8.3 İLETKEN ORTAMDA ELEKTROMAGNETİK DALGA 8.3.1 Değişik bir dalga denklemi Bu bölümün başında elektromanyetik dalga denklemini çıkarırken, ρf serbest yük ve ⃗jf serbest akım yoğunluklarının her yerde sıfır olduğunu varsaymıştık. Bu kısıtlama boşlukta veya cam, saf su gibi dielektrik maddeler için gayet uygundur. Fakat metaller veya tuzlu su gibi iletkenlerde, yüklerin hareketini engelleyemeyiz ve genelde Jf sıfırdan farklıdır. Ohm yasasına göre, bir iletkende serbest akım yoğunluğu elektrik alanla orantılıdır. ⃗Jf = σE ⃗ (8.125) Buna göre, lineer iletken bir ortamda Maxwell denklemleri şöyle olur: ⃗⃗ (i) ⃗∇ ⋅ ⃗E = ρf ε (iii) ⃗∇xE ⃗ = − ∂B ∂t (ii) ⃗ ⋅B ⃗ =0 ∇ (iv) ⃗ ⃗⃗⃗⃗x B ⃗ = μσE ⃗ + με∂E ∇ ̅̅̅ ∂t (8.126) Serbest akımlar için yük korunumunu yazalım: ⃗ ⋅ ⃗jf = − ∂ρf ∇ (8.127) ∂t Ohm yasası ve (i) Gauss yasası kullanılırsa ∂ρf ∂t ⃗ ⋅ ⃗E) = − 𝜎 𝜌𝑓 = −σ(∇ 𝜀 Bu diferansiyel denklem hemen çözülürse: ρf (t) = ρf (0)ⅇ−(σ∕ε)t (8.128) Bu sonuca göre, başlangıçta olabilecek ρf (0) serbest yük yoğunluğu r = (ε ∕ σ) gibi karakteristik bir süre içinde sıfıra gidecektir. Bu, iletken içine konulan serbest yüklerin hemen yüzeye gidişi demektir. O halde, bu karakteristik zaman kadar beklersek, iletkenler içinde ρf = 0 alabiliriz. Buna göre Maxwell denklemleri ⃗⃗ (i) ⃗ ⋅E ⃗ =0 ∇ (iii) ⃗ xE ⃗ = ∂B ∇ ∂t (ii) ⃗ ⋅B ⃗ =0 ∇ (iv) ⃗ xB ⃗ = με ∂E + μσE ⃗ ∇ ∂t (8.129) ⃗ Olur. Bu denklemlerin, dielektrik ortamdan tek farkı (iv) deki son terimdir. Yine (iii) ve (iv) denklemlerinin rotasyoneli alınırsa, ⃗E ve ⃗B için değişik birer dalga denklemi elde edilir: ∂2 ⃗E 𝜕𝐸⃗ ⃗ = με 2 + 𝜇𝜎 ∇2 E ∂t 𝜕𝑡 ⃗ ∂2 ⃗B ⃗⃗ ∂B ⃗ = με 2 + μσ ve ∇2 B ∂t ∂t (8.130) Bu denklemlerin de düzlem dalga çözümleri vardır: ̃ ̃(x, t) = B ̃0 ⅇⅈ(kx−ωt) E(x, t) = ̃ E0 ⅇⅈ(kx−wt) ve B (8.131) Bu çözümler iki yukardaki denklemlerde kulanıldığında, bu kez K dalga sayısının kompleks olduğu görülür: k 2 = μεω2 + ⅈμσω (8.132) Bu ifadenin karekökü alınır ve kompleks dalga sayısının reel ve sanal kısımları ayrı yazılırsa (kompleks sayıların iki karekökü olur) k = k + + ⅈk − (8.133) hesap sonucu şunu verir: 2 εμ 𝜎 k ± = w√ 2 [√1 + (𝜀𝑤) ± 1]1∕2 (8.134) Dalga sayısının k − sanal kısmı, sönümlü bir dalga olduğunu gösterir. ̃(x, t) = E ̃0 ⅇ−k−x ⅇ ⅈ(𝑘+𝑥−𝑤𝑡) ve B ̃(x, t) = B ̃0 ⅇ−k−x ⅇ ⅈ(𝑘+𝑥−𝑤𝑡) E (8.135) Genliğin ilk değerinden 1/e kadar azaldığı uzunluğa deri kalınlığı denir : 1 d = (k ) (8.136) − Deri kalınlığı elektromagnetik dalganın iletken içine ne kadar nüfuz edebildiğinimn bir ölçüsüdür. Dalga sayısının reel kısmı ise dalgaboyu, hız ve kırılma indisini tayin eder: 2π λ=k , + w v=k , n= + ck+ ω (8.137) “Kötü iletken” denilen iletken türü σ << 𝜔𝜀 (8.138) olarak tanımlanır. Bu durumda σ μ k + ≃ ω√εμ, k − ≃ 2 √ ε (8.139) Olup, deri kalınlığı frekanstan bağımsız olur. “İyi iletken” maddeler σ >> 𝜔𝜀 (8.140) olarak tanımlanır. Bu duruma k + ve k − yaklaşık eşit olurlar. wσμ 2 k+ ≃ k− ≃ √ (8.141) İyi iletkenlerde frekans arttıkça deri kalınlığı azalır. Bu durumda dalga boyu kavramının geometrik anlamı kalmaz. Çünkü içeri girebilen kısım bir dalgaboyunun üçte biri (1/e) kadarı olur. λ d ≃ 2π (8.142) buna göre 1010 Hz’den daha yüksek frekanslı (görünür ışık bölgesi ve ötesi) dalgalar için deniz suyu 1 kötü bir iletken olur. Bu durumda deri kalınlığı d = (k) formülülyle bulunur. d≃ 2 ε √ ≃ 1 cm σ μ bu sonuç gerçeğe pek uymaz çünkü σ öziletkenliği de frekansa bağımlıdır. Daha düşük frekanslı bölgede deniz suyu iyi bir iletken olur. Radyo frekansı bölgelerinde deri kalınlığı oldukça büyük olur. Örneğin 10 m derinlikteki bir denizaltıyla iletişim kurabilmek için kullanılması gereken frekans v= w 1 = ≃ 500 Hz 2π πσωd2 olup buna karşılık gelen (havadaki) dalga boyu 600 km’dir. Bu suyun altındaki bir denizaltıyla iletişim kurmanın imkansız olduğunu gösterir. 8.3.2 iletken Ortamda Tekrenkli Düzlem Dalgalar ̃0 ve B ̃0 için (8.130) yeni dalga denklemini sağlar. (8.135) denklemindeki sönümlü düzlem dalga her E Buna ek olarak (8.129) Maxwell denklemlerinin getirdiği diğer kısıtlamalar vardır; bunlar da genlik oranlarını, fazları ve polarizasyon düzlemlerini tayin eder. (8.129) denklemlerinden (i) ve (ii) denklemleri yine x- bileşenlerinin sıfır, yani elektromagnetik ̃ nin polarize olduğu yönde seçelim: dalganın enine olduğunu gösterir. Bu durumda y- eksenimizi E Buna göre (iii) denklemi magnetik alanı şöyle verir: ̃ ̃0 ⅇ−k−x ⅇ ⅈ(𝑘+𝑥−𝜔𝑡) 𝑗̂ E(x, t) = E (8.143) (iv) denklemi de aynı şeyi verir. k ̃(x, t) = ( ) E ̃0 ⅇ −𝑘−𝑥 ⅇ ⅈ(𝑘+𝑥−𝑤𝑡) 𝑘̂ B x (8.144) Yine elektrik ve magnetik alanlar birbirine diktir. Her kompleks sayı gibi k da mutlak değer ve fazı cinsinden yazılabilir. k = k + + ⅈk − = |𝑘|ⅇ ⅈ∅ (8.145) Bu değerler hesaplanırsa 𝜀𝜇 2 𝛼 |k| = √k 2+ + k 2− = 𝜔 = √ √1 + ( ) 𝜀𝜔 k ϕ = arctan (K− ) + (8.146) (8.147) ̃0 = E0 ⅇⅈδE ve B ̃0 = B0 ⅇİδB kompleks genlikleri arasında şöyle (8.143) ve (8.144) ifadelerine göre, E bir bağıntı olmalıdır: ⅈϕ ̃0 = ⅇⅈδB = |k|ⅇ 𝐸0 ⅇ ⅈ𝛿𝐸 B ω (8.148) Görüldüğü gibi artık elektrik ve magnetik alanlar aynı fazda değillerdir. Bunlar arasındaki faz gecikmesi δB − δE = ϕ (8.149) Olur. Şekil 8.21 de görüldüğü gibi magnetik alan elektrik alanın gerisinden gelir. Öte yandan fiziksel genlikler arasındaki bağıntı şöyle olur: B0 = |k| ω σ 2 E0 = √𝜀𝜇√1 + (εw) E0 (8.150) Şekil 8.21 Sonuç olarak fiziksel elektromagnetik dalga şöyle olur: ̃ E(x, t) = E0 ⅇ−k−x 𝐶𝑜𝑠(k + x − ωt + δE )ĵ ⃗ (x, t) = B |k|E0 ω (8.151) ⅇ −𝑘−𝑥 (𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 + 𝛿𝐸 + 𝜙)𝑘̂ Bu elektromagnetik dalga şekil 8.21 de gösterilmiştir. İletken ortamda enerji elektrik ve magnetik alanlar arasında eşit paylaşılmaz: 1 U = 2 (εE 2 + B2 ) μ (8.152) Bir periyottai ortaama enerji hesaplanırsa : 1 𝜎 2 ⟨u⟩ = εE02 ⅇ−2k−x [1 + √1 + ( ) ] 4 𝑐𝜔 (8.153) Bulunur; görüldüğü gibi magnetik katkı (ikinci terim) daima daha baskındır. Aslında ”iyi” iletkenlerde enerjinin yaklaşık tümü magnetik olur ⟨u⟩ = 1 σ 2 −2k−x E ⅇ 4ω 0 (8.154) Öte yandan enerji akısını veren Poynting vektörü hesaplanırsa s= ⃗ExB ⃗⃗ μ = |k|1 μw E02 ⅇ2k−𝑥 [𝐶𝑜𝑠(𝑘 + 𝑥 − 𝑤 − 𝐿 + 𝛿𝐸 )𝐶𝑜𝑠(𝑘 + 𝑥 − 𝑤𝑡 + 𝛿𝐸 + ∅)]𝑖̂ (8.155) Artık fazları farklı olduğundan, iki konisnüs çarpımının bir periyottaki ortalama değeri ½ olmaz: 1 2π ∫ cos θ cos(θ 2π 0 Burada |k|cosϕ = k + olduğundan, 1 + ∅) dθ = 2 cos 𝜙 (8.156) 1 k+ 2 −2k−x E ⅇ î 2 με 0 ⟨s⟩ = (8.157) 8.3.3 iletken Yüzeyden Yansıma ve Geçme Dielektrik yüzeyler için kullandığımız (8.83) sınır koşulları serbest yük ve akım olduğu durumda geçersizdir. Bunların yerine, daha genel olan; (i) ε1 E1⊥ − Σ2 E2⊥ = σf (ii) B1⊥ − B2⊥ = 0 (iii) ⃗E1ll − ⃗E2ll = 0 (iv) ⃗⃗ 1 B μI (8.159) ⃗⃗ B − μ2 = k f xn̂ 2 Burada σf⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vⅇ k f ara kesit yüzeydeki yük ve akım yoğunluklarıdır. Yüzey normali arakesite dik ve 2. Ortamdan 1. Ortama doğru alınır. Ohm yasasına uyan iletkenlerde serbest yüzey akımı olamaz, aksi takdirde yüzeyde sonsuz magnetik alan olması gerekirdi. O halde, ⃗k f = 0 Şimdi iletken olmayan lineer bir ortam ile iletken bir ortamın ara kesit düzlemini yz- düzlemi olarak seçelim. Yine şekil 8.16 da olduğu gibi x- yönünde ilerleyen tekrenkli bir düzlem dalga sol taraftan arakesite yaklaşıyor olsun. ̃ ̃I (x, t) = E1 (x, t) = ̃ E0ı ⅇ(k1 x−ωt) ĵ ve B 1 ̃ E ⅇⅈ(k1 x−wt) k̂ v1 0I (8.160) Bunun sonucu yüzeyden yansıyan bir dalga ̃T (x, t) = E ̃0T ⅇ(k 2 x − wt) ve B ̃T (x, t) = k2 E ̃ ν ⅇⅈ(k2 x−ωt) 𝑘̂ E ω 0T 2 (8.161) Ve 2. Ortama geçen bir dalga (k x−ω t) ĵ ̃ ̃T (x, t) = k2 ̃ ET (x, t) = ̃ E0 T ⅇⅈ 2 ve B E0v 2 ⅇⅈ(k2 x−ωt) 𝑘̂ ω (8.162) Olur. k 2 kompleks olduğundan (8.133) denklemine göre iletken içindeki dalga sönümlü olacaktır. X=0 arakesitinde 1. Ortamdaki toplam dalga ile 2. Ortamdaki dalga (8.159) sınır koşularına uymalıdırlar. Her iki tarafa E⊥ = 0 olduğundan (i) koşulu σf = 0 verir. Yine B⊥ = 0 olduğundan (ii) koşulu kendiliğinden sağlanmış demektir. (iii) koşuluna gelince ̃ E0I + ̃ E0R = ̃ E0R (8.163) Ve (iv) koşuluna göre 1 ̃OI (E μ1 v 1 k −̃ E0R ) − μ 2ω ̃ E0T = 0 2 (8.164) Veya ̃0I − E ̃0R = βE ̃ 0T E (8.165) Bulunur. Bu kez β parametresi şöyle oluşur. μ1 v1 k2 ) μ2 ω β=( (8.166) (8.163) ve (8.165) denklemleri çözülürse 1−β 2 ̃ E0R = (1+β) ̃ E0I ve ̃ E0T = (1+β) ̃ E0I (8.167) Olur. Bu sonuçlar şekil olarak dielektrik ortamdakilere benzeyebilir, fakat bu yanıltıcıdır çünkü bu kez β parametresi içindeyeralan k 2 kompleks bir sayıdır. İdeal iletken (σ = ∞) için β sonsuzluk olur ve ̃ ̃0I ve ̃ E0R = −E EoT = 0 (8.168) Bulunur. Yani elektromagnetik dalga tümüyle yansır ve 1800 faz farkıyla geri döner. İyi iletkenlerde (σ ≫ ωε2 ) | β | çok büyük olur ve yukardaki sonuçları 1/ β nın serisi olarak açabiliriz : 1−β (1+β) = − (1−1⁄β) (1+1⁄β) 1 2 2 ≃ − (1 − 𝛽) ≃ 𝛽 − 1 (8.169) Bu yaklaşıklıkta yansıma katsayısı R= ̃ o |2 |E R 2 ̃ 0 I| |E 2 2 ≃ |(+ 𝛽)| ≃ 1 − 2 (𝛽+𝛽 ∗ ) |𝛽|2 Bu denklemler göz önüne alınırsa μ ωΣ1 ) σ R = 1 − √8 μ2 ( 1 8.4 DİSPERSİYON 8.4.1 𝛆, 𝛍 𝐯𝐞 𝛔’ nın Frekansa Bağlılığı Buraya kadarki kısımlarda madde içinde elektromagnetik dalga yayılışının maddenin üç özelliğine bağlı olduğunu gördük. Bunlar ε, μ elektrik ve magnetik geçirgenlikleri ile σ öziletkenlik katsayısıdır. Fakat gerçekte bu parametreler de dalganın frekansına bağlı olarak değişebilirler. Bu böyle olmasaydı örneğin dielektriklerde ε vⅇ μ sabit olsalardı, dalga hızı ve kırılma indisi v= 1 C n= v √εμ sabit olurlardı. Oysa optikten bilindiği üzere n kırılma indisi frekansa bağımlıdır. Buna göre prizmadan geçen mavi ışık kırmızıdan daha çok kırılır. Beyaz ışık ise gökkuşağı gibi tüm renklerine ayrılır. Bu olaya dispersiyon diyoruz. Benzer şekilde dalga hızının frekansa bağımlı olduğu ortamlara da dispersif ortam denir. Bir maddenin kırılma indisi, o maddede yol alan ışığın ya da diğer elektromanyetik dalgaların boşlukta yol alan ışığa göre ne kadar yavaş ilerlediğini gösteren bir katsayıdır. Genellikle n sembolü ile gösterilir. Şekil 8.23 Dispersif ortamda farklı frekanstaki dalgalar farklı hızlarda ilerlediğinden değişik frekanslardan oluşan w bir dalga paketi ilerledikçe şekli değişecektir. Fakat ω frekanslı her bir sinüsel bileşen v = k ile verilen hızda ilerleyecektir. Buna o bileşenin dalga hızı veya faz hızı denir. Dalga paketinin bir bütün olarak ilerleme hızına grup hızı denir. vg = dω dk Bir göle taş attığımızda oluşan dalgayı gözlemlersek dairesel dalga bir bütün halinde vg hızıyla yayılırken bunu oluşturan tepecikler iki misli daha hızlı giderler. Tepecikler dalga paketinin gerisinde ortaya çıkar, giderek büyür ve ön tarafta yok olurlar. Dispersif ortamda bir dalganın taşıdığı enerji grup hızıyla ilerler. Bu nedenle bazı durumlarda v faz hızı c ışık hızından daha büyük çıkabilir. Bir dalganın grup hızı, dalga şiddetinin genel şekli (dalga modülasyonu veya sarımı) ile boşlukta yayılan hızıdır Şekil 8.24 ε, μ, σ katsayılarının ω frekansına bağlı olması doğaldır. Çünkü bu parametreler maddenin elektrik ve magnetik alanlara verdiği yanıtın birer ölçüsüdür. Bu yanıt tıpkı bir salıncağın hareketinin uygulanan itmenin frekansına bağlı oluşu gibi frekansa bağlı olmalıdır. Fakat maddelerin çoğunda μ katsayısı μ0 değerine çok yakın olup frekansa bağımlılığı önemsizdir. Geriye ε, vⅇ σ kalıyor. Bu kısımda madde içindeki elektronların davranışını basit bir modelle ele alıp bu fonksiyonları elde edeceğiz. 8.4.2 Dielektrik Dispersiyon Şekil 8.25 Dielektrik bir ortamda elektronlar belirli moleküllere bağlıdırlar. Bu bağ kuvvetlerinin yapısı son derece karmaşık olup kuantum mekaniğiyle incelenmesi gerekir. Bizim basit modelimizde elektronu k sabitli bir yayla bağlanmış varsayacağız. Fbağ = −ky = −mω20 𝑦 (8.172) k Burada y denge konumundan uzaklık m elektron kütlesi ve w0 = √m doğal titreşim frekansıdır. Bu modelin çok basit olması sizi rahatsız edebilir ama bir de şunu düşünelim : Her bağ kuvveti denge konumundan küçük yer değiştirmeler için bu yapıda olur. Örneğin elektronun bağlı olduğu U(y) potansiyel enerjisi y=0 denge konumu etrafında seri açılırsa 1 ⅆ2 𝑈 ⅆu U(y)=U(0)+( | ) y + ( 2 | ) 𝑦 2 + ⋯ ⅆy 2 ⅆ𝑦 0 0 Birinci terim bir sabit olup fiziksel bir anlamı yoktur. İkinci terim daima sıfırdır, çünkü denge konumunun tam tanımı –dU/dy = F kuvvetinin sıfır olduğu yerdir. Üçüncü terim tam bizim modeldeki terimdir, çünkü k = d2U/dy2 yay sabiti olarak tanımlanır. Yer değiştirmeler çok küçük olduğu sürece daha yüksek terimler yok sayılabilir. Elektron titreşim yaptığında belli bir sürtünme kuvveti de olabilir.burada hızla orantılı bir sürtünme kuvveti varsayalım ⅆy FS = −mv ⅆt (8.173) Yine basit bir sürtünme modeli yani hıza ters yönde ve hızla orantılı bir kuvvet alalım. Sürtünmenin nereden kaynaklandığı burada bizi ilgilendirmiyor ama ivmelenen yükün radyasyon yoluyla enerji kaybetmesi olabilir. Elektron üzerine frekansı ω olan bir dış elektromagnetik alan gönderildiğinde bir de bunun uyguladığı dış kuvvet vardır. Fdiş = qE = qE0 Cosωt (8.174) Burada q elektron yükü, E0 dalanın elektronunun bulunduğu yerdeki genliğidir. Tüm bu kuvvetler Newton hareket yasasında kullanılırsa: ⅆ2 y Ftop = m ⅆt2 + 𝐹𝑏𝑎ğ + 𝐹𝑆 + 𝐹ⅆ𝚤ş (8.175) m d2 y dy + mv + 𝑚𝜔02 𝑦 = 𝑞𝐸0 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 2 dt dt Bu modelde elektronun ω frekanslı harmonik bir dış kuvvetin etkisiyle sönümlü harmonik salınıcı gibi hareket yaptığı görülmektedir. (8.175) denklemini şöyle bir kompleks denklemin reel kısmı olarak görebilirsek çözüm daha kolay olur. ̃ ⅆ2 y + ⅆt2 mν ⅆy + ⅆt mω20 𝑦 = 𝑞𝐸0 −ⅈ𝜔𝑡 ⅇ 𝑚 (8.176) Kararlı durumda bu sistem dış kuvvetin frekansıyla salınım yapar: ỹ(t) = ỹ0 ⅇ−ⅈωt (8.177) Bu çözüm yerine koyulursa ỹ0 = (q∕m) E (w20 −w2 )⋅ⅈνω 0 (8.178) Olur. O halde bu elektronun hareketinden kaynaklanan dipol momenti şu ifadenin reel kısmı olur. p̃(t) = qỹ(t) = (𝑞2 ∕𝑚) (𝑤02 −𝜔2 )−𝐼̇𝑣𝜔 𝐸0 ⅇ −ⅈ𝜔𝑡 (8.179) Paydada bulunan sanal terim p dipol momentinin elektrik alanla aynı fazda olmayacağını gösterir. Aralarındaki faz farkı arctan{vw ∕ (w02 ω2 )] olup ω << w0 için çok küçük olur ve ω >> w0 için π değerine yaklaşır. Bir moleküldeki farklı elektronların doğal frekansları ve sürtünme kuvvetleri farklı olabilir. Bunu hesaba katmak üzere her molekülde fj sayıdaki elektronun frekanslarının wj ve sürtünme sabitlerinin vj olduğunu varsayalım. Birim hacimdeki molekül sayısı N ise ortamdaki P polarizasyon vektörü şu ifadenin reel kısmı olur: p̃ = Nq2 fj (∑ 2 ) 𝐸̃ 2 m (wⅈ −w) −νj 𝑤 j (8.180) Bir ortamın elektrik duygunluğu ̃ P = ε0 X ⅇ ̃ E ile tanımlanmıştı. Yukarıdaki ifade kompleks E alanıyla orantılı olan kompleks bir P polarizasyonu gibi görülebilir. Buna göre kompleks bir duygunluğu şöyle tanımlayabiliriz. ̃ P = ε0 X ⅇ ̃ E (8.181) Böylece daha önceki formalizmi kompleks alanlar için genişletebilir ve sonunda reel kısmını alırız. ̃ = εE ̃ ifadesiyle kompleks bir geçirgenlik ε− = ε0 (1 + xⅇ ) şeklinde tanımlanırsa. Özel olarak D Na2 ε = ε0 [1 + mε ∑ 0 𝑗 𝑓𝑗 (𝑤𝑗2 −𝑤 2 )−ⅈ𝑣𝑗 𝑤 ] (8.182) Olur. Bu ifadenin sanal kısmı genelde küçük olur ancak ω frekansı ωj lerden birine yakın olduğunda bir rol oynar. Dispersif ortamda belirli frekansta bir dalga denklemi. ̃ ∂2 E ̃ = εμ0 2 ∇2 E ∂t (8.183) Olur burada artık ε sabiti w nın komleks bir fonksiyonudur.. yine düzlem dalga çözümü ̃ E(x, t) = ̃ E0 ⅇ(−kx−ωt) (8.184) k = √εμ0 ω (8.185) Şeklinde denkleme konulursa Artık kompleks bir sabit olur. Bunun reel ve sanal kısımları ayrı ayrı yazılırsa k = k + + ⅈk − (8.186) ̃(x, t) = E ̃0 ⅇ−k−x ⅇⅈ(k+x−ωt) E (8.187) Olur. Buna göre düzlem dalga Olur. Burada k − sönümü belirleyen katsayıdır. Dalga şiddeti E2 ile orantılı olduğundan α soğurma katsayısı şöyle tanımlanır α = 2k − (8.188) Öte yandan dalga hızı ω ∕ k + ve dolyısıyla kırılma indisi c n = ω k+ (8.189) Olur. 8.182 denkleminin ikinci terimi gazlarda çok küçük olur. buna göre karekökü yaklaşık √1 + x ≃ 1 2 1 + 𝑥 alırsak 8.185 denklemi k= ω ε √ c ε0 = ω 𝑁𝑞 2 𝑓𝑗 + [1 ∑ ] c 2𝑚𝜀0 (𝑤𝑗2 −𝑤 2 )−ⅈ𝑣𝑗 𝑤 𝑗 (8.190) Olur. buradan kırılma indisi ve soğurma katsayısı bulunur c 𝑁𝑞2 n = ω K + ≃ 2𝑚𝜀 ∑ 0 α = 2k − ≃ 𝑗 𝑓𝑗(𝑤𝑗2 −𝑤 2 ) (𝑤𝑗𝑧 −𝑤 2 )+𝜈𝑗2 𝑤 2 𝑓𝑗 𝑣𝑗 𝑁𝑞2 𝑤 2 ∑ 2 2 2 2 𝑚𝜀0 𝑐 (𝜔𝑗 −𝜔 )+𝑣𝑗 𝜔 𝐽 (8.191) (8.192) Şekil 8.26 da kırılma indisi ve soğurma katsayısı gösterilmiştir. Kırılma indisi rezonansla beraber artar fakat rezonansa yaklaştığında kırılma indisi birden azalır. Buna anormal dispersiyon denir. Şekil 8.26 Rezonanslardan uzak kalmaya dikkat edilirse sönüm terimi çok küçük olur ve kırılma indisi sadeleşir. n=1+ fj Nq2 ∑ 2 2 2mε0 (wj −ω ) j (8.193) Maddelerin çoğunda doğal frekansları spektrumun her bölgesinde rastgele dağılmış olurlar. Saydam maddelerde en yakın rezonanslar morötesi bölgede yer alır buna göre w<wj olur ve yaklaşık olarak 1 𝑤2 = − (1 ) 𝑤𝑗2 (wj2 − w 2 ) 𝑤𝑗2 1 −1 ≃ 1 𝑤2 + (1 ) 𝑤𝑗2 𝑤𝑗2 Olur. böylece kırılma indisi ifadesi Nq2 fj ∑ w2 2mε0 j n=1+ ( 𝑁𝑞2 + 𝜔2 (2𝑚𝜀 ∑ 0 j 𝑗 𝑓𝑗 𝑤𝑗4 ) (8.194) ) veya boşluktaki dalgaboyu cinsinden B n = 1 + A (1 + λ2 ) (8.195) Olur. Bu cauchy denklemi olarak bilinir. A sabitine kırınım katsayısı ve b sabitine de dispersiyon katsayısı denir. 8.4.3 İletken ve Plazmalarda Serbest Elektronlar İletkenlerde elektronlar hiçbir atom veya moleküle bağlı değildir. Bu urumda yukardaki yaklaşımda bağ kuvvetini sıfır alıp aynı yöntemi uygulayabiliriz. Ancak bu kez çok sayıda çarpışmalardan kaynaklanan sürtünme kuvveti çok daha büyük olur. (8.176 ) hareket denklemi şimdi şöyle yazılabilir. ⅆ2 y + ⅆt2 Yine kararlı çözüm; ⅆy V ⅆt = 𝑞𝐸0 −ⅈ𝜔𝑡 ⅇ 𝑚 (8.196) ỹ(t) = ỹ0 ⅇ−ⅈwt (8.197) Alınırsa; (q∕m) ỹ0 = − w2 +ⅈνω 𝐸0 (8.198) Bulunur. Bu kez elektronların polarizasyonu ile değil, akımla ilgilenelim. Birim hacimde N molekül ve her molekülde f sayıda serbest elektron varsa dy/dt hızıyla hareket eden elektronların oluşturdukları akım Nfq2⁄m ) v−ⅈω j̃ = ( (8.200) Paydadaki sanal terim akımın E alanıyla aynı fazda olmadığını gösterir. Bu ohm yasasına tam uygun değildir. Fakat kompleks bir σ öziletkenlik katsayısı tanımlarsak ̃J = σE ̃ (8.201) Olur. bu modelde σ= (Nfq2 ∕m) (8.202) v−ⅈw Bulunur. Alçak frekanslarda sanal kısım çok küçüktür ve σ frekanstan bağımsız olur. Fakat yeterince yüksek frekanslarda J ile E arasındaki faz farkı gözardı edilemez. Öziletkenlik katsayısının kompleks olması elektromagnetik dalganın iletken içindeki davranışını özellikle yüksek frekanslarda iletir. Bunu incelemek için kompleks dalga sayısı k 2 = μεω2 + ⅈσμw (8.203) İfadesinde kompleks σ katsayısı kullanılarak hesaplar sürdürülür. Pratikte çok önemi olan özel bir plazma (iyonlarmı gaz) halidir. Burada σ sanal olur. Nfq2 σ = ⅈ ( mw ) (8.204) Ayrıca plazma içinde μ ≃ μ0 ve ε ≃ ε0 olduğundan (8.203) denklemi k2 = 1 (ω2 C2 − wp2 ) (8.205) Olur. Burada wp plazma frekansı denilen karakteristik bir frekanstır. Nfq2 mω wp = √ (8.206) wp den dah büyük frekasnlarda dalga sayısı reel olup elektromagnetik dalga plazma ortamında sönüme uğramadan ilerler. Dalga hızı v= w k = c √1−(wP ∕w)2 (8.207) Olup v > c çıkar. Plazmanın kırılma indisi ise şöyle olur wP 2 ) w n = √1 − ( (8.208) Frekans wp den dah küçük ise K dalga sayısı sanal olur, dalga plazma ortamında sönümlü olur: ̃(x, t) = ̃ ]E E0 (x, t)ⅇ 2 −𝑤 2 ∕𝑐)𝑥 −(√𝑤𝑃 ⅇ −ⅈ𝑤𝑡 (8.209) Çok düşük frekanslarda deri kalınlığı c/wp olur; o halde plazma ortamı wp den büyük frekanslı dalgalar için saydam daha düşük frekansta ise karanlık olur.