çemberin analitik incelenmesi
advertisement
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
ÜN‹TE III.
ÇEMBER‹N
ANAL‹T‹K ‹NCELENMES‹
1.
G‹R‹fi
2.
ÇEMBER‹N DENKLEM‹
3.
MERKEZLER‹ OR‹J‹NDE, EKSENLER ÜZER‹NDE VEYA
EKSENLERE
T E ⁄ E T OLAN ÇEMBERLER‹N DENKLEM‹
4.
ÇEMBER‹N GENEL DENKLEM‹
5.
VER‹LEN ÜÇ NOKTADAN GEÇEN ÇEMBER‹N DENKLEM‹
6.
B‹R DO⁄RU ‹LE B‹R ÇEMBER‹N B‹RB‹R‹NE GÖRE DURUMLARI
7.
‹K‹ ÇEMBER‹N B‹RB‹R‹NE GÖRE DURUMU
8.
TE⁄ET VE NORMAL‹N DENKLEMLER‹
I. B i r çembere, üze rindeki bir noktada n çizilen te¤et ve nor malin denklemi
II. Bir çembere, d›fl›ndaki bir noktadan çizilen te¤et denklemi
9.
B‹R ÇEMBER‹N B‹R NOKTAYA GÖRE KUVVET‹
10. ‹K‹ ÇE MBE R‹N KUVVE T EKSEN‹
11. ÜÇ ÇEMBER‹N KUVVET MERKEZ‹
12. ÇEMBER‹N PARAMETR‹K DENKLEM‹
13. ÇEMBER‹N DÜZLEMDE AYIRDI⁄I BÖLGELER
ÇEfi‹TL‹ ÖRNEKLER
ÖZET
ALIfiTIRMALAR
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ III
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
☞
BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI
* Çember denklemini ve bu denklemin özeliklerini tan›yabilecek,
* Analitik düzlemde bir çemberin belirlenmesi için, gerekli flartlar› aç›klayabilecek
ve çemberin denklemini tan›yabilecek,
* Merkezinin koordinatlar› ile yar›çap uzunlu¤u verilen bir çemberin denklemini
yazabilecek,
* Merkezi orijinde olan ve yar›çap uzunlu¤u verilen çemberin denklemini
(merkezil çember denklemi) yazabilecek,
* Merkezleri orijinde, eksenler üzerinde veya eksenlere te¤et olan çemberlerin
denklemlerini örneklerle aç›klayabilecek,
* Genel denklemi verilen bir çemberin merkezinin kordinatlar›n› ve yar›çap uzunlu¤unu
bulabilecek,
* Çember üzerinde üç noktas› verilen çemberin denklemini yazabilecek ve bunlar›n
yar›çap uzunlu¤u ile merkezinin koordinatlar›n› bulabilecek,
* Verilen bir do¤ru ile bir çemberin birbirine göre durumlar›n› inceleyerek de¤me
noktalar›n› bulabilecek,
* Verilen iki çemberin birbirine göre durumlar›n› inceleyebilecek,
* Bir çembere, üzerindeki bir noktadan çizilen te¤et ve normalin denklemini
yazabilecek,
* Bir çembere d›fl›ndaki bir noktadan çizilen te¤et denklemlerini yazabilecek,
* Bir çemberin bir noktaya göre kuvvetini bulabilecek,
* ‹ki çemberin kuvvet ekseni denklemini yazabilecek,
* Üç çemberin kuvvet merkezini bulabilecek,
* Çemberin parametrik denklemlerini yazabilecek.
* Çemberin düzlemde ay›rd›¤› bölgeleri tesbit edebileceksiniz.
48
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
NASIL ÇALIfiMALIYIZ?
✍
* Çemberin analitik incelenmesini daha iyi anlayabilmesi için daha önce matematik
dersinde okudu¤unuz çember ve daire konusundaki tan›mlar›, temel kavramlar›
ve problemleri tekrar inceleyiniz.
* ‹fllenen konuyla, sorulan soru aras›nda ba¤›nt› kurarak çözülmüfl örneklerden
faydalanarak, hangi bilginin kullan›labilece¤ini tespit ediniz.
* Konuyla ilgili çok say›da örnek ve al›flt›rma çözünüz.
* Ünitedeki örnek ve al›flt›rmalar› çözünüz. Analitik düzlemde verilenleri
çizerek çal›fl›n›z.
* Geçmifl konular› tekrar ediniz.
* Ünitenin sonundaki al›flt›rma ve de¤erlendirme testini çözünüz, de¤erlendirme
testini cevap anahtar› ile karfl›laflt›r›n›z.
49
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
ÇEMBER‹N ANAL‹T‹K ‹NCELENMES‹
1. G‹R‹fi
Analitik düzlemde ayn› özelikteki noktalar birlefltirilirse, bazen bir do¤ru, bazen
de bir e¤ri meydana getirir. Her do¤runun bir denklemi oldu¤u gibi, her e¤rininde bir
denklemi vard›r.
❂
E¤rilerin denklemi ikinci dereceden ya da daha çok dereceden olabilir.
Verilen bir e¤rinin üzerindeki her noktan›n koordinatlar› taraf›ndan sa¤lanan
ba¤›nt›ya, e¤rinin denklemi denir.
Çember denklemi x ve y ye göre ikinci dereceden bir denklemdir. Bu bölümde
çember denklemini ve çemberin analitik incelenmesini görece¤iz.
2. ÇEMBER‹N DENKLEM‹
Düzlemde sabit bir noktaya eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n kümesine
(geometrik yerine) çember denir. Verilen sabit noktaya çemberin merkezi, eflit uzakl›¤a
da, çemberin yar›çap› denir.
Analitik düzlemde merkezi M a, b
y
ve yar›çap uzunlu¤u | MP | = r olan
çemberin denklemini bulal›m. (fiekil3.1)
(‹ki nokta aras›ndaki uzakl›k tan›m›ndan)
MP =
2
M(a,b)
x-a2+ y-b2
MP = x - a
2+
P(x,y)
2+
2
y-b
2
x
O
r2
x-a
y - b = elde edilir.
Bu ba¤›nt› çemberin denklemidir.
fiekil 3.1
➠
Aalitik düzlemde bir çemberin bilinmesi için, merkezinin koordinatlar›n›n ve
yar›çap uzunlu¤unun bilinmesi gerekir.
Denklemi x - a 2 + y - b 2 = r2 olan ve bu eflitli¤ini sa¤layan her P x, y noktas›,
merkezi M a , b ve yar›çap uzunlu¤u r olan çemberin üzerindedir.
Karfl›t olarak ,çember üzerinde verilen her P (x, y) noktas›
x - a 2 + y - b 2 = r2 çember denklemini sa¤lar.
50
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
ÖRNE K 1
Merkezinin koordinatlar› M(2, 3) ve yar›çap uzunlu¤u r = 5 birim olan çemberin
denklemini yazal›m. Ayr›ca P (1, 5) noktas›n›n bu çemberin üzerinde oldu¤unu gösterelim.
ÇÖZÜM 1
Genel olarak merkezi M(a, b) noktas› ve yar›çap uzunlu¤u r birim olan çemberin
denklemi,
x - a 2 + y - b 2 = r2 dir. Buna göre;
Merkezi M(2, 3) noktas› ve yar›çap uzunlu¤u r = 5 birim olan çemberin denklemi
x - 2 2 + y - 3 2 = 5 olur.
P (1, 5) noktas› verilen çemberin üzerinde olabilmesi için, P(1 , 5) noktas›n›n
koordinatlar› bu, çemberin denklemini sa¤lamas› gerekir.
x - 2 2 + y - 3 2 = 5 denkleminde x = 1 v
x-2 2 + y-3 2 = denkleminde
1 - 2 2+ x5 =- 31 2ve= y5 = 5 yaz›l›rsa
2
2
xx--22 2++ yy--33 2==55 denkleminde
1 - 2xx2==
+115ve
-ve3yy2 == 55 yaz›l›rsa,
denkleminde
yaz›l›rsa,
-1 2 + 2 2 = 5
2
2
2
2
11--22 2++ 55--33 2==55
-1 + 2 = 5
5 = 5 eflitli¤i elde edilir.
2
2
-1
2+ 2 2= 5
5
=
5
elde
edilir.
-1 + 2 = 5
Buna
P (1, 5) noktas›n›n
koordinatlar›n›n, çemberin denklemini sa¤l›yor.
55==göre
55eflitli¤i
eflitli¤i elde
eldeedilir.
edilir.
O hâlde, P noktas› çember üzerindedir.
3. MERKEZ‹ OR‹J‹NDE, EKSENLER ÜZER‹NDE VEYA EKSENLERE
TE⁄ET OLAN ÇEMBER‹N DENKLEM‹
I. Merkezi orijinde olan (merkezcil)
çemberin denklemi
y
Merkezi orijinde, [koordinat eksenlerinin
kesiflti¤i nokta O(0, 0 )] ve yar›çap uzunlu¤u r
birim olan çemberin denklemini yazal›m.
x
O
Çemberin genel denklemi olan,
x - a 2 + y - b 2 = r2 denkleminden
x - 0 2 + y - 0 2= r2 bulunur.
Buradan x2 + y2 = r2 denklemi elde edilir.
❂
➠
fiekil 3.2
Bu denkleme yar›çap uzunlu¤u r olan merkezcil çemberin denklemi denir.
Mer kezcil çembe rin denklemi
x 2 + y 2= r 2 dir.
(fiekil 3.2)
51
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
ÖRNEK 2: Yar›çap uzunlu¤u r = 5 birim ve merkezi orijinde olan çemberin
denklemini yazal›m.
ÇÖZÜM 2: M 0 , 0 ve r = 5 birim oldu¤undan,
x - a 2 + y - b 2 = r2 denkleminden, x - 0 2 + y - 0 2 = 52 ;
x2 + y2 = 25 olur.
II. Merkezi x ekseni üzerinde olan çemberin denklemi
Çemberin merkezi x ekseni üzerinde
oldu¤undan, a ≠ 0 ve b = 0 d›r. Yani
çemberin merkezi M (a , 0) olur. Yar›çap
uzunlu¤u r birim ise çemberin denklemi,
x - a 2 + y2 = r2 olur.
y
(fiekil 3.3)
ÖRNEK 3: Merkezi x ekseni üzerinde
4 noktas›nda bulunan ve yar›çap uzunlu¤u
r = 3 birim olan çemberin denklemini yazal›m.
Ç Ö Z Ü M 3: Çemberin merkezi x
ekseni üzerinde a = 4 ve b = 0 oldu¤undan
M (4, 0) d›r. r = 3 birim ise çemberin denklemi,
x
O
M(a,o)
fiekil 3.3
x - 4 2 + y2 = 9 olur.
III. Merkezi y ekseni üzerinde olan çemberin denklemi
Çemberin merkezi y ekseni üzerinde
oldu¤undan, a = 0 ve b ≠ 0 d›r. Çemberin
merkezi M(0 , b) olur. Bu çemberin yar›çap
uzunlu¤u r birim ise çemberin denklemi,
x2 + y - b 2 = r2 olur.
(fiekil 3.4)
Ö R N E K 4:
Merkezi y ekseni
üzerinde 2 noktas›nda bulunan ve yar›çap
uzunlu¤u 6 birim olan çemberin denklemini
yazal›m.
ÇÖZÜM 4 : Çemberin merkezi y
ekseni üzerinde oldu¤undan M(0, 2) dir. r = 6
birim ise çemberin denklemi,
x2 + y - 2 2 = 36 olur.
52
y
{
M(o,b)
O
fiekil 3.4
x
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
IV. x eksenine te¤et olan çemberin denklemi
Çember x eksenine te¤et oldu¤undan
| b | = r dir. Çemberin merkezi M (a , r ) ve
yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan çemberin
denklemi
y
x - a 2 + y - r 2 = r2 olur. (fiekil 3.5)
M(a,r)
Ö R N E K 5: Çemberin merkezi
M (-3 , 2) ve x eksenine te¤et olan çemberin
denklemini yazal›m.
O
x
Ç ÖZÜM 5: Çemberin merkezi
M(-3, 2) ve x eksenine te¤et oldu¤undan
| b | = r = 2 birimdir. Buna göre çember
denklemi,
x - a 2 + y - b 2 = r2 ifadesinden,
fiekil 3.5
x + 3 2 + y - 2 2 = 4 olur.
V. y eksenine te¤et ola n çemberin denklemi
Çember y eksenine te¤et oldu¤undan
| a | = r dir. Çemberin merkezi M (r , b ) ve
yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan çemberin
denklemi
x - r 2 + y - b 2 = r2 olur.
y
(fiekil 3.6)
ÖRNEK 6: Çemberin merkezi M(3 , 1)
ve y eksenine te¤et olan çemberin denklemini
yazal›m.
ÇÖZÜM 6 : Çemberin merkezi M(3 , 1)
ve y eksenine te¤et oldu¤undan | a | = r = 3
birimdir.
M(r,b)
O
x
fiekil 3.6
Buna göre çember denklemi,
x - a 2 + y - b 2 = r2 ifadesinden
x - 3 2 + y - 1 2 = 9 olur.
53
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
VI. Her iki eksene te¤et olan çember in denklemi
Eksenlere I. ve III. bölgede te¤et olan
çemberlerin merkezi, y = x denklemiyle
verilen I. aç›ortay do¤rusu üzerindedir.
Eksenlere II. ve IV. bölgede te¤et olan çemberlerin merkezleri de y = - x olan,
II. aç›ortay do¤rusu üzerinde bulunur.
(fiekil 3.7)
y
M2
r M1
O
M1 merkezli çemberde; M1(r, r) ve
yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan
çemberin denklemi:
M3
x
r
M4
x - r 2 + y - r 2 = r2 olur.
fiekil 3.7
M2 merkezli çemberde; M2(-r , r) ve yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan
çemberin denklemi :
x + r 2 + y - r 2 = r2 olur.
M3 merkezli çemberde; M3 (-r , - r) ve yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan
çemberin denklemi:
x + r 2 + y + r 2 = r2 olur.
M4 merkezli çemberde; M4 (r , - r) ve yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan
çemberin denklemi:
x - r 2 + y + r 2 = r2 olur.
ÖRNEK 7: Merkezi 2x - y - 4 = 0
do¤rusu üzerinde bulunan ve her iki eksene
I. bölgede te¤et olan çemberin denklemini
yazal›m.
ÇÖZÜM 7: Çember her iki eksene
te¤et ve I. bölgede oldu¤u için çemberin
merkezi M(r , r) dir. (fiekil 2. 8) Çemberin
merkezi 2x - y = 0 olan do¤ru üzerinde
oldu¤undan, koordinatlar› bu denklemi
sa¤lar. 2r - r = 4 , r = 4 birim olur. Buna
göre çember denklemi:
x - a 2 + y - b 2 = r2 ifadesinden
y - b 2 = r2 ifadesinden
54
x - 4 2 + y - 4 2 = 16 olur.
y
M
O
2
x - 4 2 + y - 4 2 = 16- 4 olur.
fiekil 3.8
x
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
4. ÇEMBER‹N GENEL DENKLEM‹
Merkezi M(a , b) ve yar›çap uzunlu¤u r birim olan çemberin denklemi,
x - a 2 + y - b 2 = r2 fleklindedir. Parantezler aç›l›r ve gerekli düzenlemeler yap›l›rsa;
x2 + y2 - 2ax - 2by +a2 + b2- r2 = 0 elde edilir. -2a= D, -2b= E ve a2 + b2 - r2= F
al›narak, x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 çemberin genel denklemi bulunur.
Bu denklemden, çemberin merkezinin koordinatlar›:
D = 2a ise a= - D
2
❂
b = - E ve M - D , - E olur.
2
2
2
2
2
2
2
F = a2+b2- r2 ; F = - D + - E - r2 ise F = D + E - r2 dir.
2
2
4
4
2
2
Buradan yar›çap uzunlu¤u; r2 = D + E - F ise, r = 1 D2 +E2 - 4F birim olur.
4
4
2
;
E = -2b
ise
Verilen x2 + y2 + Dx +Ey + F = 0 çember denkleminde, D2 + E2 - 4F ifadesine
çemberin diskriminantı denir.
a. D2 + E2 - 4F > 0 ise, çember denklemi reel çemberi gösterir.
a. D22 + E22 - 4F > 0 ise, çember denklemi reel çemberi gösterir.
a. D
E - 4F >
0 ise, çember
reel ve
çemberi
D denklemi
, - EE noktas›
yar›çapgösterir.
uzunlu¤u,
Bu +çemberin
merkezi
M -D
Bu çemberin merkezi M - D
noktas› ve yar›çap› uzunlu¤u,
2 , - 2E
Bu çemberin
merkezi M - 2 , - 2 noktas› ve yar›çap› uzunlu¤u,
2
2
r = 11 D 22 +E 22 - 4F birimdir.
r = 12 D2 +E2 - 4F birimdir.
r = 2 D +E - 4F birimdir.
2
b. D22 + E22 - 4F = 0 ise, çember denklemi bir nokta gösterir.
b. D + E - 4F = 0 ise, çember denklemi bir nokta gösterir.
Bu nokta çemberin merkezi olup M - D , - E dir.
Bu nokta çemberin merkezi olup M - D2 , - E2 dir.
2
2
c. D22 + E22 - 4F < 0 ise, çember denklemi sanal bir çemberi gösterir.
c. D + E - 4F < 0 ise, çember denklemi sanal bir çemberi gösterir.
Böyle bir çember, koordinat düzleminde çizilemez.
Böyle bir çember, koordinat düzleminde çizilemez.
➠
Ax2 + Bxy + C y2 + Dx + Ey + F = 0 biçiminde verilen denklemler hem x, hem de
y ye göre ikinci dereceden bir denklemdir. Bu denklemin bir çember denklemi
olabilmesi için; A= C ≠ 0, B = 0 ve D2+E2 - 4F > 0 olmal›d›r.
Verilen x2+ y2 + Dx + Ey + F = 0 çember denkleminde;
a. F < 0 ise denklem bir çember belirtir.
b. D = 0 ise çemberin merkezi y ekseni üzerindedir.
c. E = 0 ise çemberin merkezi x ekseni üzerindedir.
d. D = 0 ve E = 0 ise, çemberin merkezi orijindedir.
55
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
ÖRNEK 8: x2 + y2 - 8x + 6y + 15 = 0 olan çemberin merkezinin koordinatlar›n›
ve yar›çap›n›n uzunlu¤unu bulal›m.
ÇÖZÜM 8: Çember denkleminde, D = -8, E = 6 ve F = 15 tir. Buna göre,
D ise, a = - -8
Çemberin
-8 = 4 tür. b = - E
E ise, b = - 66 = - 3 tür.
Çemberin merkezi
merkezi :: aa == -- D
22 ise, a = - 22 = 4 tür. b = - 22 ise, b = - 22 = - 3 tür.
O
O halde,
halde, M
M 44 ,, -- 33 olur.
olur.
Çemberin
yar›çap›n›n
uzunlu¤u:
Çemberin yar›çap›n›n uzunlu¤u:
2
2
2
2
rr == 11 D
2 + E 2- 4F ise, r = 1
1 -8 2 + 62 - 4 15 =1 1 64 +36 - 60
22 D + E - 4F ise, r = 22 -8 + 6 - 4.15 = 2 2 64 +36 - 60
rr == 11 40
= 10 birim olur.
22 40 = 10 birim olur.
ÖRNEK 9
Afla¤›daki denklemlerden hangisinin analitik düzlemde bir çember belirtti¤ini
bulal›m.
a. x2 + y2 + 3xy + 2x + 3y - 12 = 0
b. 3x2 + 4y2 - 25 = 0
c. x2 + y2 - 2x + 4y + 5 = 0
d. x2 + y2 + 3x + y + 9 = 0
e. x2 + y2 + 2x - 6y - 15 = 0
ÇÖZÜM 9
a. x2+ y2 + 3xy + 2x + 3y - 12 = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtmez.
Çünkü bu denklemde xy li terim vard›r.
b. 3x2 + 4y2 - 25 = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtmez. Çünkü
bu denklemde x2 ve y2 nin katsay›lar› farkl›d›r.
c. x2+y2 - 2x + 4y + 5 = 0 denklemi , analitik düzlemde bir çember belirtmez.
Çünkü, D2 + E2- 4F =
-2 2 + 42 - 4. 5 = 4 +16 - 20 = 0 oldu¤undan bu bir noktad›r.
+16 - 20 = 0 Bu bir noktad›r. Bu noktan›n koordinatlar›:
e b= - D = - 4 = - 2 olup M 1 , -2 dir. D
a== - -2 = 1 dir. b = - E = - 4 = - 2 dir.
2
2
2
2
2
2
M 1 , -2 olur.
d. x2+ y2 + 3x + y + 9 = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtmez.
Çünkü, D2 + E2 - 4F = 32 + 12 - 4 .9 = 9 + 1 - 36 = - 26 < 0 d›r.
56
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
e. x2 + y2 + 2x - 6y - 15 = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtir.
Bu çemberin merkezi,
a = - D = - 2 = -1 ve b= - E - -6 = 3 tür.
2
2
2
2
O halde, M -1 , 3 olur.
Yar›çap uzunlu¤u : r = 1 D2+E2 -4F
ifadesinden
r = 1 2 2 + -6 2 - 4 -15
2
2
r= 1 4 + 36 + 60 = 1 100 = 10 = 5 birim olur.
2
2
2
5. VER‹LEN ÜÇ NOKTADAN GEÇEN ÇEMBER‹N DENKLEM‹
Çemberin geçti¤i üç nokta A(x1 , y1), B(x2 , y2) ve C(x3 , y3) olsun.
Bu üç noktadan geçen bir çember denklemini yazabiliriz.
Çemberin genel denklemi x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 oldu¤undan ve A(x1 , y1)
noktas› çember üzerinde oldu¤undan ,
x21 + y21 + Dx1 + Ey1 + F = 0
(I.)
B x 2 , y 2 noktas› çember üzerinde oldu¤undan
x22 + y22 + Dx2 + Ey2 + F = 0
(II.)
C x 3 , y 3 noktas› çember üzerinde oldu¤undan
x23 + y23 + Dx3 + Ey3 + F = 0
(III.)
I., II. ve III. denklem sisteminden D, E ve F bilinmeyenleri bulunarak çember denklemi bulunur.
çember denklemi bulunur.
❂
Bu denkleme, köflelerinin koordinatlar› A x1 , y1 , B x2 , y2 ve C x3 , y3
olan üçgenin çevrel çemberinin denklemi denir.
ÖRNEK 10 A(0 , -4),
B(0 , 4) ve C(4 , 0) noktalar›ndan geçen çemberin
denklemini bulal›m.
ÇÖZÜM 10 Çemberin genel denklemi x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 d›r.
Çemberin genel denklemi x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 dir.
A(0 , - 4) noktas› için, 0 2 + -4 2 + D 0 + E -4 + F = 0
0 + 16 + 0 - 4E + F = 0
-4E + F + 16 = 0 d›r.
-4E
(I.)
2 + F2 + 16 = 0 dir.
B (0 , 4) noktas› için, 0 + 4 + D 0 + E 4 + F = 0
0 + 16 + 0 + 4E + F = 0
4E + F + 16 = 0 d›r.
(I.)
II.
57
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
C(4 , 0) noktas› için, 4 2+ 0 2+ D 4 + E 0 + F = 0
16 + 0 + 4D + 0 + F = 0
I. ve II. denklemlerinin çözümünden;
+
4D + F + 16 = 0 d›r.
I. ve III. denklemlerinin çözümünden;
-4E
+-4Ee
F+ F+ ++
16
=+=
0+160F=+016 = 0
F16
-4Ee
-4Ee
4E
FF++16
=
0160F=+016 = 0
F16
+=+
4E++4E
4E
2F2F++2F
3232=
+=032
2F
0 =+032 = 0
FF==- F-1616
olur.
= - olur.
16
F =olur.
- 16 olur.
-4E + F + 16 = 0
+4D + F + 16 = 0
-4E - 4D = 0
E = -D olur.
Bu de¤erler (I. ) denklemde uygulan›rsa
- 4E = 0 oldu¤undan
III.
-4E - 16 + 16 = 0
E = 0 d›r ve D = 0 olur.
O halde, çemberin denklemi x2+ y2 - 16 = 0 olur.
6. B‹R DO⁄RU ‹LE B‹R ÇEMBER‹N B‹RB‹R‹NE GÖRE DURUMLARI
Düzlemde bir çember ile bir do¤ru verildi¤inde üç durum vard›r. Analitik
düzlemde bir d do¤rusu ile merkezi M(a, b) ve yar›çap uzunlu¤u r birim olan bir
çember alal›m. Çember merkezinin d do¤rusuna dik olarak uzakl›¤› l olsun. Bu üç
durumu gösterelim.
y
y
y
d
d
d
M(a,b)
M(a,b)
M(a,b)
H
H
B
H
A
O
x
l>r
Do¤ru çemberi kesmez
fiekil 3.9
O
x
l=r
Do¤ru çembere te¤ettir
fiekil 3.10
O
x
l<r
Do¤ru çemberi farkl› iki noktada keser
fiekil 3.11
Analitik düzlemde denklemi y = mx + n olan do¤ ru ile denklemi x2 + y2 = r 2
olan çemberin kesim noktalar›n› bulal›m.
Denklemi y = mx + n olan do¤ru ile denklemi x2 + y2 = r2 olan çemberin
58
2 - r2 = 0 denklemini çözersek,
x2 + mx + nortak
kesim noktalar›n› bulmak için bu denklemlerin
çözümü yap›l›r.
2 + mx + n 2 - r2 = 0 denklemini çözersek,
x
2
2
2
2
2
2
x + m x + 2mnx + n2 - r2 = 0
x + mx + n - r = 0 denklemini çözersek,
2
2
2
x 2 + mx
+ n - r = 0 denklemini çözersek,
x2 + m2x2 + 2mnx + n2 - r2 = 0
x + m2x2 + 2mnx + n2 - r2 = 0
x2 1 + m2 +2mnx + n2 - r2 = 0
x22 + m2x22 + 2mnx + n22 - r22 = 0
x2 1 + m2 +2mnx + n2 - r2 = 0
x 1 + m +2mnx + n - r = 0
Bu denklemin köklerini bulursak,
x2 1 + m2 +2mnx + n2 - r2 = 0
Bu denklemin köklerini bulursak,
Bu denklemin köklerini bulursak,
Bu denklemin köklerini bulursak,
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
Δ′= b′ 2 - ac = m2n2 - 1 + m2 n2 - r2 denklemini sadelefltirirsek
Δ = r2 m2 + 1 - n2 olur.
x1,x2 =
❂
1 + m2 r2 - n2
n + 1+m2 r2 - n2
ve
y
,
y
=
bulunur.
1
2
1 + m2
1 + m2
ve B x2, y2 noktalar› do¤ru ile çemberin kesim noktalar›d›r.
-mn ±
A x1, y1
r2 m 2 + 1 - n 2 = 0
ifadesine, de¤me flart› denir.
a. r2 m2 + 1 - n2 < 0 ise, do¤ru çemberi kesmez. (fiekil 3. 9)
b. r2 m2 + 1 - n2 > 0 ise, do¤ru çemberi keser ve iki kesim noktas› vard›r. (fiekil 3.11)
c. r2 m2 + 1 - n2 = 0 ise, do¤ru çembere te¤ettir. (fiekil 3.10)
x2 + y2 = r2 çemberine, y = mx + n do¤rusu te¤et ise bu te¤etin de¤me noktas›;
H x0, y0 olsun Δ′ = 0 oldu¤undan,
x0 = -mn d›r. y0 = n
dir.
1 + m2
1 + m2
2
Ayr›ca ; r2 1 + m2 - n2 = 0 oldu¤undan, 1+ m2 = n2 dir.
r
2
2
Buradan ; x0 = -mn
= -rnm d›r. y0 = n2 = rn dir.
n2
n
r2
r2
2
2
O halde, de¤me noktas› H - r nm , rn olur.
ÖRNEK 11: y = x + 3 do¤rusu ile x2 + y2 + 6x - 2y + 5 = 0 çemberi veriliyor.
Do¤ru ile çemberin kesim noktalar›n› bulal›m.
ÇÖZÜM 11: Verilen do¤ru ile çemberin kesim noktalar›n› bulmak için, bu
denklemlerin ortak çözümü yap›l›r.
x2 + x + 3 2 + 6x - 2 x + 3 + 5 = 0 Bu denklemi sadelefltirirsek
xx22++xx22++6x
6x ++ 99 + 6x - 2x - 6 + 5 = 0
2x2 + 10x + 8 = 0 veya x2 + 5x + 4 = 0 olur. Bu denklemi çözersek,
Δ = b2 -4ac = 5 2 - 4 1 4 = 25 - 16 = 9
-5 ±-53-5
± 3± 3
-5-5
-=3--83= -8
-5
++3+3 3==-2
x1 xx21x=x1,2 x=2 = oldu¤undan,
x1 =x1-5x=1--5
= --8=4 -=tür.
vevexx22x==
dir.
oldu¤undan,
oldu¤undan,
=3 -5
4- 4 ve
=-2-2==-=-11- 1dir.
dir.
2=
2 2 2
2 2 22 2 2
22 2
22 2
Bu de¤erler do¤ru denkleminde uygulan›rsa,
y1 = x1 + 3 ;
y1 = -4 + 3 ;
y1 = -1 dir.
y2 = x2 + 3 ;
y2 = -1 + 3 ;
y2 = 2 dir.
O halde, do¤ru ile çemberin kesim noktalar›
A -4 , -1 ve B -1, 2 olur.
59
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
7. ‹K‹ ÇEMBER‹N B‹RB‹R‹NE GÖRE DURUMLARI
Denklemleri; x2+ y2 + D1x + E1 y + F1 = 0 ve x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0 olan
çemberlerin birbirine göre durumlar›n› incelerken, bu çember denklemlerinin
oluflturdu¤u denklem sisteminin çözümü yap›l›r.
x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0
+ x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0
D1- D2 x + E 1- E2 y + F1- F2 = 0 denklemi elde edilir.
Bu denklemlerden x ya da y çekilerek çember denklemlerinin birinde yerine
yaz›l›rsa, ikinci dereceden bir denklem meydana gelir.
Bu denklemi çözerken, önce denklemin diskriminant›n›n de¤eri bulunur. Buna göre;
a. Δ < 0 ise, çemberler kesiflmezler. Ortak noktalar› yoktur.
b. Δ = 0 ise, çemberler birbirine te¤ettir.
c. Δ > 0 ise, çemberler A ve B gibi farkl› iki noktada kesiflir.
❂
A ve B noktalar› verilen iki çemberin kesim noktalar› olsun. A ve B noktalar›ndan
geçen baflka çemberler de vard›r. Bütün bu çemberler, bir çember demeti oluflturur.
Bu çemberlerin denklemleri k∈R olmak üzere,
x2 + y2 + D1x + E 1y + F1 + k x2 + y2 + D2x + E2y + F 2 = 0 d›r.
ÖRNEK 12
x2 + y2 = 4 ve x2 + y2 - 2x - 5 = 0 çemberlerinin kesim noktalar›n›n koordinatlar›n›
bulal›m.
Ç ÖZÜM 12
Verilen çember denklemlerinin meydana getirdi¤i denklem sisteminin çözümü
yap›l›rsa,
x2 + y2 = 4
x2 + xy22 += y42 = 4
2 1
y2 4= 4
22 =
- -11 - 2++1yy+
+=y24 = 4
22 2
2
y = 4 - 1 15
= 15
4- 1 =415
y2 = y42-=14 =
4 44 4
y = ±15 15 dir.
15 dir.
y = ±y = ± 2dir.
2 2
O halde verilen iki çemberin kesim noktalar› : A - 1 , - 15 ve
2
2
1
15
1 1, 15
O
OOhalde
halde
verilen
ikiikiçemberin
çemberin
kesim
noktalar›
A
veve B
BB-- 21
olur.
haldeverilen
verileniki
çemberinkesim
kesimnoktalar›
noktalar›:: A
: A-- 21- 1,, --, - 21515ve
- , , 1515 olur.
olur.
22 22
2 2 22 2
2
2
x2 + y2 - 4x =+x02y +-xy2224+-=y4022=- 04 = 0
y - 45 ==00
2x± +
x2±+±
22± ±
+ x2 + y2 ±± 2x
5 xy=2222x
0 ±
xy2±+
± x +±+yy2x
± 2x
2x5 ±±= 505 ==00
2x
+
1
=
0
2x + 1 = 0 2x +2x1 =+ 01 = 0
2x + 1 = 0
2x = - 1 2x =2x- 1=2x
- 1==--11
2x
x = x- 1= - 1dir. dir.
1
x = - 1 dir.
2 xx2==-- 1 dir.
2
22 dir.
60
B -1,
2
15
2
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
❂
8. TE⁄ET VE NORMAL‹N DENKLEMLER‹
Bir do¤ru ve bir çember verildi¤inde, do¤ru ile çemberin bir tek ortak noktalar›
varsa bu do¤ruya, çemberin te¤eti ve ortak noktaya da te¤etin de¤me noktas› denir.
Bir te¤ete de¤me noktas›nda dik olan do¤ruya da çemberin bu noktadaki normali denir.
I. Bir çembere üzerindeki bir noktadan çizilen te¤et ve nor malin denklemi
a. Merkezinin koordinatlar› M(a , b) ve
çember üzerindeki P(x1, y1) noktas›ndan çizilen
te¤et ve normalin denklemini yazal›m.
(fiekil 3.12)
y
P(x1, y1)
M(a,b)
Normalin denklemi
(fiekil 3.12) deki çembere üzerindeki
P(x1 , y1) noktas›ndan çizilen te¤etin e¤imi
mT ve normalin e¤imi de mN olsun.
Normalin e¤imi: mN = tan α =
α
O
x
y1 - b
d›r.
x1 - a
fiekil 3.12
Normalin denklemi P(x1 , y1) noktas›ndan geçti¤inden
Normal do¤rusunun denklemi
y - y1 =
x - x1 y1 - b - y - y1 x1- a
y1 - b
x - x1 olur.
x1 - a
= 0 d›r.
Te¤etin denklemi
Te¤et de¤me noktas›nda normale dik oldu¤undan te¤etin e¤imi,
x -a a
mT =m-T =1 - x1 -dir.
Te¤et
do¤rusu
P x1P, yx1 ,noktas›ndan
geçti¤inden,
dir.
Te¤et
do¤rusu
y1 noktas›ndan
geçti¤inden,
y1 - by - b
x -a
y- y1 = - 1
x - x1 veya x- x1 x1- a + y - y1 y1- b = 0 fleklinde yaz›labilir.
y1 - b
Bu denklem çemberin yar›çap›n›n uzunlu¤u kullan›larak,
(x1 - a) (x - a) + (y1 - b) (y - b) = r2 fleklinde de yaz›labilir.
ÖRNEK 13: Merkezinin koordinatlar› M (1, 2) olan çemberin üzerindeki
P(0, 4) noktas›ndan çizilen te¤et ve normalin denklemini yazal›m.
ÇÖZÜM 13: Te¤etin denklemi; (x - x1) (x1 - a) + (y- y1) (y1 - b) = 0 oldu¤undan
(x - 0) (0 - 1) + (y - 4) (4 - 2) = 0; - x + 2y - 8 = 0 veya x - 2y + 8 = 0 olur.
Normalin denklemi; (x - x1) (y1 - b) - (y - y1) (x1 - a) = 0 oldu¤undan
(x - 0) (4 - 2) - (y - 4) (0 - 1) = 0 dan; 2x + y - 4 = 0 olur.
61
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
b. Çember denklemi x2+ y2 + Dx + Ey + F = 0 fleklinde ise çember üzerindeki
P (x1, y1) noktas›ndan çizilen te¤et ve normalin denklemini yazal›m.
Denklemi x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 olan çemberin merkezinin koordinatlar›
M a , b ise, a= - D ve b= - E dir. Yar›çap uzunlu¤u da r = 1 D2 +E 2- 4F dir.
2
2
2
a. fl›kk›ndaki denklemlerde gerekli ifllemler yap›ld›¤›nda,
Te¤et denklemi : x1x + y1y + D x1 + x + E y1 + y + F = 0 olur.
2
2
D
E
Normalin denklemi : x1 +
y+
- y1 + E x + D = 0 olur.
2
2
2
2
ÖRNEK 14: Denklemi x2+ y2 - 2x - 6y + 5 = 0 olan çember ile bu çember
üzerinde P(3 , 4) noktas› veriliyor. Bu çemberin P(3 , 4) noktas›ndaki te¤etin ve
normalin denklemini yazal›m.
ÇÖZÜM 14: Denklemi x2 + y2 - 2x - 6y + 5 = 0 olan çember ile çember
üzerindeki nokta P(3 , 4) oldu¤undan,
Te¤etin denklemi : x1x + y1y + D x1+ x +E y1 + y + F = 0 ifadesinden,
2
2
-2
-6
-2
-6
y 5+5
= =0
0
3x +3x4y+ +4y + 3 +3x++x + 4 +4y+ +
2 ?
2 2
3x++4y
4y--33--xx -- 12
12 -- 3y
3y ++ 55 == 00
3x
2x + 4 - 0 = 0 olur.
2x + y - 10 = 0 olur.
Normalin denklemi : x1 + DNormalin
y+E
2
2
-2
-6
y +3 + -2 3+
2
2 2
DD =y0+ifadesinden,
E - y +EE x +D =E 0 ifadesind
-Normalin
y1 + E : xxdenklemi
denklemi
1++
1y +
: x12+ D
- y21 + x +ED =
2
2
2
Normalin denklemi :2x1 + D2 2 y + E
-2 y1 + 2 x +
2
2
2
-6
-2
-6= 0
-2-6
4y ++ -6-2 x- +6 + -6
-2
3 + 22
y-2+2 2 -x-66++ 2 = x0-6+
= -2
0
- 26 +
=0
23 +
2y +
2x +
2
3 - 1 y - 3 3- - 41 - 3y - x32- -1 4 =- 30 x2 - 1 = 0 2
2 y - 3 - x2- 1y -=330 -- 1x -y1- =3 0- 4 - 3 x - 1 = 0
2y - 6 - x - 12y=-06 2- xy--13=-0x - 1 = 0
2y2y
- 6- -6x- -x1- =1 0= 0
x - 2y + 7 =x0- 2y
olur.
+ 7 = 0 olur.
x - 2y + 7 = 0 olur.
c. Çember denklemi x2 + y2 = r2 fleklinde olsun. x2 + y2 = r2 çemberine
üzerindeki P (x1 , y1) noktas›ndan çizilen te¤etin denklemi x1x + y1 y = r2 dir.
x2 + y2 = r2 çemberine üzerindeki P (x1 , y1) noktas›ndan çizilen normalin
denklemi : x1y - y1 x = 0 olur.
62
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
ÖRNEK 15: Denklemi x2 + y2 = 25 olan çembere üzerindeki P(3,4)
noktas›ndan çizilen te¤etin ve normalin denklemini yazal›m.
ÇÖZÜM 15: Denklemi x2 + y2 = r2 olan çemberin üzerindeki P(x1,y1)
noktas›ndaki te¤etin denklemi: x1x + y1y = r2 oldu¤undan, 3x + 4y = 25 olur.
Normalin denklemi : x1y - y1x = 0 oldu¤undan 3y- 4x = 0 olur.
II. Bir çembere d›fl›ndaki bir noktadan çizilen te¤et denklemleri
a. Çember denklemi x - a 2 + y - b 2 = r 2 ve d›fl›ndaki nokta
Te¤et denklemleri
P x 1 , y 1 olsun.
y = mx + n fleklindedir. (fiekil 3.13) P x1 , y1 noktas›
te¤et denklemini sa¤lad›¤›ndan
y1 = mx1 + n ve n = y1 - mx1 olur. (I.)
Çemberin merkezi olan M(a , b) noktas›n›n te¤ete olan uzakl›¤› r birim ise,
r=
ma- b + n
veya
1+m2
ma- b + n 2 = r2 1 + m2
(I.) ile (II.) denklemleri ortak çözülürse,
2
(II.) fleklinde yaz›l›r.
y
2
ma- b + y1 - mx1 = 1+m r2
denklemi bulunur.
Bir bilinmeyenli bu ikinci derece
denklemi çözülürse m1 ve m2 de¤erleri
bulunur. Bu de¤er (1) de yerine konursa n1
ve n2 de¤erleri bulunur.
A
M(a,b)
P(x1, y1 )
O
x
B
Böylece te¤et denklemleri;
t1 : y = m1x + n1 ve
t2: y = m2x + n2 fleklinde olur.
fiekil 3.13
ÖRNEK 16
x - 3 2 + y - 3 2 = 4 çemberi ve bu çember d›fl›nda P -1 , 3 noktas› veriliyor.
P noktas›ndan geçen bu çembere te¤et olan do¤rular›n denklemlerini yazal›m.
ÇÖZÜM 16: fiekil 3.14’ te, P noktas›ndan çembere çizilen te¤et denklemleri
y = mx + n dir. P(-1 , 3) oldu¤undan, 3 = - m + n ise, n = m + 3
(I)
Çemberin Merkezi M (3 , 3) noktas›n›n, bu te¤etlere olan uzakl›¤› yar›çapa eflit
3m-3+n
olaca¤›ndan, 2 =
ise, 4 1 + m2 = 3m - 3 + n 2 dir.
2
1+m
63
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
Bu eflitlikte (I ) deki ba¤›nt› yerine konursa,
22
44 11 1+++m
3m
-- 3-33+++m
+++332322222
2=
3m
mm
mm
===
2 22
3m
m
3m
-3- 3+
++
++
3m
3
m
4 1+
1++
m
=
3m
m
+
3 33
4 414
mm
=
22
22
44411 1+++m
=
4m
2
2
mm
2 22===
2 22
m
=4m
4m
4m
1++
4m
4 414 1+
mm
22 = 4m22
444+++4m
=2= 16m
2
4m
16m
2 22
2 22
4m
16m
4+
16m
4 ++
4m
=
16m
412m
4m
====
16m
224m
4
0
2
12m
00
2 22----444
12m
4===
=
12m
12m
12m
-22 4-2 1=
0=00
4443m
2
3m
==0000
2 2----111
3m
3m
3m
4 443m
- 1 1===
00
22 = 1
1
m
1
2
m2m
1311 ise
m2=2===
=
mm
33
3 33
1 = ± 3 olur. Buradan ;
m=±
3
3
mm11==-- 33 ve
ve mm2 2== 33 dür.
tür.
33
33
y
A
M(3,3)
P(-1,3)
t1
B
x
O
n = m+3 eflitli¤inden.
n1 = - 3 + 3 = - 3 + 9
3
3
ve n2 = 3 + 9 tür.
3
fiekil 3.14
Te¤et denklemlerini yazarsak t1 : y = - 3 x - 3-9 ve t2 : y = 3 x + 3 +9 tür.
3
3
3
3
b. Çember denklemi; x2+ y2 +Dx + Ey + F = 0 ve d›fl›ndaki bir nokta P(x1 , y1) olsun.
P(x1 , y1) noktas›ndan geçen e¤imi m ve çembere te¤et olan do¤runun denklemi
y - y1 = m (x - x1) dir.
y = mx - mx1 + y1 olur. Bu da x2+ y2 + Dx + Ey + F = 0 çemberinde ortak
çözüm yap›larak x veya y den biri yok edilir. Do¤ru çembere te¤et oldu¤undan denklemin
diskriminant› s›f›r olmal›d›r. Burada elde edilecek m1 ve m2 yard›m›yla n1 ve n2
bulunur. Böylece çembere te¤et olan çember d›fl›ndaki P(x1, y1) noktas›ndan geçen
te¤etlerinin denklemleri yaz›lm›fl olur.
ÖRNEK 17: x2 + y2 - 4x - 4y - 1 = 0 çemberine d›fl›ndaki P (0, 6) noktas›ndan
çizilen te¤etlerinin denklemlerini yazal›m.
ÇÖZÜM 17: P(0, 6) noktas›ndan geçen e¤imi m olan do¤runun denklemi
y - y1 = m (x - x1) den y - 6 = m (x - 0) ise y = mx + 6 d›r.
x2+ y2 - 4x - 4y - 1 = 0 denkleminde yerine konulursa
64
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
x2+ (mx + 6)2 - 4x - 4(mx + 6) - 1 = 0
x2+ m2 x2+ 12mx + 36 - 4x - 4mx - 24 - 1 = 0
y
m2+1 x2 +2 4m - 2 x + 11 = 0
Δ′ = b′ - ac ifadesinden
Δ′ = 4m - 2 2 - 11 1 + m2 ; Δ′ = 0 oldu¤undan,
16m2 - 16m + 4 - 11 - 11 m2 = 0 d›r. sadelefltirirsek,
B
M(2,2)
2
5m - 16m - 7 = 0 olur. Bu denklemi çözersek,
Δ′ = 64 + 35 = 99
t1
A
P(0,6)
x
O
m1,m2 = 16 + 99 buradan
5
16
3
11
m1 =
ve m2 = 16 + 3 11 olur.
5
5
fiekil 3.15
P(0 , 6) noktas›ndan geçen verilen çembere te¤et olan te¤etlerinin denklemleri:
t 1: y - 6 = 16 - 3 11 (x - 0) ise, y = 16 - 3 11 x + 6 olur.
5
5
16
+
3
11
16
+ 3 11 x + 6 olur. (fiekil 3.15)
t 2: y - 6 =
(x - 0) ise, y =
5
5
c. Çember denklemi x2 + y2= r 2 ve
d›fl›ndaki nokta P(x1 , y1) olsun.
P noktas›ndan çizilen te¤etlerinin
denklemlerini örnekle aç›klayal›m.
ÖRNEK 18: x2 + y2 = 9 çemberine
d›fl›ndaki P(0 , 5) noktas›ndan çizilen te¤et
denklemlerini yazal›m. (fiekil 3. 16)
ÇÖZÜM 18: E¤imi m olan ve P(0, 5)
noktas›ndan geçen do¤runun denklemi :
y - 5 = m (x - 0) ; y = mx + 5 tir. Bu do¤ru ile
x2 + y2 = 9 çemberin kesiflme noktalar›n›
bulal›m.
y
P(0,5)
A
B
x
O
t2
fiekil 3.16
x2 + mx + 5 2 = 9 ise, x2 + m2x2 + 10 mx + 25 - 9 = 0 olur.
m2 + 1 x2 + 10mx + 16 = 0 denklemini çözelim:
Δ′ = 25m2 - 16 m2 + 1
Δ′ = 25m2 - 16m2 - 16
9m2 - 16 = 0
m2 = 16
9
m1 = - 4 den
3
m1 = - 4 ve m2 = 4 olur.
3
3
65
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
m1,2 = ± 4 ten , m1 = - 4 ve m2 = 4 olur.
3
3
3
m nin bu de¤erleri y = mx + 5 denkleminde yaz›l›rsa, P (0 , 5) noktas›ndan geçen
çembere çizilen te¤etlerinin denklemleri;
t 1: y = - 4 x + 5 ve t 2: y = 4 x + 5 olur.
3
3
❂
9. B‹R ÇEMBER‹N B‹R NOKTAYA GÖRE KUVVET‹
Merkezi M(a , b) yar›çap uzunlu¤u r olan bir çember düzleminde, K (x1 , y1)
noktas› verilsin. K noktas›ndan geçen herhangi bir kirifl çemberi A ve B gibi iki noktada
kesiyorsa, |KA| . |KB| de¤erine K noktas›n›n ç e m b e re gö re kuvveti denir.
Bu kuvvet p = |KA| . |KB| fleklinde yaz›l›r.
(fiekil 3. 17)
y
|KM| = d dersek,
|KA| = d - r ve
|KB| = d + r dir.
p = (d - r) (d + r) = d2 - r2 olur.
‹ki nokta aras›ndaki uzakl›k ba¤›nt›s›ndan
|KM|2 = (x1 - a)2 + (y1 - b)2 = d2 dir.
d2 de¤eri p = d2 - r2 ba¤›nt›s›nda yerine
yaz›l›rsa,
p = (x1 - a)2 + (y1 - b)2 - r2 olur.
Bu da bir çemberin bir noktaya göre kuvvetidir.
➠
D
C
B
M(a,b)
r
A
r
d
K(x 1, y1 )
T
x
O
fiekil 3.17
x2+y2 + Dx + Ey + F = 0 fleklinde ver ilen bir ç e m b e r denkleminde K(x1 , y1)
noktas›n›n koor dinatlar › yer ler ine yaz›l›r sa
p = x 21 + y 21 + Dx1 + Ey1 + F de¤ erine K noktas›n ›n çembere gö re
kuvveti denir.
B i r çember in bir nok taya gör e kuvetinin özelikler i
a. Kuvvet pozitif (p > 0 ) ise nokta çemberin d›fl bölgesindedir.
b. Kuvvet s›f›r (p = 0 ) ise nokta çemberin üzerindedir.
c. Kuvvet negatif (p < 0 ) ise nokta çemberin iç bölgesindedir.
d. Kuvvet -r2 (p = - r2) ise nokta çemberin merkezindedir.
e. K noktas›ndan geçen kesenler de¤iflse de kuvvet de¤iflmez.
66
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
ÖRNEK 19: x2 + y2 + 4x + 2y - 4 = 0 denklemiyle verilen çemberin K( 1, 2)
noktas›na göre kuvvetini bulal›m. K noktas› çemberin hangi bölgesindedir?
ÇÖZÜM 19: Verilen çemberin K noktas›na göre kuvveti,
p = (1)2 + (2)2 + 4(1) + 2 (2) - 4 = 1 + 4 + 4 + 4 - 4 = 9 olur.
p = 9 > 0 oldu¤undan K noktas› çemberin d›fl›ndad›r.
❂
10. ‹K‹ ÇEMBER‹N KUVVET E K S E N ‹
‹ki çembere göre eflit kuvvetteki noktalardan oluflan do¤ruya iki çemberin
kuvvet ekseni denir.
Kuvvet ekseni bir do¤rudur iki çember denklemi verildi¤inde, kuvvet eksenini
bulmak için çember denklemindeki x2 ve y2 li terimler yok edilir.
‹ki çem ber in kuvvet eksenine ait özelikler
a . Merkezleri, birbirinin d›fl bölgelerinde ve kesiflmeyen iki çemberin kuvvet
ekseni, çemberlerin merkezlerini birlefltiren do¤ruya dik bir do¤rudur.
b . Çemberin kesiflmesi halinde kuvvet ekseni, kesim noktalar›n› birletiren
do¤rudur.
c. Çemberlerin d›fltan te¤et veya içten te¤et olmalar› halinde kuvvet ekseni,
çemberlerin de¤me noktas›ndaki ortak te¤ettir.
ÖRNEK 20: x2 + y2 +3x - 4y - 9 = 0
ve x2 + y2 -2x+3y - 5 = 0 olan
çemberlerin kuvvet ekseninin denklemini bulal›m.
ÇÖZÜM 20: Çember denklemlerini alt alta yazarak taraf tarafa ç›karal›m:
x2 + y2 +3x - 4y - 9 = 0
+ x2 + y2 ± 2x + 3y ± 5 = 0
5x - 7y - 4 = 0
denklemi, kuvvet ekseninin denklemidir.
11. ÜÇ ÇEMBER‹N KUVVET E K S E N ‹
❂
Üç çembere göre eflit kuvvette olan noktaya, bu çemberlerin kuvvet merkezi
denir.
a. Üç çemberin merkezleri do¤rusal de¤ilse bu üç çemberin kuvvet merkezi,
çemberlerin ikifler ikifler kuvvet eksenlerinin kesim noktas›d›r.
b. Üç çemberin merkezleri do¤rusal ise bu üç çemberin kuvvet merkezi yokt u r.
67
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
ÖRNEK 21: x2 + y2 = 16, x2 + y2 - 10y + 24 = 0, x2 + y2 - 8x + 8y + 16 = 0
çemberlerinin kuvvet merkezini bulal›m.
ÇÖ ZÜM 21
x2+ y2 - 16 = 0
x2+ y2 - 16 = 0
+ x2 + y2 ± 8x ± 8y + 16 = 0
+x2+y 2 ± 10y +24 = 0
10 y - 40 = 0
10y = 40
y = 4 tür.
8x - 8y -32 = 0
8x - 8(4) -32 = 0
8x = 32 + 32
8x = 64
x = 8 dir.
O halde, üç çemberin kuvvet merkezi K (8 , 4) olur.
❂
12. ÇEMBER‹N PARAMETR‹K DENKLEM‹
Bir çemberin noktalar›na ait koordinatlar› bir parametrenin fonksiyonu olarak
ifade eden denkleme, o çemberin par ametr ik denklemi denir.
Bir çemberin t parametresine ba¤l› olan denklemi;
x = f (t), y = g (t) fonksiyonlar› ile ifade edilir.
a. Çember in mer kezi or ijinde ise
Çemberin denklemi; M (0, 0)
oldu¤undan, x2+ y2 = r2 dir. Çember üzerinde
hareketli bir nokta P(x, y) olsun. 0 ≤ t ≤ 2π o l m a k
üzere (t: parametre) (fiekil 3.18)
y
P(x, y)
r
y
t
POH dik üçgeninde ,
O
x
H
x
cos t = OH = x ise, x = r cos t
OP r
PH
y
sin t =
=
ise, y = r sin t olur.
r
OP
fiekil 3.18
❂
➠
68
x = r cos t
y = r sin t
}
sistemine, mer kezil çember in par amet rik denklemi denir.
Burada; r pozitif sabit bir reel say›, t de¤iflken bir reel say›d›r.
x ve y nin ba¤l› olduklar› t de¤iflkeni parametredir.
Merkezil çember = {( r cost, r sint ) : r∈R + , t∈R } olur.
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
ÖRNEK 22: Yar›çap› 2 birim olan merkezil çemberin parametrik denklemini
yazal›m.
ÇÖZÜM 22: Merkezil çemberin parametrik denklemi,
x = r cos t
y = r sin t
x = 2 cos t
y = 2 sin t
}
0 ≤ t ≤ 2π fleklinde oldu¤undan;
}
0 ≤ t ≤ 2π olur.
b. Çember in Mer kezi M (a, b)
noktas›nda ise,
y
Çemberin merkezi M(a, b) ve yar›çap
uzunlu¤u r birim oldu¤undan çemberin
denklemi
(x -
D
M(a,b)
C
a)2
+ (y- b
)2
=
r2
dir.
r
r. sint
t
H
b
r. cost
t prametre olmak üzere;
O
a
A
B
x
x = |OA| + |AB| = a + |MH| = a + r cos t
y = |OC| + |CD| = b + |PH| = b + r sin t dir.
fiekil 3.19
(fiekil 3.19)
➠
Çmberin parametrik denklemi
x = a + r cos t
0 ≤ t ≤ 2π fleklinde yaz›l›r.
y = b + r sin t
}
ÖRNEK 23: Merkezi M (2, 3) ve yar›çap› 4 birim olan çemberin parametrik
denklemini yazal›m.
ÇÖZÜM 23: Burada; a = 2 , b = 3 ve r = 4 tür. Çemberin parametrik denklemi,
x = a + r cos t
y = b + r sin t
x = 2 +4 cos t
y = 3+ 4 sin t
}0
≤ t ≤ 2π denklem sisteminden,
} 0 ≤ t ≤ 2π olur.
69
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
13. ÇEMBER‹N DÜZLEMDE AYIRDI⁄I BÖLGELER
Bir çember bulundu¤u düzlemi üç bölgeye ay›r›r.
I. Mer kezinin koor dinatlar › M (a , b) ve yar ›çap uzunlu¤u r olan çember in düzlem de ay›r d›¤› bölgeler
a . x - a 2 + y - b 2 < r2 ise, bu eflitli¤i sa¤layan noktalar kümesi çemberin iç bölgesini,
b. x - a 2 + y - b 2 > r2 ise, bu eflitli¤i sa¤layan noktalar kümesi çemberin d›fl bölgesini,
c . x - a 2 + y - b 2 = r2 ise, bu eflitli¤i sa¤layan noktalar kümesi de çember üzerindeki
noktalar› belirtir.
ÖRNEK 24
(x + 1)2 + (y - 3)2 ≤ 4 eflitsizli¤inin
çözüm kümesini analitik düzlemde gösterelim.
y
M(-1,3)
ÇÖZÜM 24
x + 1 2 + y - 3 2 ≤ 4 eflitsizli¤i
merkezinin koordinatlar› M -1 , 3 ve
yar›çap uzunlu¤u r = 2 birim olan çember
ile iç bölgesini belirtir. (fiekil 3. 20)
O
x
fiekil 3.20
II. Denklemi: x2 + y2 +Dx + Ey + F = 0 olan bir çembe rde, P (x1 , y1) noktas›
ver ilsin.
a . x21 + y21 + Dx1 + Ey1 + F = 0 ise, P x1 , y1 noktas› çemberin üzerindedir.
b. x21 + y21 + Dx1 + Ey1 + F < 0 ise, P x1 , y1 noktas› çemberin iç bölgesindedir.
c. x21 + y21 + Dx1 + Ey1 + F > 0 ise, P x1 , y1 noktas› çemberin d›fl bölgesindedir.
ÖRNEK 25: x2 + y2 + 4x - 6y - 8 = 0 çemberinde P (2 , 1) noktas› veriliyor.
Bu noktan›n çemberin hangi bölgesinde oldu¤unu bulal›m.
ÇÖZÜM 25: x2 + y2 + 4x - 6y - 8 = 0 çemberinde, P 2 , 1
2 2+ 1 2 + 4 2 - 6 1 - 8 = 4 +1 + 8 - 6 - 8 = - 1
-1 < 0 oldu¤undan
P 2, 1 noktas› çemberin iç bölgesindedir.
70
noktas›
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
ÖRNEK 1
x2+ (a - 1)y2 - 4ax + 4y - (a + 3) = 0 denklemin bir çember belirtmesi için
a kaçt›r? Bu çemberin merkezinin koordinatlar›n› ve yar›çap uzunlu¤unu bulal›m.
Çemberi analitik düzlemde çizelim.
ÇÖZÜM 1
Verilen denklemin bir çember belirtmesi için x 2 ve y 2 nin katsay›lar› eflit
olmal›d›r. 1 = a - 1 ise a = 2 dir.
Çember denklemi, x2 + y2 - 8x + 4y - 5 = 0 olur.
Merkezin koordinatlar›: a = - D = - -8 = 4 ; b = - E = - 4 = - 2 olup M 4, - 2 dir.
2
2
2
2
Çemberin yar›çap uzunlu¤u: r = 1 D 2 + E2 - 4F ;
2
r=1
2
-8 2+ 4 2 - 4 -5 = 1 64 + 16 + 20 = 1 100
2
2
r = 1 10 = 5 birimdir.
2
Çember analitik düzlemde, (fiekil 3.21) de çizilmifltir.
y
O
-2
4
x
M(4,-2)
fiekil 3.21
ÖRNEK 2
a. Merkezi bafllang›ç noktas›nda olan ve A(3, 4) noktas›ndan geçen çemberin
denklemini,
b. Merkezi (-1 , 1) noktas›nda olan ve A(3, 4) noktas›ndan geçen çemberin
denklemini yazal›m.
71
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
Ç ÖZÜM 2
y
a : Çemberin merkezi O(0 , 0) ve bir
nokta A(3 , 4) oldu¤undan yar›çap
uzunlu¤u; AOH dik üçgeninde pisagor
teoremine göre, (fiekil 3. 22)
4
4
r2 = |OA|2 = |OH|2 + |AH| 2
r2
A(3,4)
O
3H
x
= 9 + 16 = 25 ise, r = 5 birimdir.
O halde çemberin denklemi
x2 + y 2 = 25 olur.
fiekil 3.22
b. Çemberin merkezi M(-1 , 1) ve çemberin üzerindeki bir nokta A(3 , 4)
oldu¤undan yar›çap uzunlu¤u;
3 + 1 2 + 4 - 1 2 = 16 + 9
r = MA =
O halde, çemberin denklemi
2
r = 25 = 5 birimdir.
2
x + 1 + y - 1 = 25 olur.
ÖRNEK 3
Merkezinin koordinatlar›, x + y + 5 = 0 ve x - 3y - 3 = 0 do¤rular›n›n kesim noktas›nda olan ve 3x + 4y + 2 = 0 do¤rusuna te¤et olan çemberin denklemi bulal›m.
ÇÖZÜM 3
x+y+5=0
x+y+5=0
+x ± 3y ± 3 = 0
x-2+5=0
4y + 8 = 0
x+3=0
y = - 2 dir.
x = - 3 tür.
Çemberin merkezi M ( - 3 , -2) olur.
M noktas›n›n 3x + 4y + 2 =0 do¤rusuna uzakl›¤› çemberin yar›çap›na eflit
oldu¤undan,
r=
- 3 3 + -2 4 + 2
- 9 - 8 + 2 -15
=
=
= 3 birimdir.
5
9 + 16
25
O halde, çemberin denklemi,
72
x + 3 2 + y + 2 2 = 9 olur.
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
Ö RNE K 4
Merkezi y = 2x - 3 do¤rusu üzerinde bulunan ve koordinat eksenlerine te¤et olan
çemberlerin denklemlerini yazal›m.
y
ÇÖZÜM 4
Çemberin merkezi y = 2x - 3 do¤rusu
üzerinde ve çember koordinat eksenlerine
te¤et oldu¤undan, çemberin merkezi y = x
veya y = - x do¤rular› üzerinde de olacakt›r.
(fiekil 3. 23)
y = 2x - 3
x
O
}
y=x
M1
M2
Denklem sisteminin
çözümünden,
x = 2x - 3
x = 3 ve
M1 (3 , 3) olur.
y = 3 tür.
fiekil 3.23
veya
}
y = 2x - 3
Denklem sisteminin çözümünden,
y = -x
-x = 2x - 3
3x = 3
x=1
ve
y = -1 dir.
M2 (1 , - 1) olur.
O halde; iki tane çember denklemi vard›r.
I. çember ; x - 3 2 + y - 3 2 = 9 olur. II. çember x - 1 2 + y + 1 2 = 1 olur.
ÖRNEK 5
y
Çemberin merkezi y = x + 3 do¤rusu
üzerinde bulunan, A(3 , 1) ve B(2 , 2)
noktalar›ndan geçen çemberin denklemini
yazal›m.
B(2,2)
H
A(3,1)
ÇÖZÜM 5
Çemberin merkezi; [AB] kiriflinin orta
dikmesi ile, y = -x + 3 do¤rusunun kesim
noktas›d›r. (fiekil 3.24)
M
x
O
[AB] kirflinin orta noktas›, H (x0 , y0) olsun
x0 = 2 + 3 = 5
2
2
O halde, H 5
2
dir. y0 = 2 + 1 = 3 dir.
2
2
3
,
olur.
2
fiekil 3.24
73
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
AB kiriflinin e¤imi mAB = 2 - 1 = 1 = - 1 dir.
2 - 3 -1
AB kirifline dik olan do¤runun e¤imi de m = 1 olur. Bu do¤ru H noktas›ndan
geçti¤inden denklemi; y - 3 = 1 x - 5 , y = x - 5 + 3 den
2
2
2 2
-x+3=x-1
y = x - 1 den
2x = 4
y=2-1
x = 2 dir.
y = 1 dir.
O halde, çembarin merkezi M (2 , 1
y = x - 1 olur.
) olur.
Çemberin yar›çap›n›n uzunlu¤u, çember merkezinin çember üzerinde bulunan
herhangi bir noktaya uzakl›¤›na eflit olaca¤›ndan
r = MB =
2 - 2 2+ 2 - 1 2 = 0 + 1 = 1 birimdir.
O halde, istenilen çemberin denklemi:
x - 2 2 + y - 1 2 = 1 olur.
ÖRNEK 6: Denklemi, 2x - 3y + 2 = 0 ve -6x + 9y + 4 = 0 olan do¤rulara te¤et
olan çemberin yar›çap uzunlu¤unu bulal›m.
m1 = 2 dir. - 6x + 9y + 8 = 0
3
ÇÖZÜM 6: Verilen 2x - 3y + 2 = 0 do¤rusunun e¤imi
- 6x + 9y + 4 = 0
m1 = m2
do¤rusunun e¤imi m2 = 6 = 2 dir.
9 3
oldu¤undan bu do¤rular paraleldir.
Paralel do¤rular aras›ndaki uzakl›k çemberin çap›n›n uzunlu¤una eflit
olaca¤›ndan,
-6 - 4
= 10 = 10 13 birimdir.
39
2
36
+
81
117
a +b
Çemberin yar›çap›; r =5 13 birim olur.
39
2r =
c1 - c2
2
=
y
ÖRNEK 7: Denklemi, 4x + 3y + 3 = 0 olan
x - 1 2 + y - 1 2 = 16 olan çemberin içinde kalan
kiriflinin uzunlu¤unu bulal›m.
A
M(1,1)
O
ÇÖZÜM 7: Verilen çemberin merkezi,
M(1 , 1) ve yar›çap uzunlu¤u r = 4 birimdir.
Çemberin merkezinin do¤ruya olan uzakl›¤›;
MH =
74
4 1 + 3 1 + 3 10
=
= 2 birimdir.
5
16 + 9
x
H
B
4x+3y+3=0
fiekil 3.25
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
MH < r oldu¤undan 4x + 3y + 3 = 0 do¤rusu çemberi A ve B gibi iki noktada keser.
(fiekil 3.25) de MHB dik üçgeninde pisagor teoremine göre; HB 2 = MB 2 - MH 2 dir.
HB 2 = 16 - 4 = 12 ise, HB = 2 3 birimdir. Bir çemberde merkezden kirifle inilen
dikme kirifli ortalayaca¤›ndan AB = 2HB = 2 2 3 = 4 3 birim olur.
ÖRNEK 8: Analitik düzlemde; x = 4 cost, y = 4 sint eflitli¤ini sa¤layan P(x , y )
noktalar›n›n kümesini belirtelim.
ÇÖZÜM 8: x = 4 cos t ise, x2 = 16 cos2 t
y = 4 sin t ise,
y2 = 16 sin2 t elde edilir.
Bu eflitlikler taraf tarafa toplan›rsa x2 + y2 = 16 (cos2t + sin2t ) elde edilir.
+ sin2 t = 1 oldu¤undan x2 + y2 = 16 olur. Bu denklem merkezi orijinde ve
yar›çap uzunlu¤u 4 birim olan bir çember belirtir.
cos2t
Ö R N E K 9: Denklemi (x - 3)2 + (y - 1)2 = 26 olan çember ile bu çember üzerinde
P(c , 2) noktas› veriliyor.
a. P(c , 2) noktas›n›n koordinatlar›n› bulal›m. (c < 0 olacak)
b. Çemberin P noktas›ndaki te¤etinin denklemini yazal›m.
c. Çemberin P noktas›ndaki normalinin denklemini yazal›m.
ÇÖ ZÜM 9: a. Çember üzerinde verilen P(c , 2) noktas›n›n koordinatlar›, çember
denklemini sa¤layaca¤›ndan,
c - 3 2 + 2 - 1 2 = 26
c - 3 2 = 26 - 1 den, c - 3 2 = 25 ise, c - 3 = + 5 tir.
c1 - 3 = - 5 ise, c1 = -5 + 3 = - 2 veya c2 - 3 = 5 ise, c2 = 5 + 3 = 8 dir.
c < 0 oldu¤undan c=-2 ve P (-2 , 2) olur.
b . Çemberin P -2 , 2 noktas›ndaki te¤etinin denklemi:
x - x1 x1 - a + y - y1 y1 - b = 0
x + 2 -2 - 3 + y - 2 2 - 1 = 0
x + 2 -5 + y - 2 1 = 0
denklemi sadelefltirirsek, 5x - y + 12 = 0 olur.
c . Çemberin P -2 , 2 noktas›ndaki normalin denklemi:
xx--xx11 yy11--bb -- yy--yy11 xx11-- aa ==00
x + 2 2 - 1 - y - 2 -2 - 3 = 0
x + 2 2 - 1 - y - 2 -2 - 3 = 0
x + 2 1 - y - 2 -5 = 0
x + 2 1 - y - 2 -5 = 0
x + 2 1 + 5y - 10 = 0
x + 2 + 5y - 10
0-8=0
x +=5y
x + 5y - 8 = 0 olur.
75
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
ÖRNEK 10
Denklemleri x2 + y2 + 6x + 8y +16 = 0 ve x2 + y2 - 2x + 2y +2 = r2 olan
çemberler veriliyor. Bu çemberler birbirine d›fltan te¤et oldu¤una göre r kaç olmal›d›r?
ÇÖZÜM 10
x2 + y2 + 6x + 8y +16 = 0 çember denkleminde;
a = - D ise, a 1 = - 6 = - 3 tür.
2
2
b= - E ise, b1 = - 8 = - 4 tür.
2
2
O halde, merkezin koordinatlar›; M1 -3 , -4 olur.
Çemberin yar›çap uzunlu¤u :
r1 = 1 D 2+ E2 -4F ; r1 = 1 36 + 64 - 64 = 1 36 = 6 = 3 birimdir.
2
2
2
2
x2 + y2 - 2x + 2y + 2 = r2 çember denkleminde,
a = - D ise, a 2 = - -2 = 1 dir.
2
2
b= - E ise, b = - 2 = - 1 dir.
2
2
O halde merkezinin koordinatlar› M2 1 , - 1 olur.
‹kinci çemberin yar›çap uzunlu¤u r2 birim ise,
bu çemberler birbirine d›fltan te¤et oldu¤undan,
r1 + r2 = M 1 M 2 olmas› gerekir. Buna göre,
3 + r2 =
-3 - 1 2+ -4 + 1 2
r2 = 16 + 9 - 3 ; r2 = 5 - 3 = 2 birim olur.
76
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
ÖZET
Düzlemde sabit bir noktaya eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n kümesine çember
denir.
Analitik düzlemde bir çemberin bilinmesi için merkezinin koordinatlar› ve
yar›çap uzunlu¤unun bilinmesi gerekir.
Merkezi M(a , b) ve yar›çap uzunlu¤u r olan çemberin denklemi (x - a)2 + (y - b)2 = r2
dir.
x2+ y2 + Dx + Ey + F = 0 denklemine çemberin genel denklemi denir.
Verilen bu denklemden çemberin merkezinin koordinatlar›n› ve yar›çap uzunlu¤unu
bulabiliriz.
a = D ; b = - E oldu¤undan merkezinin koordinatlar› M - D , - E dir.
2
2
2
2
Yar›çap›n›n uzunlu¤u, r = 1 D2 + E2 - 4F
2
birimdir.
B i r Do¤r u ile Bir Çember in Bir bir ine Gör e Dur u mlar ›
Analitik düzlemde denklemi y = mx + n olan do¤ru ile denklemi
x 2 + y 2 = r 2 olan çember verilsin.
a. r2 (m2 + 1) - n2 < 0 ise, do¤ru çemberi kesmez.
b. r2 (m2 + 1) - n2 > 0 ise, do¤ru çemberi iki noktada keser.
c. r2 (m2 + 1) - n2 = 0 ise, do¤ru çembere te¤ettir.
Te¤et ve Normal Denklemleri
Bir do¤ru ile bir çemberin bir ortak noktas› varsa bu do¤ruya çemberin te¤eti
denir.
Çember denklemi (x - a)2 + (y- b)2 = r2 ve bu çember üzerindeki P(x1, y1)
noktas›nda çizilen te¤etin denklemi;
(x - x1) (x1 - a) + (y - y1) (y1 - b) = 0 d›r.
Bir te¤ete de¤me noktas›nda dik olan do¤ruya
nor mali denir.
çemberin bu noktadaki
(x - a)2 + (y- b)2 = r2 olan çembere üzerindeki P(x1 , y1) noktas›nda çizilen
normalin denklemi;
(x - x1 ) (y1- b) - (y - y1) (x1 - a) = 0
77
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
Bir Noktan›n Bir Çembere Göre Kuvveti
Bir çember düzleminde K(x1, y1) noktas› verilsin. K noktas›ndan geçen
herhangi bir kirifl çemberi A ve B gibi iki noktada kesiyorsa |KA| . |KB| de¤erine
K noktas›n›n çembere göre kuvveti denir.
K(x1, y1) noktas›n›n denklemi (x - a)2 + (y- b)2 = r2 olan çembere göre kuvveti
p = (x1 - a )2 + (y1 - b)2 - r2 dir.
‹ki çemberin kuvvet ekseni: ‹ki çembere göre, eflit kuvvetteki noktalar›n meydana getirdi¤i do¤ruya iki çemberin kuvvet ekseni denir. Kuvvet ekseni bir do¤rudur.
Üç çemberin kuvvet merkezi: Üç çembere göre eflit kuvvette olan noktaya, bu
çemberlerin kuvvet merkezi denir. Üç çemberin kuvvet merkezi çemberlerin ikifler
ikifler kuvvet eksenlerinin kesim noktas›d›r.
Çemberin parametrik denklemi: Bir çemberin noktalar›na ait koordinatlar› bir
parametrenin fonksiyonu olarak ifade eden denkleme, o çemberin para metrik denklemi
denir.
x2 + y2 = r2 olan merkezcil çemberin parametrik denklemi
x = r cos t, y = r sin t 0 ≤ t ≤ 2π fleklinde yaz›l›r.
Merkezil çember = {(r cost, r sint ) : r∈ R+, t∈R } olur.
Çemberlerin Düzlemde Ay›rd›¤› Bölgeler: Çember bulundu¤u düzlemi üç
bölgeye ay›r›r.
a. (x - a)2 + (y- b)2 < r2 ise, çemberin iç bölgesini,
b. (x - a)2 + (y- b)2 > r2 ise, çemberin d›fl bölgesini,
c. (x - a)2 + (y- b)2 = r2 ise, çember üzerindeki noktalar› belirtir.
78
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
ALIfiTIRMALAR
1. Denklemleri, x = - 2 ve x = 6 do¤rular›na te¤et olan çemberin merkezi M(2a , a)
d›r. Bu çemberin denklemini yaz›n›z.
2. x2 + y2 + (k - 2) xy - 2kx + 3ky - 3 = 0 denklemi bir çember belirtti¤ine göre,
bu çemberin merkezinin koordinatlar›n› ve yar›çap uzunlu¤unu bulunuz.
3. Denklemi, x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = 0 olan çemberi ile orijin aras›ndaki en
büyük ve en küçük uzakl›¤› bulunuz.
4. Denklemi,
x2 + y2 - 6x + 4y -12 = 0 olan çember üzerindeki P(6, 2)
noktas›ndan çizilen te¤et ve normalin denklemlerini yaz›n›z.
5. Denklemi, x2 + y2 = 9 olan çembere, d›fl›ndaki P(-4 , 1) noktas›ndan çizilen
te¤etlerinin denklemlerini yaz›n›z.
6. A(1 , 2) ve B(0 , 1) noktalar›ndan geçen ve merkezi y = 2x + 5 do¤rusu
üzerinde bulunan çemberin denklemini yaz›n›z.
7. P(-2 , 1) noktas›n›n x2 + y2 - 5x + 6y + 8 =0 çember denklemlerine göre
kuvvetini bulunuz.
8. Denklemleri, x2 + y2 - 2x + 3y + 5 = 0 ve x2 + y2 + 3x + y + 1 = 0 olan
çemberlerin kuvvet eksenlerinin denklemini bulunuz.
9. x2 + y2 - 3x - y = 0 ve x2+ y2 - 4x - 3 = 0 çember denklemleri veriliyor.
P(1 , 2) noktas›n›n kuvvet eksenine olan uzakl›¤› kaç birimdir?
10. x2 + y2 = 4 çemberi ile x - y + 2 = 0 do¤rusu veriliyor. Do¤ru ile çemberin
kesim noktalar›ndan meydana gelen kiriflin uzunlu¤u kaç birimdir?
11. x = 5 cos t ve y = 5 sin t eflitli¤ini sa¤layan P(x , y) noktalar›n›n kümesini
belirtiniz.
12. Denklemleri, x2 + y2 - 4x + 9 y + 8 = 0 olan çember ile P(4 , k) noktas›
veriliyor. P noktas›n›n çemberin iç bölgesinde olmas› için k hangi reel de¤erleri
almal›d›r?
13. A(0 , 0) , B (-6 , 0) ve C(0 , 8) noktalar›ndan geçen çemberin denklemini yaz›n›z.
79
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
14. A(0 , 0) ve B(4 , 2) noktas›ndan geçen ve merkezi y = -x +1 do¤rusu üzerinde
olan çemberin denklemini yaz›n›z.
15. A(1 , 4) ve B(5 , 0) noktalar› veriliyor AB do¤ru parças›n› çap kabul eden
çemberin denklemini yaz›n›z.
16. Denklemleri, x2 + y2 + 2x + 5y - 8 = 0 ve x2 + y2 - 4x + y = 0 olan
çemberlerin kuvvet eksenini bulunuz.
17. Denklemleri, x2 + y2 = 20 , x2 + y2 - 2x - 2 y + 1 = 0 ve x2 + y2 - 10y = 0
olan çemberlerin kuvvet merkezini bulunuz.
18. Denklemleri, x2+ y2 = 5, x2 + y2 - 2x -1 = 0 ve x2 + y2 + 4x -10 y + 25 = 0 olan
çemberlerin kuvvet merkezini bulunuz.
19. Yar›çap› 6 birim olan merkezil çemberin parametrik denklemini yaz›n›z.
20. Merkezinin koordinatlar› M(-3 , 2) ve yar›çap uzunlu¤u 5 birim olan çemberin
parametrik denklemini yaz›n›z.
21. Denklemi, x2 + y2 - 8x + 4 y - 5 = 0 olan çemberin parametrik denklemini
yaz›n›z.
22. A(1 , 2) ve B(-3 , -1) noktalar›na uzakl›klar›n›n kareleri toplam› 25 olan
noktalar›n geometrik yerini bulunuz.
23. Denklemi, x2+ y2 + 2x + 6 y + 1 = 0 olan çember ile dik kesiflen ve
merkezinin koordinatlar› M(-4 , 3) olan çemberin yar›çap uzunlu¤u kaç birimdir?
24. Denklemi, x2 + y2 - 4x + 2 y + 4 = 0 olan çember ile merkezinin
koordinatlar› M(-4 , 7) ve yar›çap uzunlu¤u m birim olan çember veriliyor.
a. Çemberler aras›ndaki en k›sa uzakl›k 3 birim olmas› için m kaç olmal›d›r?
b. Bu çemberler birbirine d›fltan te¤et ise m kaçt›r?
25. Denklemi, x2 + y2 - 4x + 8y + 5 = 0 olan çemberin x eksenini kesti¤i noktalar
A ve B ise, |AB| kaç birimdir?
80
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
.
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ III
1.
Denklemi x2+ y2 + 6x - 8y + 4 = 0 olan çemberin merkezinin koordinatlar›
afla¤›dakilerden hangisidir?
A) (-6 , 8)
C) (8 , -6)
B) (-3 , 4)
D) (4 , -3)
2.
Merkezi M(-3 , 2) olan ve y eksenine te¤et olan çemberin denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) x2 + y2 + 6x - 4y + 4 = 0
C) x2 + y2 - 2x + 6y + 9 = 0
B) x2 + y2 - 6x + 4y + 9 = 0
D) x2 + y2 + 3x - 2y + 4 = 0
3.
Koordinat eksenlerine A(4 , 0) ve B(0 , 4) noktalar›nda te¤et olan çemberin
denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) x2 + y2 = 16
C) x2 + y2 - 8x - 8y + 16 = 0
B) x2 + y2 + 4x + 4y = 0
D) x2 + y2 + 8x + 8y + 32 = 0
4.
Merkezi (2 , 4) olan ve 3x + 4y + 8 = 0 do¤ru denklemine te¤et olan çemberin
denklemi, afla¤›dakilerden hangisidir?
A) x2 + y2 + 2x + 4y + 8 = 0
C) x2 + y2 + 8x + 2y - 12 = 0
B) x2 + y2 + 4x + 8y- 6 = 0
D) x2 + y2 - 4x - 8y - 16 = 0
5.
Merkezi (3,2) olan ve P (1,4) noktas›ndan geçen çemberin denklemi, afla¤›dakilerden
hangisidir?
A) x2 + y2 - 6x - 4y + 5 = 0
C) x2 + y2 - 3x - 2y + 6 = 0
B) x2 + y2 - 6x + 4y + 8 = 0
D) x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 0
6.
Merkezi y = 2x do¤rusu üzerinde bulunan ve x = - 1 ve x = 5 do¤rular›na
te¤et olan çemberin denklemi, afla¤›dakilerden hangisidir?
A) (x- 4)2 + (y- 2)2 = 6
C) (x- 2)2 + (y- 4)2 = 9
B) (x+ 1)2 + (y- 5)2 = 36
D) (x + 4)2 + (y+ 2)2 = 18
81
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
7. 3x2 + 3y2 + (m - 6) xy - mx - 2my + m - 3 = 0 denklemi bir çember belirtti¤ine göre,
bu çemberin yar›çap uzunlu¤u kaç birimdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
8. Denklemi (x- 2) + (y + 1) = 5 olan çember; denklemi x= 3 olan do¤ruyu A ve B
noktalar›nda kesti¤ine göre, |AB| uzunlu¤u kaç birimdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
9. Denklemi x2 + y2 = 13 olan çembere, üzerindeki P(3 , 2) noktas›ndan çizilen te¤etin
denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) 2x + 3y - 13 = 0
C) 2x - 3y = 0
B) 3x + 2y - 13 = 0
D) 3x - 2y = 0
10. Denklemi x2 + y2 = 5 olan çembere, üzerindeki P(1 , 2) noktas›ndan çizilen normalin
denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) x + 2y - 5 = 0
C) 2x + y - 5 = 0
B) y = 2x
D) y = x
2
11. Denklemi x2 + y2 = 9 olan çember, denklemi y = 2x + n olan do¤rusuna te¤et ise,
n nin pozitif de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?
A)
2 3
B)
2 5
C)
3 2
D)
3 5
12. Denklemi x2 + y2 = 20 olan çemberin d›fl›ndaki P(2 , 6) noktas›ndan çembere
çizilen te¤etlerden birinin denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) 2x + y - 10 = 0
C) x - y + 15 = 0
B) 2x + 3y - 20 = 0
D) x + 3y +5 = 0
13. Denklemi (x + 2) 2 + (y - 3)2 = 29 olan çember veriliyor. Bu çember üzerindeki
P(3 , 1) noktas›ndan çizilen te¤etin denklemi, afla¤›dakilerden hangisidir?
A) 2x - 3y - 29 = 0
C) 3x + y + 20 = 0
82
B) 5x - 2y - 13 = 0
D) 2x + 5y +12 = 0
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
14. Denklemleri x2 + y2 = 9 ve (x - 1)2 + (y + 2)2 = 16 olan çemberlerinin kuvvet
ekseni afla¤›dakilerden hangisidir?
A) x - 2y + 1 = 0
C) 2x - 3y +1 = 0
B) x + 3y - 5 = 0
D) x + y + 2 = 0
15. Denklemleri x2 + y2 = 2x - 6y + 1 = 0 ve x2 + y2 + 4x - 2y - 11 = 0 çemberler
veriliyor. Bu çemberler için afla¤›daki durumlardan hangisi do¤rudur?
A) D›fltan te¤ettirler.
C) Birbirlerinin d›fl›ndad›rlar.
B) ‹çten te¤ettirler.
D) Birbirini iki noktada keserler.
16. Denklemi x2 + y2 - 4x + 4y + m - 5 = 0 olan çember, y = x +1 do¤rusuna te¤et
ise, m kaçt›r?
A)
1
2
B) 1
17. Denklemi x2 + y2 + 8x - 4y + 5 = 0
aras›ndaki kiriflin uzunlu¤u kaç birimdir?
A) 1
B) 4
C) 3
2
D) 2
olan çemberin y eksenini kesti¤i noktalar
C) 5
D) 6
18. Denklemi x2 + y2 =25 olan çemberin, 6 birim uzunlu¤undaki kirifllerinin orta
noktalar›n›n kümesi, afla¤›daki denklemlerin hangisi ile ifade edilebilir?
A) x2 + y2 = 9
C) x2 + y2 = 16
B) x2 + y2 = 12
D) x2 + y2 = 36
19. Çemberin d›fl›ndaki A(1 , 4) noktas›ndan, denklemi x2 + y2 + 2x + 6y - 7= 0
çembere çizilen te¤et parças›n›n uzunlu¤u kaç birimdir?
A) 2
B) 4
C) 6
olan
D) 8
20. Denklemi 3x + 4y - 11 = 0 olan do¤runun, denklemi (x + 1)2 + (y - 1)2 = 16 olan
çemberi kesen kiriflin uzunlu¤u kaç birimdir?
A) 2
B) 2√3
C) 4
D) 4√3
83
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
21. Ç = {(x , y) | x = 3 + 4 cos t , y = -1 + 4 sin t, t ∈R} kümesi afla¤›daki çember
denklemlerden hangisini gösterir?
A) (x + 3)2
B) (x - 1)2
C) (x - 3)2
D) (x - 4)2
+ (y - 1)2 = 4
+ (y + 3)2 = 12
+ (y + 1)2 = 16
+ (y - 4)2 = 20
22. Denklemi x2 + y2 = 9 ve x2 + y2 - 4x + 2y - 5 = 0 olan çemberlere göre kuvvetleri ayn› olan nokta P(a , 4) ise, a kaçt›r?
A) 1
B) 2
C) 3
23. P(5 , 6) noktas›n›n denklemi x2 + y2=r2 olan
çemberin yar›çap›n›n uzunlu¤u kaç birimdir?
A) 4
B) 5
D) 4
çembere göre kuvveti 12 ise bu
C) 6
D) 7
24. P(2a , a) noktas›n›n denklemi x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0 olan çemberin, iç bölgesinde
olmas› için a hangi aral›kta bulunmal›d›r?
A) - 1 < a < 1
B) 1 < a < 2
C) a < -1
D) a > 1
25. Merkezi y = 2x - 3 do¤rusu üzerinde bulunan ve eksenlere te¤et olan çemberin
denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) x2 + y2 - 6x - 6y + 9 = 0
C) x2 + y2 - 3x - 3y - 9 = 0
84
B) x2 + y2 = 9
D) x2 + y2 + 6x + 6y + 9 = 0