Untitled - Pegem.net
advertisement
Kerem Köker / Kenan Osmanoğlu KPSS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI KİTAP ISBN 978-605-318-091-3 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. © Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. “Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.” 27.Baskı: Temmuz 2015, Ankara Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Gülnur Öcalan Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 105/A Yenimahalle/ANKARA Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 13987 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net SUNU Değerli Adaylar; Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan “Geometri” kapsamındaki 3 veya 4 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup; GEOMETRİ - Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar, - Çokgenler ve Dörtgenler, - Çember ve Daire, - Analitik Geometri ve - Katı Cisimler bölümlerinden oluşmaktadır. Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin sonunda, - çıkmış sorular ve - cevaplı testlere; yer verilmiştir. Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Pegem Akademi sınav komisyonuna teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla paylaşınız. Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar. Kerem Köker - Kenan Osmanoğlu İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM GEOMETRİK KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR....................................................1 Geometrik Kavramlar................................................2 Tanımsız Kavramlar...................................................2 Açılar..........................................................................2 Açının Ölçüsü............................................................2 Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler..........................2 Açı Ölçü Birimleri......................................................2 Derecenin Alt Birimleri..............................................3 Açı Çeşitleri................................................................3 Dar Açı........................................................................3 Dik Açı........................................................................3 Geniş Açı....................................................................3 Doğru Açı...................................................................3 Tam Açı.......................................................................3 Komşu Açılar.............................................................3 Açıortay......................................................................3 Tümler Açılar..............................................................4 Bütünler Açılar...........................................................4 Ters Açılar..................................................................5 Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile Yaptığı Açılar..............................................................5 Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen İle Meydana Getirdiği Açılar.....................................5 Kenarları Paralel Açılar.............................................7 Kenarları Dik Açılar...................................................7 Üçgenler.....................................................................10 Üçgen Çeşitleri..........................................................10 Ağırlık Merkezi...........................................................25 Kenarortay Bağıntıları...............................................27 Özel Üçgenler............................................................29 İkizkenar Üçgen.........................................................29 Eşkenar Üçgen..........................................................31 Üçgende Alan.............................................................35 Üçgende Benzerlik....................................................40 Açı – Açı – Açı Benzerlik Kuralı................................40 Tales Teoremi.............................................................42 Temel Orantı Teoremi................................................42 Çapraz Tales Teoremi................................................43 Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Kuralı......................44 Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Kuralı..................45 Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları..............................48 Üçgen Eşitsizliği........................................................48 Çıkmış Sorular...........................................................53 Cevaplı Test - 1 .........................................................56 Cevaplı Test - 2 .........................................................58 Cevaplı Test - 3 .........................................................60 Cevaplı Test - 4 .........................................................62 Cevaplı Test - 5 .........................................................64 Cevaplı Test - 6 .........................................................66 Cevaplı Test - 7 .........................................................68 Cevaplı Test - 8 .........................................................70 Cevaplı Test - 9 .........................................................72 Cevaplı Test - 10 .......................................................74 Cevaplı Test - 11 ........................................................76 Cevaplı Test - 12 .......................................................78 Cevaplı Test - 13 .......................................................80 Açılarına Göre Üçgenler...........................................10 Kenarlarına Göre Üçgenler.......................................10 Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar...................11 Yükseklik....................................................................11 Açıortay......................................................................11 Kenarortay.................................................................11 Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler............................12 Dik Üçgen...................................................................16 Pisagor Teoremi.........................................................16 Öklid Bağıntıları.........................................................17 Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler........................18 Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler............................19 Üçgende Açıortay Teoremleri...................................21 İç Açıortay Teoremi...................................................22 Dış Açıortay Teoremi.................................................23 Üçgende Kenarortay Teoremleri..............................25 2. BÖLÜM ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER..............................83 Çokgenler...................................................................84 Dışbükey ve İçbükey Çokgenler..............................84 Düzgün Çokgen.........................................................85 Dörtgenler..................................................................90 Dörtgenlerde Alan.....................................................91 Paralelkenar...............................................................93 Paralelkenarda Alan..................................................94 Paralelkenarın Alan Özellikleri.................................94 Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler..............96 Eşkenar Dörtgen........................................................97 Dikdörtgen .................................................................98 Kare............................................................................100 4. BÖLÜM Yamuk – Deltoid.........................................................102 ANALİTİK GEOMETRİ................................................147 İkizkenar Yamuk.........................................................105 Noktanın Analitik İncelenmesi..................................148 Dik Yamuk..................................................................107 Analitik Düzlem..........................................................148 Deltoid........................................................................107 İki Nokta Arasındaki Uzaklık.....................................149 Çıkmış Sorular...........................................................108 Doğrusal Noktalar.....................................................150 Cevaplı Test - 1 .........................................................110 Doğrusal Olmayan Noktalar.....................................152 Cevaplı Test - 2 .........................................................112 Doğrunun Analitik İncelenmesi................................155 Cevaplı Test - 3 .........................................................114 Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi................................155 Cevaplı Test - 4 .........................................................116 Doğrunun Grafiğinin Çizimi......................................157 Cevaplı Test - 5 .........................................................118 Doğrunun Denklemleri..............................................158 Özel Doğrular.............................................................160 3. BÖLÜM ÇEMBER VE DAİRE...................................................121 Çemberde Açı............................................................122 Çemberde Yardımcı Elemanlar.................................122 Çemberde Yay ve Açı Özellikleri..............................123 Merkez Açı..................................................................123 Çevre Açı....................................................................124 Teğet Kiriş Açı............................................................125 İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları...................160 Doğru Demeti.............................................................162 Simetriler....................................................................165 Noktanın Simetriği.....................................................165 Doğrunun Simetriği...................................................168 Eşitsizlikler.................................................................170 Çıkmış Sorular...........................................................172 Cevaplı Test................................................................173 İç Açı...........................................................................125 Dış Açı........................................................................125 5. BÖLÜM Çemberde Kiriş Yay Özellikleri.................................127 KATI CİSİMLER..........................................................175 Kirişler Dörtgeni........................................................127 Prizma.........................................................................176 Çemberde Uzunluk....................................................128 Dikdörtgenler Prizması.............................................177 Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti.................128 Küp..............................................................................179 Kuvvet Ekseni............................................................130 Silindir........................................................................179 İki Çemberin Ortak Teğetleri.....................................131 Dönel Silindir.............................................................180 İki Çemberin Birbirine Göre Durumları....................133 Piramit........................................................................182 Üçgenin Çemberleri..................................................133 Düzgün Piramit..........................................................182 Üçgenin İç Teğet Çemberi.........................................133 Kesik Piramit..............................................................183 Üçgenin Dış Teğet Çemberi......................................134 Koni.............................................................................183 Teğetler Dörtgeni.......................................................134 Küre............................................................................185 Dairede Alan...............................................................135 Çıkmış Sorular...........................................................186 Dairenin Alanı ve Çevresi.........................................135 Cevaplı Testler - 1 .....................................................187 Daire Diliminin Alanı..................................................135 Cevaplı Testler - 2 .....................................................189 Çember Yayının Uzunluğu........................................135 Daire Kesmesinin Alanı.............................................135 Daire Halkasının Alanı...............................................136 Çemberde Benzerlik..................................................137 Çıkmış Sorular...........................................................139 Cevaplı Test - 1 .........................................................140 Cevaplı Test - 2 .........................................................142 Cevaplı Test - 3 .........................................................144 2015 PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 2015 KPSS - BENZER SORULAR 1. 6 5 4 5 : c − : m işleminin sonucu kaçtır? 5 2 2 6 A) –12 B) –6 C) 6 D) 12 5. E) 24 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 169 / 5. soru 10 ! - 9 ! 8! + 7! işleminin sonucu kaçtır? A) 64 B) 65 C) 68 D) 70 E) 72 Modüler Soru Bankası Sayfa 117 / Soru 4 2. d1 + 2 1 n| - 2 3 3 işleminin sonucu kaçtır? A) −5 B) −1 C) 1 D) 3 E) 5 Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 12 / Soru 1 6. ab 8c x –––––––– 268 • • • + –––––––– 5628 A) 17 3. Yanda verilen çarpma işleminde ab ile 8c iki basamaklı doğal sayılardır. Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır? B) 18 C) 19 D) 20 E) 21 Modüler Soru Bankası Sayfa 64 / Soru 16 2 93 - 2 92 2 94 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 1 1 1 1 B) C) D) E) 5 4 2 3 6 Modüler Soru Bankası Sayfa 174 / Soru 17 4. 7. 12! - 24 $ 10! 10! + 5 $ 9! işleminin sonucu kaçtır? A) 84 B) 72 C) 70 D) 64 E) 60 xyz 23 • • • • + 1158 KLLKM x A) 11 Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 19 32. soru Yanda verilen çarpma işlemine göre, K + L + M toplamı kaçtır? B) 12 C) 13 D) 14 Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 6 / Soru 5 1 E) 15 2015 PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 2015 KPSS - BENZER SORULAR 8. x < 0 < y olmak üzere, x - y + x - y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) −2xB) −y C) y D) 2y 12. e E) 2x Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 15 / Soru 1 3 3x + 4 2 2x + 1 =e o o 3 2 olduğuna göre, x kaçtır? A) - 3 2 B) – 1 C) - 1 1 D) 5 2 E) 1 Modüler Soru Bankası Sayfa 177 / Soru 6 9. y < 0 < x < 2 olmak üzere, y − 1 + x − 5 + y + 2x − −3 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) x + y - 1 C) y - 3 B) x + 3 D) x + y + 1 E) x - y + 3 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 193 / 3. soru x 13. 1 = 4 5 32 olduğuna göre, x kaçtır? A) 2 10. − x 2 y 2 0 olduğuna göre, B) 3 C) 4 D) – 3 E) – 2 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 179 / Soru 8 −x + x − y − y + x ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) - x B) 2y - x D) y C) 2y + x E) 3y - 2x Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 14 33. soru 11. x < y olmak üzere, I. II. x+z 1 y+z 2 14. Gerçel sayılar kümesi üzerinde bir f fonksiyonu 2 x 1y 1 1 2 III. x y ifadelerinden hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I D) I ve II B) Yalnız II x x2 + 2x + 15 f = 3 9 Buna göre, f(a) = 6 ise a kaçtır? C) Yalnız III A) -4B) -3 E) I, II ve III C) -2 D) 2 E) 3 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 213 / Soru 1 Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 14 / Soru 2 2 2015 PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 2015 KPSS - BENZER SORULAR 15. 1020m A B 18. - 20. soruları aşağıdaki bilgilere göre birbirinden bağımsız olarak cevaplayınız. A dan dakikadaki hızı 10 metre olan hareketli, B den dakikadaki hızı 20 metre olan bir kuş aynı anda karşılıklı olarak harekete başlıyor. Kuş hareketliyle karşılaşıp, tekrar B ye dönüyor ve hiç durmadan tekrar A dan hareket eden hareketliye doğru uçuyor ve karşılaşınca durmadan tekrar B ye dönüyor. Pamuk ◦ 74 Diğer Kuş bu hareketine A dan hareket eden hareketli B ye varıncaya kadar devam ettiğine göre, bu süre içinde kuş toplam kaç metre yol almıştır? A) 4020 B) 3960 C) 2840 D) 2420 Mısır ◦ 100 Naranciye ◦ 100 ◦ 150 Naranciye ◦ ◦ 70 40 Greyfurt Limon ◦ 60 Buğday E) 2040 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 388 / 20. soru Bir bölgedeki tarım arazisinin ne kadarının hangi ürün için kullanıldığını gösteren daire grafik aşağıdadır. Narenciye ürünlerinin çeşitlerini göstermek için ayrıca başka bir daire grafik çizilmiştir. 18. Bu bölgedeki pamuk, narenciye, buğday ve mısır dışında kalan diğer ürünler için kullanılan arazi tüm ürünler için kullanılan arazinin yüzde kaçıdır? A) 6 16. Bir sınıftaki 20 öğrencinin 1. sınav sonuçlarının ortalaması 4,5 dir. 2. sınavda 4 öğrenci notunu 2 puan, 8 öğrenci 1 puan yükseltirken diğerleri 1,5 puan düşürmektedir. Buna göre, son sınavın ortalaması kaçtır? A) 5 B) 4,9 C) 4,8 D) 4,7 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15 E) 4,6 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 306 / 14. soru 19. Bu bölgede mandalina için kulanılan arazi 200 dönümse mısır için kullanılan arazi kaç dönümdür? A) 900 17. A torbasında 5 beyaz ve 7 kırmızı, B torbasında 10 beyaz ve 5 kırmızı top vardır. 4 9 B) 17 36 C) 1 2 D) 5 9 E) C) 800 D) 720 E) 648 20. Bu bölgede greyfurt için kullanılan arazi limon için kullanılan araziden 150 dönüm fazlaysa buğday için kullanılan arazi kaç dönümdür? A ve B torbalarından sırasıyla birer top çekildiğinde iki topun renginin aynı olma olasılığı kaçtır? A) B) 840 7 12 A) 1000 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 222 / Soru 18 B) 1080 D) 1120 C) 1100 E) 1150 Modüler Soru Bankası Sayfa 410 / Soru 7-9 3 2015 PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 2015 KPSS - BENZER SORULAR 21. - 23. soruları aşağıdaki bilgilere göre birbirinden bağımsız olarak cevaplayınız. C satış sayısının A1 E D 23. C markasının satış sayısının 50° 75° 120° A 35° 80° 75° A5 80° 45° 60° A4 B I. Grafik A2 A3 3 'i, D markasının 5 1 'ü yerine, B markası satılmış 3 olsaydı B markalı otomobilin bu beş marka içindeki satış yüzdesi kaç olurdu? A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 35 Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 19 Soru 23-25 II. Grafik I. grafik beş farklı otomobil firmasının yıl içerisindeki satış sayısının sayısal dağılımını göstermektedir. A1 E D C 50° 75° 120° A 35° 80° 75° A5 80° 45° 60° A4 B I. Grafik A2 A3 II. Grafik 24. A(2, 1) noktasının 3x – 4y + 3 = 0 doğrusuna göre simetriği B olduğuna göre, |AB| kaç birimdir? II. grafik ise A markalı otomobil firmasının beş farklı modeline ait satış sayılarının dağılımı göstermektedir. C) 2 2 B) 2 A) 1 D) 2 5 E) 3 5 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 286 / Soru 9 21. Yıl içinde A1 modelinden 450 adet satıldığına göre, C marka otomobilden kaç adet satılmıştır? A) 560 B) 600 C) 610 D) 630 E) 700 25. ABCD dikdörtgen, 6AC@ + 6DE@ = "F , , AD = 20 cm, DC = 15 cm ve EC = 5 cm'dir. Yukarıdaki verilenlere T göre, A ^ADF h kaç cm2 dir? 22. A5 modeli A2 modelinden 80 adet fazla satıldığına göre, B marka otomobilden kaç adet satılmıştır? A) 840 B) 900 C) 960 D) 1080 A) 120 B) 100 A 4 D 15 F B C) 90 Geometri Yaprak Test 13 / Soru 8 E) 1120 20 E D) 80 5 C E) 60 Geometrİk Kavramlar ve Doğruda Açılar � GEOMETRİK KAVRAMLAR � DOĞRUDA AÇILAR Yı 2005 2 � ÜÇGENLER 2006 � ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ - � ÜÇGENDE TEMEL VE YARDIMCI ELEMANLAR lla So ra G ru ö A re Ç na liz ıkm ler ış i 2007 2 � ÜÇGENDE AÇILAR � DİK ÜÇGENLER 2008 2 � ÜÇGENDE AÇIORTAY TEOREMLERİ � ÜÇGENDE KENARORTAY TEOREMLERİ 2009 � ÜÇGENDE ALAN 1 � ÜÇGENDE BENZERLİK 2010 � ÜÇGENDE AÇI – KENAR BAĞINTILARI 1 2011 1 2012 1 2013 1 2014 2015 1 - “... Evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. Evren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirente dalanılır.” Galıleo GEOMETRİK KAVRAMLAR AÇILAR Tanımsız Kavramlar Başlangıç Nokta, doğru, düzlem gibi kavramlar tanımsız kavramlardır. aynı olan iki ışının bir- Nokta Yani; Kalem ucunun kâğıt üzerine bıraktığı işaret veya izdir. Noktanın belli bir alanı, hacmi veya boyutu yoktur. Nokta büyük harfle gösterilir. oluşan açı BAC ya da noktaları B A [ AB ∪ [ AC = leşimine “Açı” denir. 6AB ve 6AC ışınlarının birleşimi ile A C CAB açısıdır. % % BAC açısı BAC ya da CAB açısı ile gösterilir. Örneğin; A A noktası B B noktası Doğru İki ucu sınırsız aynı doğrultulu noktaların kümesidir. A B d Açının Ölçüsü 6AB ve 6AC ışınları arasında B kalan bölgeye At ’nın ölçüsü denir. Her At ’na 0 ile 180 arasında bir tek reel sayı karşılık gelir. Bu α Doğrular genelde küçük harfle temsil edilirler. d doğrusu veya AB diye sembolize edilebilir. reel sayıya BAC açısının (ya da A Doğru Parçası Yani BAC açısının ölçüsü α dır. iki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların birleşim kümesine doğru parçası denir. ve m (BAC) = m(At ) = α veya A B doğru parçası 6AB@ sembolü ile gösterilir. 6CD@ " CD doğru parçası CD " CD doğru parçasının uzunluğu olarak gösterilir. Işın Bir ucu başlangıç noktası olup diğer ucu sonsuza giden noktaların oluşturduğu kümeye ışın denir. A B d 6AB " AB ışını diye okunur. Yarı Doğru 6AB ışınından başlangıç noktası yani A noktasının çıkartılması ile elde edilen noktaların kümesine AB yarı doğrusu denir. A 2 PEGEM AKADEMİ GEOMETRİK KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR B d @AB " AB ışını diye okunur. Düzlem Bir masanın üstü, durgun su yüzeyi gibi tamamen düz ve aynı zamanda her yöne sınırsız olan noktaların oluşturduğu kümeye düzlem denir. C CAB açısının) ölçüsü denir. % % s ( BAC ) = s(At ) = α ile gösterilir. Eş Açılar: Ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir. Yani; m (At ) = m(Bt ) & A ile B açýlarý eş açılardır. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler Herhangi bir açı düzlemi üç farklı bölgeye ayırır. Bu bölgeler B I. Açının kendisi I. II. Açının iç bölgesi III. Açının dış bölgesi II. α A III. C Açı Ölçü Birimleri Derece, Grad, Radyan açı ölçü birimleridir. Genelde ölçü birimi olarak derece kullanılır. 20 o ,40 o ,... şeklinde gösterilir. Bu üç farklı açı ölçü birimleri arasındaki bağıntıyı şöyle verebiliriz, D: Derece G: Grad R: Radyan olmak üzere D G R = = bağıntısı vardır. 180 200 π 3 Örnek Not Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur döndürülmesi ile oluşan açı 360 o , 400 Grad ve 2π Radyandır. C _ 1 o " Bir derece bb 1 o = 60' 1' " Bir dakika ` 1' = 60'' b o 1'' " Bir saniye a1 = 3600'' dýr. A) 10 B) 12 3α C) 15 2α O B D) 18 E) 20 Çözüm: A, O, B noktaları doğrusal olduğundan doğru açı tanımı gereği 180 o lik açı meydana getirirler. AÇI ÇEŞİTLERİ Yani; 3α + 7α + 2α = 180 o dir. B Dar Açı Ölçüsü 0 o ile 90 o arasında olan açılara dar açı denir. & 12α = 180 o & α = 15 o bulunur. α A C % Ölçüsü 90 o olan açıya dik açı denir. Yani; α = 90 o + α dik açýdýr. Komşu Açılar Köşeleri ve birer kenarı ortak olan C iç bölgelerinin kesişimleri boş küme olan açılara komşu açılar denir. B Dik Açı % Yani; COB açıdır. α A C B O ile BOA komşu iki A AÇIORTAY Açıyı iki eşit açıya ayıran ışına açıortay denir. Geniş Açı % % Yani; m ( COB ) = m ( BOA ) dır. % 6OB ye COA nın açıortayı denir. Ölçüsü 90 ile 180 arasında B olan açılara geniş açı denir. o D 7α A Yukarıdaki verilenlere göre α kaç derecedir? Derecenin Alt Birimleri Yani; 0 o < a < 90 o + α dar açýdýr. A, O, B noktaları doğrusal, % % m ( DOB ) = 2α , m ( COD ) = 7α % ve m ( AOC ) = 3α o α Yani; 90 o < a < 180 o + α geniþ açýdýr. A C 6OC ile 6OA ye açıortayın kolları (kenarları) denir. C B O A Örnek Doğru Açı Ölçüsü 180 o olan açıya doğru açı denir. α =180° C Yani; α = 180 o + α doðru açýdýr. A D A, O, B noktaları doğruB sal 6OC ile 6OF açıortay % m ( DOE ) = 80 o E 80° C O A F B % Yukarıdaki verilenlere göre m ( COF ) kaç derecedir? A) 100 Tam Açı Ölçüsü 360 o olan açıya tam açı denir. Yani; α = 360 o + α tam açýdýr. α =360° A B B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 4 Çözüm: TÜMLER AÇILAR A, O, B noktaları doğrusal olduğundan meydana gelen açıların ölçüleri toplamı 180 o D E dir. F % % α 80° β C m ( AOC ) = m ( COD ) = α , β α % % O A B m ( EOF ) = m ( FOB ) = β Ölçüleri toplamı 90 o olan iki açıya tümler iki açı denir. B Yani α ile β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere dersek α + β = 90 o + a ile β tümler iki açıdır. 2α + 2β + 80 o = 180 o & 2a + 2b = 100 o & a + b = 50 o α’ nın tümleri 90 o - a % % m ( COF ) = α + β + 80 o & m(COF) = 130 o bulunur. nın tümleri 90 o - b dır. C α β O A BÜTÜNLER AÇILAR Örnek Komşu iki açının açıortayları arasında kalan açı 54 o dir. Ölçüleri toplamı 180 o olan iki açıya bütünler açılar denir. Buna göre bu iki açının ölçüleri toplamı kaç derecedir? Yani; α ile β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere A) 100 α + β = 180 o + α ile β bütünler iki açıdır. B) 104 C) 106 D) 108 E) 110 Çözüm: % % BOC ile COA komşu iki açıdır. 6OD ile 6OE açıortaydır. % % % m ( DOE ) = 54 o verilmiş m ( BOD ) = m ( DOC ) = α , % % O A α B α’ nın bütünleri 180 o - a β’ nın bütünleri 180 o - b dır. % m ( COE ) = m ( EOA ) = β dersek m ( DOE ) = α + β = 54 o dir. % C β Örnek Bir açının 4 katının 5 o fazlası aynı açının tümlerine eşit olduğuna göre açının bütünleri kaç derecedir? % Buradan m ( BOC ) + m ( COA ) = 2α + 2β A) 157 & 2 ( α + β ) = 108 o bulunur. S o 54 B) 159 C) 161 D) 163 E) 165 Çözüm: Açı α Not Açıortay üzerinde alınan herhangi bir noktanın, açının kollarına olan dik uzunlukları birbirine eşittir. 6OD açıortay, 6OB ile 6OA açıortayın kolları olmak üzere B L 6CK@ = 6OB , 6DL@ = 6OB , 6CE = 6OA ve 6DF@ = 6OA çizilirse = = CK CE , DL DF ve = KO FO dur. = EO , LO K O D Tümleri 90 o - a dır. Denklem kurulursa; 4α + 5 o = 90 o - α dýr. 5α = 85 o & α = 17 o bulunur. O halde açının bütünleri 180 o - α = 180 o - 17 o = 163 o bulunur. C E F A Örnek Bütünler iki açıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm 4, kalan 10 o dir. Buna göre küçük açı kaç derecedir? A) 32 B) 34 C) 36 D) 38 E) 40 5 Çözüm: (ii) İç ters açılar Bütünler iki açı d1 // d2 ise α ile β olsun ct ile xt ve dt ile yt iç ters açılardır. İç ters açıların ölçüleri O halde α + β = 180 o dir. birbirine eşittir. Verilen denklem yazılacak olursa Yani; c = x ve d = y dir. α − β 4 ⇒ α = 4β + 10°dir. (iii) Dış ters açılar 10° d1 // d2 ise Buradan α = 4β + 10 o denklemi at ile zt ve bt ile tt dış ters açılardır. α + β = 180 o denkleminde yerine yazılacak olursa Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. 4β + 10 o + b = 180 o & 5b = 170 o Yani; a = z ve b = t dir. & β = 34 o & α = 146 o dýr. (iv) Karşı durumlu açılar O halde küçük açı β = 34° bulunur. d1 // d2 ise ct ile yt ve dt ile xt karşı durumlu iki açıdır. Karşı durumlu açıların ölçüleri toplamı 180 o dir. TERS AÇILAR Kesişen iki doğrunun oluşturduğu d1 b açılardan birbirine komşu olmayan c açılara ters açılar denir. Yani; c + y = 180 o ve d + x = 180 o dir. a Not d Yani; Kesişen d1 ve d2 doğrula- d2 rında at ile ct , bt ile dt açıları ters Karşı durumlu açıların açıortayları birbirine diktir. Yani; d1 // d2 6AC ile 6BC d3 A açıortay & 6AC = 6BC dir. açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. a = c ve b = d dir. d1 C d2 B PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİR KESENLE YAPTIĞI AÇILAR d1 // d2 , a, b, c, d, x, y, z, t bulun- dukları açıların ölçüleridir. b a c d y x z t d1 d2 (i) Yöndeş açılar d1 // d2 ise at ile xt , bt ile yt , dt ile tt , ct ile zt yöndeş açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir. = Yani; a x= , b y= , c z= , d t dir. PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİRDEN ÇOK KESEN İLE MEYDANA GETİRDİĞİ AÇILAR (i) d1 // d2 ; d3 + d 4 = "B , α d1 β B α , δ , β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere α + δ = β dır. d3 A δ C A (ii) d1 // d2 ; α , β, δ bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere α + β + δ = 360 o dir. Not α B d2 d4 d1 β δ C Paralel doğrular n doğruyla kesilirse meydana gelen aynı yönlü açıların ölçüleri toplamı n : 180 o dir. d2 6 (iii) d1 // d2 ise şekildeki açılar ardışık zıt yönlü açılardır. Aynı yöndeki ardışık açıların α ölçüleri toplamı ile bu açılara göre ters yönde olan ardışık β aynı yönlü açıların ölçülerinin δ toplamları birbirine eşittir. d1 x y d2 Yani; α , β , δ , x, y bulundukları açıların ölçüleri olduğuna göre α + β + δ = x + y dir. Örnek d1 // d2 6AF@ = 6CF@ , B A 6AB // 6CD , 6EC@ = 6CD , α E 140° verilenlere göre C m ( BAE ) = α kaç derecedir? B) 40 d1 F E 80° 3α 3β d2 D C C) 50 D) 60 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 Çözüm: Paralel doğrular arasında oluşan aynı yöne bakan açıların ölçüleri toplamı, zıt yönlü açıların ölçüleri toplamına eşit olduğundan % m ( AEC ) = 140 o A) 30 5β Yukarıdaki verilenlere göre α + β kaç derecedir? Örnek % B 3α % % m ( BAF ) = m ( FCD ) = 3α , % m ( ABE ) = 5β , % m ( EDC ) = 3β ve % m ( BED ) = 80 o A) 5 Yukarıdaki A D 3α + 3α = 90 o & 6a = 90 o & a = 15 o E) 70 5β + 3β = 8β = 80 o & β = 10 o dir . O halde α + β = 15 o + 10 o = 25 o bulunur. Çözüm: Şekilde 6AB // 6CD olduğuna göre sağ tarafa bakan açıların ölçüleri toplamı sol tarafa bakan açıların ölçüleri toplamına eşit olacağından α + 90 o = 140 o & a = 50 o bulunur. Örnek E 6CD // 6AB % 55° m ( EAB ) = 65 o, C % m ( AEC ) = 55 o 65° Yukarıdaki verilenlere göre % A m ( ECD ) = α kaç derecedir? Örnek 6AB // 6CD , a, b, c, d, e bulun- dukları açıların ölçüleridir. Yukarıdaki verilenlere göre B A E F G a + b + c + d + e kaç derece- b c d B) 450 C) 540 B) 110 C) 120 D B D) 130 E) 140 a e Çözüm: C D dir? A) 360 A) 100 α D) 630 E K 65° E) 720 55° F α =120° C D 65° A Çözüm: 6AB // 6CD dir. Paralel doğrular 6AE@ , 6EF@ , 6FG@ , 6GC@ ile kesildiğine göre doğru parçası sayısı 4 dür. o o O halde a + b + c + d + e = 4 : 180 = 720 bulunur. B E noktasından KF // 6CD // 6AB olacak biçimde KF çizilir% % = = se m ( KEA ) m ( EAB ) 65 o (iç ters açıların eşitliği) ve % % = = m ( KEC ) m ( ECD ) 120 o dir. (iç ters açıların eşitliği) O halde α = 120 o bulunur. 7 KENARLARI PARALEL AÇILAR E 6AB // 6CD ve 6AK@ // 6EC@ olduğundan BAK ile ECD kenarlarından biri aynı diğer kenarı ters yönde paralel açılardır. α O halde % (i) Kenarları aynı yönde paralel açılar: B 6AB // 6DE ve 6DF // 6AC ise yön- deş açıların eşitliğinden % Çözüm: α % D A m ( BAC ) = m ( EDF ) = α dır. F α % % % = = m ( BAK ) m ( ECD ) 35 o dir. FAH üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamı yazılırsa C 35 o + α + 90 o = 180 o & a = 55 o bulunur. (ii) Kenarları ters yönden paralel açılar: B 6AB // 6CD ve 6CB // 6AD ise yöndeş ve iç ters açıların eşitliklerinden dolayı; % % m ( BCD ) = m ( BAD ) = α dır. A α Örnek (iii) Kenarlarından biri aynı diğeri ters yönde paralel açılar: 6AB // 6CD , 6KE@ = 6AB , α α C A 6KF = 6AC ve m ( FKE ) = 50 o % D F B α 6AB // 6EF ve 6ED // 6AC ise yöndeş ve karşı durumlu açı A tanımlarından D β A) 50 B) 55 C) 60 % % D % % CAB ile ACD karşı durumlu iki açı olduğundan B α K L % üzere α = β dır. A C E β α A E α H E Yukarıdaki verilenlere göre % m ( AFH ) = α kaç derecedir? C F B D E) 65 B) 50 C) 60 Açı Tümleri Bütünleri α o− 180 o − α 90 α E) 80 Bütünleri tümlerinin 2 katından 50 o fazla ise 180 o - a = 180 o - 2a + 50 o 2a − a = 50° & a = 50 o bulunur. C D) 70 fazla olan açı Çözüm: (180 o - α) = 2(90 o - a) + 50 o K 35° D) 55 A) 40 D L A Örnek Bütünleri tümlerinin 2 katından 50 o kaç derecedir? B K Örnek C) 45 % β F (ii) B) 35 % m ( CAB ) + m ( ACD ) = 180 o 130 o + α = 180 o & a = 50 o bulunur. m ( EDK ) = α , m ( BAC ) = β olmak A) 25 % m ( CAB ) + 50 o = 180 o & m(CAB) = 130 o bulunur. (i) 6DE = 6AC ve 6DK = 6AB ise % E) 70 O halde m ( CAB ) + m ( FKE ) = 180 o dir. KENARLARI DİK AÇILAR 6FH@ = 6AK@ ve m ( ECD ) = 35 o D) 65 % % CAB ile FKE kenarları dik iki açıdır. % 6AK@ // 6EC@ , 6AB // 6CD , D Çözüm: C dir. 6AB = 6DF ve 6AC = 6DE % % ise m ( BAC ) = α , m ( FDE ) = β olmak üzere α + β = 180 o dir. K α E α % % m ( DEF ) + m ( BAC ) = α + β = 180 o % 50° F Yukarıdaki verilenlere göre C % m ( ACD ) = α kaç derecedir? B E 8 % % % % = m= ( CAK ) m ( KAB ) a Örnek 6AB // 6CD , 6AF@ = 6CF@ , % % m ( BAE ) = m ( FCE ), F % % m ( EAB ) = m ( ECD ) = m= ( EDK ) m ( KDF ) b dersek B A α E C B) 45 C) 50 D) 60 A 6AB // 6DE olduğundan % α a 6AC // 6DF , m ( AEC ) = α kaç derecedir? A) 30 C O halde a + b = 90 o dir. D Yukarıdaki verilenlere göre K 2 (a + b) = 180 o dir. a B b E F b D % % % m ( CAK ) + m ( FDK ) = m ( AKD ) E) 75 dir. O halde a + b = α dır. α = 90 o bulunur. Çözüm: Paralel doğrular arasındaki aynı yöne bakan açıların ölçüleri toplamı zıt yöne bakan açıların ölçüleri top- lamına eşit olduğundan C % % % m ( BAE ) + m ( ECD ) = m ( AEC ) % % % ve m ( BAF ) + m ( FCD ) = m ( AFC ) dir. % % B A % a b Fα a b E Örnek D E 6AB // 6CD , 6FP@ ile 6KP@ % = = = = m ( BAE ) m ( FCE ) a, m ( EAB ) m ( ECD ) b dersek F % açıortay, m ( BAE ) = 160 o, % m ( AEF ) = 150 o ve % m ( FPK ) = 50 o dir. B A 150° 160° P 50° α K C D a + b = α ve 2a + 2b = 90 bulunur. % Yukarıdaki verilenlere göre m ( KCD ) = α kaç derece- & a + b = 45 o = a bulunur. dir? o A) 150 C 6AK@ ile 6DK@ açıortay Yukarıdaki verilenlere göre A α D) 135 B C) 90 D E D) 120 E) 135 olduğundan % aynı % E bakan BAE , AEF , % % % F EFK , FKC, KCD açılarının öl- yöne F m ( AKD ) = α kaç derecedir? B) 75 6AB // 6CD K 6AB // 6DE , 6AC // 6DF , A) 60 C) 140 E) 130 Çözüm: Örnek % B) 145 çüleri toplamı 720 o dir. ∆ FPK de iç açıların ölçüleri toplamı yazıla% B A 150° 160° P 50° α K C % D % cak olursa m ( PFK ) + m ( FKP ) + m ( FPK ) = 180 o % % % % m ( PFK ) + m ( FKP ) + 50 o = 180 o dir. Çözüm: m ( PFK ) + m ( FKP ) = 130 o % % CAB ile EDF bir kenarları aynı, diğer kenarları zıt yönlü Buradan 160 o + 150 o + 2(m(PFK) + m(FKP)) + a = 720 o paralel açılar olduğundan ölçüleri toplamı 180 o dir. % % Yani; m ( CAB ) + m ( EDF ) = 180 o dir. % % 160 o + 150 + 260 o + α = 720 o & a = 150 o bulunur. 9 Çözüm: Örnek B 6AB // 6CD // 6EF % D % F m ( BAK ) = 120 o m ( FEK ) = 150 o ve % 6AB ile 6CD doğrusal uzatılırsa ters açıların eşitliğinden % % m ( FAB ) = m ( TAE ) = α + 5° % % m ( ECH ) = m ( DCK ) = 2α + 10 o A 120° C α E % 150° m ( EKC ) = m ( AKC ) K % Yukarıdaki verilenlere göre m ( DCK ) = α kaç derecedir? A) 115 B) 120 C) 125 D) 130 B α + 5° F T A α + 5° E 120° bulunur. 2α + 10° 2α + 10° C K D BT // DH olduğundan % % % m ( TAE ) + m ( ECH ) = m ( FEK ) H & α + 5 o + 2α + 10 o = 120 o & 3α + 15 o = 120 o & 3α = 105 dir. E) 135 Ohalde α = 35 o dir. % m (FAB) = α + 5 o = 40 o bulunur. Çözüm: 6AB // 6CD // 6EF // d çizilirse B % % % % FEK ile EKL , BAK ile AKL , % % DCK ile CKL karşı durumlu açılar olduğundan ölçüleri o toplamı 180 dir. A 120o D α=135 F d o C 15° 15° 150o L 30° Örnek K Buradan % % m ( FEK ) + m ( EKL ) = 180 o % & 150 + m(EKL) = 180 o % & m ( EKL ) = 30 o % % % m ( BAK ) + m ( AKL ) = 180 o & 120 o + m(AKL) = 180 o % & m ( AKL ) = 60 o % % % % m ( AKL ) = m ( EKL ) + 2m ( CKE ) & 60 o = 30 o + 2m(CKE) % & 30 o = 2m (CKE) % & m (CKE) = 15 o % o % % Buradan % m ( DCK ) + m ( CKL ) = 180 o & & % m ( DCK ) + 45 o = 180 o % m ( DCK ) = 135 o bulunur. B 6AB // 6CD m ( FEK ) = 120 o, % A) 60 B) 65 α + 5° B) 40 % C) 45 D) 50 2α + 10° % % C K E) 55 K E) 80 L E 70° 110° A B α 35° F 55° C % % A 120° % m ( DCK ) = 2α + 10 o D D) 75 D m ( LEF ) + m ( FCD ) = m ( EFC ) & m ( LEF ) + 55 o = 90 o F % göre C A B C) 70 % % m ( KEA ) + m ( EAB ) = 180 o % m ( KEA ) + 110 o = 180 o % & m ( KEA ) = 70 o dir. m ( FAB ) = α + 5 o, Yukarıdaki verilenlere % m ( FAB ) kaç derecedir? F 55° 110° Yukarıdaki verilenlere % göre m ( AEF ) = α kaç derecedir? KL // 6CD olduğundan Örnek A) 35 % m ( FCD ) = 55 o çizilirse KL // 6CD // 6AB % % KEA ile EAB karşı durumlu iki açı olduğundan ölçüleri toplamı 180 o dir. % m ( CKL ) = 15 o + 30 o = 45 o α % m ( EAB ) = 110 o ve Çözüm: O halde m ( CKL ) = m ( CKE ) + m ( EKL ) % E 6AB // 6CD , 6EF@ = 6CF@ , & m ( LEF ) = 35 o dir . E K, E, L noktaları doğrusal olduğundan % % % m ( KEA ) + m ( AEF ) + m ( LEF ) = 180 o 70 o + α + 35 o = 180 o & α = 75 o bulunur . D ÜÇGENLER 10 PEGEM AKADEMİ ÜÇGENDE AÇILAR (iii) Geniş açılı üçgen Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarının birleşimi ile oluşan geometrik şekle üçgen denir. ∆ A 6AB@ , 6BC@ , 6AC@ = ABC ∆ ABC " ABC üçgeni diye okunur. narlarıdır. C B A α genin iç açıları, αl , βl , δl üçgenin dış açılarıdır. uzunluklarına üçgenin kenar α B C Kenarlarına Göre Üçgenler ABC üçgeninde α , β , δ üç- = BC a= , AC b, AB = c A Yani; m (Bt ) = α > 90 o ise ∆ ABC geniş açılı üçgendir. ∆ A, B, C noktaları ABC nin köşeleri ve 6AB@ , 6BC@ , 6AC@ üçgenin ke- Herhangi bir iç açısının ölçüsü 90 o dan büyük olan üçgenlere geniş açılı üçgen denir. β′ α′ c b Yani; ABC üçgeninde b β δ a A Bir üçgeninin bütün kenar uzunlukları birbirinden farklı ise ABC çeşitkenar üçgendir. c B (i) Çeşitkenar üçgen BC = a, δ′ C a B AC = b, C AB = c olmak üzere uzunlukları denir. AB ! BC ! AC (a ! b ! c) ise ABC çeşitkenar üçgendir. Not Üçgenin iç bölgesinde kalan açılara iç açılar, üçgenin dış bölgesinde kalan ve iç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir. (ii) İkizkenar üçgen α + αl = 180 o, β + βl = 180 o, δ + δl = 180 o, eşit ise üçgene ikizkenar üçgen denir. Bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları birbirine Yani; AB = AC ise ABC üçgeni ikizkenar üçgendir. 6BC@ ' na “taban”, eşit kenarların ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ taban ile yaptıkları açılara “taban A Açılarına Göre Üçgenler açıları” ve köşesi A noktası olan açıya “tepe açısı” denir. α (i) Dar açılı üçgen İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. Bu ifadenin terside doğruB dur. İç açılarından her birinin ölçüsü 90 o den küçük olan üçgenlere dar açılı üçgenler denir. Yani α < 90 o β δ % C B A Eşkenar üçgenin iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 60 o dir. (ii) Dik açılı üçgen Herhangi bir açısının ölçüsü 90 o olan dir. 6AC@ ' na hipotenüs denir. AC dir. Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir. δ < 90 o üçgenlere dik açılı üçgen denir. ∆ Yani; m (Bt ) = 90 o ise ABC dik üçgen- % = O= halde m ( ABC ) m ( ACB ) + AB C (iii) Eşkenar üçgen β < 90 o ∆ ABC dar açılı üçgendir. A B C = CA ise B Yani; = AB BC t ) = 60 o t t = = m (A) m (B) m (C dir. A 60° 60° Buradan ABC üçgeni eşkenar üçgendir. 60° C
