ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Utku ERDİVEN
FOTONİK KRİSTALLERİN ÖZELLİKLERİ VE BAZI
PARAMETRELERİNİN HESAPLANMASI
FİZİK ANABİLİM DALI
ADANA, 2009
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
FOTONİK KRİSTALLERİN ÖZELLİKLERİ VE BAZI
PARAMETRELERİNİN HESAPLANMASI
Utku ERDİVEN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FİZİK ANABİLİM DALI
Bu tez ..../...../…... Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu İle
Kabul Edilmiştir.
İmza............………
İmza...................….
İmza.................………….
Prof.Dr. Yüksel UFUKTEPE
Yrd.Doç.Dr. Faruk KARADAĞ Yrd.Doç.Dr. Zerrin ESMERLİGİL
DANIŞMAN
ÜYE
ÜYE
Bu tez Enstitümüz Fizik Anabilim Dalında hazırlanmıştır.
Kod No
Prof. Dr. Aziz ERTUNÇ
Enstitü Müdürü
İmza ve Mühür
Bu Çalışma Ç.Ü Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi Tarafından Desteklenmiştir.
Proje No: FEF 2008 YL12
Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların
kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.
II
ÖZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FOTONİK KRİSTALLERİN ÖZELLİKLERİ VE BAZI
PARAMETRELERİNİN HESAPLANMASI
Utku ERDİVEN
ÇUKUROVA ÜNIVERSITESI
FEN BILIMLERI ENSTITÜSÜ
FIZIK ANABILIM DALI
Danışman: Prof.Dr. Yüksel UFUKTEPE
Yıl: 2009, Sayfa: 96
Jüri: Prof.Dr.Yüksel UFUKTEPE
: Yrd.Doç.Dr. Faruk KARADAĞ
: Yrd.Doç.Dr. Zerrin ESMERLİGİL
Bu çalışmada fotonik kristallerin özellikleri, kullanım alanları, bir ve iki boyutlu fotonik
kristallerin band yapısı, bunlara ait örgü kusurları, dalga kılavuzları incelendi. Fotonik
kristallerin, diğer kristallerde bulunan elektromanyetik band yapısına benzer özellikler
taşıdığı gösterildi. Fotonik kristallerdeki dielektrik ve hava bandı, atom ve moleküllerdeki
valans ve iletkenlik bandlarına benzetilerek kiplerin taşıdığı özellikler açıklandı. Fotonik
kristaller ve bunlara ait örgü kusurlarının band yapısı MPB (MIT Photonic Bands) programı
kullanılarak hesaplandı. GaAs ve ZnTe yapısı ve bazı parametreleri incelendi.
Anahtar Kelimeler: Dağıtkanlık bağıntısı, Fotonik band, MPB
III
ABSTRACT
MSc / PhD THESIS
PROPERTIES OF PHOTONIC CRYSTALS AND CALCULATION
OF THEIR SOME PARAMETERS
Utku ERDİVEN
DEPARTMENT OF PHYSİCS
INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
UNIVERSITY OF ÇUKUROVA
Supervisor : Prof. Dr. Yüksel UFUKTEPE
Year: 2009, Pages: 96
Jury: Prof.Dr. Yüksel UFUKTEPE
: Ass.Prof. Faruk KARADAĞ
: Ass.Prof. Zerrin ESMERLİGİL
In this study, properties of one and two dimensional photonic crystals band structure have
been investigated. Belong to photonic crystals with lattice defects and waveguides have also
been studied. It has been found that the photonic crystals show similar band properties with
the other type of crystals band structure. Atomic and molecular valance and conduction
bands, dielectric and air band modes features of photonic crystals are explained. Photonic
crystals and defects band structure were calculated by using MPB (MIT Photonic Bands)
program code. Band structure and some parameters of GaAs and ZnTe investigated.
KeyWords: Dispersion Relation, Photonic Bands, MPB,
IV
TEŞEKKÜR
Yaptığı çalışmalarla bilimle uğraşan herkese örnek olan, desteğini benden hiç
esirgemeyen danismanim Sayın Prof. Dr. Yüksel UFUKTEPE’ye her şey için teşekkür
ederim.
Yaptığım çalışmalar sırasında bana destek olan Yrd.Doç.Dr. Faruk KARADAĞ ve
doktora öğrencisi Erkan TETİK’e teşekkür ederim. Ayrıca benim her zaman yanımda olan,
manevi desteğini hiç esirgemeyen canımdan çok sevdiğim sevgili eşim İclal ERDİVEN’e ve
Annem Nazire ERDİVEN’e teşekkürlerimi sunuyorum.
V
İÇİNDEKİLER
SAYFA
ÖZ ……………………………………………………………………………………...III
ABSTRACT……………………………………………………………………………IV
TEŞEKKÜR…………………………………………………………………………....V
İÇİNDEKİLER………………………………………………………………………...VI
ÇİZELGELER DİZİNİ……………………………………………………………….VIII
ŞEKİLLERDİZİNİ…………………………………………………………………….IX
1.GİRİŞ …………………………………………………………………………….......1
2.ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR…………………………………………………………...13
3.MATERYAL VE METOD…………………………………………………………..14
3.1. MPB (MIT Photonic Band) Band Hesaplama Programı…………………….17
4.TEORİK ALTYAPI………………………………………………………………….22
4.1. Fotonik Kristaller................................................................................................22
4.1.1. Dielektrik ortamda elektromanyetik dalgalar…………………………......22
4.1.2. Harmonik kiplerin Genel Özellikleri ……………………………………...23
4.1.3. Kip Simetrileri……………………………………………………………...24
4.1.4. Sürekli Dönüşüm Simetrisinde Kipler……………………………………26
4.1.5. Kiplerde İndis Kılavuzlaması (Index Guiding)…………………………...29
4.1.6. Kesikli Dönüşüm Simetrisinde Kipler……………………………………31
4.1.7. Fotonik Kristallerin Band Yapıları……….………………………………..33
4.1.8. Fotonik Kristalde Bloch Dalgasının Yayılma Hızı………………………...34
4.1.9. Elektromanyetik enerji,varyasyon ilkesi …………………………………..35
4.2. Boyutlarına göre Fotonik kristaller ………………………………………….36
4.2.1. Bir boyutlu fotonik kristaller ………………………………………………36
4.2.2. Bir boyutlu fotonik kristallerde band aralığı……………………………….38
4.2.3. Fotonik Band Aralıklarında Kısa Süreli Kipler…………………………....40
4.2.4. Eksen Dışı Yayılma……………………………………………………….42
4.2.5. İki boyutlu fotonik kristaller ……………………………………………..44
4.2.6. İki Boyutta Bloch Seviyesi………………………………………………..46
4.2.7. Dielektrik Çubukların Kare Örgüsü………………………………………..47
4.2.8. Dielektrik Plaka İçindeki Deşiklerin Altıgen Örgüsü………………….....51
VI
4.3. Nokta ve Çizgi Örgü Kusuru……………………………………………......52
5. BULGULAR VE TARTIŞMA………………………………………………...........62
5.1. GaAs ………………………………………………………………………........62
5.1.1. GaAs yapısının kare örgüsünün band yapısı ……………………………...63
5.1.2. Dielektrik plakada deşiklerin altıgen örgüsü ……………………………...68
5.1.3. Noktasal Örgü Kusuru …………………………………………………….71
5.1.4. Çizgisel Örgü Kusuru ……………………………………………………..71
5.1.5. ZnTe………………………………………………………………………..74
6.SONUÇLAR VE ÖNERİLER ………………………………………………………77
KAYNAKLAR ………………………………………………………………..............80
ÖZGEÇMİŞ …………………………………………………………………...............87
EK A KUANTUM MEKANİĞİ İLE KARŞILAŞTIRMA ……………………..........88
EK B DÜZLEM DALGA YÖNTEMİ…………………………………………….......91
EK C MPB PROGRAMINDAN ÖRNEK ………………………………………........93
VII
ÇİZELGELER DİZİNİ
SAYFA
Çizelge 5.1. GaAs’in özellikleri………………………………………………………...63
VIII
ŞEKİLLER DİZİNİ
SAYFA
Şekil 1.1. Dalgaların dalga kılavuzu ve bükülmede yayılması……………………………2
Şekil 1.2. Fotonik kristallerin kullanım alanları…………………………………………..3
Şekil 1.3. Wigner-Seitz ilkel hücresi……………………………………………………....5
Şekil 1.4. Tek boyutlu doğrusal örgü ve buna ait brillouin bölgesi…………………….....6
Şekil 1.5. Kristallerin fotonik özelliklerini gösteren genel fotonik band yapısı…………7
Şekil 1.6. Dalgaboyu band aralığı içinde olan dalgalar……………………….................7
Şekil 1.7. Dalgaboyu band aralığı dışında olan dalgalar…………………………...........8
Şekil 1.8. İki boyutlu kare örgü ve buna ait brillouin bölgesi…………………………...9
Şekil 1.9. İki boyutta gelen ve yansıyan dalgaların girişimi……………………………..9
Şekil 1.10. İki boyutta altıgen örgü ve buna ait brillouin bölgesi……………………… 10
Şekil 1.11. Fotonik kristallerdeki kesikli frekans değerleri……………..…………....... 11
Şekil 3.1. MPB akış diyagramı…………………………………………………………...17
Şekil 3.2. Özdeğerdeki yüzde hatanın iterasyon sayısına bağlı grafiği…………………..19
Şekil 3.3. Etkin dielektrik tensör…………………………………………………………21
Şekil 3.4. Özdeğerdeki yüzde hatanın çözünürlüğe bağlı grafiği………………………..21
Şekil 4.1. Oyuk içindeki izin verilen kipler……………………………………………..25
Şekil 4.2. Sonsuz cam düzlemi…………………………………………………….........27
Şekil 4.3. Cam içindeki harmonik kip frekanslarının band yapısı………………….....29
Şekil 4.4. Dalganın yansıma ve kırılma diyagramı…………………………………….29
Şekil 4.5. Kesikli yapıya sahip plaka………………………………………………......32
Şekil 4.6. Fotonik kristallerin 1, 2, 3 boyutlu durumları……………………………...36
Şekil 4.7. Bragg ızgarası…………………………………………………………..........36
Şekil 4.8. Bir boyutlu fotonik kristalde dağıtkanlık bağıntısı ve durgun dalgalar........39
Şekil 4.9. Bir boyutlu fotonik kristalin band yapısı……………………………….......40
Şekil 4.10. Bir boyutlu fotonik kristalin kompleks band yapısı………………………41
Şekil 4.11. Eksen dışı yayılma…………………………………………………………..42
Şekil 4.12. Bir boyutlu fotonik kristalde eksen içi ve eksen dışı band yapısı………...43
Şekil 4.13. TE ve TM kutuplanması……………………………………………….......44
Şekil 4.14. İki boyutlu fotonik kristalde düzlem dalganın band yapısı ve sabit
frekanslı konturları…………………………………………………………45
IX
Şekil 4.15. İki boyutlu fotonik kristal biçimleri………………………………………..45
Şekil 4.16. Dielektrik sütunların kare örgüsü……………………………………….....46
Şekil 4.17. Dielektrik çubukların kare örgüsünün ters uzayı…………………………...47
Şekil 4.18. Dielektrik çubukların kare örgüsünün TM ve TE band yapısı…………….50
Şekil 4.19. Alan örgülerine ait kipler………………………………………………......50
Şekil 4.20. Dielektrik çubukların kare örgüsüne ait s, π ve δ örgüsü………………….51
Şekil 4.21. Dielektrik plakadaki deşiklerin altıgen örgüsünün TE ve TM band
yapısı.............................................................................................................52
Şekil 4.22. Örgü kusuru kipleri……………………………………………………......53
Şekil 4.23. Bir boyutlu fotonik kristalin örgü kusurunda yerelleşen kip…………….54
Şekil 4.24. Örgü kusurları ve yüzeyin iki boyutlu durumu…………………………..55
Şekil 4.25. Çubuğun yarıçapının azalmasından kaynaklanan örgü kusurunun
yerelleşen kipi……………………………………………………………..56
Şekil 4.26. Çubuğun yarıçapının artmasından kaynaklanan örgü kusurunun
yerelleşen kipi…………………………………………………………......57
Şekil 4.27. Çubuğun yarıçapındaki değişime göre örgü kusuru kiplerinin band
yapısı ve elektrik alan dağılımı………………………………………........58
Şekil 4.28. Doğrusal örgü kusuru……………………………………………………..59
Şekil 4.29. Doğrusal örgü kusurunda yerelleşen kip………………………………....60
Şekil 4.30. Dalga kılavuzundaki kiplerin sınıflandırılması……………………….......61
Şekil 4.31. Dalga kılavuzundaki temel kipin frekansa bağlı değişimi………………..61
Şekil 5.1. GaAs yapısı………………………………………………………………....62
Şekil 5.2. GaAs dielektrik çubuklarının kare örgüsünün TM band yapısı.....................64
Şekil 5.3. Dielektrik çubukların kare örgüye ait ilk iki TM band yapısı ve
bunlara ait yerelleşmiş kipler………………………………………….........65
Şekil 5.4. Dielektrik çubukların kare örgüye ait 4. ve 5. TM band yapısı ve
bunlara ait yerelleşmiş kipleri……………………………………………..66
Şekil 5.5. Eksen üzerindeki yayılmada grup hızı……………………………………...67
Şekil 5.6. Eksen dışındaki yayılmada grup hızı……………………………………….67
Şekil 5.7. GaAs’de deşiklerin altıgen örgüsünün TE band yapısı…………………...........68
Şekil 5.8. İlk iki TE bandının yerelleşen kipleri……………………………………....69
X
Şekil 5.9. TE 5 ve 6 bandının yerelleşen kipleri........................................................70
Şekil 5.10. Deşiklerin altıgen örgüsünün TM band yapısı........................................70
Şekil 5.11. Dielektrik örgü kusurunun iki boyutlu yapısı ve yerelleşen kip……...71
Şekil 5.12. Çizgisel örgü kusuru ve yerelleşmiş kipler………………………….....72
Şekil 5.13. Dalga kılavuzunda genliğin band numarasına karşılık grafiği………..73
Şekil 5.14. Çizgi örgü kusurunun TM band yapısı………………………………..73
Şekil 5.15 ZnTe kare örgüsünün TM band yapısı………………………………….75
Şekil 5.16. ZnTe’nin kare örgüsünde iletimin frekansa bağlı değişimi…………….75
Şekil 5.17. ZnTe kare örgüsünün TE band yapısı………………………………….76
XI
1.GİRİŞ
Utku ERDİVEN
1. GİRİŞ
Fotonik, ışık ve madde arasındaki etkileşimi inceleyen bir bilim dalıdır. Işık
ve madde arasındaki etkileşimin incelendiği materyallerden birisi de fotonik
kristallerdir. Fotonik kristaller dielektrik sabitinin periyodik olarak değiştiği
yapılardır. Düzenli değişen dielektrik yapı, elektromanyetik dalgaların belirli
yönlerde ve belirli frekans aralığında ilerlemesini engeller. Bu yüzden optiksel
yalıtkan
(optical
insulator)
olarak
adlandırılabilir.
Periyodik
bir
ortamda
elektromanyetik dalga yayılımı ilk defa 1887’de Lord Rayleigh tarafından çalışıldı
(Rayleigh, 1887). Yapılan çalışma, periyodik olarak birleştirilmiş düzlemler ile bir
kristal mineralinin özel yansıtıcı özellikleri ile ilgilidir. Bunlar bir boyutlu fotonik
kristallere benzemektedir. Lord Rayleigh bu materyallerin düzlemler boyunca ışığın
yayılmasını yasaklayan dar bir band aralığına sahip olduğunu söyledi. Bu band
aralığı ışığın gelme açısına bağlıdır. Doğadaki yanardöner renklerde, kelebek
kanatlarında, kabuklu deniz hayvanında bu durum mevcuttur. Çok katlı filmler
yoğun bir çalışma almasına rağmen, ancak 100 yıl sonra Yablonovitch ve John,
1987’de iki ve üç boyutlarda çok yönelimli fotonik band aralıkları ile ilgili
materyaller ürettiler (Yablonovitch ve ark, 1987). Bu materyallere fotonik kristal
adını verdiler.
Işığın dalgaboyunun onda biri inceliğinde (30-50 nm) olan bu yapılarda
bulunan örgü kusurları kullanılarak, ışık çok küçük bir alana sıkıştırılabilir ve ışık
ışınları (fotonlar) şekil 1.1’de görüldüğü gibi bir devrenin herhangi bir noktasına
yönlendirilebilir.
Günümüzde
tıkanma
seviyesine
gelmiş
silikon
temelli
mikroişlemcilerin en büyük sorunu, transistorler arasındaki iletişim ağının
yavaşlığıdır. Bu durumda bir bilginin elektronik bir devrede bir uçtan başka bir uca
aktarılması çok uzun bir süre almaktadır. Işık, bilginin taşınabilmesi bakımından
elektronlara göre daha avantajlı özelliklere sahiptir. Dielektrik bir materyal içerisinde
ışık, metal içerisinde elektronlardan çok daha hızlı ilerleyebilir. Ayrıca dielektrik
materyallerin band genişliği, metallerinkinden daha geniştir. Işık parçacıkları
(fotonlar), elektronlar gibi madde ile fazla etkileşim içerisinde bulunmaz. Bu durum
ise enerji kayıplarını azaltan bir faktör olur. Bu yüzden fotonik kristallerde, örgü
1
1.GİRİŞ
Utku ERDİVEN
kusuru (defect) oluşumu çok önemlidir. Örgü kusurlarının en önemli özelliği, fotonik
band aralığındaki frekanslarda kılavuzlu kip oluşturmasıdır. Kristal örgüsü içerisinde
oluşturulan örgü kusuru, ışığın geri yansımasını engellemekte ve ışığın tutunmasını
sağlamaktadır. Örgü kusurları iki şekilde incelenebilir: Nokta kusur ve çizgi kusuru.
Örneğin, 2 boyutlu fotonik kristallerinde sütunların hareket etmesi, boşlukların
doldurulması, sütunların ve boşlukların büyüklüğünün değişmesi örgü kusuru
oluşturur. Nokta kusuru, ışığı tuzaklayan oyuk gibi, çizgi kusuru ise dalga kılavuzu
gibi davranır. Fotonik band aralığı içerisindeki dalga kipleri dalga kılavuzu içerisinde
sınırlanır. Fotonik kristal içerisinde oluşturulan bükülme bunun kanıtıdır. Bu
bükülme çok düşük enerji kayıplarıyla frekans bileşenlerinin yayılmasını sağlar.
Özellikle 90 derecelik bükülmelerde bu durum daha iyi sağlanabilmektedir (Şekil
1.1).
Şekil 1.1. Dalgaların dalga kılavuzu ve bükülmede yayılması (CST)
Fotonik kristallerin pek çok kullanım alanı vardır. Lazer teknolojisinde, fiber
optik yapılarda, yüksek hızlı optiksel bilgisayarlarda, mikroçiplerde, ışığı bükebilen
metamalzemelerde, ışık yayan diyodlarda, güneş pillerinde vb… kullanılabilir.
Fotonik kristallerin kullanım alanları şekil 1.2’de özetlenmiştir.
2
1.GİRİŞ
Utku ERDİVEN
Kutuplayıcı
Işık yayan
diyod (LED)
Güneş
pilleri
Fotonik
Kristaller
Meta
malzeme
Filtre
Dalga
Kılavuzu
Fiber
Şekil 1.2. Fotonik kristallerin kullanım alanları
Bu çalışmada fotonik kristallerde elektromanyetik dalgalar ile madde
arasındaki etkileşim açıklanmaktır. Bunun için makroskobik Maxwell denklemleri ile
harmonik kipler (özkipler, Fourier kipleri, normal kipler olarak da adlandırılır.)
arasında ilişki kuruldu. Bu etkileşim bir ve iki boyutta incelenmiştir. Bandlarla ilgili
teorik hesaplamalar MPB bilgisayar programı ile desteklenmiştir. MPB programının
çalışma prensibi ‘’Materyal ve Metod’’ bölümünde açıklandı.
Harmonik kiplerin genel özellikleri, kip simetrileri, varyasyon ilkesi, bir ve
iki boyutta fotonik kristaller, örgü kusurları, dalga kılavuzları gibi temel kavramlar
‘’Teorik Altyapı’’ bölümünde açıklandı. Ayrıntılar ‘’Bulgular ve Tartışma’’
bölümünde verilmiş olmakla birlikte bu çalışmada aşağıdaki konular araştırıldı.
Fotonik kristallerin kullanım alanları içerisinde olan iki yarıiletken malzeme
incelendi. Birincisi, GaAs (Galyum Arsenid)’dir. GaAs’in band yapısı ışık yayan
diyod (LED) ve lazer diyodu, VCSEL (vertical-cavity surface-emitting laser) ve
güneş pilleri için oldukça uygundur. GaAs’in etkin kütlesi çok küçük olduğundan
3
1.GİRİŞ
Utku ERDİVEN
elektrik alan etkisi altında serbest elektronlar çok yüksek hızda taşınabilir. GaAs’in
diğer bir özelliği alttaş (substrate) olarak kullanılabilmesidir. Örgü içerisinde
oluşturulacak donor ve akseptörler GaAs için oldukça uygundur. Çünkü, GaAs
doğrudan fotonik band aralığına sahiptir. GaAs’in band yapısı optiksel nitelikleri
bakımından ışıldama (photoluminescence) özelliklerine sahiptir (Safa Kasap ve ark,
2006: Joannopoulos ve ark, 2007). GaAs’in band yapısı, GaAs ile oluşturulan örgü
kusurları ve dalga kılavuzu MPB programı ile hesaplandı.
İncelenen ikinci materyal ZnTe (Çinko Tellür)’dir.
ZnTe ince filmlerde
oldukça kullanışlıdır. Bunun dışında mavi ışık yayan diyodlarda, lazer diyodlarında,
güneş pillerinde kullanılabilir. ZnTe’nin band yapısı MPB programı kullanılarak
incelendi.
1.1. Kristallerin elektronik ve fotonik özellikleri arasında karşılaştırma
Fotonik kristaller, örgü yapısı ve bant yapısını oluşturmak bakımından diğer
kristallerle benzer özellikler taşır. Fotonik kristaller, diğer tüm kristallere benzer
şekilde iki ayrı parçadan meydana gelmiş gibi düşünülebilir: Örgü ve baz (basis).
Tüm kristallerin yapısı bir örgü ile tanımlanabilir. Örgü, uzayda dizilmiş noktalar
kümesidir. Bunun iki boyuttaki karşılığı ağ’dır. Örgünün her düğüm noktasında
bulunan dielektrik çubuklar grubuna baz denir. Bu bazın uzayda tekrarlanmasıyla
fotonik kristal oluşur.
Örgü + Baz = Fotonik Kristal
Bir örgü a1 , a 2 , a 3 üç temel öteleme vektörüyle tanımlanır. Bu vektörlere
ilkel öteleme vektörleri denir. Kristalin yapıtaşı olan en küçük hücre, ilkel öteleme
vektörleriyle oluşur. Bu hücre ilkel hücre olarak adlandırılır. İlkel hücre minimum
hacimli bölgedir. Bu hücreyi ötelemek suretiyle kristal tüm uzayı doldurur. İlkel
hücre seçimi için en uygun yol şekil 1.3’de görüldüğü gibi Wigner-Seitz hücresidir.
4
1.GİRİŞ
Utku ERDİVEN
Şekil 1.3. Wigner-Seitz ilkel hücresi
Fotonik kristallerde elektromanyetik dalga ile madde arasındaki etkileşim bir
kristalin ters örgüsünde anlaşılabilir. Çünkü, elektromanyetik dalgalar kristal
içerisinde yansır ve yansıyan dalgalar bir girişim deseni oluşturur. Bu girişim deseni
kristalin ters örgü vektörleri üzerinde oluşur. Ters örgü vektörü kristalin Fourier
uzayındaki örgüsüdür. Dalga vektörleri daima Fourier uzayında çizilir. Böylece
Fourier uzayındaki her noktada dalganın özellikleri tanımlanabilir. Bu durum
kristalin periyodikliğinin bir sonucudur. Bu periyodikliğe bağlı olarak fotonik
kristalin band yapısı ortaya çıkar. Band yapısının oluşturulmasında Brillouin
bölgeleri önemlidir. Çünkü, fotonik kristallerde yansımaları veren tüm dalga
vektörleri Brillouin bölgesi içerisinde sınırlandırılır. Bir Brillouin bölgesi ters örgüde
Wigner-Seitz ilkel hücresi olarak tanımlanır. Bu hücre en küçük hacimli bölgedir. Bu
yüzden bu bölge içerisinde en küçük özdurum (girişim desenindeki en küçük
frekanslı kip) elde edilir. En küçük özdurumun elde edildiği bu bölge birinci
Brillouin bölgesidir. Daha sonraki özdurum ikinci Brillouin bölgesinde olur. Bir
hücreden diğer bir hücreye geçiş ters örgü vektörleri yardımıyla sağlanır. Buna göre
k' = k + G
(1.1)
Burada k ' yansıyan dalganın dalga vektörü, G ters örgü vektörüdür. Her iki tarafın
karesi alınırsa
k ' =k 2 +2k.G + G 2
2
(1.2)
olur. Dalganın esnek saçıldığı düşünülürse k ' 2 = k 2 olur. Denklem (1.2),
5
1.GİRİŞ
Utku ERDİVEN
2k.G = G 2
(1.3)
şeklinde yazılır. Bu denkleme göre k dalga vektörü, örgü vektörü G ’yi dik olarak
ikiye bölen düzlemde bulunuyorsa yansıma şartları sağlanmış olur. Maksimum
yansıma Brillouin bölgesi kenarlarında olur. Bu noktalar için toplam grup hızı sıfır
olur.
Şekil 1.4’de tek boyutta kristal örgü ve ters örgüsü verilmektedir. Ters örgüde
baz vektörü b olup boyu
2π
π
’ya eşittir. Sınırlar k = ±
’dadır. Bu sınırlar 1.
a
a
Brillouin bölgesini oluşturur. Bu sınırlarda dalga paketinin hızı sıfır olur. Bu
durumda elektromanyetik dalga dielektrik çubuk üzerinde yoğunlaşır (bağ yapma
durumu). Ancak 2. Brillouin bölgesinin sınırları dielektrik çubuklar üzerinden geçer.
Sınırlarda dalga paketinin hızı sıfır olduğundan ikinci Brillouin bölgesinde dielektrik
çubuklar üzerinden bir düğüm çizgisi geçer (bağ yapmama durumu). Böylece,
elektromanyetik dalgadaki yoğunlaşma dielektrik çubuklar arasındaki hava
bölgesinde olacaktır. İlk Brillouin bölgesi en küçük dereceli kip olan tek kutuplu
temel kipi, ikinci Brillouin bölgesi çift kutuplu dipol kipini verir. Üçüncü Brillouin
bölgesinde dört kutuplu (quadrupole) kip vb…
a
doğrusal örgü
k =-2π/a
k =2π/a
k =-π/a
k =π/a
b
k
ters örgü
1. Brillouin bölgesi
2. Brillouin bölgesi
Şekil 1.4. Tek boyutlu doğrusal örgü ve buna ait Brillouin bölgesi
Sonuç olarak ters örgü, kristalin periyodikliğinin bir sonucudur. Bu
6
1.GİRİŞ
Utku ERDİVEN
periyodiklikten yararlanarak Brillouin bölgelerindeki bandlar ve bandlara ait kipler
derecelendirilir. Yapı periyodik olduğundan indirgenemez Brillouin bölgesini aşan
bandlar ilk Brillouin bölgesine katlanır. Bu durumda fotonik kristallerin diğer
kristallere benzer özellik taşıdığı noktalardan birisi olan band yapısı ortaya çıkar.
Kristallerin elektronik özellikleri incelendiğinde elektronlar valans ve iletkenlik
bandında bulunur. Bu bandlarda elektronlara ait durum yoğunlukları vardır. Valans
bandı ve iletkenlik bandı arasında, elektronların bulunmalarının yasak olduğu (durum
yoğunluğu sıfır) band aralığı vardır. Aynı şekilde şekil 1.5’de görüldüğü gibi fotonik
kristallerde fotonlar valans bandına benzer dielektrik band, iletkenlik bandına benzer
hava bandı içerisinde yer alır. Dielektrik band ve hava bandı arasında fotonların
bulunmalarının yasak olduğu bölgeye fotonik band aralığı denir. Tek boyuttaki
periyodik yapı boyunca elektromanyetik dalga, band aralığı aşağısındaki frekanslarda
dielektrik band içerisinde olduğundan dielektrik çubuklara bağlı olarak, band aralığı
yukarısındaki frekanslarda hava bandı içerisinde olduğundan dielektrik çubuklara
bağlı olmadan yayılabilmektedir. Ancak
fotonik
band aralığı içerisindeki
frekanslarda elektromanyetik dalga fotonik kristal içerisinde yayılamaz ve tamamen
geri yansır.
Şekil 1.5. Kristallerin fotonik özelliklerini gösteren genel fotonik band yapısı
7
1.GİRİŞ
Utku ERDİVEN
Gelen dalga
Aynı fazda yansıyan dalgalar
Toplam Dalga
Şekil 1.6. Band aralığı içerisindeki dalgaboylarında dalgalar (Yablonovitch, 2001)
Şekil 1.6’da gösterildiği gibi band aralığı içindeki dalgaboyundaki dalgalar
yapının her bir tabakasında geri yansır. Yansıyan dalgalar aynı fazdadır ve
birbirlerini kuvvetlendirirler. Ancak gelen dalgalar ile yansıyan dalgalar arasında zıt
faz vardır. Bu yüzden yansıyan dalgalar gelen dalgaları sönümleyerek malzeme
boyunca ilerlemeyen durgun dalgalar oluşmasını sağlar. Bu durum Brillouin bölgesi
kenarları olan k = ±
π
aralığında oluşur. Şekil 1.7’de ise band aralığı içerisinde
a
olmayan (dielektrik band ve hava bandı içerisindeki) dalgaboylarında yansıyan
dalgalar zıt fazlıdır ve birbirlerini söndürürler. Bu yüzden yansıyan dalgalar gelen
dalga ile birleşemez. Gelen dalga bir miktar sönümlenerek materyal boyunca yayılır.
Gelen dalga
Aynı Fazda Olmayan Yansıyan Dalgalar
Toplam Dalga
Şekil 1.7. Band aralığı içerisinde olmayan dalgaboylarında dalgalar (Yablonovitch, 2001)
8
1.GİRİŞ
Utku ERDİVEN
Şekil 1.8’de iki boyutlu kare örgü verilmektedir. (a)’da yapının gerçek
uzaydaki a aralıklı kare örgüsü verilmektedir. Örgü vektörleri a1 ve a 2 ile
gösterilmektedir. (b)’de ise
2π
aralıklarıyla oluşturulmuş kare örgünün ters örgüsü
a
verilmektedir. Ters örgünün eksen vektörleri b1 ve b 2 ile gösterilmektedir. Noktalı
çizgiler ters örgü vektörlerine dik açıortaydır. Bu çizgiler en yakın ters örgü
noktalarıyla merkez noktasını (Γ noktası) birleştirmektedir. Bu çizgilerle kapatılmış
bölge ilk Brillouin bölgesini içermektedir. Taralı bölge ise en küçük hacimli
indirgenemez Brillouin bölgesini vermektedir.
M ve X noktaları ise Brillouin
bölgesinin kenarlarını göstermektedir. Bu kenarlarda dalga paketinin hızı sıfırdır.
y
ky
a
M
a2
b2
a1
x
X
Γ
kz
b1
a). Gerçek Örgü
b). Ters Örgü
Şekil 1.8. İki boyutlu kare örgü ve buna ait Brillouin bölgesi (Shen, 2006)
9
1.GİRİŞ
Utku ERDİVEN
λ
Şekil 1.9. İki boyutta gelen ve yansıyan dalgaların girişimi
Şekil 1.9’da iki boyutta gelen ve yansıyan dalgaların girişimi verilmektedir.
Birinci Brillouin bölgesinde temel kip, ikinci Brillouin bölgesinde çift kutuplu kip,
üçüncü Brillouin bölgesinde dört kutuplu kip oluşur.
Şekil 1.10’da iki boyutlu altıgen örgü verilmektedir. (a)’da gerçek uzayda a aralıklı
altıgen ağ örgüsü verilmektedir. Bu vektörler a1 ve a 2 ile gösterilmektedir. (b)’de
4π
3a
aralıklarıyla oluşturulmuş ters örgü gösterilmektedir. Noktalı çizgiler ters örgü
vektörlerinin dik açıortaylarıdır. Bu örgü vektörleri merkez noktası (Γ) ile en yakın
ters örgü noktalarını birleştirmektedir. Bu çizgilerle kapatılmış bölge ilk Brillouin
bölgesidir. Taralı bölge indirgenemez Brillouin bölgesidir. Simetri noktaları Γ, M ve
X ile gösterildi.
10
1.GİRİŞ
Utku ERDİVEN
y
ky
b2
a2
a1
M
x
X
Γ
kz
b1
4π/√3a
a
a). Gerçek Örgü
b). Ters Örgü
Şekil 1.10. İki boyutta altıgen örgü ve buna ait Brillouin bölgesi (Shen, 2006)
Ters örgünün Brillouin bölgelerindeki kipleri elde etmek için özdeğer
denklemlerini tanımlamak
gerekir.
Elektronik
yapılarda
özdeğer
denklemi
Schrödinger eşitliği iken, fotonik yapılarda ise Master eşitliğidir.
 h2 2

Schrödinger eşitliği →  −
∇ + V ψ = Eψ
 2m

(1.4)
r  w 2 r
1
Master eşitliği → ∇ × ∇ × H =   H
ε
c
(1.5)
Özdeğer denklemlerin çözümleri periyodik yapılarda Bloch teoremi ile
yapılabilir. Bloch teoremi, elektronik yapılarda periyodikliği V (r ) = V (r + R )
potansiyeline göre, fotonik yapılarda ise ε (r ) = ε (r + R ) dielektrik fonksiyonuna göre
ayarlar ve özdeğer denklemlerini çözer. (1.4) ve (1.5) özdeğerlerini veren
özfonksiyon denklemleri, hermityen çözümler verir. Yani, E enerji özfonksiyonları
ve w açısal frekans özfonksiyonları reel ve ortogonaldir. Burada w açısal frekansı
w = ck
(1.6)
şeklinde yazılır ve bu eşitlik dağıtkanlık bağıntısı olarak adlandırılır. Böylece fotonik
kristallerin hangi frekans aralığında elektromanyetik dalgayı geçirip geçirmeyeceği
11
1.GİRİŞ
Utku ERDİVEN
belirlenmiş olur. Burada k dalga sayısı, c ışık hızıdır. Dalga sayısı k =
2π
ve ışık
λ0
hızı c = λ0υ ’dır. λ0 , boş uzaydaki ışıma alanının dalga boyu, υ ise ışık frekansıdır.
Sonuç olarak fotonik kristaller şekil 1.11’de görüldüğü gibi kesikli frekans
değerlerine sahiptir.
w
w3
w2
w1
k
Şekil 1.11. Fotonik kristallerdeki kesikli frekans değerleri
12
2.ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR
Utku ERDİVEN
2.ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR
Fotonik kristaller doğal olarak bulunmayan ancak laboratuar ortamında elde
edilebilen materyallerdir. Periyodik yapıları yarıiletkenlerle kıyaslandığında yasak
band aralığı kompleks dağıtkanlık bağıntısı çok değişik özellikler sergilemektedir.
Çok küçük ışık ölçeğinde bile ışık akışını kontrol edebilme özelliği sayesinde son
yıllarda bu alanda pek çok araştırma yapılmaktadır. İç yapısındaki periyodik karakter
nedeniyle materyalde Bragg yansımaları izlenebilir. Elektromanyetik dalgaların
periyodik yapılar içinde ilerlemesi ilk kez 1887 yılında Lord Rayleigh tarafından
gösterildi (Rayleigh, 1887). Daha sonra bu olay 2 ve 3 boyutlu ince filmler için de
belirlendi. Fotonik kristallerin üretimi ve pek çok alandaki uygulamasına olan ilgi
her geçen gün artmaya devam etti. Soğurma ve yansıma katsayılarının hesabını
içeren çok katmanlı filmin geleneksel özellikleri 1997 yılında Hecht ve Zajac
tarafından bulundu (Hecht, 1997: Zajac, 1997). Optiksel aletlerde çok katmanlı
filmlerin kullanımı 1975 yılında Fowles tarafından Fabry-Perot filtreleri içinde
tasarlandı (Fowles, 1975). Çok katmanlı filmlerin çok yönelimli yansımaları 1998’e
kadar başarılamadı. Fikir, Winn ile 1998’de gerçekleşirken, deneysel olarak Fink
tarafından 1998 yılında bu durum sağlandı (Winn, 1998: Fink, 1998). Ayrıntılı band
yapısı ve özkip hesaplamalarını Johnson ve Joannopoulos 2001’de yaptı (Johnson,
2001: Joannopoulos, 2001). İki boyutlu band aralığı sistemleri için teorik ve deneysel
çalışmalar 1991’de McCall,1993’de Smith tarafından gerçekleştirildi (Mccall, 1991:
Smith, 1993). Plihal ve Maradudin 1991’de, Villeneuve ve Piche 1992’de elektriği
iletmeyen çubukların ve damarların sistematik çalışmasını yaptı (Plihal, 1991:
Maradudin, 1991: Villeneuve, 1992: Piche, 1992). 1994’de Winn, sütunların kare ve
üçgen örgülerini içeren uygulamalar gerçekleştirdi (Winn, 1994). İki farklı
materyalin ara yüzeyindeki yüzeysel konumlar 1991’de Meade tarafından rapor
edildi (Meade, 1991). Elektriği iletmeyen sütunların kare örgüsünün deneysel
çalışmaları hacimsel konumlar 1992’de, yüzeysel konumlar ise 1993’de Robertson
tarafından bulundu (Robertson, 1992: Robertson, 1993). İki boyutlu fotonik
kristallerde analitik çözüm TM (transverse magnetic) kutuplanması için Chen
tarafından ilk defa 1981’de yapıldı (Chen, 1981).
13
2.ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR
Utku ERDİVEN
14
3.MATERYAL VE METOD
Utku ERDİVEN
3.MATERYAL VE METOD
Bu çalışmada bazı materyallerin fotonik band yapıları teorik olarak
hesaplandı. Teorik hesaplamalar MPB (MIT photonic bands) bilgisayar programı
paketi ile desteklendi (ab-initio.mit.edu) . MPB programı ile frekans bölgesinde
materyallerin fotonik band yapıları, dağıtkanlık bağıntısı, örgü kusurları ile ilgili olan
alan örgüleri ve grup hızları hesaplandı. MPB programı fortran 77 dilinde yazılmış
özel amaçlı bir programdır. MPB, fotonik bandları periyodik dielektrik yapı içindeki
Maxwell denklemlerinin belli frekans özdurumlarını hesaplamak için kullanılan bir
bilgisayar programı paketidir. MPB band hesaplama programı içerisinde; Lapack,
Blas, Fftw, Guile, Hdf5, Libctl bilgisayar program paketleri çeşitli amaçlar için
geliştirilmiştir. Bütün bu dosyalar, scheme programlama dilinde yazılmış ve guile ile
çevrilmiştir.
LİBCTL (control language library), guile temelli kontrol dosyaları içeren bir
programdır. Libctl’de nesneler, nesnelerin tipleri (kare, dikdörtgen, silindir vs.) ve
özellikleri için fonksiyonlar oluşturulur. Brillouin bölgesinin köşelerinin tanımı libctl
ile sağlanır. k dalga vektörlerini doğru bir şekilde ekleyebilmek için fonksiyonun
kökünü bulma, (Ridder’s yöntemi, Newton yöntemi) bir boyutta minimumlaştırma ve
maksimumlaştırma, bir fonksiyonun türevi, integrali libctl’de tanımlanmıştır. Aynı
şekilde N × N
matrislerinin tanımlanması, vektör uzunluğu, devriği, eşleniği,
determinantı, matrisin tersi, bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşan rotasyon
matrisinin tanımı libctl’de yer alır. Ayrıca kompleks değerli integraller, yüzey
integralleri libctl’de yer alır.
LAPACK (Lineer cebir paketi) ; Fortran77’de yazılmış sayısal hesaplama
yapabilen bir yazılım kütüphanesidir. ε (r ) dielektrik fonksiyonunu, k + G , H(r ) ve
E(r ) ’yi matris biçiminde yazarak determinant yoluyla çözen bir pakettir. Bu
matrisler
k + G1
A=
H 1 (G )
x = H 2 (G )
H 3 (G )
2
k + G2
2
k + G3
2
14
E1 (G )
veya x = E 2 (G )
E3 (G )
3.MATERYAL VE METOD
Utku ERDİVEN
ε (G1 − G1 ) ε (G1 − G2 ) ε (G1 − G3 )
B = ε (G2 − G1 ) ε (G2 − G 2 ) ε (G2 − G3 )
ε (G3 − G1 ) ε (G3 − G2 ) ε (G3 − G3 )
şeklinde yazılır.
Temel çizgisel cebir alt programı olan BLAS (Temel lineer cebir altprogramı)
ise vektör ve matris çarpımları gibi temel çizgisel uygulamaları yapmak için
programlanmıştır ve Lapack gibi paketleri oluşturmak için kullanılır. Ax = B ve
Ax = λBx matris ve özvektörler arasındaki işlemleri yapmada kullanılır. Burada x
özvektör, A ve B , N × N matrisleridir.
Fotonik kristallerde periyodiklik dielektrik fonksiyona göre ayarlanır. Ters
örgüde dielektrik fonksiyon ise brillouin bölgeleri arasında Fourier serisi ile
genişletilir. Temel fikir, kesikli Fourier serileri içindeki Bloch fonksiyonu ile birlikte
dielektrik sabitini genişletmektir. Buna göre dielektrik fonksiyonunun tersi
1
= ∑ ε −1 (G − G ')e i (G −G ' ).r
ε (r ) G ,G '
(3.1)
şeklinde yazılır ve H(r ) ve E(r ) özfonksiyonları ile birlikte Master eşitliği içerisine
eklenir. Elde edilen eşitlik matris biçiminde yazılarak LAPACK ile çözülür ve
özfonksiyonların özdeğerleri elde edilmiş olur. Özfonksiyonların çözümünden elde
edilen özdeğerler yansıyan ve iletilen dalgaların sanal ve reel çözümlerini verir.
FFTW (Fast Fourier transform-Hızlı Fourier dönüşümü), ters örgü uzayından
gerçek örgü uzayına geçmek için kullanılır. Kısaca FFTW, zamana bağlı olan
Maxwell eşitlikleri ile çözülmüş H(r ) kiplerini frekans alanına geçirirken kullanılan
bir işlemdir. FFTW, bloch teoremi ile belirlenmiş periyodik yapı içindeki titreşimleri
alır, yansıyan ve ilerleyen dalgalara ait kiplerin periyodik olanlarını belirleyip
harmonik bileşenlerine ayırır. H(r ) kiplerini tek (TM→ enine manyetik) ve çift
(TE→ enine elektrik) kipler olarak ayırır ve bu kiplerin sanal ve reel çözümlerini
belirler. Denklem (4.62)’deki gibi FFTW, özvektörleri frekans uzayından zaman
uzayına, zaman uzayından frekans uzayına dönüştürebilir.
15
3.MATERYAL VE METOD
+∞
H(f ) =
∫ h(t )e
2πift
Utku ERDİVEN
dt
−∞
h(t ) =
(3.2)
∞
∫ H ( f )e
− 2πift
df
−∞
H (w ) ve H ( f ) arasındaki ilişki için w = 2πf olduğundan
H (w ) =
∞
∫ h(t )e
iwt
dt
−∞
1
h(t ) =
2π
∞
∫ H (w)e
(3.3)
− iwt
dw
−∞
şeklindedir.
Alanların nasıl göründüğünü veya dielektrik fonksiyonunu kontrol etmek için
HDF (hiyerarşik veri formatı) dosya çıktısı gerekir. HDF sayesinde çözülen bandlar
belli bir hiyerarşiye göre sıralanır. HDF çıktı dosyaları ‘’.h5’’ ile dosya isimlerinin
sonuna eklenir. Birim hücre içindeki dielektrik fonksiyon ‘’epsilon.h5’’ dosyası
içerisine yazılmaktadır. h5 içerisine yazılan dielektrik fonksiyon ve özvektörler
h5utils içinde bulunan h5topng ile görüntülenir. MPB programının akış diyagramı
Şekil 3.1’de verilmektedir.
16
3.MATERYAL VE METOD
Utku ERDİVEN
TERMİNAL
GUİLE
LİBCTL
( foo.ctl )
HDF5 DATA
( epsilon.h5 )
usr/ local /bin /
MPB
H5UTİLS
( h5topng )
ÖRNEK
MPB DATA
GÖRÜNTÜ
FOO.OUT
TE FREKANS
DATA
GREP
TM FREKANS
DATA
ORİGİN
ORİGİN
GRAFİK
GRAFİK
Şekil 3.1. MPB akış diyagramı
3.1. MPB Band Hesaplama Programı
MPB program paketi, belli frekans aralığında yayılan elektromanyetik
2
ˆ H = w H özdeğer
dalgalarla yapının özkiplerini hesaplar. Bunun için MPB, Θ
c2
problemini çözer. Burada H manyetik alan özvektörü (özdurum), w frekans,
r
r
ˆ = ∇× 1 ∇×
Θ
ε
Maxwell operatörü,
w2
ise özvektörün özdeğeridir. Θ̂ operatörü
c2
özvektöre uygulandığında reel çözümler verir. Bu yüzden Θ̂ operatörü hermityendir.
Yapı periyodik olduğunda Bloch teoremi ile özdurumlar H = H k (x )e ik . x şeklinde
yazılabilir. Burada H k periyodik bir fonksiyon k bloch dalga vektörüdür. Buna göre
her bir k değerinde kesikli özdurumları çözülmüş olur. H özdurumları birbirlerine
ortogonaldir. Bilgisayar üzerinde özdurumların hesaplanabilmesi için birkaç temel
17
3.MATERYAL VE METOD
Utku ERDİVEN
(basis) ile manyetik alan genişletilir. Bunun için Fourier temelinde düzlem dalgaların
toplamı olan H k = ∑ h G e iG .x alanı periyodik olarak genişletilir. Burada h G düzlem
G
dalga genlikleridir ve k + G ’ye diktir. Özfonksiyonları bulmak için temelde (basis)
Θ̂ ’nın elemanları hesaplanabilir. Özvektörler ve özdeğerlerin hesaplanması için
LAPACK kullanılır. Bunun dışında özvektörlerin bulunabilmesi için iterasyon
yöntemleri de kullanılır. İterasyon özçözücüleri bir vektör (fonksiyon) üzerinde
Θ̂ uygulandığında gereklidir. Bu yöntemde bir özvektör için bir başlangıç tahmini ile
gerçek özdeğere hızlı bir şekilde yakınsama olur. Fourier temelinde ise bir
fonksiyona Θ̂ ’yı uygulamak kolaydır. Bu yönteme göre
1
ile çarpılan i (k + G ) ’nin
ε
curl’ü alınır ve FFT uygulanır ve tekrar ters FFT alınarak Fourier temelinde özvektör
bulunur. Özvektörlerin hesaplanmasından sonra elde edilen değerler aynı frekansta
ise özvektörler dejenere olan kipleri, farklı frekansta ise ortogonal kipleri verir.
İki
boyutlu
yapılarda
ise
Maxwell
özdeğer
denklemi
1
w2
(∇ + ik ) × (∇ + ik ) × H = 2 H ’dır. Burada, H özdurumları Bloch seviyesine göre
ε
c
yazıldı. Enine olma koşuluna göre (∇ + ik ).H = 0 ’dır. Burada H özdurumu
r
H = exp i kx − wt H kr ’ye eşittir. İki boyutlu yapıda seçilen birim hücre içindeki
(
)
2
ˆ r H r =  w  H r
denklem A
k
k
k
c
(
) (
)
r r
r r
ˆ r = ∇ + ik × 1 ∇ + i k × ,
şeklinde yazılabilir. A
k
ε
pozitif yarı-tanımlı hermityen operatörüdür. Maxwell özdeğerini çözmek için bazlar
N
kullanılır. Sınırlı bir yapıda özdurumlar
H = H ( xt ) = ∑ hm bm ( xt ) açılımı şeklinde
m =1
tanımlanabilir. Burada N, serbestlik derecesi, ızgara noktalarının sayısı veya bazların
sayısıdır ve sonsuza kadar gider. h , hm bazların katsayılarının sütun vektörüdür.
2
ˆ H = w2 H
A
 w
eşitliğine göre özdurumlar çözülür. Özvektörler ise Ah =   Bh
c
eşitliğine göre çözülür. Burada A ve B , N × N hermityen matrisleridir ve B ’nin
18
3.MATERYAL VE METOD
Utku ERDİVEN
2
 w
hesabı özdeğerler için LAPACK ister. Ah =   Bh ’ı çözmek için iterasyon
c
yöntemi gerekir: Steepest-descent, Conjugate gradient, Preconditioned steepest
descent, Preconditioned conjugate gradient
Buradaki önemli nokta en küçük özdeğeri bulmaktır. Bunun için en kullanışlı yöntem
Rayleigh-quotient
w0 = min
2
h
minimization’dır.
Bu
yöntemde
kullanılan
h ' Ah
= f (h ) eşitliğine göre en küçük özdeğer çözülür. Burada h '
'
h Bh
hermityen adjoint (eşlenik transpoz)’dir. Daha sonra f (h ) fonksiyonuna iterasyon
yöntemi uygulanır. En uygun iterasyon yöntemi preconditioned conjugate
gradient’dir.
Steepest descent: (h + α∇f ) ’ yı α üzerinde tekrarlayarak minimum yapma
Conjugate gradient:
(h + αd ) ’
yi minimum yapma d = ∇f + (stuff ) = önceki
araştırma sonucunun (dirs) eşleniği
Preconditioned steepest descent: (h + αd ) ’ yi minimum yapma
( )
d = A −1 ∇f → (Newton yöntemi)
Preconditioned
conjugate
gradient: (h + αd ) ’
yi
minimum
yapma
( )
d = A −1 [∇f + (stuff )]
Şekil 3.2. Özdeğerdeki yüzde hatanın iterasyon sayısına bağlı grafiği (Johnson, 2001)
19
3.MATERYAL VE METOD
Utku ERDİVEN
İki boyutlu yapıdaki Maxwell özdeğerinde Fourier dönüşümü sağlandığında
(
2
r r
 w
Ah =   Bh eşitliğinden Ah ’ın, k + Gm
c
)
dalga vektörü uzayında rotasyonel
alınır, FFT hesabının yapılmasıyla ε~ −1 ile çarpılır, daha sonra ters FFT yapılır ve
daha sonra tekrar rotasyoneli alınır. Böylece O(NlogN) içinde hesaplama yapılmış
olur.
Alm = −(k + G l ) × ...IFFT ...ε~ −1 ...FFT ...(k + G m ) ×
(3.3)
ε~ −1 , etkin ters dielektrik tensörüdür. B matrisi de aynı şekilde çözülür.
Etkin Dielektrik Tensör
 kr H kr , özdeğer problemi çözülürken periyodiklik dielektrik fonksiyona
göre ayarlanmaktadır. Ancak, şekil 3.3’de görüldüğü gibi sınırlarda iki farklı
dielektrik sabiti vardır. Özdeğer denklemleri çözülürken sınırlarda iki farklı
dielektrik sabitini ortalamasının alınması daha uygun olur. Yüzey n̂ normaline göre
gelen ışığın kutuplanmasına bağlı olan etkin ortam teorisine göre iki farklı yoldan
r
ortalama dielektrik fonksiyonu alınabilir. E // nˆ için ε ’nun tersi ortalanırken,
r
E ⊥ nˆ için ε ’nun ortalamasının tersi alınır. Bunun sonucunda etkin dielektrik tensör
ortaya çıkar.
ε~ −1 = ε −1 (1 − P ) + ε −1 P
(3.4)
Burada P izdüşüm operatörüdür. Elektrik alanın paralel bileşeni (dielektrik
çubuklara paralel) sürekli iken, dik bileşeni (dielektrik çubukları kesen bileşen)
sürekli değildir. Ancak D⊥ = εE⊥ yerdeğiştirme alanı süreklidir. Elektrik alan
çizgileri yüzeye paralel olduğunda zıt potansiyel kesikli bir şekilde azalırken yüksek
dielektrik bölgesinde alan enerjisi yoğunlaşamaz. Fakat, elektrik alan çizgileri
dielektrik sınır yüzeyini kestiğinde alan çizgilerinin dik bileşeni zıt potansiyelin
kesikli bir şekilde artmasını sağlar. Bu durum alan enerjisinin yüksek dielektrik
bölgesinde yoğunlaşmasını sağlar. Band aralığı oluşumu bu şekilde sağlanmış olur.
20
3.MATERYAL VE METOD
Utku ERDİVEN
Şekil 3.3’de görüldüğü gibi birim periyot başına piksel değerleri (resolution) için
ızgaralama yapıldığında bir hücre içerisinde iki farklı dielektrik sabit vardır. Özdeğer
hesabında yapılması gereken aynı iterasyona karşılık gelen yüzde hatayı azaltmaktır.
Bunu yapabilmek için etkin dielektrik tensör almak gerekir. Şekil 3.4’de bu duruma
ait grafik verilmektedir. Ortalama alındığında elde edilen yüzdelik hata daha az
olmaktadır.
Şekil 3.3. Etkin dielektrik tensör
Şekil 3.4. Özdeğerdeki yüzde hatanın çözünürlüğe bağlı grafiği (Johnson, 2001)
21
3.MATERYAL VE METOD
Utku ERDİVEN
22
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
4.1. Fotonik Kristaller
4.1.1. Dielektrik ortamda elektromanyetik dalgalar
Elektromanyetik dalgaların yayılmasının kontrolü
fotonik kristallerle
sağlanabilir. Elektromanyetik dalga ve madde arasındaki etkileşim (4.1)’deki
Maxwell denklemleriyle açıklanabilmektedir. Temel alanlar,
B(r , t ) = µ 0 µ (r )H (r , t )
D(r , t ) = ε 0 ε (r )E(r , t )
şeklinde yazılırsa Maxwell denklemleri
r
∇.D(r , t ) = 0
r
∇.B(r , t ) = 0
r
∂
∇ × E(r , t ) = − B(r , t )
∂t
r
∂
∇ × H(r , t ) = D(r , t )
∂t
(4.1)
olur. Burada E : elektrik alanı, H : manyetik alanı, D : elektriksel yerdeğiştirme,
B : manyetik indüksiyonu göstermektedir.
r
r r
r
∇ × ∇ × (A ) = ∇ ∇.A − ∇ 2 A
( )
(4.2)
Maxwell denklemleri, (4.2) vektör özdeşliği ile birleştirilirse
r2
∂2
∇ E = µ 0ε 0ε 2 E
∂t
r
∂2
∇ 2 H = µ 0 ε 0ε 2 H
∂t
(4.3)
denklemleri elde edilir. İkinci dereceden diferansiyel denklemlerin çözümleri
[(
[(
)]
)]
rr
E = E m exp i k.r − wt
rr
H = H m exp i k.r − wt
(4.4)
olarak bulunur. Burada k dalga sayısı, w açısal frekanstır.
22
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
Farklı dielektrik sabitleri ile konum vektörünün fonksiyonuna bağlı olarak
elektromanyetik
dalganın
yayılmasının
kontrolü
sağlanabilmektedir.
Dalga
denklemleri bu durumda
{
}
2
1 r r
w
∇ × ∇ × E(r , t ) =   E (r , t )
ε (r )
c
2
r
1 r
w
∇×
∇ × H (r , t ) =   H (r , t )
ε (r )
c
{
}
(4.5)
şekline dönüşür. (4.5) denklemlerine master denklemleri denir.
4.1.2. Harmonik Kiplerin Genel Özellikleri
Maxwell denklemleri lineer olduğundan manyetik ve elektrik alan
fonksiyonları zaman ve uzay bağımlılığına ayrılabilir. Bu durum harmonik kiplerde
de vardır. Alan örgüsü üzerinde uygulanan Maxwell denklemleri, sinüzoidal
(harmonik) olarak değişir. Zamana bağlı alan örgüsüne ait harmonik kipin kompleks
üsteli
H(r , t ) = H(r )e − iwt
(4.6)
E(r , t ) = E(r )e −iwt
şeklinde yazılabilir. (4.5)’deki Maxwell denklemleri kullanılırsa
r
i
E(r ) =
∇ × H (r )
wε 0 ε (r )
i r
H (r ) = −
∇ × E(r )
wµ 0
(4.7)
sonucu elde edilir. Burada E(r ) ve H(r ) kiplerin özfonksiyonlarıdır. Bir fonksiyon
üzerindeki işlem sonucunda birkaç sabit ile çarpılmasıyla fonksiyonun kendisi elde
ediliyorsa bu fonksiyon özfonksiyon (eigenfunction) veya özvektör (eigenvector),
çarpanı özdeğer (eigenvalue) olarak adlandırılır. Özfonksiyonların yönü değişmeden
sadece miktarı değişir. Bir özdeğer denklemi
23
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
2
ˆ H (r ) =  w  H(r )
Θ
c
r
r
ˆ H (r ) = ∇ ×  1 ∇ × H (r )
Θ
 ε (r )



(4.8)
şeklinde yazılabilir. Burada, Θ̂ operatörü lineer ve diferansiyel operatörüdür.
2
 w
Harmonik kiplerin uzaysal örgülerinin H(r ) özvektörleri ve   öz değerleri bu
c
kiplerin frekanslarının karesiyle orantılıdır. Özfonksiyon üzerinde Θ̂ operatörü
kullanıldığında H1 (r ) ve H 2 (r ) aynı frekanstaki çözümler ise çözüm fonksiyonun
kendisi olur. Bu durumda iki kip dejenere (farklı yönlerde aynı frekanstaki kipler için
kullanılır) olur. Eğer, iki farklı w1 (r ) ve w2 (r ) frekanstaki H1 (r ) ve H 2 (r ) iki
harmonik kipin frekansları birbirinden farklı ise bu iki kip birbirine ortogonaldir.
Kiplerin ortogonal ve dejenerelik durumunda ortonormallik koşulu
⟨ H i (r ) | H j (r )⟩ = δ i, j
(4.9)
şeklinde yazılabilir. (4.9) denklemine göre
∫ H (r ).H (r )dr ≠ 0
i
j
∫ H (r ).H (r )dr = 0
i
j
ise kipler ortogonal,
ise kipler dejeneredir. Farklı frekanstaki ortogonal kipler farklı
sayıda düğüm çizgisine sahiptir. Verilen yüksek frekanslı harmonik kipler ise daha
düşük frekanstaki kiplere göre daha çok sayıda düğüme sahiptir. Farklı frekanstaki
kipler farklı düğüm sayılarına sahip olduğuna göre dielektrik bölgedeki alan
örgülerinin enerjileri de farklı olur. Dielektrik bölgedeki alan örgülerine ait kiplerin
enerjileri varyasyon ilkesi ile belirlenir.
4.1.3. Kip Simetrileri
Dielektrik bir yapı mutlak simetriye sahipse simetri, sistemin elektromanyetik
kiplerini sınıflandırmak için kullanılan uygun bir yol olur. Devirsel (translational)
simetrisi (hem kesikli hem de sürekli) fotonik kristallerin periyodik dielektrikler
olmasından dolayı önemlidir.
24
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
Şekil 4.1’de görüldüğü gibi iki boyutlu metalik oyuk içinde izin verilen kipler
bulunmaktadır. Şekil keyfi olarak seçilmiştir. Oyuk önemli bir simetriye sahiptir.
Eğer, oyuk merkezi etrafında ters çevrilirse, aynı oyuk şekli elde edilir. Kipler iki
şekilde incelenmektedir: Çift kip ve tek kip.
Şekil 4.1. Oyuk içindeki izin verilen kipler (Joannopoulos, 1995)
Soldaki oyuğu dolduran çift kipi H(r ) = H (− r ) , Sağdaki oyuğu dolduran tek
kipi
H(r ) = − H(− r )
vermektedir.
Daha
genel
bir
ifadeyle
H(r ) ÷ H (− r ) = αH(r ) ’dir. Burada α nedir? Eğer, sistem iki kez ters çevrilirse
orjinal H(r ) fonksiyonuna dönülür. O zaman α 2 .H(r ) = H(r ) ’ den α , -1 veya 1
olabilir. Bu durumda α dejenere olmayan kipin tek veya çift kip olup olmadığını
gösterir. Eğer, terslenme altında kip değişmiyorsa H(r ) = H (− r ) çift kipi, kip
değişiyorsa H(r ) = − H (− r ) tek kipi meydana gelir.
Oyuğun merkezi etrafında terslenmesi sonucu hem konum hem de
özvektörleri üzerinde olan değişimler terslenme operatörleri ile açıklanabilir. I ,
3× 1 matrise sahip ters vektörlerin bir operatörü olsun. Örgü vektörü üzerinde bu
operatör kullanıldığında Ia = −a olur. Bir alan vektörünü ters çevirmek için ise Ο̂ l
operatörü kullanılır. Ο̂ l , hem f vektörünü hem de onun bağımsız değişkeni r ’yi
ters çevirir:
ˆ f (r ) = If (Ir )
O
l
(4.10)
şeklinde ifade edilir. Terslenme operatörü çift kip için kullanıldığında H sanki
vektör (pseudovector), E ise vektördür. Yani, H pozitif işarete dönüşüyor
(IH = +H )
iken E negatif işarete
(IE = −E)
25
dönüşmektedir. Bu durumda
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
ˆ H(r ) = + H(r ) ve O
ˆ E(r ) = − E(− r ) olur. Çift kip Ο̂ terslenme altında değişmez,
O
l
l
l
yani çift kip H(r ) = H (− r ) ve E(r ) = −E(− r ) ‘ye sahip olur. Benzer bir şekilde tek
kipte H(r ) = − H(− r ) ve E(r ) = E(− r ) meydana gelir. Yani E sanki vektör,
H vektördür. Bütün bu durumlara bağlı olarak özvektör üzerine uygulanan
Θ̂ diferansiyel operatörü ile Ο̂ l ters çevirme operatörü arasındaki ilişki
(4.11)
ˆ =O
ˆ −1 Θ
ˆO
ˆ
Θ
l
l
şeklinde yazılabilir. Terslenme simetrisine sahip sistemin matematiksel tanımı nedir?
Terslenme simetrisine sahip sistemde kullanılan operatörler sıra değiştirme özelliğine
sahiptir. Terslenme operatörü Ôl ile lineer diferansiyel operatör Θ̂ sıra değiştirme
[
]
ˆ ,Θ
ˆ = 0,
durumunda sistem değişmeden kalıyorsa simetrik yapıda demektir. Yani, O
l
ˆ Θ
ˆ = 0 olur. H(r ) sisteminin kipi üzerinde komutator ile işlem yapılırsa
ˆ −Θ
ˆO
O
l
l
[Oˆ , Θˆ ]H = Oˆ (Θˆ H ) − Θˆ (Oˆ H ) = 0
ˆ H) = O
ˆ (Θ
ˆ H)
ˆ (O
ˆ H ) = w (O
Θ
c
l
l
l
2
l
l
2
(4.12)
l
elde edilir. (4.12) denklemi H ’ın w frekanslı harmonik bir kip olduğunu anlatır.
ˆ H , w frekanslı bir kiptir. Eğer hiç dejenerelik yoksa (frekansları farklı) birim
O
l
ˆ H artan bir faktörle farklı
frekans başına sadece bir kip olabilir. Bu yüzden H ve O
l
ˆ H = αH olur.α ’nın özdeğerleri 1 ve -1 olabilir. Böylece H(r ) özvektörleri
olur: O
l
sınıflandırılabilir. Özvektörler, çift (H → + H ) veya tek (H → − H ) , Ο̂ l terslenme
simetrisi operatörü altında çözülür. Sistemin terslenmesi sonucu özvektörlerde ve
buna bağlı olarak kiplerdeki olacak değişimler iki şekilde incelenir: Sürekli dönüşüm
simetrisi ve kesikli dönüşüm simetrisi.
4.1.4. Sürekli Dönüşüm Simetrisinde Kipler
Bir sistem, dönüşümsel simetriyle d yerdeğiştirmesi boyunca değişmeyebilir.
Buna göre her bir d için, bir Td sürekli dönüşüm operatörü tanımlanabilir. Bu
26
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
operatör dielektrik fonksiyonuna uygulandığında süreklilikten dolayı aynı dielektrik
[
]
ˆ = 0 olur. Bu durumda Θ̂ ’nın
sabiti elde edilir. Td ε (r ) = ε (r − d ) = ε (r ) , veya Td , Θ
kipleri, Td altında nasıl davrandıklarına göre sınıflandırılabilir.
Sürekli dönüşüm simetrisine sahip homojen sistem sürekli dönüşüm
simetrisiyle z yönü içinde Td ’nin tümü için değişmezdir. exp(ikz ) kipin z yönü
içindeki dönüşüm operatörünün özfonksiyonudur. exp(− ikd ) ise özdeğeri olur.
(
)
T̂dzˆ e ikz = e ik ( z − d ) = e − ikd e ikz
(4.13)
Aynı tanımlamalara benzer bir şekilde, kiplerin sürekliliği
H k (r ) = H 0 e ik .r
(4.14)
şeklinde yazılabilir. H 0 , sabit bir vektördür. Çünkü H 0 ’ın yönü içinde kutuplanan,
düzlem dalgalardır. (4.14) eşitliğine göre enine durum için k.H 0 = 0 olmalıdır. (4.5)
2
k2
 w
Master eşitliğine (4.14) denklemi uygulandığında, özdeğerler   =
ε
c
w=
ck
ε
ve
dağıtkanlık bağıntısı elde edilir. Böylece k dalga vektörüyle düzlem
dalgalar sınıflandırılır. k dalga vektörü sürekli dönüşüm işlemi ile kipin nasıl bir
değişime uğradığını belirtir.
Sürekli dönüşüm simetrisine ait başka bir basit sistem, Şekil 4.2’de görüldüğü
gibi sonsuz bir cam düzlemidir. Bu durumda, z yönünde dielektrik fonksiyonu
değişmektedir. Kipler, sürekliliği gösteren düzlem dalga vektörleri k = k x xˆ + k y yˆ ‘e
göre sınıflandırılır.
Şekil 4.2. Sonsuz cam düzlemi (Joannopoulos, 1995)
27
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
Kipleri daha iyi tanımlayabilmek için
H k (r ) = e ik . ρ h( z )
(4.15)
eşitliği kullanılır. z yönünde periyodik olarak değişen dielektrik ortamda kiplerin
özfonksiyonları da periyodik olarak değişir. Burada e ik . ρ sürekli ortamdaki ( xy
düzlemi) kiplerin özdeğeri ρ , xy düzlemindeki vektörü, h( z ) periyodik olarak
değişen ortamdaki özfonsiyonu göstermektedir. (4.15) eşitliğine göre xy düzleminde
manyetik alan genliği sabit, ancak z yönünde değişmektedir. Bu durumda k ’nın
değerleriyle kipler sınıflandırılır. k ’nın verilen değeri için sırasıyla artan frekansa
göre, kipler sıraya dizilir. Artan frekans çizgisi içerisinde kipin yerini n simgeler. n
band sayısı olarak adlandırılır. Eğer spektrum kesikli dönüşüm simetrisine sahipse n
için tamsayılar kullanılır. n değeri büyüdükçe kipin frekansı da büyür. Eğer cam
düzlemi için kip frekansına karşı dalga vektörü çizilirse frekans içerisinde farklı
çizgilere ait farklı bandlar ortaya çıkar. Bu band yapısı, band diyagramı veya
dağıtkanlık bağıntısı olarak adlandırılır. Şekil 4.3’de bu band diyagramı
verilmektedir. Bu band diyagramına göre n band sayısı tek değerlere sahip ise kip
tek frekanslı (w,3w,5w...) , yani manyetik alan sanki vektör elektrik alan ise vektör
olur. Ancak n çift değerler aldığında kip çift frekanslı (2 w,4 w,6 w...) , yani elektrik
alanı sanki vektör manyetik alan ise vektör olur. Tek kipler, TM (transverse
magnetic) bandını, çift kipler ise TE (transverse electric) bandını oluşturmaktadır.
Her iki durumda da bandlar kesiklidir ve cam düzleminde bulunmaktadır. Hava
ortamında bulunan kipler cam düzleminden bağımsız bir şekilde hareket ettiğinden
sürekli band yapısına sahiptir. Sürekli ve kesikli band yapıları ışık çizgisiyle
birbirinden ayrılır. Şekil 4.3’de a kalınlıklı cam düzlemi için harmonik kip
frekansları verilmektedir. Mavi çizgiler cam içinde yerelleşen tek ve çift kipleri
göstermektedir. Taralı bölge, cam ve etrafında uzanan sürekli durumları vermektedir.
Kırmızı çizgi w = ck ışık çizgisidir. Çift frekanslı kipler tek frekanslı kiplerden daha
yüksek frekans düzeyine sahiptir.
28
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
1.5
Frekans wa/2πc
sürekli durumlar
1
n=1
0.5
n=3
n=5
0
1
2
dalga vektörü ka/2π
3
4
Şekil 4.3. Cam içindeki harmonik kip frekanslarının band yapısı (Meade, 1995)
4.1.5. Kiplerde İndis Kılavuzlaması (Index Guiding)
Şekil 4.4’de verildiği gibi ışık ışınları cam içerisinde arayüzeye çarptığında
ışığın bir kısmı tam yansımaya uğrar, bir kısmı ise kırılarak geçer.
e(x) ve o(x)
E düzleme paralel
θ1
θ2
E düzleme dik
k//
k
e(x)
ε1
ε2
e(x) ve o(x)
Şekil 4.4. Dalganın yansıma ve kırılma diyagramı
İki dielektrik arasındaki düz bir ara yüzeyde ışık, θ1 gelme açısıyla, snell
yasasına göre kırılmaya uğrar. Sayfa düzlemine dik olarak titreşen elektrik alan
bileşenine sahip olan ışık dalgaları ε 2 < ε 1 koşuluna göre tam yansımaya uğrar.
29
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
Elektrik alanı dik olarak titreşen ışık dalgası e( x ) , elektrik alanı paralel olarak
titreşen ışık dalgası ise o( x ) olarak gösterilmiştir. e( x ) ve o( x ) sırasıyla olağanüstü
dalgalar (extraordinary waves) ve sıradan dalgalar (ordinary waves) anlamına
gelmektedir. Snell yasası
n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
(4.16)
şeklinde yazılır. Kırıcılık indisi ni ile gösterilir ve
ni = ε i µ i
(4.17)
şeklinde ifade edilir. µ = 1 ’dir. θ i , ışınların arayüzeyin normaliyle yaptığı açıdır.
Eğer, θ1 ⟩ sin −1
n2
ise sin θ 2 ⟩1 olur ki, bunun hiçbir gerçel çözüm yoktur. Bu, ışığın
n1
tam yansımaya uğraması demektir. Snell yasasında iki korunum vardır: w açısal
frekansının korunması dalga
ve k vektörünün k // bileşeninin korunması. k // , arayüzeye paraleldir. k // = k. sin θ
ve k =
nw
’ dir.
c
a kalınlıklı bir camın k // dalga vektörüne karşı verilen w frekanslı
elektromanyetik kiplerin band yapısı şekil 4.3’de verilmektedir. k dalga vektörü
yönünde ilerleyen dalganın k ⊥ ve k // olmak üzere iki bileşeni vardır: k ⊥ dikey
gerçel dalga vektörü için w = ck = c k // + k ⊥ ile düzlem dalgaların üst üste gelme
durumu vardır. Bu duruma göre şekil 1.3 ve şekil 1.4’de açıklandığı gibi düzlem
dalgaların üst üste gelmesi sonucu ya durgun dalgalar ya da ilerleyen dalgalar oluşur.
Ancak verilen k // değeri için, ck // ‘den daha büyük her olası frekansla kipler
olacaktır. Böylece spektrum konumları, w = ck // ışık çizgisi yukarısındaki bütün
frekanslar için sürekli olur. w⟩ ck // , ışık konisi olarak adlandırılır. Işık konisindeki
kipler snell yasasının çözümleridir (sınır açısından küçük). Işık konisi sürekli ortam
ile sürekli olmayan ortamı birbirinden ayırır. Bu durumda ışık konisine göre cam
düzlem, ışık konisi aşağısında uzanan yeni elektromanyetik çözümler üretmektedir.
ε cam içinde daha büyük ise kipler daha düşük frekanslı olur. Bu yeni çözümler cam
30
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
etrafında yerelleşmektedir. Bunun nedeni w =
ck
εµ
(µ = 1)
formülüne göre
dielektrik sabitindeki artış kırıcılık indisinin artmasını sağlayacağından camdan hava
ortamına gelen ışınların geri yansımasıdır. Bu, camdan hava ortamına geçen alanların
k ⊥ = ±i k l2 −
w2
ile üstel olarak azalmasına neden olur. Buna indis kılavuzlu kipler
c2
denir.
4.1.6. Kesikli Dönüşüm Simetrisinde Kipler
Atomların ve moleküllerin geleneksel kristalleri gibi fotonik kristaller sürekli
dönüşüm simetrisine sahip değildir. Fotonik kristaller kesikli dönüşüm simetrisine
sahiptir. Şekil 4.5’de, x yönü içinde sürekli dönüşüm simetrisi varken; y yönünde
kesikli dönüşüm simetrisi vardır. Örgü sabiti a , ilkel örgü vektörü a = aŷ , kesikli
simetriden dolayı ε (r ) = ε (r ± a ) olur. Dönüşüm tekrarlanırsa, ε (r ) = ε (r + R ) olur.
R = la ( l bir tamsayı)’dır.
Şekil 4.5’de gösterilen kutu birim hücre olarak bilinir. Birim hücre y
yönünde
a
genişliğindeki dielektrik
materyalin
xz
plakasıdır. Dönüşüm
simetrisinden dolayı Θ̂ , x yönündeki dönüşüm operatörlerinin hepsini ve y
yönündeki örgü vektörleri R = layˆ için kesikli dönüşüm operatörlerini sıra
değiştirmelidir. Buna göre düzlem dalgaların özfonksiyonları sürekli ve kesikli
dönüşüm simetrisine bağlı olarak iki şekilde yazılır.
(
)
Tˆdxˆ e ik× . x = e ik x ( x − d ) = e −ik x d e ik x x
ik y
ik ( y − la )
ik y
− ik la
TˆR e y = e y
= e y e y
(
)
(4.18)
şeklinde yazılır. Tˆd sürekli, TˆR kesikli dönüşüm simetrisi operatörüdür.
Kipler, k x ve k y dalga vektörleriyle sınıflandırılır. k x dalga vektörü sürekli
k y dalga vektörü kesiklidir. k y dalga vektörüyle, k y +
31
2π
dalga vektörüne sahip
a
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
 2π 
kipleri ele alalım. Dejenere durum varsa, kiplerin tamamı k y + m
 şeklinde
 a 
yazılabilir.
Şekil 4.5. Kesikli yapıya sahip plaka (Meade, 1995)
2π
Çünkü hepsi, exp i (k y la ) ’ nın aynı TˆR özdeğerine sahiptir. b =
’ nın bir tam katı
a
ile k y ’ yi büyütmek durumu değiştirmez. Burada b = byˆ ilkel ters örgü vektörüdür.
k x ve k y dalga vektörü yönündeki kiplerin doğrusal birleşimi
H k x ,k y (r ) = e ik x x ∑ c k y , m ( z )e
(
)
i k y + mb y
= e ik x x .e
ik y y
m
.∑ c k y , m ( z ).e imby = e ik x x .e
ik y y
.u k y ( y , z )
m
(4.19)
şeklinde yazılabilir. c k y , m , genişleme katsayısıdır. u ( y, z ) , y yönündeki periyodik bir
fonksiyondur. (4.19) denklemi incelendiğinde, u ( y + la, z ) = u ( y , z ) ’ nin doğruluğu
kanıtlanır. Kesikli periyodiklik, y yönü içinde H için y bağımlılığına öncülük
eder. Basitçe y periyodik fonksiyonuyla bir düzlem dalga üretilebilir. Buradan;
H(..., y,...)αe
ik y y
.u k y ( y,...)
(4.20)
olur. Bu Bloch teoremi olarak bilinir. (4.20) denklemine göre k y dalga vektörlü
Bloch seviyesi ile k y + mb dalga vektörlü Bloch seviyesi aynıdır. Kip frekansları k y
içinde w(k y ) = w(k y + mb ) eşitliğine göre periyodiktir. Aslında k y , −
π
a
ile
π
a
aralığında bulunur. Bu bölge brillouin bölgesi olarak adlandırılır. Dielektrik üç
boyutlarda periyodiktir. Bu durumda dielektrik üç boyutlularda R örgü vektörlerinin
32
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
sıklığı boyunca dönüşümler altında değişmez. Herhangi bir örgü vektörlerinden biri,
(a1 , a 2 , a 3 )
üç ilkel örgü vektörlerinin özel bir birleşimi olarak yazılabilir. Bu
durumda, örgü vektörleri uzayına yayılma olur. Her R = la1 + ma 2 + na 3 olur.
a1 , a 2 , a 3 vektörleri üç ilkel örgü vektörüdür ve örgü vektörleri uzayının kirişi olarak
tanımlanır. Üç ilkel ters örgü vektörü (b1 , b 2 , b 3 ) olarak verildiğinde,
a i b j = 2πδ ij
(4.21)
durumu sağlanmış olur. 3 boyutlu periyodik sistemin kipleri Bloch seviyelerine göre,
Bloch dalga vektörü k = k1 .b1 + k 2 .b 2 + k 3 .b 3 ile sınıflandırılır. k brillouin bölgesi
içerisinde uzanır. Brillouin bölgesi içerisinde k dalga vektörünün her bir değeri
w(k ) frekansıyla Θ̂ ’nın bir özdurumunu eşitler. Bir H k (r ) özvektörü
H k (r ) = e ik .r u k (r )
(4.22)
biçiminde yazılır. u k (r ) , örgünün periyodik bir fonksiyonudur. u k (r ) = u k (r + R ) ,
bütün R örgü vektörleri için yazılabilir.
4.1.7. Fotonik Kristallerin Band Yapıları
Üç boyutta kesikli periyodikliğe sahip bir fotonik kristalin elektromanyetik
kipleri Bloch seviyeleri cinsinden yazılabilir. Kip hakkındaki bütün bilgi k dalga
vektörü ve u k (r ) periyodik fonksiyonu ile verilir. Bloch seviyesi (4.10) master
eşitliğine eklendiğinde
ˆ H =  w(k )  H
Θ
k
k
 c 
2
r
1 r ik .r
 w(k )  ik .r
∇×
∇ × e u k (r ) = 
 e u k (r )
ε (r )
 c 
2
r
r
1
 w(k ) 
ik + ∇ ×
ik + ∇ × u k (r ) = 
 u k (r )
ε (r )
 c 
2
(
)
(
)
ˆ u (r ) =  w(k )  u (r )
Θ
k k
k
 c 
2
olur. Θ̂ hermityen operatörüdür ve
33
(4.23)
4.TEORİK ALTYAPI
(
Utku ERDİVEN
)
(
)
r
r
ˆ = ik + ∇ × 1 ik + ∇ ×
Θ
k
ε (r )
(4.24)
(
)
r
şeklinde yazılır. Enine olma durumuna göre ik + ∇ .u k = 0 olmalıdır. Periyodiklik
koşuluna göre
u k (r ) = u k (r + R )
(4.25)
olur. Brillouin bölgesi sınırlarında ilerleyen bir dalga değil durgun bir dalgadır.
Dalga ne sağa ne de sola ilerler. Bu, bragg şartıdır.
4.1.8. Fotonik Kristalde Bloch Dalgasının Yayılma Hızı
Bloch seviyesi H k = H k (r ). exp(− iwt ) , u k (r ) periyodik zarf fonksiyonu ile
çoğaltılmış exp i (k.r − wt ) düzlem dalgasıdır. Düzlem dalga, kristal boyunca
saçılmadan yayılabilmektedir. Çünkü k korunur. Homojen izotropik bir ortamda k ,
dalganın yayılma yönüdür. Elektromanyetik enerji, kristalden grup hızıyla geçer.
Grup hızı, bir dalga paketinin iletim hızıdır ve hem k dalga vektörünün hem de n
band indisinin bir fonksiyonudur.
r
∂w
∂w
∂w
r
v n (k ) = ∇ k wn = n xˆ + n yˆ + n zˆ
(4.26)
∂k z
∂k y
∂k x
r
Burada ∇ k , k ’ya bağlı gradyenttir. Ortam kayıpsız ise grup hızı enerji taşınım hızı
olur. Buradan
2
ˆ u =  w  u
Θ
k k
k
c
(4.27)
r
eşitliği elde edilir. v = ∇ k w
için çözüm yapıldığında elde edilen, enerji akışının
enerji yoğunluğuna oranı olan v hızıdır.
∇k w = ν =
1
Re ∫ d 3rE ∗ × H
2
(
1 3
2
2
d r µ 0 H + ε 0ε E
∫
4
)
=
∫d
3
rS
UE +UH
(4.28)
(4.28) denklemi, enerji yayılma hızını verir. Gerçel bir k ve gerçel bir dielektrik
fonksiyonu, ε ≥ 1 için frekanstan bağımsızdır. Bu duruma göre v hızı, her zaman
ışık hızından küçüktür.
34
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
4.1.9. Elektromanyetik Enerji ve Varyasyon İlkesi
Dielektrik bölgedeki elektromanyetik enerji varyasyon ilkesi ile belirlenir. En
düşük frekanslı kip, elektromanyetik enerjisi en küçük olan alan örgüsüne ve en
w02
küçük 2 öz değerine sahiptir.
c
U f (H ) =
(H, Θˆ H )
(4.29)
(H, H )
U f , Rayleigh quotient
(Rayleigh bölümü) olarak adlandırılır. Hermityen
operatörüdür ve elektromanyetik enerji fonksiyonu olarak da adlandırılır.
2
3
(
∇ × E, ∇ × E ) ∫ d r ∇ × E(r )
U f (H ) =
=
(E, ε (r )E) ∫ d 3rε (r ) E(r ) 2
(4.30)
Denklem (4.30)’da görüldüğü gibi elektromanyetik enerji fonksiyonu dielektrik
sabitiyle ters orantılıdır. Uygun varyasyon ilkesinde en düşük frekanslı kip
∇.εE = 0 ‘a bağlı olarak E elektrik alanını minumum yapar. Enerji fonksiyonu
elektromanyetik dalga içindeki elektrik ve manyetik alanı bileşeni
ε0
2
d 3rε (r ) E(r )
∫
4
µ
2
U H = 0 ∫ d 3 r H(r )
4
UE =
(4.31)
şeklinde yazılabilir. Enerji, alan büyüklüğünün (genlik) karesiyle orantılıdır.
Harmonik kip içinde enerji, elektrik ve manyetik alanlar arasında değiş tokuş
edilebilir. Çünkü elektromanyetik dalga içindeki elektrik ve manyetik alan enerji
fonksiyonları aynı enerjide titreşir, biri diğerinden bağımsız olamaz. Yani, U E = U H
olur. Enerji taşıma oranı, S Poynting vektörü ile belirlenir.
S=
[
1
Re E ∗ × H
2
]
(4.32)
Re, reel kısmı verir. Bu, zamana bağlı harmonik kip için birim alan ve birim zaman
başına S ’nin yönündeki ortalama elektromanyetik enerji akışı iken aynı zamanda
S ’nin yönündeki ışık yoğunluğudur. Enerji akışının enerji yoğunluğuna oranı enerji
taşıma hızını vermektedir. Enerji hızı, dalga paketinin hızı olan grup hızına eşittir.
35
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
4.2. Boyutlarına Göre Fotonik Kristaller
Fotonik kristaller, şekil 4.6’da görüldüğü gibi bir, iki ve üç boyutlu olmak
üzere üçe ayrılır.
Şekil 4.6. Fotonik kristallerin 1, 2, 3 boyutlu durumları (Johnson, 2003)
4.2.1. Bir Boyutlu Fotonik Kristaller
Bir boyutlu fotonik kristal, Bragg aynası olarak adlandırılır. Düzlem dalga
her ara yüzeyde yansımaya ve kırılmaya uğrar. Bunun sonucunda iki boyutta
elektromanyetik kipleri tanımlayabilmek için yine simetriler kullanılır.
Şekil 4.7. Bragg ızgarası (Winn, 1995)
Şekil 4.7, bir boyutlu fotonik kristale aittir. x ve y yönünde her tabaka
değişmezdir.
z
yönünde ise kesikli periyodiklik söz konusudur. Kipleri
sınıflandırmak için düzlem içindeki
(xy )
36
dalga vektörü k Ι , z yönündeki dalga
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
vektörü k z ve n band sayısı kullanılır. Band sayısı frekansla artar. Kipler, Bloch
biçiminde yazılırsa
H n , k z ,kΙ (r ) = e ikΙ . ρ e ik z z u n, k z , kΙ
(4.33)
elde edilir. Kristal xy yönünde sürekli dönüşüm simetrisine sahiptir, ancak z
yönünde kesikli dönüşüm simetrisine sahiptir. Bu yapıda gözlenen band aralığı, ya
ters örgünün brillouin bölgesi kenarlarında ya da bu bölgenin merkezindedir
π
 π
 − ≤ k z ≤  . Band aralığı büyüklüğü, frekans aralığının frekans aralığı içindeki
a
 a
minimum ve maksimum değerlerinin ortalamasına oranı ile bulunur. Band
diyagramları, frekans ve dalga vektörüne göre çizilir. Bu frekans ve dalga vektörü
boyutsuz birimlere
a
wa
ka
ve
‘ye eşittir. Boyutsuz frekans
2πc
2π
λ
ve λ =
2πc
dir.
w
Frekans aralığının ortalama değeri
n1 + n 2 2πc
4n1 n2 a
wm =
(4.34)
şeklinde yazılır. Dalgaboyu ise
λm =
2πc
wm
λm
= 4d 1
n1
λm
= 4d 2
n2
(4.35)
olur. Her tabaka çeyrek dalga boyu kalınlığındadır. Bu yüzden, bir boyutlu fotonik
kristaller çeyrek-dalga yığını olarak tanımlanır. Bu durumda, frekans aralığındaki her
tabakadan yansıyan dalgalar aynı fazda olur. Çeyrek dalga yığınının ilk iki bandı
arasındaki aralık için frekans aralığının, frekans aralığının ortalamasına oranı;
 n − n2
∆w 4
= sin −1  1
wm π
 n1 + n 2




(4.36)
şeklinde olur.
37
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
4.2.2. Bir Boyutlu Fotonik Kristallerde Band Aralığı
Elektronlara ve fotonlarla ilgili band yapılarındaki çözümler hermityen özproblemine aittir. Bu çözümler ortogonaldir ve varyasyon ilkesine uyar. Elektronlara
ait band yapılarında değişim teoremi kinetik ve potansiyel enerji toplamlarını
minimum yapar (bonding durumu). Yüksek frekanslı bandlar düşük frekanslı
bandlara ortogonaldir ve yüksek frekanslı kipler daha yüksek kinetik enerjiyle veya
daha düşük dielektrik sabitinde yüksek potansiyel enerjide titreşir (antibonding
durumu). Fotonlara ait band yapısı hesaplamalarında da aynı durum sözkonusudur.
Band aralığının oluşumunda iki genel hermityen özdeğer problemi incelenir.
Birincisi öz fonksiyonlar ortogonal olmalı, yani birim hücre üzerinden alınan integral
sıfır olmalıdır.
r ( m )∗ r (n )
H
∫ kr .H kr = 0
(4.37)
(4.37) eşitliği verilen bir k noktasında iki özdurum m ≠ n için geçerli bir çözümdür.
İkinci koşul en düşük bandın varyasyon ilkesine uyumlu olmasıdır. Minimum seviye,
alan titreşimlerinin yüksek dielektrik içindeki alana oranı ile sağlanır. Manyetik alan
ve elektrik alan özvektörlerine ait minimum seviye
r
2
∇ + ik × H kr / ε 2
∫
2
w 1 (k ) = min
c
r
2
Hk
r
H
∫ k
(
)
(4.38)
∫ ∇×E
w (k ) = min
∫ε E
2
1
r
Ek
2
k
2
c2
k
şeklinde tanımlanır. (4.38) denklemindeki pay, özoperatörün beklenen değeridir.
Paydaki manyetik alanın rotasyoneli elektrik alan ile orantılıdır. En düşük frekanslı
band için rotasyonel çok büyük olmamalı, yani değişim yavaş olmalı, herhangi bir
hızlı titreşim içermemelidir. Kuantum mekaniğinde bu, düşük kinetik enerjiye
karşılık gelir. Elektrik alan yüksek dielektrik sabite sahip bölgelerde yoğunlaşırsa bu
durum gerçekleşir. Band aralığını görmek için integrali sıfır yapan ikinci band daha
düşük dielektriğe sahip bölgede elektrik alanın yoğunlaşmasıyla oluşturulur. İkinci
38
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
bantta rotasyonel daha büyüktür ve daha hızlı titreşimler içerir. Bu durum, daha
yüksek kinetik enerjiye karşılık gelir.
1-boyutlu fotonik kristallerinde fotonik band aralığı tek boyutta oluşur. Şekil
4.8’de gösterildiği gibi, tek boyutta yüksek ve düşük kırıcılık indisine sahip
dielektrik ortamlar periyodik olarak ayarlanmıştır. Dalgaların ilerleme yönü
dielektrik ortamların periyodik olarak değiştiği yöndedir. Fotonik band aralığı da bu
yönde oluşacaktır. Çünkü, ışık farklı bir ortama geçtiğinde iki farklı kutuplanmaya
 ± iπx 
ayrılır. Işığın elektrik alan bileşeni, E ( x ) = exp
 lineer bileşimleri olan
 a 
 πx 
 πx 
e( x ) = cos  olağanüstü dalgalar (extraordinary waves) ve o( x ) = sin  
 a
 a
sıradan dalgalar (ordinary waves) şeklinde yazılabilir. İki dalganın kutuplanması
birbirine ortogonaldir. Bu durumda farklı titreşim potansiyeli oluşur. e( x ) alanı
yüksek dielektrik bölgesinde yoğunlaşırken, düşük frekans bandı oluşturmakta; o( x )
alanı düşük dielektriğe sahip bölgede yoğunlaşırken, yüksek frekans bandı
Frekans wa/2πc
oluşturmaktadır.
n2’deki durgun dalga
n1 n2 n1 n2 n1
sin(πx/a)
Band aralığı
cos(πx/a)
n1’deki durgun dalga
π/a
k dalga vektörü
Şekil 4.8. Bir boyutta dağıtkanlık bağıntısı ve durgun dalgalar
39
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
Şekil 4.9’da bir boyutlu fotonik kristale ait band yapısı verilmektedir. Yüksek
dielektrik sabiti 12, düşük dielektrik sabiti 1 olarak alınmıştır. Band diyagramı k = 0
ve k =
π
(k = 11) aralığındadır. Daha yüksek dalga vektörlerine ait bandlar kesikli
a
dönüşüm simetrisine bağlı olarak k = 0 ve k =
π
aralığına katlanmıştır.
a
Şekil 4.9. Bir boyutlu fotonik kristalin band yapısı
4.2.3. Fotonik Band Aralığı İçindeki Kısa Süreli Kipler
Fotonik band aralığı içerisinde hiçbir elektromanyetik kip gözlenmez. Çünkü
fotonik band aralığı içerisindeki frekanslarda herhangi bir kip için gerçel bir dalga
vektörü mevcut değildir. Yani, dalga vektörü komplekstir. Denklem (4.33)
denklemine göre hiçbir genişleme olmayacağından dalganın genliği exp(− αz ) ile
kristal içerisinde üstel olarak azalır. Kipler, bu azalma nedeniyle kısa süreli olur. Bir
düzlem dalganın zayıflaması k dalga sayısının gerçel ve sanal kısımları cinsinden
ifade edilir. Çünkü dalga vektörü karmaldır. Bu durumda (4.33) denklemindeki
Bloch kipleri, k + iκ kompleks dalga vektörü ile oluşturulur. Kipler fotonik band
40
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
aralığı içindeki frekanslarda ilerleyemediğinden (4.33) denklemine e −κz zayıflama
çarpanı eklemek gerekir.
H (r ) = e ikz u ( z )e −κz
(4.39)
Dalga vektörünün sanal bileşeni, 1/κ’nın azalmasına neden olur. Çünkü dalga
vektörünün sanal bileşeni dalganın tam yansımaya uğradığını, yani dalganın
ilerleyemediğini gösterir. İlerleyemeyen bir dalgada κ zayıflama sabiti artar. Bu
durumda kipler fotonik band aralığı içerisinde olduğundan genişleme olmaz. Bu
yüzden en düşük dereceli kip
π

π 
2
∆w = w2 (k ) − w2   ≈ α  k −  = α (∆k )
a

a
2
(4.40)
eşitliği ile ölçülür.
w
Gerçel ∆k
Sanal ∆k
Şekil 4.10. Bir boyutlu fotonik kristalin kompleks band yapısı (Joannopoulos, 1995)
Burada, α band eğrisine bağlı bir katsayıdır. Şekil 4.10’da bir boyutlu fotonik
kristalin kompleks band yapısı verildi. Üst ve alt çizgiler sırasıyla 2 bandının altına
ve 1 bandının üstüne benzemektedir. Kısa süreli seviyeler daire içinde meydana
gelmektedir. Çünkü dielektrik banttan hava bandına geçiş sözkonusu değildir.
Maximum azalma, aralığın merkezinde meydana gelmektedir. ∆w > 0 (aralığın
üstündeki daha yüksek frekanslar) ise ∆k gerçeldir. ∆w < 0 (aralığın içerisindeki
frekanslar) ise ∆k sanaldır. Bu durumda seviyeler ∆k = iκ ile üstel olarak azalır.
41
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
Zayıflama sabiti κ büyüdükçe frekans aralığın merkezine ulaşır ve sonra daha düşük
bir band kenarında kısa süreli durum olur. Bu davranış Şekil 4.10’da
yansıtılmaktadır.
4.2.4. Eksen Dışı Yayılma
Fotonik kristallerde ışığın kontrolü bütün yönlerde sağlanmayabilir. Bu yön
eksen dışı yayılma yönüdür ( k x = 0 , k y ≠ 0, k z ≠ 0 ). Eksen dışı yayılmada dalga
elektrik alandaki kutuplanmaya bağlı olarak farklı davranışlar gösterir. Şekil 4.11’de
görüldüğü gibi x ve y yönünde (eksen dışı yayılma) dielektrik çubuklara paralel
olan elektrik alanı süreklidir. Bu süreklilikten dolayı elektromanyetik enerji yüksek
dielektrik sabitli değişmez ortamda yoğunlaşır. Bu yönde dalgalar sadece kırılarak
geçeceğinden bu yöndeki kipler için fotonik band aralığı yoktur. Fakat z yönünde
elektrik alanı kesiklidir. Bu yönde elektrik alanı dielektrik çubuklara dik olduğundan
dalgaların bir kısmı tam yansıma yapar, bir kısmı kırılarak geçer. Fotonik band
aralığı bu eksen üzerinde oluşur.
ky
E
E
E
kx
kz
Şekil 4.11. Eksen dışı yayılma
Şekil 4.11, bir boyutlu fotonik kristallerinde k = k y kipleri için band yapısını
göstermektedir. Eksen üzerindeki yayılma z yönünde yani kesikli dönüşüme sahip
periyodik bölge içinde, eksen dışı yayılma ise y yönünde yani sürekli dönüşüm
42
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
simetrisine sahip bölgede olmaktadır. Şeklin sol tarafı eksen üzerindeki (0,0, k z )
bandları ve sağ tarafı eksen dışı
(0, k ,0)
y
band yapısını vermektedir. Eksen
üzerindeki ve dışındaki yayılma için en önemli fark, eksen dışı yayılmada hiçbir
band aralığı olmamasıdır. Başka önemli bir fark, dejenere bandlarda gözlenmektedir.
x ve y yönleri gibi iki temel kutuplanma ele alındığında, bu iki kip dönel simetri
(rotational symmetry) ile farklılaşırlar. Bu yüzden iki kip dejeneredir. Dejenere
kipler aynı enerji düzeyine sahiptir. Dalga vektörü k ’nın keyfi bir yönelimiyle bir
kip yayılımı için bu simetri kırılır. Dejenerelik (TM ve TE bandlarının çakıştığı
durum) ortadan kalkar. Bu durumda başka simetriler ortaya çıkar. Mümkün olan
kutuplanmalar olan x kutuplu TM, yz kutuplu TE kipi meydana gelir. Bu, fotonik
band aralığının oluşum nedenlerinden biridir. k y boyunca bandlar iki farklı
kutuplanmaya ayrılır. (Mavi) TM kutuplu kipleri, elektrik alanı x yönü içindedir ve
(kırmızı) yz düzlemindeki TE kutuplu kipleri göstermektedir.
.
Şekil 4.12. Bir boyutlu fotonik kristalde eksen içi ve eksen dışı band yapısı (Meade, 1995)
Şekil 4.12’de görüldüğü gibi x yönü içinde (1 bandı) kutuplanan kipler, yz
düzlemindeki kutuplanan kiplerden (2 bandı) daha düşük bir frekansa sahiptir. Daha
düşük frekanslı kiplerin elektrik enerjileri yüksek dielektrik bölge içinde
yoğunlaşmaktadır.
43
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
Şekil 4.13’de enine elektrik alan kipleri (TE) ve enine manyetik alan kipleri
r
r
verilmektedir. TE kiplerinde H düzlemin normalidir ve H = H(ρ )zˆ ve E düzlem
içindedir, E( ρ )zˆ = 0 . Enine manyetik alan kipleri (TM), E = E(ρ ).zˆ ve H(ρ )zˆ = 0
olur.
TE kutuplanmasında elektrik alanı eksen üzerinde yer aldığından kesiklidir,
ancak manyetik alan eksen dışında olduğundan süreklidir. TM kutuplanmasında ise
elektrik alanı eksen dışında, manyetik alan eksen üzerindedir.
Şekil 4.13. TE ve TM kutuplanması
4.2.5. İki Boyutlu Fotonik Kristaller
Fotonik band aralıkları periyodik düzlem içinde görünür. Bu düzlem içinde
ışığın yayılması için harmonik kipler iki bağımsız kutuplanmaya ayrılır ve harmonik
kiplerin her birisinin kendine özgü band yapısı vardır. Işık kiplerini yerelleştirmek
için örgü kusurları üretilebilir, ancak bu durumda kip iki boyutta yerelleşebilir.
1 boyutlu fotonik kristallerde bir ışık çizgisi düşünülürken, 2 boyutlu fotonik
kristallerde ışık konisi düşünülür. Verilen w frekansı için bu koni çember olur. Bu
ışık konisi hacimsel bir temelde mümkün bütün frekanslarının sürekli bölgesini
gösterir. İki boyutlu bir sistemde açısal frekans
w = c kx + ky
2
2
(4.41)
şeklinde ifade edilir. (4.41) denklemi şekil 4.14’de verildiği gibi bir koniyi
yansıtmaktadır.
44
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
Şekil 4.14. İki boyutlu fotonik kristalde düzlem dalganın band yapısı ve konturlar (Huang, 2003)
İki durumda 2-boyutlu fotonik kristali oluşturmak mümkündür. Birincisi,
hava içindeki dielektrik çubukların kare örgüsü, ikincisi dielektrik plaka içindeki
hava boşluklarının altıgen örgüsü ile bu yapılar oluşturulabilir.
Şekil 4.15’de 2-boyutlu fotonik kristal yapı örnekleri gösterildi.
Şekil 4.15 (a)’da etrafı havayla çevrili dielektrik çubuklar.
Şekil 4.15 (b)’de etrafı dielektrik ile çevrili deşikler.
Şekil 4.15. İki boyutlu fotonik kristal biçimleri (Johnson, 2002)
45
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
4.2.6. İki Boyutta Bloch Seviyesi
İ
İki boyutlu fotonik kristallere örnek olarak şekil 4.16’da gösterilen yapı
verilebilir.
Şekil 4.16. Dielektrik sütunların kare örgüsü (Soukoulis, 1996)
Şekil 4.16’da yarıçapı r ve dielektrik sabiti ε olan dielektrik sütunların kare
örgüsü verilmektedir. Bu materyal z yönü boyunca sürekli dönüşüm simetrisine
sahiptir. a örgü sabitiyle x ve y boyunca periyodiktir. Sol tarafta kare örgünün
üstten görünümü ile kare içindeki birim hücre verilmektedir. Fotonik band aralığı xy
düzlemi içindedir.
Elektromanyetik kipleri tanımlayabilmek için kristalin simetrisi kullanılır. z
yönü içinde sistem sürekli dönüşüm simetrisine sahip olduğundan kipler bu yönde iki
farklı kutuplanmaya ayrılacaktır. Ancak sistem xy düzleminde kesikli dönüşüm
simetrisine sahiptir. ε (r ) = ε (r + R ) ve R , axˆ ve aˆy ilkel örgü vektörlerinin
herhangi bir doğrusal birleşimidir. Brillouin bölgesi içinde olan k ı ‘nın değerleri
üzerinde Bloch teoremi uygulanabilmektedir. Artan frekanslar sırasına göre kipleri
sınıflandırmak için n band sayısı kullanılır. Bloch seviyeleri,
H (n, k z , k ı )(r ) = exp(ik ı ρ ). exp(ik z z ).u ( n , kz ,kı ) ( ρ )
(4.42)
Bu denklemdeki ρ , xy düzlemindeki r ’nin iz düşümüdür. u (ρ ) periyodik bir
fonksiyon, u (ρ ) = u (ρ + R ) , R bütün örgü vektörleri için yazılabilir. Kesikli
46
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
dönüşüm simetrisindeki dalga vektörü k ı brillouin bölgesi içinde sınırlandırılırken
sürekli dönüşüm simetrisi içindeki k z sınırlandırılamaz. u (ρ ) düzlem içinde kesikli
periyodikliğe sahip iken z yönü içinde sürekliliğe sahiptir. Kipleri sınıflandırmak
için ayna simetrisi kipleri iki farklı kutuplanmaya ayırır.
4.2.7. Dielektrik Çubukların Kare Örgüsü
Dalga vektörü en yakın komşu birim hücreler arasındaki faz farkını tanımlar.
2π 

X  0.5∗
,0  : x yönü boyunca en yakın komşu birim hücre arasında 180
a 

derecelik faz farkı vardır.
2π
2π 

,0.5∗
M  0.5∗
 : köşegen yönü boyunca en yakın birim hücre arasında 180
a
a 

derecelik faz farkı vardır.
ky
M
X(4)
(3)
M
Г(3)
M(2)
Г(2)
(2)
Г(2)
Г(3)
Г(1)
(1)
(3)
(2)
M
X(1)
M
Г(2)
X
X
X(2)
M(3)
Г(3)
X(4)
M(1)
X(1)
M
(4)
M
M(2)
M(1)
X(3)
M
X(2)
(2)
(2)
Г(2)
X(3)
(1)
(2)
X
M
M(2)
(2)
M
Г(3)
kx
(2)
X(4)
M
(3)
Şekil 4.17. Dielektrik çubukların kare örgüsünün ters uzayı (Sakoda, 2005)
Şekil 4.17’de dielektrik çubukların kare örgüsünün ters örgü uzayında
genişleyen bölgeler verilmektedir. Simetri noktaları Γ, X , M ile gösterildi. Parantez
içindeki sayılar, boş uzaydaki düzlem dalgaların yükselen açısal frekans derecesini
vermektedir. Γ(1), Γ(2) ve Γ(3) noktalarında düzlem dalganın açısal frekansları 0 ,
47
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
2πc 2 2πc
’dır. Özdeş noktalar birbirlerine ters örgü vektörleriyle bağlıdır ve aynı
,
a
a
özfrekansa sahiptir. Ancak birbirlerinin eşlenikleridir. Örneğin, k x ayna simetrisine
göre X (2 ) noktaları birbirlerinin eşlenikleridir. O zaman bu noktalardaki kiplere ait
özfonksiyonların Θ̂ diferansiyel operatörü ile bu operatörlerin çarpımı komüte
edilme durumunda aynı özkip elde edilir. Γ (1) , X (1) ve M (1) ilk indirgenemez
brillouin bölgesi olan 0 ile π aralığını, Γ ( 2 ) ve M (1) arasındaki bölgeler π ile
a
a
2π
a
aralığı olan ikinci, Γ ( 2 ) , X (2 ) ve M (1) arasındaki bölgeler ise 2π
a
ile 3π
a
aralığı olan üçüncü brillouin bölgesini göstermektedir. Kesikli dönüşüm simetrisi ve
u(r ) = u(r + R ) periyodiklik koşuluna göre ikinci ve üçüncü brillouin bölgeleri, ilk
brillouin bölgesine katlanmaktadır. Brillouin bölgeleri neden bu kadar önemlidir?
Çünkü hangi sistem olursa olsun alan örgülerini belirleyen band aralıkları brillouin
bölgesi ile sınırlandırılır. Yatay eksen, dielektrik band ile hava bandı arasındaki ışık
çizgisini oluşturan k // dalga vektörü değerini göstermektedir. Bu durumda X ve M ,
brillouin bölgesinin kenarları olduğundan bu noktalar fotonik band aralığı içerisine
girer. Bu noktalarda gözlenen alan örgüleri, yayılan dalgaların ön dalgaları gibi
olmasına rağmen aslında yayılmamakta, onlar sıfır grup hızına sahip durgun dalgalar
olmaktadır. Bu durumun oluşması periyodik olarak ayarlanmış dielektrik sabitleri
farklı olan dielektrik çubuklar kullanmak gerekir. Dielektrik sabiti, ortamın kırıcılık
indisine bağlıdır. Kırıcılık indisi ile dielektrik sabiti doğru orantılı, dielektrik sabiti
ile açısal frekans ters orantılıdır. Dielektrik çubuklar farklı dielektrik sabitlerine sahip
olduğundan
açısal
frekanslarındaki
değişime
göre
ortamlarda
yoğunlaşan
elektromanyetik enerjiler de farklı olur. Işık enerjisi yüksek dielektrik bölgesinde
yoğunlaşırsa düşük frekans bandında yer alır. Bu band dielektrik band olarak
adlandırılır. Enerji, düşük dielektrik sabitli bölgelerde yoğunlaşmış ise bu da yüksek
frekans bandı demektir, buna hava bandı denir. Fotonik band aralığı dielektrik band
ile hava bandı arasında yer alır. Bir bandın daha düşük frekanslı seviyesi ile daha üst
bandları birbirine ortogonaldir. Bu durum iki band arasındaki ayrıklığı açıklar. İlk
band dielektrik bölgelerde enerjisinin çoğuna ve daha düşük frekansa sahip iken
48
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
ikincisi birincisine ortogonal olmak için bir düğüm düzlemine sahip olur. Yüksek
dielektrik bölgesinde elektrik alanların yoğunlaşma derecesi yoğunlaşma faktörünü
tanımlar. Buna göre yoğunlaşma faktörü:
f
∫d
=
∫d
3
rε 1 (r ) E(r )
2
3
rε 2 (r ) E(r )
2
(4.43)
şeklinde yazılır. Yüksek dielektrik bölgesinden daha düşük bir dielektriğe karşı
2
hareket edildiğinde enerji yoğunluğunu ifade eden ε E , E alanı arayüzeye paralel
ise ε 2
ε1
dik ise
ile kesikli şekilde azalacaktır ( E // sürekli), ancak Elektrik alanı arayüzeye
ε1
ε2
ile kesikli bir şekilde artacaktır ( εE ⊥ sürekli). TM kiplerinde elektrik
alanı arayüzeylere paralel olduğundan büyük bir yoğunlaşma faktörü mümkündür.
TE kiplerinde ise elektrik alan çizgileri sınırda yüzeyi keser. Bu yüzden çubuklar
dışında elektromanyetik enerjiyi zorlayarak büyük bir yoğunlaşma faktörünü
engeller. Bu yüzden TE kiplerinde band aralığı görünmez.
Şekil 4.18’de hava içindeki dielektrik çubukların kare örgüsünün TM ( e( x )
dalgası) ve TE ( o( x ) dalgası) band yapısı verilmektedir. TM tek frekanslı kipleri,
TE ise çift frekanslı kiplere ait bandlardır. TM ışığında elektrik alan çizgileri
çubuklara (rodlara) paralel iken, TE ışığında diktir. Görüldüğü gibi, dielektrik
çubuklarda TM ışığı için mutlak fotonik band aralığı oluşurken, TE ışığı için kısmi
band aralığı oluşmaktadır. Bu durumda çubuklar için en uygun olanı TM ışığıdır.
Çünkü TM ışığı sisteme gönderildiğinde ışığın bir kısmı bazı frekanslarda (fotonik
band aralığı içindeki frekanslar) tam yansımaya uğrar, bir kısmı ise bazı frekanslarda
(fotonik band aralığı dışındaki frekanslar) kırılarak geçer. Fotonik band aralığı
içerisindeki frekanslarda gelen dalgalar ile aynı fazda birbirini kuvvetlendirerek
yansıyan dalgalar birbirini sönümler. Bu dalgalar eksen üzerinde yayıldığından
periyodik yapı içerisinde ilerleyemez. Kırılarak geçen dalgalarda ise yansıyan
dalgalar zıt fazlı olduğundan birbirini sönümler ve gelen dalgayla birleşemezler.
Dielektrik bandında M kenarında oluşan TM kipi ile hava bandında X kenarında
oluşan TM kipi fotonik band aralığını belirlemektedir.
49
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
Şekil 4.18. Dielektrik çubukların kare örgüsünün TM ve TE band yapısı
TM ışığı dielektrik çubuklarının kare örgüsüne gönderildiğinde gözlenen alan
örgüleri şekil 4.19’da verilmektedir. Alan örgüleri, kuantum mekaniğinde gözlenen
alan örgülerine benzemektedir.
düğüm
düğümsüz
düğüm
s örgüsü
π örgüsü
düğüm çizgisi
düğüm çizgisi
δ örgüsü
Şekil 4.19. Alan örgülerine ait kipler
Şekil 4.20’de hava içindeki dielektrik sütunların kare dizilişinin TM kipleri
verilmektedir. TM bandı 1, temel kipe aittir ve hiçbir düğüm çizgisi içermez. TM
50
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
bandı 2 bir düğüm çizgisi içeren π örgüsünü, TM bandı 5 ise iki düğüm çizgisi olan
δ örgüsünü vermektedir.
Şekil 4.20. Dielektrik çubukların kare örgüsüne ait s, π ve δ örgüsü
4.2.8. Dielektrik Plaka İçindeki Deşiklerin (Hole) Altıgen Örgüsü
Fotonik band aralığı bu tür yapılarda TE için mutlak iken TM için kısmidir.
Bu örgünün band yapısı şekil 4.21’de verilmektedir. TE ışığı için H manyetik alanı
çubuklara paralel iken elektrik alan çizgileri çubuklara diktir. Burada gözlenen
durum dielektrik çubuklarda oluşan durumla terstir. TE ışığı sisteme gönderildiğinde
ışığın bir kısmı tam yansımaya uğrar, bir kısmı ise kırılarak geçer. TM ışığı ise
sadece kırılarak geçer. Diğer bir taraftan manyetik alan vektörü deşik ile dielektrik
arasındaki arayüzeye paralel olduğundan sürekliliğe sahiptir. Bu yüzden deşik ve
dielektrik üzerinde farklı yoğunlaşma faktörleri oluşur. Ancak TM kipinde manyetik
alan arayüzeye dik olduğundan yoğunlaşma faktörünü engellenir. Bu yüzden
deşiklerin altıgen örgüsünde TM kipi için bir mutlak fotonik band aralığı gözlenmez.
TE kiplerinde manyetik alan enerjisinin yoğunlaşması her bir band için farklı olur.
Bu manyetik alan özfonksiyonlarının oluşturduğu alan örgüleri bandlara göre tek
kutuplu, çift kutuplu ve dört kutuplu olur.
51
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
Şekil 4.21. Dielektrik plakadaki deşiklerin altıgen örgüsünün TE ve TM band yapısı
4.3. Nokta ve Çizgi Örgü Kusuru
Örgü kusurlarının en önemli özelliği, fotonik band aralığındaki frekanslarda
kılavuzlu kip oluşturmasıdır. Kristal örgüsü içerisinde oluşturulan örgü kusuru, ışığın
geri yansımasını engellemekte ve ışığın tutunmasını sağlamaktadır. Örgü kusurları
iki şekilde incelenebilir: Nokta kusur ve çizgi kusuru. Örneğin 2d fotonik
kristallerinde sütunların hareket etmesi, boşlukların doldurulması, sütunların ve
boşlukların büyüklüğünün değişmesi örgü kusuru oluşturur. Nokta kusuru, ışığı
tuzaklayan oyuk gibi, çizgi kusuru ise dalga kılavuzu gibi davranır. Fotonik band
aralığı içerisindeki dalga kipleri dalga kılavuzu içerisinde sınırlanır.
Şekil 4.22’de görüldüğü gibi, fotonik band aralığı dielektrik band ile hava
bandı arasında yer alır. Fotonik band aralığında hiçbir yerelleşmiş kip yoktur. Ancak,
örgü kusurları fotonik band aralıklarındaki frekanslarda yerelleşmiş kiplere izin
vermektedir.
52
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
Frekans c/a
Hava bandı
Örgü kusuru kipleri
Dielektrik band
k dalga vektörü
Şekil 4.22. Örgü kusuru kipleri
Band aralığı içerisindeki çözümler kompleks dalga vektörüne sahiptir. Örgü
kusuru oluşturulduğunda bu kompleks bölümlerde üstel değişim olur. Aralık
üstündeki kip aralık içerisine çekildiğinde bu üstel değişimden dolayı yeni bir
kompleks çözüm gerekir. Çünkü frekans kayması meydana gelir. Frekans kayması
dielektrik sabitindeki değişimle oluşturulabilir. Dielektrik sabitindeki değişme
∆ε ’nin negatif değeri için ∆w frekans kayması pozitiftir. Bu, dielektrik band
demektir. ∆ε arttıkça konum, aralığın içerisine itilir. ∆ε ’nin pozitif değeri için ∆w
frekans kayması negatiftir. Bu, hava bandı demektir. Bu kısım da aralık içerisine
düşer. Frekans kayması w − w0 ’a eşittir ve
w = w0 + α (k − k 0 )
2
(4.44)
şeklinde yazılır. Minimum (aralık üstündeki ilk yayılan minimum) konum
(k 0 , w0 ) ,α
pozitif sayı ve w0 aşağısındaki frekans için aralık içerisinde küçük ∆w
için kompleks dalga vektörü
k = k0 ± i
∆w
α
(4.45)
şeklinde yazılır. Bu, üstel zayıflama oranını veren sanal bölümdeki (fotonik band
aralığı içindeki bölüm) kompleks dalga vektörüdür. Daha geniş bir band aralığı için
53
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
∆w geniş olur ve böylece daha kuvvetli bir yerelleşme (daha hızlı alan zayıflaması)
meydana gelir.
4.3.1. Bir boyutta örgü kusurunda yerelleşen kipler
Bir boyutlu fotonik kristalin tek bir tabakasının genişliği ve kırıcılık indisinin
farklı olması kesikli dönüşüm simetrisinin kırdığından örgü kusuru oluşur. Örgü
kusurunun her iki yanındaki çok tabakalı filmler özel frekans aynası gibi davranır.
Bu, ışığın sınırlı bir bölgede yerelleşmesi demektir.
Şekil 4.23. Bir boyutlu fotonik kristalin örgü kusurunda yerelleşen kip (Joannopoulos, 1995)
Şekil 4.23’de görüldüğü gibi örgü kusurunun kalınlığı arttıkça frekans azalır.
Çünkü kip titreşmek için daha çok uzaya sahip olacaktır. Kalınlıktaki artış hava
bandından aralık içerisine ardışık kesikli kipleri çeker ve böylece kipler tuzaklanır.
Örgü kusurunun her iki tarafı yansıtıcı duvarlara sahip olduğundan ışıma kiplerinin
sızması engellenir ve elektrik alan büyüklüğü örgü kusuru dışında zamanla azalır.
Diğer bir taraftan kalınlık sabit kalmak şartıyla tek bir tabakanın dielektrik
sabitindeki artma veya azalma frekanstaki artma veya azalmayı oluşturur. Bu
durumda hava bandından aralık içerisine ya da dielektrik banttan aralık içerisine
kipler çekilir. Örgü kusurunun yerelleşme derecesi frekans, aralığın merkezine yakın
olduğunda en büyük olacaktır.
54
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
4.3.2. İki boyutta örgü kusurunda yerelleşen kipler
Şekil 4.24’de görüldüğü gibi iki boyutlu fotonik kristalin tek bir sütunu
çıkarıldığında veya yer değiştirildiğinde, boyutu, şekli, dielektrik sabiti değiştiğinde
örgü kusuru oluşturulabilir. Fotonik kristal band aralığındaki mutlak frekanslarda ışık
yansır. Eğer örgüden bir çubuk çıkarılırsa yansıtıcı duvarlarla çevrili bir oyuk
oluşturulur. Eğer oyuk boyutu kipi destekleyecek büyüklükte ise ışık kaçamaz.
Şekil 4.24. Örgü kusurları ve yüzeyin iki boyutlu durumu (Soukoulis, 1996)
Oyuk yansıtıcı duvarlara sahip değilse kip frekansı, band aralığında tuzağa
düşürülemez; kipler, hava bandı seviyelerinin sürekli dizisine sızar. Örgü kusuru
artık yerelleşmiş kip yaratamaz. Bu durumda kip, örgü kusuru yakınındaki alan
enerjisiyle yoğunlaşır. Eğer kılavuzlu band, ışık konisi kenarına ulaşırsa rezonans
seviyesi durumu hacimsel temelden (background) uzakta sonsuza kadar küçük
genlikte genişleme) olur. Bu durumun olması için örgü kusuru ışıma kipinin
sızmasını engelleyen yansıtıcı duvarlarla çevrili değildir. Bu durumdaki sızan kipe
sızdırılan kip (leaky mode) veya rezonans kipi denir.
55
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
4.3.2.1. Noktasal Örgü Kusurunun Çubuk Yarıçapına Göre Değişimi
Noktasal örgü kusurunun yarıçapındaki değişim, dielektrik ya da hava
bandındaki kiplerin fotonik band aralığına kaçmasını sağlar.
Şekil 4.25. Çubuk yarıçapının azalmasıyla oluşan örgü kusurunun yerelleşen kipi (Johnson, 2003)
Şekil 4.25’de gösterildiği gibi noktasal örgü kusurunda dielektrik çubuğun
yarıçapı daha küçük olduğunda kesikli k değeriyle dielektrik bandındaki kip yukarı
çekilir. Bu duruma alıcı (acceptor) denir. Dielektrik çubuğun yarıçapı azaldığında
frekans kayması yüzünden dielektrik çubukların titreşim frekansı artar. Bu, dışarıdan
maddeye enerji aktarılmasına benzer. TM bandındaki minimum (düğüm çizgisiz) kip
band aralığı içerisinde genişleyerek daha yüksek frekanslı kip seviyesine gelir. Bu
durum, atomların uyarılmasıyla elektronların daha üst yörüngeye geçerek atomların
yüksek enerji seviyesine geçmesine benzer.
Alandaki azalma =
w − w0
(4.46)
egrilik
56
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
şeklinde ifade edilir. Diğer bir taraftan dielektrik çubuğun yarıçapı daha büyük
olduğunda kip hava bandından fotonik band aralığına aşağıya çekilir. Bu duruma
verici (donor) denir. Ancak, burada aynı w ’ de çift dejenerelik ortaya çıkar.
Şekil 4.26. Çubuk yarıçapının artmasıyla oluşan örgü kusurunun yerelleşen kipi (Johnson, 2003)
Şekil 4.26’da gösterildiği gibi dielektrik çubuğun yarıçapı arttığında frekans
kayması yüzünden Dielektrik çubukların titreşim frekansı azalır. Bu, dışarıya
maddeden enerji aktarılmasına benzer. TM bandındaki yüksek frekanslı (düğüm
çizgisiz) kip band aralığı içerisinde genişleyerek daha düşük frekanslı kip seviyesine
gelir. Bu durum, atomların uyarılmasıyla elektronların daha düşük yörüngeye
geçerek düşük enerjili seviyesine geçmesine benzer.
Şekil 4.27’de hava örgü kusuru ve dielektrik örgü kusuruna ait band yapısı ve
her iki durum için elektrik alanın ışıma kipleri verilmektedir. Hava örgü kusuru tek
kutuplu, dielektrik örgü kusuru ise çift kutuplu kiptir. Soldaki, tek bir çubuğun
dielektrik sabitinin küçültülmesiyle oluşturulan bir örgü kusurudur. Bu kip, dönel
simetri ve örgü kusuru içinde tek bir yuvarlak kısımla tek kutba sahiptir. (Dielektrik
sabitindeki küçülme dielektrik sabitleri arasındaki farkı azaltacağından yansımayı
57
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
azaltır. Bu, örtüşen kip sayısını azaltır, yani daha düşük sıralı kip elde edilir).
Sağdaki, tek bir çubuğun dielektrik sabitinin artmasıyla oluşturulan bir örgü
kusurudur. Bu kip, örgü kusuru içindeki iki düğüm çizgisiyle dört kutuplu örgüye
sahiptir. (Dielektrik sabitindeki artış, daha çok yansıma oluşturacağından daha çok
kipin üst üste gelmesi ve daha üst sıralı kipin oluşması demektir).
Şekil 4.27. Çubuk yarıçapı değişimine göre örgü kusuru kipinin elektrik alan dağılımı(Johnson, 2003)
Fotonik band aralığı içerisinde kılavuzlanmış kipler sadece nokta örgü kusuru
ile değil aynı zamanda doğrusal dalga kılavuzu gibi davranan çizgi örgü kusurları ile
oluşturulabilir. Nokta örgü kusuru ile doğrusal örgü kusuru arasındaki temel fark,
nokta kusuru için fotonik band aralığı içerisindeki bir kip frekansında yerelleşme
olmasıdır. Doğrusal bir örgü kusuru için kipin davranışı sadece frekansın fonksiyonu
olarak
değil,
aynı
zamanda
dalga
vektörünün
yazılabilmesidir.
58
bir
fonksiyonu
cinsinden
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
4.3.3. Çizgisel (Doğrusal) Örgü Kusuru
Arka arkaya konulmuş iki tane cisim düşünüldüğünde arkadaki cismin
görülmesi mümkün değildir. Arkadaki cismin görünebilmesi için ışığın cisim üzerine
gönderildiğinde yansımaması, yani ışığın tamamen iletilmesi gerekir. Bu durum
sağlandığında öndeki cismi saklayıp arkadaki cismin görünmesi mümkün olacaktır.
Işığın iletilmesi için en uygun yöntem doğrusal örgü kusurları oluşturmaktır.
Doğrusal örgü kusurları bir yerel noktadan başka bir yere ışığı kılavuzlar. Işık
fotonik band aralığı içerisindeki frekansla dalga kılavuzu içinde yayılır ve örgü
kusuru boyunca yönlendirilmiş olur. Şekil 4.28’de bu durum gösterilmektedir.
Şekil 4.28. Doğrusal dalga kılavuzu
Doğrusal bir örgü kusuru korunan kesikli dönüşüm simetrisinin olduğu
düzlemde bir yönelime sahiptir. Bu yön y yönüdür. k y dalga vektörü korunan bir
niceliktir. z yönü içinde sürekli dönüşüm simetrisi vardır. k z korunan bir niceliktir.
Sadece TM kutuplanması göz önünde tutulduğunda şekil 4.29’da k y ‘ye karşı w
band diyagramı verilmektedir. Kristal içerisinde uzanan kipler sürekli bölgede (mavi
bölge) bulunmaktadır. Sarı bölge band aralığını, kırmızı çizgi ise örgü kusuru bandını
vermektedir.
Dalga kılavuzları ışıma kayıplarını engelleyen rezonans oyukları ve
bükülmelerle sıfıra yakın yansıma ve kayıp ile fotonik band aralığında kılavuzlanmış
59
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
kipler oluşturmak mümkündür. Ancak, dalga kılavuzlarının bazı önemli özelliklere
sahip olması gerekir. Bunlardan birincisi, ışığın verimli bir şekilde maximum
iletiminin sağlanabilmesi için k dalga vektörünün yayılma yönü boyunca periyodik
bir şekilde ayarlanmış olması gerekir. İkincisi frekans aralığında seçilen kipin tek kip
(TM) olması gerekir. Çünkü maximum ilerleme bu şekilde sağlanabilir. Işıma
kayıplarını engellemek için kılavuzlanmış kipin fotonik band aralığında olması
gerekir. Bu iletimin hem artması hem de yansımanın azalması demektir. Bu durumda
dalga kılavuzundan ışığın kaçması engellenir.
Şekil 4.29. Doğrusal örgü kusurunda yerelleşen kip (Soukoulis, 1996)
Doğrusal dalga kılavuzları kısa dalga boyunda tam yansıma yöntemi ile
çalışır. Şekil 4.30’da verildiği gibi dalga kılavuzu genişliği dalgaboyunun yarısı
olması gerekir. Böylece temel kip olan m = 0 kipini yerelleştirmek mümkün olur.
Işığın dalgaboyundaki azalma durumlarına göre dalga kılavuzunda kipler m ile
sınıflandırılır.
60
4.TEORİK ALTYAPI
Utku ERDİVEN
m=0
λ/2
m=1
m=2
m=3
Şekil 4.30. Dalga kılavuzundaki kiplerin sınıflandırılması (Huang, 2003)
Şekil 4.31’de gösterildiği gibi küçük frekanslarda kılavuzlanmış kipler için
yayılma eğrisi cladding (çekirdek etrafındaki farklı kırıcılık indisli bölge) bölgesine
kaymaktadır. Büyük frekanslar için ise çekirdek (core) çizgisine yaklaşmaktadır.
Dalga kılavuzu içerisinde ışık ne kadar çok yansırsa o kadar çok kip oluşur. m =0
kipi için ışık dalga kılavuzundan bir kez tam yansımaya uğramalıdır. m =1 kipi için
iki defa, m =3 kipi için 3 defa. Küçük frekanslarda dalga boyu büyük olduğundan
ışığın enerjisi de daha az olur. Bu, eğriyi düşük indise sahip cladding çizgisine
yaklaştıracaktır. Ancak büyük frekanslar, ışığın dalga boyunu azaltacağından eğriyi
çekirdek çizgisine yaklaştırır.
w
Cladding indisi
Cladding
3
2
Çekirdek (core)
1
0
Çekirdek indisi
Cladding
w küçük
λ büyük
k
w büyük
λ küçük
Şekil 4.31. Dalga kılavuzundaki temel kipin frekansa bağlı değişimi
61
5.BULGULAR VE TARTIŞMA
Utku ERDİVEN
5. BULGULAR VE TARTIŞMA
5.1. GaAs
GaAs, galyum ve arseniğin birleşiminden elde edilen önemli bir
yarıiletkendir. Mikrodalga frekansındaki tümleşik devrelerde, kızılötesi ışık yayan
diyotlarda, lazer diyotlarında ve güneş pillerinde kullanılır.
GaAs, zinc blende kristal yapısına sahiptir. İki iç içe geçmiş fcc kübik
örgüden oluşur. Atomların ayarlanması elmas kübik yapıdaki gibidir. Moleküler şekli
doğrusaldır. GaAs’in dielektrik sabiti 10 μm’de 10.7’den 1μm’de 12.3’e
değişmektedir.
Şekil 5.1. GaAs yapısı
GaAs, valans bandı üzerindeki iletkenlik bandı minimum demek olan
doğrudan band aralığına sahiptir. Valans bandı ve iletkenlik bandı arasındaki geçişler
62
5.BULGULAR VE TARTIŞMA
Utku ERDİVEN
enerjideki değişime bağlıdır, momentumunda değişime gerek yoktur. GaAs’in bu
niteliği çok önemlidir. Işık yayan diyotlar ve yarıiletken lazerlerinde oldukça
kullanışlıdır. GaAs’in bazı özellikleri çizelge 5.1’de verilmektedir.
Çizelge 5.1. GaAs’in özellikleri
Özellikler
Parametreler
Kristal yapısı
Zinc blende ( Çinko sülfür )
Örgü sabiti
5.65 A0
Yoğunluk
5.32 g/cm3
Atomik yoğunluk
4.5 x 1022 atom/cm3
Moleküler ağırlık
144.64
Hacim modülü
7.55 x 1011 dyn/cm2
Genleşme katsayısı
5.8 x 10-6 K-1
Özısısı
0.327 J/g-K
Örgü termal iletkenliği
0.55 W/cm-0C
Dielektrik sabiti
12.85
Band aralığı
1.42 eV
Eşik alanı
3.3 kV/cm
Elektron hareketliliği
8500 cm2/V-s
Boşluk hareketliliği
400 cm2/V-s
Erime noktası
12380C
Sudaki çözünürlük
< 0.1 g/100 ml(20°C)
Kaynama noktası
-
5.1.1. GaAs Yapısının Kare Örgüsünün Band Yapısı
Işığın vakumdaki dalga boyu λ = 1.5 μm olarak seçilmiştir. Grafiğe göre ilk
ve ikinci TM bandları arasındaki aralık wa
63
2πc
= 0.282’den wa
2πc
= 0.419’a
5.BULGULAR VE TARTIŞMA
Utku ERDİVEN
kadardır. Frekans bandı aralığının ortalama değeri wa
2πc
= 0.350 ve band aralığı
genişliği % 38.9 ‘dur. Bu band aralığı indirgenemez brillouin bölgesinin M noktası
(0.5, 0.5, 0) ile X noktası (0.5, 0, 0) arasında oluşur. wa
2πc
= a
λ
= a /1.5 μm
=0.350 → a = 0.525 μm olur. Yarıçap ise r = 0.2 a olduğundan r = 0.105 μm
bulunur.
Şekil 5.2. GaAs dielektrik çubuklarının kare örgüsünün TM band yapısı
Şekil 5.2’de görüldüğü gibi k = 11 ,brillouin bölgesinin M noktasına karşılık
gelir. Bu noktadaki TM 1 bandı temel kiptir ve hiçbir düğüm içermez. Fotonik band
aralığının oluşması için TM bandı 2’ye ait kipler ortoganallik koşuluna göre bir
düğüm çizgisi içerir. TM bandı 2, TM bandı 3 ile M noktasında birleşmesi sonucu bir
düğüm çizgisine sahip çift kutuplu kip oluşur. Bu düğüm çizgisi dielektrik çubuk
üzerinden geçer. Buna göre TM 2 ve 3 bandı M noktasında aynı frekansa sahip
olduklarından dejeneredir. TM 3 ve 4 bandı Γ noktasında dejeneredir. TM bandı 4
ve TM bandı 5 arasında fotonik band aralığı oluşur. TM bandı 4 bir düğüm çizgisi
içerirken ortogonallik koşuluna göre TM bandı 5 bandında Dielektrik çubuk
üzerinden iki düğüm çizgisi geçer ve dört kutuplu kip oluşur. TM bandı 6 ve 7, M
64
5.BULGULAR VE TARTIŞMA
Utku ERDİVEN
noktasında dejeneredir. Γ ve M noktasındaki kipler dört ayna düzlemi simetrisine, X
noktasındaki kipler iki ayna düzlemi simetrisine uymaktadır.
Şekil 5.3. Dielektrik çubukların kare örgüye ait ilk iki TM band yapısı ve yerelleşmiş kipler
Şekil 5.3’de dielektrik çubukların kare örgüsünden elde edilen TM bandı 1
ve TM bandı 2’nin grafikleri, elektrik alan enerjisi yoğunlukları ve bunlara ait
kiplerin yerelleşmeleri verilmektedir. TM bandı 1 ve TM bandı 2 arasında fotonik
band aralığı vardır. Çünkü ışık farklı bir ortama geçtiğinde elektrik alan bileşeni olan
 ± iπx 
 nπx 
 nπx 
E ( x ) = exp
 ‘nin lineer bileşimları olan sin 
 ve cos
 farklı
 a 
 a 
 a 
ortamlarda yoğunlaşır. M noktası elektromanyetik enerjinin dielektrik çubuklarda
yoğunlaştığı yer olurken, X noktası elektromanyetik enerjinin hava ortamında
yoğunlaştığı yer olur. Elektrik alan çizgileri titreşirken kendi etraflarında manyetik
alan çizgileri oluşturur. Pozitif yönde titreşen elektrik alan çizgisinin oluşturduğu
manyetik alan çizgisi ile negatif yönde titreşen elektrik alan çizgisinin oluşturduğu
manyetik alan çizgisi ters yönlü olur. Bu yüzden oluşan bu manyetik alan çizgileri
birbirinin genliğini sıfırlayacağından araya bir düğüm çizgisi girer. Oluşan manyetik
alan çizgileri düzleme paralel olur. TM band yapısına göre, elektrik alan çizgileri
65
5.BULGULAR VE TARTIŞMA
Utku ERDİVEN
düzleme dik olarak titreşirken, manyetik alan çizgileri düzleme paralel olarak titreşir.
İkinci fotonik band aralığı TM bandı 4 ve TM bandı 5 arasında olur. Fotonik
band aralığının frekans aralığı 0.715 – 0.743’dür. Frekans aralığı ortalaması ise
0.729’dur. Band aralığının genişliği ise % 3.89’dur. Oluşan kipler, daha yüksek
frekanslı daha yüksek dereceli kiplerdir ve dört kutupludur. Oluşan bu fotonik band
aralığı aynı X noktasındadır. Bu durum, Şekil 5.4’de verilmektedir.
Şekil 5.4. Dielektrik çubukların kare örgüye ait 4. ve 5. TM band yapısı ve yerelleşmiş kipler
Grup hızı ile ilgili yapılan hesaplamada ise dalga vektörünün x ve
y bileşenlerine göre yani eksen üzerindeki ve eksen dışındaki yayılmalar için iki
farklı grafik ortaya çıkar. Şekil 5.5’de görüldüğü gibi k = 6 ve k = 11 noktaları
arasında fotonik band aralığı vardır. Fotonik band aralığı içerisinde dalga
ilerleyemediğinden grup hızı sıfırdır. Fotonik band aralığı maksimum 1 ve 2 bandı
arasında oluşmaktadır. 1 bandında fotonik band aralığına yaklaştıkça grup hızı
azalmaktadır. 2 bandında grup hızı negatiftir. Bu durum eksen üzerindeki yayılma
için geçerlidir.
66
5.BULGULAR VE TARTIŞMA
Utku ERDİVEN
Şekil 5.5. Eksen üzerindeki yayılmada grup hızı
Şekil 5.6’da eksen dışındaki yayılmada 1 ve 4, 2 ve 3, 5 ve 8 bandlarında
grup hızları simetriktir. Eksen üzerindeki yayılmada grup hızı olduğunda eksen
dışındaki yayılmada grup hızı sıfır iken, eksen dışındaki yayılmada grup hızı
olduğunda eksen üzerinde grup hızı sıfır olmaktadır. Fotonik band aralığı eksen
üzerinde
oluştuğundan
dalga
bu
aralıkta
ilerleyememekte
ilerleyebilmektedir.
Şekil 5.6. Eksen dışındaki yayılmada grup hızı
67
eksen
dışında
5.BULGULAR VE TARTIŞMA
Utku ERDİVEN
5.1.2. GaAs dielektrik plakadaki deşiklerin altıgen örgüsü
Şekil 5.7’de görüldüğü gibi bu örgüler TE bandları için mutlak fotonik band
aralığı oluşturmaktadır. İlk iki TE bandı arasındaki fotonik band aralığı (0.299-0.492)
% 48.5’lik band aralığı yüzdesine karşılık gelmektedir. Bu band yapısında elektrik
alan çizgileri düzleme paralel iken, manyetik alan vektörü düzleme diktir.
TE bandı 1 ve TE bandı 2 arasındaki % 48.5’lik fotonik band aralığı
k=11’deki ilk band ile k=6’daki 2.band arasında olmaktadır. M noktasındaki ilk TE
bandında manyetik alan deşikler içerisinde yoğunlaşmaktadır. X noktasındaki ikinci
bandın M noktasındaki ilk banda ortogonal olması için deşikler üzerinden bir düğüm
çizgisi geçer. İkinci fotonik band aralığı TE bandı 5’in X noktası ile TE bandı 6’nın
Г noktası arasında olmakta ve % 1.6’lık fotonik band aralığı yüzdesine sahiptir. TE
bandı 5’de dielektrik çubuklar üzerinden bir düğüm çizgisi geçerken, TE bandı 6’nın
diğerine ortogonal olması için dielektrik çubuklar üzerinden iki düğüm çizgisi geçer.
Şekil 5.7. GaAs’de deşiklerin altıgen örgüsünün TE band yapısı
Şekil 5.8’de ise bu bandlara ait manyetik alan özfonksiyonları ile tanımlanmış
olan alan örgülerinin TE kipleri verilmektedir. Bu bandlara ait olan kipler birbirine
68
5.BULGULAR VE TARTIŞMA
Utku ERDİVEN
ortogonaldir. Г noktasındaki kipler altı ayna düzlemi simetrisine, X noktasındaki
kipler 3 ayna düzlemi simetrisine, M noktasındaki kipler iki ayna düzlemi simetrisine
sahiptir. Bu yapıda 60 derecelik dönmelerde yapı değişmez. Buna göre düşey eksen
ayna simetrisi olarak ele alındığında elde edilen alan örgüleri birbirlerinin eşlenikleri
olurlar. Yatay eksen ayna simetrisi olduğunda yine aynı şekilde birbirlerinin
eşlenikleri olan alan örgüleri elde edilir. Örneğin düzlem dalga x yönünde ilerliyorsa
manyetik alanın z bileşeni olan H z = H 0 exp[i (kx − wt )] yatay ayna simetrisi altında
simetrik olur. Ancak elektrik alanın z bileşeni yapıyı uyaramaz. Bu durumda bu
kipler yapı içerisinde birleşemez.
Şekil 5.8’de TE bandı 1 ve 2 bandına ait yerelleşen kipler verilmektedir. İlk
TE bandında elektrik alan enerjisi deşikler üzerinde yoğunlaşmaktadır. Bu temel kipe
sahip düğümsüz s örgüsüne benzemektedir. TE 2 bandı, TE bandı 1’e ortogonal
olmak için deşikler üzerinden bir düğüm çizgisi geçer ve çift kutuplu kip özelliği
gösterir. Bu örgü, bir düğüm çizgisi içeren π örgüsüne benzer.
Şekil 5.8. İlk iki TE bandının yerelleşen kipleri
İkinci fotonik band aralığının oluştuğu TE bandı 5 ve 6’nın yerelleşen kipleri
ise şekil 5.9’da verilmektedir. TE bandı 5 bir düğüm çizgisi içerirken TE bandı 6
69
5.BULGULAR VE TARTIŞMA
Utku ERDİVEN
ortogonal olmak için deşikler üzerinden iki düğüm çizgisi geçer. Bu örgü dört
kutuplu iki düğüm çizgisi içerenδ örgüsüne benzemektedir.
Şekil 5.9. TE 5 ve 6 bandının yerelleşen kipleri
Şekil 5.10’da görüldüğü gibi deşikler TM band yapısına uygun değildir. Sadece belli
frekans aralıklarında kısmi fotonik band aralığına sahiptir.
Şekil 5.10. Deşiklerin altıgen örgüsünün TM band yapısı
70
5.BULGULAR VE TARTIŞMA
Utku ERDİVEN
5.1.3. Noktasal örgü kusuru:
Örgü kusurları ışığı tuzaklamak için oluşturulur. Bu tuzaklamanın
yapılabilmesi için oyuk uzunluğunun dalga boyunun yarısı olması gerekir. Örgü
kusurları frekans kayması meydana getirerek aralık içerisinde kılavuzlu kiplerin
oluşmasını sağlar. Frekans kayması dalga vektöründe bir değişim oluşturur. Bu
değişim ∆k = π ‘den bulunur. Şekil 5.11’de görüldüğü gibi bir dielektrik çubuğun
L
ortadan kaldırılmasıyla oluşturulan oyuk hava örgü kusuru oluşturur. Bu durumda
dielektrik banttaki temel kip aralık içerisine çekilir.
Dielektrik çubukların yarıçapı 0.2 iken, dielektrik örgü kusuru bir çubuğun
kaldırılmasıyla oluşturulmuştur. Kip frekansı 0.314’dür. Bu frekansa karşılık gelen
etkin dielektrik sabiti yaklaşık olarak 5.41’dir. Bu değer kök bulma algoritması
Ridder’s yöntemi ile bulundu. Bu yöntem ile elde edilen ışıma kipi tek kutuplu kiptir.
Şekil 5.11. Dielektrik örgü kusurunun iki boyutlu yapısı ve yerelleşen kip
5.1.4. Çizgisel örgü kusuru:
Çizgisel örgü kusuru hesaplamasında, y yönünde kalınlığı 1 olan diğer
yönlerde sonsuza genişleyen dielektrik sabiti 12 olan bir blok malzeme kullanıldı.
71
5.BULGULAR VE TARTIŞMA
Utku ERDİVEN
Akım kaynağı olarak frekansı 0.15 olan noktasal bir kaynak kullanıldı.
Frekans vakum dalgaboyunun tersine eşittir. Bu durumda 0.15 frekansı vakumda
1/0.15 = 6.67 dalgaboyuna karşılık gelir. Dielektrik sabiti 12 olan materyal içinde
yaklaşık olarak dalgaboyu 2’dir. Dalga kılavuzu yarım dalgaboyu genişliğindedir. Bu
durumda elde edilen kip tek-kip olur. Elektrik alanın z bileşeni ve manyetik alanın
x , y , z bileşenleri tanımlandı. Simülasyonun tam olarak yapılabilmesi için sınır
şartlarının belirlenmesi gerekir. Soğurucu sınırlar mükemmel bir şekilde uyumlu
tabakalar (PML) ile sağlandı. Bu durumda hücrenin bütün kenarlarına kalınlığı 1
olan soğurucu tabaka eklendi.
Birim uzaklık başına pixel sayısını veren çözünürlük 10 alındı. Bu değer hava
içinde birim dalgaboyuna 67 pixel, dielektrik malzeme içinde birim dalgaboyuna 20
pixel’e karşılık gelir. Şekil 5.12’deki sekizinci banda ait kipe dikkat edilirse kaynak
dalga kılavuzundaki kipleri uyardığında oluşan ışıma alanları dalga kılavuzundan
uzağa ilerlemektedir. Sınırlarda PML tabakalarından dolayı alan hızlı bir şekilde
sıfıra gider.
Şekil 5.12. Çizgisel örgü kusuru ve yerelleşmiş kipler
Çizgisel örgü kusurunda diğer elde edilen sonuç genlikle ilgilidir. Maksimum
genliğe sahip kip 8 bandına aittir. Genlik, 0.34 ile 0.89 arasında değişmekte ve 8
bandının maksimum genliği 0.89’dur. Genliğin band numarasına karşılık grafiği
şekil 5.13’de verilmektedir.
72
5.BULGULAR VE TARTIŞMA
Utku ERDİVEN
Şekil 5.13. Dalga kılavuzunda genliğin band numarasına karşılık grafiği
Çizgisel örgü kusuru bir sıra dielektrik çubuğun ortadan kaldırılmasıyla
oluşur. Bu durum şekil 5.14’de görüldüğü gibi fotonik band aralığında kılavuzlanmış
bir kipin oluşmasını sağlar. Yapılan band yapısı hesaplaması sonucunda 7 ve 8
bandları (0.271-0.337) arasında % 21,8’lik bir fotonik band aralığı saptanmıştır.
Şekil 5.14. Çizgi örgü kusurunun TM band yapısı
73
5.BULGULAR VE TARTIŞMA
Utku ERDİVEN
5.1.5 ZnTe
ZnTe’nin dielektrik sabiti 8.7’dir. GaAs gibi geniş bir fotonik band aralığına
sahip olan ZnTe’nin TM ve TE band yapıları hesaplandığında, dielektrik çubukların
kare örgüsü için en uygun olan bandın yine TM band yapısı olduğu görüldü. İlk
fotonik band aralığı brillouin bölgesi kenarlarında k=11(M noktası) ile k=6 (X
noktası) arasında oluşmaktadır. Şekil 5.14’de TM bandı 1 ile TM bandı arasındaki
frekans aralığı 0.445-0.327=0.118’dir. Frekans aralığını oluşturan değerlerin
ortalaması 0.386’dır. 0.118’in 0.386’ya oranı fotonik band aralığı yüzdesi yani
%30’u vermektedir. İkinci fotonik band aralığı brillouin bölgesinin X noktaları
arasında oluşmaktadır ve % 0.6’lık bir fotonik band aralığına, üçüncü fotonik band
aralığı Г ile M noktası arasında %1’lik fotonik band aralığına sahiptir. Г noktasında 3
ve 4 bandı, M noktasında 2 ve 3, 5 ve 6 bandı dejeneredir.
Dielektrik çubukların kare örgüsünde açıklandığı gibi bu örgüdeki ilk TM
bandında
elektrik
yoğunlaşmaktadır.
alan
enerjisi
Merkezdeki
yoğunluğu
dielektrik
çubuk
dielektrik
üzerindeki
çubuk
üzerinde
titreşimler
ile
çevresindeki çubuklar üzerindeki titreşimler zıt fazlıdır. Bu yüzden merkezdeki
çubuk ile çevresindeki çubuklar arasına yıkıcı girişim sonucu düğüm çizgisi girer.
İkinci band ile birinci band birbirine diktir. Bu durumun sağlanabilmesi için
dielektrik çubuk üzerinden bir düğüm çizgisinin geçmesi gerekir.
74
5.BULGULAR VE TARTIŞMA
Utku ERDİVEN
Şekil 5.15 ZnTe kare örgüsünün TM band yapısı
Şekil 5.16’da verildiği gibi fotonik band aralıklarındaki frekanslarda aynı
fazda yansıyan dalgalar gelen dalgayı söndürdüklerinden herhangi bir iletim olmaz.
Ancak fotonik band aralıklarındaki dalgaboylarında zıt fazda yansıyan dalgalar
birbirini söndüreceğinden gelen dalgayla etkileşemez. Bu durumda iletim olur.
Şekil 5.16. ZnTe’nin kare örgüsünde iletimin frekansa bağlı değişimi
75
5.BULGULAR VE TARTIŞMA
Utku ERDİVEN
Şekil 5.17’de görüldüğü gibi dielektrik çubukların kare örgüsüne göre TE
kipleri için kısmi fotonik band aralığı vardır. TE bandını manyetik alanın z bileşeni
H z = H 0 exp[i (kx − wt )] yapıyı uyaramaz. Bu durumda bu kipler yapı içerisinde
birleşemez.
Şekil 5.17. ZnTe kare örgüsünün TE band yapısı
76
6.SONUÇLAR VE ÖNERİLER
Utku ERDİVEN
6.SONUÇLAR VE ÖNERİLER
Bu çalışmada fotonik kristallerin band yapıları incelendi. Fotonik kristaller
öncelikle 1 ve 2 boyutta incelendi. 1 boyutta ve iki boyutta band yapısı ile ilgili
hesaplama MPB programı yardımıyla yapıldı. Örnek olarak GaAs ve ZnTe yapısı
incelendi. Bu materyal Maxwell özçözücüleri kullanılarak GaAs ve ZnTe’nin örgü
çeşitlerine göre özfrekansları düzlem dalga yöntemiyle hesaplandı ve buna bağlı
olarak band yapısı çizildi. Bunun dışında GaAs ve ZnTe dielektrik çubukları
üzerindeki elektrik alan enerjisi yoğunluklarının brillouin bölgesi köşelerine göre
yerelleşmiş kipleri verildi. Çeşitli simetriler kullanılarak TE ve TM band yapısının
iki boyutta hesaplamaları yapıldı. Çubukların TM band yapısına, boşlukların TE
band yapısına uygun olduğu görüldü. Bir boyutta periyodik olarak değişen yapılarda
TM ve TE bandlarının örtüştüğü, buna bağlı olarak oluşan her iki bandın dejenere
bandlar olduğu görüldü. Eksen dışı yayılmada bu bandların örtüşmediği, buna bağlı
olarak tek band ve çift bandların kesikli yapıda olduğu görüldü. İki boyutta fotonik
kristalin kare örgüsüne ait grup hızları hesaplandı. Buna bağlı olarak fotonik band
aralıklarında durum yoğunluğunun ve grup hızının sıfır olduğu görüldü. Aynı şekilde
GaAs içerisinde simetri kırılarak örgü kusurları oluşturuldu.
Örgü kusurları iki
şekilde incelendi. Nokta kusuru ve çizgi kusuruna göre band yüzdesindeki değişim
iterasyon yöntemiyle hesaplandı. Yarıçaptaki değişime göre frekansın dalga
vektörüne göre değişim grafikleri çizildi ve bunlara ait yerelleşmiş kipleri verildi.
Fotonik kristallerde kullanılan elektromanyetik denklemler ile kuantum
mekaniğindeki denklemlerin karşılaştırılması yapıldı. Band hesaplamaları fotonik
kristalde frekans, kuantum mekaniğinde enerji özdurumlarına göre karşılaştırıldı.
Fotonik kristallerde periyodiklik dielektrik fonksiyonuna göre, kuantum mekaniğinde
potansiyele göre ayarlanmaktadır.
Düzlem dalga yöntemi, iterasyon yöntemi, Maxwell denlemlerinde kullanılan
özçözücüler ile ilgili bilgiler verildi. Bu özçözücüler içerisinde etkin dielektrik tensör
bulundu. Etkin dielektrik tensör tanımlanarak kullanılan iterasyonla özdeğerdeki
hatanın daha az olduğu görüldü. İterasyonlar arasında önkoşullu eşlenik gradyent
yönteminin özdeğer hesabında en uygun yol olduğu saptandı.
77
6.SONUÇLAR VE ÖNERİLER
Utku ERDİVEN
Dağıtkanlık bağıntısı hesaplamalarından kırılma indisi farklılığı arttıkça izinli
bandların sayısının arttığı buna karşın genişliklerinin azaldığı ve izinli bandların daha
düşük frekans bölgelerine kaydığı gözlendi.
Bütün bunlara bağlı olarak iki boyutlu fotonik kristallerin band yapısı
hesaplamalarında bandlar iki şekilde incelendi. TE band yapısı ve TM band yapısı.
TE band yapısında elektrik alan çizgileri dielektrik çubuklara dik, manyetik alan ise
paraleldir. TM band yapısında ise elektrik alan dielektrik çubuklara paralel, manyetik
alan diktir. TE band yapısında elektrik alan çizgileri kesikli dönüşüm simetrisine
sahip iken, manyetik alan sürekli dönüşüm simetrisine sahiptir. Buna göre elektrik
alan eksen üzerinde yayılırken, manyetik alan eksen dışında yayılır. TM band
yapısında ise tam tersi bir durum vardır.
TE ve TM band yapılarının dağıtkanlık bağıntısına göre çözümleri dalga
vektörlerine bağlı olarak bulundu. Reel dalga vektörlerine ait çözümlerin ilerleyen
dalgaları, sanal dalga vektörlerine ait çözümlerin ise yansıyan dalgaları verdiği
gözlendi. Dalga vektörünün sanal olmasının dalgaların ilerlemesinin yasak olduğu
fotonik band aralığı bölgesini verdiği belirtildi. Dalga vektörünün sanal veya reel
olması Snell bağıntısına göre bulundu. Eğer elektromanyetik dalgalar bir ortamdan
diğer bir ortama sadece kırılarak geçiyorsa dağıtkanlık bağıntısının reel çözümler
verdiği, dalgaların tam yansıması durumunda ise sanal çözümleri ortaya çıkardığı
gözlendi.
TE ve TM band yapısı GaAs için incelendi. GaAs için elde edilen TM band
yapısı ε = 11.4 ve r = 0.2a değeri için %38’lik fotonik band aralığına sahiptir
(Joannopoulos ve ark, 1995). Bu çalışmada ise GaAs için dielektrik sabiti ε = 12 ve
yarıçap r = 0.2a olarak alındı. Elde edilen fotonik band aralığı yüzdesi %38.9’dur.
Bu durumda GaAs için yapılan çalışma, daha önceki yapılan çalışmayla uyumlu
değerler göstermektedir. ZnTe için yapılan çalışmada ise dielektrik sabiti ε = 8.7 ve
yarıçap r = 0.2a olarak alındı ve elde edilen fotonik band aralığı yüzdesi %30 olarak
ölçüldü.
Örgü kusurlarında dielektrik bandından ya da hava bandından kiplerin fotonik
band aralığına çekildiği gözlendi. Tek bir boşluğun yarıçapı arttığında alıcı örgü
kusuru durumunun meydana geldiği ve dielektrik bandından fotonik band aralığına
78
6.SONUÇLAR VE ÖNERİLER
Utku ERDİVEN
kipler çekildiği görüldü. Diğer bir taraftan boşluğun yarıçapı azaldığında verici
durumunun meydana geldiği ve hava bandından band aralığına kiplerin çekildiği
gözlendi. Alıcıkipinin tek kutuplu kip, verici kipin çift kutuplu kip olduğu görüldü.
 ck 
ε (w ) =  
w
2
formülüne göre dielektrik sabiti pozitif ve reel olduğunda
elektromanyetik dalgaların sönümsüz olarak ilerlediği, dielektrik sabiti negatif
olduğunda elektromanyetik dalgaların tümüyle geri yansıdığı görüldü. Dielektrik
sabitinin pozitif sanal kısmının elektromanyetik dalganın ortama enerji verdiği,
negatif sanal kısmının ise ortam tarafından dalgaya enerji verdiği belirtildi.
79
KAYNAKLAR
AHMED SAMEH, JOHN WISNIEWSKI, (1982), A Trace Minimization Algorithm
for the Generalized Eigenvalue Problem, SİAM (1243-1259)
ALAN EDELMAN, T.A. ARIAS, STEVEN T. SMİTH, (1998), The Geometry of
Algorithms with Ortogonality Constraints, SİAM J.Matrix Anal. Appl.20,
303-353
ASHCROFT N.W. and MERMİN N.D., (1976), Solid State Physics. Philadelphia:
Holt Saunders.
ATİLLA ÖZGÜR ÇAKMAK, (2005), Photonic Crystal Based Sensing Using Band
Edge Modulation
BLOEMBERGEN N. (1965), Nonlinear Optics, W. A. Benjamin, NewYork
BOYD J.P. (2000), Chebyshev and Fourier Spectral Methods, Dover Pub, New York
BUSCH K., FREYMANN von G., LİNDEN S. , MİNGALEEV S. F. ,
TKESHELASHVİLİ L., WEGENER M. (2007), Periodics nanostructures for
photonics. Phys. Reports 444, 102-202
CHAN C. T. , K. M. HO, C. M. SOUKOULİS. (1991), Photonic Band Gap in
Experimentally Realizable Periodic Dielectric Structures. Europhys. Lett. 16,
563.
CHEN, (1981), Transverse electric fields guided by doubly-periodic structures
J.Appl. Phys.52(8): 4926-4937
CHUANJİAN SHEN. Wave Propagation Through Photonic Crystals Slab, MSC PhD
thesis (2006)-08, ISSN 1570-1530
CHUTİNAN and NODA, (1998), Spiral three-dimensional photonic band-gap
structure, Phys. Rev. B. 57: 2006-2008
CLAERBOUT J. F. (1999), Fourier Transforms and Waves: in four lectures,
Stanford University
COHEN-TANNOUDJİ C, DİN B, and LALOE F. (1977) Quantum Mechanics.
Paris, Hermann.
80
COOKE S. J. and LEVUSH B. (2000), Eigenmode solution of 2D and 3D algorithm,
electromagnetic cavities containing absorbing materials using the JacobiDavidson J. Comput. Phys. 157, 350-370
COSTAS M.SOUKOULİS, (1996), Photonic Bandgap Materials, Kluwer
DOBSON D. C. , (1999), An efficient method for band structure calculations in 2D
photonic crystals, J. Comput. Phys. 149, 363-376
DONGORRA J. J. , CROZ J. DU, DUFF I. S. , HAMMARLİNG S. (1990). A set of
Level 3 Basic Linear Algebra Subprograms, ACM Trans. Math. Soft. 16. 117
D. M. PUSTAİ, A. SHARKAWY, S. SHİ, and D. W. PRATHER, (2002). Tunable
photonic crystal microcavities. Appl. Opt. 41. 5574-5579
E.ANDERSON, Z. BAİ, C. BİSCHOF, S. BLACKFORD, J.DEMMEL, J.
DONGORRA, J. DU CROZ, A.GREENBAUM, S. HAMMARLİNG, A.
MCKENNEY, and D. SORENSEN, (1999). Lapack Users' Guide (SIAM,
Philadelphia)
FAN S, (1995), Guided and Defect modes in periodic dielectric waveguides. J. Opt.
Soc. Am. B. 12, 1267-1272
FOWLES, (1975), Introduction to Modern Optics, Newyork: Dover
GİLL P.E. , MURRAY W. ,WRİGHT M. H. (1981), Practical Optimization,
Academic London
GOLUB G, C. VAN LOAN. (1989). Matrix Computations. Johns Hopkins
University Pres, Baltimore
GRALAK B. , ENOCH S. , TAYEB G. (2000), Anomalous refractive properties of
photonic crystals, J. Opt. Soc. Am. A, 17, 1012-1020
HECHT and ZAJAC, (1997), Optics, MA: Addison-Wesley
HESTENES M. R. , STİEFEL E. , (1952), Methods of Conjugate Gradients for
Solving Linear Systems, J. Research of the Nat. Bureau of Stand, 49, 2379409-436
HO K.M, CHAN C.T, SOUKOULİS C.M. (1990), Existence of a Photonic Gap in
Periodic Dielectric Structures, Phys. Review Lett. (3152-3155)
JACKSON, J.D.(1962), Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, New York
81
JOANNOPOULOS J.D. ,MEADE R.D. , and WİNN J.N. , (1995), Photonic Crystals:
Molding the Flow of Light, Princeton, Princeton University Press.15
JOHN, S. , (1987), Strong localization of photons in certain disordered dielectric
superlattices, Phys. Rev. Lett. 58, 2486–2489.
JOHNSON S.G. and JOANNOPOULOS J.D. , (2002), Photonic Crystals: The Road
from Theory to Practice, Boston: Kluwer.
JOHNSON S.G, IBANESCU M, SKOROBOGATİY M, WEİSBERG O,
JOANNOPOULOS J.D. , and FİNK Y, (2002), Perturbation theory for
Maxwell’s equations with shifting material broundaries, Phys. Rev. E, 65,
066611.
JOHNSON S.G and J.D.JOANNOPOULOS, (2003), Introduction to Photonic
Crystals, MIT
JOHNSON ve JOANNOPOULOS, (2001), Block-iterative frequency-domain
methods for Maxwell’s equations in a planewave basis, Opt. Express 8(3):
173-190
JOHNSON S.G, (2003), Photonic Crystals: A Crash Course in Designer
Electromagnetism, Yayınlanmamış
J.D.JOANNOPOULOS, P.R.VİLLENEUVE, S.FAN, (1997), Photonic crystals:
putting a new twist on light. Nature 386, 143-149
JUNG Y.HUANG, (2003), Design and Characterization Tools for Building Optical
Functionalities at the Nanometer Scales, IEO, NCTU
KAWAKAMİ ve WATTS, (2002), Analitically solvable model of photonic crystal
structures and novel phenomena, J.Lightwave Tech.20(8): 1644-1650
KİTTEL. C.(1986), Solid State Physics, John Wiley & Sons. Newyork
KUNZ K. S. (1993).
The Finite Difference Time Bölge Method for
Electromagnetics, Boca Raton: CRC Press,
LEVENT SEVGİ, (2006), Düzlem dalgalar ve bir boyutlu FDTD simulasyonu,
Endüstri Otomasyon Dergisi
LORD RAYLEİGH (1887), On the maintenance of vibrations by forces of
doublefrequency, and on the propagation of waves through a medium
endowed with a periodic structure, Philosophical Magazine 24:145-159
82
LOURTİOZ J. M., BENİSTY H. , BERGER V. , GERARD J. M. , MAYSTRE D.
TCHELNOKOV A. (2008), Photonic Crystals Towards Nanoscale Photonic
Devices, Springer-Verlag Berlin Heidelberg
MALDOVAN ve THOMAS, (2004), Diamond-structured photonic crystals, Nature
MARADUDİN A. , McGurn A, (1993), in Photonic Band Gaps and Localization
Materials, 3: 593-600 (ed Soukoulis, C.), 247-268
MATHEWS J. and WALKER R. (1964), Mathematical Methods of Physics.
Addison-Wesley Redwood City, Calif
McCALL, (1991), Microwave propagation in two-dimensional dielectric lattices
Phys. Rev. Lett.67: 2017–2020
MEADE, (1991), Electromagnetic Bloch waves at the surface of a photonic crystal,
Phys. Rev. B 44:10961-10964
MEADE, KARL D. BROMMER, ANDREW M. RAPPE, J. D. JOANNOPOULOS,
(1992), Existence of a Photonic Bandgap in two dimensions, App. Phys.
Letters (495-497)
MEADE, K. D. BROMMER, ANDREW M. RAPPE, J. D. JOANNOPOULOS(1991), Photonic bound states in periodic dielectric materials. Phys. Rev. B
44, 13772.
MEADE, K. D. BROMMER, A.M. RAPPE, J. D. JOANNOPOULOS, and O. L.
ALERHAND. (1993), Accurate theoretical analysis of photonic band gap
materials. Phys. Rev. B 48, 8434
MEADE, O. ALERHAND, and J. D. JOANNOPOULOS. (1993), Handbook of
Photonic Band Gap Materials. JAMteX I. T. R.
MERZBACHER E. (1961), Quantum Mechanics. John Wiley & Sons, New York
MIT Lecture Notes, Study of EM waves in Periodic Structures, yayınlanmamış
MIT Photonic-Bands Package home page http://ab-initio.mit.edu/mpb/
MOGİLEVTSEV D. , BİRKS T. A. ,and P. St. J. RUSSELL. (1999). Localized
function method for modeling defect modes in 2D photonic crystals, J.
Lightwave Tech. 17, 2078-2081
NOVOTNY L, HECHT B. (2006), Principles of Nano-Optics, Cambridge University
Press, New York
83
PAİNTER O. , J. VUCKOVİC, and A. Scherer. (1999). Defect modes of a two- 16,
dimensional photonic crystal in an optically thin dielectric slab, J. Opt. Soc.
Am. B. 275-285
PALİK E. (1998), Handbook of Optical Constants of Solids, Academic Press
PARLETT B. N. (1980), The Symmetric Eigenvalue Problem, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, NJ
PAYNE M. C, TETER M. P, D.C. ALLAN, T.A. ARİAS, J.D. JOANNOPOULOS,
(1992), Iterative Minimization Techniques for ab initio Total-Energy
Calculations: Molecular Dynamics and Conjugate Gradients, Rev. Mod.
Phys. (1045- 1097)
PENDRY J. B. and A. MacKİNNON ,(1992). Calculation of photon dispersion
relations. Phys. Rev. Lett. 69. 2772–2775.
PLİHAL ve MARADUDİN, (1991), Photonic band structure of two-dimensional
systems: The triangular lattice, Phys. Rev. B 44: 8565-8571
ROBERTSON, (1992), Measurement of photonic band structure in a two
dimensional periodic dielectric array, Phys. Rev. Let.68: 2023-2026
ROBERTSON, (1993), Observation of surface photons on periodic dielectric arrays
Opt. Lett. 18(7): 528-530
RYU. H. Y. , M. NOTOMİ, and Y. H. LEE. (2003). Finite-difference time-bölge
investigation of band-edge resonant modes in finite-size two-dimensional
photonic crystal slab. Phys. Rev. B. 68, 045209-1-8
SAFA KASAP, PETER CAPPER, (2006), Handbook of Electronic and Photonic
Materials. Springer Science- Bus. Med, Inc. New York
SAKODA K, (2001), Optical Properties of Photonic Crystals. Berlin: Springer.
SAKODA K. , SHİROMA H. (1997), Numerical method for localized defect modes
in photonic lattices, Phys. Rev. B. 56, 4830-4835
SHANKAR R. (1982), Principles of Quantum Mechanics. Plenum Pres, New York
SHEWCHUK J. R. (1994), An introduction to the Conjugate Gradient Method
without the agonizing pain, Mellon Univ. PA-15213
SİPE J.E, (2000), Vector k ·p approach for photonic band structures, Phys. Rev. E,
62, 5672–5677.
84
SMAJİC J. , HAFNER C. , ERNİ D. (2003), Opt. Soc. of A. ,11, 1378-1384
SMİTH, (1993), Photonic band structure and defects in one and two dimensions,
J.Opt. Soc. Am. B 10(2): 314-321
SÖZÜER H. S. , J. W. HAUS, and R. INGUVA. (1992), Photonic bands:
Convergence Problems with the plane-wave method, Phys. Rev. B 45, 13962
TAVLOVE A. (2000), Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time
Domain Method, Norwood, Massachusetts: Artech House
TOADER O. , SAJEEV J. (2004), Photonic band gap enhancement in frequency
dependent dielectrics, Phys. Rev. E.70: 046605-1-15
VİLLENEUVE and PİCHE, (1992), Photonic bandgaps in two-dimensional square
and hexagonal lattices, Phys. Rev. B 46: 4969-4972
VİLLENEUVE P. R. , FAN S. , JOANNOPOULOS J. D. (1996), Microcavities in
Photonic Crystals: Mode Symmetry, Tunability, and coupling efficiency,
Phys. Rev. B. 54. 7837-7842
WİLLİAM H. PRESS, SAUL A. TEUKOLSKY, WİLLİAM T. VETTERLİNG,
BRİAN P. FLANNERY, (1992), Numerical Recipes in Fortran 77,
Cambridge University Press
WİNN, (1998), Omnidirectional reflection from a one-dimensional photonic crystal
Opt. Lett.23(20): 1573-1575
WİNN, (1994), Two-dimensional photonic band-gap materials, J.Mod. Opt. 41(2):
257-273
YABLONOVİTCH, (1989), Photonic band structure, Phys.Rev.Lett. 63: 1950-1953
YABLONOVİTCH, (1987), Inhibited spontaneous emission insolid-state physics
and electronics, Phys. Rev. Lett. 58, 2059–2062.
YABNLONOVİTCH, (2001), Photonic crystals: Semiconductors of light, Scientific
American, 47-55
YABLONOVİTCH, T. J. GMİTTER, R. D. MEADE, K. D. BROMMER, A. M.
RAPPE, and J. D. JOANNOPOULOS (1991), Donor and acceptor modes in
photonic band structure. Phys. Rev. Lett. 67 3380.
YARİV A. , and YEH P. , Optical Waves in Crystals, John Wiley & Sons, Inc. 1984.
YARİV A. (1985). Optical Electronics. Holt, Reinhart and Winston, New York
85
YEH P. (1988). Optical Waves in Layered Media. John Wiley & Sons, New York.
YOSHİE T. , J. VUCKOVİC, A. SCHERER, H. CHEN, and D. DEPPE, (2001).
High quality two dimensional photonic crystal slab cavities. Appl. Phys. Lett.
79, 4289-4291
ZHANG ZE and SASHİ SATPATHY. (1990). Electromagnetics wave propagation
in periodic structures: Bloch wave solutions of Maxwell’s equations. Phys.
Rev. Lett. 65, 2650.
86
ÖZGEÇMİŞ
20.08.1978 Mersin-Tarsus doğumluyum. İlk ve orta öğrenimimi Tarsus’ta
yaptım. 1996- 2000 yılları arasında Adana Çukurova Üniversitesi Fen Edebiyat
Fakültesi Fizik Anabilim dalında yüksek öğrenimimi gerçekleştirdim. 2007 yılında
Yüksek Lisans eğitimine başladım. Şu anda özel sektörde öğretmenlik mesleğimi
devam ettirmekteyim.
87
EK A
Elektromanyetik ve Kuantum Teorisi Arasında Karşılaştırma
Çizelge A.1. Kuantum mekaniği ile elektromanyetik teorinin karşılaştırılması
Periyodik potansiyel içinde
Periyodik dielektrik içinde
kuantum mekaniği ( kristal )
elektromagnetizma (fotonik kristal )
Skaler dalga fonksiyonu ψ (r, t )
Manyetik alan vektörü H (r , t )
Uzaysal
Enerjinin özdurumlarının
Harmonik kiplerin genişletilmesi
bağımlılıktan
genişletilmesi
H (r , t ) = ∑ w c w H w (r )e −iwt
Bütün bilgileri
kapsayan
anahtar
fonksiyon nedir?
fonksiyonun
zamana bağlılığı
ψ (r , t ) = ∑ E c Eψ E (r )e
− iEt
h
nasıl ayırt edilir.
Sistemin
Schrödinger eşitliği
Maxwell denklemleri
özdurumlarını
 h2

 − 2 + ∇(r )ψ (r ) = Eψ (r )
 8π m

∇×
Anahtar
Evet, skaler alan normalize
Evet, alan vektörü hem normalize
fonksiyonu
edilmeli
hem de enine olmalı : ∇.H = 0
Potansiyel : V (r ) = V (r + R )
Dielektrik fonksiyonu
tanımlayan
master eşitliği
1
w2
∇ × H w (r ) = 2 H w (r )
ε (r )
c
nedir?
üzerinde başka
şartlar var mı?
Sistem girişinin
periyodikliği
bütün R örgü vektörleri için
neresidir?
ε (r ) = ε (r + R ) , bütün R örgü
vektörleri için
Normal kipler
Evet, elektron – elektron itme
Doğrusal bir bölgede elektromanyetik
arasında her
kuvveti var.
kipler etkileşmez.
Normal kiplerin
Farklı enerjilerle özdurumlar
Farklı frekanstaki kipler ortogonal
önemli özellikleri
ortogonal olmalı, gerçel
olmalı. Negatif olmayan gerçel
nedir?
özdeğerleri olmalıdır.
özdeğerleri olmalıdır.
Normal kiplerin
Hamiltonyan, H ,doğrusal
Maxwell operatörü , Θ̂ , doğrusal
özelliklerini
hermityen operatördür.
pozitif- yarı tanımlı hermityen
hangi bir
etkileşim var mı?
garanti eden
operatörüdür.
master eşitliğinin
özellikleri nedir?
88
Normal kipler ve frekansları
ψ , H ’ın özdurumu olduğunda
tanımlayan varyasyon ilkesi
E=
(ψ , Hˆ ψ )
(ψ ,ψ )
H , Θ̂ ’nın bir özdurumu
olduğunda küçültülür.
U=
(H , ΘH )
(H , H )
Değişim teoremi ile birlikte
Dalga fonksiyonu daha düşük
Elektromanyetik alanlar, daha
hareket eden deneye dayalı
enerji durumlarına ortogonal
düşük frekanslı kiplere
olan nedir?
kalırken, daha hızlı
ortogonal kalırken, daha hızlı
titreşmeksizin potansiyel
titreşmeksizin daha yüksek ε
kuyusu içinde yoğunlaşır.
bölgesi içinde yoğunlaşır.
Hamiltonyanın E özdeğeri
Ortalama elektromanyetik enerji
Sistemin fiziksel enerjisi nedir?
U=
(
1 3
d r ε 0 εE 2 + µ 0 H 2
∫
4
)
Sistemin doğal uzunluk ölçeği
Bohr yarıçapı gibi fiziksel
Yoktur.
nedir?
sabitler
A , sistemin simetrisi midir diye
A , Hamiltonyanı komute
A Maxwell operatörünü
söyleyen matematiksel durum
ediyor.
nedir?
[A, H ] = 0
ˆ =0
komute ediyor : A, Θ
Özdurumları sınıflandıran
A ,sistem operatörü altında
A , sistem operatörü altında
sistemin simetrisi nasıl
onlar dönüşüme uğrar.
onlar dönüşüme uğrar.
Eğer sistem kesikli dönüşüm
k dalga vektörü ile. Dalga
k dalga vektörü ile. Harmonik
simetrisine sahipse kipler nasıl
fonksiyonu Bloch biçiminde:
kipler Bloch biçiminde:
sınıflandırılır?
ψ k (r ) = u k (r )e ik .r
H k (r ) = u k (r )e ik .r
k dalga vektörü için gerekli
Onlar ters uzayda brillouin
Onlar ters uzayda brillouin
değerler nedir?
bölgesinde uzanırlar.
bölgesinde uzanırlar.
[ ]
kullanabiliriz?
89
Band yapısı terimi ile ne
anlaşılır?
Kuantum mekaniği
Fotonik kristaller
E n (k ) fonksiyonları
wn (k ) fonksiyonları harmonik
öz durumların enerjilerini
kiplerin frekanslarını tanımlayan
tanımlayan sürekli fonksiyonları
sürekli fonksiyonlar ile kurulur.
ile kurulur.
Band yapısının fiziksel merkezi
Elektron dalgası farklı
Elektromanyetik alanlar, farklı
nedir?
potansiyel bölgelerinden uygun
dielektrik bölgeleri arasındaki
şekilde saçılır.
ara yüzeyde uygun şekilde
saçılır.
Band yapısı içindeki aralık neyi
Enerji aralığı içinde dalga
Frekans aralığı içinde dalga
tanımlar?
vektörü olmaksızın yayılan
vektörü veya kutuplanma
hiçbir elektron durumu yoktur.
olmaksızın yayılan
elektromanyetik kipler yoktur.
Aralık aşağısı ve yukarısı için
Aralık yukarısındaki band
Aralık yukarısındaki band, hava
hangi terimler kullanılır?
iletkenlik bandı, aşağı band
bandı, aşağısı dielektrik
valans bandıdır.
bandıdır.
Sistem içerisindeki örgü
Kristal içerisine yabancı atomlar
Özel bölgelerdeki dielektrik
kusurları nasıl oluşur?
ekleyerek. Böylece atomik
sabiti değiştirilerek. Böylece
potansiyelin dönüşüm simetrisi
dielektrik fonksiyonun dönüşüm
kırılır.
simetrisi kırılır.
Örgü kusuru üretiminin olası
Band aralığı içerisinde izinli
Band aralığı içerisinde izinli
sonucu nedir?
durum oluşur. Böylece, örgü
durum oluşur. Böylece, örgü
kusuru çevresinde yerelleşen
kusuru çevresinde yerelleşen
elektron durumuna izin verilir.
elektromagnetik kipe izin verilir.
Örgü kusuru tipleri nasıl
Donor atomları iletkenlik
Dielektrik örgü kusurları hava
sınıflandırılır?
bandından aralık içerisine
bandından aralık içerisine
çekilirken, alıcı atomları valans
çekerken, hava örgü kusurları
bandından aralık içerisine itilir.
dielektrik banttan aralık
içerisine iter.
Kısaca sistemin önemli fiziksel
Materyallerin elektronik
çalışması nedir?
özellikleri
90
Materyallerin optiksel özellikleri
EK B:
Düzlem Dalga Yöntemi ile Band Hesabı
Düzlem dalga yöntemi Maxwell denklemlerinden elde edilen denklemlerin öz
fonksiyonlarını ve özdeğerlerin çözümü için uygun bir yoldur. Temel fikir, kesikli
Fourier serileri içindeki Bloch fonksiyonu
ile birlikte dielektrik sabitini
genişletmektir. Bu yöntem ortam periyodik olduğunda uygun olan bir yöntemdir. Bu
yöntem örgü kusurları için kullanılacak iyi bir yöntem değildir.
r
Fourier uzayında dielektrik fonksiyonu ε (r )
ε (G − G ') =
r
1
d 3 rε (r )e −i (G −G ' ).r
∫
ΩΩ
(B.1)
şeklinde yazılır. G ve G ' sonsuz ters örgü vektörlerinin keyfi vektörleridir ve Ω
Wigner-Seitz hücresinin hacmidir. HCS (Ho, Chan ve Soukoulis) yöntemi dielektrik
fonksiyonun Fourier dönüşümüne dayanır.
Dielektrik fonksiyonunun tersi,
1
i (G − G ' ).r
−1
r = ∑ ε (G − G ')e
ε (r ) G ,G '
(B.2)
şeklinde tanımlandıktan sonra H k (r ) özvektörleri
r
H kr (r ) = ∑ h Gr e i (k +G ).r
(B.3)
G
ve master eşitliği içerisine (B.3) ve (B.4) eşitlikleri yazılır.
2
r  1 r
  w
r
r
∇ × 
r ∇ × H kr (r ) =   H kr (r )
 ε r (r )
 c
2
r r r
r 
 w
−1
i (k + G ' ).r 
i (k + G ).r
i (G −G ' ).r 
∇ ×  ∑ ε (G − G ').e
 =   ∑ h Gr e
i∑ [(k + G ') × h G ' ].e
G ,G '
 c G
 G'
r
Düzlem dalga yönteminde H kr (r ) özvektörünün enine durumu için,
(B.4)
(B.5)
r
r
∇.H kr (r ) = 0 ⇒ (k + G ).h Gr = 0
(B.6)
h ⊥ (k + G )
r
G
h Gr = h1Gr eˆ 1Gr + h2Gr eˆ 2Gr
(B.7)
91
(
)
r r
durumu sağlanmalıdır. eˆ1Gr , eˆ2Gr , kutuplanma vektörleridir ve k + G ’ ye dik düzlem
içindeki keyfi yönlerdir. (B.8) denklemi ile birim vektörler sayesinde (2 N × 2 N )
matrisi şeklinde yazılabilir.
H veya E
e1,G
e2,G
k+G
Şekil B.1. Düzlem dalganın yayılma vektörüyle tanımlı kartezyen üçlüsü
(k + G ) × eˆ 1Gr
= k + G eˆ 2Gr
(B.8)
(k + G ) × er 2Gr = − k + G er1Gr
(k + G ') × h Gr ' = k + G ' (h1Gr 'eˆ 2Gr ' − h2Gr 'eˆ 1Gr ' )
[(k + G') × h ]× (k + G ) = k + G k + G' .{eˆ [h (eˆ
r
G'
r
1G
[
r
1G '
r
2G '
]
.eˆ 2Gr ) − h2Gr ' (eˆ 1Gr ' .eˆ 2Gr )
]
+ eˆ 2Gr − h1Gr (eˆ 2Gr ' .eˆ 1Gr ) + h2Gr ' (eˆ 1Gr ' .eˆ 1Gr )}
− eˆ 2 Gr .eˆ 1Gr '   h1Gr '   w  2  h1Gr 
.
= 
eˆ 1Gr .eˆ 1Gr '  h2 Gr '   c  h2 Gr 
 eˆ 2 Gr .eˆ 2 Gr '
k
+
G
k
+
G
'
ε
G
−
G
'
(
)
 − eˆ r .eˆ r
∑
G'
 1G 2 G '
−1
(B.9)
(B.10)
2
[M ][. h] =  w  [h]
c
[M ] , (2 N × 2 N )
(B.11)
matris ve [h] , h alanının Fourier genliklerini içeren bir sütun
vektörüdür.
N = N 1 .N 2 .N 3 düzlem dalgaların toplam sayısıdır. N j , j eksenindeki düzlem
dalgaların sayısıdır.
92
EK C
MPB Programından Örnek
MPB programı ilk olarak 1990’da R. D. MEADE tarafından fortran 77 içinde
yazıldı. Fotonik bandlar paketinin kullanımı foo.ctl gibi ctl kontrol dosyası ile
sağlanmaktadır. ctl dosyası istenilen geometriyi, özvektörlerin sayısını, çıkış alınan
veriyi tanımlayan bir dosyadır. foo.ctl dosyası içerisine girilen veri foo.out dosyasına
aktarılarak verinin çözülmesi sağlanmaktadır. ctl dosyası libctl kütüphanesi
içerisinde yer alır ve SCHEME programlama dilinde inşa edilmiştir. Bu programın
çevirisi ise Guile sayesinde olmaktadır. Libctl, scheme ve bilimsel hesaplama
bilgisayar programı arasındaki iletişimi basitleştirerek kullanılan fonksiyonların
sayısını tanımlar.
unix% mpb foo.ctl >& foo.out
foo.ctl dosyasını okur ve onu düzenler.
İlk band yapısı hesabı hava içindeki dielektrik çubukların iki boyuttaki kare örgüsü
ile ilgilidir. Yapılacak hesap için ilk olarak num-bands parametresi kaç tane bandın
(özdurumların) her bir k noktasında hesaplanacağını kontrol eder.
(set! num-bands 8)
Daha sonra Bloch dalga vektörlerinin (k noktaları) oluşturulmasıdır. Bu çeşitli kpoints ile kontrol edilir. Bunun için indirgenemez brillouin bölgesinin köşeleri gama,
X, M ve tekrar gama olarak adlandırıldı.
(set! k-points (list (vector3 0 0 0)
; Gamma
(vector3 0.5 0 0) ; X
(vector3 0.5 0.5 0) ; M
(vector3 0 0 0))) ; Gamma
Sürekli band yapısını görmek için aradaki k noktalarında bandların hesaplanması
sağlanır. Bunun için Doğrusal olarak ardışık noktaların her çifti arasında libctl ile
dört yeni nokta araya eklenir.
(set! k-points (interpolate 4 k-points))
Bu durumda 16 nokta belirlenir.
(#(0 0 0) #(0.1 0.0 0.0) #(0.2 0.0 0.0) #(0.3 0.0 0.0) #(0.4 0.0
0.0) #(0.5 0 0) #(0.5 0.1 0.0) #(0.5 0.2 0.0) #(0.5 0.3 0.0) #(0.5
0.4 0.0) #(0.5 0.5 0) #(0.4 0.4 0.0) #(0.3 0.3 0.0) #(0.2 0.2 0.0)
#(0.1 0.1 0.0) #(0 0 0))
93
Program içindeki bütün uzaysal vektörler basis-size uzunlukları için normalize olmuş
örgü yönlerinin temelinde tanımlanır.
Bundan sonraki aşama sistemin geometrisini oluşturmaktır. libctl ile okunan
geometrik nesneler (make type(property value 1) (property value 2)...) biçiminde
oluşturulur.Geometrik nesnelerin alt-sınıfları vardır: silindirler, küreler, bloklar.
(set! geometry (list (make cylinder
(center 0 0 0) (radius 0.2) (height infinity)
(material (make dielectric (epsilon 12))))))
Hesaplanan hücrenin boyutu belirlenir. 1x1 iki boyutta örgüyü verir.no-size sistemin
boyutluluğunu indirger.
(set! geometry-lattice (make lattice (size 1 1 no-size)))
Bu hücre çözünürlüğe göre kesiklidir. Küçük ızgaralanmış bölgeler daha net bilgi
verir. Bunun için 32x32 hesaplama ızgarası oluşturuldu.
(set! resolution 32)
Band yapısını hesaplamak için en basit yol (run) komutudur. İki boyutlu hesap için
bandlar TE ve TM kutuplu kiplere ayrılmıştır.( run-te ) ve ( run-tm)
Bu aşamadan sonra TM ve TE frekansları elde edilir.
Band yapısı hesaplandı ve her bir k noktasındaki özfrekanslar sağlandı. Alanların
nasıl göründüğünü veya dielektrik fonksiyonunu kontrol etmek için HDF dosya
çıktısı gerekir. HDF, çok boyutlu bir bilimsel veri için çift formattır, ve görüntüleme
programları ile okunabilir. HDF (hiyerarşik veri formatı) formatı içindeki çıktı
dosyaları ‘’.h5’’ile dosya isimlerinin sonuna eklenir. Birim hücre içindeki dielektrik
fonksiyon ‘’epsilon.h5’’dosyası içerine yazıldı. Dielektrik fonksiyonlardaki alanların
çıkışını almak için run fonksiyonunda daha fazla argumana ihtiyaç vardır. Örneğin,
(run-tm output-efield-z)
(run-te (output-at-kpoint (vector3 0.5 0 0) output-hfield-z output-dpwr))
Bu komut, sadece X noktasındaki TE için elektrik alan enerji yoğunluğunu ve
manyetik alanın z bileşenini; bütün k noktalarındaki TM bandları için elektrik alanın
z bileşenini verir.
Çıkış dosya ismi ‘’e.k12.b03.z.te.h5’’dir. 12.k noktasının (.k12) üçüncü bandı (.b03)
için elektrik alanın (e) TE (.te) sinin (.z) bileşenini için hesaplama yapılmıştır. Her
HDF5 dosyası çok katlı veri içeriyor. Bu durumda alanın gerçel ve sanal bölümlerini
(z.r ve z.i) ve alanların bileşenlerinin tamamını içerir.
94
Dielektrik fonksiyon epsilon.h5 dosyasında tanımlandığında, h5utils paketindeki
h5topng sayesinde bir PNG görüntüsüne dönüşebilir.
unix% h5topng -S 3 epsilon.h5
Ancak görüntü hatalı olduğundan (çubuk oval şeklinde) bunu düzeltmek
gerekir.mpb-data ile aynı alana ya da hacimle rectangular cell (dikdörtgensel hücre –
r), çoklu periyotlar (-m periods) ve değişmez bir değerle her bir yön içindeki birim
uzaklık başına çözünürlük değişmesi (-n resolution) yeniden ayarlanabilir.mpb-data
içindeki çıktılar h51s ile yeniden bu eklenen girdiler sağlanmış olur, ve
unix% h5ls epsilon.h5
h5topng ile tekrar dielektrik fonksiyonda görüntüleme gerçekleştirilir.
unix% h5topng epsilon.h5:data-new
grep programı ile foo.out dosyası içerisindeki TM ve TE frekansları için ayrı bir veri
oluşturulur. Oluşturulan metin virgülle ayrılmış olur.
unix% grep tmfreqs foo.out > foo.tm.dat
unix% grep tefreqs foo.out > foo.te.dat
Eldeki bu verilerle orjin programı ile TE ve TM band grafikleri çizilir.
Bandın üzerindeki elektrik alan dağılımı incelendiğinde alan örgüleri kiplerin
karakteristik özelliklerini tanımlar.
unix% mpb-data -r -m 3 -n 32 e.k11.b*.z.tm.h5
unix% h5topng -C epsilon.h5:data-new -c bluered -Z -d z.r-new e.k11.b*.z.tm.h5
-c bluered, renk tablosundaki mavi-kırmızı-beyazı kullanır, -z beyaz, -d dosyaların
tamamı için veri tabanını tanımlar, z.r-new ise mpb-data’ nın çıktısının z
bileşeninin gerçel bölümünü gösterir.
Girdi Değişkenleri
Fotonik band yapısıyla ilgili çeşitli parametreleri kontrol etmek için kurulan evrensel
değişkenler vardır.
Geometry: Simulasyonu yapılan yapıyı oluşturan geometrik nesneleri tanımlar.
Default-material: Geometrik listenin herhangi bir nesnesi içinde olmayan noktalar
için kullanılır.
Geometry-lattice: Hesaplanan hücrenin örgü boyutunu ve temel vektörleri tanımlar.
Örgü boyutu ilkel hücrenin boyutunu tanımlar.
95
Resolution: Örgü birimi başına görüntü ekranlarındaki hesaplanan ızgara
çözünürlüğünü tanımlar. Eğer ayrışma 3-vektör ise her bir yönelim için farklı
ayrışma tanımlanır, yoksa ayrışma sabittir.
Grid-size: Örgü yönlerinin her biri boyunca kesikli hesaplanan ızgaranın boyutunu
tanımlanır.
k–points: Ters örgü vektörlerinin temelinde tanımlanan bandları hesaplamak için
bloch dalga vektörlerini listeler.
Num-bands: Her bir k noktasındaki bandların sayısını (özvektörleri) hesaplar.
Basis1, basis2, basis3: Kristalin üç örgü yönü kartezyen temelinde tanımlanır. Bu
vektörlerin uzunluğunu tanımlamaz.
Basis-size: Temel-boyutun bileşenleri üç temel vektörün uzunluklarıdır.
Size: Temel vektörlerin birimleri içindeki örgünün boyutudur. Böylece, örgü
vektörlerinin gerçek uzunlukları elde edilir.
Run-te and run-tm: İki boyutta TE ve TM kutuplu olması için onların çözümlerini
elde etmede kullanılır. TE ve TM kutuplular xy düzlemindeki elektrik ve manyetik
alanları tanımlar.
96