ARPANLAR VE KATLAR

N={0,1,2,3,4,5,…} olduğunu biliyoruz.
Doğal sayılar kümesinde çarpma işlemini ele almıştık.
Herhangi iki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır. Yani doğal sayılar
kümesinde çarpma işlemi yapıldığında N hiçbir zaman dışarı eleman
bırakmaz.
Doğal sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
Herhangi iki doğal sayının çarpımı bizi bir doğal sayıya götürdüğüne göre,
herhangi bir doğal sayının da iki doğal sayının çarpımı şeklinde
yazılabileceğini söylemek doğru olacaktır.
8=4.2
Bir çarpma işleminin içindeki tüm terimlerin
adını hatırlayalım.
15=5.3
12=4.3
7=7.1
.
.
.
gibi.
ÇARPIM
ÇARPAN
ÇARPAN
12’ yi elde etmenin tek yolu 4 ile 3’ü çarpmak mıdır?
Farklı çarpanlar kullanarak da 12 elde edilebilir miydi?
12=12.1
12=6.2
12=4.3
Şimdi 12 sayısının çarpan ağacını oluşturalım:
1x12
12
2
2
x
2x6
6
x 2 x
3
4x3
Buna göre 12’nin çarpanlarının oluşturduğu küme O ise;
O={12,1,6,2,4,3} olur.
Şimdi siz de 48 sayısının çarpan ağacını oluşturunuz.
17 sayısının çarpan ağacını inceleyelim.
17
1x17
Buna göre 17’nin çarpanlarının
oluşturduğu küme A ise;
A={17,1} olur.
Bu şekilde çarpanları sadece 1 ve sayının
kendisi olan sayılara Asal Sayı adı verilir.
Asal Sayılarla İlgili Önemli Bazı Bilgiler
• Asal sayılar 1 den büyüktür.
• Asal sayılar sadece 1’e ve kendisine kalansız bölünebilir.
• 2 hariç hiçbir asal sayı çift sayı değildir.
Eratosthenes
M.Ö. 300
(Eratosten)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Eratosten Kalburu
Şimdi 2 hariç
2’nin tüm
katlarını bulalım.
Şimdi 3 hariç 3’ün
tüm katlarını
bulalım.
Şimdi 5 hariç 5’in
tüm katlarını
bulalım.
Şimdi 7 hariç 7’nin
tüm katlarını bulalım.
Böylece 2,3,5 ve 7’nin
katlarından kurtulduk
şimdi de 1 den
kurtulalım.
Böylece 1 den 100 e kadar tüm asal sayıları bulduk.
BÖLÜNEBİLME KURALLARI
Burada bölünebilmeden kastedilen kalansız bölünmedir.
1.) 2 ile bölünebilme: Birler basamağı 0, 2, 4, 6, 8, rakamlarından biri olan
sayılar 2 ile bölünebilir.
175
182 √ 190 √
156 √
117
2.) 5 ile bölünebilme: Birler basamağı 0, 5, rakamlarından biri olan sayılar 5
ile bölünebilir.
112
115 √
120 √
153
125 √
3.) 3 ile bölünebilme: Rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 3 ün katı olan
sayılar 3 ile bölünebilir.
3733+7+3=13 3 ün katı değildir.
7867+8+6=21 3 ün katıdır. √
4.) 9 ile bölünebilme: Rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 9 un katı olan
sayılar 9 ile bölünebilir.
3153+1+5=9
9 un katıdır. √
7237+2+3=12 9 un katı değildir.
5.) 4 ile bölünebilme: Birler ve onlar basamağının oluşturduğu sayı 4’ün katı
olan sayılar 4 ile bölünebilir.
2804 ün katı √
1124 ün katı √
5134 ün katı değil
6.) 8 ile bölünebilme: Birler, onlar ve yüzler basamağının oluşturduğu sayı
8’in katı olan sayılar 8 ile bölünebilir.
78008 in katı √
95847218 in katı değil
7.) 6 ile bölünebilme: Bir sayı hem 2 ye hem de 3 e bölünebiliyorsa bu sayı
aynı zamanda 2x3=6 ya bölünebilir.
382
480 √
8.) 10 ile bölünebilme: Bir sayı hem 2 ye hem de 5 e bölünebiliyorsa bu sayı
aynı zamanda 2x5=10 a bölünebilir. Yani 10’a bölünebilmesi için bir sayının
birler basamağı 0 olmalıdır.
520 √
1315
122
1050 √
UYGULAMALAR
1.) Rakamları farklı 4 basamaklı 3a75 sayısı 3 e
bölünebildiğine göre a kaç olabilir? Bulunuz.
2.) Dört basamaklı 546a sayısı 5 e bölünebildiğine ve dört
basamaklı a27b sayısı da 9 a bölünebildiğine göre b kaçtır?
Bulunuz.
3.) Rakamları farklı 4 basamaklı 3a2b sayısı hem 2, hem de 3
e bölünebildiğine göre a nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
Bulunuz.
Fen ve teknoloji derslerinden biliriz ki karışımlar kendilerini
oluşturan maddelerin atomlarının bir araya gelmesiyle meydana
gelir.
H
H
Na
Cl
O
SU
Tuz (Sofra Tuzu)
Buradan anlarız ki tuzlu su karışımının içinde
H
H
O
Na
Cl
atomları bulunur.
Aynı durum sayılar için de geçerlidir. Maddeler için atom neyse sayılar
için de asal sayı öyle düşünülmelidir.
Örneğin 15 sayısı ele alındığında 15=3x5 olduğundan 3 ve 5 i asal
çarpan kabul eden her sayı 15’i de çarpan olarak kabul etmektedir.
Bu durum bizi şu sonuca götürür:
Bir sayı ortak çarpanı olmayan iki sayıya bölünebiliyorsa bu iki sayının
çarpımlarına da bölünebilir.
ÖRNEKLER:
1.) 4’e ve 3’e bölünen bir sayı 4x3=12’ye bölünebilir.
2.) 5’e ve 4’e bölünen bir sayı 5x4=20’ye bölünebilir.
Aşağıdaki boşlukları doldurunuz:
1.) Bir sayı 2’ye ve 9’a bölünebiliyorsa ............... ya da bölünebilir.
2.) Bir sayı ....... ve .......’ya bölünebiliyorsa 30’a da bölünebilir.
Soru: 6’ya bölünebilmenin kuralını söyleyiniz.
Örnek: a362c beş basamaklı sayısı 18’e bölünebilmektedir. Buna göre
a+c’ nin alabileceği en küçük değeri bulunuz.
!
Bir sayının, bir sayıya bölümünden kalanı bulmak için de bölünebilme
kurallarından yararlanılır.
Örnek: 3247 sayısının 3’e bölümünden kalanı bulunuz.
32473+2+4+7=16
161+6=7
7’nin 3’e bölümünden kalan 1 olduğuna göre 3247’nin de 3’e
bölümünden kalan 1’dir.