1) y = x2 * 2x * 8 parabolü veriliyor

Ek.2.Çeşitli Örnekler
1  tan 2 
1) cos   sin  
olduğunu gösteriniz.
1  tan 2 
2
2
Çözüm:Bu tür sorularda eşitliğin bir tarafından hareketle diğer tarafı elde edilir.
sin 2  cos 2   sin 2 
1
1  tan 2 
(cos 2   sin 2 ) cos 2 
cos 2  
cos 2 



 cos 2   sin 2  olur.
2
2
2
2
2
1
1  tan 
sin  cos   sin 
cos 
1
2
2
cos 
cos 
2)
sin 
1  cos 

olduğunu gösteriniz.
1  cos 
sin 
Çözüm:
sin 
1  cos 

sin .(1  cos ) sin (1  cos ) 1  cos 
olur.


sin 
1  cos 2 
sin 2 
(1  cos )
3
 
3) x   ,   için cos x  
ise Sinx,Tanx,Cotanx,Secx,Cosecx nedir.
5
2 
3
 
Çözüm: x   ,   demek x, 2. bölge açı demektir. cos x  
veriliyor.
5
2 
5
22
x
3
sin x 
tan x 
cot x 
Burada uzunluk söz konusu olduğundan (-) alınmaz.
22
1
(2.bö lg ede)  cos ecx 

5
sin x
1
22
5
22 5
sin x
22
1


 sec x 

cos x  3 5
3
cos x
1

tan x
1

22
3

3
22
484
5

22
1

3
5

5
3
4) Şekildeki x uzunluğunu bulunuz.
D
A
8
5
x
7
C
3
7
B
E
Çözüm:


ABC ’de Cosinüs Teoremi
DCE ’de Cosinüs Teoremi

x 2  8 2  7 2  2.8.7. cos C

7 2  32  5 2  2.3.5. cos C

 1
x 2  8 2  7 2  2.8.7.  
 2
2
x  64  49  56  169  x  13

1
15  30. cos C  cos C  
2
5)Aşağıdaki üçgende x uzunluğu nedir?
Çözüm:
A

2

D
4
x
B
cos C 
3
x 2  3 2  3 2  2.3.3. cos C
3
ise
3
36
6
5
x 2  3 2  3 2  2.3.3   x 2 
x
5
5
5
C
3
6) cot x   3 denklemini çözelim.
Çözüm:
π
- π
6
π
6
π
+ π
6
π
2π 
6
veya; cot x  cot
+
cot x 
cos x
3 / 2  cos 30

sin x
1 / 2  sin 30
cot x  cot
5
5
 x  k 
6
6
 k=0 için x1=5/6  k=1 için x2=11/6
11
11
 x  2k 
6
6
485




7) tan  3x     tan  x   denklemini çözünüz.
8
12 


Çözüm: tan f ( x )  tan g( x )  f ( x )  k  g( x ) kök formülü uygulanırsa;







tan  3x    tan   x    3x   k    x  
8
12 
8
12 



 4x  kπ 
π
kπ π


 Ç  x | x 
 , k  Z
24
4 96






8) cos 2x     cos x   denklemini çözelim.
3
3







Çözüm: cos 2 x    cos x     olur. (- içeri alınırken cosinüslü ifadelerde  eklenir.)
3
3




cos f ( x )  cos g( x )  f ( x )  2k  g( x ) olur.
2x 




 2 k   x    
3
3



2 

 2 k   x 

3
3 


2 


2 x   2 k   x 
  x  2 k 
3
3 
3

2x 
2x 

2 
2 k 

 2 k   x 

x
3
3 
3
3


2k 


Ç  x | x  2k  Vx 
 , k  Z
3
3
3


9) 2cos2x=1+sinx denklemini çözelim.
Çözüm:Bu tip denklemlerde her iki taraf aynı fonksiyon cinsinden yazılır.Burada cos2x=1sin2x yazılabilir.
2(1  sin 2 x)  1  sin x  2 sin 2 x  sin x  1  0
sinx=t dersek.
2t 2  t  1  0  (2 t  1)( t  1)  0  2 t  1  t 1 
1
 t  1  0  t 2  1
2
sin f ( x )  sin g( x )  f ( x )  2k  g( x )
sin f ( x )  sin g( x )  f ( x )  2k  (  g( x ))
1
π
5π


 Ç1  x | x  2kπ  Vx  2kπ  , k  Z
2
6
6


Ç=Ç1Ç2
3π


sin x  1  Ç 2  x | x  2kπ  , k  Z
2


sin x 
486
10)Secx = 4Cosx denklemini çözünüz.
Çözüm:
sec x  4 cos x 
1
1
1
 4 cos x  1  4 cos 2 x  cos 2 x   cos x  
cos x
4
2
1

5


 Ç1  x | x   2kVx 
 2k, k  Z
2
3
3


1
2
4


cos x    Ç 2  x | x 
 2kVx 
 2k, k  Z
2
3
3


cos x 
11) 2 cos 2 x  3 cos x  1  0 denklemini çözünüz.
Çözüm:cosx=t dersek.
2t 2  3t  1  0
(2t  1)( t  1)  0
 t1 
1
t2=1
2
1


5 

 x  2k   Ç1  x | x  2k  Vx  2k  
2
3
3
3

cos x  1  x  2k  Ç 2  x | x  2k, k  z
cos x 
12) sin 6x  2 sin 4x  sin 2x  0 denklemini çözünüz.
Çözüm:
 6x  2x 
 6x  2x 
sin 6x  sin 2x  2. sin 
  cos
  2 sin 4x. cos 2x
 2 
 2 
2 sin 4x. cos 2x  2 sin 4x  2 sin 4x (cos 2x  1)  0
2 sin 4x  0  sin 4x  0  sin 4x  sin k  4x  k  x 
cos 2x  1  cos 2x  cos   2x  2k    x  k 
k



Ç  x | x 
Vx  k  , k  Z
4
2


bulunur.
14) sin x  3. cos x  1 denklemini çözünüz.
Çözüm:
cos x  a sin x  b

veya
 şeklindeki denklemlerde a=tan yazılır.
a cos x  sin x  b
Bu örnekte;
3  tan 60  yazılır.
487

2
k
4
sin x  tan 60 . cos x  1
 sin x 
sin 60
1
 cos x  1  sin x. cos 60  cos x. sin 60  cos 60  sin( x  60) 
cos 60
2
x  60  2k 
x  2k 

6
x  60  2kπ 
15)


 sin( x  60)  sin
6
6
5
 sin( x  60)  sin
6
9π
π
π
π


 x  2kπ  Ç  x | x  2kπ  Vx  2kπ  , k  Z
6
2
6
2


3 cos 2x  sin 2x  2 denklemini çözelim.
Çözüm:
3  tan
π
π
 tan  cos 2 x  sin 2 x  2
3
3
π
3  cos 2 x  sin 2x  2  sin π  cos 2x  cos π  sin 2x  2 cos π
π
3
3
3
cos
3
sin
π
1
π
π
π



sin  2x    2   sin  2x    1  sin  2x    sin
3
2
3
3
2





 2 k   Ç 1
3
2


2 x   2 k     Ç 2
3
2



Ç  Ç 1  Ç 2   x | x  k  , k  Z 
12


2x 
16) cos ec 4 x  cot 4 x  cos ec 2 x  cot an 2 x olduğunu gösterelim.
Çözüm:
1
cos 4 x 1  cos 4 x (1  cos 2 x )(1  cos 2 x ) sin 2 x.(1  cos 2 x )




sin 4 x sin 4 x
sin 4 x
sin 4 x
sin 4 x
1  cos 2 x
1
cos 2 x



 cos ec 2 x  cot an 2 x
sin 2 x
sin 2 x sin 2 x
488
5 2
 
17)    0,  olmak üzere tan  
ise sin2=?
3
 2
Cos2=?
Çözüm:
sin  
59
5 2
59
 cos  
3
59
sin 2  sin(   )  sin . cos   cos . sin   2 sin . cos 
5 2
θ
sin 2  2. sin . cos   2 
5 2
3
59

3
59

30 2
59
cos 2  cos(  )  cos . cos   sin . sin   cos 2   sin 2 
2
 3  5 2 
41
 
cos 2  cos   sin   
  

59
 59   59 
2
2
2
18) 2 sin x  sec x  0 denklemini çözünüz.
Çözüm:
2 sin x 
1
 0  2 sin x cos x  1  0
cos x
 sin 2x  1  0  sin 2x  1  sin 2x  sin
 2 x  2 k   
19) cot x 
π
π
 2x  2kπ 
2
2





 x  k   Ç  x | x  k  , k  Z
2
4
4


sin x
 2 denklemini çözünüz.
1  cos x
Çözüm:
cos x
sin x
(1  cos x ) cos x  sin x. sin x

2
2
sin x 1  cos x
sin x (1  cos x )
 cos 2 x  cos x  sin 2 x  2 sin x  2 sin x cos x
 cos 2 x  sin 2 x  cos x  2 sin x  2 sin x cos x

1  cos x
1
1
2
 2  sin x 
sin x (1  cos x )
sin x
2
sin x 
1



 Ç  x | x  2k  Vx  2k    
2
6
6

489

1
20) Şekildeki devrenin toplam direnci R  R 1  (R 2  R 3 ) 1

1
olarak veriliyor.
Buna göre R’ yi sadeleştiriniz.
R1
R2
R3
Çözüm:
R
R
1
1
1
 (R 2  R 3 )
1

ve R 
1
1
1

R1 R 2  R 3

1
R1  R 2  R 3
R 1 (R 2  R 3 )
böylece;
R
R 1 (R 2  R 3 )
olarak elde edilir.
R1  R 2  R 3
21)Şekildeki devrede V sabit gerilim kaynağı, R direnç ve C kondansatördür. Anahtar
kapatıldıktan sonra devreden geçen akım;
I  I 0 .e
t
RC
denklemi ile bulunur.Burada I0 ilk akımdır ve I 0 
V
ile bulunur.V=100V;
R
R=5.103 ve C=200F (0,2.10-3F) olarak verildiğine göre, devreden geçen akımın t=0 ile t=5
sn aralığında değişimini çiziniz.
Çözüm:I için verilen eşitlik;
t
t

V
100  t /(5.103 0, 2.103 )
1
I  .e RC 
e

2
e
 2e  t
3
R
5.10
2
1.5
1
0.5
0
t
490
22) z  1  z  2i eşitliğinin doğruluk kümesi nedir?
Çözüm:
x  iy  1  x  iy  2i
( x  1)  iy  x  i( y  2)
( x  1) 2  y 2  x 2  ( y  2) 2
h.i.t.k.a → (x  1) 2  y 2  x 2  ( y  2) 2
 x 2  2x  1  y 2  x 2  y 2  4 y  4
2x  4 y  3  0 doğrusudur.
23) f (x)  3x 7  2x 6  5x 5  x 4  3  f (i)  ?
7
4
2
6
4
2
5
4
Çözüm: i  i.i.i  i  i  i.i  1  i  i .i  i
1 1
1 1
f (i)  3(i) 7  2(i) 6  5(i) 5  i 4  3  3i  2  5i  1  3  2i  4
24) z=x+iy olmak üzere |z-(2-i)|=3 noktalarını analitik düzlemde gösteriniz.
Çözüm:
z  (2  i)  3  x  iy  (2  i)  3
 x  2  iy  i  3
 ( x  2)  i( y  1)  3
(2 , -1)
 ( x  2) 2  ( y  1) 2  3
3
 ( x  2)  ( y  1)  9
2
2
M(2,-1) olan ve r=3 olan çemberdir.
25) z=x+iy için z  i  z  3 düzlemde ne belirtir?
Çözüm:
z  i  z  3  x  iy  i  x  iy  3
2
2
2
x  i( y  1)  ( x  3)  iy  x  ( y  1)  ( x  3)  y
2
2
2
2
2
2
2
2
x  ( y  1)  ( x  3)  y  x  y  2 y  1  x  6x  9  y
6x  2 y  8  0  3x  y  4  0
491
doğru belirtir.
2
26)
sin( 2Arctg 7)  ?
Çözüm:
sin( 2Arctg 7)  sin 2 x
sin 2 x  2 sin x cos x
Arcg 7  x
50
7
1

tg (Arctg 7)  tgx  sin 2 x  2 

50 50
7  tgx
7
sin( 2Arctg 7) 
25
7
x
1
3
8

27) A  sin  Arc sin  arccos   A  ?
5
17 

Çözüm:
sin( x  y)  sin x. cos y  cos x. sin y
sin Arc sin
3
 sin x
5
3
 sin x
5
cos Arc cos

8
 cos y
17
8
 cos y
17
3 8 4 15
  
5 17 5 17

24  60 84
sin( x  y) 

85
85
sin( x  y) 
5
17
4
15
x
y
3
8
28) y = x2 – 2x – 8 parabolü veriliyor .Buna göre;
a) Eğim formülünü bulunuz.
b) Parabolün köşe noktalarını bulup grafiğini çiziniz.
c) x = -1 noktasındaki teğet ve normal denklemini çiziniz.
Çözüm : a) y = 2x – 2
b) y = 0  2x – 2 =0
x = 1 (Tepe noktası apsisi)
y = 12 – 2.1 – 8 = -9 (Tepe noktası ordinatı)
T(1, -9) olur.
x = 0 için y = -8  (0, -8)
y = 0 için
x – 2x – 8 = 0
(x – 4) (x + 2) = 0
x1 = -2 ,
x2 = 4

(-2, 0) ve (4, 0)
492
y  x2  2x  8
1
-1
-2
T
.
4
-9
N
c) y – y0 = m(x - x0)
T.D.  y – f (x0) = f (x0)(x – x0) idi.
y – f (-1) = f (-1)(x + 1)
f (-1) = (-1)2 – 2(-1) – 8 = -5
y + 5 = -4(x + 1) T.D.
f (-1) = 2(-1) – 2 = -4
y + 5 = 0.25(x + 1) N.D
29) y = f (x) = 2x4 – 3x2 + 5x -2 fonksiyonunun x = -0.5 noktasındaki teğet ve normal
denklemini bulunuz.
Çözüm :
41
 1
  1  5(1)
f (1)  2.   3  
2
2
8
 2 
 2 
4
2
3
f ' ( x)  8 x 3  6 x  5  f ' (
y f(
y
1
  1  6(1)
)  8  
57
2
2
 2 
1
1
1
)  f ' ( )(x  )
2
2
2
41
1
 7( x  )
8
2
3
5
T.D
veya
T .D.
y
41  1
1

(x  )
8
7
2
N.D
7
2
30) f ( x)  4 x  6 x  8 fonksiyonunun türevini türevin tanımını kullanarak bulunuz.
Çözüm :
y f ( x  x)  f ( x)

x 0 x
x
f ' ( x)  Lim
y

x0 x
Lim

3
5
7
3
5
7
( x  x) 2  ( x  x)   ( x 2  x  )
4
6
8
4
6
8
x
493
2
3 2 3
3
5
5
7 3 2 5
7
x  xΔx  (Δx )  x  Δx   x  x 
Δy 4
2
4
6
6
8 4
6
8
Lim

Δx 0 Δx
Δx
3
5
 3
x  x  x  
y
2
4
6
lim
 
x 0 x
x
f ' ( x) 
3
5
x
2
6
5
7
31) f ( x)   x  fonksiyonunun türevini türevin tanımını kullanarak bulunuz.
8
4
Çözüm :
y
f ( x  x)  f ( x)

x 0 x
x
f ' ( x)  lim
y f ( x  x)  f ( x)

x0 x
x
f ' ( x)  lim
5
7  5
7
( x  Δx )   
x 
Δy
8
4  8
4
f ' ( x )  lim

Δx 0 Δx
Δx
5
5
7 5
7
5
x
Δx  
x
Δx
Δy
5
8
8
4
8
4
8
f ' ( x )  lim

 lim

Δx  0 Δx
Δ
x

0
Δx
Δx
8
32) y  3x
2
 y  ?
3
Çözüm:
y  3x
2
3
 y  2x3 x
33) y  cos x 
x2

Çözüm: ln y  ln cos x 
2
3
ln 3
y  ?
x2
(h.i.t.l.a.)
ln y  x 2 ln cos x 
( L.ö.k )
y
sin x
 2 x. ln(cos x)  x 2 .
y
cos x
(h.i.t.t.a.)

y   y 2 x. ln(cos x)  x 2 . tan x

x  2 x. ln cos x   x 2 tan x
y   cos x 
2
494
dx
?
dy
34) y  cos 2 x  e 2 x  x 2  3x 
dy
 2 cos x. sin x  2e 2 x  2 x  3
dx
Çözüm:
dx
1
1


dy dy  2 cos x. sin x  2e 2 x  2 x  3
dx

t
2
35) x  1  t ve y  2  ln t  5


dy
?
dx
Çözüm:
dy dy dx

:
dx dt
dt
dy
2t
 2 t . ln 2  2
dt
t 5

dx
1

dt
2 t
x  1 t

dy

dx


36) y  x 2  3x
2

2
2 t
t  1 x
 t  1  x 
dy

dx
2t
t 5
1
2 t ln 2 
1 x 2
. ln 2 
2
21  x 
2
1  x 4  5
1
 
 x

1
x

y  ?
Çözüm: ln y  ln x 2  3x  x
1
ln y 

1
. ln x 2  3 x
x

y
1
2x  3 1
  2 ln x 2  3x  2
.
y
x
x  3x x

 

 1
2x  3 
y   y. 2 ln x 2  3x 

x x 2  3x 
 x


y   x 2  3x

1 x
 

 1
2x  3 
2
 2 ln x  3x 

x x 2  3x 
 x

 
495

37) x 2  y 2  3xy  4 x 2 y 3  5  0  y   ?
Çözüm:
2 x  2 yy   3 y  3xy   8xy3  12 x 2 . y 2 . y   0
2 x  3 y  8xy3  y (2 y  3x  12 x 2 y 2 )  0
y (2 y  3x  12 x 2 y 2 )  8xy3  2 x  3 y
y 
8 xy3  2 x  3 y
2 y  3x  12 x 2 y 2
veya ;
dy
dx



Fx
8 xy3  2 x  3 y
2 x  3 y  8 xy3


Fy
2 y  3x  12 x 2 y 2 2 y  3x  12 x 2 y 2
Fx 
F
 2 x  3 y  8 xy3
x
Fy 
F
 2 y  3x  12 x 2 y 2
y
2 y
x
3
3
38) cos y  x e  e y  y  x  3xy  0 
y  ?
Çözüm:
 sin y. y   2 xe y  x 2 e y . y   e x y  e x . y   3 y 2 y   3x 2  3 y  3xy   0


2 xe y  e x y  3 y  3x 2  y  x 2 e y  sin y  e x  3 y 2  3x  0
y 
e x y  3 y  3x 2  2 xe y
x 2 e y  sin y  e x  3 y 2  3x
496