İÇİNDEKİLER
advertisement
Ç NDEK LER I. C LT KONULAR 1. Lineer Cebire Giri ………………………………………………... Lineer Modeller ……………………………………………………………………... Lineer Olmayan Modeller …………………………………………………………... Do runun Analitik Analizi ………………………………………………………….. Uzayda Geometrik Büyüklükler ……………………………………………………. Lineer Cebir ve Lineerite …………………………………………………………… Lineer Denklem Sistemleri …………………………………………………………. Do rular ve Do rusal Denklem Sistemleri …………………………………………. Lineer Sistemlerin Davranı ları …………………………………………………….. Homojen Olmayan Lineer Denklem Sistemleri …………………………………….. Homojen Lineer Denklem Sistemleri ………………………………………………. 2. Lineer Denklem Sistemlerinin Elemanter lemlerle Çözümü … 3. Matrisler ve Matris lemleri ……………………………………... Matris Gösterimleri …………………………………………………………………. Matrisler ve Diziler …………………………………………………………………. Matris Çe itleri ……………………………………………………………………… Kare Matris …………………………………………………………………………. Kö egen Matris ……………………………………………………………………... Sıfır Matris ………………………………………………………………………….. Devrik Matris ……………………………………………………………………….. E it Matrisler ………………………………………………………………………... Matris lemleri ……………………………………………………………………... Matrisin Skalerle Çarpımı …………………………………………………………... Matrislerin Lineer Kombinasyonu ………………………………………………….. Matrislerin Çarpımı …………………………………………………………………. Matris Çarpımı ve Lineer Kombinasyonlar ………………………………………… Matrislerin zi ……………………………………………………………………….. Birim Matris ………………………………………………………………………… Üstel Matrisler ………………………………………………………………………. Kare Matrisin Kuvvetleri …………………………………………………………… Polinom Matrisler …………………………………………………………………... Simetrik Matris ……………………………………………………………………... Asimetrik Simetrik Matris ………………………………………………………….. E lenik Matris ………………………………………………………………………. E lenik Tranzpoze Matris …………………………………………………………... Hermitian Matris ……………………………………………………………………. Asimetrik – Hermitian Matris ……………………………………………………… Üçgen Matris ………………………………………………………………………... Eklenmi Matris …………………………………………………………………… I Sayfa 1 3 3 5 7 10 12 16 18 19 21 34 43 47 48 49 49 50 50 51 51 52 54 55 55 67 70 71 71 72 73 74 74 75 75 76 76 77 77 KONULAR Sayfa Elemanter Matris lemleri ………………………………………………………….. Elemanter Matris lemlerinin Amacı ………………………………………………. Gauss Eliminasyon Yöntemi : Elemanter Matris l. ve Lin. Denkl. Sist. Çöz. …… Matrislerin Rankı …………………………………………………………………… Matrisin Tersi ……………………………………………………………………….. Rank ve Matrisin Tersi ……………………………………………………………… Tekil – Tekil Olmayan Matrisler …………………………………………………… Ortogonal Matrisler …………………………………………………………………. Matrisin Entegrali …………………………………………………………………... Matrislerin Türevi …………………………………………………………………... Matris De erlikli Skaler Fonksiyonun Türevi ……………………………………… Matrisin Normu ……………………………………………………………………... Vektör De erlikli Skaler Fonksiyonun Türevi ……………………………………… Vektörlerin Türevi …………………………………………………………………... Ters Matris Yakla ımıyla Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü ………………… 78 86 96 129 154 156 156 172 176 177 178 178 179 181 182 199 200 200 200 205 205 206 214 224 226 230 236 236 242 247 258 258 259 274 282 287 305 343 344 347 385 387 387 388 390 394 4. Determinantlar …………………………………………………….. Matrislerin Determinantı ……………………………………………………………. Determinant Hesaplama Yöntemleri ………………………………………………... Sarrus Kuralı ………………………………………………………………………... Minörler …………………………………………………………………………….. E çarpanlar ………………………………………………………………………….. Laplace Kuralıyla Determinant Hesaplanması ……………………………………… Determinantların Özellikleri ………………………………………………………... Sıfır Determinantlar ………………………………………………………………… Wandermonde Matrisi ………………………………………………………………. Elemanter lemlerle Determinantların Hesaplanması ……………………………… Blok Matrisler ………………………………………………………………………. Üçgen Matrislerin Blok Determinantı ………………………………………………. Benzer Matrisler …………………………………………………………………….. Cramer Kuralı ve Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü …………………………. Matrislerin Tersi …………………………………………………………………….. Adjoint Matris ………………………………………………………………………. Ters Matris ………………………………………………………………………….. Ters Matris Yakla ımıyla Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümleri ………………. Determinantla Rank Belirleme ……………………………………………………… Minörlerin Ku atılması ……………………………………………………………... Homojen Olmayan Lineer Denklem Sistemlerin Rank Yakla ımıyla ncelenmesi ….. Homojen Lineer Denklem Sistemleri ………………………………………………. Homojen Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü ………………………………….. Homojen Lineer Sistemler ve Lineer Ba ımsızlık ………………………………….. 5.Vektörler ……………………………………………………………. Kompleks Sayılar ve Vektörler ……………………………………………………... Vektörlerin Geometrik Gösterimleri ………………………………………………... Vektörlerin Matrisyel Gösterimi ……………………………………………………. Do ru ve Vektörler …………………………………………………………………. Lineer Denklem Sistemleri ve Vektörel Gösterim ………………………………….. II KONULAR Sayfa Vektörel i lemler : toplam ve skalerle çarpım ……………………………………… Konum ve Serbest Vektörler ………………………………………………………... Vektörlerin Ötelenmesi : Deplasman Vektörleri ……………………………………. Do rultu Vektörü …………………………………………………………………… Vektör Gösterimleri ………………………………………………………………… Norm : Vektörün Uzunlu u ………………………………………………………… Birim Vektörler ve Uzunlukları …………………………………………………….. Kompleks Vektörün Uzunlu u ……………………………………………………... Vektörler Arasındaki Mesafe ……………………………………………………….. Vektörlerin Lineer Süperpozisyonu ………………………………………………… Vektör Uzayları ……………………………………………………………………... Reel Vektörler ve Reel Vektör Uzayları ……………………………………………. Kompleks Vektörler ve Kompleks Vektör Uzayları ………………………………... Reel ve Kompleks Skaler Çarpım Uzayları ………………………………………… Gerçek De erli Hilbert Uzayın Özellikleri ve Vektörlerin Skaler Çarpımı ………… Kompleks De erli Hilbert Uzayı : Kompleks Vektörlerin Skaler Çarpımı ………… ki Vektör Arasındaki Açı …………………………………………………………... Ortogonal Vektörler ………………………………………………………………… Ortonormal Vektörler ……………………………………………………………….. Standart Vektörler ve Ortogonalite – Ortonormalite ……………………………….. Skaler Çarpım ve Benzerlik Ölçüsü ………………………………………………… Ortogonalite ve Benzerlik …………………………………………………………... Ortogonalite ve Korelasyon ………………………………………………………… Hilbert Uzayında Ortogonallik – Ortonormallik ……………………………………. Ortogonallik ve Üçgen E itlikleri ………………………………………………… Ortogonal Matrisler …………………………………………………………………. Ortogonal Fonksiyonlar …………………………………………………………….. Trigonometrik Fonksiyonların Ortogonalli i ……………………………………….. Trigonometrik Ortogonal Fonksiyonlar ve Fourier Serisi Vektörel Çarpım …………………………………………………………………….. Alt Vektör Uzayları …………………………………………………………………. Baz Vektörler ve Span ……………………………………………………………… Standart Baz Vektörler ……………………………………………………………… Homojen Lineer Sistemler ve Vektörlerin Lineer Ba ımsızlı ı ……………………. Lineer Ba ımlılık ve Ba ımsızlık …………………………………………………... Lineer Ba ımsız Vektörlerin Kombinasyonu …………………………………......... Lineer Ba ımsız - Ba ımlı Vektörler ……………………………………………….. Lineer Ba ımlı Vektörler …………………………………………………………… Baz Vektör De i imi ve Koordinat Dönü ümü …………………………………….. Standart Vektörler ve Koordinat Vektörü …………………………………………... Taban (baz) De i imi ……………………………………………………………….. Taban De i ikli i ve Koordinat Vektörü …………………………………………… Ortogonal Vektör Kümeleri ………………………………………………………… Ortagonol Vektörlerin Lineer Ba ımsızlı ı ………………………………………… Ortogonallik – Lineer Ba ımsızlık ……………………………………………......... Ortogonal Projeksiyon ………………………………………………………......... 402 404 405 409 411 412 413 415 416 417 420 420 421 421 421 423 426 429 430 430 430 432 433 437 438 439 450 450 452 457 469 469 472 475 478 480 484 486 522 526 528 529 543 543 544 549 III KONULAR Sayfa Ortogonal Projeksiyon ve Lineer Kombinasyon ……………………………………. Ortogonal – Ortonormal Lineer Kombinasyonlar …………………………………... Ortogonal – Ortonormal Tabanlar ………………………………………………… Ortogonal Dekompozisyon ……………………………………………………......... Ortogonal Baz Vektörlerinin Avantajı ……………………………………………… Düzlem Üzerine Ortogonal Projeksiyon ……………………………………………. Ortogonal Baz Vektörlerin Elde edilmesi …………………………………………... Gram – Schmidt Prensibi …………………………………………………………… Gram – Schmidt Algoritması ……………………………………………………….. Ortogonal Vektörlerin Lineer Ba ımsızlı ı …………………………………............ Lineer Denklem Sistemlerinin Vektörel Yakla ımlarla Çözüm ve Analizleri Üzerine …….. 553 567 569 569 574 583 594 594 596 608 623 KAYNAKLAR …………………………………………………………………….. 627 II. C LT KONULAR Sayfa 1. Öz De er – Öz Vektör ………………………………………….. 1 21 26 32 51 65 92 101 109 110 132 133 134 135 144 146 147 148 149 151 162 173 179 Kare Matrisin Öz De eri ve Öz Vektörleri ……………………………………... Matrisin Karakteristik Denklemi : Cayley – Hamilton Teoremi ……………….. Öz De er - Öz Vektör ve Lineer Transformasyon (reel öz de erler) …………... Kompleks Öz De erler ve Öz Vektörler ………………………………………... Tekrarlı Öz De erler ve Öz Vektörler ………………………………………….. Karakteristik Denklemler ve Benzer Matrisler …………………………………. Cayley-Hamilton Teoremi ……………………………………………………… Diyagonal Matrisler ve Matrislerin Diyagonal Yapılması ……………………… Matrisin Diyagonal Yapılması ………………………………………………….. Matris Diyagonalizasyonuyla lgili Sonuçlar …………………………………... Exponensiyel Matrisler …………………………………………………………. Diyagonal Matrisin Exponensiyeli ……………………………………………… Bir Kare Matrisin Exponensiyeli ……………………………………………….. Matrislerin Kuvveti ……………………………………………………………... Matrislerin Benzerli i …………………………………………………………... Blok Diyagonal Matrisler ……………………………………………………….. Jordan Blokları ………………………………………………………………….. Jordan Kanonik Form …………………………………………………………… Jordan Kanonik Formunun Dönü üm Matrisinden Elde Edili i ………………... Lineer Transformasyonlar : Domain – Range …………………………………... Matris Transformasyonları ……………………………………………………… Lineer Transformasyonlar ………………………………………………………. IV 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi ………………………………... Lineer Sistemler ………………………………………………………………… Zamandan Ba ımsız Sistemler ………………………………………………….. LTI Sistemlerin Lineer Diferansiyel Denklemlerle Gösterimi …………………. Sistem Cevabının Çözümü ……………………………………………………… Sıfır Giri Cevabı ……………………………………………………………….. Ba langıç Ko ulları ve Sistem Cevabı ………………………………………….. Sistem Reel Kökleri (reel öz de erler) ………………………………………….. Katlı Kökler (katlı öz de erler) …………………………………………………. Kompleks Kökler ……………………………………………………………….. Sistem Toplam Cevabı ………………………………………………………….. Sistemin Karakteristik Modları …………………………………………………. LTI Sistemlerde Dı arıdan Giri e Sistemin Cevabı …………………………….. Sürekli LTI Sistemlerin Kararlılı ı ……………………………………………... LTI Sistemlerin Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleriyle Analizleri ……….. Lineer Cebirin Diferansiyel Denklem Uygulamaları …………………………… Homojen ve Homojen Olmayan Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri …….. Diyagonal Matris Yakla ımıyla Lin. Dif. Denk. Sist. Çöz. (reel öz de erler) …. Homojen Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri (reel öz de erler) ………….. Öz De erler, Karakteristik Denklem ve Sistem Cevabı ………………………… Öz De erlerin Sistemi Nitelemesi ………………………………………………. Farklı reel Öz De erler …………………………………………………………. Kompleks Öz De erler ………………………………………………………….. Katlı Öz De erler ……………………………………………………………….. Öz De erlerin Sınıflandırılması ………………………………………………… Katlı Öz De erler ve Genelle tirilmi Öz Vektörler Yakla ımı ………………... Katlı Öz De erler ve Sistem Cevapları …………………………………………. Kompleks Öz De erler ve LTI Sistemlerin Homojen Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleriyle Analizleri ………………………………………………. Kompleks Öz De erlerin Özel Sonuçları Exponensiyel Matrislerle Diferansiyel Denklem Sistemlerinin Analizi Kompleks Frekans Düzlemi ve Öz De erler …………………………………… Öz De erler – Öz Vektörlerin Sistem Açısından Önemi ……………………….. Karakteristik Denklem – Öz de eler – Lineer Sistem Analizi ………………….. Öz De eler Ve Kararlılık Üzerine ………………………………………………. LTI Sistemlerin Öz De er Fonksiyonları ve Öz De erleri …………………….. Kompleks Exponensiyeller ve Öz De er Fonksiyonları ………………………... Kompleks Exponensiyeller ve Transfer Fonksiyonu …………………………… Sinüzoid Exponensiyeller ………………………………………………………. Sinüzoid Exponensiyeller ve Öz De er Fonksiyonları …………………………. Öz De er Fonksiyonlarının Lineer Ba ımsızlı ı ……………………………….. Ayrık Sistemlerin Öz De er Fonksiyonu – Öz De eri …………………………. LTI Ayrık Sistemlerin Öz De erleri ……………………………………………. KAYNAKLAR ………………………………………………………………… V 193 193 196 199 199 200 200 202 203 205 205 206 207 209 210 212 213 214 244 295 297 297 297 298 299 300 307 383 498 510 525 527 531 540 542 542 542 545 546 553 555 556 558