T.C NAMIK KEMAL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ VEKTÖR METRİK UZAYLAR İlker PEKSÖZ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN: YRD. DOÇ. DR. ERDAL BAYRAM TEKİRDAĞ-2015 Her hakkı saklıdır Yrd. Doç. Dr. Erdal BAYRAM ‘ın danışmanlığında İlker PEKSÖZ tarafından hazırlanan “Vektör Metrik Uzaylar” isimli bu çalışma aşağıdaki jüri tarafından Matematik Anabilim Dalı ‘nda Yüksek Lisans tezi olarak oybirliği ile kabul edilmiştir. Jüri Başkanı: Prof. Dr. Mahmut ERGÜT İmza: Üye: Yrd. Doç. Dr. Yasin ÜNLÜTÜRK İmza: Üye: Yrd. Doç. Dr. Erdal BAYRAM İmza: Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu adına Prof. Dr. Fatih KONUKCU Enstitü Müdürü ÖZET Yüksek Lisans Tezi VEKTÖR METRİK UZAYLAR İlker PEKSÖZ Namık Kemal Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Erdal BAYRAM Bu tez çalışmasında yakın zamanlarda tanımlanan ve metrik uzayların bir genelleştirmesi olan vektör metrik uzaylar kavramı Çevik ve Altun (2009) ile Çevik (2014, 2015) çalışmaları temel alınarak incelenmiştir. Vektör metrik uzay kavramı ile klasik metrik uzaylar arasındaki paralellikler ve farklılıklar ortaya konmuş, konuyla ilgili ön bilgiler bir araya getirilmiş, kanıtlardaki boşluklar doldurularak gerekli bilgiler verilmiş ve bazı sonuçlar elde edilmiştir. Anahtar Kelimeler: Vektör değerli metrikler, Sıralı vektör uzayları, Riesz uzayları. 2015, 56 sayfa i ABSTRACT Msc. Thesis VECTOR METRİC SPACES İlker PEKSÖZ Namik Kemal University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Asst. Prof. Erdal BAYRAM In this thesis work, the concept of vector metric spaces which has been defined recently, and is generalization of metric spaces are studied on the basis of studies by Çevik and Altun (2009) and Çevik (2014, 2015). While definitions and theorems about the subject are reviewed, parallelism and differences between metric spaces and vector metric spaces are revealed, and gaps in proofs are filled by providing the necessary knowledge in an attempt to obtain some results. Keywords: Vector valued metrics, Ordered vector spaces, Riesz spaces. 2015, 50 pages ii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET……………………………………………….……………………………………..….i ABSTRACT……………………………….……………………………….….………….....ii İÇİNDEKİLER……………………………….……………………………….….……..….iii SİMGE LİSTESİ ……………………………….…………………………….…….…....…iv 1.GİRİŞ …………………………………...……………...………………………….….....…1 2. TEMEL KAVRAMLAR VE SONUÇLAR..…………...……………………..………..5 3. VEKTÖR METRİK UZAYLAR ……………………………….……..……..………..11 3.1 Temel kavramlar ve Özellikler………………..…………………..…………...…………11 3.2 Vektör Metrik Uzaylarda Sınırlılık ve Yoğun Kümeler………………………………….17 3.3 Vektör Metrik Uzaylarda Sıra Tamlık …………………………………………………...21 4. VEKTÖR METRİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK………………………………....26 4.1 Vektörel Süreklilik ve Topolojik Süreklilik ……………………….……....………….....26 4.2. Sürekli Fonksiyonların Genişlemeleri…………………………………………………...40 4.3. Vektörel Sürekli Fonksiyon Uzayları…………………………………………………...43 5. KAYNAKLAR …………………………………….……………………………………49 ÖZGEÇMİŞ…………………………………………………………………………………50 iii SİMGE LİSTESİ dizisi azalan ve infumumu 0 dır. elemanıdır elemanı değildir küçük eşittir iv 1. GİRİŞ Genel anlamda metrik kavramı, üzerinde hiçbir yapı olmasına gerek olmayan boş kümeden farklı bir kümeden reel sayılara giden bir fonksiyondur. Çok öncelerden beri geniş bir uygulama alanı olan metrik uzayların bazı genelleştirilmeleri vardır. Örneğin Menger uzayı, Fuzzy uzayı, K-metrik uzaylar, koni metrik uzaylar gibi. Zabreiko (1997) tarafından tanımlanan K-metrik uzaylarda metrik fonksiyonu reel sayılar yerine sıralı bir Banach uzayında değer alır. Aynı şekilde, Huang ve Zhang (2007) tarafından tanımlanan koni metrik uzaylardaki metrik fonksiyonu bir koni ile sıralanan Banach uzayında değer alır. Ancak Huang ve Zhang, Banach uzayının sıra yapısının getirdiği koninin iç noktaları yardımıyla yakınsaklığı tanımlamış ve teoriyi ilerletmiştir. Bu tanımlama ile birlikte, metrik uzaylarda bilinen sonuçlara paralel sonuçlar elde edilmiş ve bu sonuçlar sabit nokta teoremlerine uygulanmıştır. E bir Banach uzayı ve P E olsun. Eğer, i. P kapalı, P ve P 0 ii. a, b 0 olacak biçimde a, b iii. x P ve x P için x 0 ve x, y P için ax by P ise P ‘ye E ‘nin bir konisidir denir. P E bir koni olmak üzere “ x y y x P ” şeklinde tanımlı bağıntısı, P üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısıdır. Ayrıca, x y ve x y x y x y y xP tanımlamaları kullanılır. x, y E için 0 x y iken x K y eşitsizliğini sağlayacak biçimde bir K 0 sayısı varsa P E ’ye bir normal koni denir. Üstteki eşitsizliğini sağlayan en küçük K pozitif sayısına da P ’nin normal sabiti denir. Eğer P ’de ki her artan ve üstten sınırlı her dizi yakınsak ise P ’ye düzenli koni denir. 1 1.1. Tanım E bir Banach uzayı, P bir kon ve int P olsun. X boştan farklı bir küme ve d : X X E fonksiyon olmak üzere x, y, z X için d1) 0 d x, y 0 ve d x, y 0 x y d2) d x, y d y, x d3) d x, y d x, z d y, z şartlarını sağlayan d fonksiyonuna X üzerinde bir koni metrik fonksiyonu, X , d , E uzayına koni metrik uzayı denir. Dizilerin yakınsaklığı, Cauchy dizisi olma durumu, tamlık vb. özellikler klasik metrik uzaylarda verildiği gibi verilebilir. Koni metrik uzaylar klasik metrik uzayların bir genelleştirmesi gibi görünse de, aslında koni metrik uzayların klasik metrik uzaylardan çok farklı olmadığı, yani koni metrik uzayların metriklenebilir topolojik uzaylar olduğu Khani ve Pourmahdian (2011) ile Ercan ve Çağlar (2014) ‘ın çalışmalarından görülebilir. X , E, K , d koni metrik uzay olmak üzere, B yuvarlarının oluşturduğu B x, r : x X ,0 x, r y X : d x, y r açık r sıralı kümesi X üzerinde tanımlı temel topolojidir. Khani ve Pourmadhian (2011) bu topolojiyi koni metrik topoloji olarak adlandırmış ve bu topolojinin metriklenebilir olduğunu göstermiştir. Aynı sonuç Ercan (2014) tarafından farklı bir teknik ile aşağıda verildiği şekilde elde edilmiştir. 3.11. Tanım E sıralı vektör uzayı olmak üzere x E için x e olacak biçimde bir varsa e E elemanı sıra birim olarak adlandırılır. E ‘nin sıra birimlerinin kümesini ou E ile göstereceğiz. ou E ou E ou E ve 0, ou E ou E özelliklerinin yukarıdaki tanımdan açıktır. E sıralı vektör uzayında her bir y E için sağlandığı x y iken x 0 ise E’ye Arşimedyan sıralı vektör uzayı denir. E sıralı vektör uzayında her bir 0 ve x, y E için x y x iken x 0 ise E ’ye hemen hemen Arşimedyan sıralı vektör uzayı denir. 2 Tanımlardan açıktır ki, her Arşimedyan sıralı vektör uzayı hemen hemen Arşimedyan sıralı vektör uzayıdır. 3.13. Teorem E , K , sıralı topolojik vektör uzay olmak üzere aşağıdaki özellikler denktir. i) e int K ii) e, e sıfırın komşuluğudur. 3.14. Teorem X , E sıralı vektör uzayı, K bir koni olmak üzere e int K olsun. d : X X K koni metrik fonksiyonu olmak üzere d : X X , d x, y inf : d x, y e şeklinde tanımlı d verilsin. Bu durumda aşağıdakiler sağlanır. i) d koni metrik ise d metriktir. ii) Eğer d : X X metrik ise d olacak şekilde bir : X X K koni metriği vardır. iii) X , E, K , d Arşimedyan koni metrik uzay ise, X , E, K , d koni metrik topolojisi X , d metrik uzayın topolojisidir. Diğer taraftan Çağlar ve Ercan (2014) sıra birim metrik uzaylar ile ilgili çalışmasında koni metrik uzay kavramında reel Banach uzay yerine ou E olacak biçimde E sıralı vektör uzayları almıştır. Üstelik, E , K , sıralı topolojik vektör uzay olduğunda, int E ou K sağlanacağından her bir koni metrik uzay aslında sıra birim metrik uzaydır. Fakat bu tanımlamalara baktığımızda metrik fonksiyonunun değer aldığı Banach uzayının veya sıralı topolojik vektör uzayının içinin boş kümeden farklı olması kısıtlamasını görürüz. Halbuki bir uzayda sıra birim olmak zorunda değil ve bir konun içinin boş kümeden farklı olması zorunluluğu yoktur. Örneğin, sonsuz boyutlu AL-uzaylarının ( 0 p olmak p üzere L 0,1 gibi) pozitif konunun içi boş kümedir. Diğer taraftan, yukarıda bahsedilen 3 genelleştirmelerde metrik fonksiyonunun değer aldığı uzay üzerinde topolojik bir yapıya gereksinim duyulmuştur. Cevik ve Altun (2009) tarafından tanımlanan ve metrik fonksiyonunun herhangi bir topolojik yapıya gerek duymayan Riesz uzay değerli olduğu vektör metrik uzaylar bu tez çalışmasının konusu olmuştur. İkinci bölümde esas çalışma konumuz olan vektör metrik uzaylarda kullandığımız Riesz uzayları temel özellikleri ve örnekleri üzerinde durulmuş ayrıca bildiğimiz metrik uzaylar ve özelliklerine yer verilmiştir. Üçüncü bölümde metrik uzayların bir genellemesi olan ve esas çalışma konumuz vektör metrik uzaylar tanımlanmış, örnekler verilmiş ve sağladığı temel özellikler kanıtlanmıştır. Ayrıca sınırlılık kavramı ve vektör metrik uzayların tam olma özellikleri ve tamlaştırılması bu bölümde yer almaktadır. Dördüncü bölümde ise vektör metrik uzaylarda süreklilik kavramlarına yer verilmiş topolojik süreklilik ve vektörel süreklilik üzerinde durulmuş ve bu iki kavram arasındaki ilişkiler ortaya konulmuştur. Sürekli fonksiyonların bazı genişleme durumları verilmiş ve vektörel sürekli fonksiyonların uzayının bir Riesz uzayı olduğu kanıtlanmıştır. Ayrıca bu bölümde vektör metrik uzaylarda kompaktlık kavramı ele alınmıştır. 4 2. TEMEL KAVRAMLAR VE SONUÇLAR Bu tez çalışmasında ele alınan vektör metrik uzaylarının klasik metrik uzaylardan ayıran kavram, sıralı vektör örgüleri de denilen, Riesz uzaylarıdır. Riesz uzayları teorisindeki ilk sonuçlar, F. Riesz, H. Freudenthal ve L.V. Kontorovitch ‘in birbirlerinden bağımsız olarak ve farklı konularda yaptığı çalışmalar ile elde edilmiştir. Sonrasında ise günümüze değin birçok matematikçi bu sıralı vektör uzayları ile önemli katkılar sağlamıştır. Uygulama alanında örnek vermek gerekirse, ekonomi teorisinde kullanılan bir çok uzay Riesz uzaylarıdır. Bu bölümde çalışma boyunca kullanılacak temel tanımlar ve bazı önermeler verilmiştir. 2.1. Tanım E gerçel vektör uzayı üzerinde “ ” bir sıralama bağıntısı olsun. Her x, y E olmak üzere, z E için x y x z y z , 0 için x y x y koşulları sağlanıyorsa, E uzayına sıralı vektör uzayı denir. E sıralı vektör uzayının x 0 özelliğini sağlayan x elemanına pozitiftir denir ve E’nin tüm pozitif elemanlarının kümesi E ile gösterilir. 2.2. Tanım E sıralı vektör uzayı olmak üzere her x, y E için x y sup x, y E ve x y inf x, y E ise E uzayına sıralı vektör örgüsü veya Riesz uzayı denir. , işlemlerine örgü işlemleri denir. E Riesz uzayı ve G E alt vektör uzayı olmak üzere x, y G iken x y G ise yani G örgü işlemlerine göre kapalı ise G ’ye Riesz alt uzayı denir. 2.3. Örnek Aşağıda Riesz uzayı ile ilgili bazı örnekler verilmiştir. 1. x x1 , x2 ,..., xn , y y1 , y2 ,..., yn n 5 olmak üzere “ x y i 1, 2,..., n için xi yi sıralaması” ve x y x1 y1 , x2 y2 ,..., xn yn ile x y x1 y1 , x2 y2 ,..., xn yn örgü işlemlerine göre 2. Bilindiği üzere reel terimli sıfıra yakınsak dizilerin kümesi c0 , yakınsak dizilerin kümesi c , ve 1 p olmak üzere p bir Riesz uzayıdır. n c0 c xn , yn E ilişkisi vardır. olmak üzere p xn n1 E c0 , c p : x dizi uzayları arasında n 1 veya 1 p olmak üzere ” xn yn n xn yn ” için p olsun. sıralaması ve xn yn xn yn ile xn yn xn yn örgü işlemlerine göre E bir Riesz uzayıdır. Riesz uzaylarının sık kullanılan tipik örnekleri fonksiyon uzaylarıdır. 3. X olmak üzere f , g B X f : X f , sınırlı , olsun. f g x X için f x g x şeklinde tanımlı sıralamasına göre B X bir sıralı kümedir. Örgü işlemleri f g x maks f x , g x ile f g x min f x , g x xX xX şeklinde tanımlansın. f , g B X olduğundan x X için olacak biçimde M f , M g sayıları vardır. Dolayısıyla f x M f ve g x M g f g x M f M g olur. Buradan da f g B X elde edilir. Benzer şekilde f g B X olduğundan B X Riesz uzayıdır. Üstte fonksiyonlar için verilen sıralama ve örgü işlemlerine göre bazı Riesz uzayı olabilen fonksiyon sınıfları şunlardır. a. R X , X üzerindeki gerçel değerli fonksiyonların uzayı. b. C(X), X topolojik uzayı üzerindeki gerçel değerli sürekli fonksiyonların uzayı. c. Cb (X) , X topolojik uzayı üzerindeki sınırlı ve sürekli gerçel değerli fonksiyonların uzayı. d. 0 p ve (X, , ) ölçüm uzayı olmak üzere, gerçel değerli μ -ölçülebilir ve f p dμ koşulunu sağlayan fonksiyonların uzayı Lp (μ) X e. (X, Σ,μ) ölçüm uzayı olmak üzere, gerçel değerli μ -ölçülebilir ve hemen hemen her 6 yerde sınırlı fonksiyonların uzayı L (μ) . f. Ω bir topolojik uzay olmak üzere C f : f sınırlı . Bu çalışmada bundan sonra aksi belirtilmedikçe fonksiyon uzaylarında aynı sıralama ve aynı işlemler düşünülenecektir. Sıralı vektör uzayı olup Riesz uzayı olamayan bazı örnekler aşağıda verilmiştir. 1. X sonsuz elemanlı bir küme olmak üzere A X : A sonlu ve cardA 2n, n olsun. A a1 , a2 , a3 , a4 ve B a4 , a5 için A B A B a4 elde edilir. Dolayısıyla , bir örgü değildir. 2. C1 0,1 f : 0,1 f , sürekli, diferansellenebilir fonksiyon uzayını alalım. f , g C1 0,1 olmak üzere, f g x X için f x g x , sıralamasına göre C1 0,1 bir sıralı vektör uzayıdır. Fakat aşağıda göreceğimiz bir örnek ile Riesz uzayı değildir. f x x , g x 1 x ,şeklinde tanımlı f , g C1 0,1 fonksiyonlarını seçelim. C1 0,1 fonksiyon uzayı 1 x, f g x, x, ve f g 1 1 x, x 1 2 0 x 1 2 0 x 1 2 1 x 1 2 ile tanımlı örgü işlemlerine göre kapalı değildir. dolayısıyla C1 0,1 uzayı Riesz uzayı değildir. 2.4. Tanım E bir Riesz uzayı olmak üzere, her x E için x x 0 elemanına x ’in pozitif kısmı, x x 0 elemanına x ’in negatif kısmı ve x x x elemanına x ’in modülü denir. Tanımlardan hareketle her bir x E için x x x , x x x ve x x 0 sağlanır. Ayrıca, E Riesz uzayında keyfi x,y,z elemanları için aşağıdaki özellikler sağlanır.ve x y x y x y x y 7 x y 1 x y x y 2 x y 1 x y x y 2 Yukarıda verilen eşitlikler yardımıyla aşağıdaki sonuçlar kolayca elde edilebilir. E sıralı vektör uzayının Riesz uzayı olması için gerekli ve yeterli koşul x E için x E olmasıdır. x y x y x y x y z x y x z x y z x y x z 0 için x y x y x y x y 2.5. Önerme E Riesz uzayı ve A E alt küme olsun. Eğer sup A varsa, aşağıdaki özellikler sağlanır. i. inf A vardır ve inf A sup A ’dır. ii. x A x a a A olmak üzere sup x A vardır ve sup x A x sup A olarak yazılabilir. iii. Her bir 0 için A a a A ise sup A sup A olarak yazılabilir. 2.6. Tanım E Riesz uzayında, I indeks kümesi için x bir ağ olsun. Her , I için x x ve x x koşullarını sağlayan bir I varsa x ağı yukarı yönlendirilmiştir denir ve x şeklinde gösterilir. x ve sup x x ise x x ile gösterilir. Benzer şekilde her , I için x x ve x x koşullarını sağlayan bir I varsa x ağı aşağı yönlendirilmiştir denir ve x şeklinde gösterilir. x ve inf x x ise x x ile gösterilir. 8 2.7. Tanım E bir Riesz uzayı olmak üzere, x y koşulunu sağlayan x, y E elemanları ile tanımlanan x, y z E : x z y kümesine sıralı aralık denir. E uzayının bir A alt kümesi bir sıralı aralık tarafından kapsanıyorsa, A kümesine sıra sınırlı küme denir. 2.8. Tanım E Riesz uzayında her bir x E ve n için n1 x 0 ise E ye Arşimedyan Riesz uzayı denir. 2.9. Örnek 2 koordinat sıralama ile Arşimedyan fakat sözlük (lexicographical) sıralama ile Arşimedyan değildir. 2.10.Teorem E Riesz uzayının Arşimedyan olması için gerek ve yeter koşul nv u, n koşulunu sağlayan u, v E için v 0 olmasıdır. Kanıt: (⇒)E Riesz uzayı Arşimedyan olsun n u E ve E Arşimedyan olduğundan 1 için nv u v u 0 yazılabilir. n 1 u 0 olur. v 0 olmalıdır. Diğer taraftan v E n yani v 0 olduğundan (ters simetri özelliğinden) v 0 olur. x E 0, n1 x n Dolayısıyla keyfi 1 x E n seçelim kümesi olduğundan n 1 x0 n için olur. için bir alt sınırdır. Bu kümenin keyfi bir alt sınırı y olsun. n , n1 x 0, n1 x y da u y 0 n1 x, u y 0 0, u E ve n sağlanır. için nu x elde edilir. Hipotezden u 0 olmalıdır. Yani y 0 0 olur. Dolayısıyla y 0 , inf n1 x n Dolayısıyla E Arşimedyandır. 9 Buradan 0 bulunur. 2.11. Tanım E Riesz uzayının her sıra sınırlı kümesinin E içinde bir supremumu ve infimumu varsa E uzayına Dedekind tam uzay denir. Benzer olarak, sıra sınırlı sayılabilir her kümenin E içinde bir supremumu ve infimumu varsa E uzayına -Dedekind tam uzay denir. 2.12. Örnek 1 p olmak üzere ℓp uzayları Dedekind tam uzaylardır. 2.13. Örnek C 0,1 uzayı Dedekind tam değildir çünkü C 0,1 de tanımlı aşağıdaki f n fonksiyon dizisi üstten fonksiyonu ile sınırlı olmasına rağmen supremumu C 0,1 uzayına ait değildir. 1 1 ,0 x 1 2 n 1 1 1 1 f n x n x , x 2 2 n 2 1 , x 1 0 2 1 sup f n f x 0 ve ,0 x 1 2 1 , x 1 2 0 f n 1 ve f n C 0,1 olmasına rağmen sup f n C 0,1 olduğundan C 0,1 uzayı Dedekind tam Riesz uzayı değildir. 2.14. Tanım E bir Riesz uzay, xn E bir dizi ve x E olsun. a. n için xn x an 0 olacak biçimde an E dizisi varsa xn dizisi x e o x şeklinde gösterilir. sıra yakınsaktır denir. xn b. n, m için xn xm an 0 olacak biçimde an E dizisi varsa xn dizisine sıra Cauchy dizisi denir. c. Y X olmak üzere n için xn x an 0 olacak biçimde an E dizisi var iken x Y ise Y X sıra kapalıdır. 10 3. VEKTÖR METRİK UZAYLAR Birinci bölümde söz edildiği üzere metrik uzayların birçok genelleştirilmesi vardır. Bunlardan bazıları birbirini gerektirdiği gibi, bazıları ise aslında klasik metrik uzaylara homeomorftur. Klasik metrik fonksiyonu reel değerli bir fonksiyondur. Reel sayılar kümesi tam sıralı bir küme olduğu için sıralama ile ilgili bir işlem yapmak kolaydır. Bu bölümde tanımlayacağımız vektör metrik uzaylarda ise metrik fonksiyonu, reel sayılar yerine bir Riesz uzayında değerler alır. Şimdiye kadar tanımlanan genelleştirilmiş metrik uzaylarda, metrik fonksiyonunun değer aldığı küme üzerinde bir topolojik yapıya ihtiyaç duyuldu. Vektör metrik uzaylarda ise böyle bir zorunluluk yoktur. Bu bölüm Çevik ve Altun (2009) ve Çevik (2015) çalışmaları temel alınarak oluşturulmuştur. 3.1. Temel kavramlar ve Özellikler 3.1.1 Tanım E bir Riesz uzay ve X boştan farklı bir küme olsun. d : X X E fonksiyonu x, y, z X için Vm1 d x, y 0 x y Vm2 d x, y d x, z d y, z şartlarını sağlıyorsa, d fonksiyonuna X üzerinde vektör metrik fonksiyon, X , d , E üçlüsüne de vektör metrik uzay denir. Klasik metrik uzaylarda metrik fonksiyonu dört şart sağlaması gerekirken vektör metrik uzaylarda yukarıda verdiğimiz iki şartın sağlanması yeterlidir. Çünkü pozitiflik ve simetri bu iki aksiyomdan çıkarılır. Aşağıdaki teorem bunu verir. 3.1.2 Teorem X , d , E vektör metrik uzay olmak üzere i. x, y, z, w X için aşağıdakiler sağlanır. d x, y 0 11 ii. d x, y d y, x iii. d x, z d y, z d x, y iv. d x, z d y, w d x, y d z, w Kanıt: x, y, z, w X olsun. i. Vm2 ile d x, x d x, z d x, z 0 2d x, z 0 d x, z ii. Vm2 ile d x, y d x, x d y, x d x, y d y, x . Benzer şekilde, d y, x d y, y d x, y d y, x d x, y elde edilir. Dolayısıyla, d x, y d y, x olduğu görülür. iii. Her bir x, y, z X için Vm2 gereği d x, z d x, y d z, y olur. Dolayısıyla d x, z d z, y d x, y sağlanır. Benzer d y, z d z, x d x, y olur. Bu d x, z d z, y , d y, z d x, z şekilde, d y, z d y, x d z , x d x, y E ise ise elemanının kümesi için bir üst sınır olduğunu gösterir. Dolayısıyla, d x, z d z, y d x, y elde edilir. iv. Her bir Dolayısıyla, x, y, z, w X için Vm2 ise d x, z d x, y d y, w d w, z d x, z d y, w d x, y d w, z sağlanır. olur. Benzer şekilde, d y, w d x, z d x, y d w, z olur. Bu d y, w d y, x d x, z d z, w ise ise d x, y d w, z E elemanının d x, z d y, w , d y, w d x, z kümesi için bir üst sınır olduğunu gösterir. O halde, d x, z - d y, w d y, w d x, z d x, y d w, z olacağından, d x, z d y, w d x, y d z, w elde edilir. Vektör metrik uzaylar için aşağıdaki örnekler verilebilir. 12 3.1.3. Örnek E bir Riesz uzay olmak üzere d : E E E, d x, y x y şeklinde tanımlı fonksiyon E üzerinde bir vektör metrik olduğundan E, d , E vektör metrik uzaydır. Benzer şekilde E. reel Banach örgüsünün kompleksleştirilmesi EC üzerinde d : EC EC EC , d xC , yC xC yC bir vektör metrik tanımlar. 3.1.4. Örnek E i. 2 koordinat sıralama ile bir Riesz uzayıdır. , pozitif reel sayılar olmak üzere, d: 2 2 E, d x1 , y1 , x2 , y2 x1 x2 , y1 y2 üzerinde bir vektör metrik tanımladığından 2 fonksiyon şeklinde tanımlı bir vektör şeklinde tanımlı 2 , d, 2 metrik uzaydır. ii. d: 2 fonksiyon 2 2 , d x1 , y1 , x2 , y2 x1 x2 y1 y2 2 üzerinde bir vektör metrik, 2 , d, vektör metrik uzaydır. sözlük (lexicographical) sıralama ile bir Riesz uzayı olduğundan yukarıdaki örnekler yeniden düzenlenebilir. Fakat, 2 ‘nin bu sıralamaya göre Arşimedyan olmadığı unutulmamalıdır. 3.1.5 Örnek E ve F Riesz uzaylar olmak üzere, “ e1 , f1 e2 , f 2 e1 e2 ve f1 f 2 ” şeklinde tanımlı koordinat sıralama ile EF bir Riesz uzayıdır. için, d : E F E F E F , a e1 , f1 , b e2 , f 2 E F d a, b a b e1 e2 , f1 f 2 ile tanımlı d fonksiyonu bir vektör metriktir. 3.1.6 Örnek X , d , E ve X , , F vektör metrik uzaylar olmak üzere x, y x, y d x, y , x, y x, y X için : X X E F ile tanımlı çift vektör metriktir. 13 3.1.7 Örnek Genellersek X , d1, E1 , X , d2 E2 ,..., X , di , Ei n d : X X Ei i 1 vektör metrik uzaylar olmak üzere x, y d x, y d1 x, y , d2 x, y ,..., dn x, y ile tanımlı d fonksiyonu vektör metriktir. 3.1.8 Örnek E bir Riesz uzay, k sonlu bir sayı ve i=1,2,...,k olmak üzere X i , di , E vektör metrik uzaylar olsun. X X1 X 2 ... X k kartezyen çarpım kümesi üzerinde farklı vektör metrikler tanımlanabilir. x x1 , x2 ,..., xk , y y1 , y2 ,..., yk X için, k d1 : X X E , d1 x, y di xi , yi i 1 d : X X E, d x, y sup d xi , yi i 1, 2,..., k şeklinde tanımlanan d1 ve d fonksiyonları X kartezyen çarpım üzerinde vektör metriktir. 1 1 1 olmak üzere Krivine fonksiyonel p q Eğer E bir Banach örgüsü ve 1 p, q , hesabı ile, 1 p p k k d p x, y di xi , yi sup ai di xi , yi : a1 , a2 ,..., ak i 1 i 1 1 ise p p k di xi , yi E olur i 1 k k q , ai 1 i 1 1 ve p p k d p : X X E , d p x, y di xi , yi i 1 fonksiyonu X üzerinde vektör metrik tanımlar. Klasik metrik uzaylarda metrik fonksiyonu reel değerli olduğu için bu metrik uzaylardaki yakınsaklık, Cauchy dizisi kavramları reel sayıların alışılmış metriğine göre tanımlanır. Vektör metrik uzaylarda ise metrik Riesz uzay değerli olduğu için bu kavramlar Riesz uzayının sıra yapısına göre tanımlanması gerekir. 14 3.1.9 Tanım X , d , E vektör metrik uzay, xn X bir dizi ve x X olsun. i. n için d xn , x an 0 olacak biçimde an E dizisi varsa xn dizisi x elemanına vektörel yakınsak veya E-yakınsak denir ve d ,E x xn şeklinde gösterilir. ii. n, p için d ( xn , xn p ) an 0 olacak biçimde an E dizisi varsa xn dizisine E-Cauchy dizisi denir. iii. X , d , E vektör metrik uzayındaki her E- Cauchy dizisi X uzayında yakınsak ise X , d , E vektör metrik uzayına E-tam uzay denir. iv. X , d , E vektör metrik uzay ve X in boştan farklı bir alt kümesi Y olsun. xn Y d ,E x iken x Y ise Y kümesine E-kapalı küme denir. ve xn 3.1.10 Teorem d ,E x ise aşağıdaki sonuçlara ulaşabiliriz. X , d , E vektör metrik uzay xn X ve xn i. d ,E x xn d ,E y ise x y dir. ve xn ii. d ,E x xn ise xn ’in her alt dizisi de x elemanına E- yakınsaktır. iii. d ,E x xn d ,E o y ise d xn , yn d x, y ve yn Kanıt: i. Kabul edelim ki x y için d ,E x xn ve d ,E y xn olsun. n için d xn , x an 0 ve d xn , y bn 0 olacak biçimde an E ve bn E dizileri vardır. n için d x, y d x, xn d y, yn an bn ve sağlanır. 15 an bn 0 olduğundan x y ii. d ,E xn x ise n için d xn , x an 0 olacak biçimde an E dizisi alt dizisi ve n vardır. Dolayısıyla herhangi bir xnk için d xnk , x an sağlanır. Bu ise d ,E xnk x olduğunu gösterir. iii. d ,E x xn ve d ,E y yn ise n için d xn , x an 0 ve d yn , y bn 0 olacak biçimde an E ve bn E dizileri vardır. Teorem 3.1.2.(iv) ile n için d xn , yn d x, y d xn , x d yn , y an bn elde edilir. an bn 0 o d x, y olduğu görülür. olduğundan d xn , yn Bilindiği üzere her metrik uzay bir topolojik uzaydır. Vektör metriklerde de paralel tanımlamalar ile topoloji elde edilebilir. İlk olarak metrik topolojide temel öneme sahip yuvar kavramını vektör metrik uzaylarda verelim. 3.1.11 Tanım X , d , E vektör metrik uzay, x X ve r E için a. B x, r y X d x, y r şeklinde tanımlanan kümeye x merkezli r yarıçaplı açık yuvar denir. b. A X olmak üzere, eğer x A için r 0, r E bulunabilir ve B x, r A sağlanıyorsa, A kümesine açık küme denir. Tüm açık alt kümelerin ailesini d,E ile gösterelim. A X x A için r 0, r E var dır öyle ki B x, r A P X ailesi X üzerinde bir topolojidir. Açıktır ki , X olur. U ,V olsun. U ise x U için B x, r1 U olacak biçimde r1 0, r1 E vardır. V ise x V için B x, r2 V olacak biçimde r2 0, r2 E vardır. r min r1 , r2 olmak üzere B x, r U V elde edilir. Son olarak her i I için U i ise her x U i için B x, ri U i olacak biçimde ri 0, ri E vardır, dolayısıyla r min ri , i I olmak üzere B x, r 16 U i elde edilir. Kolayca iI gösterilebilir ki B x, r : x X , r E ailesi bir topoloji tabanıdır. Ayrıca metrik uzaylarda olduğu gibi kolayca gösterilebilir ki, vektör metrik uzaylar Hausdorff uzaylardır. 3.1.12 Önerme X , d, E vektör metrik uzay ve a X olsun. Her bir x B a, r için öyle bir q E , q 0 vardır ki B x, q B a, r olur. Yani her açık yuvar açıktır. Kanıt: x B a, r ve q r d a, x 0 olsun. Herhangi bir y B x, q alalım. Bu durumda, d y, a d y, x d x, a q d x, a r olur. Yani y B a, r olacağından B p, B a, r içindeliği elde edilir. 3.2. Vektör Metrik Uzaylarda Sınırlılık ve Yoğun Kümeler 3.2.1 Tanım X , d, E vektör metrik uzay A X ve A olsun. sup{d x, y x , y A} değeri varsa bu supremum değerine A kümesinin E- çapı denir. x, y A için d x, y a olacak şekilde E Riesz uzayında a 0 sayısı varsa A kümesine E-sınırlı küme denir. Diğer bir deyişle A kümesinin çapı sonlu ise A kümesi E-sınırlıdır. 3.2.2 Önerme X , d, E vektör metrik uzay A X ve x0 X olsun. Eğer A’nın elemanlarının x0 ‘a olan mesafeleri sınırlıysa, o zaman bu özellik x0 yerine X ’in her elemanı için geçerlidir. Ayrıca bu durumda her a, b A için d a, b r eşitsizliğini sağlayan bir r E, r 0 elemanı vardır. Kanıt: a A ve r E için d a, x0 r olsun. x1 , X ’in herhangi bir elemanı olmak üzere a A için, d a, x1 d a, x0 d x0 , x1 d x0 , x1 olur. Demek ki A’nın elemanlarının x1 ‘e 17 olan uzaklığı d x0 , x1 sayısından büyük olamaz. Diğer taraftan, a ile b, A ’nın herhangi iki elemanı ise, d a, b d a, x0 d x0 , b 2 olur. Yani istenen için r 2 almak yeterlidir. 3.2.3 Teorem X , d , E vektör metrik uzay olmak üzere aşağıdaki özellikler sağlanır. a. Her E-yakınsak dizi E-Cauchy dizisidir. b. Her E-Cauchy dizisi E- sınırlıdır. c. xn E-Cauchy dizisi ve xnk d ,E d ,E x alt dizi olmak üzere xnk x ise xn dir. xn , yn d. E- Cauchy dizileri ise d xn , yn o-Cauchy dizisidir. Kanıt: d ,E xn x n a. için d xn , xn p d xn , x d xn p , x an an p 2an 0 olduğundan vardır. n, p xn için d xn , x an 0 olacak biçimde an E dizisi E-Cauchy dizisidir. b. xn an E dizisi vardır. n, p c. xn n, p E-Cauchy dizisi ise için d xn , xn p an 0 olacak biçimde için d xn , xn p a1 ise xn dizisi E-sınırlıdır. E- Cauchy dizisi ise n, p için d xn , xn p an 0 olacak biçimde d ,E an E dizisi vardır. Diğer taraftan xnk x ise n, p için nk n p olmak üzere d xnk , x = d xn p , x bn 0 olacak biçimde bn E dizisi vardır. n, p için d ,E x elde d xn , x d xn , xn p d xn p , x an bn p an bn 0 olacağından xn edilir. d. xn E-Cauchy dizisi ise n, p için 18 d xn , xn p an 0 olacak biçimde an E dizisi vardır. yn E-Cauchy dizisi ise n, p için d yn , yn p bn 0 olacak biçimde bn E dizisi vardır. n, p için d xn , yn d xn p , yn p d xn , xn p d yn , yn p an 0 bn 0 sağlanır. Buradan d xn , yn E ‘de o-Cauchy dizisidir. Metrik uzaylarda yoğun kümeler önemlidir. Çünkü metrik uzayın herhangi bir noktasına yoğun bir kümenin noktaları ile yaklaşılabilir. Dolayısıyla sürekli fonksiyonların bazı özellikleri gibi, uzayın tamamı yerine bu yoğun kümelerle iş yapmak daha avantajlı olabilir. 3.2.4 Tanım X , d , E vektör metrik uzay olmak üzere a. x X ve r E, r 0 için B x, r Y x ise Y X , X uzayında d,E yoğundur denir. b. d ,E x X için xn Y dizisi vardır öyle ki xn x sağlanıyorsa Y X , X uzayında E-yoğundur denir. 3.2.5 Önerme X , d , E vektör metrik uzay, Y X ve E Arşimedian Riesz uzayı olsun. Eğer Y d , E yoğun ise Y E-yoğundur. Baire teoremini oluşturmak için vektör metrik topolojinin bazı özelliklerini kullanacağız. Aşağıdaki sonuç Cantor arakesit teoreminin vektör metrik uzaylardaki versiyonudur. 3.2.6 Teorem X , d , E E-tam vektör metrik uzayı ve E-Dedekind tam olsun. Eğer E’nin boştan farklı Ekapalı alt kümelerinin azalan bir dizisinin X’teki çaplarının limiti sıfır ise bu dizinin arakesiti tek bir noktadan oluşur. 19 Kanıt: E-tam vektör metrik uzayının boştan farklı E-kapalı alt kümelerinin azalan bir dizisi Fn olsun. Kabul edelim ki E-dedekind tam ve limn d Fn 0 olsun. F Fn olmak üzere n 1 için d x, y d Fn sağlanacağından d x, y 0 olur. Dolayısıyla x, y F ise n x y elde edilir. Şimdi F kümesinin boştan farklı olduğunu gösterelim. Her bir n kümesinden bir xn elemanı seçelim. Bu şekilde oluşturulan xn dizisi, için Fn n, p için d xn , xn p d Fn sağlanacağından bir E-Cauchy dizisidir. d ,E X E-tam olduğundan xn x olacak biçimde bir tek x X vardır. Fn dizisi azalan, her bir Fn kümesi E-kapalı ve xn p Fn olduğundan her bir n için x Fn olur. Dolayısıyla x F olacağından F ’dir. Açık ve yoğun kümelerin oluşturduğu dizilerin arakesitlerinin yine yoğun olduğu topolojik uzaylar Baire uzayları olarak adlandırılır. Örneğin her tam metrik uzay ve lokal kompakt Hausdorff uzaylar Baire uzaylarıdır. Şimdi vektör metrik uzaylar için Baire teoremini verelim. 3.2.7 Teorem X , d , E E-tam vektör metrik uzay ve E Riesz uzayı Arşimedyan ve Dedekind tam ise X bir Baire uzayıdır. Kanıt: X, E-tam vektör metrik uzay ve E-Arşimedian olsun. X’in d , E yoğun açık alt kümelerinin bir dizisi An ve A An olsun. x X ve r 0 seçelim. A1 d , E yoğun ve açık n 1 olduğundan B y1 , r1 B x, r Benzer olarak A2 A1 olacak biçimde y1 X ve 0 r1 a , a E vardır. d , E yoğun ve açık olduğundan B y1 , r1 dolayısıyla B y2 , r2 B y1 , r1 A2 olacak biçimde y2 X ve 0 r2 20 A2 ‘dir, a vardır. Bu işlemi 2 için B yn1 , rn1 B yn , rn devam ettirdiğimizde Her bir n An1 B yn , rn ve rn a n olacak biçimde yn X ile 0 rn , rn E dizileri vardır. Böylece Cantor arakesit teoremiyle B yn , rn kümesinin tek noktadan oluştuğunu elde ederiz. B yn , rn B x, r A n 1 n 1 kapsamasından B x, r 3.3. A olduğunu görürüz. Vektör Metrik Uzaylarda Sıra Tamlık Klasik metrik uzaylarda yapılan ispatlara benzer şekilde uzayının E-tam olduğu gösterilebilir. Yani tam olmayan Xˆ , dˆ, E X , d, E vektör metrik vektör metrik E-tam Xˆ , dˆ, E vektör metrik uzayının yoğun bir alt kümesine izometriktir. Bu durumda, Xˆ , dˆ, E vektör metrik uzayına, X , d, E vektör metrik uzayının E-tamlaması denir. Bu tamlama izometriler altında tektir. 3.3.1. Tanım X , d, E ve Y , , F vektör metrik uzaylar x, y X için d x, y i x , i y koşulunu sağlayan i : X Y fonksiyonuna E-izometridir denir. Ek olarak i örten ise X , d , E , Y , , F vektör metrik uzayları E-izometriktir denir. i izometri fonksiyonunun birebir olduğu kolayca görülebilir. i x i y olsun. Bu durumda i x , i y 0 olur ki vektör metrik uzay tanımından d x, y 0 ve dolayısıyla x y elde edilir. Bu da bize i fonksiyonunun birebir olduğunu verir. E, sıra tam Riesz uzay olsun. xn , yn X de E-Cauchy dizileri olmak üzere X ‘de “ xn o 0 ” yn d xn , yn 0 Gerçekten, 0 d xn , xn o şeklinde tanımlanan bağıntı bir denklik bağıntısıdır. ise o d yn , xn d xn , yn 0 ise xn xn yn yn iken 21 olacağından yn xn yansıma özelliği, olduğundan simetri özelliği, o 0 d xn , zn d xn , yn d yn , zn 0 eşitsizliğinden xn zn xn yn ve yn zn iken olduğundan geçişme özelliğinin sağlandığını görürüz. Dolayısıyla bu bağıntı ayrık denklik sınıfları oluşturur. Bu denklik sınıflarını xˆ, yˆ ,... ile gösterelim. Yani xˆ xˆ x X y xˆ için d x , y 0 o n yˆ ve n n n olmak üzere Xˆ xˆ x X olsun. xˆ Xˆ xˆXˆ X̂ üzerinde dˆ : Xˆ Xˆ E, xˆ, yˆ Xˆ için d xˆ, yˆ o lim d xn , yn fonksiyonunu tanımlayalım. xn ve yn E-Cauchy dizileri için d xn , yn dizisi E ‘de Cauchy dizisi ve E o x olacak biçimde bir tek x E vardır. Bu Riesz uzayı E-sıra tam olduğundan d xn , yn ise d̂ ’nın anlamlı olduğunu d xn , yn d xn , zn d yn , zn ve verir. xn , zn xˆ ve yn yˆ d zn , yn d zn , xn d yn , xn d xn , yn d yn , zn elde edilir. Bu ise d̂ ’nın olsun. eşitsizliklerinden xˆ, yˆ denklik sınıflarından alınan xn , yn temsilci dizilerinden bağımsız olduğunu gösterir. Diğer taraftan limitin tekliğinden d̂ iyi tanımlıdır. 3.3.2 Teorem E sıra tam Riesz uzayı olmak üzere X , d , E vektör metrik uzayı ise Xˆ , dˆ , E vektör metrik uzayıdır. Kanıt: Vm1. xˆ, yˆ Xˆ için xn xˆ ve yn yˆ olmak üzere, o dˆ xˆ, yˆ 0 o lim d xn , yn 0 d xn , yn 0 xn yn xˆ yˆ Vm2. xˆ, yˆ , zˆ Xˆ için xn xˆ, yn yˆ ve zn zˆ olmak üzere, d xn , yn d xn , zn d yn , zn o lim d xn , yn o lim d xn , zn o lim d yn , zn olduğundan dˆ xˆ, yˆ dˆ xˆ, zˆ dˆ yˆ , zˆ elde edilir. 22 Diğer taraftan, i : X Xˆ , i x x, x,... şeklinde tanımlanan dönüşüm ile X , d , E ve i X , dˆ, E vektör metrik uzayları Gerçekten, E-izometriktir. dˆ i x , i y dˆ x, x,... , y, y,... o lim d x, y d x, y sağlanır. 3.3.3 Lemma E sıra tam Riesz uzayı olmak üzere X , d, E vektör metrik uzayı ise i X , dˆ , E vektör metrik uzayı Xˆ , dˆ , E içinde E-yoğundur. Kanıt: x̂ Xˆ olsun. xn xˆ E-Cauchy dizisini alalım. Bir n0 denklik sınıfı olan i xn0 i X elemanını düşünelim. için xn0 , xn0 ,... ile üretilmiş xn , X ‘de E-Cauchy dizisi için d xn0 , xn0 p an 0 olacak biçimde an E dizisi vardır. olduğundan p elemanı için n n0 p olacak biçimde p Diğer taraftan n vardır. O halde dˆ i xn0 , xˆ o lim d xn0 , xn o lim d xn0 , xn p an0 elde edilir. Dolayısıyla k dˆ , E xˆ olur. için dˆ i xk , xˆ an 0 olduğundan i xn 3.3.4. Teorem E sıra tam Riesz uzayı olmak üzere X , d , E vektör metrik uzayı tarafından üretilen E-tam vektör metrik uzayı Xˆ , dˆ , E izometriler altında tektir. Kanıt: Öncelikle Xˆ , dˆ , E E-tam olduğunu görelim. xˆn Xˆ bir E-Cauchy dizisi olsun. i X , Xˆ da E-yoğun olduğundan her bir xˆn Xˆ için i yn i X vardır ve dˆ i yn , xˆn an 0 olacak biçimde an E dizisi vardır. Diğer taraftan n, p için d yn , yn p dˆ i yn , i yn p dˆ i yn , xˆn dˆ xˆn , xˆn p dˆ xˆn p , i yn p 3an 0 olur. Bu da bize yn dizisinin X ’de E-Cauchy dizisi olduğunu verir. i : X Xˆ dönüşümü 23 izometri yˆ i yn , Xˆ olduğundan ’da z y yˆ için d z , y 0 o n n n n yn o dˆ i yn , yˆ dˆ yn , yn ,... , yn , yn ,... 0 n E-Cauchy i yn dizisi olmak üzere d ,E i yn yˆ ˆ sağlanacağından olur. olur. elemanı için dˆ yˆ , xˆn dˆ yˆ , i yn dˆ i yn , xˆn eşitsizliği geçerlidir. Buradan dˆ yˆ , xˆn dˆ yˆ , i yn dˆ i yn , xˆn an bn an E, bn E dizileri vardır. Her bir an 0, bn 0 ve xˆn Xˆ olacak biçimde Cauchy dizisi için ŷ Xˆ vardır dˆ , E xˆn yˆ olur. O halde Xˆ , dˆ , E E-tam vektör metriktir. Son olarak Xˆ , dˆ, E tamlamasının izometriler altında tek olduğunu gösterelim. J : X X E-izometri ve J X , X da E-yoğun olacak biçimde başka bir E-tam vektör X , d , E olsun. Xˆ , dˆ, E metrik uzay ve X , d , E tamlamalarının izometrik denk tamlamalar olduğunu görelim. x X için h0 : i X J X , h0 i x j x dönüşümünü tanımlayalım. Açıktır ki i X ve J X E-izometriktir. x, y X için J, E-izometri olduğundan d h0 i x , h0 i y d j x , j y dˆ i x , i y olur. Buradan i X ve j X E-izometriktir. z j X için x X vardır öyle ki z j x h0 i x ve i x Xˆ yani z j X için i x i X vardır ve h0 i x z dir. Buradan h0 örtendir. y i X için x X vardır öyle ki y i x J iyi tanımlı olduğundan x X için j x X ve y i x için h0 y X . Buradan h0 anlamlıdır. y1 , y2 i X ve y1 y2 olsun. y1 i x1 , y2 i x2 olacak biçimde x1 , x2 X i x1 i x2 ise x1 x2 j vardır. i birebir olduğundan iyi tanımlı j x1 j x2 h0 i x1 h0 i x2 h0 y1 h0 y2 Bu da h0 olduğundan fonksiyonunun iyi dˆ , E ˆ ’da E-yoğun olduğundan i x xˆ tanımlı olduğunu verir. x̂ Xˆ olsun i X , X n olacak biçimde i xn i X E-Cauchy dizisi vardır. h0 E-izometri olduğundan d ,E h0 i xn j xn X da E-Cauchy dizisi vardır. ve X E-tam olduğundan j xn x olacak biçimde x X vardır. h : Xˆ X , h xˆ x 24 olarak tanımlayalım. xˆ, yˆ Xˆ dˆ , E dˆ , E ˆ ’da E-yoğun olduğundan i x olsun i X , X xˆ ve i yn yˆ olacak biçimde n i xn , i yn i X E-Cauchy dizileri vardır. xn , yn X de E-Cauchy dizileri dolayısıyla j xn , j yn j X de E-Cauchy dizileridir. X E-tam olduğundan x, y X vardır öyle ki d ,E d ,E d ,E d ,E j xn x, j yn y sağlanır. O halde j xn h xˆ , j yn h yˆ elde edilir. Dolayısıyla, d h xˆ , h yˆ o lim d j xn , j yn o lim d h0 i xn , h0 i yn o lim dˆ i xn , i yn dˆ xˆ, yˆ olur. Yani h metrik koruyandır. x X seçelim j X , X ’da E-yoğun olduğundan d ,E j xn x olacak biçimde j xn j X E-Cauchy dizisi vardır. i X , j X E- izometrik olduğundan i xn d ,E i xn xˆ ˆ olacak X̂ da E-Cauchy dizisidir.O halde biçimde d ,E h i xn h xˆ olur. n x̂ Xˆ elemanı vardır. h X̂ tam olduğu için E-izometrik olduğundan için d x, h xˆ d x, j xn d j xn , h xˆ an bn olacak biçimde E ‘de an 0, bn 0 dizileri vardır. Dolayısıyla, x h xˆ olur. 25 VEKTÖR METRİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK 4. Bu bölümde vektör metrik uzayları üzerinde tanımlı fonksiyonların sürekliliği incelenecektir. Metrik uzaylardaki süreklilik kavramından daha genel olan süreklilik çeşitleri ile vektör metrik uzaylarda karşılaşmamız doğal olacaktır. Çünkü vektör metrik uzaylarda tanımlanan sürelilik bir topolojik özelliğinden ziyade Riesz uzayının sıra yapısı ile ilgilidir. Aşağıda verilen tanımlar metrik uzaylardaki sırasıyla süreklilik ve dizisel süreklilik tanımlarına benzerdir. Ayrıca sürekli fonksiyonların genişlemeleri, sürekli fonksiyonlar uzayları ve vektör metriklerde kompaktlık bu bölümde yer almıştır. Bu bölüm Çevik (2014) ve Petre (2012) çalışmaları esas alınmıştır. 4.1. Vektörel Süreklilik ve Topolojik Süreklilik 4.1.1 Tanım X , d, E ve Y , , F vektör metrik uzaylar, f : X Y bir fonksiyon ve x X olsun. b 0 , b F için d x, y a olduğunda f x , f y b olacak şekilde a 0 , a E varsa, f fonksiyonu, x X noktasında topolojik süreklidir denir. Eğer f fonksiyonu X kümesinin her noktasında topolojik sürekli ise f fonksiyonu X uzayında topolojik süreklidir denir. d ,E x xn olacak biçimdeki xn X dizisi için ,F f xn f x sağlanıyorsa f fonksiyonu x X noktasında vektörel süreklidir denir. Eğer f fonksiyonu X kümesinin her noktasında vektörel sürekli ise f fonksiyonu X uzayında vektörel süreklidir denir. Aşağıdaki teorem vektörel süreklilik ile topolojik süreklilik arasındaki ilişkiyi verir. 4.1.2 Teorem X , d, E ve Y , , F vektör metrik uzaylar ve F Arşimedyan olsun. f : X Y topolojik sürekli ise vektörel süreklidir. 26 Kanıt: f, X üzerinde topolojik sürekli olduğundan, b 0 , b F için d x, y a olduğunda f x , f y b olacak şekilde a a b, y E vardır. Yani f topolojik sürekli olduğundan n ve 1 1 b F için bn bn b, xn E vardır ve d xn , x bn E iken n n f xn , f x b 0 1 n f xn , f x b 1 n sağlanır. O halde d xn , x an bn an 0 sağlanır. F Arşimedyan olduğundan 1 b0 n iken olur. Buradan d ,E ,F x X iken f xn f x Y sağlandığından f vektörel süreklidir. da xn 4.1.3 Teorem X , d, E ve Y , , F vektör metrik uzaylar ve f : X Y fonksiyon olmak üzere aşağıdakiler sağlanır. a. F Riesz uzayı Dedekind tam ve f vektörel sürekli ise d xn , x 0 iken f xn , f x 0 olur. b. E Riesz uzayı Dedekind tam ve d xn , x 0 iken f xn , f x 0 ise f vektörel süreklidir. c. E ve F Riesz uzayları Dedekind tam olsun. f ’in vektörel sürekli olması için gerekli ve yeterli koşul d xn , x 0 iken f xn , f x 0 olmasıdır Kanıt: a. d xn , x 0 olduğundan olduğundan d ,E x xn d ,E x xn iken sağlanır. Dolayısıyla, f vektörel sürekli ,F f xn f x f xn , f x bn 0 olacak biçimde bn F olur. Yani, n için dizisi vardır. F Dedekind tam olduğundan, alttan sınırlı her alt kümesi F içinde bir infumuma sahiptir. Yani f xn , f x 0 sağlanır. b. E Dedekind tam ve d xn , x 0 27 iken f xn , f x 0 olsun. d ,E ,F x iken f xn f x yazılabilir. Bu da bize f ‘in için xn Buradan n vektörel sürekli olduğunu gösterir. c. d ,E x iken E ve F Dedekind tam olsun. f : X Y vektörel sürekli ise xn ,F f xn f x olur. Yani d xn , x an olacak biçimde an 0 E dizisi var iken f xn , f x bn olacak biçimde bn 0 F dizisi vardır. E ve F Dedekind tam olduğundan alttan sınırlı her alt kümenin bir infumumu vardır. Dolayısıyla d xn , x 0 iken f xn , f x 0 sağlanır. Şimdi aşağıdaki vektör metrikler ile tanımladığımız metrik fonksiyonunun vektörel sürekli olduklarını gösterelim. 4.1.4 Örnek X , d, E vektör metrik uzay olsun. z x1 , y1 , w x2 , y2 X X olmak üzere d : X X X X E , d z, w d x1 , x2 d y1 , y2 fonksiyonu ile X X , d , E ve, x, y E olmak üzere d E : E E E , d E x, y x y E, d E , E vektör metrik uzaydır. Buna göre d : X X , d , E E, d E , E fonksiyonu vektörel sürekli olduğunu gösterelim. zn xn , yn X X durumda n d ,E z olsun. Bu dizisi ve z x, y X X elemanı için zn için d zn , z an 0 d zn , z d xn , x d yn , y an 0 sağlanır. Ayrıca olacak olduğundan biçimde an E dizisi vardır. d xn , x an 0 ve d yn , y an 0 d xn , yn d x, y d xn , x d yn , y 2an 0 olduğundan benzer dE , E d z olduğunu verir. olarak d zn d z 2an 0 yazılabilir. Bu ise bize d zn 4.1.5 Tanım X , d, E vektör metrik uzay ve X in boştan farklı bir alt kümesi Y olsun. xn Y ve d ,E x xn iken x Y ise Y kümesine E-kapalı küme denir. 4.1.6 Teorem X , d, E ve Y , , F vektör metrik uzaylar ve f : X Y vektörel sürekli fonksiyon olsun. 28 Bu durumda, B Y F - kapalı alt küme ise f 1 B X , E kapalıdır. Kanıt: xn f 1 B ve d ,E x xn olsun. f vektörel sürekli olduğundan d ,E x xn ise ,F f xn f x sağlanır. B Y , F kapalı ve f xn B olduğundan f x B , dolayısıyla x f 1 B elde edilir. Yani f 1 B X E kapalıdır. E bir Riesz uzay, k sonlu bir sayı ve i=1,2,...,k olmak üzere X i , di , E vektör metrik uzaylar olsun. X X1 X 2 ... X k kartezyen çarpım kümesi üzerinde farklı vektör metrikler tanımlanabilir. x x1 , x2 ,..., xk , y y1 , y2 ,..., yk X için, k d1 : X X E , d1 x, y di xi , yi i 1 d : X X E, d x, y sup d xi , yi i 1, 2,..., k şeklinde tanımlanan d1 ve d fonksiyonları X kartezyen çarpım üzerinde vektör metriktir. 1 1 1 olmak üzere Krivine fonksiyonel p q Eğer E bir Banach örgüsü ve 1 p, q , hesabı ile 1 p p k k d p x, y di xi , yi sup ai di xi , yi : a1 , a2 ,..., ak i 1 i 1 1 k k q , ai 1 ise i 1 1 p p p p k k olur ve d x , y E d : X X E , d x , y p p i i i di xi , yi fonksiyonu X i 1 i 1 üzerinde vektör metrik tanımlar. E ve F iki Riesz uzay ise e1 , f1 , e2 , f2 E F olmak üzere e1 , f1 e2 , f 2 e1 e2 , f1 f 2 sıralaması ile E F ‘de bir Riesz uzaydır. Diğer taraftan, d EF : E F E F E F , d EF e1 , f1 , e2 , f 2 e1 e2 , f1 f 2 fonksiyonu E F üzerinde bir vektör metrik tanımlar. Bu metrik çift mutlak değer vektör metriği olarak adlandırılır. Bu metriğin biraz daha genel halini şu şekilde tanımlayabiliriz. 29 Kabul edelim ki X , d, E ve X , , F vektör metrik uzaylar olsun. Bu durumda : X X E F , x, y d x, y , x, y bir vektör metriktir. Bölüm 3.1 de verilen vektör metrik örneklerini kullanarak bazı vektörel süreklilik örnekleri verelim. 4.1.7 Örnek X , d, E ve X , , F g : X , , F F , dF , F vektör vektörel metrik sürekli uzaylar, f : X , d , E E, d E , E ve üzere, x X için fonksiyonlar olmak h : X , , E F E F , d EF , E F , h x f x , g x fonksiyonunun vektörel sürekli olduğunu gösterelim. kabul edelim ki ,EF xn x olsun Buradan n için xn , x d xn , x , xn , x an , bn 0 olacak biçimde an , bn E F dizisi vardır. Bu d ,E ise bize d xn , x an 0 ve xn , x bn 0 olduğunu verir. O halde xn x ve ,F xn x sağlanır. ve g dF , F g x ’dir. ve g xn vektörel sürekli olduğundan dE , E f xn f x d E f xn , f x f xn f x cn 0 Buradan ve d F g xn , g x g xn g x d n 0 olacak biçimde cn , dn E dizileri vardır. Dolayısıyla, d EF h xn , h x d EF f x , g x , f x , g x f x f x , g x g x c , d n n n n n d EF , EF h x elde edilir. sağlanır. cn , dn E F .olduğundan h xn 4.1.8 Örnek X , d, E ve Y , , F vektör metrik uzaylar olsun. z x1 , y1 , w x2 , y2 X Y olmak üzere : X Y X Y E F , z, w d x1 , x2 , y1 , y2 bir vektör metriktir. Dolayısıyla, X Y , , E F vektör metrik uzaydır (Çarpım vektör metrik). X Y , , E F vektör metrik uzayı göz önüne alalım. X Y üzerinde tanımlı, sırasıyla X ve Y değerli, projeksiyon operatörler olmak üzere Px : X Y X , Px x, y x Py : X Y Y , Py x, y y ile tanımlı projeksiyon dönüşümleri vektörel süreklidir. 30 ve n 0 4.1.9 Teorem Herhangi bir vektör metrik uzay fonksiyonunun vektörel Z , , G sürekli Px : X Y X , Px x, y x olmak üzere, f : Z , , G X Y , , E F olması için gerekli Py : X Y Y , Py x, y y ve ve ile yeterli tanımlı koşul, projeksiyon dönüşümleri olmak üzere Px f ve Py f fonksiyonlarının vektörel sürekli olmasıdır. Kanıt: f vektörel sürekli olsun. zn Z ,G dizisi ve z Z elemanı için zn z ise , E F f zn xn , yn f z x, y sağlanır. Bu durumda n olacak biçimde olacak Px an G dizisi var iken. f zn , f z xn , yn , x, y bn , cn 0 bn , cn E F biçimde için zn , z an 0 dizisi vardır. Böylece ,G zn z iken dE , E dF , F f zn xn x ve Py f zn yn y sağlanır. Px f ve Py f fonksiyonları vektörel sürekli olsun. zn Z dizisi ve z Z elemanı dE , E ,G x ve Py z ise Px f zn xn için zn durumda n için zn , z an 0 dF , F f zn yn y sağlanır. Bu olacak biçimde an G dizisi var iken. f zn , f z xn , yn , x, y bn , cn 0 olacak biçimde bn , cn E F dizisi vardır. P y Böylece ,G zn z iken Px dE , E f zn xn x ve f : X , d , E E, d E , E ve dF , F f zn yn y sağlanır. 4.1.10 Örnek X , d, E ve Y , , E g : Y , , E E , d E , E vektör metrik vektörel uzaylar, sürekli h : X Y , , E E E, d E , E , h x, y f x g y fonksiyonlar olsun. şeklinde tanımlı h fonksiyonu , E E x, y X Y sağlansın. Bu vektörel sürekli olduğunu gösterelim. xn , yn X Y durumda n an , bn E E için xn , yn , x, y d xn , x , yn , y an , bn 0 olacak biçimde d ,E ,E dizisi vardır. Dolayısıyla, xn x ve yn y sağlanır. f ve g 31 dE , E dE , E f x ve g yn g y sağlanır. O halde, vektörel sürekli olduğundan f xn f xn f x cn 0 ve g yn g y d n 0 yazılabilir. Dolayısıyla, d E h xn , yn , h x, y d E f xn g yn , f x g y f xn g yn f x g y f xn g yn g y f x f xn g yn g y f x f xn f x g yn g y cn , d n 0 dE , E h x, y yazılabileceğinden h fonksiyonu vektörel elde edilir. Buradan da, h xn , yn süreklidir. 4.1.11.Örnek X , d, E Y , , F vektör ve g : Y , , F F , d F , F vektörel metrik sürekli h : X Y , , E F E F , d E F , E F uzaylar, fonksiyonlar f : X , d , E E, d E , E .ve olsun. x, y X Y için x, y h x, y f x , g y şeklinde tanımlı , E F x, y X Y sağlansın. Her bir h fonksiyonu vektörel süreklidir. xn , yn X Y için n an , bn E F vektörel xn , yn , x, y d xn , x , yn , y an , bn 0 olacak d ,E ,F y sağlanır. f ve g dizisi vardır. Dolayısıyla, xn x ve yn sürekli dE , E f xn f x olduğundan dF , F g y ve g yn Buradan f xn f x cn 0 ve g yn g y d n 0 olacak şekilde d EF h xn , yn , h x, y d EF f x , g y , f x , g y n n f xn f x , g yn g y cn , d n 0 elde edilir. Yukarıda verilen örnekler göz önüne alındığında aşağıdaki sonuçlara ulaşılır. 32 sağlanır. cn , dn E F dizisi vardır. Dolayısıyla, biçimde 4.1.12 Sonuç a. f : X , d , E Y , , G ve g : X , , F Z , , H vektörel sürekli fonksiyonlar olmak üzere h : X , , E F Y Z , , G H , h x f x , g x fonksiyonu vektörel süreklidir. b. G bir Riesz uzay ve f : X , d , E G, dG , G ve g : Y , , F G, dG , G vektörel sürekli fonksiyonlar olmak üzere, h : X Y , , E F G, dG , G x, y h x, y f x g y şeklinde tanımlı h fonksiyonu vektörel süreklidir. c. G ile H birer Riesz uzayları ve f : X , d , E Z , , G ile g : Y , , F W , , H vektörel sürekli fonksiyonlar olsun. Bu durumda, h : X Y , , E F Z W , , G H , h x, y f x , g y şeklinde tanımlı h fonksiyonu vektörel süreklidir. Kanıt: a. Kabul edelim ,EF xn x ki olsun n Buradan için xn , x d xn , x , xn , x an , bn 0 olacak biçimde an , bn E F dizisi vardır. Bu d ,E ise bize d xn , x an 0 ve xn , x bn 0 olduğunu verir. O halde xn x ve ,F xn x sağlanır. ve g vektörel sürekli olduğundan ,Z g x ’dir. Buradan f xn , f x cn 0 ve g xn olacak biçimde cn G, dn H dizileri ,Y f xn f x ve g xn , g x dn 0 vardır. Dolayısıyla, h xn , h x f xn , g xn , f x , g x cn , d n 0 ,GH h x cn , dn G H .olduğundan h xn b. , E F x, y X Y xn , yn X Y sağlanır. elde edilir. sağlansın. Bu durumda n için xn , yn , x, y d xn , x , yn , y an , bn 0 olacak biçimde an , bn E F dizisi d ,E ,F y sağlanır. f ve g vektörel sürekli olduğundan vardır. Dolayısıyla, xn x ve yn 33 dG ,G dG ,G f xn f x ve g yn g y sağlanır. O halde, f xn f x cn 0 ve g yn g y d n 0 yazılabilir. Dolayısıyla, dG h xn , yn , h x, y dG f xn g yn , f x g y f xn g yn f x g y f xn g yn g y f x f xn g yn g y f x f xn f x g yn g y cn , d n 0 dG ,G h x, y yazılabileceğinden h fonksiyonu vektörel elde edilir. Buradan da, h xn , yn süreklidir. c. , E F x, y X Y xn , yn X Y sağlansın. Her bir n için xn , yn , x, y d xn , x , yn , y an , bn 0 olacak biçimde an , bn E F dizisi d ,E ,F y sağlanır. f ve g vektörel sürekli olduğundan vardır. Dolayısıyla, xn x ve yn ,G ,H f xn f x ve g yn g y sağlanır. Buradan f xn , f x cn 0 ve g yn , g y dn 0 olacak şekilde cn , dn G H dizisi vardır. Dolayısıyla, h xn , yn , h x, y f xn , g yn , f x , g y cn , d n 0 elde edilir. 4.1.13 Teorem X Y , , E F çarpım vektör metrik uzayı olmak üzere, zn xn , yn X Y dizisi ve ,EF d ,E z olması için gerekli ve yeterli koşul xn x z x, y X Y elemanı için zn ,F y olmasıdır. ve yn Kanıt: Kabul edelim ki ,EF zn z olsun. Bu zn , z xn , yn , x, y d xn , x , yn , y an , bn 0 an , bn E F n durumda n olacak dizisi vardır. O halde çarpım uzayı üzerindeki sıralama gereği, d ,E ,F y için d xn , x an 0 ve yn , y bn 0 xn x ve yn 34 için biçimde sağlanacağından istenilen görülür. Aşağıdaki teorem bir fonksiyonun vektörel sürekliliği ile grafiğinin kapalılığı arasındaki ilişkiyi verir. 4.1.14 Teorem X , d, E Gf ve X , , F vektör metrik uzaylar, f : X Y fonksiyon olsun. f ‘in grafiği x, f x x X için aşağıdakiler sağlanır. X Y , , E F a. vektör metrik uzayında G f ‘in E F kapalı olması için gerekli ve d ,E ,F y olacak biçimdeki her bir yeterli koşul xn x ve f xn xn X dizisi için y f x olmasıdır. b. f vektörel sürekli ise G f , E F kapalıdır. c. f fonksiyonu x0 X noktasında vektörel sürekli ise h : X G f , h x x, f x fonksiyonu da x0 X noktasında vektörel süreklidir. Kanıt: a. E F kapalı, Kabul edelim ki G f , xn X dizisi için d ,E xn x ve ,F , E F f xn y olsun. 4.1.13 Teorem ile xn , f xn x, y olur. G f , E F kapalı ve x, y G f olduğundan y f x elde edilir. Tersine, zn xn , f xn G f dizisi için , E F zn z x, y X Y sağlansın. Yine 4.1.13 Teorem ile d ,E xn x ve ,F f xn y olur. Hipotez gereği y f x olacağından z G f elde edilir. Yani G f kapalıdır. Metrik uzaylarda denk metrikler aynı topolojiyi üretirler. Dolayısıyla yakınsaklık özdeştir. Vektör metrik uzaylarda ise durum biraz farklıdır. 4.1.15 Tanım X üzerinde tanımlı E-değerli vektör metrik d ve F-değerli vektör metrik olsun. Her bir xn X d ,E ,F x gerek ve yeterli şart xn x ise d ve dizisi ve x X elemanı için xn 35 metriklerine E , F -denk vektör metrikler denir. 4.1.16 Önerme X üzerinde tanımlı E-değerli iki vektör metrik d ve için aşağıdaki önermeler denktir. 1. için d x, y x, y d x, y olacak biçimde , x, y X pozitif sayıları vardır. 2. x, y X için x, y T d x, y ve d x, y S x, y olacak biçimde pozitif ve sıra sürekli S , T : E E operatörleri vardır. Kanıt. 1 2 kabul edelim ki 1 sağlansın. a E için T a a ve S a 1a Şeklinde tanımlı T ve S operatörler pozitif sıra süreklidirler. Dolayısıyla kabulümüzden x, y X için x, y .d x, y yazılabilir. Yani, x, y T d x, y sağlanır. Benzer şekilde x, y X için d x, y x, y olduğundan d x, y 1 x, y sağlanır, dolayısıyla d x, y S x, y elde edilir. 2 1 Kabul edelim ki 2 sağlansın. x, y X için x, y T d x, y ve d x, y S x, y olacak biçimde pozitif ve sıra sürekli S , T : E E operatörleri olsun. T operatörü sıra sürekli olduğundan sıra sınırlıdır ve T d x, y d x, y olacak biçimde bir pozitif sayısı vardır. Dolayısıyla x, y T d x, y d x, y olduğu operatörü görülür. S S x, y 1 x, y sıra sürekli olduğundan sıra sınırlıdır. olacak biçimde bir pozitif sayısı vardır. Dolayısıyla d x, y S x, y 1 x, y sağlanacağından d x, y x, y olduğu görülür. 4.1.17 Sonuç X , d, E ve X , , F vektör metrik uzaylar olsun. Eğer x, y X için x, y T d x, y ve d x, y S x, y olacak biçimde pozitif ve sıra sürekli T : E F , S : F E operatörleri varsa d ile 36 E, F denk vektör metriklerdir. 4.1.18 Örnek 2 üzerinde tanımlı alışılmış sıralamayı düşünürsek aşağıdaki örnekleri verebiliriz. 1. b, c 0 ve a, b c 0 olacak a, b, c sayıları biçimde ve x, y b x y , c x y şeklinde tanımlı d ve ile metrik S: 2 uzaylar x, y olur. için vektör ; T x a 1 bx, cx ve , d, T: d x, y a x y için 2 ve , , 2 ; S x, y ab1 x şeklinde tanımlı T ve S operatörleri pozitif ve sıra süreklidir. x, y için, x, y b x y , c x y a 1 ba x y , ca x y a 1 bd x, y , cd x, y T d x, y ve d x, y a x y ab1b x y S b x y , c x y S x, y sağlanacağından bir önceki sonuç gereği d ile vektör metrikleri 2. x x1 , x2 , y y1 , y2 2 ve üzerinde a, b, c, e 0 reel d x, y a x1 y1 b x2 y2 ve x, y c x1 y1 , e x2 y2 ve S: 2 2 , , 2 vektör metrik ; S x, y ac1 x be1 y uzaylardır. şeklinde 2 , T: tanımlı denktir. sayıları için tanımlı fonksiyonları ile 2 2 , d, ; T x ca 1 x, eb1 x operatörler pozitif ve sıra ve süreklidirler. x, y c x1 y1 , e x2 y2 ca 1 a x1 y1 b x2 y2 , eb 1 a x1 y1 b x2 y2 T a x1 y1 b x2 y2 T d x, y olur. Diğer taraftan, d x, y a x1 y1 b x2 y2 ac 1c x1 y1 be1e x2 y2 S c x1 y1 , e x2 y2 ise d x, y S x, y sağlanır. Bu ise bize üzerinde denk olduğunu verir. 37 , 2 değerli d , vektör metriklerinin 2 Benzer şekilde, : 2 2 x x1 , x2 , y y1 , y2 2 ve , x, y max a x1 y1 , b x2 y2 a, b 0 fonksiyonu ile reel sayıları için 2 , , vektör metrik uzaydır. Eğer max a x1 y1 , b x2 y2 a x1 y1 ise, x, y c x1 y1 , e x2 y2 ca 1a x1 y1 , eb 1a x1 y1 T a x1 y1 T max a x1 y1 , b x2 y2 T x, y olur. Eğer max a x1 y1 , b x2 y2 b x2 y2 ise, x, y c x1 y1 , e x2 y2 ca 1b x2 y2 , eb 1b x2 y2 T b x2 y2 T max a x1 y1 , b x2 y2 T x, y olur. Yani, x, y T x, y sağlanır. Diğer taraftan x, y max a x1 y1 , b x2 y2 a x1 y1 b x2 y2 ac 1c x1 y1 be 1e x2 y2 S c x1 y1 , e x2 y2 S x, y sağlanır. Dolayısıyla, d , vektör metrikleri 2 üzerinde Diğer taraftan; S operatörünü farklı olarak S : şeklinde tanımlarsak , vektör metriklerinin de 2 2 , denktir. ; S x, y max ac 1 x, be1 y üzerinde denk 2 , 2 olduğunu görebiliriz. Açıktır ki S pozitif ve sıra sürekli operatördür. x x1 , x2 , y y1 , y2 ve a, b, c, e 2 için. x, y T x, y olduğu gösterildi. x, y max a x1 y1 , b x2 y2 max ac 1c x1 y1 , be 1e x2 y2 S c x1 y1 , e x2 y2 S x, y sağlanır. x x1 , x2 , y y1 , y2 2 ve a, b, c, e için. x, y T x, y olduğu önceden gösterildiğinden istenen elde edilmiş olur. Şimdi de iki vektör metrik uzay arasında tanımlı izometri kavramını verelim. 38 4.1.19 Tanım X , d, E ve Y , , F vektör metrik uzaylar, f : X Y fonksiyon olmak üzere, i. x, y X için Tf d x, y f x , f y ii. a E için T f a 0 iken a 0 şartlarını sağlayan T f : E F lineer operatörü varsa f fonksiyonuna vektör izometri denir. Eğer f örten Y , , T E vektör f ve Tf operatörü örgü homomorfizmi ise, X , d, E ve metrik uzaylarına vektör izometriktir denir. Tanımdan kolayca görülebileceği gibi, vektör izometri birebir fonksiyonlar için vektörel uzaklığı koruyan birebir fonksiyondur. 4.1.20 Örnek x, y b, c 0 ve a, b c 0 ve , d x, y a x y d: ve a, b, c için , x, y b x y , c x y şeklinde olacak : tanımlı fonksiyonlar vektör metrik tanımlar. 2 TI : biçimdeki 2 ; TI x a 1 bx, cx lineer dönüşümü için, i. TI d x, y TI a x y a 1 ba x y , ca x y b x y , c x y I x , I y ii. TI x 0 a 1 bx, cx 0 x 0 sağlandığından I : , d , dolayı , d, ile , , , , TI 2 özdeşlik fonksiyonu bir vektör izometridir. Bundan x, y : cx by; x, y vektör metrik uzayları vektör izometriktir. 4.1.21 Tanım X , d, E ve Y , , F vektör metrik uzaylar olmak üzere f : X Y fonksiyonu birebir, vektörel sürekli ve f X üzerinde vektörel sürekli bir terse sahipse, f fonksiyonuna vektör 39 X , d, E homeomorfizm denir. Ek olarak f örten ise ve Y , , F vektör metrik uzayları vektör homeomorfiktir denir. Açıktır ki vektör homeomorfizmler dizilerin vektörel yakınsaklığını koruduğu için vektör homeomorfizmler ile kapalı kümelerin ilişkisi aşağıdaki gibi verilebilir. 4.1.22 Teorem Örten vektör homeomorfizmler vektörel kapalı kümeleri korur. Kanıt: X , d, E ve X , , F vektör metrik uzaylar, f : X Y vektör homeomorfizm ve A X , E kapalı alt küme olsun. f 1 vektörel sürekli olduğundan Teorem 4.1.6 gereği A X , E kapalı alt kümesi için f A f 1 1 A Y , E kapalıdır. Aşağıdaki örnek vektör homeomorfizm ile vektörel denklik arasındaki ilişkiyi örneklendirir. 4.1.23 Örnek : X , d, E ve X , , F X vektör metrik uzaylar olmak üzere d ile , E , F -denk olsun. I : X X birim fonksiyonu ile X , d, E ve X , , F vektör homeomorftur. Diğer taraftan, f : X Y fonksiyonu ile X , d , E ve Y , , F vektör homeomorf ise x, y X için : X X F , x, y f x , f y şeklinde tanımlı vektör metrik ile d , E , F denk vektör metriklerdir. 4.2. Sürekli Fonksiyonların Genişlemeleri X , d, E ve Y , , F vektör metrik uzaylar A X ve f : A Y vektörel sürekli fonksiyon olsun. x A için f x g x eşitliğini sağlayan g : X Y fonksiyonuna f ‘in X üzerine bir genişlemesi denir. Böyle bir genişleme her zaman bulunabilir. Önemli olan f fonksiyonunun aynı özelliklere sahip bir genişlemesinin bulunup bulunmamasıdır. 40 4.2.1 Teorem X , d, E ve Y , , F vektör metrik uzaylar ve f , g : X Y vektörel sürekli fonksiyonlar olmak üzere, x X : f x g x X kümesi E-kapalıdır. Kanıt: Kabul edelim ki B x X : f x g x ve seçilen bir d ,E xn x sağlansın. f ve g vektörel sürekli xn B olduğundan dizisi için n için f x , g x f x , f xn f xn , g xn g xn , g x an bn 0 olacak biçimde an E bn F ve f xn g xn olduğundan dizileri vardır. Buradan her bir n f x g x sağlanır. Dolayısıyla x B , yani için B X E-kapalıdır. 4.2.2 Sonuç X , d, E ve Y , , F vektör metrik uzaylar, f , g : X Y vektörel sürekli fonksiyonlar olmak üzere x X : f x g x X kümesi X ‘de E-yoğun ise f g dir. Kanıt: x X : f x g x X kümesi X ‘de E-yoğun olduğundan x x X : f x g x d ,E x sağlanır. f ve g elemanı için xn x X : f x g x dizisi vardır öyle ki xn ,F ,F f xn f x ve g xn g x fonksiyonları vektörel sürekli olduğundan yazılabilir. x x X : f x g x elemanı için ,F f xn g xn f x g x olduğundan f g . 4.2.3. Tanım X , d, E a. ile Y , , F vektör metrik uzaylar ve f : X Y fonksiyon olsun. x, y X ve b0 olacak biçimdeki b F için d x, y a iken f x , f y b olacak şekilde a E, a 0 varsa f fonksiyonuna topolojik düzgün süreklidir denir. Burada a E yalnızca b F elemanına bağlı olarak bulunur. 41 b. xn X , Her bir E-Cauchy dizisi için f xn Y , F-Cauchy dizisi ise f fonksiyonuna vektörel düzgün süreklidir denir. 4.2.4. Teorem X , d, E ile Y , , F vektör metrik uzayları ve F Arşimedyan Riesz uzayı olsun. f : X Y fonksiyonu topolojik düzgün sürekli ise vektörel düzgün süreklidir. Kanıt: xn X Kabul edelim ki dizisi E-Cauchy dizisi olsun. O halde n, p için 1 1 bn bn b E vardır öyle ki d xn , xn p bn iken f xn , f xn p b sağlanır. n n cn an bn E olmak üzere n, p için d xn , xn p an cn sağlandığında f xn , f xn p b sağlanır. Diğer taraftan, F Arşimedyan olduğundan 1 n Buradan f xn Y dizisinin F-Cauchy dizisi olduğu görülür. Bu ise f 1 b 0 ‘dır. n fonksiyonunun vektörel düzgün sürekli olduğunu gösterir. 4.2.5. Örnek a. X , d, E ve Y , , F vektör metrik uzaylar, T f : E F pozitif ve sıra sürekli operatör ise f : X Y vektör izometri fonksiyonu vektörel düzgün süreklidir. b. X , d, E vektör metrik uzayında bir y X elemanı için f y : X E, f y x d x, y şeklinde tanımlı f y fonksiyonu vektörel düzgün süreklidir. c. E Dedekind tam Riesz uzayı olmak üzere kümesi A X X , d, E olsun. vektör metrik uzayının bir alt x X için f A : X E, f A x d x, A inf d x, y : y A şeklinde tanımlı f A fonksiyonu vektörel düzgün süreklidir. Aşağıdaki teorem vektör metrik uzaylar arasında tanımlı fonksiyonların genişlemeleri ile ilgili bazı özellikleri kanıtlar. 42 4.2.6. Teorem X , d, E vektör metrik uzay, A X E-yoğun alt küme, Y , , F F-tam vektör metrik uzay ve F Arşimedyan olsun. Bu durumda, f : A Y topolojik düzgün sürekli fonksiyonunun X ‘in tamamına bir tek vektörel sürekli genişlemesi f : X Y vardır. Kanıt: d ,E x X olsun. A X E-yoğun alt küme olduğundan xn A dizisi vardır ve xn x olur. f topolojik düzgün sürekli ise vektörel düzgün sürekli olacağından f xn F ‘de Cauchy dizisidir. F tam olduğundan ,F f xn y y Y vardır. g : X Y , g x y şeklinde tanımlı fonksiyon f olacak biçimde bir ‘in X üzerine genişlemesi olsun. g ’nin seçimi xn dizisinin seçiminden bağımsız olduğundan g iyi tanımlıdır. Şimdi g ‘nin X üzerinde topolojik düzgün sürekli olduğunu gösterelim. f topolojik düzgün sürekli olduğundan x, y A ve a 0 olacak biçimdeki a F için d x, y b olduğunda d ,E d ,E f x , f y a olacak şekilde b E, b 0 vardır. xn x ve yn y olacak biçimde xn , yn A o d x, y sağlanır. Diğer dizilerini seçelim. O halde d xn , yn taraftan n n0 için d xn , yn b olduğunda f x , f y a olacak şekilde n0 vardır. f vektörel düzgün sürekli olduğundan f xn , f yn Y F- Cauchy dizileridir. Y,Ftam olduğundan fonksiyonunun ,F ,F f xn u, f yn v tanımından g x u olacak ve u, y Y vardır.g biçimde g y v dir. O halde o g xn , g yn g x , g y Bundan dolayı g x , g y b elde edilir. g fonksiyonu X üzerinde topolojik düzgün süreklidir. 4.3. Vektörel Sürekli Fonksiyon Uzayları Bu bölüm şimdiye kadar özelliklerini gördüğümüz vektör metrikleri arasında tanımlı vektörel sürekli ve topolojik sürekli tüm fonksiyonların oluşturduğu sınıfın Riesz uzay olduğunu göstermeyi amaçlamaktadır. 43 4.3.1. Tanım Y , , F vektör metrik uzay X boştan farklı bir küme olsun. Her bir n şeklinde tanımlı fonksiyonların oluşturduğu fn için f n : X Y fonksiyon dizisini düşünelim. f : X Y bir fonksiyon olmak üzere, her bir x X için f n x , f x an olacak biçimde bir an 0 F dizisi varsa f n fonksiyon dizisi f fonksiyonuna düzgün F-yakınsaktır denir. 4.3.2. Teorem X , d, E ve Y , , F vektör metrik uzaylar, vektörel sürekli fonksiyonların oluşturduğu fn Y X fonksiyon dizisi bir f Y X fonksiyonuna düzgün F-yakınsak ise f vektörel sürekli fonksiyondur. d ,E x olsun. Kanıt: Kabul edelim ki xn X ve xn F-yakınsak olduğundan n dizisi vardır. Diğer taraftan k d ,F f fn yakınsaması düzgün için f n x , f x an olacak biçimde an 0 F için f k fonksiyonları vektörel sürekli olduğundan için f k xn , f k x bn olacak biçimde bn 0 F dizisi vardır. Burada k n alınırsa f xn , f x f xn , f n xn f x , f n x f n xn , f n x 2an bn 0 ol ,F f x elde edilir. duğundan f xn X , d, E vektör metrik uzay A X ve A olsun. sup{d x, y x , y A} değeri varsa bu supremum değerine A kümesinin E- çapı denir. x, y A için d x, y a olacak şekilde E Riesz uzayında a 0 sayısı varsa A kümesine E-sınırlı küme denir. Diğer bir deyişle A kümesinin çapı sonlu ise A kümesi E-sınırlıdır. Kolayca görüleceği üzere E Dedekind tam ise E’nin her E-sınırlı alt kümesi bir E-çapa sahiptir. 4.3.3. Tanım X , d, E ve Y , , F vektör metrik uzaylar olmak üzere, f : X Y fonksiyonu X ’in E- sınırlı alt kümelerini Y ’nin F-sınırlı alt kümelerine götürüyorsa f fonksiyonuna vektörel sınırlıdır denir. 44 4.3.4. Teorem X , d, E ve Y , , F vektör metrik uzaylar olmak üzere x, y X için f x , f y T d x, y olacak biçimde bir T : E F pozitif operatörü var ise f : X Y fonksiyonu vektörel sınırlıdır. Kanıt: x, y X T :E F için pozitif operatör olduğundan f x , f y T d x, y T a b sağlanır. Yani x, y A için f x , f y b olacak biçimde b F elemanı vardır. Her bir A X E-sınırlı kümesi için f A F-sınırlı olduğundan f vektörel sınırlıdır. X , d, E vektör metrik uzay ve F bir Riesz uzay olmak üzere Cv X , F f : X , d , E F f vektörel sürekli Ct X , F f : X , d , E F f topolojik sürekli kümelerini tanımlayalım. Burada sözü edilen vektörel ve topolojik süreklilik kavramlarında, F üzerinde tanımlı : F F F , x, y x y vektör metrik düşünülecektir. Önceden gösterildiği üzere Ct X , F Cv X , F sağlanır. 4.3.5. Teorem Fonksiyonlar arasında tanımlı alışıldık sıralamaya göre Cv X , F ve Ct X , F Riesz uzaylarıdır. Kanıt: F F d ,E f , g Cv X , F seçelim. xn f x ve g xn g x olur. x ise f xn Dolayısıyla, için skaları için uzayıdır. Diğer taraftan, f g xn f g x f , g Cv X , F ve olur. Yani, Cv X , F vektör d ,E x X xn olacak biçimdeki o xn X dizisi için F üzerinde alınan vektör metrik yüzünden f xn f x ve o g xn g x sağlanır. Dolayısıyla, 45 o f n gn f g ,olduğundan o f g x f g xn sağlanır. Benzer olarak o f g x f g xn sağlanır. Bu ise Cv X , F f : X , d , E F f vektörel sürekli ‘nın bir Riesz uzayı olduğunu gösterir. Şimdi de Ct X , F f : X , d , E F f topolojik sürekli uzayının Riesz uzayı olduğunu gösterelim. f , g Ct X , F seçelim. b 0 , b F için d x, y a1 olduğunda 1 f x f y b olacak şekilde 2 a1 0 , a1 E , ve benzer şekilde d x, y a2 1 olduğunda g x g y b olacak şekilde a2 0 , a2 E vardır. a1 a2 a olmak 2 üzere d x, y a olduğunda 0 f g x f g y f x f y g x g y f x f y g x g y b olacak biçimde a 0 , a E elemanı vardır. Bu ise f g Ct X , F olduğunu gösterir. f Ct X , F ise b 0 , b F ve her bir 0 skaları için d x, y a1 olduğunda f x f y b olacak f x f y a1 0 , a1 E şekilde vardır. Dolayısıyla, f x f y b sağlanacak biçimde a 0 , a E vardır. Bu ise, f Ct X , F olduğunu gösterir. Cv X , F f : X , d , E F f vektörel sürekli bir vektör uzayıdır. Şimdi de Ct X , F f : X , d , E F f topolojik sürekli uzayının Riesz uzayı olduğunu görelim. a1 a2 a olmak üzere d x, y a olduğunda 0 f g x f g y f x f y g x g y b a 0 , a E elemanı var olduğundan Birkhoff olacak eşitsizliğinden biçimde f g Ct X , F elde edilir. Benzer olarak f g Ct X , F olduğu kolayca görülür. x, y X için f x f y T d x, y olacak biçimde bir T : E F pozitif operatörünün var olduğu f fonksiyonlarının kümesini Cv0 X , F şeklinde gösterelim. 46 Birkhoff eşitsizliğinden açıktır ki Cv0 X , F , Cv X , F ’nin Riesz alt uzayıdır. Üstelik, gösterildiği üzere her bir f Cv0 X , F fonksiyonu vektörel sınırlıdır. 4.3.6. Sonuç X , d, E vektör metrik uzay ve F bir Riesz uzay olmak üzere, Cv0 X , F d : Cv0 X , F Cv0 X , F F , d f , g sup xX f x g x F-değerli düzgün metrik ile bir vektör metrik uzaydır. Kanıt: Vm1. x X , f , g Cv0 X , F için d f , g 0 sup xX f x g x 0 x X için f x g x 0 x X için f x g x f g . Vm2. x X ve f , g , h Cv0 X , F için f x g x f x h x h x g x sup f x h x h x g x sup f x h x sup h x g x sağlanır. Dolayısıyla, sup xX f x g x sup xX f x h x sup xX g x h x olması için gerekli ve yeterli şart d f , g d f , h d g , h sağlanmasıdır. Kompakt kümeler sonlu kümeler gibi davrandığından önemli avantajlar sağlar. Vektör metrik uzaylarda metrik uzaylarda olduğu gibi paralel sonuçlar elde edilebilir. Fakat bu bölümü ilgilendiren vektörel süreklilikle ilişkisini veren bir sonucu vermekle yetineceğiz. Tanım: X , d, E vektör metrik uzay A X olsun. A alt kümesinin her açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa A kümesine kompakt küme denir. Özel olarak X ’in her açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa X , d , E vektör metrik uzayına kompakt uzay denir. 47 Teorem: X , d, E ve Y , , F vektör metrik uzaylar ve f : X Y vektörel sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer K X kompakt bir alt küme ise f K Y alt kümesi de kompakttır. Kanıt: Vi iI , f K ’nın açık bir örtüsü olsun. f K Yani Vi sağlanır. iI K f 1 f K f 1 Vi f 1 Vi sağlanacağından iI iI f V 1 i ailesi K’ nın bir örtüsü olduğu elde edilir. f vektörel sürekli olduğundan, her i için f 1 Vi açık bir kümedir ve bu aile K f 1 Vi1 K’nın ... bir örtüsü olur. Dolayısıyla, K kompakt olduğundan f 1 Vin içindeliğini sağlayan sonlu sayıda i1 ,..., in I vardır. O halde, f K f f 1 Vi1 1 = f f Vi1 = Vi1 açık ... ... f 1 Vin f f 1 Vin ... Vin olur. Bu ise f K kümesinin kompakt olduğunu gösterir. 48 5. KAYNAKLAR Aliprantis C D, Border K C (1999). Infinite Dimensional Analysis. Springer-Verlag, 703s, Berlin. Aliprantis C D, Burkinshaw O (2006). Positive Operators. Springer, 367s, Dordrecht. Aliprantis C D, Tourky R (2007), Cones and Duality. AMS, 574s, Providence. Çağlar M, Ercan Z (2014). Order-Unit-Metric Spaces. Positivity. 18: 557-565. Çevik C, Altun I (2009). Vector Metric Spaces and Some Properties. Topol. Methods Nonlinear Anal., 34(2): 375-382. Çevik C (2014). On Continuity Functions Between Vector Metric Spaces. J. Funct. Spaces. Art.ID 753969: 6pp. Çevik C (2015). Completion of Vector Metric Spaces. G.U. Journal of Science. 28(1): 69-73. Ercan Z. (2014). On the End of the Cone Metric Spaces. Topology and its Applications. 166: 10-14. Huang L G, Zhang X (2007). Cone Metric Spaces and Fixed Poind Theorems of Contractive Mappings. J.Math.Anal.Appl. 332: 1468-1476. Jankovic S, Kadelburg Z, Radenovic S (2011). On Cone Metric Spaces: A survey. Nonlinear Analysis. 74:2591-2601. Khani M, Pourmahdian M (2011). On the Metrizability of Cone Metric Spaces. Topology and its Applications. 158: 190-193. Petre I R (2012). Operatorial Inclusion by Fixed Point Technique in Vector Metric Spaces. PhD. Thesis. University of Babeş-Bolyai, Faculty of Mathematics and Computer Science. Cluj-Napoca. Nesin A. (2012). Analiz IV . Nesin Yayıncılık A.Ş., 215p, İstanbul. Zaanen A C (1983). Riesz Space II. North-Holland, 720s, Amsterdam. Zabreiko P P (1997). K-metric and K-normed Linear Spaces. Collect. Math. 48: 825-859. 49 ÖZGEÇMİŞ İlker Peksöz 27/01/1975 Tekirdağ doğumlu olup, 1992 yılında Kepirtepe Anadolu Öğretmen lisesinden ve 1998 yılında da Balıkesir Üniversitesi Necatibey Eğitim Fakültesi matematik öğretmenliği bölümünden mezun olmuştur. Mezuniyetinden sonra çeşitli eğitim kurumlarında eğiticilik hayatına devam etmiş ve 2008 yılında ise Milli Eğitim Bakanlığı ‘nda öğretmen olarak göreve atanmıştır. Halen Çorlu ilçesi Şahinler Orta Okulunda matematik Öğretmeni olarak görev yapmaktadır. 50