Temel Kavramlar

OLASILIK
Temel Kavramlar
Tanım
•
•
•
En basit tanımıyla “şans” demektir
Eğer bir deneyden söz ediliyorsa, belli bir
olayın, mümkün olan tüm sonuçlara
nazaran gerçekleşme oranıdır.
Olasılık, iki değişik yaklaşımla
incelenebilir:
–Deney öncesi olasılık
–Deney sonrası olasılık
Deney öncesi olasılık

Eğer olayı bir “başarı” olarak adlandırırsak,
deney öncesi olasılık aşağıdaki gibi ifade
edilebilir:
basari sayisi
p
toplam mumkun olanbasari sayisi

Bir yazı-tura atıldığında, “YAZI” gelme olasılığı:
1
p(Yazi)   .50 (%50)
2
Deneysel olasılık
Bir olayın olasılığı, o olayın gözlemlenen sıklığına
dayanarak elde edilen bir empirikal yaklaşıma
dayanır.
O = “olay” veya “başarı” sayısı
N = toplam bağımsız deneme sayısı
ise, (O/N) relatif sıklığı ifade eder. Deneme sayısı
sonsuza yaklaşırken, relatif sıklık, “olay”ın olasılık
değerine yaklaşır:
N   ise,  O / N   p

Örnek

Yazı-tura deneyinde, değişik sayılarda gerçekleştirilen
denemelerde gelen “YAZI” sayısının aşağıdaki gibi geldiğini
farz edelim:
Deneme Sayısı
(N)
10
20
50
100
500
1000
5000
10000
Başarı sayısı (O) Başarı oranı (O /
N)
10
10
20
60
240
520
2550
5000
1.00
0.50
0.40
0.60
0.48
0.52
0.51
0.50
Relatif sıklık ve olasılık ilişkisi
Olasılığın özellikleri

Olasılık, 0 ile 1 arasında yer alan bir pozitif
sayıdır:
0  p 1
O
Olayin gerceklesme olasiligi  p 
N
N O
Olayin gerceklesmeme olasiligi  q  1  p 
N
O N O
pq  
1
N
N
Venn Diagramı
Venn Diagramı
Venn Diagramı
Venn Diagramı
Venn Diagramı
Venn Diagramı
Olasılık kuralları: Bağdaşmayan
Olaylar
(Özel toplama kuralı)
A ve B birlikte gerçekleşmesi imkansız olaylar
ise, A veya B’nin gerçekleşmesi olasılığı, A’nın
olasılığı ile B’nin olasılığının toplamına eşittir:
P(A veya B)=P(A) + P(B)
 Aynı kural üç bağdaşmayan olay için:
P(A veya B veya C)=P(A) + P(B) + P(C)
Bir zar 3 kez atıldığında 1, 3, veya 5 gelme
olasılığı:
1 1 1 1

P(1 veya 3 veya 5) 
  
6 6 6 2
ÖRNEK: BAĞDAŞMAYAN
OLAYLAR
Random seçilen bir
kişinin kan grubunun A
veya B olması olasılığı
nedir?
P(A veya B)=P(A)+P(B)
=.450+.120=.570
Olasılıklar (P)
Kan
Grubu
Erkek
Kadın
Toplam
A
.225
.225
.450
B
.060
.060
.120
AB
.015
.015
.030
0
.200
.200
.400
.500
.500
1.000
Toplam
Olasılık kuralları: Bağdaşan Olaylar
(Genel toplama kuralı)
Birlikte gerçekleşmesi mümkün olan
olaylar için geçerlidir.
 A ve B birlikte gerçekleşmesi mümkün
olaylar ise, A veya B’nin gerçekleşmesi
olasılığı:

P(A veya B)=P(A) + P(B) – P(A ve B)

Aynı kural üç bağdaşan olay için:
P(A veya B veya C) =P(A) + P(B) + P(C) – P(A ve B)
- P(A ve C) – P(B ve C) – P (A ve B ve C)
ÖRNEK: BAĞDAŞAN
OLAYLAR
Olasılıklar (P)
Kan
Grubu
Erkek
Kadın
Toplam
A
.225
.225
.450
B
.060
.060
.120
AB
.015
.015
.030
0
.200
.200
.400
.500
.500
1.000
Toplam
Random seçilen bir kişinin cinsiyetinin Erkek veya kan grubunun A olması
olasılığı nedir?
P(Erkek veya A Grubu) =P(Erkek) + P(A grubu) – P(Erkek ve A grubu)
=.500 + .450 - .225 = .725
Olasılık kuralları: Bağımsız Olaylar
(Özel çarpma kuralı)
Birbirinden bağımsız olaylar için geçerlidir
 Olaylardan birinin gerçekleşme olasılığı,
diğer olayın gerçekleşme olasılığını etkilemez
 Olay A ve B’ nin birlikte gerçekleşme
olasılığı:
P(A ve B) = P(A) * P(B)
 Olay A ve B ve C’nin birlikte gerçekleşme
olasılığı:
P(A ve B ve C) = P(A) * P(B) * P(C)

ÖRNEK: BAĞıMSıZ OLAYLAR
Olasılıklar (P)
Kan
Grubu
Erkek
Kadın
Toplam
A
.225
.225
.450
B
.060
.060
.120
AB
.015
.015
.030
0
.200
.200
.400
.500
.500
1.000
Toplam
Random seçilen bir kişinin cinsiyetinin Kadın ve kan grubunun A olması
olasılığı nedir?
P(Kadın ve A Grubu) =P(Kadın) * P(A grubu) =.500 * .450 = .225
Olasılık kuralları: Bağımlı Olaylar
(Genel çarpma kuralı)
Birbirine bağımlı olaylar için geçerlidir
 Olaylardan birinin gerçekleşme olasılığı,
diğer olayın gerçekleşmesine bağlıdır
 Olay A ve B’nin birlikte gerçekleşme
olasılığı:

P( Ave B)  P( A) * P( B | A)
P( Ave B)  P( B) * P( A | B)
P( B | A)  Aolayi olduk tan sonra B ' nin gerceklesme olasiligi
P( A | B)  B olayi olduk tan sonra A ' nin gerceklesme olasiligi
Olasılık kuralları: Bağımlı Olaylar
(Örnek)

52’lik bir desteden yerine koymadan
çekilen iki kağıdın birincisinin “papaz”
ikincisinin ise “as” olması olasılığı nedir?
P(1. papaz ve 2. as)=P(1. papaz)*P(2. as |1. papaz)
=(4 / 52) * (4 / 51) = (4 / 663) = .006 (% 0.6)