x, y - Başkent Üniversitesi

TBF 122 - Genel Matematik II
DERS – 5 : Çok Değişkenli Fonksiyonlar
Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş
Başkent Üniversitesi
Çok Değişkenli Fonksiyonlar. Reel sayılar kümesi ℝ ile gösterilmek üzere,
ℝ2 = {(x,y) : x, y  ℝ},
ℝ3 = {(x,y,z) : x, y, z  ℝ}
ve daha genel olarak, yukarıdakileri de kapsamak üzere, her n 2 için
ℝn = {(x1, x2, . . . , xn) : x1, x2, . . . , xn  ℝ}
tanımlanır.
Tanım kümesi Rn içinde olan bir fonksiyona n değişkenli fonksiyon denir.
f : A  ℝ , A  ℝn
(x1, x2 , . . . , xn)  z = f(x1, x2, ... , xn)
Bağımlı değişken
Bağımsız değişkenler
Çok değişkenli fonksiyonlar günlük yaşamın pek çok alanında karşımıza çıkar ve
işlerimizi kolaylaştırırlar.
Örnek 1. A türü ve B türü olmak üzere iki tür ürün üreten bir işletmenin haftalık sabit
gideri 5000 TL, ürün başına haftalık gideri A için 700 TL, B için 800 TL ise, bu
işletmenin haftada x adet A ve y adet B üretmesi durumunda haftalık toplam gideri:
M(x,y) = 5000 + 700x + 800y TL dir ki bu bir iki değişkenli fonksiyondur.
Bu örnekte
M(10,15) = 5000 + 700.10 + 800.15 = 24 000,
M(15,10) = 5000 + 700.15 + 800.10 = 23 500,
M(a,b) = 5000 + 700a + 800b,
M(x+h,y) = 5000 + 700(x+h) + 800y,
M( x  h, y )  M( x , y ) 5000  700( x  h)  800 y  (5000  700x  800 y )

 70
h
h
TL dir.
Örnek 2. Basit faiz için kullandığımız formül B(A,r,t) = A + Art bir üç değişkenli fonksiyon
tanımlar. Bu fonksiyon için
B(100,0.05,4) = 100 + 100·(0.05)·4 = 120
dir.
Örnek 3. Boyutları x ve y olan bir dikdörtgenin alanı:
y
x
A = A(x,y) = xy
bir iki değişkenli fonksiyon;
Boyutları x , y , z olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi:
z
V = V(x,y,z) = xyz
y
x
bir üç değişkenli fonksiyon;
Taban yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir silindirin hacmi:
r
h
bir iki değişkenli fonksiyon örnekleridir.
V = V(r,h) =  r2 h
Örnek 4. Karton levha kullanılarak yandaki şekilde görüldüğü gibi üstü açık, dikdörtgenler prizması biçiminde bir kutu yapılmak isteniyor. Kutunun boyutları x, y, z ile gösterilirse, bu kutunun
yapımı için gereken levhanın alanı x, y ve z nin
fonksiyonu olarak
z
y
x
A  A( x , y , z )  xy  2xz  2 yz
biçiminde ifade edilir.
Örnek 5. İki tür ürün üreten bir firma, haftalık talebin A ürünü için x adet, B
ürünü için ise y adet olması durumunda haftalık toplam giderinin
M( x , y )  250  60x  80 y
Olacağını ve A ürününün tanesini p= 150 + x -4y TL ve B ürününün tanesini
q = 200 -3x + y TL ye satmasının uygun olacağını tespit ediyor. Bu firmanın
a) Haftalık gelir fonksiyonu G (x,y) ve kâr fonksiyonu K (x,y) yi bulalım.
b) Bir haftada 12 adet A ve 16 adet B üretilip satılması durumunda firmanın o
haftadaki gider, gelir ve kârını belirleyelim.
Yeni bir sayfa açalım.
Örnek 5. İki tür ürün üreten bir firma, haftalık talebin A ürünü için x adet, B
ürünü için ise y adet olması durumunda haftalık toplam giderinin
M( x , y )  250  60x  80 y
Olacağını ve A ürününün tanesini p= 150 + x -4y TL ve B ürününün tanesini
q = 200 -3x + y TL ye satmasının uygun olacağını tespit ediyor. Bu firmanın
a) Haftalık gelir fonksiyonu G (x,y) ve kâr fonksiyonu K (x,y) yi bulalım.
b) Bir haftada 12 adet A ve 16 adet B üretilip satılması durumunda firmanın o
haftadaki gider, gelir ve kârını belirleyelim.
a) Haftalık gelir
G( x , y )  p x  qy  (150  x  4 y )x  (200  3x  y ) y  x 2  y 2  7 xy  150x  200 y
ve haftalık kâr
K ( x , y )  G( x , y )  M( x , y )  x 2  y 2  7 xy  90x  120 y  250
b) Haftada 12 adet A ve 16 adet B üretilirse, haftalık gider, gelir ve kâr, sırasıyla
M(12,16)  250  60  12  80  16  2250 TL,
G(12,16)  (150  12  4  16)  12  (200  3  12  16)  16
 98  12  180  16  1176  2880  4056 TL,
K (12,16)  G(12,16)  M(12,16)  4056  2250  1806 TL olur.
Düzlemde Kartezyen koordinatlar alarak düzlemdeki noktalar ile ℝ2 nin elemanları
arasında bire-bir bir eşleme kurulduğu gibi, uzayda da Kartezyen koordinatlar tanımlanabilir.
Bunun için önce uzayda, orijinlerinde kesişen ve ikişer-ikişer birbirine dik olan üç
tane koordinat ekseni seçilir. Bu koordinat eksenlerinden ikisi yazı yazdığımız
düzlemde, daha önce seçildiği biçimde, biri yatay, diğeri dikey olarak seçilir; yatay
olanına y-ekseni , dikey olanına z-ekseni denir. Üçüncü koordinat ekseni ise yazı
yazılan düzlemden yazı yazan kişiye doğru dik olarak uzanan eksendir ki, x-ekseni
olarak adlandırılır.
z
y
x
Uzayda, x ve y eksenlerini içinde bulunduran düzleme xy-düzlemi, x ve z eksenlerini
içinde bulunduran düzleme xz-düzlemi, y ve z eksenlerini içinde bulunduran düzleme
de yz-düzlemi denir.
z
y
xy-düzlemi
x
xz-düzlemi
yz-düzlemi
Uzayda bir noktanın Kartezyen koordinatları şöyle tanımlanır.
•Verilen noktanın xy-düzlemine izdüşümü bulunur.
•Elde edilen noktanın x- ve y-koordinatları verilen noktanın x- ve y-koordinatları
olarak tanımlanır.
•Verilen noktadan z-eksenine bir dik indirilerek elde edilen noktanın karşılık geldiği
reel sayı o noktanın z-koordinatıdır.
z
c
P(a,b,c)
b
(0,0,0)
y
a
x
(a,b,0)
Yukarıdaki işlemler tersine çevrilerek koordinatları verilen bir
noktanın yerinin belirlenebileceği açıktır.
z
(0,1,1)
(0,0,1)
(1,0,1)
(1,1,1)
(0,0,0)
(0,1,0)
y
(1,0,0)
(1,1,0)
x
İki nokta arasındaki uzaklık
z
(x, y, z)
d  ( x  a) 2  ( y  b) 2  ( z  c) 2
d
(x, y,c)
z-c
(a, b, c)
y
(x, y,0)
(a, b,0)
( x  a) 2  ( y  b) 2
x
Uzayda nokta kümeleri
x, y, z değişkenlerine göre verilen her denklem üç boyutlu uzayda bir nokta kümesi
verir. Bu nokta kümesine söz konusu denklemin grafiği denir. Bu bağlamda, iki
değişkenli bir f fonksiyonu z = f(x, y) gibi bir denklemle belirleneceğinden, bu tür
fonksiyonların da üç boyutlu uzayda grafiği düşünülebilir.
Birkaç örnek verelim.
• z = 0 : xy-düzlemi
, {(x, y, 0) : x, y  ℝ}
• y = 0 : xz-düzlemi
, {(x, 0, z) : x, z  ℝ}
• x = 0 : yz-düzlemi
, {(0, y, z) : y, z  ℝ}
• z = 3 : xy-düzlemine paralel ve onun 3 birim üstündeki düzlem:
{(x, y, 3) : x, y  ℝ}.
• z = -3 : xy-düzlemine paralel ve onun 3 birim altındaki düzlem:
{(x, y, -3) : x, y  ℝ}.
Üç değişken içeren bir denklemin grafiğini çizmek için grafiğin koordinat düzlemleri veya koordinat düzlemlerine paralel düzlemler ile kesişimini düşünmek çok
yararlı olur.
x2 + y2 + z2 =1 denkleminin grafiği için
• xy - düzlemi ile kesişim: z = 0, x2 + y2 = 1.
•Merkezi orijinde olan 1 yarıçaplı çember.
z
• xz - düzlemi ile kesişim: y = 0, x2 + z2 = 1.
Merkezi orijinde olan 1 yarıçaplı çember.
• yz - düzlemi ile kesişim: x = 0, y2 + z2 = 1.
Merkezi orijinde olan 1 yarıçaplı çember.
(0,0,1)
(-1,0,0)
(0,-1,0)
(0,1,0)
(1,0,0)
x
(0,0,-1)
y
İki değişkenli bir f fonksiyonunun grafiği
z = f(x, y) nin grafiği
z
(x,y, f(x, y))
y
z = f(x, y)
(x, y, 0)
x
Daha somut bir örnek.
z = x2 + y2 nin grafiği
• xy- düzlemi ile kesişim : z = 0, x2 + y2 = 0.
• xz- düzlemi ile kesişim : y = 0, z = x2 .
• yz- düzlemi ile kesişim : x = 0, z = y2 .
(-2,0,4)
• z=4 düzlemi ile kesişim : x2 + y2 = 4.
z
(0,-2,4)
(0,2,4)
(2,0,4)
z = x2 + y2
(0,0,0)
x
y
Örnek. z = 4 -x2 - y2 nin grafiği.
• xy- düzlemi ile kesişim : z = 0, x2 + y2 = 4.
• xz- düzlemi ile kesişim : y = 0, z = 4 - x2 .
• yz- düzlemi ile kesişim : x = 0, z = 4 - y2 .
z
(-2,0,0)
(0,0,4)
(0,-2,0)
(0,0,0)
z = 4 - x2 - y2
(2,0,0)
x
(0,2,0)
y
2
2
Örnek. z  1  x  y
nin grafiği.
• xy- düzlemi ile kesişim : z = 0, x2 + y2 = 1.
• xz- düzlemi ile kesişim : y = 0, z  1  x 2
; x2  z2  1 , z  0
• yz- düzlemi ile kesişim : x = 0, z  1  y 2 ; y 2  z 2  1 , z  0
z
(-1,0,0)
(0,0,1)
(0,-1,0)
z  1 x  y
2
(0,0,0)
2
(1,0,0)
x
Yarım Küre
(0,1,0)
y
Kısmi Türevler.
Bir değişkenli fonksiyonlar için türev tanımını hatırlayalım:
y = f(x) denklemi ile verilen f fonksiyonunun x = a daki türevi
f ' ( a )  lim
h 0
f (a  h)  f (a )
h
olarak tanımlanır. Türevin geometrik anlamını hatırlayalım:
y
f(a+h)
f(a)
(a+h , f(a+h))
f (a  h)  f (a )
Eğim :
h
a+h
x
(a , f(a))
a
h sıfıra yaklaşırken, yeşil doğru değişerek teğet durumuna gelir.
Başka bir deyimle, f ′(a) grafiğin (a,f(a)) noktasındaki teğetinin eğimidir.
Bir değişkenli fonksiyonlar için türev tanımından hareketle,
z = f(x,y) denklemi ile verilen iki değişkenli f fonksiyonunun (a,b) noktasındaki
kısmi türevleri
f (a  h, b)  f (a, b)
f x (a, b)  lim
h 0
h
f nin (a,b) de x e göre
kısmi türevi
f ( a , b  k )  f ( a , b)
k
f nin (a,b) de y ye göre
kısmi türevi
f y ( a, b)  lim
k 0
olarak tanımlanır.
Diğer gösterimler:

z
f x ( x, y )  ( f ( x, y ))  z x 
x
x

z
f y ( x, y )  ( f ( x, y ))  z y 
y
y
Geometrik Yorum:
Eğim : f x ( a , b)
z
(a+h,b, f(a+h, b))
z = f(x, y)
(a,b, f(a, b))
z = f(x, b)
y
(a, b, 0)
(a+h, b, 0)
x
fx(a,b) türevi, (a,b) noktası
x - ekseni doğrultusunda
değişirken f(a,b) nin nasıl
değiştiğini gösterir.
Eğim :
z
f y ( a , b)
(a,b, f(a, b))
(a,b+k, f(a, b+k))
z = f(x, y)
z = f(a, y)
y
(a, b, 0)
x
(a, b+k, 0)
fy(a,b ) türevi, (a,b) noktası
y - ekseni doğrultusunda
değişirken f(a,b) nin nasıl
değiştiğini gösterir.
z = f(x,y) ile verilen f fonksiyonunun kısmi türevleri de yine iki değişkenli fonksiyonlar
olarak düşünülebilir:
f x ( x, y )  lim
f ( x  h, y )  f ( x, y )
h
f y ( x, y )  lim
f ( x, y  k )  f ( x, y )
k
h 0
k 0
fx in tanım bölgesi f nin x e göre kısmi türevinin bulunduğu (x,y) noktalarından, fy
nin tanım bölgesi de f nin y ye göre kısmi türevinin bulunduğu (x,y) noktalarından
oluşur.
Şimdiye kadar verilen tanımlardan ve onların geometrik yorumlarından görülebileceği
üzere, f nin x e göre kısmi türevi fx hesaplanırken, y sabit kabul edilerek sadece x
değişkenine göre türev alınır; fy hesaplanırken de x sabit kabul edilerek y ye
göre türev alınır. Bu hesaplar yapılırken daha önce bir değişkenli fonksiyonlar için elde
edilmiş olan tüm türev alma kuralları geçerlidir.
Örnekler.
z = f(x,y)=3x2y – 2xy2 + 6x + 1 için
z
 6xy 2 y2  6 ,
x
z 3x 2  4xy

y
f y (2,3)  3  22  4  2  3  12.
f x (2,3)  6  2  3  2  32  6  24 ,
z = f(x,y)=exy-2x + 3xy2 + 5x+4 için
z
 e xy 2x ( y  2)  3 y 2  5
x
0
f x (0,0)  e  (2)  3  0  5  3
,
z
 e xy 2x  x  6xy
y
,
0
f y (0,0)  e  0  6  0  0.
z = f(x,y)=x3 y8 için
z
 3x 2 y 8
x
,
f x(2,1) 3  22  18  12
z 8x 3 y 7

y
,
f y(2,1) 8  23  17  64
Örnekler.
z  f ( x, y )  e x  2 y
2
z
 f x ( x, y )  2xex22 y
x
z
 f y ( x, y )
y
f x (2,1)  4e 6
f y (2,1)  2e 6
 2e x 2 y
2
z  f ( x, y)  ( xy  2x2 )3
z
 f x ( x, y )  3( xy  2x 2 )2 ( y  4x)
x
f x (1,2)  3(2  2) 2 (2  4)  288
z
 f y ( x, y )  3( xy  2 x 2 ) 2 x
y
f y (1,2)  3(2  2) 2  48
Örnek. Bu dersin başlarında bir örnekte bulduğumuz kâr fonksiyonu
K ( x , y )  x 2  y 2  7 xy  90x  120 y  250
idi. Kx(14,16) ve Ky(14,16) yı bulalım ve yorumlayalım.
K x ( x , y )  2x  7 y  90  K x (14,16)  28  112  90  6
K y ( x , y )  2 y  7 x  120  K y (14,16)  32  98  120  54
Kx(14,16)=6 olması, haftada 14 adet A ve 16 adet B üretilirken A ürününün
haftalık üretimi 1 birim artırılıp B ürününün üretimi sabit bırakılırsa, kârın 6
TL artacağını gösterir.
Ky(14,16)=54 olması, haftada 14 adet A ve 16 adet B üretilirken B
ürününün haftalık üretimi 1 birim artırılıp A ürününün haftalık üretimi sabit
bırakılırsa, kârın 54 TL artacağını gösterir.
Örnek(Verimlilik). Bilgisayar üreten bir firmanın verimliliği, x birim iş gücü ve y birim
sermaye kullanılması durumunda yaklaşık olarak, Cobb-Douglas Verimlilik fonksiyonu
diye bilinen
f ( x , y )  20x 0.4 y 0.6
fonksiyonuyla ifade edilmektedir. f nin x e göre kısmi türevi fx(x,y), verimliliğin
kullanılan iş gücüne göre değişim oranını vermektedir ve marjinal iş gücü verimliliği
olarak adlandırılır. fy (x,y) kısmi türevi de verimliliğin kullanılan sermayeye göre değişim
oranını vermektedir ve marjinal sermaye verimliliği olarak adlandırılır.
a) Firma şu anda 3000 birimlik iş gücü ve 2500 birimlik sermaye kullandığına göre
marjinal iş gücü verimliliğini ve marjinal sermaye verimliliğini bulunuz.
b) 3000 birimlik iş gücü ve 2500 birimlik sermaye kullanılırken iş gücü artırılarak
mı yoksa sermaye artırılarak mı verimlilikte daha çok artış sağlanacağını
belirleyiniz.
a) f x ( x , y )  8 x 0.6 y 0.6 ,
f y ( x , y )  12x 0.4 y 0.4
f x (3000,2500)  8  30000.6  25000.6  35.56
f y (3000,2500)  12  30000.4  250004  12.91
b) 3000 birimlik iş gücü ve 2500 birimlik sermaye kullanılırken sermaye sabit
tutulmak kaydıyla iş gücündeki her 1
birimlik artış verimlilikte 35.56 birimlik artış sağlayacak; iş gücü sabit
tutulmak kaydıyla sermayedeki her 1
birimlik artış ise verimlilikte 12.91
birimlik artış sağlayacaktır. Bu nedenle,
iş gücü artırılarak verimlilikte daha çok
artış sağlanacağı görülmektedir.
İkinci Mertebeden Kısmi Türevler.
z = f(x,y).
zx = fx (x,y) , zy = fy (x,y)
Birinci mertebeden kısmi türevler
  z   2 z
z xx     2  f xx ( x, y)
x  x  x
  z   2 z
z xy    
 f xy ( x, y)
y  x  yx
z yx
z yy
İkinci mertebeden kısmi türevler
  z   2 z
   
 f yx ( x, y )
x  y  xy
  z   2 z
    2  f yy ( x, y )
y  y  y
Daha yüksek mertebeden kısmi türevlerin de benzer biçimde tanımlanabileceği açıktır.
Örneğin, zxyyxy ifadesi, sırasıyla x e göre türevi, sonra onun y ye göre türevi, sonra
elde edilenin yine y ye göre türevi, sonra elde edilenin tekrar x e göre türevi ve nihayet
sonda elde edilenin y ye göre türevi alınacağını gösterir.
Örnekler.
z = f(x,y)=3x2y – 2xy2 + 6x + 1
z x  6xy  2 y 2  6
z xx  6 y
,
için
z y  3x 2  4xy
,
,
z xy  6 x  4 y
z yx  6 x  4 y
,
z yy   4x .
z xxy  6
f xx (2,3)  6.3  18
,
f xy (2,3)  6.2 43  0
z = f(x,y)=exy-2x + 3xy2 + 5x+4 için
z x  e xy 2x  ( y  2)  3 y 2  5
,
z xx  e xy 2x  ( y  2)  ( y  2)
z = f(x,y)=x3 y8 için
2 8
z x  3x y
z y  e xy 2xx  6xy
,
,
z xy  e xy 2x  x  ( y  2)  e xy 2x  1  6 y
z y  8x3 y7
z xx  6xy 8
, z xy  24x 2 y 7
, z yy  56x 3 y 6
f xx (2,1)  12
, f xy (2,1)  96
, f yy (2,1)  448
Üç veya Daha Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Kısmi Türevler.
Değişken sayısı ikiden çok olan fonksiyonlar için de kısmi türevler benzer biçimde
tanımlanır. Bir değişkene göre kısmi türev hesaplanırken, diğer değişkenler sabit
kabul edilerek bilinen türev alma kuralları kullanılır. Örneğin, w = f (x,y,z) denklemi
ile tanımlanan üç değişkenli f fonksiyonunun üç tane birinci mertebeden kısmi türevi
f x ( x, y, z )  lim
f ( x  h, y, z )  f ( x, y, z )
h
f y ( x, y, z )  lim
f ( x, y  k , z )  f ( x, y , z )
k
f z ( x, y, z )  lim
f ( x, y , z  t )  f ( x, y , z )
t
h 0
k 0
t 0
dir. Bu durumda da daha önce olduğu gibi değişik gösterimler kullanılır:
wx 
w
w
w
 f x ( x, y , z ) , w y 
 f y ( x, y, z ) , wz 
 f z ( x, y, z ).
x
y
z
Örnek.
xyz
2 3
w = f (x,y,z) = e  xy z için
wx  e xyz yz  y 2 z 3
, wy  e xyz xz  2xyz3
, wz 
e xyz xy  3xy2 z 2 .
Yüksek mertebeden türevler de iki değişkenli durumda tanımlandığı gibi tanımlanır
ve benzer şekilde hesaplanır.
xyz
2 3
Örnek. w = f (x,y,z) = e  xy z
için
wxy  e xyz ( xz)( yz )  e xyz z  2 yz 3  e xyz xyz2  e xyz z  2 yz 3  e xyz ( xyz2  z )  2 yz 3 ,
wxyz  e xyz ( xy)( xyz2  z )  e xyz (2 xyz  1)  6 yz 2  e xyz ( x 2 y 2 z 2  3xyz  1)  6 yz 2
wxyx  e xyz ( yz )( xyz2  z )  e xyz yz 2  e xyz ( xy2 z 3  2 yz 2 )
wxyy  e xyz ( xz)( xyz2  z )  e xyz xz2  2 z 3  e xyz ( x 2 yz 3  2 xz2 )  2 z 3
wzz  e xyz ( xy) 2  6 xy2 z