logar i tma - ALFA REHBERLİK

LOGARİTMA
Daha önceki matematik derslerinde, birinci ya da ikinci derece polinom fonksiyonlar ve trigonometrik
fonksiyonlar gördünüz. Bu bölümde, üstel fonksiyon ve logaritma fonksiyonu dediğimiz, birbirlerinin ters
fonksiyonu olan iki yeni fonksiyon daha tanıyacak, bunların özelliklerini inceleyeceğiz.
Üstel fonksiyonu tanıyabilmek için önce, a  R
(i) n  Z

(ii) n  Z

ve n  Q olmak üzere a sayısını hatırlayalım:
n
n
ise a = a.a…a,
1
,
a n
n
ise a =
n
(iii) n=0

0
ise a = a = 1,
1
(iv) n  Z

 a=xn ,
ise a n = x
m
 1n 
a  ,
 
 
m
m
 Q ise a n =
(v)
n
olduğunu biliyorsunuz. Bu tanımlarda, a > 0 olduğuna göre, her n rasyonel sayısı için a
olacağına dikkat ediniz. Eğer n irrasyonel sayı ise, her pozitif a gerçek sayısı için a
sayıdır.
n
n
sayısının pozitif
sayısı yine pozitif gerçek
n
a yazılışında a ya da taban, n ye üs denir. Matematik-1 derslerinizde üslü anlatımlarla ilgili aşağıdaki
kuralları gördünüz.
0
(1 ) Tabanlar eşit ise:
1.
m
n
Kural : a .a = a
m n
am
 a m  n ; a  0
n
a
am
1
m<n ise n  n  m ; a  0
a
a
m
n
3. Kural : a  1 ,0,1 ise, a = a  m = n dir.
2.
Kural : m>n ise
4.
Kural : (ab) = a .b ;
m
m
m
m
am
a
5. Kural :    m ;
b
b
m
m
6. Kural : a>0 , b>0 ve m  0 ise a  b  a  b dir.
0
(3 ) Bir Kuvvetin Kuvveti:
 
m n
7 Kural : a
a
Aşağıdaki alıştırmaları, bu kuralları uygulayarak çözünüz.
mn
3 – 1.ÜSTEL FONKSİYON
A, pozitif ve 1 den farklı sabit sayı olsun. x  IR ise a in pozitif bir gerçek sayı olduğunu artık biliyoruz. Bu
x
x
kesimde, bir x gerçek sayısını a sayısı ile eşleyen fonksiyonu tanımlayacağız. Daha sonra, bu fonksiyonun
özelliklerini inceleyecek ve grafiğini çizeceğiz.
Tanım 3 – 1 :
a, 1 den farklı sabit bir pozitif gerçek sayı olsun.

f : IR  IR , f(x) = a
ise, f fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.
x
f , üstel fonksiyon ise, sıfırdan farklı her
gelimi, IR de tanımlı ve kuralları
x
f(x) = 3 , g(x) = 5.3
x
, h(x) = -3

x
gerçek sayısı için
 f fonksiyonu da üstel fonksiyondur. Söz
olan fonksiyonlar üstel fonksiyonlardır. Kuralları,
 (x) = x 3 ,  (x) = x x
ve
 (x) = (-3) x
olan fonksiyonlar üstel fonksiyon değildir. Neden?
Pozitif gerçek sayıların, gerçek kuvvetleriyle ilgili pek çok özelliği gördük. Demek ki üstel fonksiyonun
bir takım temel özelliklerini bilmekteyiz. Bu özelliklere dikkat ederek, üstel fonksiyonun grafiğini çizebiliriz.
Örneğin;
(i)  x  IR için a > 0 dır. (Grafik, Ox ekseninin üstündedir.).
x
(ii)  x 1 ,x 2  IR için a
(iii)  y 0  IR

x1
=a
için y 0 = a
x0
x2
 x 1 = x 2 dir.
olacak şekilde bir x 0  IR sayısı vardır.
0
(iv) a = 1 dir. (Grafik Oy eksenini (0,1) koordinatlı noktada keser.)
Bu bilgilere göre; üstel fonksiyonun grafiği 3-1. şekildeki gibidir. Bu şekilde, birinci grafik a tabanının 1 den
büyük, ikinci grafik ise, tabanın 0 ile 1 arasında bulunması haline göre çizilmiştir.
x1< x 2
 a x1 < a x2
x1 < x 2
 a x1 > a x2
3-1. şekil
Bu iki şekilde,
a>1
ise x 1 < x 2
 a x1 < a x2
2
4
(Örneğin 3 < 3 )
3
0 < a < 1 ise x 1 < x 2
 a >a
x1
4
1
1
[Örneğin      ]
2
2
x2
olduğunu gözlemekteyiz.Demek ki taban 1 den büyük olan üstel fonksiyonda, x ler büyüdükçe görüntülerde
büyümektedir.(artan fonksiyon). Eğer taban 0 ile 1 arasında ise, bu kez x ler büyüdükçe görüntüler
küçülmektedir.(azalan fonksiyon).
Örnek 3 – 1 :
(a) f: IR  IR , f(x) = 2.3
1
(b) g: IR  IR , g(x) = 2  
3
x
x
fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.
Çözüm:
1
3
(a) da tabanı 1 den büyük olan (3), (b) de tabanı 0 ile 1 arasında olan   üstel fonksiyon verilmiştir. Bunların
grafikleri 3-1. şekilde görülen türde eğrilerdir. Bu eğriler aşağıda çizildiği gibidir.
3 – 2. LOGARİTMA FONKSİYONU
Bire bir ve örten olan fonksiyonların, ters fonksiyonlarının var olduğunu biliyoruz. Üstel fonksiyonun bire bir
ve örten olduğunu gördük. O halde, bu fonksiyonun ters fonksiyonu vardır.
Tanım 3 – 2 :
f : IR  IR , f(x) = a , (a  IR
x

\
1 ve a sabit) üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna
logaritma fonksiyonu denir ve log a ile gösterilir.
Demek ki,
a tabanlı
f : IR  IR ; f(x) = a
f
1
: IR  IR; f
1
x
ise,
(x) = log a x dir.
(log a x yazılışını “logaritma a tabanında x” diyerek okuyunuz.)
f ile f
1
, birbirlerinin tersi olan iki fonksiyon ise, f nin grafiğinin birinci açı ortaya( denklemi y = x olan
1
x
doğruya) göre simetriği, f fonksiyonunun grafiğidir. 3-3.şekilde, f(x)=2 fonksiyonu ile f
fonksiyonunun grafiği çizilmiştir. Bu eğrileri inceleyiniz.
1
(x) = log 2 x
Bu iki grafikten :
2
1
=
1
1
olduğundan, log 2 = -1;
2
2
0
2 =1 olduğundan, log 2 1 = 0 ;
1
2 =2 olduğundan, log 2 2 = 1 ;
2
2 =4 olduğundan, log 2 4 = 2 ;
olduğunu görüyorsunuz. Genel olarak;
b
2 =c ise, log 2 c = b
dir. Benzer şekilde,
5
2 =32 olduğundan, log 2 32 = 5;
1
1
olduğundan, log 2
= -4;
16
16
1
1
2 3 = 3 2 olduğundan, log 2 3 2 =
3
2
4
=
olur.
3 – 4. şekilde tabanı 1 den büyük, 3 – 5.şekilde ise tabanı 0 ile 1 arasında olan logaritma fonksiyonunun grafiği
çizilmiştir.
Bu grafiklerden yararlanarak, aşağıdaki ifadelerde ….. bırakılan yerlere > ya da < işaretlerinden uygun
olanını koyunuz.
(i) a > 1 ise,
0<x 1 <1<x 2
 log a x 1 …0… log a x 2
0<x 1 <x 2  log a x 1 … log a x 2
(a > 1 iken, log a fonksiyonu artan mıdır?)
(ii) 0 < a < 1 ise,
0<x 1 <1<x 2  log a x 1 …0… log a x 2
0<x 1 <x 2
 log a x 1 … log a x 2
(0 < a < 1 iken, log a fonksiyonu azalan mıdır?)
(iii) log 5 3…0;
log 2 (0,75)…0;
log 1 / 2 7…0;
log 1 / 5 (0,43)…0.
Sonuç: 0<x 1 <1<x 2 ise, log a x 1 . log a x 2 < 0 dır.
LOGARİTMANIN TEMEL ÖZELLİKLERİ
Aşağıda açıklanan özelliklerde taban olan a sabit sayısı, 1 den farklı ve pozitif olan herhangi bir gerçek
sayıdır.
1.Özellik :
x
a =b
 log a b = x,
(b > 0)
dır.
Örnek 3 – 2 :
1
1
= -3;
 log 5
125
125
2
2
(b) 7 5 = 5 49  log 7 5 19 = ;
5
(a) 5
3
=
(c) log 2
3
1
1
 b=5 3 = 3 5 ,
3
(d) log 5 b=
(e) log x
5
27 = -3  5 27 = x 3
 3 3 / 5 = x 3
16 = x  3 16 = 2 x
4
3
2 = 2
 (3
x
4
  x,
3
3
3/ 5
1
5
)
1
3
3
= (x
)
1 / 3
=x
2.Özellik :
f(x) = a
1
x
ve f
1
f
(x) = log a x için;

1
( x) = x  a loga x =x ; x > 0
1
1
x
(f of)(x)= f  f (x) = x  log a a = x dir.
(f o f
)(x)=f
Örnek 3 – 3 :
(a) 5
(
log5 7
=7;
3
 log1 / 3 5
 1
6 ) log6 x =  6 2 
 
3
(b) log 5 5 = 3 ; log 2
1
3
= 
log6 x
3
=
log1 / 3 5
6 
=5;
log6 x 1 / 2
1
=x2 =
x
2
1
4 =log 2 2 2 / 3 = ; log 1 / 3 5 9 = log 1 / 3  
3
3
3.Özellik :
x > 0 ve y > 0 ise
log a x = log a y  x = y
2
3
=
2
5
dir.
Bu özellik logaritma fonksiyonunun bire bir oluşunun sonucudur.
Örnek 3 – 4 :
(a) log 5 (2x – 5) = log 5 (x + 3)
2
(b) log 3 (x -2) = log 3 (1 – 2x)
denklemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.
Çözüm :
(a) log 5 (2x – 5) = log 5 (x + 3)
2x-4>0
x+3>0
2
(b) log 3 (x -2) = log 3 (1 – 2x)
2
x - 2 >0
1 – 2x >0
2
2x – 4 = x + 3, v
x -2 = 1-2x
2x – x = 4 + 3
x = 7……..Ç =
x + 2x – 3 = 0
(x – 1) (x + 3) = 0
2
7
(7 sayısı için logaritmanın içindeki
x 1 = 1 ; x 2 = 3 ……Ç=
 3
(x = 1 için x -2 < 0 olur. 1  Ç dir.)
2
ifadeler pozitif olur.)
2
(x= -3 için x -2 > 0 ve 1 – 2x>0 dir.)
4.Özellik :
x > 0 ve y > 0 ise
log a (xy) = log a x + log a y dir.
İspat:
p
q
x > 0 ve y > 0 olduğundan, a = x ve a = y olacak şekilde, p ve q gerçek sayıları vardır.(üstel fonksiyon
örtendir.) Bu nedenle,
p
q
xy = a . a = a
p q
 log a (xy) = log a a p q = p + q
(2.özellik)
= log a x + log a y
olur.
Örnek 3 – 5 :
2
2
(a) log 10 (5200) = log 10 (10 .4.13) = log 10 10 + log 10 4+ log 10 13
= 2 + log 10 4+ log 10 13
5 c) = log 3 3 2 + log 3 5 + log 3 c = 2 + log 3 5 + log 3 c (c > 0)
(b) log 3 (9
5.Özellik :
x > 0 ve y > 0 ise,
log a
x
= log a x - log a y dir.
y
İspat :
p
q
x > 0 ve y > 0 olduğundan, a = x ve a = y olacak şekilde, p ve q gerçek sayıları vardır.
ap
x
p q
log a
= log a q = log a a
=p–q
y
a
(2.özellik)
= log a x - log a y
Örnek 3 – 6 :
log 10
10c
= log 10 (10c) - log 10 d = log 10 10 + log 10 c - log 10 d
d
= 1 + log 10 c - log 10 d
(c > 0 , d > 0)
6.Özellik :
x > 0 ve m  IR ise,
log a x
m
= mlog a x dir.
İspat :
x > 0 olduğundan, x = a
m
p
m
p
p
olacak şekilde, p gerçek sayısı vardır.( x = a ise, log a x = p dir.)
log a x = log a (a ) = log a a
mp
= mp = m log a x.
Örnek 3 – 7 :
log a
5
2
 2 53 
 b 5 .c  = log b 5 + log c
a
a




2
3
=
log a b - log a c.
5
5
b2
= log a
c3
3
5
6.Özellik :
Taban Değiştirme Formülü
b,c > 0 ve b  1 ise log a c =
log b c
dır.
log b a
İspat :
log a c = x
c=ax
 log b c = log b a x = x log b a
log b c
x=
log b a
Sonuçlar :
1- c=b
 log a b =
1
 log a b. log b a = 1 dir.
log b a
2 - log a b. log b c.log c d = log a d
(d > 0)
log a c 1
=
log a c (n  IR)
log a a n n
3 - log a nc =
m
log a nc =
m
log a c
n
(m,n  IR)
Örnek 3 – 8 :
(a)
log
2
25 . log 1 / 5
3
3 . log 3 8 = log 2 1/2 . 5 2 . log 51 3 1 / 3 .log 3 2 3
=
2 1/ 3
.
. 3 . log 2 5 log 5 3. log 3 2
1/ 2 1
= -4
log 7 5 log 5 7
+
= log 3 5 + log 3 7 = log 3 (5.7) = log 3 35.
log 7 3 log 5 3
3/5
3
3/ 5
(c) log 4 5 8 = log 2 2 . 2
=
log 2 2 =
= 0,3.
10
2
(b)
DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU
Şimdi özel bir logaritma fonksiyonundan sözedeceğiz. Bu logaritma fonksiyonunun tabanı olan sayıyı

tanıyabilmek için, önce aşağıdaki e 1 ,e 2 ,e 3 ,…,e n (n  Z ) sayılarını düşününüz.
1
1!
1
1
e 2 =1 +
+
1! 2!
1
1
1
e 3 =1 + +
+
1! 2! 3!
1
1 1
1
e 4 =1 + +
+ +
1! 2! 3! 4!
1
1 1 1
1
e 5 =1 + +
+ + +
1! 2! 3! 4! 5!
e1 = 1 +
e n =1 +
1
1
1 1 1
1
+
+ + + +…+
1! 2! 3! 4! 5!
n!
Burada e 1 =2 ; e 2 =2,5; e 3 =2, 6 ; e 4  2,7083 ; e 5  2,7166 olur.Listeye devam ederek e 6 ,e 7 ,e 8 ,… sayılarını
yaklaşık hesaplayabilirsiniz.
B u listede, n sayısını büyüterek e n toplamını hesapladıkça, daima, 2,7 ile 2,8 arasında kalan sonuçlar elde
ederiz. Bu sonuçlar, e ile gösterilen bir irrasyonel sayıya yaklaşan sonuçlardır. ( e sayısı, 1707 – 1783 yılları
arasında yaşamış olan İsviçreli ünlü matematikçi Euler tarafından keşfedilmiştir. Karmaşık sayıları işlerken
kullandığımız i birimini de ilk kullanan bu matematikçidir.) e sayısının irrasyonel olduğunu kanıtlamak,
üniversite matematiğinin konusudur.e için yaklaşık değer olarak 2,71 ya da 2,7182 sayılarından birini alabiliriz.
Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir. ln ile gösterilir.
Demek ki, lnx = log e x dir. O halde,
f(x) =
 f 1 (x) = lnx
dir. Bu iki fonksiyonun da grafiği 3-6.
Şekilde çizilen eğrilerdir.
3-6.şekil
Örnek 3 – 9 :
(a) e
ln x 1
(b) ln
=e
ln x
.e
1
=
x
,
e
1
2
2x
x
2
2 x
3 x
2
+ ln(x . e ) = ln (e . x . e
) = lne
+ lnx = -3x + 2lnx.
x
e
TABANI 10 OLAN LOGARİTMA FONKSİYONU
Doğal sayıları, tamsayıları, onluk sayı düzeninde yazarak inceledik. İnsanların birbiriyle olan iletişimlerinde,
ticarette, sosyal yaşamın diğer alanlarında ve matematiğin-mühendislik gibi-uygulamalı dallarında kullanılan
sayılar, onluk düzende yazılmış tamsayılar ya da bu tamsayılarla oluşturulan kesirli sayılardır. Logaritma da
matematiğin uygulanışında yararı olan önemli bir fonksiyondur. Bu nedenle, 10 tabanlı logaritmaya uygulamada
sık sık gerek duyulabilir. Örneğin, bir faiz hesabında (3-4.alıştırmalar-4.problem) log 10 fonksiyonu ile hemen
karşılaşabilirsiniz. Bu nedenle, bir kısım x doğal sayıları için log 10 x sayıları hesaplanmıştır. (1 den 10000 e dek
sayıların logaritmalarını İngiliz matematikçi Neper hesaplamıştır. Bu nedenle log 10 fonksiyonuna Neper
logaritması da denir.) Bu sayılar bugün kullanılan hesap makinelerinden önce, logaritma cetvelleri adı altında
kitapçık halinde yayınlanmış, hesaplar yapılırken istenilen logaritma değerleri bu kitapçıktan bulunarak
kullanılmıştır.
Tanım 3 – 3 :
k  Z ve 0  m < 1 olsun. x  IR

için log 10 x = k + m ise, k sayısına log 10 x in karakteristiği, m sayısına
da mantisi denir.
log 10 8473 = 3,9280 ise k = 3, m = 0,9280
log 10 0,045 = -2 + 0,6532 ise, k = -2 ve m = 0,6532 dır.
Uyarı : Bir hesap makinesinde 0,045 yazdıktan sonra log tuşuna basınız. Ekranda -1,3468 sayısını(yaklaşık)
göreceksiniz.
log 10 0,045 = -1,3468 yazılışında karaktesirtik -1 ve mantis 0,3468 değildir. Bu sayıyı,
log 10 0,045 = -1,3468 = -1 – 0,3468 + (1 – 1) = -2 + 0,6532
şeklinde yazınca, yukarıda sözü edilen karakteristik ve mantisi elde edersiniz. Bu işlemde ondalık kısmı pozitif
yapmak için bu sayıya 1 sayısını hem topladık, hem çıkardık. Benzer şekilde,
 k = -1, m = 0,4200
log 10 0,0038 = -2,4202 = -2 - 0,4202 -1 + 1 = -3 + 0,5798  k = -3, m = 0,5798
log 10 0,263 = -0,5800 = -1 + 1 – 0,5800 = -1 + 0,4200
Karakteristik Bulmak
0 < x 1 < x 2 ise, log 10 x 1 < log 10 x 2 dir.( artan fonksiyon). O halde, n  Z olmak üzere,
10
n
 x < 10 n 1  n  log 10 x < n + 1
dır. (Sol yandaki sıralamada bulunan terimlerin 10 tabanına göre logaritmalarını alınca sıralama değişmez.)
Demek ki, log 10 x = n + m, 0  m < 1 dir. Diğer bir deyişle, log 10 x sayısının karakteristiği n dir. O halde, pozitif
bir x sayısının logaritmasının karakteristiğini bulmak için yukarıda çerçeveli ifadedeki n tamsayısını belirlemek
gerekir ve yeter.
Şekli ve buna bağlı olarak verilen örnekleri inceleyiniz.
10
0
 8,74 < 10 1
10
1
 24,6 < 10
10
2
 75,42 < 10
10
3
 8320 < 10 4
2
3
olduğundan,
log 10 8,74 = 0 + m, k = 0;
olduğundan,
log 10 24,6 = 1 + m, k = 1;
olduğundan,
log 10 375,42 = 2 + m, k = 2;
olduğundan,
log 10 8320 = 3 + m,
k = 3;
SORU:
Bu örneklere göre, x > 1 ise, x in tam kısmının basamak sayısı ile log 10 x sayısının karakteristiği arasında bir
bağıntı söyleyiniz.
1 den büyük olan x sayıları için yaptığımız bu incelemeye benzer bir incelemeyi, 0 ile 1 arasındaki sayılar
için de yapalım. 3 – 8. şekilde bu tür örnekler bulacaksınız.
3 – 8.şekil
10
10
10
10
1
2
3
4
< 0,56 < 1
< 0,036 < 10
1
< 0,00405 < 10
< 0,0007 < 10
2
3
olduğundan, log 10 0,56 = -1 + m,
k = -1;
olduğundan, log 10 0,036 = -2 + m,
k = -2;
olduğundan, log 10 0,00405 = -3 + m,
k = -3;
olduğundan, log 10 0,0007 = -4 + m,
k = -4;
olur.
Yukarıdaki örneklerde, ondalık kesir şeklinde yazılmış olan sayılarda, soldaki ilk sıfırların sayısı ile k
sayısını karşılaştırınız. Buna göre, 0<x<1 ise, log 10 x in karakteristiğini nasıl bulabileceğinizi söyleyiniz.
205. ve 206. sayfalardaki tablolarda 1 den 1000 e kadar olan tamsayıların logaritmalarının mantisleri
verilmiştir. Bu tablodan yararlanarak, tüm üç basamaklı tamsayıların ve bu sayıların 10
logaritmalarını bulabilirsiniz. Önce şu teoremi görelim:
Teorem 3 – 2 :
x > 0 ve n  Z ise, log 10 x ve log 10 (10 . x) sayılarının mantisleri aynıdır.
n
İspat :
n
(n  Z) katlarının
log 10 x = k + m, k  Z, 0  m<1 olsun.
log 10 (10 . x) = log 10 10 + log 10 x = (n + k) + m, (n + k)  Z olur. Demek ki, log 10 (10 . x) sayısının
n
n
n
mantisi de m dir.
Örnek 3 – 10 :
log 10 514 = 2,7110 ise log 10 51,4 ; log 10 5,14 ; log 10 5140 ; log 10 51400 ve log 10 0,0514 sayılarını yazınız.
Çözüm :
51,4 sayısı, 514 sayısının 10
1
ile çarpımıdır. Teorem 3 -2 gereğince log 10 514 ile log 10 51,4 sayılarının
mantisleri aynıdır. Benzer şekilde 5,14; 5140, 51400 ve 0,0514 sayıları da 514 sayısının 10 (n  Z) ile çarpımı
olan sayılardır. Bu nedenle, bunların logaritmalarının mantisleri de aynıdır.(m = 0,7110). O halde;
n
log 10 514 = 2,7110 
log 10 51,4 = 1,7110;
log 10 5,14 = 0,7110
log 10 5140 = 3,7110;
log 10 51400 = 4,7110
log 10 0,0514 = -2 + 0,7110 = -1,2880
olur.
-2 + 0,7110 sayısının 2 ,7110 şeklinde yazıldığı da olur. Bu yazılış biçimine göre,
3,75 = -3 + 0,75 = -2,25 ve -4,82 = -4 – 0,82 = -4 – 1 + 1 – 0,82
= -5 + 0,18 = 5,18
dir.
Üç basamaklı bir sayının logaritmasını nasıl bulabiliriz. Söz gelimi, 748 sayısının logaritmasının mantisini
bulalım. Logaritma cetvelinde 74 sayısının bulunduğu satır ile 8 sayısının bulunduğu kolonun kesiştiği yerdeki
sayı 8739 dur. Bu nedenle log 10 748 = 2,8739 olur.
Eğer logaritması istenen sayı 4 ya da daha fazla basamaklı bir sayı (ya da bunun 10 , n  Z, katı) ise, bir
orantı ile yaklaşık hesap yapabiliriz.)
n
Örnek 3 -11 :
log 10 36,476 sayısını yaklaşık hesaplayınız.
Çözüm :
log 10 364 sayısının mantisi 0,5611 log 10 365 sayısının mantisi de 0,5623 verilmiştir. log 10 36,476 sayısının
mantisi orantı ile yaklaşık hesaplayalım:
sayılar
mantisler(0,…)
364
5611
12
1
x
0,76 365
5623
364,76
?
sayı farkı
1
0,76
mantis farkı ( 0,00…)
12
x
D.O.
x = (0,76) . 12 = 9,12
Demek ki, mantisler listesinde soru işareti ile gösterilen yere 5611 + 9,12 = 5620,12 yada yaklaşık 5620 sayısı
gelmelidir. O halde,
log 10 364,76 = 2,5620 ve buradan, log 10 36,476 = 1,5620 olur.
Tanım 3 – 4 :
log 10 x = a ise, x sayısına a sayısının antilogaritması denir.
log 10 314 = 2,4969 olduğuna göre, 2,4969 sayısının antilogaritması 314 tür.
Örnek 3 – 12 :
(a) 1,4698
(b) 3,7216
sayılarının antilogaritmasını bulunuz.
Çözüm:
(a) log 10 x = 1,4968 ise x sayısını bulacağız. ( k = 1 olduğundan, x sayısının tam kısmı iki basamaklıdır.)
Logaritma cetvelinde 4698 sayısı vardır. Bu sayı, 295 sayısının karşılığındadır. Bu nedenle
log 10 x = 1,4698
 x = 29,5
log 10 295 = 2,4698
 x = 10 1, 4698 olduğunu biliyorsunuz. Bir hesap makinesinde bu sayıyı hesaplayınız.
y
Bunun için 10 yazınız. x tuşuna basınız ; 1,4698 yazınız ve . = tuşuna basınız. Ekranda 29,4985… sayısını
göreceksiniz. Burada (.), virgül yerinedir. Demek ki, x  3,7216 ise, x sayısını bulacağız.(x, dört basamaklıdır,
dir. (log 10 x = 1,4698
neden?). Logaritma cetvelinde 7210 ve 7218 sayıları var, 7216 sayısı yoktur. X sayısı bir orantı ile yaklaşık
hesaplayalım.
Sayı
Mantis (0,…)
Sayı farkı
Mantis farkı ( 0,000…)
526
7210
1
8
6
t
8
1
x’
72165
t
6
527
7218
D.O.
t=
x’ = 526 + t = 526,75
Buna göre
log 10 526,75 = 2,7216
6
= 0,75
8
 x = 5267,5
log 10 x = 3,7216
olur.( log 10 x = 3,7216
 x = 10 3,7216 sayısını yine bir hesap makinesinde hesaplayınız. x  5267,4448…
bulacaksınız.)
Örnek 3 – 13 :
Logaritma tablosundan yararlanarak -2,8216 sayısının antilogaritmasını bulunuz.
Çözüm :
3
2
log 10 x = -2,8216 = -2 – 0,8216 + 1 – 1 = -3 + 0,1784 = 3,1784 k = -3 olduğundan, 10 < x < 10
dir. Logaritma tablosunda 1784 sayısı yoktur, 1761 ve 1790 sayıları vardır. Yine orantı yardımıyla x sayısını
bulalım:
Sayı
150
1
x’
151
t
23
Mantis (0,…)
7210
29
72165
7218
Sayı farkı
1
t
Mantis farkı ( 0,000…)
29
23
D.O.
t=
x’ = 150 + t = 150,79
Buna göre
log 10 150,79 = 2,1784
23
 0,79
29
 x = 0,0015079
log 10 x = 3,1784
olur.
(log 10 x = -2,8216  x = 10
2, 2816
 0,001507995… olduğunu, hesap makinesini hesaplayarak görünüz.)
Örnek 3 – 14 :
1992 yılında, ülkemizde, elektriğin klowatt-saat ücreti her ay %4 artırılmıştır. Buna göre, elektriğin 1 klowattsaatının fiyatı 1992 yılında yüzde kaç artmıştır?
Çözüm :
Elektriğin 1 klowatt-saatının fiyatı, ocak ayı başında 1 birim ise,
Birinci ayın sonunda ay başındaki fiyatın 1,04 ü
= 1,04,
İkinci ayın sonunda bu ayın başındaki fiyatın 1,04 ü
= (1,04) ,
Üçüncü ayın sonunda bu ayın başındaki fiyatın 1,04 ü
2
3
= (1,04) ,
Olur. Bu yolla devam edilince, aralık ayı sonunda söz konusu fiyat (1,04)
12
olur.
(1,04)
12
sayısını logaritma yardımıyla yaklaşık olarak hesaplayalım:
x = (1,04)
 log 10 x = 12. log 10 (1,04) = 12.(0,170) = 0,204
12
log 10 x =0,204
 x  1,60
log 10 160 =2,2041
Demek ki, ülkemizde elektriğin kilowat-saat ücreti,1992 yılında, yıllık ortalama %60 arttırılmıştır.
Not : Bir hesap makinesi ile (1,04)
arttığını gösterir.
 1,6010… olduğunu bulabilirsiniz. Bu da fiyatın yıllık yaklaşık %60
12
3 – 5. ÜSTEL VE LOGARİTMALI DENKLEMLER
Tanım 3 – 5 :
Değişkeni ya da değişkenleri (bilinmeyenleri) üst içinde bulunan denkleme üstel denklem denir.
Bu tanıma göre bilinmeyenleri x ve y olan
x
x
x
x
x
x
y
3.5 - 2.5 + 2 = 0 ; 5 -2 + 7.3 = 10 ; 2 + 3 = 5
denklemleri üstel denklemlerdir.
x
x
5
x
3x - 2 = 6 ;
x. 5 = 1 ; 3 + sinx = 1
denklemleri ise, üstel denklem değildir; çünkü bunlarda x bilinmeyeni sadece üst içinde geçmemektedir.
Örnek 3 – 15 :
x
(a) 25 - 6.5
x 1
x
2
x
(b) 3 - 5.3 + 6 = 0 denklemlerini çözünüz.
+125 = 0
Çözüm :
x
(a) t = 5
x
2
x
2
x 1
x
25 - 6.5
x
x
3 - 5.3 2 + 6 = 0
+125 = 0
2
2
t -6.5.t + 125 = 0
(t – 5)(t – 25) = 0
t = 5  t = 25
5 =5 
x
x=1
Ç=
x
(b) t = 3 2 dersek, t = 3 olur.
dersek, t = 25 olur.

t -5t + 6 = 0
(t – 2)(t – 3) = 0
t=2  t=3
x
2
=2 
3
x
= log 3 2 
2
x = 2 log 3 2 
x
5 = 25
3
x=2
1,2.
Ç=
x
2
=3
x
=1
2
x=2
2,2 log 3 2.
Örnek 3 – 16 :
5
5
x 1
y
+3 =4
x2
y 1
-3
=4 denklem sistemini sağlayan x ve y sayılarını bulunuz.
Çözüm :
a=5
5
5
x 1
x2
x
ve b = 3
y
+3 =4
-3
y 1
=4
5a + b = 4
y
diyelim:
x
5. 5 + 3
2
5 .5
a=
x
y
-3
=4
1
.3
5a + b = 4
y
=4
25a -
1
x
=5
5
x = -1 ve y = 1
75a – b = 12
b=3=3
y
b
=4
3
(3)
Tanım 3 – 6 :
Değişkeni ya da değişkenleri (bilinmeyenleri) logaritma içinde bulunan denkleme logaritmalı denklem
denir.
Bu tanıma göre, bilinmeyeni x olan
log 5 (3x-1) = 2; log 5 x + log 2 x - log 3 7 = 1 ; log 10 (x-1) + log 10 x = 4denklemleri logaritmalı denklemlerdir.
Yine bilinmeyeni x olan
x Inx - e
x
=2;x
2
+ (log 10 5) x - 4 = 3 ; sin(Inx) – x = 1
denklemleri ise logaritmalı denklemler değildir. Neden?
Bilinmeyeni x olan logaritmalı bir denklemi çözerken, verilen denklemden,
(i) log a f(x) = b
(ii) log a f(x) = log a g (x)
şeklinde bir temel denklem elde etmeye çalışınız.
Bu halde,
 f(x) = a b
(ii) log a f(x) = log a g(x)  f(x) = g(x) > 0
(i) log a f(x) = b
olur. (ii) de f(x) = g(x) denkleminin köklerini bulunuz. Bu kökler içinde f(x) iadesini pozitif yapan sayılar
log a f(x) = log a g(x) denkleminin kökleridir.
Örnek 3 – 17 :
(a) log 5 (3x – 2) = 0
 3x – 2 = 5 0  x = 1,
Ç=
1.
( x = 1 için 3x – 2 > 0 dır.)
(b) log 3 x + log 3 (x + 8) = 2
log 3 (x + 8) = 2
 x(x + 8) = 9 ; x > 0 ; x + 8 > 0.
 x 2 + 8x – 9 = 0
 x 1 = 1 ; x 2 = -9
x = 1 için x > 0 ve x + 8 > 0 dır. 1, çözüm kümesinin elemanıdır. x = -9 için logaritma içleri pozitif değildir. Bu
nedenle, -9 sayısı, verilen denklemin kökü olamaz. O halde, bu denklemin çözüm kümesi Ç = 1 . dir.

Örnek 3 – 18 :
(a) log 2 (3x -17x + 24) = 1  3x -17x + 24 = 2
2
2
 3x 2 -17x + 22 = 0
 x 1 = 2 ; x 2 = 11
3
2
x 1 = 2 ve x 2 = 11 için 3x -17x + 24 > 0 olduğundan 2 ve 11 sayılarının ikisi de bu denklemin kökleridir.
3
11

Öyleyse Ç=  ,2 dir.
3 
3
(b) log 2 (x – 3) + log 2 (3x – 8) = 1
log 2 (x – 3) (3x – 8) = 1
 (x – 3) (3x – 8) = 2
 3x 2 - 17x + 22 = 0
 x 1 = 2 ; x 2 = 11
3
x = 2 için x – 3 < 0 dır. Demek ki 2, verilen denklemin kökü değildir.
x = 11 için x – 3 > 0 ve 3x – 8 > 0 dır. Bu nedenle, 11 sayısı verilen denklemin bir köküdür.
3
3
11
O halde, bu denklemin çözüm kümesi Ç =   olur.
3
2
(a) ile (b) deki iki denklemde de 3x -17x + 22 = 0 denklemi elde edildiği halde, çözüm kümelerinin farklı
olduğuna dikkat ediniz.
Örnek 3 – 24 :
log 1 / 3 1  log 2 ( x  3) = 1 denklemini çözünüz.
Çözüm :
log 1 / 3 1  log 2 ( x  3) = 1
 1 - log 2 (x – 3) =  1 
1
3
 log 2 (x – 3) = -2

x–3=2

1
4
13
x=
4
2
=
LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER
a > 1 ise log a fonksiyonunun grafiğinin 3-10. şeklindeki gibidir.
Bu grafikten;
(i) log a f(x) > b
 f(x) = a b
(ii) log a f(x) < b
 0 < f(x) < a b eşitsizliklerini elde ederiz.
3-10. şekil
Eğer 0 < a < 1 ise, log a fonksiyonunun grafiği 3-11 şeklindeki gibidir.
Bu grafikten de
(i) log a f(x) < b
 f(x) > a b
(ii) log a f(x) > b
 0 < f(x) < a b
3-11.şekil
Örnek 3 – 25 :
(a) log 5 (3x – 2)
2
(b) log 3 (1 – 4x) > 2 eşitsizliklerinin çözüm kümesini bulunuz.
2
(b) log 3 (1 – 4x) > 2
Çözüm :
(a) log 5 (3x – 2)
 52
0 < 3x – 2
1 – 4x > 3
2
<x  9
3
2 
Ç =  ;9 
3 
2
1 – 9 > 4x
-2 > x
Ç=
 ;2
Örnek 3 – 26 :
(a) log 1 (5 – 2x)
2
(b) log 1 ( x  2) > 1
2
3
eşitsizliklerinin çözüm kümesini bulunuz.
(a) log 1 (5 – 2x)
2
(b) log 1 ( x  2) > 1
2
3
5 – 2x
1
  
2
1
5 -  2x
4
2
log 1 ( x  2) < -1  log 1 ( x  2) > 1
3
3
1 1
1 1
x + 2 > ( )  0 < (x + 2) < > ( )
3
3
19
x
8
19 

Ç =   ; 
8

x>1 


Ç =   2;
-2 < x <
5
1;
3

5
3