Oyun Teorisi ve Uygulamaları

OYUN TEORİSİ VE
UYGULAMALARI
Dr. Sanlı ATEŞ
2
Bu dersin amacı, oyun teorisini teknik olarak tanıtıp, başta
ekonomi
alanı
uygulanabileceğini
olmak
üzere
tartışmaktır.
değişik
alanlara
Günümüzde
nasıl
bireylerden
firmalara, yerel kurumlardan evrensel kurumlara kadar her
noktada karar verme süreçleri stratejik düşünme biçimine
giderek oturmuştur. Karar birimleri daha sağlıklı kararlara
ulaşabilmek
için
rakiplerinin
davranışlarını
daha
yakından
izlemekte, daha çok bilgi toplamaktadırlar. Bu sürecin bilimsel
düzeyde anlaşılması, oyun teorisinin ilgi alanı içindedir.
3
Haftalar
Konular
1
Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Normal Biçimli
2
Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Başat-altı Stratejiler
3
Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Nash Dengesi
4
Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Karma Stratejiler
5
Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Uygulamalar
6
Tümel Bilgiye Dayalı Statik Oyunlar: Uygulamalar
7
Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik Oyunlar: Oyun Ağacı Kavramı
8
Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik Oyunlar: Yayvan Biçimli Oyunlar
9
Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik Oyunlar: Alt Oyunlarda Nash Dengesi
10
Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik Oyunlar: İki Aşamalı ve Yinelenen Oyunlar
11
Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik Oyunlar: Pazarlık Modelleri
12
İşbirlikçi Oyunlar
13
Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik ve İşbirlikçi Oyunlar: Uygulamalar
14
Tümel Bilgiye Dayalı Dinamik ve İşbirlikçi Oyunlar: Uygulamalar
4
Ders Materyali
Bu ders için şu yayınlardan yararlanılmıştır.
1. M.J. Osborne, A. Rubinstein, A Course in Game Theory, The
MIT Press, Mass., 1994.
2. Edward T. Dowling, Introduction to Mathematical Economics,
Mc Graw Hill, 1992.
3. A.K. Dixit, B.J. Nalebuff, Stratejik Düşünme, Sabancı Ünv.
Yay., İst., 2003.
4. A.M. Brandenburger, B.J. Nalebuff, Ortaklaşa Rekabet, Scala
Yay., İst., 1998.
5
Sınavlara İlişkin
Yapılması planlanan sınavlar, dekanlıkça belirlenen tarihlerdeki
vize ve final sınavları olmak üzere iki tanedir. Ara sınavın (vize)
%40’ı, yarıyıl sonu (final) sınavının da %60’ı toplanarak başarı
notu belirlenecektir.
İletişim
Görüşme Günleri: Cuma, 10.00 -12.00
I. Blok, Ofis No.221
e-mail: asanli@cu.edu.tr
WEB: http://idari.cu.edu.tr/sanli
TÜMEL BİLGİYE
DAYALI STATİK
OYUNLAR
7
Mikro
iktisadi
analizin
bazı
konularında
ekonomik
karar
birimleri, diğer birimlerin davranışlarını dikkate almaksızın
karar verirler. Örneğin fayda teorisinde bireyler faydalarını
maksimize
ederlerken,
yalnızca
veri
fiyatlar
ve
gelir
çerçevesinde, diğer bireylerin kararlarından soyutlanmış olarak
optimal mal seçimini yaparlar.
Benzer şekilde tam rekabetçi ya da monopol piyasalardaki
firma davranışını da söyleyebiliriz.
8
Ancak iktisat biliminde, karar süreçlerinin karşılıklı bağımlılık
içerdiğini gösteren çok sayıda örnek vardır:
1. Duopol piyasada farklılaştırılmış ürün satan iki firma karar
verirken, ürün kalitesini, fiyatı ve reklamı dikkate almalıdır.
2. İki ülke ithalat gümrük oranları, ihracat desteklemeleri gibi
dış ticaret politikalarını belirlemelidirler.
9
3.
Bir
firma,
yöneticilerinin
performansını
artıracak
prim
politikasını belirlemelidir.
Bu örneklerdeki ortak nokta, karşılıklı bağımlılığın varlığıdır. Bir
karar biriminin en iyi seçimi, diğerinin (diğerlerinin) seçimine
bağlıdır.
10
Oyun teorisi, bir karar biriminin kazançlarının, diğerlerinin
kararlarına bağlı olduğu karşılıklı stratejik karar almanın yer
aldığı durumları inceleyen uygulamalı matematiğin bir dalıdır.
Oyunları değişik biçimlerde sınıflandırabiliriz. Bir yaklaşıma
göre statik oyunlar ve dinamik oyunlar biçiminde bir sınıflama
yapılabilir.
11
Statik oyunlar,
oyunlar veri bir zaman dilimi içerisinde tüm kararların
eşanlı verildiği türden oyunlardır. Yani oyuncular bir kerelik
karar verirler ve oyun sona erer.
Dinamik oyunlar,
oyunlar karar almanın bir dizimselliğe sahip olduğu
türden oyunlardır. Bu anlamda, çok sayıda zaman diliminde
kararlar alınmaktadır.
12
Statik
ve
dinamik
oyunlar
arasındaki
farkı
daha
iyi
anlayabilmek için, Cournot duopol piyasa modelini dikkate
alalım. Temel mikro ders kitaplarında büyük ölçüde statik oyun
çerçevesinde model anlatılmaktadır. Yani her iki firma kendi
kârını maksimize edecek şekilde, aynı anda ve tek üretim kararı
vermektedir.
13
Ancak bu modeli, firmaların birkaç aşamada karar alarak kârı
maksimize eden üretim düzeylerine ulaştıklarını da düşünerek
inceleyebiliriz.
oturacaktır.
Bu
durumda
oyun
dinamik
bir
çerçeveye
14
Oyunları,
oyuncuların
sahip
oldukları
bilgi
açısından
da
sınıflayabiliriz. Eğer tüm oyuncular oyunun yapısını tamamıyla
biliyorlarsa, tümel bilgi altında oyun (complete information)
dan
söz
ederiz.
Tikel
bilgi
altında
oyunda
oyun
(incomplete
information) ise, oyunculardan bir kısmı, diğerlerinin sahip
olmadığı özel bir bilgiye sahiptir.
15
Buna benzeyen, ancak biraz farklı bir başka yaklaşıma göre,
tüm oyuncular karar aşamasından önceki tüm davranışları
biliyorsa, oyun tam bilgiye (perfect information) dayalıdır.
Oyunculardan bazıları bunu bilmiyorsa, oyun eksik bilgiye
bilgi
(imperfect information) dayalıdır.
16
Oyunları, sınıflamanın yanında, betimleme ve çözüm yollarını
da sınıflayabiliriz. Bir betimleme yöntemi olan normal biçim,
im
stratejiler ve kazançlar üzerine odaklanır. Diğer betimleme
yöntemi olan yayvan (extensive game) biçim,
im davranışların ve
kararların dizilimiyle ilgilenir. Her iki biçimde birbirini dışlayan
bir yapıda değildir.
17
Hangi
yöntemin
seçileceği,
yöntemin
kolaylığına
ve
sezgi
gücüne bağlıdır. Statik oyunlarda daha çok normal biçim,
dinamik oyunlarda da yayvan biçim kullanılmaktadır.
Çözüm
yöntemlerine
baktığımızda,
statik
oyunların
Nash
dengesi bulunarak çözüldüğünü, dinamik oyunların da ikincil
oyun-mükemmel Nash dengesi üzerine kurulduğunu görebiliriz.
18
Normal Biçimde Oyunlar
Her oyunun kendine özgü elemanları ve özelliği vardır. Statik
oyunlarda bu elemanlar, küme ve fonksiyon kavramıyla temsil
edilmektedir. Normal biçimde ifade edilen bir oyunda, bir
oyuncu kümesi,
mesi her bir oyuncu için strateji kümesi ve her bir
oyuncu için bir kazanç fonksiyonu yer alır. Her bir oyuncuyu bir
rakamla
gösterebileceğimiz
yazabiliriz:
N = {1, 2, 3, ....., n}
bir
oyuncu
kümesini
şöyle
19
Her oyuncu, bir strateji kümesine dayanarak karar verir.
Strateji,
bir
oyunda
gerçekleşmesi
mümkün
olan
oyuncu
davranışını tanımlar. Bazı durumlarda strateji kümesi çok
küçük olabilir. Örneğin ya yüksek ya da düşük fiyat uygulama
kararı gibi. Ya da satranç oyunundaki gibi çok sayıda strateji
var olabilir.
sij, i. oyuncu için olanaklı j. stratejiyi göstersin. i
bireyi için tüm olası stratejilerin kümesi:
{
Si = si 1 , si 2 , si 3 , ....., siti
}
20
Tüm oyuncuların stratejilerinin oluşturduğu küme:
S = { S1 , S2 , S 3 , ....., S n }
Son
olarak,
oyunun
sonuç
göstergesi
olan
kazanç
fonksiyonlarını tanımlayalım. Genel olarak bir oyuncunun bir
oyundan
elde
edeceği
seçimlerine bağlıdır.
kazanç,
tüm
oyuncuların
strateji
i. birey için kazanç fonksiyonunu yazalım.
Π i = Π i { s1 , s2 , s3 , ....., sn }
21
Normal Biçimde Oyunlar için Örnekler
Firmaların
reklam
stratejisini
seçtikleri
bir
duopol
piyasa
düşünelim. Modelin varsayımları şöyledir:
1. Firmalar ürünlerini sabit (dışsal) bir fiyattan satıyorlar.
2. Reklam, piyasa toplam talep düzeyini etkilememektedir.
3. Firmalar iki reklam düzeyi seçip uygulayabilirler. Yüksek (Y)
ve düşük (D)
4. Firmaların
bağlıdır.
piyasa
payları,
seçecekleri
reklam
düzeyine
22
Şimdi bu varsayımları, oyun teorisinin simgeleriyle yazalım. Her
iki oyuncu, ikişer stratejiye sahiptir:
Si = { RY , RD } ,
i = 1, 2
Kazanç matrislerini yazabilmek için bazı ek değişkenlere gerek
var.
Π0 endüstrinin kâr düzeyini; mjk , rakip firma k stratejisini
(k=Y ,
k=D) seçtiğinde, firmanın j stratejisini (j=Y , j=D) seçmesi
durumunda oluşacak piyasa payını göstersin. Değişik reklam
düzeyi seçimlerinde piyasa payı toplamı bire eşittir:
m jk + mkj = 1
23
Dört olası reklam bileşimi vardır. Kazanç fonksiyonu, dört olası
reklam bileşiminin sonuçlarını gösterir. Birinci ve ikinci firma
için kazanç fonksiyonlarını yazalım:
Π 1 ( RY , RY ) = mYY Π 0 − RY
Π 2 ( RY , RY ) = mYY Π 0 − RY
Π 1 ( RY , RD ) = mYD Π 0 − RY
Π 2 ( RY , RD ) = mYD Π 0 − RY
Π 1 ( RD , RY ) = m DY Π 0 − RD
Π 2 ( RD , RY ) = m DY Π 0 − RD
Π 1 ( RD , RD ) = m DD Π 0 − RD
Π 2 ( RD , RD ) = m DD Π 0 − RD
24
Şimdi sayısal bir örnek de kullanarak, kazançları matris biçimde
yazalım.
Matrisin
satır
ve
sütunları,
strateji
seçimlerini
gösterecektir. Aşağıdaki değerlere sahip bir piyasa düşünelim.
Π 0 = 1000 ,
mYY
1
=
2
,
RY = 400
m DD
1
=
2
,
,
RD = 200
mYD
4
=
5
,
m DY
1
=
5
Örneğin her iki firma yüksek reklam harcaması yaparsa,
piyasayı yarı yarıya paylaşırlar. Her bir firma 1000 birimlik
endüstri kârının 500’ünü elde eder, reklam harcaması (400)
çıkarıldıktan sonraki net kâr 100’dür.
25
Yukarıda hesapladığımız gibi, diğer kazançları da her bir firma
için hesaplayalım ve kazanç matrisini oluşturalım.
1
Π 1 ( RY , RY ) = mYY Π 0 − RY = 1000 − 400 = 100
2
4
Π 1 ( RY , RD ) = mYD Π 0 − RY = 1000 − 400 = 400
5
1
Π 1 ( RD , RY ) = m DY Π 0 − RD = 1000 − 200 = 0
5
1
Π 1 ( RD , RD ) = m DD Π 0 − RD = 1000 − 200 = 300
2
26
1
Π 2 ( RY , RY ) = mYY Π 0 − RY = 1000 − 400 = 100
2
4
Π 2 ( RY , RD ) = mYD Π 0 − RY = 1000 − 400 = 400
5
1
Π 2 ( RD , RY ) = m DY Π 0 − RD = 1000 − 200 = 0
5
1
Π 2 ( RD , RD ) = m DD Π 0 − RD = 1000 − 200 = 300
2
27
Firma 2
D
Firma 1
Y
D ⎡ Π 1 ( RDD ) , Π 2 ( RDD )
⎢
Y ⎢⎣ Π 1 ( RYD ) , Π 2 ( RDY )
Π 1 ( RDY ) , Π 2 ( RYD ) ⎤
⎥
Π 1 ( RYY ) , Π 2 ( RYY ) ⎥⎦
Firma 2
D
Firma 1
D ⎡ 300 , 300
⎢
Y ⎢⎣ 400 , 0
Y
0 , 400 ⎤
⎥
100 ,100 ⎥⎦
28
Şimdi Firma 1’in kararını dikkate alalım. Firma 2 düşük reklam
harcamasını
seçtiğinde,
Firma
1
düşük
reklam
harcaması
kararında 300, yüksek harcamada 400 net kâr elde edecektir.
Buna göre, Firma 2’nin düşük reklam harcaması stratejisi
karşısında Firma 1’in en iyi seçimi yüksek harcamadır.
29
Firma 2 yüksek reklam harcamasını seçtiğinde, Firma 1 düşük
reklam harcaması kararında 0, yüksek harcamada 100 net kâr
elde edecektir. Bu durumda da Firma 1 için en iyi strateji
yüksek reklam harcamasıdır. Benzer durum Firma 2 için de
geçerlidir. Aynı anda her ki firma için de en iyi strateji yüksek
reklam harcamasıdır.
30
Yukarıdaki örnek oyunun genel biçimi, “tutsaklar açmazı” dır
(prisoner’s dilemma).
dilemma Bu oyunda suç işlemiş olan iki bireyin
suçun itiraf etmesi ile sessiz kalması arasındaki durumlar
incelenmektedir.
karşısındaki
yaygın
Mahkumiyet
kazançları
olan
tutsaklar
kararları,
oluşturmaktadır.
açmazı
değişik
stratejiler
İktisatta
biçimindeki
oldukça
oyunlar
şu
durumlarda oluşur:
1. Ekonomik karar birimleri işbirliği ve işbirliğinden kaçınma
arasında seçim yaparlarsa.
2. İşbirliği ortak optimalken, işbirliğinden kaçınma bireysel
rasyoneldir.
31
Duopolda reklam modeli, firmalararası rekabete iyi bir tutsaklar
açmazı örneğidir. Benzer biçimde kamu maliyesi teorisinden
kamusal
mallara
katkı
yapmak
(işbirliği)
ve
yararlanmak (işbirliğinden kaçınma) örneği verilebilir.
bedava
32
Reklam örneğinde dengeyi şöyle tanımlayabiliriz. (Y,Y) durumu,
diğer
firmanın
seçimi
belirliyken,
hiçbir
firmanın
kendini
seçimini değiştirmek için hiçbir neden olmaması anlamında bir
dengedir. Her bir firma, rakibinin stratejisine en iyi tepkiyi
vermektedir. Bu denge kavramı, Nash Dengesi olarak ifade
edilmektedir.
33
Kesin
Başat
Altı
Stratejilerin
Yinelemeli
Eleme
Yoluyla Çözümü
Tutsaklar açmazında olduğu gibi, bazı oyunlarda tüm başat altı
stratejileri
eleyerek
bir
dengeye
ulaşılabilir.
Eleme
işlemi
sürecinin sonunda bir çift strateji kalırsa, bu denge değeridir.
34
n oyunculu bir oyunda, si′′
koşul sağlanıyorsa,
gibi bir strateji mevcutken aşağıdaki
i. oyuncu için
si′
stratejisinin kesin başat
altı olduğunu söyleyebiliriz.
Π i ( s1 , s2 , ....., si′′, ....., sn ) > Π i ( s1 , s2 , ....., si′ , ....., sn )
35
Yukarıdaki koşul şunu söylemektedir: Daima daha yüksek
kazanç sağlayan başka bir strateji varken, bir strateji başat
altıdır. Buna göre bir strateji karşısında daha egemen bir
stratejinin varlığı yeterlidir.
36
Rasyonel birey başat-altı stratejiyi seçmeyeceğinden, bunu
karar
sürecinde
eleyebiliriz.
Aslında
daha
kesin
olarak
söylersek, ortak bir rasyonalite varsayımı gereklidir. Bu, tüm
oyuncuların
rasyonel
olması
anlamına
gelmemektedir.
Oyuncular, kendileri dışında kalanların dominant-altı stratejiyi
seçmeyeceklerinin farkındadırlar.
37
Şimdi bu koşulu ve başat-altı stratejilerin elenerek denge
değerlerine ulaşılmasına bir örnek verelim. İki oyuncu ve her
birinin seçebileceği üç strateji olsun. Başlangıçtaki bu duruma
G oyunu diyelim.
2. Oyuncu
L
T ⎡ 3, 3
⎢
1. Oyuncu M ⎢ 2, 4
⎢
B ⎢⎣ 1, 5
C
2, 6
1, 4
0, 2
R
3,1 ⎤
⎥
0, 4 ⎥
⎥
6, 0 ⎥⎦
38
1. oyuncu için
M stratejisi, T stratejisine göre başat altıdır.
Diğer bir ifadeyle,
T stratejisi M ’ye başattır. B stratejisinin M
’ye başat olduğunu söyleyemeyiz. 2. oyuncunun
stratejisini
seçtiği
durumlarda,
stratejilerini kıyaslayalım:
1.
oyuncu
için
L , C, R
T ve M
39
3>2 ,
2>1 ,
3>0
:
T, M ’ye kesin başattır.
Şimdi de T ve B stratejilerini kıyaslayalım:
3>1 ,
2>0 ,
3<6
:
T, B ’ye kesin başat değildir.
40
Kesin başat-altı strateji olan
sürdürelim. Bu yeni oyuna
M stratejisini eleyerek oyunu
G′ diyelim.
2. Oyuncu
L
T ⎡ 3, 3
⎢
1. Oyuncu
B ⎢⎣ 1, 5
C
2, 6
0, 2
R
3,1 ⎤
⎥
6, 0 ⎥⎦
Bu durumda 1. oyuncunun hiçbir stratejisi kesin başat değildir.
Ancak 2. oyuncunun stratejilerine bakarsak, hem
’nin
L hem de C
R ’ye başat olduğunu görürüz. Bu nedenle R stratejisini
eleyebiliriz.
41
R ’nin elenmesi sonucu oluşan oyuna G″ diyelim.
2. Oyuncu
L
T ⎡ 3, 3
⎢
1. Oyuncu
B ⎢⎣ 1, 5
C
2, 6 ⎤
⎥
0, 2 ⎥⎦
42
Bu durumda 1. oyuncunun
T stratejisi, B ’ye kesin başattır. B ’yi
eledikten sonra, 2. oyuncu için
C başat olduğundan L ’yi eleriz.
En sonunda denge değerine (G*) ulaşmış oluruz.
2. Oyuncu
1. Oyuncu
C
T [ 2, 6]
43
Nash Dengesi
İktisat bilimindeki çoğu oyunlarda peşi sıra eleme yöntemiyle
denge değerine ulaşmak mümkün değildir. Bu tür durumlarda
daha güçlü bir çözüm yöntemine gerek duyarız. Nash dengesi,
bu aracı sağlar.
Diğer oyuncuların strateji seçimleri belirliyken, hiçbir oyuncu
seçimini
değiştirmek
için
bir
neden
görmüyorsa,
strateji
bileşimi bir Nash dengesidir.
dengesidir Bu tanımı biçimsel olarak verelim.
44
n
oyuncu için biçiminde bir vektörel strateji seçim kümesi
olsun.
Aşağıdaki
koşulu
sağlayan
strateji
bileşimi,
dengesidir.
Π i ( s1* , s1* , ....., si* , ....., sn* ) ≥ Π i ( s1* , s1* , ....., si′ , ....., sn* )
Nash
45
Nash
dengesinde
istemeyecektir.
si*
hiçbir
stratejisi,
oyuncu
stratejisini
değiştirmek
i. oyuncu için var olan stratejilerin
içinde daha iyisidir. Zayıf eşitsizlik, en az
si*
stratejisi kadar iyi
oyunların da olabileceğini ifade etmektedir. Ayrıca bir oyuncu
için aynı anda birden çok strateji vektörü Nash dengesini
sağlayabilir.
46
Yinelemeli eleme yöntemi ile Nash dengesi arasındaki bağı şu
iki teoremle kurabiliriz:
Teorem 1: Başat-altı stratejiler eleme yöntemiyle bir denge
değerine ulaşabiliniyorsa, bu değer aynı zamanda oyunun tek
Nash dengesidir.
47
Teorem 2: Herhangi bir Nash dengesi, kesin başat-altı strateji
eleme yöntemine de olanak sağlar.
Burada dikkat edilmesi gereken nokta şudur: Ne eleme yöntemi
Nash dengesinin bir parçası olabilir ne de Nash dengesi bir
eleme yöntemi çözümü değildir.
48
Nash
dengesini
anlatmanın
bir
başka
yolu,
en
iyi tepki
fonksiyonudur.
fonksiyonudur Bu yöntem özellikle strateji kümesi sürekli
biçimdeyse yararlı olur. Örneğin iki oyunculu bir oyunda, 2.
oyuncunun her seçimi karşısında 1. oyuncu için en iyi olan
stratejiyi seçeriz. 2. oyuncunun stratejisi biliniyorken, aşağıdaki problemi çözerek en iyi tepkiyi belirleriz.
max Π 1 ( s1 , s2 )
49
Bu problemi maksimizasyon için gereken birinci ve ikinci sıra
koşulları
elde
ederek
ve
sınayarak
çözebiliriz.
Kazanç
fonksiyonları, türev alma yoluyla belirlenmiş olacaktır. Birinci
sıra koşuldan elde edilen en iyi tepki fonksiyonlarının eşanlı
çözümünden, denge değerlerine ulaşılır.
50
Nash Dengesine Örnekler
Aşağıdaki iki oyunculu örneği dikkate alalım.
2. Oyuncu
L
T ⎡ 3, 3
⎢
1. Oyuncu M ⎢ 2, 4
⎢
B ⎢⎣ 1, 5
C
2,1
2, 4
0, 2
R
3,1 ⎤
⎥
0, 4 ⎥
⎥
6, 5 ⎥⎦
51
Bu matriste hiçbir oyuncunun kesin başat-altı stratejisinin
bulunmadığına dikkat edin. Dolayısıyla çözüm yöntemi olarak
en iyi tepki yoluyla Nash dengesinin belirlenmesi olacaktır.
1. oyuncunun en iyi tepkilerini 2. oyuncunun seçimi belirliyken
bulacağız. Aşağıdaki matriste altı çizgili mavi değerler, 1.
oyuncunun en iyi strateji seçimlerini göstermektedir. Örneğin
2. oyuncunun seçimi
ği en iyi strateji
L stratejisiyken, 1. oyuncunun seçebilece-
T ’dir.
52
2. Oyuncu
L
T ⎡ 3, 3
⎢
1. Oyuncu M ⎢ 2, 4
⎢
B ⎢⎣ 1, 5
C
2 ,1
2, 4
0, 2
R
3,1 ⎤
⎥
0, 4 ⎥
⎥
6 , 5 ⎥⎦
Yukarıdakine benzer biçimde, 2. oyuncu için de en iyi tepkileri
belirleriz (altı çizgili kırmızı seçenekler). Aynı anda her iki
oyuncunun birden en iyi seçiminin oluştuğu strateji, Nash
dengesini verecektir.
53
Aşağıdaki
kazanç
matrisi,
2.
oyuncunun
da
seçimlerini
içermektedir. Her iki oyuncuya en iyiyi sağlayan (T,L), (M,C) ve
(B,R) stratejileri Nash dengesini göstermektedir.
2. Oyuncu
L
T ⎡ 3, 3
⎢
1. Oyuncu M ⎢ 2, 4
⎢
B ⎢⎣ 1, 5
C
2 ,1
2, 4
0, 2
R
3,1 ⎤
⎥
0, 4 ⎥
⎥
6 , 5 ⎥⎦
54
Şimdi iki oyunculu sürekli biçimdeki bir oyunu inceleyelim. Her
bir oyuncu için strateji kümesinin şöyle olduğunu varsayalım:
Si = { si : si ≥ 0}
Bunun anlamı şudur: Her bir oyuncu strateji değişkeninin
negatif olmayan düzeyini seçmelidir. Örneğin iktisatta miktar,
fiyat, tüketim gibi değişkenlerin seçimi negatif değerler alamaz.
55
1. ve 2. oyuncunun kazanç fonksiyonlarının şu şekilde bildiğini
varsayalım.
Π 1 = 10 s1 − s12 − s1 s2 − 3 s1
Π 2 = 10 s2 − s − s1 s2 − 2 s2
2
2
Oyun sürekli biçimde olduğundan, kazanç matrisini önceki
örnekteki gibi oluşturamayız. Bunun yerine, her ki kazancı da
aynı anda maksimize edecek olan s1 ve s2 değerlerini ararız.
56
∂Π 1
= 10 − 2 s1 − s2 − 3
∂s1
∂Π 2
= 10 − 2 s2 − s1 − 2
∂s2
,
1
s1 = R1 ( s2 ) = ( 7 − s2 )
2
,
1
s2 = R2 ( s1 ) = ( 8 − s1 )
2
En iyi tepki fonksiyonları
s1* = 2
,
s2* = 3
57
Şekil 1. Nash Dengesi
s2
7
En iyi tepki
R1
fonksiyonları
4
s
*
2
E
R2
s1*
3.5
8
s1
58
Karma Stratejilere Giriş
Tüm oyunlar, her bir oyuncunun %100 olasılıkla yalnızca tek
strateji seçtiği bir saf-strateji Nash dengesi biçiminde değildir.
Bazı iktisadi uygulamalarda oyuncular, olanaklı saf stratejileri
tesadüfi (olasılıklara dayalı) seçerler. Bu tür oyunlar karma
stratejiye sahiptir.
59
Şimdi her bir oyuncunun m kadar saf stratejiye sahip olduğu,
iki oyunculu, sürekli olmayan bir durum düşünelim. sij,
için
i. oyuncu
j. stratejiyi göstersin. Bir karma strateji,
strateji i. oyuncunun her
bir olanaklı saf stratejiyi oynayacağı olasılığı tanımlamaktadır.
60
pj, 1. oyuncunun saf j stratejisini seçme olasılığını; qk, 2.
oyuncunun saf
k stratejisini seçme olasılığını; p ve q da olasılık
vektörlerini göstersin. 1. ve 2. oyuncular için karma strateji
kümesini şöyle yazabiliriz:
⎧
S1 = ⎨p : 0 ≤ p j ≤ 1 ,
⎩
⎫
p j = 1⎬
∑
j =1
⎭
⎧
S 2 = ⎨ q : 0 ≤ qk ≤ 1 ,
⎩
⎫
qk = 1 ⎬
∑
k =1
⎭
m
m
61
Bir saf strateji, karma stratejinin alt kümesidir. sij saf stratejisi,
p j = 1 ve pi = 0 ( i ≠ j ) olduğunda karma stratejiye özdeştir.
Karma
stratejili
oyuncuların
Nash
kazanç
dengesini
matrisinin
nitelendirebilmek
beklenen
için,
değerlerini
hesaplamamız gerekir. 1. oyuncu j , 2. oyuncu da k saf stratejilerini seçtiklerinde
edelim.
i. oyuncunun kazancının Πijk olduğunu kabul
62
i. oyuncunun beklenen kazancı, ortaya çıkacak her bir sonucun
kazancı ile bu sonucun çıkma olasılığının çarpımının toplamına
eşittir:
E ( Π 1 ) = p1q1Π 111 + p1q2 Π 112 + ..... + p1qm Π 11m
+ p2 q1Π 121 + p2 q2 Π 122 + ..... + p1qm Π 12 m
+ pm q1Π 1m 1 + pm q2 Π 1m 2 + ..... + pm qm Π 1mm
63
Bunu
kısaltılmış
(toplama)
simgeleri
kullanarak
yeniden
yazalım:
m
m
E ( Π 1 ) = ∑∑ p j qk Π 1 jk
j =1 k =1
Şimdi tanım olarak Karma Strateji Nash Dengesini yazalım.
64
Aşağıdaki koşullar sağlanırsa,
p* ve q* olasılık vektörleri Nash
dengesidir.
m
m
m
m
* *
*
′
p
q
p
q
Π
≥
∑ ∑ j k 1 jk ∑ ∑ j k Π 1 jk
j =1 k =1
m
m
j =1 k =1
m
m
* *
*
p
q
p
Π
≥
∑∑ j k 2 jk ∑∑ j qk′ Π 2 jk
j =1 k =1
j =1 k =1
Diğer bir ifadeyle bu iki koşul, daha yüksek kazanç sağlayan
karma strateji mevcut değilse,
dengesi olduğunu söylemektedir.
p* ve q* vektörlerinin Nash
65
Teorem 3: Sonlu sayıda saf strateji kümesine sahip her n
oyunculu oyun, en azından bir saf ya da karma strateji Nash
dengesine sahiptir.
Bu
teorem,
her
oyunun
bir
çözümü
olacağını
garanti
etmektedir. Şimdi iki oyunculu ve iki stratejili bir oyunu dikkate
alalım. Bunun kazanç matrisi aşağıda verilmiştir.
66
2. Oyuncu
1. Oyuncu
L
T ⎡ A, a
⎢
B ⎢⎣ C , c
R
B, b ⎤
⎥
D , d ⎥⎦
Bu oyunda her bir oyuncu bir olasılığı seçmektedir. Strateji 1
olasılığı ile oynanırsa, strateji 2
p
(1-p) stratejisiyle oynanacaktır.
Buna göre 1. oyuncunun beklenen (olasılıklı) kazanç matrisini
yazalım:
E ( Π 1 ) = pqA + p(1 − q ) B + (1 − p )qC + (1 − p )(1 − q ) D
67
Şimdi kazanç matrisinin p ’ye göre türevini alalım.
∂E ( Π 1 )
∂p
= qA + (1 − q ) B + − qC − (1 − q ) D
Bu sonuca göre, türevde p yer almadığından, 1. oyuncu türevin
işaretini belirleyemez. Türev pozitif ise,
p ’deki artış, 1.
oyuncunun kazancının beklenen değerini artırır. Bu nedenle 1.
oyuncu en yüksek
p değeri olan 1’i seçmelidir. Bu saf strateji
anlamına gelir. Türevin işareti negatifse, 1. oyuncunun en
uygun seçimi
p=0 ‘dır. Böyle bir durum, 2. oyuncu için saf
strateji seçimi anlamına gelir.
68
Türev sıfıra eşitse, tüm
p düzeylerinde 1. oyuncunun kazancı
aynıdır. Bu nedenle 1. oyuncu tüm karma strateji seçimleri
karşısında
kayıtsızdır
ve
dengeyi
göstermektedir.
Karma
stratejinin çözümünü bulmak için, yukarıdaki süreci 2. oyuncu
içinde yaparız.
E ( Π 2 ) = pqa + p(1 − q )b + (1 − p )qc + (1 − p )(1 − q )d
∂E ( Π 2 )
∂q
= pa + pb + (1 − p )c − (1 − p )d
69
Her
ikisi
için
eşitlenmesi ve
anda
∂p
∂E ( Π 2 )
birinci
türevlerin
= qA + (1 − q ) B + − qC − (1 − q ) D = 0
= pa + pb + (1 − p )c − (1 − p )d = 0
d −c
p =
a−b−c+d
*
denge,
p ile q değerlerinin çözülmesiyle belirlenir.
∂E ( Π 1 )
∂q
aynı
,
D−B
q =
A− B −C + D
*
sıfıra
70
Yukarıdaki oyuna sayısal bir örnek verelim. Aşağıdaki oyunu
inceleyelim.
2. Oyuncu
1. Oyuncu
L
T ⎡ 3,1
⎢
B ⎢⎣ 2, 2
R
2, 4 ⎤
⎥
3,1 ⎥⎦
Dikkat edilirse bu oyunun saf strateji Nash dengesi yoktur.
Ancak teorem 3, karma stratejili bir Nash dengesinin elde
edilebileceğini
söylemektedir.
Çözüme
ulaşabilmek
için
ilk
olarak her iki oyuncuya ait beklenen kazanç fonksiyonlarını
yazalım.
71
E ( Π 1 ) = 3 pq + 2 p(1 − q ) + 2(1 − p)q + 3(1 − p )(1 − q )
E ( Π 2 ) = pq + 4 p(1 − q ) + 2(1 − p )q + (1 − p )(1 − q )
∂E ( Π 1 )
∂p
1
p =
4
*
= 2q − 1 = 0
1
q =
2
*
,
E ( Π 1 ) = 2.5
,
∂E ( Π 1 )
,
E ( Π 2 ) = 1.75
∂p
= −4 p + 1 = 0
72
Doğal Tekel Yatırım Oyunu
Bir piyasada doğal tekel oluşmasının ana nedeni, yalnızca bir
firmanın ekonomik kâr elde edebilecek kadar piyasa ölçeğinin
büyük olmasıdır. Piyasa ölçeği, hem talep düzeyine hem de
firma maliyet düzeyine bağlıdır. Aşağıdaki Şekil 2, bir doğal
tekeli göstermektedir.
½D talep eğrisi, iki firmalı bir durumda,
her iki firmanın da zarar edeceğine dikkat çekmektedir.
73
Şimdi iki firmalı bir durumu dikkate alalım. Ancak bu iki firma
yeni bir ürün geliştirmek, fabrika binası kurmak gibi bir alanda
ortak yatırım kararı almış olsunlar.
74
Şekil 2. Doğal Tekel
P
AC
1
2
D
D
Q
75
Bu durumda her bir firmanın karşısında iki strateji vardır:
1.Firmanın
piyasaya
kararının verilmesi:
girişine
olanak
sağlayan
bir
yatırım
E
2.Yatırım kararından vazgeçilmesi ve piyasadan uzak kalmak:
Piyasaya bir firma girerse pozitif bir kâr elde edecek:
firma girerse, zarar elde edecekler:
Buna göre kazanç matrisi:
-L<0.
S
Π>0; iki
76
2. Oyuncu
1. Oyuncu
E
E ⎡ − L, − L
⎢
S ⎢⎣ 0, Π
S
Π , 0⎤
⎥
0, 0 ⎥⎦
İlk çözüm denemesi olarak başat altı strateji eleme yöntemine
baktığımızda,
hiçbir
firmanın
başat
altı
stratejiye
sahip
olmadığını görebiliriz. Ancak her iki firma açısından birer saf
strateji Nash dengesi vardır: (E,S) ve (S,E).
Bunun dışında
oyunda
vardır.
bir
de
karma
strateji
dengesi
Bunu
belirleyebilmek için, beklenen kazanç fonksiyonlarını yazarak
başlayalım.
E ( Π 1 ) = − pqL + p(1 − q )Π + (1 − p )0 = − pqL + p(1 − q )Π
E ( Π 2 ) = − qpL + q(1 − p )Π + (1 − q )0 = − pqL + q(1 − p )Π
∂E ( Π 1 )
∂p
∂E ( Π 1 )
∂p
= − qL + (1 − q )Π = 0
= − pL + (1 − p )Π = 0
Π
p =q =
Π+L
*
*
E ( Π1 ) = 0
,
E (Π2 ) = 0
77
78
Yukarıdaki sonucun anlamı şudur: Eğer piyasaya giriş yüksek
kârlar ya da düşük zararlar nedeniyle çok cazipse, firma giriş
olasılığını
artırır.
Ancak
giriş
olasılığının
cazibesini azaltacağı için kârlar sıfırlanır.
artması,
giriş
79
Cournot Duopol Modeli
Cournot modelinde bir firmanın stratejisi, çıktı miktarının
seçimidir.
i. firma için strateji kümesini yazalım.
S i = {qi : qi ≥ 0}
Buna göre, firmanın strateji uzayı, negatif olmayan tüm çıktı
kümesidir. Aşağıdaki talep ve maliyet fonksiyonlarına göre,
kazanç fonksiyonu şöyle oluşacaktır:
P = a − bQ
80
TC = ( c + t ) qi
,
Π i = Pqi − ( c + t ) qi = [ a − bQ ] qi − ( c + t ) qi
n
⎡
⎤
Π i = ⎢ a − b ∑ q j ⎥ qi − ( c + t ) qi
j =1
⎣
⎦
Diğer firmaların strateji seçimi belirliyken,
fonksiyonuna
bulabilmek
sahip
için,
maksimize ederiz.
olacaktır.
diğer
En
firmaların
iyi
i. firma en iyi tepki
tepki
stratejileri
fonksiyonlarını
sabitken
kârı
n
⎡
⎤
Π i = ⎢ a − b ∑ q j ⎥ qi − ( c + t ) qi =
j =1
⎣
⎦
n
⎡
⎤
2
Π i = ⎢ aqi − bqi − b∑ q j qi ⎥ − ( c + t ) qi
j=2
⎣
⎦
n
∂Π i
= a − 2bqi − b∑ q j − ( c + t ) = 0
∂ qi
j=2
a−c−t 1 n
qi =
− ∑ qj
2b
2 j=2
81
82
Nash
dengesi,
n tane en iyi tepki fonksiyonunun eşanlı
çözümüyle elde edilir. Her bir firmanın oynayacağı Nash denge
stratejisi (optimal üretim düzeyi) :
a−c−t
q =
( n + 1)b
*
i
Nash
denge
fonksiyonundaki
hesaplayabiliriz.
stratejisini,
yerine
her
yazarak,
bir
denge
firmanın
kazanç
kazanç
değerlerini
83
n
⎛
⎞ *
*
*
*
*
*
*
Π i = ⎜ a − b∑ q j ⎟ qi − ( c + t ) qi = ( a − bnqi ) qi − ( c + t ) qi
j =1
⎝
⎠
⎛
a−c−t ⎞a−c−t
a−c−t
= ⎜ a − bn
− (c + t )
⎟
( n + 1)b ⎠ ( n + 1)b
( n + 1)b
⎝
(a − c − t )
=
2
( n + 1) b
2
84
Bu çözüm, her bir firmanın, diğer firmaların üretim düzeyi
sabitken karar aldığı biçimindeki Cournot varsayımı üzerine
kuruludur. Bu nedenle denge, literatürde Cournot-Nash dengesi
olarak anılmaktadır.
85
Bertrand Duopol Modeli
Cournot duopol modeli firmaların strateji seçimini üretim
miktarı üzerine oturtmaktadır. Cournot’un makalesinden 45 yıl
sonra Joseph Bertrand, aksak rekabet nedeniyle firmaların
üretim
belirlemek
yerine,
fiyat
stratejisine
göre
hareket
edeceklerini öne sürmüştür. Bertrand’ın bu yaklaşımı, piyasa
dengesi
üzerinde
yaratmaktadır.
Cournot’ya
göre
önemli
bir
farklılık
86
Bertrand modeli (Cournot modelindeki gibi) ürünü homojen
varsaymıştır. Ancak firmalar fiyat farklılaştırmasına gitmektedirler. Ürünler homojen olduğundan, tüketiciler ucuz malı
alacak,
yüksek
fiyattan
satan
firmanın
satış
miktarı
sıfır
olacaktır. Bertrand modelinde firmalar fiyat stratejisi seçerler.
i. firma için strateji kümesini yazalım.
Si = { pi : pi ≥ 0}
87
Kazanç
fonksiyonlarını
fonksiyonuna
ihtiyaç
yazabilmek
duyarız.
tanımlayalım:
p = min( p1 , p2 )
Piyasa talep fonksiyonu:
Q = Q( p)
İlk
için,
olarak
piyasa
fiyat
talep
değişkenini
88
Bireysel firma için talep miktarı üç olasılığa sahiptir. Örneğin i.
firma için bu üç olasılığı yazalım:
pi < p j
⇒
qi = Q ( p )
pi = p j
⇒
Q( p)
qi =
2
pi > p j
⇒
qi = 0
89
Her iki firmanın da aynı marjinal maliyetle (c) çalıştığını
varsayalım.
i. firmanın kâr fonksiyonu:
pi < p j
⇒
Π i = pi Q( pi ) − cQ( pi )
pi = p j
⇒
Π i = 12 ⎡⎣ pi Q( pi ) − cQ( pi )⎤⎦
pi > p j
⇒
Πi = 0
90
Kâr fonksiyonu süreksiz biçimde olduğundan en iyi tepki
fonksiyonlarını türev yoluyla elde edemeyiz. Nash dengesini,
tüm olası sonuç uzayı içinde arayacağız. Potansiyel denge, her
iki firmanın da tüm pozitif fiyat bileşimlerini içerir. Uygulanacak
fiyat, tekelci fiyattan (pm) küçük, marjinal maliyetten (c) büyük
olamaz. Diğer olasılıklar, aşağıdaki Şekil 3’de
mavi alanla belirtilmiştir.
L biçimindeki
Şekil 3. Bertrand Duopol Modelinde
Fiyatlama Kararları
p2
pm
c
c
pm
p1
91
92
İki tür denge durumunu dışarıda bırakarak modelin çözümünü
yaparız. Birincisi, pozitif kâr sonuçları denge değildir. Her iki
firmanın fiyatı eşitse, bir firma çok küçük bir fiyat indirimiyle
piyasanın tamamını eline geçirir ve iki kat kâr elde eder.
Fiyatlar eşit değilse, yüksek fiyatlı firma, diğer firma fiyatının
biraz altına fiyatı çekerek sıfır kârdan pozitif kâra geçebilir. Bu
nedenle,
pozitif
sağlayamaz.
kâr
Nash
dengesi
için
gereken
koşulu
93
Denge,
her
iki
firmanın
da
sıfır
kâr
elde
etmesini
gerektirmektedir. Yani düşük fiyat uygulayan firma, marjinal
maliyete eşit bir fiyatlama yapmalıdır. Yüksek fiyat uygulayan
firma
marjinal
maliyetten
yüksek
bir
fiyatlama
yapsaydı,
marjinal maliyetten büyük, pozitif kâr elde etmiş olan ilk
firmanın yüksek fiyatından küçük bir fiyat aralığı oluşurdu. Bu
nedenle, Nash dengesi olmaya aday tek olası durum şudur:
p = p =c
*
1
*
1
,
Π =Π =0
*
1
*
1
94
Bunun bir denge olduğunu görebilmek için, bir firma fiyatını
düşürdüğünde negatif kâr elde edeceğini, fiyatını yükselttiğinde
de sıfır düzeyinde kalacağına dikkat edelim. Nash dengesi,
dengedeki stratejiden daha yüksek bir kazanç sağlayan strateji
çiftinin olmamasını gerektirmektedir.
Görüldüğü
gibi
Bertrand-Nash
dengesi,
Cournot-Nash
dengesinden çok farklıdır. Şimdi de ürün farklılaştırması altında
Bertrand modelini inceleyelim.
95
Ürün Farklılaştırması
Ürün farklılaştırması varsa, düşük ve yüksek fiyat stratejisi
önemini yitirir.
i. firmanın üretiminin, fiyatın doğrusal bir
fonksiyonu olduğunu varsayalım:
qi = a − pi + bp j
,
0<b<1
96
Her iki firma için de marjinal maliyetin sabit ve aynı (c)
olduğunu varsayıyoruz.
i. firmanın kâr fonksiyonu:
(
Π i = pi qi − cqi = ( pi − c ) qi = ( pi − c ) a − pi + bp j
)
Maksimizasyon birinci sıra koşulu oluşturalım ve buradan en iyi
tepki fonksiyonunu bulalım.
∂Π i
= a − 2 pi + bp j + c = 0
∂pi
→
a+c ⎛b⎞
pi =
+ ⎜ ⎟ pj
2
⎝ 2⎠
97
Her iki firmaya ait tepki fonksiyonları aşağıdaki Şekil 4’de
gösterilmiştir.
maliyetten
a>c
olduğundan, her iki firma fiyatı, marjinal
büyüktür.
Ayrıca
tepki
fonksiyonları,
Cournot
modelindekinin tersine, pozitif eğimlidir. Her bir firma rakibinin
fiyat artışına, kendi fiyatını artırarak tepki veriyor. Fiyatlama
stratejisi, piyasa payına da değil, kârı korumaya yöneliktir.
Şekil 4. Fiyat Farklılaştırması Modelinde
Tepki Fonksiyonları
p2
R1
R2
Q
E
a+c
2
450
a+c
2
p1
98
99
Birinci sıra koşullardan elde ettiğimiz tepki fonksiyonlarını
eşanlı olarak çözersek, denge fiyatlarını elde ederiz.
a+c ⎛b⎞
+ ⎜ ⎟ p2
p1 =
2
⎝ 2⎠
a+c
p = p =
2−b
*
1
*
2
,
a+c ⎛b⎞
+ ⎜ ⎟ p1
p2 =
2
⎝ 2⎠
100
Rant Kollama Davranışı
Bu
uygulamada,
belirli
miktardaki
bir
iktisadi
pastanın,
rekabetçi çerçevede paylaşımını inceleyeceğiz. Bazı durumlarda
iktisadi karar birimleri ranttan pay alabilmek için rekabetçi
davranış sergilerler. Örneğin vergi indirimlerini ya da gümrük
koruma oranlarının düşürülmesini isteyen sanayi lobilerinin bu
davranışı birer rant kollama davranışıdır.
101
Bu türden rantlar elde edebilmek için, girişimciler bir de
harcamaya katlanırlar. Elde edilecek rantın büyüklüğü, bunun
için yapılacak harcamaya bağlıdır. Rant kollama davranışı
bireysel
olarak
rasyonel
açısından kazanç azaltıcıdır.
olmakla
birlikte,
tüm
oyuncular
102
İlk olarak iki oyunculu bir modeli dikkate alalım, daha sonra
bunu
n oyunculu duruma genelleştirelim.
R kadar bir iktisadi rantı paylaşan iki oyuncu varsayalım. Her
bir oyuncu ranttan pay alabilmek için belirli bir harcama da
yapmaktadır. Sırasıyla
x1 ve x2 birinci ve ikinci oyuncunun bu
harcamasını göstersin. Her bir oyuncunun ranttan alacağı pay,
rant için yapılan toplam harcamadaki harcama payına eşit
olsun:
xi
si =
xi + x j
103
i. oyuncunun kazanç fonksiyonu:
⎛ xi
Π i = si R − x i = ⎜
⎜x +x
j
⎝ i
⎞
⎟⎟ R − xi
⎠
Birinci sıra koşul:
(
)
⎛ x +x −x
∂Π i ⎜ i
j
i
=
∂x i ⎜ x + x 2
i
j
⎝
(
)
⎞
⎟ R−1 = 0
⎟
⎠
→
xi =
xjR − xj
104
Oyuncular simetrik olduğundan, harcama düzeyleri dengede
eşit olacaktır.
x=
xR − x
→
R
x =
4
*
Aşağıdaki Şekil 5, oyuncuların en iyi tepki fonksiyonlarını ve
dengeyi
göstermektedir.
olmadığına dikkat edelim.
Tepki
fonksiyonlarının
doğrusal
105
Bunu yorumlayabilmek için 2. oyuncuyu dikkate alalım. Tepki
eğrisinin pozitif eğime sahip bölümünde 2. oyuncu rantın
yarısından çoğunu alır. Eğrinin negatif eğimli bölümünde ise,
bunun tersi geçerlidir. Dengede toplam rantların yarısı, iki
oyuncu arasında eşit paylaşılmıştır. Geri kalan yarı ise, verimsiz
rant harcamasına gitmiştir.
Şekil 5. Rant Kollama Davranışı
Modelinde Tepki Fonksiyonları
x2
R
R2
x2* =
R
4
Q
E
R1
450
R
x =
4
*
1
R
x1
106
107
Şimdi rant kollama davranışı modelini
n
genelleştirelim. Her bir oyuncunun rant payı:
xi
si =
X
n
,
X = ∑ xj
j =1
i. oyuncunun kazanç fonksiyonu:
⎛ xi
Πi = ⎜ n
⎜ ∑ xj
⎜
⎝ j =1
⎞
⎟R− x
i
⎟
⎟
⎠
oyunculu duruma
108
Birinci sıra koşul:
⎛ n
⎜ ∑ x j − xi
∂Π i ⎜ j =1
=⎜ n
2
⎛
⎞
∂x i
⎜ ⎜ ∑ xj ⎟
⎜ j =1
⎠
⎝⎝
⎞
⎟
⎟ R−1 = 0
⎟
⎟
⎟
⎠
Tüm oyuncuların simetrik olduğunu düşünerek
nx − x
( nx )
2
R−1 = 0
→
x ’i çözelim.
n−1
x = 2 R
n
*
109
Toplam rant harcaması ve oyuncuların kazanç fonksiyonları da
şöyle oluşacaktır.
n−1
X = nx =
R
n
*
*
*
x
R
*
Π = * R− x = 2
X
n
*
110
Şimdi karşılaştırmalı durağanlığı kullanarak, oyuncu sayısındaki
değişimin denge değerini nasıl değiştirdiğine bakalım:
2− n
∂x * n 2 − 2n( n − 1)
R= 3 R<0 , n>2
=
4
n
n
∂n
1
n − ( n − 1)
∂X
R= 2 R>0
=
2
n
n
∂n
*
∂Π
−2 R
= 3 <0
n
∂n
*
111
Kamusal Mallar
Yukarıda incelediğimiz rant kollama davranışı modelinde sabit
miktardaki bir ekonomik kaynak (çıkar) oyuncular arasında, her
bir oyuncunun bu ranttan pay almak için yaptığı rekabetçi
harcama ölçüsünde bölüşülmekteydi. Buradaki uygulamada
rant
oyuncuların
niteliğindedir.
harcamasına
bağlıdır
ve
kamusal
mal
112
Tam kamusal mallar (örneğin devlet televizyonu) iki özelliğe
sahiptir: Birincisi, oyunculardan birinin tüketim artışı, diğerinin
tüketim düzeyini düşürmez. İkincisi, bu tür malın üretimine
katkı yapmayanlar, tüketimden dışlanamazlar.
113
Bu uygulamada şu sorulara yanıt arayacağız.
1. Bireysel olarak seçilen Nash dengesi katkısı, toplumsal ola-
rak optimal midir?
2. Oyuncu sayısındaki değişim, Nash dengesindeki ve toplumsal
optimal olan kamusal mallar düzeyini nasıl etkilemektedir?
114
xi , i. oyuncunun harcama ya da kamusal mala katkı düzeyini
göstersin. Kamusal malın sağlayacağı toplam yarar (B), toplam
harcamanın bir fonksiyonudur:
B = B( X )
n
,
X = ∑ xj
j =1
115
Yarar fonksiyonunun konkav olduğunu, yani kamusal mallara
yapılan
harcama
artışının
azalan
marjinal
getiriye
sahip
olduğunu varsayalım.
∂B ∂B
=
= B ′( X ) > 0
∂X ∂ x i
,
∂B 2 ∂ 2 B
= 2 = B′′( X ) < 0
2
∂X
∂x i
Bir bireyin kazancı, kamusal malın yararı eksi kamusal malı
sağlamak için oyuncu tarafından yapılan harcamadır:
Π i = B( X ) − xi
116
Kazancın maksimizasyonu için gereken birinci ve ikinci sıra
koşullara bakalım:
∂Π i
= B ′( X ) − 1 = 0
∂x i
,
∂ 2Π i
= B′′( X ) < 0
2
∂x i
117
Birinci sıra koşulların çözümünden,
Birinci sıra koşulda
X* değerini elde ederiz.
n yer almadığından, toplam harcama
kamusal malın denge düzeyi, oyuncu sayısından bağımsızdır.
Toplumsal optimalite için de, kamusal maldan kaynaklanan
toplam net yararların maksimize edilmesi gerekir. Toplam net
yararlar, her bir bireyin kazançlarının toplamıdır:
n
n
j =1
j =1
(
)
Π = ∑ Π j = ∑ B( X ) − x j = nB( X ) − X
118
Birinci ve ikinci sıra koşullara bakalım:
∂Π j
∂X
∂ 2Π j
∂X
2
= nB′( X ) − 1 = 0
= nB′′( X ) < 0
→
B′( X ** ) =
B ′( X * ) = 1
1
n
Toplumsal
Optimal
Nash Dengesi
Birinci sıra koşulun çözümünden elde ettiğimiz sonuç, Nash
dengesi ile toplumsal optimalın farklı olduğunu göstermektedir.
Şekil 6, kamusal mal düzeylerini göstermektedir.
Şekil 6. Kamusal Mallar Durumunda
Toplumsal Optimalite ve Nash Dengesi
B ′( X )
1
Q
1
n
Q
B ′( X )
X*
X **
X
119
120
B(X)
içbükey olduğundan, marjinal yarar fonksiyonu
negatif
eğimlidir.
Özel
Nash
dengesinin
(X*),
B′(X),
toplumsal
optimaldan (X**) küçük olmasının nedeni, her bireyin kamusal
mal için yaptığı katkının, diğer bireyler için dışsal yararlar
yaratmasıdır.
Bireysel
maksimizasyon
önünde bulundurulmamaktadır.
da
bu
yararlar
göz
121
Ayrıca etkinsizlik derecesi (iki çözüm arasındaki fark),
n
arttıkça büyür. Tüketici sayısının artması, bireysel tüketicinin
diğer katkı yapanlar üzerinden bedavacılığını artırır. Bunun
sonucu olarak da fark büyür.
TÜMEL BİLGİYE
DAYALI DİNAMİK
OYUNLAR
123
Önceki bölümde, oyuncuların eşanlı seçim yaptıkları statik
oyunları inceledik. Şimdi oyuncuların peşi sıra seçim yaptıkları
dinamik oyunları inceleyelim. Bu tür oyunlar, iktisadi ilişkilerin
tarihsel bir süreçte geliştiği durumlara uygundur. Bir piyasada
yerleşik
olan firmaların, kararlarını piyasa için potansiyel
firmaların girip girmeyeceği hesapları üzerine kurması buna bir
örnektir.
124
Ayrıca piyasadaki yerleşik firmalar arasındaki pazarlık süreci de
dinamik oyunlar ile incelemeye uygundur. Statik oyunlarda
kazanç matrisi, tepki fonksiyonu gibi araçları kullandık. Ancak
bu araçlar dinamik oyunlara uygun değildir. Dinamik oyunda
strateji bir hareket değil, oyun anında oluşabilecek tüm olası
durumlar karşısında bir oyuncunun hareketlerinin bütünsel bir
tanımıdır.
125
Statik
oyundaki
kullandığımızda,
normal
peşi
sıra
biçimi
gelen
dinamik
hareketleri
bir
oyunda
göstermemiz
olanaksızlaşır. Bu nedenle yayvan biçim adını verdiğimiz bir
araç kullanırız. Yayvan biçim, oyundaki dizimsel hareketleri en
iyi anlatabilecek olan oyun ağacı ile betimlenmektedir.
126
Statik ve dinamik oyunlar arasındaki fark yukarıda söz ettiğimiz
bir araç yöntemi farkından ibaret değildir. Statik oyunlarda
çözüm Nash dengesi ile ifade edilmektedir. Ancak bu kavram
dinamik oyunlar için çok yetersizdir. Dinamik oyunlarda Nash
dengesi, oyuncuların başat altı hareketleri (stratejileri değil)
seçmelerine olanak sağlanması anlamında mantıksız sonuçları
içerebilir.
127
Dinamik oyunlarda Nash dengesinin güçlü biçimi, alt oyunlutam Nash dengesi olarak ifade edilmektedir. Şimdi yayvan
biçime
ilişkin
tanımdan
başlayarak,
girişelim. Oyunlarda oyuncular
dırılmıştır.
ayrıntılı
incelemesine
0,1,.....,n biçiminde numaralan-
0 doğayı, yani n sayıda oyuncu asıl kararları alırken,
oluşabilecek tesadüfi olayları temsil etmektedir.
128
Bir oyunun yayvan biçimi şunları tanımlar:
1. Oyuncular kümesini.
2. Hareketlerin sırasını.
3. Oyuncunun
yer
alabileceği
her
bir
hareketteki
olası
davranışlarını ve bu olası davranışları ile olasılık dağılım
fonksiyonunca
hareketleri.
tanımlanmış
olan
doğa
karşısındaki
129
4. Her bir harekette bir oyuncunun sahip olacağı bilgiyi.
5. Her olası hareket bileşimlerine karşılık gelen n oyuncunun
kazançları.
Oyun ağacının en basit biçimini tanımlayarak başlayalım: İki
seçim ve bir oyuncu. Oyun ağacı, çok sayıda dallar ve bu
dalların birleştiği (ya da alt dallara ayrıldığı) noktalardan
oluşur. Bağlantı noktaları kararları ya da sonuçları, dallar da
mevcut kararları gösterir.
130
Şekil 7’de bir oyunculu oyun ağacı gösterilmiştir. Oyuncu iki
olası karara sahiptir.
L ve R. Başlangıç noktası, 1. oyuncunun
karar noktası olması anlamında 1’dir. Sol ve sağ dalların
ucundaki
noktalar,
varış
noktalarıdır
ve
kazançları
göstermektedir. Bu oyunda denge, bireye en yüksek kazancı
sağlayan davranışın seçilmesidir.
131
Şekil 7. Tek Oyunculu Modelde Oyun Ağacı
1
Q
L
Q
ΠL
R
Q
ΠR
132
Buna
benzer
biçimde,
iki
oyunculu
dinamik
oyunu
da
oluşturabiliriz. Bir yatırım kararı oyununu dikkate alalım. Her
bir firma piyasaya girişe olanak sağlayan bir yatırımı yapıp
yapmama kararı karşısında seçim yapma durumunda bulunsun.
Firma yatırım yapmazsa, piyasa dışında kalır ve sıfır kâr elde
eder. Bu örneği eşanlı kararların verildiği bir statik oyun olarak
görmüştük.
133
Kararlar peşi sıra (dizimsel) verilirse ne olur? 1. oyuncunun ilk
karar veren olduğunu kabul edelim. 2. oyuncu, 1. oyuncunun
davranışını öğrendikten sonra kendi kararını verecektir. Bu
oyunun ağacı Şekil 8 ile verilmiştir. Şekilde
piyasa dışında kalma kararını;
E piyasaya girişi, S
Π kârı, -L zararı simgelemek-
tedir. Kazanç bileşimlerindeki ilk kazanç 1. oyuncuyu, diğeri 2.
oyuncuyu göstermektedir.
134
Şekil 8. Dizimsel Oyun
1
E
Q
S
2Q
E
Q
− L, − L
Q
S
E
Q
Q
Π, 0
0, Π
2
S
Q
0, 0
135
Bu oyunda dengeyi bulabilmek için geriye doğru tümevarım
tekniğini kullanacağız. Bu teknik şunları içerir:
1. Oyundaki son karar noktasının incelenmesi.
2. Oynanmamış davranışların elenmesi.
3. Bu elenmiş davranışların silinmesi.
4. Oyun ağacının yeniden çizilmesi.
5. Yukarıdaki sürecin yinelenmesi.
136
Yukarıda ele aldığımız iki oyunculu (firmalı) yatırım oyununda
son
karar
noktası,
2.
oyuncununkidir.
1.
firma
(oyuncu)
piyasaya giriş kararı aldığında (ağacın sol dalı), 2. firma için en
iyi seçim piyasa dışında kalmaktır (çünkü piyasaya giriş kararı
verirse,
L kadar zarar edecektir). 1. firma piyasa dışında kalma
kararı aldığında (sağdaki dal), 2. firma için en iyi karar
piyasaya giriş yapmaktır. Şekil 9, bu durumlar dikkate alınarak
yeniden çizilmiş olan budanmış oyun ağacını göstermektedir.
137
Şekil 9. Dizimsel Oyun: Geriye Doğru
Tümevarım ve Budama
1
E
Q
S
2Q
Q
S
E
Q
Q
Π, 0
0, Π
2
138
Şimdi
oyunu
çözebiliriz.
Her
iki
oyuncunun
da
rasyonel
olduğunu ve rasyonelliğin de herkesçe bilindiğini varsayıyoruz.
Bu durumda, 2. firmanın rasyonel davranışı gerçekleştireceğini
bilen 1. firma, kendisi için rasyonel olan piyasaya girişi
seçecektir. Çünkü bu durumda, kendisi
Π kadar bir pozitif kâr,
rakibi de sıfır kâr elde etmektedir. Bu nedenle denge, 1.
firmanın piyasaya girme kararı, 2. firmanın piyasa dışında
kalma kararıdır.
139
Bilgi Kümesi
Yukarıdaki piyasaya giriş kararı örneğinde 2. firma, 1. firma
kararından sonra karar alacağını bilmekteydi. Fakat 2. firma
bunu başından bilmeseydi ne olurdu? Şimdi eşanlı bir karar
verme süreci çerçevesinde oyun ağacını inceleyelim. Bunun için
bilgi kümesi kavramını tanıyalım.
140
Bir bilgi kümesi, aynı karar dallarına sahip olan fakat oyunun
hangi
karar
noktasına
ulaşıp
ulaşmadığını
bilmeyen
bir
oyuncunun karar noktaları bütünüdür.
Tüm bilgi kümesinin tek karar noktalarından oluştuğu oyunlar,
tam bilgiye dayalı oyunlar olarak ifade edilmektedir. Eğer bazı
oyunlarda karar noktaları tek değilse, eksik bilgiye dayalı
oyunlar söz konusudur.
141
Şekil 10, piyasaya giriş oyununun eşanlı-hareket durumunu
göstermektedir. Bu, eksik bilgiye dayalı statik oyunun yaygın
biçimdeki gösterimidir. Kesikli çizgi, 2. oyuncu için bir bilgi
kümesidir. Kesikli çizgi, 2. oyuncunun piyasaya giriş yapma ya
da yapmama kararlarından birini seçeceği bir karar noktasında
bulunduğunu, ancak 1. firmanın hangi kararı almış olduğunu
bilmediğini göstermektedir. Şekil 11, Şekil 10’un alternatif bir
gösterimidir. Her iki şekilde özdeştir.
142
Şekil 10. Eşanlı Yatırım Oyunu: I
1
E
Q
S
2Q
E
Q
− L, − L
Q
S
E
Q
Q
Π, 0
0, Π
2
S
Q
0, 0
143
Şekil 11. Eşanlı Yatırım Oyunu: II
2
E
Q
S
1Q
E
Q
− L, − L
Q
S
E
Q
Q
Π, 0
0, Π
1
S
Q
0, 0
144
Belirsizlik ve Tesadüfi Durumlara Göre Hareket
Yeniden yukarıdaki piyasaya giriş örmeğimizi dikkate alalım ve
potansiyel
tüketici
talebinde
bir
belirsizlik
olduğunu
varsayalım. İki piyasa ölçeği dikkate alalım. Büyük ölçekli
piyasa (L) ve orta ölçekli piyasa (M).
145
Büyük ölçekli piyasaya her iki firmanın da giriş yaparak pozitif
kâr elde edebileceğini; orta ölçekli piyasada ise yalnızca bir
firmanın pozitif kâr elde edebileceğini varsayalım.
piyasa olma olasılığını;
göstersin.
q , büyük
1-q , orta ölçekli piyasa olma olasılığını
146
Şekil 12-15, bu oyunun dört olası durumunu göstermektedir.
İlk iki şekil dizimsel oyunu (1. oyuncu ilk karar veren ve
açıklayandır), diğer ikisi eşanlı oyunu betimlemektedir. Sonuç
noktalarında pozitif kazançlar (+), zarar (-) ile simgelenmiştir.
Şekil 12, tüm bilgi kümelerinin tek karar noktasından oluştuğu
bir durumu göstermektedir. Bu nedenle, bu oyunda:
147
1. Piyasa büyüklüğü (ölçeği) tesadüfi olarak belirlenmektedir.
2. Firmalar piyasa büyüklüğünü (L ya da
M) öğrenmektedir.
3. 1. firma piyasaya giriş (E) ya da piyasa dışında kalma (S)
seçeneklerinden birini seçmektedir.
4. 2. firma, 1. firmanın kararını öğrendikten sonra piyasaya
girme ya da dışında kalmaya karar vermektedir.
148
Şekil 12. Tesadüfi (Bilinen) Talep
N
q
Q
1− q
M
L
1Q
Q
S
E
2Q
E
E
S
E
2Q
2Q
S
1
S
E
Q
Q
Q
Q
Q
+, +
+ ,0
0, +
0,0
−, −
2Q
S
Q
E
Q
+ ,0 0, +
S
Q
0,0
149
Şekil 13 firmaların yine dizimsel seçim yaptıkları, ancak bu
sefer piyasa büyüklüğünü bilmeden karar aldıkları bir oyunu
göstermektedir. Bu durumda 1. firma için iki karar noktası tek
bilgi kümesi anlamına gelir. 2. firma içinse iki bilgi kümesi
vardır. Bunlardan birisi, 1. firmanın piyasaya girmesi (ancak
piyasa
kalması
büyüklüğünü
(yine
oluşmaktadır.
piyasa
bilmiyor),
ikincisi
büyüklüğünü
de
piyasa
bilmiyor)
dışında
durumlarında
150
Şekil 13. Tesadüfi (Bilinmeyen) Talep
N
q
Q
1− q
M
L
1Q
Q
S
E
2Q
E
E
S
E
Q2
2Q
S
1
S
Q
E
S
Q
Q
Q
Q
Q
Q
+, +
+ ,0
0, +
0,0
−, −
E
Q
+ ,0 0, +
2
S
Q
0,0
151
Şekil 14. Eşanlı Hareketler ve Bilinen Talep
N
q
Q
1− q
M
L
1Q
Q
S
E
2Q
E
E
S
E
Q
S
1
2Q
2
S
E
Q
Q
Q
Q
Q
+, +
+,0
0, +
0,0
−, −
Q
S
Q
E
Q
+,0 0, +
2
S
Q
0,0
152
Şekil 15. Eşanlı Hareketler ve Bilinmeyen Talep
N
q
Q
1− q
M
L
1Q
Q
S
E
Q
E
E
2
2
Q
Q
S
S
E
2
2
1
S
E
Q
Q
Q
Q
Q
+, +
+,0
0,+
0,0
−, −
Q
S
Q
E
Q
+,0 0,+
S
Q
0,0
153
Yayvan Biçimli Oyunlarda Denge
Statik oyunlarda olduğu gibi, dinamik oyunlarda da Nash
dengesi vardır. Ancak çok zayıf olması nedeniyle, dinamik
oyunların çözümünde Nash dengesi kavramını kullanamayız.
Nash dengesinin çok zayıf olmasından, bazı yayvan oyunların
anlamsızlığını kastediyoruz.
Anlamlı ve anlamsız Nash dengesini ayırt edebilmek için, altoyun
kavramını
tanımamız
ve
stratejiyi tanımlamamız gerekir.
yayvan
biçimli
bir
oyunda
154
Alt-Oyunlar
Bir oyunun bir bölümü olan alt-oyun, şu özelliklere sahiptir:
1. Tek bir bilgi kümesine sahip bir karar noktasında başlar.
2. Başlangıç karar noktasından sonra, asıl oyunun tüm karar
noktalarını ve dallarını kapsar.
3. Asıl oyunun hiçbir bilgi kümesini kesmez.
155
Şimdi yukarıda verdiğimiz alt-oyun tanımına bakarak, önceki
örneklerimizde yer alan alt oyunları görebiliriz. Örneğin, Şekil
12’de altı tane alt-oyun vardır. İki tanesi 1. firmanın her bir tek
karar noktasında, Dört tanesi 2. firmanın her bir tek karar
noktasında. Şekil 13’de yalnızca 1. firmanın her bir tek karar
noktasında olmak üzere iki tanedir.
156
Şekil 13 ve 14’de tek karar noktaları bulunmadığından, alt-oyun
yoktur. Üçüncü özelliği vurgulamak açısından, piyasaya giriş
oyununun son bir olası durumunu dikkate alalım. 1. firmanın
piyasa büyüklüğünü öğrendiğini, ancak 2. firmanın ne piyasa
büyüklüğünü ne de 1. firmanın kararını bilmediğini varsayalım.
1. firma için tek karar noktası vardır. Fakat asıl oyunun altoyunu yoktur. Bu, Şekil 16’da gösterilmiştir.
157
Şekil 16. Birinci Firma İçin Tam, İkinci
Firma İçin Eksik Bilgi Altında Oyun
N
q
Q
1− q
M
L
1Q
Q
S
E
Q
E
E
2
2
Q
Q
S
S
E
2
2
1
S
E
Q
Q
Q
Q
Q
+, +
+ ,0
0, +
0,0
−, −
Q
S
Q
E
Q
+ ,0 0, +
S
Q
0,0
158
Stratejiler
Eşanlı hareketli bir oyunda strateji, doğrudan yapılan eylemdir.
Örneğin Cournot duopol modelinde firmanın stratejisi, üretim
miktarının
seçilmesiydi.
Buna
karşın
dinamik
oyunlarda
oyuncular yalnızca bir eylemi değil, aynı zamanda karşı eylemi
de
gerçekleştirirler.
Aynı
zamanda,
oyunun
ilerleyen
aşamalarında oluşabilecek tüm durumlarda nasıl bir karşı
eylemde
bulunacağını
da
planlar.
Dolayısıyla
oyunda strateji tanımı, bu unsurları içerir.
dinamik
bir
159
Buna göre dinamik oyunda strateji;
Bir oyuncunun oyun ağacındaki tüm olası karar noktalarını
dikkate aldığı eylemleri tanımlayan geniş kapsamlı bir plandır.
Bu tür bir plan oyunun kronolojik sürecine bağımlı olabilir ve
karma stratejileri içerebilir.
160
Yayvan biçimli bir oyunda strateji kavramını, farklı bir piyasaya
giriş oyunuyla görelim. 1. firma hali hazırda piyasada faaliyet
gösteriyor olsun. 2. firma ise piyasaya giriş yapıp yapmama
kararını verecektir. 2. firmanın piyasaya giriş kararı karşısında,
1. firma yüksek fiyat (H) ve düşük fiyat (L) stratejilerini
seçebilecektir.
161
Şekil
17’de
bu
oyun
yer
almaktadır.
2.
firma
bir
karar
noktasına, iki de eyleme sahiptir. Strateji seçimleri piyasaya
giriş (E) ve piyasa dışında kalmaktır (S). 1. firma iki eyleme (H
ya da
L), dört stratejiye sahiptir. Tüm olasılıklar çerçevesinde
bir strateji, bir eylem tanımlar.
162
Burada 1. firma için bir strateji, bir çift olası eylem demektir:
Birincisi 2. firma piyasaya giriş yaparsa, ikincisi de piyasa
dışında kalırsa ortaya çıkmaktadır. 1. firma için olası strateji
kümesini yazalım:
S1 = {( H , H ) , ( H , L ) , ( L, H ) , ( L, L )}
163
Şekil 17. İkinci Firmanın Yatırım Kararı
Ardından Birinci Firmanın Fiyatlama Kararı
2
Q
E
S
1Q
H
Q
+, +
Q
H
L
Q
−, −
1
L
Q
Q
+, 0
−, 0
164
Alt-Oyun Tam Nash Dengesi
Nash dengesinin dinamik oyundaki tanımı, statik oyundakiyle
aynıdır: Eğer oyuncular farklı bir strateji seçmek için bir neden
görmüyorlarsa, bu durum Nash dengesidir. Nash dengesini
bulabilmek için normal biçimli bir oyundan yararlanalım.
165
Kazanç matrisi şöyledir:
2. Firma
H
1. Firma
H
L
L
E
H ⎡+, +
⎢
L ⎢+, +
⎢
H ⎢ −, −
⎢
L ⎢⎣ − , −
S
+, 0⎤
⎥
−, 0 ⎥
⎥
+, 0⎥
⎥
− , 0 ⎥⎦
166
Yukarıdaki kazanç matrisinde her bir oyuncunun rakibinin
strateji seçimi karşısındaki en iyi tepkisi altı çizgili (renkli)
gösterilmiştir.
Aynı
dengesidir. Bunları
anda
altı
çizili
olan
üç
E1, E2 ve E3 olarak gösterelim.
1. Firma
2. Firma
E1 :
(H , H )
E
E2 :
( H , L)
E
E3 :
( L, H )
S
seçim,
Nash
167
Bu oyunda üç Nash dengesi olmasına karşın,
E2 ve E3 sorunlu
dengelerdir. Şekil 17’yi yeniden inceleyerek bunu görebiliriz. 2.
firma piyasaya giriş kararı aldığında, 1. firma için en iyi alt-
oyun yüksek fiyat uygulamaktır. Aynı durum, 2. firma piyasa
dışında kalmaya karar verdiğinde de geçerlidir.
168
Dolayısıyla her iki alt-oyunda da
H başattır. Ancak E2 ve E3
Nash dengesi olmakla beraber, potansiyel olarak başat-altı
oyunları
da
(düşük
fiyatlama)
içermektedir.Her
hangi
bir
nedenle 2. firma kendisi için en iyi olan stratejiden sapma
gösterirse, 1. firmanın rasyonel seçim yapması olanak dışı olur.
169
Asıl
oyunun
tüm
alt
oyunlarında
bir
strateji
kümesine
dayanarak yapılan eylemler Nash dengesine yol açıyorsa,
yayvan biçimli oyundaki bu strateji kümesi alt-oyun tam Nash
dengesidir.
Statik oyunlar için kullandığımız Nash dengesi kavramını,
dinamik
oyunlarda
alt-oyun
tam
Nash
dengesi
olarak
kullanıyoruz. Bir tam bilgiye dayalı oyunda geriye doğru
tümevarım
tekniğiyle,
alt-oyun
tam
Nash
dengesi
aynı
şeylerdir. Dinamik oyunlar, karma strateji dengesine sahip
olabilirler.
170
Alt-Oyun Tam Nash Dengesi için Örnek
Şimdiki örneğimiz iki oyunculu, sürekli değişkenler içeren bir
biçime sahiptir. Oyunun kurgusu şöyledir:
1. 1. oyuncu x1 eylemini seçer.
2. 2. oyuncu bunu izler ve ardından x2 eylemini seçer.
3. Oyuncular
П1(x1,x2) ve П2(x1,x2) fonksiyonlarınca tanımlanan
kazançları elde ederler.
171
Bu
problemi çözmek için, asıl oyunun alt-oyunu olan 2.
oyuncunun
x2 seçimiyle başlarız. 2. oyuncunun kazancının
maksimizasyonu problemini çözeriz. 2. Oyuncu için birinci sıra
koşul:
∂Π 2 ( x1 , x2 )
=0
∂x 2
172
Bu denklemin çözümünden,
yonunu
sonra,
bulabiliriz.
1.
2.
oyuncunun
x2* = R2 ( x1 ) biçimindeki tepki fonksi-
oyuncunun
kararına
stratejisini
bakarız.
Ortak
belirledikten
rasyonellik
varsayımını benimsersek, 1. oyuncu, 2. oyuncunun rasyonel
seçim yapacağını düşünecektir. Buna göre 1. oyuncunun kazanç
fonksiyonunu ve birinci sıra koşulu yazalım:
Π 1 ( x1 , x2* ) = ( x1 , R2 ( x1 ) )
d Π 1 ( x1 , R2 ( x1 ) )
dx1
∂Π 1 ∂Π 1 ∂R2
=
+
=0
∂x1 ∂x2 ∂x1
173
Yukarıdaki birinci sıra koşul iki etkiyi barındırmaktadır. Birinci
terim
statik
oyun
dengesi
(eşanlı),
ikinci
terim
dizimsel
seçimlere sahip dinamik oyun dengesini yansıtmaktadır.
Şimdi
daha önce verdiğimiz bir örnekteki sayısal kazanç
fonksiyonlarını kullanarak açık çözüm elde edelim.
174
Π 1 = 10 x1 − x12 − x1 x2 − 3 x1
Π 2 = 10 x2 − x − x1 x2 − 2 x1
2
2
Statik oyundaki en iyi tepki fonksiyonları şöyleydi:.
x1 = R1 ( x2 ) =
x =2 ,
*
1
1
2
( 7 − x2 )
Π1 = 4
,
, x2 = R2 ( x1 ) =
x =3 ,
*
2
1
2
( 8 − x1 )
Π2 = 9
175
Şimdi de ilk olarak 1. oyuncunun oyuna başladığı bir dinamik
model düşünelim. Statik oyunda elde ettiğimiz (2. oyuncuya
ait) tepki fonksiyonu, 2. oyuncunun strateji kuralını oluşturur.
Bu fonksiyonu 1. oyuncunun kazanç fonksiyonuna uygulayarak,
denge değerini bulabiliriz.
176
Π 1 = 10 x1 − x − x1 x2 − 3 x1
2
1
Π 1 ( x1 , R2 ( x1 ) ) = 10 x1 − x12 − x1 ⎡⎣ 12 ( 8 − x1 ) ⎤⎦ − 3 x1
Π 1 ( x1 , R2 ( x1 ) ) = 3 x1 − x
1
2
d Π 1 ( x1 , R2 ( x1 ) )
dx1
x1* = 3 ,
2
1
= 3 − x1 = 0
Π 1 = 4.5
,
x2* = 2.5 ,
Π 2 = 6.25
177
Statik ve dinamik oyunların sonuçlarını karşılaştırdığımızda,
dinamik
oyunda
1.
oyuncunun
oyuna
ilk
başlayan
olma
avantajıyla daha iyi bir sonuç elde ettiğini görebiliriz. Ancak
buradaki sonuçtan, tüm oyunlarda ilk hareket eden olmanın
avantaj sağladığı sonucunu çıkaramayız. Sonuçlar, oyunun
yapısına bağlıdır.
178
İki Aşamalı Oyunlar
İki aşamalı oyun, bir oyunun diğerini izlediği biçimde bir
oyundur. İktisadi uygulamalara baktığımızda, genellikle ilk
oyun aşamayı ya da oyun ortamını oluşturur; ikinci aşamada da
oyun oynanır. Örneğin ilk aşamada firmalar ürün kalitesini,
ikinci aşamada da fiyatı belirlerler. Bir başka örneği de dış
ticaretten verebiliriz. İlk aşamada hükümet, dış ticarete katılan
firmalar için birinci aşama (ya da çevresel koşullar) olan dış
ticaret politikasını belirler, ikinci aşamada firmalar ihracat ve
ithalat kararlarını verirler.
179
Şimdi her aşamada eşanlı, ancak aşamalar arasında dizimsel
olan oyunlar üzerinde duracağız. Hareketlerin de kesikli değil,
sürekli olduğunu varsayıyoruz. İlk aşamada 1. ve 2. oyuncular
sırasıyla
x1 ve x2 seçimlerini yaparlar. 3. ve 4. oyuncular bu
seçimi izledikten sonra, ikinci aşamada eşanlı olarak kendi
seçim kararlarını (x3 ve x4) verirler.
180
Alt-oyunun tamlığı, asıl oyunda dengenin var olabilmesi için,
ikinci aşamadaki alt-oyunda da Nash dengesinin var olmasını
gerektirir. İkinci aşama alt-oyunu
x1 ve x2 seçimlerini veri
almaktadır. Bu nedenle 3. ve 4. oyuncular, kendi kazanç
fonksiyonlarını maksimize edecek olan
gerçekleştirirler.
x3 ve x4 seçimlerini
181
Π 3 = Π 3 ( x1 , x2 , x3 , x4 )
Π 4 = Π 4 ( x1 , x2 , x3 , x4 )
∂Π 3
=0
∂x 3
,
∂Π 4
=0
∂x 4
x = R3 ( x1 , x2 ) ,
*
3
x = R4 ( x1 , x2 )
*
4
182
Burada dikkati çeken nokta,
x1 ve x2 seçimleri içsel olmakla
beraber, x3 ve x4 seçimleri yıldız (asteriks) işaretiyle gösterilmiş
olmasıdır. Bu sanal sıkıntıyı aşmanın yolu, yeniden birinci
aşamaya
dönerek,
maksimizasyonunu,
1.
x3*
ve
ve
x4*
2.
oyuncular
için
veriyken belirlemektir.
kazanç
183
Π 1 = Π 1 ( x1 , x2 , R3 ( x1 , x2 ) , R4 ( x1 , x2 ) )
Π 2 = Π 2 ( x1 , x2 , R3 ( x1 , x2 ) , R4 ( x1 , x2 ) )
d Π 1 ∂Π 1 ∂Π 1 ∂R3 ∂Π 1 ∂R4
=
+ *
+ *
=0
dx1
∂x1 ∂x3 ∂x1 ∂x4 ∂x1
d Π 2 ∂Π 1 ∂Π 1 ∂R3 ∂Π 1 ∂R4
=
+ *
+ *
=0
dx2
∂x 2 ∂x 3 ∂x 2 ∂x 4 ∂x 2
184
1. ve 2. oyuncular arasında oynanan basit statik oyunla, birinci
aşamada seçim yapılan dinamik oyun arasındaki farka dikkat
edelim.
Dinamik
oyun,
birinci
aşamadaki
oyuncuların
kararlarının, ikinci aşama kararları üzerindeki dolaylı ya da
stratejik etkilerini içerir.
185
Tüm
oyunun
çözümü,
dört
oyuncunun
da
birinci
sıra
koşullarından elde edilen stratejileri sağlayan alt-oyun tam
Nash dengesidir. Bu dengeyi şöyle yazabiliriz:
{
E = x , x , x = R3 ( x , x ) , x = R4 ( x , x
*
1
*
2
*
3
*
1
*
2
*
4
*
1
*
2
)}
186
Yinelenen Oyunlar
Yinelenen oyunlar, bir başka önemli oyunlar türüdür. Örneğin
tutsaklar açmazı ya da Cournot duopol modelini yeniden
dikkate alalım. Bu oyunlar, bir statik oyunda oyuncuların
birbirlerini bir kerelik etkilemelerine izin vermektedir.
187
Gerçek iktisadi yaşamda oyun belirli bir dönemde oynanmasına
karşın,
alınan
kararların
etkileri
izleyen
dönemlerde
de
sürebilmektedir. Yani statik oyunun yinelenen oyunlarından
oluşan bir dinamik oyundan söz ediyoruz. Yinelemeler, izleyen
oyunlarda yeni beklentilerin oluşmasına yol açması bakımından
önemlidir.
188
Örneğin tutsaklar açmazında
her bir oyuncunun önünde iki
strateji vardır: işbirliği yapmak ya da işbirliğinden kaçınmak.
Yinelenen tutsaklar açmazında, strateji uzayı daha karmaşıktır.
Bir oyuncu, diğer oyuncunun geçmişte verdiği kararların etkisi
altındadır.
189
Şimdi
G olarak adlandıracağımız bir statik oyunu dikkate alalım.
G(T), T kere yinelenen bir dinamik oyun olsun. Örneğin G
oyununu iki oyunculu bir tutsaklar açmazı olarak düşünelim.
Kazanç matrisi şöyledir:
2. Oyuncu
1. Oyuncu
C
C ⎡ R, R
⎢
D ⎢⎣W , L
D
L, W ⎤
⎥
P , P ⎥⎦
190
C, işbirliği yapma; D, işbirliğinden kaçınma; R, ödül; L, kayıp,
W, kazanma; P, ceza olarak kullanılmıştır. Aynı zamanda şu
eşitsizliklerin de sağlanması gerektiğini varsayalım:
W > R> P> L
,
W +L
R>
2
191
Yukarıdaki
ilk
eşitsizlik
tutsakların
çıkmazı
oyununu
tanımlamakta, ikincisi de oyuncunun işbirliğine gitmekle elde
edeceği kazancının, işbirliği ve işbirliğinden kaçınma kararları
arasında değişikliğe gitmekle elde edeceği kazancını aşacağını
söylemektedir. Daha önce ele aldığımız statik oyunda her iki
tutsak için işbirliğinden kaçınmak tek Nash dengesiydi.
192
Şimdi oyunun
T sayıda yineleme ile oynandığını varsayalım ve
son dönemi dikkate alalım. Artık bu dönemde iki tutsağın
birbiriyle
işbirliğine
girip
girmeyeceği
davranışlarının
ne
olacağının bir önemi yoktur. Yani adete bir statik tutsak çıkmazı
oyunuyla karşı karşıyayızdır. Bu nedenle her iki tutsak için de
bu
alt
oyunun
seçimidir.
dengesi,
işbirliği
yapmamak
stratejilerinin
193
Şimdi de
(T)
T-1 dönemini dikkate alalım. Tutsaklar son dönemde
işbirliğine
girmeyeceklerinden,
T-1
dönemi
için
de
işbirliğine gitmemek davranışı tek dengedir. Bu süreci geriye
doğru
tümevarım
dinamik
oyunun
tekniğiyle
alt-oyun
götürürsek,
tam
Nash
tüm
dönemlerde
dengesinin
yapmamak stratejisi olduğunu söyleyebiliriz.
işbirliği
194
Teorem 4:
G, T kere yinelenen bir statik oyun olsun. G tek
Nash dengesine sahipse, tek alt-oyun tam Nash dengesi, tüm
dönemlerinde
G ’nin bu statik denge stratejisini oynamaktır.
T
195
Eğer
yinelenen
oyunun
zaman
ufku
sınırsızsa,
gelecekte
oluşacak kazançların bugünkü değerine indirgenmesi gerekir.
Sınırsız zaman ufkunda yinelemeli bir oyunda bir oyuncunun
kazancı, her bir dönemde elde edilen kazançların toplamının
bugünkü değeridir.
196
Oyuncunun
oranına da
t döneminde elde ettiği kazanca Πt ve indirgeme
δ diyelim. Buna göre bugünkü değer:
∞
V = ∑ δ Πt
t =0
t
,
1
δ=
<1
1+ r
197
Sınırsız zaman ufkuna sahip bir oyunda son dönem belirli
olmadığından, denge değerine geriye doğru tümevarım yoluyla
ulaşamayız. Bunun yerine, şimdi tanımlayacağımız farklı bir
yöntem kullanırız. Bu yöntemde stratejiyi, her bir
yaptıklarının özeti olarak tanımlayabiliriz. Yani
t döneminde
t dönemindeki
durum, oyuncunun tüm geçmiş davranışlarını göstermektedir.
198
Ancak dengenin bu şekildeki aranışı bizi sonsuz sayıda dengeye
götürebilir. Bu türden sorunlardan uzak kalmak için genellikle
belirli bir sonuca odaklanırız. Örneğin Pareto optimal sonuca
göre, herkesin kazancını aynı anda artıramayız. Tutsaklar
açmazı
oyunu
açısından
bakarsak
bu,
tutsakların işbirliğine girmesi demektir.
her
bir
dönemde
199
İlk olarak iki oyunculu bir pazarlık modelini inceleyelim.
Örneğin firmalar ile sendikalar arasındaki ücret pazarlık süreci.
Önce ister al ister alma biçiminde bir sürece bakalım. Ardından,
bir anlaşmaya ulaşıncaya kadar kıyasıya bir pazarlığı ele alalım.
İkinci uygulama olarak dış ticaret teorisi çerçevesinde iki
aşamalı bir oyuna bakıyoruz. Üçüncü uygulamamız, önce birinci
firmanın ve ardından ikincinin karar aldığı bir duopol piyasada
liderlik konusu inceleniyor. Son olarak statik oligopol teori,
yinelemeli oyun olarak ele alınıyor.
200
Dizimsel Pazarlık Modeli
Bu
oyunda
oyuncular,
vermektedirler.
Ortak
önerilerini
bir
girişim
zaman
içinde
yapacak
olan
peşi
iki
sıra
firma
düşünelim. Her bir firma teknolojisi ya da uzmanlığıyla bu
girişime
katılabilir
ve
girişimin
başarısında
etkili
olabilir.
Girişimin belirli bir kâr sağladığını ve bunu firmaların bildiğini
varsayalım. Firmalar açısından sorun, bu kârın nasıl paylaşılacağıdır. Firmalar paylaşımda anlaşabilirlerse, girişim gerçekleşir, aksi halde iptal edilir.
201
Pazarlık modelinin ilk dönemini ele alalım.
x ve y oyuncularının
bir liralık bir kazancı pazarlık yoluyla nasıl paylaşacaklarına
bakalım.
t0 anında x ’in s0 kadar bir pay alma önerisinde
bulunduğunu varsayalım. Buna göre y, 1-s0 kadar pay alacaktır.
bu
öneriyi
kabul
ederse,
bu
kazanç
paylaşımı
y
üzerinde
anlaşırlar. Reddederse, anlaşma olmaz ve oyun t1 döneminde
yeniden başlar. Ancak t1 dönemindeki kazancın, indirgenmesi
gerekir. Bu, anlaşma geciktikçe, taraflara bir yük gelmesi
demektir.
202
Şekil 18, bu oyunu göstermektedir.
A, önerinin kabulünü, R
reddini ifade etmektedir. Oyunu çözmek için geriye doğru
tümevarım yöntemini kullanalım. Son karar noktasında oyuncu
y, x’in önerisini kabul ederse 1-s0 , reddederse δΠy kadar
(indirgenmiş) kazanç elde eder. Eğer,
1 − s0 ≥ δΠ y
olursa, oyuncu
→
s0 ≤ 1 − δΠ y
y öneriyi kabul edecektir.
203
Şekil 18. Bir Dönemlik Pazarlık Modelinin
Oyun Ağacı
x
Q
s0
y
Q
R
δΠ x , δΠ y
Q
A
Q
s0 ,1 − s0
204
Şekil 19, oyuncu
y ’nin seçim kuralına göre budanmış olan oyun
ağacını göstermektedir. Oyuncu
x kendisi için s0 > 1 − δΠ y payını
isterse, önerisi reddedilmektedir.
edilmektedir.
durumu kabul
x kabul edilecek bir öneri götürürse, x açısından
s0 = 1 − δΠ y
optimal öneri
dengesidir ve
s0 ≤ 1 − δΠ y
‘dir. Bu nedenle, bu öneri oyunun
x ile y sırasıyla, 1 − δΠ y , δΠ y kazançlarını
etmektedirler.
elde
205
Şekil 19. Bir Dönemlik Pazarlık Modelinin
Budanmış Oyun Ağacı
x
Q
s0 = 1 − δΠ y
yQ
s0 > 1 − δΠ y
Q
A
y
R
Q
1 − δΠ y , δΠ y
Q
δΠ x , δΠ y
206
Şimdi bir uç durum dikkate alalım. Eğer
tüm kazancı alır:
s0 = 1
. Bu durum,
Π x = Π y = 0 olursa, x
y çok zayıf bir pazarlık
gücüne sahipse gerçekleşir. Diğer uç durum,
bugünkü değer (
δΠ y )
ölçüsünde,
Π x = Π y = 1 ‘dir. y
x bugünkü değerden daha
büyük bir kazanç elde eder:
s0 = 1 − δΠ y = 1 − δ(1 − Π x ) = (1 − δ ) + δΠ x > δΠ x
207
İki Dönemli (İki Önerili) Bir Pazarlık Modeli
Bu
modelde
bulunduğunu
oyuncuların
varsayıyoruz.
öneriler
Peşi
yapabilme
sıra
fırsatlarının
oluşacak
hareketler
şöyledir:
1. x, s0 kadar bir öneri yapar.
2. y bunu kabul ederse oyun biter, reddederse oyun sürer.
3. y , s0 önerisini reddederse, x ’e s1 önerisini götürür.
208
4.
x , y ’nin karşı önerisini kabul ya da reddeder.
5.
x karşı öneriyi reddederse, x’in s , y’nin de 1-s kadar bir
dışsal pay aldıkları bir paylaşımla oyun biter.
209
5. aşamada kazancın zaman içinde azalmadığı varsayılmıştır.
Ancak ödemelerin bugünkü değeri azalacaktır. Bu oyunun
ağacı, Şekil 20’dedir.
Çözüm geriye doğru tümevarım yöntemiyle yapılmaktadır. Son
karar noktasında
x ,
s1 ≥ δs
gibi bir öneriyi kabul eder.
gereğinden fazla bir miktar önermeyeceğinden, s1
= δs
y,
önerisi
olarak gerçekleşir. Şekil 20, son iki kararı çözdükten sonra
çizilmiştir. Bir sonraki aşamada,
görmeyeceğine bakıyoruz.
s0 önerisinin kabul görüp
Şekil 20. İki Dönemlik Pazarlık Modelinin
Oyun Ağacı
x
Q
s0
yQ
R
yQ
s1
xQ
R
Q
δ 2 s , δ 2 (1 − s)
A
A
Q
s0 ,1 − s0
Q
δs1 , δ(1 − s1 )
210
211
Şu koşullar gerçekleşirse, y, (1-s0) önerisini kabul eder:
1 − s0 ≥ δ ( 1 − δs )
→
s0 ≤ 1 − δ + δ s
2
s0 ’ın maksimum değeri (δ2s), x ’in başlangıç önerisinden gelen
kazancını aşar. Denge,
lırsa ve bu
x tarafından s0* = 1 − δ + δ 2 s önerisi yapı-
y tarafından kabul edilirse gerçekleşir. x ve y ’nin
kazançları da sırasıyla şöyledir:
1 − δ + δ2 s
,
δ + δ2 s
212
s=
1
2
fazla,
ise, pazarlık sürecinin denge sonucuna göre
x yarıdan
y yarıdan az kazanç elde eder:
s0* ≥ 1 − s0*
1 − δ + δ2 s ≥ δ + δ2 s
→
1 − δ + 12 δ 2 ≥ δ + 12 δ 2
1 − 2δ + δ ≥ 0
2
Son aşamada dışsal paylaşım eşit olsa da, kazançlar bugünkü
değere indirgendiğinde,
olacaktır.
x daha yüksek bir kazanca sahip
213
Dinamik pazarlık modelindeki son örnek modelimiz, oyuncuların
bir
anlaşmaya
varılıncaya
kadar
birbirine
sürekli
öneriler
getirdiği bir durumdur. Öneri sayısında herhangi bir sınır
yoktur; oyun bir sınırsızlığa sahip olabilir. Ancak ilk öneri kabul
edilirse, oyun başlar başlamaz sona erer. Şekil 21, iki dönemli
bir pazarlık sürecini, son aşamadaki kazanç noktaları çıkarılmış
biçimiyle sunmaktadır. Oyunun bu kısmına
G diyelim. Sınırsız
bir yinelemeli oyunda, sonsuz sayıda yineleme peşi sıra gelir:
G(∞).
214
Şekil 21. Yinelenen Pazarlık Oyununun Bir Aşaması
x
Q
s0
y
R
yQ
s1
xQ
Q
R
Q
A
A
Q
s0 ,1 − s0
Q
δs1 , δ(1 − s1 )
215
Çözüm yöntemi olarak geriye doğru tümevarımı kullanamayız.
Bu nedenle, oyunu ilk ele alış biçimimizdeki gibi,
s ve 1-s
oyuncuların dengedeki kazancını göstersin. Şimdi ikinci biçime
gidelim ve oyuncuların peşi sıra öneriler yaptığını varsayalım.
Eğer
bir
anlaşmaya
sürdürürler. Kazançları
varamazlarsa,
s ve 1-s olur. Ancak diğer yandan iki
dönemli pazarlık modelinde
sırasıyla 1 − δ + δ 2 s ve
G(∞) sürecinde oyunu
x ve y’nin denge kazançlarını
δ + δ 2 s olarak elde etmiştik.
216
Aynı modelde görünürdeki bu iki farklı sonuç sıkıntısından
kurtulmak için şunu kullanalım:
’nin
s = f ( s ) ya da G(∞) oyunu ile G
G(∞) oyununu izlemesi özdeş oyunlardır. Buna göre, her iki
sonucun
da
kazançları
aynıdır,
matematiksel olarak çözelim:
Bu
denklemi,
s*
için
217
s = f ( s) = 1 − δ + δ2 s
1− δ
s=
2
1− δ
Bu sonuca göre,
→
→
2
1
−
δ
(
) s = 1− δ
1
s =
1+ δ
*
x ’in önerdiği ve y ’nin kabul ettiği s* yinelemeli
oyunun dengesidir. Sınırsız bir yineleme söz konusu olsa da, ilk
önerinin avantajı devam edecektir. Göreli kazançlar, indirgeme
oranına bağlıdır.
218
İndirgeme
kazancından
oranı
1’den
yüksektir.
küçükken,
İki
öneri
x
’in
kazancı
arasındaki
zaman
küçüldükçe faiz oranı sıfıra, indirgeme oranı da
y
’nin
dilimi
1’e yaklaşır.
Dolayısıyla her iki oyuncunun kazançları eşitlenme eğilimine
girer.
219
Yukarıda ele aldığımız pazarlık modeli, tümel bilgi varsayımı
üzerine
kuruludur.
Yani
oyuncular
birbirlerinin
kazanç
fonksiyonlarını bilmektedirler. Ancak gerçek dünyada genellikle
bu bilgiler ya eksiktir ya da asimetriktir (bakışımsız). Örneğin
bir firma ile işçi sendikası arasındaki ücret pazarlığı sürecinde
firma, gelecek dönemdeki talep ve kârlar konusunda daha çok
bilgiye sahip olabilir. Dolayısıyla firma daha iyi bir pazarlık
gücü yakalayabilir.
220
Dış Ticaret Politikası ve Oligopol
Burada oligopol piyasadaki ihracat desteğini, iki aşamalı bir
oyun çerçevesinde ele almaktayız. Birinci aşamada hükümet dış
ticaret
politikasını
oluşturmakta,
ikinci
aşamada
firmalar
yapacakları ihracata karar vermektedirler. Oyunu geriye dönük
tümevarımla çözüyoruz. Bu model için aşağıdaki varsayımları
yapıyoruz.
221
1. Üç ülke vardır:
2.
X, Y ve Z.
X ve Y ülkelerinde, homojen mal üreten birer firma vardır (x
ve
y firmaları). Z ülkesinde üretim yoktur.
3. Her bir firmanın toplam maliyet fonksiyonu:
TC i = ci qi
, i = x, y
.
222
4.
X ve Y ülkelerinde mal tüketimi yoktur. Tüm üretim Z ’ye
ihraç edilmektedir.
P = a−Q ,
Q = qx + q y
5.
Z ’deki talep fonksiyonu:
6.
X ve Y ülkeleri, birim ürün başına ihracat desteği (sx ve sy)
uygulamaktadır.
uygulamaktadır.
Z ülkesi tamamen serbest dış ticaret
223
Yukarıdaki
varsayımlara
göre
x
ve
y
firmalarının
kâr
fonksiyonlarını şöyle yazabiliriz:
(
)
(
)
Π x = Pq x − c x q x + s x q x = a − q x − q y q x − c x q x + s x q x
Π y = Pq y − c y q y + s y q y = a − q x − q y q y − c y q y + s y q y
224
Birinci sıra koşullar:
∂Π x
= a − 2q x − q y − c x + s x = 0
∂q x
∂Π y
∂q y
= a − 2q y − q x − c y + s y = 0
225
Birinci sıra koşulları çözelim:
q =
*
x
q =
*
y
a − 2c x + 2 s x + c y − s y
3
a − 2c y + 2 s y + c x − s x
3
Q =q +q =
*
*
x
*
y
P = a−Q =
*
*
2a − c x − c y + s x + s y
3
a + cx + c y − sx − s y
3
226
Bu çözümler, firmalar için ikinci aşamadaki dengelerdir. Birinci
aşamada ülke hükümetleri, iktisadi refah düzeyini maksimize
edebilmek için dış ticaret politikasını belirlemektedirler. Her bir
ülkenin
mal
ihracatından
elde
ettiği
özel
kazanç,
firma
kârlarıdır. Tüm ülkedeki net refah artışını ise, toplam kâr
düzeyinden toplam ihracat desteğini düşerek buluruz.
227
X ve Y ülkelerinin iktisadi refah fonksiyonları:
Wx = Π x − sx qx = ( P − cx + sx ) qx − sx qx = ( P − cx ) qx
(
)
(
)
W y = Π y − s yqy = P − c y + s y qy − s yqy = P − c y qy
228
İkinci aşamada elde ettiğimiz optimal değerleri, bu refah
fonksiyonlarındaki
tümüyle
yerlerine
parametrelere
ve
yazarak,
refah
fonksiyonlarını
dış
ticaret
politikalarına
bağlayabiliriz:
⎛ a − 2c x + c y − s x − s y ⎞ ⎛ a − 2c x + 2 s x + c y − s y ⎞
Wx = ⎜
⎟⎜
⎟
3
3
⎝
⎠⎝
⎠
⎛ a − 2c y + c x − s y − s x ⎞ ⎛ a − 2c y + 2 s y + c x − s x ⎞
Wy = ⎜
⎟⎜
⎟
3
3
⎝
⎠⎝
⎠
229
Her bir ülke, refah düzeyini maksimize edecek olan dış ticaret
politikasını seçecektir.
∂W x
= a − 2c x + c y − 4 s x − s y = 0
∂s x
∂W y
∂s y
s =
*
x
= a − 2c y + c x − 4 s y − s x = 0
a − 3c x + 2 c y
5
,
s =
*
y
a − 3c y + 2 c x
5
230
Bu sonuçtan ilk olarak şunu çıkarabiliriz: Her iki ülke pozitif
miktarda
ihracat
yaparsa,
destekleme
oranları
da
pozitif
olacaktır. Bunu görebilmek için, yukarıdaki değerleri, ikinci
aşamadaki üretim miktarlarının yerlerine yazmalıyız.
231
Her iki ülkenin üretim maliyetleri aynıysa, pozitif denge destek
değeri,
dış
ticaret
politikası
seçiminde
tutsaklar
açmazı
durumunu yansıtır. İhracat desteği olmazsa, her bir firma
toplam piyasayı eşit paylaşırlar ve pozitif bir kâr elde ederler.
232
Ancak her iki ülke destek politikası uygularsa, firmalar yine
piyasayı eşit paylaşırlar ve daha yüksek kârlar elde ederler.
Ancak fiyatların düşmesi sonucu, sübvansiyon maliyeti kâr
artışını aşacağından, ihracatçı ülke refah kaybına uğrar. Tek
kazançlı,
Z ülkesidir.