ders planı

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
İçinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin bazı değerleri için doğruluğu
sağlanabilen eşitliklere denklem denir.
x-3=2 denklemini inceleyelim. Burada x bilinmeyen ve x in üssü birdir.
Dolayısıyla bu denklem 1.dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir. Açıklamasının söyleyip
yazdırır. Çözümü ise;
x=5 için 5-3=2
2=2 olur.
Denklemde eşitliği sağlayan bilinmeyenin değerlerine denklemin kökleri denir. Köklerin
oluşturduğu kümeye de denklemin çözüm kümesi denir ve Ç ile gösterilir.
Ç= 5 olur.
Genel olarak ax  b  0 (a  0) şeklindeki denklemlere birinci dereceden bir
bilinmeyenli denklemler denir. Burada x bilinmeyen a ve b sabit gerçek sayılardır.
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözerken aşağıdaki kurallardan
yararlanacağız.
a, b, c, € R ve (c  0) olmak üzere
1- a  b  a  c  b  c (eşitliğin toplama kuralı)
2- a  b  a.c  b.c
(eşitliğin çarpma kuralı)
3- a  b  a : c  b : c (eşitliğin bölme kuralı)
4-Toplama ve çarpma işlemlerinin değişme ve birleşme özellikleri vardır.
5- Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği vardır.
ÖRNEKLER:
1-x+7=12 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x+7=12 (7 nin toplama işlemine göre tersini eşitliğin iki yanına ekleyelim.)
x+7+(-7)=12+(-7)
x=5 olur. O halde, Ç  5 tir.
2
x  3  15 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
3
2
x  3  15 (-3 ün toplama işlemine göre tersini eşitliğin iki yanına ekleyelim.)
3
2
2
2
3
x  3  3  15  3  x  18 (her iki tarafı ün çarpma işlemine göre tersi olan
ile
3
3
3
2
çarpalım.
3 2
3
. x  18.  x  27 olur. O halde, Ç  27dir.
2 3
2
2.
TEST 1
1) 8 – 3 (x – 2 ) = 2 (x +2) - 1
(1)
a) {0}
2)
b) R
2x  1 x  2 x


4
3
2
(-11/2)
a) { 
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
1
}
2
x  2 3x  1

5
13
(31/2)
c) {1}
d) {3}
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
b) { 
11
}
2
c) {-1}
d){ 5}
3)
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) {1}
b) { 
4)
a) {0}
1
3

0
x x2
b) {
3
}
2
c) {
1
}
2
c) {1}
(1/2)
d) {3}
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
b) {1}
3
1
2

 2
x 1 x  2 x  x  2
(-3/4)
6)
d) {15}
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
5) ( x – 1 ) . ( x + 3 ) = x2 - 5
(-1)
a) {-1}
31
}
2
c) {
2
}
3
d) {3}
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) { 
7)
4
}
5
3
2

0
x2 x3
b) { 
d) {3}
b) {-1}
c) {0}
x=-1
d) {1}
1
2
5

 2
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
x  1 x  3 x  4x  3
8)
x= 3
1
3
a) {2}
1
3
b) { 2 }
c){ 3}
1
3
d) { 3 }
3
5
2
1

 2
 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ( )
x 1 x 1 x 1
2
a) { 
10)
c){ 2}
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) {-2}
9)
3
}
4
1
}
2
b) {
1
}
2
c) {2}
d) {
2
}
3
x3
x 1

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
2x  4 2x  3
a) {-10}
b) {-5}
c) {-1}
d) { 5}
(- 5)
Bir Bilinmeyenli denklem yardımı ile problem çözme
x bilinmeyen herhangi bir sayı olsun.
x in 12 fazlası x + 12
x in 7 eksiği
x-7
2
2
2x
x. 
x in
si
5
5
5
x in 3 eksiğinin 4 katı (x - 3).4 = 4. (x-3)
x3
x in 3 fazlasının yarısı
ile gösterilir.
2
Örnek 1 :
1-Bir sayının iki katının 3 e bölümünden aynı sayının 3 eksiğinin yarısı çıkarılırsa fark 4
oluyor. Buna göre bu sayı kaçtır.
Sayı x olsun.
2x
3
x3
Üç eksiğinin yarısı:
2
2x x  3

4
Denklem şu şekilde olur:
3
2
2x x  3
2x x  3
4 x  3 x  3

4

 4  6.
 4.6
3
2
3
2
6
İki katının üçe bölümü:
( 2)
( 3)
 4 x  3( x  3)  24
 4 x  3 x  9  24
 x  9  24
 x  24  9  15
Örnrk 2: Cihan ile babasının yaşları toplamı 46 dır. Babasının yaşı, Cihan’ ın yaşının 5
katından 2 eksik olduğuna göre, Cihan kaç yaşındadır.
Cihan’ın yaşı istendiğine göre Cihan’ın yaşına x diyelim.
Babasının yaşı ise 46-x olur.
Denklem ise şu şekilde olur: 46-x=5x-2
46  x  5 x  2
46  2  5 x  x
48
48  6 x  x 
8
6
Cihan sekiz yaşındadır. Babasının yaşı ise 38 olur.
TEST 2
1) Bir sayının 5 katının 3 eksiği ile bu sayının 2 katının 8 fazlasının toplamı 68 dir. Bu
sayı kaçtır?(9)
a) 7
b) 8
2) Bir sayının
3
ü
4
a) 80
4)
ile
b) 100
1
‘ inin
3
a) 3
c) 9
3
i
5
d) 10
arasındaki fark 15 ise bu sayı kaçtır?100
c) 120
d) 160
5 fazlası 6 olan sayı kaçtır? 3
b) 6
c) 9
d) 12
5) Bir sayının 4 katının 2 eksiği ile bu sayının 2 katının 4 fazlasının toplamı 110 dur.
Bu sayı kaçtır?
a) 12
6)
a)10
b) 14
Bir sayının
c) 16
d) 18
2
3
’ i ile aynı sayının
’ sinin toplamı 57 ise bu sayı kaçtır?
5
2
b) 20
c) 30
d) 40
7) Ayşe babasından 32 yaş küçüktür. Ayşe ile babasının yaşları toplamı 58 olduğuna
göre Ayşe’nin yaşı aşağıdakilerden hangidsidir? ( Ayşe: 13 , Babası : 45 yaşındadır.)
a) 11
b) 13
c) 20
d) 28
8) Enver ile babasının yaşları toplamı 52 dir. Babasının yaşı Enverin yaşının 3 katından 4
fazladır. Enverin yaşını bulunuz.(12)
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
9) Babasının bugünkü yaşı , Arzu nun bugünkü yaşının 3 katının 2 fazlasıdır. Arzu ile
babasının bugünkü yaşları toplamı 58 olduğuna göre , Arzu nun bugünkü yaşı kaçtır? 14
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
10) Bir sayının yarısının 5 fazlasının yarısı , aynı sayının 1 fazlasının üçte birine eşit
olduğuna göre , bu sayı kaçtır? (26)
a) 16
b) 22
c) 26
d) 32
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler
Bir açık önermede x ve y gibi 1. ci dereceden 2 tane bilinmeyeni olan denklemlere
birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.
ax + by = c (a , b , c  R )
Örnek: 2x + 3y = 6 , x + y = 4 , x - 2y = 8 , . . . vb
(Orijinden geçmeyen bir doğru denklemi)
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi
Birinci dereceden iki bilinmeyenli en az 2 denklemden oluşan sistemdir.
Örnek :
x+y =6
x – y = 4 gibi
Bu tür denklemleri tek başlarına çözdüğümüzde çözümü çok fazladır. Ve bu
çözümleri koordinat düzleminde birleştirdiğimizde bir doğru bulunur.
Örnek :
x +y =6
x= 0 için
y= 0 için
x= 1 için
y=6
x= 6
y= 5
(0 , 6)
(6 , 0)
(1 , 5)
Denklem sisteminin çözümü , verilen denklemleri birlikte çözerek buluınur. Bulunan
çözüm sıralı ikilidir. Bu çözüm, denklem sisteminde verilen doğruların kesişim noktasıdır.
Denklem sistemlerini çözmek için iki yöntem kullanılır.
A. Yerine koyma metodu
B. Yok etme metodu
A. Yerine koyma metodu
Verilen denklem sisteminde birinci denklemden değişkenlerden birinin diğer değişken
cinsinden ifadesi bulunur, ikinci denklemde bulunana ifade yerine yazılır. Elde edilen son
denklem birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. Çözülerek değişkenin biri bulunur
herhangi bir denklemden de diğer değişken bulunur.
Örnek: x + 2y = 7
x – y = -5 denklem sisteminin çözüm kümesini bulun.
İkinci denklemden
x=y–5
olup. Birinci denklemde yerine yazılırsa
y – 5 + 2y = 7
3y = 7 + 5
3y = 12
y=4
olarak bulunur. Bunu ikinci denklemde yerine yazarsak
x – 4 = -5
x = -5 + 4
x = -1
dir
o halde denklem sisteminin çözüm kümesi ,
Ç.K. = { ( -1, 4 ) }
dir.
B.
Yok etme metodu
Verilen denklem sisteminde iki eşitlik sabit bir sayı ile çarpılır veya bölünür, daha
sonra denklemler toplanır. Toplamanın amacı değişkenlerden birinin atrı ve eksi işaretleri göz
önünde bulundurularak sadeleşmesini sağlamaktır. Böylelikle birinci dereceden bir
bilinmeyenli bir denklem elde edilir, her hangi bir denklemden de diğer değişken bulunur.
Örnek:
x–y=3
3x – y = 7 denklem sistemini çözün
birinci denklemi –1 ile çarparsa
-x + y = -3
3x – y = 7
denklem sistemi elde edilir. Denklemler tolanırsa
3x – x = 7 –3
2x = 4
x=2
ilk denklemde yerine yazılırsa
2–y=3
-y = 1
y = -1
olur.
Denklem sistemini çözüm kümesi Ç.K. = {( 2, -1 ) } dir
TEST 3
Aşağıdaki denklem sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.
1)
3x – y = 9
x + 3y = 33
denklem sisteminin çözüm kümesini aşağıdakilerden hangisidir?
Ç = {(15 , 9 )}
a) {(15,3)}
x y
 1
3 4
x y
 5
2 2
(6 , 2)
a) {(2 ,8)}
b) {( 9, 3)}
c) {( 15,9)}
d) {( 3,5)}
2)
3) 2x + y = 7
x + 2y = 5
denklem sisteminin çözüm kümesini aşağıdakilerden hangisidir?
b) {(8, 6)}
(3 , 1)
3 (y – x ) = 15
2(x+y) =2
a) {(-2,3)}
5) 2x + 3y = 17
3x + 2y = 18
a) {(5,3)}
6)
2x + 3y = 21
3x – 4y = - 11
a) {(3,-4)}
d) {(2 , 8)}
denklem sisteminin çözüm kümesini aşağıdakilerden hangisidir?
a) {(1,5)}
4)
c) {(2, 4)}
b) {(3,5)}
c) {(-1, 3)}
d) {(3,1)}
(-2 , 3 )
denklem sisteminin çözüm kümesini aşağıdakilerden hangisidir?
b) {(-2 , 4)}
c) {(-2,1)}
d) {(1,-2)}
denklem sisteminin çözüm kümesini aşağıdakilerden hangisidir?
Ç = {(4 , 3 )}
b) {(4,3)}
c) {(1,3)}
d) {(-4,3)}
denklem sisteminin çözüm kümesini aşağıdakilerden hangisidir?
Ç = {(3 , 5 )}
b) {(3,4)}
c) {(3,5)}
d) {(3,-5)}
7. 2 (x - y) – 4 (x – 2y) = 18
-3x + 2y + 5(x – y ) = 0
denklem sisteminin çözüm kümesini aşağıdakilerden
hangisidir?
Ç = {(-2 , 9 )}
a) {(-2, 9)}
b) {(-2, -1)}
c) {(9,-1)}
d) {(2, 7 )}
x

4
x

5
8.
y
4
5
y
2
4
denklem sisteminin çözüm kümesini aşağıdakilerden hangisidir?
Ç = {(
a) {(
9.
48  80
,
)}
9 9
b) {(
48  120
,
)}
9
9
45  120
,
)}
9
9
c) {(20,5)}
d) {(
48  120
,
)}
9
9
x3 y4

denklem sisteminin çözüm kümesini aşağıdakilerden hangisidir?
2
3
x y 8
Ç = {(3 , 5 )}
a) {(-3, 4)}
b) {(3, 5)}
c) {(3,-4)}
d) {(-3,-4)}
x  y 2x  3y

7
5
12
10.
denklem sisteminin çözüm kümesini aşağıdakilerden hangisidir?
2x  y x  y

3
3
6
402
Ç = {(  6,
)}
27
a) {(-5,
400
)}
27
b) {(-6,
402
)}
27
c) {(-6,
27
)}
5
d) {(-5,-6)}
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem yardımıyla problem çözme
1) Farkları 12 olan 2 sayıdan , büyüğünün 4 katı ile küçüğünün 5 katının toplamı 93
‘ tür. Bu sayılardan küçük olanı kaçtır? (küçük :5 dir.)
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
2) Toplamları 13 olan iki sayıdan , küçüğünün 6 katı ile büyüğünün 5 katı toplamı 71
’ dir. Bu sayılardan büyük olanı kaçtır? (büyük : 7 dir. )
a) 5
b) 7
c) 9
d) 11
3) Bir kümeste tavuk ve tavşanlardan oluşan 27 hayvan vardır. Bu hayvanların ayak
sayısı toplamı 84 ‘ tür. Bu kümesteki tavuk sayısı kaçtır? (Tavuk say. 12 dir.)
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
4) Toplamları 18 olan iki sayıdan , büyüğünün iki katı ile küçüğünün 3 katının toplamı 41
eder. Bu sayılardan küçük olanı kaçtır?
(13 , 5)
a) 1
b) 3
5) Bir kesrin payının paydasına oranı
olur. Bu kesri bulunuz.
a)
5
8
b)
8
12
c) 5
d) 7
2
5
tür. Kesrin pay ve paydasına 2 eklenirse değeri
3
7
( 8/12)
c)
8
10
d)
5
12
6) Bir kumbarada 10 000 ve 25 000 TL lerden oluşan 40 tane madeni para vardır.
Kumbaradaki paraların değeri 550 000 TL olduğuna göre kaç tane 10 000 lik vardır ?
a) 15
b) 20
c) 25
(30)
d) 30
7) Ahmet’ in kalemleri Cemil’ inkilerden 5 tane daha azdır. Oya’nın kalemleri ise Ahmet’ in
kalemlerinin üç katıdır. Cemil’ in kalemlerinin sayısı n ise Oya’ nın kalemlerini n cinsinden
belirtiniz.
3( n – 5 )
a) 3n
b) 5(n-3)
c) 3(n-5)
d) 5n
8) Ebru ile annesinin yaşları toplamı 58 dir. 5 yıl sonar annesinin yaşı Ebru nun yaşının 3
katı olacağına göre Ebru bugün kaç yaşındadır?( 12 )
a) 8
b) 11
c) 12
d) 14
9) Ali ile babasının bugünkü yaşları toplamı 52 dir. 6 yıl önce babasının yaşı Ali nin
yaşının 4 katı olduğuna göre , babası bugün kaç yaşındadır? ( 38 )
a) 34
b) 36
c) 38
10) Bir kesrin pay ve paydasına iki eklendiğinde değeri
2 çıkarılırsa değeri
d) 40
1
olur. Kesrin pay ve paydasından
2
1
olur. Bu kesri bulunuz.
6
(3/8)
a)
1
4
b)
3
4
c)
3
8
d) 2
2
3