ÇOKGENSEL BÖLGELERİN ALANI ÖRNEK: Çevresi 12 cm. olan bir üçgensel bölgenin alanı en çok kaç cm2 olabilir? UYARI:Çevreleri sabit üçgensel bölgelerden alanı en büyük olan, eşkenar üçgendir. a=4 , a2 3 4 3 cm2 A(ABC)= 4 ÖRNEK: Kenar uzunlukları tamsayı ve çevresi 8 br. olan üçgensel bölgenin alanı kaç br2. dir? ÇÖZÜM: Kenar uzunlukları: a=b=3 , c=2 olmalıdır. A(ABC)= u(u a)(u b)(u c) 4.1.1.2 2 2 1 1 1 A( ABC ) b.c. sin A a.c. sin B a.b. sin C 2 2 2 A( ABC ) u u a u b u c a.b.c = u.r 4.R A ABC AB AC A ADE AD AE - 72 - Bir üçgende her kenarortay, üçgeni alanları eşit iki bölgeye ayırır. Bir üçgende üç kenarortay, üçgeni alanları eşit altı bölgeye ayırır. Bir üçgende üç orta taban, üçgeni alanları eşit dört bölgeye ayırır. Üçgenin iç bölgesindeki her hangi bir P noktasından kenarlara paraleller çizildiğinde: A ABC Yükseklikleri eşit üçgensel bölgelerin alanlarının oranı, tabanlarının oranına eşittir. S1 S 2 S 3 2 dir. Tabanları aynı üçgensel bölgelerin alanları oranı, yüksekliklerinin oranına eşittir. Benzer üçgensel bölgelerin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. ÖRNEK: ÇÖZÜM: |BC|=|CD| , |DA|=|AE| , |EB|=|BF| , Herhangi bir P [AC] için : BD DC ve AK // PD alınırsa A(DEF)=8.S 1 A ABKP APKC A ABC dir. 2 - 73 - A(ABC)=A(ACD)=S A(BDA)=A(BAE)=2.S A(DEB)=A(DBF)=4.S ÖRNEK: ÖRNEK: Alanı sayıca çevresine eşit olan üçgenin içteğet çemberinin yarıçapı kaç birimdir? ÇÖZÜM: Pisagor teo. ÇÖZÜM: A(ABC)=u.r , Ç(ABC)=2u u.r=2.u , r=2 |BC|2=62+82 |BC|=10 b.c 8.6 24 2 2 A(ABC)= A(ABC)=u.r=12.r=24 r=u-a=12-10=2 A(BIC)= , ÖRNEK: , r=2 veya Kenar uzunlukları 11, 13 ve 20 birim olan üçgensel bölgenin alanı kaç birim karedir? a.r 10.2 10 2 2 ÇÖZÜM: 2.YOL: A( ABC ) u(u a)(u b)(u c) 22.11.9.2 A( BIC ) A(CIA) A( AIB) A( ABC ) a b c 2u A( BIC ) 24 , A(BIC)=10 10 24 =66 br2 ÖRNEK: r yarıçaplı bir çemberin dışına, kenarları bu çembere teğet olan bir üçgen çiziliyor. Üçgenin çevresi Ç cm. ve alanı ÖRNEK: A cm2 ise Çevresi 4 cm. olan bir ikizkenar dik üçgenin alanı kaç cm2 dir? ÇÖZÜM: Ç=2u Ç oranı kaçtır? A ve A=u.r olduğundan; Ç 2u 2 A u.r r ÇÖZÜM: a=c=x dersek, (Pisagor teo.) ÖRNEK: b=x 2 olur. x+x+x 2 =x(2+ 2 )=4 4 2(2 2 ) 2 2 x.x [2(2 2 )] 2 4(3 2 2 ) A(ABC)= 2 2 x= ÇÖZÜM: PDB PKA ve TEC TFA A(ABC)=A(KDEF)=6.10=60 - 74 - (AKA) ÖRNEK: ÖRNEK: ÇÖZÜM: ABD ve ABC de Pisagor teo. 152=122+|BD|2 , |BD|=9 2 2 2 20 =12 +|BC| , |BC|=16 |DC|=|BC|-|BD|=16-9=7 ÇÖZÜM: PBE FBA ve PBD FBC benzerliklerinden; A(ADC)= PE FA 1 1 |DC|.|AB|= 7.12=42 2 2 BP BF PD FC 1 2 (KAK) olur. |PD|=2.|PE| ve A(BPD)=2 A(DCFP)=3.A(BPD)=3.2=6 ÖRNEK: ÖRNEK: ÇÖZÜM: [BP] çizildiğinde; |AE|=|EB| olduğundan A(PAE)=A(PEB)=12 |BD|=|DC| olduğundan A(PBD)=A(PDC)=8 A(PEBD)=S=A(PEB)+A(PBD)=12+8=20 , ÇÖZÜM: BEC, 30,60,90 dik üçgeni. |BC|=2.|EC| ACD, 30,60,90 dik üçgeni. |AC|=2.|DC| , 1 |BC|.|AC|.sin 60o= 2 1 = .2.|EC|.2.|DC|.sin 60o= 2 A(ABC)= =2.|EC|.|DC|.sin 60o A(DEC)= 1 |EC|.|DC|.sin 60o=24 2 A(ABC)=4.A(DEC)=4.24=96 S=2. S1 .S 2 - 75 - ÖRNEK: ÖRNEK: ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: BED DFC (AA) |DC|=3.|BD| olduğundan; A(DFC)=9.A(BED)=9.S |AE|=|DF|=3.|BE| olduğundan; A(DAE)=3.A(DEB) A(DEAF)=2.A(DAE)=6.S A(ABC)=A(BED)+A(DEAF)+A(DFC) =S+6.S+9.S=16.S 1 |BC|.|AE|=4 br2 2 1 A(DBC)= |BC|.|AF|=6 br2 2 1 A(EBC)= |BC|.|EH|=2 br2 2 A(ABC)= A(ABE)+A(ECD)=A(ABC)+A(ABC)2.A(EBC) = 6 br2 A( DEAF ) 6.S 3 A( ABC ) 16.S 8 ÖRNEK: Sabit bir MON açısı ve içinde sabit bir P noktası veriliyor. PMON paralelkenarının alanı 12 cm2 iken P den geçen değişken doğrular ve açının kenarlarının oluşturduğu üçgensel bölgelerden alanı en küçük olan kaç cm2 dir? ÇÖZÜM: ÖRNEK: ÇÖZÜM: ABP, ACK, ADL, AET üçgenlerinin benzerliği (KAK) ve benzerlik oranlarından; A(ABP)=S dersek, A(BCKP)=3.S , A(CDLK)=5.S ve A(DETL)=7.S olur. A(AET)=S+3S+5S+7S=16S=80 S=5 A(CDLK)=5S=5.5=25 cm2 A(NPK)=S1 , A(MTP)=S2 A(PMON)=S dersek; ve S=2. S1 .S 2 =12 olduğundan, S1+S2 toplamının en küçük olması için S1=S2 olmalıdır. Bu durumda; S=2.S1=2.S2 olacağından A(TOK)=24 cm2 UYARI: S1=S2 olması için, |TP|=|PK| olmalıdır. TK//MN çizildiğinde, P orta nokta olur. - 76 - ÖRNEK: ÇÖZÜM: ABD CAD AB r 3 1 CA r2 4 ÖRNEK: (AA) ; 2 , S1 r1 9 S 2 r2 16 ÇÖZÜM: [BF] çizilirse: A(AFE)=10.S A(EFB)=6.S A(BFD)=8.Ü A(DFC)=10.Ü A(ABD)=10.S+6.S+8.Ü=16.S+8.Ü=8.X A(ADC)=10.X=20.S+10.Ü A(AFC)=20.S ÖRNEK: A(AEC)=10.S+20.S=30.S= ÇÖZÜM: ADF ABT ve AFE ATC benzerliklerinden; AF DF S=3 1 2 (AA) A(EBDF)=A(ABD)-A(AEF)= 16.8 -30 =64-30=34 FE 1 AT BT TC 2 |DF|=2.|FE| , A(ADF)=2 , A(DBTF)=6 ÖRNEK: ÖRNEK: S1.S2 nin en büyük değeri kaçtır? ÇÖZÜM: S1+S2= 1 10.18=90 2 a 2 3 42 3 4 3 4 4 ÇÖZÜM: 4.A(ABC)=9.A(DEPK)=9.4 A(ABC)=9 Toplamları sabit iki sayının çarpımlarının en büyük olması için eşit olmaları gerekir. S1=S2= 2 3 S1.S2=12 - 77 - ÖRNEK: ÖRNEK: ÇÖZÜM: |AG|=2.|GH| ve |GH|=|GF| ÇÖZÜM: APL, LKC eş ikizkenar dik üçgenler. |AB|=2.|PB| A(BKLP)=441=212 için |BK|=21 |FH|= 2 |AH|, 3 |TP|= 1 |BC| 3 |AC|=|DF|=42 2 DTM, NSF ikizkenar dik üçgen. ATP ABC |FH|=|TP| olduğundan, |AH|= |DT|=|TS|=|SF|=14 2 A(MNST)=|TS|2=392 BC 2 çıkar ki; ABC ikizkenar dik üçgendir. BC 1 A(ABC)= |BC|.|AH|= 2 4 2 2 ÖRNEK: 18 BC BC 4.18 A(DEPT)=|DE| = 3 = 9 9 8 2 2 UYARI: 4.A(ABC)=9.A(DEPT) ÖRNEK: ÇÖZÜM: ARS, PQC ikizkenar |AR|=|RQ|=|QC| |AC|= 6 2 , ÇÖZÜM: CDF CBE (AKA) |CF|=|CE| , FCE ikizkenar dik üçgen. dik A(FCE)= üçgen. 1 |FC|2=200 2 ve |FC|=20 A(ABCD)=|DC|2=256 ve |DC|=16 FDC dik üçgeninde Pisagor teo. 202=|DF|2+162 , |DF|=|BE|=12 |RQ|=2 2 A(PQRS)=(2 2 ) =8 2 - 78 - ÖRNEK: ÖRNEK: ÇÖZÜM: [DE] çizildiğinde; ÇÖZÜM: FBC üçgeninde, Menelaüs teo. A(CBP ) BP A( DBP ) A(CPE) PE A( DPE ) olduğundan; A( DAE ) AE A( BAE ) olduğundan; A( DEC ) EC A( BEC ) A( DAE ) A( DAE ) 4 ve 3 8 =A(ABC)- S=1+12/5=17/5 PT 1 3 6 1 A(ABC)= A(ABC) 7 7 ÖRNEK: ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: DAF, CBE ikizkenar dik üçgenler. |AD|=|DF|=|EB|=|BC|=2k , |EF|=k ait A(PQR)=A(ABC)-3.A(APC) ÖRNEK: PK kesenine CP 1 1 CP . . 1 ve 6 3 2 PF PF 6 A(APC)= .A(AFC) 7 1 1 |AF|= .|AB| ve A(AFC)= .A(ABC) 3 3 2 A(APC)= .A(ABC)=A(BQA)=A(CRB) 7 A(DPE)=1 br2 dir. A(DAE)=12/5 , AD , A( ABCD ) 4 A( ABCD ) A(CFE)= 8 5. A( ABCD) 3. A( ABCD) A(AFE)=A(ABCD)8 8 A(ADF)=A(ABE)= |PK|=k/2 1 1 k k2 EF . PK .k . 2 2 2 4 2 k A( PEF ) 1 42 A( ABCD ) 6k 24 A(PEF)= =3 A(ABCD)=8 - 79 - ÖRNEK: ÖRNEK: (Kenar uzunlukları tamsayı) ÇÖZÜM: 202=x2+(y+z)2=x2+y2+z2+2yz 152=x2+z2 ve y2+2yz=175 , y(y+2z)=175 y=7 , z=9 ve x=12 olmalıdır. ÇÖZÜM: EF//AB çizildiğinde; A(ABCDE)=A(BCDE)+A(ABE)= 24.7+ [EF] orta taban olup, |EF|=1/2 EF 1 .24.9 = 276 2 ÖRNEK: EM 1 DC MC 4 A(DMC)=4.A(DME) A(DEC)=1 A(DMC)=4/5=A(CLB)=A(AKB)=A(DPA) A(PKLM)=S=4-4.4/5=4/5 UYARI: S= A( ABCD ) 5 ÖRNEK: ÇÖZÜM: DEF DAC (AA) benzerliğinden; 2 2 EF EF 2S 2 3S (12 2 ) 2 AC ÇÖZÜM: S2=S3 olduğundan, |CE|=2.|AE| |AC|=12 2 ve |EF|=8 3 S1=2.S2 dir. |AE|=4 2 olur. - 80 - , ÖRNEK: ÖRNEK: ÇÖZÜM: [AC] çizildiğinde; A(AGC)= A( ADC ) 2 ve A(CAE)= A(CAB) 2 A(AGC)+A(CAE)=A(GAEC) =51+38+A(PQRS) A( ADC ) A(CAB) 1 A(ABCD)=150 2 2 2 89+A(PQRS)=150 ÇÖZÜM: OA OC OD OF 1 olduğundan, 3 A(PQRS)=61 ÖRNEK: AD//CF ve ADFC bir yamuktur. |AB|=|BC| ve |DE|=|EF| olduğundan, A(AEC)=A(DBF)= , A( ADFC ) 2 ÖRNEK: Köşegenleri dik kesişen bir dörtgende köşegenlerin uzunlukları toplamı 12 br. ise bu dörtgenin alanı en çok kaç birim kare olabilir? ÇÖZÜM: Köşegenleri dik kesişen dörtgenin alanı; köşegen uzunlukları çarpımının yarısına eşittir. Toplamları 12 olan köşegenlerin çarpımlarının en büyük olması için 6 şar birim olması gerekir. A(ABCD)= ÇÖZÜM: |AB|=4 , |AC|=3 olduğundan ABC dik üçgendir. , |BC|=5 , 32+42=52 1 2 A(ABC)= 3.4 6 sin x=sin(180-x) olduğundan, A(EAF)=A(DBT)=A(GCH)=A(ABC)=6 A(DEFGHT)=4.6+16+9+25=74 br2 e. f 6.6 18 br2 2 2 - 81 - ÖRNEK: ÖRNEK: ÇÖZÜM: FR//BC çizildiğinde; ÇÖZÜM: A(ABC)= 9.4.3.2 6 6 A(TAS)=A(PBU)=A(CQR)=A(ABC)=6 6 A(ABUT)=25 , A(BCQP)=49 , A(ACRS)=36 A(PQRSTU)=4. 6 6 +25+49+36 =110+ 24 6 ÖRNEK: Benzerliklerden: RF BE FP PB TF BC FK KB 1 2 3 bulunur ki ; 2 |BP|=6x , |PK|=4x , |KF|=5x olur. ÇÖZÜM: ADE üçgeninde Pisagor teo. 42+|DE|2=25 , |DE|=3 |BD|=p , |BE|=p+3 , |DC|=k , |EC|=k-3 n A b.c BE . CE 2 , 25=b.c-(p+3)(k-3) h2=p.k , 16=p.k ve a.h=b.c , (p+k).4=b.c alınırsa; k=32-7p ve 16=p(32-7p) denkleminden P= 4 7 bulunur. yerlerine A(CKF)= A( BCF ) A( ABCD ) 3 12 A(BPE)= A( BCF ) A( ABCD ) 5 20 A(PECK)= A( ABCD ) A( ABCD ) A( ABCD ) 4 12 20 yazıldığında: = A(ABC)=400/7 - 82 - 7. A( ABCD ) 60 , ÖRNEK: ÖRNEK: ÇÖZÜM: FD ye, AP , ET , CS ve BK dikmeleri çizildiğinde; ÇÖZÜM: A(CDE)+A(BAE)=A(FAD) A(EKFP)=A(AKB)+A(DPC)=16+25=4 A(DEF)=2.A(BDF) olduğundan, |ET|=2.|BK|=2x |BD|=|DC| olduğundan, CE EA AP ET CS AP ET , A( DEF ) AF BD CE FB DC EA A( ABC ) AB . BC . CA |BK|=|CS|=x 2x x 3 , AP 2 x 7x 3 APF BKF (AA) benzerliğinden; AF FB AP BK 7 3 A ABC AB AC APDE AP DE - 83 - ÖRNEK: A(ABCD)=425 br2 ise A(PQRT)=? , A(KLMN)=? P, ABC üçgeni içinde herhangi bir nokta. PD BC , PE AC , PF AB |PD|=|BC| , |PE|=|AC| , |PF|=|AB| ise A(DEF)=3.A(ABC) dir. ÇÖZÜM: A( PQRT ) 9 9 A( PQRT ) .425 225 A( ABCD) 17 17 A( KLMN ) 1 1 A( KLMN ) .425 17 A( ABCD) 25 25 ALIŞTIRMA: A( DEF ) A( PQR) r.s.t . A( ABC ) r 1s 1t 1 r.s.t 12 . A( ABC ) r.s r 1s.t s 1t.r t 1 O noktası çevrelçember merkezi, H noktası diklik merkezi, |BD|=|DC| |OD|=|DE| A(AODH)=9 ise |OD|=? Y: 6 - 84 - ÇOKGENLER Ard arda üçü doğrusal olmayan A1,A2,A3,…,An noktaları için bu noktaları uç kabul eden doğru parçalarının birleşimine denir. ÖRNEK: Bir iç açısının ölçüsü 144o olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır? ÇÖZÜM: 180 , 144 180 , 36 n [A1A2] [A2A3] … [AnA1]=A1A2…An Bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünün üç katı olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır? ÇÖZÜM: 3 , 4 180 , n n>4 olmak üzere n köşeli bir yıldızıl çokgenin köşelerindeki iç açıların ölçüleri toplamı (n-4)180o dir. 360 360 8 kenarlı. 45 ÇÖZÜM: (n 2)180 360 , 2n m.n 2m n m 2n 4 m 2 eşitliği , n2 n2 ÇÖZÜM: n n m için, n kenarlı düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, m kenarlı düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsüne eşit ise n+m=? Bir dış açısının ölçüsü 40o olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır? , 360 180 , 45 ÖRNEK: ÖRNEK: 360 n 360 10 36 ÖRNEK: n kenarlı konveks bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı; (n-2)180o, dış açılarının ölçüleri toplamı; 360o dir. 360 360 9 40 n=6 ve m=3 doğal sayıları için gerçeklenir. Düzgün altıgenin bir iç açısının ölçüsü, eşkenar üçgenin bir dış açısının ölçüsüne eşittir. - 85 - ÖRNEK: ÖRNEK: Üç iç açısı geniş açı olan dışbükey çokgen en çok kaç kenarlıdır? Bir dörtgenin çizilebilmesi için ; kaç tane elemanı verilmelidir? ÇÖZÜM: (n-2).1800 < (n-3).900+3.1800 n < 7 olmalıdır. En çok 6 kenarlı olabilir. ÇÖZÜM: 2n-3=2.4-3=5 tane bağımsız elemanı verilmelidir. En az n-2=4-2=2 tanesi uzunluk, En çok n-1=4-1=3 tanesi açı olabilir. n kenarlı konveks bir çokgenin ; bir köşesinden geçen n-3 tane köşegeni vardır. Tüm köşegenlerinin sayısı n(n-3)/2 dir. ÖRNEK; Köşegen sayısı, kenar sayısının iki katı olan çokgen kaç kenarlıdır. ÇÖZÜM: n(n 3) 2.n , n2-7n=0 2 , n(n-7)=0 ÖRNEK: n=7 kenarlı. n kenarlı konveks bir çokgenin çizilebilmesi için: 2n-3 tane bağımsız eleman gereklidir. Bunlardan en az n-2 tanesi uzunluk, en çok n-1 tanesi açı olmalıdır. |AP|=|CF| , |BP|=|DE| , A(PEF)=24 br2 ise A(ABCD)=? ÖRNEK: Bir üçgenin çizilebilmesi için ; kaç tane elemanı verilmelidir? ÇÖZÜM: Verilenlerden ; |PE|=|BD| ve |PF|=|AC| ÇÖZÜM: 2n-3=2.3-3=3 tane bağımsız elemanı verilmelidir. En az n-2=3-2=1 tanesi uzunluk, En çok n-1=3-1=2 tanesi açı olabilir. A(ABCD)= A(EPF)= 1 AC BD sin 2 1 PE PF sin =24 br2 2 A(ABCD)=A(EPF)=24 br2 - 86 - P, K köşegenlerin orta noktaları, e, f köşegenlerin uzunlukları a2+b2+c2+d2=e2+f2+4x2 (Euler teo.) ÖRNEK: - 87 - ÖRNEK: PARALELKENAR: Köşegen uzunlukları 10 cm. ve 24 cm., bir kenarının uzunluğu 13 cm. olan paralelkenarın çevresi kaç cm.dir? ÇÖZÜM: 102+242=2(132+x2) Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir. , x=13 , 4x=52 2. YOL: ABC üçgeninde kenarortay teo: 2.52=132+x2- AB // CD ve BC // AD ise ABCD // dır. k 24 2 2 , x=13 , 4x=52 ABCD paralelkenarında: AB CD ve BC AD Karşılıklı kenarlar eştir. mA=mC ve mB=mD Karşılıklı açılar eştir. Komşu açılar bütünler , P,Q,R,S kenarların orta noktaları ise; AO OC ve BO OD dir. PQRS paralelkenardır. Köşegenler birbirini ortalar. ÇPQRS AC BD APQRS Karşılıklı iki kenarı paralel ve eş olan dörtgen, Karşılıklı kenarları eş olan dörtgen, Karşılıklı açıları eş olan dörtgen, Köşegenleri birbirini ortalayan dörtgen Bir paralelkenardır. A ABCD 2 A( SDR ) A( PBQ ) A( PAS ) A( RCQ ) E ve F kenarların orta noktaları ise: DP PQ QB dir. - 88 - ÖRNEK: AE EF EK 2 , EF EK ED EB Y.G: DAE , CEB ikizkenar üçgen. 2 |DA|=|DE|=x , |DC|=2x=12 , 2 |CE|=|CB|=x x=6 ÖRNEK: Y.G: ABC PAF (KAK) |FP|=|AC|=12 AA' CC ' BB ' DD ' ÖRNEK: ÖRNEK: ÇÖZÜM: DEC ve DAE benzer.(AA) x 6 6 5 x , (x-4)(x+9)=0 , Y.G: CBF , AEB , DEF ikizkenar üçgen. |AE|=6 , |CF|=4 , |DE|=10 - 89 - ikizkenar üçgenleri x2+5x-36=0 x=4 DİKDÖRTGEN: ÖRNEK: Bir açısı dik açı olan paralelkenara dikdörtgen denir. ÇÖZÜM: Küçük dikdörtgenin boyutlarına x ve y dersek, 4x=3y ve 7.x.y=756 , olmaktadır. Tüm açılarının ölçüleri 90o dir. Köşegen uzunlukları eşittir. e2=f2=a2+b2 x=9 ve y=12 Çevre=114 cm. ÖRNEK: !!! Dışındaki geçerlidir. bir P noktası içinde ÖRNEK: ÇÖZÜM: Benzerlikten ÇÖZÜM: |AK|=|BK|=|CK|=|DK| |PB|=|BK|=|KP| eşitliklerinden; |AK|=|KP| AKP ikizkenar üçgen. 0 mAKP=70 , x=550 x2-x-1=0 x= - 90 - 1 5 2 x.y=108 1 x x 1 1 ve ÖRNEK: ÖRNEK: Ç(ABP)=Ç(APC)=Ç(BPC) ise |BP|=? ÇÖZÜM: ABPC dikdörtgen olmalıdır. |BP|=8 dir. ÇÖZÜM: E den, AD ye AP dikmesini çiz. ÖRNEK: |AB|= 2 |AD| APE dik üçgeninde pisagor teo. 22+62=x2 , x=2 10 ÇÖZÜM: AFE CFD ÖRNEK: AE DC AF FC ise (A.A) EF FD AC 3 AD AF . AC AD DF AC dir. UYARI: |PQ|.|AB|=|RS|.|AD| 12.14=|RS|.8 , |RS|=21 - 91 - x=? , 2 1 2 AF 3 AD 3 eşitliği sağlandığından x=90o KARE: ÖRNEK: ÇÖZÜM: AOE ikizkenar. mA =450 , x+y=900 , Komşu iki kenarının uzunlukları eşit olan dikdörtgene kare denir. y=67,5 x=22,5 ÖRNEK: Köşegenler dik olarak kesişirler ve kenarlarla 45o lik açı yaparlar. e2 A ABCD a 2 Y.G: AEP AED ea 2 2 (KKK) mEAP= mEAD =22,5 , x=450 ÖRNEK: ÖRNEK: ÇÖZÜM: PEB üçgeninde; Y.G: EBC , EAD ikizkenar üçgen. 0 mB =45 , 0 0 mCEB =mDEA =750 0 x=45 +80 =125 - 92 - , x=1500 ÖRNEK: ÖRNEK: ÇÖZÜM: mCDE =mCED =67,5 CDE ikizkenar üçgen. |CD|=|CE|=12 ÇÖZÜM: ABC CPD (AKA) |BC|=|DP|=4=|FB| |AB|=|PC|=9 |DF|=13 ÖRNEK: ÖRNEK: Y.G: DCE FBE FAD (AA) ÇÖZÜM: mOPE =mOEP =67,5 , OPE ikizkenar. |OP|=|OE| [OP] , ACF de orta taban. |OP|=12 ÖRNEK: ÖRNEK: ÇÖZÜM: CDF DAE (KAK) DPF DAE (AA) , Kare şeklindeki bir bahçenin çevresi, yine kare şeklindeki başka bir bahçenin çevresinden 12 m. fazla, alanı ise 105 m2. fazladır. Büyük karenin bir kenarının uzunluğu kaç metredir? mCPE =90o 2 a DF A( DPF ) 3 1 A( DAE ) DE 10 10a 3 2 a a2 A(DAE)= , A(DPF)= 6 60 2 ÇÖZÜM: 4.a=4.b+12 , a-b=3 ; (a-b)(a+b)=105 3(a+b)=105 , a+b=35 a=19 , b=1 - 93 - a2=b2+105 ÖRNEK: ÖRNEK: Üç eş kareden oluşan dikdörtgende; ÇÖZÜM: BP CE çizilirse; ÇÖZÜM: Karenin köşegenleri çizildiğinde; BP ED PE AD 1 2 mP =mD =90o olduğundan EBP ADE (KAK) dir. Öyleyse n=m olur. x=90-m , y=45+n , x+y+z=180o z=45 ; AOB BFE (A.K.A) , mOBF =60o , OBF eşkenar üçgen. AOF ikizkenar üçgen. mAOF =150o mOAF =15o x=450-150=300 ÖRNEK: ÖRNEK: |AP|=|AD|=|DQ|=|PQ| Q, C, E doğrusal. x=? ÇÖZÜM: DAP ikizkenar. mAPD =mADP =67,5 DAP DQP (KKK) , mQDP =67,5 , mQDC =45 |QD|=|DC|, QDC ikizkenar. mDQC =67,5 DEQ ikizkenar. mDEQ =45o ÇÖZÜM: ACH ikizkenar. mAHC =750 ACP ikizkenar. mCPA =150 - 94 - , , y=300 x=300 ÖRNEK: ÖRNEK: ÇÖZÜM: CD üzerinde, |DP|=4 alınırsa; ÇÖZÜM: CBE ABG (KAK) , mGAB +mBEC =x=90o PDA EBA (KAK) , |PA|=|AE| mPFA =mFAP =90- olur ki , ÖRNEK: PFA ikizkenar. |PF|=|PA|=|AE|=10 ÖRNEK: ÇÖZÜM: APB BTC CQD (AKA) |BT|=7 , |PT|=x=3 , |CT|=4 , |CQ|=7 , |QT|=3 ÇÖZÜM: |AE|= 2a , |DE|= 3a , QTP ikizkenar dik üçgen. DAE de Öklit teo: |EF|= mAPQ =45o - 95 - 2a 3 , EF ED 2 3 EŞKENAR DÖRTGEN: ÖRNEK: Komşu iki kenar uzunluğu eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. Köşegenleri birbirini dik ortalar. Köşegenleri açıortaydır. olarak ÇÖZÜM: EDC , EKD ikizkenar üçgen. mAKC =900 CAK , 22,5 , 67,5 , 90 dik üçgeninde; |CK|=1 , ÖRNEK: ÇÖZÜM: mCAF =180 |AK|=x dersek, x= 2 1 ÖRNEK: , mACB =360 , x=540 ÖRNEK: ÇÖZÜM: AOB dik üçgeninde; |AO|=12 , |OB|=6 , |AB|= 6 5 6 5 .|OH|=6.12 , |OH|= 12 5 2 12 144 5 5 dairenin alanı= .r 2 Y.G: EDC ve EKD ikizkenar üçgen. o Y:135 - 96 - YAMUK: AB//CD S Yalnız iki kenarı birbirine paralel olan dörtgene yamuk denir. p.q a.h ac BF FC ise : [EF] Orta taban , EF // AB // CD ac 2 KL EK LF PQ EF .h AB // PQ // CD AE ED , EF 2 rs x O PQ , a c h c 2 [EF] orta taban ise; A(APKD)=A(PBCK) ac 2 EL KF a 2 2a.c ac e2+f2=b2+d2+2a.c (Euler teo.) S1 x 2 c 2 S2 a2 x2 - 97 - S p q y c.h ac 2 ÖRNEK: ÖRNEK: Y.G: BEC dik üçgen, Hipotenüse ait kenarortayı, orta taban ÖRNEK: ÇÖZÜM: |DE|=x , |CF|=y dersek; Ç(EFCD)=|EF|+y+3+x , Ç(ABFE)=9+6-y+|EF|+4-x Ç(EFCD)=Ç(ABFE) eşitliğinden x+y=8 bulunur. ABCD yamuk, |CD|=6, |DK|=20, |DE|=5, |AB|=9 ise |AK|=?, |DF|=? ÇÖZÜM: DEC KEA 6 5 AK 15 DFC KFB DC (A.A) AK |AK|=18 DE EK |BK|=9 DC (A.A) DF 6 9 20 DF x 4 , 3x=2y olduğundan y 6 16 x=|DE|= 5 DE 16 4 4 bulunur. |EA|=4ve 5 5 EA BK DF FK ÖRNEK: |DF|=8 ÖRNEK: ÇÖZÜM: CE//DB çizilirse; ÇÖZÜM: DPC BPE (A.A) |DC|=|AE| , A(DAB)=50 , DC EB DP PB 3 2 ACE dik üçgeninde: |AE|=a+c=10 orta taban = 5 5|DC|=3|AB| A(ABCD)=30+50=80 - 98 - ÖRNEK: İKİZKENAR YAMUK: Paralel olmayan kenarları eşit uzunlukta olan yamuğa ikizkenar yamuk denir. ÇÖZÜM: DEB dik üçgeninde; |EB|=12 DEA BFC (KKK) eşliğinden A(DEBF)=A(ABCD) Tabana komşu açılar eştir. e2=f2=a.c+b2 Köşegenleri yamukta : ac h 2 , A(ABCD)=9.12=108 dik S h 2 olan ikizkenar ÖRNEK: dir. ÖRNEK: ÇÖZÜM: AB ye, ED ve CF dikmeleri inildiğinde; |AE|=|FB|=8 olur. Çemberde teğet özelliğinden , |AD|=|BC|=17 dir. AED dik üçgeninde , |DE|=15=2r , ÇÖZÜM: AH BD çizilirse ; |BH|=5 r=15/2 ABD dik üçgeninde Öklit teo. x2=5.20=100 , x=10 - 99 - DİK YAMUK: ÖRNEK: Paralel olmayan kenarlarından biri tabana dik olan yamuğa dik yamuk denir. ÇÖZÜM: A(AED)=A(BEC)=12 , 2 8.A(EDC)=12 AEDC)=18 A(ABCD)=8+2.12+18=50 Köşegenleri dik olan dik yamukta: h2=a.c dir. ÖRNEK: ÖRNEK: ÇÖZÜM: h2=a.c den; ÇÖZÜM: DAB dik üçgeninde Öklit teo. |AE|2=8.2 , |AE|=4 B’den DC ye dikme inilirse; 62+52=|BC|2 ADC dik üçgeninde Öklit teo. 82=4.|EC| , |EC|=16 BEC dik üçgeninde, |BC|2=22+162 , 62=|DC|.4 , |BC|= 2 65 - 100 - , |BC|= 61 |DC|=9 DÜZGÜN BEŞGEN: DÜZGÜN ALTIGEN: 3a 2 3 2 S 5 2 R 10 2 5 10a 2 25 5 8 Ra , a 1 R 10 2 5 2 !!! Altı tane eşkenar üçgenden oluşan şekil bir düzgün altıgendir. , r 1 R 62 5 4 r a 3 2 , S ÖRNEK: ÖRNEK: Karşılıklı kenarları paralel ve eşit olan altıgen veriliyor. Köşeleri altıgenin köşeleri ve alanı altıgenin alanının yarısı olan üçgen hangisidir? Y.G: AEF ikizkenar üçgen. Y.G: Bir P noktası alınarak oluşturulacak PDEF, PDCB ve PBAF paralelkenarlarının [DF], [FB] ve [BD] köşegenleri kullanılır. Y:FDB ÖRNEK: ÖRNEK: Kenar uzunlukları 10 br. olan düzgün onikigenle, düzgün altıgenin alanları farkı kaç birimkaredir? Y.G: Onikigen=600+300 3 Altıgen=150 3 Y.G: DCB ikizkenar üçgen. Y:600+150 3 - 101 - ÖRNEK: ÖRNEK: Çevreleri eşit bir eşkenar üçgen ve düzgün altıgenden, üçgensel bölgenin alanı 2 br2 iken çokgensel bölgenin alanı kaç br2 dir? ÇÖZÜM: Eşkenar üçgenin bir kenarı x ise, Altıgenin bir kenarı x/2 dir. [PR], 21 kenarlı düzgün çokgenin [PQ], 28 kenarlı düzgün çokgenin bir kenarı iken, [QR] kaç kenarlı düzgün çokgenin bir kenarıdır? x2 3 2 br2 ise 4 2 x 3 2 3 br2 dir. 6. 4 ÇÖZÜM: 2 2 2 21 28 12 , 12 kenarlı veya; 2 2 2 21 28 84 - 102 - 84 kenarlı ÖRNEK: ÖRNEK: ABCD kare. A(ABCD)=25 cm2. DEFC eşkenardörtgen. A(DEFC)=20 cm2. Taralı alan kaç cm2.dir? ABCD kare. A(BCD)=64 cm2. E,F,G,H,K,L,M,N kenarların orta noktaları. Taralı alan kaç cm2.dir? ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: A(BCD)=64 cm2. |AB|=4 |AE|=2 |HE|= 2 2 |HN|= 2 |NM|= 2 cm. dir. A(ABCD)=a.a=25 cm2. |DC|=5 Taralı alan = 22+2. A(DEFC)=a.h=20 cm2. |EH|=4 EHD dik üçgeninde pisagor teo: |DH|2+42=52 |DH|=3 |HC|=2 Taralı alan bir yamuk olduğundan ; Taralı alan = (5 2 ) 4 14 cm2. 2 - 103 - 2 2 6 cm2 2 ÖRNEK: ÖRNEK: ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: DP EF çizildiğinde ; DAE DPE (AKA) |DA|=|DP| ve |AE|=|EP|=4 A( DEFG) a.h A( ABC ) |DP|=|DC| bulunduğundan DPF DCF olur ki |PF|=|FC|=6 dır. |EF|=|EP|+|PF|=|AE|+|CF|=4+6=10 ABCD karesinde ; ED açıortay ise ; |EF|=|AE|+|FC| dir. - 104 - 1 (2a ).( 2h) 2a.h 2 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: 1. ÖRNEK: 2. ÖRNEK: ABC herhangi bir üçgen. ABDE ve BCGH birer kare. |DM|=|MH| |AC|=36 br. ise |BM|=x kaç br.dir? Verilenlere göre |EC| kaç cm.dir? ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: EDC dik üçgeninde [EC] hipotenüsüne ait [DP] kenarortayı çizildiğinde ; |EP|=|DP|=|PC| (MUHTEŞEM ÜÇLÜ) DK//BH ve HK//BD çizildiğinde ; Bir dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir. Oluşan BDKH paralelkenarında Köşegenler biri birini ortalayacağından |DK|=2|DM| m(BDK)=m(ABC) ABC BDK (K.A.K) DPC ikizkenar üçgeninin DPC dış açısının ölçüsü, ACB açısının (DAC açısının) ölçüsüne eşit bulunur ki ADP ikizkenar bir üçgendir. |DK|=AC|=36 |EC|=2.|DP| olduğundan |DM|=18 birimdir. |EC|=12 cm.dir. EK BİLGİ; MD AC olduğu da aynı şekilde görülebilir. - 105 -