Yrd. Doç. Dr. Tuba Ada
advertisement
ÖĞRETMEN ADAYLARININ GEOMETRİ DERSİNDE BİLGİSAYARDAN YARARLANMA DURUMLARI ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Yrd. Doç Dr. Aytaç Kurtuluş Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümü, Matematik Öğretmenliği Ana Bilim Dalı, Eskişehir agunaydi@ogu.edu.tr Yrd. Doç. Dr. Tuba Ada Anadolu Üniversitesi, Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümü, Matematik Öğretmenliği Ana Bilim Dalı, Eskişehir tyuzugul @anadolu.edu.tr ÖZET Geometri noktalar, doğrular, eğriler ve yüzeyler arasındaki ilişkiyi inceleyen ve uzayın çalışmalarıyla ilgilenen matematiğin bir dalıdır. Bir anlamda şekil bilgisi de demek olan geometri matematik öğretiminde yerine hiçbir şey konulamayacak seçkin bir role ve öneme sahiptir. Ülkemizde ilk ve orta öğretimde sadece Öklid geometrisi incelenmektedir. Ancak üniversitelerde Öklidyen olmayan geometrilere yer verilmektedir. Bu çalışma, İlköğretim Matematik öğretmenliği bölümünde verilmekte olan Geometri dersini alan öğrencilerle yapılmıştır. Geometri dersinin içeriğinde Öklid ve Öklidyen olmayan geometrilere yer verilmektedir. Benzerlik, farklılık, aykırılık ve zıtlık kavramlarının öğretimde önemi büyüktür. Birbirine çok benzeyen iki şeyi ayırabilmek için farklılıklarını ortaya koymak gerekir. Bundan dolayı bu çalışmada Öklid dışı geometrilerin sadece varlığından söz etmenin bu geometrilerin ve öklid geometrisinin öğretimi için yeterli olmayacağı düşünülmektedir. Bu amaçla bu çalışmada , dinamik bir geometri programı olan Geometer's Sketchpad kullanılarak Matematik öğretmen adaylarının Öklidyen olmayan bir geometri olan Hiperbolik Geometri ve Ökid geometrisi arasındaki farkı keşfetmeleri sağlanmaya çalışılmıştır. Anahtar Kelimeler:Öklid geometrisi, öklidyen olmayan geometri, hyperbolik geometri ABSTRACT Geometry is the area of mathematics relating to the study of space and the relationships between points, lines, curves and surfaces. Geometry is very important for mathematics education that is replace nothing else. Euclidean Geometry is examined only at the elementary and secondary schools, in Turkey. But non- Euclidean Geometries are given only at the universities. This study practised with studends taking Geometry course given Department of Elementary Mathematics Education. Geometry course contents are axiomatics systems, Euclidean geometry and non-Euclidean Geometries. Similarity, difference, opposition and irregularity concepts are very important for education. It is necessary to bring into the open differencies between two things to detach two things which are similar to each other. Therefore, in this study , it is thought that definations of non–Euclidean geometries are not enough to teach Euclidean and non-Euclidean geometries. The aim of the study is to mathematics teacher candidates exploring relationship between Euclidean anad non-Euclidean geometry using with Geometer’s Sketchpad which is dynamic software. Keywords: Euclidean geometry, non-Euclidean geometry, hyperbolic geometry. GİRİŞ doğrulardan oluşan düzlemde nokta ve doğrularla ilgili bazı ifadelerin geçerlilikleri ispata gerek duyulmadan kabul edilirler. Aksiyom denilen ve doğal olarak sağlandığı varsayılan bu ifadelerin ispatı (aşikar olduğundan) mümkün değildir. Geometri de kabul edilen aksiyomların sonuçları incelenir. İlköğretim ve ortaöğretim matematik ders programında adı geçen ve tüm özelikleri verilen Öklid Düzleminin beş aksiyomu aşağıdaki gibidir; Geometri noktalar, doğrular, eğriler ve yüzeyler arasındaki ilişkiyi inceleyen ve uzayın çalışmalarıyla ilgilenen matematiğin bir dalıdır. Bir anlamda şekil bilgisi de demek olan geometri matematik öğretiminde yerine hiçbir şey konulamayacak seçkin bir role ve öneme sahiptir. Ülkemizde ilk ve orta öğretimde sadece Öklid geometrisi incelenmektedir. Ancak üniversitelerde Öklidyen olmayan geometrilere yer verilmektedir. Öklidyen olmayan geometrilerin ne anlama geldiğini ve bu çalışmada ele alınan hiperbolik geometri ve onun özel bir modeli olan Poincare disk modeli ve bu model üzerinde çalışma imkanı veren Geometer’s Sketcpad hiperbolik yazılımından kısaca aşağıda bahsedilmektedir. Çalışmanın amacı matematik öğretmen adaylarının Öklidyen ve öklidyen olmayan geometriler arasındaki benzerlik ve farklılıkları keşfederek öklidyen olmayan bir geometri olan hiperbolik geometrinin varlığını ve özeliklerini öğrenmelerini sağlamaktır. 1. Her farklı P ve Q noktası için bu noktalardan geçen bir tek l doğrusu vardır. 2. Her AB ve CD doğru parçaları için B, A ve E arasında olacak şekilde bir tek E noktası vardır. 3. Her O noktası ve O dan farklı A noktası için O merkezli ve OA yarıçaplı bir tek çember vardır. 4. Bütün dik açılar birbirine eş yapılıdır. 5. Bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tek paralel doğru çizilir. Öklidyen Olmayan Geometriler Geometride nokta, doğru ve düzlem tanımsız kavramlardır. Fakat matematiksel bir tanımı olmamakla birlikte Öklid düzlemi yada kısaca düzlem denilince, her doğrultuda sınırsız uzayan düz pürüzsüz yüzey kastedilir. Noktalar ve 148 Öklid Geometrisinde Playfair aksiyomu olarakda bilinen 5. aksiyom ; düzlemde bir doğruya dışında verilen bir noktadan geçen bir tek paralel doğru çizilebilir biçiminde ifade edilmiştir. Ancak 1820 lerin sonunda Bolyai ve Lobacevski ; bazı Öklid Aksiyomlarıyla birlikte “H:Bir doğruya dışında verilen bir noktadan geçen iki (yada daha çok sayıda) paralel doğru çizilebilir” ifadesi alınarak yeni bir geometri oluşturulabileceğini gösterdiler. Böylece hiperbolik geometri, dolayısıyla ÖKLİD DIŞI GEOMETRİ kavramı ortaya çıktı. Paralellik aksiyomunu sağlamayan başka geometrilerde vardır. Bunlarda bir kaçı küresel geometri, eliptik geometri olarak sıralanabilir. Öklidyen olmayan geometrilerden Öklid geometrisine en çok benzeyeni hiperbolik geometridir. Çünkü Öklid geometrisinden sadece bir aksiyomu farklıdır (Dwyer and Pfiefer, 1999). Fakat en belirgin farklılığıda Öklid aksiyomlarını sağlayan bir tek düzlem varken Hiperbolik Geometri (Bolyai-Lobacevski) aksiyomlarını gerçekleştiren bir çok reel model geliştirilmiştir. Bunların bir kaçı, Klein Modeli, Maksimum Düzlem Modeli,Poincare Üst Yarı Düzlem Modeli, Poincare disk Modeli şeklinde sıralanabilir. Bu modeller Hiperbolik düzlemi görselleştirmek ve düzlemin geometrik özelliklerini keşfetmek için kullanılabilirler( Dwyer, Marlene Cc.and Pfiefer, Richard E.,1999). Bu çalışmada Öklidyen olmayan geometrilerden Hiperbolik geometri ve model olarak da Poincare disk Modeli ile çalışılmıştır. C A B Şekil 2 Hiperbolik Yazılım Dinamik hiperbolik geometri durumlarını keşfetmek için öğrencilere imkan veren birkaç program vardır. Bu programların çeşitli avantaj ve dezavantajları vardır. Bunlardan birisi Mike Alexander tarafından geliştirilen ve bill Finzer ve Nick Jackiw tarafından Geometer’s Sketchpad için modifiye edilmiş olan bir programdır. Yazılım internetten aşağıdaki adresten yüklenebilir. Poincare disk Modeli: Henri Poincare (1854-1912) hiperbolik düzlemin noktalarının bir Öklid çemberinin iç noktaları olarak tanımlandığı bir disk modeli geliştirmiştir. Bu modelde doğrular öğrencilerin Öklid düzleminde gördüğü gibi sadece düz doğrular değildir. Bunun yerine doğrular diski tanımlayan çembere dik olan çember yaylarından ve diskin çapı durumundaki doğrulardan oluşur (bkn. Şekil1). http://mathforum.org/sketchpad/gsp.gallery/poincare/poincar e.html Bir kere yükleme yapıldıktan sonra poincare Disk Modeli Geometer’s Sketchpad programının bir parçası oluyor. Bu yazılım öğrencilere hiperbolik geometriyi keşfetme ve Öklid geometrisi ile benzerliklerini , farklılıklarını görme imkanı vermektedir. Bu çalışmada amaç düzlem üzerinde hiperbolik geometri ile Öklid geometrisini nasıl karşılaştırılacağı ve geometrinin anlaşılması konusunda öğrencilere fırsat vermektir. Bu program öğrencilere aynı ekranda hem hiperbolik hemde Öklid geometrisinde çalışma imkanı verdiğinden karşılaştırmaları daha kolay olacağı düşünülmüştür ve bu yüzden çalışmada bu program kullanılmıştır. Amerikan Ulusal Matematik Öğretmenleri Şurası (NCTM, 1989),K-12 okul matematiği için program ve değerlendirme standartlarında; “Öklid ve Öklidyen olmayan geometrilerin karşılaştırılması ve araştırılması yoluyla aksiyomatik sistemlerin anlaşılması geliştirlmelidir.” ifadesi yer almaktadır. Halbuki ülkemizde ilköğretim ve Ortaöğretim boyunca geometri derslerinde sadece Öklid geometrisi çalışılmaktadır. Dolayısıyla Öğrenciler yüksek öğretime geldiklerinde geometri denince Öklid geometrisinden başka bir geometri tanımadıkları için öklidyen olmayan geometriler konusunda olukça zorlanıyorlar. Bu çalışmada İlköğretim Matematik öğretmenliği ders programında yer alan Geometri dersi kapsamına yeni dahil edilen Öklidyen olmayan geometriler konusunun öğretimi ve öğreniminde kullanılması için hazırlanan öğrenci merkezli aktiviteler sunulmaktadır. Bu makalede temel olarak, Öğretmen adaylarının Geometer’s Sketchpad adlı dinamik geometri programının aksiyom sistemiyle Öklid geometrisine çok yakın (tek bir aksiyom farklı) olan Hiperbolik geometriyi Poincare disk modelini kullanarak keşfetmelerini amaçlıyor. m Şekil 1 Ayrıca diskin sınırı dahil değildir ve uzaklıkda Öklid düzleminden farklıdır. Çemberin iç noktalarının tamamı bu düzlemi oluşturur. Bu düzlemde iki noktanın doğrudaş olabilmesi için ya C ye dik olan bir çemberin yayı formunda bir doğru üzerinde ya da bir çap üzerinde olması gerekirler. Bu modelde iki doğru arasındaki açı, bu doğruların kesim noktalarında doğrulara çizilen teğetler arasındaki açıdır (bkn şekil 2). Hiperbolik Terim Sıradan nokta Ideal nokta Doğru Poincare Model Öklidyen Açıklama Verilen bir Öklid çemberi C nin iç noktası C çemberi üzerinde bir nokta C nin çapı ve C ye dik bir çemberin C ye ait kısmı YÖNTEM Çalışmanın örneklemini 15 matematik öğretmen adayı oluşturmaktadır. Seçilen bu örnekleme 3 hafta süre ile toplam 10 saat Geometer’s Sketchpad yazılımının teknik özelikleri tanıtıldıktan sonra Poincare disk modeli tarafından modellenmiş hiperbolik geometriyi keşfetmeleri için özel Sketchpad araçlarını kullanarak aktiviteleri tamamlamaları istendi. Araştırma aktiviteleri noktalar-doğrular, açılar ve üçgenler konu başlıklarında hazırlanmıştır. Bu araştırma 149 aktivitererinden bazılarına örnek olması için aşağıda yer verilmektedir. BULGULAR Öğrencilerin aktif olarak katıldığı Öklid geometri ve hiperbolik geometri arasındaki benzerlikler ve farkların keşfedilmesi ve geliştirilmesi öğrencilerin şekilleri manipule ederek ve biçimlerini değiştirerek sağlanmaktadır. Örneğin, üçgende açılar aktivite 1 de , öğrencilerin hiperbolik geometride herhangi bir üçgenin iç açıları toplamının 180 dereceden küçük olduğunu incelemesi ve oluşturması için sorgulayıcı sorular sunulmuştur. Bu bağlamda öğrenciler yarattıkları çizimleri manipule ederek ve üzerlerinde ölçümler yaparak, tüm üçgenler için geçerli olan “bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden küçüktür.” genellemesine ulaşması beklenmiştir. Genel olarak her bir aktivitede verilen Öklid geometrisi teoremlerinden hangilerinin hiperbolik geometride geçerli olduğunu geometrik olarak göstermeleri istenmektedir. Bir teoremin hiperbolik geometride bir teorem olmadığını iddea etmeleri durumunda Scetchpad programını kullanarak teoremi sağlamayan bir örneği hiperbolik geometri modelinde göstermeleri istenmektedir. Eğer sağlanmadığına dair bir örnek bulamazlarsa “bu hiperbolik geometride de bir teoremdir” genellemesine gidebilmeleri için en az üç örnek için sağlandığını göstererek bunları kaydederek genellemeye gitmeleri istenmiştir. Aşağıda bu aktivitelerden ikisine ve öğrenci örneklerine yer verilmiştir. Şekil 3 Dik üçgenler 1: 1. 2. Bir dik üçgen çizmek mümkündür. Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğunun karesi dik kenarlarının uzunluklarının karesinin toplamına eşittir. Bu aktiviteye bir öğrenci örneği Şekil 4 verilmektedir. Öğrencinin ifadesindende görüldüğü gibi yine Öklid düzleminde en iyi bildikleri Pisagor teoremininde hiperbolik düzlemde sağlanmadığını gördüklerinde oldukça şaşırdılar. Üçgende Açılar 1: 1) Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180 derecedir. 2) Bir üçgenin dış açılarının toplamı 360 derecedir. 3) Üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. Bir üçgende bir köşedeki iç açının açı ortayı ile aynı köşedeki dış açının açı ortayı arasındaki açı 90 derecedir. 4) Öğrencilerin tamamı birinci soruyu tamamladıktan sonra Çizdiğiniz üçgenin iç açıları toplamını ne buldunuz? Sorusu sorulduğunda baştan hepsi doğru sonucu bulmalarına rağmen bir hata yaptıklarını düşündüklerinden hemen söylemediler. Fakat hepsi aynı sonucu buldukları fark ettiklerinde emin oldular ve söylediler. Öklid geometrisinde çok iyi bildikleri bir üçgenin iç açılarının toplamının hiperbolik geometride hepsi 180 dereceden küçük olarak buldular. Öğrencilerden bu durum karşısında şaşırdılar. Daha sonra Çizdiğiniz üçgenin köşelerinden tutarak değiştiriniz. Değişen üçgenlerinizin iç açıları toplamı nasıl değişiyor?sorusuna yine hepsi 180 dereceden küçük kaldığı doğru cevabını verdiler. Açıları farklı üçgenler çizmeleri istendiğinde sonucun yine 180dereceden küçük kaldığını gördüler ve hiperbolik geometride bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden küçüktür sonucuna ulaştılar. Şekil 3 de öğrencilerden birinin bulduğu sonuçlar verilmiştir. Bu öğrenci birinci soru ile ilgili olarak “öklid düzleminde bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180 derece iken hiperbolik düzlemde iç açıların toplamı 180 dereceden küçük olduğu görülmektedir” sonucunu yazmıştır. Diğer öğrencilerin sonuçlarına bakıldığında benzer ifadeler görülmektedir. Şekil 4 Özel Teoremler 2: 1. Birbirine paralel olan üç ve daha fazla doğru iki farklı doğruyla kesişirse, kesenler üzerinde ayrılan karşılıklı doğru parçalarının uzunlıkları orantılıdır.(1. Tales Teoremi) 2. 3. Kesişen iki doğru paralel iki doğru ile kesildiğinde, oluşan üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılıdır.(2. Tales Teoremi) Menaleus Teoremi 4. Seva Teoremi Özel teoremlerin hiperbolik geometride sağlanıp sağlanmadığını kontrol eden öğrencilerden birinin 1. Tales teoremi ile ilgili bulduğu sonuç aşağıda verilmiştir. Bu ve diğer öğrencilerin hepsi değişik örnekler üzerinde 1. Tales teoreminin sağlanmadığı sonucunu göstermişlerdir. 150 REFERENCES Dwyer, Marlene Cc.and Pfiefer, Richard E. (1999). Exploring Hyperbolic Geometry with Geometer’s Sketchpad. The Mathematics Teacher. Greenberg, Marvin Jay. (1993). Euclidean and NonEuclidean Geometries: Development and History. New York: W. H. Freeman and Company. Hativa, N. (1984). Teach-student-computer interaction: An application that enhances teacher effectiveness. In V. P. Jackiw, N. (1991). The Geometer’s Sketchpad. Berkeley. CA: Key Curriculum Press. MarleleC Şekil 5 Öğrenciler aktivitelerin tamamını tamamladıktan sonra, aksiyom sistemleri birbirine çok benzeyen (sadece paralellik aksiyomları farklı olan) bu iki geometri arasında çok fazla fark olduğunu belirttiler. Öklid geometrisinde sağlanan bir çok teoremin hiperbolik geometride sağlanmadığını gösterdiklerini ifade ettiler. Öklid geometrisinin aksiyomlarının sadece bir kabulden meydana geldiğini aksiyomlardaki bir tek değişiklikten bile Öklid geometrisinden oldukça farklı bir geometri oluşturduğunu farkettiler. Bu farkları görmelerinde dinamik yazılımın oldukça kolaylık sağladığını belirtmişlerdir. Dwyer and Richard E. Pfiefer. Exploring Hyperbolic Geometry with the Geometer's Sketchpad. Mathematics Teacher Volume 92 Number 7 October 1999 Morrison, G. R., & Lowther, D.L. (2002). Integrating computer technology into the classroom (2nd ed.). Upper Saadle Rives, NJ: Merrill/Prentice-Hall. National Council of Supervisors of Mathematics (1976). Position Statements On Basic Skills. Mathematics Teacher,71, (February 1978):147-152. National Council of Teachers of Mathematics . (1989). Curriculum and Evaluation Standarts for School Mathematics. Reston, VA. Stallard, C. H., & Cocker, J. S. (2001). The promise of technology in schools: The next 20 years. Lanham, MD: Scarecrow Press. SONUÇ VE ÖNERİLER Bu çalışmanın amacı, öğrencilere, Öklid geometrisi ile ilgili önceden öğrendikleri kavramları hatırlatmak ve Öklidyen olmayan geometrilerden biri olan ve Öklid geometrisine çok benzemesinden dolayı tercih edilen Hiperbolik geometri ile benzerliklerini ve farklılıklarını bir bilgisayar yazılımıyla keşfetmelerini sağlamaktı. Hiperbolik geometri soyut olduğu için teknolojinin kullanımı uzayı görselleştirmeleri için öğrencilere yardımcı oldu. Kulanılan yazılım öğrencilere hiperbolik geometrinin bir modeli olan Poinkare modeli üzerinde çalışmaları imkanını verdiği için öğrenciler Öklid düzlemindeki özeliklerin hiperbolik düzlemde nasıl değiştiğini ya da aynı kaldığını manipule edebildiler Öğrencilerin her biri bireysel olarak bilgisayar başında kendi örneklerini oluşturdular ve sonuçlarını karşılaştırdılar. Derslerin etkinliliğini belirlemek için yapılan gözlemlerden hepsinin farklı örnekler üzerinde aynı sonuçlara vardığı görülmüştür. Ayrıca hepsi farklı örnekler oluşturdukları için birbirlerinin farklı örneklerinide görme imkanları oldu. En önemliside Öklid geometrisinden farklı geometri bilmeyen öğretmen adayları farklı geometrilerin varlığından haberdar olmuş oldular. Öklidyen olmayan geometrilere basit düzeyde orta öğretim geometri ders programında yer verilebilir. Öklidyen olmayan geometrilerin öğretiminde dinamik bilgisayar yazılımlarından yararlanılarak öğrencilerin bu soyut geometrileri görselleştirmeleri sağlanabilir. 151
