Yarımagnetik Yarıiletkenlerde Magnetokalorik Etki

Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fen Dergisi
Süleyman Demirel University Faculty of Arts and Sciences Journal of Science
2017, 12(1): 15-22
Yarımagnetik Yarıiletkenlerde Magnetokalorik Etki
Arif BABANLI*1, Ali Osman UÇAR2
1
Süleyman Demirel Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Fizik Bölümü, 32260, Isparta,
Türkiye
2
Süleyman Demirel Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 32260, Isparta, Türkiye
*yazışılan yazar e-posta: arifbabanli@sdu.edu.tr
(Alınış: 24.04.2017, Kabul: 20.06.2017)
Özet: Magnetik alanda yarımagnetik yarıiletkenlerde magnetokalorik etki incelenmiştir.
Termodinamik potansiyel ve entropi için analitik ifadeler bulunmuştur. Entropi değişiminin
osilasyonu olan ve olmayan kısmı olduğu görülmüştür. Entropi gelişiminin sıcaklığa göre
değişimi incelenmiştir.
Anahtar kelimeler: Magnetokalorik Etki, Yarımanyetik Yarıiletkenler, Entropi.
Magnetocaloric Effect in Semimagnetic Semicoductors
Abstract: The magnetocaloric effect of semimagnetic semiconductors in magnetic field is
investigated. Analytical expressions for thermodynamic potential and entropy are found. It
appears that the change of entropy is the oscillatory and non-oscillatory part. The change of
entropy development according to the temperature was investigated.
Key words: Magnetocaloric Effect, Semimagnetic Semiconductors, Entropy.
1. Giriş
Aşırı düşük sıcaklıklar için (1 K-den küçük) Debye 1926 yılında ilk kez magnetokalorik
etkiden yararlanılabileceğini fikrini ortaya atmıştır. Magnetokalorik etki, artan veya
azalan bir manyetik alan altında bulunan, manyetik malzemenin entropisindeki
değişimden kaynaklanan adyabatik sıcaklık değişimidir. Öte yandan, magnetokalorik
etki, manyetik malzemelerin iç özelliği olarak da kendini göstermektedir. Bu etki,
malzemeye dış manyetik alan uygulandığında ya da kaldırıldığında ısıyı soğurması ya
da yayması esasına dayanır. Manyetik alanın uygulaması ile malzemede manyetik
entropi değeri azalır ve ısı manyetik soğutma sisteminden ortama doğru izotermal
olarak yayılır. Ya da bu işlemin tam tersi olarak, manyetik alan kaldırıldığında,
manyetik entropi artar ve ısı ortamdan çekilir, yani manyetik soğutucu tarafından
adyabatik olarak ısı soğurulur.
Parabolik potansiyele sahip bir boyutlu nano şeritlerde magnetokalorik etki olayı ilk kez
Alisultanov ve arkadaşları tarafından çalışılmıştır [1]. Termodinamik potansiyel ve
entropi için analitik ifadeler bu araştırmacılar tarafından elde edilmiştir ve entropi
15
A. BABANLI ve A. O. UÇAR, /Yarımagnetik Yarıiletkenlerde Magnetokalorik Etki
değişiminin manyetik alana ve sıcaklığa göre değişimini hesaplanmıştır. Bu
hesaplamalar sonucunda, entropinin magnetik alan ve saklayıcı potansiyelin enerjiye
bağımlılığında osilasyon gözlemlenmiştir.
M.S. Reis [2] ise diamagnetik malzemelerde manyetik entropi değişiminde salınım
özelliğinin olduğunun göstermiştir. Sözü edilen bu çalışma, serbest elektron modeli
kullanılmış ve elektronların spin serbestlik sayısını ihmal edilmiştir. Bilindiği gibi
madde içinde elektronların etkin kütlesi serbest elektronların kütlesinden farklıdır. Aynı
çalışmada, yarımagnetik yarıiletkenlerde elektronların spini ve değiş-tokuş etkisi
dikkate alınarak magnetokalorik etki araştırılmıştır. Bir başka çalışmada ise [3], lokalize
olmuş Mn+2 iyonunun manyetik momentleri ile iletkenlik ve valans bandındaki yük
taşıyıcıların değiş-tokuş etkileşmesinin efektif kütlelerin değişmesine sebep olduğu ve
onların manyetik momentumuna bağlı olarak değiştiği gösterilmiştir.
Magnetik yarıiletkenler, opto elektronik aygıtlar, güneş foto elemanları hazırlanmasını
ve yarıiletken lazer teknolojisinin temelini oluşturdukları için araştırmacıların bu
malzemeler üzerinde yoğun çalışmaları mevcuttur. Mevcut çalışma da manyetik
özellikleri olan ve manyetik özelliği olmayan yarıiletkenlerden yapılmış alaşımlar olan
yarımanyetik yarıiletkenlerde magnetokalorik etki araştırılmıştır.
2. Materyal ve Metot
Yarımagnetik yarıiletkenlerde z ekseni yönünde yönelmiş manyetik alanda elektronların
enerji spektrumları aşağıdaki gibidir [3].
𝐸"± =
ℏ& '( &
)*
+ 𝑛+
)
ℏΩ ±
/01 2
)
± 3𝐴
(1)
İfadede A elektronlarla Mn iyonları arasındaki değiş tokuş etkileşim terimidir.
-
/>? =01 2
6
'1 @
𝐴 = − 𝑥𝐽𝑁: 𝑆𝐵=
-
= − 𝑥𝐽𝑁: 𝑆𝐵=
6
=/>? ℏAB
)
'1 @
𝛾
(2)
𝐵= , x, J ve 𝑁: terimleri sırasıyla, Brillouin fonksiyonu, Mn iyonun yoğunluğu, değiştokuş etkileşimini karakterize eden parametre ve birim hücrelerin yoğunluğudur.
Sistemin entropisi
𝑆=−
DE
(3)
D@ 2,G
olup, Ω termodinamik potansiyeli ise,
Ω = −𝑘I 𝑇
U, ln
1 + 𝑒𝑥𝑝
GPQR,S
'T @
(4)
şeklindedir. Bu çalışmada, hesaplama için elektron gazının klasik bölüşüm
fonksiyonunu Z'yi hesaplamaya dayanan bir yaklaşım kullanacağız [4]:
Z=
X
P Y,Z
^,_`, ,_a,Z e
16
[\ ]
(5a)
A. BABANLI ve A. O. UÇAR, /Yarımagnetik Yarıiletkenlerde Magnetokalorik Etki
Denklem 1.’deki enerji ifadesinde, toplamdan integrale geçersek:
Z=
Z=
b& bc
−
j
dk i
Pj
𝑑𝑘f
k,^
)d &
j
Exp
Pj
^
)d &
b& bc
ℏ&
ki
)*_\ o
)
X
P Y,Z
e
(5b)
[\ ]
dk i Exp[−
r
&
"q ℏE±
st1 u
&
_\ o
]
(6)
ve k i ye göre integralin sonucu,
j
ℏ&
Exp[−
Pj
)*_\ o
k i ) ]dk i =
2m
_\ o
ℏ&
π
(7)
Şekline dönüşür. Denklem 6’da spine göre toplamayı dikkate alırsak ifadeyi aşağıdaki
gibi yazabiliriz:
r
&
z{| }~q
"q ℏAB
Exp −
st1 u
&[\ ]
qz{| P}~P
_\ o
st1 u
&[\ ]
)
2=
cƒ„st1 u
&[\ ]
ℏ†B
•…^‚
&[\ ]
•€•‚
(8)
𝑘f değişenine göre integrali ise,
𝑑𝑘f =
şeklindedir. Burada 𝑅) =
𝑧=
ℏ
AB ×*
‡&
ˆr
&
‰ˆr
&
dx =
Šr
(9)
‡&
dir.
Šr b& bc
)Ž
)d &
ℏ&
𝑘• 𝑇π
*AB
•€•‚
ℏ
ℏ†B cƒ s’
q
&•1 ‘ ℏ†B &
ℏ†B
•…^‚
&•1 ‘
(10)
Termodinamik potansiyeli bulmak için Mellins dönüşümünden yararlanacağız [4]:
𝑙𝑛 1 + 𝑒
t‰”•
t‰”•
•1 ‘
=
t‰”•
™qšj •G – •1 ‘
™Pšj •…^ •G
G&
Ω = −𝑘• 𝑇
™qšj •G – •1 ‘
™Pšj •…^ •G
G&
—
𝑑𝜉
(11a)
t
—
𝑑𝜉 = − 𝑘• 𝑇
™qšj •G – •1 ‘
™Pšj •…^ •G
G&
—
𝑍
'1 @
G
𝑑𝜉 (11b)
burada,
𝑍
Şeklinde olup, yeni
0
'1 @
'1 @
G
=
(12)
𝜉 = 𝑧 değişene geçersek ve Z’ nin ifadesini dikkate alırsak,
17
𝑒
‰”•
G
•1 ‘
A. BABANLI ve A. O. UÇAR, /Yarımagnetik Yarıiletkenlerde Magnetokalorik Etki
œ
Ω=−
}
)Ž
&
)d
)
𝜇
ℏ&
ž
)
• ‘
• 1 Ÿ
t
• ‘
•…^ • 1 Ÿ
t
•
)•š
–(
•€•‚
ℏAB Ÿ
Ÿ
)0
&
ℏ†B
’
& Ÿ
&¡
cƒ„s
•…^‚
𝑑𝑧
ℏ†B
Ÿ
&¡
(13)
ifadesini elde ederiz. Bu integrali Rezidü teoremine göre hesaplayacağız. z=0 ve 𝑧 =
)¢
𝑖𝑙𝜋 noktaları integrant fonksiyonlar için singular noktalardır.
ℏAB
Ω=−
•œ
)Ž
)d &
ℏ&
𝜇
)0
ž
)
§? •…^
t
• ‘
• 1 Ÿ
t
• ‘
(• 1 Ÿ)
)•š
§¨ •…^
–(
ℏAB Ÿ
Ÿ
•…^
cƒ s’ ℏ†B
q
Ÿ
ℏ†B & &¡
ℏ†B
•…^‚
Ÿ
&¡
t
• ‘
• 1 Ÿ
t
t
• ‘
• 1 Ÿ
t
•…^
•€•‚
)0
•€•‚
–(
Ÿ
•€•‚
ℏAB Ÿ
)0
&
cƒ s’ ℏ†B
q
Ÿ
ℏ†B & &¡
ℏ†B
•…^‚
Ÿ
&¡
ifadesini
ℏAB
ve
)¢
cƒ s’ ℏ†B
q
Ÿ
ℏ†B & &¡
ℏ†B
•…^‚
Ÿ
&¡
𝑑𝑧 +
𝑑𝑧
(14)
≫ 1şartını
dikkate
alarak
terimleri Taylor serisine açarsak,
• ‘
(• 1 Ÿ)
ℏAB Ÿ
t
• ‘
• 1 Ÿ
t
)0
&
• ‘
(• 1 Ÿ)
sıcaklıklarda
•€•‚
ℏAB Ÿ
)
• ‘
(• 1 Ÿ)
Düşük
}
≈1+
cƒ s’ ℏ†B
q
Ÿ
ℏ†B & &¡
ℏ†B
•…^‚
Ÿ
&¡
• ‘
(• 1 Ÿ)&
t
6
+
• ‘
¬(• 1 Ÿ)t
}®:
+⋯
(15)
-
cƒ s’ &
q
ℏ†B &
ℏAB
6
)
)¢
≈1+ − +
𝑧
)
(16)
Bu ifadeleri Denklem 14.’teki ilk terimde yazarsak:
−
œ •
)Ž
)d &
ℏ&
}
)
𝜇
ž
)
–(
)•š
Ÿ
1+
&
• ‘
(• 1 )&
t
6
)
-
cƒ s’ &
q
ℏ†B &
6
)
𝑧 + − +
𝑧)
ℏAB )
)¢
𝑑𝑧
(17)
Aşağıdaki ifadeyi elde ederiz. İntegralin sonucu ise,
−
œ •
)Ž
)d &
ℏ&
}
)
𝜇
ž
)
-6•
-ž
+
°•
• ‘
(• 1 )&
6
6
t
-
cƒ s’ &
q
ℏ†B &
6
)
+ − +
ℏAB )
)¢
(18)
şeklindedir. Şimdi de Denklem 9.’daki ikinci integarali hesaplamak için residü
formülünü kullanalım.
−
œ
)Ž
)d &
ℏ&
}
)
𝜇
ž
)
•
)•š
• ‘
• 1 Ÿ
•…^
t
• ‘
• 1 Ÿ
t
–(
Ÿ
ℏAB Ÿ
&
18
)0
•€•‚
cƒ s’ ℏ†B
q
Ÿ
ℏ†B & &¡
ℏ†B
•…^‚
Ÿ
&¡
𝑑𝑧 (19)
A. BABANLI ve A. O. UÇAR, /Yarımagnetik Yarıiletkenlerde Magnetokalorik Etki
Son parantezde paydadaki terimi onun sıfırı civarında olduğu dikkate alırsak:
sinh
ℏAB
)¢
ℏAB
𝑧 = sinh 𝑖𝑙𝜋+∈ = sinh 𝑖𝑙𝜋 + 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑖𝑙𝜋
¹ ℏAB
)¢
𝑧 − 𝑖𝑙𝜋 ≈ −1
)¢
)¢
ℏAB
−
)œ
)Ž
)d &
ℏ&
}
)
𝜇
ž
&• ]
P- º •& 1 ¹
𝜋
)
¹
•…^‚
ℏ†B
&• ]
•& 1 ¹
ℏ†B
»
ℏAB &
cos
)¢¹•
}~
ℏAB
+
/¾
𝑙𝜋 cos
)
𝑧−
𝑖𝑙𝜋 (20)
)¢
ℏAB
𝑙𝜋 −
•
(21)
®
Denklemler 18. ve 21.’i birleştirsek termodinamik potansiyelin ifadesi:
Ω=−
}
V 𝜋 2m
2π ) ℏ)
)
𝜇
ž
)
&• ]
P- º (•& 1 ¹)
+2
¹
•…^‚
}~
' @
1
)
16𝜋 8𝜋 (𝜋 0 )
1
+
+ − +
15
6
6
6
»
ℏAB &
)¢¹•
ℏ†B
&•1 ]
&
•
¹
ℏ†B
}~
cos
ℏAB
+
/¾
/¾ )
ℏ𝜔Å
2µ
)
2
)¢
𝑙𝜋 cos
)
ℏAB
+
ℏAB
𝑙𝜋 −
)
•
(22)
®
Görüldüğü gibi termodinamik potansiyel, sıcaklık ve magnetik alana bağlı
gözükmektedir. Entropi ise aşağıdaki ifadedeki gibidir.
𝑆=−
DE
D@ 2,G
=
œ •
)Ž
)d &
ℏ&
»
/¾
)
𝑙𝜋 cos
ℏAB &
)¹0•
¹
)¢
•
ℏAB
𝑙𝜋 −
®
2
}
)
𝜇
ž
&• ]
P- º •& 1 ¹
•…^‚
−2
ℏ†B
&• ]
•& 1 ¹
ℏ†B
)
°• '1 @ • )
6
𝐶𝑜𝑡ℎ 𝜋 )
&• ]
P- º •& 1 ¹ }¹• Ç~
ℏ†B
•…^‚
&• ]
•& 1 ¹
ℏ†B
}
ℏAB Ç@
0
)'1 o
ℏAB
Sin
+
ℏAB )
𝑙 −
}~
ℏAB
+
)¢
&]
•&
¹
ℏ†B
/¾
)
}~
ℏAB
+
/¾
)
)'1 •&
ℏAB
𝑙𝜋 cos
} Ç~
ℏAB Ç@
𝑙 cos
)¢
ℏAB
𝑙𝜋 −
}~
ℏAB
+
+
•
®
(23)
Sistemin entropisi,
𝑆 𝑇, 𝐻 = 𝑆 𝑇, 0 + 𝑆2 (𝑇, 𝐻)
(24)
Magnetik alana göre entropinin değişimi ise,
Δ𝑆 𝑇, Δ𝐻 = 𝑆 𝑇, 𝐻 − 𝑆 𝑇, 0 = 𝑆2 (𝑇, 𝐻)
19
(25)
A. BABANLI ve A. O. UÇAR, /Yarımagnetik Yarıiletkenlerde Magnetokalorik Etki
şeklindedir. Fermi enerjisi ile elektron sayısı arasındaki bağlantıyı dikkate alırsak:
)Ž
ℏ&
}
𝜇
)
= 3𝜋 )
U
(26)
Î
Entropinin değişmesi l=1 durumunda
V 𝜋
𝑁
8𝜋
Δ𝑆 𝑇, Δ𝐻 =
3𝜋 ) 𝜇
)
2π
𝑉
6
ℏ𝜔Å
+
2𝑙𝜇𝜋
−
»
&
2
)
ℏ𝜔Å
2µ
− 𝜋)
sinh 𝜋
)'1 o
𝑙
ℏAB
) )'1 o
ℏAB
2𝑘• 𝜋 )
𝑙 cos
)' o
𝜋 ) 1 𝑙 ℏ𝜔Å
1
+2
)o
𝑙
ℏAB
) )o
sinh 𝜋
ℏAB
𝐶𝑜𝑡ℎ 𝜋 )
𝑙
2𝑘• T
𝑙
ℏ𝜔Å
3𝐴 𝑔𝛾
2µ
𝜋
+
𝑙𝜋 cos
𝑙𝜋 −
ℏ𝜔Å
2
ℏ𝜔Å
4
ℏAB
𝜋)
3𝐴 𝑔𝛾 3 𝑑𝐴
+
ℏ𝜔Å
2 ℏ𝜔Å 𝑑𝑇
3𝑙𝜋 𝑑𝐴
Sin
𝑙 ℏ𝜔Å 𝑑𝑇
3𝐴 𝑔𝛾
2µ
𝜋
+
𝑙𝜋 cos
𝑙𝜋 −
ℏ𝜔Å
2
ℏ𝜔Å
4
(27)
A=0 olursa, entropi değişimi
c
Δ𝑆 𝑇, Δ𝐻 =
}Ó ℏAB &
)¢
−
𝐼(𝑥) cos
𝜋
)
)0
ℏAB
−
•
-
®
cos
/¾
)
𝜋
(28)
şeklindedir. Burada I(x)
𝐼 𝑥 =
Õ
𝐶𝑜𝑡ℎ 𝑥 −
•…^‚ Õ
x=𝜋 )
Õ
)'1 o
(29)
(30)
ℏAB
I(x) sıcaklık ve manyetik alan hakkında bilgi içerir ve manyetik entropi değişiminin
genliğini kosinüs terimiyle en üst ve en alt düzeye çıkarılabilir.
g=2 ve𝛾 =
aynıdır.
*?
*¨
= 1 durumu için Denklem 9. Reis [2] tarafından elde edilen ifade ile
𝑆𝑜𝑠𝑐 = −
} Ó
-6 •
Ö Õ
c
r
"q &
-
cos
}~
ℏAB
+
/¾
)
𝜋 cos 𝑛𝜋
(31)
Elde edilen bu ifade, Reis’ in elde ettiği ifadeden farklı olarak kosiniüs terimi sıfır olsa
bile değiş-tokuş teriminden dolayı osilasyon yapmayan kısmi manyetik entropi sıfırdan
farklı değer alabilmektedir.
20
A. BABANLI ve A. O. UÇAR, /Yarımagnetik Yarıiletkenlerde Magnetokalorik Etki
Δ𝑆 =
}Ó • •ℏAB
®
0
}~
ℏAB
+
/¾ Ç~
)
Ç@
(32)
4. Sonuç veYorum
Elde edilen bu hesaplamaları Hg1-xMnxTe yarımanyetik yarıiletkenlere uyguladık.
Elektronların etkin kütlesi: me=0.047m0 olup m0 serbest elektronların kütlesidir,
N0 J s -d = 0.4 eV [18] ve g=-20 [5] 𝜇 = 0.012𝑒𝑉 [6]. Şekil 1.’de osilasyon yapmayan
entropi teriminin
'1 @
0
parametresine göre değişimi farklı x değerleri için gösterilmiştir.
Şekil 2.’de ise, osilasyon yapan entropi teriminin
'1 @
0
parametresine göre değişimi
gösterilmiştir.
Şekil 1. Manyetik entropinin osilyasyon olmayan kısmının farklı x değerleri için sıcaklığa göre değişimi
21
A. BABANLI ve A. O. UÇAR, /Yarımagnetik Yarıiletkenlerde Magnetokalorik Etki
Şekil 2. Manyetik entropinin osilyasyon kısmının farklı n değerleri için sıcaklığa göre değişimi
Teşekkür
Bu çalışma SDÜ BAP 4687-YL1-16 No’lu Proje ile desteklendiği için SDÜ Bilimsel
Araştırma Projeleri birimine teşekkür ederiz.
Kaynakça
[1] Z.Z Alisultanov, R.P Meilanov, L.S Paixao, and M.S. Reis, ’’Oscillating magnetocaloric effect in
quantum nanoribbons,’’ Phys. E Low-Dimensional Syst. Nanostructures, vol. 65, pp. 44-50, 2015.
[2] M. S. Reis, ’’Oscillating magnetocaloric effect,’’ Appl. Phys. Lett. vol. 99, p. 052511, 2011.
[3] J. Kossut and J. A. Gaj, Introduction to the Physics of Diluted Magnetic Semiconductors. Springer
Series in Materials Science, vol. 144, 2010.
[4] A.M. Perelemov, Obobşennıye kogerentnıye sostoyaniya kvantovıx sistem, in Russian, Moscow:
Nauka, 1979.
[5] Y. S. Gui, C.R. Becker, J. Liu, V. Daumer, V. Hock, H. Buhmann, and L. W. Molenkamp, “Interplay
of Rashba, Zeeman and Landau splitting in a magnetic two-dimensional electron gas,” Europhys.
Lett., vol. 65, no. 3, pp. 393–399, 2004.
[6] Q. Chen, “Electrical and optical properties of the bulk states HgTe/CdTe quantum wells topological
insulators,” M.S.thesis, University of Wollongong, Wollongong, Avustralya, 2014.
22