İleri Matematik II

ø/(5ø0$7(0$7ø.,,
DERS NOTLARI
3URI'UgPHU/WIL'H÷LUPHQFL
2007
Bölüm 3
Çok'H÷LúNHQOL)RQNVL\RQODU
%X E|OPGH ELUGHQ ID]OD GH÷LúNHQ LoHUHQ IRQNVL\RQODUÕQ OLPLW VUHNOLOLN YH WUHYOHUL
LQFHOHQHFHNYHGDKDoRNLNLGH÷LúNHQOLIRQNVL\RQODUDD÷ÕUOÕNYHULOHFHNWLU
3.1. øNL'H÷LúNHQOLFonksiyonlar
TanÕP. D ⊂ R 2 bölgesinin her (x,yVD\ÕoLIWLQHELUYH\DOQÕ]ELU z = f ( x, y ) JHUoHOVD\ÕVÕQÕ
NDUúÕOÕN JHWLUHQ ELU f ED÷ÕQWÕVÕQD D’den, R¶\H ELU IRQNVL\RQ GHQLU '¶\H IRQNVL\RQXQ WDQÕP
NPHVLGHQLU)RQNVL\RQXQGH÷HUOHUNPHVLise
G = {z : z = f ( x, y ), ( x, y ) ∈ D, z ∈ R}
G
(1)
G
G
x, y VD\Õ LNLOLVLQL P = x i + y j vektörü ile temsil edersek z = f ( x, y ) ,
úHNOLQGHGLU (÷HU G
fonksiyonunu z = f (P) úHNOLQGH GH J|VWHUHELOLUL] z = f ( x, y ) NRúXOXnu gerçekleyen (x,y,z)
QRNWDODUÕJHUoHOX]D\GD ELU\]H\ROXúWXUXUODU%X\]H\H z = f ( x, y ) IRQNVL\RQXQXQJUDIL÷L
denir.
Örnek 1. z = ln( x + y − 1 − x) fonksiyonu x + y − 1 ≥ 0
x + y − 1 − x ≥ 0 NRúXOODUÕQÕ VD÷OD\DQ [,y) ikililerinin
ROXúWXUGX÷X E|OJHGH WDQÕPOÕGÕU %LULQFL NRúXO y = − x + 1
ve
GR÷UXVX YH RQXQ VWQGHNL G]OHPL LNLQFL NRúXO LVH
y = x 2 − x + 1 parabol ile onun üstündeki düzlem bölgesini
göstermektedir. )RQNVL\RQXQ WDQÕP NPHVL, ùHNLO .1’de
WDUDOÕRODUDNJ|VWHULOHQDoÕNE|OJHGLU
(÷HU
z = f ( x, y ) , x ve y GH÷LúNHQOHULQLQ ELU SROLQRPX
úHNOLQGH LVH EX GXUXPGD IRQNVL\RQ UHHO G]OHPLQ KHU \HULQGH WDQÕPOÕ ROXU %X GXUXPGD
D = R 2 ’dir.
(÷HU IRQNVL\RQ
z=
f ( x, y )
JLEL LNL IRQNVL\RQXQ E|OP ELoLPLQGH LVH WDQÕP
g ( x, y )
kümesi, f ( x, y ) ve g ( x, y ) IRQNVL\RQODUÕQÕQ WDQÕP
kümelerinin arakesit kümesinin, g ( x, y ) ≠ 0 HúLWVL]OL÷LQL
VD÷OD\DQHOHPDQODUÕQGDQROXúXU
x− y
IRQNVL\RQXQXQ WDQÕP NPHVL
arcsin( x + y )
x − y ≥ 0 , − 1 ≤ x + y ≤ 1 ve x + y ≠ 0 NRúXOODUÕQÕ ELUOLNWH
VD÷OD\DQ x,y VD\Õ LNLOLOHULQLQ ROXúWXUGX÷X E|OJHGLU YH
Örnek 2. z =
ùHNLO¶GHWDUDOÕRODUDNJ|VWHULOHQDoÕNE|OJH\LROXúWXUXU
89
øNL'H÷LúNHQOL)RQNVL\RQODUÕQ*UDILNOHUL
D ⊂ R2
GHWDQÕPOÕLNLGH÷LúNHQOL
z = f ( x, y ) IRQNVL\RQXQXQJUDIL÷L ( x, y ) ∈ D olmak üzere
( x, y, f ( x, y )) QRNWDODUÕQÕQ NPHVLGLU øNL GH÷LúNHQOL ELU IRQNVL\RQXQ JUDIL÷LQL LNL ER\XWOX
ND÷ÕW]HULQGHJ|VWHUPHNLoLQJHQHOGHG]H\H÷ULOHULQGHQ\DUDUODQÕOÕU
7DQÕP . z = f ( x, y ) IRQNVL\RQX YHULOGL÷LQGH IRQNVL\RQXQ EHOLUOHGL÷L \]H\LQ z = z0
düzlemi ile arakesiti olaQH÷UL\H fonksiyonun z = z0 G]H\H÷ULVLGHQLU%LUIRQNVL\RQXQRODVÕ
WPG]H\H÷ULOHULQLQELOHúNHVLIRQNVL\RQXQEHOLUOHGL÷L\]H\LYHULU
Örnek 1. z = x 2 + y 2 IRQNVL\RQXQXQJUDIL÷LQLG]H\H÷ULOHUL\|QWHPLLOHoL]LQL]
Çözüm )RQNVL\RQXQ WDQÕP NPHVL D = R 2 ’dir.
'H÷HUOHU NPHVL LVH
R + ∪ {0} kümesidir. (0,0,0)
QRNWDVÕQÕQ JUDILN ]HULQGH ROGX÷X DoÕNWÕU
fonksiyonun z
Yani
G]H\ H÷ULVL QRNWDVÕGÕU
z0>0 olmak üzere, z = x 2 + y 2 yüzeyinin, z=z0
düzlemi
ile
çemberleridir.
arakesiti
ise
z0 = x 2 + y 2
)RQNVL\RQXQ ED]Õ G]H\ H÷ULOHUL
ùHNLO¶GHJ|VWHULOPLúWLU
øNL'H÷LúNHQOL)RQNVL\RQODUGD/LPLWYH6UHNOLOLN
7DQÕP
1a (Limit). z = f ( x, y ) fonksiyonu, bir D ⊂ R 2 E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ ROVXQ ∀ε > 0
G
NH\ILVD\ÕVÕ LoLQ
için,
G
G
G
G
P − P0 < ε NRúXOXQX VD÷OD\DQ P ∈ D vektörü ya da ( x, y ) ∈ D VD\Õ LNLOLOHUL
f ( P) − L < δ (ε )
olacak
úHNLOGH
δ (ε ) VD\ÕODUÕ
EXOXQDELOL\RUVD
z = f ( x, y )
fonksiyonunun P0 ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGDNLOLPLWLL’dir denir ve
lim
( x , y )→( x0 , y0 )
f ( x, y ) = L
(1)
úHNOLQGHJ|VWHULOLU
/LPLWLoLQSUDWLNWHGDKDNXOODQÕúOÕELUWDQÕPYHUHELOLUL]
90
7DQÕP
1b (Limit).
VD\ÕODUÕ LoLQ
f ( x, y ) = L ROPDVÕ LoLQ JHUHN YH \HWHU NRúXO ∀ε1 , ε 2 > 0 keyfi
lim
( x , y )→( x0 , y0 )
x − x0 < ε1 ≤ ε ve y − y0 < ε 2 ≤ ε NRúXOODUÕQÕ VD÷OD\DQ ( x, y ) VD\Õ LNLOLOHUL için
f ( x, y ) − L < δ (ε ) NRúXOX VD÷ODQDFDN úHNLOGH δ (ε ) VD\ÕODUÕQÕQ EXOXQDELOPHVLGLU %XUDGD
ε = Max{ε1 , ε 2 } dir.
Örnek 1. f ( x, y ) =
x 2 + 2 xy
fonksiyonunun (-QRNWDVÕQGDNLOLPLWLQLDUDúWÕUÕQÕ]
x+ y
Çözüm. fonksiyonun (-
n - RODFD÷ÕQÕ WDKPLQ HGHELOLUL]
x +1 < ε ve y − 2 < ε olmak üzere
QRNWDVÕQGDNL OLPLWLQL
EXQXQJHUoHNWHQOLPLWROXSROPDGÕ÷ÕQÕDUDúWÕUDOÕP
ùLPGL
x 2 + 2 xy
x 2 + 2 xy + 3 x + 3 y
( x + 1) 2 + x − 1 + 2 xy + 3 y
− ( −3) =
=
=
x+ y
x+ y
x+ y
=
=
( x + 1) 2 + ( x + 1) − 2 + 2 y ( x + 1) + y
( x + 1) + ( y − 2) + 1
( x + 1) 2 + ( x + 1) + ( y − 2) + 2 y ( x + 1)
( x + 1) + ( y − 2) + 1
2
x +1 + x +1 + y − 2 + 2 y x +1
<
1− x +1 − y − 2
olur. y < 2 RODFD÷ÕQGDQ
ε 2 + ε + ε + 2ε × ε 3ε 2 + 2ε
x 2 + 2 xy
= δ (ε )
=
+ 3) <
x+ y
1− ε − ε
1 − 2ε
yazabiliriz. Böylece,
x 2 + 2 xy
= −3
( x , y )→( −1, 2 )
x+ y
lim
ROGX÷XDQODúÕOPÕúROXU
lim
( x , y ) → ( x0 , y 0 )
f ( x, y ) = L \D]ÕOÕPÕ WDQÕP NPHVLQGH ( x, y ) GH÷LúNHQ QRNWDVÕ ( x 0 , y 0 ) QRNWDVÕQD
\DNODúÕUOHQ
úHNLOGH
f ( x, y ) ’nin de L GH÷HULQH \DNODúDFD÷ÕQÕ LIDGH HGHU $QFDN \DNODúPDQÕQ QH
RODFD÷Õ
NRQXVXQGD
ELU
VÕQÕUODPD
getirmez. Yani, ( x, y ) GH÷LúNHQ QRNWDVÕ
herhangi bir yolu izleyerek ( x 0 , y 0 ) QRNWDVÕQD
\DNODúDELOLU %LU \DNODúPD |UQH÷L RODUDN |QFH
A( x, y ) QRNWDVÕQÕ B( x0 , y ) QRNWDVÕQD EXUDGDQ
da C ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQD J|WUHQ \DNODúÕPÕ ya da
önce A( x, y ) QRNWDVÕQÕ D ( x, y0 ) QRNWDVÕQD
buradan da C ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQD J|WUHQ
91
\DNODúÕPÕDODELOLUL]
lim
( x , y )→( x0 , y0 )
BXWUO\DNODúÕPlar içinH÷HUOLPLWPHYFXWLVH
f ( x, y ) = lim  lim f ( x, y )  = lim  lim f ( x, y )  = L
x→ x0  y → y0

 y→ y0  x→ x0
(2)
RODFD÷ÕDoÕNWÕU$QFDNEXQXQNDUúÕWÕGR÷UXROPD\DELOLU<DQL
lim  lim f ( x, y )  = lim  lim f ( x, y )  = L

 y→ y0  x→x0
 y→ y0
x→ x0
L RODFD÷Õ DQODPÕQD gelmeyebilir. /LPLWLQ YDURODELOPHVL LoLQ \DNODúÕP \ROX QH
lim
f ( x, y ) LIDGHVLQLQD\QÕGH÷HUH\DNODúPDVÕJHUHNLU
olursa olsun,
ROPDVÕ OLPLWLQ
( x , y ) → ( x0 , y 0 )
Örnek 2. f ( x, y ) =
x2 y 2
x4 + y4
IRQNVL\RQXQXQQRNWDVÕQGDNLOLPLWLQLDUDúWÕUÕQÕ]
Çözüm. Önce, lim  lim f ( x, y )  = lim  lim f ( x, y )  = L ROXSROPDGÕ÷ÕQÕDUDúWÕUDOÕP
x→ x0  y → y0

 y→ y0  x→x0

x2 y2 
 = lim (0) = 0
lim  lim f ( x, y )  = lim  lim 4
x→ x0  y → y0
 x→ x0  y→ y0 x + y 4  x→ x0

x2 y2 
 = lim (0 ) = 0
lim  lim f ( x, y )  = lim  lim 4
y → y0  x→ x0
 y→ y0  x→ x0 x + y 4  y→ y0
Buna göre,
lim  lim f ( x, y )  = lim  lim f ( x, y )  = 0

 y→ y0  x→x0
 y→ y0
x→ x0
,
GÕU%XGXUXP OLPLWLQYDUYH¶DHúLWROGX÷XQXJDUDQWLHWPH]ùLPGLGHQRNWDVÕQD
y=mx
GR÷UXODUÕER\XQFD\DNODúDOÕP%XGXUXPGD
lim
( x , y )→( 0 , 0 )
f ( x, y ) =
x2 y 2
x 2 (mx) 2
lim
=
( x , y )→( 0 , 0 ) x 4 + y 4
x→0 x 4 + ( mx ) 4
lim
mx 4
m
=
x→0 ( m + 1) x 4
m +1
= lim
HOGH HGLOLU <DQL QRNWDVÕQD IDUNOÕ GR÷UXODU LOH \DNODúWÕ÷ÕPÕ]GD IDUNOÕ OLPLW GH÷HUOHULQH
,
XODúÕ\RUX]%XGXUXPGD V|]NRQXVXIRQNVL\RQXQQRNWDVÕQGDOLPLWL\RNWXUGHUL]
Teorem 1.
lim
( x , y )→( x0 , y0 )
a) i)
f ( x, y ) = L1 ve
lim
( x , y )→( x0 , y0 )
lim
( x , y )→( x0 , y0 )
g ( x, y ) = L2 limitleri var ise
( f ( x, y ) + g ( x, y )) = L1 + L2
92
(3a)
b) ii)
lim
( x , y )→( x0 , y0 )
( f ( x, y) ⋅ g ( x, y )) = L1 ⋅ L2
c) iii) ∀k ∈ R için
lim
( x , y )→( x0 , y0 )
(3b)
kf ( x, y ) = kL1
(3c)
d) iv) g ( x, y ) ≠ 0 ve L2 ≠ 0 olmak üzere
f ( x, y ) L1
=
lim
( x , y )→( x0 , y0 ) g ( x, y )
L2
(3d)
dir.
Örnek 3.
sin( xy)
OLPLWLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
( x , y ) →( 0,1)
x
lim
Çözüm. y ≠ 0 ROGX÷XQGDQ
lim
( x , y )→( 0 ,1)
sin( xy)
sin( xy)
sin( xy )
= lim y
= lim y ⋅ lim
→
→
→
(
x
,
y
)
(
0
,
1
)
(
x
,
y
)
(
0
,
1
)
(
x
,
y
)
(
0
,
1
)
x
xy
xy
yazabiliriz. u = xy G|QúP|\DSÕOÕUVD
lim
( x , y )→( 0 ,1)
sin( xy)
sin u
= lim y ⋅ lim
=1
→
→
y
1
u
0
x
u
elde edilir.
Örnek 4.
f ( x, y ) =
x3 + y3
fonksiyonunun, QRNWDVÕQdaki limitini, kutupsal koordinatlar
x2 + y2
\DUGÕPÕ\ODDUDúWÕUÕQÕ]
Çözüm. Kutupsal loordinatlarda x = r cos θ ve y = r sin θ
f ( x, y ) = f ( r ,θ ) =
ROGX÷XQDJ|UH
(r cosθ ) 3 + (r sin θ ) 3 r 3 (cos3 θ + sin 3 θ ) r (cos3 θ + sin 3 θ )
=
=
(r cos θ ) 2 + (r sin θ ) 2 r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ )
cos 2 θ + sin 2 θ
= r (cos3 θ + sin 3 θ )
olur. ( x, y ) → (0,0) ≡ r → 0 ROGX÷XQGDQ
lim
( x , y )→( 0 , 0 )
[
]
f ( x, y ) = lim f (r ,θ ) = lim r (cos 3 θ + sin 3 θ ) = 0
r →0
r →0
elde edilir.
93
Örnek 5. 6DQGYLoVÕNÕúWÕUPD\|QWHPLQLNXOODQDUDN
Çözüm. u =
xy
WDQÕPODPDVÕQÕ \DSDOÕP YH FRV
lim
4 − 4 cos xy
( x , y )→( 0 , 0 )
u fonksiyonunu, u
VHULVLQHDoDOÕP
cos u = 1 −
u2 u4
+
− ... .
2! 4!
Seri aOWHUQDWLIROGX÷XQGDQ
1−
u2
u2 u4
< cos u < 1 −
+
2!
2! 4!
yazabiliriz. u¶QXQGH÷HUL\HULQH\]DÕOÕUVD
xy
1−
< cos
2
u 2 x2 y2
xy < 1 −
+
2!
24
elde edilir. Buradan
4 − 2 xy < 4 cos
2 xy −
xy < 4 − 2 xy +
x2 y2
6
x2 y 2
< 4 − 4 cos xy < 2 xy
6
ve son olarak da
2−
xy 4 − 4 cos xy
<
<2
6
xy
HúLWVL]OL÷LHOGHHGLOLU%XUDGDQOLPLWDOÕQÕUVD
4 − 4 cos xy

xy 
 < lim
< lim 2
lim  2 −

( x , y )→( 0 , 0 )
( x , y )→( 0, 0 )
6  ( x , y )→( 0,0 )
xy

2<
lim
4 − 4 cos xy
( x , y )→( 0, 0 )
xy
<2
elde ediOLU2KDOGHVDQGYLo|]HOOL÷LQGHQ
lim
( x , y )→( 0 , 0 )
4 − 4 cos xy
xy
=2
94
xy
limitini bulunuz.
QRNWDVÕQGD 7D\ORU
olur.
7DQÕP 6UHNOLOLN
. D ⊂ R 2 ¶GH WDQÕPOÕ ELU f ( x, y ) fonksiyonu ile ( x0 , y0 ) ∈ D QRNWDVÕ
verilsin.(÷HU
lim
( x , y )→( x0 , y0 )
f ( x, y ) = f ( x0 , y 0 )
(4)
oluyorsa, f fonksiyonuna ( x0 , y0 ) ∈ D QRNWDVÕQGD VUHNOLGLU GHQLU (÷HU f fonksiyonu, D
NPHVLQLQKHUQRNWDVÕQGDVUHNOLLVHEXGXUXPGD f fonksiyonu D’de süreklidir denir.
Örnek 6.
 x3
, ( x, y ) ≠ (0,0) LVH,

f ( x, y ) =  x 2 + y 2
0
, ( x, y ) = (0,0) LVH

fonksiyonunun
R 2 ¶GH
VUHNOL
ROGX÷XQX
gösteriniz.
Çözüm.
x3
x2 + y 2
IRQNVL\RQXQXQ GÕúÕQGDNL KHU QRNWDGD WDQÕPOÕ YH VUHNOL ROGX÷X
DoÕNWÕUùLPGLQRNWDVÕQGDNLVUHNOLOL÷LDUDúWÕUDOÕP
x3
r 3 cos 3 θ
=
lim
= lim r cos 3 θ = 0 = f (0,0)
( x , y )→( 0, 0 ) x 2 + y 2
r →0 r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ )
r →0
(
lim
)
RKDOGHIRQNVL\RQQRNWDVÕQGDGDVUHNOLGLU
øNL'H÷LúNHQOL)RQNVL\RQODUÕQ.ÕVPL7UHYOHUL
7DQÕP 'R÷UXOWX WUHYOHUL
QRNWDVÕ YHULOVLQ
G
D ⊂ R 2 ¶GH WDQÕPOÕ ELU f ( x, y ) fonksiyonu ile ( x0 , y0 ) ∈ D
u0 = (α , β ), (α 2 + β 2 = 1) herhangi bir birim vektör olmak üzere, mevcut
ROPDVÕGXUXPXQGD
DuG0 f ( x, y ) = lim
h→ 0
f ( x0 + αh, y0 + βh) − f ( x0 , y0 )
h
G
limitine, f ( x, y ) fonksiyonunun, u 0 do÷UXOWXVXQGDNLWUHYLGHQLU
95
(1)
G
'R÷UXOWX
G
G
WUHYLQLQ
G
JHRPHWULN
DQODPÕ
úX
úHNLOGH
YHULOHELOLU
G
G
G
G
G
P0 = x0 i + y 0 j
G
ile
G
u0 = α i + β j , (α 2 + β 2 = 1) birim vektörü verilsin.'H÷LúNHQ ELU P(h) = P0 + hu 0 = x i + y j
G
G
vektörü, u0 vektörü boyunca P0 vektörüne \DNODúÕUVD,EXGXUXPGDPHYFXWROPDVÕKDOLQGH
G
G
G
f ( P0 + hu0 ) − f ( P0 )
DuG0 f ( x, y ) = lim
h→0
h
(2)
G
limitine, f ( x, y ) fonksiyonunun, u0 GR÷UXOWXVXQGDNL WUHYL GHQLU Buna göre, DuG0 f ( x, y )
yönlü türevi, z = f ( x, y ) yüzeyine, üzerindeki ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) QRNWDVÕQGDQ
YH
G
u0
GR÷UXOWXVXQGDoL]LOHQWH÷HWLQH÷LPLGLU
Örnek 1. f ( x, y ) = xy IRQNVL\RQXQXQJHQHOGR÷UXOWXtürev fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm. 7DQÕPJHUH÷L
f ( x0 + αh, y0 + βh) − f ( x0 , y0 )
h→0
h
( x + αh)( y0 + βh) − x0 y0
= lim 0
h→0
h
x y + ( x0 β + αy0 )h + αβh 2 − x0 y0
= lim 0 0
h→0
h
x0 β + αy0 + αβh ]h
[
= lim
h→0
h
= lim( x0 β + αy0 + αβh)
DuG0 f ( x, y ) = lim
h→0
= x0 β + αy0
G
Örnek 2. f ( x, y ) = x 2 + y 2 fonksiyonunun, u0 (1 / 2, 3 / 2) ELULP YHNW|U GR÷UXOWXVXQGDNL
türevini bulunuz.
Çözüm. <|QOWUHYWDQÕPÕQGDQ
96
f ( x0 + αh, y0 + βh) − f ( x0 , y0 )
h
2
( x + αh) + ( y0 + βh) 2 − x02 + y02
= lim 0
h→0
h
2(αx0 + βy0 )h + (α 2 + β 2 )h 2
= lim
h→0
h
= lim 2(αx0 + βy0 ) + (α 2 + β 2 )h
DuG0 f ( x, y ) = lim
h→0
h→0
[
]
= 2(αx0 + βy0 ) ⇒
D(1/ 2,
3 / 2)
f ( x, y ) = x0 + 3 y0
olur.
7DQÕP
2 .ÕVPL 7UHY. D ⊂ R 2 ¶GH WDQÕPOÕ ELU f ( x, y ) fonksiyonu ile ( x0 , y0 ) ∈ D QRNWDVÕ
YHULOVLQ0HYFXWROPDVÕGXUXPXQGD
lim
h→0
f ( x0 + h, y0 ) − f ( x0 , y0 )
h
(3)
limitine, f ( x, y ) fonksiyonunun x GH÷LúNHQLQH J|UH NÕVPL türevi denir ve
∂f ( x0 , y0 )
ya da
∂x
f x ( x0 , y0 ) sembollerinden biri ile gösterilir. %HQ]HUúHNLOGHPHYFXWROPDVÕKDOLQGH
lim
h→0
f ( x0 , y 0 + h ) − f ( x0 , y 0 )
h
(4)
∂f ( x0 , y0 )
ya da
∂y
G
f y ( x0 , y0 ) sembollerinden biri ile gösterilir. f x ( x0 , y0 ) NÕVPLWUHYLQLQ u0 (1,0) yönündeki ve
limitine de, f ( x, y ) fonksiyonunun yGH÷LúNHQLQHJ|UHNÕVPLWUHYLGHQLUYH
G
f y ( x0 , y0 ) NÕVPLWUHYLQLQGH u0 (0,1) \|QQGHNLWUHYOHUROGX÷XQDGLNNDWHGLOPHOLGLU
x GH÷LúNHQLQH J|UH
, y GH÷LúNHQL VDELW
WXWXOPDNWDGÕU Bu ise, z = f ( x, y ) yüzeyi ile
y = y0
düzleminin
arakesiti
olan
z = f ( x, y0 ) H÷ULVLQin x = x0 QRNWDVÕQGDNL
türevi DQODPÕQD JHOLU %DúND ELU GH÷LúOH,
f x ( x0 , y0 ) NÕVPL WUHYL z = f ( x, y )
yüzeyine, üzerindeki ( x0 , y0 , z0 ) QRNWDVÕQdan ve xoz düzlemine paralel olarak çizilen
WH÷HWLQ H÷LPLGLU %HQ]HU RODUDN f ( x , y )
y
0
0
7DQÕPD J|UH |UQH÷LQ
NÕVPL WUHY DOÕQGÕ÷ÕQGD
z = f ( x, y ) yüzeyine, yine
üzerindeki ( x0 , y0 , z0 ) QRNWDVÕQGDQ YH \oz
NÕVPL WUHYL LVH
G]OHPLQH
SDUDOHO
RODUDN
oL]LOHQ
WH÷HWLQ
97
z = f ( x, y ) olan E yüzeyine, üzerindeki P( x0 , y0 , z 0 )
QRNWDVÕQGDQYH y = y G]OHPLQGHRODFDNúHNLOGH TWH÷HWLoL]LOPLúWLU TWH÷HWLQLQ, xy-düzlemi
0
LOH \DSWÕ÷Õ DoÕQÕQ WDQMDQWÕ \DQL WH÷HWLQ xy-düzlemine g|UH H÷LPL z = f ( x, y ) fonksiyonunun,
( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGD, xGH÷LúNHQLQHJ|UHNÕVPLWUHYLGLU
H÷LPLGLU ùHNLO ¶GH GHQNOHPL
Örnek 3 .ÕVPL WUHY WDQÕPÕQÕ NXOODQDUDN z = x 2 + y 2 fonksiyonunun f x (1,1) ve f x (0,0)
NÕVPLWUHYOHULQLQROXSROPDGÕ÷ÕQÕDUDúWÕUÕQÕ]
Çözüm.
f ( x0 + h, y0 ) − f ( x0 , y0 )
∂f ( x0 , y0 )
WDQÕPÕQÕNXOODQÕUVDN
= lim
h→0
∂x
h
f (1 + h,1) − f (1,1)
=
f x (1,1) = lim
h→0
h
(1 + h) 2 + 1 − 1 − 1
h 2 + 2h
= lim
= lim
= lim(h + 2) = 2
h→0
h→0
h→0
h
h
f x (0,0) = lim
h→0
f (h,0) − f (0, 0)
h2
= lim
= lim h = 0
h→0 h
h→0
h
elde edilir.
Örnek 4.
 x2
, ( x, y ) ≠ (0,0) LVH,

f ( x, y ) =  x + y
0
, ( x, y ) = (0,0) LVH

fonksiyonunun varsa f x (0,0) ve f y (0, 0) NÕVPLWUHYOHULQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm.
h2
−0
f (h, 0) − f (0,0)
h2
0
h
+
f x (0,0) = lim
= lim
= lim 2 = 1
h→0
h→0
h→0 h
h
h
f y (0,0) = lim
h →0
0−0
f (0, h) − f (0,0)
= lim
=0
→
0
h
h
h
Örnek 5. z = xe x+ y fonksiyonunun z x ve z y NÕVPLWUHYOHULQLEXOXQX]
Çözüm.
zx =
∂z
= e x+ y + xe x+ y = e x+ y (1 + x )
∂x
98
zy =
7DQÕP
∂z
= xe x + y
∂y
3<NVHNPHUWHEHGHQNÕVPLWUHYOHU. z = f ( x, y ) fonksiyonunun, f x ve f y NÕVPL
WUHYOHULQLQ WDQÕP NPHVLQGH
x ve y’ye göre türevleri var ise bu türevlere z = f ( x, y )
fonksiyonunXQ LNLQFL PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYOHUL GHQLU f x NÕVPL WUHYLQLQ x¶H J|UH NÕVPL
türevi z = f ( x, y ) fonksiyonunun, x¶H J|UH LNLQFL PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYLGLU YH f xx ile
J|VWHULOLU<DQLPHYFXWROPDVÕGXUX
munda, x¶HJ|UHLNLQFLPHUWHEHGHQNÕVPLWUHY
∂2 f
∂ ∂f
( )= 2
∂x
∂x ∂x
f xx =
(5)
úHNOLQGHGLU%HQ]HURODUDNGL÷HULNLQFLPHUWHEHWUHYOHU
f xy = ( f x ) y =
de
∂2 f
∂ ∂f
( )=
,
∂y∂x
∂y ∂x
(6)
∂2 f
∂ ∂f
( )= 2
∂y
∂y ∂y
f yy =
(7)
ve
f yx
∂2 f
∂ ∂f
( )=
∂x∂y
∂x ∂y
(8)
biçiminde gösterilir. %LUIRQNVL\RQXQWDQÕPOÕROGX÷XE|OJHGHGDKD\NVHNPHUWHEHGHQNÕVPL
türevleri de mevcut olabilir.
Örnek 4. f ( x, y ) = x ln( xy) IRQNVL\RQXQXQLNLQFLPHUWHEHNÕVPLWUHYOHULQLEXOXQX]
Çözüm.
fx =
∂f
y
= ln( xy ) + x
= ln( xy ) + 1
∂x
xy
f xx =
y 1
∂2 f
∂ ∂f
( )= 2 =
=
xy x
∂x ∂x
∂x
f xy = ( f x ) y =
∂2 f
∂ ∂f
x 1
( )=
=
=
∂y ∂x
∂y∂x xy y
fy =
∂f
x
x
=x
=
xy y
∂y
f yy =
∂ ∂f
∂2 f
x
( )= 2 =− 2
∂y ∂y
∂y
y
99
f yx
1
∂2 f
∂ ∂f
( )=
=
∂x∂y y
∂x ∂y
Teorem 1. z = f ( x, y ) fonksiyonunun f x , f y , f xy YH f yx , NÕVPL WUHY IRQNVL\RQODUÕ KHUKDQJL
bir ADoÕNNPHVLQGHWDQÕPOÕYH ( x0 , y0 ) ∈ A QRNWDVÕQGDsürekli iseler
f xy ( x0 , y0 ) = f yx ( x0 , y0 )
(9)
dir.
øVSDW
. ( x0 + h, y0 + k ) ∈ A RODFDNúHNLOGHh ve kSR]LWLIVD\ÕODUÕ verilsin. ùLPGL,
F ( x0 , y0 ) = [ f ( x0 + h, y0 + k ) − f ( x0 + h, y0 )] − [ f ( x0 , y0 + k ) − f ( x0 , y0 )]
(10)
diyelim ve
G ( x ) = f ( x, y 0 + k ) − f ( x , y 0 )
(11)
fonksiyonXQXWDQÕPOD\DOÕP%XGXUXPGD
F ( x0 , y0 ) = G ( x0 + h) − G ( x0 )
(12)
olur.¶GHQWUHYDOÕUVDN
G ′( x) = f x ( x, y0 + k ) − f x ( x, y0 )
(13)
YH HúLWOL÷LQH GLIHUDQVL\HO KHVDEÕQ RUWDODPD GH÷HU WHRUHPLQL X\JXODUVDN
0 < θ < 1 olmak
üzere
F ( x0 , y0 ) = G ( x0 + h) − G ( x0 ) = hG ′( x0 + θh)
(14)
ifadesini YH\DUGÕPÕ\ODGD
F ( x0 , y0 ) = hG ′( x0 + θh) = h[ f x ( x0 + θh, y0 + k ) − f x ( x0 + θh, y0 )]
(15)
yazabiliriz. (÷HU HúLWOL÷LQGH SDUDQWH] LoHULVLQH ELU NH] GDKD RUWDODPD GH÷HU WHRUHPL
X\JXODQÕUVD
0 < µ < 1 olmak üzere
F ( x0 , y0 ) = hkf xy ( x0 + θh, y0 + µk )
(16)
elde ederiz. %HQ]HUúHNLOGH,
H ( y ) = f ( x0 + h, y ) − f ( x0 , y )
(17)
IRQNVL\RQXWDQÕPOD\DOÕPHúLWOL÷LQHJ|UH
F ( x0 , y0 ) = H ( y0 + k ) − H ( y0 )
(18)
, 0 < η < 1 olmak üzere
ROXU2UWDODPDGH÷HUWHRUHPLX\JXODQÕUVD
F ( x0 , y0 ) = kH y ( y0 + ηk )
(19)
100
olur. (17)’den y¶\HJ|UHWUHYDOÕQÕU¶GD\HULQH\D]ÕOÕUVD
[
F ( x0 , y0 ) = k f y ( x0 + h, y0 + ηk ) − f y ( x0 , y0 + ηk
]
(20)
ROXU 3DUDQWH] LoHULVLQH ELU NH] GDKD RUWDODPD GH÷HU WHRUHPL X\JXODQÕUVD
0 < γ < 1 olmak
üzere
F ( x0 , y0 ) = khf yx ( x0 + γh, y0 + ηk )
(21)
olur. Son olarak, h → 0 ve k → 0 OLPLWGXUXPXLoLQYHED÷ÕQWÕODUÕQÕQVD÷\DQODUÕQÕQ
HúLWOL÷LQGHQ
f xy ( x0 , y0 ) = f yx ( x0 , y0 )
(22)
elde ederiz.
<XNDUÕGDNL WHRUHP GDKD \NVHN PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYOHUH GH X\JXODQDELOLU %XQXQOD LOJLOL
DúD÷ÕGDNLWHRUHPLLVSDWVÕ]YHU\RUX]
Teorem 2. z = f ( x, y ) fonksiyonunun, D\QÕ LQGLV NPHVLQL LoHUHQ EWQ \NVHN PHUWHEHGHQ
NÕVPLWUHYOHULHúLWWLU
Örnek 5. f ( x, y ) = e x+ y sin( xy) fonksiyonunu için f xyx = f xxy ROGX÷XQXJ|VWHULQLQ]
Çözüm.
f x = ye x+ y cos(xy )
f xy = e x+ y cos( xy ) + ye x+ y cos( xy) − xye x+ y sin( xy)
f xyx = e x + y cos( xy ) − ye x + y sin( xy ) + ye x + y cos( xy ) − y 2 e x + y sin( xy ) −
− ye x + y sin( xy ) − xye x + y sin( xy ) − xy 2 e x + y cos( xy )
(
)
(
)
= 1 + y − xy 2 e x + y cos( xy ) − y 2 + 2 y + xy e x + y sin( xy )
ROXU'L÷HU\DQGDQ
f xx = ye x+ y cos( xy ) − y 2 e x+ y sin( xy )
f xxy = e x+ y cos( xy ) + ye x+ y cos( xy) − xye x+ y sin( xy) −
= −2 ye x+ y sin( xy ) − y 2 e x+ y sin( xy) − xy 2 e x+ y cos( xy)
= (1 + y − xy 2 )e x+ y cos( xy) − (y 2 + 2 y + xy )e x+ y sin( xy)
olur. Buna göre f xyx = f xxy ’dir.
Örnek 6. c bir sabit olmak üzere,
101
∂ 2u
∂u
=c 2
∂x
∂t
NÕVPL
WUHY
GHQNOHPLQH
\D\ÕOPD
GHQNOHPL
GHQLU
$úD÷ÕGDNL
IRQNVL\RQODUÕQ
\D\ÕOPD
GHQNOHPLQLVD÷OD\ÕSVD÷ODPDGÕNODUÕQÕJ|VWHULQL]
a) u ( x, t ) = e ax+bt
b) u ( x, t ) = sin( ax + bt )
Çözüm a) u ( x, t ) = e ax+bt ⇒
∂u
= be ax+bt
∂t
∂ 2u
∂u
= ae ax+bt ⇒ 2 = a 2 e ax+bt
∂x
∂x
∂ 2u
∂u
= c 2 ⇒ be ax+bt = ca 2 e ax+bt
∂x
∂t
b
⇒c= 2
a
bulunur. O halde, u ( x, t ) = e ax+bt IRQNVL\RQX\D\ÕOPDGHQNOHPLQLVD÷ODPDNWDGÕUYH c =
b)
u ( x, t ) = sin( ax + bt ) ⇒
b
’dir
a2
∂u
= b cos(ax + bt )
∂t
∂ 2u
∂u
= a cos(ax + bt ) ⇒ 2 = −a 2 sin( ax + bt )
∂x
∂x
o halde, ∀x, t ∈ R için
∂ 2u
∂u
=c 2
∂x
∂t
olPDGÕ÷ÕQGDQ u ( x, t ) = sin( ax + bt ) fonksiyonu,
GH÷LOGLU
\D\ÕOPD GHQNOHPLQL
Bununla birlikte, u ( x, t ) = sin( ax + bt ) fonksiyonu
ax + bt = arctan(−
b
)
ca 2
NRúXOXQXQVD÷ODQPDVÕGXUXPODUÕQGDELU
özel çözümdür.
Örnek 7. Üç boyutlu Laplace denklemi
∂2 f ∂2 f ∂2 f
=0
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
102
n bir genel çözümü
úHNOLQGH LNLQFL PHUWHEHGHQ NÕVPL GLIHUDQVL\HO GHQNOHPGLU $úD÷ÕGDNLIRQNVL\RQODUÕQ /DSODFH
GHQNOHPLQLVD÷ODGÕNODUÕQÕJ|VWHULQL]
a) f ( x, y, z ) = x 2 + y 2 − 2 z 2
b) f (r ) =
1
r
Çözüm a)
∂2 f
∂f
= 2x ⇒ 2 = 2
∂x
∂x
∂2 f
∂f
= 2y ⇒ 2 = 2
∂y
∂y
f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 − 2 z 2 ⇒
∂2 f
∂f
= 2z ⇒ 2 = 2
∂z
∂z
ve böylece
∂2 f ∂2 f ∂2 f
= 2 + 2 − 2× 2 = 0
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
olur.
G
G
G
G
r = x i + y j + z k ⇒ r = x 2 + y 2 + z 2 ⇒ f ( r ) = f ( x, y , z ) =
b)
x
x
r 3 − 3 xr 2
4
2 2
x + y2 + z2
x
∂2 f
∂f
r = r − 3x r
=
=
⇒
= 2
⇒
∂x 2
∂x
x + y2 + z2
r3
r6
r7
2
ROXU%HQ]HUúHNLOGH
∂ 2 f r 4 − 3 y 2r 2
∂f
y
= 3⇒ 2 =
r7
∂y
∂y r
z
∂ 2 f r 4 − 3z 2 r 2
∂f
= 3⇒ 2 =
∂z
∂z r
r7
ve buradan da
∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f r 4 − 3x 2 r 2 r 4 − 3 y 2 r 2 r 4 − 3z 2 r 2
=
+
+
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
r7
r7
r7
3r 4 − 3r 2 ( x 2 + y 2 + z 2 )
r7
3r 4 − 3r 4
=
=0
r7
=
olur.
103
1
x + y2 + z2
2
=LQFLU.XUDOÕ
Teorem 1. D ⊂ R 2 ¶GH WDQÕPOÕ ELU z = f ( x, y ) IRQNVL\RQX YHULOVLQ (÷HU f x ve f y NÕVPL
WUHYOHUL ùHNLO ¶GD J|VWHULOHQ YH
P(a, b) ∈ D ve Q (c, d ) ∈ D QRNWDODUÕQÕ ELUOHúWLUHQ GLN
, a < m < c ve b < n < d olmak üzere
DoÕOÕ\ROXQKHUQRNWDVÕQGDWDQÕPOÕLVHOHU
f (c, d ) − f ( a, b) = f x ( m, d )(c − a ) + f y (a, n)( d − b)
(1)
GÕU
øVSDW
. f ( c, d ) − f ( a , b ) = f ( c , d ) − f ( a , d ) + f ( a , d ) − f ( a , b )
(2)
(úLWOL÷LQL\D]ÕS
z 1 ( x ) = f ( x, d )
(3a)
z2 ( y ) = f (a , y )
(3b)
ve
IRQNVL\RQODUÕQÕWDQÕPOD\DOÕP%XGXUXPGD
z1 (c) − z1 (a ) = f (c, d ) − f (a, d )
(4)
olur ve a < m < c ROPDN]HUHRUWDODPDGH÷HUWHRUHPLQGHQ
f (c, d ) − f (a, d ) = z1x (m)(c − a ) = f x (m, d )(c − a )
(5)
HOGHHGLOLU%HQ]HUúHNLOGHGúQFH\OH
f (a, d ) − f (a, b) = z 2 y (n)(d − b) = f y (a, n)(d − b)
\D]ÕODELOLU%|\OHFHYHED÷ÕQWÕODUÕ¶GH\HULQH\D]ÕOÕUVD
f (c, d ) − f (a, b) = f x (m, d )(c − a ) + f y (a, n)(d − b)
104
(6)
elde edilir.
Teorem 2. D ⊂ R 2 ¶GH WDQÕPOÕ ELU z = f ( x, y ) fonksiyonu verilsin. z’nin, x ve yGH÷LúNHQOHUL
t¶\H
ED÷OÕ ELUHU VNDOHU IRQNVL\RQODU ROVXQODU
IRQNVL\RQODUÕQÕQJUDILNOHULQLQ
x = g (t ) , y = h(t ) . x = g (t ) ve y = h(t )
D E|OJHVLQGHROPDVÕNRúXOX\ODz fonksiyonunun, tGH÷LúNHQLQH
göre türevi
dz ∂z dx ∂z dy
+
=
dt ∂x dt ∂y dt
(7)
GÕU
øVSDW
. z = f ( x, y ) fonksiyonunu
z (t ) = f ( x, y ) = f ( g (t ), h(t ))
(8)
úHNOLQGH\D]DELOLUL] 7UHYWDQÕPÕQDJ|UH
z ′(t ) =
dz
z (t + h) − z (t )
f ( g (t + h), h(t + h)) − f ( g (t ), h(t ))
= lim
= lim
→
→
h
0
h
0
dt
h
h
(9)
olur.HúLWOL÷LQGH
c = g (t + h), d = h(t + h), a = g (t ), b = h(t )
(10)
sa
DOÕQÕU
dz
f ( g (t + h), h(t + h)) − f ( g (t ), h(t ))
= lim
→
h
0
dt
h
f (m, h(t + h))[g (t + h) − g (t )] + f y ( g (t ), n)[h(t + h) − h(t )]
dz
= lim x
→
h
0
dt
h
(11)
elde edilir. Burada a < m < c ve b < n < d yani g (t ) < m < g (t + h) ve h(t ) < n < h(t + h) ’dir.
'ROD\ÕVÕ\OH
h → 0 limit durumunda, m → g (t ) ve n → h(t ) olur. Sonuç olarak, (11)
ED÷ÕQWÕVÕQGDQ
dz
= f x ( g (t ), h(t )) g ′(t ) + f y ( g (t ), h(t ))h′(t )
dt
(12)
dz ∂f dx ∂f dy
=
+
dt ∂x dt ∂y dt
(13)
ya da
zincir NXUDOÕHOGHHGLOLU
105
Örnek 1. f ( x, y ) =
xy
fonksiyonunun x ve yGH÷LúNHQOHUL t’nin x(t ) = sin t , y (t ) = a cos t
x+ y
úHNOLQGHNLIRQNVL\RQODUÕROGX÷XQDJ|UH
ft (
3 1
, ) GH÷HULQLEXOXQX]
2 2
3
π
1
π
= sin t ⇒ t = ve = a cos ’den a = 1 bulunur. f¶QLQ]LQFLUNXUDOÕ\DUGÕPÕ\OD,
2
3
2
3
Çözüm.
t’ye göre türeviDOÕQÕUVD
df
x ( x + y ) − xy
∂f ∂x ∂f ∂y y ( x + y ) − xy
cos t +
( − a sin t )
=
+
=
2
dt dx dt dy dt
( x + y)
( x + y)2
y2
ax 2
y 2 cos t − ax 2 sin t
cos t −
sin t =
=
( x + y)2
( x + y)2
( x + y)2
elde edilir. O halde,
1
π
3
π 11 3 3
( ) 2 cos − 1( ) 2 sin
−
3 1
4
3
2
3 = 4 2 4 2 = 1− 3 3
ft ( , ) = 2
2 2
8 (1 + 3 ) 2
3 1 2
3 +1 2
(
(
)
+ )
2 2
2
3 1 1
f t ( , ) = (1 − 3 3 ) 3
2 2 8
olur.
Örnek 2. f ( x, y ) = xy sin( x + y ) fonksiyonunun f x ve f y NÕVPL WUHYOHULQL ]LQFLU NXUDOÕ LOH
bulunuz.
Çözüm. u = xy , v = sin( x + y ) WDQÕPODPDODUÕ\OD f ( x, y ) = g (u , v) = uv olur. Buna göre
∂f ∂g ∂u ∂g ∂v
= vy + u cos( x + y ) = y sin( x + y ) + xy cos( x + y )
+
=
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂f ∂g ∂u ∂g ∂v
= vx + u cos( x + y ) = x sin( x + y ) + xy cos( x + y )
+
=
∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
Teorem 3. D ⊂ R 2 ¶GHWDQÕPOÕELU z = f ( x, y ) fonksiyonu verilsin. z = f ( x, y ) ¶QLQEHOLUOHGL÷L
yüzey üzerindeki bir c H÷ULVL LOH onun xy-G]OHPLQGHNL L]GúP RODQ c′ H÷ULVLQL J|]|QQH
DODOÕP
c′ H÷ULVL]HULQGHNLKHUKDQJLELUQRNWDGDNLWUHY
106
f
dy
=− x
dx
fy
(14)
ile verilir.
øVSDW
. c′ L]GúP H÷ULVLQLQ GHQNOHPL y = h(x) olsun. Buna göre, c′ üzerindeki noktalar
( x, h( x),0) úHNOLQGH LNHQ
c
ktalar ( x, h( x), f ( x, y ))
H÷ULVLQGH EXQODUD NDUúÕOÕN JHOHQ QR
c
x-HNVHQLGR÷UXOWXVXQGDNLWUHYL\D]DOÕP
úHNOLQGHGLUùLPGL H÷ULVL]HULQGH
df ∂f ∂x ∂f ∂y
.
+
=
dx ∂x ∂x ∂y ∂x
Bu türevin, c′ (15)
L]GúP H÷ULVL ]HULQGHNL NDUúÕOÕ÷ÕQÕ HOGH HWPHN LoLQ ED÷ÕQWÕVÕQGD
f ( x, y ) = 0 GROD\ÕVL\OH
df
∂x
∂y dy
=0,
= 1 ve
=
DOÕQPDOÕGÕU%XQDJ|UH
dx
∂x
∂x dx
∂f ∂f dy
=0
+
∂x ∂y dx
ve buradan da
∂f
f
dy
= − ∂x − x
∂f
dx
fy
∂y
elde edilir. Teorem bize, f ( x, y ) = 0 úHNOLQGH YHULOHQ LNL GH÷LúNHQOL NDSDOÕ bir fonksiyon için
dy / dx türevinin QDVÕOEXOXQDFD÷ÕQÕLIDGHHWPHNWHGLU
Örnek 3. Düzlemde, dik koordinat sistemi ilHXoODNNRRUGLQDWVLVWHPLDUDVÕQGD
x = r cosθ ve y = r sin θ
G|QúPIRUPOOHULYDUGÕU
r ve θ¶\Õx ve y’nin fonksiyonu olarak ifade etmeden,
dr
dθ
ve
dx
dx
türevlerini bulunuz.
Çözüm. Düzlemin (x,y
G
QRNWDODUÕQÕ
G
F ( x, y ) = ( x, y ) vektörleriyle temsil edersek, uçlak
G
G
koordinatlarda ( x, y ) = F ( x, y ) = F (r ,θ ) = (r cosθ , r sin θ ) \D]DELOLUL] =LQFLU NXUDOÕQÕ F (r ,θ )
YHNW|UGH÷HUOLIRQNVL\RQXQDX\JXODUVDN
G
G
G
∂F ∂F ∂r ∂F ∂θ
=
+
∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x
(*)
olur. Burada
107
G
∂F
= (cosθ , sin θ )
∂r
ve
G
∂F
= (−r sin θ , r sin θ )
∂θ
G
dir.$\UÕFD F ( r ,θ ) = ( x, y )
HúLWOL÷LQGHQGH
G
∂F (r , θ )
= (1,0)
∂x
olur.%XQDJ|UHHúLWOL÷LQLYHNW|UHOIRUPGD\HQLGHQ
(1,0) = (cosθ , sin θ )
∂θ
∂r
+ (−r sin θ , r cosθ )
∂x
∂x
úHNOLQGH\D]DELOLUL]%XYHNW|UHOGHQNOHP\HUL
∂r
− r sin θ
∂x
∂r
sin θ
+ r cos θ
∂x
cos θ
ne
∂θ
=1
∂x
∂θ
=0
∂x
skaler denklem sistemini yazabiliriz. Bu denklem sistemi çözülerek
∂θ − sin θ
∂r
=
= cosθ YH
r
∂x
∂x
elde edilir.
%HQ]HU RODUDN H÷HU
g = f ( x, y, z ) úHNOLQGH o GH÷LúNHQOL ELU IRQNVL\RQ YHULOLU YH x, y ve z
t
VHUEHVWGH÷LúNHOHULQLQKHUELULQLQ|UQH÷LQELU SDUDPHWUHVLQHED÷OÕIRQNVL\RQODUROGX÷XNDEXO
HGLOLUVHEXGXUXPGDLOHYHULOHQ]LQFLUNXUDOÕ
dg df ∂f dx ∂f dy ∂f dz
=
=
+
+
dt dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt
(16)
ELoLPLQGHJHQLúOHWLOHELOLU
Son olarak, g = f ( x, y, z ) fonksiyonunda x, y ve z GH÷LúNHQOHULQLQKHUELULQLQ u ve v’nin birer
IRQNVL\RQXROGX÷XQXNDEXOHGHOLP
x = x(u , v),
y = y (u , v),
z = z (u , v) .
Bu durumda, f’nin, u ve v¶\HJ|UHNÕVPLWUHYOHUL
108
dg df ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z
,
=
=
+
+
du du ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u
(17a)
dg df ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z
+
+
=
=
dv dv ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v
(17b)
olur.
Örnek 4. x 2 + y 2 + 2 xy = 0
NDSDOÕIRQNVL\RQXLoLQ
Çözüm. f ( x, y ) = x 2 + y 2 + 2 xy
dy / dx türevini bulunuz.
WDQÕPODPDVÕQÕ\DSDUVDN
f
dy
2x + 2 y
=− x =−
= −1
dx
fy
2 y + 2x
elde ederiz.
3.6. Tam Diferansiyel
D ⊂ R 2 E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ z = f ( x, y ) fonksiyonu verilsin. z’nin, x ve y¶H J|UH NÕVPL
WUHYOHUL WDQÕPOÕ YH VUHNOL ROVXQODU
x ve y
GH÷LúNHQOHULQH VÕUDVÕ\OD
h ve k
DUWPDODUÕ
artmaPLNWDUÕ ∆z olsun. Buna göre,
z
YHULOGL÷LQGH ED÷OÕGH÷LúNHQLQGHRUWD\DoÕNDQ
∆z = f ( x + h, y + k ) − f ( x, y )
(1)
∆z = f ( x + h, y + k ) − f ( x, y + k ) + f ( x, y + k ) − f ( x, y )
(2)
veya
\D]DELOLUL] (úLWOL÷LQ VD÷ WDUDIÕQGDNL LON LNL YH VRQ LNL WHULP NHQGL DUDODUÕQGD JUXSODQGÕUÕOÕU YH
ELUGH÷LúNHQOLIRQNVL\RQODUGDWDQÕPODQDQ
diferansiyelKHVDEÕQRUWDODPDGH÷HUWHRUHPL dikkate
DOÕQÕUVD
f ( x + h, y + k ) − f ( x, y + k ) = hf x ( x + θ 1 h, y + k ),
f ( x, y + k ) − f ( x, y ) = kf y ( x, y + θ 2 k ),
\D]ÕODELOLU
0 <θ2 <1
0 < θ1 < 1
(3a)
(3b)
f x ve f y NÕVPL WUHYOHULQLQ VUHNOL ROPDVÕ QHGHQL ve sonlu artmalar teoremi
JHUH÷LQFH
f x ( x + θ1h, y + k ) = f x ( x, y ) + ε 1
(4a)
f y ( x , y + θ 2 k ) = f y ( x, y ) + ε 2
(4b)
yazabiliriz (burada, ε 1 ve ε 2 , h ve kLOHELUOLNWHD\QÕ]DPDQGDVRQVX]NoNLNLQLFHOLNWLU2
KDOGHED÷ÕQWÕVÕ
∆z = hf x ( x, y ) + kf y ( x, y ) + ε 1 h + ε 2 k
(5)
109
olur. ε1h ve ε 2 k niceliklerinin, h ve k¶\D J|UH LNLQFL GHUHFHGHQ VRQVX] NoN GH÷HUOHU
ROGXNODUÕQD
7DQÕP dikkat edilmelidir. hf x ( x, y ) + kf y ( x, y ) QLFHOL÷LQH ∆z ¶QLQDVDOGH÷HULdenir.
. D ⊂ R 2 E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ z = f ( x, y ) fonksiyonu verilsin. z’nin, x ve y’e göre
NÕVPLWUHYOHULWDQÕPOÕYHVUHNOLROVXQODU
DUWPDPLNWDUODUÕ
dx ve dyVÕUDVÕ\ODx ve yVHUEHVWGH÷LúNHQOHULQGHNL
olmak üzere
dz = f x ( x, y )dx + f y ( x, y )dy
(7)
ifadesine, z = f ( x, y ) fonksiyonunun tam diferansiyeli denir.
ED÷ÕQWÕVÕQGD
h=dx ve k=dyDOÕQÕUYHWDPGLIHUDQVL\HOLLOHNDUúÕODúWÕUÕOÕUVD
∆z = dz + ε 1 h + ε 2 k
(8)
elde edilir. O halde, tam diferansiyel fonkVL\RQGDNL DUWPD PLNWDUÕ GH÷LO IDNDW RQD oRN \DNÕQ
ELUGH÷HUGLU
ε 1h → 0 ve ε 2 k → 0 ROGX÷XQDGLNNDWHGLQL]).
Örnek 1. z = xy ln( x + y ) fonksiyonunun tam diferansiyelini bulunuz.
Çözüm.


xy 
xy 
dz =  y ln( x + y ) +
dx +  x ln( x + y ) +
dy

x + y
x + y 


Örnek 2. z = arctan(xy ) fonksiyonunun tam diferansiyelini bulunuz.
Çözüm.
dz =
y
x
ydx + xdy
dx +
dy =
2 2
2 2
1+ x y
1+ x y
1+ x2 y 2
Örnek 2. z = e x / y fonksiyonunun tam diferansiyelini bulunuz.
Çözüm.
dz =
1 x/ y
x
ex/ y
e dx − 2 e x / y dy = 2 [ydx − xdy ]
y
y
y
110
3.7. Tam DiferansiyelLQ*HRPHWULN$QODPÕ
z = f ( x, y ) fonksiyonu ile verilen bir E s yüzeyini GLNNDWH DODOÕP Bu yüzeye, üzerindeki bir
N 0 ( x0 , y0 , z 0 ) QRNWDVÕQGDWH÷HWRODQ ET düzlemiùHNLO,
Z = F ( x, y ) = f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y 0 )( y − y0 ) + z 0
denklemi ile verilir. Burada, M ( x, y, F ( x, y )) düzleminin, N ( x, y, f ( x, y ))
( x, y ) = ( x 0 , y 0 )
QRNWDVÕQGDQ
GH÷LúNHQ QRNWDVÕ
ROPDVÕ GXUXPXQGD
GH÷LúNHQ QRNWDVÕ
(1)
, söz konusu ET
ise E s \]H\LQLQ QRNWDODUÕQÕ WHPVLO HWsinler.
, Z = z 0 RODFD÷Õ DoÕNWÕU (÷HU, xy-düzleminde, ( x0 , y0 )
x = x0 + dx ve y = y0 + dy ile verilen bir ( x0 + dx, y 0 + dy ) GH÷LúWLULOLUVH EX GXUXPGD
QRNWDVÕQGDNL NRWX WH÷HW
, dz = Z − z 0 IDUNÕ
ET
WH÷HW
QRNWDVÕQD \HU
düzleminin, ( x0 + dx, y 0 + dy )
xy-G]OHPLQH J|UH \NVHNOL÷L LOH E s yüzeyinin, ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGDNL
z0 = f ( x0 , y0 ) NRWXDUDVÕQGDNLNRWIDUNÕQÕYHULU ∆z = z − z 0 IDUNÕ ise E s \]H\LQLQVÕUDVÕ\OD
( x, y ) ve ( x0 , y0 ) QRNWDODUÕQGDNL NRW IDUNÕGÕU ùHNLO ¶GHQ DQODúÕODFD÷Õ ]HUH dx → 0 ve
dy → 0 durumunda ( z − z0 ) = ∆z → dz = ( Z − z0 ) olur. Bu
NRúXOODU DOWÕQGD
(1) denklemini
yeniden
dz = f x ( x0 , y0 ) dx + f y ( x0 , y0 )dy
(2)
biçiminde yazabiliriz. O halde, z = f ( x, y ) fonksiyonunun, ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGDNL
tam
diferansiyelini, geometrik olarak, z = f ( x, y ) yüzeyine, üzerindeki ( x0 , y0 , z 0 ) QRNWDVÕQGDQ
111
çizilen
WH÷HW G]OHPLQ
( x0 + dx, y 0 + dy ) QRNWDVÕQGDNL NRWX LOH
z = f ( x, y ) yüzeyinin,
( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGDki z0 = f ( x0 , y0 ) NRWXDUDVÕQGDNLIDUNúHNOLQGHLIDGHHGHELOLUL]
dx → 0 ve dy → 0 ROPDVÕGXUXPXQGD\DQLVHUEHVWGH÷LúNHQOHUGHNLDUWPDODUÕQGH÷LúLPOHULQ)
oRN oRN NoN ROPDVÕ GXUXPXQGD
, dz → f ( x0 + dx, y0 + dy ) − f ( x0 , y0 ) = ∆z RODFD÷Õ DoÕNWÕr.
Bundan yararlanarak, VHUEHVW GH÷LúNHQOHU ]HULQGH RUWD\D oÕNDQ NoN KDWDODUÕQ, z ED÷OÕ
GH÷LúNHQLQGH RUWD\D oÕNDUDFDNODUÕ
\DUGÕPÕ\OD\DNODúÕNRODUDNKHVDSOD
toplam hata\Õ (2) ile verilen tam diferansiyel formülü
yabiliriz
3.8+DWD+HVDEÕ
z = f ( x, y ) fonksiyonu verilsin. x ve y VHUEHVW GH÷LúNHQOHULQLQ GH÷HUOHUL ∆x ve ∆x hata ile
belli ise zED÷OÕGH÷LúNHQLQGHRUWD\DoÕNDFDNKDWDWDPGLIHUDQVL\HOGHQ\DUDUODQÕODUDN\DNODúÕN
olarak
∆ε z = ∆z ≅ dz = f x ( x0 , y0 )dx + f y ( x0 , y0 )dy ≤ f x ( x0 , y0 ) ∆x + f y ( x0 , y0 ) ∆y
(1)
ifadesi ile bulunabilir.
Örnek 1 %LU GLNG|UWJHQLQ NHQDU X]XQOXNODUÕ ± 2 mm hata ile 12 cm ve 9 cm olarak
|OoOPúWU'LNG|UWJHQLQDODQÕQÕKDWDVÕ\ODELUOLNWHEHOLUWLQL]
Çözüm'LNG|UWJHQLQNHQDUX]XQOXNODUÕQÕx ve y ile gösterirsek alan fonksiyonu
A = f ( x, y ) = xy
olur. x0 = 12 ve y0 = 9 DOÕQÕUVD
A = f (12, 9) = 12 × 9 = 108 FP elde edilir.ùLPGLGHDODQKDWDVÕQÕKHVDSOD\DOÕP. A¶QÕQWDPGLIHUDQVL\HOLDOÕQÕUVD
dA = ydx + xdy
olur. Buna göre, hata formülünden
∆ε z = ∆A ≅ dA = y0 dx + x0 dy ≤ y0 ∆x + x0 ∆y
elde ederiz. ∆x = ∆y = 0.2 FP ROGX÷XQGDQ
∆A ≤ 9 × 0.2 + 12 × 0.2 = 4.2 FP olur. O halde,V|]NRQXVXGLNG|UWJHQLQDODQÕLoLQ
112
A = 108 ± 4.2 FP yazabiliriz.
3.9. Gradiyent
Teorem 1. z = f ( x, y ) IRQNVL\RQX WDQÕP NPHVLQLQ ELU ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGD WUHYOHQHELOLU
G
G
G
ise, bu noktada her u 0 = α i + β j birim vektörü GR÷UXOWXsunda da GR÷UXOWXWUHYLYDUGÕUYHEX
türev
DuG0 f ( x0 , y0 ) = αf x ( x0 , y0 ) + βf y ( x0 , y0 )
(1)
dir.
øVSDW
. Kesim 3.6’nin (1) ve (5) formüllerinde h = αt ve k = β t DOÕQÕUVD
DuG0 f ( x0 , y0 ) = lim
t →0
f ( x0 + α t , y 0 + β t ) − f ( x 0 , y 0 )
t
(2)
ya da
DuG0 f ( x0 , y0 ) = lim
[ f ( x0 + α t , y 0 + β t ) − f ( x0 , y 0 + β t ) ]− [ f ( x0 , y 0 + β t ) − f ( x0 , y 0 ) ]
t →0
yazabiliriz.
t
'LIHUDQVL\HO KHVDEÕQ RUWDODPD GH÷HU YH VRQOX DUWPDODU WHRUHPOHUL E
(3)
irlikte
J|]|QQHDOÕQÕUVDEN].HVLPDEDYHEIRUPOOHUL
α tf x ( x0 , y0 ) + αε 1t + β tf y ( x0 , y0 ) + βε 2 t
t →0
t
DuG0 f ( x0 , y0 ) = lim
ya da
DuG0 f ( x0 , y0 ) = α f x ( x0 , y0 ) + β f y ( x0 , y0 ) + lim(αε1 + βε 2 )
t →0
ED÷ÕQWÕVÕ HOGH HGLOLU
(4)
t → 0 GXUXPXQGDVD÷ WDUDIWDNL OLPLWLQ GHVÕIÕUD JLGHFH÷LQL ELOL\RUXz. Bu
QHGHQOHED÷ÕQWÕVÕQÕ
DuG0 f ( x0 , y0 ) = α f x ( x0 , y0 ) + β f y ( x0 , y0 )
(5)
ELoLPLQGH\D]DELOLUL]%|\OHFHLVSDWWDPDPODQPÕúROXU
7DQÕP
1 (Gradiyent). ED÷ÕQWÕVÕQÕQYHNW|UHOJ|VWHULPL
[
G
G
][
G
G
DuG0 f ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 ) i + f y ( x0 , y0 ) j α i + β j
113
]
(6)
GLNNDWHDOÕQGÕ÷ÕQGDRUWD\DoÕNDQ
∂ G ∂
 i +
∂y
 ∂x
G
j  f ( x0 , y0 ) ifadesine, z = f ( x, y ) fonksiyonunun,

( x0 , y 0 ) QRNWDVÕQGDNLJUDGL\HQWLGHQLUYH
G
∇f ( x0 , y 0 ) =
G
G
∂f ( x0 , y 0 ) G ∂f ( x0 , y0 ) G
i+
j = f x ( x0 , y 0 ) i + f y ( x 0 , y 0 ) j
∂x
∂y
(7)
G
úHNOLQGHJ|VWHULOLUEXUDGD
∇f ifadesi “nabla f ” biçiminde okunur).
BunDJ|UHED÷ÕQWÕVÕQÕJUDGL\HQWWDQÕPÕQÕGLNNDWHDODUDN
G G
DuG0 f ( x0 , y0 ) = u 0 ∇f ( x0 , y 0 )
úHNOLQGH\D]DELOLUL]
(8)
G
O halde, bir z = f ( x, y ) fonksiyonunun, ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGDYH u0 birim
YHNW|U GR÷UXOWXVXQGDNL GR÷UXOWX WUHYL IRQNVL\RQXQ EX QRNWDGDNL JUDGL\HQWL LOH
YHNW|UQQ VNDOHU oDUSÕPÕQD HúLWWLU
G
u0 birim
G
Gradiyent vektörü ile u0 ELULP YHNW|U DUDVÕQGDNL DoÕ\Õ
θ ile gösterirsek, skaleroDUSÕPWDQÕPÕQGDQ
G
G
DuG0 f ( x0 , y0 ) = ∇f ( x0 , y 0 ) u 0 cosθ
(9)
yazabiliriz. Buna göre, z = f ( x, y ) fonksiyonunun
GR÷UXOWX WUHYOHULQLQ HQ E\N GH÷HUOLVL
G
θ = 0 için elde edilir ki, bu da ∇f veNW|UGR÷UXOWXVXQdaki GR÷UXOWXtürevidir. %DúNDGH÷LúOH
G
z = f ( x, y ) fonksiyonu, HQ KÕ]OÕ, ∇f
YHNW|U GR÷UXOWXVXQGD GH÷LúPHNWHGLU %HQ]HU RODUDN
G
z = f ( x, y ) IRQNVL\RQXQXQ HQ \DYDú GH÷LúLP J|VWHUGL÷L GR÷UXOWX LVH − ∇f vektörü ( θ = π )
yönündedir.
7DQÕP
2
.
ho GH÷LúNHQOL IRQNVL\RQODUÕQ JUDGL\HQWL ho GH÷LúNHQOL ELU
g = f ( x, y , z )
fonksiyonunun gradiyenti
G
G
G
G
∇ g = ∇ f ( x0 , y 0 , z 0 ) =
∂f ( x0 , y0 , z 0 ) G ∂f ( x0 , y0 , z0 ) G ∂f ( x0 , y0 , z0 ) G
i +
j+
k
∂x
∂y
∂z
(10a)
ya da
G
G
G
∇g = ∇f ( x0 , y0 , z 0 ) = f x ( x0 , y 0 , z 0 )i + f y ( x0 , y0 , z 0 ) j + f z ( x0 , y 0 , z 0 )k
(10b)
.
úHNOLQGHWDQÕPODQÕU
G
Örnek 1. z = x 2 y yüzeyinin P QRNWDVÕQGD YH A(3, 4) \|QQGHNL GR÷UXOWX WUHYLQLQ
GH÷HULQLEXOXQX]
114
G
G 3 4
Çözüm. A(3, 4) yönündeki birim vektör u 0 ( , ) ve z = f ( x, y ) = x 2 y fonksiyonunun
5 5
gradiyenti
G
G
G
∇f = 2 xy i + x 2 j
dir. Gradiyentin PQRNWDVÕQGDNLGH÷HULKHVDSODQÕUVD
G
G
G
∇fP = 2 i + j
G
elde edilir. O halde, PQRNWDVÕQGDYH A(3, 4) \|QQGHNLGR÷UXOWXWUHYL
G G
G G 3G 4 G
6 4
DuG0 f (1, 1) = ∇f p u 0 = (2 i + j )( i + j ) = + = 2
5
5
5 5
olur.
Örnek 2. z = 2 x + 3 y yüzeyinin, ox-ekseni ile 30o DoÕ \DSDQ GR÷UXOWXGDNL WUHYLQL YH EX
türevin PQRNWDVÕQGDNLGH÷HULQLEXOXQX]
Çözüm. ox-ekseni ile 30o
DoÕ
\DSDQ
GR÷UXOWXGDNL
ELULP
YHNW|U
G
u0 (
3 1
, ) ’dir.
2 2
z = f ( x, y ) = 2 x + 3 y fonksiyonunun gradiyenti
G
G
G
∇f = 2 i + 3 j
G
ve u 0 (
3 1
, ) \|QQGHNLGR÷UXOWXWUHYLLVH
2 2
G
G
G
G
DuG0 f ( x, y ) = ∇f u 0 = (2 i + 3 j )(
3G 1 G
3
i + j) = 3 +
2
2
2
G
olup sabittir. Yani, z = f ( x, y ) = 2 x + 3 y fonksiyonunun, u 0 (
3 1
, ) yönündeki türevleri,
2 2
IRQNVL\RQXQ WDQÕP NPHVLQLQ KHU \HULQGH D\QÕ GH÷HUGHGLU %X GD IRQNVL\RQXQ EHOLUWWL÷L
\]H\LQELUG]OHPROPDVÕQGDQND\QDNODQPDNWDGÕU
Teorem 2
(÷HU
z = f ( x, y ) IRQNVL\RQX
WDQÕP
NPHVLQLQ
ELU
( x0 , y 0 ) QRNWDVÕQGD
diferansiyellenebilirse ve f ( x0 , y0 ) , z = f ( x, y ) IRQNVL\RQXQ ELU \HUHO HNVWUHPXP GH÷HUL LVH
bu durumda
G
∇f ( x0 , y 0 ) = 0
olur.
115
øVSDW
. z = f ( x, y ) fonksiyonu, ( x0 , y 0 ) noktada sürekli ve
QRNWDVÕQGD GLIHUDQVL\HOOHQHELOLU ROGX÷XQGDQ EX
KHU GR÷UXOWXGD GR÷UXOWX WUHYLQH VDKLSWLU (÷HU
f ( x0 , y0 ) , bir yerel
G
ekstremum ise, herhangi bir u0 (α , β ) ELULPYHNW|UGR÷UXOWXVXQGDNLGR÷UXOWXWUHYL
DuG0 f ( x0 , y0 ) = lim
t →0
f ( x 0 + α t , y 0 + β t ) − f ( x0 , y 0 )
=0
t
ROPDOÕGÕU %XUDGDQ |]HO RODUD
(11)
G
G
k u 0 (1,0) GR÷UXOWXVX LoLQ f x ( x0 , y0 ) = 0 , u 0 (0,1) GR÷UXOWXVX
için de f y ( x0 , y0 ) = 0 HOGH HGLOLU %|\OHFH JUDGL\HQW WDQÕPÕ JHUH÷LQFH \HUHO HNVWUHPXP
QRNWDVÕQGD
G
∇f ( x0 , y 0 ) = 0
(12)
olur.
7HRUHP 2UWDODPD GH÷HU WHRUHPL
. z = f ( x, y ) fonksiyonu, bir D bölgesinin her
QRNWDVÕQGDVUHNLNÕVPLWUHYOHUHVDKLSYH
P0 , P1 ∈ D QRNWDODUÕQÕELUOHúWLUHQGR÷UXQXQWDPDPÕ
D bölgesinde olsun. Bu durumda
G
G
G
G
G
f ( P1 ) − f ( P0 ) = ∇f ( P∗ )( P1 − P0 )
RODFDNúHNLOGHELU
øVSDW
P∗ ∈ D QRNWDVÕYDUGÕU
. P0 = ( x0 , y 0 ) QRNWDVÕQÕ
P1 = ( x1, y1 ) QRNWDVÕQD ELUOHúWLUHQ
[P0 P1 ]
GR÷UX SDUoDVÕQÕQ
denklemi, t ∈ [0, 1] olmak üzere,
x − x0
y − y0
=
=t
x1 − x0 y1 − y 0
(13)
dir. Buradan, [P0 P1 ] GR÷UXSDUoDVÕQÕQ parametrik denklemleri olarak
x = x0 + t ( x1 − x0 ) = h(t )
t ∈ [0, 1]
y = y0 + t ( y1 − y0 ) = g (t ),
(14)
yazabiliriz. Böylece,
z = f ( x, y ) ≡ f (h(t ), g (t )) = F (t )
úHNOLQGHWHNGH÷LúNHQNLELU
(15)
F (t ) foQNVL\RQXWDQÕPOD\DELOLUL] Burada
G
F (0) = f (h(0), g (0)) = f ( P0 )
(16)
G
F (1) = f (h(1), g (1)) = f ( P1 )
116
RODFD÷Õ NROD\FD J|UOU
[0,1]
DUDOÕ÷ÕQGD
f ( x, y ) fonksiyonu D bölgesinde ve h(t) ve g(t IRQNVL\RQODUÕ GD
WUHYOHQHELOLU
ROGXNODUÕQGDQ
türevlenebilirdir. Böylece, τ ∈ [0,1]
F(t) fonksiyonu da
[0,1]
DUDOÕ÷ÕQGD
ROPDN ]HUH WHN GH÷LúNHQOL IRQNVL\RQODUGD RUWDODPD
GH÷HUWHRUHPLJHUH÷LQFH
F (1) − F (0) = F ′(τ )(1 − 0) = F ′(τ )
(17)
\D]ÕODELOLU=LQFLUNXUDOÕJHUH÷LQFH
dF ∂f dx ∂f dy
+
=
dt ∂x dt ∂y dt
(18)
RODFD÷ÕQGDQ
dF
(τ ) = f x (τ )( x1 − x0 ) + f y (τ )( y1 − y0 )
dt
(19)
x∗ = x0 + τ ( x1 − x0 )
(20a)
y∗ = y 0 + τ ( y1 − y0 )
(20b)
olur.
ve
ED÷ÕQWÕODUÕ LOH WDQÕPODQDQ
P∗ ( x∗ , y∗ ) QRNWDVÕ P0 ¶Õ P1 ¶H ELUOHúWLUHQ GR÷UX ]HULQGHGLU YH EX
nedenle P∗ ( x∗ , y∗ ) ∈ D ¶GLU%|\OHFHED÷ÕQWÕVÕQÕQHúGH÷HULRODUDN
G
G
G
F ′(τ ) = ∇f ( P∗ )( P1 − P0 )
(21)
ED÷ÕQWÕVÕQÕYHED÷ÕQWÕODUÕ\DUGÕPÕ\ODGD
G
G
G
G
G
f ( P1 ) − f ( P0 ) = ∇f ( P∗ )( P1 − P0 )
(22)
elde ederiz.
Örnek 3. f ( x, y ) = e x + y fonksiyonu veriliyor. P0 (0,1) ve P1 (1,2) QRNWDODUÕDUDVÕQGD
G
G
G
f ( P1 ) − f ( P0 )
G
G
∇f ( P∗ ) =
( P1 − P0 )
RODFDNúHNLOGHELU
P∗ ( x∗ , y∗ ) QRNWDVÕEXOXQX]
Çözüm. t ∈ [0,1] olmak üzere, P0 (0,1) ve P1 (1,2) QRNWDODUÕQÕ ELUOHúWLUHQ GR÷UX SDUoDVÕQÕQ
parametrik denklemleri
x = 0 + t (1 − 0) = t = h(t )
y = 1 + t (2 − 1) = t + 1 = g (t ),
t ∈ [0,1]
117
F (t ) = f (h(t ), g (t )) = e 2t +1 , t ∈ [0,1] fonksiyonunda
G
G
F (0) = e = f ( P0 ) ve F (1) = e 3 = f ( P1 )
olur. %XQD J|UH WHN GH÷LúNHQOL F(t IRQNVL\RQX LoLQ RUWDODPD GH÷HU WHRUHPLQGHQ τ ∈ [0,1]
olmak üzere
F (1) − F (0) = F ′(τ )
⇒ e 3 − e = 2e 2τ +1
⇒ τ = ln
e2 −1
2
elde ederiz. O halde,
x∗ = h(τ ) = ln
e2 −1
e2 −1
, y∗ = g (τ ) = 1 + ln
2
2
ve aranan nokta da
e2 −1
e2 −1
,1 + ln
)
2
2
P∗ ( x∗ , y∗ ) = (ln
olur. Bu nokta için
G
K
f ( P1 ) − f ( P 2 ) = e 3 − e
ve
 1+2 ln
∇f ( P∗ )( P1 − P0 ) =  e


G
G
G
1+ 2 ln
= 2e
e 2 −1
G
2
1+ 2 ln
i +e
e2 −1
2
= 2ee
2 ln
e2 −1
2
G  G
G
j (i + j )


e 2 −1
2
e −1
= e3 − e
2
G
K
= f ( P1 ) − f ( P2 )
= 2e
2
elde edilir.
.DSDOÕ)RQNVL\RQODUGD7
ürev
n-GH÷LúNHQOL ELU NDSDOÕ IRQNVL\RQ f ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0 úHNOLQGH WDQÕPODQÕU Burada
YHUPH\HFH÷L
miz “YDUOÕN WHRUHPOHUL”,
LVSDWÕQÕ
KDQJL NRúXOODU VD÷ODQGÕ÷ÕQGD ELU NDSDOÕ IRQNVL\RQXQ
GH÷LúNHQOHULQGHQELULQLQGL÷HUOHULQLQIRQNVL\RQXRODUDN\D]ÕODELOHFH÷LQLRUWD\DNR\DUODU
118
Teorem 1
*HQHO YDUOÕN WHRUHPL
. D ⊂ R n bir
DoÕN E|OJH
WDQÕPODQDQ YH ELULQFL PHUWHEHGHQ EWQ NÕVPL WUHYOHUL
GH÷LúNHQOLELUNDSDOÕIRQNVL\RQ
ise
, f, f ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0 úHNOLQGH
D bölgesinde sürekli olan, n-
, N c ( xi 0 ) , xi 0 ¶ÕQELUcNRPúXOX÷X Nδ ( x10 ,..., xn −1,0 , xn +1,0 ,...xn 0 )
( x10 ,..., xn −1,0 , xn +1,0 ,...xn 0 ) ∈ R n −1 QRNWDVÕQÕQ
bir
δ -NRPúXOX÷X
ROVXQ
(÷HU
P0 = ( x10 , x20 ,..., xn 0 ) ∈ D için, f ( x10 , x20 ,..., xn 0 ) = 0 ve f xi ( x10 , x20 ,..., xn 0 ) ≠ 0 oluyorsa bu
durumda,
xi 0 = g ( x10 ,..., xn −1,0 , xn +1,0 ,...xn 0 ) ∈ N c ( xi 0 )
RODFDN
úHNLOGH
W
ek bir
xi 0 = g ( x10 ,..., xn −1,0 , xn +1,0 ,...xn 0 ) fonksiyonu bulunabilir. Yani,
xi 0 = g ( x10 ,..., xn −1,0 , xn +1,0 ,...xn 0 ) fonksiyonu, f ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0 fonksiyonunun, xi 0 ’a göre
çözümüdür.
%XQGDQVRQUDNLNÕVÕPODUGDDUWÕNYDUOÕNWHRUHPL\OHLOJLOHQPH\HFHNIDNDWNDSDOÕELoLPGHYHULOHQ
,
,
ELU IRQNVL\RQXQ KHUKDQJL ELU GH÷LúNHQLQLQ RODQDNOÕ ROPDVÕ GXUXPXQGD GL÷HU GH÷LúNHQOHU
FLQVLQGHQLIDGHVLQLYHNÕVPLWUHYOHULQLDUDúWÕUDFD÷Õ]
3.10.1. øNL'H÷LúNHQOL.DSDOÕ)RQNVL\RQ
Bu, daha önce, Kesim 3.5’deki Teorem
¶GH YHULOPLúWL %XQD J|UH
, f ( x, y ) = 0
NDSDOÕ
fonksiyonundan x¶HJ|UHWUHYDOÕQÕUVD
∂f ∂f dy
=0
+
∂x ∂y dx
(1)
ve buradan da, f y ≠ 0 olmak üzere,
∂f
f
dy
= − ∂x = − x
∂f
dx
fy
∂y
(2)
elde edilir. Bu kural uygulanarak, GDKD \NVHN PHUWHEHGHQ WUHYOHU GH HOGH HGLOHELOLU ùLPGL
f ( x, y ) = 0 NDSDOÕIRQNVL\RQXLoLQ LNLQFLPHUWHEHGHQ
(1) formülünü
fx + f y
dy
=0
dx
119
d2y
türevini ifade edelim. Bunun için
dx 2
úHNOLQGH\D]ÕS
f xx + f xy
x’e göre tekrar türetirsek
dy
dy dy
d2y
+ ( f yx + f yy ) + f y 2 = 0
dx
dx dx
dx
2
f xx + 2 f xy
⇒
dy
d2y
 dy 
+ f yy   + f y 2 = 0
dx
dx
 dx 
d2y
=−
dx 2
f xx + 2 f xy
dy
 dy 
+ f yy  
dx
 dx 
fy
2
olur. Buradan, ED÷ÕQWÕVÕ\DUGÕPÕ\OD
f y 2 f xx − 2 f x f y f xy + f x 2 f yy
d2y
=
−
dx 2
f y3
(3)
elde edilir.
Örnek 1. f ( x, y ) = x 2 + 2 xy = 0 NDSDOÕIRQNVL\RQXLoLQ y′ ve y′′ türevleriQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. f x = 2 x + 2 y,
f xx = 2,
f y = 2 x,
f yy = 0,
f xy = 2
oOGX÷XQGDQ, f y = 2 x ≠ 0 olmak üzere, (2) formülünden
y′ = −
x+ y
x 2 + xy
− xy
1
=−
=−
=− ,
2
−2 xy
x
x
2
(3) formülünden de
d2y
(2 x)2 × 2 − 2 × (2 x + 2 y ) × (2 x) × 2 + (2 x + 2 y )2 × 0
=
−
dx 2
(2 x)3
d2y
8 x 2 − 16 x( x + y ) x + 2 y x 2 + 2 xy
=
−
=
=
=0
dx 2
8x3
x2
x3
elde edilir.
3.10.2. Üç De÷LúNHQOL.DSDOÕ)RQNVL\RQ
f ( x, y, z ) = 0 úHNOLQGH o GH÷LúNHQOL ELU NDSDOÕ IRQNVL\RQXQ YHULOGL÷LQL YDUVD\DOÕP %D÷OÕ
GH÷LúNHQ RODUDN
f ( x, y , z ) = 0
NXOODQÕODELOLU
z
VHoLOLU YH H÷HU GL÷HUOHUL FLQVLQGHQ LIDGH HGLOHELOPHVL RODQDNOÕ ROXUVD
NDSDOÕ
fonksiyonu yerine, HúGH÷HUL RODUDN, z = g ( x, y ) úHNOLQGH ELU IRQNVL\RQ
zED÷OÕx ve yVHUEHVWGH÷LúNHQOHUROPDN]HUH f ( x, y, z ) = 0 NDSDOÕIRQNVL\RQX
x’e göre türetilirse
120
fx + fz
∂z
=0
∂x
(1)
ve buradan da, f z ≠ 0 olmak üzere,
f ( x, y )
∂z
= g x ( x, y ) = − x
f z ( x, y )
∂x
(2)
elde edilir. Benzer olarak, y¶\HJ|UHWUHYDOÕQDUDNGD\LQH f z ≠ 0 olmak üzere,
f y ( x, y )
∂z
= g y ( x, y ) = −
f z ( x, y )
∂y
(3)
elde edilir.
Örnek 1. f ( x, y, z ) = x5 + y 5 − z 5 = 0 NDSDOÕ IRQNVL\RQX LoLQ z x = g x ( x, y ) ve z y = g y ( x, y )
NÕVPLWUHYOHULQLEXOXQX]
Çözüm. (2) formülünden
f ( x, y ) x 4
∂z
= g x ( x, y ) = − x
= ,
f z ( x, y ) z 4
∂x
z≠0
ve (3) formülünden de
f y ( x, y ) y 4
∂z
= g y ( x, y ) = −
= ,
f z ( x, y ) z 4
∂y
z≠0
elde edilir. O halde, z ≠ 0 durumunda, zGH÷LúNHQLx ve yGH÷LúNHQOHULFLQVLQGHQo|]OHELOLU
Bu \DSÕOÕUVD z = g ( x, y ) = 5 x5 + y 5 elde edilir.
øNL'H÷LúNHQYHøNL%LOLQPL\HQOL.DSDOÕ)RQNVL\RQ6LVWHPL
x ve y de÷LúNHQOHULLOHu ve vELOLQPL\HQOHULQGHQROXúDQ
F ( x, y , u , v ) = 0
(1)
G ( x, y , u , v ) = 0
GHQNOHPVLVWHPLYHULOPLúROVXQ%XUDGD
u ve v bilinmiyenleri, x ve yGH÷LúNHQOHULQH
u = f ( x, y )
v = g ( x, y )
úHNOLQGHED÷OÕROVXQODU
(2)
(1) sisteminden x¶HJ|UHWUHYDOÕQDUDN
121
Fu f x + Fv g x = − Fx
(3)
Gu f x + Gv g x = −Gx
sistemini elde ederiz. (3) sisteminin, f x ve g x ’e göre bir çözüme sahip olabilmesi için
NDWVD\ÕODUGHWHUPLQDQWÕQÕQVÕIÕUGDQIDUNOÕROPDVÕJHUHNLU
J=
Fu
Gu
Fv
≠ 0.
Gv
(4)
NRúXOXVD÷ODQÕUVDVLVWHPLQLVD÷OD\DQ
7DQÕP-DFREL'HWHUPLQDQWÕ
J=
Yani,
Fu
Gu
f x ve g x IRQNVL\RQODUÕWHNWUOEXOXQDELOLU
. (4) formülü ile verilen
Fv
Gv
GHWHUPLQHQWÕQD-DFRELGHWHUPLQDQWÕ-DFRELDQGHQLUYH
J=
∂ ( F , G ) Fu
=
∂ (u , v) Gu
Fv
(5)
Gv
úHNOLQGHJ|VWHULOLU
J ≠ 0 ROPDVÕ GXUXPXQGD (3) sistemi, Cramer yöntemi ile çözülerek ve Jacobi GHWHUPLQDQWÕ
J|VWHULPLNXOODQÕODUDN
fx = −
Fx
Gx
Fx Gv − Fv Gx
J
(4a)
G Gx
G F − Fx Gu
1 ∂( F , G)
=− u
=− x u
J ∂ (u , x)
J
J
(4b)
1 ∂( F , G)
=−
J ∂ ( x, v )
J
Fu
gx = −
Fv
Gv
=−
Fx
olur.%HQ]HUúHNLOGHVLVWHPLQGHQy¶HJ|UHWUHYDOÕQDUDN da
Fy
fy = −
G y Gv
Fy Gv − Fv G y
1 ∂( F , G )
=−
=−
J ∂ ( y , v)
J
J
Fu
gy = −
Fv
Fy
Gu G y
G y Fu − Fy Gu
1 ∂( F , G)
=−
=−
J ∂(u , y )
J
J
NÕVPLWUHYOHULH
(5a)
lde edilir.
122
(5b)
Örnek 1.
u + v = x2 + y 2
uv = xy
Sistemi veriliyor. u = f ( x, y ) ve v = g ( x, y ) ROGX÷XQD J|UH
f x , g x , f y ve g y NÕVPL
türevlerini bulunuz.
Çözüm. Denklem sistemini
F ( x, y , u , v ) = u + v − x 2 − y = 0
G ( x, y, u , v) = uv − xy = 0
úHNOLQGH\D]DOÕP%XQDJ|UH-DFRELDQ
J=
Fu
Fv
Gu
Gv
=
1 1
= u−v
v u
dir. O halde, J = u − v ≠ 0 olmak üzere, (4a,b) ile (5a,b) forPOOHULX\JXODQÕUVD
fx = −
gx = −
fy = −
gy = −
1 ∂( F , G)
=−
J ∂ ( x, v )
1 ∂( F , G )
=−
J ∂ (u , x)
1 ∂( F , G)
=−
J ∂ ( y, v)
1 ∂( F , G)
=−
J ∂(u , y )
Fx
Gx
Fv
Gv
−2 x 1
− y u 2 xu − y
=−
=
,
u −v
u −v
Fx
Gx
1 −2 x
v −y
y − 2 xv
=−
=
,
u −v
u −v
Fv
Gv
−2 y 1
−x u u − x
,
=−
=
u −v
u −v
Fy
Gy
1 −2 y
v −x
x−v
=−
=
u −v
u −v
J
Fu
Gu
J
Fy
Gy
J
Fu
Gu
J
elde edilir. ( x, y, u , v) = (1, −1,1, −1) QRNWDVÕ, verilen denklem sisteminin bir özel çözümü ve bu
GH÷HUOHU LoLQ
J=2 ( ≠ 0 ROGX÷XQGDQ u = f ( x, y ) ve v = g ( x, y ) IRQNVL\RQODUÕQÕQ FHELUVHO
-
LIDGHOHULQLELOPL\RUROPDPÕ]D UD÷PHQEXIRQNVL\RQODUÕQ QRNWDVÕQGDNLNÕVPL WUHYOHULQL
kolayca hesaplayabiliriz. Buna göre, yXNDUÕGD EXOGX÷XPX] NÕVPL WUHY IRUPOOHULQGH x=1,
y=-1, u=1, v=-1 alarak,
2 ×1×1 − (−1) 3
2 × (−1) ×1 − 1
= ,
= 0,
fy =
1 − ( −1)
2
1 − (−1)
−1 − 2 × 1× (−1) 1
1 − 2 × (−1) × (−1)
= , gy =
=1
gx =
1 − ( −1)
2
1 − ( −1)
fx =
123
GH÷HUOHULQL HOGH HGHUL]
GH÷HUL
$UWÕN
Bu durumda, |UQH÷LQ u = f ( x, y ) fonksiyonunun (1,- QRNWDVÕQGDNL
u=f(1,-1)=1YHEXQRNWDGDNL NÕVPLWUHYOHULQLQ GH÷HUOHULGHVÕUDVÕ\OD fx=3/2, fy=0’dÕr.
LNL
GH÷LúNHQOL
IRQNVL\RQODUÕQ
VHUL
DoÕOÕPÕQGDQ
\DUDUODQÕODUDN
u = f ( x, y )
fonksiyonunun, (1,- QRNWDVÕQÕQ NRPúXOX÷XQGDNL EDúND ELU QRNWDGD DODFD÷Õ GH÷HU \DNODúÕN
olarak, hesaplanabilir. Bu durumu, LNLGH÷LúNHQOLELUNDSDOÕIRQNVL\RQ|UQH÷LLoLQJ|UHOLP
Örnek 2. F ( x, y ) = x 2 y 3 − xy = 0 NDSDOÕ IRQNVL\RQX YHULOL\RU
y = f ( x) ROGX÷XQD J|UH
x = 1.1 için yGH÷HULQLEXOXQX]
Çözüm. (x,y)=(1,1), verilen denklemin bir çözümüdür. Bu noktada Fy ≠ 0 ROGX÷XQGDQy’yi, x
cinsinden y = f ( x) úHNOLQGH \D]DELOLUL]
FLYDUÕQGD7D\ORUVHULVLQHDoÕODUDN
f ( x) = f (1) + f ′(1)( x − 1) +
(÷HU
, F ( x, y ) = x 2 y 3 − xy = 0
y′ = f ′( x) = −
O halde, y = f ( x) fonksiyonu, x=1
f(1.1¶LQ\DNODúÕNGH÷HULKHVDSODQDELOLU%XQDJ|UH
f ′′(1)
( x − 1)2 + ...
2!
x
WDQÕPODPDVÕQÕ\DSDUYH ¶HJ|UHWUHYDOÕUVDN
Fx
2 xy 3 − y
=− 2 2
Fy
3x y − x
elde ederiz. x¶HJ|UHELUNH]GDKDWUHYDOÕUVDN
f ′′( x) = −
olur. Böylece, x
f (1) = 1,
2 y 3 (3 x 2 y 2 − x) − (6 xy 2 − 1)(2 xy 3 − y )
(3 x 2 y 2 − x)2
QRNWDVÕQGD
1
f ′(1) = − ,
2
GH÷HUOHULQLHOGHHGHUL]
Böylece, x
f ′′(1) =
1
4
QRNWDVÕFLYDUÕQGDNL7D\ORUDoÕOÕPÕ
1
1
f ( x) = 1 − ( x − 1) + ( x − 1) 2 + ...
2
8
olur. Buradan, LNLQFLPHUWHEHGHQ\DNODúÕNOD,
1
1
f ( x) ≅ 1 − ( x − 1) + ( x − 1) 2
2
8
alabiliriz. Buna göre f¶LQ\DNODúÕNGH÷HUL
1
1
f (1.1) ≅ 1 − × 0.1 + × (0.1)2 = 0.9513
2
8
dir.
124
QRNWDVÕ
.RRUGLQDW'|QúPOHULYH7HUV)RQNVL\RQ
%XUDGDGLNNRRUGLQDWVLVWHPOHULDUDVÕQGDNLG|QúPOHULGLNNDWHDODFD÷Õ]
u, vNRRUWGLQDWODUÕ
dik koordinat sisteminin bir DE|OJHVLQLQHOHPDQODUÕROVXQODU
x = f (u , v ) 

y = g (u , v) 
(1)
dönúP IRUPOOHUL LOH u, v) koortdinat sisteminden, (x, y NRRUWGLQDW VLVWHPLQH G|QúP
\DSPÕú ROXUX] u, v QRNWDODUÕ uv-düzlemindeki bir D bölgesini tararken, (x, y QRNWDODUÕ GD
xy-düzlemindeki bir C E|OJHVLQL WDUDUODU 2 KDOGH G|QúP IRUPOOHUL uv-düzleminin D
bölgesini, xy-düzleminin C
E|OJHVLQH
G|QúWUPú
ROXU
%X
QHGHQOH
NRRUGLQDW
G|QúPQH ³E|OJH G|QúP´ GH GHQLU %X úHNLOGH WDQÕPODQDQ E|OJH G|QúPQ
T
sembolü ile gösterirsek
T : D → C ya da T : (u , v) → ( x, y ) = ( f (u , v), g (u , v ))
yazabiliriz.
7DQÕP 7HUV G|QúP
. T LOH YHULOHQ G|QúP IRUPOOHUL \DUGÕPÕ\OD uv-düzleminin
bir D bölgesini, xy-düzleminin bir C
-
G|QúPQQ ROPDVÕ KDOLQGH
G|QúWUHQE|OJHG|QúPQH
E|OJHVLQH G|QúWUHQ E|OJH G|QúP ROVXQ
T
xy-düzleminin C bölgesini, uv-düzleminin D bölgesine
TG|QúPQQWHUVLGHQLUYHT-1 ile gösterilir. Yani,
T −1 : C → D
T −1 : ( x, y ) → (u , v)
dir. T ve T-1G|QúPOHULQL
( x, y ) = T (u , v)
(2a)
(u , v) = T −1 ( x, y )
(2b)
úHNOLQGHGHLIDGHHGHELOLUL]
ùLPGL
R2¶GH WDQÕPOÕ ELU T G|QúPQQ WHUVLQLQ YDUOÕ÷Õ LoLQ JHUHN NRúXOX ELU WHRUHP LOH
verelim.
Teorem 1. (u,v NRRUGLQDWODUÕ D ⊂ R 2 DoÕN E|OJHVLQL WDQÕPODVÕQODU (÷HU x = f (u, v) ve
y = g (u , v) IRQNVL\RQODUÕQÕQ ELULQFL PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYOHUL D bölgesinde sürekli ve
-DFRELGHWHUPLQDQWÕVÕIÕU\DQL
J=
∂( f , g )
≠0
∂ (u , v )
125
ise T : (u , v) → ( x, y ) = ( f (u , v), g (u , v )) G|QúPQQWHUVLYDUGÕUYH
T −1 : ( x, y ) → (u , v ) = (ϕ ( x, y ),ψ ( x, y ))
(3)
úHNOLQGHGLU%DúNDELUGH÷LúOHG|QúPIRUPOOHULQLQWHUVLH÷HUYDUVD
u = ϕ ( x, y ) 

v = ψ ( x, y ) 
(4)
úHNOLQGHGLU
øVSDW
. Teorem, J ≠ 0 ROPDVÕ KDOLQGH VLVWHPLQLQ u ve v’ye göUH o|]OHELOHFH÷LQL YH
o|]POHULQELoLPLQGH RODFD÷ÕQÕLIDGHHWPHNWHGLUVLVWHPLLNLELOLQPL\HQOL
u ve v), iki
GHQNOHPGHQROXúDQELUVLVWHPGLUVLVWHPLQL
F ( x, y , u , v) = f (u , v) − x = 0 

G ( x, y, u , v) = g (u , v) − y = 0 
(5)
x
ELoLPLQGH\HQLGHQ\D]ÕS ¶HJ|UHWUHYDOÕUVDN
Fu u x + Fv vx = − Fx 

Gu u x + Gv vx = −Gx 
(5)
GHQNOHP VLVWHPLQL HOGH HGHUL] ¶LQ WHN WUO o|]PQQ RODELOPHVL LoLQ NDWVD\ÕODU
GHWHUPLQDQWÕ-DFRELGHWHUPLQDQWÕVÕIÕUGDQIDUNOÕ\DQL
J=
∂ ( F , G ) Fu
=
∂ (u , v) Gu
Fv
Gv
≠0
ROPDOÕGÕU NRúXOXQXQ VD÷ODQPDVÕ
(6)
ux ve vx NÕVPL WUHYOHULQLQ YDUOÕ÷ÕQÕ JDUDQWL HGHU %HQ]HU
olarak, (1) sisteminden y¶\HJ|UHWUHYDOÕQDUDNGD
Fu u y + Fv v y = − Fy 

Gu u y + Gv v y = −G y 
(7)
GHQNOHP VLVWHPL HOGH HGLOLU YH NRúXOXQXQ VD÷ODQPDVÕ GXUXPXQGD
uy ve vy
NÕVPL
türevleULQLQ YDUOÕ÷Õ GD JDUDQWLOHQPLú ROXU 6RQXo RODUDN NRúXOX u ve v IRQNVL\RQODUÕQÕQ
ELULQFL PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYOHULQLQ
HGHU %X LVH D\QÕ E|OJHGH
IRQNVL\RQODUÕ
D ⊂ R 2 E|OJHVLQGH YDUOÕ÷ÕQÕ YH VUHNOLOLNOHULQL JDUDQWL
u ve v IRQNVL\RQODUÕQÕQ YDUOÕ÷Õ DQODPÕQD JHOLU 2 KDOGH u ve v
x ve y¶\HED÷OÕRODUDN
u = ϕ ( x, y ) 

v = ψ ( x, y ) 
(8)
úHNOLQGH \D]ÕODELOLU $\UÕFD YH VLVWHPOHUL D\UÕ D\UÕ o|]OHUHN
IRQNVL\RQODUÕQÕQNÕVPLWUHYOHUL
126
u(x,y) ve v(x,y)
Fx
G
1 ∂( F , G)
ux = ϕ x = −
=− x
Fu
J ∂ ( x, v )
Gu
Fv
−1 f v
Gv
0 gv
g
=−
= v
Fv
Fu Fv
J
Gv
Gu Gv
Fu
G
1 ∂( F , G)
vx = ψ x = −
=− u
Fu
J ∂ (u , x )
Gu
Fx
Gx
=−
Fv
Gv
Fy
uy = ϕ y = −
vy = ψ y = −
Gy
1 ∂( F , G)
=−
Fu
J ∂ ( y , v)
Gu
Fu
Gu
1 ∂( F , G )
=−
Fu
J ∂ (u , y )
Gu
fu
gu
Fu
Gu
(9a)
−1
0
g
= u
Fv
J
Gv
(9b)
0 fv
Gv
−1 g v
f
=−
= v
Fv
Fu Fv
J
Gv
Gu Gv
(9c)
0
−1
f
= u
Fv
J
Gv
(9d)
Fv
Fy
Gy
fu
g
=− u
Fv
Fu
Gv
Gu
úHNOLQGHHOGHHGLOHELOLU
Örnek 1. T :
x = f (u , v )
y = g (u , v)
J ( J ≠ 0 ) ve Jacobi matrisi J T ;
NRRUGLQDWG|QúPQQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕ
T′ :
u = ϕ ( x, y )
v = ψ ( x, y )
WHUVNRRUGLQDWG|QúPQQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕ
J ′ ( J ′ ≠ 0 ) ve Jacobi matrisi J T ′ olsun. Bu
LNLG|QúPQ-DFRELPDWULVOHULQLQELUELUOHULQLQWHUVL\DQL
J T ′ = J T −1
ROGX÷XQXJ|VWHULQL]
ÇözümYHED÷ÕQWÕODUÕQGDQ\DUDUODQDUDN
T:
x = f (u , v )
y = g (u , v)
koordLQDWG|QúPQQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕLoLQ J ≠ 0 YDUVD\Õ\RUX]
127
J=
∂ ( F , G ) Fu
=
∂ (u , v) Gu
Fv
=
Gv
=
fu
gu
fv
x
= u
gv
yu
xv
=
yv
=
∂ ( f , g ) ∂ ( x, y )
=
∂ (u , v) ∂ (u , v)
yazabiliriz. O halde, Jacobi matrisi
x
JT =  u
 yu
xv 

yv 
olur. Benzer olarak,
u = ϕ ( x, y )
v = ψ ( x, y )
G|QúPQQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕ
J ′ ( J ′ ≠ 0 YDUVD\Õ\RUX]
J′ =
∂ (u , v) u f
=
∂( f , g ) v f
ug
=
vg
=
∂ (u , v) u x
=
∂ ( x, g ) vx
uy ϕx ϕ y
=
vy ψ x ψ y
ve Jacobi matrisi de
ϕx ϕy 
JT ′ = 

ψ x ψ y 
olur. Buradan
 ϕ x ϕ y   xu
JT ′ ⋅ JT = 
⋅
ψ x ψ y   yu
xv   ϕ x xu + ϕ y yu ϕ x xv + ϕ y yv 

=
yv  ψ x xu + ψ y yu ψ x xv + ψ y yv 
elde edilir.
u = ϕ ( x, y )
v = ψ ( x, y )
HúLWOLNOHULQLQ
u ve v¶\HJ|UHWUHYOHULDOÕQÕUVD
1 = ϕ x xu + ϕ y yu ; 0 = ϕ x xv + ϕ y yv ;
0 = ψ x xu + ψ y yu ; 1 = ψ x xv + ψ y yv
elde edilir. O halde,
1 0
JT ′ ⋅ JT = 
=I
 0 1
yani,
128
J T ′ = J T −1
olur. 2 KDOGH WHUV G|QúPOHULQ -DFREL GHWHUPLQDQWODUÕ DUDVÕQGD GD J ⋅ J −1 = 1 ED÷ÕQWÕVÕ
vardÕU
Örnek 2. FLNLGH÷LúNHQOLIRQNVL\RQXYHULOL\RU
F ( x + z, y − z) = 0
GHQNOHPL\OHWDQÕPODQDQ
z = z ( x, y ) fonksiyonunun
z x − z y = −1
GHQNOHPLQLVD÷ODGÕ÷ÕQÕJ|VWHULQL]
Çözüm. F ( x + z , y − z ) = 0 denklemine u = x + z ve v = y − z G|QúPOHULQLX\JXODUVDN
F (u , v) = 0
elde ederiz. Buradan, x ve y¶\HJ|UHWUHYDOÕQÕUVD
dF ∂F ∂u ∂F ∂v
=
+
=0
dx ∂u ∂x ∂v ∂x
ve
dF ∂F ∂u ∂F ∂v
=
+
=0
dy ∂u ∂y ∂v ∂y
ROXU'|QúPIRUPOOHULQ
∂u
= 1 + zx ,
∂x
e göre
∂u
= zy ,
∂y
∂v
= − zx ,
∂x
∂v
= 1− zy
∂y
ROGX÷XQGDQ
dF
= Fu (1 + z x ) − Fv z x = 0
dx
dF
= Fu z y + Fv (1 − z y ) = 0
dy
ROXU%XHúLWOLNOHUGHQ
zx = −
z x ve z y NÕVPLWUHYOHULoHNLOLUVH
Fu
,
Fu − Fv
zy = −
Fv
Fu − Fv
elde edilir. Buradan da
zx − z y = −
Fu
Fv
F − Fu
− (−
)=− u
= −1
Fu − Fv
Fu − Fv
Fu − Fv
elde edilir.
129
Örnek 3. Dik koordinatlarda
∂u ∂v
=
∂x ∂y
∂u
∂v
=−
∂y
∂x
ve
HúLWOLNOHULQLVD÷OD\DQ
x = r cosθ ;
(*)
u = u ( x, y ) ve v = v( x, y ) IRQNVL\RQODUÕYHULOL\RU
y = r sin θ
G|QúPIRUPOOHULLOHXoODNNRRUGLQDWODUDJHoLOGL÷LQGH
∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u
+
+
= 0,
∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2
u ve vIRQNVL\RQODUÕQÕQKHUELULQLQ
∂ 2 v 1 ∂v 1 ∂ 2 v
+
+
=0
∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2
GHQNOHPOHULQLVD÷OD\DFD÷ÕQÕJ|VWHULQL]
Çözüm.
∂u ∂v
∂u
∂v
= HúLWOL÷LQLQx’e göre
= − HúLWOL÷LQLQGHy’e göre türevini alÕUVDN
∂x ∂y
∂y
∂x
∂ 2u ∂ 2 v
∂ 2u
∂ 2v
ve
=
=
−
∂x 2 ∂x∂y
∂y 2
∂y∂x
ve buradan da u fonksiyonu için
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u ∂ 2u
=
−
⇒
+
=0
∂x 2
∂y 2
∂x 2 ∂y 2
(**)
GHQNOHPLQL HOGH HGHUL] %HQ]HU úHNLOGH HúLWOLNOHUL
y
GH÷LúNHQLQH J|UH WUHWLOLUVH
v
fonksiyonu için
∂ 2v ∂ 2v
+
=0
∂x 2 ∂y 2
(***)
denklemi elde edilir.
x = r cosθ ;
y = r sin θ
NRRUGLQDWG|QúPOHULQGHQ
rx = cosθ ,
x ve y¶HJ|UHWUHYOHUDOÕQDUDN
ry = sin θ ,
ROGX÷X NROD\FD J|VWHULOHELOLU
θx = −
sin θ
,
r
θy =
cos θ
, r≠0
r
u = u ( x, y ) = u (r cosθ , r sin θ ) fonksiyonunun x’e göre türevi
DOÕQÕUVD
∂u ∂u ∂r ∂u ∂θ
=
+
∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x
∂u sin θ ∂u
= cos θ
−
= A.
∂r
r ∂θ
(****)
ifadesi elde edilir. x¶HJ|UHELUNH]GDKDWUHYDOÕQÕUVD
130
∂ 2u ∂A ∂r ∂A ∂θ
=
+
∂x 2 ∂r ∂x ∂θ ∂x
∂ 
∂u sin θ ∂u 
∂ 
∂u sin θ ∂u  sin θ
cos θ +
cos θ
(−
)
=  cos θ
−
−


r ∂θ 
r ∂θ 
r
∂r 
∂r
∂θ 
∂r
∂ 2u 2sin θ cos θ ∂u sin 2 θ ∂u sin 2 θ ∂ 2u 2sin θ cos θ ∂ 2u
= cos 2 θ 2 +
+
+ 2
−
r
r ∂r
r ∂θ 2
r
∂r
∂θ
∂θ∂r
(*****)
Bu kez, u = u ( x, y ) = u (r cosθ , r sin θ ) fonksiyonunun y’e göre iki kez türHYLDOÕQÕUVD
∂ 2u
∂ 2u 2sin θ cos θ ∂u cos 2 θ ∂u cos 2 θ ∂ 2u 2sin θ cos θ ∂ 2u
2
sin
θ
=
−
+
+
+
r
r ∂r
r 2 ∂θ 2
r
∂y 2
∂r 2
∂θ
∂θ∂r
LIDGHVLHOGHHGLOLU6RQLNLED÷ÕQWÕ
(******)
(***) ifadesinde yerine konursa
∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u
+
+
=0
∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2
v
GHQNOHPLHOGHHGLOLU%HQ]HULúOHPOHU IRQNVL\RQXLoLQGH\DSÕODUDN
∂ 2 v 1 ∂v 1 ∂ 2 v
+
+
=0
∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2
deQNOHPLHOGHHGLOLU%XGHQNOHPOHULQJHoHUOLROPDVÕLoLQ r ≠ 0 ROPDVÕJHUHNWL÷LDoÕNWÕU
)RQNVL\RQHO%D÷ÕPOÕOÕN
7DQÕP
. D ⊂ R 2 DoÕNE|OJHVLQGHWDQÕPOÕ u = f ( x, y ) ve v = g ( x, y ) IRQNVL\RQODUÕQÕQELULQFL
PHUWHEHGHQNÕVPLWUHYOHUL
D bölgesinde sürekli olsun.
D′ = {(u , v) u ∈ f ( D), v ∈ g ( D)}
ile D′ E|OJHVLQL WDQÕPOD\DOÕP (÷HU ∀( x, y ) ∈ D için, u ile v DUDVÕQGD ELULQFL PHUWHEHGHQ
NÕVPLW
revleri D′ bölgesinde sürekli olan ve F (u , v ) = 0 NRúXOXQXVD÷OD\DQELUF fonksiyonu
varsa (bulunabilirse), u = f ( x, y ) ve v = g ( x, y ) IRQNVL\RQODUÕQD ³IRQNVL\RQHO ED÷ÕPOÕGÕU”
denir.
7DQÕPD
J|UH
DUDODUÕQGD
IRQNVL\RQODUÕQGDQ
IRQNVL\RQHO
ED÷ÕPOÕ
x ve y yok edilerek, u ile v
RODQ
DUDVÕQGD
u = f ( x, y )
F (u , v ) = 0 ve
v = g ( x, y )
úHNOLQGH ELU LOLúNL
EXOXQDELOLUùLPGLIRQNVL\RQHOED÷ÕPOÕOÕ÷ÕQJHUHNYH\HWHUNRúXOXQXELUWHRUHPLOHYHUHOLP
131
Teorem 1. D ⊂ R 2 DoÕNE|OJHVLQGH WDQÕPOÕYHELULQFLPHUWHEHGHQNÕVPLWUHYOHULEXE|OJHGH
sürekli olan u = f ( x, y ) ve v = g ( x, y ) IRQNVL\RQODUÕQÕQ DUDODUÕQGD IRQNVL\RQHO ED÷ÕPOÕ
ROPDODUÕLoLQJHUHNYH\HWHUNRúXO
J=
∂(u , v)
=0
∂ ( x, y )
(1)
ROPDVÕGÕU
øVSDW
%XUDGD
WHRUHPLQ
LVSDWÕ
\DSÕOÕUNHQ
ELULQFL
PHUWHEHGHQ
NÕVPL
WUHYOHUL
D′ = {(u , v) u ∈ f ( D), v ∈ g ( D)} bölgesinde sürekli olan, F (u , v) = 0 úHNOLQGHNL ELU LOLúNLQLQ
YDUOÕ÷Õ RUWD\D NRQPDOÕGÕU .ÕVPL WUHYOHULQ YDUOÕ÷Õ
F (u , v) = 0 IRQNVL\RQXQXQ GD YDUOÕ÷ÕQÕ
garanti eder.
a) Gereklilik: u = f ( x, y ) ve v = g ( x, y ) fonksiyonelED÷ÕPOÕROVXQODU2KDOGH ∀( x, y ) ∈ D
için, u ile vDUDVÕQGD Fu ve Fv NÕVPLWUHYOHUL D′ E|OJHVLQGHVUHNOLRODFDNúHNLOGH
F (u , v) = 0
(2)
x ve y’ye göre türev alarak
LOLúNLVLYDUGÕUGHQNOHPLQGHQ
Fu u x + Fv vx = 0 

Fu u x + Fv vx = 0 
(3)
sistemini elde ederiz. Burada Fu ve Fv ’ye bilinmeyenler ve u x ve u y ¶\H GH NDWVD\ÕODU
gözüyle bakarsak, (3) sistemi Fu ve Fv ’ye göre bir lineer homojen sistemdir ve çözümünün
RODELOPHVLLoLQNDWVD\ÕODUGHWHUPLQDQWÕQÕQVÕIÕUROPDVÕJHUHNLU
J=
∂ (u , v ) u x
=
∂ ( x, y ) v x
uy
vy
= 0.
(4)
b) Yeterlilik: ∀( x, y) ∈ D için
J=
∂ (u , v ) u x
=
∂ ( x, y ) vx
uy
vy
=0
ROGX÷XQXYDUVD\DUVDN-DFRELDQÕQVÕIÕUROGX÷XúXGXUXPODUÕLQFHOHPHPL]JHUHNLU
i) u x = u y = vx = v y = 0 durumu.
Bu durumda u = c1 ve v = c2 ELUHUVDELWIRQNVL\RQODUGÕUYH
F (u , v ) = u + kv = c1 + kc2 = 0
(5)
132
RODFDN úHNLOGH ELU
k ∈ R YDUGÕU YH GROD\ÕVÕ\OH u = f ( x, y ) ve v = g ( x, y ) fonkVL\RQODUÕ
DUDODUÕQGDIRQNVL\RQHOED÷ÕPOÕGÕU
ii) u x = u y = 0
ve
vx = v y ≠ 0 durumu
Bu durumda, u, u = c úHNOLQGH ELU VDELW IRQNVL\RQGXU YH VDELW IRQNVL\RQODU KHU IRQNVL\RQOD
ED÷ÕPOÕGÕU%XGXUXPGD
u ile vDUDVÕQGDNLLOLúNL
u
F (u , v) = v(1 − ) = 0
c
úHNOLQGHGLU
ux = u y ≠ 0
iii) u x = u y ≠ 0
Bu durumda,
ve
(6)
ve
vx = v y = 0 GXUXPXEHQ]HUúHNLOGHGH÷HUOHQGLULOHELOLU
vx = v y ≠ 0 durumu
LNL VWQX D\QÕ |÷HOHUGHQ ROXúDFD÷ÕQGDQ -DFRELDQ VÕIÕU ROXU
PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYOHULQLQ HúLW ROPDVÕ
u ve v’nin birinci
x ve y’nin birinci mertebeden ve simetrik
IRQNVL\RQODUÕ ROGXNODUÕ DQODPÕQD JHOLU %|\OH LNL IRQNVL\RQ GDLPD IRQNVL\RQHO ED÷OÕGÕU
gUQH÷LQ
u = tan( x + y ) ve v = ln( x + y) ise
F (u , v ) = arctan u − ev = 0
olur.
iv) u x = vx ≠ 0
ve
u y = v y ≠ 0 durumu
Bu durumda, LNLVDWÕUÕD\QÕ|÷HOHUGHQROXúDFD÷ÕQGDQ-DFRELDQVÕIÕUROXU.ROD\FDDQODúÕODFD÷Õ
u ve vHúLWIRQNVL\RQODUGÕUYHDUDODUÕQGD
]HUHEXNRúXOODUDOWÕQGD
F (u , v ) = u − v = 0
(7)
IRQNVL\RQHOLOLúNLVLVQL\D]DELOLUL]
v) u x ve u y NÕVPLWUHYOHULQGHQHQD]ELULQLQVÕIÕUGDQIDUNOÕROGX÷XJHQHOGXUXP
u y = f y ≠ 0 kabul edelim ( u x = f x ≠ 0 dXUXPXEHQ]HUúHNLOGHLQFHOHQHELOLU
F (u , x, y ) = u − f ( x, y ) = 0
IRQNVL\RQXQXWDQÕPOD\DOÕP
(8)
8) ifadesinin y¶HJ|UHWUHYLDOÕQÕUVD
Fy (u , x, y ) = − f y ( x, y ) ≠ 0
(9)
elde ederiz. Bu ise, y GH÷LúNHQLQLQ 8 HúLWOL÷LQGHQ x ve u cinsLQGHQ o|]OHELOHFH÷L DQODPÕQD
gelir. O halde, (8HúLWOL÷LQLVD÷OD\DFDNúHNLOGHELU
133
y = ϕ ( x, u )
IRQNVL\RQXYDUGÕU
(10)
10) ifadesi, u = f ( x, y ) fonksiyonunda yerine konursa, x¶HED÷OÕROPD\DQ
u = f ( x, ϕ ( x, u ))
|]GHúOL÷LQLHOGHHGHUL]
(11)
(11) ifadesinden x’e göre türev alarak
u x = f x + f yϕ x = 0
(12)
ve buradan da
ϕx = −
fx
fy
(13)
HOGHHGHUL]'L÷HUWDUDIWDQ
, y = ϕ ( x, u ) çözümünü, v = g ( x, y ) ifadesinde yerine yazarsak
v = g ( x, ϕ ( x, u )) = H ( x, u )
(14)
ifadesini ve x’e göre türev alarak da
vx = H x ( x, u ) = g x + g yϕ x = g x + g y (−
ED÷ÕQWÕVÕQÕHOGHHGHUL]2KDOGH
fx
J
)=− =0
fy
fy
(15)
H(x,u) fonksiyonu x¶HED÷OÕGH÷LOGLU<DQi, v fonksiyonunu
v = H ( x, u ) = M (u )
(16)
úHNOLQGHWDQÕPOD\DELOLUL]%|\OHFH
u ile vDUDVÕQGD
F (u , v ) = v − M (u ) = 0
LOLúNLVLHOGHHGLOPLúROXU
Örnek 1. u = ln x − ln y,
v=
x2 + y2
, ( x ≠ 0, y ≠ 0)
xy
IRQNVL\RQODUÕQÕQ DUDODUÕQGD IRQNVL\RQHO ED÷ÕPOÕ ROXS ROPDGÕNODUÕQÕ J|VWHULS ED÷OÕ LVHOHU
DUDODUÕQGDNLLOLúNL\LEXOXQX]
Çözüm. u ve v IRQNVL\RQODUÕQÕQ DUDODUÕQGD IRQNVL\RQHO ED÷ÕPOÕ ROPDODUÕ LoLQ JHUHN YH \HWHU
NRúXOXQ
J=
∂ (u , v ) u x
=
∂ ( x, y ) vx
ROPDVÕJHUHNWL÷LQLELO
uy
vy
=0
iyoruz. Buna göre,
∂ (u , v ) u x
=
J=
∂ ( x, y ) vx
1
uy
x
= 2
vy
x − y2
x2 y
−
1
y
y2 − x2
xy 2
134
, ( x ≠ 0, y ≠ 0)
J=
1 y 2 − x2
1 x2 − y 2
+
−
=0
x xy 2
y x2 y
ROXSIRQNVL\RQODUDUDODUÕQGDIRQNVL\RQHOED÷ÕPOÕGÕUODUùLPGLGHDUDODUÕQGDNLLOLúNL\LEXODOÕP
v=
x2 + y 2
=
xy
x2
x2
+
1)
1
+
y2
y2
=
x
x
y2
y
y
y2 (
ve
u = ln x − ln y = ln
x
x
⇒ = eu
y
y
olur. Bunu v’nin ifadesinde yerine yazarsak
v=
1 + e2 u
eu + e − u
⇒
=
= 2 cosh u
v
2
eu
2
ya da
F (u , v ) = v − 2 cosh u = 0
IRQNVL\RQHOLOLúNLVLQLHOGHHGHUL]
Örnek 2. u = arctan x − arctan y,
v=
x− y
,
1 + xy
IRQNVL\RQODUÕQÕQ DUDODUÕQGD ED÷OÕ ROXS ROPDGÕNODUÕQÕ J|VWHULS ED÷OÕ LVHOHU DUDODUÕQGDNL LOLúNL\L
bulunuz.
Çözüm.
J=
∂ (u , v ) u x
=
∂ ( x, y ) vx
J =−
ROGX÷XQGDQ
1
1 + x2
uy
=
vy
1+ y2
(1 + xy ) 2
−
1
1 + y2
−(1 + x 2 )
(1 + xy ) 2
, ( x ≠ 0, y ≠ 0)
1
1
+
=0
2
(1 + xy ) (1 + xy ) 2
u ve vIRQNVL\RQODUÕDUDODUÕQGDIRQNVL\RQHOED÷ÕPOÕGÕUODUYH
u = arctan x − arctan y ⇒ tan u =
x− y
=v⇒
1 + xy
F (u , v ) = tan u − v = 0
aranan fonksiyonel ED÷ÕQWÕGÕU
135
$úD÷ÕGDIRQNVL\RQHOED÷ÕPOÕOÕNLoLQJHQHOWHRUHPLLVSDWVÕ]RODUDNYHUL\RUX]
Teorem 2. D ⊂ R n DoÕNE|OJHVLQGH WDQÕPOÕYHELULQFLPHUWHEHGHQNÕVPLWUHYOHULEXE|OJHGH
sürekli olan, k tane n-GH÷LúNHQOLIRQNVL\RQ
u1 = f1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 
u2 = f 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) 

.........................

uk = f k ( x1 , x2 ,..., xn ) 
(17)
úHNOLQGH YHULOGL÷LQGH H÷HU IRQNVL\RQ VD\ÕVÕ GH÷LúNHQ VD\ÕVÕQD HúLW k=n) ise, bu k
IRQNVL\RQXQDUDODUÕQGDIRQNVL\RQHOED÷ÕPOÕROPDVÕLoLQJHUHNYH\HWHUNRúXO
J=
u1x1
u1x2
... u1xn
∂ (u1 , u2 ,..., un ) u2 x1
=
∂ ( x1 , x2 ,..., xn )
...
unx1
u2 x2
... u2 xn
...
unx2
... ...
... unxn
=0
(18)
ROPDVÕGÕU(÷HUIRQNVL\RQVD\ÕVÕGH÷LúNHQVD\ÕVÕQGDQNoN
(k < n) ise, bu durumda verilen
kWDQHIRQNVL\RQXQDUDODUÕQGDIRQNVL\RQHOED÷ÕPOÕROPDVÕLoLQJHUHNYH\HWHUNRúXO
 u1x1

 u2 x
J = 1
...

 ukx
 1
u1x2
u 2 x2
...
ukx2
... u1xn 

... u2 xn 
... ... 

... ukxn 
(19)
-DFRELPDWULVLQLQUDQNÕQÕQIRQNVL\RQVD\ÕVÕQGDQNoNROPDVÕ\DQL
rank ( J ) < k
(20)
NRúXOXQXQVD÷ODQPDVÕGÕU
Not: (20 NRúXOX HúGH÷HU RODUDN 9) LOH YHULOHQ PDWULVH LOLúNLQ k × k boyutlu bütün alt
PDWULVOHULQGHWHUPLQDQWODUÕQÕQVÕIÕURODPVÕúHNOLQGHGHLIDGHHGLOHELOLU
Örnek 3. u = ( x + y + z ) 2 ,
v = −2 xy − 2 xz − 2 yz ,
w = x2 + y2 + z 2
fRQNVL\RQODUÕQÕQOLQHHUED÷ÕPOÕROXSROPDGÕNODUÕQÕDUDúWÕUÕQÕ]YHH÷HUED÷OÕLVHOHUDUDODUÕQGDNL
LOLúNL\LEXOXQX]
Çözüm.
136
2( x + y + z ) 2( x + y + z ) 2( x + y + z )
∂ (u , v, w)
= −2( y + z )
−2( x + z )
−2( x + y ) = 0
J=
∂ ( x, y , z )
2x
2y
2z
ROGX÷XQX J|UPHN ]RU GH÷LOGLU 2 K
alde u, v, w IRQNVL\RQODUÕ DUDODUÕQGD OLQHHU ED÷ÕPOÕGÕU
ùLPGLGHDUDODUÕQGDNLLOLúNL\LEXODOÕP
u + v = ( x + y + z ) 2 − 2 xy − 2 xz − 2 yz
= x2 + y 2 + z 2 ⇒ u + v = w
ya da
F (u , v, w) = u + v − w = 0
GÕU
øNL*HUoHO'H÷LúNHQOL)RQNVL\RQODULoLQ7D\ORU)RUPO
z = f ( x, y ) , D ⊂ R 2 DoÕN E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ YH (n+1)-ci PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYOHUL EX
E|OJHGHWDQÕPOÕYHVUHNOLRODQLNL JHUoHOGH÷LúNHQOLELUIRQNVL\RQ ROVXQ
H ve k birer küçük
nicelik ve 0 ≤ t ≤ 1 olmak üzere
x∗ = x + th 

y∗ = y + tk 
(1)
t
G|QúPOHULLOH ¶\HED÷OÕELUGH÷LúNHQOL
F (t ) = f ( x∗ , y∗ )
(2)
IRQNVL\RQXQXWDQÕPOD\DOÕP
F (1) = f ( x + h, y + k )
(3)
F (0) = f ( x, y )
(4)
ve
ROGX÷XQDG
ikkat edilmelidir. F (t ) fonksiyonu için, t
F (t ) = F (0) + F ′(0)t +
QRNWDVÕQGDNL7D\ORUIRUPO
F ′′(0) 2
F ( n ) (0) n
t + ... +
t + Rn ,
n!
2!
(5)
olup, Rn kalan terimi
Rn =
F ( n +1) (τ ) n +1
t , 0 <τ < t
(n + 1)!
(6)
formülü ile verilir (bkz. Kesim 1.8’de formül
ùLPGL
2
F (t ) fonksiyonunun t=0
QRNWDVÕQGDNLWUHYOHULQLGH÷HUOHQGLUHOLP%XQXQLoLQ IRUPOQH]LQFLUNXUDOÕX\JXODQÕUVD
137
F ′(t ) = f x* ( x* , y* )h + f y* ( x* , y* )k
bulunur.
ED÷ÕQWÕODUÕ JHUH÷LQFH
(7)
f ( x* , y* ) ’nin x* ve y* ’ye göre türevleri, x ve y’ye göre
D\QÕEDVDPDNWDQWUHYOHUHHúLWRODFD÷ÕQGDQED÷ÕQWÕVÕQÕ
F ′(t ) = f x ( x* , y* )h + f y ( x* , y* )k
(8)
biçiminde yazabiliriz. Son olarak, (8) formülünde t=0 için x∗ (0) = x, y∗ (0) = y
ROGX÷X
göz
önünde tutulursa,
F ′(0) = f x ( x, y ) h + f y ( x, y ) k
(9)
elde edilir. (8) ifadesi, t’ye göre bir kez daha türetilirse
F ′′(t ) = f xx ( x* , y* )h 2 + 2 f xy ( x* , y* )hk + f yy ( x* , y* )k 2
(10)
olur. Böylece, ikinci türevin t=0 nRNWDVÕQGDNLGH÷HULLoLQ
F ′′(0) = f xx ( x, y )h 2 + 2 f xy ( x, y )hk + f yy ( x, y )k 2
(11)
ifadesi elde edilir. Burada
( x − x0 )
∂
∂
+ ( y − y0 )
∂x
∂y
RSHUDW|UQGLNNDWHDOÕUVDN
(12)
9) ve (11) ile verilen birinci ve ikinci türevleri
 ∂
∂
F ′(0) =  h + k  f ( x, y )
∂y 
 ∂x
(13)
ve
2
 ∂
∂
F ′′(0) =  h + k  f ( x, y )
∂y 
 ∂x
(14)
úHNOLQGH \D]DELOLUL] %|\OHFH GHYDP HGLOLUVH
F (t ) fonksiyonunun t
QRNWDVÕQGDNL
n-ci
mertebeden türevi için de
n
F
(n)
 ∂
∂
(0) =  h + k  f ( x, y )
∂y 
 ∂x
(15)
ifadesini elde ederiz. BuradD%LQRPIRUPOQHJ|UHDoÕODFDNRODQSDUDQWH]OLLIDGH
n
n
 ∂
 n  n −1
 n  n−2 2
∂
∂n
∂n
n ∂
h
k
h
h
k
h
k
+
=
+
+
+ ... +





∂y 
∂x n  1 
∂x n −1∂y  2 
∂x n −2 ∂y 2
 ∂x
n
 n  n−r r
∂n
n ∂
k
+
+
...
 h k
∂x n − r ∂y r
∂y n
r 
úHNOLQGHGLU
138
(16)
Böylece,
YH HúLWOLNOHUL LOH 15) genel gösterimini dikkate alarak (5) ile verilen Taylor
formülünü (x0, y0QRNWDVÕLoLQ\D]DUYH
h = x − x0 

k = y − y0 
(17)
G|QúPOHULQLGHX\JXODUVDN
f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) +
+
1
 f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 ) 
1! 
1
 f xx ( x0 , y0 )( x − x0 )2 + 2 f xy ( x0 , y0 )( x − x0 )( y − y0 ) + f yy ( x0 , y0 )( y − y0 ) 2  + (18)
2!
n
1
∂
∂
+ ... +  ( x − x0 ) + ( y − y0 )  f ( x0 , y0 ) + Rn
n! 
∂x
∂y 
serisini elde ederiz. Burada Rn kalan terimi için
1 
∂
∂
Rn =
( x − x0 ) + ( y − y0 ) 

∂x
∂y 
(n + 1)! 
n +1
, x0 < ξ < x, x0 < η < y
f ( x, y )
(19)
(ξ ,η )
LIDGHVLQLHOGHHGHUL](÷HU
∂ n +1 f ( x, y )
≤ M , i = 1, 2,..., n + 1
∂x i ∂y n +1−i ( x , y )
0
(20)
0
olaFDNúHNLOGHELUMVWVÕQÕUÕYDULVHEXGXUXPGDNDODQWHULPLLoLQ
Rn ≤
M
( x − x0 + y − y0
(n + 1)!
VÕQÕUODPDVÕQÕ\DSDELOLUL]
)
n +1
(21)
Son olarak, (18) serisini, ( x0 , y0 ) = (0, 0) için yeniden yazarsak, yani
f ( x, y ) fonksiyonuQXFLYDUÕQGD0DFODXULQVHULVLQHDoDUVDN
f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) +
+
1
 f x ( x0 , y0 ) x + f y ( x0 , y0 ) y 
1! 
1
 f xx ( x0 , y0 ) x 2 + 2 f xy ( x0 , y0 ) xy + f yy ( x0 , y0 ) y 2  +
2! 
(22)
n
1 ∂
∂
+ ... +  x + y  f ( x0 , y0 ) + Rn
n !  ∂x
∂y 
ifadesini elde ederiz. Bu durumda kalan terim
1  ∂
∂
Rn =
x +y 

∂y 
(n + 1)!  ∂x
n +1
, 0 < ξ < x, 0 < η < y
f ( x, y )
(ξ ,η )
olur.
139
(23)
Örnek 1. f ( x, y ) = e xy IRQNVL\RQXQXFLYDUÕQGDG|UGQFPHUWebeden Taylor formülünü
bulunuz.
Çözüm.QRNWDVÕFLYDUÕQGDG|UGQFPHUWHEHGHQ7D\ORUIRUPO
f ( x, y ) = f (0, 0) + f x x + f y y +
1
 f xx x 2 + 2 f xy xy + f yy y 2  +
2! 
1
 f xxx x3 + 3 f xxy x 2 y + 3 f xyy xy 2 + f yyy y 3  +
3! 
1
+  f xxxx x 4 + 4 f xxxy x3 y + 6 f xxyy x 2 y 2 + 4 f xyyy xy 3 + f yyyy y 4  + R4
4!
+
ROGX÷XQGDQLOJLOLWUHYGH÷HUOHULQLKHVDSOD\DOÕP
f x ( x, y ) = ye xy ⇒ f x (0, 0) = 0 , f y ( x, y ) = xe xy ⇒ f y (0, 0) = 0 ,
f xx ( x, y ) = y 2 e xy ⇒ f xx (0, 0) = 0 , f yy ( x, y ) = x 2 e xy ⇒ f yy (0, 0) = 0 ,
f xy ( x, y ) = e xy + xye xy ⇒ f x (0, 0) = 1 ,
f xxx ( x, y ) = y 3e xy ⇒ f xxx (0, 0) = 0 , f xxy ( x, y ) = 2 ye xy + xy 2 e xy ⇒ f xxy (0, 0) = 0 ,
f xyy ( x, y ) = 2 xe xy + x 2 ye xy ⇒ f xyy (0, 0) = 0 , f yyy ( x, y ) = x3e xy ⇒ f yyy (0, 0) = 0 ,
f xxxx ( x, y ) = y 4 e xy ⇒ f xxxx (0, 0) = 0 , f xxxy ( x, y ) = 3 y 2 e xy + y 4 e xy ⇒ f xxxy (0, 0) = 0 ,
f xxyy ( x, y ) = 2e xy + 4 xye xy + x 2 y 2 e xy ⇒ f xxyy (0, 0) = 2 ,
f xyyy ( x, y ) = 3 x 2 e xy + x 3 ye xy ⇒ f xyyy (0, 0) = 0 , f yyyy ( x, y ) = x 4 e xy ⇒ f yyyy (0, 0) = 0 .
Böylece,
e xy = 1 + xy +
olur ( eu ’nun, u
1 2 2
x y + R4
2
FLYDUÕQGDNL VHUL DoÕOÕPÕ LOH NDUúÕODúWÕUÕQÕ]
0 < ξ < x ve 0 < η < y olmak
üzere, kalan terim,
5
R4 =
=
1
∂
∂
( x − x0 ) + ( y − y0 )  f ( x, y )

5! 
∂x
∂y 
(ξ ,η )
1
 f xxxxxξ 5 + 5 f xxxxyξ 4η + 10 f xxxyyξ 3η 2 + 10 f xxyyyξ 2η 3 + 5 f xyyyyξ 1η 4 + f yyyyyη 5 
5! 
ED÷ÕQWÕVÕLOHGH÷HUOHQGLULOHELOLU
140
Örnek 2. f ( x, y ) = x 3 y 2 − xy fonksiyonunu (x-1) ve (y¶LQNXYYHWOHULFLQVLQGHQ\D]ÕQÕ]
Çözüm. f (1, −1) = 2 ve
f x ( x, y ) = 3x 2 y 2 − y ⇒ f x (1, −1) = 4
f y ( x, y ) = 2 x3 y − x ⇒ f y (1, −1) = −3
f xx ( x, y ) = 6 xy ⇒ f xx (1, −1) = 6
2
f yy ( x, y ) = 2 x3 ⇒ f yy (1, −1) = 2
f xxx ( x, y ) = 6 y 2 ⇒ f xxx (1, −1) = 6
f yyy ( x, y ) = 0 ⇒ f yy (1, −1) = 0
f xxxx ( x, y ) = 0 ⇒ f xxxx (1, −1) = 0
f xy ( x, y ) = 6 x 2 y − 1 ⇒ f xy (1, −1) = −7
f xxxyy ( x, y ) = 12 ⇒ f xxxyy (1, −1) = 12
f xxy ( x, y ) = 12 xy ⇒ f xxy (1, −1) = −12
f xxyy ( x, y ) = 12 x ⇒ f xxyy (1, −1) = 12
f xyy ( x, y ) = 6 x 2 ⇒ f xyy (1, −1) = 6
f xyyy ( x, y ) = 0 ⇒ f xyyy (1, −1) = 0
f xxxy ( x, y ) = 12 y ⇒ f xxxy (1, −1) = −12
ROGX÷XQGDQ
1
f ( x, y ) = 2 + 4( x − 1) − 3( y + 1) + 6( x − 1) 2 − 14( x − 1)( y + 1) + 2( y − 1) 2 
2
1
+  6( x − 1)3 − 36( x − 1)2 ( y + 1) + 18( x − 1)( y + 1)2 
6
1
+  −48( x − 1)3 ( y + 1) + 72( x − 1)2 ( y + 1)2  + ( x − 1)3 ( y + 1) 2
24
NXYYHW\D]ÕOÕPÕHO
de edilir.
Örnek 3. f ( x, y ) = ln( x + y + 1) IRQNVL\RQXQXFLYDUÕQGD7D\ORUVHULVLQHDoÕQÕ]
Çözüm. f (0, 0) = 0 ,
f x ( x, y ) (0,0) =
1
= 1 = (−1)1+1 0! ,
x + y + 1 (0,0)
f xx ( x, y ) (0,0) =
−1
( x + y + 1)2
f xxx ( x, y ) (0,0) =
2
( x + y + 1)3
f y ( x, y )
(0,0)
= −1 = ( −1) 2+11! , f yy ( x, y )
=
(0,0)
=
(0,0)
= 2 = (−1)3+1 2! ,
f yyy ( x, y )
(0,0)
141
1
= 1 = (−1)1+1 0! ,
x + y + 1 (0,0)
(0,0)
−1
( x + y + 1) 2
=
= −1 = (−1) 2+11! ,
(0,0)
2
( x + y + 1)3
= 2 = (−1)3+1 2!,
(0,0)
f xy ( x, y )
(0,0)
f xyy ( x, y )
(0,0)
=
=
−1
( x + y + 1)2
2
( x + y + 1)3
= −1 = (−1) 2+11! ,
(0,0)
= 2 = (−1)3+1 2! .
(0,0)
f ( x, y ) = ln( x + y + 1) ¶QLQ QRNWDVÕQGDNL |UQH÷LQ NBFÕ GHUHFHGHQ NÕVPL
*|UOG÷ ]HUH
WUHYOHULWUHYOHULQKDQJLGH÷LúNHQHJ|UHROGX÷XQGDQED÷ÕPVÕ]RODUDNHúLWWLUgUQH÷LQ
f xx ( x, y ) (0,0) = f yy ( x, y )
= f xy ( x, y ) (0,0) = −1 = (−1) 2+11!
(0,0)
ve
f xxx ( x, y ) (0,0) = f yyy ( x, y )
= f xyy ( x, y ) (0,0) =
(0,0)
2
( x + y + 1)3
= 2 = (−1)3+1 2!
(0,0)
GÕU%XQDJ|UHJHQHOIRUPORODUDN
∂ n f ( x, y )
= (−1) n+1 (n − 1)!
∂ k x∂ n −k y
yazabiliriz. O halde,
k
1 ∂
∂
f ( x, y ) = ∑  x + y  f ( x, y ) (0,0) + Rn
∂y 
k = 0 k !  ∂x
n
1
2
1 ∂
1 ∂
∂
∂
= 0 +  x + y  f ( x, y ) (0,0) +  x + y  f ( x, y ) (0,0) +
1!  ∂x
2!  ∂x
∂y 
∂y 
3
1 ∂
∂
+  x + y  f ( x, y ) (0,0) + ... +
3!  ∂x
∂y 
n
1 ∂
∂
+  x + y  f ( x, y ) (0,0) + Rn
n !  ∂x
∂y 
1
1
(−1)1+1 (1 − 1)!( x + y ) + (−1)2 +1 (2 − 1)!( x + y )2 +
1!
2!
1
+ (−1)3+1 (3 − 1)!( x + y )3 + ... +
3!
1
+ (−1)n +1 (n − 1)!( x + y )n + Rn
n!
1
1
1
1
= x + y − x 2 − xy − y 2 + x 3 + 2 x 2 y + 2 xy 2 + y 3 + ... +
2
2
3
3
n +1
(−1)
( x + y ) n + Rn
+
n
=
142
1  ∂
∂
Rn = +
x +y 

(n + 1)!  ∂x
∂y 
n +1
f ( x, y ) (ξ ,η )
1
(−1)n
n+ 2
n +1
(−1) n !(ξ + η ) =
(ξ + η ) n +1 ⇒
=
n +1
(n + 1)!
Rn =
(ξ + η ) n +1
≤ (ξ + η ) n +1
n +1
elde ederiz. ξ + η < 1 için lim Rn = 0 n →∞
RODFD÷ÕQGDQ VHULQLQ \DNÕQVDNOÕN E|OJHVL RODUDN
ξ + η < 1 DOÕQDELOLU
øNL*HUoHO'H÷LúNHQOL)RQNVL\RQODUÕQ(NVWUHPXP1RNWDODUÕ
7DQÕP (NVWUHPXP 1RNWDODU
. D ⊂ R2 DoÕN E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ ELU
z = f ( x, y )
G
fonksiyonu verilsin. D E|OJHVLQLQ QRNWDODUÕQÕ P( x, y ) YHNW|UOHULQLQ Xo QRNWDODUÕ LOH WHPVLO
G
HGHOLP
G
(÷HU
P0 ( x0 , y0 ) ∈ D G
QRNWDVÕQÕQ
ELU
Nδ ( P0 ) NRPúXOX÷XQXQ
KHU
QRNWDVÕQGD
G
f ( P) ≤ f ( P0 ) oluyorsa, f fonksiyonunun ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGD ELU \HUHO PDNVLPXPX YDUGÕU
denir. ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQD IRQNVL\RQXQ \HUHO PDNVLPXP QRNWDVÕ Ye f ( x0 , y0 ) GH÷HULQH GH
G
IRQNVL\RQXQ\HUHOPDNVLPXPGH÷HULGHQLU%XQGDQEDúNDH÷HU
G
G
P0 ( x0 , y0 ) ∈ D QRNWDVÕQÕQELU
G
Nδ ( P0 ) NRPúXOX÷XQXQ KHU QRNWDVÕQGD f ( P) ≥ f ( P0 ) oluyorsa, f fonksiyonunun ( x0 , y0 )
QRNWDVÕQGD ELU \HUHO PLQLPXPX YDUGÕU GHQLU %X GXUXPGD
\HUHO PLQLPXP QRNWDVÕ YH
Bir fonksiyonun
( x0 , y0 ) QRNWDVÕQD IRQNVL\RQXQ
f ( x0 , y0 ) GH÷HULQH GH IRQNVL\RQXQ \HUHO PLQLPXP GH÷HUL GHQLU
\HUHO PDNVLPXP \D GD \HUHO PLQLPXP QRNWDODUÕQD NÕVDFD HNVWUHPXP
QRNWDODUÕGHQLU
z = f ( x, y ) IRQNVL\RQXQXQ \HUHO HNVWUHPXPODUÕ LoLQ JHUHN NRúXOXQ ∇f ( x, y ) = 0 ROGX÷XQX
V|\OHPLúWLN 2 KDOGH ELU IRQNVL\RQXQ H÷HU HNVWUHPXP QRNWDODUÕ YDUVD EXQODU \D JUDGL\HQWLQ
VÕIÕU ROGX÷X QRNWDODUGD \D GD ELULQFL PHUWHEHGHQ WUHYOHULQ WDQÕPVÕ] ROGX÷X QRNWDODUGDGÕU
ùLPGLGH\HUHOHNVWUHPXPQRNWDODUÕLoLQ\HWHUNRúXOODUÕELUWHRUHPLOHYHUHOLP
143
Teorem 1. D ⊂ R 2 DoÕN E|OJH YH z = f ( x, y ) GH HQ D]ÕQGDQ oQF PHUWHEH\H NDGDU NÕVPL
G
türevleri D E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ YH VUHNOL RODQ ELU IRQNVL\RQ ROPDN ]HUH ELU P0 ( x0 , y0 ) ∈ D
QRNWDVÕQGD
G
∇f ( P0 ) = 0
(1)
olsun.
G
G
G
∆ = f xy ( P0 ) 2 − f xx ( P0 ) f yy ( P0 )
(2)
olmak üzere
G
i. ∆ < 0 ve f xx ( P0 ) < 0ise P0 ( x0 , y0 ) ELU³\HUHOPDNVLPXP´QRNWDVÕGÕU
G
ii. ∆ < 0 ve f xx ( P0 ) > 0ise P0 ( x0 , y0 ) ELU³\HUHOPLQLPXP´QRNWDVÕGÕU
iii. ∆ > 0 ise P0 ( x0 , y0 ) ELU³H÷HU´QRNWDVÕROXSHNVWUHPXPQRNWDVÕGH÷LOGLU.
iv. ∆ = 0 LNLQFLPHUWHEHGHQNÕVPLWUHYWHVWLLOHNDUDUYHULOHPH]
G
øVSDW
. z = f ( x, y ) fonksiyonunu P0 ( x0 , y0 ) ∈ D QRNWDVÕQGD7D\ORUVHULVLQHDoDUVDN
f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 ) +
1
f xx ( x0 , y0 )( x − x0 ) 2 + f xy ( x0 , y0 )( x − x0 )( y − y0 ) +
2
1
+ f yy ( x0 , y0 )( y − y0 ) 2 + R2
2
+
(3)
olur. Ekstremum noNWDODUÕLoLQJHUHNNRúXOGLNNDWHDOÕQÕUVDLONLNLWHULPVÕIÕUROXU%|\OHFH
ED÷ÕQWÕVÕQÕ
f ( x, y ) − f ( x0 , y0 ) =
úHNOLQGH \D]DELOLUL]
1
f xx ( x0 , y0 )( x − x0 ) 2 + f xy ( x0 , y0 )( x − x0 )( y − y0 ) +
2
1
+ f yy ( x0 , y0 )( y − y0 ) 2 + R2
2
P0 ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQÕQ \DNÕQ NRPúXOX÷XQ
(4)
u, R2 << 1 olacaN
úHNLOGH
seçHELOHFH÷LPL]GHQ E|\OHVL ELU NRPúXOXN LoHULVLQGH ED÷ÕQWÕVÕQÕQ LúDUHWL LON o WHULPLQ
LNLQFL GHUHFH NÕVPL WUHYOL WHULPOHULQ LúDUHWLQH ED÷OÕ ROXU øON o WHULP
( x − x0 ) ya da
( y − y0 ) cinsinden ikinci dereceden biUSROLQRPGXU(÷HULONoWHULPH, ( x − x0 ) cinsinden bir
ikinci derece polinom gözü ile bakar ve
A=
G
G
G
1
1
f xx ( P0 ), B = f xy ( P0 )( y − y0 ), C = f yy ( P0 )( y − y0 ) 2
2
2
olmak üzere
144
(5)
F ( x, y ) = A( x − x0 )2 + B ( x − x0 ) + C
WDQÕPODPDVÕQÕ\DSDUVDNEXGXUXPGD
(6)
(6) parDEROXQXQGLVNLULPLQDQWÕ
G
G
G
∆′ = B 2 − 4 AC = f xy ( P0 ) 2 ( y − y0 )2 − f xx ( P0 ) f yy ( P0 )( y − y0 )2
G
G
(7)
G
=  f xy ( P0 ) 2 − f xx ( P0 ) f yy ( P0 )  ( y − y0 ) 2
olur ve H÷HU ∆′ < 0 ya da ( ( y − y0 ) 2 > 0 ROGX÷XQGDQ
G
G
G
∆ = f xy ( P0 ) 2 − f xx ( P0 ) f yy ( P0 ) < 0
(8)
ise F(x,yIRQNVL\RQXLúDUHWGH÷LúWLUPH]2KDOGHH÷HU
G
∆ < 0 ve A>0 ( f xx ( P0 ) >0)
(9)
ise F(x,y! YH GROD\ÕVÕ\OH x,y QRNWDVÕ ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQD \HWHULQFH \DNÕQ NDOGÕ÷Õ VUHFH
f ( x, y ) − f ( x0 , y0 ) ! ROXU 2 KDOGH WDQÕP JHUH÷L P0 ( x0 , y0 ) QRNWDVÕ ELU \HUHO PLQLPXP
QRNWDVÕROXU%HQ]HURODUDNH÷HU
G
∆ < 0 ve A<0 ( f xx ( P0 ) <0)
(10)
ise F(x,y YH GROD\ÕVÕ\OH x,y QRNWDVÕ ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQD \HWHULQFH \DNÕQ NDOGÕ÷Õ VUHFH
f ( x, y ) − f ( x0 , y0 ) ROXU %XQD J|UH WDQÕP JHUH÷L P0 ( x0 , y0 ) QRNWDVÕ ELU \HUHO PDNVLPXP
QRNWDVÕGÕU ùLPGL GH
∆ > 0 durumunu inceleyelim. Bu durumda F(x,y) parabolu, ( x0 , y0 )
QRNWDVÕQGD VÕIÕU GH÷HULQH YH RQXQ LNL WDUDIÕQGD IDUNOÕ LúDUHWOHUH VDKLS RODFDNWÕU 2 KDOGH QRNWDVÕQÕQ
( x0 , y0 ) QRNWDVÕQD \DNODúÕP \|QQH ED÷OÕ RODUDN
RODFDNWÕU 6RQXo RODUDN
x,y)
F(x,y)>0 ya da F(x,y)<0
( x0 , y0 ) QRNWDVÕQÕQ NRPúXOX÷XQGD YH ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQD \DNODúÕP
GR÷UXOWXVXQD ED÷OÕ RODUDN
f ( x, y ) − f ( x0 , y0 ) > 0 ya da f ( x, y ) − f ( x0 , y0 ) < 0 RODFDNWÕU 2
G
halde, ∆ > 0 durumunda, ∇f ( P0 ) = 0 NRúXOXQXQ VD÷ODQPDVÕQD UD÷PHQ ( x0 , y0 ) QRNWDVÕ ELU
HNVWUHPXP QRNWDVÕ GH÷LOGLU %|\OH QRNWDODUD \DQL JUDGL\HQWLQ VÕIÕU ROPDVÕQD NDUúÕQ
HNVWUHPXPQRNWDVÕROPD\DQQRNWDODUD³H÷HU´QRNWDVÕGHQLU
G
G
G
Teorem 1, ∆ = f xy ( P0 )2 − f xx ( P0 ) f yy ( P0 ) = 0 dXUXPXQGD HNVWUHPXP QRNWDODUÕ KDNNÕQGD ELU
NDUDUYHUPHPL]HRODQDNYHUPHPHNWHGLU%|\OHVLGXUXPODUGDGDKDD\UÕQWÕOÕLQFHOHPHJHUHNLU
. D ⊂ R 2 aoÕN E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ ELU z = f ( x, y ) fonksiyonu
7DQÕP .ULWLN 1RNWDODU
verilsin. D bölgesinin, z = f ( x, y ) fonksiyonuQXQ ELULQFL PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYOHULQLQ VÕIÕU
\DGDWDQÕPVÕ]ROGX÷XQRNWDODUD
z = f ( x, y ) fonksiyonuQXQNULWLNQRNWDODUÕGHQLU
145
9DU ROPDVÕ KDOLQGH ELU IRQNVL\RQXQ \HUHO HNVWUHPXP QRNWDODUÕQÕQ V|] NRQXVX IRQNVL\RQXQ
NULWLNQRNWDODUÕDUDVÕQGD\DGDWDQÕPE|OJHVLQLQVÕQÕUՁ]HULQGHEXOXQDFD÷ÕDoÕNWÕU
Örnek 1. f ( x, y ) = x 2 + y 2 IRQNVL\RQXQXQ YDUVD \HUHO YH PXWODN HNVWUHPXP QRNWDODUÕQÕ
bulunuz.
Çözüm.
f x ( x, y ) = 2 x = 0 
 ⇒ (0, 0) kritik noktadÕU
f y ( x, y ) = 2 y = 0 
Bu noktada
f xx ( x, y ) = 2, f yy ( x, y ) = 2, f xy ( x, y ) = 0
ROGX÷XQGDQ
∆ = f xy 2 − f xx f yy = −4 < 0
olur. ∆ < 0 ve f xx ( x, y ) > 0 ROGX÷XQGDQIRQNVL\RQXQELUPLQLPXPQRNWDVÕGÕU
Örnek 2. f ( x, y ) = 2 x3 y + x fonkVL\RQXQXQ YDUVD \HUHO YH PXWODN HNVWUHPXP QRNWDODUÕQÕ
bulunuz.
Çözüm. f ( x, y ) WDQÕP E|OJHVL R 3 RODQ G|UGQF GHUHFHGHQ ELU SROLQRP ROGX÷XQGDQ HQ
D]ÕQGDQoQFPHUWHEHGHQNÕVPLWUHYOHULEXE|OJHGHWDQÕPOÕYH
f x ( x, y ) = 6 x 2 y + 1;
f xx ( x, y ) = 12 xy;
f y ( x, y ) = 2 x ;
f yy ( x, y ) = 0;
3
f xy ( x, y ) = 6 x
süreklidir.
2
ROXS%LULQFLPHUWHEHGHQNÕVPLWUHYOHULQVÕIÕUROGX÷X\HUOHU
f x ( x, y ) = 6 x 2 y + 1 = 0
f y ( x, y ) = 2 x 3
=0
GHQNOHPVLVWHPLQLQo|]PQRNWDODUÕGÕU$QFDNGHQNOHPVLVWHPLQLQo|]PV]ROGX÷XDoÕNWÕU
O halde, fonksiyonun bir yerel eNVWUHPXPQRNWDVÕ\RNWXU
146
Örnek 3. AQRNWDVÕQÕQ z = f ( x, y ) = 2 x + y \]H\LQHHQ\DNÕQX]DNOÕ÷ÕQÕEXOXQX]
Çözüm. z = f ( x, y ) = 2 x + y \]H\L
]HULQGHNL GH÷LúNHQ QRNWDODUÕ
B( x, y, 2 x + y ) ile
gösterebiliriz. Bu durumda, A ile BDUDVÕQGDNLX]DNOÕNIRQNVL\RQXQX
F ( x, y ) = ( x − 2)2 + ( y − 1)2 + (2 x + y − 1)2 = 5 x 2 + 2 y 2 + 4 xy − 8 x − 4 y + 6
IRQNVL\RQX LOH WDQÕPOD\DELOLUL] %X GXUXPGD SUREOHP
IRQNVL\RQXQXQ
\D
GD
EXQD
HúGH÷HU
RODUDN
F ( x, y ) = 5 x 2 + 2 y 2 + 4 xy − 8 x − 4 y
G ( x, y ) = 5 x 2 + 2 y 2 + 4 xy − 8 x − 4 y + 6
IRQNVL\RQXQXQ PLQLPXP GH÷HULQL EXOPD\D G|QúPú ROXU ùLPGL
G ( x, y ) fonksiyonunun
NÕVPLWUHYOHULQLQVÕIÕUROGX÷XQRNWDODUÕDUDúWÕUDOÕP
Gx ( x, y ) = 10 x + 4 y − 8 = 0
G y ( x, y ) = 4 x + 4 y − 4 = 0
.
2 1
Buradan çözüm olaraksistemi çözülürse, ( , ) elde edilir. O halde, yüzey üzerinde,
3 3
DUDGÕ÷ÕPÕ]QRNWDQÕQNRRUGLQDWODUÕ
2 1 5
( , , ) ROXSQRNWDVÕQDX]DNOÕ÷Õ
3 3 3
2 1
2
1
21
2
1
F ( , ) = 5( ) 2 + 2( ) 2 + 4
−8 − 4 + 6
3 3
3
3
33
3
3
=
20 2 8 48 12 54
24 2 6
+ + − − +
=
=
9 9 9 9 9 9
9
3
dür.
3.15. .RúXOOX(NVWUHPXPODU/DJUDQJHdDUSDQODUÕ
'H÷LúNHQOHUL ELUELUOHUL LOH LOLúNLOL oRN GH÷LúNHQOL ELU IRQNVL\RQXQ HNVWUHPXP QRNWDODUÕQÕQ
DUDúWÕUÕOPDVÕ SUREOHPL oRN VÕN UDVWODQÕODQ GXUXPGXU %X GXUXP ELOHúHQOHUL DUDVÕQGD
g ( x, y, z ) = 0 ve h( x, y , z ) = 0 úHNOLQGH LOLúNL EXOXQDQ ELU
w = f ( x, y, z ) fonksiyonunun
HNVWUHPXP QRNWDODUÕQÕ DUDúWÕUPDN úHNOLQGH |UQNOHQGLULOHELOLU *HQHOGH
n
GH÷LúNHQOL ELU
fonksiyon ve n-1 NRúXO RODELOLU %XUDGD o GH÷LúNHQOL YH LNL NRúXOOX SUREOHPL GLNNDWH DODFDN
YHVRQXFXJHQHOOH\HFH÷L]
147
g ( x, y, z ) = 0 ve h( x, y , z ) = 0 NRúXOODUÕLOHELU w = f ( x, y, z ) IRQNVL\RQXQXQYHULOGL÷LQLYHEX
NRúXOODU DOWÕQGD IRQNVL\RQXQ HNVWUHPXP QRNWDODUÕQÕ DUDúWÕUGÕ÷ÕPÕ]Õ YDUVD\DOÕP %X GXUXPGD
YHULOHQ NRúXOODUGDQ GH÷LúNHQOHUGHQ ELUL GL÷HU LNLVL FLQVLQGHQ LIDGH HGLOHELOLUVH |UQH÷LQ
GH÷LúNHQL
z
x ve y cinsinden z = ϕ ( x, y ) úHNOLQGH LIDGH HGLOLU YH DVÕO IRQNVL\RQGD EX LIDGH
\HULQH \D]ÕOÕUVD HOGH HGLOHQ
w = f ( x, y, ϕ ( x, y)) IRQNVL\RQXQXQ HNVWUHPXP QRNWDODUÕ D\QÕ
zamanda g ( x, y, z ) = 0 ve h( x, y , z ) = 0
NRúXOODUÕQÕ GD VD÷ODUODU %|\OHFH NRúXOOX HNVWUHPXP
SUREOHPLQRUPDOHNVWUHPXPSUREOHPLQHLQGLUJHQPLúROXU$QFDNSUDWLNWHoR÷X]DPDQYHULOHQ
NRúXOODUGDQELOLQPH\HQVD\Õ]ÕQÕD]DOWPDNPPNQRODPD]YHEXGXUXPGDNRúXOOXHNVWUHPXP
QRNWDODUÕQÕ EXOPDN LoLQ EDúN
a bir yöntem kullanmak gerekir. Bu kesimde, Lagrange
oDUSDQODUÕGHQLOHQ\|QWHPDQODWÕODFDNWÕU
g ( x, y, z ) = 0 ve h( x, y , z ) = 0 NRúXOODUÕQÕQ KHU ELUL X]D\GD ELUHU \]H\ EHOLUOHUNHQ LNL
GHQNOHPLQ D\QÕ DQGD VD÷ODQGÕ÷Õ \HUOHU EX LNL \]H\LQ DUDNHVLW H÷ULVLGLU 2 KDOGH NRúXOOX
ekstremum problemi, ( x, y, z ) QRNWDVÕ EX DUDNHVLW H÷ULVL ER\XQFD \HU GH÷LúWLUPHN NRúXOX LOH
w = f ( x, y , z ) IRQNVL\RQXQXQ DODFD÷Õ PDNVLPXP YH PLQLPXP QRNWDODUÕ EXOPD LúOHPLQH
döQúPHNWHGLU%|\OHVLELUHNVWUHPXPQRNWDVÕQGD f ( x, y, z ) ¶QLQH÷ULER\XQFDRODQGR÷UXOWX
WUHYL \DQL H÷ULQLQ V|] NRQXVX QRNWDVÕQGDNL WH÷HWL GR÷UXOWXVXQGDNL GR÷UXOWX WUHYL VÕIÕU
ROPDOÕGÕU
G
DuG0 f ( x0 , y0 ) = u0∇f ( x0 , y0 ) = 0 ,
G
burada u0 DUDNHVLW H÷ULVLQLQ
(1)
P0 ( x0 , y0 , z0 ) QRNWDVÕQGDNL WH÷HW GR÷UXOWXVXGXU %XUDGDQ
∇f ( x0 , y0 , z0 ) YHNW|UQQH÷ULQLQ P0 ( x0 , y0 , z0 ) QRNWDVÕQGDNLQRUPDOGR÷UXOWXVXQXLoHUHQELU
G]OHPGH ROGX÷X DQODúÕOÕU hVWHOLN G]OHPGHGLUOHU
%DúND
ELU
GH÷LúOH
∇g ( x0 , y0 , z0 ) ve ∇h( x0 , y0 , z0 ) ∇f ( x0 , y0 , z0 ) ,
∇g ( x0 , y0 , z0 )
YHNW|UOHUL GH D\QÕ
ve
∇h( x0 , y0 , z0 )
YHNW|UOHULQLQoGHD\QÕG]OHPOL\DQLOLQHHUED÷OÕGÕUODU2KDOGHRQODUDUDVÕQGD
∇f ( x0 , y0 , z0 ) + λ1∇g ( x0 , y0 , z0 ) + λ2∇h( x0 , y0 , z0 ) = 0
HúLWOL÷L VD÷ODQDFDN úHNLOGH
(2)
λ1 ve λ2 VD\ÕODUÕ YDUGÕU YH EXQODUD ³/DJUDQJH oDUSDQODUÕ´ DGÕ
verilir. (2) ile verilen vektörel denklem
f x + λ1 g x + λ2 hx = 0 

f y + λ1 g y + λ2 hy = 0 

f z + λ1 g z + λ2 hz = 0 
(3)
148
ELoLPLQGH oVNDOHU GHQNOHPGHQ ROXúDQ ELU GHQNOHPVLVWHPLQHHúGH÷HUGLU .RúXO GHQNOHPOHUL
GHGLNNDWHDOÕQÕUVDEHúELOLQPH\HQOLEHúGHQNOHPGHQROXúDQ
f x + λ1 g x + λ2 hx = 0 
f y + λ1 g y + λ2 hy = 0 

f z + λ1 g z + λ2 hz = 0 
g ( x, y , z ) = 0 

h( x, y, z ) = 0 
(4)
denklem sistemi elde edilir ve sistemin çözümünden λ1 ve λ2 /DJUDQJH oDUSDQODUÕ LOH
( x, y, z ) NULWLN QRNWDODUÕ HOGH HGLOLU %X NULWLN QRNWDODU IRQNVL\RQXQ YHULOHQ NRúXO DOWÕQGDNL
ekstremumQRNWDODUÕ\DGDH÷HUQRNWDODUÕGÕU(÷HU
G ( x, y, z , λ1 , λ2 ) = f ( x, y, z ) + λ1 g ( x, y, z ) + λ2 h( x, y , z )
(5)
IRQNVL\RQXQXWDQÕPODUVDNVLVWHPLQL
Gx ( x, y , z , λ1 , λ2 ) = 0 
G y ( x, y, z , λ1 , λ2 ) = 0 

Gz ( x, y , z , λ1 , λ2 ) = 0 
g ( x, y , z ) = 0 

h( x, y , z ) = 0 
(6)
biçiminde de yazabiliriz.
Genel olarak ifade edecek olursak, nGH÷LúNHQOLELUIIRQNVL\Rnu ile k (k ≤ n − 1) denklemden
ROXúDQNRúXOODUYHULOGL÷LQGHVLVWHPLQHEHQ]HURODUDN
n+k bilinmeyenli ve n+k denklemden
k
ROXúDQ ELU VLVWHP HOGH HGLOLU YH EX VLVWHPLQ o|]OPHVL LOH DGHW /DJUDQJH oDUSDQÕ LOH ELUOLNWH
aranan kritik noktalaUEXOXQPXúROXU
Örnek 1. f ( x, y, z ) = xyz fonksiyonunun, g ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 NRúXOX DOWÕQGDNL
HNVWUHPXPQRNWDODUÕQÕEXOXQX]
Çözüm.
G ( x, y , z ) = f ( x, y , z ) + λ g ( x, y , z )
WDQÕPODPDVÕQÕ\DSDUVDN
149
Gx ( x, y , z , λ ) = yz + 2λ x = 0
G y ( x, y, z , λ ) = xz + 2λ y = 0
Gz ( x, y , z , λ ) = xy + 2λ z = 0
denklem sistemini elGHHGHUL]%XGHQNOHPOHUVÕUDVÕ\ODx, y, zLOHoDUSÕOÕSWRSODQÕUVD
3 xyz + 2λ ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 0
YHNRúXOGHQNOHPL\DUGÕPÕ\ODGD
2λ = −3xyz
elde edilir. Böylece, birinci denklemden
yz − 3x 2 yz = 0 ⇒ yz = 0 veya x = ±
3
3
bulunur.
i.
(÷HU
y=0 ve z ≠ 0 ise, ikinci denklemden x
HOGH HGLOLU .RúXO GHQNOHPL JHUH÷LQFH GH
z = ±1 RODFD÷ÕQGDQNULWLNQRNWDODU ±1 ) olur.
ii.
(÷HU
z=0 ve y ≠ 0 ise, üçüncü denklemden x=0 HOGH HGLOLU .RúXO GHQNOHPL JHUH÷LQFH GH
y = ±1 RODFD÷ÕQGDQNULWLNQRNWDODU ±1 ,0) olur.
iii.
(÷HU
z=0 ve y = 0 LVH NRúXO GHQNOHPL JHUH÷LQFH x = ±1 RODFD÷ÕQGDQ NULWLN noktalar
( ±1 ,0,0) olur.
iv.
(÷HU
x=±
3
3
ise, ikinci denklemden, y = ±
3
3
elde edilir. Böylece, (±
YH NRúXO GHQNOHPLQGHQ GH
z=±
3
3
3
3
3
,±
,±
) úHNOLQGHVHNL]WDQe kritik nokta elde edilir.
3
3
3
6RQXoRODUDNSUREOHPLQWRSODPWDQHNULWLNQRNWDVÕYDUGÕU%XQRNWDODUÕYHIRQNVL\RQXQEX
QRNWDODUGDDOGÕ÷ÕGH÷HUOHULQELUWDEORVXQX\DSDUDNHNVWUHPXPQRNWDODUÕQÕDUDúWÕUDOÕP
Kritik nokta
no
x
y
z
f(x,y,z)= xyz
$oÕNODPD
1
0
0
-1
0
(÷HUQRNWDVÕ
2
0
0
1
0
′′
3
0
-1
0
0
′′
4
0
1
0
0
′′
5
-1
0
0
0
′′
6
1
0
0
0
′′
7
- 3 2
- 3 2
- 3 2
- 3 9
Minimum
150
$oÕNODPD
Kritik nokta
no
x
y
8
- 3 2
- 3 2
3 2
3 9
Maksimum
9
- 3 2
3 2
- 3 2
3 9
Maksimum
10
- 3 2
3 2
3 2
- 3 9
Minimum
11
3 2
- 3 2
- 3 2
3 9
Maksimum
12
3 2
- 3 2
3 2
- 3 9
Minimum
13
3 2
3 2
- 3 2
- 3 9
Minimum
14
3 2
3 2
3 2
3 9
Maksimum
z
f(x,y,z)= xyz
%XQD J|UH IRQNVL\RQXQ YHULOHQ NRúXO DOWÕQGD G|UW PDNVLPXP G|UW PLQLPXP YH DOWÕ WDQH GH
H÷HUQRNWDVÕYDUGÕU
Örnek 2. f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 − 6 x + 2 fonksiyonunun, D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 5, − 3 ≤ y ≤ 0}
E|OJHVLQGHNLHNVWUHPXPQRNWDODUÕQÕEXOXQX]
Çözüm.
fx = 2x + y − 6 = 0
fy = x + 2y
=0
denklem sistemi çözülürse (4 ,-2) elde edilir. O halde, A(4, - NULWLN QRNWDGÕU ùLPGL GH D
E|OJHVLQLQVÕQÕUODUÕQÕLQFHOH\HOLP
i) x
GR÷UXVX]HULQGH
f ( x, y ) = y 2 + 2
ROXSELUNULWLNQRNWDGÕU
ii) x
GR÷UXVX]HULQGH
f ( x, y ) = y 2 + 5 y − 3
olup, (5, -ELUNULWLNQRNWDGÕU
iii) y
GR÷UXVX]HULQGH
f ( x, y ) = x 2 − 6 x + 2
oluSELUNULWLNQRNWDGÕU
iv) y=-GR÷UXVX]HULQGH
151
f ( x, y ) = x 2 − 9 x + 11
olup, (9/2, -ELUNULWLNQRNWDGÕU2KDOGHELUWDEORKDOLQGHJ|VWHUHFHNROXUVDN
x
y
z=f(x,y)
$oÕNODPD
1
0
0
2
Mutlak Maksimum
2
5
-5/2
-37/4
3
3
0
-7
4
9/2
-3
-37/4
5
4
-2
-10
Kritik Nokta
No
Mutlak minimum
HOGH HGHUL] %XQD J|UH IRQNVL\RQXQ PXWODN PLQLPXP QRNWDVÕ GH÷HUL
-2) ve mutlak minimum
- LNHQ PXWODN PDNVLPXP QRNWDVÕ YH PXWODN PDNVLPXP GH÷HUL GH ¶GLU
)RQNVL\RQXQWDQÕPNPHVLYHNULWLNQRNWDODUÕùHNLO¶GHJ|VWHULOPLúWLU
3.16. En Küçük Kareler Yöntemi
dRN GH÷LúNHQOL IRQNVL\RQODUÕQ HNVWUHPXP QRNWDODUÕ \|QWHPLQGHQ \DUDUODQDUDN ELU GHQH\
VRQXFXQGD HOGH HGLOHQ J|]OHP QRNWDODUÕQD HQ L\L X\XP VD÷OD\DQ
y = f ( x) fonksiyonu
belirlenebilir. Burada y = f ( x) IRQNVL\RQX \DSÕODQ GHQH÷LQ GD\DQGÕ÷Õ NXUDP WDUDIÕQGDQ
|QJ|UOHQ WUGHQ ELU H÷UL GR÷UX SDUDERO SHUL\RGLN H÷UL YE J|VWHULU %L] EXUDGD HQ EDVLW
olarak y = f ( x) = ax + b úHNOLQGHNLOLQHHUIRQNVL\RQXGLNNDWHDODFD÷Õ]%HQ]HULúOHPOHUGL÷HU
WUGHQ IRQNVL\RQODUD GD X\JXODQDELOLU ùHNLO ¶GH ELU GHQH\ VRQXFXQGD HOGH HGLOHQ J|]OHP
QRNWDODUÕ
LOH
EX
QRNWDODUD
HQ
L\L
X\XP
VD÷OD\DQ GR÷UX WHPVLOL RODUDN J|VWHULOPLúWLU
$PDFÕPÕ]
HOGH
E|\OHVL
J|]OHP
QRNWDODUÕ
YDUNHQ EXQODUD HQ L\L X\P VD÷OD\DQ GR÷UXQXQ
GHQNOHPLQL EXOPDNWÕU %XQXQ LoLQ
NDWVD\ÕODUÕ
NDUúÕOÕN
|÷OH
JHOHQ
QRNWDODUÕQÕQ
EHOLUOHQPHOLGLU
yi
VDSPDODUÕQÕQ WRSODPÕ PLQLPXP
n
NL
(i=1,2,...,n)
y = f ( x) = ax + b a ve b
xi’lere
gözlem
GR÷UXVXQGDQ
olsun. Burada
J|]OHP QRNWDODUÕQÕQ VD\ÕVÕGÕU $QFDN
yi
J|]OHP QRNWDODUÕQÕQ V|] NRQXVX GR÷UXGDQ
VDSPDODUÕ SR]LWLI \D GD QHJDWLI RODELOHFH÷LQGHQ EXQXQ \HULQH VDSPDODUÕQ NDUHOHULQLQ
152
WRSODPÕQÕPLQLPXP\DSPDNGDKDGR÷UXRODFDNWÕU2KDOGHSUREOHPLQo|]P
ü olarak, a ve b
cinsinden iki bilinmiyenli
n
f (a, b) = ∑ [ yi − axi − b ]
2
(1)
i =1
IRQNVL\RQXQXPLQLPXPQRNWDVÕDUDúWÕUÕOPDOÕGÕU%XQDJ|UH
J|UH ELULQFL WUHYOHULQLQ VÕIÕU ROGX÷X \HUOHU DUDQDQ
f (a, b) fonksiyonunun a ve b’ye
a ve b GH÷HUOHULQL YH GROD\ÕVÕ\OH DUDQDQ
GR÷UXGHQNOHPLQLYHUHFHNWLU%|\OHFHLIDGHVLQLQ
a ve b¶\HJ|UHWUHYOHULDOÕQÕUVD
n

f a = −2∑ xi ( yi − axi − b) = 0 

i =1

n
f b = −2∑ ( yi − axi − b) = 0 

i =1
(2)
ve gerekli düzenlemeleri yaparak da
n
n
n

a ∑ xi 2 + b∑ xi = ∑ xi yi 

i =1
i =1
i =1

n
n
a ∑ xi + bn = ∑ yi 

i =1
i =1
(3)
denklem sistemini elde ederiz.
n

f aa = 2∑ xi 2 ≥ 0, 
i =1

f bb = 2n > 0


n

f ab = 2∑ xi

i =1
(4)
olup, buradan da diskiriminant için
2
∆ = f ab
2
n
 n 
− f aa f bb = 4  ∑ xi  − 4n∑ xi 2
 i =1 
i =1
(5)
ifadesini elde ederiz.
2
n
 n 
<
x
n
xi 2
∑
∑ i 
 i =1 
i =1
(6)
HúLWVL]OL÷LQLQ YDUOÕ÷Õ ELOLQGL÷LQGHQ VRQXo
sisteminden bulunacak (a,b
QRNWDVÕQÕQ
olarak ∆ < 0 elde ederiz ki, bu da bize, (3)
f ( a, b) ROGX÷XQXJ|VWHULU
153
IRQNVL\RQXQXQ ELU PLQLPXP GH÷HUL
Örnek 1.
$úD÷ÕGD ELU GHQH\ VRQXFXQGD HOGH HGLOHQ DGHW J|]OHP QRNWDVÕQD LOLúNLQ
|OoP GH÷HUOHUL YHULOPLúWLU
x ile y DUDVÕQGD y=ax+b úHNOLQGH GR÷UXVDO ELU LOLúNL EHNOHQGL÷LQH
J|UHJ|]OHPQRNWDODUÕQÕHQL\LWHPVLOHGHQGR÷UXGHQNOHPLQLEXOXQX]
Ölçüm
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
3.50
6.50
8.20
8.50
12.08
13.40
17.60
18.00
20.90
21.92
Çözüm*|]OHPYHULOHULQLNXOODQDUDNDúD÷ÕGDNLWDEOR\XROXúWXUDOÕP
Ölçüm
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
x2
xy
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
3.50
6.50
8.20
8.50
12.08
13.40
17.60
18.00
20.90
21.92
0.00
1.00
4.00
9.00
16.00
25.00
36.00
49.00
64.00
81.00
0.00
6.50
16.40
25.50
48.32
67.00
105.60
125.99
167.20
197.28
n
∑ xi = 45
i =1
n
∑ yi = 130.60
i =1
n
∑ xi 2 = 285.00
i =1
Buna göre, (3) formüllerinden
285a + 45b = 759.75
45a + 10b = 130.6
denklem sistemi ve çözümünden de a=2.09 ve
E
x ve y
HOGHHGLOLU2KDOGHDUDQDQGR÷UXGHQNOHPL
y = 2.09 x + 3.65
ROXS J|]OHP QRNWDODUÕ LOH ELUOLNWH ùHNLO ¶
J|VWHULOPLúWLU
154
de
n
∑x y
i
i =1
i
= 759.75
3.17. Skalar ve Vektör Alanlar
7DQÕP . D ⊂ R n E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ f skalar fonksiyonu, D bölgesinin her bir ( x1 , x2 ,..., xn )
f ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ R VD\ÕVÕQÕ NDUúÕOÕN JHWLULU %|\OHFH D WDQÕP NPHVL LOH f(D)
QRNWDVÕQD ELU
GH÷HUOHUNPHVLQHELUOLNWH
D bölgesinde, f fonksiyonu ile belirlenen bir skalar alan denir.
7DQÕPD J|UH |UQH÷LQ \HU\]QGHNL FR÷UDILN QRNWDODUÕQ UDNÕPODUÕ \D GD |UQH÷LQ JQHúLQ
LoHULVLQGHNLKHUKDQJLELUQRNWDQÕQ\R÷XQOX÷X\DGDVÕFDNOÕ÷ÕúHNOLQGHWDQÕPODQDQIRQNVL\RQODU
ELUHU VNDODU DODQ WDQÕPODUODU %XQD J|UH |UQH÷LQ NRQXP YHNW|U
LWLEDUHQ |OoOPHN ]HUH JQHúLQ LoLQGHNL VÕFDNOÕN DODQÕQÕ G
r JQHúLQ PHUNH]LQGHQ
G
T (r ) skalar fonksiyonu ile
G
gösterirsek, T (r ) = c (c VDELW GHQNOHPLQL VD÷OD\DQ \]H\H VÕFDNOÕNOÕ÷Õ c olan “Hú VÕFDNOÕN
yüzeyi´ GHQLU %HQ]HU RODUDN 5 \DUÕoDSOÕ ELU \ÕOGÕ]ÕQ GÕúÕQGDNL QRNWDODUÕQ NRQXP YHNW|UOHULQL
G
G
G
yine r ( r = r > R LOH J|VWHULUVHN YH \ÕOGÕ]ÕQ GÕú NÕVPÕQGDNL SRWDQVL\HO DODQÕQÕ GD ψ (r )
VNDODU IRQNVL\RQX LOH WDQÕPODUVDN EX GXUXPGD GD
G
ψ (r ) = c (c VDELW GHQNOHPLQL VD÷OD\DQ
yüzeylere “HúSRWDQVL\HO\]H\ler” denir.
G
7DQÕP . D ⊂ R n E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ YHNW|U GH÷HUOL F fonksiyonu, D bölgesinin her bir
G
( x1 , x2 ,..., xn ) QRNWDVÕQD F ( x1 , x2 ,..., xn ) úHNOLQGH ELU YHNW|U NDUúÕOÕN JHWLULU D tanÕP NPHVL
G
G
ile F ( D ) GH÷HUOHU NPHVLQH ELUOLNWH D bölgesinde, F fonksiyonu ile belirlenen bir vektör
DODQÕGHQLU
%LU YHNW|U DODQÕQÕ EHOLUWPHN LoLQ V|] NRQXVX E|OJHGH WDQÕPOÕ YHNW|U GH÷HUOL IRQNVL\RQXQ
ifaGHVLQL
YHUPHN \HWHUOLGLU %LU YHNW|U DODQÕ |UQHN ELU NDo YHNW|U LOH úHPDWLN RODUDN
G
J|VWHULOHELOLU(÷HU|]HORODUDNoER\XWOXX]D\LOHLOJLOHQLUVHN
F
YHNW|UDODQÕEXX]D\ÕQKHU
bir (x, y, zQRNWDVÕQD
G
G
G
G
F ( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k
(1)
úHNOLQGHELUYHNW|UNDUúÕOÕNJHWLULU
Örnek 1. Yerin merkezini orijin kabul eden bir dik koordinat sisteminde, herhangi bir (x, y,
zQRNWDVÕQGDNLoHNLPNXYYHWLQL
G
G
G
G
G
xi + yj + zk
GM r
=− 2
F ( x, y , z ) = −GM 2
2
2 3/ 2
(x + y + z )
r r
155
(2)
G
G
G
G
formülü ile verebiliriz. Burada, r = xi + yj + zk ve r, sözkonusu (x, y, z QRNWDVÕQÕQ NRQXP
YHNW|U YH RULMLQH RODQ X]DNOÕ÷Õ LNHQ
( G = 6.668 ×10−8 cgs, M=5.97 ×1027 g ).
(2)
fonksiyonu,
yer
merkezli
bir
G, evrensel çekim sabiti ve M de yerin kütlesidir
Böylece,
koordinat
VLVWHPLQGHELUYHNW|UDODQÕWDQÕPODU%XYHNW|UDODQÕ
ùHNLO ¶GH úHPDWLN RODUDN J|VWHULOPLúWLU ùHNLOGH
EWQ YHNW|UOHULQ \HULQ PHUNH]LQH GR÷UX \|QHOPLú
ROGXNODUÕQD YH PHUNH]GHQ X]DNODúWÕNoD YHNW|UOHULQ
úLGGHWOHULQLQNoOG÷QHGLNNDWHGLQL]
G
G
Örnek 2. F ( x, y , z ) = yj
fonksiyonu, y-eksenine
SDUDOHOELUYHNW|UDODQÕWDQÕPODUùHNLO%XDODQGDNL
vektörler daima y-eksenine paraleldirler ve y ile
YHULOHQGH÷LúNHQúLGGHWHVDKLSWLUOHU
f(x,y,z
ELULQFL PHUWHEHGHQ VUHNOL NÕVPL WUHYOHUH V
ahip bir fonksiyon olmak üzere, f
fonksiyonunun gradiyentini
∇f = gradf =
∂f G ∂f G ∂f G
i+
j+ k
∂x
∂y
∂z
(3)
úHNOLQGH WDQÕPODPÕúWÕN ùLPGL GH VNDODU YH YHNW|UHO DODQODU LoLQ GL÷HU ED]Õ WDQÕPODPDODU
verelim.
G
7DQÕP 'LYHUMDQV
G
G
G
. F ( x, y , z ) = P( x, y, z )i + Q ( x, y , z ) j + R ( x, y , z )k vekt|U DODQÕ YHULOVLQ
ve P, Q ve R VNDODU IRQNVL\RQODUÕ VÕUDVÕ\OD x, y, ve z¶\H J|UH VUHNOL NÕVPL WUHYOHUH VDKLS
olsun. Bu durumda
G
G
divF = ∇F =
∂P ∂Q ∂R
+
+
∂x ∂y ∂z
(4)
156
G
VNDODU GH÷HULQH
F ( x, y , z ) YHNW|U GH÷HUOL IRQNVL\RQXQXQ ³diverjDQVÕ´ GHQLU 'LYHUMDQVÕ VÕIÕU
RODQYHNW|UDODQODUÕQD³VHUEHVWGLYHUMDQVOÕDODQODU´GHQLU
G
7DQÕP
G
G
G
5 (Rotasyonel). F ( x, y , z ) = P( x, y, z )i + Q ( x, y , z ) j + R ( x, y , z )k
YHNW|UDODQÕYHULOVLQ
ve P, Q ve R VNDODU IRQNVL\RQODUÕ ELULQFL PHUWHEHGHQ VUHNOL NÕVPL WUHYOHUH VDKLS ROVXQ %u
durumda
G
G
∂
∂x
P
∂
∂y
Q
i
G
G
G
rotF = curlF = ∇ × F =
G
j
k
G
G
G
∂
= ( Ry − Qz )i + ( Pz − Rx ) j + (Qx − Py )k
∂y
R
G
YHNW|UHOGH÷HULQH
F ( x, y , z ) YHNW|UGH÷HUOLIRQNVL\RQXQXQ³rotasyoneli” ya da “curlu” denir.
G
G
G
G
Örnek 3. F ( x, y , z ) = yzi + xzj + xyk IRQNVL\RQXQXQGLYHUMDQVÕQÕYHFXUOXQXEXOXQX]
Çözüm.
G
G
divF = ∇F =
∂P ∂Q ∂R
+
+
=0
∂x ∂y ∂z
G
i
G
G
∂
curlF = ∇ × F =
∂x
yz
G
j
∂
∂y
xz
G
k
∂
=0
∂y
xy
dir.
Örnek 4dHNLPDODQÕQÕQGLYHUMDQVÕQÕQVÕIÕUROGX÷XQXJ|VWHULQL]
ÇözümdHNLPDODQÕIRQNVL\RQXQX
G
(5)
G
G
G
xi + yj + zk
F ( x, y , z ) = −GM 2
( x + y 2 + z 2 )3/ 2
G
G
G
−GMx
−GMy
−GMz
=( 2
)i + ( 2
) j +( 2
)k
2
2 3/ 2
2
2 3/ 2
2
2 3/ 2
(x + y + z )
(x + y + z )
(x + y + z )
úHNOLQGH\D]DUVDN
157
−GMx
−GMx
,
=
2
2 3/ 2
(x + y + z )
r3
−GMy
−GMy
=
Q ( x, y , z ) = 2
,
2
2 3/ 2
(x + y + z )
r3
−GMz
−GMz
R ( x, y , z ) = 2
=
2
2 3/ 2
(x + y + z )
r3
P ( x, y , z ) =
2
elde ederiz. Buradan
∂P
=
∂x
−GMr 3 + 3GMr 2 x
r6
x
2
2
r = −GMr + 3GMx
r5
ve benzer olarak
∂Q −GMr 2 + 3GMy 2
∂R −GMr 2 + 3GMz 2
ve
=
=
r5
r5
∂y
∂z
HOGHHGHUL]%|\OHFHoHNLPDODQÕQÕQGLYHUMDQVÕ
G
G
divF = ∇F =
∂P ∂Q ∂R
+
+
=
∂x ∂y ∂z
−GMr 2 + 3GMx 2 −GMr 2 + 3GMy 2 −GMr 2 + 3GMz 2
+
+
r5
r5
r5
2
2
2
GM
x + y +r
= − 3 3 + 3GM (
)
r
r5
GM
r2
= − 3 3 + 3GM ( 5 ) = 0
r
r
=
olur.
9HNW|UHODODQODUDLOLúNLQD\UÕQWÕOÕNRQXODULOHULGH³9HNW|UHO$QDOL]%|OPQGH´YHULOHFHNWLU
158
Bölüm 4
øNL .DWOÕøQWHJUDOOHU
%X E|OPQ DPDFÕ
iki NDWOÕ LQWHJUDOOHUL WDQÕPODPDN YH oHúLWOL IRQNVL\RQODUÕQ IDUNOÕ E|OJHOHU
]HULQGHNLLNLNDWOÕLQWHJUDOOHULQLKHVDSODPDNWÕU
øNL.DWOÕøQWHJUDOOHU
). z = f ( x, y ) VÕQÕUOÕ D ⊂ R 2 bölgesiQGH WDQÕPOÕ ROVXQ D
bölJHVLQL ùHNLO ¶GH J|VWHULOGL÷L JLEL x- ve y-HNVHQOHULQH SDUDOHO GR÷UXODUOD DOW E|OJHOHUH
D\ÕUDOÕP D¶QLQ GLNG|UWJHQVHO SDUoDODQÕúÕ YH elde edilen alt bölgeleri, 1’den n’ye kadar
QXPDUDODQGÕUDOÕP D E|OJHVLQLQDODQÕ A olmak üzere, D¶QLQ SDUoDODQÕúÕQGDNi i-ci alt bölgenin
*
*
DODQÕQÕ ∆A ile gösterelim. ùLPGL ( x , y ) ile i-ci alt bölge içerisindeki her hangi bir nokta\Õ
i
i
i
göstererek
7DQÕP øNL .DWOÕ øQWHJUDO
n
∑ f ( x , y )∆A
*
i
*
i
(1)
i
i =1
D’nin soQVX]SDUoDODQÕúÕLoLQ n → ∞ WRSODPÕWHN ELUVRQOX
VOLPLWLQH\DNÕQVDUVDEXOLPLWH z = f ( x, y ) fonksiyonunun, DE|OJHVLQGHNLLNLNDWOÕLQWHJUDOL
denir ve
WRSODPÕQÕROXúWXUDOÕP(÷HU
ùHNLO
∫∫
D
4.1
n
f ( x, y )dxdy = lim ∑ f ( xi* , yi* )∆Ai
n →∞
(2)
i =1
ile gösterilir.
159
Not. D E|OJHVLQLQ SDUoDODQÕúÕQGD NXOODQGÕ÷ÕPÕ] GR÷UXODU EXUDGDNL JLEL x- ve y-eksenlerine
paralel ROPDN ]RUXQGD GH÷LOGLU hVWHOLN SDUoDODQPD G|UWJHQVHO ROPDN ]RUXQGD GD GH÷LOGLU
Ancak, H÷HU, dörtgensel parçalanma uygulanacaksa, matemaWLN DoÕGDQ E\N NROD\OÕN
VD÷OD\DFD÷ÕQGDQ x- ve y-HNVHQOHULQH SDUDOHO GR÷UXODUÕQ NXOODQÕOPDVÕ WHUFLK HGLOLU gUQH÷LQ
uoODNNRRUGLQDWODUNXOODQÕOGÕ÷ÕQGDLVHparçalama için, sabit r ve sabit θH÷UileriNXOODQÕOÕU
4.2øNL.DWOÕøQWHJUDOin Geometrik AQODPÕ
z = f ( x, y ) sürekli fonksiyonunun, i-FL DOW E|OJH LoHULVLQGHNL HQ NoN GH÷HUL mi , en büyük
GH÷HULGH M olsun. Bu durumda,
i
mi ∆Ai ≤ f ( xi* , yi* ) ∆Ai ≤ M i ∆Ai
(1)
,
HúLWVL]OL÷LQL \D]DELOLUL] (úLWVL]OL÷LQ VRO YH VD÷ WDUDIODUÕ WDEDQ DODQODUÕ
∆Ai ve yükseklikleri,
mi ve M i RODQ GLN SUL]PDODUÕQ KDFLPOHULQH HúLWWLU (1 HúLWVL]OL÷L GLNNDWH DOÕQÕUVD
önceki kesimdeki WRSODPÕQÕ
VÕUDVÕ\OD
n
n
n
i =1
i =1
i =1
∑ mi ∆Ai ≤ ∑ f ( xi* , yi* )∆Ai ≤ ∑ M i ∆Ai
(2)
. D E|OJHVLQLQ VRQVX] SDUoDODQÕúÕ
durumunda, ∆Ai DODQODUÕ VÕIÕUD \DNODúÕUNHQ z = f ( x, y ) fonksiyonunun, her bir alt bölgedeki
úHNOLQGH DOWWDQ YH VWWHQ VÕQÕUOD\DELOLUL] EN] ùHNLO HQ NoN YH HQ E\N GH÷HUOHUL GH GR÷DO RODUDN ELUELUOHULQH \DNODúDFDNWÕU 'ROD\ÕVÕ\OH
n
n
∑ m ∆A
i
ve
i
i =1
∑ M ∆A
i
i WRSODPODUÕD\QÕELUOLPLWH\DNÕQVD\DFDNYHEXOLPLW
inGH÷HUL de, WDEDQÕ
i =1
D bölgesi olan dik silindirin, z = f ( x, y ) \]H\L LOH VWWHQVÕQÕUODQPDVÕ\OD HOGHHGLOHQ FLVPLQ
KDFPL RODFDNWÕU(÷HU, bu hacmi V ile gösterirsek, (2HúLWVL]OL÷LQGHQ n → ∞ için limite geçer
YHVDQGYLoNXUDOÕQÕdikkate alÕUVDN
n
∑ f ( x , y )∆A = ∫∫ f ( x, y )dxdy = lim = V
*
i
i =1
*
i
i
D
(3)
n →∞
yazabiliriz. Buna göre, z = f ( x, y ) fonksiyonunun, bir D E|OJHVL ]HULQGHQ DOÕQDQ LNL NDWOÕ
integraliWDEDQÕ bu D bölgesi olan YHWDYDQÕda z = f ( x, y ) yüzeyi ile belirlenen dik silindirin
hacPLQHHúLWWLU
7DQÕP .
∫∫ f ( x, y)dxdy
úHNOLQGH YHULOHQ LNL NDWOÕ LQWHJUDOGH
x ve y’ye “integrasyon
D
GH÷LúNHQOHUL”, f ( x, y ) ’ye “integrand” ve D bölgesine de “integrasyon bölgesi” denir.
160
Teorem 2. (Birinci Fubini Teoremi). z = f ( x, y ) fonksiyonu,
D = {( x, y ) a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } ⊂ R 2
E|OJHVLQGHWDQÕPOÕYHVUHNOLROVXQ%XGXUXPGD
∫∫ f ( x, y )dxdy
LNLNDWOÕLQWHJUDOL
D
∫∫
D
d b
b d




f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ f ( x, y )dx dy = ∫  ∫ f ( x, y )dy dx
c a
a c


(4)
,
úHNOLQGHWHNNDWOÕ DUGÕúÕNLQWHJUDOOHUELoLPLQGHKHVDSODQDELOLU
øVSDW
.
∫∫ f ( x, y )dxdy
LQWHJUDOL WDEDQÕ
x=a, x=b, y=c ve y=d
GR÷UXODUÕ LOH EHOLUOHQHQ
D
GLNG|UWJHQ YH WDYDQÕ GD
z = f ( x, y ) yüzeyi ile belirlenen cismin
KDFPL RODFDNWÕU %X KDF
mi,
ekil 2’deki JLEL WDEDQÕQÕQ VRQVX] SDUoDODQPDVÕ\OD HOGH HGLOHQ GLN SUL]PD úHNOLQGHNL KDFLP
elemanODUÕQÕQWRSODPÕRODUDNGúQbiliriz.
ù
ùHNLOGHNL
KLMNE|OJHVLQLQDODQÕ
d
A( KLMN ) = ∫ f ( x, y )dy
(5)
c
ve KLMNPQRS cisminin hacmi de
b d


V = H ( KLMNPQRS ) = ∫  ∫ f ( x, y )dy dx
a c

olur. Bu sefer KPQLE|OJHVLQLGLNNDWHDOÕUVDN
161
(6)
b
A( KPQL) = ∫ f ( x, y )dx
(7)
a
ve KLMNPQRS cisminin hacmi de
d b


V = H ( KLMNPQRS ) = ∫  ∫ f ( x, y )dx dy
c a

(8)
ROXU6RQXoRODUDNLNLNDWOÕLQWHJUDOLQKHVDSODQPDVÕLoLQ
d b
b d




V = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ f ( x, y )dx dy = ∫  ∫ f ( x, y )dy dx
D
c a
a c


(9)
úHNOLQGHDUGÕúÕNLQWHJUDOIRUPOOHULQLHOGHHGHUL]
Not øNL NDWOÕ LQWHJUDOLQ DUGÕúÕN LQWHJUDOOHU LOH KHVDSODQPDVÕ LoLQ WDQÕP NPHVLQLQ PXWODND
GLNG|UWJHQE|OJHROPDVÕ]RUXQOXGH÷LOGLUùLPGLEXQXQODLOJLOi teoremi verelim.
Teorem 3 øNLQFL )XELQL 7HRUHPL u ( x) ve v( x) , [a, b ] NDSDOÕ DUDOÕ÷ÕQGD WDQÕPOÕ YH VUHNOL
fonksiyonlar ve z = f ( x, y ) de,
D = {( x, y ) a ≤ x ≤ b, u ( x ) ≤ y ≤ v ( x)} ⊂ R 2
basit
GúH\ E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ YH VUHNOL IRQNVL\RQ ROVXQ %X GXUXPGD
∫∫ f ( x, y )dxdy
iki
D
NDWOÕLQWHJUDOL
∫∫
D
b v(x)

f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ f ( x, y )dy dx

a 
u ( x )
(10)
úHNOLQGHWHNNDWOÕDUGÕúÕNLQWHJUDOELoLPLQGHKHVDSODQDELOLU
. Burada, D basit bölgesi ile z = f ( x, y )
\]H\LQLQ
WDQÕPODGÕ÷Õ
FLVPLQ
xy-düzlemindeki
WDEDQÕQÕQ ùHNLO 4¶GH J|UOG÷ JLEL DOW YH VW
NHQDUODUÕ VÕUDVÕ\OD u ( x ) ve v ( x ) IRQNVL\RQODUÕ LOH
belirlenen ve y-HNVHQLQH SDUDOHO RODQ úHULWOHUH
E|OQG÷ YDUVD\ÕOÕU %X úHULWOHU ile
z = f ( x, y )
øVSDW
\]H\LQLQ EHOLUOHGL÷L KDFLP HOHPDQODUÕQÕQ WRSODPÕ
aranan hacmi verecektir.
z = f ( x, y ) fonksiyonu,
%HQ]HU
RODUDN
162
H÷HU
D = {( x, y ) u ( y ) ≤ x ≤ v ( y ), c ≤ y ≤ d } ⊂ R 2
EDVLW\DWD\E|OJHVLQGHWDQÕPODQPÕúVDLNLNDWOÕ
∫∫
D
integral
v( y)

f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ f ( x, y )dx dy
u ( y )
c 

d
úHNOLQGH KHVDSODQDELOLU %XUDGD GD
D
KDFPLQ EX úHULWOHU LOH
hacim elemDQODUÕQÕQ
(12)
, x4.4) ve toplam
WDQÕP NPHVL
HNVHQLQH SDUDOHO úHULWOHUH E|OQPú ùHNLO
z = f ( x, y ) \]H\LQLQ EHOLUOHGL÷L
WRSODPÕQD HúLW ROGX÷X dikkate
DOÕQPÕúWÕU
Örnek 1. z = xy fonksiyonunun,
x


D = ( x, y ) 1 ≤ x ≤ 3, ≤ y ≤ 2 x  ⊂ R 2
2


EDVLWGúH\E|OJHVLQGHNLLNLNDWOÕLQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. D E|OJHVL ùHNLO .5¶GH J|VWHULOGL÷L JLEL ELU
GúH\ EDVLW E|OJH olup, y-HNVHQLQH SDUDOHO úHULWOHUGHQ
ROXúWX÷XGúQOUVH
∫∫
D
(11)
3 2x


f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ xydy dx
1 x/2

\D]DELOLUL]gQFHLoWHNLLQWHJUDOLDOÕUVDN
3 2x
3


1
2
=
=
xydxdy
xydy
dx
∫∫D
∫1  x∫/ 2  2 ∫1 xy
3
=
dx
x/2
2
1
x
x (4 x 2 − )dx
∫
21
4
3
=
2x
1 15 x3
2
∫
1
)
4
dx =
15
8
3
∫ x dx
3
1
elde ederiz. Buradan da
163
∫∫ xydxdy =
D
=
3
15 3
15 4 3
x dx =
x
∫
8 1
32 1
15 4 4 15
75
(3 − 1 ) = × 80 =
32
32
2
sonucunu elde ederiz.
Örnek 2. z = e x + y fonksiyonunun,
D = {( x, y ) y ≤ x ≤ 2 y , 0 ≤ y ≤ 2} ⊂ R 2
EDVLW\DWD\E|OJHVLQGHNLLNLNDWOÕLQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. DE|OJHVLEDVLW\DWD\E|OJHRODUDNWDQÕPODQGÕ÷ÕQGDQ
2 2 y

x+ y
x+ y
e
dxdy
=
∫∫D
∫0  ∫y e dx dy


yazabiliriz. Buna göre
∫∫ e
2
2 y x+ y 
dxdy = ∫  ∫ e dx dy = ∫ e x + y
y
0 
0

2
x+ y
D
2y
y
dy
2
2
1
1
= ∫ (e3 y − e 2 y )dy = ( e3 y − e2 y )
3
2
0
0
1
1
1 1
= ( e6 − e 4 ) − ( − )
3
2
3 2
1
1
1
= e6 − e 4 +
3
2
6
sonucunu elde ederiz.
Örnek 3. D bölgesi, y = x 2 parabolü ile y = 2 x GR÷UXVXDUDVÕQGDNDODQE|OJHROGX÷XQDJ|UH,
z = 2 x + y − 1 fonksiyonunun D bölgesindeki LNLNDWOÕLQWHJUDOLQL basit yatay bölge formülü ile
KHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. y = x 2 parabolü ile y = 2 x GR÷UXVXQXQ NHVLP QRNWDODUÕ (0,0) ve (2,4)’tür. D
E|OJHVLQLùHNLO4¶GDJ|UOG÷JLELELUEDVLW\DWD\E|OJHRODUDNGLNNDWHDOÕUVDN
164
4  y

x
y
dxdy
x
y
dx
dy
(2
1)
(2
1)
+
−
=
+
−


∫∫D
∫0  y∫/ 2



yazabiliriz. Buna göre
4
2
∫∫ (2 x + y − 1)dxdy = ∫ ( x + xy − x)
D
0
y
y/2
dy
4

y2 y2 y 
= ∫  ( y + y 3/ 2 − y1/ 2 ) − ( +
− ) dy
4
2 2 
0 
4
 3y2 3y

= ∫−
+
+ y 3/ 2 − y1/ 2 dy
4
2

0
4
y 3 3 y 2 2 y 5/ 2 2 y 3/ 2
)
= (− +
+
−
4
4
5
3 0
43 3 × 4 2 2 × 45 / 2 2 × 43/ 2
+
+
−
4
4
5
3
64 16
= −16 + 12 + −
5 3
52
=
15
=−
VRQXFXQD XODúÕUÕ] (÷HU
, D bölgesi,
ùHNLO
4.7’deki gibi bLU EDVLW GúH\ E|OJH RODUDN VHoLOirse,
bu durumda da
2 2x


x
y
dxdy
(2
+
−
1)
=
∫∫D
∫0  ∫2 (2 x + y − 1)dy dx
x

2
2x
y2
= ∫ (2 xy +
− y ) dx
2
0
x2
2


x4
= ∫  (4 x 2 + 2 x 2 − 2 x) − (2 x3 + − x 2 ) dx
2

0 
2
= ∫ (−
0
x4
− 2 x 3 + 7 x 2 − 2 x)dx
2
2
x5 x 4 7 x3
=− − +
− x2
10 2
3
0
25 24 7 × 23
− +
− 22
10 2
3
16 56
= − + − 12
5 3
52
=
15
=−
165
elde edilirdi. Bu örnekten GH J|UOG÷ JLEL øNL NDWOÕ ELU LQWHJUDOLQ KHVDSODQPDVÕ
D WDQÕP NPHVLni, integral hesaEÕ daha kolay yapPDN DPDFÕ\ODGúH\
ya da yatay basit bölge olarak alabiliriz.
D\QÕ VRQXo
VÕUDVÕQGD LQWHJUDQGÕQ
Teorem 4. Di (i = 1, 2,..., n) ’ler,
küme olan bölgeler ve
VÕQÕU oL]JLOHUL KDULo ROPDN ]HUH LNLúHU LNLúHU DUDNHVLWOHUL ERú
n
D = *Di
(13)
i =1
olmak ]HUHH÷HU z = f ( x, y ) fonksiyonu, Di (i = 1, 2,..., n) alt bölgelerinin her birindHWDQÕPOÕ
ve sürekli ise
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdy + ∫∫ f ( x, y )dxdy + ... + ∫∫ f ( x, y )dxdy
D
D1
D2
(14)
Dn
olur.
øVSDW
.
∫∫ f ( x, y)dxdy
D
integralinin, D bölgesi ile f ( x, y ) \]H\LDUDVÕQGDNDODQFLVPLQKDFPLROGX÷XGúQOUVHEX
hacmin, (14) deki gibi, arakesitlerL ERú NPH RODQ n WDQH FLVPLQ KDFLPOHUL WRSODPÕ úHNOLQGH
\D]ÕODELOHFH÷LNROD\FDDQODúÕOÕU
7HRUHP JHUH÷LQFH ELU LNL NDWOÕ LQWHJUDO KHVDSODQÕUNHQ LQWHJUDQG E|OJHVL DUDNHVLWOHUL ERú
NPH RODQ VRQOX VD\ÕGD EDVLW E|OJHQLQ ELUOHúLPL RODUDN GúQOHELOLU ùLPGL EXQD ELU |UQHN
verelim.
Örnek 4. DWDQÕP E|OJHVL y = 2 x y = − x + 6 GR÷UXODUÕLOH x
olmak üzere
∫∫ xydxdy
D
LQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. ùHNLO4.8’de göUOG÷]HUH
D = D1 ∪ D2 ve D1 ∩ D2 = ∅ ROGX÷XQGDQ
166
GR÷UXVXQXQ EHOLUOHGL÷LE|OJH
∫∫ xydxdy = ∫∫ xydxdy + ∫∫ xydxdy
D
D1
D2
olur. Her iki bölge de,úHNLOGHJ|VWHULOGL÷LJLEL,EDVLWGúH\E|OJHOHURODUDNGLNNDWHDOÕQÕUVD
2 2x
6 − x +6




xydxdy
xydy
dx
xydy
=
+



dx
∫∫D
∫0  ∫0
∫
∫
2  0


2x
2
− x +6
6
xy 2
xy 2
= ∫(
) dx + ∫ (
)
2 0
2 0
0
2
2
6
0
2
= 2 ∫ x3 dx + ∫
x(− x + 6)2
dx
2
4 2
x
=
2
dx
6
1 x4
+ ( − 4 x3 + 3 x 2 )
2 4
0
2

1  64
24
= 8 +  ( − 4 × 63 + 3 × 6 2 ) − ( − 4 × 2 3 + 3 × 2 2 ) 
2 4
4

1
= 8 + (−432 − 16) = −216
2
sonucunu elde ederiz.
øNL.DWOÕøQWHJUDOOHULQ'L÷HUg]HOOLNOHUL
i) f ( x, y ) ve g ( x, y ) ’ler, D E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ YH VUHNOL LNL IRQNVL\RQ YH h ile k keyfi iki
sabit olmak üzere
∫∫ [hf ( x, y) + kg ( x, y)] dxdy = h∫∫ f ( x, y)dxdy + k ∫∫ g ( x, y)dxdy
D
D
(1)
D
olur.
ii)(÷HU'E|OJHVLQLQKHU\HULQGH f ( x, y ) ≤ g ( x, y ) ise
∫∫ f ( x, y )dxdy ≤ ∫∫ g ( x, y )dxdy
D
(2)
D
HúLWVL]OL÷LVD÷ODQÕU
iii) (øNL .DWOÕ øQWHJUDO KHVDEÕQ RUWDODPD GH÷HU WHRUHPL). f ( x, y ) fonksiyonunun, D
bölgesindeki en NoNYHHQE\NGH÷HUOHULVÕUDVÕ\ODm ve M ve DE|OJHVLQLQDODQÕA olmak
üzere,
mA < ∫∫ f ( x, y )dxdy < MA
(3)
D
167
ve f ( x, y ) VUHNOL
( x0 , y0 ) ∈ D QRNWDVÕEXOXQDELOLUNL, bu nokta için
HúLWVL]OLNOHUL \D]ÕODELOHFH÷LQGHQ
ELU IRQNVL\RQ ROGX÷XQGDQ |÷OH ELU
∫∫ f ( x, y )dxdy = f ( x , y ) A
(4)
1
f ( x, y )dxdy
A ∫∫
D
(5)
0
0
D
ya da
f ( x0 , y0 ) =
, f ( x0 , y0 ) ’nin
\D]ÕODELOLU%XUDGD
m < f ( x0 , y0 ) < M
(6)
HúLWVL]OL÷LQL VD÷OD\DQ ELU VD\Õ ROGX÷XQD GL
kkat edilmelidir. (5) ile verilen f ( x0 , y0 ) GH÷HULQH
f ( x, y ) fonksiyonunun, DE|OJHVLQGHNLRUWDODPDGH÷HULGHQLU
iv) f ( x, y ) , DE|OJHVLQGHWDQÕPOÕYHVUHNOLELr fonksiyon olmak üzere
∫∫ f ( x, y )dxdy ≤ ∫∫
D
f ( x, y ) dxdy
(7)
D
.
HúLWVL]OL÷LYDUGÕU
v) DE|OJHVLQLQDODQÕA ise, f ( x, y ) = 1 DOÕQarak,
A = ∫∫ dxdy
(8)
D
elde edilir.
Örnek 1. f ( x, y ) = x 2 + y 2 fonksiyonunun, x = 0, x = 2, y = 0, y = 1 belirlenen DE|OJHVL]HULQGHQRUWDODPDVÕQÕEXOXQX]
GR÷UXODUÕ
ile
Çözüm. ( x0 , y0 ) ∈ D olmak üzere, f ( x, y ) = x 2 + y 2 fonksiyonunun, söz konusu bölgedeki
RUWDOD GH÷HUL f ( x , y ) olsun. Bu durumda, LNL NDWOÕ LQWHJUDO KHVDEÕQ RUWDODma GH÷HU WHRUHPL
0
0
JHUH÷LQFH
f ( x0 , y0 ) =
1
f ( x, y )dxdy
A ∫∫
D
yazabiliriz. DE|OJHVLQLQDODQÕ
168
A = 2 br 2
ROGX÷XQDJ|UH
1 2

1
1 
f ( x0 , y0 ) = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ ( x 2 + y 2 )dx dy
AD
2 0 0

2
1
=
1
1 x3
1 8
( + xy 2 ) dy = ∫ ( + 2 y 2 )dy
∫
20 3
20 3
0
1
1 8 y 2 y3
1 8 2 5
f ( x0 , y0 ) = ( +
) = ( + )=
2 3
3 0 6 3 3 9
elde edilir. O halde, D bölgesinde
f ( x0 , y0 ) = x0 2 + y0 2 =
5
9
r = 5 / 3 olan çemberin, D
f ( x, y ) = x 2 + y 2 fonksiyonu
E|OJHVL LoHULVLQGH NDODQ \D\Õ ]HULQGHNL QRNWDODUÕQ KHSVLQGH,
GHQNOHPLQL VD÷OD\DQ QRNWDODU
da yani, merkezi (0,0)
YH \DUÕoDSÕ
RUWDODPDGH÷HULQHVDKLSWLUYHEXGH÷HU¶GXU
Not: Bir fonksiyon, belli bir D
E|OJHVLQGHNL RUWDODPD GH÷HULQL E|OJHQLQ \DOQÕ]FD ELU
QRNWDVÕQGD DODELOHFH÷L JLEL \XNDUÕGDNL |UQHNWH ROGX÷X JLEL E|OJHQLQ ELUGHQ
çok noktaVÕQGD
da alabilir.
Örnek 2.
ùHNLO
4.9’da verilen D
E|OJHVLQLQ DODQÕQÕ
KHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. Önce GR÷UXQXQGHQNOHPLQLEXODOÕP
x y
+ =1⇒ y = x + 2 .
−2 2
ùLPGLGHSDUDEROLOHGR÷UXQXQNHVLPQRNWDODUÕQÕEXODOÕP
3DUDEROYHGR÷UXIRQNVL\RQODUÕQÕHúLWOHUVHN
x 2 = x + 2 ⇒ x 2 − x − 2 = 0 ⇒ ( x + 1)( x − 2) = 0
⇒ x1 = −1, x2 = 2
elde ederiz. O halde,
NHVLP QRNWDODUÕ VÕUDVÕ\OD
E|OJHRODUDNGLNNDWHDOÕUVDN
A(-1, 1) ve (2,4)’dU %XQD J|UH EDVLW GúH\
DE|OJHVLQLQDODQÕ
169
2
2
 x+2 
x+2
A = ∫∫ dxdy = ∫  ∫ dy  dx = ∫ y x 2 dx = ∫ ( x + 2 − x 2 )dx
D
−1 
−1
−1
 x2 
2
x2
x3
= + 2x −
2
3
2
=(
−1
22
23
(−1) 2
(−1)3
7
)=
+ 2× 2 − ) − (
+ 2 × (−1) −
2
3
2
3
2
olur.
4.4øNL.DWOÕøQWHJUDOOHUGH'H÷LúNHQ'H÷LúWLULOPHVL%|OJH'|QúPOHUL
uv-düzleminde bir B bölgesinin ùHNLO 4.10D¶GD J|VWHULOGL÷L JLEL koordinat eksenlerine
SDUDOHOGR÷UXODUODVRQVX]SDUoDODQÕúÕ ile bu SDUoDODQÕúÕQELU K ′L′M ′N ′ DODQHOHPDQÕQÕ GLNNDWH
DODOÕPuv-düzleminden, xy-dü]OHPLQHELUE|OJHG|QúP
 x = x(u , v )
T ≡
 y = y (u , v)
(1)
uv-düzlemindeki bir B bölgesi, T G|QúP LOH xy′
düzlemindeki bir D bölgesine ve K L′M ′N ′ alan elemDQÕGDKLMNDODQHOHPDQÕQDG|QúVQ
ùHNLO 4.10(b)’de, K QRNWDVÕQÕQ NRRUGLQDWODUÕ K ( x, y ) = K ( x (u , v ), y (u , v )) olsun. Bu durumda,
G|QúP IRUPOOHUL LOH YHULOVLQ
SDUoDODQÕúÕQ VRQVX] ROPDVÕ QHGHQL\OH LNLQFL PHUWHEHGHQ WUHYOHUL LoHUHQ WHULPOHUL LKPDO
edersek, L, ve N
QRNWDODUÕQÕQ
NRRUGLQDWODUÕQÕ
VÕUDVÕ\OD
,
L( x +
∂x
∂y
dv, y + dv )
∂v
∂v
ve
∂x
∂y
du , y + du ) úHNOLQGH \D]DELOLUL] KLMN DODQ HOHPDQÕQÕQ DODQÕ dA , KLN üçgen
∂u
∂u
DODQÕQÕQ LNL NDWÕGÕU KLN oJHQLQLQ DODQÕ N|úHOHULQLQ \XNDUÕGD YHUGL÷LPL] NRRUGLQDWODUÕ
cinsinden
N (x +
170
x
∂x
dA = x + dv
∂v
∂x
x + du
∂u
y
1
∂y
y + dv 1
∂v
∂y
y + du 1
∂u
(2)
úHNOLQGHLIDGHHGLOHELOLU'HWHUPLQDQWDoÕOÕUYHG]HQOHQLUVH
dA =
∂x ∂y ∂x ∂y
dudv = J dudv
−
∂u ∂v ∂v ∂u
(3)
elde edilir. Burada J, TG|QúPQQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕ olup
∂x
∂ ( x, y ) ∂u
=
J=
∂ (u , v ) ∂x
∂v
∂y
∂u
∂x
∂v
(4)
DE|OJHVLQGHWDQÕPOÕYHVUHNOLELU z = f ( x, y ) fonksiyonunun
LNL NDWOÕ LQWHJUDOLQL VRQVX] SDUoDODQÕúÕQ x- ve y-HNVHQOHULQH SDUDOHO GR÷UXODUOD \DSÕOGÕ÷Õ
ED÷ÕQWÕVÕ\ODWDQÕPODQÕUùLPGL
GXUXPGLNNDWHDODOÕPYHEXLQWHJUDOL
I = ∫∫ f ( x, y )dxdy
(5)
D
LOHJ|VWHUHOLP+DOEXNLùHNLO
4.10E¶GHNLSDUoDODQÕúÕGLNNDWHDOGÕ÷ÕPÕ]GDI integralini
I = ∫∫ f ( x(u , v), y (u , v))dA
(6)
B
dA ùHNLO 4.10E¶GH J|VWHULOHQ VRQVX] SDUoDODQÕúÕQ DODQ
elHPDQÕQÕQDODQÕROXSIRUPOLOHEHOOLGLU2KDOGHLIDGHVLQL6)’da yerine yazar ve (5)
úHNOLQGH \D]PDPÕ] JHUHNLU %XUDGD
LOHHúLWOL÷LQLGLNNDWHDOÕUVDNLNLNDWOÕLQWHJUDOLoLQGH÷LúNHQGH÷LúWLUPHIRUPOGHGL÷LPL]
I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(u , v), y (u , v )) J dudv
D
(7)
B
,
( x, y ) → (u , v) úHNOLQGH ELU GH÷LúNHQ GH÷LúLPL \DSÕODFDNVD dxdy yerine dudv GH÷LO J dudv
ED÷ÕQWÕVÕQÕ HOGH HGHU
iz. Sonuç olarak,
H÷HU LNL NDWOÕ ELU LQWHJUDOGH LOH YHULOGL÷L JLEL
\D]ÕOPDOÕGÕU
Örnek 1. D bölgesi, x + y = 1,
x + y = 2, x − y = 2,
171
x − y = 1 GR÷UXODUÕLOHYHULOPHNWHGLU
u = x+ y
v = x− y
G|QúPIRUPOOHULLOH
D bölgesi, uv-düzlemindeki bir BE|OJHVLQHG|QúWUOPHNWHGLU%XQD
göre
I = ∫∫ ( x − y ) 2 dxdy
D
integralini, yeni GH÷LúNHQOHUFLQVLQGHQKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. D E|OJHVL ùHNLO 4.11(a)), u = x + y , v = x − y G|QúPOHUL
4.10(b)’deki BE|OJHVLQHG|QúU%XQDJ|UHG|QúPQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕ
DOWÕQGD
ùHNLO
∂ ( x, y )
1
1
1
=
=
=−
∂
(
u
,
v
)
1 1
∂ (u , v )
2
∂ ( x, y ) 1 −1
J=
ROGX÷XQGDQ
I = ∫∫ ( x − y ) 2 dxdy = ∫∫ v 2 J dudv
D
B
2 2
=
2
2
2
1
1
1
1 2 7
v 2 dudv = ∫ v 2 (u )dv = ∫ v 2 dv = v 3 =
∫
∫
1
211
21
21
6 1 6
sonucu elde edilir. øQWHJUDOL GH÷LúNHQ GH÷LúWLUPH LúOHPLQL X\JXODPDGDQ GR÷UXGDQ D bölgesi
]HULQGHQ KHVDSODPD\D oDOÕúDUDN X\JXQ ELU úHNLOGH \DSÕODQ GH÷LúNHQ GH÷LúWLUPHQLQ VD÷ODGÕ÷Õ
kola\OÕNJ|UOHELOLU
172
4.4. Uçlak Koordinatlarda øNL.DWOÕøQWHJUDOOHU
f ( x, y ) fonksiyonunun, D ⊂ R 2 E|OJHVL ]HULQGHQ LNL NDWOÕ
LQWHJUDOLQL GLNNDWH DODOÕP %D]HQ EX LQWHJUDOLQ KHVDEÕ XoODN NRRUGLQDWODrda oldukça kolay
olabilir. Böylesi durumda, integrale
'LN NRRUGLQDWODUGD WDQÕPOÕ ELU
x = r cos θ 

y = r sin θ 
(1)
%XUDGDGLNNRRUGLQDWVLVWHPLQLQ RULMLQL XoODNNRRUGLQDWVLVWHPLQLQXoODNQRNWDVÕ YH
x-ekseni
GH XoODN HNVHQL RODUDN VHoLOPLúWLU ']OHPLQ KHU KDQJL ELU QRNWDVÕQÕ GLNNDWH DOGÕ÷ÕPÕ]GD
r YH \DUÕoDS
YHNW|UQQXoODNHNVHQLLOHSR]LWLI\|QGH\DSWÕ÷ÕDoÕGD θ ¶GÕU%|\OHFe, D bölgesi üzerinden
LNLNDWOÕLQWHJUDOi, uçlak koordinatlarda,
XoODN QRNWDVÕQÕ V|] NRQXVX QRNWD\D ED÷OD\DQ \DUÕoDS YHNW|UQQ E\NO÷
I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(r ,θ ), y (r ,θ ))dA
D
(2)
D
Burada, dA, XoODNNRRUGLQDWODUGDVHoLOHQDODQHODPDQÕQÕQDODQÕGÕU8oODN
NRRUGLQDWODUGD DODQ HODPDQÕ r = sabit ve θ =sabit H÷ULOHUL LOH ROXúWXUXOXU ùHNLO ùLPGL
dA¶QÕQGH÷HULQLKHVDSOD\DOÕPùHNLO2’deki KLMNDODQHOHPDQÕQÕGLNNDWHDODOÕP%XDODQÕQ
DOWYHVWNHQDUODUÕVÕUDVÕ\OD r ve r+dr\DUÕoDSOÕoHPEHU\D\ODUÕ YHNHQDUODUÕGDVÕUDVÕ\OD θ ve
θ + dθ GR÷UXODUÕQGDQ ROXúPDNWDGÕU Böylece, sonsuz parçalanma durumunda bir dikdörtgen
úHNOLQGH\D]DELOLUL]
RODUDNGúQHELOHFH÷LPL]./01DODQHOHPDQÕQÕQDODQÕ
dA = rdrdθ
(3)
olur. (÷HU(3) ile verilen DODQHODPDQÕQÕ, (2) integralinde yerine yazarsak
I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(r ,θ ), y (r ,θ ))rdrdθ
D
LQWHJUDOG|QúPIRUPO
D
nü elde ederiz. Burada
173
(4)
J =
x
∂ ( x, y )
= r
yr
∂ ( r ,θ )
xθ
=r
yθ
(5)
ROGX÷X NROD\FD J|VWHULOHELOLU (÷HU DODQ HODPDQÕ
a ≤ r ≤ b ve α ≤ θ ≤ β için tüm D DODQÕQÕ
WDUDPÕúROXUVDLOHYHULOHQLQWHJUDOLDUGÕúÕNLQWHJUDOOHUFLQVLQGHQ
∫∫
D
β b


f ( x(r ,θ ), y (r ,θ ))rdrdθ = ∫  ∫ f ( x(r ,θ ), y (r ,θ ))rdr dθ
α a

b β


= ∫  ∫ f ( x(r ,θ ), y (r ,θ ))rdθ dr
a α

(6)
úHNOLQGH\D]DELOLUL]
Örnek 1. 8oODNNRRUGLQDWODU\DUGÕPÕ\OD D =
∫∫ y
{( x, y ) 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 x} bölgesi üzerinden
x 2 + y 2 dxdy
D
LQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
(atan(2)=1.1071 rad=63o.435).
Çözüm. ùHNLO 3¶GHQ J|UOHFH÷L ]HUH D bölgesi,
y=0 ve y=2x GR÷UXODUÕ LOH x=1 ve x GR÷UXODUÕ
WDUDIÕQGDQ
VÕQÕUODQPÕúWÕU
.DUWH]\HQ
YH
XoODN
koordinatlDUDUDVÕQGD
x = r cos θ
y = r sin θ
ya da
r = x 2 + y 2 , tan θ =
y
x
G|QúP IRUPOOHUL ROGX÷XQD J|UH
D bölgesinin
XoODNNRRUGLQDWODUGDNLVÕQÕUODUÕLoLQ
0 ≤ tan θ ≤ 2 ⇒ 0 ≤ θ ≤ 1.1071rad ve
1
2
≤r≤
cos θ
cos θ
yazabiliriz. Uçlak koordinaWODUD G|QúPGH -DFREL GHWHUPLQDQWÕ J = r ROGX÷XQdan aranan
integral
174
2
2
∫∫ y x + y dxdy =
1.1071 2 / cosθ
1.1071
2 / cosθ




2
r
r
rdr
d
r 3 dr dθ
sin
sin
=
θ
θ
θ
 ∫


∫
∫
0 
1/ cosθ
 1/ cosθ


∫
0
D
1
=
4
1.1071
1
4
1.1071
=
=
∫
0
∫
sin θ (r 4 ) 2 / cosθ dθ

1/ cosθ 

sin θ (
0
15
4
1.1071
∫
0
16
1
)dθ
−
4
cos θ cos 4 θ
sin θ
dθ
cos 4 θ
olur. Burada, u = cos θ GH÷LúNHQGH÷LúWLUPHVL\DSDUak da
∫∫ y
x 2 + y 2 dxdy = −
D
=
15 du 5 1
=
4 ∫ u4 4 u3
1.1071
5 1
4 cos3 θ
=
0
5
(11.1803 − 1)
4
= 12.7254
VRQXFXQDXODúÕUÕ]
Örnek 2. D bölgesi, 2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 = 1 HOLSVLLOHWDQÕPODQGÕ÷ÕQDJ|UH
x = 2u − v
y = −u + v
G|QúPIRUPOOHUL\DUGÕPÕ\OD
∫∫
2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 dxdy
D
LQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. $QDOLWLNJHRPHWULGHQELOLQGL÷L]HUHNDUWH]\HQNRRUGLQDtlarda genel konik denklemi
Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0
úHNOLQGHGLU.RQL÷LQDVDOHNVHQLQLQ
tan 2θ =
x-HNVHQLLOHSR]LWLI\|QGH\DSWÕ÷Õ θ DoÕVÕ
2B
A−C
ED÷ÕQWÕVÕLOHYHULOLU$úD÷ÕGDYHULOHQ
d ve D determinantlarÕNRQL÷LQWUQEHOLUOHU
175
A B
d=
,
B C
A B
D= B C
D E
D
E.
F
Buna göre, konikleriúXúHNLOGHVÕQÕIODQGÕUDELOLUL]
Hiperbol,
D<0
D=0
D>0
D<0
D=0
D>0
D<0
D=0
D>0
d<0
d=0
d>0
,
.HVLúHQLNLGR÷UX+LSHUEROLNGR÷UXODU
Hiperbol,
Parabol,
,
3DUHOHOLNL'R÷UX
Parabol,
Elips,
Nokta,
Sanal elips.
gUQH÷LPL]HG|QHUVHN
2 3
d=
= 1 > 0,
3 5
2 3
D= 3 5
0
0 = −1 < 0
0 0 −1
2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 = 1 ifadesi bir elips göstermektedir. Söz konusu elipsin asal
ekseninin, x-HNVHQLLOHSR]LWLI\|QGH\DSWÕ÷Õ θ DoÕVÕ ise
ROGX÷XQGDQ
tan 2θ =
2B
6
=
= −2
A−C 2−5
LOH EHOOLGLU %X KDWÕUODWPDODUGDQ VRQUD SUREOHPLQ o|]PQH JHOHOLP
D
E|OJHVL ùHNLO
D¶GDNLJLELELUHOLSWLNE|OJHGLU(÷HUYHULOHQHOLSVGHQNOHPLQHLOJLOLG|QúPIRUPOOHULQL
uygularsak
2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 = 1 ⇒
2(2u − v) 2 + 6(2u − v)( −u + v) + 5(−u + v )2 =
= (8u 2 − 8uv + 2v 2 ) + (−12u 2 + 18uv − 6v 2 ) + (5u 2 − 10uv + 5v 2 )
= u 2 + v2 = 1 ≡ B
elde ederiz. O halde, xy-düzlemindeki D eliptik bölgesi, uv-düzleminde birim çemberin
B bölgesine G|QúPHNWHGLUùHNLOE'|QúPQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕLVH
EHOLUOHGL÷L
J =
x
∂ ( x, y )
= u
yu
∂ (u , v)
xv
2 −1
=
=1
yv
−1 1
176
dir. O halde,
∫∫
D
2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 dxdy = ∫∫ u 2 + v 2 dudv
B
yazabiliriz. ùLPGL GH XoODN NRRUGLQDWODUD G|QúP \DSDUVDN -DFREL GHWHUPLQDQWÕQÕQ J = r
ROGX÷XGLNNDWHDOÕQÕUVD
∫∫
D
2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 dxdy = ∫∫ u 2 + v 2 dudv = ∫∫ r 2 rdrdθ
B
B
= ∫∫ r 2 drdθ =
B
2π
=
∫
0
3 1
2π

0
r
1
dθ =
3 0
3
%HOLUWLOHQ
E|OJH
ùHNLO
2
0
2π
∫ dθ =
0
Örnek 3. r = 1 + cos θ NDUGL\RGLQLQ GÕúÕQda ve
r oHPEHULQLQ LoLQGH NDODQ E|OJHQLQ DODQÕQÕ
bulunuz.
J|VWHULOPLúWLU

∫  ∫ r dr dθ
elde edilir.
Çözüm.
1
¶GH
Buna göreWDUDOÕbölgenin DODQÕ
177
2π
3
A = ∫∫ rdrdθ =
D
3π
2
∫
π
2
1
=
2
=−
=−
=−
2π
 1

1
1
rdr
d
r2
dθ
θ
=
 ∫

∫
2 0 1+cosθ
1+cosθ

3π
2
∫ 1 − (1 + cosθ )
2
π
2
1
2
1
2
1
2
 dθ
3π
2
∫ 2 cos θ + cos
π
2
3π
2

1

1
2
θ  dθ

∫ 2 cos θ + 2 (1 + cos 2θ ) dθ
π
2
2π
1

∫  2 cosθ + 2 + 2 cos 2θ ) dθ
0
3π
1
1
1
2
= −  2sin θ + θ + sin 2θ 
2
2
4
π
2
1
3π
π

= −  ( −2 +
+ 0) − (2 + + 0) 
2
4
4

1
4 −π
= − (−4 + π ) =
2
2
olur.
4.5. øQFH%LU/HYKDQÕQ.WOHVL
xy-düzleminde verilen bir D bölgesiQL E|OJOHUH D\ÕUDOÕP D E|OJHVLQLQ DODQÕ A ve bölgülerin
DODQÕ GD ∆A (i = 1, 2,..., n) ROVXQ %|OJOHULQ KHU ELULQLQ Lo NÕVPÕQGDNL KHU KDQJL ( x , y )
i
i
i
QRNWDODUÕQÕ GLNNDWH DODOÕP YH EX QRNWDODUGDNL \R÷XQOXNODUÕ ρ ( x , y ) ile gösterelim. (÷HU i-ci
i
i
bölgünün kütlesini ∆M i ile gösterirsek
∆M i = ρ ( xi , yi )∆Ai
(1)
úHNOLQGHLIDGHHGHELOLUL]%|OJVD\ÕVÕQÕQVRQVX]ROPDVÕGXUXPXQGDH÷HU
n
lim ∑ ρ ( xi , yi )∆ Ai
n →∞
(2)
i =1
limiti sonlu ELU VD\Õ\D \DNÕQVÕ\RUVD EX OLPLWH, D E|OJHVLQL NDSVD\DQ LQFH OHYKDQÕQ NWOHVL
denir. O halde, iNLNDWOÕLQWHJUDOWDQÕPÕQGDQ\DUDUODQDUDNsöz konusu lHYKDQÕQNWOHVLQL
178
M = ∫∫ ρ ( x, y ) dxdy
(3)
D
.
úHNOLQGH\D]DELOLUL]
Örnek 1. D bölgesi x=0, x=2, y=0 ve y GR÷UXODUÕ LOH EHOLUOHQHQ LQFH OHYKD ROXS OHYKDQÕQ
\R÷XQOX÷Xy-HNVHQLQHX]DNOÕNODGR÷UXRUDQWÕOÕGÕU/HYKDQÕQNWOHVLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm 2UDQWÕ NDWVD\ÕVÕ k olmak üzere, bölge içerisindeki her hangi bir (x,y QRNWDVÕQGDNL
\R÷XQOX÷X
ρ ( x, y ) = kx
úHNOLQGHLIDGHHGHELOLUL]2KDOGHV|]NRQXVXOHYKDQÕQNWOHVL
2 2
2
2
x2
M = ∫∫ ρ ( x, y )dxdy = ∫ ∫ kxdxdy = k ∫
dy
2 0
D
0 0
0
2
= 2k ∫ dy = 4k
0
olur.
Örnek 2. D bölgesiPHUNH]OHULQRNWDVÕQGDEXOXQDQr=2 ve r \DUÕoDSOÕLNLHúPHUNH]OL
dDLUH DUDVÕQGD NDODQ E|OJH ROXS E|OJH LoHULVLQGHNL \R÷XQOXN RUMLQH RODQ X]DNOÕNOD WHUV
RUDQWÕOÕGÕUDE|OJHVLQLQWDQÕPODGÕ÷ÕLQFHOHYKDQÕQNWOHVLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm ' E|OJHVL ùHNLO ¶GD J|VWHULOGL÷L JLELGLU
ùLPGL D bölgesini kapsayan ince levKD\Õ GLNNDWHDODOÕP
( x, y ) ∈ D QRNWDVÕQGDNL
/HYKDQÕQ
KHU
KDQJL
ELU
\R÷XQOX÷XNRUDQWÕVDELWLROPDN]HUH
1
ρ=k ,
r
r = x2 + y 2
úHNOLQGHLIDGHHGLOHELOLU2KDOGHOHYKDQÕQNWOHVLLoLQ
M = ∫∫ ρ ( x, y )dxdy = ∫∫
D
D
k
x + y2
2
dxdy
yazabiliriz8oODNNRRUGLQDWODUDG|úP\DSDUYH J = r ROGX÷XQXda KDWÕUODUVDN
179
2π 4
2π
2π
k
4
M = ∫∫ rdrdθ = k ∫ ∫ drdθ =k ∫ r 2 dθ = 2k ∫ dθ = 4π k
r
D
0 2
0
0
GH÷HULQLHOGHHGHUL]
4.6. %LU/HYKDQÕQ0RPHQWLYH$÷ÕUOÕN0HUNH]L
Bir D E|OJHVL LOH WDQÕPODQDQ LQFH ELU OHYKDQÕQ NRRUGLQDW HNVHQOerine göre momentleri, iki
NDWOÕLQWHJUDOOHU\DUGÕPÕ\ODLIDGHHGLOHELOLU%XUDGDKDUHNHWQRNWDVÕ,ELUOHYKDQÕQKHUKDQJLELU
HNVHQHJ|UHWRSODPPRPHQWLQLQOHYKD\ÕROXúWXUDQVRQVX]E|OJGHNLKHUELUNWOHHOHPDQÕQÕQ
söz konusu eksene göre mementleri toplamÕQDHúLWROGX÷XGXUgQFHNLNHVLPGHROGX÷XJLEL D
E|OJHVLQLQELUE|OJVQGLNNDWHDODOÕPi-FLE|OJQQDODQÕQÕ ∆A (i = 1, 2,..., n) \R÷XQOX÷XQX
i
ρ ( xi , yi ) ile gösterir ve bölgü içerisindeki keyfi bir ( xi , yi ) noNWDVÕQÕGLNNDWHDOÕUVDNEXNWOH
HOHPDQÕQÕQx- ve y-HNVHQOHULQHJ|UHPRPHQWOHULVÕUDVÕ\OD
∆M x = yi ρ ( xi , yi )∆Ai 

∆M y = xi ρ ( xi , yi )∆Ai 
(1)
úHNOLQGH WDQÕPODQÕU %|\OHFH VRQVX] E|OQú GLNNDWH DOÕQDUDN
D OHYKDVÕQÕQ HNVHQOHU J|UH
toplam momentleri için
M x = ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy 

D

M y = ∫∫ x ρ ( x, y )dxdy 

D
LNLNDWOÕLQWHJUDOOHULQLHOGHH
(2)
deriz.
. Kütlesi M olan bir D OHYKDVÕQÕQ x- ve y-eksenlerine göre
Mx ve My olsun. MNWOHOLQRNWDVDOELUFLVPLQ'OHYKDVÕ\ODD\QÕ Mx ve
MyPRPHQWOHULQHVDKLS ROPDVÕ LoLQVDKLSROPDVÕ JHUHNHQNRRUGLQDWODUÕQD DOHYKDVÕQÕQ D÷ÕUOÕN
merkezi denir.
7DQÕP $÷ÕUOÕN 0HUNH]L
PRPHQWOHULVÕUDVÕ\OD
D OHYKDVÕQÕ, istersek tüm
NWOHVL D÷ÕUOÕN PHUNH]LQGH WRSODQPÕú JLEL dikkate DODELOHFH÷LPL] DQODúÕOÕU O halde, a÷ÕUOÕN
PHUNH]LQLQNRRUGLQDWODUÕQÕ ( x , y ) LOHJ|VWHULUVHN7DQÕPJHUH÷LQFH
%X WDQÕPD J|UH IL]LNVHO ED]Õ SUREOHPOHULQ o|]P VÕUDVÕQGD ELU
M x = My 

M y = Mx 
(3)
\DGDED÷ÕQWÕODUÕQÕGDGLNNDWHDODUDND÷ÕUOÕNPHUNH]LQLQNRRUGLQDWODUÕLoLQ
180
x=

1
M
∫∫ x ρ ( x, y)dxdy 
D
(4)


y
x
y
dxdy
ρ
(
,
)
∫∫D

1
y=
M
yazabiliriz. Burada, M’nin, DOHYKDVÕQÕQNWOHVLROGX÷XQXYH önceki kesimin (3) nolu formülü
LOHYHULOGL÷LQLKDWÕUODWDOÕP
Örnek 1. DE|OJHVLPHUNH]LQRNWDVÕQGDRODQr \DUÕoDSOÕGDLUHQLQI. bölgedeki, dörtte
ELUOLN NÕVPÕ ROGX÷XQD J|UH D E|OJHVLQL NDSVD\DQ KRPRMHQ \R÷XQOXNOX LQFH OHYKDQÕQ D÷ÕUOÕN
PHUNH]LQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. D
E|OJHVLQL NDSVD\DQ KRPRMHQ \R÷XQOXNOX LQFH
OHYKDQÕQùHNLONWOHVL
1
π
M = (π r 2 ) ρ = ρ
4
4
GLU ùLPGL V|] NRQXVX OHYKDQÕQ D÷ÕUOÕN PHUNH]LQLQ
x
NRRUGLQDWÕQÕKHVDSOD\DOÕP
x=
ρ
1
M
4
∫∫ x ρ ( x, y)dxdy = M ∫∫ xdxdy = π ∫∫ xdxdy .
D
D
D
(÷HUXoODNNRRUGLQDWODUDJHoHUVHN
4
4
x = ∫∫ r cosθ rdrdθ =
π D
π
=
π /2
4
3π
4
π /2
∫
0
∫ cosθ dθ = 3π sin θ
1 2 
 ∫ r dr  cosθ dθ
0

π /2
0
0
=
4
3π
elde ederiz. Simetri nedeniyle de
y=
4
3π
,
ROGX÷X DQODúÕOÕU2KDOGH V|]NRQXVXOHYKDQÕQD÷ÕUOÕNPHUNH]L
OHYKDQÕQ
(
4 4
, ) QRNWDVÕQGDGÕU$\QÕ
3π 3π
x-HNVHQLQHJ|UHPRPHQWLLVHYHED÷ÕQWÕODUÕQGDQ\DUDUODQÕODUDN
M x = ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy = My =
D
π
4 ρ
=
ρ
4 3π 3
181
ρ
3
olarak elde edilir. Yine simetri nedeniyle, M y =
RODFD÷ÕDoÕNWÕU
Örnek 2. D E|OJHVL PHUNH]L QRNWDVÕQGD RODQ r \DUÕoDSOÕ oHPEHU LOH PHUNH]L QRNWDVÕQGD RODQ r \DUÕoDSOÕ oHPEHU DUDVÕQGD NDODQ E|OJH RODUDN WDQÕPODQÕ\RU D bölgesini
kapsayan homojen \R÷XQOXNOX LQFH OHYKDQÕQ Mx ve My PRPHQWOHUL LOH D÷ÕUOÕN PHUNH]LQL
KHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. D
E|OJHVL ùHNLO ¶GH J|VWHULOGL÷L JLELGLU
ùHNLOGHQGHJ|UOHFH÷LJLEL
D = D1 ∪ D2 ∪ D3
Mx momentini, bu üç alt bölgenin momentleri
toSODPÕRODUDN
ROGX÷XQGDQ
3
M x = ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy = ∑ ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy
i =1 Di
D
úHNOLQGH
\D]DELOLUL]
ROGX÷XQGDQ
/HYKD
KRPRMHQ
\R÷XQOXNOX
ρ ( x, y ) = ρ DODUDN YH XoODN NRRUGLQDWODUÕQÕ
kullanarak
3
3
M x = ρ ∑ ∫∫ r sin θ rdrdθ = ρ ∑ ∫∫ r 2 sin θ drdθ
i =1 Di
i =1 Di
yazabiliriz. D1 ve D2 E|OJHOHULVLPHWULNROGX÷XQGDQ
M x1 = M x2 = ρ ∫∫ r 2 sin θ drdθ
D1
ROXUùLPGL
D1 E|OJHVLQLQVÕQÕUODUÕQÕEHOLUOH\HOLP.oNoHPEHULQGHQNOHPL
x 2 + ( y − 1)2 = 1 ⇒ (r cosθ )2 + (r sin θ − 1)2 = 1
r 2 − 2r sin θ + 1 = 1 ⇒ r = 2sin θ
iken büyük çemberin denklemi r=2’dir. O halde,
M x1 = M x2 = ρ ∫∫ r 2 sin θ drdθ = ρ
D1
π /2
=ρ
∫
0
π /2
2
∫ ∫
r 2 sin θ drdθ
0 2sin θ
π
 2 2 
ρ /2 3 2
θ
θ
r
dr
sin
d
r
sin θ dθ
=
 ∫

2sin θ
3 ∫0
 2sinθ

182
ρ
3
M x1 = M x2 =
π /2
∫ (8 − 8sin
3
θ ) sin θ dθ =
0
π /2
π /2

8 
ρ  ∫ sin θ dθ − ∫ sin 4 θ dθ 
3 0
0

=
HOGHHGHUL]<DUÕPDoÕIRUPOOHULNXOODQÕODUDN
3 1
1
sin 4 θ = − cos 2θ + cos 4θ
8 2
8
ROGX÷XNROD\FDJ|VWHULOHELOLU2KDOGH
π /2
π /2

8 
3 1
1
ρ  ∫ sin θ dθ − ∫ ( − cos 2θ + cos 4θ )dθ 
3 0
8 2
8
0

M x1 = M x2 =
π /2
=
8 
3
1
1

ρ  − cos θ − θ − sin 2θ + sin 4θ 
3 
8
4
32
0
=
8
3π
ρ (1 − )
3
16
HOGHHGLOLUùLPGLGHOHYKDQÕQ
D3 E|OJHVLQGHNLNÕVPÕQÕQPRPHQWLQLKHVDSOD\DOÕP
M x3 = ρ ∫∫ r 2 sin θ drdθ = 2 ρ
D3
3π / 2
= 2ρ
∫
π
=
16 ρ
3
=−
3π / 2 2
∫ ∫r
π
2
sin θ drdθ
0
3π / 2
2 2 
2
2ρ
r 3 sin θ dθ
 ∫ r dr  sin θ dθ =
∫
0
3 π
0

3π / 2
∫
sin θ dθ = −
π
16 ρ
3π / 2
cos θ π
3
16 ρ
16 ρ
[0 − (−1)] = −
3
3
Sonuç olarak, x-eksenine göre toplam moment
8
3π 16 ρ
M x = M x1 + M x2 + M x3 = 2 × ρ (1 − ) −
3
16
3
= −πρ
olur. /HYKDQÕQNWOHVL
M = πρ ( 2 2 − 12 ) = 3πρ
ROGX÷XQDJ|UHD÷ÕUOÕNPHUNH]LQLQ RUGLQDWÕLoLQ
183
y=
Mx
πρ
1
=−
=−
M
3πρ
3
GH÷HULQL EXOXUX] 6LPHWUL QHGHQL\OH
x = 0 RODFD÷Õ DoÕNWÕU 2 KDOGH V|] NRQXVX OHYKDQÕQ
1
D÷ÕUOÕNPHUNH]L (0, − ) QRNWDVÕQGDGÕU
3
Örnek 3. y = sin x , x ∈ [0, π ] H÷ULVLLOHx-HNVHQLDUDVÕQGDNDODQKRPRMHQ\R÷XQOXNOXOHYKDQÕQ
D÷ÕUOÕNPHUNH]LQLEXOXQX]
Çözüm ùHNLO ¶GDQ J|UOG÷ ]HUH
y = sin x H÷ULVL x = π GR÷UXVXQDJ|UHVLPHWULNWLU
π
Bu nedenle, x = ¶GLU ùLPGL y GH÷HULQL
2
EXOPD\D oDOÕúDOÕP Bunun için, (3) formüllerine
göre D bölgesinin kütlesi ile x-eksenine göre
PRPHQWLQL KHVDSODPDPÕ] JHUHNLU gQFH NWOHVLQL
KHVDSOD\DOÕP
π sin x
M = ∫∫ ρ dxdy = ρ ∫
0
D
∫
dydx
0
π
π
0
0
= ρ ∫ sin xdx = − ρ cos x = − ρ (−1 − 1) = 2 ρ .
ùLPGLGH
D bölgesinin, x-HNVHQLQHJ|UHPRPHQWLQLKHVDSOD\DOÕP
π sin x
M x = ∫∫ ρ ydxdy = ρ ∫
0
D
π
=
∫
ydydx
0
π
ρ
ρ 1
sin 2 xdx = ∫ (1 − cos 2 x)dx
∫
20
202
π
Mx =
ρ
ρπ
1
( x − sin 2 x) =
.
4
2
4
0
%|\OHFHD÷ÕUOÕNPHUNH]LLoLQ
ρπ
Mx
π
y=
= 4 =
M
2ρ 8
HOGHHGHUL]%XQDJ|UHV|]NRQXVXOHYKDQÕQD÷ÕUOÕNPHUNH]L
184
π
(0, ) QRNWDVÕQGDGÕU
8
4.7. %LU/HYKDQÕQ(\OHPVL]OLN0RPHQWL
D ⊂ R 2 E|OJHVLQGHWDQÕPODQDQELUOHYKD ile
d ≡ ax + by + cz + d = 0 X]D\ GR÷UXVX YHULOVLQ D OHYKDVÕQÕQ ELU NWOH HOHPDQÕQÕ
dmi = ρ ( xi , yi )dAi ile ve bu elema QÕQ d GR÷UXVXQD RODQ GLN X]DNOÕ÷ÕQÕ GD ri ile gösterelim.
7DQÕP(NVHQH*|UH(\OHPVL]OLN0RPHQWL
Böylece elde edilen ri 2 dmi GH÷HULQH NWOH HOHPDQÕQÕQ d GR÷UXsuna göre eylemsizlik
momenti denir. 7P OHYKDQÕQ d GR÷UXVXQD J|UH H\OHPVL]OLN PRPHQWL D bölgesinin sonsuz
SDUoDODQÕúÕQGDNL EWQ NWOH HOHPDQODUÕQÕQ H\OHPVL]OLN PRPHQWOHULQLQ WRSODPÕQD HúLWWLU YH Id
LOHJ|VWHULOLU2KDOGHLNLNDWOÕLQWHJUDOWDQÕPÕQÕGDNXOODQÕUVDN
n
I d = lim ∑ ri 2 dmi = ∫∫ r 2 dm = ∫∫ r 2 ρ ( x, y )dxdy
n →∞
i =1
D
(1)
D
D’nin, x- ve y-eksenlerinH SDUDOHO GR÷UXODUOD SDUoDODQGÕ÷Õ
DE|OJHVLQH\HUOHúWLULOHQOHYKDKRPRMHQ\R÷XQOXNOXLVHLIDGHVLQL
HOGH HGHUL] %XUDGDNL VRQ HúLWOLNWH
YDUVD\ÕOPÕúWÕU(÷HU
I d = ρ ∫∫ r 2 dxdy
(2)
D
úHNOLQGH\D]DELOLUL]8oODNNRRUGLQDWODUÕGLNNDWHDOÕUVDNH\OHPVL]OLNPRPHQWLQL
I d = ρ ∫∫ r 3 drdθ
(3)
D
úHNOLQGH\D]DELOHFH÷LPL]NROD\FDJ|VWHULOHELOLUùLPGLKRPRMHQ\R÷XQOXNOXELUOHYKDQÕQED]Õ
özel eksenlere göre eylemsizlik momentlerini inceleyelim
i) z-eksenine göre eylemsizlik momenti:
Bu durumda
r 2 = x2 + y 2
(4)
, (2) ve (3) formülleri
RODFD÷ÕQGDQ
I z = ρ ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy = ρ ∫∫ r 3drdθ
D
úHNOLQ
(5)
D
de \D]ÕODELOLU
ii) x-eksenine göre eylemsizlik momenti:
D bölgesindeki her hangi bir (x,yQRNWDVÕQÕQx-HNVHQLQHX]DNOÕ÷Õr=y’dir. UçODNNRRUGLQDWODUÕ
GLNNDWHDOÕUVDN ( x = r cos θ , y = r sin θ ) , eylemsizlik momenti için
I x = ρ ∫∫ y 2 dxdy = ρ ∫∫ r 3 sin 2 drdθ
D
(6)
D
ED÷ÕQWÕVÕQÕHOGHHGHUL]
185
iii) y-eksenine göre eylemsizlik momenti:
D bölgesindeki her hangi bir (x,yQRNWDVÕQÕQy-HNVHQLQHX]DNOÕ÷Õr=x¶GLU8oODNNRRUGLQDWODUÕ
GLNNDWHDOÕUVDN ( x = r cos θ , y = r sin θ ) , eylemsizlik momenti için
I y = ρ ∫∫ x 2 dxdy = ρ ∫∫ r 3 cos 2 drdθ
D
(7)
D
ED÷ÕQWÕVÕQÕHOGHHGHUL]
Teorem 1. xy-düzlemindeki bir D E|OJHVLQH \HUOHúWLULOPLú KRPRMHQ \R÷XQOXNOX ELU OHYKDQÕQ
x-, y- ve z-HNVHQOHULQHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWOHULVÕUDVÕ\ODIx, Iy ve Iz olsun. Bu durumda
Iz = Ix + I y
(8)
dir.
øVSDW<XNDUÕGDYHULOHQYHED÷ÕQWÕODUÕGLNNDWHDOÕQDUDNWHRUHPLQGR÷UXOX÷XNROD\FD
gösterilebilir.
Örnek 1. x 2 + y 2 = 1 ile verilen D E|OJHVLQH \HUOHúPLú KRPRMHQ \R÷XQOXNOX LQFH OHYKDQÕQ
eksenlere göre eylemsizlik momentlerini bulunuz.
Çözüm8oODNNRRUGLQDWODUGDoDOÕúÕUVDN, z-eksenine röre eylemsizlik momenti
2π 1
I z = ρ ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy = ρ ∫∫ r 3 drdθ = ρ ∫ ∫ r 3 drdθ
D
=
ρ
4
0 0
D
2π
∫ dθ =
0
ρπ
2
olur. Simetri nedeniyle x- ve y-HNVHQOHULQH J|UH H\OHPVL]OLN PRPHQWOHUL HúLW RODFDNWÕU ùLPGL
x-eksenine göre eylemsizlik momentinLKHVDSOD\DOÕP
2π 1
I x = ρ ∫∫ y 2 dxdy = ρ ∫∫ r 3 sin 2 θ drdθ = ρ ∫ ∫ r 3 sin 2 θ drdθ
D
Ix =
ρ
4
∫ sin
0
0 0
D
2π
2
θ dθ =
ρ
4
2π
1
∫ 2 (1 − cos 2θ )dθ
0
2π
=
ρ
ρπ
1
(θ − sin 2θ ) =
8
2
4
0
Sonuç olarak,
186
Iz =
ρπ
ρπ
ρπ
, Ix =
, Iy =
2
4
4
elde ederiz. Buradan da I z = I x + I y ROGX÷XJ|UOU
Örnek 2. 'LN NHQDU X]XQOXNODUÕ a ve b olan bir dik üçgen içerisine \HUOHúPLú KRPRMHQ
\R÷XQOXNOX LQFH OHYKDQÕQ a uzunluklu dik kenarODUÕQD YH GLN NHQDUODUÕQ NHVLP QRNWDVÕQGDQ
levha düzlemine dik olarak geçen eksene göre eylemsizlik momentlerini bulunuz.
Çözüm .RRUGLQDW VLVWHPLQL ùHNLO ¶GHNL JLEL
seçelim.
Bu durumda, aranan eylemsizlik momentleri,
y-eksenine ve zúHNLOGHNL OHYKDQÕQ x-eksenine,
HNVHQLQH J|UH H\OHPVL]OLN PRPHQWOHULGLU /HYKDQÕQ
hipotenüsünün denklemi
y=−
b
x+b
a
dir. Önce, x-HNVHQLQHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWLQL\D]DOÕP
 − ba x +b

a
b
− x +b
ρ


2
2
I x = ρ ∫∫ y dxdy = ρ ∫  ∫ y dy dx = ∫ ( y 3 ) a dx
0
30
D
0
 0

a
b
b3 3 3b3 2 3b3
ρ
ρ
3
x
b
dx
x + 2 x −
x + b3 )dx
−
+
=
−
(
)
(
a
a
3 ∫0 a
3 ∫0 a 3
a
=
a
a

ρ  b3 x 4 3b3 x3 3b3 x 2
ρ ab3
I x = − 3
.
+ 2
−
+ b3 x  =
a 2
3 a 4 a 3
12
0
%HQ]HURODUDNH÷HU
Iy =
y-HNVHQLQHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWL\D]ÕOÕUVD
ρ ba 3
12
elde edilir. BXUDGDQGDOHYKDQÕQz-eksenine göre eylemsizlik momenti
Iz = Ix + Iy =
ρ ab3 ρ ba 3 ρ
+
= ab(a 2 + b 2 )
12
12
12
olur.
187
Örnek 3. D bölgesi, y = x 2 parabolü ile y = 2 x H÷ULVL DUDVÕQGD NDODQ H÷ULOHUùHNLO ¶GHNL
KRPRMHQ \R÷XQOXNOX LQFH OHYKDQÕQ a) D÷ÕUOÕN PHUNH]LQL b) x-eksenine göre eylemsizlik
momentini bulunuz.
Çözüm. a) øONRODUDNLNLH÷ULQLQNHVLPQRNWDODUÕQÕEXODOÕP
x 2 = x ⇒ x1 = 0, x2 = 1.
DOHYKDVÕQÕQNWOHVL
1 x
M = ∫∫ ρ dxdy = ρ ∫ ∫ dydx
0 x2
D
1
ρ
1 1
= ρ ∫ ( x − x 2 )dx =ρ ( − ) =
2 3
6
0
ùLPGLGHVÕUDVÕ\OD
x ve yHNVHQOHULQHJ|UHPRPHQWOHULQLKHVDSOD\DOÕP
1 x
M x = ∫∫ ρ ydxdy = ρ ∫ ∫ ydydx
0 x2
D
1
=
1
x
ρ
ρ
ρ 1 1
ρ
( y 2 ) 2 dx = ∫ ( x 2 − x 4 )dx = ( − ) = ,
∫
x
20
20
2 3 5 15
1 x
M y = ∫∫ ρ xdxdy = ρ ∫ ∫ xdydx
D
1
0 x2
1
1 1
ρ
x
= ρ ∫ x ( y ) x2 dx =ρ ∫ ( x 2 − x 3 )dx =ρ ( − ) = .
3 4 12
0
0
Buna göre, DOHYKDVÕQÕQD÷ÕUOÕNPHUNH]LQLQNRRUGLQDWODUÕ
ρ
1
x=
= 12 = ,
ρ 2
M
6
My
ρ
M x 15 2
y=
=
=
ρ 5
M
6
1 2
DOHYKDVÕQÕQD÷ÕUOÕNPHUNH]L ( , ) QRNWDVÕQGDGÕU
2 5
GÕU<DQL
b) DOHYKDVÕQÕQx-eksenine göre eylemsizlik momenti
1 x
1


x
ρ
I x = ρ ∫∫ y 2 dxdy = ρ ∫  ∫ y 2 dy dx = ∫ ( y 3 ) 2 dx
x
30
 x2
D
0 

188
Ix =
ρ1 3 6
ρ 1 1
ρ
( x − x )dx = ( − ) =
∫
30
3 4 7
28
dir.
Örnek 4. D ⊂ R 2 E|OJHVLQH\HUOHúPLú MNWOHOLELU LQFHOHYKDQÕQD÷ÕUOÕNPHUNH]LQLQNRQXP
G
vektörü rG ROVXQ (÷HU OHYKDQÕQ G D÷ÕUOÕN PHUNH]L YH z-eksenine görere eylemsizlik
moPHQWOHULVÕUDVÕ\OD, I G ve I z ise
I z = I G + MrG2
RODFD÷ÕQÕJ|VWHULQL]
Çözüm. D
E|OJHVLQLQ HNVHQOHUH SDUDOHO GR÷UXODUOD VRQVX] SDUoDODQÕúÕQGDNL
G
i-ci kütle
ri , kütlesi ∆mi = ρ ( xi , yi )∆xi ∆yi YH EX NWOH HOHPDQÕQÕQ D÷ÕUOÕN
G
G G
G
G G
G
merkezine göre konum vektörü de r*i olsun. Bu durumda, rG , ri ve r*i DUDVÕQGD, ri = r*i + rG
LOLúNLVLQL\D]DELOLUL]%|\OHFH,OHYKDQÕQz-eksenine göre eylemsizlik momenti
HOHPDQÕQÕQ NRQXP YHNW|U
G2
G
G
I z = ∫∫ r 2 dm = ∫∫ r dm = ∫∫ (r* + rG )2 dm
D
D
D
G G
(*)
G G
= ∫∫ r* dm + 2 ∫∫ rG r* dm + rG2 ∫∫ dm = I G + MrG2 + 2 ∫∫ rG r* dm
2
D
D
D
D
olur. 6D÷WDUDIWDNLVRQLQWHJUDOi
G G
G
G
∫∫ r r dm = r ∫∫ r dm
G *
*
G
D
D
úHNOLQGH\D]DOÕPùLPGL
G
rG =
1
M
G
GD÷ÕUOÕNPerkezini, vektörel formda,
1
G
∫∫ rdm = M ∫∫ (r
G
D
D
G
+ r* )dm =
1 G
1
rG ∫∫ dm +
M D
M
G
G
∫∫ r dm = r
*
D
G
+
1
M
G
∫∫ r dm
*
D
úHNOLQGHWDQÕPODUVDN
G
∫∫ r dm = 0
*
D
ROGX÷X DQODúÕOÕU EX VRQ LQWHJUDOLQ DQODPÕQÕ GúQQ] %|\OHFH HúLWOL÷LQH JHUL
dönecek olursak
I z = I G + MrG2
sonucuna ulDúÕUÕ]
189
Örnek 4. ( x − 1)2 + y 2 = 1 oHPEHULQLQ NDSODGÕ÷Õ DODQD \HUOHúPLú KRPRMHQ \R÷XQOXNOX LQFH
OHYKDQÕQa) kütle merkezine göre, b) orijine göre eylemsizlik momentlerini bulunuz.
Çözüm. a) /HYKDQÕQ D÷ÕUOÕN PHUNH]LQLQ G QRNWDVÕ ROGX÷X DoÕNWÕU (÷HU D÷ÕUOÕN
merkezini orijin kabul eden yeni bir koordinat sistemi tasarlar ve dm NWOH HOHPDQÕQÕQ EX
sistemdeki konum vektörünü
G
G
G G
r* = x*i + y* j , r* = r* , x* = r* cos θ , y* = r* sin θ ,
ile gösterirsek
2π 1


I G = ∫∫ r*2 dm = ρ ∫∫ r*2 dxdy = ρ ∫∫ r*2 r*dr* dθ =ρ ∫  ∫ r*3dr*  dθ
D
D
D
0 0

1 πρ
= 2πρ =
4 2
HOGH HGHUL] /HYKDQÕQ NWOHVL
M = π R 2 ρ = πρ YH \DUÕoDSÕ R
EU ROGX÷XQGDQ \XNDUÕGDNL
ifade
1
1
I G = πρ = MR 2
2
2
M kütleli ve R \DUÕoDSOÕ, homojen, ince, dairesel bir OHYKDQÕQ
dairenin merkezine göre (\DQL OHYKDQÕQ D÷ÕUOÕN PHUNH]LQH J|UH Hylemsizlik momenti, kütlesi
LIDGHVLQH HúGH÷HUGLU 2 KDOGH
LOH\DUÕoDSÕQÕQNDUHVLQLQoDUSÕPÕQÕQ\DUÕVÕQDHúLWWLU
KWOH PHUNH]LQLQ RULMLQH X]DNOÕ÷Õ rG = 1 ROGX÷XQGDQ |QFHNL |UQHNWHQ \DUDUODQDUDN OHYKDQÕQ
z-eksenine göre (bu örnekte, koordinat sisteminin orijinine göre) eylemsizlik momentini
I z = I G + MrG2 =
πρ
3
+ πρ = πρ
2
2
olarak buluruz.
190
Bölüm 5
ho.DWOÕøQWHJUDOOHU
%XE|OPGHoNDWOÕLQWHJUDONDYUDPÕYHLOJLOLGL÷HUWDQÕPYHWHRUHPOHUYHULOHFHNWLU
ho.DWOÕøQWHJUDOOHU
Üç .DWOÕ øQWHJUDO). w = f ( x, y, z ) VÕQÕUOÕ D ⊂ R 3 bölgesinde tDQÕPOÕ ROVXQ D
E|OJHVLQLQ GLNG|UWJHQVHO SUL]PDODU úHNOLQGHNL SDUoDODQÕúÕQÕ ùHNLO GLNNDWH DODOÕP ve elde
edilen alt bölgeleri, 1’den n¶\H NDGDU QXPDUDODQGÕUDOÕP D bölgesinin hacmi V olmak üzere,
D¶QLQ SDUoDODQÕúÕQGDNL i-ci alt bölgenin
hacmini ∆Vi = ∆xi ∆yi ∆zi ile gösterelim.
7DQÕP ùLPGL
( xi* , yi* , zi* )
LoHULVLQGHNL
KHU
ile, i-ci alt bölge
KDQJL
ELU
QRNWD\Õ
göstererek
n
∑ f ( x , y , z )∆V
*
i
*
i
*
i
(1)
i
i =1
WRSODPÕQÕ ROXúWXUDOÕP (÷HU
D’nin sonsuz
SDUoDODQÕúÕ LoLQ n → ∞ WRSODPÕQÕQ
tek bir sonlu limiti varsa, bu limite,
w = f ( x, y , z )
fonksiyonunun,
D
E|OJHVLQGHNLoNDWOÕLQWHJUDOLGHQLUYH
∫∫∫
n
f ( x, y , z )dxdydz = lim ∑ f ( xi* , yi* , zi* )∆Vi
n →∞
D
(2)
i =1
úHNOLQGHJ|VWHULOLU
øNL NDWOÕ LQWHJUDOOHUGH ROGX÷X JLEL o NDWOÕ LQWHJUDOOHU GH VÕUDOÕ WHN NDWOÕ LQWHJUDOOHU FLQVLQGHQ
\D]ÕODELOLU (÷HU LQWHJUDO VÕUDVÕ
LQFHOHPH\OHLQWHJUDOGH÷LúNHQOHULQ
x1 ≤ x ≤ x2 ,
dzdydx úHNOLQGH
inVÕQÕUODUÕ
u ( x) ≤ y ≤ v( x),
VHoLOLUVH
D
E|OJHVL ]HULQGHQ \DSÕODQ
g ( x, y ) ≤ z ≤ h ( x, y )
(3)
f ( x, y, z )dzdydx
(4)
úHNOLQGHEXOXQGXNWDQVRQUD
∫∫∫
D
x2 v ( x ) h ( x , y )
f ( x, y , y )dxdydz =
∫∫ ∫
x1 u ( x ) g ( x , y )
IRUPONXOODQÕODUDNoNDWOÕLQWHJUDOKHVDSODQÕU
ÜçNDWOÕLQWHJUDO
191
∫∫∫
z2 v ( z ) h ( y , z )
f ( x, y , y )dxdydz =
∫∫ ∫
(5)
f ( x, y , z )dxdydz
z1 u ( z ) g ( y , z )
D
úHNOLQGH GH KHVDSODQDELOLU
Üo NDWOÕ LQWHJUDOLQ KHVDSODQPDVÕQGD NXOODQÕODELOHFHN YH EHQ]HULVÕUDOÕLQWHJUDO IRUPOOHULQLQWRSODP GH÷LúLN úHNLOGH\D]ÕODELOHFH÷LDoÕNWÕU%XQODUGDQ
KDQJLVLQLQNXOODQÕODFD÷ÕQD
D bölgesinin incelenmesi ile karar verilir.
Örnek 1. x 2 + y 2 + z 2 = 1 küresi ile z =
1
G]OHPL DUDVÕQGD NDODQ ' E|OJHVLQLQ KDFPLQL
2
KHVDSOD\ÕQÕ]
x2 + y2 + z 2 = 1
Çözüm.
küresi
ile
z=
1
2
düzleminin arakesiti
x2 + y 2 =
3
4
oHPEHUL ROXS EX oHPEHULQ EHOLUOHGL÷L E|OJH\L % LOH
gösterelim. D bölgesinin hacmi için
 z2 
V = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫  ∫ dz dxdy
 z1 
D
B 
\D]DELOLUL] ùHNLO LQFHOHQLUVH
1
≤ z ≤ 1 − x2 − y2
2
hacim

V = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫ 
D
B

1− x 2 − y 2
∫
1
2

dz dxdy

1

= ∫∫  1 − x 2 − y 2 − dxdy
2
B 
olur. B ≡ x 2 + y 2 =
3
bölgesi için
4
3
3
,
≤ x≤
2
2
3 2
3 2
−
−x ≤ y≤
−x
4
4
−
192
ROGX÷X DQODúÕOÕU 2 KDOGH DUDQDQ
dir. Uçlak koordinatylara geçersek
1
1

V = ∫∫  1 − x 2 − y 2 − dxdy = ∫∫ ( 1 − r 2 − )rdrdθ
2
2
B 
B
2π
=
∫
0
 3

2

1
2
 ∫ ( 1 − r − 2 )rdr dθ
0



elde ederiz. Burada u = 1 − r 2 GH÷LúNHQG|QúPX\JXODUVDN
1
V =−
2
2π
1
2
2π
=−
1
2
2π
=−
=
5
48
∫
0
 14

1


 ∫ ( u − 2 )du dθ
 1

1/ 4
2 3/ 2 1
∫0 ( 3 u − 2 u) 1 dθ
 2 1
∫ ( 3 ( 4 )
3/ 2
0
2π
−
11
2 1 
) − ( − ) dθ
24
3 2 
5π
∫ dθ = 24
0
sonucunu elde ederiz.
in Özellikleri
ho.DWOÕøQWHJUDO
Bir
YH LNL NDWOÕ LQWHJUDOOHUGH JHoHUOL RODQ WHPHO |]HOOLNOHU o NDWOÕ LQWHJUDOOHUGH GH JHoHUOLGLU
hoNDWOÕLQWHJUDOOHULoLQúXWHPHO|]HOOLNOHUYHULOHELOLU
i) f ( x, y, z ) ve g ( x, y, z ) ’ler, D ⊂ R 3 bölgesLQGH WDQÕPOÕ YH VUHNOL LNL IRQNVL\RQ YH h ile k
keyfi iki sabit olmak üzere
∫∫∫ [hf ( x, y, z ) + kg ( x, y, z )] dxdydz = h ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz + k ∫∫∫ g ( x, y, z)dxdydz
D
D
(1)
D
olur.
ii)(÷HU'E|OJHVLQLQKHU\HULQGH f ( x, y, z ) ≤ g ( x, y, z ) ise
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz ≤ ∫∫∫ g ( x, y, z )dxdydz
D
D
HúLWVL]OL÷LVD÷ODQÕU
193
(2)
iii) (Üç .DWOÕ øQWHJUDO KHVDEÕQ RUWDODPD GH÷HU WHRUHPL). Sürekli bir f ( x, y, z )
fonksiyonunun, D E|OJHVLQGHNL HQ NoN YH HQ E\N GH÷HUOHUL VÕUDVÕ\OD m ve M ve D
bölgesinin hacmi V olmak üzere,
mV < ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz < MV
(3)
D
f ( x, y, z ) VUHNOL ELU IRQNVL\RQ ROGX÷XQGDQ |÷OH ELU
HúLWVL]OLNOHUL \D]ÕODELOHFH÷LQGHQ YH
( x0 , y0 , z0 ) ∈ D QRNWDVÕEXOXQDELOLUNLEXQRNWDLoLQ
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = f ( x , y , z )V
0
0
(4)
0
D
ya da
f ( x0 , y0 , z0 ) =
\D]ÕODELOLU%XUDGD
1
V
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
(5)
D
f ( x0 , y0 , z0 ) ’nin
m < f ( x0 , y0 , z0 ) < M
(6)
HúLWVL]OL÷LQL VD÷OD\DQ ELU VD\Õ ROGX÷XQD GLNNDW HGLOPHOLGLU LOH YHULOHQ
GH÷HULQH
f ( x0 , y0 , z0 )
f ( x, y, z ) fonksiyonunun, DE|OJHVLQGHNLRUWDODPDGH÷HULGHQLU
iv) f ( x, y, z ) , DE|OJHVLQGHWDQÕPOÕYHVUHNOLELUIRQNVL\RQROPDN]HUH
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz ≤ ∫∫∫
D
f ( x, y, z ) dxdydz
(7)
D
HúLWVL]OL÷LYDUGÕU
v) D bölgesinin hacmi V ise, f ( x, y, z ) = 1 DOÕQDUDN
V = ∫∫∫ dxdydz
(8)
D
elde edilir.
vi)
(÷HU
f, D
E|OJHVLQGHNL \R÷XQOXN IRQNOVL\RQX LVH \DQL
f ( x, y, z ) = ρ ( x, y, z ) ise, D
E|OJHVLQH\HUOHúPLúFLVPLQNWOHVL
M = ∫∫∫ ρ ( x, y, z )dxdydz
(9)
D
oNDWOÕLQWHJUDOLLOHYHULOLUg]HORODUDNH÷HU
DE|OJHVLKRPRMHQ\R÷XQOXNOXLVHEXGXUXPGD
194
M = ρ ∫∫∫ dxdydz = ρV
(10)
D
olur.
D = {( x, y , z ) 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ π , 0 ≤ z ≤ π }
Örnek 1. D Bölgesi
úHNOLQGH
YHULOL\RU
f ( x, y, z ) = x 2 + yz fonksiyonunun, DE|OJHVL]HULQGHQRUWDODPDVÕQÕEXOXQX]
Çözüm. D E|OJHVL GLNG|UWJHQOHU SUL]PDVÕ úHNOLQGH ROXS KDFPL V = π 3 br 3 ’tür. Ortalama
GH÷HUWHRUHPLQHJ|UH f ( x, y , z ) fonksiyonunun, DE|OJHVLQGHNLRUWDODPDGH÷HULLoLQ
1
1
f ( x0 , y0 , z0 ) = ∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz = 3 ∫∫∫ ( x 2 + yz )dxdydz
V D
π D
yazabiliriz.6ÕUDOÕLQWHJUDOIRUPOQX\JXODUVDN
f ( x0 , y0 , z0 ) =
1
π3
2
∫∫∫ ( x + yz)dxdydz =
D
π π π
 
1  
( x 2 + yz ) dx dy dz
3 ∫ ∫ ∫
π 0  0  0
 
π
π π

1  x3
xyz
dy dz
(
)
+

3 ∫ ∫
π 0  0 3

0
π π

1  π3
= 3 ∫  ∫ ( + π yz )dy dz
π 0 0 3

π
π

1  π3
π 2
= 3 ∫  ( y + y z ) dz
2
π 0 3
0 


=
π
π
1 π4 π3
1 π4
π3 2
z )dz = 3 ( z +
z )
= 3 ∫( +
2
4
π 0 3
π 3
0
1 π5 π5
7π 2
== 3 ( + ) =
4
12
π 3
elde ederiz. O halde, f ( x, y, z ) = x 2 + yz fonksiyonu, DE|OJHVLQGHNLRUWDODPDGH÷HULQL
f ( x, y, z ) = x 2 + yz =
GHQNOHPLQLVD÷OD\DQ
7π 2
12
( x, y, z ) QRNWDODUÕQGDDOPDNWDGÕU
Örnek 2. D bölgesi, x + 2 y + z = 1 G]OHPL
ROGX÷XQDJ|UHD bölgesinin hacmini bulunuz.
YH NRRUGLQDW HNVHQOHUL LOH VÕQÕUODQDQ E|OJH
195
Çözüm. ùHNLO¶QLQFHOHQPHVLLOHDE|OJHVLQLQVÕQÕUODUÕLoLQ
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤
\D]ÕODELOHFH÷LDQODúÕOÕU
1
(1 − x), 0 ≤ z ≤ 1 − x − 2 y
2
O halde, aranan hacim
1
(1− x )
1− x − 2 y
1 2
V = ∫∫∫ dxdydz = ∫
0
D
1
(1− x )
1 2
=∫
∫
0
0
∫
0
∫
dzdydx
0
1
1
(1 − x − 2 y )dydx = ∫ ( y − xy − y 2 ) 2
(1− x )
0
0
1
1
1
1

= ∫  (1 − x) − ( x − x 2 ) − (1 − x) 2 dx
2
2
4

0 
1
1
1
=
1
1
1
(1 − x )dx − ∫ ( x − x 2 )dx − ∫ (1 − 2 x + x 2 )dx
∫
20
20
40
=
1
x2
1 x 2 x3
1
x3
( x − ) − ( − ) − ( x − x2 + )
2
2 0 2 2 3 0 4
3 0
=
1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
(1 − ) − ( − ) − (1 − 1 + ) = − − =
2
2 2 2 3 4
3 4 12 12 12
1
1
1
olur.
Örnek 3. x 2 + y 2 = 1 silindiri ile z=0 ve z = x + y + 5 G]OHPOHULDUDVÕQGDNDODQE|OJHD ise
a) D bölgesi üzerinden, f ( x, y, z ) = xy IRQNVL\RQXQXQoNDWOÕLQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
196
b) DE|OJHVLQLQKDFPLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
c) D E|OJHVLQH \HUOHúWLULOHQ FLVPLQ \R÷XQOXN IRQNVL\RQX ρ ( x, y, x ) = x úHNOLQGH LVH FLVPLQ
kütlesini hesapOD\ÕQÕ]
Çözüm a)6|]NRQXVXE|OJHQLQWDQÕPÕ
{
}
D = ( x, y, z ) − 1 ≤ x ≤ 1, − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ z ≤ x + y + 5
úHNOLQGHGLU
Buna göre
1− x 2 x + y + 5
1
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ ∫
∫
−1 − 1− x 2
D
1− x 2
1
=
xydzdydx
0
∫ ∫
xy ( x + y + 5)dydx
−1 − 1− x 2
1
x2
x
5x 2
= ∫ ( y 2 + y3 +
y )
2
3
2
−1
−
1− x 2
dx
1− x 2
1
=
2
x(1 − x 2 )3/ 2 dx
3 −∫1
0
1 3/ 2
u du = 0
3 ∫0
=−
elde edilir.
b)
V = ∫∫∫ dxdydz =
D
1
= ∫ ( xy +
−1
1− x 2 x + y + 5
1
∫ ∫
−1 − 1− x
1 2
y + 5 y)
2
−
∫
1
dzdydx =
1− x
∫ ∫
−1 − 1− x
0
2
1− x 2
( x + y + 5)dydx
2
2
dx
1− x 2
1
= ∫ (2 x 1 − x 2 + 10 1 − x 2 )dx.
−1
1
1
−1
−1
= 2 ∫ x 1 − x 2 dx + 10 ∫ 1 − x 2 dx
Burada, u = 1 − x 2 G|QúP
görülebilir. O halde,
\DSÕODUDN VD÷ WDUDIWDNL LON LQWHJUDOLQ VÕIÕU ROGX÷X NROD\FD
1
V = ∫∫∫ dxdydz = 10 ∫ 1 − x 2 dx
D
−1
197
olur. Burada x = sin θ G|QúP\DSÕOÕUVD
V = ∫∫∫ dxdydz = 10
D
π 2
∫
cos 2 θ dθ
−π 2
π 2
π 2
1
1
= 10 ∫ (1 + cos 2θ )dθ = 5(θ + sin 2θ )
= 5π
2
2
−π 2
−π 2
elde edilir.
c)
M = ∫∫∫ ρ ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ xdxdydz
D
1− x
1
=
D
∫ ∫
2
−1 − 1− x 2
x + y +5
∫
1
xdzdydx =
1− x 2
∫ ∫
x( x + y + 5)dydx
−1 − 1− x 2
0
1
x
= ∫ ( x y + y 2 + 5 xy )
2
−
−1
1− x 2
2
1
1
−1
−1
1− x 2
1
dx = ∫ (2 x 2 1 − x 2 + 10 x 1 − x 2 )dx
−1
= 2 ∫ x 2 1 − x 2 dx + 10 ∫ x 1 − x 2 dx
elde edilir. SD÷GDNL LNLQFL LQWHJUDOLQ VÕIÕU ROGX÷Xnu (b úÕNNÕQGDQ ELOL\RUX] Bu durumda,
cismin kütlesi
1
M = 2 ∫ x 2 1 − x 2 dx
−1
dir. Burada, x = sin θ G|QúP\DSÕOÕUVD
π 2
M=
∫
sin 2 θ cos 2 θ dθ
−π 2
HOGHHGLOLU<DUÕPDoÕIRUPOOHULNXOODQÕOÕUVD
1
1
1
sin 2 θ cos 2 θ = (1 − cos 2θ ) (1 + cos 2θ ) = (1 − cos 2 2θ )
2
2
4
1 1
 1 1
= 1 − (1 + cos 4θ )  = − cos 4θ
4 2
 8 4
yazabiliriz. Böylece, DE|OJHVLQH\HUOHúPLúFLVPLQNWOHVL
198
π 2
M=
π 2
π 2
1
1
1 1

 − cos 4θ  dθ = ∫ dθ − ∫ cos 4θ dθ
∫
4
8 −π 2
4 −π 2

−π 2  8
π 2
1
1
π
= ( θ − sin 4θ )
=
8
16
8
−π 2
olur.
5.3 Silindirik ve Küresel Koordinatlarda ho.DWOÕøQWHJUDO
5.3.1 Silindirik Koordinatlarda ho.DWOÕøQWHJUDO
Kartezyen koordinatlarda verilen bir N ( x, y, z ) QRNWDVÕQÕ GLNNDWH DODOÕP N QRNWDVÕQGDQ xydüzlemine indirilen dikme, xy-düzlemini, N ′ QRNWDVÕQGD NHVVLQ 2ULMLQL N ′ QRNWDVÕQD
ELUOHúWLUHQ YHNW|UQ E\NO÷ r ve x-ekseni ilH \DSWÕ÷Õ DoÕ ϕ ùHNLO ROPDN ]HUH N
QRNWDVÕQÕQNRQXPXQXr, ϕ , zVD\ՁoOVLOHGHJ|VWHUHELOLUL]%|\OHFHHOGHHGLOHQNRRUGLQDW
sistemine “silindirik koordinat sistemi” denir. ùHNLO ¶GHQ DQODúÕODFD÷Õ ]HUH NDUWH]\HQ
NRRUGLQDWODULOHVLOLQGLULNNRRUGLQDWODUDUDVÕQGDNLG|QúPIRUPOOHUL
x = r cos ϕ 

y = r sin ϕ 

z=z

(1)
úHNOLQGHGLU%XQDJ|UHG|QúPQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕ
cos ϕ
∂ ( x, y , z )
= sin ϕ
J=
∂(r , ϕ , z )
0
−r sin ϕ
r cos ϕ
0
0
0 =r
1
199
(2)
, D
GÕU (÷HU
E|OJHVL ùHNLO ¶GH J|VWHULOGL÷L JLEL NDUSX] GLOLPLQL DQGÕUDQ ELU úHNLOGH
dV = rdrdϕ dz
RODFD÷ÕDQODúÕOÕU2KDOGHX]D\ÕQELUD bölgesi üzerinden, kartezyen koordinatlarda verilen üç
SDUoDODQPD\D WDEL WXWXOXUVD HOGH HGLOHQ SDUoDODQPDQÕQ KDFLP HOHPDQÕQÕQ
NDWOÕLQWHJUDOLQVLOLQGLULNNRRUGLQDWODUGDNLNDUúÕOÕ÷ÕLoLQ
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ , z )rdrdϕ dz
D
(3)
D
G|QúP IRUPOQ HOGH HGHUL] D bölgesinin hacmini, silindirik koordinatlarda yazmak için
(3) ifadesinde f ( x, y, z ) = 1 almak yeterlidir. Buna göre, silindirik koordinatlarda hacim
integrali
V = ∫∫∫ rdrdϕ dz
(4)
D
úHNOLQGHGLU
5.3.2 Küresel Koordinatlarda ho.DWOÕøQWHJUDO
ùHNLO ¶GH J|VWHULOGL÷L JLEL X]D\ÕQ bir D bölgesindeki herhangi bir N ( x, y , z ) QRNWDVÕQÕ
GLNNDWH DODOÕP Orijini, N QRNWDVÕQD ELUOHúWLUHQ \DUÕoDS YHNW|UQQ X]XQOX÷X r ve pozitif zHNVHQL LOH \DSWÕ÷Õ DoÕ θ
olsun. %XQGDQ EDúND N QRNWDVÕQÕQ xy-G]OHPLQGHNL L]GúP
QRNWDVÕQÕ N ′ ve ON ′ ’nün x-HNVHQL LOH SR]LWLI \|QGH \DSWÕ÷Õ DoÕ\Õ GD ϕ ile gösterelim.
%|\OHFH 1 QRNWDVÕQÕQ NRQXPXQX ( r ,θ , ϕ ) oOV LOH WHN WUO LIDGH HGHELOHFH÷LPL] DQODúÕOÕU
%X úHNLOGH HOGH HGLOHQ NRRUGLQDW VLVWHPLQH ³küresel koordinat sistemi´ GHQLU ùHNLO ¶LQ
incelenmesi ile kDUWH]\HQYHNUHVHONRRUGLQDWODUDUDVÕQGDNLG|QúPIRUPOOHULnin
b
x = r sin θ cos ϕ 

y = r sin θ sin ϕ 

z = r cosθ

(5)
200
úHNOLQGHROGX÷XDQODúÕOÕU
Kolayca g|VWHULOHELOHFH÷L]HUHG|QúPQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕ
sin θ cos ϕ
∂ ( x, y , z )
= sin θ sin ϕ
J=
∂ (r ,θ , ϕ )
cos θ
r cos θ cos ϕ
r cos θ sin ϕ
− r sin θ
−r sin θ sin ϕ
r sin θ cos ϕ = r 2 sin θ
(6)
0
D E|OJHVLQLQ ùHNLO ¶GH J|VWHULOGL÷L JLEL NUHVHO NDEXN úHNOLQGHNL KDFLPsel
GLNNDWH
DODOÕP
6RQVX]
E|OQú
GXUXPXQGD
hacim elemaQÕQÕQ
2
dV = r sin θ drdθ dϕ úHNOLQGH LIDGH HGLOHELOHFH÷L ùHNLO ¶GHQ NROD\FD J|UOHELOLU Bu
durumda, f ( x, y, z ) fonksiyonunun, D E|OJHVL ]HULQGHQ o NDWOÕ LQWHJUDOLQL, küresel
koordinatlarda
GÕU ùLPGL
E|OQúQ
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (r sin θ cos ϕ , r sin θ sin ϕ , r cos θ )r 2 sin θ drdθ dϕ
D
(7)
D
Buradan da, f (r sin θ cos ϕ , r sin θ sin ϕ , r cos θ ) = 1 alarak,
bölgesinin hacmi için, küresel koordinatlarda
úHNOLQGH \D]DELOLUL]
X]D\ÕQ ELU
V = ∫∫∫ r 2 sin θ drdθ dϕ
D
(8)
D
ifadesini elde ederiz.
Örnek 1. D bölgesi, z 2 = 1 − x 2 − y 2 konisi, x 2 + y 2 = 1 silindiri ve z G]OHPL DUDVÕQGD
2
NDODQ E|OJH ROGX÷XQD J|UH a) D bölgesinin hacmini b) D bölgesi üzerinde f ( x, y , z ) = x yz
IRQNVL\RQXQXQLQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. Söz konusu DE|OJHVLùHNLO¶GHJ|VWHULOPLúWLUBölge, kartezyen koordinatlarda
{
D = ( x, y, z ) − 1 ≤ x ≤ 1, − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 ,
201
}
1 − x2 − y2 ≤ z ≤ 1
úHNOLQGHJ|VWHULOHELOLU
ken, silindirik koordinatlarda
{
D = (r , ϕ , z ) 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π ,
úHNOLQGHGLU%XQDJ|UH
}
1− r2 ≤ z ≤ 1
,
a)
 
dz
∫0
∫ 2 dr  dϕ
D
D
1− r
 
2π
2π 0

1
1 
1
3π
V = ∫ dϕ + ∫  ∫ udu  dϕ = π + 2π =
2 0
2 0 1
4
2

V = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫∫ rdrdϕ dz =
2π
1 
∫ r 
 0 

1
olur.
b)
I = ∫∫∫ x 2 zdxdydz = ∫∫∫ r 3 cos 2 ϕ zdrdϕ dz =
D
2π
=
∫
0
=
D
2π
∫
0
1 
∫ 
 
0 
1
∫
1− r 2


zdz  r 3 dr  cos 2 ϕ dϕ




2π
2π
1 1 2 3 
1
1
2
2
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
r
r
dr
cos
d
cos
d
(1 + cos 2ϕ )dϕ
 ∫( )

12 ∫0
24 ∫0
2 0

π
1
(2π + 0) =
24
12
olur.
Örnek 2. D bölgesi, alttan z 2 = x 2 + y 2 konisi ile, üstten de x 2 + y 2 + ( z − 1) 2 = 1 küresinin üst
\DUÕVÕ LOH VÕQÕUODQGÕ÷ÕQD göre
a) D bölgesinin hacmini, b) D bölgesi üzerinden
2
2
2 12
f ( x, y, z ) = ( x + y + z ) IRQNVL\RQXQXQLQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. Küresel koordinatlara geçilirse söz konusu koni
π
θ=
ve
YH
NUHQLQ
GHQNOHPOHULQLQ
VÕUDVÕ\OD
4
r = 2 cos θ ROGX÷X NROD\FD J|VWHULOHELOLU D bölgesi ve
küresel koordiQDWODUGDNL KDFLP HOHPDQÕ ùHNLO ¶GD
J|VWHULOPLúWLU
Buna göre, D bölgesini, küresel
koordinatlarda
D = {(r ,θ , ϕ ) 0 ≤ r ≤ 2 cosθ , 0 ≤ θ ≤ π / 4, 0 ≤ ϕ ≤ 2π }
úHNOLQGHEHOLUWHELOLUL]%XQDJ|UH
202
a)
V = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫∫ r 2 sin θ drdθ dϕ
D
=
π /4



2π π / 4



2cosθ
1 
r 2 dr  sin θ dθ  dϕ = ∫  ∫ r 3
sin θ dθ  dϕ
0
300



2cosθ
∫ ∫ ∫
0
=
D



2π
2π
8
3
∫
0
2
3
=−
0
0
2π
π / 4 3

8 
d
d
cos
sin
=
θ
θ
θ
ϕ
−
∫

3 ∫0 
0

2π
4
∫ (u )
0
2/2
1
dϕ =
1
2
2 /2
∫
1

u 3 du  dϕ

2π
∫ dϕ = π .
0
b)
I = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )1 2 dxdydz = ∫∫∫ rr 2 sin θ drdθ dϕ
D
2π
=
D



π /4



2cosθ
∫ ∫ ∫
0
0
0
(
2π π / 4
2π



= 4 ∫  ∫ cos 4 θ sin θ dθ  dϕ = −4 ∫ 

0  0
0 

=
4
5
2π
5
∫u
0
2/2
1
)
2π π / 4



2cosθ
1 
r 3 dr  sin θ dθ  dϕ = ∫  ∫ r 4
sin θ dθ  dϕ
0
4 00



dϕ =
4
5
2π
∫(
0
2/2
∫
1

u 4 du  dϕ

2
4 2
− 1)2π .
− 1)dϕ = (
8
5 8
5.4 Kütle
bir DE|OJHVLQH\HUOHúPLú YH ρ ( x, y, z ) úHNOLQGHELU\R÷XQOXN IRQNVL\RQXQDVDKLS ELU
cismiGLNNDWHDODOÕPDE|OJHVLQLQELUVRQVX]SDUoDODQÕúÕQÕGLNNDWHDODOÕPD bölgesinin hacmi
V ve bölgülerin hacimleri de ∆Vi (i = 1, 2,..., n ) oOVXQ%|OJOHULQKHUELULQLQLoNÕVPÕQGDNLKHU
hangi ( xi , yi , zi ) QRNWDODUÕQÕ GLNNDWH DODOÕP YH EX QRNWDODUGDNL \R÷XQOXNODUÕ ρ ( xi , yi , zi ) ile
J|VWHUHOLP(÷HUi-ci bölgünün kütlesini ∆M ile gösterirsek
i
8]D\ÕQ
∆M i = ρ ( xi , yi , zi )∆Vi
(1)
úHNOLQGHLIDGHHGHELOLUL]%|OJVD\ÕVÕQÕQVRQVX]ROPDVÕGXUXPXQGDH÷HU
n
lim ∑ ρ ( xi , yi , zi )∆Vi
n →∞
(2)
i =1
D bölgesini kapsayan cismin kütlesi denir. O
halde, oNDWOÕNDWOÕLQWHJUDOWDQÕPÕQGDQ\DUDUODQDUDNV|]NRQXVXcismin kütlesini
OLPLWL VRQOX ELU VD\Õ\D \DNÕQVÕ\RUVD EX OLPLWH
203
M = ∫∫∫ ρ ( x, y, z )dxdydz
(3)
D
úHNOLQGH\D]DELOLUL](÷HUFLVLPKRPRMHQ\R÷XQOXNOXLVH\HULQH
M = ρ ∫∫∫ dxdydz = ρV
(4)
D
yazabiliriz. Kütle, silindirik koordinatlarda
M = ∫∫∫ ρ (r , ϕ , z )rdrdϕ dz
(5)
D
integrali ile verilirken küresel koordinatlarda ise
M = ∫∫∫ ρ (r ,θ , ϕ )r 2 sin θ drdϕ dz
(6)
D
ifadesi ile verilir.
Örnek 1. ρ (r ) = ρ0 e − r úHNOLQGH \R÷XQOXN GD÷ÕOÕPÕQD VDKLS RODQ R \DUÕoDSOÕ NUHVHO ELU
\ÕOGÕ]ÕQNWOHVLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm.
6|]NRQXVX \ÕOGÕ]ÕQ PHUNH]LQL NRRUGLQDW VLVWHPLQLQ PHUNH]L RODUDN VHoHUVHN NUHVHO
NRRUGLQDWODUÕNXOODQDUDNNWOHVLQL
2π π R
M = ∫∫∫ ρ (r ,θ , ϕ )r sin θ drdθ dϕ = ρ 0 ∫∫∫ e r sin θ drdθ dϕ = ρ 0 ∫
−r 2
2
D
\D]DELO
iriz.
øQWHJUDV\RQ
−r 2
r sin θ drdθ dϕ
0 0 0
D
úHNOLQGH
∫∫e
VÕQÕUODUÕQÕQ
GH÷LúNHQOHUH
ED÷OÕ
ROPDPDVÕ
\XNDUÕGDNLoNDWOÕLQWHJUDOL
2π
π
R
R
0
0
0
0
M = ρ 0 ∫ dϕ ∫ sin θ dθ ∫ e − r r 2 dr = 4πρ 0 ∫ e − r r 2 dr
úHNOLQGH\D]DELOLUL]
Son olarak, kÕVPLLQWHJUDV\RQIRUPOQX\JXOD\DUDNGD
M = 4πρ 0  − r 2 e− r − 2re− r − 2e− r 
R
0
= 4πρ 0  (− R 2 e − R − 2 Re − R − 2e − R ) − (−2) 
= 4πρ 0  2e R − R 2 − 2 R − 2  e− R
ifadesini elde ederiz.
204
QHGHQL\OH
,
5.5 0RPHQWYH$÷ÕUOÕN0HUNH]L
Bir D E|OJHVL LOH WDQÕPODQDQ FLVPLQ NRRUGLQDW düzlemlerine göre momentleri, bir ince
levhaQÕQNRRUGLQDWHNVHQOHULQHJ|UHPRPHQWOHULQHEHQ]HURODUDNWDQÕPODQDELOLU%XQDJ|UH D
E|OJHVLQH\HUOHúPLúELUFLVPLQVRQVX]SDUoDODQÕúÕQGDNL i-FLKDFLPHOHPDQÕQÕQNWOHVL ∆m ve
i
( xi , yi , zi ) olsun. Bu durumda, ∆mi düzlemi) göre momenti
NRRUGLQDWÕ GD
NWOH HOHPDQÕQÕQ
yz-düzlemine (x=0
∆M ix = xi ∆mi
(1)
∆mi NWOH HOHPDQÕQÕQ xz- ve xy-G]OHPOHULQH VÕUDVÕ\OD
y=0 ve z G]OHPOHUL J|UH PRPHQWOHUL GH VÕUDVÕ\OD ∆M iy = yi ∆mi ve ∆M iz = zi ∆mi olur.
Böylece, PRPHQWLQWRSODQDELOLUOLN|]HOOL÷LQGHQ\DUDUODQDUDNDE|OJHVLQH\HUOHúPLúM kütleli
cismin x=0, y=0 ve z G]OHPOHULQHJ|UHPRPHQWOHULQLoNDWOÕLQWHJUDOOHU\DUGÕPÕ\OD
úHNOLQGH WDQÕPODQÕU %HQ]HU RODUDN

M x = ∫∫∫ x ρ ( x, y, z )dxdyz 
D


M y = ∫∫∫ y ρ ( x, y, z )dxdyz 
D

M z = ∫∫∫ z ρ ( x, y, z )dxdyz 
D

(2)
úHNOLQGH WDQÕPODUÕ] %XUDGDQ GD FLVPLQ D÷ÕUOÕN PHUNH]LQLQ
kartezyen
NRRUGLQDWODUÕ
(x, y, z )
içinVÕUDVÕ\OD
x=
1
M

∫∫∫ x ρ ( x, y, z )dxdyz 


ρ
y
x
y
z
dxdyz
(
,
,
)

∫∫∫
D


1
z=
y ρ ( x, y, z )dxdyz 
∫∫∫
M D

D
1
y=
M
(3)
ifadelerini elde ederiz.
%XUDGD YHUGL÷LPL] LQWHJUDOOHUL X\JXQ G|QúPOHU YDVÕWDVÕ\OD VLOLQGLULN \D GD NUHVHO
koordinatlar cinsinden de hesaplanabilirler.
Örnek 1. D bölgesi, üstten x + y + z = 2 düzlemi, alttan z = 1 düzlemi ve yanlardan da
1
x 2 + y 2 = VLOLQGLUL LOHVÕQÕUODQPÕúWÕU DE|OJHVLQH\HUOHúWLULOPLúKRPRMHQ \R÷XQOXNOXFLVPLQ
2
a) hacmini, b)D÷ÕUOÕNPerkezini bulunuz.
205
Çözüm. D bölgesinin
\DQ NHQDUODUÕ VLOLQGLU ROGX÷XQGDQ VLOLQGLULN NRRUGLQDWODUÕ NXOODQPDN
o|]PEDVLWOHúWLUHFHNWLU
D bölgesini, silindirik koordinatlarda


2
D = ( r , ϕ , z ) 0 ≤ r ≤
, 0 ≤ ϕ ≤ 2π ,1 ≤ z ≤ 2 − r (cos ϕ + sin ϕ )
2


úHNOL
nde ifade edebiliriz. Buna göre,
a)
V = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫∫ rdrdϕ dz =
D
2π
2/2
∫ ∫
=
0
2π
=



D
∫
0
0
2π



2/2
∫ ∫
0
0
 2− r (cosϕ + sin ϕ )  

∫1 dz rdr  dϕ

 
2/2
2π

 r2 r3

[1 − r (cos ϕ + sin ϕ )]rdr  dϕ = ∫  − (cos ϕ + sin ϕ ) dϕ
2 3
0

0 
2π
1

1

π
2
2
(cos ϕ + sin ϕ )  dϕ =  ϕ −
(sin ϕ − cos ϕ )  =
 −
12
2
 4 12

4
0
olur.
D E|OJHVLQH \HUOHúPLú FLVPLQ, koordinat düzlemlerine
J|UHPRPHQWOHULQLKHVDSOD\DOÕP Simetri nedeniyle, M = M RODFD÷ÕDoÕNWÕU%XQDJ|UH
x
y
b)
øON |Q
ce,
IRUPOOHUL \DUGÕPÕ\OD
2π 
M x = ∫∫∫ x ρ ( x, y, z )dxdydz = ρ ∫∫∫ r 2 cos ϕ drdϕ dz = ρ ∫ 
D
D
0 

2π  2 / 2

= ρ ∫  ∫ [1 − r (cos ϕ + sin ϕ )]r 2 dr  cos ϕ dϕ

0 
 0
2π
 r3 r 4

= ρ ∫  − (cos ϕ + sin ϕ ) 
3 4
0
0 
2/2
∫
0
 2 − r (cosϕ +sin ϕ )  2 

∫1 dz r dr  cos ϕ dϕ



2/2
cos ϕ dϕ
2π
 2

1
1
=ρ∫
cos ϕ − cos 2 ϕ − sin ϕ cos ϕ  dϕ
12
16
16
0 

2π
 2

1
1
Mx = ρ ∫ 
cos ϕ − (1 + cos 2ϕ ) − sin ϕ cos ϕ  dϕ
12
32
16
0 

2π
2π
2π
 2

1
1
=ρ
cos ϕ dϕ −
(1 + cos 2ϕ )dϕ − ∫ sin ϕ cos ϕ dϕ 
∫
∫
32 0
16 0
 12 0

2π
2π
 2

πρ
1
1
1
2π
2
=ρ
sin ϕ 0 − (ϕ + sin 2ϕ ) − sin ϕ  = −
32
2
32
16

0
0 
 12
olur. Cismin, z=0 düzlemine göre momentinin
206

M z = ∫∫∫ z ρ ( x, y, z )dxdydz = ρ ∫∫∫ zdrdϕ dz = ρ ∫ 

D
D
0 
2π
=−
2/2
∫
0
 2 −r (cosϕ +sin ϕ )
 2 
zdz

r dr  cos ϕ dϕ
∫1



π
ρ
8
olGX÷XNROD\FDJ|VWHULOHELOLU Cisim,KRPRMHQ\R÷XQOXNOXROGX÷XQGDQNWOHVL M = ρV =
ρπ
2
diU%|\OHFHNWOHPHUNH]LQLQNRRUGLQDWODUÕLoLQIRUPOOHULQGHQ
x=
1
M
1
πρ
1
∫∫∫ xρ ( x, y, z )dxdyz = πρ (− 16 ) = − 8
D
2
1
1
πρ
y ρ ( x, y, z )dxdyz =
(− ) = −
∫∫∫
πρ 16
8
D
2
1
1
1
πρ
z=
y ρ ( x, y, z )dxdyz =
(− ) = −
∫∫∫
πρ
M D
8
4
2
1
y=
M
HOGHHGHUL]%DúNDELUGH÷LúOH
1 1 1
, cismin kütle merkezi (− , − , − ) QRNWDVÕQGDGÕU
8 8 4
5.6 Eylemsizlik Momenti
D ⊂ R 3 bölgesLQH
\HUOHúPLú YH \R÷÷XQOXN GD÷ÕOÕPÕ
ρ ( x, y , z ) RODQ ELU FLVPLQ X]D\ÕQ
KHUKDQJLELUQRNWDVÕQDGR÷UXVXQD\DGDG]OHPLQHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWL
I = ∫∫∫ d 2 dm = ∫∫∫ d 2 ρ ( x, y, z )dxdydz
D
(1)
D
formülü ile verilir. Burada, d = d ( x, y , z ) , D
FLVPLQ dm
kütle
Özel olarak, koordinat
HNVHQOHULQHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWOHUL\D]ÕODELOLU z-eksenine göre eylemsizlik momenti: bu
durumda d 2 = x 2 + y 2 RODFD÷ÕQGDQ
E|OJHVLQH
\HUOHúPLú
HOHPDQODUÕQÕQ V|] NRQXVX QRNWD GR÷UX \D GD G]OHPH X]DNOÕ÷ÕGÕU
I z = ∫∫∫ d 2 dm = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y, z )dxdydz
D
(2)
D
olur. Benzer olarak, x_ ve y-HNVHQOHULQHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWOHULGHVÕUDVÕ\OD
I x = ∫∫∫ d 2 dm = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 ) ρ ( x, y, z )dxdydz
D
D
ve
207
(3)
I y = ∫∫∫ d 2 dm = ∫∫∫ ( x 2 + z 2 ) ρ ( x, y , z )dxdydz
D
úHNOLQGH\D]Õ
(4)
D
labilir. Bir cismin eylemsizlik momenti, silindirik ve küresel koordinatlarda ise
I = ∫∫∫ d 2 ρ (r cos ϕ , r sin ϕ , z )rdrdϕ dz
(5)
I = ∫∫∫ d 2 ρ (r sin θ cos ϕ , r sin θ sin ϕ , r cos θ )r 2 sin θ drdθ dϕ
(6)
D
ve
D
Burada, d fonksiyonunun, silindirik koordinatlarda d (r cos ϕ , r sin ϕ , z )
úHNOLQGH NUHVHO NRRUGLQDWODUGD GD LVH d ( r sin θ cos ϕ , r sin θ sin ϕ , r cos θ ) úHNOLQGH RODFD÷ÕQÕ
úHNOLQGH \D]ÕODELOLU
KDWÕUODWPDNWDID\GDYDUGÕU
Örnek 1. Yerin kütlesi 5.97 ×1027 g YH \DUÕoDSÕ 6.371×108 cm ¶GLU +RPRMHQ \R÷XQOXNOX ve
küresHO \DSÕGD ROGX÷XQX YDUVD\DUDN yerin, çapODUÕQGDQ ELULQH göre eylemsizlik momentini
KHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm
gQFH KRPRMHQ \R÷XQOXNOX ELU NUHQLQ oDSÕQD J|UH H\OHPVL]OLN PRPHQWLQL
ùHNLO ¶GH J|VWHULOGL÷L JLEL Noordinat
sisteminin orijinini, kürenin
merkezinde seçerek, z-HNVHQLQH J|UH H\OHPVL]OLN PRPHQWLQL KHVDSOD\DOÕP Küresel
koordinatlarda, dmNWOHHOHPDQÕQÕQ]-HNVHQLQHRODQX]DNOÕ÷Õ
KHVDSOD\DOÕP
d 2 = z 2 − r 2 = x 2 + y 2 = r 2 sin 2 θ cos 2 ϕ + r 2 sin 2 θ sin 2 ϕ
= r 2 sin 2 θ
ROGX÷XQGDQ
208
I z = ρ ∫∫∫ r 2 sin 2 θ r 2 sin θ drdθ dϕ = ρ ∫∫∫ r 4 sin 3 θ drdθ dϕ
D
2π
D
π
R
= ρ ∫ dϕ ∫ sin 3 θ dθ ∫ r 4 dr =
0
0
0
2πρ R
5
5 π
∫ sin
3
θ dθ
0
π
1
2πρ R 5
2πρ R 5
2
d
(1 − cos θ ) sin θ θ =
(1 − u 2 )du
=
∫
∫
5 0
5 −1
2πρ R 5
=
5
1
 u3 
2 4πρ R 5 2 4
2
u
−
=
= ( πρ R 3 ) R 2 = MR 2


3  −1 5 3
5 3
5

sonucunu elde ederiz. Buna görH\HULQoDSODUÕQGDQELULQHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWL
I yer =
2
2
MR 2 = 5.97 × 1027 × (6.371× 108 ) 2 = 9.693 ×10 44 g cm 2
5
5
<HULQ \|UQJHVLQL \DUÕoDSÕ
d = 1.496 ×1013 cm RODQ ELU oHPEHU NDEXO HGHUHN \XNDUÕGD
menti ile
YDUÕoDSÕ \|UQJH \DUÕoDSÕ \DQÕQGD oRN NoN ROGX÷XQGDQ \HUL QRNWDVDO
kütle olarak varsayabiliriz. %XQDJ|UH\HULQJQHúHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWLLoLQ
EXOGX÷XPX] oDSD J|UH H\OHPVL]OLN PRPHQWLQL \HULQ JQHúH J|UH H\OHPVL]OLN PR
NDUúÕODúWÕUDELOLUL]
I = Md 2 = 5.97 ×10 27 × (1.496 ×1013 ) 2 = 1.336 ×1054 g cm 2
GH÷HULQL HOGH HGHUL] %XQD J|UH \HULQ JQHúH J|UH H\OHPVL]OLN PRPHQWL oDSÕQD J|UH
H\OHPVL]OLNPRPHQWLQLQ\DNODúÕNRODUDNNDWÕGÕU)L]LNWHDoÕVDOPRPHQWXP
L = Iω
ω , G|QPHGRODQPD DoÕVDO KÕ]ÕGÕU <HULQ, dönme ve dolanma
P
dönemleri VÕUDVÕ\OD dön = 24saat = 86400s ve Pdol = 365.25 g = 3.156 × 107 s ROGX÷XQGDQ,
yerin G|QPHYHGRODQPDDoÕVDOPRPHQWXPODUÕiçinVÕUDVÕ\OD
IRUPO LOH WDQÕPODQÕU %XUDGD
Ldön = I çapω dön =
2π
I çap = 7.049 ×1040 g cm 2s -1
Pdön
ve
Ldol = I güneúω GRO =
2π
I JQHú = 2.660 ×1047 g cm 2s -1
Pdol
GH÷HUOHULQL HOGH HGHUL] *|UOG÷ ]HUH \HULQ G|QPH DoÕVDO PRPHQWXPX GRODQPD DoÕVDO
PRPHQWXPX\DQÕQGDLKPDO HGLOHELOHFHNNDGDUNoNWUdLIW\ÕOGÕ]ODUGXUXPXQGDGDJHQHOGH
GXUXP E|\OHGLU $QFDN ED]Õ \DNÕQ YH KÕ]OÕ G|QHQ ELOHúHQOHUH VDKLS oLIW VLVWHPOHULQ LKPDO
edilemeyecek kDGDU E\N G|QPH DoÕVDO PRPHQWXPODUÕQD VDKLS RODELOGLNOHULQL GH EHOLUWPHN
gerekir.
209