Slide 1 - Ninova

Hatırlatma
Toplamsallık ve Çarpımsallık Özelliği
Teorem: (Toplamsallık)
Lineer direnç elemanları+Bağımsız kaynaklar
1. Grup bağımsız
kaynaklar
2. Grup bağımsız
kaynaklar
1. Grup bağımsız kaynaklar devrede, 2. grup bağımsız kaynaklar
devre dışı iken devre çözülsün
i1,v1
2. Grup bağımsız kaynaklar devrede, 1. grup bağımsız kaynaklar
devre dışı iken devre çözülsün
i2 ,v2
Devrede tüm bağımsız kaynaklar varken ki çözüm
Teorem: (Çarpımsallık)
iT  i1  i2 ,
vT  v1  v2
Lineer direnç elemanları+Bağımsız kaynaklar
i, v
var iken devre çözülsün
Lineer direnç elemanları+Bağımsız kaynakların
değeri k katına çıkarılsın ve devre çözülsün
~
i  ki
v~  kv
~~
i ,v
Thevenin (1883) ve Norton (1926) Teoremleri
Amaç: Lineer, zamanla değişmeyen çok uçlu, iki uçlu dirençlerden ve
bağımsız akım ve gerilim kaynaklarından oluşmuş bir N 1-kapılısının
basit bir eşdeğerini elde etmek.
Thevenin Eşdeğeri:
RTH
i
+
N
1-Kapılısı v
_

+
_
i
+
VTH
v
_
RTH
+
_
RTH
i
+
v
VTH
_
Thevenin eşdeğer direnci
Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı
iken 1-1’ uçlarından görülen eşdeğer direnç
VTH
Açık devre gerilimi
1-1’ uçları açık devre iken 1-1’ uçları arasındaki
gerilim
Thevenin Teorem: N 1-kapılısının uçlarına i değerinde bir akım kaynağı
bağlandığında tüm i değerleri için tek çözümü varsa ( tek v değeri
belirlenebiliyorsa) Thevenin eşdeğeri vardır.
Norton Eşdeğeri:
i
+
N
1-Kapılısı v
_
i

+
iN
GN
v
_
i
GN Norton eşdeğer iletkenliği
+
iN
GN
v
_
Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı
iken 1-1’ uçlarından görülen eşdeğer iletkenlik
iN Kısa devre akımı
1-1’ uçları kısa devre iken 1-1’ uçlarındaki akım
Norton Teorem: N 1-kapılısının uçlarına v değerinde bir gerilim kaynağı
bağlandığında tüm v değerleri için tek çözümü varsa ( tek i değeri
belirlenebiliyorsa) Norton eşdeğeri vardır.
• Thevenin Eşdeğeri: v(t )  RTH i(t )  vTH (t )
N kapılısı akım kontrollü değilse Thevenin eşdeğeri yok
• Norton Eşdeğeri:
i(t )  GN v(t )  iN (t )
N kapılısı gerilim kontrollü değilse Norton eşdeğeri yok
•
•
RTH  0, v  0
GN  0, i  0
vTH (t )
RTH  0, Norton eşdeğeri yok
RTH
i (t ) G  0, Thevenin eşdeğeri yok
vTH (t )   N
N
GN
iN (t )  
v (t )
v (t )
v (t )
vTH
iN
i (t )
iN
i (t )
i (t )
vTH
Sonuç:
• Lineer, zamanla değişmeyen direnç ve bağımsız kaynaklardan oluşmuş
N 1-kapılısı akım kontrollu ise bağlı bulunduğu devrenin çözümünü
etkilemiyecek şekilde Thevenin eşdeğeri ile ifade edilir.
•Lineer, zamanla değişmeyen direnç ve bağımsız kaynaklardan oluşmuş
N 1-kapılısı gerilim kontrollu ise bağlı bulunduğu devrenin çözümünü
etkilemiyecek şekilde Norton eşdeğeri ile ifade edilir.
Eleman Tanım Bağıntıları
f R (v, i, t )  0
v
i
fC (v, q, t )  0
q
i  q
v  
f m ( , q, t )  0
memristor
endüktans
Kapasite
direnç
f L ( , i, t )  0
Ø
Direnç Elemanı: v ve i arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman
Endüktans Elemanı: Ø ve i arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman
Kapasite Elemanı: v ve q arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman
Memristor Elemanı: Ø ve q arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman
2-uçlu Kapasite ve Endüktans Elemanları
Lineer ve Zamanla Değişmeyen
Kapasite
Endüktans
di (t )
dt
d (t )
di (t )
L
dt
dt
dv(t )
dt
dq (t )
dv(t )
C
dt
dt
i (t )  C
v(t )  L
Zamanla Değişmeyen
Lineer olmayan ve zamanla değişenleri ifade edebilmek için akı ( ) ve yük
(q ) kullanılır:
t
q(t ) ˆ  i ( )d

t
[C]
 (t ) ˆ  v( )d [Wb]

L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Kapasite
f C ( q, v )  0
yük kontrollü
v  vˆ( q )
gerilim kontrollü
q  qˆ (v)
qˆ (v ) türetilebilir bir
fonksiyon ise
dq
d (qˆ (v)) dv
ˆ i 
dt
dv dt
dv C (v) ˆ dqˆ (v)
i  C (v )
dv
dt
Endüktans
f L ( , i)  0
akı kontrollü
i  iˆ( )
akım kontrollü
  ˆ(i )
ˆ(i ) türetilebilir bir
fonksiyon ise
d
d (ˆ(i )) di
ˆ v 
dt
di dt
dˆ(i )
di
v  L(i )
L(i ) ˆ
di
dt
Kapasite
Lineer Zamanla Değişmeyen
Endüktans
Lineer Olmayan Zamanla Değişmeyen
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Kapasite
Lineer Zamanla Değişen
q(t )  C (t )v(t )
dv(t ) dC (t )
i (t )  C (t )

v(t )
dt
dt
q(t )  (2  sin t )v(t )
C (t )  2  sin t
Endüktans
 (t )  L(t )i(t )
v(t )  L(t )
di (t ) dL(t )

i (t )
dt
dt
 (t )  (2  sin t )i(t )
L(t )  2  sin t
di (t )
dv(t )
v
(
t
)

(
2

sin
t
)
 (cos t )i (t )
i (t )  (2  sin t )
 (cos t )v(t )
dt
dt
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Zamanla Değişmeyen Lineer Kapasite
ve
Endüktans Elemanlarının Özellikleri
Kapasite
Bellek Özelliği
t
1
v(t )   i ( )d
C 
v (t ) sadece i (t ) ‘ye değil, i ( ) ‘nun
     t aralığındaki tüm
geçmiş değerlerine de bağlı
     t0
t
v(t0 )
1
v(t )  v(t0 )   i ( )d , t  t0
Ct
0
Endüktans
t
1
i (t )   v( )d
L 
i (t ) sadece v (t ) ‘ye değil,v ( ) ‘nun
     t aralığındaki tüm
geçmiş değerlerine de bağlı
     t0
i (t0 )
t
1
i (t )  i (t0 )   v( )d , t  t0
Lt
0
v(t0 ) ilk koşul, geçmiş i ( ) ,     t v(t0 ) ilk koşul, geçmiş v ( ),      t
değerlerinin v (t ) ‘ye etkisini veriyor. değerlerinin i (t ) ‘ye etkisini veriyor.
Kapasite
Süreklilik Özelliği
iC (t ), [ta , tb ] aralığında sınırlı
değerler alıyorsa, kapasite
gerilimi vC (t ), (ta , tb )
aralığında sürekli bir fonksiyondur.
ta  T  tb
vC (T  )  vC (T  )
Endüktans
vL (t ), [ta , tb ] aralığında sınırlı
değerler alıyorsa, kapasite
gerilimi iL (t ) , (ta , tb )
aralığında sürekli bir fonksiyondur.
ta  T  tb
iL (T  )  iL (T  )
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Kayıpsızlık Özelliği
Tanım: (Enerji)
[t1, t2 ] aralığında bir elemana aktarılan toplam enerji w(t1, t2 ) [Joules] ‘dur.
t2
w(t1, t2 ) 
ˆ  v(t )i (t )dt
t1
Kapasite
Yük kontrollü kapasite elemanına
ilişkin enerji kapasite gerilimi veya
yük fonksiyonundan bağımsızdır. t1
ve t 2 anlarındaki yük değerleri ile
belirlenir.
t2
dq
wC (t1, t2 )   v(q)
dt
dt
t
1
wC (q1, q2 ) 
q2
 v(q)dq
Endüktans
Akı kontrollü endüktans elemanına
ilişkin enerji endüktans akımı veya
akı fonksiyonundan bağımsızdır. t1
ve t 2 anlarındaki akı değerleri ile
belirlenir.
t2
d
wL (t1, t2 )   i ( )
dt
dt
t
1
wL (1, 2 ) 
vC ( q ) 
q
C
 i( )d
1
q1
Örnek:
2
iL ( ) 

L
sonuç
Kapasite
Periyodik bir fonksiyon ile
uyarıldığında, yük kontrollü
kapasiteye ilişkin enerji bir
peryod boyunca sıfırdır
1
1
2
WC (Q ) 
Q  CV 2
2C
2
Bir kapasiteden alınabilecek
maksimum enerji miktarı
Endüktans
Periyodik bir fonksiyon ile
uyarıldığında, yük kontrollü
kapasiteye ilişkin enerji bir
peryod boyunca sıfırdır
1 2 1
WL ( ) 
  LI 2
2L
2
Bir endüktanstan alınabilecek
maksimum enerji miktarı
1. Mertebeden Lineer Devreler
RTH iC  vC  vTH E.T.B+KGY
dvC
iC  C
 CvC
dt
vC
vTH

vC  

RTH C RTH C
E.T.B+KAY GN vL  iL  iN
diL
 LiL
dt
i
i
iL   L  N
GN L GN L
vL  L
Durum Denklemleri, Kalman (1960)
x  ax  bu,
x(0)  x0
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
1. Mertebeden Diferansiyel Denklem Çözümü
x  ax
dx
 ax
dt
x(0)  x0
x (t )

C
t
dx
  adt
x
0
Inx (t )  InC  at
x(t )
In
 at
C
x(t )  Ceat
t
x (0)  Cea 0
x(t )  eat x0
x  ax  u
x(0)  x0
varsayım: x(t )  S (t )e at
d
( S (t )e at )  a ( S (t )e at )  u(t)
dt
dS(t) at
at
aS (t )e 
e  aS (t )e at  u(t)
dt
t