Uyarı 1.6.1. i.

1.6. T4 –Uzayları
Tanım 1.6.1.  X ,  bir topolojik uzay olsun. X in birbirinden ayrık herhangi iki
kapalı kümesinin, birbirinden ayrık birer komşulukları varsa  X ,  uzayına normal
uzay denir.
Uyarı 1.6.1. i. Ayrık komşuluklar yerine ayrık açık komşuluklar alınabilir.
ii. Bir normal uzayın, regüler uzay ve T1 -uzayı olması gerekmez.
Örnek 1.6.1. X  a, b, c üzerinde    X , , a , b , a, b topolojisi verilsin.
Bu durumda  X ,  bir normal uzaydır. Fakat bu uzay regüler ve T1 -uzayı değildir.
Çözüm.   , X ,b, c , a, c , c kapalılar ailesidir. Birbirinden ayrık kapalı
kümeden
biri
daima
c  X  ,   X  
bir
a, c

olduğundan
  
ve
olduğundan  X ,  normal uzaydır. Bir b  X noktası ve
kapalı kümesi alalım. b b 
b  X  
örneğin
olduğundan
 X , 
ve
a, c  X 
regüler değildir. Aynı zamanda
olur ancak
b
kümesi
kapalı olmadığından X, T1 -uzayı değildir.
Teorem 1.6.1.
 X , 
uzayının normal uzay olması için gerek ve yeter şart her
F  X kapalı kümesi ve her U  N ( F ) komşuluğu için, F  V  V  U olacak
şekilde bir V  N ( F ) nin var olmasıdır.
İspat. :
 X , 
bir normal uzay olsun. Bir F  X kapalı kümesi ve bir
U  N ( F ) komşuluğu verilsin. Komşuluk tanımından F  U F  U olacak şekilde
bir U F  vardır. Buradan X  U F kapalıdır ve F   X  U F    olur. X normal
olduğundan V W   olacak şekilde V  N ( F ) ve W  N ( X  U F ) vardır.
Buradan V   X  W  Dolayısıyla V   X  W  olur. Böylece ( X  U F )  W
olduğundan F  V  V   X  W   U F  U olur.
1
 : Herhangi iki F , K  X ( F  K  ) kapalı kümesi verilsin. Bu durumda X-K
kümesi F nin bir açık komşuluğudur. Hipotezden V   X  K  öyle ki bir
 X  V    X  V  , K kümesini kapsayan bir açık
olduğundan V   X  V    olur. O halde  X , 
V  N  F  vardır. Buradan
kümedir. Böylece V  V
o
normal uzaydır.
Tanım 1.6.2. Hem normal hem de T1 -uzayı olan uzaya T4 -uzayı denir.
Örnek 1.6.2. X  a, b kümesi üzerinde   , X , a , b ayrık topolojisi
verilsin.  X ,  bir T4 -uzayıdır.
Çözüm.    X , ,b , a kapalılar ailesidir. X in bütün alt kümeleri kapalıdır.
Bu kapalılardan ayrık olanların komşulukları da ayrıktır. Yani
 X , 
normaldir.
Tek nokta kümeleri kapalı olduğundan T1  uzayıdır dolayısıyla T4 -uzayıdır.
Teorem 1.6.2. (Urysohn) Bir  X ,  T2 -uzayının normal olması için gerek ve yeter
şart her A,B  X
 A  B  
kapalı kümeleri için
f  A  0 , f  B   1
koşulunu sağlayan bir f : X  0,1 sürekli fonksiyonu var olmasıdır.
İspat.  :  X ,  topolojik uzay olsun. Her A,B  X  A  B    kapalı kümeleri
için
f  A  0 , f  B   1
fonksiyonu
var
olsun.
koşulunu
Bu
sağlayan
durumda
bir
f : X  0,1

U   x  X : f ( x) 

1

2
sürekli
ve
1
1

V   x  X : f ( x)   kümelerini tanımlayalım. a U ise f ( a )  dir. F sürekli
2
2

olduğundan W  N (a) öyle ki yeteri kadar büyük n doğal sayıları için
X  W  f ( x)  f (a) 
1
1 1
olur. Buradan f ( x)  f (a)  n 
(n yeteri kadar
n
2
2
2
büyük ise ) elde edilir. Böylece x U olur. O halde U, X de açıktır. V içinde benzer
2
işlemler yapılabilir. Ayrıca A  U , B  V ve U V   olduğundan
 X , 
normal uzaydır.
Teorem 1.6.3. Her T4 –uzayı bir T 1 –uzayıdır.
3
İspat.
 X , 
2
bir T4 -uzayı olsun X in tam regüler olduğunu göstereceğiz. Bir
F  X kapalı kümesi ve x  X ( x  F ) noktası alalım. X bir T1 -uzayı olduğundan
x kümesi kapalıdır ve x  F   olur. X normal uzay olduğundan
f ( x)  0 ve
f ( F )  1 koşulunu sağlayan bir f : X  0,1 sürekli fonksiyonu vardır. Tam
regüler uzayın tanımından
 X , 
bir tam regüler uzaydır. O halde
 X , 
bir
Tychonoff uzayıdır.
Uyarı 1.6.2. Bir normal uzayının her alt uzayının normal olması gerekmez.
Teorem 1.6.4. Bir normal uzayın her kapalı alt uzayı da normaldir.
İspat.  X ,  bir normal uzay A  X kapalı bir alt uzay olsun. Herhangi iki kapalı
F,K  A
 F  K  
alt kümelerini alalım. A kapalı olduğundan F ve K kümeleri
X de kapalıdır.  X ,  uzayı normal uzay olduğundan U V   olacak şekilde bir
U  ( F  U ) , bir V  ( K  V ) açık kümeleri vardır. Buradan
A  U  A ( A  F  A  U ) ve A  V  A ( A  K  A  V ) olur. Ayrıca
 A U    A V   A  U V   A   
olur. O halde
 A, A 
alt uzayı da
bir normal uzaydır.
Sonuç 1.6.1. Bir T4 –uzayının her kapalı alt kümesi de bir T4 –uzayıdır.
Teorem 1.6.5. Boş olmayan bir X çarpım uzayı T4 –uzayı ise her bir çarpan uzayı da
T4 –uzayıdır.
İspat. X   X i çarpım uzayı T4 –uzayı olsun. Bu durumda her i  için  X i , i 
i
çarpan uzayı, X çarpım uzayının bir kapalı alt uzayına homeomorftur. X in her
kapalı alt uzayı T4 -uzayı olduğundan herbir X i çarpan uzayı da T4 -uzayıdır.
3
Uyarı.1.6.3. Bu teoremin tersi genelde doğru değildir.
Örnek 1.6.3. (R,U) uzayı bir T4 -uzayıdır. Fakat R 2  R  R uzayı bir T4 –uzayı
değildir.
Teorem 1.6.6. Her T4 –uzayı bir T3 –uzayıdır.
İspat.  X ,  bir T4 -uzayı olsun. Kapalı bir F kümesi ve bir x X ( x  F ) normal
alalım. X T1 -uzayı olduğundan
x
kümesi kapalıdır. F   x   dir. Buradan
X-  x , F nin bir açık komşuluğu olur. X normal uzay olduğundan
F  V  V  X   x
olacak şekilde V  N ( f ) vardır. Böylece
 x   X  V    X  V 
o
ve V   X  V   
o
olur. O halde  X ,  bir regüler uzaydır. X uzayı T1 –olduğundan T3 –uzayıdır.
Uyarı 1.6.4. Bu teoremin tersi genelde doğru değildir.
Örnek 1.6.4. R  R uzayı T3 –uzayıdır, fakat bir T4 –uzayı değildir.
Uyarı 1.6.5. Normal ( T4 -uzayları) uzaylarının bütün uzaylarının bir normal uzay
( T4 -uzayı) olması gerekmez.
Teorem 1.6.7.  X ,  hem lindelöf hem de T3 -uzayı ise  X ,  T4 -uzayıdır.
Teorem 1.6.8. Herhangi bir kompakt T2 -uzayı bir T4 -uzayıdır.
İspat.  X ,  bir kompakt T2 -uzayı olsun. F1  F2   ile F1 , F2  X de herhangi
iki kapalı küme olsun.  X ,  kompakt olduğundan F1 , F2 de kompakttır. (Kompakt
uzayların kapalı alt uzayları kompakttır. ) Bu durumda iki ayrık ve açık U,V alt
kümeleri vardır öyle ki F1  U ve F2  V dir. T2 -uzayında kompakt kümeler kapalı
olduğundan ve T2 -uzayları T1 -uzayı olduğundan  X ,  T4 -uzayıdır.
4
Teorem 1.6.9. Her metrik uzay T4 -uzayıdır.
Teorem 1.6.10. Her C T4 -uzayı metriklenebilir.
Örnek 1.6.5.  ,  X ,  , T4 -uzayının bir tabanı olsun. Her bir Bi   ve herhangi
bir x  Bi noktası için bir B j   vardır öyle ki x  B j  Bi dir.
Çözüm.
 X , 
T1 -uzayı olduğundan
x
kapalıdır. Böylece Bi ,
x
kapalı
kümelerin bir açık üst kümesidir. Buradan bazı U açık kümesi vardır öyle ki
 x  U  U  Bi (  X , 
normal olduğundan ) x  U olduğunda  tabanının bir
G j üyesi vardır öyle ki x  B j  U olur. Böylece x  B j  U yazılır. U  Bi
olduğundan x  B j  Bi olur.
Teorem 1.6.11. i. Regüler olma özelliği topolojik özelliktir.
ii. Normal olma özelliği topolojik özelliktir.
iii. Tam regüler olma özelliği topolojik özelliktir.
İspat. ii. f :  X ,1   Y , 2  bir homeomorfizm ve  X ,1  normal olsun Y , 2 
nin normal olduğunu gösterelim. Herhangi iki F1 , F2  Y ayrık kapalı kümelerini
alalım. f bir homeomorfizm olduğundan f 1 ( F1 )  K1 ve f 1 ( F2 )  K2 X de ayrık
ve kapalı kümelerdir.
 X ,1 
normal olduğundan U V   olacak şekilde
K1  U 1 ve K 2  V  2 açık kümeleri vardır. f açık fonksiyon olduğundan
f (U )  2 f ( K1 )  F1  f (U ) , f (v)  2 f ( K2 )  F2  f (V )  f (U V )   olur.
f birebir olduğundan f (U V )  f (U )  f (V )   olur. Böylece Y , 2  normal
uzaydır.
5