Denklem Sistemleri Ve Matrisler

TBF 122 - Genel Matematik II
DERS – 3 : Matrislerde İşlemler, Ters Matris
Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş
Başkent Üniversitesi
Matrislerle ilgili temel tanımlarımızı anımsayalım.
m tane satır ve n tane sütun oluşturacak biçimde dizilmiş mn tane sayının oluşturduğu tabloya bir m  n matris denir. Bir m × n matris A genellikle aşağıdaki gibi
gösterilir.
a11 a12
a
21 a 22

A


a m1 a m 2
 a1n 
 a2n 




 a mn 
veya
A = [aij] , 1  i  m ; 1  j  n.
A matrisini oluşturan sayılardan her birine A nın bir girdi(entry)si denir. A matrisinin
mn tane girdisi m satır(row) ve n sütun(column) oluşturacak biçimde düzenlenmiştir.
A matrisinin i–inci satırında ve j–inci sütununda bulunan aij girdisine A nın i-j girdisi
denir. m × n ifadesine A matrisinin büyüklüğü(magnitude), m ve n sayılarına da A matrisinin boyutları(dimensions) denir.
Sadece bir satırdan oluşan bir matrise satır matrisi , sadece bir sütundan oluşan bir
matrise sütun matrisi denir. Örneğin, aşağıda A bir 1×3 satır matrisi, B bir 2×1 sütun
matrisidir.
A5
3 1 
 5
B 
 2 
Bir matrisin her bir satırı bir satır matrisi, her bir sütunu da bir sütun matrisi olarak
düşünülebilir. Örneğin A = [aij] , 1  i  m ; 1  j  n matrisinin birinci satırı
a11
a12
 a1n 
a21
a22
 a2 n 
ikinci satırı
birinci sütunu
a11 


a
 21 
 


a
 m1 
ikinci sütunu
a12 


a
 22 
 


a
 m2 
dir.
İki Matrisin Eşitliği. Büyüklükleri ve karşılıklı girdileri eşit olan matrisler birbirine
eşittir. Başka bir ifade ile
A = [aij] , 1  i  m ; 1  j  n ve B = [bij] , 1  i  r ; 1  j  s
matrisleri için
A = B  m = r , n = s ve her i = 1, ... ,m ; j = 1, .. ,n için aij = bij .
İki Matrisin Toplamı. Büyüklükleri aynı olan iki matrisin karşılıklı girdileri toplanarak
elde edilen aynı büyüklükteki matrise bu iki matrisin toplamı denir. Örneğin,
a
c

b
x

z
d 

y
a  x

c  z
t 

b  y
.
d  t 
• Büyüklükleri farklı olan iki matrisin toplamı tanımsızdır.
• Matris toplamının birleşme ve değişme özellikleri vardır: A, B ve C , büyüklükleri
aynı olan matrisler ise
» A +(B+C) = (A + B) + C
» A+B=B+A
Bir Matrisle bir Skalerin Çarpımı. Matrislerle birlikte sayılardan söz ederken, sayı
sözcüğü yerine skaler sözcüğünü kullanmak adettir. Bir matris ile bir skalerin çarpımı,
matrisin her girdisinin o skalerle çarpılmasıyla elde edilen matristir.
Örnek.
x
s
z
y
 sx

 sz
t 

sy 
.
st 
Örnek. Aşağıdaki matris işlemlerini yapınız
0
1
4  1 1  
 2  2
0
4
 4 4 


 8  8
0
 2  1  1
4
  4  1 1  
3

 

 5 1   2  2
0
 2  1  4
6  1 
4
    4 4   0 7 
3


 


 5 1   8  8
3  7 
Sıfır Matrisi. Her girdisi sıfır olan matrise sıfır matrisi denir. Her büyüklükten sıfır
matrisi düşünülebilir. Örneğin
0
0
0
0
0
0
0
.
0
,
0
,
0


0
0
0
0


0
0
Sıfır matrisi genellikle büyük O harfi ile gösterilir. Büyüklük vurgulanmak istenirse, Omn
gösterimi kullanılır.
• M bir matris ve O onunla aynı büyüklükte sıfır matrisi ise M + O = O + M = M
dir.
• Her matrisin sıfır skaleri ile çarpımı o matrisle aynı büyüklükteki sıfır matrisidir.
Bir Matrisin Toplamsal Tersi. Bir M matrisinin her girdisinin işareti değiştirilerek elde
edilen matrise o matrisin toplamsal tersi denir ve M nin toplamsal tersi -M ile gösterilir.
• Her M matrisi için
M + (-M) = (-M) + M = O dır.
• Her M matrisi için
(-1) (M) = -M dir.
İki Matrisin Farkı. A ve B aynı büyüklükte iki matris ise, A ve B nin farkı
A - B = A + (-B)
olarak tanımlanır.
Örnekler.
2 0 1   1 1  3 2  (1) 0  1 1  (3)
3 1  1   3 2 5    3  3 1  2  1  5 

 
 

3  1 4 

.

0  1  6 
 3  1  1 3 
 4  4
4
   2  2   2
.
0
2

 



 2 5   0
 2 2 
3 
Bir Satır ile bir Sütunun Çarpımı. Aynı sayıda girdiye sahip olan bir satır ve bir sütunun
çarpımı şöyle tanımlanır:
a1
a2
 an 
b1 
b 
 2   a1b1  a 2 b2    a n bn
 
 
bn 
Sayısal örnekler verelim:
2
1
3
 3
 1
 
 2
 2  3  ( 1)  1  3  ( 2)   1 .
  3
1
2 3  1 4    2  (3)  3 1  (1)  (2)  4 1 
  2
 
1
3.
İki Matrisin Çarpımı. A bir m p matris ve B bir p n matris (A nın sütun sayısı ile
B nin satır sayısı aynı) ise, A ile B nin çarpımı; i-j girdisi A nın i-inci satırı ile B
nin j-inci sütununun çarpımı olan m n matristir. Bu çarpım AB ile gösterilir.
A = [aij] , 1  i  m ; 1  j  p ve B = [bij] , 1  i  p ; 1  j  n ise,
AB = [cij] , cij= ai1b1j + ai2b2j +
. . .
+ aipbpj
,
1 i  m ; 1  j  n .
Başka bir anlatımla
a11 a12


A  a i1 a i 2



a m1 a m 2
a11 a12


AB  a i1 a i 2



a m1 a m 2
 a1 p 



 a ip 




 a mp 
 a1 p 



 a ip 




 a mp 
cij= ai1b1j + ai2b2j +
b11  b1 j  b1n 






, B  bi1  bij  bin 







b

b

b
 p1
pj
pn 

b11  b1 j  b1n 






b
 bij  bin 
i1







b

b

b
 p1
pj
pn 

. . .
+ aipbpj
,
matrisleri için
c11


 c i1



c m1
 c1n 




 c ij  c in 




 c mj  c mn 
 c1 j
1 i  m ; 1  j  n .
Örnekler.
1.1 + (-2).2 + 0.4 + 3.3= 6
 1 2
 2 1

 0 1
0 3
3 6
7 0 
1 2
 2 1 


 4 1


2
3
 6
 




6 
0. (-2) + 1. (-1) + 7.1 + 0.2 = 6
1 2
 2 1 


 4 1


3
2


1 2
 2 1 


 4 1


3
2


 3 2 3 
 1 5 6 


 1 2
 2 1

 0 1
0 3
3 6
7 0 






-3






tanımsız . . .
4. (-2) + 1. 5 = -3
• Matris çarpımının birleşme özelliği vardır: A, B ve C aşağıdaki çarpım gerçekleşecek büyüklükte matrisler ise, gösterilen eşitlik geçerlidir:
A (B C) = (A B) C .
• Matris çarpımının değişme özelliği yoktur: AB  BA olan matrisler vardır.
1 0 
A 

1
0


1 1 
, B 

0
0


1 0  1 1  1 1
AB  





1
0
0
0
1
1

 
 

matrisleri için
1 1  1 0   2 0 
, BA  





 0 0  1 0   0 0 
olup AB  BA dır.
• Matris çarpımının toplama üzerinde dağılma özelliği vardır: A, B ve C aşağıdaki
işlemler gerçekleşecek büyüklükte matrisler ise, gösterilen eşitlikler geçerlidir:
A (B + C) = (A B) + (A C )
,
(A + B) C = (A C) + (B C) .
Bir Matrisin Devriği(Transpozesi). Bir mn matris A verildiğinde, A nın devriği
( ya da transpozesi) denilen ve AT ile gösterilen nm matris şöyle tanımlanır: her i
ve j için AT nin i-j girdisi, A nın j-i girdisidir.
Bu tanımdan kolayca görülebileceği üzere, AT nin i-inci satırı A nın i-nci sütunu ve
AT nin j-inci sütunu A nın j-inci satırıdır.
Örnek.
2
3 4
1

A   3 0
4 6
 5  1  2 7 
a11 a12  a1n 
a

a

a
21
22
2
n

A 





a
a

a
m2
mn 
 m1


1  3 5 
2 0  1 
T

A 
 3 4  2


7
4 6
a11
a
AT   12


a1n
a21
a22
a2 n
1 4 
B  0 3
2 5
 am1 
 am 2 



 amn 

1 0 2 
BT  

4 3 5
Özellikler.
• (AT)T=A
• (sA)T= s AT
• (A+B)T= AT+BT
• (AB)T= BT AT
Kare Matrisler. Satır sayısı sütun sayısına eşit olan bir matrise kare matris adı verilir.
a11 a12

a a
A   21 22


a n1 a n 2
 a1n 

 a 2n 



 a nn 
köşegen
bir n n kare matristir. Bu matrisin a11 , a22 , . . . , ann girdilerine matrisin köşegen
girdileri denir.
Birim Matris. Köşegen girdilerinin her biri 1, geri kalan tüm girdileri 0 olan bir matrise
birim matris adı verilir. Büyüklüğü n n olan birim matris In ile, büyüklüğün ne olduğu
biliniyorsa veya büyüklüğe gönderme yapılması gerekmiyorsa, birim matris I ile gösterilir.
1 0  0 0 
0 1  0 0 

In  





0
0

0
1


köşegen
•Birim matrisin önemli bir özelliğini kaydedelim: Her m n matris A için
A In = A = Im A .
Kare matrislerle ilgili önemli bir özellik de şudur. Bir indirgenmiş kare matrisin sıfır satırı
yoksa, o kare matris birim matristir. Çünkü, her satırı sıfırdan farklı olan bir indirgenmiş
kare matrisin her satırının soldan itibaren sıfırdan farklı ilk girdisi olan 1 o satırdaki
yegane sıfırdan farklı girdidir ve indirgenmiş olma koşulu bu girdinin kare matrisin bir
köşegen girdisi olmasını gerektirir.
Örnek.
 2 1 3 
1 0
2 

 1 1  2
matrisinin indirgenmiş biçimi birim matristir:
 2 1 3 
2
1 0
1 0 2 
2
1 0
1 0






2   2 1 3
0 


  0  1  1  0 1
 1 1  2
 1 1  2
0 1 0 
0  1  1
1 0 0
1 0 2 


 0 1 0   0 1 0
0 0 1
0 0  1
Bir Kare Matrisin Tersi. A bir n n matris ve In , n n birim matris olmak üzere
A (A -1 ) = (A -1 ) A = In
olacak biçimde bir
kısaca tersi denir.
A
-1
matrisi varsa, bu matrise A matrisinin çarpımsal tersi veya
• Bir matrisin çarpımsal tersi bulunmayabilir; ancak, varsa tektir.
1 1

1 1
Örnek. A  
matrisinin tersi var mıdır? Başka bir deyimle
 1 1   x y  x y  1 1   1 0 
 1 1   z t    z t   1 1   0 1 

 
 
 
 

 x y
olacak biçimde bir 
var mıdır? Aşağıda görülüyor ki, böyle bir matris yoktur.

z t 
x  z  1
 y t 0
 1 1   x y  1 0 




1 1  z t   0 1

 
 

x  z  0
 y  t  1
Örnek.
1 1
A 

0 1
matrisinin tersi var mıdır? Başka bir deyimle
1 1  
0 1 

 
 x
olacak biçimde bir 
z
y  x y  1 1   1 0 






z t   z t   0 1   0 1 
y
var mıdır? Önceki örnekteki gibi ilerleyelim

t 
 1
x
x  z  1
 y
 y t 0
 1
 1 1   x y  1 0 



 0 1   z t   0 1   
z  0
z 0

 
 





t 1
t 1
x
1  1
A1  
.
0
1


• Bir matrisin çarpımsal tersini bulurken yukarıda olduğu gibi daima bir denklem
sistemi çözmemiz gerekmez. İleride bir matrisin tersini bulmak için daha elverişli
yöntemler göreceğiz. Yukarıda, A matrisinin tersini bulurken sadece A (A-1) = In
eşitliğini sağlayan bir A-1 matrisi bulduğumuza dikkât etmişsinizdir. Bunun yeterli
olduğu, yani A (A-1 )=In eşitliği sağlanıyorsa, (A-1) A = In eşitliğinin de sağlanacağı
gösterilebilir.
Şu ana kadar matrislerle ilgili tüm işlemleri tanımlamış bulunuyoruz. Daha önce, doğrusal denklem sistemlerinin çözümünde matrisleri kullanmıştık(ilaveli matris). Şimdi doğrusal denklem sistemleri ile matrisler arasında daha yakın bir ilişki olduğunu göreceğiz:
a11 x1  a12 x2 
a x  a x 
 21 1
22 2


am1 x1  am 2 x2 
. . .  a1n xn  b1
. . .  a2 n xn  b2
...

AX  B
. . .  amn xn  bm
denklem sisteminin katsayıları bir m × n matris, değişkenleri bir n × 1 sütun matrisi ve
sağ taraf sabitleri de bir m × 1 sütun matrisi oluştururlar:
a11 a12
a
21 a 22

A


a m1 a m 2
 a1n 
 a2n 




 a mn 
,
 x1 
 
x
X  2
 
 
 xn 
b1 
 
b
, B  2 
 
 
bm 
Kolayca görülebileceği üzere, x1 , x2 , . . . , xn sayılarının yukarıdaki sistemin bir çözümü
olması için gerek ve yeter koşul, bu sayıların oluşturduğu X matrisinin
AX  B
matris denklemini sağlamasıdır. A matrisine sistemin katsayılar matrisi denir. Sistemin
ilaveli matrisinin katsayılar matrisi ile sağ taraf sabitleri matrisinin yan yana getirilmesiyle elde edildiğine dikkât ediniz.
Denklem sayısı değişken sayısına eşit olan bir doğrusal denklem sisteminin katsayılar
matrisi bir kare matristir. Böyle bir sistemin bir ve yalnız bir çözümü olması için gerek ve
yeter koşul, sistemin ilaveli matrisinin indirgenmiş biçimindeki sıfırdan farklı satır
sayısının sütun sayısından bir fazla olmasıdır ki, bu, sistemin katsayılar matrisinin indirgenmiş biçiminin birim matris olmasına denktir. Bu durum katsayılar matrisinin tersinin
var olmasına da denktir ve çözümün bulunmasında ters matristen yaralanılabilir.
Denklem sayısı değişken sayısına eşit olan bir doğrusal denklem sistemi düşünelim.
a11 x1  a12 x 2 

a 21 x1  a 22 x 2 



a n1 x1  a n 2 x 2 
. . .  a1n x n  b1
. . .  a 2 n x n  b2
...
,
. . .  a nn x n  bn
a11 a12

a 21 a 22

A


a n1 a n 2
 a1n 
 x1 

 
 a 2n 
x
, X  2

 

 

 a nn 
 xn 
Bu sisteme denk olan matris denklemi
AX  B
dir. Eğer A matrisinin tersi A -1 varsa, sistemin çözümü şöyle bulunur:
AX  B
1
1
 A ( AX )  A B
 ( A1 A) X  A1 B
 I n X  A1 B 
X  A1 B
b1 
 
b
, B  2
 
 
bn 
Denklem sayısı değişken sayısına eşit olan bir sistemin bir ve yalnız bir çözümü olması için
gerek ve yeter koşul, sistemin ilaveli matrisinin indirgenmiş biçimindeki sütun sayısının
sıfırdan farklı satır sayısından bir fazla olması, yani hiç sıfır satırı bulunmamasıdır ki, bu,
sistemin katsayılar matrisinin indirgenmiş biçiminin birim matris olmasına denktir.
Katsayılar matrisi A nın indirgenmiş biçimi I ise, ilaveli matris [A | B] nin indirgenmiş
biçimi [I | C] biçimindedir ve C nin girdileri sistemin tek türlü belirli çözümünü verir.
Dolayısıyla, bu durumda AC=B olur ve AX=B matris denkleminin bir ve yalnız bir
çözümü vardır.
Yukarıdaki gösterimlerle, AX=B matris denkleminin bir ve yalnız bir çözümü bulunsun.
Eğer birim matris I nın sütunları, sırasıyla, B1, B2, . . . , Bn
ile gösterilirse,
AX1=B1 , AX2=B2 , . . . , AXn=Bn
olacak biçimde, tek türlü belirli, X1, X2, . . . , Xn sütun matrisleri vardır. Bu sütun
matrislerini, sırasıyla, birinci, ikinci, . . . , n – inci sütun alarak oluşturulan matris A nın
tersi olur.
Bu gözlemleri bir teorem olarak ifade edelim.
Teorem.
A bir nn matris ise, aşağıdakiler denktir:
a) A nın tersi, A-1, vardır.
b) AX=B denkleminin bir tek çözümü vardır.
c) A nın indirgenmiş biçimi nn birim matris, In , dir.
Denklem sayısı değişken sayısına eşit olan doğrusal denklem sistemlerinin çözümünde ters
matris kullanılabileceğini gördük.
Bir kare matrisin tersi nasıl bulunur? Tersinir bir matrisin tersini bulmak için yukarıdaki
gözlemlerden hareketle elde edilen pratik bir yol vardır.
A tersinir bir n n kare matris ise, A nın indirgenmiş biçiminin n n birim matris, In ,
olacağını ve birim matrisin sütunları, sırasıyla, B1, B2, . . . , Bn ile gösterilirse,
AX1=B1 , AX2=B2 , . . . , AXn=Bn
olacak biçimde tek türlü belirli sütun matrisleri X1, X2, . . . , Xn bulunacağını biliyoruz.
Bu sütun matrisleri, A -1 in sütunlarını oluştururlar ve bunların varlığı ve tekliği , [A | I]
matrisinin indirgenmiş biçiminin [I | A-1] olduğunu gösterir.
A | I 
Satır işlemleri
     
I | A 
1
1 1
matrisinin tersini bu yöntemle bulalım:

 0 1
Örnek. A  
A | I   
1 1 1 0

0 1 0 1 
1 0 1  1
   

0
1
0
1



 


 S 2  S1  S1
I
A1
3  1
 3
Örnek. A    2  2 1  matrisinin tersini bulalım:


  4  5 2
 3 3  1 1 0 0
A | I    2  2 1 0 1 0
 4  5 2 0 0 1
1
 1
    0
0

 0  1
2 S1  S 2  S 2
4 S1  S 3  S 3
1
S  S S

1S  S

  0
 0
2
1
2
2
2
 1 1
 2  2

 4  5
2  S1  S1
S

0 1 1 0
1 2 3 0
2 4 4 1 
2  S3
S

1 
2 S  S S

2 S  S S
1  2  4  4  1 



0 1
2 3 0 
0
2
5
5
3
2
3
2
1
1
1
 1 1
A1   0 2  1
 2 3 0 
1 1 0
1 0 1 0

2 0 0 1
0
1
 1
 0 1

 0
0




0 1 1 0
2 4 4 1 
1 2 3 0
0 0 1 1
1
0 1 0 0 2  1
0 0 1 2
3 0
  
1
I
A 1
Hata yapıp yapmadığımızı
görmek için A A -1 çarpımını hesaplayabiliriz.
Şimdi önceki örnekte bulduğumuz ters matrisi denklem sistemi çözümünde kullanalım.
Tersini bulduğumuz A matrisi daha önce Gauss-Jordan yok etme yöntemi ile çözdüğümüz
aşağıdaki doğrusal denklem sisteminin katsayılar matrisidir.
 3 x1  3 x 2  x 3  1

  2 x1  2 x 2  x 3  1 , A 
 4 x  5 x  2 x  1
1
2
3

3  1
 3
  2  2 1


  4  5 2
,
 x1 
X   x2 
 x3 
1 
, B  1 
 
 1 

AX  B  X  A1B
1
 1 1
A1   0 2  1
 2 3 0 
1  1 
 1 1
X  A 1 B   0
2  1  1 
 2
3
0  1 
1
  1 
 5 
Ç = { (1 , 1 , 5) } .
Yukarıdaki biçimde denklem sistemi çözmeye ters matris yöntemi ile çözüm denir.
Ters matris yöntemi ile çözüm yapılabilmesi için değişken sayısı ile denklem sayısının eşit
olması ve katsayılar matrisinin tersinir olması gerektiğini unutmayınız.
Örnek. 3x1  2x 2  3x3  2
 2x1  x 2  x3  1
5x  3x  x  4
2
3
 1
3 2 3 
A   2 1 1 
 5 3  1
denklem
sisteminin
katsayılar matrisi
A matrisi tersinir bir matristir ve tersi aşağıda hesaplanmıştır:
3 2 3 1 0 0
1S 2  S1  S1


A | I   2 1 1 0 1 0 
5 3  1 0 0 1
2 S 1  S 2  S 2
5 S 1  S 3  S 3
  

9S3  S2 S2
5 S 3  S 1  S 1
  

1
2

5
 4 1  1 0
1 1 0 1 0
3  1 0 0 1 
1
 1 1  4 1  1 0
1 S 2  S 2
0  1 9  2 3 0 
2 S 2  S 3  S 3
S2  S1 S1

 


0  2 19  5 5 1 
7  5
1 0 0 4
0 1 0  7  12 9 


0 0 1  1  1 1 
7  5  2    19 
 4

X  A1 B   7  12 9    1   34 


 1  1
1   4   3 
1 0 5  1 2 0 
0 1  9

2

3
0


0 0 1  1  1 1 
7  5
 4
A1   7  12 9 
 1  1
1 
Çözüm kümesi : Ç = { (-19 , 34 , 3)} .
Ters matris yöntemi ile çözüme bir örnek daha verelim.
 x 1  x 2  3x 3  x 4  1
Örnek. 
 x 2  2x 3
1

x3  x 4  1
 x 1 
 x1  x 2 
x4  1
 1 1 3 1
 0 1 2 0
A 
 1 0 1 1

1 0 1
 1
denklem
sisteminin
katsayılar matrisi
A matrisi tersinir bir matristir ve tersi aşağıda hesaplanmıştır:
 1 1 3 1

 0 1 2 0
 1 0 1  1

1 0 1
 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0

0 0 0 1
1  1 3
1 1

0 0
0  1 2
0  1 4
0 1

0 2  3  2  1


 
A

0 0 0
1 0 0
0 1 0

0 0 1
I
1  1 3
1 1 0

0 1  2 0 0  1
0  1 4
0 1 0

0 2  3  2  1 0
İzleyen slaytta devam edelim.
0 0
0 0
1 0

0 1

1

0
0

0
0
1
0
0
 1 0 0
 2 0 0  1 0 0
2
0 1  1 1 0

1  2  1 2 0 1
1
1
1








1

0
0

0
1

0
0

0
 1 0 0
 2 0 0  1 0 0
1  2  1 2 0 1

2
0 1  1 1 0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0




1 
A 





1
3
1
2
4 2
 2 1
3
1
4
3
0
3
0
2
5
4
0
1
4
1
4
1
3
4
2
3
4
1
1
2
3
4
1
2
5
4
1
2
1
4
 1
2 
1 
 1

2





0 

1 

2 
1
2
0



1


0


0


0

1

0
0

0
0
1
0
4 2
0
1
 2 1
0
0
4
0
0
0
1
4
1
0
0
0
1
0
0 0 1


3
1
4
1
3
4
2
3
4
1
1
2
3
4
1
2
5
4
1
2
1
4
 1
3 0 2 
2 0 1

 5 1  2
2
3
3
4
3
4
1 
2 


1
2
1
0 


1
1
1
0 

2
2
2
3
5
1
 1


4 
4
4
2 
A 1
I




1
X  A B





3 0
0
 1 
 1
4 
 


 
 0 
 1
    1 
 2 
0  1
  3
 





1
 4 
 1
2  
1
2
0
Çözüm kümesi : Ç = { 1/4, 0 , 1/2 , 1/2)} .
Aşağıdaki matrislerin her birinin tersinin bulunup bulunmadığını belirleyiniz, tersi
olanların tersini bulunuz. Sonucunuzu kontrol ediniz.
 4  1
 8 2 


 4  1
 7 2 


 3  1 1
  1 1 0


 2 0 1
 3  1 1
  1 1 0


 1 0 1
 1 1 3 1 
 0 1 2 0 


  2 0 1  2


1 0  1
3
 1 1 3 1 
 0 1 2 0 


 1 0 1  3


 1 1 0  1
Ters matrisle ilgili birkaç özelliği listeleyelim:
1. In tersinir matristir ve (In )-1 = In dir.
2. Bir kare matrisin satırlarından birinin tüm girdileri sıfır ise, o matrisin tersi
yoktur.
3. Bir kare matrisin satırlarından ikisi aynı ise, o matrisin tersi yoktur.
4. A ve B tersinir n n matrisler ise, A B de tersinir ve (A B)-1 =B-1A-1 dir.
5. A tersinir kare matris ise, AT de tersinir ve (AT)-1 = (A-1)T dir.
6. A tersinir kare matris ise, A-1 de tersinir ve (A-1)-1 = A dır.
Örnek.
 1 2  1
A1   2 6 1 
 2 1 10 
olduğuna göre A yı bulalım.
A-1 in tersi A olduğundan verilen matrisin tersini bulmamız yeterlidir.
 1 2  1 1 0 0
1 2  1 1 0 0
[ A1 | I ]   2 6 1 0 1 0  0 2 3  2 1 0




 2 1 10 0 0 1
0 5 8
2 0 1
0 0
 1 0
1 2  1 1
1 0  4 3
 0 1 3 / 2  1 1 / 2 0  0 1 3 / 2  1 1 / 2 0


0 5 8
2
0 1
0 0 1 / 2 7  5 / 2 1
1 0 0 59  21 8 
 0 1 0  22 8
 3
0 0 1 14
 5 2 
 59  21 8 
( A1 ) 1  A   22 8
 3
 14
 5 2 