1.GRUPLAR

1.GRUPLAR
Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve  , G de bir ikili işlem olsun. ( G ,  ) cebirsel
yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir.
1)
2)
3)
 a, b, c  G için
a  (b  c)  (a  b)  c (Birleşme özelliği) sağlanır.
a  G için a  e  e  a  a olacak şekilde e  G
a  G için a  a1  a1  a  e olacak şekilde a 1  G (
denir) vardır.
vardır.
elemanına a nın tersi
Not 1.2.
1) ( G ,  ) grubunun birim elemanı tektir. Gerçekten kabul edelim ki e ve
iki birim
eleman olsun. e birim eleman olduğundan a  G için a  e  e  a  a ve özel olarak
alınırsa
bulunur. Aynı şekilde
bir birim eleman
olduğundan a  G için
ve özel olarak a  e alınırsa
bulunur. Böylece
olur.
2) ( G ,  ) grubunun her g  G elemanının tersi tektir. Kabul edelim ki g nin tersi g1 ve
g 2 olsun. Bu halde g  g1  g1  g  e ve g  g2  g2  g  e eşitlikleri sağlanır.
Böylece g1  g1  ( g  g2 )  ( g1  g )  g2  e  g2  g2 olur.
Tanım 1.3. ( G ,  ) bir grup ve a, b  G için a  b  b  a değişme özelliği sağlanıyorsa
G grubuna değişmeli grup veya Abel grubu denir.
Tanım 1.4 ( G ,  )
grubu değişmeli değilse bu gruba değişmeli olmayan grup denir.
Tanım 1.5. G sonlu bir küme ise ( G ,  ) grubuna bir sonlu grup denir ve eleman
sayısına grubun mertebesi denir. G sonsuz bir grup ise ( G ,  ) grubuna bir sonsuz grup
denir. ( G ,  ) grubunun mertebesini
ile göstereceğiz.
1
Örnekler 1.6.
1)
, * işlemine göre bir grup ve
aşağıdaki gibidir.
birim eleman ise
grubunun işlem tablosu
Tablodan anlaşıldığı gibi bu grup değişmelidir.
2)
* işlemine göre bir grup ve birim eleman ise
aşağıdaki gibidir.
grubunun işlem tablosu
Tablodan anlaşıldığı gibi bu grup değişmelidir.
3)
}, * işlemine göre bir grup ve birim eleman ise grubunun işlem tablosu
aşağıdaki gibi 4 değişik biçimdedir( İzomorfizma farkıyla dördüncü mertebeden sadece 2 tane
grup olduğunu daha sonra göstereceğiz).
2
a)
c)
b)
d)
b) deki grubunda her elemanın karesi birim olan (Kleinin 4-lü grubu) bir değişmeli grup
olduğu anlaşılır.
4)
tamsayılar kümesi, bilinen toplama işlemine göre bir toplamsal gruptur.
5) Rasyonel sayılar kümesi ℚ ve ℝ reel sayılar kümesi, bilinen toplama işlemine göre bir
toplamsal gruptur.
6) ℚ -{0} ve ℝ -{0} kümeleri, bilinen çarpma işlemine göre bir değişmeli çarpımsal
gruptur.
7) G ={ 1, -1 } kümesi, çarpma işlemine göre mertebesi 2 olan bir değişmeli gruptur.
8) G ={1, -1, i, i } kümesi, çarpma işlemine göre mertebesi 4 olan bir değişmeli gruptur.
9 ) n birpozitif tamsayı ve ℝ reel sayılar kümesi olsun. Girdileri ℝ içinde olan
lik
matrisler kümesini ℝ
ile gösterelim. Bu halde her n  1 için
ℝ
ℝ
:
≠0 matrislerde çarpma işlemine göre bir gruptur. Matrislerde değişme özelliği
olmadığından
ℝ değişmeli olmayan bir gruptur. Bu gruba n. dereceden Genel Lineer
grup denir.
10) Zn  {0, 1, 2,..., n 1}
olmak üzere
işlemi
altında ( Z n ,  ) bir değişmeli gruptur. Bu grubun birimi 0 dır.
3
11) ℝ reel sayılar kümesi
olsun. x, y  G için x  y  ( x  y) / (1  xy)
ℝ
ile bir  işlemi tanımlansın. (G, ) nın bir değişmeli grup olduğunu gösterelim.
a) [( x  y) / (1  xy)]2  1
 x2  2 xy  y 2  1  2 xy  x 2 y 2
 (1- x 2 )(1- y 2 )  0
için x  y  G dir.
Böylece
b) x, y, z  G için x  ( y  z)  ( x  y  z  xyz) / (1  xy  xz  yz)  ( x  y)  z olduğundan
x, y, z  G için x  ( y  z)  ( x  y)  z dir.
c)
d)
0
0
olduğundan 0 birim elemandır.
0
olduğundan x elemanının tersi  x dir.
e) x, y  G için x  y  y  x olduğundan (G, ) bir değişmeli gruptur.
12) Aşağıdaki kümelerin verilen  işlemi altında bir grup oluşturmadığını gösterelim.
a) a  b  max{a, b} işlemi altında ( Z  , )
b) a  b  min{a, b} ile ( Z , )
c) a  b  a  b  ab ile ℝ
Çözüm. a) 1, birim eleman fakat 2  a  1 olması max{2,a}=1 olmasını gerektirir. Bu çelişki
oluşturur.
b) Birim elemanı yoktur. e gibi birim elemanı olsaydı a  Z için a  e olurdu. e , Z nin en
büyük elemanı olurdu. Bu çelişki oluşturur.
c) 0 birim elemandır. 1 b  0 olması 1=0 olmasını gerektirdiğinden 1 in tersi yoktur.
13 )
için
iki grup olsun.
ile tanımlanan . işlemine göre
gruptur. Bu gruba
Şimdi grup aksiyomlarının sağlandığını gösterelim.
ile
nin direkt çarpımı denir.
i)
için
olduğundan kapalılık özelliği sağlanır.
ii)
için
4
Dolayısıyla
iii)
de
olur.
sırasıyla
nin birim elemanı iseler
işlemine göre birimdir. Gerçekten,
için
olur.
iv)
ve
14)
deki herhangi bir eleman
nin o işlemine göre tersi
Herhangi bir
2 için
nin
nin tersi,
olmak üzere (
nin işlemine göre tersi
) dir.
ile aralarında asal olan elemanlarının oluşturduğu
kümeyi
ile gösterelim. Yani
olmak üzere
işlemi tanımlansın. (
olsun.
kümesi için
) bir gruptur. Gerçekten,
için
=
1 olması
= 1 olmasını gerektirdiğinden
dir.
ii) işlemi
üzerinde birleşme özelliğine sahip olduğu açıktır.
iii)
ve her
için
=
olduğundan
(
,
)
nın birim elemanıdır.
iv)
ise ile aralarında asal olduğundan
= 1 olacak şekilde
.
= 0 olduğundan
tersinirdir.
Ayrıca
için
olduğundan <
> değişmeli
bir gruptur.
i)
Önerme 1.7. ( Kısaltma Özelliği) (G,  ) bir grup ise  a,b,c  G için aşağıdaki ifadeler
sağlanır.
i) a  b  a  c  b  c
ii) a  c  b  c  a  b
İspat:
i) a  b  a  c  a1  (a  b)  a 1  (a  c)
 (a 1  a)  b  (a 1  a)  c
 bc
ii) a  c  b  c  (a  c)  c1  (b  c)  c 1
 a  (c  c 1 )  b  (c  c 1 )
 a e  be
5
 ab
Tanım 1.8.
olmak üzere
olmak üzere bir pozitif tam sayı ve
bir grup olsun.
olarak tanımlanır.
Teorem 1.9.
Bir
grubunda aşağıdaki gibi alınan herhangi
bir n (
) li çarpımda aşağıdaki kural geçerlidir :
(*)
.
olur.
İspat.
olsun. Şu halde
olup ( * ) eşitliğini
( ** )
olarak ifade edebiliriz. Şimdi k yı sabit tutalım ve ( ** ) eşitliğinin her
olduğunu tümevarımla gösterelim.
için Tanım 1.8 den
için doğru
eşitliği vardır.
ve iddia
için doğru olsun. Yani
olsun. Tanım 1.8 den
elde edilir ve böylece
den
eşitliği elde edilir. Birleşme özelliğinden
ve Tanım 1.8 den
olduğundan
eşitliğini ederiz. Böylece ispat tamamlanmış olur.
6
Önerme 1.10. ≠ bir küme ve , de bir ikili işlem olsun. işlemi, kapalılık ve
birleşme aksiyomları ile aşağıdaki aksiyomları sağlasın:
A)
olmak şartıyla
(sol birim) ve
B) de alınan herhangi bir a elemanı için
olmak şartıyla bir
( nın
sol tersi ) bulunabilsin. Bu takdirde kapalılık, birleşme, A), B) koşulları grup
aksiyomlarına denktirler.
İspat.
işlemi üzerinde kapalılık ve birleşme aksiyomlarını sağladığını kabul edelim.
Ayrıca A) ve B) özellikleri varsa ( ) nın bir grup olacağını gösterelim :
olur. Şu halde
elde ederiz. Böylece
dir.
Şimdi sol birimin de işlemine göre birim olduğunu yani
için
eşitliğini gösterelim. B) den
için
olacak şekilde
Böylece
elde ederiz.
Tersine,
,
bir grup ise A) ve B) özellikleri sağlanır.
vardır.
Not 1.11.
grubunda işlemi yerine genellikle “ toplama”
veya “çapma”
işaretleri kullanılır. İşlem
ise, gruba toplamsal grup denir. Bu durumda
yerine,
yazılır. Toplamsal grubun etkisiz elemanı 0G ile ve bir
elemanının tersi –
ile gösterilir. İşlem
ise, gruba çarpımsal grup denir. Bu durumda
yerine
veya ab yazılır. Çarpımsal grubun etkisiz elemanı
veya
( veya sadece e ) ile
gösterilir. Bir
nin tersi
ile gösterilir.
Şimdi çarpımsal bir grupta bir elemanın kuvvetini tanımlayalım.
Tanım 1.12.
bir çarpımsal grup ve
olsun.
için
7
0
0
0
ile tanımlanır.
Önerme 1.13.
i)
ii)
iii)
bir çarpımsal grup ve
olsun.
için,
değişmeli bir grup ise
İspat:
i)
olduğunu,
üzerinden tümevarım uygulayarak ispatlayalım.
için
olduğu tanımdan kolayca görülür.
için kabul edip
için eşitliği
ispatlayalım:
ii)
için
için eşitliği ispatlayalım :
iii) İspatı
özelliğinden
n
elde ederiz. Şimdi
olur. Eşitliğin n için doğru olduğunu kabul edip
üzerinden tümevarımla yapalım.
için
birleşme ve değişme
için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani,
olsun. Son eşitlin her iki yanını
ile çarparsak
elde ederiz. Birleşme ve değişme özelliğini kullanarak,
eşitliğini elde ederiz. Böylece ispatı tamamlamış oluruz.
8
için
Not 1.14.
için doğrudur.
olduğundan Önerme 1.13,
=
Tanım 1.15. ( ,+) bir grup ve
olsun.
için
0
0
0
0
ile tanımlanır.
Önerme 1.16. ( ,+) bir grup ve
i)
ii)
iii)
için
olsun.
İspat. Önerme 1.13 deki ispat teknikleriyle yapabiliriz.
Sorular
1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriniz.
(a)
birim eleman olmak üzere
.
(b)
olmak üzere
.
(c)
için
.
2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.
(a) tamsayılar kümesi ve
olmak üzere
,
(b) ℝ reel sayılar kümesi ve
olmak üzere ℝ ,
(c) ℝ pozitif reel sayılar kümesi
olmak üzere (ℝ , ).
3) ℝ reel sayılar olmak üzere ℝ =
işlemi altında ℝ
4)
ℝ
inceleyiniz.,
ℝ olmak üzere
nın bir grup olduğunu gösteriniz.
ve
olmak üzere
nin bir grup olup olmadığını
9
5)
ℚ
≠0
işlemine göre bir gruptur. Gösteriniz.
≠0
kümesi kompleks sayılardaki çarpma
6) ℝ reel sayılar olmak üzere
ℝ
ℝ ℝ olsun.
ℝ
ℝ
dönüşümünü tanımlayalım.
ℝ =
işlemi altında bir grup olduğunu gösteriniz.
7) ℚ rasyonel sayılar kümesi
olmak üzere ℚ
ile
ℝ kümesinin bileşke
bir grup mudur ?
8) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.
(a) Matrislerde toplama işlemine göre
lik reel matrislerin kümesi
(b) Matrislerde çarpma işlemine göre
lik reel matrislerin kümesi
(c)
lik reel değerli köşegen matrislerin
kümesi
9)
ℝ
ℝ
kümesinin matris çarpımına göre bir
grup oluşturduğunu gösteriniz.
kümesinin matris çarpımına göre bir grup oluşturduğunu
10)
0
gösteriniz. Ayrıca
deki her elemanın mertebesinin sonsuz olduğunu görünüz.
ℝ grubunda
11)
elemanının varsa tersini bulunuz.
12)
kümesinin
birlikte bir değişmeli grup olduğunu gösteriniz.
ikili işlemi ile
13)
kümesinin
şeklinde tanımlanan * işleme göre bir grup olup olmadığını inceleyiniz.
14) boş olmayan bir küme
in tüm alt kümelerinin ailesi (kuvvet kümesi) olmak
üzere aşağıda verilen ikili işlemlere göre
in bir grup olup olmadığını belirleyiniz.
olsun.
(a)
(b)
(c)
15)
bir grup ve
olduğunu gösteriniz.
olsun.
ve
ise
10
16) G bir grup olmak üzere
gösteriniz.
17) Bir G grubunda
18)
için
ise
ise, G grubunun değişmeli olduğunu
olduğunu gösteriniz.
olması için gerek ve yeter koşul
bir grup ve
olsun.
olmasıdır, gösteriniz.
19) Eleman sayısı çift olan bir grupta, tersi kendisine eşit olan birimden farklı bir eleman var
olduğunu ispatlayınız.
20) ℚ
ℚ
değişmeli grup olduğunu gösteriniz.
olmak üzere
21 )
bir grup ve
olsun. Şu halde,
G içinde bir tek çözümü olduğunu ispatlayınız.
22)
olmak üzere
ℚ
ve ℚ
ve
nin
denklemlerinin
0
) kümesinin çarpım altında bir grup olduğunu gösteriniz.
(
23) Aşağıdaki ifadeler doğru/ yanlış mıdır? Doğru ise ispatlayınız, yanlış ise nedenini bir
örnekle açıklayınız.
(a) Bir grupta birden fazla birim eleman bulunabilir.
(b) sonlu bir grup,
olsun.
olacak şekilde bir
vardır.
(c)
grup ise
denklemi de tek türlü çözüme sahiptir.
(d)
bir grup ve
olsun.
ise
dir.
(e)
bir grup ve
olsun.
dir.
(f) grubu iki elemanlı ise Abel grubudur.
(g)
bir grup ve
olsun.
dir.
(h) Bir grupta her lineer denklemin çözümü vardır.
KAYNAKLAR
[1] D.S.Malik, John.N.Mordeson, M.K.Sen, Abstract algebra, Mc Graw –Hill International
Editions,1997.
[2] Fethi Çallıalp, Örneklerle Soyut Cebir, Birsen Yayınevi, 2011.
[3] Göksel Ağargün, Erol Balkanay, Nilgün Aygör, Soyut Cebir, 2000.
[4] Joseph A.Gallian, Contemporary Abstract Algebra,1992.
[5] John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra.
[6] Thomas W. Hungerford, Algebra,Springer.
11