Bölüm 5: Hareket Yasaları(¨Ozet)

Bölüm 5: Hareket Yasaları(Özet)
Önceki bölümde hareketin temel kavramları olan yerdeğiştirme, hız ve ivme tanımlanmıştır. Bu
bölümde ise hareketli cisimlerin farklı hareketlerine sebep olan etkilerin hareketi nasıl belirlediği
analiz edilerek Newton’un hareket yasaları incelenecektir.
Newton’ un birinci yasası: Üzerine net bir dış kuvvet etki etmedikçe hareketsiz bir cisim daima
hareketsiz kalır ve hareketli bir cisim sabit hızla hareketine devam eder.
∑~
Buna göre, başka bir ifadeyle cisim üzerine etki eden toplam kuvvet sıfır ise,
F = 0, o zaman
cismin ivmesi de sıfırdır: ~a = 0.
4
Newton’un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı
cismin kütlesi ile ters orantılıdır.
∑
F~ = m~a
(1)
Bu eşitlik vektörel bir eşitliktir, kuvvet ifadesi F~ = Fx î + Fy ĵ + Fz k̂ biçiminde kartezyen
bileşenleri cinsinden gösterilirse ikinci-yasanın ifadesi şöyledir,
∑
F~x = m~ax ,
∑
F~y = m~ay ,
∑
F~z = m~az
(2)
4
Newton’un üçüncü yasası: İki cisim etkileştiğinde, birinci cisim üzerine ikinci cismin uyguladığı
kuvvet, F~12 , birinci cismin ikinci cisim üzerine uyguladığı kuvvete,F~21 , büyüklük olarak eşit yön
olarak zıttır:
F~12 = −F~21 ,
|F~12 | = |F~21 |.
(3)
4
Newton’un ikinci yasasını ifade eden ikinci mertebeden türevli denklem, klasik hareket teorisinin,
yani klasik mekaniğin en temel önemli ifadesidir. Newton hareket denklemi veya kısaca hareket
denklemi olarak ifade edilen bu denklem aşağıdaki biçimde ifade edilebilir:
m
d2~r(t)
= F~
dt2
(4)
Bu denklemin çözümü cismin yörüngesinin kesin olarak belirlenmesini sağlar. Daha somut bir
ifadeyle m kütleli bir cismin herhangi bir t anındaki konumu ve hızı biliniyorsa ve cisim üzerine
etki eden toplam kuvvet ifade edilebiliyorsa Newton’ un hareket yasasına göre aynı koşullar altında
cismin herhangi bir anda nerede ve hızının ne olacağı kesin olarak söylenebilir. Bu özellik sebebi ile Newton mekaniği belirlenimci(deterministik)dir. Örneğin, Güneş sistemindeki herhangi
bir gezegenin üzerine etki eden kütle çekim kuvveti açıkça Newton hareket denkleminde yerine
yazıldığında gezegenin herhangi bir anda Güneşe göre ve diğer gezegenlere göre konumu kesin
olarak belirlenebilir. Gezegen hareketlerinin bu şekilde belirlenebilmesi Newton mekaniğinin en
büyük başarılarından bir tanesidir.
Mekanik Ders Notları,
1
K.O.Ozansoy, Ankara’09
Kuvvetin birimi.
SI birim sisteminde kuvvetin birimi N ≡ N ewton olarak tanımlanır:
1N ≡ 1
kg.m
s2
(5)
Benzer olarak CGS birim sisteminde kuvvetin birimi dyne dir.
4
Bir cismin ağırlığı
Bir cismin ağırlığı, cismin kütlesi ile sabit yerçekimi ivmesinin çarpımına, yani cisim üzerine etki
eden kütleçekimi kuvvetine eşittir:
~ = m~g
W
(6)
Dikkat: Ağırlık, yönü Dünya’nın merkezine doğru olan vektörel bir niceliktir.
4
Hareket problemlerinin analizi için bir not.
Bir hareketin analizi için özetle şu aşamalar dikkate alınmalıdır:
1. Bir cismin(veya cisimlerin) hareketinin incelenmesinde öncelikle cisim(veya her bir cisim)
üzerine etki eden kuvvetler tam olarak yazılabilmelidir.
2. Cisim üzerine etki eden kuvvetler belirlendikten sonra hareket denklemleri uygun koordinat
çerçevesinde harekete dik ve paralel yönde ifade edilmelidir.
3. Hareket denklemi elde edildikten sonra bu denklem çözülerek cismin yörüüngesi belirlenmelidir.
4
Örnek.
Eğik düzlem üzerinde hareket eden m kütleli cisimin hareketi için Şekil1 dikkate alınabilir.
• Cisme etki eden kuvvetler aşağı doğru cismin ağırlığını ifade eden yerçekimi kuvveti,m~g , ve
~.
cisme düzlemin normali yönünde etki eden normal kuvvetidir, N
• Cisim eğik düzlem üzerinde harekete kısıtlandığından bu sistemin analizinde düzleme paralel
koordinatın x ile ve düzleme dik yöndeki koordinatın y ile gösterilmesi problemin çözümü için
kullanışlıdır.
• Düzleme paralel yöndeki kuvvet sadece yerçekimi kuvvetinin bu yöndeki bileşenidir: m~g sin θ.
• Düzleme dik yöndeki kuvvetler ise yüzey normali yönündeki yüzeyin normal(tepki) kuvveti
~ − m~g cos θ.
ve buna zıt yöndeki yerçekimi kuvvetinin: N
Mekanik Ders Notları,
2
K.O.Ozansoy, Ankara’09
y
~
N
x
θ
m~g sin θ
m~g cos θ
θ
m~g
Figure 1: Sürtünmesiz eğik bir düzlem üzerindeki m kütleli bir cismin hareketei.
• Düzleme paralel yöndeki hareket denklemi
d2 x(t)
dt2
⇒ max
m
= mg sin θ
(7)
= mg sin θ
(8)
= N − mg cos θ
(9)
• Düzleme dik yöndeki hareket denklemi
d2 y(t)
dt2
⇒ may
m
= mg cos θ
(10)
Dikkat: Cisim düzleme dik yönde hareket etmediğinden cismin bu yöndeki ivmesi sıfırdır:
2
ay = d dty(t)
= 0 buna göre normal kuvveti şu şekilde bulunur:
2
N = mg cos θ
(11)
(7) ve (9) denklemlerine göre cismin x yönündeki ivmesi sabit olduğundan ve y yönündeki ivmesi
sıfır olduğundan cismin en genel yörünge denklemi bu denklemlerin çözümünden aşağıdaki biçimde
elde edilir:
1
x(t) = x0 − gt2
2
y(t) = y0
burada cismin ilk hızı sıfır kabul edilmiştir: vx0 = 0 ve vy0 = 0.
Mekanik Ders Notları,
3
(12)
(13)
4
K.O.Ozansoy, Ankara’09
Örnek.
Atwood Aleti. Şekil 2 de verilen sistemde kütleler birbirine sabit uzunluklu bir ip ile bağlıdır. Bu
sistemde her bir cismin hareket ifadesi şekil üzerinde gösterilmiştir.
|T~1 | = |T~2 | = T
T~1
m1
2
T~2
y1 (t)
= T 1 − m1 g
m1 d dt
2
2
y2 (t)
m2 d dt
= m2 g − T 2
2
m2
m1~g
m2~g
Figure 2: Atwood aletindeki iki cismin hareketi
4
Mekanik Ders Notları,
4
K.O.Ozansoy, Ankara’09
Alıştırmalar
1. Ağırlığı 1.3 × 104 N olan bir otomobilin 100km/saat süratle hareket ediyorken yavaşlayarak
100m sonra durduğunu varsayınız. (a) Yavaşladığı andan itibaren otomobilin durmasına sebep olan fren kuvvetini ve (b) otomobil durana kadar geçen süreyi hesaplayınız. (c) Aynı
fren kuvvetinin geçerli olduğunu varsayarak 50km/saat süratle hareket ediyorken otomobilin
durması için gereken mesafeyi ve süreyi hesaplayınız.
2. Bir yüksek enerjili parçacık hızlandırıcısında hızlandırılan bir proton, 2 × 108 m/s sürate
ulaşana kadar hızlandırılmış olsun. Bu proton düşey doğrultuda 5 × 10−15 N büyüklüğünde
bir elektrik kuvvetine maruz kalmış olsun. Proton yatay yönde 10cm yol aldığında düşey
yöndeki sapma miktarını hesaplayınız. (protonun kütlesi yaklaşık olarak, mp ≈ 1.7 × 10−27 kg
değerindedir.)
3. Altı düzgün bir blok, eğim açısı α olan sürtünmesi önemli olmayan yeterince uzun bir eğik bir
düzlemin alt kısmından üst kısmına doğru v0 ilk hızı ile fırlatılıyor. (a)Blok eğik düzlemde
ne kadar yol alır? (b) Bu yolu ne kadar sürede alır? (c) Blok tekrar geri atıldığı noktaya
döndüğünde hızı nedir? α = π/6rad ve v0 = 30m/s için sayısal değerleri hesaplayınız.
4. Bir taşıma balonunun alçalma sırasındaki ivmesinin büyüklüğü sabit a iken balon yukarı yönde
a ivmesi ile hareket ettirilmek istenirse balondan ne kadar yük aşağı atılmalıdır?
5. Bir yük asansöründeki bir cisim asansörün tavanına bağlı olsun. Asansör hareketsiz iken
cismin ağırlığı 300N olsun. (a) Asansör 5m/s sabit hızla yükselirken cismin ağırlığı nedir?
(b) Asansör 5m/s2 lik ivme ile aşağı inerken cismin ağırlığı nedir?
6. Bir adamın kütlesi 50kg olan bir sandığı yerle 100 açı yapacak şekilde bir halatla çekmeye
çalıştığını var sayınız. (a) Statik sürtünme katsayısı µs = 04 ise sandığı yerinden oynatmak
için halattaki gerilim kuvvetinin büyüklüğü kaçtır? (b) Kinetik sürtünme kuvveti, µk = 0.2
ise sandığın harekete başladığında ivmesini hesaplayınız.
7. 50km sürate uygun olarak tasarlanan bir çember yayı biçimindeki eğimli bir dönemeci dikkate
alınız. (a) Dönemecin yarıçapı 100m ise yolun eğim açısı nedir? (b) Yol eğimli olmasa idi
bu süratteki bir otomobilin kayarak savrulmaması için lastiklerle yol arasındaki minimum
sürtünme katsayısı ne olmalıdır?
8. π/4rad eğim açısına sahip, kinetik sürtünme katsayısı µk = 0.1 olan, bir sürtünmeli bir eğik
yüzey üzerinde hareket eden m kütleli bir cismin ivmesini hesaplayınız.
9. Trafikte hareket eden bir otomobildeki sürücü, radarla arabanın süratini hesaplayan trafik
ekibine göre 100km süratle hareket ediyor olsun. Sürücü arabayı durdurmak istediği andan
frene basıncaya kadar 20m ve frene bastıktan duruncaya kadar 40m yol almış olsun. (a)
Arabanın durmasını sağlayan sürtünme kuvvetini hesaplayınız. (b) Sürücü 100kmlik hızla bir
dönemece girmiş ise, dönemeci savrulmadan geçebilmesi için dönemecin minimum yarıçapı
kaç m olmalıdır?
Mekanik Ders Notları,
5
K.O.Ozansoy, Ankara’09