yarısı kadar yukarı zıplamaktadır. 5. zıplamaya kadar aldığı toplam yol kaç metredir?
A) 134
B) 136
C) 138
D) 140
E) 142
47) En üst basamağında 1 kişi oturduğu ve diğer basamaklarında ise bir üstteki basamağın
3 katı kadar kişi oturmak şartıyla inşa edilmiş 8 katlı bir piramitte toplam kaç kişi oturur?
A) 1093
B) 3280
C) 4380
D) 5160
E) 8810
48) Mersinli köyünde hayvancılık yapan Yahya Ağa’nın çiftliğinde 2011 yılında 42 tane inek
vardır. Her yılın sonunda çiftlikteki inek sayısı 16 tane arttığına göre 2020 yılı sonunda çiftlikte toplam
kaç inek olur?
A) 860
B) 890
C) 900
D) 980
E) 1140
223
5. ÜNİTE
MATRİS, DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
MATRİS
Ortalama sıcaklık (oC)
Aralık
Kasım
Ekim
Eylül
Ağustos
Temmuz
Haziran
Mayıs
9.4
Nisan
8.9
Mart
Şubat
1. Tablo
Ocak
Meteroloji Genel Müdürlüğünden alınan verilere
göre 1975-2010 yılları arasında İzmir Merkez İlçede
hava sıcaklıklarının aylara göre ortalama değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. 11.8 16.0 20.9 25.7 28.1 27.6 23.6 18.9 13.8 10.3
Ortalama en yüksek sıcaklık ( C)
12.6 13.4 16.5 21.0 26.1 31.0 33.3 32.8 29.1 24.0 18.3 13.9
Ortalama en düşük sıcaklık (oC)
6.0
6.2
8.0
11.6 15.7 20.2 22.8 22.7 18.8 14.8 10.5
Ortalama Güneşlenme Süresi (saat)
4.4
5.0
6.5
7.5
9.9
11.7 12.2 11.7 10.0
7.4
5.4
4.1
Ortalama Yağışlı Gün Sayısı
10.8 10.5
8.8
8.1
5.0
2.3
5.9
8.7
12.0
o
1.8
1.4
3.4
7.5
Tabloyu incelediğimizde “İzmir ilinde hangi ayda ortalama sıcaklık en fazladır?”, “İzmir ilinde
aralık ayında ortalama yağışlı gün sayısı kaçtır?” gibi soruların karşılıklarını tablodan görebilirsiniz.
ETKİNLİK
Aşağıdaki tabloda bazı illerimizin birbirine karayolu ile olan uzaklıkları km olarak verilmiştir.
2. Tablo
Tabloyu incelediğinizde;
Verilerin bulunduğu kısmın kaç satır ve kaç
İzmir
0
564
580
1345
sütundan oluştuğunu belirtiniz.
İstanbul 564
0
453
1083
Tablonun 3. satır, 2. sütununda bulunan eleAnkara
580
453
0
765
manı bulunuz.
Trabzon 1345
1083
765
0
İzmir - İstanbul arasındaki uzaklığın kaç km
olduğunu belirtiniz.
Trabzon’a en yakın olan ilimiz hangisidir?
Tüm bu tabloları incelediğinizde verileri tablo biçiminde yazmanın getirdiği kolaylıkları arkadaşlarınızla tartışınız. Ulaştığınız sonucu açıklayınız.
Şehirler
İzmir
İstanbul Ankara Trabzon
ÖRNEK
Aşağıdaki tabloda 5 basketbolcunun oynadığı 4 maçta kazandırdığı basket sayıları verilmiştir.
Basketçi
Ata
Berk
I
12
10
14
18
8
II
14
9
17
19
7
III
17
8
16
15
6
IV
13
11
15
18
9
Maç
Oğuz Cem
Deniz
a) Veri kısmının kaç satır ve kaç sütundan oluştuğunu bulalım.
b) Oğuz'un üçüncü maçta kazandırdığı basket sayısı, Deniz'in dördüncü maçta kazandırdığı
basket sayısından kaç fazla olduğunu hesaplayalım.
c) Veri kısmının birinci satır, ikinci sütundaki elemanın ne ifade ettiğini belirtelim.
224
ÇÖZÜM
a) Tablo 4 satır ve 5 sütundan oluşmaktadır.
b) Oğuz'un üçüncü maçta kazandırdığı basket sayısı 16, Deniz'in dördüncü maçtaki basket sayısı 9 olduğundan Oğuz, Deniz'den 16 - 9 = 7 basket fazla atmıştır. c) Birinci satır, ikinci sütundaki 10 elemanı Berk'in ikinci maçta kazandırdığı basket sayısını belirtmektedir.
a11
a
A = . 21
..
am1
Yandaki gösterime Matris ya da A matrisi denir. A matrisinde m tane satır, n tane sütun bulunmaktadır. Bu yüzden
bu tür matrisler mxn türünden matrislerdir. a ij değerleri A
matrisin elemanlarıdır. Örneğin, a23 de 23, bir indistir. a23 ,
ikinci satırın üçüncü elemanını göstermektedir.
a12 ........ a1n
a22 ........ a2n
..
.
am2 ........ amn
m, n ∈ N, i = 1, 2, ..., m ve j = 1, 2, ..., n olmak üzere m satır ve n sütundan oluşan bir matris,
A=
a11
a12 ........ a1j
........ a
1n
1. satır
a21
..
.
ai1
a22 ........ a2j
..
..
.
.
ai2 ........ aij
........ a2n
..
.
........ ain
2. satır
am1
........ amj
........ a
mn
m. satır
am2
1. sütun 2. sütun
j. sütun
i. satır
n. sütun
ise A matrisine mxn türünden bir matris denir. Kısaca A = aij
mxn
biçiminde gösterilir.
ÖRNEK
A=
3
1
-2
2
3
4
-4
0
-4
5
-1 , B =
2
4
2
1
-1
3 ,C=
-3
2
6 ,D=
4 , E = 2 matrislerinin türlerini bu-
2
lalım.
ÇÖZÜM
A matrisinin satır sayısı 3, sütun sayısı 4 olduğundan 3x4 türünden matris.
B matrisinin satır sayısı 3, sütun sayısı 2 olduğundan 3x2 türünden matris.
C matrisinin satır sayısı 1, sütun sayısı 2 olduğundan 1x2 türünden matris.
D matrisinin satır sayısı 2, sütun sayısı 1 olduğundan 2x1 türünden matris.
E matrisinin satır sayısı 1, sütun sayısı 1 olduğundan 1x1 türünden matris.
ÖRNEK
A = a ij
4x2 şeklindeki matrisin genel gösterimini yazalım.
ÇÖZÜM
a11
a12
biçiminde
olur.
A = a21 a22
a31
a41
a32
a42
225
ÖRNEK
A = a ij
3x2
2
4
6
matrisi A =
-1
3 dir. Buna göre a21 + 3.a22 - a31 işleminin sonucunu bulalım.
7
ÇÖZÜM
2
4
6
A=
-1
3 matrisinde a21 = 4, a22 = 3 ve a31 = 6 dır.
7
Buna göre a21 + 3.a22 - a31 = 4 + 3.3 - 6 = 7 bulunur.
ÖRNEK
A = a mn
2x2 türünden bir matrisdir.
⎧ + n , m > n
m
amn = ⎨
⎩ 2m - 3n , m ≤ n
ise A matrisinin elemanlarını bulalım.
ÇÖZÜM
A=
a11
a12
a21
a22
biçimindedir.
a11 için 1 = 1 olduğundan ve amn
a12 için 1 < 2 olduğundan ve amn
a21 için 2 > 1 olduğundan ve amn
a22 için 2 = 2 olduğundan ve amn
Bu durumda A matrisi, A =
= 2m - 3n eşitliğinden a11 = 2.1 - 3.1 = -1,
= 2m - 3n eşitliğinden a12 = 2.1 - 3.2 = -4,
= m + n eşitliğinden a21 = 2 + 1 = 3,
= 2m - 3n eşitliğinden a22 = 2.2 - 3.2 = -2 bulunur.
-1
-4
3
-2
olur.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki matrislerin türlerini bulunuz.
a) A = 2 -4 1 b) B =
1 -2 0
4 1
1 -4
-2 3
4
1 -2
0
1
c) C = -2 3 4
ç) D = 1 2 3 d) E =
0
-1 0
-2 3
2) Aşağıdaki ifadelerde verilen noktalı yerleri uygun biçimde doldurunuz.
A=
5
a) a11 + a23 + a42 = ......................... dır.
7 matrisi için; 3
b) a31 + 2.a22 - a13 = ......................... dır.
-5
-3
2
0
-4
3) A = aij
3x2
4) A = aij
2x2
A)
226
-1
4
1
-2
⎧ 3i - 2j , i > j
matrisi için aij = ⎨
⎩ i + 4j , i ≤ j
m+n
1 -3
-3 1
matrisi için aij = (-1)
B)
-3
3
3 -3
C)
dır. A matrisini bulunuz.
.3 dır. A matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
3 -3
-3
3
D)
-1
1
1 -1
E)
1 -1
-1 1
e) F =
2
-1
MATRİS ÇEŞİTLERİ
ETKİNLİK
İzmir ilinde bulunan üç lisenin bazı branşlara göre nisan ayındaki öğretmen sayılarını gösteren
tablo aşağıda verilmiştir.
Matematik
Öğretmeni
Edebiyat
Öğretmeni
Fizik
Öğretmeni
Namık Kemal Lisesi
8
11
5
Fatma Saygın Anadolu Lisesi
4
5
4
İzmir Atatürk Lisesi
15
13
7
Branşlar
Liseler
Yukarıdaki okullarda branşları belirtilen öğretmenlerden nisan ayında emekli olanların sayısı
1. tabloda, haziran ayında emekli olanların sayısı 2. tabloda verilmiştir. Tabloları inceleyiniz.
1. tablo
Matematik
Öğretmeni
Edebiyat
Öğretmeni
Fizik
Öğretmeni
Namık Kemal Lisesi
0
0
0
Fatma Saygın Anadolu Lisesi
0
0
0
İzmir Atatürk Lisesi
0
0
0
Matematik
Öğretmeni
Edebiyat
Öğretmeni
Fizik
Öğretmeni
Namık Kemal Lisesi
1
0
0
Fatma Saygın Anadolu Lisesi
0
1
0
İzmir Atatürk Lisesi
0
0
1
Branşlar
Liseler
2. tablo
Branşlar
Liseler
1. tablodaki değerleri A matrisine, 2. tablodaki değerleri B matrisine yazınız.
A=
.... .... ....
.... .... ....
B=
.... .... ....
.... .... ....
.... .... ....
.... .... ....
Bu üç lisede verilen branşlardaki öğretmenlerden temmuz ayında emekli olanların sayısı 3. tabloda, ağustos ayında emekli olanların sayısı 4. tabloda verilmiştir. Tabloları inceleyiniz.
3. tablo
Branşlar
Matematik
Öğretmeni
Edebiyat
Öğretmeni
Fizik
Öğretmeni
Namık Kemal Lisesi
3
0
0
Fatma Saygın Anadolu Lisesi
0
1
0
İzmir Atatürk Lisesi
0
0
2
Matematik
Öğretmeni
Edebiyat
Öğretmeni
Fizik
Öğretmeni
Namık Kemal Lisesi
2
0
0
Fatma Saygın Anadolu Lisesi
2
1
0
İzmir Atatürk Lisesi
3
4
2
Liseler
4. tablo
Branşlar
Liseler
227
3. tablodaki değerleri C matrisine, 4. tablodaki değerleri D matrisine yazınız.
.... .... ....
C=
.... .... ....
D=
.... .... ....
.... .... ....
.... .... ....
.... .... ....
A, B, C ve D matrislerinin elemanlarına göre özelliklerini açıklayınız.
ÖRNEK
A=
2
4
3
5
, B = 2 ve C =
4 2 1
0 3 -2 veriliyor.
-1 7 8
A, B ve C matrislerinin satır ve sütun sayıları arasındaki ortak özelliği bulalım. ÇÖZÜM
A matrisi 2 satır ve 2 sütundan, B matrisi 1 satır ve 1 sütundan, C matirisi ise 3 satır ve 3 sütundan oluştuğundan A, B ve C matrisleri eşit sayıda satır ve sütundan oluşmaktadır.
a11
a12
a13
....... a1m
a21
a22
a23
....... a2m
.
.
a32
..
.
a33
..
.
....... a3m
..
.
am1 am2 amj
........ amm
A = a31
.
Özel olarak satır sayısı ile sütun sayısı birbirine eşit olan
matrise kare matris denir.
A kare matrisinin aij elemanlarından i = j olanlarının ( a11 , a22 , a33 , ..., amm ) üzerinde bu-
lunduğu köşegene asal köşegen denir.
Kare matrislerde,
A=
2
0
0
0
0
4
0
0
0
0
-2
0
B=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
C=
0
0
0
0
E=
228
A matrisinde olduğu gibi asal köşegeni üzerindeki elemanları hariç diğer tüm elemanları sıfır olan matrislere köşegen matris denir.
B matrisinde olduğu gibi asal köşegeni üzerindeki tüm elemanları 1, diğer elemanları 0 olan matrise birim matris denir.
C matrisinde olduğu gibi tüm elemanları 0 olan matrise sıfır matris denir.
-6
0
3
5
0
0
1
-2
0
0
0
4
3
0
0
1
6
5
0
2
D = -4
0
0
0
1
D matrisinde olduğu gibi asal köşegenin üst tarafında kalan bütün elemanları 0 olan matrise alt üçgen matris denir.
2
-3
1
4
E matrisinde olduğu gibi asal köşegenin alt tarafında kalan
bütün elemanları 0 olan matrise üst üçgen matris adı verilir.
ÖRNEK
4
3
0
A=
1
-1
-2
2
2
4
,B=
4
2
0
3
1
2
, C = -7 matrislerinden hangisi veya hangileri kare matristir?
ÇÖZÜM
Satır ve sütun sayıları eşit olan matrisler kare matristir. Bu durumda A matrisi 3x3, C matrisi 1x1
türünden kare matristir.
ÖRNEK
0
0
1
0
1
0
1
0
0
A =
, B =
2
0
0
2
, C =
1
1
1
1
0
0
1
, D =
0
1
0
1
0
0
ve E =
0
1
1
0
matris-
lerinden hangileri birim matristir? Bulalım.
ÇÖZÜM
Birim matris kare matrislerde asal köşegeni üzerindeki elemanları 1, diğer elemanları 0 dan
oluşan matristir. Bu durumda sadece A matrisi birim matristir.
ÖRNEK
1
4
-1
A=
0
0 , B =
3
0
2
2
-1
0
0
2
4
0
3
1 matrislerinden hangisinin alt üçgen matris ve üst üçgen
-2
matris olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM
0
0 3
A=
1 0
4 2
-1 2
B=
-1 2 3
0 4 1 0 0 -2
A matrisi alt üçgen matristir. B matrisi üst üçgen matristir.
İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ
ETKİNLİK
Bir hastanenin nöroloji ve üroloji servislerinde yatan hasta sayılarını gösteren üçer aylık tablolar
aşağıda verilmiştir.
1. tablo
Servisler
Nöroloji
Üroloji
Ocak
83
78
Şubat
76
Mart
61
Aylar
2. tablo
Servisler
Nöroloji
Üroloji
Nisan
45
68
80
Mayıs
53
57
90
Haziran
36
43
Aylar
229
3. t ab l o
4. tablo
Servisler
Nöroloji
Üroloji
Temmuz
45
68
Ağustos
53
Eylül
36
Aylar
Servisler
Nöroloji
Üroloji
Ekim
45
68
57
Kasım
53
43
43
Aralık
57
36
Aylar
1. tablodaki hasta sayısını A, 2. tablodaki hasta sayısını B, 3. tablodaki hasta sayısını C,
4. tablodaki hasta sayısını D matrisine yazınız.
83 78
A = .... ....
B=
.... ....
53 57
C=
.... ....
.... ....
45 68
.... ....
.... ....
D = .... ....
36 43
.... ....
A, B, C, D matrislerinin türlerini söyleyiniz.
A, B, C, D matrislerinden birbirine eşit olanları belirleyiniz.
İki matrisin birbirine eşit olabilmesi için matrisler hangi özelliklere sahip olmalıdır? Arkadaşlarınızla tartışarak açıklayınız.
ÖRNEK
A=
4
2
5
1
ve B =
4
x
y
1
matrisleri veriliyor. A ve B matrisleri eşit matrisler olması için x
ve y hangi değerleri almalıdır? Bulalım.
ÇÖZÜM
A matrisi ve B matrisleri aynı türden iki matris olduklarından bu iki matrisin eşit olabilmesi için
x = 2 ve y = 5 değerini almalıdır.
Aynı türden iki matris A = aij
mxn
ve B = bij
mxn
verilsin.
+
Eğer ∀i,j ∈ N için, aij = bij oluyorsa A matrisi B matrisine eşittir denir ve A = B biçiminde
gösterilir.
ÖRNEK
A=
1
2
-1 3
2 ve B =
4
1
2
2
-1
3 matrisleri eşit midir?
4
ÇÖZÜM
Matrislerin türleri farklı olduğunda A ve B matrisleri eşit değildir.
ÖRNEK
A=
4
2
3
-1
ve B =
4
2
3
-1
matrisleri eşit midir?
ÇÖZÜM
A ve B matrislerinin türleri aynı ve elemanları karşılıklı olarak eş olduğundan bu iki matris birbirlerine eşittir.
230
ÖRNEK
A=
log2 x
3
4
m
3
n+1
y-3
6
ve B =
için A = B ise x + y + m + n toplamını bulalım.
ÇÖZÜM
log2 x
3
4
m
3
n+1
y-3
6
=
ise log2 x = 3 ve 3 = n + 1 ve 4 = y - 3 ve m = 6 dır. Bu eşitlik-
lerden, x = 8, n = 2, y = 7 ve m = 6 bulunur. Bu durumda x + y + m + n = 8 + 7 + 6 + 2 = 23 olur.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) Satır sayısı sütun sayısına eşit olan matrise kare matris denir.
( ) b) İki matrisin eşit olabilmesi için matrislerin kare matris olması gerekir.
( ) c) Tüm elemanları 1 olan matrise birim matris denir.
( ) 2) Aşağıda verilen matrislerden hangileri kare matristir?
A=
6
9
4
-1
B=
0
2
-2
C = -1
1
D= 5
0
6
9
3) Aşağıdakilerden hangileri birim matristir?
A=
1
0
0
1
0 0 1
1 0 1
1 1 0 0
1
2
0 0 1
1 0 1 1
5
1
,B= 0 1 0 ,C= 0 1 0 ,D= 0 1 0 0 ,E= 1 ,F=
1 0 0
4) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz. Birim matris
Köşegen matris
Üst üçgen matris
Sıfır matris
Alt üçgen matris
A, B, C ve D matrislerinin çeşitlerini belirleyiniz.
A=
7) A =
A)
0
0
0
0
0
0
5) A =
6) A =
0
0 0 7
0
y-2
z+2
-4 -1
7
ve B =
9
6
2
4
x+y
3
2
5
B)
2
3
log x
2
A) 5 1
0
0
1
6 0 0
,B= 0 4 0
0 0 1
In x
0 matrisinin sıfır matris olabilmesi için x, y, z değerleri kaç olmalıdır?
0
x-y
x-y
8) A =
1 2 3
, B = 0 5 4 , C =
x
y
z
t
ve B =
matrisleri veriliyor. A = B ise x, y, z ve t sayılarını bulunuz.
4
8
10 z - 1
5
2
ve B =
6
-4
C)
128
3
0
log3 z
B) 4
matrisleri veriliyor. A = B ise 4
21
D)
21
4
E)
x.y
z
değeri kaçtır?
23
4
matrisleri veriliyor. A = B ise x + y + z toplamı kaçtır?
C) 3
D) 2
E) 1
231
MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ
ETKİNLİK
Bir semt pazarındaki üç balık satıcısında bulunan balık çeşitleri ve bu balıkların miktarları kg
cinsinden aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tabloyu inceleyiniz.
1. tablo
Balık
Balıkçılar
Lüfer
Çipura
Levrek
Barbun
2
5
3
3
2
4
4
3
2
5
4
3
Veli
Dursun
Temel
Aynı balıkçılar, 2. tabloda verilen balıklar için balık halinden istekte bulunurlar. Tabloyu inceleyiniz.
2. tablo
Balık
Balıkçılar
Veli
Dursun
Temel
Lüfer
Çipura
Levrek
Barbun
10
20
25
15
20
30
20
10
40
30
25
30
Balık halinden siparişler geldiğinde balıkçıların balık miktarlarını 3. tabloya yazınız.
3. tablo
Balık
Lüfer
Balıkçılar
Çipura
Levrek
Barbun
Veli
Dursun
Temel
1., 2. ve 3. tablodaki verileri sırasıyla aşağıdaki A, B ve C matrislerine yazınız.
A=
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
, B =
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
, C =
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
C matrisinin her elemanının, A ve B matrislerinin karşılıklı elemanlarının toplamı olup olmadığını tartışınız. Matrislerde toplama işleminin nasıl yapılacağını açıklayınız. ÖRNEK
A=
2
3
-1
6
0
-5
ve B =
4
-1
7
-3
2
3
matrisleri için A + B matrisini bulalım.
ÇÖZÜM
A ve B matrisleri aynı türden iki matris olduğundan toplanabilir.
A + B =
2
3 -1
6
0 -5
+
4 -1 7
-3 2
3
=
2+4
3-1
-1 + 7
6-3
0+2
-5 + 3
=
6
6
2
3
2 -2
olur.
Görüldüğü gibi A + B matrisinin türü, A ve B matrislerinin türü ile aynıdır.
A = aij
mxn
, B = bij
mxn
matrisleri verilsin. A + B = aij
matrisine, A matrisi ile B matrisinin toplamı denir.
232
mxn
+ bij
mxn
= aij + bij
mxn
ÖRNEK
A=
Inx
3
-1
y
,B=
1
z
t
6
3 -4
ve C =
8
matrisleri veriliyor. A + B = C ise x, y, z ve t değerle-
6
rini bulalım.
ÇÖZÜM
A+B=
lnx + 1
3+z
-1 + t
y+6
olur. A + B = C ise lnx + 1
3+z
-1 + t
y+6
=
3 -4
8
6
dır.
Bu durumda iki matrisin eşitliğinden,
lnx + 1 = 3 ⇒ lnx = 2 ve x = e2
3 + z = 3 ⇒ z = 0
-1 + t = 8 ⇒ t = 9
y + 6 = 6 ⇒ y = 6 bulunur.
ETKİNLİK
Gerçek sayılar kümesinde toplama işlemine göre, a, b, c ∈ R için,
Değişme
a+b=b+a
Birleşme
a + (b + c) = (a + b) + c
Etkisiz (birim) eleman
a+0=0+a=a
Ters eleman
a + (-a) = (-a) + a = 0
özelliklerinin varlığını biliyorsunuz. Şimdi de,
A=
a
b
c
d
, B =
x
y
z
t
, C =
p
q
r
s
, 0 =
0
0
0
0
, -A =
-a -b
-c -d
matrislerini ele alarak değişme, birleşme, etkisiz (birim) eleman ve ters özellikleri için,
A + B ve B + A matrislerini bulunuz. Bulduğunuz matrisleri karşılaştırınız.
A + (B + C) ve (A + B) + C matrislerini bulunuz. Bulduğunuz matrisleri karşılaştırınız.
A + 0 ve 0 + A matrislerini bulunuz. Bulduğunuz matrisleri karşılaştırınız.
A + (-A) ve (-A) + A matrislerini bulunuz. Bulduğunuz matrisleri karşılaştırınız.
Yaptığınız işlemler sonucunda, matrislerde toplama işleminde değişme, birleşme ve etkisiz
eleman özelliklerinin olup olmadığını tartışınız. A matrisinin toplama işlemine göre tersinin hangi
matris olduğunu belirtiniz.
ÖRNEK
A=
2
3
-1
6
ve B =
3
-6
2
4
ise A - B matrisini bulalım.
ÇÖZÜM
A - B = A + (-B) dır. Bu durumda,
A-B=
2
3
-1
6
+
-3
6
-2 -4
=
2-3
3+6
-1 - 2
6-4
=
-1 9
bulunur.
-3 2
233
A = aij
mxn
, B = bij
mxn
, C = cij
mxn
ve 0 = 0ij
mxn matrisleri verilsin.
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + 0 = 0 + A = A
A + (-A) = (-A) + A = 0 özellikleri vardır.
Matrislerde toplama işlemine göre sıfır matrisine etkisiz eleman, (-A) matrisine A matrisinin tersi denir.
ÖRNEK
4
2
3
-1
5
4
A=
matrisinin toplama işlemine göre tersini bulalım.
ÇÖZÜM
A matrisinin toplama işlemine göre tersi -A matrisidir. -A =
-4 -2 -3
tür.
-5 -4
1
UYGULAMA
1) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) İki matrisin toplanabilmesi için aynı türden olmaları gerekir. b) A =
1
1
ve B =
1
matrisleri için A + B =
1
c) A matrisinin toplama işlemine göre tersi
1
1
1
1
( ) dir.
1
matrisidir.
A
( ) (
)
2) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz. 4
6
-1
8
5
-8
A = -3 -4 matrisinin toplama işlemine göre tersini bulunuz.
B = -4
C=
matrisinin toplama işlemine göre tersini bulunuz.
2
0
-6
-4 -6
-4
4
-3 -4
8
5
1
0
6
-4 -6
4
4
3
4
5
1
-8
-8
7
10
8
0
6
-4 matrisinin toplama işlemine göre tersini bulunuz.
5
8
-5
8
4
-2
4
-2
7
10
-7 -10
4
-8 -5
x y z
8 -5 -4
3) A = 6 1 -8 , B =
,C=
A+B+C ise B matrisinin elemanlarını bulunuz.
a b c
2 9 10
4) A =
234
A)
8 5 12
8 13 4
4 -1 3
5
ve B =
7 -6
B)
13 11 5
-4 6 -9
matrisleri veriliyor. A - B matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
3 -6 10
12 -1 11
-5 -6 19
C)
12 -1 21
5
19 -6
D)
-12 -1
3
-5 -19 14
E)
4
1
3
5
7
6
BİR MATRİSİN BİR GERÇEK SAYI İLE ÇARPIMI
ETKİNLİK
Bir inşaat firması yapmış olduğu sitedeki daire fiyatlarını bin TL cinsinden aşağıda verilen tablodaki gibi belirlemiştir. Tabloyu inceleyiniz.
Büyüklük
100 m2
130 m2
A
150
150
B
120
140
C
90
100
Tipi
Bu tablo D matrisi olarak aşağıdaki gibi yazılabilir.
D=
100 m2
100
130m2
150
120
90
140
100
A Tipi
B Tipi
C Tipi
İnşaat maliyetlerinin artışına göre firma daire fiyatlarını % 20 oranında arttırdığında dairelerin yeni fiyatlarını bulunuz.
100
150
(1,2).100
(1,2).150
90
100
......
......
......
......
D = 120
140 =
=
......
......
......
......
......
......
Bir matrisi bir reel sayı ile çarptığınızda oluşan yeni matrisin her bir elemanının nasıl etkilendiğini tartışınız. Ulaştığınız sonucu açıklayınız.
ÖRNEK
A=
3
4
2
1
-2
6
ise 2.A matrisini bulalım.
ÇÖZÜM
2.A =
2.3
2.4
2.2
2.1
2.(- 2)
2.6
=
k ∈ R olmak üzere, A = aij
6
2
mxn
8
4
- 4 12
olur.
matrisi için, k.A = k. aij
mxn
= k.aij
mxn
dir.
ETKİNLİK
A=
2
1
3
4
-2
7
ve B =
0
6
-3
1
4
5
matrisleri verilsin. A + B matrisini bulduktan sonra
4.(A + B) matrisini bulunuz.
4.A ve 4.B matrislerini bularak 4.A + 4.B matrislerini hesaplayınız.
4.(A + B) ile 4.A + 4.B matrislerini karşılaştırınız.
(2 + 5).A matrisini bularak 2.A + 5.A matrisi ile karşılaştırınız.
(3.2).A ve 2.A matrisini hesaplayınız.
3.(2A) matrisini hesaplayarak (3.2).A matrisi ile karşılaştırınız.
Karşılaştırdığınız matrisler için genellemelerde bulununuz.
235
ÖRNEK
A=
1
0
4
2 ve B = -2
-1
4
matrisleri için 3.A + 3.B ile 3.(A + B) matrislerini karşılaştıralım.
5
ÇÖZÜM
0
2 + 3. -2
-1
4
1
2
0
4
3.A + 3.B = 3. 1
(
3.(A + B) = 3.
+
4
5
-2
4
-1
5
k, p ∈ R olmak üzere, A = aij
k.(A + B) = k.A + k.B
=
)
= 3.
mxn
3
6
0
12
-1
6
-1
9
-6 12
+
=
-3 15
ve
-3 27
-3 18
=
-3 18
olduğundan 3.A + 3.B = 3.(A + B) dir.
-3 27
, B = bij
mxn
matrisleri için,
(k + p).A = k.A + p.A
(k + p).A = k.(p.A) dir.
ÖRNEK
4
2A - B =
-2
1 ve A + 2B =
3
1
3
0
2
matrisleri için A matrisini bulalım.
ÇÖZÜM
4
2A - B =
-2
1
................. (I)
A + 2B =
3
1
3
0
2
................. (II)
(I) eşitliğini 2 ile çarpıp (II) ile taraf tarafa toplayalım.
4A - 2B =
A + 2B =
+
= +
5A =
8
2
-4
6
1
3
0
2
1
eşitliğinde her iki tarafı
ile çarparsak A =
5
-4 8
9
5
ÖRNEK
9
5
1
-4
5
8
5
Uygun koşullarda tanımlı f fonksiyonu, f(x) = 2x + 3 biçiminde veriliyor. A =
f(A) yı bulalım.
bulunur.
2
3
4
-2
olmak üzere
ÇÖZÜM
f(x) = 2x + 3 ise f(A) = 2.
2
3
4
-2
+ 3 olur. f(A) =
4
6
8
-4
+ 3 olur. Burada bir matris ile bir
gerçek sayı toplanamadığından bu işlemin gerçekleşmesi için 3 = 3.I2x2 = 3.
zılır. Bu durumda, f(A) =
236
4
6
8
-4
+ 3.
1
0
0
1
=
4
6
8
-4
+
3
0
0
3
1
0
0
1
ise f(A) =
şeklinde ya-
7
6
8
-1
bulunur.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) Bir matris bir gerçek sayı ile çarpıldığında matrisin tüm elemanları o gerçek sayı ile çarpılır. ( ) b) Sadece kare matrislerin bir gerçek sayı ile çarpımı tanımlıdır.
2) A =
1
-2
-3
4
ve B =
5 4
yazınız.
a) 2.A - 3.B = ....................... 3) A = 3
2
a) 3.A 4
,B= 8
-3
5
-7
6
1
-4
2
4) 2.A + 3.B =
8
-5
-1
6
( ) b) 3.A + 2.B = .......................
4
b) -2.B matrisleri için aşağıda boş bırakılan yerlere en uygun matrisleri
2
-3
matrisleri veriliyor. Aşağıdaki matrisleri bulunuz.
c) 2.A + 3.B ç) A - 2B
d) 3A + 4B
1
-10 matrisleri veriliyor. Buna göre A matrisinin terim-5 15
ve A - 3.B =
lerinin toplamını bulunuz.
A) 3
B) 4
5) A =
A)
4
-1
2
3
13
4
9
8
C) 5
D) -3
E) -7
ve f(x) = 3x + 2 ise f(A) matrisini bulunuz.
B)
12
-3
6
9
C)
13
-3
8
11
D)
14
-3
6
11
E)
14
-1
8
11
MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ
ETKİNLİK
Bir gıda toptancısında 1. kalite ve 2. kalite mercimek, pirinç ve fasulye fiyatları A matrisinde
verilmiştir. Matrisi inceleyiniz.
1. kalite
(TL)
2. kalite
(TL)
Mercimek (kg)
2
1
Pirinç (kg)
3
2
Fasulye (kg)
5
4
=A
Bu toptancının 1. ve 2. kalite olan bu ürünlerin her birinin bir haftalık satış miktarları B matrisinde verilmiştir.
Pazartesi
Salı
Çarşamba Perşembe
Cuma
1. kalite (kg)
110
120
140
100
150
2. kalite (kg)
160
180
170
190
200
=B
Toptancının pazartesi günü mercimek satışından elde ettiği geliri bulunuz.
Toptancının salı, çarşamba, perşembe ve cuma günleri elde ettiği geliri bulup aşağıdaki C
matrisinde uygun yerlere yazınız.
237
Pazartesi
Salı
Mercimek
480
....
....
....
....
Pirinç
....
....
....
....
....
Fasülye
....
....
....
....
....
Çarşamba Perşembe
Cuma
=C
C matrisinin A ve B matrislerini kullanarak nasıl elde edilebileceğini açıklayınız.
A
3x2
. B
= C
2x5
....x....
C matrisinin türünün A ve B matrislerinin türleriyle olan ilişkisini belirtiniz.
3
Şimdi de A =
4
5 ve B =
1
2
0
2
-6
8
5
7
-3
9
1
matrisleri için A.B matrisini bulmaya yö-
nelik yapılan aşağıdaki çalışmayı inceleyerek en son satırı bulunuz.
3
4
2
5 .
0
1
3
4
2
5 .
0
1
2
-6
8
5
7
-3
9
1
2
-6
8
5
7
-3
9
1
3.(2)+4(7) 3.(-6)+4(-3) 3.(8)+4.(9)
=
3.(5)+4(1)
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
34
-30
60
19
= 2.(2)+5(7) 2.(-6)+5.(-3) 2.(8)+5(9)
...........
...........
2.(5)+5(1)
...........
...........
60
19
Aşağıdaki noktalı yerleri uygun biçimde doldurunuz.
3
4
2
5 .
0
1
2
-6
8
5
7
-3
9
1
34
=
-30
39
-27
61
15
...........
...........
...........
...........
Elde ettiğiniz çarpım matrisinin türünü belirtiniz.
Herhangi türden iki matris çarpılabilir mi? Tartışınız.
İki matrisin çarpılabilmesi için nelere dikkat edilmesi gerektiğini tartışınız.
ÖRNEK
A=
1
2
3
4
3
2
-4 6
7 5
ve B =
0
için A.B ve B.A matrislerini bulalım.
3
ÇÖZÜM
A.B
=
B.A =
1
2
3
4
3
2
-4
6
7
5
0
3
mxn
-4 6
7 5
0
.
Görüldüğü gibi,
A = aij
.
A
=
3
1
2
3
4
3
2
2x3
. B
, B = bij
nxp =
3x2
1.(-4) + 2.7 + 3.0
1.6 + 2.5 + 3.3
4.(-4) + 3.7 + 2.0
4.6 + 3.5 + 2.3
(-4).1 + 6.4
=
(-4).2 + 6.3 (-4).3 + 6.2
7.1 + 5.4
7.2 + 5.3
7.3 + 5.2
0.1 + 3.4
0.2 + 3.3
0.3 + 3.2
= A.B
2x2
ve
B
3x2
. A
2x3
10 25
5
45
20 10
0
= 27 29 31 bulunur.
= B.A
12
9
3x3 6
olmaktadır.
matrislerinin çarpımından elde edilen A.B = C, C = cij
mxp mat-
risinin cij elemanının, A matrisinin i. satırı ile B matrisinin j. sütununun karşılıklı elemanlarının
çarpımlarının toplamından oluşmaktadır.
238
ETKİNLİK
A= 2
A=
3 ,B=
5
-1
4
6
0
2
4 -2
0 5
ve C =
1
matrisleri için,
3
Önce B.C, sonra da A.(B.C) çarpım matrislerini bulunuz.
Önce A.B, sonra da (A.B).C çarpım matrislerini bulunuz.
A.(B.C) ile (A.B).C matrislerini karşılaştırınız.
Matrislerde çarpımı tanımlı matrisler için birleşme özelliğinin olup olmadığını tartışınız.
2
3
1
0
, B = -3 -1
ve C =
2
-4
0
2
4
6
matrisleri için,
A.(B + C) matrisini bulunuz.
A.B + A.C matrisini bulunuz.
A.(B + C) ve A.B + A.C matrislerini karşılaştırınız.
Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemine göre sağdan ve soldan dağılma özelliğinin
olup olmadığını tartışınız.
A=
2
-1 , B =
1
0
-1
3
2
3
, I2 =
1
0
0
1
ve O =
0
0
0
0
ve matrisleri için,
A. I 2 ve I2.A matrislerini bulunuz.
A.O ve O.A matrislerini bulunuz.
Matrislerde çarpma işleminin etkisiz ve yutan elemanının hangi matrisler olabileceğini, bu
matrislerin türleri için ne söylenebileceğini tartışınız.
ÖRNEK
A=
2
3
4 -1
, B=
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
ve C =
0
0
0
0
matrisleri veriliyor. A.C ve A.B matrislerini bulalım.
ÇÖZÜM
A.B =
A.C =
2
3
4 -1
2
3
4 -1
.
.
=
2.1 + 3.0
2.0 + 3.1
4.1 + (-1).0
=
2.0 + 3.0
4.0 + (-1).1
2.0 + 3.0
4.0 + (-1).0
=
4.0 + (-1).0
=
2
3
4 -1
0
0
0
0
ise A.B = A matrisidir.
ise A.C = C matrisidir.
A, B ve C aşağıdaki işlemler için tanımlı olacak türde matrisler ve I birim matris, O sıfır matris olsun.
A.(B.C) = (A.B).C
A.(B + C) = A.B + A.C
(A + B).C = A.C + B.C A. I = I .A = A
A.O = O.A = O özellikleri vardır.
ÖRNEK
A=
1
5
0 -1
47
matrisi veriliyor. A
504
ve A
matrislerini bulalım.
239
ÇÖZÜM
1
2
A = A.A =
5
1
.
0 -1
5
=
0 -1
+
2n
1
0
0
1
2n + 1
n ∈ N olmak üzere, A = I2, A
3
2
= I2 ve A = A.A =
1
5
0 -1
1
47
= A olduğundan A = A =
5
0 -1
.
1
0
0
1
504
dir. A
=
1
5
= A olur.
0 -1
= I2 =
1
0
0
1
dir.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) 3x2 türünden A ve B matrislerinin çarpımı da 3x2 türündendir. ( ) b) Sadece aynı türden kare matrislerin çarpımı tanımlıdır.
( )
c) A mxn türünden ve B nxp türünden matrisler ise A.B matrisi mxp türündendir. 2
a) A.B matrisi ................... türündendir. b) B.A matrisi ................... türündendir. 3) A =
( ) 3
1 2 3
matrisleri için aşağıdaki boşlukları uygun biçimde doldurunuz.
1 ve B =
4 -1 2
0
2) A = 4
3
2
1
4
4
8
5
1
2
3
2
, B = -1
0
,C= 1
4
2
3
4
3
2
1
2
,D= 7
matrisleri için aşağıdaki çarpma
-3
işlemlerinden hangilerinin yapılıp yapılamayacağını belirtiniz. Uygun olanları çarpınız.
a) A.B b) B.C c) C.D ç) A.C d) B.A e) D.B f) D.A b
-1
4) A = a
2
2
0
12
, C = -8
c
2
-24
B) -1
4
240
-2
-1 , B = 3
A) -2
5) A.B = 3
2
A)
3
4
5
6
7
8
1
7
2
8
B)
5) A =
1
-3
0
1
6) A =
1
3
1
-1
4
3
7
0
9
9
ise A
matrisleri için A.B = C ise a + b + c toplamını bulunuz.
C) 1
200
2
0
-4
7
3
C)
4
3
0
9 11
E) 6
ise A.(B + C) matrisini bulunuz.
7
matrisini bulunuz.
2011
ise A
D) 2
1
, A.C =
g) B.D
matrisini bulunuz.
D)
3
2
0
-16 14 24
E)
2 -1 7
0 -5 5
2x2 TÜRÜNDEN BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
ETKİNLİK
A=
5
7
2
3
,B=
x
y
z
t
, ve I2x2 =
1
0
0
1
matrisleri veriliyor.
A.B = I2x2 ve B.A = I2x2 eşitliklerini sağlayan B matrislerini bulunuz ve karşılaştırınız.
B matrisinin çarpma işlemine göre A matrisinin tersi olup olamayacağını tartışınız.
ÖRNEK
A=
2
3
4
-1
matrisinin çarpma işlemine göre tersini bulalım.
ÇÖZÜM
-1
A =
2
3
4
-1
x
y
z
t
.
olsun. A.A
x
y
z
t
=
-1
-1
= I2 eşitliğini sağlayan A
1
0
0
1
matrisi A matrisinin tersidir.
dir.
İki matrisin eşitliğinden 2x + 3z = 1, 2y + 3t = 0, 4x - z = 0 ve 4y - t = 1 olur.
2x + 3z = 1
4x - z = 0
3
3
14x = 1
x=
14y = 3
1
4
ise z =
tir.
14
14
-1
Bu durumda A =
A=
a
b
c
d
2y + 3t = 0
4y - t = 1
x=
1
14
3
14
4
14
2
14
=
1
1
.
14 4
3
=-
-2
3
ise z = -2 tir.
14
14
1 -1 -3
.
14 -4 2
bulunur.
-1
kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi A
=
d -b
1
.
a.d - b.c -c a
dir.
Buna göre A matrisinin çarpma işlemine göre tersinin olabilmesi için a.d - b.c ≠ 0 olmalıdır.
ÖRNEK
A=
3
5
1
2
matrisinin çarpma işlemine göre tersini bulalım.
ÇÖZÜM
a.d - b.c = 3.2 - 5.1 = 1 olduğundan A matrisinin çarpma işlemine göre tersi vardır. -1
A =
1
ad - bc
.
d
-b
-c
a
-1
eşitliğinden A =
1 2 -5
.
1 -1 3
=
2
-5
-1
3
bulunur.
241
ÖRNEK
A=
2
6
8
k
(k ∈ R) matrisinin çarpma işlemine göre tersi yoksa k değerini bulalım.
ÇÖZÜM
-1
A matrisi için A yoksa a.d - b.c = 0 dır. 2.k - 6.8 = 0 ise k = 24 bulunur.
ÖRNEK
A=
4
2
5
3
ise A.B =
1
2
-1
3
ise B matrisini bulalım.
ÇÖZÜM
A.B =
1
2
-1
3
-1
-1
matrisinde eşitliğin her iki tarafını soldan A
-1
A . A . B = A .
I2
I2
-1
. B = A .
-1
B= A .
1
2
-1
3
1
2
-1
3
1
2
-1
matrisi ile çarpalım.
3
-1
A
1
3 -2
1
B= .
.
2
-5 4
-1
2
3
1
5
⇒ B= .
2
-9
0
ise B =
2
5
2
0
-9
2
1
bulunur.
ETKİNLİK
A=
4
3
-2
1
matrisi için;
A-1 matrisini bulunuz. A-1 =
.... ....
.... ....
-1
A-1 = B olsun. B matrisinin tersini bulunuz. B-1 = (A-1) =
.... ....
-1
(A-1) ile A matrisini karşılaştırınız.
K=
L=
3
2
4
6
2
1
3
6
.... ....
-1
matrisinin tersini bulunuz. K =
.... ....
.... ....
-1
matrisinin tersini bulunuz. L =
.... ....
.... ....
(K.L)-1 matrisi ile L-1.K -1 matrislerini bularak sonuçlarını karşılaştırınız.
-1
(A-1) = A ile (K.L)-1 = L-1.K -1 eşitliklerinin her matris için sağlanıp sağlanmadığını tartışınız.
242
ÖRNEK
A=
2
3
3
4
ve B =
1
2
1
3
-1
matrisleri veriliyor. (A.B)
-1
matrisi ile B .A
-1
matrisinin sonuç-
larını karşılaştıralım.
ÇÖZÜM
A.B =
2
3
3
4
1
2
1
3
=
5
13
7
18
-1
dir. (A.B) matrisini bulalım.
18 -13
18 -13
-18 13
1
.
= (-1).
=
dir.
18.5 - 13.7 -7 5
-7
5
7
-5
-1
(A.B) =
-1
.
-1
-1
-1
B , A ve B .A matrislerini bulalım.
B
A
-1
-1
-1
=
=
3
1
.
1.3 - 2.1 -1
-2
4
1
.
4.2 - 3.3 -3
-3
-1
B .A =
3
-2
-1
1
3
= 1.
1 -1
1
-4
3
3
-2
=
=
1
4
= 1 .
-1 -3
2
.
-2
-3
=
3
-2
-1
1
-4
3
3
-2
2
-18
13
7
-5
ise
-1
bulunur. Bu durumda (A.B)
-1
= B .A
-1
olur.
A ve B kare matrisler olmak üzere, A ve B matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri var
-1 -1
ise (A )
-1
-1
= A ve (A.B) = B .A
-1
dir.
ÖRNEK
A, B, C ve X aynı türden matrisler olmak üzere aşağıdaki eşitliklerde verilen X matrisini A, B ve
C cinsinden yazalım.
a) X.A = B b) X .A = C -1
c) B.X
-1
-1
=C
ÇÖZÜM
a) X.A = B ise X.A.A
-1
= B.A
-1
-1
X = B.A dir.
⇒
I2
b) X .A = C ise X .A.A = C .A
-1
-1
-1
-1
-1
-1
⇒
(X -1)
-1
= (C .A
-1
)
-1 -1
⇒ X = A.C dir.
I2
c) B.X
-1
-1
-1
-1
= C ise B .B.X = B .C ⇒ X
I2
-1
-1
-1 -1
= B .C ⇒ (X )
-1
-1
= (B .C) -1
⇒ X = C .B dir.
243
UYGULAMA
1) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) Her kare matrisin çarpma işlemine göre tersi vardır.
( ) b) Her kare matrisin çarpma işlemine göre tersi ile toplama işlemine göre tersi birbirine eşittir. ( ) 2) Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
a) Çarpma işlemine göre tersi olan bir kare matrisin, tersinin tersi ........................... dir.
-1
-1
b) A kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi A ise A.A = .................... dir.
3) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
Aşağıda verilen matrislerin çarpma işlemlerine göre
tersleri varsa bulunuz.
a) A =
4 5
c) C =
1 0
4) A =
2 3
0 1
2
3
-1
4
ve B =
3
-1
0
2
b) B =
-1 1
ç) Ç =
1 1
1 0
0 1
/2
-5 2
-1
2
3
/
3 -4
1 1
0 1
-4 -1
1 0
-3 -1
biçiminde veriliyor.A.X = B ve Y.B = A eşitliklerini sağlayan
X ve Y matrislerini bulunuz.
5) A, B ve C, 2x2 türünden birer kare matristir. Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan X matrisini bulunuz.
a) B.X = C b) A .X = B c) C .X = B
-1
-1
-1
BİR MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)
ETKİNLİK
Aşağıdaki tabloda beş kişinin hafta içinde cep telefonları ile yaptıkları günlük konuşma süreleri
dakika cinsinden verilmiştir. Tabloyu inceleyiniz.
1. Tablo
Kişi
Gün
Beril
Sena
Samet
Mustafa
Pazartesi
20
18
32
11
Salı
30
24
20
17
Çarşamba
28
19
42
23
Perşembe
21
24
17
10
Cuma
18
17
12
30
1. Tablodaki verileri 2. Tabloda yerine yazınız.
2. Tablo
Gün
Kişi
Beril
Sena
Samet
Mustafa
244
Pazartesi
Salı
Çarşamba
Perşembe
Cuma
1. Tablodaki verileri A matrisine, 2. Tablodaki verileri B matrisine yazınız.
A=
....
....
....
....
....
....
....
....
B=
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
A ve B matrislerinin türlerini belirtiniz.
A ve B matrislerinin birbiri arasındaki ilişkiyi tartışınız.
ÖRNEK
A= 2
5
3
4
1
2
2
3
4
ve B =
5
1 matrislerini karşılaştıralım.
2
ÇÖZÜM
A matrisi 2x3 türünden, B matrisi ise 3x2 türünden bir matristir. A matrisinin 1. satır elemanları ile B
matrisinin 1. sütun elemanları, A matrisinin 2. satır elemanları ile B matrisinin 2. sütun elemanları aynıdır.
A = aij
mxn matrisinin, satırlarını sütun ve sütunlarını satır olarak yazmakla bulunan aji
T
nxm
d
matrisine, A matrisinin devriği (transpozu) denir ve A veya A biçimlerinden biriyle gösterilir.
ÖRNEK
A=
1
2
3
4
6
-2
4
ve B =
1 matrisleri için AT ve BT matrislerini bulalım.
3
-2
ÇÖZÜM
2
T
A = -1
3
3
T
4 ve B =
4
4
-2
1
3
tür.
ETKİNLİK
A=
2
3
1
4
ve 0
2
3
-2
matrisleri veriliyor.
T
AT matrisini bulunuz. Daha sonra (AT) matrisini bularak elde ettiğiniz matrisi A matrisi ile
karşılaştırınız.
(A + B)T, AT + BT matrislerini bulunuz ve elde ettiğiniz matrisleri karşılaştırınız.
2A matrisini bulunuz. Buradan (2A)T matrisini bulunuz. AT matrisini bularak elde ettiğiniz
T
T
T
matrisi 2 ile çarpınız ve 2. A matrisini bulunuz. (2A) matrisi ile 2.A matrisini karşılaştırınız.
A matrisi ile B matrisini çarparak A.B matrisini, sonra da (A.B)T matrisini bulunuz.
BT ve AT matrislerini bularak BT . AT matrisini elde ediniz. Daha sonra da (A.B)T ile BT.AT
matrislerini karşılaştırınız.
-1
AT matrisini bularak AT matrisinin çarpma işlemine göre tersi olan (AT) matrisini bulunuz. -1
Şimdi de A matrisinin çarpma işlemine göre tersi olan A matrisini ve bu matrisin transpozu olan
-1
(A-1)T matrisini bulunuz. (AT)
-1 T
ve (A
)
matrislerini karşılaştırınız.
Etkinlik basamaklarından yararlanarak bir matrisin transpozunun hangi özellikleri sağladığını açıklayınız.
245
ÖRNEK
A=
2
3
4
-1
1
2
-3
1
2
4
3
-1
ve B =
T
T
T
ise (A.B) ve B .A matrislerini karşılaştıralım.
ÇÖZÜM
BT =
1
-3
2
1
A.B =
ve AT =
2
3
4
-1
1
2
-3
1
.
=
ise BT.AT =
-7
7
7
7
1
-3
2
1
.
T
ise (A.B) =
2
4
3
-1
-7
7
7
7
=
2-9
4+3
4+3
8-1
=
-7
7
7
7
T
T
olur.
T
olur. Bu durumda (A.B) = B .A olur.
k ∈ R olmak üzere, A ve B aşağıdaki işlemler tanımlı olacak türde matrisler olsun.
T T
T
(A ) = A T
T
(k.A) = k .A
-1 T
T -1
(A ) = (A )
T
T
(A + B) = A + B
T
T
(A.B) = B .A
T
dir.
ÖRNEK
A = B + BT olduğuna göre AT matrisini bulalım.
ÇÖZÜM
T
T
AT = (B + BT) = BT + (BT) = BT + B = A olur.
ÖRNEK
A =
4
-1
3
2
,B=
-1 -3
0
T
T
ise (A + 3B) matrisini bulalım.
5
ÇÖZÜM
T
T T
T
T
4 -1
T
(A + 3B) = (A ) + (3B) = A + 3.B =
3
+ 3.
2
-1 0
=
-3 5
4 -1
3
2
+
-3 0
1 -1
=
-9 15
bulunur.
-6 17
UYGULAMA
1) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) A matrisinin devriğinin devriği kendisidir. b) Her matrisin devriği bulunurken elemanların her biri (-1) ile çarpılır.
( ) ( ) 2) Aşağıdaki ifadelerdeki noktalı yerleri doldurunuz.
a) Bir matrisin satırlarını sütun, sütunlarını satır yapmakla elde edilen matrise A matrisinin
............................ denir.
b) 3x3 türünden birim matrisin devriği ......................... dır.
3) Aşağıda verilen matrislerin devriklerini bulunuz.
a) A =
246
2 -1 3
4
5
6
-2
b) B = 5
0
4
7
3
c) C =
1
0
0
1
ç) A =
2 -1 5 4 -3 2
4 a -4
T
4) A = -3 5 8 ve B = -9 b d matrisleri veriliyor. A = B ise a + b + c + d toplamı kaçtır?
c 8 7
2 3 7
A) -5
B) -3
C) -2
D) -1
E) 0
5) M =
A)
T
aij
3x2
1
2
3
3
4
5
matrisi için aij = i + j olduğuna göre A matrisini bulunuz.
B)
6) A =
4
-1
2
3
7) A =
1
2
-1
0
2
3
4
3
4
5
C)
1
0
0
0
1
0
D)
1
3
5
2
4
6
E)
2
3
1
3
1
2
-1 T
-1
veriliyor. A , A matrisinin çarpma işlemine göre tersidir. (A ) matrisini bulunuz.
ve B =
4
2
3
-5
T
T
ise (2A - 3B) matrisini bulunuz.
DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
Hayatın en ince ayrıntılarında gizli olan matematik yapılan
keşifler arttıkça insan hayatına kolaylıklar kazandırmıştır. Zaman
içerisinde bir bilinmeyenli birinci dereceden denklemler, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler ve bunun ötesinde iki bilinmeyenli denklem sistemleri, üç bilinmeyenli denklem sistemleri
çözüme kavuşmuştur. Bilimin gelişmesi ve bilgisayarın doğuşu ile
bu denklemlerin ve denklem sistemlerinin daha hızlı çözümüne
ulaşılmıştır. Bir denklem sisteminde bilinmeyen sayısı arttıkça çözümün ne kadar uzun süreceği açıktır.
Matematiğin bu akıl almaz serüveninde bilgisayar ile buluşması, problemlerin çözümleri için gereken zamanı kısaltmış ve teknolojinin her alanında kullanımı ile insanların vizyonuna önemli katkılar
sağlamıştır.
Matrisler bilgisayar program yazılımlarında doğrusal denklem sistemlerinin çözümlerinde de kullanılmaktadır.
ETKİNLİK
Bir manavdaki portakal, mandalina ve elmanın satış fiyatları sırasıyla x, y ve z TL dir. Bu manavdan alışveriş yapan Ekin, Samet ve Beril'in manava ödedikleri paralar ve aldıkları meyve miktarları
aşağıdaki gibidir.
Ekin
Samet
Beril
Portakal
Mandalina
Elma
Ödenen Toplam Tutar
4 kg 2 kg 1 kg 10 TL
1 kg 3 kg 2 kg 11 TL
3 kg
1 kg 1 kg 7 TL
Yapılan bu alışverişi temsil eden denklem sistemi aşağıdaki gibidir:
R1 ... 4x + 2y + z = 10
R2 ... x + 3y + 2z = 11
R3 ... 3x + y + z = 7 247
Meyvelerin her birinin kg fiyatını bulmak için denklemin çözüm kümesine ihtiyaç duyulmaktadır.
Bunun için sizden istenen temel satır işlemlerini yapınız.
Temel satır işlemleri Denklem sistemi
R
...
(-3).R2 + R3
R3
1
...
2. denklemi -3 ile çarpınR
ve
2
3. denklem ile toplayın. Sonucu
3. denklem yerine yazın.
R3 ...
R
(-4).R2 + R1
R1
...
1
2. denklemi -4 ile çarpınR
ve
2
1. denklem ile toplayın. Sonucu
R3
3. denklem yerine yazın.
...
...
R
(-4).R1 + 5.(R3 )
R3
...
1
1. denklemi -4, 3. denklemi
5
ile çarpın ve toplayın. Sonucu
3. denklem yerine yazın.
R2 ...
R3 ...
Elde ettiğiniz son denklem sistemindeki R3 denkleminden z değerini kullanarak y ve x değerlerini bulunuz.
Yaptığınız işlemlerin sonucuna göre denklemin Ç = {(x, y, z)} kümesini yazınız.
ÖRNEK
Aşağıdaki denklem sisteminde R1
R2 ve 2R1 + R3
R3 temel satır işlemlerini sırasıyla yapalım.
R1 .......... x + 3y - z = 6
R2 .......... -2x + 4y + 2z= 1
R3 .......... 3x + y - 2z= 4 denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
ÇÖZÜM
R1
R2 ifadesi bizim R1 ve R2 denklemlerinin yerlerini değiştirmemizi istemektedir.
R1 .......... -2x + 4y + 2z= 1
R1
R2
R2 .......... x + 3y - z= 6
R3 .......... 3x + y - 2z= 4
2R1 + R3
R3 ifadesi ise son elde ettiğimiz denklem sisteminde, 1. denklemi 2 ile çarpıp 3.
denklem ile toplamamızı ve sonucu 3. denklemin yerine yazmamızı istemektedir.
R1 .......... -2x + 4y + 2z= 1
2R1 + R3
R3R2 .......... x + 3y - z= 6
R3 .......... -x + 9y + 2z= 6 olur.
k, m ∈ R olmak üzere, bir (A) denklem sistemini oluşturan denklemlere R1, R2 ve R3 isimleri verildiğinde bu denklemlerin yerlerini değiştirmeye, denklemlerden birinin herhangi bir k
katı ile bir başkasının m katını toplayarak bu denklemlerden birinin yerine yazmaya temel satır
işlemi denir. Temel satır işlemleri sonunda elde edilen yeni denklem sistemine (B) denklem
sistemi denirse A ile B denklem sistemleri birbirine denk denk olur. Bu durum A ~ B biçiminde
gösterilir ve A ile B denklem sistemlerinin çözüm kümeleri aynıdır.
248
ÖRNEK
x + y + 2z = 1
3x + 2y + z = 7
2x - y + 3z = 0 denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
ÇÖZÜM
R1 ... x + y + 2z = 1
R2 ... 3x + 2y + z = 7
R3 ... 2x - y + 3z = 0
1) (-3R1 + R2 )
R2
R1 ... x + y + 2z = 1
(-2R1 + R3 )
R3 R2 ... -y - 5z = 4
R
... -3y - z = - 2
3
2) (-3R2 + R3 )
R1 ... x + y + 2z = 1
R2 ... -y - 5z = 4
R3 ... 14z = - 14
R3 denkleminde z = - 1 bulunur. R2 de yerine yazarsak -y - 5 = 4 eşitliğinden y = 1 bulunur. Bulunan bu değerleri R1 de yerine yazarsak x + 1 + 2.(- 1) = 1 eşitliğinden x = 2 bulunur. Bu durumda
denklem sisteminin çözüm kümesi Ç = {(2, 1, -1)} olur.
R3
UYGULAMA
1) Aşağıda verilen (A) denklem sisteminde sırasıyla R1
R3 , (-3).R1 + R3
R3 ve
-R2 + 3.R3
R3 sonra da (-11).R2 + 3.R3
R3 temel satır işlemlerini yaparak elde edilen
(B) denklem sistemini noktalı yere yazınız.
R1 ... 3x + y + 4z = 14 ...................................... (A): R2 ... x + y + z = 2 (B): ......................................
R3 ... x + 4y - z = 2 ......................................
2) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
Aşağıdaki denklem sistemlerinin çözüm kümesini bulunuz.
R1 ... 3x + 4y - z = -14 2x + y - z = -1
(A): R2 ... 2x + y + z = -1 (B): x + y - 2z = -7
R3 ... x + y + z = 0
3x + 4y - 5z = -18
{(3, 1, 4)}
{(2, -1, 4)}
{(-1, -2, 3)}
{(-1, -5, 4)}
3) x - y - z = -8
2x + 3y + z = 7
4x - 3y + z = -1 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {(-2, -3, -9)} B) {(-3, -1, 6)}
C) {(4, 1, 11)} D) {(-1, 1, 6)} E) {(-3, 1, 4)}
DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN MATRİSLERLE GÖSTERİMİ VE ÇÖZÜMÜ
ETKİNLİK
3x + 4y = 5
2x - 6y = -14 doğrusal denklem sisteminin matris gösterimi A katsayılar matrisi, X bilinme-
yenler matrisi olarak seçilirse, A.X = B biçiminde 3
4
2
-6
.
x
y
=
5
olarak yazılmakta ve
-14
A . X B
(A|B) genişletilmiş matris ise 3
2
5
olmaktadır. O hâlde,
-14
4
-6
(A
|
B)
249
x + 2y - 5z = 2
(K): 4x - y + 3z = 3
2x + 2y - z = -1 denklem sisteminin matris gösterimini A.X = B biçiminde yazınız.
A.X = B matris gösteriminden faydalanarak (A|B)
genişletilmiş matrisini, yandaki noktaları yerleri doldu- rarak bulunuz.
(-2).R1 + R3 → R3 temel satır işlemi uygulayınız. (-4).R1 + R2 → R2 temel satır işlemi uygulayınız. (-2).R2 + 9.R3 → R3 temel satır işlemi uygulayınız. ( )
-
1
1
.R → R2 ve
.R → R3 temel satır işlemi uygulayınız.
9 2
35 3
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
R1
R2
R3
En son elde ettiğiniz genişletilmiş matrisin ifade ettiği denklem sisteminin matris gösterimini
A.X = B biçiminde yazınız ve buradan elde edilen denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
Bulduğunuz çözüm kümesinin (K) denklem sistemini sağlayıp sağlamadığını tartışınız.
ÖRNEK
x + y + z = 2 2x - y + z = 1 3x + 2y - z = 0 denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
ÇÖZÜM
1
1 ,X=
-1
x
y
x
y
2
1
1
2
1
-1
3
2
rimi 2
1
1
-1
3
2
1
1 .
-1
A=
z
z
Buradan (AIB) matrisi
(-2).R1 + R2 → R2 (-3).R1 + R3 → R3 R2 + (-3).R3 → R3 2
1
olmak üzere denklem sistemin A.X = B matris göste-
5
şeklinde olur.
5
250
=
ve B =
1
0
3
1
-3
2
1
-1
-1
2
1
5
1
0
1
-3
1
-1
2
-3
3
2
-1
5
1
0
1
-3
1
-1
2
-3
0
-1
-4
-1
1
0
1
-3
1
-1
2
-3
0
0
11
0
R1
aşağıdaki temel satır işlemleriyle
R2
R3
( )
-
1
1
.R2 → R2 ve
.R → R3
3
11 3
1
0
1
0
0
1
1
1
1
risinin A.X = B matris gösterimi 0
1
0
/2
1
0
1
.
1
/2
2
1
1
0
1
x
y
z
=
2
1
olur. Buradan (AIB) genişletilmiş mat-
dır. Bu matris gösteriminin ifade ettiği
0
denklem sistemi ise x + y + z= 2 1
y + z = 1
3
z = 0 dır. Çözüm kümesi de ÇK = {(1, 1, 0)} olur. Bu çözüm kümesi
bize sorulan denklem sisteminin çözüm kümesi ile aynıdır.
a11 x + a12 y + a13 z = b1
(K): a21 x + a22 y + a23 z = b2
denklem sisteminin matris gösterimi A.X = B biçiminde
a31 x + a32 y + a33 z = b3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
x
.
a31 a32 a33
A
a11
matrisi ise a21
a31
b1
= b dir. Bu matris gösteriminden yazılan (AIB) genişletilmiş
2
y
z
b3
. X
B
a13
a23
a33
a12
a22
a32
(A
ile
1
ı
a 12
0
1
0
0
sin yazıldığı şeklindedir. (AIB) genişletilmiş matrisi temel satır işlemleri
| B)
ı
a 13
ı
a 23
ı
b1
ı
b2
ı
b3
1
biçiminde üst üçgen matrise dönüştürülür. Bu genişletilmiş matri-
ı
ı
0
1
a 23
0
0
1
1
b1
b2
b3
a 12 a 13
ı
.
x
y
z
ı
b1
= bı matris gösterimin ifade ettiği denklem sisteminin
2
ı
b3
çözüm kümesi ile (K) denklem sistemin çözüm kümesi aynıdır. (K) denklem sisteminin çözüm
kümesinin bu şekilde bulunmasına Gauss Yok Etme Yöntemi adı verilir.
ÖRNEK
x + 2y + 3z = 4 2x - y + z = 3 x + 3y - z = 0 denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
ÇÖZÜM
Öncelikle denklem sistemini A.X = B biçiminde yazalım. 1
2
-1
3
1
1
3
-1
2
.
x
y
z
=
4
3
0
Buradan elde edilen (AIB) genişletilmiş matrisindeki A matrisini temel satır işlemleri uygulayarak
üst üçgen matrise çevirelim.
251
-1
3
1
4
3
3
-1
0
1
0
2
5
3
5
4
5
0
1
-4
-4
1
0
2
5
3
5
4
5
0
0
25
25
1
2
1
2
-R1 + R3 → R3
2R1 - R2 → R2
R2 + (-5).R3 → R3
şeklinde A matrisi üst üçgen matrise dönüşür. Bu durumda denklem sistemi,
x + 2y + 3z = 4 5y + 5z = 5 25z = 25 olur.
Buradan z = 1, y = 0, x = 1 elde edilir. O hâlde, ÇK = {(1, 0, 1)} dir.
ETKİNLİK
R1 ... x + y - z = -1
R2 ... 2x + 3y + z = 2
R3 ... -x + 2y + z = 4 denklem sisteminin çözüm kümesi için aşağıdaki etkinlik basamaklarını
uygulayalım.
x
Matrisler yardımıyla denklem
... ... ...
...
sistemini A.X = B biçiminde yazınız. ... ... ... . y = ...
...
(AIB) genişletilmiş matrisini yazınız. (-2).R1 + R2 → R2
R1 + R3 → R3
temel satır işlemi yapınız.
(-3).R2 + R3 → R3 işlemini yapınız. (-1).R2 + R1 → R1
1
R → R3 işlemini yapınız. 9 3
(-3).R3 + R2 → R2 işlemini yapınız. 4.R3 + R1 → R1
...
A
...
.
z
...
X =
B
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
R1
R2
R3
Temel satır işlemleri sonucunda A ve B matrislerini bulunuz.
Denklem sisteminin A.X = B matris gösteriminden yararlanarak denklem sisteminin çözüm
kümesini bulunuz.
ÖRNEK
Aynı manava alışverişe giden, Özgür, 1 kg patlıcan, 1 kg domates ve 1 kg soğana 6 TL, Zafer, 2
kg patlıcan, 1 kg domates ve 2 kg soğana 9 TL, Nuray, 3 kg patlıcan, 4 kg domates ve 1 kg soğana
19 TL ödemiştir. Patlıcan, domates ve soğanın 1 er kg lık fiyatlarını bulalım. 252
ÇÖZÜM
1 kg patlıcan fiyatına x, 1 kg domates fiyatına y ve 1 kg soğan fiyatına z dediğimizde alışverişe
karşılık gelen denklem sistemi,
x + y + z = 6
2x + y + 2z = 9
3x + 4y + z = 19 olur. Bu denklem sisteminin matris gösterimi,
1
1
2
1
2
3
4
1
1
1
1
6
2
1
2
9
3
4
1
19
1
x
.
6
=
y
z
dur. (AIB) genişletilmiş matrisi
9
19
... R1
... R2 olur.
... R3
Bu genişletilmiş matris temel satır işlemleri ile
1
1
1
6
0
-1
0
-3
0
1
-2
1
1
1
1
6
0
1
0
3
0
1
-2
1
1
0
3
5
0
1
0
3
0
1
-2
1
1
0
0
1
3
0
5
3
0
0
-2
-2
1
0
0
1
3
0
5
3
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
2
3
0
0
1
1
1
0
olur. Buradan
0
-2R1 + R2 → R2 ve -3R1 + R3 → R3
-R2 → R2
-R3 + R1 → R1
-R2 + R3 → R3
( )
-
0
1
0
0
0
1
1
2
R2 → R2
-2R3 + R1 → R1
.
x
y
z
=
2
3
ve x = 2, y = 3 ve z = 1 bulunur.
1
1 kg patlıcan 2 TL, 1 kg domates 3 TL ve 1kg soğan 1 TL dir.
a11 x + a12 y + a13 z = b1
(K): a21 x + a22 y + a23 z = b2
a31 x + a32 y + a33 z = b3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
A
.
x
y
z
. X
denklem sisteminin
b1
= b matris gösteriminden yazılan (AIB) genişletilmiş
2
b3
B
253
a11
matrisi a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
(A
b1
b2
b3
temel satır işlemleri ile | B)
türülür. Bu genişletilmiş matrisin yazıldığı
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
.
x
y
ıı
b1
ıı
b 2 biçimine dönüşıı
b3
ıı
b1
= bıı matris gösteriminin
2
z
ıı
b3
ifade ettiği denklem sisteminin çözüm kümesi ile (K) denklem sistemin çözüm kümesi aynıdır.
(K) denklem sisteminin çözüm kümesinin bu şekilde bulunmasına Gauss-Jordan Yok Etme
Yöntemi adı verilir.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) Gauss Yok Etme Yönteminde genişletilmiş matris üst üçgen matri-
(
se dönüştürülür.
b) Gauss-Jordan Yok Etme yönteminde genişletilmiş matriste birim
(
matris oluşturulur.
2) Aşağıdaki denklem sistemlerini A.X = B biçiminde yazınız.
a) 2x - y + 4z = 1
b) a + 3b - 4c = 2
3x + 5y + 2z = 3
2a - b - c = 6
x + y + 4z = 1
-4a + 5b + c = 7
)
)
c) 3x1 + x2 + x3 = 12
-x1 - 4x2 - 5x3 = -2
7x1 + 6x2 - x3 = 8
3) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
Aşağıdaki denklem sistemlerinin
Etme Yöntemi” ni kullanarak bulunuz.
a) 3x + 4y - z = 15
-x + 2y + 3z = -1 4x + y - z = 11
çözüm kümesini “Gaus Yok
b) x - y - z = 0
3x + 2y + 3z= 21
4x - 2y + 5z= 15
{(2, 1, 4)}
{(2, 2, -1)}
{(4, 3, 1)}
{(3, -1, 2)}
4) Aşağıdaki denklem sistemini “Gaus-Jordan Yok Etme Yöntemi” ni kullanarak çözünüz.
b) 6x - 2y + z = 11 x + 3y - z = 8
5x - y + z = 4
a) x + y + 4z= 11 x - y - 3z = -3
4x + 3y + 2z = 16
c) x - y - 4z = -10
3x + 3y + 2z= 4
5x - y + 6z= 8
DETERMİNANTLAR
Avrupadaki futbol kulüplerinin en önemli amaçlarından biri şampiyonlar ligine katılmaktır. Bu lige
katılan son 16 takımın hedefi de şampiyonluğa ulaşmaktır. Bir tek takım şampiyon olacağına göre
hedefe ulaşmanın kuralı da rakiplerini yenmek olacaktır.
1. Torba
2. Torba
3. Torba
4. Torba
254
A
M. United
G r u p l a r
B
C
D
Barcelona
AC Milan
B. Münich
Galatasaray
Inter
Real Madrid
PSV
CSKA
Lyon
Fenerbahçe
AEK
S. Prag
Basel
D. Kiev
Benfica
ŞAMPİYONLUK
Bu takımların şampiyonluğa ulaşmaları, gerçek sayılardan oluşan kare matrislerin belli bir kurala
göre bir gerçek sayıya eşlenmeleri ile modellenebilir.
ETKİNLİK
Aşağıdaki eşlemeleri inceleyerek verilen kare matrislerin eşlenebileceği sayıları noktalı yerleri doldurarak bulunuz.
A = [ 2 ] → | 2 | = 2,
B = [ -4 ] → | -4 | = -4
C = [ 0 ] → | 0 | = 0,
D = [ 7 ] → ................
E=
F=
G=
H=
1
2
3
4
7
8
3
4
6
11
5
13
5
-3
2
7
→
→
1
2
3
4
7
8
3
4
= 1.4 - 2.3 = 4 - 6 = -2
= 7.4 - 8.3 = 28 - 24 = 4
→
.........................................................
→
.........................................................
2x2 türünden kare matrislerin bir gerçek sayıya eşlenmesi hakkında bir genellemede bulununuz.
ÖRNEK
A=
3
-2
-5
6
kare matrisini asal köşegen üzerindeki elemanlar çarpımından diğer köşegen üze-
rindeki elemanlar çarpımını çıkararak bir gerçek sayıya eşleyelim.
ÇÖZÜM
F=
3
-2
-5
6
→
3
-2
-5
6
= 3.6 - [(-2).(-5)] = 18 - 10 = 8 olur.
+
n ∈ Z olmak üzere nxn türünden kare matrislerin olduğu kümeden gerçek sayılar kümesine tanımlanan fonksiyona determinant fonksiyonu denir. Bu fonksiyon ile A kare matrisinin
görüntüsüne A nın determinantı denir ve det(A) veya |A| ya da Δ ile gösterilir.
a, b, c, d ∈ R olmak üzere A = [a] ve B =
det(A) = | A| = |a| = a ve det(B) = |B | =
a
b
c
d
a
b
c
d
kare matirsleri için,
= a.d - b.c olur.
ÖRNEK
i2 = -1 olmak üzere A =
1+i
-2i
3i
1-i
matrisi için detA değerini bulalım.
ÇÖZÜM
detA = a.d - b.c = (1 + i).(1 - i) - (-2i).3i = 12 - i2 + 6i2 = 1 - (-1) + 6.(-1) = 2 - 6
detA = -4 bulunur.
255
ÖRNEK
2
A = log29
x
matrisi için detA = 8 ise x değerini bulalım.
log3 2
ÇÖZÜM
detA = a.d - b.c
1
8 = log2 9.log3 2 - 2x ⇒ 8 = 2.log2 3.log3 2 - 2x ⇒ 8 = 2.
log3 2 - 2x
log3 2
8 = 2 - 2x ise 2x = -6 ve x = -3 bulunur.
ETKİNLİK
1 -2 3
-1 5 -1 matrisinin a11 = 1 elemanının bulunduğu satır ve sütunun silinmesi ile
A=
4
2
6
bulunan kare matrisin determinantına M11 diyerek değerini hesaplayınız.
M23 =
1
-2
4
2
determinantını hesaplayınız.
a11 elemanı için A11 = (-1)1+1.M11 değerini bulunuz.
A23 = (-1)2+3.M23 = (-1)5.
1
-2
4
2
değerini hesaplayınız.
A = [aij] kare matrisinde aij elemanına ait Mij ve Aij değerleri arasındaki bağıntıyı tartışınız.
ÖRNEK
A=
4
1
3
2
-2
5
-1
6
7
matrisi için M32 ve A21 değerlerini bulalım.
ÇÖZÜM
M32 =
4
-2
1
5
= 4.5 - (-2).1 = 20 + 2 = 22
3
.M21 = (-1) . 3
2+1
A21 = (-1)
6
-2
= (-1).[3.7 - (-2).6] = -(21 + 12) = -33 olur.
7
A = [ a i j ] n x n kare matrisinde a i j elemanının bulunduğu i. satır ve j. sütunun silinmesi ile
bulunan kare matrisin determinantına a ij elemanının minörü denir ve Mij ile gösterilir.
i+j
A = [ a i j ] n x n matrisinde a i j elemanının minörü Mij olmak üzere (-1) .Mij değerine a ij elei+j
manının kofaktörü (eş çarpanı) adı verilir ve Aij ile gösterilir. Aij = (-1) .Mij dir.
ÖRNEK
256
A = -1
5
3
6
4
2 matrisi veriliyor. a22 ve a23 elemanlarının minörlerini ve kofaktörlerini bulalım.
7
1
8
ÇÖZÜM
5
7
1
5
3
4
5
2 için M23 =
7
8
A = -1 6
1
7
2+2
4
2+3
5
A22 = (-1)
4
5
2 için M22 =
7
8
3
A = -1 6
4
8
3
1
= 5.8 - 4.7 = 40 - 28 = 12,
= 5.1 - 3.7 = 5 - 21 = -16 dır.
.M22 = (-1) .12 = 12
A23 = (-1)
.M23 = (-1) .(-16) = 16 bulunur.
ÖRNEK
A=
3
-2
-5
6
matrisinin determinantını bulalım ve bulduğumuz sonuç ile a11 .A11 + a12 .A12 ,
a21 .A21 + a22 .A22 , a11 .A11 + a21 .A21 ve a12 .A12 + a22 .A22 toplamlarının sonuçlarını karşılaştıralım.
ÇÖZÜM
|A| = 2
3
4
5
= 2.5 - 3.4 = 10 - 12 = -2 dir.
1+1
2
A12 = (-1)
2+1
3
A22 = (-1)
A11 = (-1)
.M11 = (-1) .| 5 | = 1.5 = 5,
A21 = (-1)
.M21 = (-1) .| 3 | = (-1).3 = -3,
a11 .A11 + a12 .A12 = 2.5 + 3.(-4) = 10 - 12 = -2
a21 .A21 + a22 .A22 = 4.(-3) + 5.2 = -12 + 10 = -2
a11 .A11 + a21 .A21 = 2.5 + 4.(-3) = 10 - 12 = -2
a12 .A12 + a22 .A22 = 3.(-4) + 5.2 = -12 + 10 = -2 olur.
1+2
3
2+2
4
.M12 = (-1) .| 4 | = (-1).4 = -4,
.M22 = (-1) .| 2 | = 1.2 = 2 dir.
Herhangi bir kare matrisin determinantı için bir satırdaki veya sütundaki elemanlar kofaktörleri ile çarpılır ve bulunan sonuçlar toplanır. Bu toplam kare matrisin determinantına eşit olur.
ÖRNEK
A=
2
1
3
-2
matrisinin determinantını bulalım.
-2 0
5
1
3
ÇÖZÜM
A matrisinin determinantını 2. satıra göre açılım yaparak hesaplayabiliriz. Bu seçimi yaparken
içerisinde 0 sayısının bulunduğu satır veya sütunu seçmek işlem kolaylığı sağlar.
3
4
5
detA = a21 .A21 + a22 .A22 + a23 .A23 = 1. (-1) .M21 + (-2).(-1) .M22 + 0.(-1) .M23
3 -2
2 -2
+ 0 = (-1) [3.3 - (-2).1] + (-2) [2.3 - (-2). 5]
5 3
1 3
= (-1).(9 + 2) - 2.(6 + 10) = -11 - 32 = -43 bulunur.
= (-1).
+ (-2).
257
ÖRNEK
A=
2
0
3
1
-1
2 değerini hesaplayalım.
0
-3
1
ÇÖZÜM
1. sütuna göre açılım yaparak determinant değerini hesaplayalım.
detA = a11 .A11 + a21 .A21 ve a31 .A31
2
= 2. (-1) .M11 + 0.A21 + 0.A31
1
2
-3
1
= 2.
+ 0 + 0 = 2.(1 - 2.(-3)) = 2.7 = 14 bulunur.
ETKİNLİK
A=
4
-1
2
3
3
5
-2
1
-3
matrisi veriliyor.
A matrisinin determinantını bulunuz. A matrisinin I. satırı ile 2. satırının yerlerini değiştirerek
yeni bir B matrisi oluşturunuz. B matrisinin determinantını bularak detA ile karşılaştırınız.
4
-1
2
2
3
1
0
6
2
A=
4
4k 2k 3k
1 ve -1
0
0 6 2
, -1 2
4
-1
2
3
3
5
-2
1
-3
2
2
3k
k değerlerini hesaplayarak karşılaştırınız.
6
2k
... R1
... R2 matrisinde 2R1 + R2 → R2 temel satır işlemi yaparak bir C matri... R3
sini oluşturunuz ve detC değerini hesaplayınız. detA ve detC değerlerini karşılaştırınız.
Bir determinantın herhangi iki satırının (veya sütununun) yeri değiştiğinde sonuçtaki değişim
için genellemede bulununuz.
Bir determinantın bir satırının (veya sütununun) bir gerçek sayı ile çarpılıp başka bir satıra
(veya sütuna) eklenmesinin determinant değerini değiştirip değiştirmediğini açıklayınız.
Bir determinantı bir gerçek sayı ile çarparak bulduğunuz sonuç ile bu determinantın bir satırının (veya sütununun) aynı gerçek sayı ile çarpılmasıyla elde edilen determinant değeri arasındaki
bağıntıyı ifade ediniz.
ÖRNEK
Aşağıdaki determinantların değerlerini karşılaştıralım.
a)
258
1
2
3
4
b) 5.
c)
ile
1
2
3
4
1
2
3
4
ile
ile
2
1
4
3
1
2.5
3
4.5
1
2
6.1+3
6.2+4
ÇÖZÜM
a)
1
2
3
4
= 1.4 - 2.3 = 4 - 6 = -2 ve 2
1
4
3
= 2.3 - 4.1 = 6 - 4 = 2 olduğundan sonuçları işareti
değişmektedir.
b) 5.
1
2
3
4
= 5.(1.4 - 2.3) = 5.(4 - 6) = 5.(-2) = -10 ve 1
10
3
20
= 1.20 - 10.3 = 20 - 30 = -10 dur.
Bir determinantın bir sayı ile çarpımı bu determinantın bir sütununun o sayı ile çarpılması aynı
sonucu vermektedir.
c)
1
2
3
4
= 1.4 - 2.3 = 4 - 6 = -2 ve 1
2
9 16
= 1.16 - 2.9 = 16 - 18 = -2 olduğundan bir de-
terminantın bir satırının bir sayı ile çarpılıp başka bir satıra eklenmesi sonucu değiştirmemektedir.
Bir determinantın iki satırının (veya sütununun) yerleri değiştirilirse, determinantın işareti
değişir. Bir determinantın bir satırı (veya sütunu) k gerçek sayısı ile çarpılırsa, determinant k
ile çarpılmış olur. A = [ aij]nxn için |k.A| = kn.|A| dır.
Bir determinantın bir satırı (veya sütunu) bir gerçek sayı ile çarpılıp başka bir satıra (veya
sütuna) eklenirse, determinantın değeri değişmez.
ÖRNEK
2 3
-1 6
5
7
3
2
5
= a ise 4
5
6
3
10
ifadesinin a cinsinden eşiti nedir?
2
-1
6
7
ÇÖZÜM
6 10
3 2 = 2.
4
5
-1 6
2
3
3
5
2
-1 6
2
2
5
2
3
5
5
3
2
= (-1).2. -1 6 2 = 2.a bulunur.
ÖRNEK
A=
1
2
1
2
3
6
4
1
-3
için detA yı bulalım.
ÇÖZÜM
A=
1
2
4
1
3
6
...R1
2
...R2
1 -3 ...R
3
2R1 + R2 → R2 temel satır işlemi yaptığımızda oluşan B =
3
0
1
0
1
4
1 -3
0
matrisinin determinantı detA ile aynıdır.
detB = a21 .A21 + a22 .A22 + a23 .A23 = 0.A21 + 0.A22 + 0.A23 = 0 olduğundan detA = 0 bulunur.
Bir matrisin herhangi iki satırı veya sütunu orantılı ise determinantı sıfırdır.
259
ÖRNEK
A = [a ij]2x2 ve B = [b ij]3x3 matrisleri için detA = 5 ve detB = 4 ise det(3A) + det(2B) toplamını bulalım.
ÇÖZÜM
2
det(3A) = |3A| = 3 |A| = 9.5 = 45
det(2B) = |2B| = 2 |B| = 8.4 = 32
3
ise det(3A) + det(2B) = 45.32 = 77 bulunur.
ÖRNEK
A
x
z
D
|DB| = m br, |EC| = p br ve |BC| = n br dir.
E
y
m
ABC ninde [DE] // [BC], |AD| = x br, |AE| = z br, |DE| = y br,
p
B
C
n
x
6
y
-2
z
3
x+m
n
z+p
Buna göre,
determinantını bulunuz.
ÇÖZÜM
ADE
∼ ABC olduğundan x
6
y
-2
z
3
x+m
n
z+p
|AD|
|AB|
=
|DE|
|BC|
=
|AE|
|AC|
dır. Yani, y
x
z
=
=
olur.
x+m
z+p
n
determinantında 1. ve 3. satır orantılı olduğundan değeri sıfır olur.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) Bir determinantın iki satırının yerleri değiştirilirse determinantın da
(
işareti değişir.
)
b) Her matrisin determinantı bulunabilir. )
(
2) Aşağıdaki matrislerin her elemanının minör ve kofaktörlerini bulunuz.
a) A =
3
-2
5
1
b) B =
4 -2 0
1 2 3
5 -1 2
3) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz. Aşağıdaki matrislerin determinantlarını hesaplayınız.
-2
4
6
3
1
c) C = 3
4
2
-1
5
0
2
-1
a) A =
b) B =
12
6
-3
15
5
1
0
-30
4) B =
260
3
0
-2
6
5
3
-1
2
1
ç) D =
1
4
2
21
2
8
4
2
8
0
-1
matrisi veriliyor. Buna göre |A| ve |AT| değerlerini bulup karşılaştırınız.
5) A =
-1
2
m+1
1
6
5
3
2
0
A) -13
6) A =
matrisinin a31 elemanının kofaktörü 10 ise m kaçtır?
B) -12
3
m
1-m
4
3
3
-2
5
1
a) 2.|A|
1907
i
1914
1905
i
1902
i
2
3
E) 10
ve detA = 10 ise logx 2 değerini bulunuz.
8) i = -1 olmak üzere A =
9) A =
D) -1
ise |A| ≤ 6 eşitsizliğini sağlayan m tam sayılarının toplamını bulunuz.
-1
7) A = log2x
4
C) -11
i
detA değerini bulunuz.
matrisi veriliyor. Buna göre aşağıdakileri hesaplayınız.
b) |2.A|
c) |3.AT|
ç) |2.A
|
-1
10) A = [ a ij] 2x2 ve B = [ b ij] 3x3 ve det(A) = -3, det(B) = 4 ise aşağıdakileri hesaplayınız.
a) 2.det(A) + det(2.A)
11) A =
-1
0
4
3
2
0
2
5
-4
b) det(3.B) + det(-2.A) - 3.det(B)
matrisi için det(A) = 0 olmasının gerekçelerini belirtiniz.
12) Bir ABC nin iç açılarının ölçüleri sırasıyla 15°, 30° ve 135° dir. Buna göre,
a
c
b
A = sinA sinB sinC değeri kaçtır?
3
2
4
SARRUS KURALI
ETKİNLİK
A=
1
2
3
4
1
2
-1 -2
2 matrisi veriliyor.
A matrisinin determinantını bulunuz. ......(I)
2 3 1
+
...
...
...
4
2
2
4
1 2
-1 -2
3 1
1 2
+
2.1.(-2) = -4
...
...
b a
A matrisinin ilk iki satırını matrisin üçüncü satırının altına yazarak ok yönünde bulunan sayıların
çarpımlarını örnekte olduğu gibi yapınız.
261
Sağ tarafta elde ettiğiniz çarpımları toplayarak a, sol taraftaki çarpımları toplayarak b değerini bulunuz. Daha sonra a - b farkını bulunuz. ......(II)
(I) ve (II) de bulduğunuz sonuçları karşılaştırınız. 3x3 türünde yaptığımız bu çalışmanın her
kare matrisin determinantı için geçerli olup olmadığını tartışınız.
ÖRNEK
5
3
A=
2 1
matrisinin determinantını bulalım.
1 -2
-1 -3 4
ÇÖZÜM
5
2
1
3 1 -2
-1 -3 4
detA
= 15 - 53 = -38 bulunur.
-1
30
24
+
5
3
2
1
1
-2
53
20
-9
+ 4
15
p.n.z
k.q.x
+ r.y.m
b
x
m
p
y
n
q
z
k
r
x
m
y
n
z
k
3x3 türünden verilen bir matrisin determinantı hesaplanırken ilk iki satır üçüncü satırın
altına sırayla yazılarak şekildeki gibi ok yönünde çarpımları yapılır. Elde edilen sonuçlar
toplanarak a ve b değerleri bulunur. a - b farkı
bulunarak matrisin determinantı hesaplanmış
olur.
=a-b
+
x.n.r
m.q.z
p.y.k
a
x
m
p
p.n.z
k.q.x
+ r.y.m
b
y
n
q
z
k
r
x
m
p
y
n
q
=a-b
+
z.m.q
y.k.p
x.n.r
Ya da ilk iki sütun üçüncü sütunun sağına
yazılarak şekildeki gibi ok yönünde çarpımları
yapılır. Elde edilen sonuçlar toplanarak a ve b
değerleri bulunur. Yine a - b farkı bulunarak
matrisin determinantı hesaplanmış olur.
a
3x3 türünden bir matrisin determinantını yukarıda verilen yöntemlerle bulma işlemine
Sarrus Kuralı adı verilir.
ÖRNEK
262
A=
2
3
1
5
x
4
-1
2
6
matrisi için detA = 0 ise x değerini bulalım.
ÇÖZÜM
-5x
16
+ 18
34 - 5x
2
1
x
3
5
4
-1
2
3
2
1
5
6
x
4
= (56 + 6x) - (34 - 5x) = 56 + 6x - 34 + 5x = 22 + 11x olur.
60
6x
+ -4
56 + 6x
22 + 11x = 0 ise x = -2 bulunur.
ÖRNEK
A=
1 -1 2
3
1 2 1
0 0 2
1 -1 0
0 matrisinin determinantını bulalım.
3
0
ÇÖZÜM
Sarrus kuralı, sadece 3x3 matrislerin determinantında kullanılan bir yöntemdir. Bu durumda satır
veya sütun açılımı yaparak determinant değerini hesaplamalıyız.
detA = a41 .A41 + a42 .A42 + a43 .A43 + a44 .A44
5
6
= 1. (-1) . M41 + (-1).(-1) .M42 + 0 + 0
3
0
3
+ (-1). 1
0
2
1
2
-1
2
2
1
3
0
x
y
x1
x2
y1
y2
1
1
=0
-1
= (-1). 2
0
2
1
2
3
0
3
1
1
2
1
3
0
1
= (-1).[9 - 12] + (-1).[9 - 6] = (-1).(-3) + (-1).3
0
0
-3
0
12
+
12
+ 0
9
12
1
0
+ 6
6
3
6
+ 0
9
= 3 - 3 = 0 bulunur.
A(x1 , y1 ) ve B(x2 , y2 ) noktalarından geçen doğru denklemi yanda belirtilen determinant ile bulunur.
ÖRNEK
A(-1, 4) ve B(6, -2) den geçen doğrunun denklemini bulalım.
ÇÖZÜM
24
-2x
-y
+
24 - 2x - y
x
y
1
-1
4
1
6
-2
1
x
-1
y
4
1
1
4x
2
+ 6y
4x + 6y + 2
(4x + 6y + 2) - (24 - 2x - y) = 0
4x + 6y + 2 - 24 + 2x + y = 0
6x + 7y - 22 = 0 bulunur.
263
1
A(ABC) =
2
x1
y1
1
Köşe koordinatları A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ve C(x3 , y3 )
. x2
y2
x3
y3
1
1
olan ABC nin alanı yandaki determinantın değerinin
mutlak değeri alınarak hesaplanır.
ÖRNEK
Köşe koordinatları A(-1, 2) , B(1, 4) ve C(-3, 3) olan ABC nin alanını bulalım.
ÇÖZÜM
A(ABC ) =
-1
2
1
1 . 1
2
-3
4
1
3
1
2
4
1
1
-12
-3
+ 2
-1
1
-13
|
|
= 1 . -7 - (-13) = 3 bulunur.
2
-4
3
-6
+
-7
Eğer determinant negatif çıkarsa alan negatif olmayacağından çıkan sonucun mutlak değeri alınır.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki determinantları Sarrus kuralı ile hesaplayınız.
a)
4
0
1
2)
3
0 -1
2
5
2
x
1
-1
0
4
2
x+2
4
2
3) -2
x
y
4
1
1
0
3
1
1
A) - 2
a
b
0
1 0
a
b
b) -b a
c)
sinx
-1
1
cosx
1
0
1
-sinx -cosx
= 12 ise x2 + 1 değerini bulunuz.
= 0 denklemi ile verilen doğrunun eğimini bulunuz.
B)
1
2
C) 1
D)
3
2
E) 2
4) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
Aşağıda köşe koordinatları verilen üçgenlerin alanlarını bulunuz.
a) A(-1, 2), B(3, 0), C(2, 4)
b) A(0, 1), B(-1, 3), C(4, -1)
c) A(-1, 1), B(0, 0), C(3, 4)
5)
x +1
2
0
-1
264
1
-2
0
1
1-x
0
2
= log32 a ise a değerini bulunuz.
4
3
7
2
7
5
2
6) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
a) Sarrus kuralı sadece 3x3 türünden matrislerin determinantları hesaplanırken kullanılır. ( ) b) Bir determinantın herhangi iki satırı veya sütunu orantılı ise değeri 1 dir. 6)
-1
1
0
sinx
1
cosx
1
( ) = 2 denkleminin [0, 2π] da kaç kökü vardır?
-sinx -cosx
EK (ADJOİNT) MATRİS
ETKİNLİK
3
A=
4
matrisi veriliyor.
2 -6
A matrisinin her bir elemanının kofaktörlerini bulunuz.
A11 = ...
A21 = ...
A12 = ...
A22 = ...
A matrisinin her bir elemanının kofaktörlerinin oluşturduğu B matrisini yazınız.
B = A11 A12 =
A21 A22
...
...
...
...
B matrisinin transpozesini bulunuz.
BT = ... ...
... ...
A matrisi ile BT matrisini karşılaştırınız.
ÖRNEK
A=
2
5
3
8
matrisinin her bir elemana ait kofaktörlerin oluşturduğu matrise B diyelim ve B
T
matrisini bulalım.
ÇÖZÜM
1+1
2
A12 = (-1)
2+1
3
A22 = (-1)
A11 = (-1)
.M11 = (-1) .| 8 | = 1.8 = 8,
A21 = (-1) .M21 = (-1) .| 5 | = (-1).5 = -5,
8 -3
8 -5
T
B=
⇒ B =
dir.
-5
2
-3
1+2
3
2+2
4
.M12 = (-1) .| 3 | = (-1).3 = -3,
.M22 = (-1) .| 2 | = 1.2 = 2 dir.
2
A matrisinin elemanlarının kofaktörlerinden oluşturduğumuz matrisin transpozesine A
matrisinin Ek(Adjoint) matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir.
ÖRNEK
A=
2
3
matrisinin ek matrisini bulalım.
-1 -4
265
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
A matrisinin her bir elemanının kofaktörlerini bulalım.
2
A12 = (-1) .|-1| = 1
3
3
A22 = (-1) .|2| = 2
A11 = (-1) .|4| = 4 4
A21 = (-1) .|3| = -3
Ek(A) =
T
A11 A12
4
=
A21 A22
1
T
=
-3 2
4 -3
1
A=
bulunur. a
b
c
d
ise Ek(A) =
d -b
-c a
2
Ek(A)
-1
-1
A matrisinin çarpma işlemine göre tersi A olsun. A =
formülü ile bulunur.
|A|
A matrisinin çarpma işlemine göre tersinin olabilmesi için |A| ≠ 0 olmalıdır.
ÖRNEK
A=
-2
6
7
3
matrisinin çarpma işlemine göre tersini bulalım.
ÇÖZÜM
|A| =
-2 6
7
= -6 - 42 = -48 ≠ 0 olduğundan A matrisinin çarpma işlemine göre tersi vardır.
3
Bunun için Ek(A) matrisini bulalım.
2
T
3
A11 = (-1) .|3| = 3, A12 = (-1) .|7| = -7
3 -7
3 -6
Ek(A) =
=
3
4
-6 -2
-7 -2
A21 = (-1) .|6| = -6, A22 = (-1) .|-2| = -2
3 -6
-1
A =
Ek(A)
|A|
=
-7 -2
-48
=
-1
16
1
8
7
48
1
24
bulunur.
ÖRNEK
A=
5
3
1
-2 matrisinin çarpma işlemine göre tersini bulalım.
2
1
4
-1 -3
ÇÖZÜM
|A| =
-2
32
+ 9
39
2
1
1
3
2
4
-1 4
3
2
3
1
2
1
4
= 18 - 39 = -21
12
12
+ -4
18
|A| = -21 olduğundan A matrisinin çarpma işlemine göre tersi vardır. A matrisinin Ek(A) matrisini
bulalım.
266
2
A11 = (-1) .
2
4
4
3
3
= -10A12 = (-1) . 3 4 = -13
-1 3
3
A21 = (-1) . 1 1 = 1
4
2
-1
A =
3
Ek(A)
4
-10
1
2
-5 olur.
14
-9
1
= -13 7
-10 1 2
-13 7 -5
14 -9 1
=
|A|
T
1
-5
-1 4
5
6
A32 = (-1) . 2 1 = -5 A33 = (-1) . 2 1 = 1
4
-10 -13 14
1
7 -9
Ek(A) =
5
A23 = (-1) . 2 1 = -9
-1 3
4
A31 = (-1) . 1 1 = 2
-1 4
4
A22 = (-1) . 2 1 = 7
3
2
4
A13 = (-1) . 3 2 = 14
10
21
13
21
-2
3
=
-21
-1
21
-1
3
3
7
-2
21
5
21
-1
21
3
2
bulunur.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
Aşağıdaki matrislerin ek matrislerini bulunuz.
-2 4
A=
5
2) A =
, B =
1
1
1
-1 0
2 3
4
6
0
3
2
, C =
1 -4
-1 4
2
0
-1 5
-5 -2
-5 2
3
6
0
2
0
3 -5
1
5
-3 6
0 -1
0
3
3
matrisinin Ek(Adjoint) matrisini buluınuz.
2 -2
3) Aşağıdaki matrislerin çarpma işlemine göre terslerini bulunuz.
a) A = -1 4
3
4) A =
b) B = 5
2
7
4 -2 1
0 3 5
2
3
c) C = 6
4
3
-2
ç) D =
sinx
cosx
-cosx sinx
matrisinin çarpma işlemine göre tersini bulunuz.
-1 -1 2
5) A =
x-1
1
12
x
matrisi veriliyor. x in hangi değerleri için A matrisinin çarpma işlemine göre
tersi yoktur?
6) Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
a) A matrisinin elemanlarının kofaktörlerinden oluşturduğunuz matrisin transpozesine A matrisinin .................................... matrisi denir.
b) Bir A matrisinin çarpma işlemine göre tersinin olabilmesi için ............... ≠ 0 olmalıdır.
267
7) A =
x-1
1
5-a
x
matrisinin ∀x ∈ R için çarpma işlemine göre tersinin olması için a nın alabi-
leceği en küçük tam sayı değerini bulunuz.
8) A =
3
4
-x
0
x-1
1
-1
2
-2
matrisinin çarpma işlemine göre tersi yok ise x kaçtır?
DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
MATRİSLERİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ YARDIMIYLA DOĞRUSAL
DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ
Günümüzde en önemli değerlerin başında enerji gelmektedir. Petrol nakil hatları doğrusal borularla iletilmektedir. Bu
borular farklı doğrularla modellenebilir. Doğruların ve düzlemlerin kesiştiği noktaları ancak doğrusal denklem sistemlerini çözerek bulabiliriz.
ETKİNLİK
x + 4y - 2z = 9
2x - y + 3z = 7
-x + 3y - z = 2 denklem sistemi veriliyor.
Denklem sisteminin A.X = B matris gösterimini yazınız.
...
...
...
x
...
y
= ...
z
...
...
...
...
...
...
...
.
-1
Katsayılar matrisi A nın çarpma işlemine göre tersi olan A matrisini bulunuz.
-1
A.X = B eşitliğinde her iki tarafı soldan A matrisi ile çarpınız.
Bir önceki basamaktan yararlanarak X matrisini bulunuz.
İki matrisin eşitliğinden yararlanarak denklem sisteminin çözüm kümesini yazınız. Katsayılar
matrisinin determinantı sıfır olması durumunda denklem sisteminin çözümünün olup olmayacağını
gerekçeleriyle tartışınız.
ÖRNEK
x + 4y - 2z = 9
2x - y + 3z = 7
-x + 3y - z = 2 denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
ÇÖZÜM
268
Denklem sisteminin matris gösterimini yazalım.
A.X = B
1
2
1 -1
.
-1 3
1
3
2
x
y
z
=
1
4
6
-1
X = A .B olduğundan öncelikle A matrisinin çarpma işlemine göre tersini bulmalıyız.
1
|A| =
1 -1
-1
= -5 -14 = -19 ≠ 0 olduğundan A vardır.
2 -1 3
1
1
9
+ 4
14
3
2
1 1 -1 -2
2 -1 3 -6
+ 3
-5
2 4
2 -1 3
3 2 3
4
A11 = (-1) .
= -11A12 = (-1) .
= -1A13 = (-1) .
=7
3
2
1
4
2
3 1 -1
4 1 -1
A21 = (-1) .
= -5A22 = (-1) .
= 3
3
4
A31 = (-1) .
1
2
1 -1
-1
Ek(A)
|A|
T
7
-11 -5
= -1 . -1
19
7
x
y
z
-19
3
1
2 -1
= -3
1
6
⇒
1
-2 -3
-2 -3
-19
= -1 . -19
19
3
3
2
-5
. 4
3
2
6
= -5A33 = (-1) .
1
-2 -3
2
-5
-11 -5
-1
X = A .B = -1 . -1
19
1 -1
5
A23 = (-1) . 1 1 = -2
-11 -5 2
-1 3 -5
=
7
A32 = (-1) .
-1 3
-11 -1 7
Ek(A) = -5 3 -2
2 -5 3
A =
5
= 2
2
3
x
y
z
1
= 1 ise x = 1, y = 1 ve z = 1 bulunur.
1
Buradan denklem sisteminin çözüm kümesi Ç = {(1, 1, 1)} bulunur.
a1 x +b1 y + c1 z = d1
a2 x +b2 y + c2 z = d2
a3 x +b3 y + c3 z = d3
doğrusal denklem sistemi A.X = B şeklinde yazıldığında, katsayılar matrisi A nın determinantı
sıfırdan farklı bir gerçek sayı ise denklem sisteminin tek bir çözümü vardır.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki denklem sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.
a) 3x + y - 2z = -6 b) x + 2y + z = -8
4x + 2y + z = 0
4x + 3y - z = -12
3y + 2z = 7
2x - y + 4z = -8
269
2) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz.
Aşağıdaki denklem sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.
a) x - y + 2z = 2 b) 4x + 2y - 3z = 12
x + 3y + z = 8
x + y - 2z = 4
3x + 5y - z = 7
x + 2z = 3
{(1, 1, 1)}
{(2, 2, 0)}
{(1, -1, 2)}
3) x + y + 2z= 9
3x + 5y - z = 10
x + 2z= 7 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {(1, 1, 1)} B) {(2, 1, 2)} C) {(0, 2, 0)} D) {(1, 2, 3)} E) {(1, 3, 1)}
CRAMER KURALI
ETKİNLİK
-2x + 3y + 2z = 11
x + y + 3z = -2
3x +y - z = -2 denklem sistemi veriliyor.
Denklem sistemini A.X = B matris gösterimini yazınız.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
x
y
.
z
=
...
...
...
Katsayılar matrisi A nın determinantına ∆ (delta) dersek, ∆ değerini bulunuz.
∆ = ........
A matrisinin 1. sütun elemanlarının yerine B matrisinin elemanlarını yazarak oluşan matrisin
determinantına ∆x diyelim.
∆x =
11
-2
3
1
2
3
-2
1
-1
= .....
A matrisinin 2. sütun elemanlarının yerine B matrisinin elemanlarını yazarak oluşan matrisin
determinantına ∆y diyelim.
11
∆y = ... -2 ... = .....
...
...
... -2 ...
A matrisinin 3. sütun elemanlarının yerine B matrisinin elemanlarını yazarak oluşan matrisin
determinantına ∆z diyelim.
11
∆z = ... ...
= .....
...
...
... -2
... -2
∆x, ∆y, ∆z değerlerini bularak aşağıda verilen eşitliklerde yazdığınızda denklemin çözüm
kümesini belirtiniz.
x=
∆x
∆
= ... ,
y=
∆y
∆
= ... ,
z=
∆z
∆
= ...
Ç = {(x, y, z)} = {(... , ... , ...)}
Daha önce öğrendiğiniz yöntemlerden herhangi biri ile denklemi çözünüz. Elde ettiğiniz çözümü yukarıdaki çözümle karşılaştırınız.
270
ÖRNEK
3x - 4y = 2
x + 2y = 5 denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
ÇÖZÜM
3x - 4y = 2
x + 2y = 5 denklem sisteminde,
∆=
3
-4
1
2
∆x =
2
-4
4
2
∆x
x=
∆
=
20
10
= 3.2 - (-4).1 = 6 + 4 = 10 dur.
= 2.2 - (-4).4 = 4 + 16 = 20, ∆y =
= 2 ve y =
∆y
∆
=
10
10
3
2
1
4
= 3.4 - 2.1 = 12 - 2 = 10,
= 1 olduğundan Ç = {(2, 1)} bulunur.
a1 x + b1 y + c1 z = d1
a2 x + b2 y + c2 z = d2
a3 x + b3 y + c3 z = d3
denklem sisteminin matris gösterimi, A.X = B iken
a1 b1 c1
d1 b1 c1
a1 d1 c1
a
a3 b3 c3
d3 b3 c3
a3 d3 c3
a3 b3 d3
d
b
∆ = a2 b c2 , ∆x = d b c , ∆y = a d c , ∆z = a1 b1 d1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
olmak üzere, x =
∆x
∆
,y=
∆y
∆
,z=
∆z
∆
formülleriyle denklem sistemi çözülür.
Bu sistemle elde ettiğimiz çözüm yoluna Cramer Kuralı adı verilir.
ÖRNEK
-2x+ 3y + 4z = 14
3x + y - z = 5
x + y + 2z = 10 denklem sisteminin çözüm kümesini Cramer kuralı ile bulalım.
ÇÖZÜM
-2
Denklem sisteminin A.X = B şeklindeki matris gösterimi, 3
1
-2 3
∆=
3
1
4
-1
1
2
3
.
x
y
z
14
= 5 şeklindedir.
10
4
1 -1
= 5 - 24 = -19
1 1 2
4
-4
-2 3 4
2
3 1 -1 12
+ 18
+
-3
24
5
271
4
14 3
5
∆x =
1 -1
= 18 - 56 = -38
x=
= 86 - 124 = -38
y=
= 37 - 94 = -57
z=
2
10 1
∆x
∆
=
-38
=
-38
=
-57
-19
=2
40
28
14 3 4
-14 5 1 -1
20
+ -30
+ 30
18
56
-2 14 4
∆y =
3
5 -1
∆y
∆
1 10 2
20 -2 14 4
20
20 3 5 -1 120
+ 84
+ -14
124
86
-2 3 14
∆z =
3
5
1
1 1 10
14
-2 3 14 -20
-10
42
+ 90 3 1 5
+ 15
94
37
∆z
∆
-19
-19
=2
= 3 bulunur.
Bu durumda denklem sisteminin çözüm kümesi Ç = {(2, 2, 3)} bulunur.
UYGULAMA
1) Aşağıdaki denklem sistemlerinin çözüm kümesini Cramer kuralı ile bulunuz.
a) 2x + y = 6 b) 3x - 2y = 3 x + y = 5
x + y = 4
ç) -2x + 3y + z = 7 4x + y + 6z = 9
x + y - 3z= -6
2) x =
A) -2
-4 -1
-7 1
4 -2
3
5
1
2 -1
1 1
-3 -2
3
5
1
B) -1
c) x + 4y = -8 x - y = 2
d) 3x - y + 5z=14 x + y + 4z= 8
-2x - y + 3z = 5
e) x - 2y - z = 1
3x - 4y + z = -3
2x + 3y + z = 3
Bir öğrenci x, y ve z bilinmeyenlerini ihtiva eden üç bilinmeyenli
denklem sisteminin çözümünde x değeri için çözümü yandaki gibi yapmıştır. Bu veri yardımıyla denklemin çözüm kümesindeki y değeri aşağıdakilerden hangisidir?
C) 1
D) 2
E) 4
3) 4x + 2y - z = 0
x + 3y + 2z = 5
2x - y - 3z = 8 denklem sisteminin çözüm kümesi hesaplanırken Cramer kuralından yararlanılmak isteniyor. Boşlukları kurala uygun sayıları yazarak doldurunuz.
∆y
∆y
......
x=
y =
........ =
∆
∆
......
272
5.
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
A - Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
1) A = [aij ] mxn matrisi veriliyor.
a) m, A matrisinin ..................... sayısını belirtir.
b) n, A matrisinin ...................... sayısını belirtir.
c) mxn e A matrisinin ...............................denir.
ç) aij , A matrisinin i. ................ ve j. ...................daki terimidir.
2) Satır ve sütun sayıları eşit matrise .................... matris denir.
3) A = [aij ] mxm kare matrisinde a11 , a22 , a33 ...amm elemanlarının bulunduğu köşegene ....................
köşegen denir.
4) A = [aij ] mxm kare matrisinde asal köşegen üzerindeki elemanları 1, diğer elemanları sıfır olan
matrise ................... matrisi denir.
5) A kare matrisinde asal köşegenin üst kısmındaki tüm terimler sıfır ise A matrisine alt ..................
ve asal köşegenin alt kısmındaki tüm terimler sıfır ise A matrisine üst ............................. denir.
6) Determinant, kare matrisleri bir .................. sayıya dönüştüren bir fonksiyondur.
7) Bir kare matriste i. satır j. sütundaki elemanlar atıldığında geriye kalan matrisin determinantına
aij elemanının .............................. denir.
B - Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
1) A + AT = B ise BT = AT + AT dır.
(
)
2) A = [aij ] mxn ve B = [bij ] mxn için aij = bij ise A ile B matrisi eşit matrislerdir. (
) 3) A = [aij ] mxn ve B = [bjk ] nxp ise
a) (A.B)-1 = B-1.A -1 dır.(
)
b) (A.B) = A .B dır.(
)
4) Bir sütunundaki tüm elemanları birbirine eşit olan matrisin determinantı sıfırdır.
(
)
a) |p.A| = p .k dır.(
)
b) |A| = k ≠ 0 ise A vardır.(
)
T
T
T
5) A = [aij ] nxn ve |A| = k olmak üzere (k, p ∈ R)
n
-1
C - Aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
1) A =
4
-2
3
1
0
7
ve B =
2) A = [aij ] 3x3 matrisi için aij =
3) A =
4+log3 x
5
0
e
lny
,B=
-2
3
-2
3
{
ise a21 + b22 - a13 + b11 toplamını bulunuz.
i+j
(-2) , i < j ise
3i - 2j , i ≥ j ise
arctan(tan2) ln(a + 2)
18x + m
A matrisini yazınız.
ve A = B ise x+y+m+a toplamını bulunuz.
9x +2y
273
5) K =
0
6
-12 6
4
-4
4) A + 2B =
a
b
c
d
6
ve A - B =
6
-4
-6 -2
0
ise B matrisini bulunuz.
2
matrisinin her satırının terimleri toplamı 8 ise K matrisinin 1. satır terimlerinin
toplamını bulunuz.
6) A =
4
3
3
2
-5
6
,B=
-2 5
4
3
, C = -1 0 , D =
2
C.D matrislerini bulunuz.
4
5
-1
0
2
3
4
matrisleri veriliyor. Buna göre A.B,
7) Uygun koşullarda tanımlı f fonksiyonu için f(x) = x - 3x + 6 ve A =
2
8)
3
m
2
m+1
9) A =
10) A =
11) B =
12) A =
,B=
1
,C=
k
-1
-7
1
4
-3
2
0
3
4
-1
5
-2
1
5
0
4
1
matrisinin çarpma işlemine göre tersini bulunuz.
ve C = -3 1
2
3
0
T
ise (B + C) matrisini bulunuz.
4
3
ise a23 elemanının kofaktörünü bulunuz.
2
-1
13) Aşağıdaki matrislerin determinantlarını bulunuz.
a) A = [-3]
b) 3 -2 c) 3 -1 2
4
4
5
0
-1
0
3
1
14) Aşağıdaki matrislerin varsa terslerini bulunuz.
a) A =
-4
2
-5
3
15) x + 2y - z = 0
2x - y + 3z = 1
x + 3y - 4z = -5
274
ise f(A) yı bulunuz.
3
ve A.B = C ise m + k toplamı kaçtır?
0 ise A102 matrisini bulunuz.
-2
2
2
1
0
4 -1
}
b) A =
4
-1
2
-3
0
1 -6
9
-3
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
ç)
-1
4
5
0
0
1
1
3
3
2
-2
2
6
0
1
4
x
x+y
2
x.y
17)
D
z
y + z hesaplayınız.
y
16) x + y
y.z
y
A
x
E
a
y
B
ABC ve ADE üçgen, m(DEA) = m(ABC) dir.
m
n
Şekilde verilenlere göre
C
b
18) x - y + 2z = 2
3x + y + z = 5
2x - y + 3z = 4
}
x
a
m
1
-4
2
m+n b
hesaplayınız.
x+y
denklem sisteminin çözüm kümesini temel satır işlemleri yaparak bulunuz.
D - Aşağıdaki çoktan seçmeli soruları yanıtlayınız.
3
-1
0
4
2
3
1)
A) 21
2) A =
+
5
m 11
a
1
6
5
5 -1
1
12 -8 2
0 8 8
-8 12 10
6 -5
3
A) 12 -2 -2 0
2
y+3
2a+5
3
b+4
1
ise a + b + m + x + y kaçtır?
D) 6
E) -2
ve A + 2B = C ise C matrisi hangisidir?
C) 15 2 15 -1
15 -1
3
4) A =
2
B) 15 0 4 -1 2
x-1
C) 7
3 -4 , B =
10 0
A)
3
B) 18
A) 15 0 3)
=
. 0
-2
2
4
-2
3
5
B)
8 -4 10
0 2 8
D)
10 -1
10 0
E) 15 0
-15 -1
= K ise K matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
8
C) -4 6 12 10
10
10
D) 8 E)
8 -4 10
E)
6 -3
-10
ise A + AT matrisini bulunuz.
0
B) 12 -10 C) 12 2 D) 12 6 6
2
6
0
0
0
3
6
275
5) A =
0
1
3
2
y
z
0
,B=
5
1
4 -1
A) 15
.I2x2 0
log2 x
2
3-x
y
2012
0 -1
-1
E)
1 720
0
1
ve A = B ise x + y - z toplamı kaçtır?
5
C) 4
ise A
D) -1 -7 D) 8
E) 13
matrisi hangisidir?
1 -4
1006
3 -2
B) A
C) 4
1006
2012
.I2x2 D) 4
1006
.I2x2 E) 15
1006
.A
-1
olmak üzere, AT = X .A eşitliğini sağlayan X matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
-1 1
2 -3
1 -1
9) A =
C) -1 -20 B) 1
7) A =
A)
1 140
B)
A) 0
8) A =
7 ise A20 matrisini bulunuz.
A) 20.A
6) A =
1
B)
2
1
4
3
3
2
-1 5
1
ve B =
C)
-1 -3
1
2
D) -1 3 E)
2 -3
1
-1 2
4
matrisleri veriliyor. B = A.X olduğuna göre X matrisi aşağıdakilerden
-2
hangisidir?
3
A)
12
B)
12
C)
3
-12
D)
3
3
6
E)
5
2
-4
10) x - 5x - 7 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
2
A=
x1 2
,B=
x2 2
276
A) 12
x1 x2
2
B) 18
ise A.B matrisinin tüm terimlerinin toplamı kaçtır?
2
C) 35
D) 37
E) 41
ÜNİTE SORULARININ CEVAP ANAHTARLARI
1.ÜNİTE
A - 1. sanal (imajiner) kısmı 2. gerçek kısımları birbirine ve sanal kısımları birbirine eşit 3. gerçek
B - 1. D 2. D 3. Y 4. Y
7
3
, Im(z) = , c) Re(z) = 0, Im(z) = 5, ç) Re(z) = 9, Im(z) = 0
2
2
7 6
3
64
2. a) z = 5 + i , b) z = + i , c) z = 1 , ç) z = , d) z = 6 , e) z = 6 + 11 i , f) z = 100 3. a) z = 9 - 2 i , b) z = 23 - 7 i ,
5 5
5
C - 1. a) Re(z) = 4, Im(z) = -2, b) Re(z) =
c) z =
8
14
+
13 13
i
5
7
26
, c) 1 5. a) z = 2
2
2
4. a) 13, b)
{
}
i , b) z = -2 - 3 i , c) z =
1
4
+
i , ç) z = -3 + 4 i
25 25
6. a) Ç = {1, 3} , b) Ç = -1 - 19 i , -1 + 19 i , c) Ç = {-3 i, 3 i}
2
2
7. a)
, b)
y
O
x
3
-1
-4
r=
, c)
y
1
5
O
-1
o
8. a) z = 2.cis 210 , b) z = 23.cis
1
, ç)
y
-2 O
x
r=
2
x
O
-3
3p
11p
, c) z = 3.cis
4
6
, d)
y
-3
9. a) z = 3.cis
5
x
r=
1
y
2
O
r=
4
3
x
p
2p
, b) z = 5.cis p, c) z = 6.cis
,
3
2
( ) ( )
p
5p
3p
3
2p
o
, d) z = 42.cis
10. a) z = + 33 i, b) z = -23 - 2 i, c) z = -6 11. a) 4,
, b) 4,
, c) (4, 250 )
3
4
9
2
2
9
p
o
o
o
12. a) 6.cis , b) 12.cis 340 , c) 72.cis 50 , ç) cis 70
2
3p
o
o
13. a) z0 = 2.cis 15 , b) z0 = 22.cis 150 , c) z0 = 62.cis
8
o
o
z1 = 2.cis 195
z1 = 22.cis 330
11p
z1 = 62.cis
8
13p
5p
5p
8p
o
o
o
14. a) z0 = 3.cis 30 , b) z0 = 2.cis 100 , c) z0 = 2.cis 60
15. a)
, b)
, c)
, ç)
12
12
4
3
o
o
o
ç) z = cis
z1 = 3.cis 150
z1 = 2.cis 220
z1 = 2.cis 180
o
o
o
z2 = 3.cis 270
z2 = 2.cis 340
z2 = 2.cis 300
D - 1. B 2. E 3. D 4. C 5. C 6. C 7. E 8. D
2.ÜNİTE
A - 1. logaritma 2. doğal logaritma 3. y = x
B - 1. D 2. Y 3. D 4. D
3
C - 1. a) 4, b) -18, c) 6, ç) 1, d) 1, e) 0 2. a) [1, 7), b) -1, -
(
4
)
3. 3 - 3a 4.
D - 1. C 2. C 3. B 4. B 5. C 6. B 7. E 8. D 9. A 10. C 11. B
2m+n+2
4m+2
5. z < y < x 6. 144 7. 6
3.ÜNİTE
A - 1. daire 2. çizgi 3. serpilme 4. kutu
B - 1. D 2. Y 3. D 4. Y 5. Y
C - 1. 40 2. 4 ve 12 3. 11 4. 722 5. 3 6. 432 7. a) 9324, b) 524, c) 17 8. 21 9. 20 10. 190 11. 2 12. 4 13. 21 14. 21
15. 37 16. 45 17. 12 18.
( )
10 6
1
7
1
2
1
1
1
4
1
.2 19.
20.
21.
22.
23. I) , II) , III)
24.
25.
26. 20 27. 106
6
20
15
5
5
7
7
24
11
21
D - 1. A 2. C 3. B 4. E 5. B 6. C 7. C 8. D 9. B 10. D 11. A 12. E 13. B 14. C 15. C 16. D 17. B 18. D 19. E
20. A 21. E 22. C 23. C 24. D 25. D 26. E 27. E 28. B 29. B 30. E 31. E 32. C 33. E 34. B 35. C 36. B 37. D
38. E 39. A 40. D 41. B 42. D 43. C 44. C 45. A 46. D 47. E
4.ÜNİTE
A - 1.
2.
3. genel terimi 4. sabit dizi 5. aritmetik dizi
B - 1. D 2. D 3. Y 4. Y 5. D 6. Y 7. D 8. D 9. Y 10. D 11. Y 12. Y 13. Y
C - 1. a) 55, b) 0, c) -5, ç) -
20
45
, d) 1897 2. a) 720, b) 60, c) 288, ç) 2 , d) 0
21
D - 1. B 2. E 3. D 4. E 5. D 6. B 7. E 8. D 9. E 10. E 11. B 12. C 13. A 14. B 15. B 16. E 17. B 18. C 19. A
20. E 21. C 22. B 23. C 24. D 25. A 26. C 27. E 28. E 29. B 30. B 31. B 32. D 33. D 34. D 35. B 36. C 37. B
38. A 39. E 40. B 41. E 42. A 43. D 44. C 45. D 46. C 47. B 48. E
277
5.ÜNİTE
A - 1. a) satır b) sütun c) türü ç) satır, sütun 2. kare 3. asal 4. birim 5. üçgen matris, üçgen matris 6. gerçek
7. minörü
B - 1. Y 2. D 3. a) D b) Y 4. Y 5. a) D b) D
1
C - 1. -1 2. 4
7
-
10.
3
8
1
2
1
4
0
-8 16
2 -32
5
3
-1
11. 1
3
6
2
9
3.
46
4.
9
-
10
3
-2
-2
10
3
8
3
4
3
5. 64 6.
-3
26
-31
26
18
3
2
1
5
2
2
-
12. 2 13. a) -3 b) 11 c) 67 ç) 70 14. a)
26
, -5
5
1
10
12
0 7.
16
8
-4
8
4
8. 3 9.
{(
b) yoktur 15. ÇK = -2,
1
0
-714
1
11 12
,
5 5
)}
16. 0
17. 0 18. ÇK = {(1, 1, 1)}
D - 1. A 2. B 3. E 4. A 5. B 6. D 7. A 8. C 9. E 10. E
KAYNAKÇA
1. T.C. Millî Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı Ortaöğretim Geometri Dersi 9-10-11. Sınıf
2. T.C. Millî Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı Ortaöğretim Matematik (9,10,11,12. sınıflar)
3. 4. 5. 9. Öğretim Programı, Ankara, 2011.
Dersi Öğretim Programı, Ankara, 2011.
T.C. Millî Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı İlköğretim Matematik Dersi 6-8. Sınıflar
Öğretim Programı, Ankara, 2005.
Yazım Kılavuzu, Türk Dil Kurumu, Ankara, 2005.
Arık, M., Sancak, M., Pentapleks Kaplamalar, TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, Ankara, 2007.
Larson, R., Boswell, L., Kanold, T. D., Stiff, L., Geometry, McDougal Littell, 2007.
10. Wells, D., Geometrinin Gizli Dünyası, Doruk Yayınları, 2002.
11. Serra, M., Discovering Geometry An Investigate Approach Key Curriculum, 2008.
12. Gantert, X. A., Geometry, AMCSO, 2008.
13. Geometry Integration Applications Connections, Glencoe, 1998.
14. Billstein, R., Williamson, J., Mathematics, McDougal Littell, 2008.
15. Göker, L., Matematik Tarihi ve Türk İslam Matematikçilerinin Yeri, MEB, İstanbul, 1997.
16. Ana Britannica, Ana Yayıncılık, İstanbul, 1994.
278
SÖZLÜK
A
KUTUPSAL KOORDINATLAR: Bir karmaşık sayının modülü r
AÇIKLIK (ARALIK): Veri grubundaki en büyük değerden en
küçük değer çıkarılarak bulunan değerdir.
ALT ÇEYREK: Veri grubunda veriler küçükten büyüğe doğru
sıralandığında en küçük değer ile ortanca değerin tam ortasındaki değerdir. Şayet ortada iki değer varsa bu değerlerin
aritmetik ortalamasıdır.
ALT ÜÇGEN MATRIS: Asal köşegenin üst tarafında kalan bütün elemanları 0 olan matrise alt üçgen matristir.
ARGÜMENT: Sanal düzlemde bir karmaşık sayıya karşılık
gelen noktayı orijine birleştiren ışının x ekseni ile yaptığı
pozitif yönlü açıdır.
ARITMETIK DIZI: Her n pozitif doğal sayısı için ardışık iki terimi arasındaki fark sabit olan dizilerdir.
AYRIK OLAYLAR: Kesişimi boş küme olan olaylardır.
ARITMETIK ORTALAMA: Verilen sayı dizisindeki terimlerin
toplamının, terim sayısına bölünmesiyle elde edilen değerdir.
B
BIRIM MATRIS: Asal köşegeni üzerinde bulunan elemanlar 1
diğer elemanları 0 (sıfır) olan matris.
Ç
ÇEYREKLER AÇIKLIĞI: Üst çeyrek ile alt çeyrek arasındaki
farka denir
D
n
n
DE MOIVRE FORMÜLÜ: ∀n∈R için (r.cis θ) = r .cis (n.θ) eşit-
liğidir.
DENKLEM SISTEMI: İki veya daha çok denklemden oluşan ve
hepsinin birlikte ortak çözümü istenen takım.
DETERMINANT: A kare matris olmak üzere, |A| gerçek sayısıdır. (Kare matrisleri reel sayılara eşleyen fonksiyonlardır.)
DIZININ GENEL TERIMI: Bir dizide n. terimi veren bağıntıya
dizinin genel terim denir ve an ile gösterilir
DOĞAL LOGARITMA: Tabanı e olan logaritma fonksiyonudur.
E
EK MATRIS: Kofaktörler matrisinin satırları sütun, sütunları
satır yapılarak elde edilen matrisdir.
EŞ OLUMLU ÖRNEKLEM UZAY: Her bir öğenin çıkma olasılığı
aynı olan örneklem uzaydır.
EK(ADJOINT) MATRISI: A matrisinin elemanlarının kofaktörlerinden oluşturulan matrisin transpozesine A matrisinin Ek
(Adjoint) matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir.
F
FAKTÖRIYEL: n bir doğal sayı olmak üzere, 1 den n ye kadar
olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile
gösterilir.
FIBONACCI SAYILARI: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... biçiminde artan sayılara Fibonacci Sayıları denir.
İ
İMAJINER: Sanal sayı birimi, i = -1 sayısıdır.
İMKANSIZ OLAY: Hiç elemanı olmayan olay, boş küme.
K
KARE MATRIS: Satır sayısı sütun sayısına eşit olan matristir.
KARMAŞIK DÜZLEM: Noktaları karmaşık sayılarla eşlenen
düzlemdir.
KESIN OLAY: Örneklem uzayına eşit olan olay.
i+j
KOFAKTÖR: A=[aij] matrisinde Aij=(–1) .[Mij] sayısına aij sa-
yısının kofaktörü denir.
KOMBINASYON: Gruplama, kümeleme, bir araya getirme.
KÖŞEGEN MATRIS: Asal köşegeni üzerindeki elemanları hariç diğer tüm elemanları sıfır olan matrislere köşegen matris
denir.
ve argümenti θ ise (r,θ) ikilisine denir.
KUTUPSAL YAZILIM: Kutupsal koordinatları (r,θ) olan bir karmaşık sayının r.cisθ biçimindeki yazılışıdır.
L
LOGARITMA: a>0 ve a≠1 olmak üzere a ve b sayıları belli
iken ax=b eşitliğini sağlayan x gerçek sayısını bulma işlemidir.
M
MEDYAN: Verilen bir sayı dizisinde terimler büyüklük sırasına
göre yazıldıktan sonra ortadaki sayıya medyan denir. Dizinin
terim sayısı tek ise tam ortasındaki sayı medyandır. Terim
sayısı çift ise ortadaki iki terimin aritmetik ortası medyandır.
MERKEZ EĞILIM ÖLÇÜLERI: Aritmetik ortalama, mod ve ortanca değerleridir.
MERKEZI YAYILIM ÖLÇÜLERI: Aralık, çeyrekler aralığı ve
standart sapmadır.
MINÖR: A=[aij] kare matrisinde aij’nin bulunduğu satır ve sütun silinerek geriye kalan sayıların oluşturduğu kare matrisin determinantına denir.
MOD: Bir dizide en çok tekrar eden sayıya o dizinin modu
denir. En çok tekrarlanan sayı birden fazla ise, bu sayıların
her biri dizinin modu olur.
N
n’NIN r’LI PERMÜTASYONU: n tane farklı elemandan, herhan-
gi r tanesinin farklı sıralanışlarından her biri.
n’NIN r’LI KOMBINASYONU: n tane farklı elemandan, herhangi
r tanesini seçmek, gruplamak.
O
OLAY: Bir örneklem uzayının her bir alt kümesi.
OLASILIK: Bir örneklem uzayındaki bir olayın eleman sayısı-
nın, örneklem uzayın eleman sayısına bölümü.
ONLUK LOGARITMA FONKSIYONU: Tabanı 10 olan logaritma
fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir.
Ö
ÖRNEKLEM UZAYI: Bir topluluğun, sonlu bir alt kümesi.
P
PERMÜTASYON: n elemanlı bir kümeden seçilen r eleman ile
oluşturulan sıralı r lerden her biri.
S
SABIT DIZI: Tüm terimleri aynı gerçek sayıya eşit olan dizidir.
STANDART PUAN: Standart puan gözlenen puanların ortala-
madan olan farklarını standart sapma cinsinden belirtilmesidir.
T
T STANDART PUAN: z standart puanının kesirden veya ek-
siden kurtarılması için kullanılan bir standart puan türüdür.
+
Ü
+
x
ÜSTEL FONKSIYON: a ∈ R - {1} olmak üzere f:R → R , f(x)=a
biçiminde tanımlanan fonksiyondur.
ÜST ÇEYREK: Veri grubunda veriler küçükten büyüğe doğru
sıralandığında en büyük değer ile ortanca değerin tam ortasındaki değer üst çeyrek olur. Şayet ortada iki değer varsa
bu değerlerin aritmetik ortalaması üst çeyrek olarak alınır.
ÜST ÜÇGEN MATRIS: Asal köşegenin alt tarafında kalan bütün elemanları 0 olan matrise üst üçgen matris denir.
Z
z STANDART PUAN: Yapılan ölçümler sonucu elde edilen pu-
anların aritmetik ortalamasının sıfır (0), standart sapmasının bir (1) olduğu puanlardır. z puanı kişinin puanının sınıf
ortalamasından kaç standart sapma uzaklıkta olduğunu
gösterir.
279
