1. SORU = { , , , } kümesi üzerinde tanımlı

ÇANKI RI KARATE KİN ÜNİVE RSİTESİ
2013-2014 ÖĞRETİM YILI BAHAR DÖNEMİ
TOPOLOJİ 1 FİNAL ÇALIŞ MA SORULARI
= { , , , } kümesi üzerinde tanımlı
1. SORU
= { , ∅, { }, { }, { , }, { , , }} topolojisi verilsin.
:
→
fonksiyonu şekildeki gibi tanımlansın. Buna göre f
fonksiyonunun c ve d noktasında sürekli olup olmadıklarını
belirleyiniz.
2. SORU
= { , , , , , } kümesi üzerinde tanımlı
= { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , , }} topolojisi verilsin. Bu topolojinin kendisinden
farklı bir tabanını bulunuz.
3. SORU
= { , , } kümesi üzerinde tanımlı
= {{ }, { }, { , }, { , }} tabanına sahip bir topoloji bulmak mümkün mü? Neden?
4. SORU
uzayının alışılmış topolojiye göre (−1,1) açık aralığına homeomorf olduğunu
gösteriniz.
5. SORU : ( ,
)→( ,
) sürekli fonksiyonu verilsin.
={ ∩ :
kısıtlanmış fonksiyonunun
∈
⊂
için
:( ,
)→( ,
} topolojisine göre sürekli olduğunu
gösteriniz.
6. SORU Bir
( ,
kümesi üzerinde
ve
topolojileri verilsin. Bu takdirde : ( ,
) birim fonksiyonunun sürekli olması için gerek ve yeter şart
)→
topolojisinin
topolojisinden daha ince olmasıdır. İspatlayınız.
7. SORU Bir
verilsin.
kümesinin alt kümelerinden oluşan, boş olmayan herhangi bir
ailesinin bütün sonlu arakesitlerinden oluşan
ℬ={ ⊂ :
=∩
,
∈ }
ailesinin X üzerinde bir topoloji tabanı olduğunu gösteriniz. Bu
topolojinin
8. SORU
takdirde (
ailesi
ailesinin doğurduğu
ailesini kapsayan topolojilerin en kabası olduğunu ispatlayınız.
=
×
×
çarpım uzayı ve bir
) =(
) ×(
×
⊂
×
alt kümesi verilsin. Bu
) olduğunu gösteriniz.
9. SORU ( , ) topolojik uzayının açık A ve B alt kümeleri verilsin, öyle ki
olsun. Eğer | : ( ,
)→( ,
) ve | : ( ,
her ikisi de sürekli ise : ( , ) → ( ,
)→( ,
=
∪
) kısıtlanmış fonksiyonlarının
) fonksiyonu da süreklidir.
)