Yrd. Doç. Dr. Tuba Ada

advertisement
ÖĞRETMEN ADAYLARININ GEOMETRİ DERSİNDE
BİLGİSAYARDAN YARARLANMA DURUMLARI ÜZERİNE
BİR ÇALIŞMA
Yrd. Doç Dr. Aytaç Kurtuluş
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, Eğitim Fakültesi
İlköğretim Bölümü, Matematik Öğretmenliği Ana Bilim Dalı, Eskişehir
agunaydi@ogu.edu.tr
Yrd. Doç. Dr. Tuba Ada
Anadolu Üniversitesi, Eğitim Fakültesi
İlköğretim Bölümü, Matematik Öğretmenliği Ana Bilim Dalı, Eskişehir
tyuzugul @anadolu.edu.tr
ÖZET
Geometri noktalar, doğrular, eğriler ve yüzeyler arasındaki ilişkiyi inceleyen ve uzayın çalışmalarıyla ilgilenen matematiğin bir dalıdır. Bir
anlamda şekil bilgisi de demek olan geometri matematik öğretiminde yerine hiçbir şey konulamayacak seçkin bir role ve öneme sahiptir.
Ülkemizde ilk ve orta öğretimde sadece Öklid geometrisi incelenmektedir. Ancak üniversitelerde Öklidyen olmayan geometrilere yer
verilmektedir. Bu çalışma, İlköğretim Matematik öğretmenliği bölümünde verilmekte olan Geometri dersini alan öğrencilerle yapılmıştır.
Geometri dersinin içeriğinde Öklid ve Öklidyen olmayan geometrilere yer verilmektedir. Benzerlik, farklılık, aykırılık ve zıtlık kavramlarının
öğretimde önemi büyüktür. Birbirine çok benzeyen iki şeyi ayırabilmek için farklılıklarını ortaya koymak gerekir. Bundan dolayı bu çalışmada
Öklid dışı geometrilerin sadece varlığından söz etmenin bu geometrilerin ve öklid geometrisinin öğretimi için yeterli olmayacağı
düşünülmektedir. Bu amaçla bu çalışmada , dinamik bir geometri programı olan Geometer's Sketchpad kullanılarak Matematik öğretmen
adaylarının Öklidyen olmayan bir geometri olan Hiperbolik Geometri ve Ökid geometrisi arasındaki farkı keşfetmeleri sağlanmaya çalışılmıştır.
Anahtar Kelimeler:Öklid geometrisi, öklidyen olmayan geometri, hyperbolik geometri
ABSTRACT
Geometry is the area of mathematics relating to the study of space and the relationships between points, lines, curves and surfaces. Geometry
is very important for mathematics education that is replace nothing else. Euclidean Geometry is examined only at the elementary and
secondary schools, in Turkey. But non- Euclidean Geometries are given only at the universities. This study practised with studends taking
Geometry course given Department of Elementary Mathematics Education. Geometry course contents are axiomatics systems, Euclidean
geometry and non-Euclidean Geometries. Similarity, difference, opposition and irregularity concepts are very important for education. It is
necessary to bring into the open differencies between two things to detach two things which are similar to each other. Therefore, in this study ,
it is thought that definations of non–Euclidean geometries are not enough to teach Euclidean and non-Euclidean geometries. The aim of the
study is to mathematics teacher candidates exploring relationship between Euclidean anad non-Euclidean geometry using with Geometer’s
Sketchpad which is dynamic software.
Keywords: Euclidean geometry, non-Euclidean geometry, hyperbolic geometry.
GİRİŞ
doğrulardan oluşan düzlemde nokta ve doğrularla ilgili bazı
ifadelerin geçerlilikleri ispata gerek duyulmadan kabul
edilirler. Aksiyom denilen ve doğal olarak sağlandığı
varsayılan bu ifadelerin ispatı (aşikar olduğundan) mümkün
değildir. Geometri de kabul edilen aksiyomların sonuçları
incelenir. İlköğretim ve ortaöğretim matematik ders
programında adı geçen ve tüm özelikleri verilen Öklid
Düzleminin beş aksiyomu aşağıdaki gibidir;
Geometri noktalar, doğrular, eğriler ve yüzeyler arasındaki
ilişkiyi inceleyen ve uzayın çalışmalarıyla ilgilenen
matematiğin bir dalıdır. Bir anlamda şekil bilgisi de demek
olan geometri matematik öğretiminde yerine hiçbir şey
konulamayacak seçkin bir role ve öneme sahiptir.
Ülkemizde ilk ve orta öğretimde sadece Öklid geometrisi
incelenmektedir. Ancak üniversitelerde Öklidyen olmayan
geometrilere
yer
verilmektedir.
Öklidyen
olmayan
geometrilerin ne anlama geldiğini ve bu çalışmada ele
alınan hiperbolik geometri ve onun özel bir modeli olan
Poincare disk modeli ve bu model üzerinde çalışma imkanı
veren Geometer’s Sketcpad hiperbolik yazılımından kısaca
aşağıda bahsedilmektedir. Çalışmanın amacı matematik
öğretmen adaylarının Öklidyen ve öklidyen olmayan
geometriler arasındaki benzerlik ve farklılıkları keşfederek
öklidyen olmayan bir geometri olan hiperbolik geometrinin
varlığını ve özeliklerini öğrenmelerini sağlamaktır.
1. Her farklı P ve Q noktası için bu noktalardan geçen bir
tek l doğrusu vardır.
2. Her AB ve CD doğru parçaları için B, A ve E arasında
olacak şekilde bir tek E noktası vardır.
3. Her O noktası ve O dan farklı A noktası için O merkezli ve
OA yarıçaplı bir tek çember vardır.
4. Bütün dik açılar birbirine eş yapılıdır.
5. Bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tek paralel doğru
çizilir.
Öklidyen Olmayan Geometriler
Geometride nokta, doğru ve düzlem tanımsız kavramlardır.
Fakat matematiksel bir tanımı olmamakla birlikte
Öklid
düzlemi yada kısaca düzlem denilince, her doğrultuda
sınırsız uzayan düz pürüzsüz yüzey kastedilir. Noktalar ve
148
Öklid Geometrisinde Playfair aksiyomu olarakda bilinen
5. aksiyom ; düzlemde bir doğruya dışında verilen bir
noktadan geçen bir tek paralel doğru çizilebilir biçiminde
ifade edilmiştir. Ancak 1820 lerin sonunda Bolyai ve
Lobacevski ; bazı Öklid Aksiyomlarıyla birlikte
“H:Bir
doğruya dışında verilen bir noktadan geçen iki (yada daha
çok sayıda) paralel doğru çizilebilir” ifadesi alınarak yeni bir
geometri oluşturulabileceğini gösterdiler. Böylece hiperbolik
geometri, dolayısıyla ÖKLİD DIŞI GEOMETRİ kavramı
ortaya çıktı. Paralellik aksiyomunu sağlamayan başka
geometrilerde vardır. Bunlarda bir kaçı küresel geometri,
eliptik geometri olarak sıralanabilir. Öklidyen olmayan
geometrilerden Öklid geometrisine en çok benzeyeni
hiperbolik geometridir. Çünkü Öklid geometrisinden sadece
bir aksiyomu farklıdır (Dwyer and Pfiefer, 1999). Fakat en
belirgin farklılığıda Öklid aksiyomlarını sağlayan bir tek
düzlem varken Hiperbolik Geometri (Bolyai-Lobacevski)
aksiyomlarını gerçekleştiren
bir
çok
reel model
geliştirilmiştir. Bunların bir kaçı, Klein Modeli, Maksimum
Düzlem Modeli,Poincare Üst Yarı Düzlem Modeli, Poincare
disk Modeli şeklinde sıralanabilir. Bu modeller Hiperbolik
düzlemi görselleştirmek ve düzlemin geometrik özelliklerini
keşfetmek için kullanılabilirler( Dwyer, Marlene Cc.and
Pfiefer, Richard E.,1999). Bu çalışmada Öklidyen olmayan
geometrilerden Hiperbolik geometri ve model olarak da
Poincare disk Modeli ile çalışılmıştır.
C
A
B
Şekil 2
Hiperbolik Yazılım
Dinamik hiperbolik geometri durumlarını keşfetmek için
öğrencilere imkan veren birkaç program vardır. Bu
programların çeşitli avantaj ve dezavantajları vardır.
Bunlardan birisi Mike Alexander tarafından geliştirilen ve bill
Finzer ve Nick Jackiw tarafından Geometer’s Sketchpad için
modifiye edilmiş olan bir programdır. Yazılım internetten
aşağıdaki adresten yüklenebilir.
Poincare disk Modeli:
Henri Poincare (1854-1912) hiperbolik düzlemin noktalarının
bir Öklid çemberinin iç noktaları olarak tanımlandığı bir disk
modeli geliştirmiştir. Bu modelde doğrular öğrencilerin Öklid
düzleminde gördüğü gibi sadece düz doğrular değildir.
Bunun yerine doğrular diski tanımlayan çembere dik olan
çember yaylarından ve diskin çapı durumundaki
doğrulardan oluşur (bkn. Şekil1).
http://mathforum.org/sketchpad/gsp.gallery/poincare/poincar
e.html
Bir kere yükleme yapıldıktan sonra poincare Disk Modeli
Geometer’s Sketchpad programının bir parçası oluyor. Bu
yazılım öğrencilere hiperbolik geometriyi keşfetme ve Öklid
geometrisi ile benzerliklerini , farklılıklarını görme imkanı
vermektedir. Bu çalışmada amaç düzlem üzerinde hiperbolik
geometri ile Öklid geometrisini nasıl karşılaştırılacağı ve
geometrinin anlaşılması konusunda öğrencilere fırsat
vermektir. Bu program öğrencilere aynı ekranda hem
hiperbolik hemde Öklid geometrisinde çalışma imkanı
verdiğinden karşılaştırmaları daha
kolay olacağı
düşünülmüştür ve bu yüzden
çalışmada bu program
kullanılmıştır.
Amerikan Ulusal Matematik Öğretmenleri Şurası (NCTM,
1989),K-12 okul matematiği için program ve değerlendirme
standartlarında; “Öklid ve Öklidyen olmayan geometrilerin
karşılaştırılması ve araştırılması yoluyla aksiyomatik
sistemlerin anlaşılması geliştirlmelidir.” ifadesi yer
almaktadır. Halbuki ülkemizde ilköğretim ve Ortaöğretim
boyunca geometri derslerinde sadece Öklid geometrisi
çalışılmaktadır. Dolayısıyla Öğrenciler yüksek öğretime
geldiklerinde geometri denince Öklid geometrisinden başka
bir geometri tanımadıkları için öklidyen olmayan geometriler
konusunda olukça zorlanıyorlar. Bu çalışmada İlköğretim
Matematik öğretmenliği ders programında yer alan Geometri
dersi kapsamına yeni dahil edilen Öklidyen olmayan
geometriler konusunun öğretimi ve öğreniminde kullanılması
için hazırlanan öğrenci merkezli aktiviteler sunulmaktadır.
Bu makalede temel olarak, Öğretmen adaylarının
Geometer’s Sketchpad adlı dinamik geometri programının
aksiyom sistemiyle Öklid geometrisine çok yakın (tek bir
aksiyom farklı) olan Hiperbolik geometriyi Poincare disk
modelini kullanarak keşfetmelerini amaçlıyor.
m
Şekil 1
Ayrıca diskin sınırı dahil değildir ve uzaklıkda Öklid
düzleminden farklıdır. Çemberin iç noktalarının tamamı bu
düzlemi oluşturur. Bu düzlemde iki noktanın doğrudaş
olabilmesi için ya C ye dik olan bir çemberin yayı formunda
bir doğru üzerinde ya da bir çap üzerinde olması gerekirler.
Bu modelde iki doğru arasındaki açı, bu doğruların kesim
noktalarında doğrulara çizilen teğetler arasındaki açıdır
(bkn şekil 2).
Hiperbolik Terim
Sıradan nokta
Ideal nokta
Doğru
Poincare Model
Öklidyen Açıklama
Verilen bir Öklid çemberi C
nin iç noktası
C çemberi üzerinde bir
nokta
C nin çapı ve C ye dik bir
çemberin C ye ait kısmı
YÖNTEM
Çalışmanın örneklemini 15 matematik öğretmen adayı
oluşturmaktadır. Seçilen bu örnekleme 3 hafta süre ile
toplam 10 saat Geometer’s Sketchpad yazılımının teknik
özelikleri tanıtıldıktan sonra Poincare disk modeli tarafından
modellenmiş hiperbolik geometriyi keşfetmeleri için özel
Sketchpad araçlarını kullanarak aktiviteleri tamamlamaları
istendi. Araştırma aktiviteleri noktalar-doğrular, açılar ve
üçgenler konu başlıklarında hazırlanmıştır. Bu araştırma
149
aktivitererinden bazılarına örnek olması için aşağıda yer
verilmektedir.
BULGULAR
Öğrencilerin aktif olarak katıldığı Öklid geometri ve
hiperbolik geometri arasındaki benzerlikler ve farkların
keşfedilmesi ve geliştirilmesi öğrencilerin şekilleri manipule
ederek ve biçimlerini değiştirerek sağlanmaktadır. Örneğin,
üçgende açılar aktivite 1 de , öğrencilerin hiperbolik
geometride herhangi bir üçgenin iç açıları toplamının 180
dereceden küçük olduğunu incelemesi ve oluşturması için
sorgulayıcı sorular sunulmuştur. Bu bağlamda öğrenciler
yarattıkları çizimleri manipule ederek ve üzerlerinde
ölçümler yaparak, tüm üçgenler için geçerli olan “bir üçgenin
iç açıları toplamı 180 dereceden küçüktür.” genellemesine
ulaşması beklenmiştir.
Genel olarak her bir aktivitede verilen Öklid geometrisi
teoremlerinden hangilerinin hiperbolik geometride geçerli
olduğunu geometrik olarak göstermeleri istenmektedir. Bir
teoremin
hiperbolik geometride bir teorem olmadığını
iddea etmeleri durumunda
Scetchpad programını
kullanarak teoremi sağlamayan bir örneği hiperbolik
geometri modelinde göstermeleri istenmektedir. Eğer
sağlanmadığına dair bir örnek bulamazlarsa “bu hiperbolik
geometride de bir teoremdir” genellemesine gidebilmeleri
için en az üç örnek için sağlandığını göstererek bunları
kaydederek genellemeye gitmeleri istenmiştir. Aşağıda bu
aktivitelerden ikisine ve öğrenci örneklerine yer verilmiştir.
Şekil 3
Dik üçgenler 1:
1.
2.
Bir dik üçgen çizmek mümkündür.
Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende hipotenüsün
uzunluğunun
karesi
dik
kenarlarının
uzunluklarının karesinin toplamına eşittir.
Bu aktiviteye bir öğrenci örneği Şekil 4 verilmektedir.
Öğrencinin ifadesindende görüldüğü gibi yine Öklid
düzleminde en iyi bildikleri Pisagor teoremininde
hiperbolik düzlemde sağlanmadığını gördüklerinde
oldukça şaşırdılar.
Üçgende Açılar 1:
1) Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180
derecedir.
2)
Bir üçgenin dış açılarının toplamı 360 derecedir.
3)
Üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu
olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
Bir üçgende bir köşedeki iç açının açı ortayı ile
aynı köşedeki dış açının açı ortayı arasındaki açı
90 derecedir.
4)
Öğrencilerin tamamı birinci soruyu tamamladıktan
sonra Çizdiğiniz üçgenin iç açıları toplamını ne buldunuz?
Sorusu sorulduğunda baştan hepsi doğru sonucu
bulmalarına rağmen bir hata yaptıklarını düşündüklerinden
hemen söylemediler. Fakat hepsi aynı sonucu buldukları
fark ettiklerinde emin oldular ve söylediler. Öklid
geometrisinde çok iyi bildikleri bir üçgenin iç açılarının
toplamının hiperbolik geometride hepsi 180 dereceden
küçük olarak buldular. Öğrencilerden bu durum karşısında
şaşırdılar. Daha sonra Çizdiğiniz üçgenin köşelerinden
tutarak değiştiriniz. Değişen üçgenlerinizin iç açıları toplamı
nasıl değişiyor?sorusuna yine hepsi 180 dereceden küçük
kaldığı doğru cevabını verdiler. Açıları farklı üçgenler
çizmeleri istendiğinde sonucun yine 180dereceden küçük
kaldığını gördüler ve hiperbolik geometride bir üçgenin iç
açıları toplamı 180 dereceden küçüktür sonucuna ulaştılar.
Şekil 3 de öğrencilerden birinin bulduğu sonuçlar verilmiştir.
Bu öğrenci birinci soru ile ilgili olarak “öklid düzleminde bir
üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180 derece iken
hiperbolik düzlemde iç açıların toplamı 180 dereceden
küçük olduğu görülmektedir” sonucunu yazmıştır. Diğer
öğrencilerin sonuçlarına bakıldığında benzer ifadeler
görülmektedir.
Şekil 4
Özel Teoremler 2:
1.
Birbirine paralel olan üç ve daha fazla doğru iki
farklı doğruyla kesişirse,
kesenler üzerinde
ayrılan karşılıklı doğru parçalarının uzunlıkları
orantılıdır.(1. Tales Teoremi)
2.
3.
Kesişen iki doğru paralel iki doğru ile kesildiğinde,
oluşan üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılıdır.(2.
Tales Teoremi)
Menaleus Teoremi
4.
Seva Teoremi
Özel
teoremlerin
hiperbolik
geometride
sağlanıp
sağlanmadığını kontrol eden öğrencilerden birinin 1. Tales
teoremi ile ilgili bulduğu sonuç aşağıda verilmiştir. Bu ve
diğer öğrencilerin hepsi değişik örnekler üzerinde 1. Tales
teoreminin sağlanmadığı sonucunu göstermişlerdir.
150
REFERENCES
Dwyer, Marlene Cc.and Pfiefer, Richard E. (1999). Exploring
Hyperbolic Geometry with Geometer’s Sketchpad.
The Mathematics Teacher.
Greenberg, Marvin Jay. (1993). Euclidean and NonEuclidean Geometries: Development and History.
New York: W. H. Freeman and Company.
Hativa, N. (1984). Teach-student-computer interaction: An
application that enhances teacher effectiveness.
In V. P.
Jackiw, N. (1991). The Geometer’s Sketchpad. Berkeley.
CA: Key Curriculum Press.
MarleleC
Şekil 5
Öğrenciler aktivitelerin tamamını tamamladıktan sonra,
aksiyom sistemleri birbirine çok benzeyen (sadece paralellik
aksiyomları farklı olan) bu iki geometri arasında çok fazla
fark olduğunu belirttiler. Öklid geometrisinde sağlanan bir
çok teoremin hiperbolik geometride sağlanmadığını
gösterdiklerini ifade ettiler.
Öklid geometrisinin
aksiyomlarının sadece bir kabulden meydana geldiğini
aksiyomlardaki
bir
tek
değişiklikten
bile
Öklid
geometrisinden oldukça farklı bir geometri oluşturduğunu
farkettiler.
Bu farkları görmelerinde dinamik yazılımın
oldukça kolaylık sağladığını belirtmişlerdir.
Dwyer and Richard E. Pfiefer. Exploring
Hyperbolic Geometry with the Geometer's
Sketchpad. Mathematics Teacher Volume 92
Number 7 October 1999
Morrison, G. R., & Lowther, D.L. (2002). Integrating
computer technology into the classroom (2nd ed.).
Upper Saadle Rives, NJ: Merrill/Prentice-Hall.
National Council of Supervisors of Mathematics (1976).
Position Statements On Basic Skills. Mathematics
Teacher,71, (February 1978):147-152.
National Council of Teachers of Mathematics . (1989).
Curriculum and Evaluation Standarts for School
Mathematics. Reston, VA.
Stallard, C. H., & Cocker, J. S. (2001). The promise of
technology in schools: The next 20 years.
Lanham, MD: Scarecrow Press.
SONUÇ VE ÖNERİLER
Bu çalışmanın amacı, öğrencilere, Öklid geometrisi ile ilgili
önceden öğrendikleri kavramları hatırlatmak ve Öklidyen
olmayan geometrilerden biri olan ve Öklid geometrisine çok
benzemesinden dolayı tercih edilen Hiperbolik geometri ile
benzerliklerini ve farklılıklarını bir bilgisayar yazılımıyla
keşfetmelerini sağlamaktı. Hiperbolik geometri soyut olduğu
için teknolojinin kullanımı uzayı görselleştirmeleri için
öğrencilere yardımcı oldu. Kulanılan yazılım öğrencilere
hiperbolik geometrinin bir modeli olan Poinkare modeli
üzerinde çalışmaları imkanını verdiği için öğrenciler Öklid
düzlemindeki özeliklerin
hiperbolik düzlemde nasıl
değiştiğini ya da aynı kaldığını manipule edebildiler
Öğrencilerin her biri bireysel olarak bilgisayar başında kendi
örneklerini oluşturdular ve sonuçlarını karşılaştırdılar.
Derslerin etkinliliğini belirlemek için yapılan gözlemlerden
hepsinin farklı örnekler üzerinde aynı sonuçlara vardığı
görülmüştür. Ayrıca hepsi farklı örnekler oluşturdukları için
birbirlerinin farklı örneklerinide görme imkanları oldu. En
önemliside Öklid geometrisinden farklı geometri bilmeyen
öğretmen adayları farklı geometrilerin varlığından haberdar
olmuş oldular.
Öklidyen olmayan geometrilere basit düzeyde orta öğretim
geometri ders programında yer verilebilir. Öklidyen olmayan
geometrilerin öğretiminde dinamik bilgisayar yazılımlarından
yararlanılarak
öğrencilerin
bu
soyut
geometrileri
görselleştirmeleri sağlanabilir.
151
Download