fonksiyonlarda türev

FONKSİYONLARDA TÜREV
x0  D( f ) ve x 0
Bir yığılma noktası olsun.
lim
x  x0
f ( x )  f ( x0 )
x  x0
Varsa bu limit değerine f(x) fonksiyonunun bu noktadadaki türevi denir ve
f ( x0 )
ile gösterilir.
x  x0  h
lim
h 0
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
 f ( x0 )
h
  0 ,   0
,0  h  
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
 f ( x0 )  
h
Bir fonksiyonun grafiğinin bir noktasındaki teğetin eğimi ,fonksiyonun o noktadaki türev
değerine eşittir.
mT  f ( x0 )
 y - f(x 0 )  f ( x0 )( x  x0 )
(P noktasındaki teğet denklemi)
TEMEL TÜREV TEOREMLERİ
ROLLE TEOREMİ
[a,b] kapalı aralığında sürekli
(a,b)açık aralığında türevlenebilen ve aralığın uçlarında aynı değerleri alan( f(a)=f(b) olan)
y=f(x) fonksiyonu için öyle bir
  ( a, b)
vardır ki,
f ( )  0
f(x)
fonksiyonu teoremin her üç koşulunu sağlasın.Fonksiyon [a,b] aralığında sürekli
olduğundan Weierstrass`ın
2. teoremine göre bu aralıkta kendisinin en küçük (m) ve en büyük (M) değerlerini
almaktadır.m ve M arasında aşağıdaki iki durum olabilir.
1)m=M .Bu durumda fonksiyon sabittir ve   (a, b) noktasında türevi sıfırdır,yani
f ( )  0
2)m<M. f(a)=f(b) olduğundan ,bu durumda fonksiyon kendisinin en küçük ve en büyük
değerlerinden en azından birini aralığın bir iç noktasında alır.Örneğin, f ( ) =M olsun.
  (a, b). Bu noktada fonksiyonun türevi için
f (  x)  f ( )
f ( )  lim
yazabiliriz. Limitin varlığı nedeniyle ,sağ ve sol limitler de
x 0
x
vardır ve f ( ) ye eşittirler.En büyük değerin tanımına göre ,(a,b) aralığının tüm noktaları için
f ( )  f ( x) eşitsizliği ,böylece, f (  x)  f ( )  0 eşitsizliği sağlanmaktadır.Bu
nedenle,
x  0 için
f (  x)  f ( )
0
x
x  0
f (  x)  f ( )
 0 elde edilir.Bu eşitsizliklere göre x  0 da
x
f (  x)  f ( )
oranının sol limitinden f ( )  0 sağ limitinden de f ( )  0 bulunur.
x
Buradan f ( )  0 elde ederiz.
x
,[0,1] fonksiyonuna Rolle teoremi uygulamak mümkünse ,
4
2
f ( )  0 koşulunu sağlayan  noktasını bulunuz.
Çözüm:
x
x
fonksiyonu [0,1] aralığında sürekli (0,1) aralığında türevlenebilen
y
 sin
4
2
1 
x
( y 
) ve y(0)=y(1) olduğu için Rolle teoremini uygulayabiliriz.
 cos
4
2 4
ÖRNEK: y 
x
cos
 sin

 0.900731;   0.573338 rad.
4
LAGRANGE TEOREMİ
[a,b] kapalı aralığında sürekli ve (a,b) açık aralığında türevlenebilen f(x) fonksiyonu
için öyle bir   (a, b) vardır ki,
f (b)  f (a )
 f   olur.
ba
Bu teoreme ,diferansiyel hesabın ortalama değer teoremi de denir.
Lagrange teoreminin geometrik yorumu gösterir ki,teoremin koşullarını sağlayan f(x) için
(a,b)aralığında bir  noktası, apsisi  olan noktada bu eğriye çizilmiş teğetin eğimi
 f (b)  f (a ) 
( f   ), eğrinin uçlarını birleştiren (AB) doğrusunun eğimine 
 eşit olacak
ba


şekilde vardır.Yani,  noktasındaki teğet (AB) doğrusuna pareleldir.
ÖRNEK:
y  ln x, x  [1, e] fonksiyonuna lagrange teoremini uygulayıp ,  noktasını bulun.
Çözüm:
Fonksiyon, [1,e] aralığında teoremin koşullarını sağladığından:
ln e  ln 1 1
olur. ÖRNEKLER:

,   e -1
e 1

1. f (x) = 5
 f’(x) = 0
2
 f’(x) = 0
3
3. f (x) = x5  f’(x) = 5x4
2. f (x) = 
 f’(x) = 1
5. f (x) = 2x  f’(x) = 2
4. f (x) = x
6. f (x) =
5
3x 4
5
5 1
 f ' ( x )  3. .x 4
4
1
15
15
 f ' (x)  x 4  4 x
4
4
7. f (x) = x4 – x3 + 2x – 3 fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2
8. f (x) = (3x2 + 5)11 fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f’(x) = 11 (3x2 + 5)10 . (3x2 + 5)’
= 11(3x2 + 5)10 . 6x
= 66x (3x2 + 5)10
9. f (x) =
2x  7
fonksiyonunun türevi nedir?
3x  5
ÇÖZÜM:
f ' (x) 

(2x  7)'.(3x  5)  (2x  7)(3x  5)'
(3x  5) 2
2(3x  5)  3(2 x  7)
(3x  5) 2
olur.

6 x  10  6 x  21
(3x  5)
2

 31
(3x  5) 2
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ:
A)
 f’(x)=Cosx
2) f (x) = Cosx  f’(x) = - Sinx
1) f (x) = Sinx
3) f (x) = tanx
 f’(x) = 1 + tan2x

4) f (x) = Cotx
1
2
Cos x
 f’(x) = - (1 + Cot2x)

ÖRNEKLER:
1. f (x) = Secx  f’(x) = ?
ÇÖZÜM:
 Sec 2 x
1
2
Sin x
 Co sec 2 x
f ( x )  Secx 
f ' (x) 
1
ise
Cosx
0.Cosx  (Sinx .1)
2
Cos x
f ' (x) 
2. f (x) = Cosec
Sinx
2
Cos x
 tan x.Secx Dir.
 f’(x) =?
ÇÖZÜM:
f ( x )  Co sec x 
f ' (x) 
f ' (x) 
1
ise
Sinx
0.Sinx  Cosx.1
Sin 2 x
 Cosx
Sin 2 x
 Cotx.Co sec x
B.
 f’(x) = u’(x) . Cos[u(x)]
2) f (x) = Cos [u(x)]  f’(x) = - u’(x) . Sin [u(x)]
1) f (x) = Sin[u[x]]
3) f (x) = tan [u(x)]
 f’(x) = u’(x) [1 + tan2u(x)]
 f ' (x) 
u' (x)
Cos 2 [u ( x )]
 f ' ( x )  u ' ( x ).Sec 2 [u ( x )]
4. f (x) = Cot[u(x)]
 f ' (x)  
 f’(x) = -u’(x) [1 + Cot2u(x)]
u' (x)
Sin 2 u ( x )
 f ' ( x )   u ' ( x ).Co sec 2 [u ( x )]
ÖRNEKLER:
 f’(x) = 3Cos3x
2. f (x) = tan(x2 – 1)  f’(x) = ?
1. f (x) = Sin3x
ÇÖZÜM:
f’(x) = (x2 –1)’ . [1 + tan2(x2 – 1)]
f’(x) = 2x [1 + tan2 (x2 – 1)]
3. f (x) = Sin (tan x) fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f’(x) = Cos (tanx) . (tanx)
 Cos(tan x ).

1
Cos 2 x
Cos(tan x )
Cos 2 x
4. f (x) = 2Sin3 x + 3Cos2x
 f’(x) = ?
ÇÖZÜM:
f’(x) = 2.3.Sin2x . (Sin x)’ + 3.2 Cosx . (Cosx)’
f’(x) = 6Sin2x . Cosx + 6 Cosx . ( - Sin x)
İNTEGRAL
TANIM:
f: [a,b]
 R ve F:[a, b]  R ye tanımlı iki fonksiyon olsun, x  [a,b] için, F’(x) = f(x) yazılabilirse F(x)’e
f(x)’in ilkel fonksiyonu yada integrali denir.
 F’(x) dx = F(x) veya
 f(x) dx = F(x) şeklinde gösterilir.
ÖRNEK:
f (x) = 2x2
 f’(x) = 4x   4xdx = 2x2
f (x) = 2x2 – 1
 f’(x) = 4x   4xdx = 2x2 – 1
f (x) = 2x2 + 3
 f’(x) = 4x   4xdx =2x2 + 3
BELİRSİZ İNTEGRAL ÖZELLİKLERİ:
A.
 f’(x) dx = f(x) + C
B.
 d[f (x)] = f (x) + C
C.
  f (x)dx =   f (x) dx (   R)
D.
 [f (x)  g(x)] dx=  f(x) dx   g (x)dx
E.
d
[  f (x) dx] = f (x)
dx
F. d[  f (x)dx] = f(x) dx
ÖRNEKLER:
1.
 2x dx = x2 + C
2.
 d(3x2) = 3x2 + C
3.
 5x4dx = 5  x4dx
4.
 (x3 + x)dx =  x3 dx +  x dx
5.
d
[  2x dx] = 2x
dx
6. d  (x3dx) = x3dx
ÖRNEKLER:
1.  x dx 
5
2.
x 51
x6
C
C
5 1
6
 12dx = 12x + C
x4
C
4
3.  (1  x )dx  x 
3
4.
 (x3 + x2 – 2)2 (3x2 + 2x)dx = ?
ÇÖZÜM 4:
x3 + x2 – 2 = u
2
 u du 
 (3x2 + 2x) dx = du
u3
( x 3  x 2  2) 3
C
C
3
3
TRİGONOMETRİK İNTEGRAL:
A.
 Cos x dx = Sin x + C
B.
 Sin x dx = - Cosx + C
C.
 Sec2x dx =  (1 + tan2x) dx

D.
1
Cos 2 x
dx  tan x  C
 Cosec2x dx =  (1 + Cot2x) dx =
=
1
Sin 2 x
dx  Cotx  C
ÖRNEKLER:
1.
 Cos2x . Sin x dx =
ÇÖZÜM:
Cosx = u
 -Sin x dx = du
 Sin x dx = - du
 u2 . (-du) = -  u2 . du

u3
Cos 3 x
C 
C
3
3
2.
 Sin 3x dx = ?
ÇÖZÜM:
1
 Sin 3xdx   Cos3x  C
3
3.
 Cos (2x + 1) dx = ?
ÇÖZÜM:
 Cos(2x  1)dx 
1
Sin (2x  1)  C
2
LOGARİTMİK VE ÜSTEL İNTEGRAL:
A. 
B. 
C.
1
du  ln u  C
u
f ' ( x )dx
 ln f ( x )  C
f (x)
 eu du = eu + C
D.  a du 
u
au
C
ln a
ÖRNEKLER:
1. 
2.
1
dx  ln | x |  C
x
 tan x dx = ?
ÇÖZÜM:
 tan xdx  
Cos x = u
Sinx
dx
Cosx
 - Sin x dx = du
 Sin x dx = - du

 du
1
   du
u
u
= - ln |u| + C = - ln |Cos x| + C
3.
 ex dx = ex + C
2x
C
4.  2 dx 
ln 2
x
2