x log 3 x - Murat GÜNER

www.muratguner.net
HER GENÇ
MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR
MURAT GÜNER
KELKİT-2012
www.muratguner.net
TASHİHDE YARDIMLARINI ESİRGEMEYEN
ŞEREF KOCATEPE’YE
VİLDAN BALTA’YA
VE
ÖĞRENCİM MERVE KELEŞ’E TEŞEKKÜR EDERİM.
Murat GÜNER
www.muratguner.net
İÇİNDEKİLER
ÜSTEL FONKSİYON
4
LOGARİTMA FONKSİYONU
13
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TANIM ARALIĞI
22
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TERSİNİ ALMA
27
ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU
35
YENİ BİR İRRASYONEL SAYI : e SAYISI
36
DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU
38
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ
41
1’DEN BÜYÜK SAYILARIN ONLUK LOGARİTMASINA AİT ÖZELLİKLER
105
0 İLE 1 ARASINDAKİ SAYILARIN ONLUK LOGARİTMASINA AİT ÖZELLİKLER
114
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
119
ÜSLÜ ve LOGARİTMALI DENKLEMLER
133
ÜSLÜ ve LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER
194
KAYNAKÇA
214
www.muratguner.net
a, b R+, x  R ve a  1olmak üzere ax = b eşitliğini göz
önüne alalım.
a ) a ve x belli iken b’yi kuvvet alma işlemi ile bulabiliriz.
23 = 2.2.2 = 8
b ) x ve b belli iken a’yı kök alma işlemi ile bulabiliriz.
x2 = 25  x =  5
c ) a ve b belli ise x’i bulmaya çalışalım.
2x = 16  x = 4
2x = 5  x =?
2x = 5 denkleminde x’i sezgimizle bulamayız.İşte tam bu
noktada x bilinmeyenini bulmak için yeni bir işleme ihtiyaç
duyuyoruz.( Bilin bakalım bu işlemin adı nedir?  )
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
a =1 olur mu?
ÜSTEL FONKSİYON
f: RR+, f( x ) = ax, ( a  1, a  R+ ) bire bir ( 1:1 ) ve örten
fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.
Girizgâh ile başlayalım…
olmaz; olursa,
fonksiyon sabit
fonksiyona dönüşür.
ÖRNEK
f : RR+, f( x ) = 3x, değişimini inceleyip grafiğini çiziniz.
x’e keyfi değerler verip bunlara karşılık gelen y değerleri
bulunur.
9
x … –2 –1 0 1 2 …
1 1 3 9 …
y … 1
9 3
3
1
1/ 3
1/ 9
……..-2
Ana Sayfaya Geri Dön
-1
1
2 ……..
www.muratguner.net
ÖRNEK
1 x
+
) fonksiyonunun değişimini inceleyip
f : R  R , f( x ) = (
2
grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM
x … –2 –1 0
y …
4
2
1
1
1
2
2 …
1 …
4
4
2
1
1/ 2
……..-2 -1
Ana Sayfaya Geri Dön
1
2
www.muratguner.net
Genel olarak f: R  R+, f( x ) = ax üstel fonksiyonunun
grafiği için aşağıdaki iki durum söz konusudur.
f(x) = ax
a
f(x) = ax
1/a
1
1
a
1/a
–1
1
( a > 1 , artan fonksiyon )
–1
1
( 0 < a < 1 , azalan fonksiyon )
 a < 0 için f( x ) = ax ifadesi bir fonksiyon belirtmez.
 x değerleri artıkça y değerleri de artıyorsa fonksiyon
artan aksi halde azalandır.
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
f:RR+, olmak üzere aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi
artan bir fonksiyondur?
Daha önceki söylediklerimiz y = 3
a ) f( x ) =
3x
b ) f( x ) =
x
için geçerlidir.Burada ise f(x) = 2– x
ifadesinde x in katsayısı – 1, yani
negatif.Bundan dolayı taban a>1
olmasına karşılık fonksiyon
azalandır.
2– x
ÇÖZÜM
x değerleri artıkça y değerleri de artıyorsa fonksiyon artan
aksi halde azalandır.
a > 1, artan fonksiyon
olmasıyla çelişmiyor mu?
x
…
–2
–1
0
1
2
…
x
…
–2
–1
0
1
2
y
…
1
9
1
3
1
3
9
…
y
…
4
2
1
1
2
1 …
4
Artan
Ana Sayfaya Geri Dön
Azalan
…
www.muratguner.net
ÖRNEK
f: RR+, f( x ) = 2x + 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM
–
x
y = 2x + 1
1
–1
3
2
1

2
3

f(x) = 2x +1
3
2
3/ 2
y=1
1
-1
0
1
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
f: RR+, f( x ) = 3x – 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM
–  –1
y = 3x – 1 –1 –2
3
x
0
1
2

0
2
8

8
2
-1
1
-1
Ana Sayfaya Geri Dön
2
y=– 1
www.muratguner.net
ÖRNEK
Yandaki şekilde grafiği verilen fonksiyon
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
1
1
3
x = 1 için y = 1/3 olan cevap şıkkını aramalıyız
1
X
A ) f( x ) = 2– x
D ) f( x ) = 3–x
Ana Sayfaya Geri Dön
X
B ) f( x ) = 22x
X
C ) f( x ) = 32x
 2
E ) f( x ) =  
3
X
x
www.muratguner.net
ÖRNEK
f: RR+, f( x ) = 31 – x + 3 fonksiyonunun grafiği
aşağıdakilerden hangisidir? x = 10 için y = 46 ( azalan )
X
X
0
A
6
X
0
D
Ana Sayfaya Geri Dön
6
3
1
0
0
B
C
3
X
0
E
www.muratguner.net
LOGARİTMA FONKSİYON
Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğundan ters fonksiyonu
vardır. Üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma
fonksiyonu denir.
f: RR+, f( x ) = ax, ( a  1, a  R+ ) üstel fonksiyonunun ters
fonksiyonuna a tabanına göre logaritma fonksiyonu denir ve
f-1: R+R, f–1( x ) = logax şeklinde gösterilir logaritma a
tabanında x diye okunur.
y = f( x ) = ax  f–1( x ) = logax
 y = logax  x = ay
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
a ) log216 = x

2x = 16 = 24

x=4
b ) logx8 = 3

x3 = 8 = 23

x=2
c ) log22 = x

2x = 2

x=1
d ) log51 = x

5x = 1

x=0
f ) 2x = 5

x = log25
g ) 34 = 81

4 = log381
 Logaritma işlemi kuvvet( üs ) alma işleminin tersidir.
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log2( log10x ) = 3 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
ÇÖZÜM
log2( log10x ) = 3

log10x = 23
log10x = 8
x = 108
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
1993
log a 9 = 4
log 3 a = b olduğuna göre a.b değeri kaçtır?
ÇÖZÜM
log a 9 = 4

a4 = 9

a= 3
y = logax  x = ay
log3a = b

Ana Sayfaya Geri Dön
3b = a = 3

1
b=
2

a.b =
3
2
www.muratguner.net
ÖRNEK
log3( 5 + log2( x + 5 ) ) = 2 ise x kaçtır?
ÇÖZÜM
log3( 5 + log2( x + 5 ) ) = 2
( y = logax  x = ay )
Çözümü nasıl
kısaltırız?
5 + log2( x + 5 ) = 32
5 + log2( x + 5 ) = 9
log2( x + 5 ) = 4
x + 5 = 24
x = 11
Ana Sayfaya Geri Dön
logaa = 1 özelliğini
öğrendiğinizde bu soruyu
daha hızlı çözeceksiniz.
Biraz sabır...
www.muratguner.net
ÖRNEK
log2( log3( 5x + 6 )) = 2 ise x kaçtır?
ÇÖZÜM
log2( log3( 5x + 6 )) = 2
( y = logax  x = ay )
log3( 5x + 6 ) = 22
log3( 5x + 6 ) = 4
5x + 6 = 34
5x + 6 = 81
5x = 75
Ana Sayfaya Geri Dön

x = 15
2007 MAT – 2
www.muratguner.net
ÖRNEK
logx+1( x3 + x2 ) = 3 ise x kaçtır?
ÇÖZÜM
logx+1( x3 + x2 ) = 3

( x + 1)3 = x3 + x2
x3 + 3x2 + 3x +1 = x3 + x2
2x2 + 3x +1 = 0
2x
1
x
1
x
x=–1
Ana Sayfaya Geri Dön
x=– 1
2
www.muratguner.net
ÖRNEK
4 = logx3
3 = logy2
8 = logz5 olduğuna göre x, y, z sayılarını küçükten büyüğe
doğru sıralayınız.
ÇÖZÜM
=3

x =4 3

x = 24 3 6

y3 = 2

y =3 2

y = 24 28

z8 = 5

z =8 5

z = 24 53
4 = logx3

x4
3 = logy2
8 = logz5
Ana Sayfaya Geri Dön
z<y<x
www.muratguner.net
ÖRNEK
a = log25
b = log330
c = log49 olduğuna göre a, b, c sayılarını büyükten küçüğe
doğru sıralayınız.
ÇÖZÜM
a = log25

2a = 5

2<a<3
b = log330

3b = 30

3<b<4
c = log49

4c = 9

1<c<2
Ana Sayfaya Geri Dön
b>a>c
www.muratguner.net
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TANIM ARALIĞI
f: RR+ , f( x ) = ax, ( a  1, a  R+ ) bire bir ( 1:1 ) ve örten fonksiyonuna
üstel fonksiyon denir.
f: R R+, f( x ) = ax, ( a  1, a  R+ ) üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna
a tabanına göre logaritma fonksiyonu denir ve
f-1: R+R, f–1( x ) = logax şeklinde gösterilir logaritma a tabanında x diye
okunur.
f: R+R, y = f( x ) = logax
( a R+ , a  1 )

Taban bir olamaz , a  1

x>0
( Negatif sayının logaritması alınamaz )
Ana Sayfaya Geri Dön

a>0
 yR
www.muratguner.net
ÖRNEK
f( x ) = log3( 5x – 10 ) fonksiyonunun en geniş tanım aralığını
bulunuz.
ÇÖZÜM
5x – 10 > 0

5x > 10
Tanım Aralığı : ( 2 ,  )
Ana Sayfaya Geri Dön

x>2
www.muratguner.net
ÖRNEK
f( x ) = log( x – 5 )( x2 – 3x – 10 ) fonksiyonunun en geniş tanım
aralığını bulunuz.
ÇÖZÜM
x2 – 3x – 10 > 0
( x + 2 )(x – 5 ) > 0
x–5>0
x–5 1
x>5
x6
x1= – 2 , x2 = 5
–2
x
x2 – 3x – 10 > 0
+
5
–
+
Tanım Aralığı : ( 5 ,  ) – { 6 }
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
f( x ) = logx( 4 – x ) + log3( x + 1 ) fonksiyonunun en geniş
tanım aralığını bulunuz.
ÇÖZÜM
4–x>0
x>0
x1
4 >x
Tanım Aralığı : ( 0 , 4 ) – { 1 }
Ana Sayfaya Geri Dön
x+1>0
x X
> –1
www.muratguner.net
ÖRNEK
f( x ) = log(x-3)( x  1  2 ) fonksiyonunun tanımlı olduğu en
küçük x tam sayısı kaçtır?
ÇÖZÜM
x–3>0
x–31
x 1  2 > 0
x >3
x 4
x 1  2 > 0
x 1 > 2
x 1> 2
x>3
x  1 < 2
< 1
xX
TA : ( 3 ,  ) – { 4 }
En küçük tamsayı : 5
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TERSİNİ ALMA
Logaritma fonksiyonunun tersinin kuralını bulmak için
fonksiyonlar konusunda da gördüğümüz gibi x yerine y, y
yerine x yazılarak y değeri yalnız bırakılır.Yalnız bırakılan y
aranan ters fonksiyondur.
ÖRNEK
y = log3( x – 2 ) fonksiyonunun tersini bulunuz.
ÇÖZÜM
y = log3( x – 2 )
Ana Sayfaya Geri Dön

x = log3( y – 2 )


3x = y – 2
y = f –1( x ) = 3x + 2
www.muratguner.net
ÖRNEK
y = 2 + log5x fonksiyonunun tersini bulunuz.
ÇÖZÜM
y = 2 + log5 x



Ana Sayfaya Geri Dön
x = 2 + log5 y
x – 2 = log5y
y = f –1( x ) = 5x – 2
www.muratguner.net
ÖRNEK
f( x ) = 53x – 1 fonksiyonunun tersini bulunuz.
ÇÖZÜM
f( x ) = 53x – 1

y = 53x – 1

x = 53y – 1


3y – 1 = log5x

Ana Sayfaya Geri Dön
3y = log5x + 1
log5x + 1
= f –1( x )
y=
3
www.muratguner.net
ÖRNEK
f( x ) = 1 – log5x fonksiyonunun tersini bulunuz.
ÇÖZÜM
y = 1 – log5x




Ana Sayfaya Geri Dön
x = 1 – log5y
log5y = 1 – x
y = 51 – x
f –1( x ) = 51 – x
www.muratguner.net
ÖRNEK
f( x ) = log2( 3x + m ) ve f-1( 4 ) = 6 ise m değeri kaçtır?
ÇÖZÜM
f-1( 4 ) = 6  f( 6 ) = 4
f( 6 ) = log2( 3.6 + m ) = 4
log2( 18 + m ) = 4
18 + m = 24
m=–2
Ters alınarak da aynı sonuca varılabilir.
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
Tanımlı olduğu değerler için, f( x ) = log2( x + 1 ) ve
g( x ) = 2x – 3 ise ( gof –1)( 3 )=?
ÇÖZÜM
( gof – 1)( 3 ) = g( f – 1 ( 3 ) )
= g( 7 )
= 2.7 – 3
= 11
Ana Sayfaya Geri Dön
y = log2( x + 1 )

x = log2( y + 1 )
2x = y + 1
2x – 1 = y = f– 1( x )
f– 1 ( 3 ) = 8 – 1 = 7
www.muratguner.net
ÖRNEK
2006 MAT– 2
f : ( – 1/3,  )  R fonksiyonu y = f( x ) = log3( 3x+1 ) ile
tanımlanmıştır.Buna göre f– 1( x ) = ?
ÇÖZÜM
y = log3( 3x+1 )
Ana Sayfaya Geri Dön




x = log3( 3y+1 )
3x = 3y+1
3y = 3x – 1
3x – 1
y=
3
= f –1( x )
www.muratguner.net
ÖRNEK
1994
f(x) = log2x , (gof)(x) = x + 2 olduğuna göre g(x) =?
ÇÖZÜM
(gof)(x) = g( f( x )) = x + 2
Tersini al
x yerine yaz
g( log2x ) = x + 2
g(x) = 2x + 2
Ana Sayfaya Geri Dön
y = log2( x )

x = log2( y )
2x = y
2x = y = f– 1( x )
www.muratguner.net
ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU
Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna onluk logaritma
fonksiyonu denir. f( x ) = log10x ya da f( x ) = logx biçiminde
gösterilir.
 10 tabanı genelde kullanılmaz ve f( x ) = log x yerine
10
f( x ) = logx kullanılır.
ÖRNEK
y = log10

10y = 10

y=1
y = log100

10y = 100

y=2

10y

y=–1
1
y = log
10
Ana Sayfaya Geri Dön
1
=
10
www.muratguner.net
YENİ BİR İRRASYONEL SAYI : e SAYISI
Matematik ve birçok bilim dalında uygulaması olan ve
bundan sonra bizim de sıkça kullanacağımız e irrasyonel
sayısını tanıtacağız.
x
1 + 1x ifadesinin x sayısının alacağı çok büyük pozitif ve
çok küçük negatif değerler için ne olacağına bakalım.( Hesap
makinesi desteği alınabilir, hiçbir mahsuru yoktur.)Virgülden sonra sekiz
basamak alacağız.
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
1+
x
1
x
x
x
1
1+
x
x
1
2
–2
4
10
2,59374246
– 10
2,86797199
100
2,70481382
– 100
2,73199902
1000
2,71692393
– 1000
2,71964221
10000
2,71814593
– 10000
2,71841776
1000000000
2,71828182
– 1000000000
2,71828182
Yukarıdaki tablolardan görüldüğü gibi x sayısının alacağı çok
büyük pozitif ve çok küçük negatif değerler için
x
1 + 1x ifadesi 2,71828182…sayısına yaklaşmaktadır.Bu sayı
Euler’in hatırası olduğu için e harfiyle gösterilmektedir.
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONUNU
Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma
fonksiyonu denir. aR+ sayısının e tabanına göre
logaritmasına da a nın doğal logaritması denir.
aR+ sayısının doğal logaritması, logea = lna sembolüyle
gösterilir.
O halde,
f :R+R , f( x ) = logex = lnx doğal logaritma fonksiyonudur.
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
e2x – 1 = 3 ise x = ?
ÇÖZÜM
e2x – 1 = 3

Ana Sayfaya Geri Dön
loge3 = 2x – 1

ln3 = 2x – 1

1 + ln3 = 2x

ln3 + 1
x=
2
www.muratguner.net
ÖRNEK
f( x ) = ex+2 +1 fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.
ÇÖZÜM
y = f( x ) = ex + 2 + 1
Ana Sayfaya Geri Dön



x = ey + 2 + 1
x – 1 = ey + 2
loge ( x –1 ) = y + 2

ln ( x –1 ) = y + 2

ln ( x –1 ) – 2 = y = f –1( x )
www.muratguner.net
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ
 a ≠ 1 ve aR+ olmak üzere log 1 = 0
a
ÖRNEK
log51 = 0
log71 = 0
log1 = 0
log 1 1 = 0
ln1 = 0
3
 a ≠ 1 ve aR+ olmak üzere log a = 1
a
ÖRNEK
log55 = 1
log77 = 1
log10 = 1
log 1
3
Ana Sayfaya Geri Dön
1=
1
3
lne = 1
www.muratguner.net
ÖRNEK
Şekilde [ DE ] // [ BC ],
IADI = 8 cm, IDBI= 2cm,
IAEI = 4cm ve
IECI = log2(x – 1 )
olduğuna göre x değeri kaçtır?
A
8
4
E
D
2
log2(x – 1 )
C
B
ÇÖZÜM
ADE ve ABC üçgenleri benzerdir.
8
2
8
4
=
=
veya
veya
4 log2 (x  1)
10 4 + log2 (x  1)
log2( x – 1 ) = 1
Ana Sayfaya Geri Dön

x=3
8
4
=
2 log2 (x  1)
www.muratguner.net
ÖRNEK
1 < a < b < c < a8 için logab + logbc + logca8 toplamının
alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır?
ÇÖZÜM

b<c 
c < a8 
a<b

logbb < logbc 
logcc < logca8 
logaa < logab
1 < logab
1 < logbc
1 < logca8
+
3 < logab + logbc + logca8
logab + logbc + logca8 toplamının en küçük tamsayı değeri 4 tür.
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
 x,y  R+ için log ( x.y ) = log x + log y
a
a
a
logax = m ise am = x
İSPAT
logay = n ise an = y
am .an = x.y

x.y = am+n
; y = logax  x = ay
loga( x.y) = m + n
ÖRNEK
loga( xy ) = logax + logay
log15 = log( 3.5 ) = log3 + log5
log221 = log2( 3.7 ) = log23 + log27
log36 = log3( 3.2 ) = log33 + log32
1
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
logx + log( x – 3 ) = 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
xÇözüme
– 3 > 0 geçmeden
ise x > 3 önce logx ve log(x – 3 ) ün tanımlı
aralıkları
xolduğu
> 0 olup
ortakbulmalıyız.
çözüm bölgesi x > 3 dır.
log( x.( x – 3 )) = 1
( x.( x – 3 )) = 101
x2 – 3x = 10
x2 – 3x – 10 = 0
–5
2
Ana Sayfaya Geri Dön
x1 = 5
x
x2 = – 2
Ç.K = { 5 }
www.muratguner.net
ÖRNEK
log5x + log5(2– x) = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
log5 [x.(2– x) ] = 0
; x > 0 ve 2 – x > 0
x.(2– x) = 50 = 1
2x– x2 = 1
0 = x2 – 2x + 1
0 = (x – 1)2
x=1
Ç.K = { 1 }
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
a,b R+ , ab  1 olmak üzere logaba = 3 ise logabb =?
ÇÖZÜM
logaba + logabb = logabab
3 + logabb = 1
logabb = – 2
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
 x,y  R+ için log ( x ) = log x – log y
a
a
a
y
İSPAT
logax = m ise am = x
logay = n ise an = y
am
x
=
n
y
a

a
m n
x
=
y
; y = logax  x = ay
loga( x ) = m – n
y
loga( x ) = logax – logay
y
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log4( 4 ) = log44 – log45
5
log360 – log34 = log3( 60 )
4
= log315 = log3(3.5)= log33+ log35 = 1+log35
ÖRNEK
1
logax – logay + logaz – logat ifadesini tek bir logaritmalı terim
olarak yazınız.
ÇÖZÜM
z ) = log ( xz )
loga( x
)
+
log
(
a
a
y
t
yt
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log(12,3) – log(1,23) =?
ÇÖZÜM
12,3
12,30
log(12,3) – log(1,23 ) = log
= log
1,23
1,23
= log
1230
123
= log 10
=1
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
12
+
(log2) (log )
2
2
1982
ifadesinin en sade halini yazınız.
ÇÖZÜM
1
(log2)2 + (log )2 = (log2)2 + (log1 log2)2
2
0
= (log2)2 + (log2)2
= 2(log2)2
= 2.log2
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
x2 + y2 = 80 ve log2x – log2y = – 1 denklem sisteminin
çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
log2x – log2y = – 1
(x > 0 ve y > 0)

log2( x ) = – 1
y

x
1
=
y
2
y = 2x
x2 + y2 = 80

x2 + 4x2 = 80
5x2 = 80
x2 = 16
x=4
Ana Sayfaya Geri Dön
y = 2x
y =8
Ç.K = { (4, 8) }
www.muratguner.net
ÖRNEK
log3( x +17 ) – 2 = log3( 2x ) denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
ÇÖZÜM
x +17 > 0geçmeden
ise x > – 17önce log(x+17) ve log(2x) in tanımlı
Çözüme
olduğu
2x > 0 aralıkları
ise x > 0 bulmalıyız.
olup ortak çözüm bölgesi x > 0 dır.
log3( x +17 ) – log3( 2x ) = 2
log3(
x +17 ) = 2
2x
x +17 = 9
2x

18x = x + 17
17x = 17
Ana Sayfaya Geri Dön

x=1
Ç.K = { 1 }
www.muratguner.net
ÖRNEK
log2 = a olmak üzere log5 ifadesinin a cinsinden değerini
yazınız.
ÇÖZÜM
log5 = log( 10 )
2
= log10 – log2
= 1–a
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log14 = x olmak üzere log50 – log7 ifadesinin x cinsinden
değerini yazınız.
ÇÖZÜM – 2
ÇÖZÜM – 1
log50 – log7 = log( 50 )
7
= log( 100 )
14
= log100 – log14
= 2–x
log50 – log7 = y olsun.
y = log50 – log7
x = log7 + log2
x + y = log50 + log2
x + y = log100
x+y=2
y=2–x
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log( x – 2 ) + log2 = log( 5 – x ) – logx denkleminin çözüm
kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
log [ ( x – 2 ).2 ] = log 5 – x
x
; x > 2 ve 5 – x > 0
( x – 2 ).2 = 5 – x
x
2x2 – 4x = 5 – x
2x2 – 3x – 5 = 0
2x
x
–5
1
Ana Sayfaya Geri Dön
x1 = 5/2
X
x2 = – 1
Ç.K = { 5/2 }
www.muratguner.net
 x  R+ ve mR için lob xm = m.log x
a
a
lobaxm = loga ( x.x.x.x….x )
İSPAT
m tane
= loga x + logax + logax + ….+logax
m tane
= mloga x
ÖRNEK
1
log232 = log2 25 = 5log22 = 5
log3 1 = log32-3 = – 3log32
8
1
log381 = log3 34 = 4log33 = 4
log2
Ana Sayfaya Geri Dön
3
1
5
5
3
2

= log2
=
32
3
www.muratguner.net
ÖRNEK

0<x< 2
log(1– cosx) + log(1+ cosx ) – 2logsinx =?
ÇÖZÜM
A = log(1 – cosx)(1 + cosx ) – logsin2x
A = log(1 – cos2x) – logsin2x
A = logsin2x – logsin2x
A=0
Ana Sayfaya Geri Dön
A olsun.
www.muratguner.net
ÖRNEK
1983 - II
logac = x , logbc = y
olduğuna göre, x in a, b ve y türünden değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
logac = x
 ax = c
ax = by
y = logax  x = ay
logbc = y

Ana Sayfaya Geri Dön
by = c

logab y = x
ylogab = x
; y = logax  x = ay
www.muratguner.net
ÖRNEK
2010 LYS
1’den farklı a,b,c pozitif gerçel sayıları için
1
log ab =
2
 b2 
 ifadesinin değeri kaçtır?
logac = 3 olduğuna göre logb 
c a 
ÇÖZÜM
1
1
log ab =  a 2 = b  b2 = a
2
logac = 3  a3 = c = b6
 b2 
 b2 
 = log  6  = log b 5 = 5
logb 
b b .b
b


c a 
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log2a = log3b = x ise log6(ab) nin x türünden değeri nedir?
ÇÖZÜM
log2a = x

log3b = x

a = 2x
b = 3x
ab = 6x
log6ab = log6 6x
= x.log6 6
=x
Ana Sayfaya Geri Dön
;log6 6 = 1
www.muratguner.net
ÖRNEK
lnx2 + 3lnx – 10 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
lnx2 + 3lnx – 10 = 0
2lnx + 3lnx = 10
5lnx = 10
lnx = 2
x = e2
Ç.K = { e2 }
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
bR+ – { 1 } olmak üzere a = 5 b olduğuna göre logba4 = ?
ÇÖZÜM
a=5b

1
5
a=b
1
4

4


logba 4 = logb  b 5  = log b 5 = 4 log b = 4
b
b
 
5
5
 
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log2[ log5( log3 x + 21)] = 1 denklemini sağlayan x = ?
ÇÖZÜM
log2[ log5( log3x + 21) ] = 1
2 olmalı
log5( log3x + 21 ) = 2
52 = 25 olmalı
log3x + 21 = 25
log3x = 4
Ana Sayfaya Geri Dön

x = 34 = 81
www.muratguner.net
ÖRNEK
1997- II
log2 [ 2log3( 3log4 (x + 2 ) ) ] = 1 denklemini sağlayan x = ?
ÇÖZÜM
log2 [ 2log3( 3log4 (x + 2 ) ) ] = 1
2 olması için
log3( 3log4 (x + 2 ) ) ] = 1 olmalı
3 olması için
log4 (x + 2 ) = 1 olmalı
4 olmalı
x+2=4  x=2
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log8! = a, log35 = b ise 7log2 + 2log3 toplamının a ve b
türünden değeri nedir?
ÇÖZÜM
7log2 + 2log3 = log27 + log32 = log( 27.32 )
log8! = log(8.7.6.5.4.3.2.1)
log8! = log(8.6.4.3.2.1) + log(7.5)
log8! = log( 27.32 ) + log35
a = log( 27.32 ) + b
Ana Sayfaya Geri Dön

log( 27.32 ) = a – b
www.muratguner.net
ÖRNEK
log2 = x, log3 = y ise log135 sayısının x ve y cinsinden
değerini yazınız.
ÇÖZÜM
135 sayısını asal çarpanlarına ayırarak işe başlayalım 135
45
3
log135 = log(3 .5 )
15
5
= log33 + log5
1
= 3log3 + log5 ( log5 = log 10 )
2
= 3log3 +[ log10 – log 2 ]
= 3y + 1 – x
Ana Sayfaya Geri Dön
;log 10 = 1
3
3
3
5
www.muratguner.net
ÖRNEK
1996 - II
log102 = a, log103 = b olduğuna göre log1072 ifadesinin a ve
b cinsinden değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
72 sayısını asal çarpanlarına ayırarak çözüme başlamak gerekir.
log1072 =log10( 23.32 )
=log1023 + log1032
=3log102 + 2log103
=3a + 2b
Ana Sayfaya Geri Dön
lobaxm = m.logax
www.muratguner.net
ÖRNEK
1
2
3
99
+
+
+
+
=?
log
log
log
... log
2
3
4
100
ÇÖZÜM
99 
1 2 3
1
2
3
99
+
+
+
+
=
log . . ...
log
log
log
... log
2 3 4
100 
2
3
4
100
= log
1
100
= log10– 2
=–2
Ana Sayfaya Geri Dön
lobaxm = m.logax
www.muratguner.net
ÖRNEK
1994 - II
log3( 9.3x+3 ) = 3x + 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM

x +33x+3 = 3x + 1
33x+1
log
9+
9.3
log
veya
3=
3
…
log3( 9.3x+3 ) = 3x + 1
2 + x + 3 = 3x + 1
x + 5 = 3x + 1
x=2
Ç.K = { 2 }
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
25
olduğuna göre x + y = ?
5 = 3 ve 5 =
3
ÇÖZÜM – 2
ÇÖZÜM – 1
y
5x = 3
5 =
y

25
3
25
5 .5 = 3.
3
x
x = log53
 y = log5 25
3
x + y = log5 3 + log5
 25 
+
=
x y log5  .3
3 
x + y = log5 25 = 2
Ana Sayfaya Geri Dön
y
…
x
25
3
www.muratguner.net
ÖRNEK
T = ( log8 )2 + log125.log64 + log2125 ifadesinin en sade
halini yazınız.
ÇÖZÜM
T = ( log8 )2 + log125.log64 + log2125
T = ( log8 )2 + log125.log82 + log2125
T = ( log8 )2 + 2log125.log8 + log2125
T = ( log8 + log125)2
T = ( log8.125)2
T = ( log1000)2
T = 32 = 9
Ana Sayfaya Geri Dön
; lobaxm = m.logax
www.muratguner.net
 mR, aR+ – {1}, bR+ olmak üzere log b = 1 log b
a
n
n
a
İSPAT
log b = x olsun
an
(an )x = b

anx = b

logab = nx

x=
y = logax  x = ay
1
log a b
n
1
n
=
= loga b
logan b = 1
n logab logab
Tabandaki n üssünü , ters çevirip b’nin üssü olarak alabiliriz.
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
x,y,zR+ olmak üzere x 2 . z = 8y olduğuna göre
 1
+
+
log 2 x log 4 z log 2   = ?
y
ÇÖZÜM
Tabandaki 1/2
1
2
Verilen
içinx önce
tabanlarını
= 2log 2 x = log
log 2 x =toplama
log 1 x =işlemini
log 2 xyapabilmek
üssünü
ters çevirip
2
1
x’in üssü olarak
eşitlemeliyiz.2 2
alabiliriz.
2 1
log 4 z = log 2 z = log 2 z 2 = log 2 z
2
 1
x 2. z =
8y =


+
+
=
log 2 8 = 3
log 2
log 2 x log 4 z log 2   log 2
y
y
y
x2. z = 8y
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
 m,nR, aR+ – {1}, bR+ olmak üzere log bm = m log b
a
n
n
a
İSPAT
log bm = x olsun
an
log
(an )x = bm
a
a
nx
nx
m
=b
nx
m
b
log ab m m
=
= log ab
n
log a a
n
Bu ispat daha kolay değil mi?
= bm ( her iki tarafın 1/m’nci kuvvetini al.)
logab =
an
m

Ana Sayfaya Geri Dön
m
logab = x
n
Az sonra…
www.muratguner.net
ÖRNEK
log25 8 = a
log
5
32 + log 1 8 ifadesinin a cinsinden değeri nedir?
5
ÇÖZÜM
log
5
5
2
32 + log 1 8 = log 1 2 + log 1 23
5
5
log25 8 = log 2 23
5
3
=
a
log5 2
2
2a
=
log5 2
3
Ana Sayfaya Geri Dön
52
5
= 2 log5 2  3 log5 2
1
1
2
= 5log5 2  3log5 2
= 2log5 2
=
4a
3
www.muratguner.net
ÖRNEK
a = log23
b = log46
c = log812 olduğuna göre a,b,c sayılarını büyükten küçüğe
doğru sıralayınız.
ÇÖZÜM
Ya
da
6
=
a
a<)6a=<32
6  64a = 729
log
3
729
 226= 3 = log
64
( 12
3
b )3 = 63  64bBu
=
b
b
=
log
6
log
6
216
( 14
= işte
216bir kıllık
64
b = log446  4 3= 6 = log
<b<2
4
var.
2=
c
=
cc =
log
12
c<)2c=<12
2  64c = 144
144
log
12

= log8812  82 = 12 log
1
2
(
8
64
8
log 144 < log 216 < log 729
c < bc<<ab < a
a
a=
= log
log2233
64
Ana Sayfaya Geri Dön
64
64

www.muratguner.net
 alogax = x
İSPAT
a
logab
=x
log a a
log a b
= log a x
1
log a blog a a = log a x

log a b = log a x

Ya da
f( x ) =logax ise f– 1( x ) = ax dir. ( f– 1of ) (x) = x
Ana Sayfaya Geri Dön
b=x
www.muratguner.net
ÖRNEK
a
eln2 = 2
b
log25
2
=5
c
10log8 = 8
d
log3 2
6
log3 2
2
e
log3 2

=  6 
 2 
log6 5
36
=
Ana Sayfaya Geri Dön
2 log6 5
(6 )
= 3log3 2 = 2
= 6
2log6 5
=
log6 52
6
= 25
www.muratguner.net
ÖRNEK
9
log27 81
=?
ÇÖZÜM
9
log27 81
=
log 3 3 4
9 3
=
4
log 3 3
3
2
3
=
4
3
32
=
8
33
3
= 38
ÖRNEK
3
3  2log 3 5
=?
ÇÖZÜM
3  2log 3 5
=
3
3
Ana Sayfaya Geri Dön
2log 5
3 =
.3
3
27.3
log3 5  2
27
= 27.52 =
25
www.muratguner.net
ÖRNEK
e
xln5
.3
lne x
= 27
log 3 15
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM
) .3 =
(e
ln5 x
(e
ln5 x
x
3 log 3 15
(3 )
) .3 = 3
3log 3 15
5 x.3 x = 3
log 3 15
x
5 x.3 x = 15 3
15 x = 15 3
x= 3
Ana Sayfaya Geri Dön
3
; lnex = xlne = x
; eln5 = 5
www.muratguner.net
ÖRNEK
log2 3
16
= 63 + log2 x 6 eşitliğini sağlayan x reel sayısı kaçtır?
ÇÖZÜM
4 log2 3
(2 )
4log2 3
2
log 34
2
2
= 63 + log 2 ( x 6 )
= 63 + 6log 2 x
= 63 + 6log 2x
3 4 = 63 + 6log 2 x
81 = 63 + 6log x
2
18 = 6log x
2
Ana Sayfaya Geri Dön

3 = log x
2

23 = x

8 =x
www.muratguner.net
 b pozitif reel sayısının a tabanında logaritması; c
tabanında, b nin logaritmasının a nın logaritmasına bölümü
olarak yazılır.
logc b
eşitliğine taban değiştirme kuralı denir.
loga b =
logc a
( a,c  R+ – { 1 } )
İSPAT
logab = x olsun
ax = b
logcb = logc a x
logcb = xlog c a
Ana Sayfaya Geri Dön

logc b
x=
logc a
www.muratguner.net
ÖRNEK
log3 7 =
log5 7
log5 3
Ana Sayfaya Geri Dön
=
log8 7
log8 3
=
log2 7
log2 3
=
log
log
2
2
7
3
=
log 1 7
2
log 1 3
2
=
ln7
ln3
www.muratguner.net
ÖRNEK
log0,01 .loge.lnx.log210 = – 2 olduğuna göre x kaçtır?
ÇÖZÜM
log10–2 . log10e. logex.log210 = – 2
– 2 .log10e. logex.log210 = – 2
log10e. logex.log210 = 1
Taban değiştirme kuralı uygulanırsa
loge
log10
logx log10
=1
loge log2
log2x = 1
Ana Sayfaya Geri Dön

x = 21 = 2
www.muratguner.net
ÖRNEK
ln2 = a, ln3=b ise log1224 ün a ve b cinsinden değeri nedir?
ÇÖZÜM
log e 24 ln24
=
log 12 24 =
log e 12
ln12
Neden tabanı
e aldık?
ln(2 3.3) ln2 3 + ln3
=
=
2
ln(2 .3) ln2 2 + ln3
=
3ln2 + ln3
2ln2 + ln3
3a + b
=
2a + b
Ana Sayfaya Geri Dön
; lobaxm = m.logax
www.muratguner.net
ÖRNEK
log35 = x olduğuna göre log153’ün x cinsinden değerini
bulunuz.
ÇÖZÜM
log15 3 =
1
1
=
log315 log3 3.5
Ana Sayfaya Geri Dön
=
1
log3 3 + log3 5
=
1
1+ x
www.muratguner.net
ÖRNEK
log40160 = a olduğuna göre log4 ün a cinsinden değerini
bulunuz.
ÇÖZÜM
log 40 160 = log 40 (40.4) = 1 + log 40 4
= 1+
a = 1+
log4
log40
log4
log4 + log10
log4

=
a 1
1 + log4
Ana Sayfaya Geri Dön

a 1
log4 =
2a
www.muratguner.net
 log c.log x = log x
a
a
c
İSPAT
log10c log10 x log10 x
=
=
= loga x
logac.log x
.
c
log10a log10c log10a
ÖRNEK
A = log2 3.log3 4.log4 5.log5 6.log6 7.log7 8
olduğuna göre A kaçtır?
ÇÖZÜM
A = log2 3.log3 4.log4 5.log5 6.log6 7.log7 8
3
= log 8 = log2 2 = 3log 2 = 3
2
2
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
Ana Sayfaya Geri Dön
2012-LYS
www.muratguner.net
 log c.log a = 1 ise log c =
a
a
c
1
logca
ÖRNEK
1
1
1
+
+
işleminin sonucu kaçtır?
log 60
log 60
log60
2
3
ÇÖZÜM
1
1
1
+
+
= log602 + log603 + log6010
log 60
log 60
log60
2
3
= log60(2 .3.10 )
= log6060
=1
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log35 = a olduğuna göre log515’in değeri kaçtır?
ÇÖZÜM
log515 = log53 + log55
1
a +1
= +1=
a
a
Ana Sayfaya Geri Dön
2010 LYS
www.muratguner.net
ÖRNEK
2010 LYS
1
1
+
=?
log2 6 log3 6
ÇÖZÜM
1
1
+
= log6 2 + log6 3 = log6(2.3) = log 6 = 1
6
log 2 6 log 3 6
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
1

1
ifadesinin en sade halini yazınız.
1
1+
log3 5
ÇÖZÜM
1
1
1
1

=

1
1
= 1
= 1
1
1+ log5 3
log5 5 + log5 3
log515
1+
log3 5
= 1 log15 5
= log1515  log15 5
= log15 3
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
1998 - II
3
6
12
+
+
=?
log4 24
log 2 24
log4 3 24
ÇÖZÜM
3
6
12
+
+
= 3.log24 4+ 6log24 2 + 12log244 3
log4 24
log 2 24
log4 3 24
= log 24 4 + log 24
3
 2
6
+ log 24
3
+ log24 8 + log24 27
log
4
=
24
= log24( 43 .23.33 )
= log24243 = 3log2424 = 3
Ana Sayfaya Geri Dön
 3
4
12
www.muratguner.net
ÖRNEK
log23 = a
log52 = 1/c ise log6 nın a ve c türünden değeri nedir?
ÇÖZÜM
log 2 6
log6
=
log6 =
log10
log 2 10
=
log 2 (2.3)
log 2 (2.5)
log 2 2 + log 2 3
=
log 2 2 + log 2 5
=
Ana Sayfaya Geri Dön
1+ a
1+ c
www.muratguner.net
ÖRNEK
log57 = a ve log35 = b olduğuna göre log10535 in a ve b
cinsinden değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
log5 7 + log5 5
=
=
log105 35 =
log5 105 log5 (7.5.3)
log5 7 + log5 5 + log5 3
log5 35
log3 5 = b ise log5 3 =
Ana Sayfaya Geri Dön
log5 (7.5)
1
b
a +1
=
1
+
+
a 1
b
b(a + 1)
=
ab + b + 1
www.muratguner.net
ÖRNEK
4
log27 = x olduğuna göre log 1
'un x cinsinden değeri nedir?
49
7
ÇÖZÜM
2


2
2
4
= log -1   = 2log7  
log 1
7 7
7
7 49
= 2[ log7 2  log7 7]
1
= 2.(  1)
x
=
Ana Sayfaya Geri Dön
 2 + 2x
x
www.muratguner.net
ÖRNEK
log280 = a olduğuna göre log550 nin a cinsinden değerini
bulunuz.
ÇÖZÜM
log 5 50 = log 5 (25.2) = log 5 25 + log 5 2 = log 5 5 2 + log 5 2
log 2 80 = log 2 (2 4 .5)
= 2 + log 5 2
a = log2 2 4 + log2 5
1
= 2+
log 2 5
a = 4 + log2 5
= 2+
log2 5 = a  4
Ana Sayfaya Geri Dön
1
a4
2a  7
=
a4
www.muratguner.net
ÖRNEK
x,y  R+ – { 1 } ve olmak üzere log 1 y2 = a ve log1 z = b
x3
y
olmak üzere logzx in a ve b cinsinden değeri nedir?
ÇÖZÜM
log 1 y2 = a
x3
log 1 z = b
y

2
log xy = a
3
 logy-1z = b 
 log y z = b

Ana Sayfaya Geri Dön
log -3 y = a
2
x
2
[  log y z ].[
log x y ] = ab
3
2
log y z.logx y = ab
3
2
3ab
=
,logz x
log x z =
3ab
2
www.muratguner.net
ÖRNEK
3
log3x 7.log 7 x =
olduğuna göre x kaçtır?
4
ÇÖZÜM
4
log7 logx 3
log
3
+
log
x
=
.
=
log3x 7.log 7 x =
x
x
3
log3x log7 4
logx
3
=
log3x 4
3
4
4
log x 3x =
3
log3x x =
Ana Sayfaya Geri Dön
4
log x 3 =  1
3
1
log x 3 =
3
1
x3
=3
x = 27
www.muratguner.net
 alogcx = xlogca
İSPAT
logca.logax = logcx

logca . logax = logcx . logaa
logca
logcx
logax
= logaa
logcx
logca
a
=x
ÖRNEK
log2x
log27
7
=5
olduğuna göre x kaçtır?
ÇÖZÜM
log2x
log27
7
=5
Ana Sayfaya Geri Dön

log2x
log25
7
=7

x=5
www.muratguner.net
ÖRNEK
xlog3 + 3logx = 54 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
xlog3 + 3logx = 54

3logx + 3logx = 54
2. 3logx = 54
3logx = 27
3logx = 33
logx = 3
x = 103 = 1000
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
a pozitif reel sayı
log 8 (x  4)
8
=a
log2 x
+8x
log2 a
olduğuna göre x kaçtır?
ÇÖZÜM
log 8 (x  4)
8
x
= a log2 + 8  x log2
x–4=8
x = 12
Ana Sayfaya Geri Dön
a
logcx
logca
a
=x
logax
a
=x
www.muratguner.net
1’DEN BÜYÜK SAYILARIN ONLUK LOGARİTMASINA AİT
ÖZELLİKLER
Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
log5,log89,log164,log2815 ve log(576,8) ifadelerinin hangi
iki tamsayı arasında olduğunu bulalım.
1< 5 < 10

log1 < log5 <log10

0 < log 5 <1
Taban 10 olduğu için
10’un kuvvetleri ile
çalışıyoruz.
10<89<100
 log10 < log89 <log100 
Taban 10 olduğu için
10’un kuvvetleri ile
çalışıyoruz.
Ana Sayfaya Geri Dön
log 5 = 0,…
Bir
basamaklı
1 < log 89 < 2
log 89 = 1,…
iki
basamaklı
www.muratguner.net
100 < 164 <1000

log100 < log164 <log1000
2 < log164 < 3
log164 = 2,…
Üç
basamaklı
100 < 576,8 <1000 log100 < log576,8 < log1000
2 < log576,8 < 3
log576,8 = 2,…
Tam kısmı üç
basamaklı
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
1000 < 2815 <10000

log1000 < log2815 <log10000
3 < log2815 < 4
log2815 = 3,…
Dört
basamaklı

Birden büyük sayıların onluk logaritması pozitiftir.

Birden büyük sayının onluk logaritmasının tam kısmı,o
sayının tam kısmının basamak sayısının bir
eksiğidir.(veya onluk logaritmasının tam kısmının bir fazlası o
sayının tam kısmının basamak sayısını verir.)
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log340 sayısı hangi aralıkta değer alır?
ÇÖZÜM
Taban 3 olduğundan 40 sayısını, 3 ün hangi iki ardışık
tamsayı kuvvetleri arasında olduğunu düşünmeliyiz.
27 < 40 < 81

Taban 3 olduğu
için 3’Ün
kuvvetleri ile
çalışıyoruz.
log327 = log333 =3
log381 = log334 = 4
Ana Sayfaya Geri Dön
log327 < log340 < log381
3 < log340 < 4
www.muratguner.net
ÖRNEK
log2 = 0,30103 olduğuna göre 4500 sayısı kaç basamaklıdır?
ÇÖZÜM
4500 sayısı sayısının logaritması alınırsa ,
log4500 = log21000 = 1000.log2 = 1000. ( 0,30103 )
= 301,03
Basamak sayısı : 301 + 1 = 302
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log3 = 0,477 olduğuna göre 9090 sayısı kaç basamaklıdır?
ÇÖZÜM
9090 sayısı sayısının logaritması alınırsa ,
log9090 = 90.log90 = 90.log( 9.10 ) = 90.( log9 + log10 )
= 90.( log32 + 1 )
= 90. (2 log3 + 1 )
= 90. (2 .0,477 + 1 )
= 175,86
Basamak sayısı : 175 + 1 = 176
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log2 = 0,301 ve log3 = 0,4771 ise 2440 sayısı kaç
basamaklıdır?
ÇÖZÜM
2440 sayısı sayısının logaritması alınırsa ,
log2440 = 40.log24 = 40log( 23.3) = 40( 3log2 + log3)
= 40( 3. 0,301 + 0,4771 )
= 40( 1,381)
= 55,204
Basamak sayısı : 55 + 1 = 56
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log2 = 0,3011 ise 254.816 sayısı kaç basamaklıdır?
ÇÖZÜM
254.816 sayısını 10un kuvveti cinsinden yazmak gerekir.
254.816 = [ 52 ]4.[ 23 ]16
= 58.248
= 58.28.240
=108.240
240 sayısı kaç basamaklı ise arkasına 8 sıfır yazmak gerekir.
log240 =40.log2 = 40.0,3011 = 12,044
240 sayısı 12+1 = 13 basamaklı olup 254.816 = 108.240 sayısı
13+8 = 21 basamaklıdır.
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
xR+ olmak üzere logx = 3,… olduğuna göre 9x sayısının
tam kısmı en fazla kaç basamaklıdır?
ÇÖZÜM
log9x = log9 + logx
3 < logx < 4
0 < log9 < 1
1000 < x < 10000
3 < logx < 4
9000 < 9x < 90000
3 < log9 + logx < 5
9x  89999,…
3 < log9x < 5
log9x = 4,…
9x sayısının tam kısmının basamak sayısı en fazla: 4 + 1 = 5
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
0 İLE 1 ARASINDAKİ SAYILARIN ONLUK
LOGARİTMASINA AİT ÖZELLİKLER
Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
log0,5 ve log0,0021 ifadelerinin hangi iki tamsayı arasında
olduğunu bulalım.
1
5
10
<
<
10
10
10

1
5
10
log
< log
< log
10
10
10
5
-1
log 10 < log
< log 1
10
 1 < log 0,5 < 0
log 0,5 =  0,...
Bir tane sıfır
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
10
21
100
<
<
10000 10000 10000

10
21
100
log
< log
< log
10000
10000
10000
log10 -3 < log0,0021 < log10 -2
 3 < log0,0021 < 2
log 0,0021= 2,...
Üç tane sıfır

0 ile 1 arasındaki sayıların onluk logaritması negatiftir.
 nZ+ olmak üzere,10-n ( 0,01 - 0,001 - 0,000001 gibi)
haricindeki, 0 ile 1 arasındaki bir sayının ondalık
gösteriminde sıfırdan farklı ilk rakamının solunda kaç sıfır
olduğunu bulmak için sayının onluk logaritması alınır ve
çıkan sayının mutlak değerinin tam kısmına bir eklenir.
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
 nZ+ olmak üzere,10-n ( 0,01 - 0,001 - 0,000001 gibi)
hariç tutmamızın sebebi şudur: Örneğin
10-2 = 0 ,01
İki tane sıfır
sayısında sıfırdan farklı ilk rakamın solunda iki tane sıfır
vardır.
10-2 sayısının onluk logaritması alalım.
log10-2 = – 2
I – 2 I + 1 = 3 tane sıfır olması gerekirdi. Bu da 0,01
sayısındaki sıfırların sayısıyla çelişir.
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log 3 = 0,4771 olduğuna göre (0,03)30 sayısının ondalık
gösteriminde sıfırdan farklı ilk rakamın solunda kaç tane sıfır
varır?
ÇÖZÜM
log (0,03)30 = log(3.10– 2)30 = 30log(3.10– 2 )
= 30[ log3 + log10– 2 ]
= 30[ 0,4771– 2 ]
= 30[– 1,5229 ]
= –45,687
Sıfırdan farklı basamak sayısı : I – 45 I + 1 = 46
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log2( 0,05 ) sayısı hangi aralıkta değer alır?
ÇÖZÜM
5 = log 1
log20,05 = log2 100
2 20
24 < 20 < 25
( Taban 2 olduğundan 20 sayısını, 2 nin hangi iki ardışık tamsayı kuvvetleri arasında
olduğunu düşünmeliyiz.)
1
1
1
>
>
24 20 25
Ana Sayfaya Geri Dön

1
1
1
> log2 5
log2 4 > log2
20
2
2

 4 > log2
1
> 5
20

 5 < log2
1
< 4
20
www.muratguner.net
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
f(x) = ax ve g(x) = logax ters fonksiyonlar olduğundan
( x, y )f için ( y, x )g olur. Buna göre, üstel ve logaritma
fonksiyonları y = x doğrusuna göre simetriktir.
Aşağıdaki grafikleri inceleyiniz.
y = ax
y =x
y =x
y = logax
y = ax
y = logax
a >1 ise y = ax ve y = logax
artandır.
Ana Sayfaya Geri Dön
0 < a <1 ise y = ax ve
y = logax azalandır
www.muratguner.net
ÖRNEK
f : R+R , f( x ) = log3x ve bunun tersi olan g:RR+ ,
g(x) = 3x fonksiyonlarının grafiklerini aynı analitik düzlemde
gösteriniz.
ÇÖZÜM
x
1
y = 3x
y
3
…
9
3
log3x
0
1
…
2
x … –1
0
1
2 …
1
3
1
3
9 …
3x …
Ana Sayfaya Geri Dön
y =log3x
1
1
3
x
www.muratguner.net
ÖRNEK
f(x) = log2( x – 1 ) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM
Önce fonksiyonun tanım aralığını bulalım.
x – 1 > 0  x > 1 olmalıdır.Yani, fonksiyon ( 1, )
aralığında tanımlıdır.
y
3
3
x = 3 için f(
) = log2(
– 1) = – 1
2
2
2
x = 2 için f( 2 ) = log2(2 – 1 ) = 0
x = 3 için f( 3 ) = log2(3 – 1 ) = 1
x = 5 için f( 5 ) = log2(5 – 1 ) = 2
Ana Sayfaya Geri Dön
f(x)
2
1
1
2
3
5
x
www.muratguner.net
ÖRNEK
f(x) = – 2 + log2( x + 2 ) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y
ÇÖZÜM
x + 2 > 0  x > – 2 olmalıdır.
–2
f(x)
–1
2
x = – 1 için f(– 1) = – 2
–1
x = 0 için f( 0 ) = – 1
–2
x = 2 için f( 2 ) = 0
Ana Sayfaya Geri Dön
x
www.muratguner.net
ÖRNEK
f(x) = log4( 4 – x ) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM
4 – x > 0  4 > x veya x < 4
f(x)
y
1
x = 3 için f( 3 ) = 0
x = 0 için f( 0 ) = 1
3
4
x
" Öğretmenim
bu
örnekte taban
1aolmasına
rağmen
f( x ) y
Temel
mantıksöylediklerimiz
belli,ezber
yapmayınız.
değeri
artarken
Daha
önceki
y=>
log
x içinx geçerlidir.Burada
fonksiyonu
fonksiyon.Halbuki
evvel taban
değerleri
deazalan
artıyorsa
artan aksi
ise
logaritma
fonksiyonundaki
" 4halde
– x daha
"azalandır.
ifadesinde
x in >1
için artan –demiştiniz.Bu
bir tenakuzdolayı
değil taban
mi?" diye
merak
katsayısı
1,yani negatif.Bundan
>1 olmasına
edenler fonksiyon
için söyleyelim:
karşılık
azalandır.
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
f(x) = 1 + log3( x + 1 ) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
hangisidir? x =+ 201 >için
0 y =x2
1> – 1
2
1
–1
2
2
–1
2
1
–1
Ana Sayfaya Geri Dön
–1
2
–1
–1
2
www.muratguner.net
ÖRNEK
y
Yanda grafiği verilen fonksiyon
aşağıdakilerden hangisidir?
A) log2x
1
B) log1/2x
C) log2 ( x +1 )
D) log1/2 ( x +1 )
E) log3x
x = 1/2
1 için
için
y=
y=
0 1 ( azalan )
Ana Sayfaya Geri Dön
1/2
1
x
www.muratguner.net
ÖRNEK
y
y = loga( x – 3 )
2
3
5
Yandaki şekilde y = loga(x – 3 )
fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.Buna göre f( 7 ) = ?
x
ÇÖZÜM
( 5, 2 ) noktası grafiğin üzerinde olduğundan y = loga(x – 3 ) eşitliğini sağlar.
2 = loga(5 – 3 )
2 = loga2

a= 2
 f(x) = log
f(7) = log
Ana Sayfaya Geri Dön
2
2
(x  3)
(7  3) = 4
www.muratguner.net
ÖRNEK
f(x)
Yandaki grafik f(x) = loga(bx + c )
fonksiyonuna aittir. Buna göre a + b + c = ?
1
–2
2
ÇÖZÜM
– 2 için tanımsız
olduğundan bx+c=0
bx + c = 0  bx = – c  x = – c = – 2  c = 2b
b
1
x = 2 için loga(2b + c ) = 0  2b + c = 1  b = 4
1
x = 0 için loga(b.0 + c ) = 1  c = a  c = a = 2
1
1
1
5
a+b+c= 2 + 4 + 2 = 4
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
Yandaki şekilde f(x) = logax fonksiyonunun
grafiği verilmiştir. Buna göre f(2) + f–1 (1)=?
1
1
4
1
ÇÖZÜM
 1
-1
=
=
f
(x)
x
f(x)
log
 
1 üzerinde olduğundan y = log
( 1/4, 1 ) noktası
grafiğin
sağlar.

1
ax eşitliğini
1
1 = loga
 a=
4
4
4
4
1
-1
=
f (1)
f(x) = log 1 x
4
4
f(2) = log 1 2
4
1
= log -2 2 = 
2
2
Ana Sayfaya Geri Dön
f(2) + f -1(1) = 
1 1
1
+ =
2 4
4
x
www.muratguner.net
ÖRNEK
2009/MAT-2
Yandaki şekilde f(x) = logax
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre f(f(1/27)) değeri kaçtır?
1
1
3
ÇÖZÜM
( 1/3, 1 ) noktası grafiğin üzerinde olduğundan y = logax eşitliğini sağlar.
1 = loga
1
3

f(x) = log 1 x
a=

3
Ana Sayfaya Geri Dön
1
3
1
f(f(
)) = f(3 ) = 1
27
www.muratguner.net
ÖRNEK
y
f(x)
f–1(x)
8
A
2
6
B
6
2
C
8
x
Yandaki şekilde f(x) = 2x+1
ve f–1(x) fonksiyonlarının
grafikleri verilmiştir. [ AB ] // OY,
[ BC ] // OX olduğuna göre ABC
üçgeninin alanı kaç br2 dir?
ÇÖZÜM
x = 0 için f ( 0 ) = 20 + 1 = 2
x = 2 için f ( 2 ) = 22 + 1 = 8
Ana Sayfaya Geri Dön
Alan ( ABC ) = 6.6 = 18
2
www.muratguner.net
ÖRNEK
Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
y
y = log2x
y = log 1 x
4
y
y = log 1 x
2
y = log5x
yakın
1
uzak
uzak
1
yakın
2
5
x
1 1
4 2
1
x
Grafiklerin birinci bölgede kalan kısımlarına bakalım.y eksenine uzak
olan fonksiyonun tabanı daha büyüktür.
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
y = logcx
y = logbx
yakın
uzak
1
y = logax
Yandaki şekilde y=logax , y=logbx ,
y=logcx fonksiyonlarının grafiği
verilmiştir.Buna göre a,b ve c
değerlerini küçükten büyüğe doğru
sırlayınız.
ÇÖZÜM
y=logcx fonksiyonu azalan olduğundan 0 < c < 1
y=logax fonksiyonu artan olduğundan a >1
y=logbx fonksiyonu artan olduğundan b >1
Ana Sayfaya Geri Dön
a>b
c<b<a
www.muratguner.net
ÜSLÜ VE LOGARİTMALI DENKLEMLER
ÖRNEK
62x – 7.6x + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
6x = t dediğimizde 62x = t2
t2 – 7t + 6 = 0
–6
–1
t1 = 6

6x1 = 6

x1 = 1
t2 = 1

6x2 = 1

x2 = 0
( t – 6 )( t – 1 ) = 0
Ç.K = { 1, 0 }
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
100x = 10x + 6 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
100x = (102)x
(102)x = 10x + 6
(10x)2 = 10x + 6 ; 10x = t
t2 = t + 6
t1 = 3

10x = 3

x = log3
0 = t2 – t – 6
–3
2
t2 = – 2

X
10x = – 2
Ç.K = { log3 }
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
3.2x  4.3x = 0 ise x = ?
ÇÖZÜM
3.2x  4.3x = 0
3.2x = 4.3x
2x 4
=
x
3
3
x
2
4
=
 
3
3

4 = log4  log3
x = log2
 log3
log2
3
3
( 10 tabanında taban değiştirilip bölme işlemi uygulandı )
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
ex + e–x
ex
–
e–x
= 2 olduğuna göre x kaçtır? ( e doğal logaritma tabanı )
ÇÖZÜM
ex + e–x
ex – e–x
=2

ex + e–x = 2ex – 2e–x
3e–x = ex
ex.3e–x = ex.ex
3 = e2x
2x = ln3
ln3
x=
2
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
3x + 2.3– x+1 – 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
3x – 2.3 1x – 5 = 0
3
( 3x = t )

t2 – 5t – 6
=0
t
t2 – 5t – 6 = 0
–3
–2
t1 = 3
ve
ve
t2 = 2
3x1 = 3
3x2 = 2
x1 = 1
x2 = log32
Ç.K = { 1, log32 }
Ana Sayfaya Geri Dön
t0
www.muratguner.net
ÖRNEK
3x–1 = 2x +1 denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM – 1
Her iki tarafın 10 tabanında logaritması alınırsa
log( 3x–1 ) = log( 2x +1 )
( x – 1 )log3 = ( x + 1) log2
xog3 – log3 = xlog2 + log2
xog3 – xlog2 = log3 + log2
x( log3 – log2 ) = log3 + log2
Ç.K =
Ana Sayfaya Geri Dön
log3 + log2
log3 – log2
www.muratguner.net
ÖRNEK
3x–1 = 2x +1 denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM – 2
3x–1 =
2x +1

3x = 2x.2
3
3x = 3.2
2x
3 x 6
=
2

log 6 = x
3
2
log3 + log2
Ç.K =
log3 – log2
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
6x +12 = 2x+2 + 3x+1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
6x +12 = 2x+2 + 3x+1
2x.3x +12 = 2x.4 + 3x.3
3x.2x – 2x.4 – 3x.3 +12 = 0

2x( 3x – 4 ) –3( 3x – 4 ) = 0
( 3x – 4 )(2x – 3 ) = 0
3x = 4
log34 = x2
2x = 3
log23 = x1
Ç.K = { log23, log34 }
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
4x +2.9x = 3.6x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
22x +2.32x = 3.3x.2x
; 3x = a, 2x = b
b2 +2a2 = 3.a.b
0 = b2 – 3ab + 2a2
b
b
– 2a
–a
0 = ( b – 2a)( b – a )
b=a
b = 2a
2x = 3x
2x = 2.3x
x1 = 0
Ana Sayfaya Geri Dön
Ç.K = { 0 , log 2 2 }
3

x
 2
  = 2  x2 = log2 2
3
3
www.muratguner.net
ÖRNEK
x+y
3 = 6 ise
=?
xy
ÇÖZÜM
x + y ylog 3 6 + y y(log 3 6 + 1)
3x = 6y
=
=
y(log 3 6  1)
x  y ylog 3 6  y
y
x
x
y
log3 = log6
xlog3 = ylog6
y.log6
x=
log3
x = ylog 3 6
Ana Sayfaya Geri Dön
=
log3 6 + log3 3
log3 6  log3 3
log 3 (6.3) log318
=
=
6
log3 2
log 3  
3
= log 218
www.muratguner.net
ÖRNEK
25x – 2.5x+1 + 24 = 0 denkleminin kökler toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
25x – 2.5x+1 + 24 = 0
( 52)x – 2.5x.5 + 24 = 0
( 5x)2 – 10.5x + 24 = 0
; 5x = a
a2 – 10a + 24 = 0
a1.a2 = 24
x
1
5 .5
5
x
2
x1+ x 2
Ana Sayfaya Geri Dön
; kökler çarpımı c/a
= 24
= 24

x1 + x 2 = log5 24
www.muratguner.net
ÖRNEK
9x + 571.3x + 27 = 0 denkleminin kökler toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
( 32 )x + 571.3x + 27 = 0
( 3x )2 + 571.3x + 27 = 0
3x = t
t 2 + 571.t + 27 = 0
t 1.t2 = 27
3x1. 3x 2 = 27
3x1+ x 2 = 33
Ana Sayfaya Geri Dön

x1 + x2 = 3
www.muratguner.net
ÖRNEK
logx2
– 4.3 logx + 3 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
3
ÇÖZÜM
2logx
3
– 4.3 logx + 3 = 0
3 logx = t olsun
t1 = 3

3 logx = 3

x1 = 10
t2 = 1

3 logx = 1

x2 = 1
t2 – 4t + 3 = 0
–3
–1
Ç.K = { 1, 10 }
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
xlog2x = 212.x denkleminin kökler çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM
Her iki tarafın 2 tabanında logaritması alınırsa
t2 = 12 + t
log2 ( x log2 x ) = log2 ( 212.x )
t2 – t – 12 = 0
log2 x. log2 x = log2 212 + log2 x
log2 x. log2 x = 12.log2 2 + log2 x
log2 x. log2 x = 12 + log2 x
t 1 + t2 = 1
;log22 = 1
;log2x = t
log2x1 + log2x2 = 1
log2( x1. x2) = 1
x1. x2 = 21 = 2
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
x
log2 x
= 2 .x denkleminin kökler çarpımı kaçtır?
12
ÇÖZÜM – 2
log2 x = t  2 = x
t
(2t )t = 212.2t
t2
12 + t
2 =2
t2 = 12 + t
t2 – t – 12 = 0
t 1 + t2 = 1
log2x1 + log2x2 = 1
log2( x1. x2) = 1
x1. x2 = 21 = 2
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log x
x 3 = 81 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM – 1
2
x= t  x = 3t
log
log
x
x 3 3 = 81 ( eşitliğinde her iki tarafının 3 tabanında logaritması alınırsa )
t
log
4 x
=
3
log3 x 3
3t
= log381
t2
3 = 34
t2 =
4
t=  2
Ana Sayfaya Geri Dön

( log3x ).(log3x ) = log334
( log3x )2 = 4
x1 = 32 = 9
log3x = 2
x = 32 = 9
x2 = 3– 2= 1/9
log3x = – 2
x = 3-2 = 1/9
Ç.K = { 9 , 1/9 }
Ç.K = { 9, 1/9 }
www.muratguner.net
ÖRNEK
xlnx = e denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM – 2
1
Her
 x =lnetdeğerini alalım.
lnx =iki
t tarafın
 ln(xt lnx
t ) = lne
e  e =e
2
[lnx
]
=1
2
t
=e
xlnx
lnx =
x
=e
lnx = 1
t2 = 1  t = 1
x1 = e
e
Ana Sayfaya Geri Dön

1
=
1
e
x1 = e , 1
x2 = e
1
x2 = e =
e
Ç.K = { e, 1/e }
Ç.K = { e, 1/e }
www.muratguner.net
ÖRNEK
xlogx –10x = 0 denkleminin farklı kökler çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM – 1
xlogx –10x = 0

xlogx = 10x
log( xlogx ) = log(10x )
( logx )( logx ) = log10 + logx
; logx = t
t2 – t – 1 = 0
t1 + t2 = 1
logx1 + logx2 = 1
log(x1.x2 ) = 1
Ana Sayfaya Geri Dön

x1.x2 = 10
www.muratguner.net
ÖRNEK
xlogx –10x = 0 denkleminin farklı kökler çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM – 2
logx = t ise x = 10t olur.
10t
10t
t
– 10.10t = 0
t
= 10t+1

2
10t = 10t+1

t2 = t + 1
t2 – t – 1 = 0
t1 + t2 = 1
logx1 + logx2 = 1
log(x1.x2 ) = 1
Ana Sayfaya Geri Dön

x1.x2 = 10
www.muratguner.net
ÖRNEK
3 + 2log2 ( x + 2 ) = log2( 6 – x ) + log2(8x +16 ) olduğuna
göre, x kaçtır?
ÇÖZÜM
3 + 2log2 ( x + 2 ) = log2( 6 – x ) + log28(x +2 )
3 + 2log2 ( x + 2 ) = log2( 6 – x ) + log28 + log2(x +2 )
3 + 2log2 ( x + 2 ) = log2( 6 – x ) + 3 + log2(x +2 )
log2 ( x + 2 ) = log2( 6 – x )
x+2=6–x
2x = 4
x=2
Ana Sayfaya Geri Dön
;x>–2
6>x
www.muratguner.net
ÖRNEK
log ( a+b ) = loga + logb – 2
olduğuna göre b'nin a türünden değeri nedir? ( a,bR+ )
ÇÖZÜM
log ( a + b ) = loga + logb – 2
log ( a + b ) = logab – log102
 ab 
log(a+ b) = log  2 
 10 
ab
+
=
a b
 ab = 100a + 100b
100
100a
100a = ab – 100b  b =
a  100
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log5( x2 – 8 ) – log7( x – 2 ) = 0 denkleminin çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) {– 3,3 }
B) { – 3 }
C) { 3 }
D) { 3,9 }
E) { 2, 3}
ÇÖZÜM – 2
1
UYARI
log
( x2sorularda
– 8 ) = log
2)
Bu 5tip
cevap
denemek bazen daha
kolay
7( x – şıklarını
a ve b
olur.
birbirinden farklı
x2 – 8 = 1
x–2=1
x = 3 için
logaritma tabanı
2
x
=
3
x =9
olsun.
log5( 9 – 8 ) – log7( 3 – 2 ) = 0
logax = logby
x=3
x=–3
denkleminin x=1
ve y=1 için
Ç.K = { 3 }
çözümü vardır.
x
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
UYARI
logx2 =1 denklemi için iki çözüm vardır.Sizce hangisi doğrudur?
logx2 =1
logx2 =1
 2logx =1
x2 =10
logx =1/2
x =  10
Ç.K = {
10 , 10 }
x = 101/2
Ç.K = { 10 }
Birinci çözüm doğrudur.NEDEN?
logx2 =1 denkleminde her şeyden önce x2 > 0 olmalı.Bu
eşitsizlik x = 0 hariç her x reel sayısı için doğrudur.O halde x
pozitif de olabilir negatif de .
Peki ikinci çözümde PROBLEM NEREDE?
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
x2 ifadesindeki 2 yi başa atma hakkımız elbette mevcut; fakat
yukarıda belirttiğimiz gibi, x pozitif mi negatif mi bilmiyoruz.Bu
yüzden
x negatif olabilir.
logx2 =1
 2logx =1
logx2 =2logIxI yazmalıydık.
İKİNCİ ÇÖZÜMÜN TASHİHLİ HÂLİ
logx2 =1
 2logI x I =1
logI x I =1/2
I x I = 101/2
Ç.K = {
Ana Sayfaya Geri Dön
10 , 10 }
www.muratguner.net
UYARI
aR+– { 1 } ,nZ ve f(x) bir fonksiyon olmak üzere
logaf(x)2n = 2n loga I f( x ) I , f(x)  0
(çift kuvvet başa atılırken, logaritmanın içindeki ifadenin mutlak değeri alınır.)
logaf(x)2n = 2n loga f( x ) , f(x) > 0
f(x) = log
a
2n x =
1
logIaI x, a  0 ve I a I  1
2n
1
f(x) = log 2n x =
loga x, a > 0 ve a  1
a
2n
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log2x2 = 2 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) { 2 }
B) { – 2 } C) { – 2, 2 } D) {2,4}
E) { – 2,4 }
ÇÖZÜM
log2x2 = 2
log2x2 = log24
2log2x = 2
x2 = 4
log2x = 1
x=2
x = 2
Ya da;
2log2I x I = 2
log2I x I = 1
IxI=2
x = 2
Ç.K = { – 2, 2 }
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
ln(x+1)2 = 2 olduğuna göre x'in alabileceği değerler toplamı
kaçtır?
ÇÖZÜM
ln(x+1)2 = 2

2lnI x + 1 I = 2
lnIx+1I= 1
Ix+1I= e
x +1 = e
x1 = e – 1
x+1=–e
x2 = – e – 1
x1 + x2 = – e – 1 + e – 1 = – 2
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log
(2x 1)
4
(5

x)
= 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
2
ÇÖZÜM
log
Ya da;
(5  x) = 2
4
(2x 1)2
[(2x 1) ]
2 2
log
= (5  x)
4
2x 1 = 5  x
x=2
2x  1 = 5 + x
Ç.K = { – 4, 2 }
Ana Sayfaya Geri Dön
x = 4
4
log 2x 1 5  x = 2
2
...
(2x  1)4 = (5  x) 4
(2x 1)
4
(5

x)
=2
2
www.muratguner.net
ÖRNEK
lnx2
( e)
= 5 olduğuna göre x = ?
ÇÖZÜM
lnx2
( e)
=5

( e )2lnIxI = 5
lnIxI
[( e ) ]
2
=5
e lnIxI = 5
IxI = 5
x = 5
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
(e– 4)
lnx
ln( lnx.lny ) = 2 ve ln( lny ) = 6 ise x
=?
ÇÖZÜM
ln( lnx.lny ) = 2

ln( lnx ) + ln( lny ) = 2
ln( lnx ) = 6
lny

ln( lnx ) – ln( lny ) = 6
+
2ln( lnx ) = 8
ln( lnx ) = 4
lnx = e4
( e4 )
x=e
( e– 4 )
x
Ana Sayfaya Geri Dön
= [e
–4
( e4 ) ( e )
]
(e0)
= e
= e
www.muratguner.net
ÖRNEK
log 2 3  log 2 (x + 2)
= 1 olduğuna göre x değeri kaçtır?
 1 + log 2 (3  x)
ÇÖZÜM
log 2 3  log2 (x + 2)
=1
 1 + log2 (3  x)
log 2 3  log 2 (x + 2) =  1 + log 2 (3  x)
3
3x
=
log 2
log 2
x+2
2
3
3x
=
x+2
2
Ana Sayfaya Geri Dön

Paydayı sıfır yaptığı
için x =1 çözüme
dahil edilmez.
x
x =0 V x =1
Ç.K = { 0 }
www.muratguner.net
ÖRNEK
a ve b sayma sayılarıdır.
log5100! =a + log5b olduğuna göre a en çok kaçtır?
ÇÖZÜM
a sayısını 5 tabanında yazalım.
log5100! = log55a + log5b
log5100!= log5(5a.b)
100! = 5a.b
" 100!
de kaç
tane 5
var? "
100 5
20
0
20 5
4
0
a sayısı en çok 20+4 = 24 olur
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
ln(
x3.y2 )
2
x
) = 8 ise
= 19 , ln(
y
x
y
=?
ÇÖZÜM
ln( x3.y2 ) = 19  lnx3 + lny2 = 19  3lnx + 2lny = 19
2
x
ln(
)=8
y
 lnx2 – lny = 8
 2 2lnx – lny = 8
3lnx + 2lny = 19
4lnx – 2lny = 16
lnx = 5 ise x = e5
lny = 2 ise y = e2
x
= e3
y
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
2x2 – ln( 4x.3x ) + ln2.ln3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
l ex1 – ex2 I = ?
ÇÖZÜM
2x2 – [ ln4x + ln3x ] + ln2.ln3 = 0
x
Ie 1
e
x
2
I = I eln2  eln 3 I
2x2 – [ ln22x + ln3x ] + ln2.ln3 = 0
=I2 3 I
2x2 – [ 2xln2 + xln3 ] + ln2.ln3 = 0
= 2 3
2x2 – x [ 2ln2 + ln3 ] + ln2.ln3 = 0
– ln3
– ln2
2x
x
1
1
x2 = ln3 = ln3 2 = ln 3
2
Ana Sayfaya Geri Dön
x1 = ln2
www.muratguner.net
ÖRNEK
log5( n +3 )! – log5(n + 2 ) – log(n+1)! = 3 ise n kaçtır?
ÇÖZÜM
(n + 3)!
=3
log5
(n + 2).(n + 1)!
(n + 3)!
=3
log5
(n + 2)!
(n + 3).(n + 2)!
=3
log5
(n + 2)!
log5 (n + 3) = 3
Ana Sayfaya Geri Dön

n + 3 = 53

n + 3 = 125
n = 122
www.muratguner.net
ÖRNEK
7
27 = denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
4
log3 x + logx
ÇÖZÜM
log 3
1
x2
+ log x
3
32
=
7
4
1
3
7
+
=
log 3 x
log x 3
2
2
4
t 3 1 7
+ . =
2 2 t 4
2t + 6  7t
=0
4t
2
Ana Sayfaya Geri Dön
2t 2  7t + 6 = 0
2t
t
t0
–3
–2
t =2

log x = 2

x =9
3
t =
2
2

log x =
3
2

x = 27
t 0

log x  0

x 1
1
3
3
3
3
Ç.K=
{ 9, 27 }
www.muratguner.net
ÖRNEK
1979
log3 (log2 32) = log9 x olduğuna göre x değeri kaçtır?
ÇÖZÜM
log3 (log2 32) = log9 x

log3 (log2 25 ) = log9x
log3 (5log2 2) = log9x
log9 25 = log9x
x = 25
Ana Sayfaya Geri Dön
2
log3 5 = log9 x
2
log 2 5 2 = log9 x
3
…
log3 5 = log9x
www.muratguner.net
ÖRNEK
log4 x = 2 + log16 x olduğuna göre x değeri kaçtır?
ÇÖZÜM
log4 x = 2 + log16 x

2
log 4 x = 2 + log16 x
2
log x2 = 2 + log16x
42
log16x 2  log16x = 2
log16
x2
=2
x
log16 x = 2
Ana Sayfaya Geri Dön

x = 256
www.muratguner.net
ÖRNEK
Ana Sayfaya Geri Dön
2012-LYS
www.muratguner.net
ÖRNEK
log x 4 = 2log 1 5 + 2 olduğuna göre x değeri kaçtır?
ÇÖZÜM
x
log x 4 = 2log 1 5 + 2
x
logx 4 = 2log
2
5
+
log
x
x
x-1
log x 4 = 2log x 5 + log x 2
x
log x 4 = log x 5  2 + log x 2
x
 x2 
x2
  4 =
log x 4 = log x 
25
 25 
Ana Sayfaya Geri Dön

x2 = 100

x = 10
www.muratguner.net
ÖRNEK
4log3 x
log3 9
1995 - II
27
olduğuna göre x değeri kaçtır?
3 x
= log
ÇÖZÜM
4log3 x
27
= log
3 x
2
log3 3

4log3 x
2log3 3
27
3 x
= log
2log3 x = log3
27
x
27
=
log3 x
log3
x
27
2
=
x
 x3 = 27
x
2
Ana Sayfaya Geri Dön

x=3
www.muratguner.net
ÖRNEK
log3 (x 2 + 1)
= log5 (x + 3)
log3 5
olduğuna göre x in alacağı değerlerin çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM
log3 (x 2 + 1)
= log5 (x + 3)
log3 5
log5 (x 2 + 1) = log5 (x + 3)
x2 + 1 = x + 3
x2  x  2 = 0
Ana Sayfaya Geri Dön

x1.x2 = – 2
www.muratguner.net
ÖRNEK
log(logx)
= 2 olduğuna göre x değeri kaçtır?
x logx
ÇÖZÜM
log(logx)
=2
x logx
( her iki tarafının 10 tabanında logaritmasını alalım )
log(logx)
= log2
logx logx
log(logx)
logx = log2
logx
log( logx ) = log2
Ana Sayfaya Geri Dön
 logx = 2 
x = 100
www.muratguner.net
ÖRNEK
2
x
=
3
1
x
olduğuna göre x değeri kaçtır?
ÇÖZÜM
Her iki tarafının 10 tabanında logaritmasını alalım
log 2
x
1
= log 3 x
x .log 2 =
1
.log 3
x
1
x .log 2 =
.log 3
x
x . x .log 2 = log 3
log 3
x=
log 2
= log
2
= log2 3
Ana Sayfaya Geri Dön
3
www.muratguner.net
ÖRNEK
aR olmak üzere x2 – x.log5100 + a = 0 denkleminin bir
kökü log54 olduğuna göre a kaçtır?
ÇÖZÜM
x2 – x.log5100 + a = 0 denkleminin x1 = log54 diğer kökü x2
olsun.
log54 +x2 = log5100
b
( x1+ x2= –
)
a
(2). log54 = a
( x1.x2 =
x2 = log5100 – log54
a = log542
x2 = log525
a = log516
x2 = 2
Ana Sayfaya Geri Dön
c
a
)
www.muratguner.net
ÖRNEK
log3( 3-2x – 9.3–x + 1 ) = 2 – 3x eşitliğini sağlayan x kaçtır?
ÇÖZÜM
log3( 3-2x – 9.3–x + 1 ) = 2 – 3x  3-2x – 9.3–x + 1 = 32 – 3x
33x( 3-2x – 9.3–x + 1) = ( 32 – 3x ).33x
3x – 9.32x + 33x = 9 ; a = 3x
a3 – 9a2 + a – 9 = 0
a2( a – 9 ) + ( a – 9) = 0
( a – 9 ).( a2 + 1 ) = 0
a=9
Ana Sayfaya Geri Dön

a = 3x = 9 ise x = 2
www.muratguner.net
ÖRNEK
log3x – 2logx3 = 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
log3x – 2logx3 = 1
2
log3 x 
=1
log x
3
( log3x = t )

2
t
=1
t
t2  t  2
=0

t
t2 – t – 2 = 0 ve
–2
1
t1 = 2
ve
t0
t2 = – 1
log3x1 = 2
log3x2 = – 1
x1 = 9
x2 = 1/3
Ç.K = { 9, 1/ 3 }
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
lnx – 3logxe = 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
( lnx = t )
1
logxe =
=
logex
lnx – 3logxe = 2

1
lnx
3
lnx –
–2=0
lnx

t2 – 2t – 3
=0
t
t2 – 2t – 3 = 0
–3
t1 = 3
lnx1 = 3
x1 = e3
Ana Sayfaya Geri Dön
ve
ve
t0
1
t2 = – 1
t0
lnx2 = – 1
lnx  0
x2 = e– 1
x1
www.muratguner.net
ÖRNEK
eln(x+10) = 100log(2 – x ) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
eln(x+10) = 100log(2 – x )

x +10 = ( 102 )log( 2 – x )
x +10 = 102log(2 – x )
x +10 =
2
log(2
–
x
)
10
x +10 = ( 2 – x )2
x +10 = 4 – 4x + x2
0 = x2 – 5x – 6
–6
1
Ç.K = { – 1 }
Ana Sayfaya Geri Dön
x2 = – 1
x
x1 = 6
www.muratguner.net
ÖRNEK
log2x = 3 + 2logx denklemini sağlayan x değerlerinin
çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM
log2x = 3 + 2logx

log2x – 2logx – 3 = 0
logx
logx
logx = 3
x1 = 103
–3
1
logx = – 1
x2 = 10–1
x1.x2 = 103.10-1 = 102 = 100
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log326! = a ise log927! 'in a cinsinden değeri kaçtır?
ÇÖZÜM
log927! = log927 + log926! ; 27!=27.26!
1
3
= log32 3 + log32 26!
3
1
+
log3 26!
= log3 3
2
2
=
3+a
2
Ana Sayfaya Geri Dön
a
www.muratguner.net
ÖRNEK
1
1
1
1
+
+
+ ... +
= 72 ise x = ?
log 2 x
log 4 x
log 8 x
log 256 x
ÇÖZÜM
log x 2 + log x 4 + log x 8 + ... + log x 256 = 72
log x (2.2 2.23.2 4.25.26.27.28 ) = 72
+ 2+3+ 4+5+ 6+7+8
log x 21
= 72
log x 2 36 = 72
36log x 2 = 72
log x 2 = 2  x2 = 2 ise x = 2
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
( log2x )2 + ( log3x )2 = ( log2 )2 + ( log3 )2
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
( log2 + logx )2 + ( log3 + logx )2 = ( log2 )2 + ( log3 )2
( log2) 2 .2log2.logx + (logx) 2 + ( log3) 2 + 2log3.logx + (logx) 2 = ( log2 )2 + ( log3 )2
.2log2.logx
+ (logx) 2 + 2log3.logx + (logx) 2 = 0
2logx [ log2 + log3 + logx] = 0
2logx [ log6x ] = 0
logx = 0 ise x = 1
Ana Sayfaya Geri Dön
log6x = 0 ise x =
1
6
www.muratguner.net
ÖRNEK
log 9x 9 = log x 3 ise x = ?
ÇÖZÜM
log9x 9 = log x 3
log 9x 9 =
2
log x 3
2
log9x 9 = log 32
x2
log9x9 = log 9
x2
9x = x2

Ana Sayfaya Geri Dön
X
x = 0 ve x = 9
www.muratguner.net
ÖRNEK
 2x  log x 6 +  6x log x 2 = 32 ise x = ?
ÇÖZÜM
2
log x 6
.x
log x 6
2
+ 6 log x 2.x log x 2 = 32
.6 + 2
log x 6
.2 = 32
log x 6
8.2
2
2
log x 6
= 32
log x 6
=4
log x 6
= 22
log x 6 = 2
Ana Sayfaya Geri Dön

x2 = 6

x= 6
www.muratguner.net
ÖRNEK
a, b, cR – { 0 } olmak üzere 3a = 5b = 9c olduğuna göre
b b
+ =?
a c
ÇÖZÜM
3a =
5b
5b = 9c

log3a=log5b
 alog3=blog5 
b log3
=
= log5 3
a log5
 log5b=log9c  blog5=clog9  b = log9 = log5 9
c
log5
b b
+ = log 5 3 + log 5 9 = log 5 27
a c
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log3x5x
5
= 3 olduğuna göre log ( 60x ) değeri kaçtır?
2
ÇÖZÜM
log53 = log3x5x
; y = logax  x = ay
1
Bu eşitliğin sağlanması için 5x =
3
gereklidir.
Buradan x =
, 3x =
olması
1
olduğu görülür.
15
log ( 60x ) = log ( 60. 1 ) = log 4 = log 22 =
15
2
2
2
2
1
2
Ana Sayfaya Geri Dön
1
5
2
1
2
log22 = 4
1
www.muratguner.net
ÖRNEK
log3135
log3 45
–
işleminin en sade halini yazınız.
log75 3
log675 3
ÇÖZÜM
log3135
log345
–
=
= log3135.log 375  log345.log3675
1
1
log375
log3675
= ( log33 + log345 )log375 – log345( log39 + log375 )
= ( 1 + log345 )log375 – log345( 2 + log375 )
= log375 + log345 .log375 – 2log345 – log345. log375
= log375 – 2log345 = log375 – log3452 = log3( 75 /452 ) = – 3
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
a  b için log a 5b = log b 5a ise log 5 (ab) = ?
ÇÖZÜM
loga 5b = logb 5a

log5b log5a
=
loga
logb

log5+ logb log5+ loga
=
loga
logb
2
log5.logb + [logb] = log5.loga + [loga]2
log5.logb log5.loga = [loga]2 [logb]2
 log5[loga  logb]= [loga logb][loga+ logb]
log5 -1 = [loga + logb ]
log5
Ana Sayfaya Geri Dön
-1
= logab
 log 5 ab = log 5 5
1
= 1
www.muratguner.net
ÖRNEK
xx = 64 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
xx = 64 denkleminin
NEWTON
YÖNTEMİ çözüm kümesini bulmak
nâmümkün.Ancak
Newtonyaklaşık
Yöntemiyle
çözümü
Bir
f(x) fonksiyonun kökünü
olarakyaklaşık
veren çok
etkili bir
bulunabilir.Aşağıdaki
işlemleri
inceleyiniz.
yöntemdir.Önce
fonksiyonun
birinci
türevi alınır ve f(x) = 0
eşitliğini sağlayan bir yaklaşık x1 kökü bulunur.Bu kök tam sayı
olabilir.Sırası ile ,
x 2 = x1 
f( x 3 )
f( x 1 )
f( x 2 )
,
x
=
x

,
x
=
x

...
4
3
2
3
ı
ı
ı
f ( x1)
f ( x2 )
f ( x3 )
ile gerçek köke biraz daha yaklaşılır. (Ancak bu yöntemin bazen
işlemediği durumlar da vardır.Yani bir sonraki adımda yakınsama değil ıraksama
ile de karşılaşılabilir.Fakat bu durum fazla değildir.)
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
Verilen denklemi f(x) = xlnx – ln64 = 0 şeklinde yazalım.
Bu denklemin yaklaşık kökü 4 tür.Bu fonksiyonun türevi ise
lnx + 1 dir.Buna göre x2, x3,… değerleri dokuz basamaklı
yaklaşıkla,
x2 =3,419059784, x3 = 3,399147668, x4= 3,399121540
x5 = 3,399121540, …
En son bulunan 3,399121540 değeri gerçek köke çok
yakındır.Gerçekten de
3,3991225403,399122540 = 63,999999999
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÜSLÜ VE LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER
ÖRNEK
22x+1 > 43x – 5 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
ÇÖZÜM
a > 1 ise ab > ac  b > c
22x+1 > 43x – 5
22x+1 > ( 22 )3x – 5
0 < a < 1 ise ab > ac  b < c
22x+1 > 26x – 10
2x+1 > 6x – 10
11 > 4x
11/4 > x
Ana Sayfaya Geri Dön
Ç.A = ( – , 11/4 )
www.muratguner.net
ÖRNEK
 2 
 
 5 
2x 1
 4 
< 

25


 x 1
eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
ÇÖZÜM
 2 
 
 5 
2x 1
 4 
< 

 25 
 x 1

 2 
 
 5 
 2 
 
 5 
2x 1
2x 1
2
<  
5
2(  x 1)
2
<  
5
2x 2
2x – 1 > – 2x – 2
x > – 1/4
Ana Sayfaya Geri Dön
Ç.K = (– 1/4 ,  )
www.muratguner.net
 a  R+ – { 1 } olmak üzere f:R+R, f(x) = log x
a
fonksiyonunun grafiğinin, a’ya bağlı olarak, iki türlü olduğunu
biliyorsunuz.
y = logax
b
logac
c
a>1
logab
1
b
logab
0<a<1
logac
y = logax
c
Artan fonksiyon
b < c  logb < logc
Ana Sayfaya Geri Dön
Azalan fonksiyon
b < c  logb > logc
www.muratguner.net
ÖRNEK
log2( x – 3 ) < 4 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
ÇÖZÜM
log2( x – 3 ) < 4

Taban > 1 olduğu
için eşitsizlik yön
değiştirmez.
log2( x – 3 ) < log224
x – 3 < 16
x < 19
Ç.A = { 3 < x < 19 }
veya
log2( x – 3 ) < 4

x – 3 < 24
x < 19
Ana Sayfaya Geri Dön
x–3>0
x>3
www.muratguner.net
ÖRNEK
log( x – 5 ) > 0 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
ÇÖZÜM
log ( x – 5 ) > 0

Taban > 1 olduğu
için eşitsizlik yön
değiştirmez.
log ( x – 5 ) > log1
x–5>1
x>6
Ç.A: (6,)
veya
log ( x – 5 ) > 0

x – 5 > 100 = 1
x>6
Ana Sayfaya Geri Dön
x–5>0
x>5
www.muratguner.net
ÖRNEK
f(x) = 2  log3 (x + 1)
fonksiyonunun en geniş tanım aralığında kaç tane tamsayı
vardır?
ÇÖZÜM
f(x)
fonksiyonunda
2  log
(x + 1)  0 kökün derecesi çift olduğundan
x +1> 0
3
fonksiyonun tanımlı olması için;
x > 1
2  log3 (x + 1)
log3 (x + 1)  2
(x + 1)  3 2

x8
Fonksiyonunun en geniş tanım aralığı: – 1 < x  8 olup 9
farklı tamsayı değeri alır.
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log( 6 – x )  log( x – 2 ) eşitsizliğinin çözüm aralığını
bulunuz.
ÇÖZÜM
log( 6 – x )  log( x – 2 )
Taban > 1 olduğu
için eşitsizlik yön
değiştirmez.

6–xx–2
8  2x
4x
Ç.A: [4,6 )
Ana Sayfaya Geri Dön
x–2>0
x>2
6–x>0
x<6
www.muratguner.net
ÖRNEK
log 1 (x  2) > 1 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
2
ÇÖZÜM
log 1 (x  2) > 1

2
Taban < 1 olduğu
için eşitsizlik yön
değiştirir.
log 1 (x  2) > log 1
2
2
x2<
1
2
1
x–2>0
2

x<
5
2
Ç.A: (2,5/2)
Ana Sayfaya Geri Dön
x>2
www.muratguner.net
ÖRNEK
1+lnx  ln2 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
ÇÖZÜM
1+lnx  ln2

lnx  ln2 – 1
x>0
lnx  ln2 – lne
lnx  ln 2
e
x2
e
( Taban > 1 olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez.)
Ç.A: (0,2/e )
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log22 x  5log2 x + 6  0 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
ÇÖZÜM
log2x= t
2
t  5t + 6  0
t =3
t=2
x
t 2  5t + 6  0
2
+
3
–
+
2t 3
2 ≤ log2x ≤ 3
4x8
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
log3x  logx3 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
ÇÖZÜM
log3x  logx3 ( x > 0 ve x  1)
1
log x 
3
log x
3
t
1
0
t
t2 – 1  0
t

t2 – 1= 0
t = 1
t≠0
Ana Sayfaya Geri Dön
–1
t
t2  1
0
t
–
t –1
log3x  – 1
1

x
3
0
+
1
–
+
0<t 1
0 < log3x ≤ 1
1<x3
Ç.A: ( 0,1/3 ] U ( 1,3]
www.muratguner.net
ÖRNEK
log2(1 – log3x)  1 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
ÇÖZÜM
log2(1 – log3x)  1 olması için
1 – log3x)  2
,
1 – log3x > 0
ve
x>0
0 < 1 – log3x  2
–1< – log3x  1
1 > log3x  –1
– 1 log3x < 1
Ana Sayfaya Geri Dön

1
x<3
Çözüm Aralığı:
3
www.muratguner.net
ÖRNEK
log2[ log3( 1– x )] < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
log2[ log3( 1– x )] < 0
log3( 1– x ) < 20 = 1
Ayrıca
log3( 1– x ) > 0
ve
1– x > 0
x<1
Ana Sayfaya Geri Dön
0 < log3( 1– x ) < 1
30 < 1– x < 31
1 < 1– x < 3
0<–x<2
0 > x > –2
–2<x<0
www.muratguner.net
ÖRNEK
2010 LYS
0 ≤ log2( x – 5 ) ≤ 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam
sayısı vardır?
ÇÖZÜM
0 ≤ log2( x – 5 ) ≤ 2
1≤ x–5≤4
6≤ x ≤9
Ç.K = { 6, 7, 8, 9 }
Ana Sayfaya Geri Dön
x–5>0
x>5
www.muratguner.net
ÖRNEK
log3 (x + 1)  log 1 (3  x)  1
3
eşitsizliğinin çözüm aralığını
bulunuz.
ÇÖZÜM
log3 (x + 1)  log 1 (3  x)  1
(3  x)

1
3
3>x
x<3
x > 1
3
log3 (x + 1)  log
3x > 0
x +1 > 0
1
log3 (x + 1) + log3 (3  x)  1
log3 [(x + 1)(3  x)]  1
(x + 1)(3  x)  3
0
x
x2  2x  0
+
2
–
+
 x 2 + 2x  0
x  2x  0
2
Ana Sayfaya Geri Dön
Ç.A: [ 0,2 ]
www.muratguner.net
ÖRNEK
x 5
log 1
 1+ log2 x eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
12
2
ÇÖZÜM
x 5
log 1
 1+ log2 x
12
2
12
 2x
x 5
log2
12
 log2 2x
x 5
Ana Sayfaya Geri Dön
6  x(x  5)
x 2  5x  6  0
x 5
> 0  x 5 > 0  x > 5
12
x 5
log -1
 log2 2 + log2 x
2
12

–1
x
x 2  5x  6  0
+
6
–
+
Çözüm Aralığı : [ 6,)
www.muratguner.net
ÖRNEK
logx( 2x – 1 ) > logx( x + 3 ) eşitsizliğinin çözüm kümesini
bulunuz.
ÇÖZÜM
x > 1ise
2x – 1 > x + 3

0 < x < 1 ise 2x – 1 < x + 3
Ç1= ( 4, )
x>4

x<4
logx( 2x – 1 ) > logx( x + 3 ) eşitsizliği,
2x – 1 > 0
x+3>0


x >1/2
x > – 3 için tanımlıdır.
Ç.K = ( 1/2,1 ) U ( 4,)
Ana Sayfaya Geri Dön
Ç2= ( 0,1 )
www.muratguner.net
ÖRNEK
2008 MAT – 2
log49 + log2( a – 3 ) < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane a tam
sayısı vardır?
ÇÖZÜM
a–3>0
log49 = log23
log23 + log2( a – 3 ) < log216
log2 [ 3.( a – 3 )] < log216
3a – 9 < 16
3a < 25
a < 8,..
Ç.K = { 4, 5, 6, 7, 8 }
Ana Sayfaya Geri Dön
a>3
www.muratguner.net
ÖRNEK
 1 < log 2 (log 4 (x  2)) < 1 eşitsizliğinin çözüm aralığında kaç
tamsayı vardır?
ÇÖZÜM
 1 < log 2 (log 4 (x  2)) < 1
1
< log 4 (x  2) < 2
2
2 < x  2 < 16
log 4 (x  2) > 0
x2>0
x2 >1
x>2
x>3
4 < x < 18
x  { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 } olup 13
tane x tamsayısı vardır.
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
ÖRNEK
l 1 – log2x I  3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
– 3  1 – log2x  3
;Mutlak değerlerde eşitsizlik tanımı
–4
; Üs tarafta üç tarafa da – 1 eklendi
4
–2 
– log2x  2
log2x  –2
log2x  4
; Üs tarafta üç tarafı – 1 ile çarparak eşitsizliğin yönünü değiştirdik.

log22–2 
log2x  log224
1
 x  16
4
Ana Sayfaya Geri Dön
www.muratguner.net
KAYNAKÇA :
1- MATEMATİK VADİSİ YAYINLARI 11.SINIF MATEMATİK
2- ALTIN KİTAPLAR YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK
3- MEB 11.SINIF MATEMATİK KİTABI DERS KİTABI
4- BİREY YAYINLARI 11.SINIF MAEMATİK
5- KAREKÖK YAYINLARI MATEMATİK – 4
6- İNKILAP YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK
7- KÜRE YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK
8- FEM YAYINLARI 11.SINIF MATEMATİK
9- AÇI YAYINLARI 11.SINIF MATEMATİK
10- UĞUR YAYINLARI MATEMATİK
11- FEM ÖĞRETMEN DERGİSİ
12- SINAV DERGİSİ
Ana Sayfaya Geri Dön