10sn mat fasikül-2.indb - Hasan KORKMAZ`ın Web Sayfası

kapak sayfası
İÇİNDEKİLER
3. ÜNİTE
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
Fonksiyonların Simetrileri ve Cebirsel Özellikleri........................................................................................... 3 – 4
Tek ve Çift Fonksiyonlar.............................................................................................................................. 3 – 4
Fonksiyonlarda İşlemler............................................................................................................................. 6
Konu Testleri 1 - 2....................................................................................................................................... 7 – 11
İki Fonksiyonun Bileşkesi ve Bir Fonksiyonun Tersi........................................................................................ 12
Bileşke İşlemi.............................................................................................................................................. 12
Konu Testleri 3 - 4 - 5.................................................................................................................................. 14 – 18
Bir Fonksiyonun Tersi................................................................................................................................. 19
Konu Testleri 6 - 7 - 8.................................................................................................................................. 22 – 27
Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar.................................................................................................................. 28
Fonksiyonun Ortalama Değişim Hızı.......................................................................................................... 29
Konu Testleri 9 - 10..................................................................................................................................... 30 – 33
4. ÜNİTE
ANALİTİK GEOMETRİ
Doğrunun Analitik İncelenmesi...................................................................................................................... 34 – 35
Dik Koordinat Sistemi................................................................................................................................. 35 – 36
Bir Doğru Parçasını Verilen Oranda İçten veya Dıştan Bölen Nokta........................................................... 37
Doğru Denklemi ve İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları....................................................................... 41 – 49
Özel Doğru Denklemleri............................................................................................................................. 50 – 51
Konu Testleri 1 - 2 - 3.................................................................................................................................. 52 – 57
Doğruların Birbirine Göre Durumları......................................................................................................... 58
Bir Noktanın Doğruya Olan Uzaklığı.......................................................................................................... 60 – 61
Konu Testleri 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9................................................................................................................... 62 – 72
Yayımlayan: Sebit Eğitim ve Bilgi Teknolojileri AŞ
Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ.
Üniversiteler Mah. İhsan Doğramacı Bulv.
Basým Tarihi: Haziran / 2016
No:15 06800 ODTÜ Teknokent
Ankara / TÜRKİYE
Sertifika No: 33674
Tel: 0312 292 62 62
www.sebit.com.tr
ISBN Numarası: 978-605-9739-73-3
info@sebit.com.tr
Bu kitabın her hakkı saklıdır. Kısmen ve kaynak gösterilerek de olsa kesinlikle hiçbir alıntı yapılamaz. Metin, biçim, sorular, yayımlayan şirketin izni olmaksızın elektronik,
mekanik, fotokopi ya da herhangi bir sistemle çoğaltılamaz, dağıtılamaz ve yayımlanamaz.
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
1
Ünite-3
Kazanımlar
10.3.1.
Fonksiyonların Simetrileri ve Cebirsel
Özellikleri
10.3.1.1. Bir fonksiyonun grafiğinden, simetri
dönüşümleri yardımı ile yeni fonksiyon grafikleri çizer.
10.3.1.2. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f
ve g fonksiyonlarını kullaranak f + g,
f
f – g, f . g ve
fonksiyonlarını elde
g
eder.
10.3.2.
İki Fonksiyonun Bileşkesi ve Bir Fonksiyonun Tersi
10.3.2.1. Fonksiyonlarda bileşke işlemini açıklar.
10.3.2.2. Bir fonksiyonun bileşke işlemine göre
tersinin olması için gerekli ve yeterli
şartları belirleyerek, verilen bir fonksiyonun tersini bulur.
10.3.3.
Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar
10.3.3.1. İki miktar (nicelik) arasındaki ilişkiyi
fonksiyon kavramıyla açıklar; problem çözümünde fonksiyonun grafik
ve tablo temsilini kullanır.
Raunt
3
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
Fonksiyonların Simetrileri ve Cebirsel Özellikleri
Tek ve Çift Fonksiyonlar
Tanım: f : R → R fonksiyonunda, ∀x ∈ R için f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonuna çift fonksiyon
denir. ∀x ∈ R için f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonuna tek fonksiyon denir.
Örnek
1
f(x) = (m – 3)x3 + 2x2 – (2n + 8)x + m.n
Çözüm
1
fonksiyonu çift fonksiyon olduğuna göre, f(1) değeri
f(x), çift fonksiyon olduğuna göre, m – 3 = 0, 2n + 8 = 0
olmalı
kaçtır?
m = 3, n = –4
O halde,
f(x) = 2x2 – 12
f(1) = 2 – 12 = –10 bulunur.
Örnek
2
f(x) tek fonksiyon olmak üzere,
f(x) = 4.f(–x) + x3 + x
olduğuna göre, f(2) değeri kaçtır?
Çözüm
2
f(x), tek fonksiyon olduğundan,
f(–x) = –f(x) dir.
f(x) = –4.f(x) + x3 + x
5.f(x) = x3 + x
5.f(2) = 23 + 2
5.f(2) = 10
f(2) = 2 bulunur.
Örnek
3
Çözüm
3
f : [–2, 2] → R olmak üzere, f(x) = x2 fonksiyonunun tek
f(–x) = (–x)2 = x2
ya da çift fonksiyon olmasını inceleyip x in –2, –1, 0,
f(–x) = f(x) olduğundan, çift fonksiyondur.
1, 2 tamsayı değerlerini referans alarak fonksiyonun
x = –2 ise f(–2) = 4
y
grafiğini çiziniz.
x = –1 ise f(–1) = 1
4
x = 0 ise f(0) = 0
1
x = 1 ise f(1) = 1
x = 2 ise f(2) = 4
4
Raunt
f(x) = x2
–2 –1 O
1 2
x
Matematik-10 Ünite-3
HATIRLATMA
Koordinat sisteminde çift fonksiyon grafikleri dikey eksene göre simetriktir.
Örnek
4
Çözüm
3
f : [–2, 2] → R olmak üzere, f(x) = x fonksiyonunun tek
ya da çift fonksiyon olmasını inceleyip x in –2, –1, 0,
1, 2 tamsayı değerlerini referans alarak fonksiyonun
grafiğini çiziniz.
4
3
f(–x) = (–x) = –x3
f(–x) = –f(x) olduğundan, tek fonksiyondur.
y
x = –2 ise f(–2) = –8
x = –1 ise f(–1) = –1
x = 0 ise f(0) = 0
x = 1 ise f(1) = 1
x = 2 ise f(2) = 8
f(x) = x3
8
1
–2 –1
O
1 2
x
–1
–8
HATIRLATMA
Koordinat sisteminde tek fonksiyon grafikleri orijine göre simetriktir.
Örnek
5
Çözüm
f(x) = 2x + 1 fonksiyonu için,
x
a. f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
5
–2
–1
0
1
2
f(x)
y
10
b. y = f(x) + 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
c. y = f(x – 2) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
d. y = 2.f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
–10
O
10
x
e. y = f(3x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
f. y = –f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
g. y = f(–x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
–10
Raunt
5
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
Fonksiyonlarda İşlemler
Tanım: f : A → R, g : C → R iki fonksiyon ve A ∩ C ≠ ∅ olsun.
(f + g) : A ∩ C → R, (f + g) (x) = f(x) + g(x) (Toplam fonksiyonu)
(f – g) : A ∩ C → R, (f – g) (x) = f(x) – g(x) (Fark fonksiyonu)
(f . g) : A ∩ C → R, (f . g) (x) = f(x) . g(x)
(f / g) : A ∩ C → R, (f / g) (x) =
f (x)
g (x)
(Çarpım fonksiyonu)
(Bölüm fonksiyonu) (g(x) ≠ 0)
k ∈ R olmak üzere (k. f) (x) = k. f(x)
Örnek
6
Çözüm
f(x) = 2x – 1 ve g(x) = x + 3 fonksiyonu veriliyor.
f
Buna göre, (f + g) (x), (2f – 3g) (x), (f.g) (x) ve f p (x)
g
fonksiyonları nelerdir?
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x – 1 + x + 3 = 3x + 2
(2f – 3g)(x) = 2.f(x) – 3.g(x) = 2(2x – 1) – 3(x + 3)
= x – 11
(f.g)(x) = f(x).g(x) = (2x – 1).(x + 3) = 2x2 + 5x – 3
f
Örnek
7
fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, (f + g)(x), (f.g) (x) ve f
nelerdir?
6
Raunt
f
f (x)
2x − 1
bulunur.
=
p (x) =
g
g (x)
x+3
Çözüm
f : {(–1, 0), (0, 2), (1, 3), (2,4)}
g : {(–1, 2), (1, 4), (2, –3), (3, 4)}
2f
p (x) fonksiyonları
g
6
7
f ve g nin tanım kümeleri aynı olmalıdır. A = {–1, 1, 2}
(f + g)(–1) = f(–1) + g(–1) = 0 + 2 = 2
(f + g)(1) = f(–1) + g(1) = 3 + 4 = 7
(f + g)(2) = f(2) + g(2) = 4 + (–3) = 1
(f.g)(–1) = f(–1) . g(–1) = 0.2 = 0
(f.g)(1) = f(1) . g(1) = 3.4 = 12
(f.g)(2) = f(2) . g(2) = 4.(–3) = –12
f
2f
2.f (− 1) 2.0
=
=0
p (− 1) =
2
g
g (− 1)
f
2f
2.f (1) 2.3 3
=
=
p (1) =
4
2
g
g (1)
f
2f
2.f (2) 2.4
8
bulunur.
=
=−
p (2) =
3
g
g (2)
−3
Sınav
Kodu:
M101015
Matematik-10 Ünite-3
1
Konu Testi
1.
f(x) = x2 – x
5. f(x) = x2 – 6x + 1 fonksiyonu veriliyor.
g(x) = x + 3
ğuna göre, h(4) kaçtır?
fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, (f – 2g) (x) fonksiyonun eşiti nedir?
A) 3
A) x2 – 3x – 6
B) x2 – 3x + 6
D) x2 + x – 6
2.
f(x) = x3 – 3x2 + 3x– 1
g(x) = x2 – 2x + 1
A) x + 1
C) 6
D) 8
E) 10
E) x2 + x + 6
B) x – 1
D) x – 2
B) 4
C) x2 – 6
fonksiyonları veriliyor.
f (x)
bölümünün eşiti nedir?
Buna göre,
g (x)
h(x) = f(x + k) fonksiyonu çift fonksiyon oldu-
C) x + 2
E) –x – 1
6. f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
f(x) = (k + 4)x3 – kx2 + f(–x)
olduğuna göre, f(–1) kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
x−3
2x + 5
fonksiyonları için
ve g (x) =
4
3
(3g – 4f) (–1) değeri kaçtır?
3. f (x) =
A) 9
B) 8
C) 7
D) 3
E) 1
4. f : R → R olarak tanımlı f fonksiyonu orijine göre
simetrik bir fonksiyondur.
7. f(x) = 2.(m + 2)x6 – (m – 1)x3 + (n – 2)x2 + 4x
f(x) = (m – 2)x4 + 2mx3 + 3x + f(–x)
olduğuna göre, f(2) nin değeri kaçtır?
A) 19
B) 18
C) 17
D) 14
E) 12
fonksiyonunun tek fonksiyon olabilmesi için
m + n toplamı kaç olmalıdır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Raunt
7
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
8. f(x) = x + 2 fonksiyonu veriliyor.
10.
y
y = f(x)
Buna göre, f(x – 3) fonksiyonun grafiğini aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
y
B)
2
x
O
–2
x
O –1
–2
–2
C) y
O
2
x
x
4
O
–3
y
D)
–1
y
E)
1
O
x
O
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.
Yukarıdaki verilere göre, y = f(x + 3) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
x
1
–1
A) y
O
x
6
y
C)
y
–2
x
O
O
–2
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.
Yukarıdaki verilere göre, y = –f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
B)
y
2
C)
2
1
x
–1
–1
–2
2
x
–2
–2
D)
y
E)
2
–2
Raunt
y
2
2
8
y
2
1
O
x
1
O 1
y
1
–5
E) y
–1
x
–1
1
–2
x
x
x
y
y = f(x)
2
A)
O 1
–5
D)
4
9.
y
B)
7
x
x
Sınav
Kodu:
M101016
Matematik-10 Ünite-3
2
Konu Testi
1.
f(x) = x2 – 2x
4.
g(x) = x3 + 5x
fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, (f + 2g)(1) değeri kaçtır?
fonksiyonu tek fonksiyon olduğuna göre, f(k)
değeri kaçtır?
A) 10
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
B) 12
C) 14
2. f(x) = x2 + 2, g(x) = 4x + 3 fonksiyonları veriliyor.
f(x) = x4 + (m – n + 3)x3 + (m + 2)x
fonksiyonunun çift fonksiyon olması için n kaç
olmalıdır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 3
6. Aşağıdakilerden hangisi R → R ye tanımlı bir
çift fonksiyondur?
A) f(x) = x2 – 2x + 2
C) f(x) = x + 3
E) f(x) = x5 + x3
3.
f(x) = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1
g(x) = x2 + 2x + 1
E) 18
Buna göre, f(x) . g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x3 + 3x2 + 4x + 6
B) 4x3 + 3x2 + 8x + 6
3
2
C) x – 2x + 4x – 6
D) 4x3 + x2 + 8x + 6
3
E) 4x – 2x2 + 5x + 6
D) 16
E) 12
5.
f(x) = x3 + kx + 4k – 8
fonksiyonları veriliyor.
f (x)
Buna göre,
oranı aşağıdakilerden hangig (x)
sidir?
A) x2 – 3
B) x2 + 3
C) x2 – 1
D) x2 + 1
E) (x + 1)2
B) f(x) = x6 + 2x4
D) f(x) = 2x
7. Aşağıdaki fonksiyonlardan kaç tanesi orijine
göre simetriktir?
I.f(x) = x3 + 2x2
II.g(x) = x4 + 6x2 + 4
III.h(x) = x3 + 5x
IV.T(x) = 2x5 – 3x3
V.K(x) = x3 + 4
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Raunt
9
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
11. f(x) = 2x + 4 fonksiyonu veriliyor.
8. f(x) bir çift fonksiyondur.
2
olduğuna göre, f(2) + f(–2) toplamı kaçtır?
Buna göre, f(–x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A) 9
A)
6.f(x) – 4.f(–x) – 10 = 20x
B) 18
C) 36
D) 45
E) 90
y
y
B)
4
–2
O
x
2
O
9. f(x) fonksiyonu bir çift fonksiyon ve
f(x) = (a + 1)x4 – (b – 3)x3 + ax – 2ab
A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
2
Yanda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
f(x)
10. Aşağıdaki grafiklerden hangileri tek fonksiyon
grafiğidir?
y
x
O
–4
E) 64
12.
y
y
x
–4
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
–4
E)
2
x
O
x
–2 O
y
D)
y
C)
4
–2
x
O
y = g(x)
y = f(x)
x
O
O
I
x
II
y
Yukarıdaki verilere göre, g(x) = –f(–x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A)
y
y
B)
y
C)
y = h(x)
2
O
x
III
D)
–2
A) I ve II
B) I ve III
C) II ve III
D) II E) I, II ve III
10
Raunt
x
y
2
x
–2
E)
y
x
2
x
x
Matematik-10 Ünite-3
13.
Yanda y = f(x) fonksiyonunun grafiği
çizilmiştir.
y = f(x)
15.
Yukarıdaki verilere göre, y = f(x – 2) nin grafiği
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
y
A)
y
B)
y
C)
x
x
3
x
0
y = f(x) fonksiyonunun grafiği
çizilmiştir.
3
x
–2
+
y = f(x) Yandaki şekilde f : R → R,
y
Yukarıdaki verilere göre, g(x) = 2 – f(–x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
y
A)
x
1
y
E)
1
y
x
–1
y
2
Yandaki şekilde y = f(x)
fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
y
x
y = f(x)
Yukarıdaki verilere göre, g(x) = If(x – 2)I fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
x
y
A)
3
B)
2
C) 2
5
D)
2
7
E)
2
y
C)
2
1
Yukarıdaki verilere göre, y = f(x – 1) in grafiği ile
eksenler arasında kalan kapalı bölgenin alanı
kaç birimkaredir?
y
B)
2
y = f(x)
A) 1
x
–1
Yanda y = f(x) fonksiyonunun
grafiği çizilmiştir.
2
1
x
x
–2
y
y
E)
–2
x
x
x
D)
16.
–2
y
C)
2
3
D)
14.
y
B)
x
3
x
1 2
2
3
D)
2
y
y
E)
2
x
x
1
12
x
Raunt
11
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
İki Fonksiyonun Bileşkesi ve Bir Fonksiyonun Tersi
Bileşke İşlemi
Tanım: f : A → B ve g : B → C birer fonksiyon olsun.
A
f
B
g
C
(gof)(x) = g(f(x))
x
f(x)
g(f(x))
h
h(x) = g(f(x)) olmak üzere, h fonksiyonuna g ile f fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu denir ve
h(x) = (gof)(x) ile gösterilir.
Bileşke İşleminin Özellikleri
1. (fog)(x) ≠ (gof)(x) (Değişme özelliği yoktur.)
2 ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (Birleşme özelliği vardır.)
3. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (I(x) = x, birim fonksiyon)
Örnek
f (x) =
8
x−4
ve g(x) = 6x + 1 olduğuna göre, (fog)(x)
2
ve (gof)(x) fonksiyonları nelerdir?
8
Çözüm
(fog)(x) = f(g(x)) =
g (x) − 4 6x + 1 − 4 6x − 3
=
=
2
2
2
(gof)(x) = g(f(x)) = 6.f(x) + 1 = 6 f
Örnek
9
(fog)(x) = 3x + 4 ve f(x) = 2x – 3 olduğuna göre, g(x)
(fog)(x)= f(g(x))
fonksiyonu nedir?
3x + 4 = 2.g(x) – 3
Örnek
10
= 3x – 11 bulunur.
9
Çözüm
g(x) =
x−4
p+1
2
3x + 7
bulunur.
2
Çözüm
10
f(x) = x2 – 4 ve g(x) = x3 olduğuna göre, (gof)(3) ve
(gof) (3) = g(f(3)) = g(5) = 125
(fog)(3) değeri kaçtır?
(fog)(3) = f(g(3)) = f(27) = 725 bulunur.
12
Raunt
Matematik-10 Ünite-3
Örnek
11
11
Çözüm
y
f(g(x)) = 0
5
f(x)
–2
0
x
4
f(x – 3) = 0
f(–2) = 0
⇒
x – 3 = –2
⇒
f(4) = 0
⇒
x – 3 = 4
⇒ x = 7
x=1
1 + 7 = 8 bulunur.
Yukarıdaki şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
g(x) = x – 3 olduğuna göre, (fog)(x) = 0 denklemini
sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Örnek
12
Çözüm
f(f(–4)) = f(2) = –1 bulunur.
y
2
1
–3
0
–4
12
f(x)
2
3
x
–1
Yukarıdaki şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Yukarıdaki verilere göre, (fof)(–4) değeri kaçtır?
Örnek
13
Çözüm
f a g (x) k = f f
y
2
–3
–4
0
x
f(–3) = 0,
13
3x
p = 0 olmalı,
2
3x
= − 3 , x = –2 bulunur.
2
f(x)
Yukarıdaki şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
g (x) =
3x
olmak üzere, (fog)(x) fonksiyonunun tanım
2
kümesindeki tamsayı değerleri toplamı kaçtır?
Raunt
13
Sınav
Kodu:
M101017
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
3
Konu Testi
6. f(x) = x2 + 1, g(x) = x – 1 fonksiyonları ve
1. f(x) = x + 3 ve g(x) = 2x – 4 fonksiyonları veriliyor.
A = {–1, 0, 1, 2} kümesi veriliyor.
Buna göre, (gof)(A) kümesi nedir?
Buna göre, f(g(x)) fonksiyonu nedir?
A) 2x + 2
B) 2x + 1
C) 2x – 1
D) x + 2
E) x – 1
2. f(x) = x2 – 4 ve g(x) = 3x + 5 fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, g(f(x)) fonksiyonu nedir?
A) {1, 2, 5}
B) {1, 4, 5}
C) {0, 2, 5}
D) {0, 1, 4}
E) {0, 1, 5}
7. f(x) = 2x ve f(g(x)) = 16.f(x) olduğuna göre, g(2)
değeri kaçtır?
A) 3x2 – 7
B) 3x2 + 1
C) 3x2 – 1
2
2
D) x – 4
E) 2x + 1
A) 64
B) 56
C) 32
D) 24
E) 16
3. f(2x – 1) = x ve g(x – 1) = x + 5 fonksiyonları veriliyor.
8. (fog)(x) = x2 – 3, h(x) = x – 1 fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, (gofog)(1) değeri kaçtır?
A) 13
B) 12
C) 11
D) 10
E) 9
Buna göre, (hofog)(x) fonksiyonu nedir?
A) x2 – 2x – 2
B) x2 – 2x + 1
C) x2 + 2x
2
2
D) x – 4
E) x – 2x
4. f(x) = 2x + 1 ve (fog)(x) = 6x – 3 olduğuna göre,
g(x) fonksiyonu nedir?
A) 3x + 1
B) 3x – 2
C) 3x + 4
D) 6x – 1
E) 5x – 2
9. f(x) = x2 – x + 1 ve (gof)(x) = 3x2 – 3x + 4 olduğuna
göre, g(x) fonksiyonu nedir?
A) 3x + 1
B) 3x – 1
C) 3x – 2
D) 2x – 4
E) 2x + 6
5. f(x) = x + 1, g(x) = 2x, h(x) = 4x – 5 fonksiyonları
veriliyor.
Buna göre, (fogoh)(x) fonksiyonu nedir?
A) 8x – 11
B) 8x – 10
C) 8x – 9
D) 4x – 8
E) 4x – 9
14
Raunt
10. f(x) = 3x + 2 ve (fof)(x) = ax + b olduğuna göre,
a + b toplamı kaçtır?
A) 5
B) 8
C) 9
D) 12
E) 17
Sınav
Kodu:
M101018
Matematik-10 Ünite-3
4
Konu Testi
1. f(x) = 2x – 1, g(x) = x3 + 3 olduğuna göre, fog(–1)
değeri kaçtır?
A) –3
B) –2
C) 2
D) 3
E) 7
6. (fog) (x) =
x+1
x2 + 1
, g(x) = x – 2 fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, f(–2) değeri kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
2. f(x – 1) = x2 + 1, g(x – 2) = 2x + 4 fonksiyonları
veriliyor.
Buna göre, (fog)(2) değeri kaçtır?
A) 145
B) 156
C) 166
D) 170
E) 196
7.
y
3
2
3. f(x) = x2 – 99, g(x) = 3x + 1, h(x) = x2 + 2x fonksiyonları veriliyor.
0
–1
3
x
12
Buna göre, (fogoh)(1) değeri kaçtır?
y = f(x)
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Yukarıdaki verilere göre, (fofof)(2) değeri kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 2
E) 3
4. (fog)(x) = 4x2 – 1 ve f(x) = 3x + 1 olduğuna göre,
g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
4x 2 + 1
3
B)
D) x
4x 2 − 2
3
2
C)
E) 2x
4x 2
3
2
8.
y = f(x) in grafiği şekilde
verilmiştir.
y
1
1
–2
–1
0
2
x
–2
5. f(x) doğrusal fonksiyon olmak üzere,
(fof)(x) = 9x – 8 olduğuna göre, f(1) değeri kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Yukarıdaki verilere göre, (fof)(1) değeri kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Raunt
15
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
2x − 3
fonksiyonu veriliyor.
− 6x + 9
9. f (x) =
Buna göre, (fofof)(2) değeri kaçtır?
A) −
1
2
B) −
2
3
C) −
1
3
D) − 1
13.
f(x) = 3x + 2
g(x) = 2x – 3
fonksiyonları veriliyor.
(fog)(m) = 5 olduğuna göre, m değeri kaçtır?
E) 1
10. f(x) = –x + 5, g(x) = x206 + 3.x205 – 10 olduğuna
göre, fog(–3) değeri kaçtır?
A) –1
B) –5
C) 5
D) 10
f(g(x)) = 3.g(x) – 2
g(f(x)) = 2.f(x) – 3
(fog)(x) = 4x – g(x)
E) 15
(fog)(x) = 6x + 3
Buna göre, (fogof)(1) değeri kaçtır?
D) –4
C) 10
(gof)(x) = g(x)
C) –3
B) 5
15.
fonksiyonları veriliyor.
B) –2
B) –3
C) 0
D) 3
(fog)(x) = 2x + 3
16. (fog)(x) = 2.g(x) + 3 ifadesi veriliyor.
f(3) = 7
olduğuna göre, g(2) değeri kaçtır?
A) 2
16
Raunt
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
E) 20
olduğuna göre, g(–1) değeri kaçtır?
A) –6
E) –5
D) 15
12.
E) 3
olduğuna göre, g(3) değeri kaçtır?
A) –1
D) 2
3x − 1
2
f (x) =
A) 1
11.
C) 1
14.
A) –15
B) 0
E) 6
Buna göre, f(–x) in eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5 – 4x
B) 3 – 2x
C) 3 + 4x
D) 9 – 4x
E) 4x
Sınav
Kodu:
M101019
Matematik-10 Ünite-3
5
Konu Testi
1.
f(x) = x2 + 5
g(x) = x – 1
5.
y = f(x)
fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, fog(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
hangisidir?
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
4
–2
4
x
–1 0 1
–1
–3
A) x2+5
B) x2–2x+4
C) x2–2x+6
2
D) x–1
E) x +6
Yukarıdaki verilere göre, (fofof)(–1) değeri kaçtır?
2. g(x) doğrusal bir fonksiyon olmak üzere,
A)–3
g(1) = 4
g(2) = 7
(fog)(x) = 2.g(x) + 5
6.
B) 25
C) 26
D) 27
4
1
–1
B) 1
4.
C) 1007 D) 2014 E) 4028
–1 0
1
x
Yukarıdaki verilere göre, (fof)(1) değeri kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 3
D) 1
E) 2
E) −
1
3
0 2
3
x
(fof)(x) = 2 olduğuna göre, x in değeri kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
7. f(x – 2) = x2 + 3 olduğuna göre, f(x) fonksiyonu
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Şekilde y = f(x) fonksiyonun grafiği verilmiştir.
y
3
Buna göre, (fof)(1) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0
1
2
D) −
2
E) 28
3. f : R – {2} → R – {2}
2x − 1
fonksiyonu veriliyor.
f (x) =
x−2
C) –1
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
olduğuna göre, (fog)(3) değeri kaçtır?
A) 24
B) –2
A) x2 + 3
B) x2
D) x2 – 2x + 7
8.
f:R→R
g:R→R
C) x2 – 2x + 3
E) x2 + 4x + 7
tanımlı iki fonksiyondur.
f(x) = x3 + 3x – 2 ve g(x) = –x + 3 olduğuna göre,
(fog)(–1) in değeri kaçtır?
A) 60
B) 68
C) 70
D) 72
E) 74
Raunt
17
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
9.
f(x) = 6x + 4
13.
f(x) = 3x – 6
(fof)(x) = mx + n
(fog)(x) = 4.f(x)
A) 8
10.
olduğuna göre, m – n kaçtır?
B) 10
C) 11
D) 12
C) 3
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
14. f : R – {1} → R – {1}
olduğuna göre, f(1) değeri kaçtır?
B) 4
A) –2
E) 13
(fof)(x) = f(x) + 4
A) 5
olduğuna göre, g(2) değeri kaçtır?
D) 2
E) 1
x
fonksiyonu veriliyor.
x−1
f (x) =
(fof)(1 + x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
1
1−x
B)
x
x−1
C)
x
1−x
D) x + 1
E)
1
x
11. f(x) doğrusal fonksiyonu için;
(fof)(x) = 4x – 12
olduğuna göre, f(3) değeri aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
15. f(x) = 3x olduğuna göre, (fofo...of) (x) ifadesinin
S
n tan e f
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 3x
12.
f(x) = x2 – x + 3
g(x) = x + 4
(fog)(–3) = m + 2
A) 0
18
Raunt
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
C) (3x)n D) 3n.x E) 3x+3n
16. (fog)(x) = x2 – 4x – 3
g(x) = x2 – 4x
olduğuna göre, m değeri kaçtır?
B) 3nx
olduğuna göre, f(–3) ün değeri kaçtır?
A) –6
B) –3
C) –1
D) 3
E) 6
Matematik-10 Ünite-3
Bir Fonksiyonun Tersi
Tanım: f : A → B birebir ve örten bir fonksiyon olsun.
A
f(x) = ax + b ise f–1(x) =
B
f
x
f(x) =
f(x)
x−b
a
ax + b
− dx + b
ise f–1(x) =
cx + d
cx − a
–1
f
f nin tanım
kümesi veya
f–1 in görüntü
kümesi
f nin görüntü
kümesi veya
f–1 in tanım
kümesi
f(x) = y ⇔ f–1(y) = x
f–1 : B → A fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.
HATIRLATMA
y = f(x) fonksiyonunun tersi bulunurken x yalnız bırakılıp, y değişkeni x'e, x değişkeni y'ye
dönüştürülür. Oluşan yeni y, f(x) fonksiyonun tersi olur.
Örnek
14
f : R → R, f(x) = 2x – 4 fonksiyonunun ters fonksiyonu
nedir?
f(x) = y ⇒ y = 2x – 4
x = 2y – 4
x + 4 = 2y
Örnek
15
f : R – {4} → R – {2} olmak üzere, f (x) =
14
Çözüm
−1
x+4
x+4
bulunur.
= y & f (x) =
2
2
15
Çözüm
2x − 3
fonkx−4
2x − 3
x−4
x 2y − 3
=
1 y−4
f(x) = y ⇒ y =
siyonunun tersi nedir?
xy – 4 = 2y – 3
xy – 2y = 4x – 3
y(x – 2) = 4x – 3
y=
−1
4x − 3
4x − 3
bulunur.
& f (x) =
x−2
x−2
Raunt
19
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
Örnek
16
Çözüm
f : R – {a} → R – {b} olmak üzere f (x) =
12x + 5
oldu3x − 9
ğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
f (x) =
−1
12x + 5
9x + 5
& f (x) =
3x − 9
3x − 12
3a – 9 = 0
3b – 12 = 0
a = 3
b=4
Örnek
16
17
a + b = 3 + 4 = 7 bulunur.
Çözüm
f : R → R ve f(x) = x3 + 1 olmak üzere f–1(x) fonksiyonu
y = f(x)
nedir?
f(x) = x3 + 1
17
y = x3 + 1
x = y3 + 1
x – 1 = y3
3
−1
x − 1 = y & f (x) =
3
x − 1 bulunur.
Ters Fonksiyonun Özellikleri
1. [f–1(x)]–1 = f(x)
2. (fof–1)(x) = (f–1of)(x) = x
3. (fog)–1(x) = (g–1of–1)(x)
Örnek
18
Çözüm
18
f : R → R+ ve f(x) = 34x–1 olduğuna göre, f–1(27) değeri
f–1(27) = k ise f(k) = 27 dir.
kaçtır?
f(k) = 34k–1 = 27
34k–1 = 33
4k – 1 = 3
4k = 4
k=1
–1
f (27) = k = 1 olur.
20
Raunt
Matematik-10 Ünite-3
Örnek
ff
19
x−1
2x − 3
olduğuna göre, f–1(1) değeri kaçp=
x+1
x+3
tır?
19
Çözüm
ff
−1 2x − 3
x−1
2x − 3
x−1
olur.
&f f
p=
p=
x+1
x+3
x+3
x+1
2x − 3
= 1 ⇒ 2x – 3 = x + 3
x+3
x=6
Örnek
ff
20
2x + 1
p = 2x + 1 olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun
x−1
eşiti nedir?
(fof–1)(x) = x özelliğinden
–1
(g oh)(x) in eşiti nedir?
−1
x yerine f
2x + 1
x+1
yazarsak
p =
x−1
x−2
f(x) = 2. f
x+1
p+1
x−2
21
(f–1og)(x) = 2x + 3 ve (f–1oh)(x) = x2 + 1 olduğuna göre,
20
Çözüm
f(x) =
Örnek
3x
bulunur.
x−2
21
Çözüm
(fog)–1(x) = g–1of–1(x) özelliğinden
x−3
(f–1og)(x) = 2x + 3 = (g–1of)(x) =
2
g–1ofof–1oh(x) = f
2
g–1oh(x) =
Örnek
22
f : R – {2} → R – {–4} fonksiyonu 1 – 1 ve örtendir.
x=
2.f (x) − 3
olduğuna göre, f–1(3) değeri kaçtır?
4 + f (x)
6−1 5
bulunur.
=
6+1 7
f–1(1) =
2
x +1−3 x −2
bulunur.
=
2
2
Çözüm
f(x) = y ⇒ x =
x−3 b 2 l
po x + 1
2
&y=
22
2y − 3
4+y
−1
2x − 3
2x − 3
& f (x) =
4+x
x+4
−1
f (3) =
3
bulunur.
7
Raunt
21
Sınav
Kodu:
M101020
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
6
Konu Testi
1.
f:R→R
f(x) = 5x + 2
fonksiyonu veriliyor.
f–1(x) fonksiyonu nedir?
A)
x+2
x−2
B)
C) 5x − 2
5
5
1
4. f : R – * 4 → R – {–2} fonksiyonu 1 – 1 ve örten2
dir.
f (x) − 3
x=
2.f (x) + 4
D)
1
5x + 2
E)
1
5x
olduğuna göre, f–1(3) değeri kaçtır?
A) 0
f:R→R
2.
5. f: R − *
3x − 1
2
fonksiyonu veriliyor.
f–1(3) değeri kaçtır?
f (x) =
1
2
3.
B) 2
f (x) =
C)
7
3
D) 4
6.
5x + a
4
B) –1
f − 1(x) =
x−5
8
D)
22
Raunt
C) 5
D) 4
mx + 2
5x − n
E) 3
C) 0
D) 4
2x + 5
4
olduğuna göre, f(x) fonksiyonu nedir?
A)
olduğuna göre, a değeri kaçtır?
B) 6
E) 9
olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) –2
1
A) 8
D) 6
E) 5
f − (4) = 2
f (x) =
C) 4
4
3
4 " R − * 4 fonksiyonun 1 – 1 ve örten5
5
dir.
A)
B) 3
B)
4x − 5
2
4x + 5
2
E)
C)
2x − 5
4
2x − 4
5
E) 7
Matematik-10 Ünite-3
7. f : R – {3} → R – {2}, f (x) =
için f e
A)
8. f f
4x − 2
fonksiyonu
2x + a
2x + 7
olduğuna göre, (f–1og)(1)
x−4
değeri kaçtır?
11. (g − 1of) (x) =
a
o değeri kaçtır?
2
1
3
B) 1
C)
7
6
D) 2
E)
A) –11
15
2
B)
D)
x−3
x−6
x−6
x−3
C)
E)
6x − 3
x+3
3x + 6
x−3
12.
f(x) = 2x + 3
(g − 1of) (x) =
D) –8
E) –6
x−1
4x + 3
D)
B)
3x − 1
x+4
x+1
3x − 4
E)
C)
x−1
3x + 4
3x − 4
5
olduğuna göre, g(x) fonksiyonu nedir?
A)
9. f, tanımlı olduğu aralıkta 1 – 1 ve örten bir
fonksiyon olmak üzere, 3x.f(x) – 1 = 4x + f(x)
ise f–1(x) fonksiyonu nedir?
8x + 17
3
D)
B)
10x + 17
3
14x + 17
3
E)
C)
10x − 17
5
12x + 17
3
3x + 1
x−4
10. f : R – {a} → R – {b} fonksiyonu 1 – 1 ve örtendir.
C) –9
x+4
–1
p = x − 2 olduğuna göre, f (x) fonksiyo5−x
nu nedir?
x+6
A)
3−x
A)
B) –10
2.f (x) − 2x + 3
olduğuna göre, a + b topf (x) =
x+1
13. f doğrusal fonksiyon olmak üzere,
f–1(2) = 7 ve f–1(5) = 1 olduğuna göre, f(3) değeri
kaçtır?
lamı kaçtır?
A) 2
A) –5
B) –4
C) –3
D) –2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
E) –1
Raunt
23
Sınav
Kodu:
M101021
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
7
Konu Testi
1. A = {1, 2, 3} kümesinden B = {a, b, c} kümesine
aşağıdaki tanımlanan fonksiyonlardan hangisinin ters fonksiyonu vardır?
5.
f(x) = mx + 3
f–1(2) = –5
A) {(1, a), (2, a), (3, b)}
B) {(1, b), (2, c), (3, a)}
C) {(1, a), (2, a), (3, c)}
D) {(1, c), (2, c), (3, c)}
E) {(1, b), (2, b), (3, a)}
olduğuna göre, m kaçtır?
A) − 2
B) − 1
C)
1
5
D)
2
5
E) −
3
2
6. f : R → R
2.
f:R→R
f(x) = 2x + 5
f (x) =
Buna göre, f–1(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
hangisidir?
B) 2
3
D) −
2
C) 3
A) x + 2
x−2
7
E)
2
3.
f : R – {2} → R – {3}
f (x) =
4.
B) 13
C) 12
D) 11
Raunt
2
7
C) 0
D)
3
2
f(x) = 23x+1 + 1
E) −
1
2
C)
E)
x−2
3
olduğuna göre, f–1(17) nin değeri kaçtır?
A) –2
B) 1
C) 2
8.
f(2x + 1) = 3x + 1
f–1(k) = 9
olduğuna göre, f–1(2) nin değeri kaçtır?
B)
f:R→R
E) 10
B) x3 – 2
D) x3 + 2
7.
f(x – 1) = 2x + 1
A) 1
24
3x + 6
x−2
olduğuna göre, f–1(4) nin değeri kaçtır?
A) 14
x − 2 fonksiyonu veriliyor.
olduğuna göre, f–1(2) nin değeri kaçtır?
A) 0
3
D) 3
E) 4
D) 12
E) 13
olduğuna göre, k kaçtır?
A) 3
B) 9
C) 10
Matematik-10 Ünite-3
9. f(x) doğrusal fonksiyon,
f(1) = 2
f(3) = 5
B) 0
C) 1
2
10.
olduğuna göre, f–1(–1) in değeri kaçtır?
A) –1
ff
13.
D) 2
olduğuna göre, f–1(2) değeri kaçtır?
A) −
E) 3
1
3
14. f (x) =
2
f(x – 3x) = 3x – 9x + 7
olduğuna göre, f–1(–2) nin değeri kaçtır?
A) 5
B) 2
ff
11.
C) 0
D) –1
E) –3
B)
1
4
D) 2
E)
3
2
− ax − 1
fonksiyonu veriliyor.
x+1
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
f–1(0) ın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
B) –4
C) 0
f : R – {2} → R – {1}
D) 3
f (x) =
12. f : R – {0} → R – {–1}
2 + f (x)
= x+1
1 + f (x)
fonksiyonu birebir ve örten olduğuna göre,
a + b toplamı kaçtır?
E) 4
olduğuna göre, f–1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
x
3−x
B)
D)
2
x
x−1
2x + 1
C)
E)
−x
1+x
ax + 2
bx − 1
A) − 2
A)
C)
f(x) = f–1(x) olduğuna göre, a kaçtır?
15.
fonksiyonu veriliyor.
2
5
2
x +1
1
p = x2 +
−2
x
x2
A) –6
2x + 1
6 − 2x
p=
x−3
6x + 3
1
x+1
B) −
3
2
1
2
C) −
16.
y = f(x) olmak üzere,
xy + x = 3y + 1
D) 0
E) 1
olduğuna göre, f–1(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x−2
3x
B)
D)
x
3
3x + 1
x+1
C)
E)
2x + 1
x−2
2x
x+1
Raunt
25
Sınav
Kodu:
M101022
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
8
Konu Testi
1. f (x) =
dir?
5
x + 1 ise f–1(x) aşağıdakilerden hangisi-
B) x 3 + 1
A) 5x + 1
1
D) x +
5
C) x 5 − 1
5. f(x) doğrusal fonksiyon,
f–1(3) = 2
f(1) = 7
E) 2x − 1
olduğuna göre, f − 1 f
A) −
f:R→R
2.
f (x) = 3
3
x −2
B) 42
f(x) = kx – 2
f–1(3) = –1
+5
C) 56
D) 64
7
13
D) 4
21
2
E)
f(x) = f–1(x) olduğuna göre, k kaçtır?
B) –4
A) − 3
E) 70
7.
olduğuna göre, k kaçtır?
A) –5
C) –1
D) 1
E)
3
5
B) − 1
fe
C)
3
2
D)
5
2
E) 4
x+5
6x − 3
o=
2x − 1
− 20 − 4x
olduğuna göre, f–1(–1) in değeri kaçtır?
A) −
1
5
C) − 1
B) 0
D) 1
E)
3
4
f : IR – {–7} → IR – {3}
4.
f (x) =
8.
3x − 2
x+7
olduğuna göre, f–1(–1) in değeri kaçtır?
A) −
26
C)
olduğuna göre, f (14) kaçtır?
3.
31
12
–1
A) 38
B)
2kx + 1
fonksiyonu veriliyor.
x−3
6. f (x) =
10
9
2
p kaçtır?
3
1
5
Raunt
B) 0
C)
2
3
D)
1
7
E) −
5
4
ff x +
1
x−3
p=
2
5
olduğuna göre, f–1(–3) kaçtır?
A) 0
B) −
23
2
C)
17
4
D)
1
3
E)
2
5
Matematik-10 Ünite-3
9.
f:R→R
f(x) = 3x – 2
olduğuna göre, f–1(3) kaçtır?
A)
5
3
B)
2
3
C) −
1
2
D) 1
E) 3
13.
f: R − *
3
1
4 " R −* 4
2
3
f (x) =
3 − ax
bx + 2
fonksiyonu birebir ve örten olduğuna göre,
a + b toplamı kaçtır?
A) −
10.
f(5x – 2) = 2x – 3
f–1(a) = 23
9
5
B) –2
C) 0
D) 1
E) 7
7
3
C) 0
D) 3
E) 4
14.y = f(x) fonksiyonu için,
2x − 1
x+3
olduğuna göre, f − 1 f
2
3
B)
1
8
C) −
1
24
D)
1
3
E) −
1
7
15.
C)
E)
3x + 3
2x − 2
3x
x+1
f(2x + 1) = 3x–2 + 5
fonksiyonu için, f–1(32) değeri kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
f (x) = * 2x + 1,
x + 3,
x>2
x#2
D) 11
E) 12
2.f (x) − 3
= 2x − 1
2 − f (x)
olduğuna göre, y = f–1(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x−2
3x
x+2
x−1
3
p nin değeri kaçtır?
2
12. B)
D)
x2 − x
p = − 4x 2 + 4x + 1
ff
3
11.
A)
2xy – 3 = 3y + 2x
olduğuna göre, f–1(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B) −
olduğuna göre, a kaçtır?
A) −
8
9
2x + 1
x−2
B)
D)
2
2x + 1
−x + 1
2x − 4
E)
C)
3x + 1
2x − 2
1 − 2x
3
16.
olduğuna göre, f–1(1) değeri kaçtır?
A) –4
B) –2
C) 0
D) 3
E) 5
Raunt
27
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar
Tanım: f : A → R olmak üzere, ∀x ∈ A için f(x) > 0 ise f fonksiyonuna A da pozitif tanımlı,
f(x) < 0 ise f fonksiyonuna A da negatif tanımlı fonksiyon denir.
23
Örnek
Çözüm
f(x) < 0 için
x ∈ (–3, 5) – {2} olduğundan
–1, –1, 0, 1, 3, 4
x'in alacağı değerler toplamı 5 bulunur.
y
0
–3
5
2
23
x
Yukarıdaki şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, f(x) in negatif tanımlı olduğu aralıkta, x in
alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Tanım: f : A → R fonksiyonu verilsin. ∀x1, x2 ∈ A ve x1 < x2 için,
• f(x1) < f(x2) ise f fonksiyonuna monoton artan denir.
• f(x1) ≤ f(x2) ise f fonksiyonuna azalmayan denir.
• f(x1) > f(x2) ise f fonksiyonuna monoton azalan denir.
• f(x1) ≥ f(x2) ise f fonksiyonuna artmayan denir.
24
Örnek
Çözüm
f(x) = 7 – 3x fonksiyonunun reel sayılar kümesi üzerinde artan veya azalanlığını inceleyiniz.
25
Örnek
f(x)
4
6
x
Yukarıdaki şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, f(x) in azalan olduğu en geniş aralık
nedir?
28
Raunt
25
(–1, 1) ∪ (4, 6) bulunur.
1
–1 0
f(x) = 7 – 3x için
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) olduğundan
f(x) reel sayılarda azalan bir fonksiyondur.
Çözüm
y
–2
24
Matematik-10 Ünite-3
Fonksiyonun Ortalama Değişim Hızı
A(x1, y1), B(x2, y2) ∈ f olmak üzere bir f fonksiyonunun [x1, x2] aralığındaki ortalama değişim hızı,
m AB =
26
Örnek
f (x 2) − f (x1)
x 2 − x1
=
y 2 − y1
x 2 − x1
y
A
y2
y1
f
B
olur .
O
Çözüm
x1
x2
x
26
y
7
1
−4 −
1
f (2) − f (− 5)
2
m=
=
= 2 = − bulunur.
2
7
2 − (− 5)
2+5
2
5
4
1/2
–5
f(x)
0
2
x
Şekilde f(x) fonksiyonun grafiği verilmiştir.
Yukarıdaki verilere göre, f fonksiyonunun [–5, 2]
aralığında ortalama değişim hızı kaçtır?
27
Örnek
Çözüm
Yandaki grafikte bir
otomobilin aldığı yola
bağlı olarak deposunda
değişen benzin miktarı
gösterilmiştir.
depo (lt)
40
25
O
120
yol (km)
Otomobilin deposunda 60 lt benzin olduğuna göre,
deposu dolu olarak yola çıkan otomobil 40 km yol
aldığında deposunda kaç lt benzin kalır?
28
Örnek
1
f (120) − f (0) 25 − 40
=
=−
120 − 0
120
8
1
f (40) − f (0)
m=
=−
40 − 0
8
1
x − 60
=
40 5
8
x = 55 lt bulunur.
m=
Çözüm
y
D
f(x)
4
27
28
f (3) − f (− 6) − 1 − (− 2) 1
=
=
3 − (− 6)
9
9
f (5) − f (− 4) 4 − (− 3) 7
mBD =
=
=
5 − (− 4)
9
9
1
m AC
1
bulunur.
= 9 =
7
7
mBD
9
m AC =
–6
–4
3
O
–1
–2
A
B
5
x
C
–3
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
m
Yukarıdaki verilere göre, AC oranı kaçtır?
mBD
Raunt
29
Sınav
Kodu:
M101023
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
9
Konu Testi
1.
y
f(x) = x
2
4.
f(x) = x2 + 1
g(x) = x – 1
x
0
olduğuna göre, f
A) 5
Şekilde f(x) = x2 fonksiyonun grafiği verilmiştir.
Yukarıdaki verilere göre, y = f(x – 1) fonksiyonun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
y
B)
0
x
0
x
–1
y
D)
0
y
C)
D) 10
E)
10
3
f = {(–2, 1), (1, 3), (2, 4), (5, 3)}
g = {(–3, 1), (0, 2), (1, 4), (3, –1), (5, 4)}
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi f . g
fonksiyonunun elemanıdır?
A) (–2, 1)
B) (25, 12)
C) (6, 1)
D) (1, 1)
E) (1, 12)
–1
2.
C) 9
5.
x
0
x
9
2
y
E)
1
0
x
B)
f
p (3) değeri kaçtır?
g
y
2
y = f(x)
–2
1
–1 0
3
x
6. f(x) in grafiği y – eksenine göre, g(x) in grafiği orijine
göre simetriktir.
–1
Şekilde y = f(x) fonksiyonun grafiği verilmiştir.
Yukarıdaki verilere göre, y = –f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki noktaların hangisinden
geçmez?
f(3) = –2 ve g(–4) = 3 olduğuna göre,
f (− 3) .g (4)
f (− 3) + g (− 4)
ifadesinin değeri kaçtır?
A) −
6
5
B) − 3
C) 0
D)
6
5
E) 6
A) (–2, 0)
B) (3, 0)
C) (1, 2)
D) (–1, –2)
E) (0, 0)
3.
(f + g)(x) = 2x + 5
(f – 2g)(x) = 5x – 1
olduğuna göre, g(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x + 3
B) x – 2
C) –x + 2
D) x + 1
E) 2x – 1
30
Raunt
7.
f(x) = ax2 + 2x + b
g(x) = 3x2 + cx + 4
fonksiyonları veriliyor.
(f + g)(x) çift, (f – g)(x) tek fonksiyon olduğuna
göre, a.b.c çarpımı kaçtır?
A) –24
B) –12
C) 0
D) 6
E) 24
Matematik-10 Ünite-3
12. f : R – {2} → R – {–3}
8. Aşağıdakilerden hangisi bir tek fonksiyonun
grafiği olabilir?
A)
y
B)
y
x
0
x
0
y
D)
0
0
x
birebir ve örten bir fonksiyon olduğuna göre,
(a, b) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
0
A) (2, –3)
B) (–2, 6)
C) (–3, –2)
D) (6, –2)
E) (2, 3)
x
f (x) =
13.
y
9.
2
–1
5
fonksiyonu veriliyor.
(fof)(x) = x olduğuna göre, f(–1) değeri kaçtır?
A) –6
y = f(x)
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
(fof)(2x + 1) = 2
Yukarıdaki verilere göre, eşitliğini sağlayan x
değerlerinin toplamı kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 2
ax + 4
3x + 2
x
3
ax + 2
bx + 4
y
E)
x
f (x) =
y
C)
D) 5
E) 7
B) –3
C) 0
14.
(f–1og)–1(x) = 2x + 3
g(x) = 3x – 4
D) 2
E) 3
olduğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2x + 3
B)
D) 6x + 5
3x − 7
2
C)
E) 3x + 1
2x + 7
3
10. f(x) doğrusal fonksiyondur.
(fof)(x) = 4x – 9
olduğuna göre, f(1) in alabileceği değerlerin
toplamı kaçtır?
A) –6
B) –4
C) –1
D) 6
E) 7
15. f : R+ → R tanımlı f(x) = x2 fonksiyonunun tersinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x
0
11.
f(x) = x2 – 1
g(x) = 2x + 1
A) –4
B) 0
C) 36
D) 42
0
C)
x
0
y
D)
olduğuna göre, (fogof)(2) değeri kaçtır?
y
B)
y
x
0
y
E)
x
y
0
x
E) 48
Raunt
31
Sınav
Kodu:
M101024
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
10
Konu Testi
y
1.
y = f(x)
3
–2
Şekildeki y = f(x) fonksiyonun grafiği verilmiştir.
Yukarıdaki verilere göre, y = –f(–x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
y
B)
y
x
–2 0
0
y
D)
0
x
2
x
2
3
3
B)
1
0
x
–1
–1
D)
E)
y
x
0
(
01
0
g(x) = x – 1
x
olduğuna göre, (f – 2g) (x) aşağıdakilerden
hangisidir?
Raunt
D) 3
E) 12
B) 3m–2n C) 0
D) 2n–m E) 1
x
A) x2 – 2x
B) x2 + 2x – 3 C) x2 + 2x + 3
2
D) x – x
E) x2 – 2x + 3
32
C) 2
ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
7. f(x) tek fonksiyon, g(x) çift fonksiyon olduğuna
göre, aşağıdakilerden hangisi çift fonksiyondur?
A) f (x) .g (x)
B)
D) f (x) .g (x) + x
2
f(x) = x + 1
B) –3
f (2m − n) + g (m − n)
f (n − 2m) − g (n − m)
–1
3.
f
) (x) = x + 1
g
olduğuna göre, f(2) değeri hangisi olabilir?
A) –1
y
–1
y
1
x
0
x
6. f(x) in grafiği orijine göre, g(x) in grafiği y – eksenine
göre simetrik olduğuna göre,
C)
y
1
(f . g)(x) = x3 + 4
x
2. f : R → R tanımla f(x) = –x3 + 1 fonksiyonunun
grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
5.
A) –6
0
–2
f
fonksiyonu aşağıdakilerden
olduğuna göre,
g
hangisidir?
A) {(–1, 2), (2, 2)}
B) {(–1, 1), (1, –2), (2, 2)}
C) {(–1, 1), (2, –1)}
D) {(1, 2)}
E) {(–1, 2)}
y
–3
A)
g = {(–2, 1), (–1, 2), (2, 2), (3, 5)}
–2
E)
0
y
C)
3
3
f = {(–1, 2), (0, 0), (1, –1), (2, –2)}
x
0
4.
f (x)
g (x)
2
C) f (x) + g (x)
E) f (x) .g (x) .x
3
8. y = f(x) çift fonksiyondur.
f(x) = 2.f(–x) – x2 + 3
olduğuna göre, f(–2) değeri kaçtır?
A) –4
B) 1
C) 2
D) 4
E) 6
Matematik-10 Ünite-3
9.
f = {(1, 3), (2, 5), (3, 4), (4, 3)}
13.
(fog)(x) = 3x + 2
g = {(3, –1), (4, 2), (5, 3)}
(g–1of)(x) = 2x + 1
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi (gof)
fonksiyonunun elemanı değildir?
olduğuna göre, (fof)(–1) değeri kaçtır?
A) –2
A) (1, –1)
B) (2, 3)
2)
D) (4, –1)
E) (4, 5)
f : R – {0} → R – {1}
f (x) =
14.
(fog)(x) = 3x + 1
(fog–1)(x) = 2x – 3
3x + 2
x+2
B)
D)
x+2
x
2x + 2
x+2
C)
x+1
x+2
E)
3
–2
Şekilde y = f(x) fonksiyonun grafiği verilmiştir.
Yukarıdaki verilere göre, (fofofo...of) (− 2) değeri
1 44 2 44 3
52 tan e
kaçtır?
A) –2
B) 0
C) 2
D) 3
1
2
16.
B) 0
C) 1
B)
D)
3x − 11
3
2x + 11
3
E)
E) 2
4
f(x)
D
3
2
–3
(fog–1) (3x – 4) = f(2x + 3)
3x − 17
2
2
3
E) 52
–1
O
5
–1
olduğuna göre, g(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A)
D)
y
B
A
12.
x
Şekilde y = f(x – 2) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
f − 1(0) + f (0)
Yukarıdaki verilere göre,
kaçf − 1(3) + f (− 2)
tır?
A) −
E) 6
y = f(x – 2)
2
0
x
2
D) 5
2
–2
y = f(x)
–2 0
E) 6
3
3
C) 4
y
2x + 1
x+1
y
B) 3
15.
11.
D) 3
olduğuna göre, (gog)(2) değeri kaçtır?
A) –2
x+2
x
olduğuna göre, (fof)(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A)
C) 0
C) (3,
10.
B) –1
C)
2x + 1
3
2x + 17
3
x
6
C
Şekilde f fonksiyonun grafiği verilmiştir.
Yukarıdaki verilere göre, (mAC – mBD) farkı kaçtır?
A) −
2
35
B)
1
20
C)
3
16
D)
1
7
Raunt
E)
2
5
33
1
Ünite-4
ANALİTİK GEOMETRİ
Kazanımlar
10.4.1.
Doğrunun Analitik İncelenmesi
10.4.1.1. Analitik düzlemde iki nokta arasındaki
uzaklığı veren bağıntıyı oluşturur ve
uygulamalar yapar.
10.4.1.2. Bir doğru parçasını belli bir oranda
(içten ve dıştan) bölen noktanın koordinatlarını hesaplar.
10.4.1.3. Analitik düzlemde doğru denklemini
oluşturur ve denklemi verilen iki
doğrunun birbirine göre durumlarını
inceler.
10.4.1.4. Bir noktanın bir doğruya uzaklığını
açıklar ve uygulamalar yapar.
34
Matematik-10 Ünite-4
ANALİTİK GEOMETRİ
Doğrunun Analitik İncelenmesi
Dik Koordinat Sistemi
Düzlemde biri yatay, biri dikey iki sayı doğrusunun dik kesişmesiyle oluşan sisteme dik koordinat sistemi, bu sistemin oluşturduğu düzleme de analitik düzlem denir.
y ekseni
II. bölge
(–, +)
I. bölge (+, +)
A(a, b)
b
apsis ordinat
orijin
III. bölge
(–, –)
a
x ekseni
IV. bölge
(+, –)
Sayı doğrularından yatay olanına x ekseni ya da apsis ekseni, dikey olanına ise y ekseni yada
ordinat ekseni denir. Doğruların kesim noktasına başlangıç noktası ya da orijin denir.
A(a, b) noktasının x – eksenine uzaklığı IbI, y – eksenine uzaklığı IaI dır.
x – ekseni üzerindeki noktaların ordinatı ve y – ekseni üzerindeki noktaların apsisi sıfırdır.
Örnek
1
Çözüm
1
Analitik düzlemde A(a, b) noktası III. bölgede olduğu-
A(a, b) noktası 3. bölgede ise a < 0 ve b < 0
na göre, B f − 3a,
ab
a.b
> 0 olduğundan B f − 3a,
p noktası
2
2
1. bölgede bulunur.
Örnek
a.b
p noktası hangi bölgededir?
2
2
A(m – 1, m – 5) noktası analitik düzlemde IV. bölgede
olduğuna göre, m nin alabileceği tamsayı değerlerinin
toplamı kaçtır?
–3a > 0 ve
Çözüm
2
A(m – 1. m 5) IV. bölgede ise
m–1>0
m–5<0
m > 1
m<5
1 < m < 5 ⇒ 2 + 3 + 4 = 9 bulunur.
Raunt
35
ANALİTİK GEOMETRİ
Örnek
3
Çözüm
k ∈ Z olmak üzere, A(3 – k, k – 1) noktası I. bölgede
olduğuna göre, A noktasının x eksenine uzaklığı kaç
birimdir?
3
A(3 – k, k – 1) noktası 1. bölgede ise,
3 – k > 0 ve k – 1 > 0
3–k>0⇒k<3
k–1>0⇒k>1
ise 1 < k < 3, k ∈ Z olduğundan k = 2 olmalıdır.
Buna göre, A(1, 1) noktasının x eksenine uzaklığı 1
birimdir.
İki Nokta Arasındaki Uzaklık
y
B(x2, y2)
y2
y1
0
IABI =
Örnek
Iy2 – y1I
Ix2–x1I
A(x1, y1)
x1
x2
2
x
(x 2 − x1) + (y 2 − y1)
2
4
Analitik düzlemde, A(3, 5) ve B(1, 1) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Örnek
5
Çözüm
IABI = IBCI olduğuna göre, k değeri kaçtır?
2
IABI =
(3 − 1) + (5 − 1)
4 + 16 =
=
Çözüm
Analitik düzlemde, A(2, –3), B(k, 5) ve C(–5, 6) noktaları
veriliyor.
4
IABI =
2
20 = 2 5 birim olur.
5
2
(2 − k) + (− 3 − 5)
2
ve IBCI =
IABI = IBCI olduğuna göre;
2
2
(2 − k) + 64 = (k + 5) + 1
4 – 4k + k2 + 64 = k2 + 10k + 25 + 1
–4k + 68 = 10k + 26
14k = 42
k = 3 olur.
36
Raunt
2
(k + 5) + (5 − 6)
2
Matematik-10 Ünite-4
Örnek
6
Çözüm
Dik koordinat sisteminde, A(x, 3) ve B(1, –5) noktaları
6
2
2
2
2
IABI = e (x − 1) + (3 + 5) o = (10)
veriliyor.
IABI = 10 birim olduğuna göre, x in alabileceği değerler kaçtır?
(x – 1)2 + 64 = 100
(x – 1)2 = 36
x – 1 = 6 ve x – 1 = –6
x=7
ve
x = –5 bulunur.
Bir Doğru Parçasını Verilen Oranda İçten veya Dıştan Bölen Nokta
1) AB doğru parçasını
A(x1, y1)
IACI
= k oranında içten bölen nokta C(x0, y0) olsun.
ICBI
C(x0, y0)
B(x2, y2)
IACI
=k
ICBI
x + kx 2
x0 = 1
1+k
y1 + ky 2
y0 =
olur.
1+k
Yani, C f
x1 + kx 2 y1 + ky 2
,
p bulunur.
1+k
1+k
2) AB doğru parçasını k oranında dıştan bölen nokta C(x0, y0) olsun.
A(x1, y1)
B(x2, y2)
C(x0, y0)
IACI
= k olsun.
IBCI
x − kx 2
x0 = 1
1−k
y1 − ky 2
y0 =
1−k
Yani, C f
x1 − kx 2
1−k
,
y1 − ky 2
1−k
p bulunur.
Raunt
37
ANALİTİK GEOMETRİ
Örnek
7
7
Çözüm
Analitik düzlemde, A(–1, 3) ve B(4, –7) noktaları veriliyor.
A(–1, 3)
IACI 2
oranında
=
IBCI 3
bölen C noktasının koordinatları nedir?
IACI 2
=
IBCI 3
AB doğru parçasını C ∈ [AB],
xo =
yo =
C(xo, yo)
B(4, –7)
2
8
5
(4) − 1 +
3
3
3
=
=
=1
2
5
5
1+
3
3
3
−1 +
2
14
(− 7) 3 −
3
3 =− 1
=
2
5
1+
3
3
3+
olup C(xo, yo) = C(1, –1) olur.
Örnek
8
Dik koordinat sistemde, A(1, –7), B(7, 5) ve C(x, y) noktaları doğrusaldır.
IACI 2
C ∉ [AB] ve
olduğuna göre, C noktasının
=
IBCI 5
koordinatları nedir?
Örnek
9
8
Çözüm
3a
B(7, 5)
2a
A(4, –7)
C(x, y)
Apsisler için, 3a için 6 birim azalmış ise 2a için 4 birim
azalır ve xo = 1 – 4 = –3 olur.
Ordinatlar için, 3a için 12 birim azalmış ise 2a için 8
birim azalır ve
yo = –7 – 8 = –15 olur.
C(xo, yo) = (–3, –15) bulunur.
Çözüm
9
A(3, 5) ve B(18, –1) noktaları veriliyor.
IACI
= 2 oranında içten bölen C noktasının
IBCI
koordinatları nedir?
[AB] nı
A(3, 5)
C(xo, yo)
IACI
=2
IBCI
3 + 2 (18) 39
xo =
=
= 13
1+2
3
5 + 2 (− 1) 3
yo =
= =1
1+2
3
olup C(xo, yo) = C(13, 1) olur.
38
Raunt
B(18, –1)
Matematik-10 Ünite-4
Örnek
10
Çözüm
A
B
ABC üçgen
D ∈ [AB] olmak üzere, D(xo, yo) olsun.
A(2, 5)
1
1
.6
5 + (− 3)
3
3
xo =
= 3, y o =
= 3 olup
1
1
1+
1+
3
3
2+
B(6, –3)
D
C(13, –17) dir.
IADI 1
=
IDBI 3
IBEI 2
=
5
C IECI
IDEI = x
E
10
Yukarıdaki verilere göre, IDEI = x kaç birimdir?
D(xo, yo) = D(3, 3) olur.
E ∈ [BC] olmak üzere, E(x1, y1) olsun.
2
2
6 + .13
− 3 + . (− 17)
5
5
x1 =
= 8, y1 =
=− 7
2
2
1+
1+
5
5
E(x1, y1) = E(8, –7) olur.
2
2
IDEI = (3 − 8) + (3 + 7) = 25 + 100 = 5 5
birim olur.
HATIRLATMA
Bir Doğru Parçasının Orta Noktasının Koordinatları
Analitik düzlemde, AB doğru parçasının uç noktaları A(x1, y1), B(x2, y2) olsun.
AB doğru parçasının orta noktasının koordinatları C(x0, y0) ise,
A(x1, y1)
C(x0, y0)
B(x2, y2)
Bir doğru parçasının verilen oranda içten bölen nokta koordinatları uygulanırsa, IACI = IBCI
olduğundan k = 1 dır.
x0 =
Cf
Örnek
x1 + x 2
2
ve
y0 =
y1 + y 2
olduğundan,
2
x1 + x 2 y1 + y 2
,
p bulunur.
2
2
11
A(1, 3) ve B(–3, 7) noktaları veriliyor.
Çözüm
[AB] nın orta noktası C(xo, yo) olsun.
[AB] nin orta noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
11
xo =
1−3
3+7
= − 1, y o =
=5
2
2
C(xo, yo) = C(–1, 5)
C noktasının koordinatları toplamı;
–1 + 5 = 4 olur.
Raunt
39
ANALİTİK GEOMETRİ
Örnek
12
Çözüm
Köşelerinin koordinatları A(0, 5), B(2, 1) ve C(6, 3)
12
A(0, 5)
olan ABC üçgeninin, [BC] kenarına ait kenarortay
uzunluğu kaç birimdir?
Va
B(2, 1) D(xo, yo) C(6, 3)
xo =
2+6
1+3
= 4, y o =
= 2 olur.
2
2
va = IADI =
2
2
(0 − 4) + (5 − 2) = 16 + 9
= 5 birim olur.
HATIRLATMA
Köşe koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4) olan bir paralelkenarın karşılıklı
köşelerinin koordinatları arasında,
x1 + x3 = x2 + x4
y1 + y3 = y2 + y4
eşitliği vardır.
C(x3, y3)
D(x4, y4)
E
A(x1, y1)
Örnek
B(x2, y2)
13
Çözüm
D(1, –2)
A(2, 3)
C(5, –1)
B(a, b)
Analitik düzlemdeki ABCD paralelkenarında,
A(2, 3), B(a, b), C(5, –1), D(1, –2) olduğuna göre,
a + b toplamı kaçtır?
40
Raunt
13
2 + 5 = a + 1 ise a = 6
3 – 1 = b – 2 ise b = 4
a + b = 6 + 4 = 10 olur.
Matematik-10 Ünite-4
14
Örnek
Çözüm
14
[AD] nın orta noktası N(xo, yo) olsun.
A(2, 3)
K
xo =
N
2+0
3+1
= 1, y o =
= 2 olup
2
2
K(1–a, 3)
N(1, 2)
D(0, 1)
B
L
1–a
M
C
L(3, 4)
Dik koordinat sisteminde, ABCD dörtgen ve K, L, M, N
bulundukları kenarların orta noktalarıdır.
K(1 – a, 3), L(3, 4), M(1, –b), A(2, 3), D(0, 1) olduğuna
M(1, –b)
1 – a + 1 = 3 + 1 ise a = –2
3 – b = 4 + 2 ise b = –3
a + b = –2 – 3 = –5 olur.
göre, a + b toplamı kaçtır?
Doğru Denklemi ve İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları
Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları
ABC üçgeninin dik koordinat sisteminde köşe koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olsun.
Üçgenin ağırlık merkezi G(x0, y0) ise,
A(x1, y1)
F
E
G(x0, y0)
B(x2, y2)
x0 =
Gf
D
C(x3, y3)
x1 + x 2 + x 3
y +y +y
, y 0 = 1 2 3 olduğundan,
3
3
x1 + x 2 + x 3 y1 + y 2 + y 3
,
p bulunur.
3
3
Raunt
41
ANALİTİK GEOMETRİ
Örnek
15
Çözüm
Köşelerinin koordinatları A(–1, 2), B(3, 0) ve C(7, 1)
15
ABC üçgeninin ağırlık merkezi G(xo, yo) olsun.
olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları
−1 + 3 + 7
=3
3
2+0+1
yo =
=1
3
xo =
nedir?
G(xo, yo) = G(3, 1) olur.
Örnek
16
Çözüm
K(–3, 7) noktası, köşelerinin koordinatları A(x, 1), B(2, –4)
x+2+4
3
1−4+y
7=
3
−3 =
ve C(4, y) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.
x + y toplamı kaçtır?
16
ise x = − 15
ise y = 24
x + y = –15 + 27 = 9 olur.
Bir Doğrunun Eğimi ve Eğim Açısı
Bir d doğrusunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıya doğrunun eğim açısı denir. Eğim açısının tanjantına doğrunun eğimi denir.
y
d doğrusunun eğim açısı a olsun.
Doğrunun eğimi tan a = md şeklinde ifade edilir.
d
α
x
O
y
y
d1
α
O
m1 = tan α > 0
42
Raunt
y
d2
x
d4
α
O
m2 = tan α < 0
d3
x
O
m3 = tan α = 0
x
m4 = tan α = tanımsız
Matematik-10 Ünite-4
Örnek
17
17
Çözüm
y
y
d
d
60° = a
O
x
O
Yukarıda grafiği verilen d doğrusunun eğim açısı
kaç derecedir?
18
a : Eğim açısı
a = 60°
18
Çözüm
x ekseni ile pozitif yönde 45° açı yapan doğrunun
eğimi kaçtır?
Örnek
tan a = md
tan 45 = 1 = md
19
19
Çözüm
y
k
y
k
d
t
O
x
Yukarıdaki doğrulardan hangisinin eğimi daha büyüktür?
x
30°
30°
Örnek
60°
d
ad
O
ak
at
t
x
tan ad > tan at
ak > 90° olduğundan tan ak < 0 olur.
O halde, tan ad > tan at > tan ak olur.
Raunt
43
ANALİTİK GEOMETRİ
İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi
y
B
y2
y2 – y1
A
y1
O
Örnek
C
x2 – x1
α
x1
x2
20
larından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
21
k kaçtır?
22
d1
A(2, 0)
sisteminde A(2, 0),
x
noktaları veriliyor.
d1 doğrusunun eğimi m1, d2 doğrusunun eğimi m2
m1
oranı kaçtır?
m2
44
Raunt
x 2 − x1
20
=
−1 − 3 −4
=
= − 4 bulunur.
2−1
1
21
−1 − 3
− 3 − (− 1)
=
1 − (− 2)
k−1
−4
−2
&
=
3
k−1
5
&k=
bulunur.
2
mAB = mBC &
22
m = tan a bağıntısından, m1 = −
B(0, –3) ve C(–4, 0)
B(0, –3)
ise
y 2 − y1
y 2 − y1
olarak bulunur.
x 2 − x1
Şekildeki dik koordinat
y
C(–4, 0)
m AB =
Çözüm
d2
O
m d = m AB = tan a =
Çözüm
A(–2, 3), B(1, –1) ve C(k, –3) noktaları doğrusal ise
Örnek
x
Çözüm
Dik koordinat sisteminde, A(1, 3) ve B(2, –1) nokta-
Örnek
Dik koordinat sisteminde, A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen bir d doğrusu seçelim. Seçilen noktalar ile
%
oluşturulan ABC dik üçgeninde m (BAC) = a olur.
(Yöndeş açı)
3
3
ve m2 =
olur.
2
4
3
3 4
= 2 = − . = − 2 bulunur.
2 3
m2
3
4
m1
−
Matematik-10 Ünite-4
HATIRLATMA
d1 ve d2 doğruları birbirine paralel ise eğimleri eşittir.
d1 // d2 ⇔ m1 = m2
d1 ve d2 doğruları birbirine dik ise eğimleri çarpımı –1 dir.
d1 ⊥ d2 ⇔ m1 . m2 = –1
Örnek
23
(a + 2)x – 3y + 4 = 0 ve y = 2x – 5 doğruları birbirine
paralel olduğuna göre, a kaçtır?
Örnek
Çözüm
d1 // d2 ⇒ m1 = m2
_
a+2b
b
a+2
m1 =
=2
3 `&
3
b
m2 = 2
a
a+2=6
a = 4 bulunur.
24
y = (m + 1)x – 4 ve 2x – (m – 1)y + 7 = 0 doğruları
23
Çözüm
24
d1 ⊥ d2 ⇒ m1 . m2 = –1,
birbirine dik olduğuna göre, m değeri kaçtır?
_
m1 = m + 1 b
b
2
2 ` & (m + 1) . m − 1 = − 1
m2 =
m − 1b
a
2m + 2 = –m + 1
3m = –1 ⇒ m = −
Örnek
25
ox ekseniyle pozitif yönde 135° lik açı yapan d doğrusu ile (k – 2)x + (2k + 1)y – 3 = 0 doğrusu birbirine
paralel olduğuna göre, k değeri kaçtır?
Çözüm
25
md = tan 135° = –1, m1 =
d // d1 1
bulunur.
3
−k + 2
2k + 1
⇒ md = m1
−k + 2
=− 1
2k + 1
–k + 2 = –2k – 1
k = –3 bulunur.
Raunt
45
ANALİTİK GEOMETRİ
Analitik Düzlemde Doğru Denklemleri
d doğrusu üzerinde alınan A(x0, y0) noktası ve d doğrusu üzerindeki herhangi B(x, y) noktası
arasındaki bağıntıya doğrunun denklemi denir.
Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi
Analitik düzlemde, seçilen bir d doğrusu üzerinde A(x1, y1) sabit bilinen bir nokta, B(x, y) herhangi bir nokta ve d doğrusunun eğimi md = m olsun.
y
y2
y1
O
m=
B(x, y)
x 1,
A(
y 1)
y – y1
x – x1
x1
x
x
y − y1
olarak bulunur.
x − x1
Bu eşitliği düzenlediğimizde, y – y1 = m.(x – x1) elde edilir.
Bu denklem A(x1, y1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemidir.
Örnek
26
Çözüm
26
Eğimi m = –2 olan ve A(–3, 4) noktasından geçen
y – y1 = m(x – x1)
doğrunun denklemi nedir?
y – 4 = –2(x – (–3))
y + 2x + 2 = 0 bulunur.
Örnek
27
Analitik düzlemde A(2, –2) noktasından geçen ve
eğimi m =
1
olan doğrunun denklemi nedir?
3
Çözüm
27
y – y1 = m(x – x1)
y – (–2) =
1
(x – 2)
3
3y – x + 8 = 0 bulunur.
46
Raunt
Matematik-10 Ünite-4
HATIRLATMA
y = mx + n ise eğim m dir.
n ise doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.
ax + by + c = 0 şeklindeki denklemlere doğrunun genel kapalı denir.
Doğrunun eğimi −
Örnek
a
olarak bulunabilir.
b
28
3x – y + 2 = 0 doğrusunun Oy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
Örnek
29
x = 3y + 1 doğrusunun eğimi kaçtır?
Çözüm
x = 0 için 3 . 0 – y + 2 = 0
–y = –2
y = 2 bulunur.
Çözüm
30
2x – 3y + 6 = 0 doğrusunun eğimi kaçtır?
29
3y = x – 1
y=
Örnek
28
x 1
1
bulunur.
− &m=
3 3
3
Çözüm
30
3y = 2x + 6
y=
2
2
bulunur.
.x + 2 & m =
3
3
Raunt
47
ANALİTİK GEOMETRİ
İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi
Analitik düzlemde seçilen A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen d doğrusu üzerinde herhangi bir C(x, y) noktası alalım. Bu seçilen üç nokta aynı doğru üzerinde olduğu için herhangi iki
noktadan yararlanarak bulunan eğimler eşit olacaktır.
O halde,
mAB = mAC
y 2 − y1 y − y1
elde edilir.
=
x 2 − x1 x − x1
Örnek
31
Analitik düzlemde A(–1, 4) ve B(2, 5) noktalarından
geçen doğrunun denklemi nedir?
Çözüm
y 2 − y1
x 2 − x1
=
31
y − y1
x − x1
5−4
y−4
=
2 − (− 1) x − (− 1)
3y – x – 13 = 0 bulunur.
Örnek
32
Analitik düzlemde A(3, 5) noktasından ve orijinden
geçen doğrunun denklemi nedir?
Çözüm
32
A(3, 5) ve O(0, 0) noktalarından geçen doğrunun denklemi;
y 2 − y1
x 2 − x1
=
y − y1
x − x1
0−5 y−5
=
0−3 x−3
5x – 3y = 0 bulunur.
48
Raunt
Matematik-10 Ünite-4
Eksenleri Kestiği Noktaları Belli Olan Doğrunun Denklemi
Analitik düzlemde d doğrusunun x eksenini kestiği nokta A(a, 0), y eksenini kestiği nokta
B(0, b) olsun. Doğrunun denklemi;
y
B(0, b)
A(a, 0)
O
x
x y
+ = 1 şeklinde yazılabilir.
a b
Örnek
33
Çözüm
y
33
x
y
+
=1
4
3
3
(3)
(4)
3x + 4y – 12 = 0 bulunur.
4
x
O
d
Yukarıdaki d doğrusunun denklemi nedir?
Örnek
34
Çözüm
y
–3
x
O
34
x
y
+
=1
−3
−2
(− 2)
(− 3)
2x + 3y + 6 = 0 bulunur.
–2
d
Yukarıdaki d doğrusunun denklemi nedir?
Raunt
49
ANALİTİK GEOMETRİ
Özel Doğru Denklemleri
y eksenine paralel doğru denklemleri (x = a)
Analitik düzlemde y eksenine paralel doğrular x = a şeklinde ifade edilir. Bu tür doğrular x eksenini (a, 0) noktasında keserler.
Eğer a = 0 ise, x = 0 doğrusu y eksenidir.
y
x=a
x = a doğrusunun üzerindeki bütün noktaların apsisi a dır.
a
O
x
x eksenine paralel doğru denklemleri (y = b)
Analitik düzlemde x eksenine paralel doğrular y = b şeklinde ifade edilir. Bu tür doğrular y eksenini (0, b) noktasında keserler. Eğer b = 0 ise, y = 0 doğrusu x eksenidir.
y
y = b doğrusunun üzerindeki bütün noktaların ordinatı b dir.
b
y=b
y=0
x
O
Orijinden geçen doğru denklemleri (y = mx)
y = mx + n denkleminde n = 0 olacağından (0, 0) orjinden geçen doğru denklemleri y = mx
şeklinde ifade edilir. m nin doğrunun eğimi olduğu unutulmamalıdır.
y
O
50
Raunt
y = mx
x
Matematik-10 Ünite-4
y
y=x
m = 1 ise doğrunun denklemi y = x olur. Bu doğruya I. açıortay
doğrusu denir. Doğru x ve y ekseni ile 45° lik açı yapar.
45°
45°
x
O
45°
45°
y
y = –x
45°
45°
O
Örnek
m = –1 ise doğrunun denklemi y = –x olur. Bu doğruya II. açıortay doğrusu denir. Doğru x ve y ekseni ile 45° lik açı yapar.
45°
45°
x
35
35
Çözüm
A(2, –3) noktasından geçen ve x eksenine paralel olan
y
y = –3 doğrusu bulu-
doğrunun denklemi nedir?
nur.
2
x
0
–3
Örnek
36
Çözüm
y = –3
A
36
A(2k + 1, k – 1) noktası x = 5 doğrusu üzerinde ol-
A noktası x = 5 doğrusu üzerinde ise,
duğuna göre, A noktasının x eksenine olan uzaklığı
2k + 1 = 5 ve k = 2 olur.
kaç birimdir?
A(5, 1) noktasının x eksenine olan uzaklığı 1 br dir.
Örnek
37
2
A(k + 2, 2k + 1) noktası I. açıortay doğrusu üzerinde
olduğuna göre, k kaçtır?
Çözüm
37
I. açıortay doğrusu y = x olduğundan,
k2 + 2 = 2k + 1 ⇒ k2 – 2k + 1 = 0
⇒ (k – 1)2 = 0
⇒ k = 1 bulunur.
Raunt
51
Sınav
Kodu:
M101025
ANALİTİK GEOMETRİ
1
Konu Testi
1. A(a – 2, b + 3) noktası analitik düzlemin 4. bölgesinde olduğuna göre, B(a . b, a – b) noktası
için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) I. bölgededir.
B) II. bölgededir.
C) III. bölgededir.
D) IV. bölgededir.
E) Orjindedir.
4. A(2, –3) ve B(–8, 12) olmak üzere, C ∈ [AB] ve
IACI 2
olacak şekilde bir C noktası alınıyor.
=
IBCI 3
Buna göre, C noktasının koordinatları nedir?
A) (–3, 2)
B) (–3, –2)
C) (–2, 3)
D) (–2, –3)
E) (2, –3)
5.
ABC üçgen
A
[AD] ∩ [BE] = {F}
2. A(a, 3) ve B(2, –5) noktaları için IABI = 10 birim
olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin
çarpımı kaçtır?
E
F
B
A) –32
B) –24
C) 0
D) 24
E) 32
IBFI = IFEI
IAEI = 3.IECI
D
C
A(2, 0), B(3, 2) ve F(4, –2) olmak üzere, C noktasının koordinatları nedir?
A) (–6, 8)
B) (–6, –8)
C) (6, 8)
D) (6, –8)
E) (8, 6)
3. A(3, –1) noktası, uç noktaları B(4, a) ve C(b, 1)
olan [BC] nın orta noktası olduğuna göre, ab
çarpımı kaçtır?
A) 12
52
Raunt
B) 6
C) 4
D) –4
E) –6
6. Köşelerinin koordinatları A(2, –3), B(4, –1) ve
C(a, 7) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezi
G(1, b) olduğuna göre, ab çarpımı kaçtır?
A) –7
B) –3
C) –1
D) 3
E) 7
Matematik-10 Ünite-4
7. Koordinat eksenleri ile dördüncü bölgede
ikizkenar üçgen oluşturan bir doğrunun eğimi,
üçüncü bölgede ikizkenar üçgen oluşturan bir
doğrunun eğiminden kaç fazladır?
y
9.
F
C
O
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
OABC dikdörtgen
d
ADEF kare
E
B
A
D
x
IOAI=IADI = 3 birim
E) 5
Şekildeki karenin çevresi dikdörtgenin çevresinden 2 birim fazla olduğuna göre, C ve F
noktalarından geçen d doğrusunun denklemi
nedir?
A) 3x – y – 6 = 0
B) 3x + y – 6 = 0
C) 3x – y + 6 = 0
D) x + 3y + 6 = 0
E) x – 3y + 6 = 0
8.
y
d4
d2
d3 d 1
1
–2
O
3
x
–4
Şekildeki doğruların eğimlerinin küçükten
büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) m1 < m2 < m3 < m4
B) m1 < m3 < m2 < m4
C) m3 < m4 < m2 < m1
D) m3 < m1 < m2 < m4
E) m2 < m3 < m1 < m4
10. Köşe koordinatları A(2, 3), B(–1, 2) ve C(3, –4)
olan ABC üçgeninin [BC] kenarına ait kenarortayını taşıyan doğrunun denklemi nedir?
A 4x + y – 5 = 0
B) 4x – y – 5 = 0
C) 4x – y + 5 = 0
D) –4x + y + 5 = 0
E) –4x – y – 5 = 0
Raunt
53
Sınav
Kodu:
M101026
ANALİTİK GEOMETRİ
2
Konu Testi
1.
5.
B
C
D
C
A
E
A
E
P
1
olduğuna göre, X aşağıdaki2
lerden hangisidir?
[PX] nın eğimi
A) A
B) B
D
R
P
B
C) C
D) D
E) E
R, [PX] nın orta noktasıdır.
X noktası aşağıdakilerden hangisidir?
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
2.
A C
P
D
B
ER
[PR] nı IPXI = 3.IRXI oranında içten bölen X
noktası aşağıdakilerden hangisidir?
A) A
B) B
C) C
R
A CBD
D) D
6. P(2a – 10, a + 3) noktası II. bölgede ise a nın
alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
E) E
3.
P
E
7. A(–1, 4) noktası ile orijinden geçen doğrunun
eğimi kaçtır?
[PR] nı 3.IRXI = 2.IPXI oranında dıştan bölen X
noktası aşağıdakilerden hangisidir?
A) A
B) B
C) C
D) D
A) 4
54
Raunt
C) 0
D) –4
C)
1
2
D) −
1
4
E) − 4
8. A(2, 6) ve B(4, 2) noktalarından eşit uzaklıkta
ve y ekseni üzerinde olan noktanın ordinatı
kaçtır?
A) 2
B) 4
1
4
E) E
4. A(–6, –4) noktasının B(–2, –k) noktasına uzaklığı
5 birim olduğuna göre, k sayısının alabileceği
değerler toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 8
B)
E) –8
B)
5
2
C) 3
D)
7
2
E) 4
Matematik-10 Ünite-4
9. A(–2, 3) ve B(1, 6) noktaları veriliyor.
AB doğrusunun denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) y – x + 5 = 0
C) x – y – 3 = 0
E) x + y + 5 = 0
13. 3x – 2y + 6 = 0 doğrusunun x ekseni üzerindeki
noktasının apsisi kaçtır?
A) –3
B) –2
C) 1
D) 2
B) x – y + 5 = 0
D) x + y + 3 = 0
14.
y
ABCD karesinin
y–x+4=0
D köşesi
D
O
10. Eksenleri kestiği noktaları A(–3, 0) ve B(0, 4)
olan doğrunun denklemi nedir?
A) 4x – 3y + 12 = 0
B) 3x – 4y + 12 = 0
C) 3x + 4y – 12 = 0
D) 3x + 4y + 12 = 0
E) 3x – 4y – 12 = 0
C
A
[OA] ⊥ [AB]
y
x
B
A) 1
B) 2
C) 4
B
B(–3, 0)
x
&
Yukarıdaki verilere göre, Alan (AOB) kaç birimkaredir?
A) 150
B) 200
C) 270
D) 280
noktaları verliiyor.
O
C
B) 2
C) 3
B
O
x
D) 4
x
B(2, 0)
C(0, –6)
C
d
B(a, 4a) köşesi d : 2x + y – 6 = 0 doğrusu üzerinde olan ABCO dikdörtgenin alanı kaç br2 dir?
A) 1
d1 ⊥ d2
y
A
B
x
O
d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
16.
A
E) 12
A) 3x – 2y + 6 = 0
B) 2x – 3y – 6 = 0
C) x – 2y – 6 = 0
D) 2x – 3y + 6 = 0
E) 3x – 2y – 6 = 0
E) 300
y
12.
D) 9
B(–3, 0)
A(0, 2)
O
IOBI = 8 birim
A(0, 2)
y
A(9, 12)
A(9, 12)
y – x + 4 = 0 doğrusu üzerindedir.
ABCD karesinin alanı kaç br2 dir?
15.
11.
E) 3
E) 8
d1
d2
ACB üçgeninin alanı kaç br2 dir?
A) 36
B) 42
C) 48
D) 52
E) 60
Raunt
55
Sınav
Kodu:
M101027
ANALİTİK GEOMETRİ
3
Konu Testi
1. A(a – 3, b + 2) ve B(a + 2, b – 10) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
5. A
B
E) 13
A(2, –4), B(0, 6) ise C noktasının koordinatları
toplamı kaçtır?
A) 18
2.
B(3, 5)
B
A
6.
C(x, 0)
O
x
C
Verilenlere göre, x kaçtır?
A) 1
B) 15
C) 12
D) 9
E) 6
A(0, 2)
y
A, B, C doğrusal
IABI 2
=
IBCI 3
C
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
ABC üçgeninde,
G, ağırlık merkezi
E, D, F kenarların
E
D
orta noktaları
G
D(–2, 3)
E(2, 4)
B
C F(0, 2)
F
Verilenlere göre, G noktasının koordinatları
aşağıdakilerden hangisidir?
A
A) (–1, 2)
B) (0, 3)
C) (0, 1)
D) (2, 0)
E) (–1, 3)
3. A(2, a), B(b – 2, 2a + 1) noktalarının orta noktası
C(3, 2) noktası olduğuna göre, a + b toplamı
kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 7
E) 8
7.
ABC üçgeninde
A
G, ağırlık merkezi
A(4, 2)
G
B(–3, 0)
G(0, 6)
D
B
C
Verilenlere göre, C noktasının koordinatları
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–12, 2)
B) (1, 12)
C) (–1, 16)
D) (–1, –4)
E) (4, 8)
4. A(–2, a)
C(2, 2)
B(b, 8)
IACI = 2.IBCI
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) –8
56
A, C, B doğrusal
Raunt
B) –6
C) –4
D) 2
E) 9
8. A(–1, 3) ve B(2, 6) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
A)
2
3
B)
3
2
C)
1
2
D)
1
3
E) 1
Matematik-10 Ünite-4
9.
G, ABC üçgeninin
ağırlık merkezidir.
A(–1, 5)
A(–1, 5)
G
dir?
B(5, 3)
C G(0, 2)
B(5, 3)
Verilenlere göre, [AB] kenarına ait kenarortay
uzunluğu kaç birimdir?
A) 4 2
B) 5
10.
C) 5 2
D) 6
y
d2
d1
4
2
–3
1
olan
2
doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisi-
13. A(–1, 2) noktasından geçen ve eğimi
O
8
A) x – 2y + 5 = 0
C) 2x + y – 4 = 0
E) x – y – 5 = 0
B) x + 2y + 3 = 0
D) 2x – y – 5 = 0
E) 6 2
Analitik düzlemde d 1 ve
d2 doğrularının x ve y ekx senlerini kestiği noktalar
verilmiştir.
14. Analitik düzlemde A(2, y), B(–1, y) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
A) x = 2
B) y = –1
C) y = 2x
D) x + 2y = 0
E) x = –1
Buna göre, d1 ve d2 doğrularının eğimleri toplamı kaçtır?
A) −
1
2
B)
2
3
C)
1
6
D)
2
5
E)
1
3
11. 2x – (2a + 3)y – 5 = 0 doğrusunun x ekseni ile
pozitif yönde yaptığı açı 135° olduğuna göre,
a kaçtır?
A) −
3
2
B) −
5
2
C) − 1
D)
2
3
E)
15. Analitik düzlemde x ekseni ile pozitif yönde
45° açı yapan ve orjinden geçen doğrunun
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x
B) y = –x
C) x = 2
D) x = 2y
E) y = 2x
2
5
16. A(–1, 2) ve B(3, 5) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
12.
3 .x − y + 4 = 0 doğrusu ile x + y + 3 = 0 doğruları arasındaki dar açı kaç derecedir?
A) 30
B) 40
C) 60
D) 75
E) 80
A) 3x – 4y + 11 = 0
B) 2x – 3y + 8 = 0
C) 3x – 2y + 6 = 0
D) x – y – 6 = 0
E) x + y – 8 = 0
Raunt
57
ANALİTİK GEOMETRİ
Doğruların Birbirine Göre Durumları
Paralel Doğrular
d1 ve d2 doğruları paralel ise, doğruların eğim açıları eşit olacağından eğimler birbirine eşittir.
y
d1
A
D
d2 : a2x + b2y + c2 = 0
α
α
O
E
d1 : a1x + b1y + c1 = 0
d2
B
x
C
a1 b1
c
! 1 olur.
=
a2 b2
c2
Dik Doğrular
d1 ve d2 doğruları dik ise, doğruların eğim açıları arasındaki trigonometrik oran nedeniyle eğimler çarpımı –1 dir.
y
d2
O
d1
α
β
α + 90° = β
m1 . m2 = –1 olur.
x
Çakışık Doğrular
d1 ve d2 doğruları çakışık (aynı doğru) ise;
d1 : a1x + b1y + c1 = 0
d2 : a2x + b2y + c2 = 0
a1 b1 c1
olmalıdır.
=
=
a2 b2 c2
Örnek
38
d1 : –2x + 4y – 5 = 0
d2 : 3x + (a – 2)y + 3 = 0
denklemleriyle verilen d1 ve d2 doğruları birbirine
paralel ise a kaçtır?
Çözüm
d1 // d2 ⇒
38
4
−2
−5
!
=
3
a−2
3
–2a + 4 = 12
–2a = 8
a = –4 bulunur.
58
Raunt
Matematik-10 Ünite-4
39
Örnek
Çözüm
d1 ⊥ d2 ⇒ md1 . md2 = –1 dir.
Analitik düzlemde
2x – 3y + 2 = 0 ve
4x – (b + 1)y + 5 = 0
39
m= −
doğruları birbirine dik ise b kaçtır?
a
2
2
⇒ md1 = −
=
b
(− 3) 3
md2 = −
4
4
=
− (b + 1) b + 1
2 4
.
= − 1 ⇒ 8 = –3b – 3
3 b+1
3b = –11
b= −
40
Örnek
Çözüm
d1 : –x + 3y + 6 = 0
y
d1 ⊥ d 2
d1 ∩ d2 = {A}
11
bulunur.
3
40
d1 ⊥ d2 ⇒ md1 . md2 = –1 dir.
_
−1 1
b
=
b 1
2
1
3
3
` 3 . a − 2 =− 1
2
2 b
md = −
=
2
− (a − 2) a − 2 b
a
md = −
A
x
O
d2 : 2x – (a – 2)y + 5 = 0
2 = –3a + 6
3a = 4
Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, a kaçtır?
Örnek
41
Çözüm
a=
4
bulunur.
3
41
4x – y + 2 = 0 doğrusu ile x + y + 8 = 0 doğrusunun
kesim noktalarının koordinatları toplamı kaçtır?
+
x + y = –8
–––––––––––––––
5x = –10
4x – y = –2
x = –2
x + y = –8
–2 + y = –8
y = –6
Kesim noktası: (–2, –6) dır.
(–2) + (–6) = –8 bulunur.
Raunt
59
ANALİTİK GEOMETRİ
Bir Noktanın Doğruya Olan Uzaklığı
Analitik düzlemde, A(x1, y1) noktasının d : ax + by + c = 0 doğrusuna olan uzaklığı h olsun.
A(x1, y1)
d : ax + by + c = 0
h
H
h=
Iax1 + by1 + cI
2
a +b
Örnek
2
olarak bulunur.
42
A(–2, 1) noktasının 3x – 4y – 10 = 0 doğrusuna olan
42
Çözüm
h=
I3. (− 2) − 4.1 − 10I
2
uzaklığı kaç birimdir?
3 + (− 4 )
=
2
=
Örnek
43
A(k, –1) noktasının 5x – 12y – 4 = 0 doğrusuna olan
I5.k − 12. (− 1) − 4I
değerler toplamı kaçtır?
2
5 + (− 12)
9 + 16
20
= 4 bulunur.
5
43
Çözüm
uzaklığı 1 birim olduğuna göre, k nın alabileceği
I − 6 − 4 − 10I
2
=1
I5k + 8I = 13
5k + 8 = 13, 5k + 8 = –13
k = 1
1−
60
Raunt
k = –21/5
21
16
bulunur.
=−
5
5
Matematik-10 Ünite-4
Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık
Analitik düzlemde d1 ve d2 paralel doğrular olduğundan eğimleri eşit olacaktır. İki doğrunun
denklemlerinde x ve y nin katsayıları eşitlenirse doğrular
d1 : ax + by + c1 = 0
d2 : ax + by + c2 = 0 olur.
y
d1 : ax + by + c1 = 0
h
d2 : ax + by + c2 = 0
x
O
Paralel doğrular arasındaki uzaklık;
h=
Ic1 − c 2 I
2
a +b
Örnek
2
dir.
44
44
Çözüm
3x – 4y + 1 = 0
3x – 4y + 1 = 0 ve 6x – 8y + 12 = 0 doğruları arasındaki
h
uzaklık kaç birimdir?
6x − 8y + 12 0
⇒ 3x – 4y + 6 = 0
=
2
2
I1 − 6I
h=
2
3 + ( − 4)
Örnek
45
x + 2y + 1 = 0 ve x + ay + b = 0 paralel doğruları ara-
5
= 1 birim bulunur.
5
45
Çözüm
d1 // d2 olduğundan, a = 2 dir.
sındaki uzaklık 2 5 olduğuna göre, a.b çarpımının
pozitif değeri kaçtır?
2
=
h=
I1 − bI
2
1 +2
2
=2 5
I1 – bI = 10
1 – b = 10
1 – b = –10
b = –9
b = 11
a.b = 2.11 = 22 bulunur.
Raunt
61
Sınav
Kodu:
M101028
ANALİTİK GEOMETRİ
4
Konu Testi
1.
2x – 3y + 5 = 0
y=
x+4
2
6.
(m – 1)x + 6y + 6 = 0
2x – 3y – n + 2 = 0
denklemleri ile verilen doğruların eğimlerinin
toplamı kaçtır?
A) −
7
6
B) −
1
6
C)
1
3
D)
1
6
E)
7
6
doğruları çakışık olduğuna göre, m.n çarpımı
kaçtır?
A) –20
(a – 3)x + (2a – 1)y + 5 = 0
denklemi ile verilen doğru x ekseni ile pozitif
yönde 135° lik açı yaptığına göre, a kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
C) 0
doğrusunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı
kaçtır?
A) –3
8.
B) –2
C) 0
(a + 1)x + (b – 3)y – 9 = 0
A) –3
B) 0
D
A
D) 5
E) 7
4. Uç noktaları A(2, –3) ve B(4, –1) olan [AB] doğru
parçasının orta noktasından geçen ve
2x + y + 5 = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun
denklemi nedir?
IABI = 2 birim
x
B
Şekildeki verilenlere göre, OED üçgeninin alanı
kaç birimkaredir?
A)
C
E
C) 3
E) 5
IOAI = 3 birim
O
denklemleri ile verilen doğrular x ekseni üzerinde dik kesiştiklerine göre, a + b toplamı
kaçtır?
D) 3
ABCD kare
y
2x – 3y – 6 = 0
E) 20
(a2 – 4)x + (a – 2)y + 12 = 0
3.
D) 15
7. x – eksenine paralel olan
2.
B) –15
2
5
B)
3
5
C)
4
5
D) 1
E)
6
5
9. A(2, –3) noktasının,
A) –2x + y – 4 = 0
B) x + 2y – 4 = 0
C) 2x + y – 4 = 0
D) –x + 2y – 4 = 0
E) 2x + y – 6 = 0
8x – 15y + 7 = 0
doğrusuna göre simetriği B noktası olduğuna
göre, IABI kaç birimdir?
A) 4
B) 8
C) 12
D) 16
E) 20
10.
2x – y – 5 = 0
5.
ax – 18y + 3a + 6 = 0
3x + 2y – 4 = 0
2x – ay + 8 = 0
doğrularının kesişim noktasının
3x + 4y + 13 = 0 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?
doğruları paralel olduğuna göre, a kaçtır? (a < 0)
A) –7
62
Raunt
B) –6
C) –5
D) –4
E) –3
A) 3
B) 5
C) 8
D) 13
E) 15
Sınav
Kodu:
M101029
Matematik-10 Ünite-4
5
Konu Testi
1.
y
5. Parametrik denklemi,
y = 2x
y=x
O
x=m+4
y = 2m – 7
α
β
x
olan doğru (a – 1)x + (b + 1)y – 2 = 0 doğrusu
ile çakışık olduğuna göre a.b çarpımı kaçtır?
A) −
323
30
D)
tan β
Yukarıda verilen şekile göre,
oranı
tan (a + β)
kaçtır?
A) −
1
2
B) 0
C)
1
2
D) 1
E) 2
B) −
319
30
6.
A) −
4
3
B) −
1
3
C) −
3
4
D)
1
4
E)
4
3
3. A(2, 3) ve B(–4, 2 + a) noktalarından geçen
doğru 2x – 3y + 5 = 0 doğrusuna paralel ise a
kaçtır?
A) –4
B) –3
C) –2
D) –1
A) −
11
2
B)
11
5
C) −
13
2
D) 1
E) 4
323
30
x
2
Şekilde verilen d doğrusu (a + 1)x – 3y + 2 = 0
doğrusuna dik olduğuna göre, a kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
7. 3x + 2y – k2 + 4 = 0 doğrusu orijinden geçtiğine
göre, k nın alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
A) –4
E) 1
4. A(1, 4) ve B(2 – k, 1) noktalarından geçen doğru
2x + 5y + 1 = 0 doğrusuna dik olduğuna göre, k
kaçtır?
E)
317
30
1
O
C)
y
d
2. Kapalı denklemi 4x + 3y – 2 = 0 olan doğrunun
x ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açının tanjantı
kaçtır?
323
225
8.
B) –2
C) –1
D) 1
E) 4
(a – 1)x + (a2 – 4)y – 6 = 0
doğrularından x eksenine dik olan ikisi arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 4
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
Raunt
63
ANALİTİK GEOMETRİ
9. 4x – 3y + 12 = 0 doğrusunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
y
B)
y
13. A(1, 4) noktasının B(2, 1) ve C(4, 3) noktalarından geçen doğruya olan uzaklığı kaç birimdir?
A) 1
4
B) 2
C) 2
D) 2 2
E) 3 2
3
–3
x
O
C) y
D) y
4
O
x
O
–4
3
x
3
x
4
O
14. 3x – y + 15 = 0 doğrusu (k + 2)x – 5y + 7 = 0
doğrusuna paralel ise k kaçtır?
A) 11
E)
–4
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
y
O
x
–3
15.
C
10. A(3, 1) noktasının 4x – 3y + 6 = 0 doğrusuna göre
simetriği B olduğuna göre, IABI kaç birimdir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
11. A(2, 1) noktasının 5x + 12y + P = 0 doğrusuna
olan uzaklığı 2 birim olduğuna göre, P nin pozitif değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
A) (4, –1)
B) (–4, –1)
C) (1, 4)
D) (–1, 4)
E) (4, 3)
Raunt
B(0, 5)
B
x
O
A
Yukarıdaki verilere göre, CD doğrusunun eğimi
kaçtır?
A)
5
6
B) −
5
6
C) −
1
3
D) −
3
4
E)
6
5
E) 5
12. 3x – 12y – 7 = 0 doğrusuna paralel olan vektör
aşağıdakilerden hangisidir?
64
A(–6, 0)
D
E) 8
ABCD kare
y
16. A(2, 1), B(3, 0), C(k – 1, 3) noktaları bir üçgen
oluşturmadığına göre, k kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
Sınav
Kodu:
M101030
Matematik-10 Ünite-4
6
Konu Testi
1. Aşağıdaki doğruların hangisinde eğimi yanlış
verilmiştir?
A) 2x + 3y + 1 = 0, m = −
2
3
A) y = x
B) y = –x
C) y = x + 1
D) y = –x + 1
E) y = 2x + 6
B) y = 5x – 3, m = 5
C) y = x + 4, m = 1
D) x + y – 1 = 0, m = –1
E) x – 2y + 3 = 0, m = 2
2.(2a + 1)x + (a – 2)y + 4 = 0 doğrusunun eğimi 3
olduğuna göre, a kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
5. A(–2, 2) noktasından geçen x + y + 4 = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
D) 1
E) 2
6. (a – 1)x + y = 2 ve (a + 1)x – 3y = 4 doğruları
birbirine dik olduğuna göre, a nın alabileceği
değerler çarpımı kaçtır?
A) –4
3.
y
d1
B) –2
C) 1
D) 4
E) 8
d2
d3
x
O
d4
Şekildeki verilen doğruların eğimlerinin sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
7. A(3, 1) noktasından geçen ve y eksenine dik
olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 2y = 5
B) x + y = 4
C) x = 1
D) y = 1
E) x = 3
A) d1 > d2 > d3 > d4
B) d3 > d2 > d1 > d4
C) d1 > d3 > d2 > d4
D) d4 > d1 > d2 > d3
E) d4 > d3 > d2 > d1
4. 2x + 3y – 4 = 0 ve ax + 6y – 1 = 0 doğruları paralel
ise a kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
8. mx + 4y + 6 = 0 ve 3x – ny – 9 = 0 doğruları
çakışık olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 2
E) 4
Raunt
65
ANALİTİK GEOMETRİ
9.x – y + 6 = 0 ve ax + 2y + 5 = 0 doğruları ikinci
açıortay doğrusu üzerinde kesişiyorsa, a kaçtır?
A)
7
3
B) 3
C)
10.
y
11
3
D) 4
B
x
AOBC kare olduğuna göre, Ç(AOBC) kaç birimdir?
A)
20
7
B)
11.
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
14.A(–3, 1) ve B(–1, 3) noktaları veriliyor.
O
–4 A
A) 5
13
3
E)
d doğrusu eksenleri (0, 10) ve (–4, 0)
noktalarında kesiyor.
d
10
C
13.x – y = 4 ve 3x + 4y = k doğruları x + y = 2 doğrusu üzerinde kesişiyorsa, k kaçtır?
30
7
C) 8
D) 10
y (Boy)
E)
80
7
[AB] nın orta dikmesinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = –x + 2
B) y = –x
C) y = 2x + 6
D) y =
x
+3
2
E) y = 2x – 1
A
B
4
2
O
3
x (yıl)
6
15. A(2, 3) noktasının 5x – 12y = 13 doğrusuna
uzaklığı kaç birimdir?
A) 1
Yukarıdaki grafikte A ve B bitkilerinin boylarının
yıllara göre değişimi verilmiştir.
Yukarıda verilenlere göre, kaçıncı yılda A bitkisinin boyu B bitkisinin boyunun 3 katı olur?
A) 18
12.
B) 19
D) 42
doğrusunun eğimi 1 olduğuna göre, eksenlerle
oluşturduğu üçgenin alanı kaç birim karedir?
Raunt
B) 15
C) 18
D) 24
C) 3
D) 4
E) 5
E) 45
(a + 3)x + (a – 1)y + 12 = 0
A) 12
66
C) 30
B) 2
E) 36
16. 2x – y + 4 = 0 ve x + y + 2 = 0 doğrularının kesim noktasının x + 2y – 3 = 0 doğrusuna olan
uzaklığı kaç birimdir?
A) 1
B) 3
C) 2
D) 5
E) 2 5
Sınav
Kodu:
M101031
Matematik-10 Ünite-4
7
Konu Testi
1. x, y ∈ IR olmak üzere, A(2, 3 + x) noktası x ekseni
üzerinde ve B(y – 7, –3) noktası y ekseni üzerinde bulunduğuna göre, C(y – x, 2x + y) noktası
koordinat düzleminde nerede bulunur?
A) x ekseni üzerinde
C) II. bölge
E) IV. bölge
5. A(3, 5), B(–2, x) ve C(2, 6) noktaları veriliyor.
IABI = IBCI olduğuna göre, x kaçtır?
A) –1
2. A(–7, 24) ve B(9, 40) noktalarının orijine olan
uzaklıkları toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
C) 43
D) 52
E) 66
IABI = 2 5 olduğuna göre, a nın pozitif değeri
kaçtır?
B) 4
C) 5
D) 6
B) 2 2
C) 5
D) 2 5
E) 6
7. Köşe koordinatları D(3, 8), E(4, –6), F(–8, –2)
olan DEF üçgeninin EF kenarına ait kenarortay
uzunluğu kaç birimdir?
B) 12
C) 13
D) 17
E) 25
8. A(1, 6) ve B(7, 0) noktaları veriliyor. [AB] üzerinde
bir C(x, y) noktası alınıyor.
3. A(3, a) ve B(5, 2) noktaları veriliyor.
A) 2
E) 3
[AB] nın orta noktasının orijine olan uzaklığı
kaç birimdir?
A) 10
D) 2
6. A(3, 0) ve B(–7, 8) noktaları veriliyor.
A) 3
B) 40
C) 1
B) I. bölge
D) y ekseni üzerinde
A) 39
B) 0
E) 8
IABI 3
olduğuna göre, C noktasının koordi=
ICBI 2
natları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (4, 3)
B) (3, 4)
C) (3, –3)
D) (–3, 3)
E) (2, 4)
4. 2x – 3y + 5 = 0 doğrusu üzerindeki A(2, b) noktası
ile B(7, 15) noktası veriliyor.
Buna göre, IABI uzunluğu kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 13
D) 15
E) 17
9. D(–2, 5) ve K(4, 7) olmak üzere, DK doğrusunu
ILDI 1
oranında dıştan bölen L noktasının
=
ILKI 3
koordinatları toplamı kaçtır?
A) –5
B) –3
C) –1
D) 0
E) 2
Raunt
67
ANALİTİK GEOMETRİ
10.
D(5, 6)
13.
C(a, 2)
ABCD paralelkenar
P
y
d2
d1 ⊥ d2
d1
3IAOI = IBOI
IAEI=3IBEI
E
A(–3, 6)
[AC] ∩ [DE] = {P} olduğuna göre, P noktasının
koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) f
14 30
,
p
7
7
D) f
B) f
24 30
,
p
7
7
11.
10 14
,
p
7
7
E) f
B
C) f
12.
x
B
Koordinat sisteminde verilenlere göre, d1 doğrusunun eğimi kaçtır?
A) − 1
3
3
B) −
C)
3
3
D) 1
E) 3
14. 2x + y – a = 0 ve x – y + 2 = 0 doğruları A(k, 2k)
noktasında kesişiyor ise a değeri kaçtır?
A) 10
B) 8
C) 6
D) 4
E) 2
C
Buna göre, A noktasının koordinatları toplamı
kaçtır?
B) 0
O
24 33
,
p
7
7
D(2, 5)
A) –5
20 24
,
p
7
7
D, E ve F noktaları ABC üçgeninin kenarlarının orta
F(–2, 4)
noktalarıdır.
A
E(3, 2)
A
B(4, 2)
C) 3
D) 5
15. Başlangıç noktasının 3x + 4y = 10 doğrusuna
olan uzaklığı kaç birimdir?
A) 1
E) 12
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
y
A
1
B
O
16. y = 0, y = 8, y = ax + 9, doğrularına eşit uzaklıkta
olan nokta y ekseni üzerinde ise a kaçtır?
AB doğrusunun eğimi kaçtır?
A) −
68
x
3
1
3
Raunt
B) 1
C)
1
3
D) 3
E)
1
5
(a ∈ IR+)
A)
3
4
B)
4
5
C) 4
D) 5
E)
12
5
Sınav
Kodu:
M101032
Matematik-10 Ünite-4
8
Konu Testi
1. x + my + k + 4 = 0 doğrusu orijinden geçen ve
2x + y + 8 = 0 doğrusuna paralel bir doğru olduğuna göre, m.k kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
5. (a – 1)x + 3y + 7 = 0 ve 5x – 2y + 1 = 0 doğruları bir
d doğrusuna dik olduklarına göre, a kaçtır?
A) –5
E) 4
B) −
11
2
C) –6
13
E) –7
2
D) −
2. 2x + 3y + 7 = 0 doğrusuna, üzerindeki (1, k)
noktasında dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x – 2y – 9 = 0
B) 3x – 2y + 9 = 0
C) 3x + 2y – 9 = 0
D) 3x + 2y + 1 = 0
E) 3x – 2y + 1 = 0
6. A(3, 1), B(4, 8) ve C(2, 3) noktalarını köşe kabul
eden ABC üçgeninin kenarortaylarından birini
taşıyan doğrunun denklemi y – 4x + k + 5 = 0
olduğuna göre, k kaçtır?
A) 2
3.
A(–2, –4)
C(2, 4)
Buna göre, hareketli AB yolunu aynı hızla kaç
saatte alır?
B) 12
C) 14
C) 4
D) 5
E) 6
B(5, 10)
Yukarıda verilen C noktasında bulunan bir hareketlinin sabit hızla A noktasına gittiği süre, aynı hızla
B noktasına gittiği süreden 2 saat fazladır.
A) 10
B) 3
D) 16
7. A(2, –5) noktasının, B(–3, 7) noktasına göre
simetriği A' olduğuna göre, [AA'] nın uzunluğu
kaç birimdir?
A) 18
B) 20
C) 22
D) 24
E) 26
E) 18
4. A(3, 7) ve B(9, –1) olmak üzere, [AB] nın orta
dikme doğrusunun denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 3x – 4y + 6 = 0
B) 3x + 4y – 6 = 0
C) 3x – 4y + 4 = 0
D) 3x + 4y – 4 = 0
E) 3x – 4y – 6 = 0
8. ABC üçgeninde [AB] ⊥ [AC] ve ağırlık merkezi
G(2, –3) dir.
A(–4, 5) olduğuna göre, hipotenüs uzunluğu
kaç birimdir?
A) 18
B) 20
C) 24
D) 30
E) 36
Raunt
69
ANALİTİK GEOMETRİ
9.
13. x = 2 ve y = –3 doğrularının kesim noktasından
geçen ve eğimi 4 olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A(2, –3)
A) y + 4x + 1 = 0
B) y – 4x + 1 = 0
C) y + 4x + 11 = 0
D) y – 4x + 11 = 0
E) y + 4x = 0
B(–6, 7)
C(–2, 0)
Yukarıda verilen ABC üçgeninde AB kenarına
ait kenarortay uzunluğu kaç birimdir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
14. Bir kenarı 6x – 12y + k = 0 doğrusu üzerinde,
diğer köşelerinden biri A(2, 3) noktasında olan
karenin alanı 9 birimkare olduğuna göre, k nın
alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
10. Merkezi (–1, 4) olan çember 4x – 3y + 1 = 0 doğrusuna teğet olduğuna göre, çemberin çevresi
kaç p birimdir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
A) 28
B) 32
C) 36
D) 40
E) 48
E) 8
y
15.
A(a, 6)
11.
y
y = 2x + 6
4
O
O
x
x=3
Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 13
B) 14
x
3
2
C) 15
D) 16
Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, a kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
E) 18
16. d1 : x + y –5 = 0, d2 : 2x – 3y + 6 = 0
12. 2x + y – 14 = 0 ve x – y + 2 = 0 doğrularının kesim
noktasının orijine uzaklığı kaç birimdir?
A) 4 3
70
Raunt
B) 2 13
C) 4 15
D) 8
E) 6 2
doğruları ve x ekseni arasında oluşan üçgensel
bölgenin alanı kaç birimdir?
A)
32
3
B)
38
5
C)
64
5
D) 15
E) 18
Sınav
Kodu:
M101033
Matematik-10 Ünite-4
9
Konu Testi
1. A(a2.b, a.b) noktası analitik düzlemin II. bölgesinde olduğuna göre, B(a+b, a3.b2) analitik düzlemin
neresinde bulunur?
A) I. bölge
B) II. bölge
C) Orijin
D) III. bölge
E) IV. bölge
5.
ABC üçgen
A
D
D, E, F bulundukları kenarların
orta noktaları
E
D(4, –1)
E(3, –2)
A
2.
ABC üçgen
Verilenlere göre, B(x, y) noktasının koordinatları
toplamı kaçtır?
C(5, 15)
IAGI = x
B
C
6.
Verilenlere göre, IAGI = x kaç birimdir?
B) 26
B) 8
C) 5
D) 3
B) 0
IACI 4
C ∉ [AB] ve
olduğuna göre, C(x, y)
=
IBCI 3
noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
C) 13
D) 14
E) 15
4. ABC üçgeninin köşe koordinatları A(3, 7), B(4, 3) ve
C(6, –1) dir.
ABC üçgeninin [BC] kenarına ait kenarortay
uzunluğu kaç birimdir?
A) 10
B) 6
C) 2 10 D)
C) 1
D) 2
E) 3
E) 4
d1 ⊥ d 2
y
d2
29 E) 8
d1 ∩ d2 = {A}
2
3. A(3, 5), B(2, 7) ve C(x, y) noktaları aynı doğru üzerindedir.
B) 12
E) 11
doğrusu Ox ekseniyle pozitif yönde 135° lik açı
yaptığına göre, a kaçtır?
A) 11
D) 10
(a + 1)x + (2a – 1)y + 5 = 0
A) –2
7.
C) 9
B(3, 2)
G
A) 5
C B(x, y)
F
A) 7
A(–2, 4)
G, ağırlık merkezi
x
F(5, 4)
B
A
4
O
x
d1
Verilenlere göre, d2 doğrusunun eğimi kaçtır?
A) −
1
2
B) − 2
C) 2
D)
1
2
E) 1
8. 2x – y + 7 = 0 ile x + y + 5 = 0 doğrularının kesim
noktasından geçen ve 2x – 3y + 1 = 0 doğrusuna
dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 3x + 2y + 8 = 0
B) 3x – 2y + 1 = 0
C) 2x + 3y + 4 = 0
D) 3x + 2y + 14 = 0
E) 3x + y – 4 = 0
Raunt
71
ANALİTİK GEOMETRİ
9. A(2, –3) ve B(–1, 6) noktalarından geçen doğrunun Oy eksenini kestiği noktanın ordinatı
kaçtır?
A) –3
B) –2
C) 1
D) 2
E) 3
13. 5x – 3y – 4 = 0 ile 3x + 2y – 10 = 0 doğrularının
kesim noktasının 2x + y + m = 0 doğrusuna
uzaklığı 2 5 birim olduğuna göre, m nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
A) –80
10.
C) –32
D) 16
E) 48
A(3, 0)
y
C(4, m)
B(0, –2)
C(4, m)
O
x
A(3, 0)
14. İki kenarı 10x – 24y + 33 = 0 ile 12y – 5x + 3 = 0
doğruları üzerinde olan karenin alanı kaç birim
karedir?
A)
B(0, –2)
B) –64
9
16
B)
9
4
C)
25
9
D) 4
E) 16
Verilenlere göre, m kaçtır?
A)
1
4
B)
2
3
C)
1
2
D) 1
E) 2
15. (m – 2)x + (m + 1)y + 5m – 1 = 0 doğrularının
geçtiği sabit noktadan geçen ve
11.
(m + 2)x – 6y + 8 = 0
2x – (m + 1)y + 2m = 0
A) 2x + 3y – 1 = 0
B) 2x + 3y + 10 = 0
C) 3x – 2y = 0
D) 2x – 3y + 5 = 0
E) 3x + 2y + 7 = 0
doğruları paralel olduğuna göre, m kaçtır?
A) –5
B) –3
C) 0
D) 2
3x – 2y + 1 = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
E) 3
16. Parametrik denklemi,
12. A(2, –3) noktasının 3x – 4y + 2 = 0 doğrusuna göre
simetriği B(a, b) noktasıdır.
Buna göre, IABI kaç birimdir?
A) 4
72
Raunt
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
x = 2 – 3t
y = 6 + 2t
olarak verilen doğrunun Ox eksenini kestiği
noktanın apsisi kaçtır?
A) –7
B) 3
C) 9
D) 11
E) 12