σ-halka ve σ

2. ÖLÇÜLER
2.1 Baz¬Küme S¬n¬‡ar¬
SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin
bir s¬n¬f¬olsun. A s¬n¬f¬X üzerinde bir
cebir midir?
ÇÖZÜM 1:
A := fB 2 P (X) : B sonlug
X2
= A oldu¼
gundan A s¬n¬f¬
cebir de¼
gildir.
SORU 2: X say¬lamayan bir küme
(a) A1 := fA
X : A say¬labilirg
(b) A2 := fA
X : A say¬labilir veya XnA say¬labilirg
s¬n¬‡ar¬X üzerinde
cebir midir?
ÇÖZÜM 2: (a) X 2
= A1 oldu¼
gundan A1 s¬n¬f¬X üzerinde
(b) (i) X t = ; say¬labilir oldu¼
gundan X 2 A2 dir.
(ii) Key… A 2 A2 için XnA 2 A2 oldu¼
gunu gösterelim:
A 2 A2 =) A say¬labilir veya XnA say¬labilir
{z
}
|
|
{z
}
+
+
(XnA)t =A
+
XnA2A2
XnA2A2
1
cebir de¼
gildir.
(iii) 8n 2 N için An 2 A2 olsun.
söz konusudur:
1
[
n=1
An 2 A2 oldu¼
gunu gösterelim. Üç durum
b1c 8n 2 N için An 2 A2 say¬labilir olsun. Bu durumda
Yani
1
[
n=1
1
[
An say¬labilirdir.
n=1
An 2 A2 olur.
b2c 8n 2 N için Atn 2 A2 say¬labilir olsun. Bu durumda
say¬labilirdir. Dolay¬s¬yla
1
[
n=1
1
\
Atn =
n=1
1
[
n=1
An
!t
An 2 A2 :
b3c
B = fAn : An say¬labilirg
An : Atn say¬labilir
C =
olarak tan¬mlayal¬m.
1
[
n=1
olarak yaz¬labilir.
1
[
An
n=1
!t
0
An = @
0
=@
1
\
1
[
1
An A [ @
|{z}
n=1 2B
1
0
An t A \ @
|{z}
n=1 2B
0
1
\
1
[
An A
|{z}
n=1 2C
1
An t A
|{z}
n=1 2C
1
1
\
An t
|{z}
n=1 2C
gerçeklenir. C s¬n¬f¬na ait olan An kümelerinin Atn tümleyenleri say¬labilir oldu¼
gun1
\
dan
Atn say¬labilirdir. Say¬labilir bir kümenin her alt kümeside say¬labilir olan=1
ca¼
g¬ndan
1
[
n=1
An
!t
say¬labilirdir. Dolay¬s¬yla
1
[
n=1
2
An 2 A2 sa¼
glan¬r.
Sonuç olarak A2 s¬n¬f¬X üzerinde
cebirdir.
SORU 3: A, X kümesi üzerinde bir cebir ve (Bn ) de A daki elemanlar¬n
1
[
ayr¬k dizisi olsun.
Bn 2 A ise A s¬n¬f¬X üzerinde
cebirdir. Gösteriniz.
n=1
ÇÖZÜM 3: 8n 2 N için An 2 A olmak üzere
meliyiz.
E0 : = ;; En :=
Bn : = An nEn
n
[
1
[
n=1
An 2 A oldu¼
gunu göster-
Ak
k=1
1
kümelerini tan¬mlayal¬m. Bu durumda (Bn ) dizisi ayr¬k olup
1
[
An =
gerçeklenir. Hipotezden
n=1
s¬n¬f¬X üzerinde
Bn
n=1
n=1
1
[
1
[
Bn 2 A oldu¼
gundan
cebirdir.
SORU 4: X kümesi üzerindeki
1
[
n=1
An 2 A d¬r. Dolay¬s¬yla A
cebirlerin birleşimi de X üzerinde
cebir midir?
ÇÖZÜM 4:
A : = f;; N; f2n : n 2 Ng ; f2n + 1 : n 2 Ngg
8
9
<
=
B : = ;; N; f3n : n 2 Ng; f3n + 1 : n 2 Ng; f3n + 2 : n 2 Ng; A [ B; A [ C; B [ C
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
:
;
=A
=B
=C
3
A ve B s¬n¬‡ar¬N üzerinde
cebirdir.
A [ B = f;; N; f2n : n 2 Ng ; f2n + 1 : n 2 Ng ; A; B; C; A [ B; A [ C; B [ Cg
olur. f2n : n 2 Ng [ A 2
= A [ B oldu¼
gundan A [ B s¬n¬f¬ N üzerinde
cebir
de¼
gildir.
SORU 5: Her tipten aral¬k, ¬ş¬n ve tek nokta kümelerinin Borel cebirinin
eleman¬oldu¼
gunu gösteriniz.
ÇÖZÜM 5:
(a; b]
[a; b]
1
\
=
=
a; b +
1
n
1
;b
n
+
n=1
1
\
a
2 B (R)
1
n
n=1
(b; 1)
1
[
=
n=1
1
[
( 1; a) =
[b; 1)
fag
(b; b + n) 2 B (R)
(a
n=1
n; a) 2 B (R)
1; a2 [
( 1; a] =
2 B (R)
a
;a
2
2 B (R)
[b; 2b] [ (2b; 1) 2 B (R)
1
\
=
a n1 ; a + n1 2 B (R)
=
n=1
SORU 6: f : X ! Y bir fonksiyon ve B s¬n¬f¬da Y üzerinde
A := fA
s¬n¬f¬X üzerinde
X : f (A) 2 Bg
cebir midir?
4
cebir olsun.
ÇÖZÜM 6: (i) X 2 A oldu¼
gunu göstermeliyiz. E¼
ger f fonksiyonu örten ise
f (X) = Y 2 B olup X 2 A d¬r.
(ii) Key… A 2 A için At 2 A oldu¼
gunu göstermeliyiz. f fonksiyonu 1
1 ve
örten ise
A 2 A ()
f (A) 2 B
=) [f (A)]t 2 B
=)
f (At ) 2 B
=)
At 2 A
elde edilir.
(iii) 8n 2 N için An 2 A olsun. B nin Y üzerinde
cebir oldu¼
gu kullan¬l¬rsa
An 2 A ()
f (An ) 2 B
1
[
=)
f (An ) 2 B
n=1
!
1
[
=) f
An 2 B
n=1
1
[
=)
n=1
An 2 A
bulunur.
Sonuç olarak f fonksiyonu 1
1 ve örten ise A s¬n¬f¬X üzerinde
SORU 7: f : X ! Y bir fonksiyon ve A s¬n¬f¬da X üzerinde
B := B
Y : f
5
1
(B) 2 A
cebirdir.
cebir olsun.
s¬n¬f¬Y üzerinde
cebir midir?
ÇÖZÜM 7: (i) f
1
(Y ) = X 2 A oldu¼
gundan Y 2 B dir.
(ii) Key… B 2 B olsun. A s¬n¬f¬n¬n X üzerinde
cebir oldu¼
gu dikkate al¬n¬rsa
f
1
(B) 2 A
=) [f
1
(B)] 2 A
=)
1
(B t ) 2 A
B 2 B ()
f
t
Bt 2 B
=)
elde edilir.
(iii) 8n 2 N için Bn 2 B olsun.
B 2 B ()
=)
f
1
[
1
f
n=1
1
=) f
(Bn ) 2 A
1
(Bn ) 2 A
!
1
[
Bn 2 A
n=1
1
[
=)
n=1
gerçeklenir. Dolay¬s¬yla B s¬n¬f¬Y üzerinde
SORU 8: X 6= ; ve A s¬n¬f¬X üzerinde
Bn 2 B
cebirdir.
cebir olsun. ; =
6 B 2 A olmak
üzere
E := fA
s¬n¬f¬B kümesi üzerinde
X : A = B \ C;
cebir midir?
6
C 2 Ag
ÇÖZÜM 8: (i) B = B \ X veya B = B \ B oldu¼
gundan X; B 2 A olmas¬
dikkate al¬n¬rsa B 2 E elde edilir.
(ii) Key… A 2 E için BnA 2 E oldu¼
gu gösterilmelidir.
A 2 E =)
A = B \ C;
C2A
=)
BnA = Bn (B \ C)
=)
BnA = B \ (B \ C)t
=)
BnA = B \ (B t [ C t )
=) BnA = (B \ B t ) [ (B \ C t )
=)
BnA = (B \ C t )
gerçeklenir. C t 2 A oldu¼
gu dikkate al¬n¬rsa BnA 2 E elde edilir.
(iii) 8n 2 N için An 2 E olsun.
An 2 E =) An = B \ Cn ; Cn 2 A
1
1
[
[
=)
An =
(B \ Cn )
n=1
n=1
!
1
1
[
[
=)
An = B \
Cn
n=1
olur.
1
[
n=1
edilir.
n=1
Cn 2 A oldu¼
gu dikkate al¬n¬rsa E s¬n¬f¬n¬n tan¬m¬ndan
Dolay¬s¬yla E s¬n¬f¬B kümesi üzerinde
7
cebirdir.
1
[
n=1
An 2 E elde
SORU 9: B herhangi bir küme olmak üzere
A := fA
s¬n¬f¬X üzerinde
X: A
B
Xg
cebir midir?
ÇÖZÜM 9: (i) B = X al¬n¬rsa A s¬n¬f¬n¬n tan¬m¬ndan X 2 A d¬r.
(ii) Key… A 2 A kümesini dikkate alal¬m. B = X al¬n¬rsa At
X
X
Bt
X
gerçeklenir. O halde At 2 A sa¼
glan¬r.
(iii) 8n 2 N için An 2 A olsun.
An 2 A =) An
=)
B
1
[
An
X, B
B
X
X
n=1
olup
1
[
n=1
An 2 A sa¼
glan¬r.
O halde A s¬n¬f¬X üzerinde
cebirdir.
SORU 10: A sabitlenmiş bir küme olmak üzere
A := B
s¬n¬f¬X üzerinde
X: A
X veya A
B
Bt
X
cebir midir?
ÇÖZÜM 10: (i) X 2 A oldu¼
gu tan¬mdan aç¬kt¬r.
(ii) Key… B 2 A olsun. Bu durumda A
olaca¼
g¬ndan B t 2 A gerçeklenir.
8
B
X veya A
X
(iii) 8n 2 N için Bn 2 A olsun. Buradan A
Bn
X veya A
Bnt
1
1
1
[
[
[
olaca¼
g¬ndan A
Bn X veya A
Bnt
X sa¼
glan¬r. Yani,
Bn 2 A
n=1
n=1
n=1
d¬r.
Dolay¬s¬yla A s¬n¬f¬X kümesi üzerinde
9
cebirdir.