3 Gamma Dağılımı

5 Gamma Dağılımı
• Gamma dağılımının yoğunluk fonksiyonu şöyledir.
 x  1e  x / 

f ( x)     ( )
0

x0
x0
• Dağılımın parametreleri  ve  olup ( ) gamma fonksiyonudur.
Dağılım adını bu fonksiyondan almaktadır.
• Farklı her  ve  değerleri için farklı dağılım şekilleri elde
edilmektedir. Mesela  =1 ve  =1,  =2,  =3,  =4 değerleri
aşağıdaki şekilde görülen dağılımlar elde edilir.
• Gamma fonksiyonu
şöyle ifade edilir.

()   y  1 e  y dy
x  0 için
0
• Gamma fonksiyonuna ardı ardına kısmi
uygulanarak; ()  (  1)! elde edilir.
integrasyon
Gamma Dağılımı
• Farklı her  ve  değerleri için farklı dağılım şekilleri elde
edilmektedir. Mesela  =1 olurken =1,  =2,  =3,  =4
değerlerini aldığında aşağıdaki şekilde görülen
dağılımlar elde edilir.
Gamma Dağılımı
• Gamma dağılımında  ve  nın bazı değerleri için özel
dağılımlar elde edilir.
• =1 için üstel dağılım,
n
,   2 için
•  
2
Ki-kare dağılımı elde edilir.
_
• Gamma dağılımının ortalaması: x  
2
2
• Dağılımın varyansı
: s  
• Bu iki değerden hareketle  ve  şöyle bulunur.
_ 2
X
  2
s
 
s2
_
X
Gamma Dağılımı
• Örnek: Bir işletmede günlük elektrik enerjisi tüketiminin
(bin kilovat/ saat cinsinden )   2 ,   3 olan
bir gamma
dağılımına göre değiştiği kabul edilmektedir. İşletmenin
çevirim santralinin günlük kapasitesi 10 bin kilovat/saat
olduğuna göre, her hangi bir günde işletmenin elektrik
ihtiyacının çevirim santrali kapasitesini aşması olasılığını
bulunuz?
• Çözüm:
x 21. e  x / 3
f ( x)  2
3 . (2)
( )  ( - 1)!  (2 - 1)!  1
 x.e  x / 3

f ( x)   9
0

x0
x0
Gamma Dağılımı

1
f ( x)   x e -x/3 dx
9 10
ux
du  dx
dv  e -x/3 dx
1
1
-x/ 3
f (x)   x e
dx   3x e
9 10
9 

1
  3x e
9 
10
3
x
3
x

3
v  -3e -x/3

x


1
    3e 3 dx
 10 9

x
x

 1
 9 e     x e 3  e 3
 10  3
x
3
10
3
10
3
10
3
13
 10 
 e  e   1  e .
3
3

 4,33.e 3,33  4,33 . 0,035794  0,154588
10
 e
3









10
buradan
6. Weibull Dağılımı
• Özellikle güvenilirlik analizinde kullanılan önemli bir olasılık
dağılımıdır. Dağılımım olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonları
aşağıda verilmiştir.
• Olasılık yoğunluk fonksiyonu;
   1 ( x /  )
x0
  x e
f ( x)   
0
x0

• Olasılık dağılım fonksiyonu;
F ( x)  1  e
 ( x /  )
• Fonksiyonda : şekil, : yer parametresidir.
• =1 olursa Weibull dağılımı üstel dağılıma dönüşür.
•  büyüdükçe dağılım normal dağılıma yaklaşır.
• Olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği incelendiğinde alfa
parametresi büyük değerler aldığında Weibull dağılımı Normal
dağılıma doğru yaklaşmaktadır.
Weibull Dağılımı
• Örnek: Bir cihazın güvenilirliğinin =3, =100 saat olan
Weibull dağılımına uyduğu bilinmektedir.
• a) Bu cihazın en fazla 70 saat kesintisiz (arızasız) çalışma
olasılığını bulunuz.
• b) 90 saatten fazla çalışması için güvenilirliğini (90 saatten
fazla arızasız çalışma olasılığını) bulunuz.
• Çözüm: Olasılık dağılım fonksiyonu ile çözüm
• a)
 ( 70 /100)3
P( X  70)  1  e
 1  0,7096
P( X  70)  0,2904
• b)
P( X  90)  1  [1  e
P( X  90)  0,482
 ( 90 /100)3
]  1  (1  0,482)
Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı
• Deney sayısı sonsuza giderken dağılım simetrik ise (p değeri 0,5
civarında ise) binom dağılımı normal dağılıma yaklaşır. Eğer n deney
sayısı yeterince büyük ise, dağılım tam olarak simetrik olmasa bile
dağılımın çarpıklığı çok belirgin olmayacaktır. Böyle durumlarda
kesikli olan Binom değişkeni uygun bir işlemle sürekli bir değişkene
dönüştürülür. Böylece n ve p parametreleri ile tanımlanmış olan
Binom dağılımı yerine normal dağılım kullanılabilir.
• Deney sayısı n değerinin yeterince büyük olması ifadesi oldukça
muğlak bir ifadedir. Deney sayısının yeterince büyük olup olmadığını
tespit için çeşitli yöntemler kullanılmaktadır.
• Binom değişkeni kesikli olduğu halde normal değişken süreklidir. Bu
durumda Binom değişkenini sürekli şekle dönüştürmek gerekir. Kesikli
olan Binom değişkeni {0, n} arasındaki tam sayı değerleri alır. Bu tam
sayıların arasındaki birer birimlik boşlukların değişkenin değerine
yansıtılması gerekir. Bunun için değişkenin değeri (1/2) birim geriden
başlayıp (1/2) birim ileriden bitirilir. Böylece kesiklilik hali sürekli hale
dönüştürülmüş olur.
Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı
• Örnek olarak aşağıdaki tabloda bazı Binom değişkenlerinin sürekli
şekilleri verilmiştir.
Kesikli Binom değişkeni
Normal yaklaşım (sürekli)
P(X=5)
P(4,5<X<5,5)
P(X≤5)
P(X<5,5)
P(X>5)
P(X>5,5)
P(3<X ≤7)
P(3,5<X<7,5)
P(3 ≤X<7)
P(2,5<X<6,5)
• Örnek:Bir lisedeki öğrencilerin ÖSS sınavını kazanma olasılıkları
0,3 tür. Bu lisede sınava 100 öğrenci katıldığı bilindiğine göre;
• a) Sınavı 30 öğrencinin kazanma olasılığı ne olur?
• b) Bu öğrencilerin en az 27 sinin kazanma olasılığı ne olur?
• c) Öğrencilerin en az 33 en fazla 37 inin kazanma olasılığı ne
olur?
Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı
• Çözüm:
• Dağılımın ortalaması: µ = np = 0,3*100 = 30
• Dağılımın varyansı : 2 = npq = 0,3*0,7*100 = 21  =4,58
a) P(X=30) a) Normal yaklaşımla P(29,5<X<30,5) olur.
29,5  30
Z1 
 Z1  0,11
4,58
Z2 
0 ,11
P(0,11  Z  0,11) 
30,5  30
 Z 2  0,11
4,58
0 ,11
0
 f ( z)dz  
0,11
f ( z )dz 
0 ,11
 f ( z)dz  0,0438  0,0438
0
• b) P(X≥27) için normal yaklaşımla P(X>26,5) aranır.
Z
26,5  30
 Z  0,76
4,58
P( Z  0,76) 

0
0, 76
0, 76
 f ( z)dz  
P( Z  0,76)  0,7764 olur.

f ( z )dz   f ( z )dz  0,2764  0,5
0
Problem
Bir elektronik mamul 22 entegre devreden oluşmaktadır.
Entegre devrelerin arızalı olma olasılıkları %1 ve birbirinden
bağımsızdır. Elektronik parçanın çalışır olması için bütün
devrelerinin sağlam olması gerekmektedir.
• a) Rastgele seçilen 60 entegre devreden en az 2 tanesinin
arızalı olma olasılığı nedir?
• b) Seçilen devrelerden en az 1 tanesinin arızalı olma olasılığı
%80 olması için kaç entegre devre seçilmelidir?
• c) Bu devrelerle imal edilen elektronik mamulün sağlam olma
olasılığı nedir?
• d) Rasgele seçilen 10 mamulden en çok 2 sinin arızalı olma
olasılığı nedir.
• e) Seçilen 7. mamulün ilk arızalı parça olma olasılığı nedir?
• f) Seçilen 10. mamulün 3. arızalı mamul olma olasılığı nedir?
• g) Rasgele seçilen 140 mamulden en az 30 tanesinin kusurlu
olma olasılığını bulunuz.
Problem
• Bir hastaneye gelen hastaların dahiliye polikliniğine gitme olasılığı
%15 dir. Bu hastaneye gelen 40 hastadan
• a) Dahiliye polikliniğine giden hastaların ortalama ve varyansı ne
olur?
• b) Hastaneye gelen 40 hastanın 5 tanesinin dahiliye polikliniğine
gitme olasılığı ne olur?
• c) Bu hastaların en az 3 tanesinin dahiliye polikliniğine gitme
olasılığı ne olur?
• d) Hastaneye gelen 5. hastanın dahiliye polikliniğine gelen ilk
hasta olma olasılığı ne olur?
• e) Hastaneye gele 40. hastanın dahiliye polikliniğine gelen 4.
hasta olma olasılığı ne olur?
• f) Hastaneye gelen hastaların %15 i dahiliye, %20 si KBB’ye, % 10
u Çocuk ve geri kalanı diğer polikliniklere gittiğine göre, Hastaneye
gelen 40 hasta içerisinden seçilen 10 hastadan 2 sinin dahiliye, 3
ünün KBB ye, 1 inin çocuk, geri kalanlarının diğer polikliniklere
gitme olasılığı ne olur?