İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 HAREKET VE DENGE l1 l2 ln Q1 l1 = l1 (t ) Qn Q2 yörün ge P l2 = l2 (t ) K l3 = l3 (t ) Kati Cisim ise (P / K) göre hareketlidir ln = ln (t ) t1 ≤ t ≤ t 2 z zaman aralığında x = x(t ) yer vektörü r y = y (t ) ise (P/ oxyz) göre z = z (t ) P(x,y,z) y x yörünge DENGE: Eğer x=xo=sbt y=yo=sbt ise (P/oxyz) göre dengededir. z=zo=sbt hareketlidir. İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 SERBEST MADDESEL NOKTANIN DENGESİ z P(x,y,z) A F3 t = t0 anında, n R = F1 + F2 + ... + Fn = ∑ Fi = 0 ve Fn rA i=1 F2 F1 v A = 0 ise P noktası A R y konumunda dengededir. x İspat: P, A da dengede ise v A = 0 dır. rP = rA v= dr dr dr ⇒ vA = A = P = 0 ⇒ rP = rA = sbt t=0 anında sağlanıyor. Her t anında dt dt dt t=t0 da sağlanır yani vA=0 olur. a= dv dv A d 2rA = = 2 = 0 ⇒ ma = F ⇒ FA = 0 bulunur. Karşıt teoremde doğrudur. dt dt dt v A = 0, FA = 0 dengenin gerek ve yeter şartıdır. Aynı anda gerçeklenmeli. z NOT: A r r v A = v0 ≠ sbt r P y x vA = ∑F A =0 drA ≠0 dt drA = vO ⇒ dt rA = ∫ v O dt + c = v O t + c şeklinde bir yer vektörü ortaya çıkar. Maddesel nokta vO´ın doğrultusu ve yönünde hareket eder. İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı NOT: STATİK Bölüm 3 A vA = 0 P n R = ∑ Fi ≠ 0 ise ve bir engel yok ise maddesel nokta i =1 R doğrultusunda ve yönünde hareket eder. Denge Denklemi: z n X = ∑ Xi = 0 P R=0 n y R ∑F = 0 i =1 i i =1 => n Y = ∑ Yi = 0 i =1 n Z = ∑ Zi = 0 i =1 P(xP,yP,zP) bu üç denklemden çözülür. NOT: Tüm kuvvetler maddesel noktada kasiştikleri için; denge denklemrinde moment denklemine gerek yoktur. (Varignon teoremi) R = ∑ F = (6 x + 5 y + 8 z − 17)i + (−2 x + 2 y − 3 z − 25) j + (14 x − y + 10 z − 100)k X = ∑ FX = 6 x + 5 y + 8 z − 17 Y = ∑ FY = −2 x + 2 y − 3 z − 25 = 0 yazılarak P(x,y,z) çözülür. Z = ∑ FZ = 4 x − y + 10 z − 100 = 0 İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 BAĞLI MADDESEL NOKTANIN DENGESİ Tek taraflı bağ (temas) P 1 2 P tel P, teli terk edemez Bağ iki taraflı. 1 P 2 tarafına geçemez 2 Tanım: P temeas ettiği cismi hiçbir şaekilde terk edemiyorsa bağ iki taraflıdır. Tek tarafa doğru terk edebiliyorsa bağ tek taraflıdır. O O Bağ tek taraflı ip P Bağ iki taraflı çubuk P İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 BAĞ KUVVETLERİ Fb = Bağ kuvveti (Reaksiyon) Fb , Statik ve dinamik problemlerinde bilinmeyendir -Fb T Fb Temas kesilince bağ kuvveti sıfır olur. Fb = 0 -Fb Temas halinde ETKİ-TEPKİ prensibi geçerli. NOT: Bağ kuvveti terk edilebilen tarafa doğru etkir. Fb P 1 Fb = R 1 P 2 2 1 P Fb = R 2 P,Fb = 0 İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 NOT: Bağ kuvveti olmayan ve verilen her türden kuvvete AKTİF kuvvet denir. Aktif kuvveti Fa ile göstereceğiz. z P ∑F = F Fb a Xa + Xb = 0 (A) Ya + Yb = 0 Bağlı noktanın denge denklemleri Z a + Zb = 0 Fa O + Fb , Denge konumunda: y x SÜRTÜNMELİ SÜRTÜNMESİZ µ z O z Fb P µ . P P teget PPO = S α y Po y Cilali düzgün yüzey N teget x Bağ kuvveti ile teğet arasındaki açı α ≠ 90 dir. x Bağ Kuvveti teğete diktir. (B) Fb Fb ⋅ µ = 0 R ⋅u = 0 NOT: Xb, Yb, Zb ve S bilinmeyenlerdir. Bunları (A) ve (B) denklemleri ile çözeriz. Fb = F + N F: sürtünme kuvveti N: Normal tepki ∑ F = Bileşke Kuvvet ∑ F = Fa + Fb = Fa + F + N İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 Sürtünme Kanunları 1) v ≠ 0 için a) F ile v ters yönlü ve paralel (F // v) F × v = 0 ve F ⋅ v < 0 b) F =F ; N =N ise F=µd N dir µd = Dinamik sürtünme katsayısıdır. 0< µd <1 dir. Hareket halinde (Kinematik ve dinamik problemlerinde) µd kullanılır. 2) v=0 için ; a) F teğet doğrultusuna paralel ancak yönü belirsizdir ve sezgisel olarak serbest cisim diagramında gösterilir, hesaplarla doğruluğu kontrol edilir. b) 10) F < µs N ise maddesel nokta dengededir. µs , statik sürtünme katsayısıdır. 0< µs <1 ve µs > µd dir. 0 2 ) F = Fmak = µs N ise maddesel nokta dengededir fakat hareket etmek üzeredir. 30) F > Fmak = µs N durumunda denge yoktur hareket vardır. F ÖZET: Sürtünmesiz hal X a + Xb = 0 ∑ F = Bileşke = 0 ⇒ Fa + Fb = 0 ⇒ Ya + Yb = 0 Z a + Zb = 0 teget µ Den. Kon. Fa = mg Fb Den Kon. degil Fb µ Den. Kon. Fa = mg µ teget . Teğet doğrusunun birim vektörü µ(α , β , γ ) ise Fb ⋅ µ = 0 ⇒ α X b + β Yb + γ Z b ol mak üzere dört denklem var. Xb, Yb, Zb ve PPO=S bilinmeyenleri için denklemler çözülür. İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 N Fb Yüzey: Fb yüzeyinher noktasında yüzey normaline (n) paralel ise(verilen noktadaki teğet düzleme dik ise); P ile S yüzeyi sürtünmesizdir denir. n . P S Bilinenler: Xa + Xb = 0 Ya + Yb = 0 Z a + Zb = 0 Fb // n ⇒ Fb × n = 0 veya İstenenler: Xb Yb ve P nin x,y,z konumu Zb X b Yb Z b = = ⇒ iki skaler denklem verir nx ny nz NOT: F ( x, y, z ) = 0 veya z = f ( x, y ) yüzey denkleminin normali: ∂f ∂f ∂f N = i + j + k şeklindedir. ∂x ∂y ∂z X Y Z X Y Z Fb // n // N ⇒ b = b = b = b = b = b ∂f ∂f ∂f n x n y n z ∂x ∂y ∂z İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 BÖLÜM III DENGE ( EQUILIBRIUM ) Bir kuvvet sisteminde, R = ΣF = 0 M = ΣM = 0 ise, bu kuvvet sistemi dengededir denir. Bir cisme etki eden dış kuvvetler ve cismin diğer cisimlerden izole edilmesi sonucunda bulunan bağ kuvvetlerinin tamamını gösteren diyagrama Serbest Cisim Diyagramı (Free Body Diagram) denir. Denge denklemleri serbest cisim diyagramına uygulanır. Aşağıdaki şekillerde, cisimlere uygulanan değişik kuvvet şekilleri görülmektedir. Halat,zincir,kayış kısa kablo Ağırlık ihmal Ağırlık var Sürtünmesiz Yüzeyler Sürtünmeli Yüzeyler Kayıcı Mesnet Cilalı Çubuk, Cilalı Yarık İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 KATI CİSMİN DENGESİ (Maddesel Sistemlerin Statiği) Maddesel Sistem P2 P1 z Pi F2 F1 Pi +1 Pn Kuvvetler: I: a)Aktif Kuvvetler b) Bağ Kuvvetleri II: a)İç Kuvvetler b)Dış Kuvvetler y İç Kuvvetler: İkişer ikişer etki prensibine göre oluşurlar. Tek bir maddesel noktanın iç kuvveti yoktur. Teorem: İç kuvvetler sıfıra denk bir kuvvet sistemi oluştururlar. n n i =1 i =1 R iç = ∑ Fi = 0, M O iç = ∑ OA i × Fi iç = 0 R=0 ise ( S ) ≡ (0) MO = 0 (S ) Yani kuvvet sisteminin maddesel sisteme öteleme veya dönme gibi herhangi bir hareket yaptırma yeteneği yoktur. Dış Kuvvetler: Fj Pj S2 Fi Pi P1 P2 F1iç F2iç Fi = −Fj S1 Uzaktan uzağa etkiyen dış kuvvetler P2 P1 F1 dış F2 dış İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 DÜZLEMSEL KUVVETLER MAFSAL x y GÖMME VEYA SABİT MESNET ANKASTRE (GÖMME) SABİT (KAYNAKLI) YERÇEKİMİ YAY ETKİSİ Serbest Cisim Diyagramının Çizilmesi I. Adım : Öncelikle hangi cismin izole edileceği, bunun getireceği bilinmeyen kuvvetleri de dikkate alarak kararlaştırılır. II. Adım : İzole edilmesi kararlaştırılan cisim, dış çevresini alarak izole edilir. Bu dış çevre, cismin diğer bütün cisimlerle temasını kaldıracak şekilde seçilir. İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 F1 F1 : Bağ kuvveti ve dış kuvvet F2 ve -F2 Bağ kuvveti ve iç kuvvet m1g : Aktif dış kuvvet m2g : Aktif dış kuvvet O a θ G1 a F2 A b m1g F1 (Bağ kuvveti, dış kuv.) O G2 b −F2 ϕ a G2 b −F2 a B m1g m2g b G1 F2 (Bağ kuvveti, dış kuv.) A m1g (Aktif, dış kuvvet) −F2 −F2 (Bağ kuvveti, dış kuv.) m2 g (Aktif, dış kuvvet) B m2g P1 P2 F −F F ve –F Pergel için iç aktif kuvvettir. Evrensel çekim kanununa göre : mm F = F = −F = k 1 2 2 dir. r Diğer aktif kuvvetlerin yanında çok küçüktür, ihmal edilir. Maddesel sistemin dengede olması için gerek şart; sisteme etkiyen tüm dış kuvvetlerin sıfıra denk bir kuvvet sistemi oluşturmasıdır. İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 KATI CİSİM BAĞLANTILARI (İKİ BOYUTLU KUVVET SİSTEMLERİ) Bağlantı Tipi θ Bilinmeyen Sayısı Reaksiyon . . θ F F Hafif Kablo . . θ Ağırlıksız Kol (Bağlantı) . θ θ θ F F .. Kayıcı Mafsal (Rolle r) Kayıcı Mafsal veya Sürtün mez θ Pin Sürtünme siz yüz e y . F . . F θ F θ . θ . F θ Cilalı yarık F . Fx Pürüz lü yüz e y F F F θ F . Mafsal (Pin) . . F θ Ci lalı çubuk F F θ . Kayıcı Mafsal (Rocke r) F F veya Fx ve Fy Fy İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 III. Adım : İzole edilmiş cismin diğer cisimlerden ayrılan konumlarına, bağ şekline uygun olarak gerekli bütün bağ kuvvetleri ilave edilir. Cisme etki eden ve bilinen bütün dış kuvvet ve momentler işaretlenir. IV. Adım : Uygun eksen takımı seçilir. Bir cismin dengesini inceleyebilmek için serbest cisim diyagramının doğru çizilmesi en önemli adımdır. Aşağıdaki şekillerde bazı örnek serbest cisim diyagramları görülmektedir. ÖRNEK SERBEST CİSİM DİYAGRAMLARI KİRİŞ İÇ BAĞLANTILI CİSİMLERİN SİSTEMİ MEKANİZMA İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı z O STATİK Bölüm 3 Fiiç Pi S ri Fidış y S0 S maddesel sistemi S0 konumunda hızsız ise S, sistemine etkiyen toplam kuvvetin sıfıra denk bir sistem oluşturduğunu görelim: dri dri0 ri = r = sb ⇒ V = = =0 dt dt 0 i x 0 i Bu sonuç sitemin tüm noktaları için geçerlidir. dVi d 2ri dVi0 ai = = 2 ⇒ ai = =0 dt dt dt ma = F ⇒ ∑ F = F = Fiç + Fdış = 0 olur. n Fiç = ∑ Fiiç = 0 olduğundan i =1 n Fdış = ∑ Fidış = 0 elde edilir. i =1 n Fiç = ∑ Fiiç = 0 olduğundan i =1 n Fdış = ∑ Fidış = 0 elde edilir. Bu birtek Pi noktası için geçerli olduğu gibi sistemin i =1 tüm noktaları için de geçerlidir. n Denk. F dış = (0) R = ∑ Fidış = 0 i =1 n M 0 = ∑ OA i × F i =1 d ış i A =0 Denklemleri Maddesel Sistemin denge denklemleridir. NOT: Maddesel system bir katı cisim ise A denklemleri Katı cismin dengede olmasının gerek ve yeter şartıdır. NOT: Maddesel cisim Katı cisim değilse A gerektir fakat yetmez. M0 = 0 ; R = 0 olur. O -F F Lastik Fakat Lastik dengede değildir. İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı Örnek serbest cisim diyagramları EKSİK KUVVETLERİ TAMAMLAYINIZ KRANK KONTROL KOLU STATİK Bölüm 3 İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 T 1. Krank mg Ax . Ay M 2. Kontrol Kolu Fx P Fy mg 3. Kaldırma Çubuğu T Ox Oy Ax 4. Homojen Sandık F x=B x By . 5. Yüklü Konsol Ax . Ay B L İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 Örnek serbest cisim diyagramları HATALI VEYA EKSİK ÇİZİMLER KALDIRAÇ İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 P 1. Çim biçme mg θ N P R 2. Manivela (Kaldırma) Kolu N 3. Düzgün Çubuk T mg Rx Ry By Bx 4. Dik Destek Konsolu Ax Ay MA F 5. Bükülme Çubuğu Ax Ay M İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 Örnek serbest cisim diyagramları SERBEST CİSİM DİYAGRAMLARINI TAM VE DOĞRU ÇİZİNİZ İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 2. Köşeye Dayanan Tekerlek 1. Düzgün Çubuk F T B P . . N mg N1 ğe te N2 mg t 3- Yüklü kafes 4- Düzgün Çubuk T Ax N2 . Ay L Ax mg m 0g N1 Ay 5- Düzgün Disk T 6- L Yükü ile esnek çubuk A F Ax N mg . M 7- Düzgün Levha B Bx Ay L By 8- Tüm Çerçeve T By Bx Ax Ay M Ax mg T Ay L İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 Denge Şartları : (Düzlemsel kuvvet Sistemi) Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ MO = 0 Değişik Düzlemsel Kuvvet Sistemlerinde Denge Şartları 1- Aynı Doğrultudaki Kuvvetlerin Dengesi 2- Aynı noktada Kesişen Kuvvet Sisteminin Dengesi 3- Paralel Kuvvet Sisteminin Dengesi 4- Genel Halde Düzlemsel Kuvvet Sisteminin Dengesi İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 İki Kuvvetli Elemanların Dengesi Üç Kuvvetli Elemanların Dengesi Kuvvet Üçgeni Alternatif Denge Denklemleri Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ MO = 0 (GENEL) Σ Fx = 0 Σ MA = 0 Σ MB = 0 (A ve B x’e dik olmayan bir doğru üzerinde olmalı) Σ MA = 0 Σ MB = 0 Σ MC = 0 (A, B ve C noktaları aynı doğrultuda olmamak şartı ile) İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı ΣM A = 0 ve ΣF = R ≠ 0 ise R, A'dan geçer. STATİK Bölüm 3 A ve B x'e dik doğru üzerinde değil Statikçe Belirlilik (İzo Statik Sistemler: (Tüm bilinmeyenler hesaplanabilir) Statikçe Belirsizlik (Hiperstatik Sistemler) : (Bilinmeyen sayısı denklemden fazla) DÜZLEMSEL HAL : Bağları uygun (A için) STATİK OLARAK ÇÖZÜLEBİLİR. EKSİK BAĞLI, yüklendiği zaman düşey hareket eder. (A etrafında döner) EKSİK (BAĞLARI UYGUN DEĞİL) BAĞLI. Yüklendiği zaman düşey hareket eder. GEREKSİZ BAĞLI (4) İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı UZAYSAL KUVVET SİSTEMLERİNİN DENGESİ Değişik Uzaysal Kuvvet Sistemlerinin Dengesi - Bir Noktada Kesişen Kuvvet Sisteminin Dengesi - Bir Ekseni Kesen Kuvvet Sisteminin Dengesi - Paralel Kuvvet Sisteminin Dengesi - Genel Halde Kuvvet Sisteminin Dengesi STATİK Bölüm 3 İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 Değişik Bağ Şekillerinde Cismin İzole Edilmesi Ray üzerinde tekerlek Küresel Mafsal Küresel Mafsal Gömme veya Kaynak Saplama yatak İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 Statikçe Belirlilik (İzo Statik Sistemler) Statikçe Belirsizlik (Hiperstatik Sistemler) 1, 2, 3 A daki bağlarla sabitlenir. 4 Bağı 1 etrafında dönmeyi önler. 5 Bağı 2 etrafındaki dönmeyi önler. 6 Bağı cismin 3 etrafında dönmesini önler. Tam sabitleme bağlar yeterli. Eksik bağlı AE etrafında dönebilir. Eksik Bağlı y doğrultusunda harekete dayanıklı değil. 7. ci bağ gereksiz. Statik olarak çözülemez. İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 Örnek Problem 3-1 : Şekildeki makara sisteminde C makarasına etkiyen toplam kuvveti bulunuz. Makaraların ağırlıkları ihmal ediliyor. Sürtünme yok. T C . r O2 T3 30° Fx C T4 T3 O1. r y r x T2 T1 . B T2 Fy r T θ=30° r B A O r A . A Makarası : 500(9,81)N 500kg ΣM 0 = 0 ⇒ (−T1r + T2 r) = 0 ⇒ T1 =T2 ΣFy = 0 ⇒ T1 +T2 − 500(9,81) = 0 ⇒ 2T1 = 500(9,81) N T1 = T2 = 2450 N B Makarası: ΣM O1 = 0 ⇒ (−T3 r + T4 r) = 0 ⇒ T3 =T4 ΣFy = 0 ⇒ T3 +T4 − T2 = 0 ⇒ 2T3 = T2 = 2450 N T3 = T4 = 2450 = 1225 N 2 C Makarası: ΣM O2 = 0 ⇒ T3 =T = 1225 N ΣFx = 0 ⇒ T cos 30 − Fx = 0 ⇒ Fx = 1225.cos 30 = 1062 N ΣFy = 0 ⇒ T sin 30 + Fy − T3 = 0 ⇒ Fy = T .sin 30 + T3 Fy = −1225(0.5) + 1225 = 613 N ΣF = ΣFx2 + ΣFy2 = 10622 + 6132 = 1226 N İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 Örnek Problem 3-2: 100 kg’lık düzgün kiriş A ve B uçlarında kayıcı mafsalla mesnetlenmiştir. Şekildeki ip ile B ucunu A etrafında 3 m yukarı kaldırmak istiyoruz. P kuvvetini, A daki bağ kuvvetini (reaksiyonu) ve θ açısını hesaplayınız. . A . 6m 2m B . G y P B . C . 2m . 2m 4m θ 100(9,81) A . R ΣM A = 0 ⇒ P(6.cos θ ) − 100(9,81)(4 cos θ ) = 0 ⇒ P = P = 654 N ΣFy = 0 ⇒ 654 − 981 + R = 0 R = 327 N 3 3 sin θ = ⇒ θ = arcsin = 22° 8 8 981(4) 4 x İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı STATİK Bölüm 3 Örnek Problem 3-3 : Şekildeki vinç kolunun A mafsalındaki kuvveti ve kablodaki T gerilmesini bulunuz. Çubuk 0,5 m genişliğinde standart bir kiriş olup kütlesi 95 kg. W = 95.(9,81).(10-3) = 4,66 kN A .. B 25° 0,25 m o o 5m T 25° Ax 1,5 m 0,12 m y A 10 kN Ay W 10 kN ΣM A = 0 ⇒ T .cos 25.(0, 25) + T .sin 25.(5 − 0,12) −10(5 − 1,5 − 0,12) − 4, 66(5 − 0,12) T = 19, 61 ΣFx = 0 ⇒ Ax − 19, 61.cos 25 = 0 Ax = 17, 77 kN ΣFy = 0 ⇒ Ay − 19, 61.sin 25 − 4, 66 − 10 = 0 Ay = 6,37 kN A = Ax2 + Ay2 = (17, 77) 2 + (6,37) 2 A = 18,88 kN tan θ = Ay Ax θ =? x