Yatırım Analizi ve Portföy Yönetimi

YATIRIM
ve
FİNANS TEORİSİ
V. BÖLÜM : Portföy Risk ve Getirisi
VI. BÖLÜM: Etkin Sınır ve Portföy Seçimi
Prof. Dr. Sudi APAK
V. BÖLÜM : Portföy Risk ve Getirisi







Menkul Kıymetlerde Risk ve Getirinin Ölçülmesi
Beklenen Getiri
Standart Sapma
Portföylerde Risk ve Getiri
Çeşitleme ve Toplam Risk
Pazar ve Firma Riskleri
Uluslararası Çeşitleme
2
1. Menkul Kıymetlerde Risk ve Getirinin
Ölçülmesi
1.1. Beklenen Getiri ve Risk
Yatırım kararlarının verilmesinde beklenen getiri ve risk iki
temel boyutu oluşturmaktadır. Getiri ; bir yatırımdan belirli
bir dönem içinde yapılan yatırıma karşılık elde edilen geliridir.
Getiri çoğunlukla başlangıçtaki menkul değerin pazar
fiyatının yüzde oranı olarak tanımlanmaktadır. Risk; bir
olayın olma şansıdır. Risk, getirilerin beklenen getirisinden
sapma olasılığı olarak tanımlanmakta ve genellikle varyans ve
standart sapma ile açıklanmaktadır.
Bir Dönemlik Getiri Oranı
Bir dönemlik getiri hesaplamaları yatırımcının bir dönem
içinde servetini ne kadar arttırdığını bize vermektedir. Eğer
getiri oranını r harfi ile gösterirsek;
3
r = (Dönem sonu serveti – Dönem başı serveti) / Dönem başı serveti
şeklinde hesaplanmaktadır. Bu formülü bir hisse senedi yatırımı
için şu şekilde gösterebiliriz;


r = [(Pt –Pt-1) + Dt ] / Pt-1
Pt = Hisse senedinin dönem sonu fiyatı
Pt-1 = Hisse senedinin dönem başı fiyatı
Dt = Temettü ödemesi
1.2. Olasılık Dağılımı
Bir olayın gerçekleşme şansı, bir olayın meydana gelme
olasılığı olarak kabul edilmektedir. Olması mümkün olan
bütün olaylar belirlenir ve onların her biri için bir olma
olasılığı tahmin edilirse buna olasılık dağılımı denilmektedir.
Olasılıklar objektif ya da subjektif olarak belirlenmektedir.
Objektif belirleme benzer sonuçların geçmişteki olma
olasılıklarına dayanırken, subjektif belirleme bir kişinin
beklentilerine dayanmaktadır.
4
Hisse senetleri ile ilgili yatırım kararları büyük ölçüde
subjektif değerlendirmelerle verilmektedir.

Herhangi bir olasılık dağılımının iki temel unsuru vardır.
Bunlar;
1)
Beklenen Getiri : Muhtemel getirilerinin olasılık
dağılımının beklenen değeridir.
r 
n
r
j !
r
j
pj
= Beklenen getiri
rj = Her bir durumun beklenen getirisi
pj = olasılık
5
2)
Standart Sapma: Varyansın kareköküdür.
n


Varyans     r j  r p j
2
j 1
Standart Sapma =
 
 r
n
j 1
j
r
2

2
pj
Normal dağılımlarda riski ölçmek için yararlanılan başka bir
parametre de Z’dir. Ancak Z parametresini kullanmak için
dağılımın kesintisiz olması gerekir. Z parametresi belli bir
gelirin beklenen gelirden kaç standart sapma uzaklıkta
olduğunu bize göstermektedir.
6
Z 
rr

Tarihi Verilerden Yararlanarak Risk ve Getirinin
Hesaplanması
Ortalama Getiri = rort =
Risk   
n
r
t 1
t
/ n
n
 r  r 
t 1
2
t
ort
/ n 1
n = zaman
7
Varyasyon Katsayısı

Varyasyon Katsayısı: Her bir birim getirinin riskini
vermektedir. Getirilerin standart sapmalarının beklenen
getirilerine bölünmesi suretiyle elde edilmektedir.
VC  
r
2. Portföylerde Risk ve Getiri
2.1. Portföyün Beklenen Getirisi
Bir portföyün getirisi kısaca portföydeki bireysel menkul
kıymetlerin getirilerinin ağırlıklı ortalamasıdır:
rp 
n
w r
i 1
i
i
8

r p = portföy getirisi
ri = her bir menkul değerin getirisi
wi = her bir menkul değerin portföydeki ağırlığı
Bir portföyün beklenen getirisi ise, bireysel menkul
kıymetlerin beklenen getirilerinin ağırlıklı ortalamasıdır:
rp 
rp
ri
n
w r
i 1
i
i
= portföy beklenen getirisi
= her bir menkul değerin beklenen getirisi
wi = her bir menkul değerin portföydeki ağırlığı
9
2.2. Portföy Riski

Kovaryans: İki değişken arasındaki ilişkiyi ölçen istatistiksel
bir ölçüttür.
n
Cov( AB)   rAi  rA rBi  rB Pi
i 1
Pi = Olasılık
Korelasyon Katsayısı: İki değişken arasındaki ilişkiyi ölçen
standart istatistiksel ölçüttür. +1 mükemmel pozitif
korelasyonu gösterirken, -1 mükemmel negatif korelasyonu
göstermektedir.
10
Cov( AB)   A B AB
A , B
= A ve B değişkeninin riski
 AB
= Korelasyon katsayısı
Markowitz yaklaşımına göre bir portföyün varyansı şu şekilde
hesaplanmaktadır:
n
n
   wi w j Covij 
2
p
i 1 j 1
11
Bu formülün standart sapması bize portföy riskini verecektir:
n
 w w Covij 
p 

p
n
i 1 j 1
i
j
= Portföy riski
w = her bir menkul değerin portföydeki ağırlığı
Cov(ij) = menkul kıymetler arasındaki kovaryans
3. Çeşitleme ve Toplam Risk
Bir portföyün varyansının formülü, diğer bir ifadeyle toplam
riski şu şekilde ifade edilmektedir:
n
n
 p2   wi w j Covij 
i 1 j 1
12
Bu ifade şu şekilde de yazılabilir, ancak bu eşitliğin ikinci
terimi (II) i  j için geçerlidir. Çünkü ilk terimde i=j
olduğu durum ifade edilmiştir.
n
  w  
2
p
i 1
2
i
2
i
n
n
 w w Covij 
i
i 1 j 1
j
Portföydeki tüm varlıkların bağımsız ve bundan dolayı
aralarındaki korelasyon katsayısının sıfır olduğunu varsayalım.
Bu durumda bu eşitliğin ikinci terimi sıfır olacaktır.

2
p

n
w
i 1

2
i
2
i
13
Menkul
değerlerin
eşit
oranlarda
portföyde
bulundurulduğunu varsayalım. Bu durumda n sayıda
menkul kıymetin yer aldığı portföyde, “wi” terimi yerine
“1/n” yazılabilir. Eşitlik şu hale gelecektir:
n
   1 / n  
2
p
2
i 1
  1 / n  i2 / n olacaktır.
n
2
i
veya
2
p
i 1
Bu durum bize menkul kıymetlerin arasında belirli oranlarda
korelasyon olabileceğini kanıtlamaktadır. Bu durumda da
çeşitlemenin etkisini görebilmek için, n sayıda menkul
kıymete yatırım yapıldığını varsayarak, portföy riski yeniden
değerlendirildiğinde:
n
 p2   1 / n   i2
i 1
2
n
+
n
 1 / n1 / nCovij 
i 1 j 1
14
3.1. Pazar ve Firma Riskleri
Menkul kıymetlerin toplam riski aşağıdakilerden oluşmaktadır:

Firma
Riski:
Makro
ekonomik
değişkenlerden
kaynaklanmayan
risktir.
Firmadan
kaynaklanan
çeşitlendirilebilir risktir. Firma riski şu nedenlerle ortaya
çıkmış olabilir:
- Firma ile ilgili yasal problemler
- Yönetim değişiklikleri
- Başarılı ya da başarısız pazarlama kampanyaları
- Önemli ihaleleri almak veya kaybetmek
- Firmanın geliştirdiği teknolojilerin başarısı
- Firmaya özel diğer konular

Pazar Riski: Makro ekonomik değişkenlerden kaynaklanan
risktir. Çeşitlendirilemeyen risktir. Pazar riskinin başlıca
nedenleri şunlardır:
- Faiz oranlarındaki değişimler
- Enflasyon oranındaki değişimler
- Devalüasyon
- Savaş hali
- Ekonomik durgunluk
- Politik olaylar
15
- Genel ekonomiyi ilgilendiren diğer konular
4. Uluslararası Çeşitleme


İMKB’deki hisse senetlerinin yaklaşık olarak yarısı yabancı
yatırımcıların portföyünde bulunmaktadır. Uluslararası
çeşitleme ile yatırımcılar sistematik (pazar) risklerini biraz
daha azaltabilirler.
Yapılan araştırmalarda görülmüştür ki, pazarlar arasında
çok yüksek bir korelasyon yoktur. Özellikle gelişmekte olan
pazarlarla ilişkileri daha düşüktür. Ülkelerde uygulanan
ekonomik ve sosyal politikalar, vergi oranları gibi
değişkenler ilişkinin düşmesine yol açmaktadır. Coğrafi
farklılıklar ve pazarların gelişmişlik düzeyleri de diğer
önemli faktörlerdir.
16
VI. BÖLÜM: Etkin Sınır ve Portföy
Seçimi






Yatırımcıların Risk-Getiri Kayıtsızlık Eğrileri
Etkin Portföy
Fırsat Kümesi
Optimal Portföy Seçimi
Risksiz Faiz Oranı ve Etkin Sınır
Borçlanma ve Ödünç Verme Portföyü ile Ayırım
Problemi
17
1. Yatırımcıların Risk-Getiri
Kayıtsızlık Eğrileri

Yatırımcıların risk ve getiri tercihleri
arasındaki
ilişkiyi
gösteren
eğrilere
Kayıtsızlık Eğrileri adı verilmektedir. Bu
eğrilerin temel özellikleri şöyledir:


Aynı kayıtsızlık eğrisi üzerinde yer alan tüm
portföyler yatırımcılarına eşit şekilde fayda sağlar.
Kayıtsızlık eğrileri birbirlerini kesemezler.
Yatırımcılar daha kuzeybatıdaki kayıtsızlık
eğrisinde yer alan bir portföyü yeterince
kuzeybatıda yer almayan portföye göre daha fazla
tercih ederler.
18
2. Etkin Portföy


Risk getiri diyagramında kuzeybatıda yer alan,
minimum risk ve maksimum getiriye sahip portföyler
Etkin Portföylerdir. Finans literatüründe risk getiri
diyagramında kuzeybatıda yer alan ve etkin
portföyleri birleştiren eğriye ise Etkin Sınır adı
verilmektedir.
Bir yatırımcı, optimal portföyünü,
Kendisine değişen risk düzeylerinde maksimum beklenen
getiri sunan portföy kümelerinden, ve
 Kendisine değişen beklenen getiri düzeylerinde, minimum
risk sunan portföy kümeleri arasından seçecektir.

19
2.1. Fırsat Kümesi
 Yatırımcının yatırım yapabileceği tüm portföy
kombinasyonlarını içeren küme Fırsat Kümesidir.
2.2. Optimal Portföy Seçimi
 Optimal Portföy, kayıtsızlık eğrilerinin etkin
kümeye teğet geçtiği yerdeki portföydür. Optimal
portföyün seçiminde yatırımcıların kayıtsızlık
eğrileri ile etkin sınırda yer alan portföyleri bir
araya getirmek gerekmektedir. Yatırımcı kendisine
en fazla faydayı sağlayacak kayıtsızlık eğrisi
üzerinde olan portföyü seçecektir.
20
2.3. Etkin Kümenin Konkavlığı



Etkin Kümenin neden konkav olduğunu görmek için
örneklerden yararlanabiliriz.
İki hisse senedinden oluşan bir portföyü ele alacak
olursak; 1. Hisse senedi, Maret A.Ş. , %15’lik bir beklenen
getiri ve %30’luk bir standart sapmaya sahip. 2. Hisse
senedinin ise, Pınar Su A.Ş. %25 getirisi ve %50 standart
sapması olduğunu varsayalım.
Yatırımcını alabileceği tüm portföy kombinasyonları
düşünülürse ve w1 yatırımcının Maret A.Ş.’ne yaptığı
yatırımın oranını gösterirse w2 (=1-w1) de Pınar Su A.Ş.’e
yapılan yatırım oranını gösterir. Örneğin, yatırımcı sadece
Maret A.Ş.’ne yatırım yaptıysa; w1=1 ve w2=0’dır. Ya da
bunun tam tersi olarak, yatırımcı sadece Pınar Su A.Ş.’e
yatırım yapmış olabilir. Bu durumda da w1=0 ve w2=1
olacaktır.
21
rp
2.3. Etkin Kümenin Konkavlığı

7 portföy ile durum değerlendirildiğinde;
Portföyler
w1
w2

I
1.00
0.00
II
0.80
0.20
III
0.62
0.38
IV
0.50
0.50
V
0.38
0.62
VI
0.20
0.80
VII
0.00
1.00
Bir yatırım için bu 7 portföy ele alındığında, öncelikle
bunların beklenen getiri ve standart sapmaları
hesaplanmalıdır. Maret’in %15, Pınar Su’nun %25 beklenen
getirisi olduğunu hatırlayarak bu portföylerin beklenen
getirilerini şu şekilde hesaplarız.
r p = Portföyün beklenen getirisi
ri = Herbir menkul değerin
wi
beklenen getirisi
= Her bir menkul değerin portföydeki ağırlığı
22
2.3. Etkin Kümenin Konkavlığı
I
rp  1.00  0.15  0.00  0.25  0.15
II
rp  0.80  0.15  0.20  0.25  0.17
III
rp  0.62  0.15  0.38  0.25  0.188
IV
rp  0.50  0.15  0.50  0.25  0.20
V
rp  0.38  0.15  0.62  0.25  0.212
VI
rp  0.20  0.15  0.80  0.25  0.23
VII
rp  0.00  0.15  1.00  0.25  0.25

Standart sapma
hesaplanacaktır;
ise
şu
formülden
yararlanılarak
σp = Portföy riski
n
n
w = Her bir menkul değerin
σ p   wi w j Cov( ij )
portföydeki ağırlığı
i 1 J 1
Cov(ij) = Menkul kıymetler
arasındaki kovaryans
23
2.3. Etkin Kümenin Konkavlığı
 İki
menkul değerden oluşan portföy sözkonusu
olduğunda formülün açılımı ise şöyle olacaktır;


 w1 σ 1  w2 σ 2  2w1 w2 Cov( 1,2 )
2
2
2
2
1/ 2
Portföylerin standart sapması iki hisse senedi arasındaki
kovaryansın büyüklüğüne bağlıdır. Kovaryans, iki hisse
senedinin standart sapmaları ile aralarındaki korelasyon
katsayısının çarpımının eşit olmasıdır.
Cov( ij )  σ i σ j δij
burada i=1 ve j=2 ,
Cov( 1,2 )  σ 1  σ 2  δ12
24
2.3. Etkin Kümenin Konkavlığı



Portföylerin standart sapmaları onların aralarındaki
korelasyon katsayılarına bağlıdır. Korelasyon katsayıları en
fazla +1 ve en az -1 olmaktadır. Her bir portföy için
minimum ve maksimum korelasyon katsayıları kullanılarak
en düşük ve en yüksek standart sapmalar hesaplanabilir.
Eğer korelasyon katsayısı, 0’dan küçük olursa çizgi sola
doğru biraz daha kavisleşmektedir. Korelasyon katsayısı
0’dan büyük ise eğrinin sola doğru kavisi azalacaktır.
Katsayı +1’den küçük ve -1’den büyük oldukça bu iki hisse
senedinin farklı kombinasyonlarından oluşan portföy
kümesini gösteren çizgi sola doğru kavisli olacaktır. Ayrıca
“kuzeybatı” parçası konkav olacaktır.
Bu analiz ikiden fazla hissenin olduğu durumlar için de
yapılabilir. Bu durumda, korelasyonlar +1’den küçük ve 1’den büyük oldukça “kuzeybatı” parçası konkav olacaktır.
Sonuç itibari ile, etkin küme konkav olacaktır.
25
3. Risksiz Faiz Oranı ve Etkin Sınır



Risksiz yatırımlarda beklenen getiriden bir sapmanın olması
söz konusu değildir. Risksiz bir yatırımda getirinin ne olacağı
belli olduğu için, bu yatırım şekli hata olasılığı olmayan,
belirli getirisi olan bir yatırım olarak düşünülebilir. Yatırımcı
dönem başında beklediği getiriyi dönem sonunda tam olarak
alabilecektir.
Şirketlerin çıkardıkları kağıtlara yapılan yatırımlarda her
zaman bir hata olasılığı vardır, bu nedenle risksiz yatırım
araçları şirketler tarafından oluşturulamaz. Bu araçlar ancak
devlet tarafından oluşturulabilir.
Risksiz yatırımın getiri oranı ile bir riskli yatırımın getirisi
arasındaki kovaryans sıfır olacaktır. Eğer i risksiz yatırım ise,
ve böylece Covij = 0 olacaktır.
26
3.1. Risksiz Menkul Değerlere Yatırım
 Yatırımcılar, paralarının bir kısmını riskli menkul
değerlere yatırım yaptıkları gibi, paralarının bir
kısmı ile risksiz menkul değerlere yatırım
yapabilirler. Bu yeni yaklaşımla Markowitz’in etkin
kümesinin konumu değişmekte ve yeni bir küme
oluşmaktadır. Yatırımcının isteği etkin bir portföy
oluşturmaktır.
Bu
nedenle
gerçekleşen
değişikliklerin
dikkatlice
analiz
edilmesi
gerekmektedir.
3.2. Birlikte Yapılan Riskli ve Risksiz Yatırım
 Hem riskli hem de risksiz yatırımdan oluşan
portföyler, bu yatırımların risk-getiri grafiğindeki
noktalarını birleştiren doğru üzerinde yer alırlar.
27
3.3. Risksiz Yatırım ve Riskli Portföy
 Risksiz yatırım ile riskli bir portföyün bileşimini
içeren yeni bir portföy, benzer şekilde risksiz
yatırım ile mevcut bir riskli yatırımdan oluşan
portföyle analiz edilebilir. Her iki durumda da
oluşan portföyün beklenen getirisi ve standart
sapması, iki noktayı birleştiren doğru üzerinde yer
alır.
3.4. Risksiz Yatırımın Etkin Kümeye Etkisi
 Bu kez, yatırımcı portföyünün bir kısmı ile risksiz
varlığa, diğer kısmı ile Maret, Pınarsu ve Vestel
yatırımlarının oluşturduğu etkin kümeye yatırım
yapmaktadır.
28
3.5. Risksiz Borçlanma



Faiz oranı bilinen ve geri ödemenin de kesin olarak
yapılacağı düşünülen bir borçlanma risksiz borçlanma
olarak nitelendirilebilir. Bu durumda borca ilişkin faiz oranı
ile risksiz yatırımın faiz oranı birbirine eşit kabul edilir.
Örneğin, yatırımcı %5 getirisi olan risksiz yatırım yapabilir
ya da %5 faiz ödemek üzere borçlanabilir.
Borçlanma ve Riskli Portföye Yatırım: Burada
yatırımcının mevcut varlığı ve borçlanarak elde ettiği
varlığıyla birden fazla riskli yatırım yaptığı bir portföy
incelenmektedir.
Risksiz Borçlanma ve Risksiz Yatırımın Etkin
Kümeye Etkisi: Risksiz oranla yapılan borçlanma ve
yatırım durumunda, yatırımcı kendi kayıtsızlık eğrilerinin
etkin kümeye teğet olduğu optimum portföyü seçmelidir.
29
4. Borçlanma ve Ödünç Verme
Portföyü ile Ayırım Problemi

Varsayalım ki, bir yatırımcı rf oranından sınırsız tutarda
hazine bonosu satın veya ödünç alabilmektedir. Bu yatırımın
beklenen getirisi belirli ve standart sapması sıfırdır. Yatırımcı
risksiz faiz oranından elde edebileceği fonları H portföyüne
ilave yatırım yapabilmektedir. H portföyü riskli menkul
kıymetlerden oluşmaktadır. H portföyünün riskli menkul
değerlerden oluşan kısmının ağırlığını “w” olarak
adlandıralım. Bu portföye ayrıca hazine bonosu yatırımı
yapacağımızdan, toplam yatırımın boyutu w’den daha fazla
olacaktır. Toplam yatırımı 1 olarak kabul edersek, hazine
bonosuna yatırım yapılacak kısmın ağırlığı “1-w” olacaktır.
Böylece bu yatırımın beklenen getirisi şu şekilde
hesaplanacaktır.
30
rp  Tüm portföyün beklenen getirisi
rp  ( 1  w )r f  wrH
rH 
Riskli portföyün beklenen getirisi
r f  Risksiz faiz oranı

Yatırımın standart sapması ile şöyledir:


σ p  1  w σ f  w σ H  2w( 1  w )Cov( f , H )
2
2
2
2
1/ 2
σ f terimi sıfır olacağından, standart sapma şu hale gelecektir;

σ p  w σH
2
σ p  wσ H

2 1/ 2
Bu eşitlikten w’yi çekersek,
w  σ p / σ H olacaktır.
31
Beklenen getiri eşitliğinde w’nin yerine bu ifadeyi yazarsak;
r p  1  σ p / σ H
 rH  r f
rp  r f  

 σH

r
f
 σ p / σ H rH

σ p


Bu eşitlik aslında bir doğruyu ifade etmektedir. Bu
doğru risksiz faiz yatırımı ile ilgili tüm kombinasyonları
bize vermektedir. Yatırımcı belirli oranda bir getiriye
hiçbir risk almadan ulaşabilmektedir. Bu oran risksiz
orandır.
32

Ödünç Alan Portföy, yatırımcının risksiz varlığın faiz oranı
ile borçlanarak riskli varlıklara yatırım yaptığı portföydür.
Ödünç Veren Portföy ise, yatırımcının riskli varlık ile
risksiz varlığa yatırım yaparak oluşturduğu portföydür.
Finans literatüründe yatırımcının kayıtsızlık eğrisini dikkate
almadan riskli varlıkların optimal portföyünü belirlemeye
Ayırım Problemi adı verilmektedir.
Beklenen
Getiri
r
rf
Ödünç
Alma
Portföyü
Ödünç
Verme
Portföyü
σH
Risk
33