b) Birleşme Özelliği

RASYONEL SAYILAR, RASYONEL İFADELER, RASYONEL SAYILARIN ÖZELLİKLERİ (1) İLE İLGİLİ
KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ
SORULAR)
a ve b birer tamsayı, b sıfırdan farklı ve a ile b aralarında asal ise, a/b şeklinde yazılabilen sayılara,
Rasyonel Sayı denir. Yani, denk kesirlerin belirttiği sayıdır. Rasyonel sayıların oluşturduğu topluluğa,
Rasyonel Sayılar Kümesi denir ve Q ile gösterilir. Buradan, Rasyonel Sayılar Kümesini,
Q = {x: x=a/b; a, b Є Z ve b ≠ 0; a ile b aralarında asal }
şeklinde gösterebiliriz.
Örneğin,
1/5, 2/3, 4, 8/5, -1/2, -6/5, 0, ...
sayıları, birer rasyonel sayıdır.
Bazı Özellikler:
Her doğal sayı, bir tamsayıdır.
Her tamsayı, bir rasyonel sayıdır. Çünkü, tamsayıların paydası vardır ve 1' dir.
a/b = c/b ise, a=c dir.
a/b=c/d ise, a.d=b.c dir.
a ile b ve c ile d aralarında asal ve a/b=c/d ise, a=c ve b=d dir.
RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER
1. TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ:
Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için, paydaların eşit olması gerekir. Şayet,
paydalar eşit değilse, paydalar eşitlenir. Ortak payda, payda olarak alınırken, toplama işleminde payların
toplamı paya, çıkarma işleminde payların farkı paya yazılır. Bu kuralı, aşağıdaki şekillerde gösterebiliriz:
Özellik: a/b sayısının toplama işlemine göre tersi, -a/b dir, yani ters işaretlisidir.
Örnekler:
2. ÇARPMA İŞLEMİ
Rasyonel iki sayının çarpımı, payların çarpımı paya, paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır. Yani,
şeklinde yapılmalıdır. İşaret kuralı, tamsayılardaki gibidir. a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi, b/a dır.
a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi,
(a/b)-1 = b/a
şeklinde gösterilir.
Örnekler:
3. BÖLME İŞLEMİ
Rasyonel iki sayının bölümü, ilk sayı aynen yazılır, ikinci sayı ters çevrilip çarpılır. Yani, ilk sayı, ikinci
sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır. Bölme işleminin genel kuralı,
şeklindedir. Burada b, c ve d' nin sıfırdan farklı olması gerekir. Çünkü, sıfıra bölme tanımsızdır. Diğer
taraftan, sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü, sıfırdır. İşaret kuralı, çarpma işlemindeki gibidir.
Örnekler:
Karışık Örnekler:
Örnek 1:
olduğuna göre,
toplamının a cinsinden değeri nedir?
Çözüm:
Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak,
olur. Yani, a+b=12 bulunur. Buradan, b=12-a çıkar. bilgiyelpazesi.net
Örnek 2:
sayısı,
sayısının kaç katıdır?
Çözüm:
Bir sayının bir başka sayının kaç katı olduğunu bulmak için, bölme işlemi yapılmalıdır. Bu takdirde,
Örnek 3:
olduğuna göre, a kaçtır?
Çözüm:
Eşitliğin sol tarafı sonsuza dek gittiğinden,
yazabiliriz. Buradan, a/10 = 10-5, a/10 = 5, a= 10.5, a=50 bulunur.
Örnek 4:
Çözüm:
yazılabilir. Buradan,
4x + 5 = x2
x2-4x -5 = 0
Çarpımları -5, toplamları -4 olan iki sayı, -5 ile +1 olduğundan,
(x-5).(x+1) = 0
yazabiliriz. Böylece,
x=5 ile x=-1 bulunur. Pozitif değerlerin toplamı negatif olamayacağından, x = 5 olmalıdır.
Not: 5, 4' ün 1 fazlası olduğundan, sonuç 5 çıkmıştır. 4' ün yerinde 8 ve 5' in yerinde 9 bulunsaydı, sonuç 9
olacaktı. 4' ün yerine a ve 5' in yerine de b koyarsak, şayet b, a' nın 1 fazlası (b=a+1) ise, bu işlemin sonucu,
b olur.
Örnek 5:
işleminin sonucu, yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisi olabilir?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Çözüm:
Verilen işlem, sonsuzlu işlem olduğundan, 3' ün paydasına x dersek, işlemin tamamı da x olur. Dolayısıyla,
yazabiliriz. Buradan, 4x -3 = x2, x2 -4x +3 = 0 olur. Bu denklem de, (x-3)(x-1)=0 şeklinde
yazılabileceğinden, x=3 ile x=1 bulunur. Dolayısıyla, doğru seçenek (b) şıkkıdır.
Not:
işleminde, (a/2)2 = b ise, bu işlemin sonucu a/2 dir.
Örnek 6:
Çözüm: (8/2)2 = 42 = 16 olduğundan, işlemin sonucu a/2= 8/2 = 4 tür.
RASYONEL SAYILARIN SIRALANMASI
Pozitif Rasyonel Sayıların Sıralanması:
1) Paydaları eşit olan rasyonel sayıların, payı büyük (küçük) olan rasyonel sayı diğerinden daha büyüktür
(küçüktür).
Örnek:
7/5 ile 3/5 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
Bu iki rasyonel sayının paydaları eşit olduğundan, payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha
küçüktür. Bu nedenle, bu rasyonel sayılar
şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralanabilir.
2) Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası küçük (büyük) olan daha büyüktür (küçüktür).
Örnek:
12/25 ile 12/35 rasyonel sayılarını sıralayınız.
Çözüm:
Bu iki rasyonel sayının payları eşit olduğundan, paydası küçük olan daha büyük olduğundan,
şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralayabiliriz. Diğer taraftan,
şeklinde büyükten küçüğe doğru da sıralayabiliriz.
3) Rasyonel sayıların payları ile paydaları arasındaki fark eşit ise,
Şayet, rasyonel sayılar basit kesir şeklinde iseler, payı küçük olan daha küçüktür.
Şayet, rasyonel sayılar bileşik kesir şeklinde iseler, payı küçük olan daha büyüktür.
Örnek:
12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarının her ikisi de basit kesirdir. Ayrıca, her iki kesrin payı ile paydası
arasındaki fark 5' tir. Dolayısıyla, payı küçük olan daha küçüktür. Bu nedenle, 12/17 rasyonel sayısı, 14/19
rasyonel sayısından daha küçüktür. Yani,
şeklinde yazabiliriz.
Örnek:
107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarının her ikisi de bileşik kesirdir. Ayrıca, her iki kesrin payı ile paydası
arasındaki fark 2' dir. Dolayısıyla, payı küçük olan daha büyüktür. Bu nedenle, 359/357 rasyonel sayısı,
107/105 rasyonel sayısından daha küçüktür. Yani,
dir.
4) Rasyonel sayılar, ondalık kesre çevrilerek de sıralanabilir.
Örnek:
10/11 ile 100/111 kesirlerini sıralayınız.
Çözüm:
a=10/11 olsun. O zaman, 1/a=11/10=1,1 olur.
b=100/111 olsun. O zaman, 1/b=111/100=1,11 olur.
Dolayısıyla,
dir. Buradan, b < a bulunur. Ayrıca, a > b şeklinde de yazabiliriz.
5) Rasyonel sayılar, tamsayılardan daha yoğundur. Bu nedenle, iki rasyonel sayı arasında daima başka bir
rasyonel sayı vardır. Buna, rasyonel sayılar sıktır ya da yoğundur denir. Bundan dolayı, rasyonel sayılarda
ardışıklıktan söz edilemez. İki rasyonel sayının arasında yer alan bir başka rasyonel sayı şöyle
bulunabilir:bilgiyelpazesi.net
a/b ile c/d birer rasyonel sayı ve a/b < c/d ise, bu iki rasyonel sayı arasında yer alan başka bir rasyonel
sayı,
şeklinde bulunabilir.
Örnek:
1/2 ile 3/5 rasyonel sayıları arasındaki rasyonel sayıyı bulunuz.
Çözüm:
bulunur. Dolayısıyla,
yazabiliriz.
6) İki rasyonel sayı arasında yer alan rasyonel sayıları bulmak için, bu iki rasyonel sayının paydaları
eşitlenir.
Örnek:
Aşağıdakilerden hangisi 1/6 ile 2/5 arasında yer almaz?
a) 7/30 b) 9/30 c) 10/30 d) 11/30 e) 13/30
Çözüm:
1/6 ile 2/5 kesirlerinin paydaları 30' a eşitlenirse, 1/6=5/30 ve 2/5=12/30 olur. Dolayısıyla, 5/30 ile 12/30
arasındaki rasyonel sayılar
6/30, 7/30, 8/30, 9/30, 10/30, 11/30
dir. Buna göre, 13/30 rasyonel sayısı bu ikisi arasında bulunmaz. Doğru seçenek, (e) şıkkıdır.
Negatif Rasyonel Sayıların Sıralanması:
Rasyonel sayılar önce işaretsiz (pozitif) olarak sıralanır. Sonra da ters sıralama yapılarak, negatif
değerlerin sıralaması elde edilir. Çünkü, sıralama sembollerinin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılırsa,
sıralama sembolü yön değiştirir.
Örnek:
a = -1/3 ve b = -2/7 ise, a ile b' yi sıralayınız.
Çözüm:
a ile b negatif rasyonel sayılar olduğundan, işaretsiz olarak ele almalıyız. Yani, 1/3 ile 2/7 sayılarını göz
önüne alalım. Bu iki kesrin, paylarını eşitleyelim. Bu takdirde, 1/3 = 2/6 olur ve 2/7 sayısı ile birlikte göz
önüne alınırsa, payları eşit olan kesirlerden, paydası küçük olan daha büyük olduğundan, 2/6 sayısı 2/7
sayısından daha büyüktür. Böylece,
olur. Rasyonel sayıların işaretlerini negatif alıp, eşitsizliğin yönünü değiştirirsek,
buluruz. Dolayısıyla, a < b dir.
Örnek:
x < 0 olmak üzere, a = x/3 ve b = x/7 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
Şayet x > 0 olsaydı,
olacaktı. x < 0 olduğu için,
olur.
Örnek:
ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) 1 < x < 3 b) 1/2 < x < 5/2 c) 22/3 < x < 26 d) 4 < x < 26/3
e) 22/3 < x < 12
Çözüm:
Verilen sıralamanın her üç tarafını da 4 ile çarparsak,
olur ve sonra da sıralamanın her üç tarafına da 6 sayısını eklersek sıralamada herhangi bir değişiklik
olmayacağından,
22/3 < x < 26
bulunur. Doğru seçenek (c) şıkkıdır.
Örnek:
a=10/11,
b=100/111,
c=1000/1111
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangsi doğrudur? (ÖSS-1999, iptal sın.)
a) c < b < a
b) c < a < b
c) a < b < c
d) a < c < b
e) b < c < a
Çözüm:
a=10/11=1/1,1
b=100/111= 1/1,11
c=1000/1111=1/1,111
payları eşit olan kesirlerin, paydası en büyük olan daha küçük olduğundan,
a > b > c olur. Doğru seçenek (a) şıkkıdır.
Örnek:
a > 0, b > 0, c > 0 ve
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? (ÖSS-1992)
a) a < c < b
b) a < b < c
c) b < a < c
d) b < c < a
e) c < b < a
Çözüm:
a, b ve c pozitif sayılar olduğundan,
yazabiliriz. Buradan, a=5, b=15 ve c=10 olur. Böylece, a < c < b bulunur. Doğru seçenek (a) dır.
Örnek:
a=7/8, b=10/11, c=13/5
sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
a) a < c < b
b) a < b < c
c) b < c < a
d) c < b < a
e) c < a < b
Çözüm:
a ile b kesri basit bir kesirken, c bileşik kesirdir. Bu nedenle, c bileşik kesri en büyüktür. O halde, a ile b yi
incelemeliyiz.
Buradan, a < b bulunur. Böylece, a < b < c elde edilir. Doğru seçenek (b) dir.
Örnek:
olduğuna göre a, b, c sayıları sırasıyla, aşağıdakilerden hangisindeki sayılar
olabilir?
a) 6/45, 11/45, 12/45
b) 4/27, 6/27, 7/27
c) 5/36, 6/36, 7/36
d) 2/18, 5/18, 6/18
e) 7/54, 9/54, 15/54
Çözüm:
Bu tür sorularda seçeneklerden gidilmelidir. Kesirlerin paydaları seçeneklerin paydalarına eşit olacak
şekilde genişletilmelidir.
a) Bu şıkta paydalar 5 ile genişletilmiştir. O halde, 5 ile genişletirsek
5/45 < a < b < c < 10/45
olur. Burada, b ve c yer almaz. Dolayısıyla, bu seçenek doğru olamaz.
b) Bu şıkta paydalar 3 ile genişletilmiştir. O halde, 3 ile genişletirsek
3/27 < a < b < c < 6/27
olur. Burada da, b ile c bu aralıkta yer almaz. Dolayısıyla bu seçenek doğru olamaz.
c) Bu şıkta paydalar 4 ile genişletilmiştir. O halde, 4 ile genişletirsek
4/36 < a < b < c < 8/36
olur. Burada, a, b ve c bu aralıkta yer alır. Dolayısıyla, doğru seçenek bu seçenektir.
d) ve e) seçenekleri yukarıdaki nedenlerle doğru seçenek olamaz.
RASYONEL SAYILARLA ARİTMETİKSEL İŞLEMLER
KESİR
a ve b birer tamsayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b şeklindeki ifadelere kesir adı verilir. Burada a' ya
kesrin payı, b' ye de kesrin paydası denir. Bir başka deyişle, kesir bir bütünün eşit parçalarından birini ve
birkaçını gösteren sayıdır. Kesrin paydası, bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü belirtirken, kesrin payı da
bu eşit parçalardan kaç tane alındığını gösterir. Örneğin, 2/5 kesri, bir bütünün 5 eşit parçaya bölündüğünü
ve bu parçalardan 2 parçanın alındığını ifade eder. bilgiyelpazesi.net
DENK KESİRLER
a, b, c, d birer tamsayı ve b ile d sıfırdan farklı olmak üzere, a/b ile c/d birer kesir ve a.d = b.c ise, a/b ile c/d
kesirlerine denk kesirler denir. Örneğin, 3/5 kesrine denk olan kesirler şöyle yazılabilir:
3/5, 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, ... , 3m/5m, ...
Burada, m sıfırdan farklı bir tamsayıdır. Bir kesrin pay ve paydası, sıfırdan farklı bir tamsayı ile çarpılır veya
bölünürse, kesrin değeri değişmez. Bir kesrin payı ve paydası, aynı sayı ile çarpılırsa, buna kesrin
genişletilmesi denir. Bir kesrin genişletilmesine şöyle örnek verebiliriz:
Şayet bir kesrin pay ve paydası, aynı sayı ile bölünürse, buna da kesrin sadeleştirilmesi denir. Bir kesrin
sadeleştirilmesine de şöyle örnek verebiliriz:
BAYAĞI KESİR
a ve b birer doğal sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b şeklindeki ifadelere, bayağı kesir denir. Bayağı
kesirler üçe ayrılır:
1. Basit Kesirler:
Payı, paydasından küçük olan bayağı kesirlerdir. Örneğin,
2/3, 3/5, 4/7, 1/2, 9/10, 1/3, 2/7, 10/15, ...
şeklindeki bayağı kesirlerin tümü, basit kesirdir. Bununla birlikte, payı 1 olan basit kesirlere, birim kesirler
denir. Burada, 1/2 ile 1/3 basit kesirlerinin payları 1 olduğu için, birim kesirlerdir.
2. Bileşik Kesirler:
Payı, paydasına eşit veya paydasından büyük olan bayağı kesirlerdir. Örneğin,
3/2, 5/3, 7/4, 2, 10/9, 3, 7/2, 15/10, 12/12, ...
şeklindeki bayağı kesirlerin tümü, bileşik kesirdir. Çünkü, bu kesirlerin tümünün payı, paydasından
büyüktür.
3. Tamsayılı Kesirler:
a, b, c birer doğal sayı ve b < c ve a sıfırdan farklı olmak üzere,
şeklinde gösterilen kesirlerdir. Yani, tamsayılı kesirler, sıfırdan farklı bir doğal sayı ve basit kesir ile birlikte
yazılan kesirlerdir. Örneğin,
kesri, tamsayılı bir kesirdir. Buradan, bir tamsayılı kesrin, bileşik kesir şeklinde yazılabileceğini görürüz.
Aynı şekilde, bir bileşik kesrin de tamsayılı kesir şeklinde yazılabileceğini söyleyebiliriz. Bileşik bir kesri,
tamsayılı bir kesre şöyle çevirebiliriz: Kesrin payı, paydasına bölünür, bölüm tam kısmını, kalan pay kısmını
oluşturur ve payda aynen alınır. Örneğin, 11/5 bileşik kesrini gözönüne alalım. 11, 5' e bölünürse, bölüm 2 ve
kalan 1 olduğundan,
şeklinde yazabiliriz.
Not: Kesirler, eksili (negatif) de olabilirler.
Örnek:
kesrinin basit bir kesir olabilmesi için, x kaç tane değer alır?
Çözüm:
Bir kesrin basit bir kesir olabilmesi için, payının paydasından küçük olması gerekir. Dolayısıyla, 2x - 3 < 12
olması gerekir. x' i yalnız bırakabilmek için, 3 sayısını eşitsizliğin sağ tarafına atarsak,
2x < 12 + 3
2x < 15
x < 15/2
bulunur. x doğal sayı olduğuna göre, 15/2' den küçük doğal sayılar,
x = {0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7}
dir. Bu nedenle, x, bu 8 tane değeri alırsa, kesir basit kesir olur.
RASYONEL SAYILAR, RASYONEL İFADELER, RASYONEL SAYILARIN ÖZELLİKLERİ (2) İLE
İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER,
ÇÖZÜMLÜ SORULAR)
Tanım: a, b
Z ve b
0 olmak üzere;
ifadesine kesir ya da Rasyonel Sayı denir. Rasyonel sayılar Q ile gösterilir.
ifadesinde a’ ya kesrin payı b’ ye de kesrin paydası denir.
Örn:
gibi sayılar rasyonel sayıdır.
Kesir Çeşitleri:
1. Basit Kesir:
Payı paydasından mutlak değerce küçük olan kesire basit kesir denir.
2. Bileşik Kesir:
Payı paydasından mutlak değerce büyük ya da payı paydasına mutlak değerce eşit olan kesire bileşik
kesir denir.
Örn:
gibi kesirler bileşik kesirlerdir.
3. Tam Sayılı Kesir:
Önünde tamsayı olan kesire tamsayılı kesir denir.
Örn:
gibi kesirler tamsayılı kesirlerdir.
Rasyonel Sayılarda Genişletme ve Sadeleştirme:
kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tamsayısı ile çarpılabilir veya bölünebilir. Bu işlem kesrin
değerini değiştirmez ve kesre yapılan bu işleme kesrin genişletilmesi veya sadeleştirilmesi denir.
rasyonel sayısının elde edilmesine de
sadeleştirilmesi denir.
Örn:
rasyonel sayısını 3 ile genişletiniz.
Örn:
rasyonel sayısını en sade biçimiyle gösteriniz.
Denk Kesirler:
kesrinin genişletilmesi veya sadeleştirilmesi ile
kesirler denir.
Denklik “ ” işaretiyle gösterilir.
Örn:
Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Dört İşlem:
1. Toplama – Çıkarma:
Paydalar eşit ise ;
’ ye eşit kesirler elde edilir. Bu kesirlere
’ye denk
Paydalar farklı ise ;
2. Çarpma:
Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Dört İşlem’in Özellikleri:
1. Toplama İşlemi’nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:
Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi Toplama İşlemi’ne göre kapalıdır.
Örn:
b) Birleşme Özelliği:
Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’nin birleşme özelliği vardır.
Örn:
c) Birim (Etkisiz) Eleman:
olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’
olur.
Bu yüzden Rasyonel
dır.bilgiyelpazesi.net
Sayılar
Kümesi’nde
Toplama
İşlemi’nin
Örn:
d) Ters Eleman Özelliği:
olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’ne göre
birim
(etkisiz)
elemanı
“0”
Örn:
e) Değişme Özelliği:
Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’nin değişme özelliği vardır.
Örn:
 Bu beş özellik sağlandığı için (Q, +) sistemi Değişmeli Grup’tur.
2. Çıkarma İşlemi’nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:
olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi Çıkarma İşlemi’ne göre kapalıdır.
Örn:
b) Birleşme Özelliği:
olduğundan Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birleşme özelliği yoktur.
Örn:
c) Birim (Etkisiz) Eleman:
yapan bir x sayısı olmadığı için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı
yoktur.
d) Ters Eleman Özelliği:
Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı olmadığı için ters elemanı da
yoktur.
e) Değişme Özelliği:
olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin değişme özelliği yoktur.
Örn:
3. Çarpma İşlemi’nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:
olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi Çarpma İşlemi’ne göre kapalıdır.
Örn:
b) Birleşme Özelliği:
olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin Birleşme Özelliği vardır.
Örn:
c) Birim (Etkisiz) Eleman:
olduğundan Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı 1’dir.
Örn:
d) Ters Eleman Özelliği:
olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’ne göre
Fakat x
R olmak üzere 0 . x = 0 olduğundan
sayısı yoktur.
Bunun için 0’ın Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemine göre tersi yoktur.
e) Değişme Özelliği:
olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin değişme özelliği vardır.
Örn:
a) Çarpma İşlemi’nin Toplama İşlemi Üzerinde Dağılma Özelliği:
olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin Toplama İşlemi üzerinde Dağılma Özelliği
vardır.
Örn:
4. Bölme İşlemi’nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:
olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi Bölme İşlemi’ne göre kapalıdır. bilgiyelpazesi.net
Örn:
b) Birleşme Özelliği:
olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Bölme İşlemi’nin Birleşme Özelliği yoktur.
Örn:
c) Birim (Etkisiz) Eleman:
Rasyonel Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin birim (etkisiz) eleman özelliği yoktur.
d) Ters Eleman Özelliği:
Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Bölme İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı olmadığı için ters eleman özelliği
de yoktur.
e) Değişme Özelliği:
Rasyonel Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin değişme özelliği yoktur.
Örn:
Rasyonel Sayılarda Sıralama:
 Ayrıca Rasyonel Sayılar arasında sıralama yaparken verilen sayılar uygun sayılarla genişletilir ve
paydaları pozitif olarak eşitlenir. Bu durumda payı büyük olan kesrin değeri, payı küçük olan kesrin
değerinden büyüktür.
Örn:
sayılarını sıralayınız.
 Ayrıca payı ve paydası arasındaki farkı aynı olan pozitif basit ve pozitif bileşik kesirlerden paydası
büyük olan 1’e daha yakındır.
Örn:
sayılarını 1’e yakınlık bakımından sıralayınız.
-
Verilen sayıların payları ile paydaları arasındaki fark 2’dir. Bu yüzden 1’e yakınlık sıraları:
Örn:
sayılarını 1’e yakınlık bakımından sıralayınız.
-
Verilen sayıların payları ile paydaları arasındaki fark 3’tür. Bu yüzden 1’e yakınlık sıraları:
Rasyonel Sayıların Yoğunluğu:
Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi yoğundur.
Ondalık Sayılar:
yazılabilen kesirlere ondalık kesir denir.
Örn:
a,bc ondalık sayısında a’ya tam kısım, bc’ye de ondalık kısım denir.
Örn:
rasyonel sayısını ondalık biçimde gösteriniz.
Devirli Ondalık Sayılar:
Ondalık sayı şeklinde yazılan bir rasyonel sayıda ondalık kısımdaki rakamlar belirli bir biçimde
tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalık sayı denir.
Örn:
Devirli Ondalık Sayılar’ın Rasyonel biçimde Yazılması:
Bir devirli ondalık sayıyı rasyonel biçimde yazmak için;
a,b,c,d birer rakam olsun:
Tam Sayılar ve Rasyonel Sayılarla ilgili Karma Alıştırmalar:
1) Üç basamaklı en büyük pozitif çift tamsayı ile üç basamaklı en büyük negatif tek tamsayının toplamı
kaçtır?
Cevap: 998 + (-101) = 897
2) a,b,c pozitif tam sayılar
kaçtır?
işleminin en küçük değeri
RASYONEL SAYILAR, RASYONEL İFADELER, RASYONEL SAYILARIN ÖZELLİKLERİ (3) İLE İLGİLİ
KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)
A. TANIM
a ve b tam sayı, b
0 olmak üzere,
şeklinde ifade edilen sayılara rasyonel sayı veya kesir denir.
B. KESİR ÇEŞİTLERİ
1. Basit Kesir
İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.
2. Bileşik Kesir
İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir.
3. Tam Sayılı Kesir
Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.
birer tam sayılı kesirdir.
Her bileşik kesir bir tam sayılı kesir biçiminde yazılabilir.
C. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER
1. Genişletme ve Sadeleştirme
k
0 olmak üzere,
2. Toplama - Çıkarma
Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan
kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır) ortak payda alınır.
3. Çarpma - Bölme
4. İşlem Önceliği
Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda
işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır.
1) Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.
2) Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.
3) Çarpma - bölme yapılır.
4) Toplama - çıkarma yapılır.
Toplama ile çıkarma ve çarpma ile bölme kendi arasında öncelik taşımaz. Özellikle çarpma ile bölmede
öncelik söz konusu ise bu, parantezle belirlenir.
D. ONDALIK KESİR
1. Ondalık Kesir
Bir rasyonel sayının payını paydasına böldüğümüzde bu rasyonel sayının ondalık açılımını buluruz. Bu
ondalık açılıma ondalık kesir denir. bilgiyelpazesi.net
Burada a ya tam kısım, bcd ye de ondalıklı kısım denir.
2. Devirli (Periyodik) Ondalık Kesir
Bir ondalık kesirde ondalıklı kısım belli bir kurala göre tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalık kesir denir.
Devreden kısım üzerine (—) işareti konulur.
3. Ondalık Sayılarda İşlemler
a. Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal
sayılarda toplama - çıkarma işleminde olduğu gibi toplama - çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin
hizasından virgülle ayrılır.
b. Çarpma: Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan
sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.
c. Bölme: Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile
çarpılır. Bölünen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak normal bölme işlemi yapılır.
4. Devirli Ondalıklı Sayının Rasyonel Sayıya Dönüştürülmesi
E. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA
Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan biri kullanılır.
I. Yol:
Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.
II. Yol:
Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük olan diğerlerinden daha büyüktür.
III. Yol:
Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, basit kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.
Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür.
Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir. Negatif kesirlerde ise durum tersinedir.
F. İKİ RASYONEL SAYI ARASINDAKİ SAYILAR
arasında sayılamıyacak çoklukta rasyonel sayı vardır.
Bunlardan bazılarını bulmak için b ile d nin OKEK i bulunur. Verilen kesirlerin paydaları bulunan OKEK inde
eşitlenir. İstenen koşuldaki sayıyı bulmak için kesirler genişletilebilir. bilgiyelpazesi.net
kesirlerinin ortasındaki bir sayı ise,
İşlemin sonucu bu şekilde bulRASYONEL SAYILAR, RASYONEL İFADELER, RASYONEL SAYILARIN
ÖZELLİKLERİ (4) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU
ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)
TANIM: P(x) ve Q(x) reel katsayılı iki polinom ve Q(x)≠0 için. biçimindeki ifadelere rasyonel ifadeler denir.
X elemanını reel sayılar kümesinden seçersek , paydanın sıfır olduğu haller dışında ,
daima reel değerler verir.
Yani x
R için
reel sayıların bir alt kümesinden ,reel sayılara bir fonksiyon olarak düşünülebilir.
biçimindeki rasyonel ifadeleri , rasyonel sayılarda olduğu gibi sadeleştirebiliriz .Ancak bunu yaparken x
elemanını tanımsız kabul ediyoruz.
Örnek:
ifadesini sadeleştiriniz.
Çözüm :
RASYONEL İFADELERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ
Rasyonel ifadeler toplanır veya çıkarılırken şu işlemler uygulanır ;

İfadeler çarpılırken en sade biçimine getirilir.

Paydalar eşitlenir.Bunun için paydaların EKOK u bulunur.Her ifade, paydası EKOK olacak şekilde
genişletilir.

Paydalar toplanıp veya çıkarılıp paya yazılır.Ortak paydada paya yazılır.

Bulunan sonuç sadeleşiyorsa tekrar sadeleştirilir.
RASYONEL İFADELERDE ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ
Rasyonel İfadelerde Çarpma İşlemi Yapılırken ;

Verilen ifadeler çarpanlarına ayrılır.

Sadeleştirme varsa yapılır.

Paylar çarpılıp paya ,paydalar çarpılıp paydaya yazılır.
Rasyonel İfadelerde Bölme İşlemi Yapılırken ;

Birinci ifade aynen yazılır .İkinci ters çevirilir.Sonra çarpma işlemi yapılır.
SORULAR
1-)
x =196 , y = 4 , a = 38 , b = 2 için
ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm :
2-)
Çözüm :
3-) x ve y pozitif gerçel sayılar olmak üzere ;
Çözüm :
x ve y pozitif gerçel sayı olduğundan ;
4-) x pozitif sayısı gerçel sayı olmak üzere;
ifadesini değeri kaçtır?
Çözüm :
5-)
işleminin sonucu kaçtır ?
Çözüm :
7-)
x + y +z = 6
xy +yz +xz =12 olduğuna göre
toplamı kaçtır ? bilgiyelpazesi.net
Çözüm :
8-)
toplamının en küçük değeri kaçtır ?
Çözüm :
9-) Şekildeki dairenin yarıçapı r ,dıştaki yarı çapı ise R dir.Dairenin çevrelerinin toplamı
toplamı
olduğuna göre R kaçtır?
10-)
x<0<y olmak üzere
unur.