Document

Sürekli Rastsal Değişkenler
Normal Dağılım: Giriş
Normal Dağılım:
Tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanan bir rastsal
değişken, X, için oluşturulan sürekli olasılık dağılımına normal
dağılım denir.
– Örnek: uzunluk, ağırlık, vb.
Uzunluk dağılımı için oluşturulan histogram
a
b
c
d
a) 100 bayandan oluşan rastsal bir örneklem
b) Örneklem büyüklüğü arttı, sınıf genişliği azaldı.
c) Örneklem büyüklüğü daha da arttı, sınıf genişliği daha
da azaldı.
d) Popülasyonun normal dağılımı
Normal dağılımın özellikleri:
1. Simetrik ve çan eğrisi biçimindedir.
2. Tamamen ortalaması, , ve standart sapması, , ile
tanımlanmaktadır.
3. Normal dağılım eğrisi altında kalan alan 1’e eşittir.
4. x-eksenine yatay asimtotiktir (x-eksenine yaklaşmakta
fakat dokunmamaktadır).
Simetrik ve çan eğrisi şeklinde:
Simetrik ve çan şeklinde.
Normal dağılım eğrisidir.
Simetrik, ama çan şeklinde
değil. Normal dağılım eğrisi
değildir.
Normal dağılıma uygun olan veri setlerinde ortalama, medyan ve mod
aynı değerdir.
Tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanmaktadır.
•Bükülme noktası eğrinin yön
değiştirdiği noktalardır.
• - ve  +  bükülme
noktalarıdır.
•Standart sapma eğrinin şeklini
belirlemektedir.
•Standart sapma ne kadar büyük
olursa, normal dağılım eğrisinin
kuyruk kısmında kalan alan
daha büyük olmaktadır (eğri
daha yassıdır).
Eğrinin altında kalan alan = 1:
Belli bir rastsal değişkenin (x) aldığı herhangi bir değerin solunda kalan
alan, rastsal olarak seçilen bir değerin x değerinden daha az olma olasılığına
eşittir [P(X < x)].
x-eksenine yatay asimtotiktir:
Doğru
Yanlış
Kaç tane normal dağılım eğrisi vardır?
 ve  için sonsuz ihtimal olduğu için sonsuz sayıda normal dağılım eğrisi
bulunmaktadır.
Standart Normal Dağılım:
Standart normal dağılım normal dağılımla aynı özellikleri
taşımakla birlikte, standart sapması 1 ve ortalaması 0’dır.
Standart Normal Dağılımın Özellikleri:
1. Standard normal normal dağılım eğrisi simetrik ve çan
şeklindedir.
2. Tamamen ortalaması, , ve standart sapması, , ile
tanımlanmaktadır,  = 0 and  = 1.
3. Eğrinin altındaki alan 1’e eşittir.
4. x-eksenine yatay asimtotiktir.
Standart Normal Dağılıma Dönüştürme:
Standard Skor Formülü (z-değeri):
Normal dağılım eğrisini çiziniz:
 = 40 ve  = 5 ise, ortalama değerini, bükülme noktalarını
ve her bir x değerinin nerede olacağını belirtiniz.
x1 = 33 ve x2 = 51
Çözüm:
35
33
40
45
51
Standart Normal Dağılıma Dönüştürünüz:
= 40 ve  = 5, ise her bir x değeri için standart skoru
hesaplayınız ve standart normal dağılım eğrisindeki yerini
belirtiniz.
x1 = 33 and x2 = 51
Çözüm:
-1
-1.4
0
1
2.2
Standart Normal Dağılıma Dönüştürünüz:
 = 48 ve  = 5, ise x = 45 değerini standart normal dağılım
eğrisi üzerinde gösteriniz.
Çözüm:
43
45
48 53
-1 0
-0.6
1
Örnek
Her bir soru için normal dağılım eğrisi çiziniz. Ortalama,
bükülme noktaları ve verilen x değerlerinin nerede olması
gerektiğini gösteriniz.
 Standart normal dağılım eğrisini çiziniz. Verilen x değeri
için standart skoru hesaplayınız. z-değerini gösteriniz.
– μ=65, σ=20, x=40
– μ=5, σ=0.25, x=4.8
– μ=15, σ=2, x=19
– μ=0.023, σ=0.001, x=0.02
– μ=12000, σ=2000, x=10750

Normal Dağılım Tablosunun Okunması
Normal Dağılımın Olasılığı:
Belirli bir aralıkta değerler alan rastsal bir değişkenin
olasılığı, ilgili bölgedeki eğrinin altında kalan alana eşittir.
P(X > 80) = P(X ≥ 80)
Standart Normal Dağılım Tablosu:
Standart Normal Dağılım Tablosu (– – z)
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.0
0.5000
0.5040
0.5080
0.5120
0.5160
0.1
0.5398
0.5438
0.5478
0.5517
0.5557
0.2
0.5793
0.5832
0.5871
0.5910
0.5948
0.3
0.6179
0.6217
0.6255
0.6293
0.6331
0.4
0.6554
0.6591
0.6628
0.6664
0.6700
0.5
0.6915
0.6950
0.6985
0.7019
0.7054
0.6
0.7257
0.7291
0.7324
0.7357
0.7389
0.7
0.7580
0.7611
0.7642
0.7673
0.7704
0.8
0.7881
0.7910
0.7939
0.7967
0.7995
z-değerinin sol tarafındaki alan:
z-değerinin sol tarafındaki alanı bulunuz:
a. z = 1.69
b. z = -2.03
c. z = 0
d. z = 4.2
e. z = - 4.2
z-değerinin sağ tarafındaki alan:
z-değerinin sağ tarafındaki alan= 1 – “z-değerinin sol tarafındaki alan”
z-değerinin sağ tarafındaki alanı bulunuz:
a. z = 3.02
b. z = -1.70
c. z = 0
d. z = 5.1
e. z = - 5.1
z1 ve z2 arasındaki alan:
z1 ve z2 arasındaki alanı bulunuz:
a. z1 = 1.16, z2 = 2.31
b. z1 = -2.76, z2 = 0.31
c. z1 = -3.01, z2 = -1.33
Kuyruklardaki alan:
Kuyruklardaki alanı bulunuz:
a. z1 = 1.25, z2 = 2.31
b. z1 = -2.50, z2 = 3.00
c. z1 = -1.23, z2 = 1.23
Örnek

Verilen z değerleri arasındaki alanı bulunuz.
1) z = 0.35 and z = 1.85
2) z = -1.25 and z = 2.16

z1 in solundaki ve z2 nin sağındaki alanı bulunuz.
1) z1 = -2.31, z2 = 1.67
2) z1 = 1.31, z2 = 1.93

Verilen olasılıkları bulunuz.
1) P(z < -3.14)
2) P(-1.86 < z < 3.14)
3) P(z < -1.26 or z > 1.26)
Normal Dağılım Kullanılarak Olasılıkların Bulunması
• Standart olmayan normal dağılım eğrisinin
altındaki alanı bulurken;
• x değerleri standart skorlara dönüştürülür ve
standart normal dağılım kullanılır.
Olasılığı hesaplayınız:
ABD’de yaşayanların IQ skorlarının ortalaması 100, standart
sapması ise 15 olduğu bilinmektedir. Popülasyonun yüzde
kaçının IQ skorları 92’den daha azdır?
Çözüm:
 = 100,  = 15, x = 92
P(z < -0.53) = 0.2981 = 29.81%
Olasılığı hesaplayınız:
ABD’de yaşayanların IQ skorlarının ortalaması 100, standart
sapması ise 15 olduğu bilinmektedir. Popülasyonun yüzde
kaçının IQ skorları 130’dan daha fazladır?
Çözüm:
 = 100,  = 15, x = 130
P(z > 2.00)
= 0.0228 = 2.28%
Olasılığı hesaplayınız:
ABD’de yaşayanların IQ skorlarının ortalaması 100, standart
sapması ise 15 olduğu bilinmektedir. Popülasyonun yüzde
kaçının IQ skorları 90 ve 110 arasındadır?
Çözüm:
 = 100,  = 15, x1 = 90 ve x2 = 110
P(-0.67 < z < 0.67) = 0.4972 = 49.72%
Olasılığı hesaplayınız:
ABD’de yaşayanların IQ skorlarının ortalaması 100, standart
sapması ise 15 olduğu bilinmektedir. Popülasyonun yüzde
kaçının IQ skorları 80’den daha az veya 120’den daha
fazladır?
Çözüm:
 = 100,  = 15, x1 = 80 ve x2 = 120
P(z < -1.33 veya z > 1.33) = 0.1835 = 18.35%
Örnek
Buffalo Ticaret Odası’ndan alınan verilere göre,
çalışanların haftalık maaşlarının normal dağılım
özelliği gösterdiği, ortalamanın 700$ ve standart
sapmanın 50$ olduğu tespit edilmiştir. Buffalo’dan
rastsal olarak seçilen bir çalışanın;
a) 600$’ın altında haftalık maaş alma olasılığı nedir?
b) 810$’ın üzerinde haftalık maaş alma olasılığı nedir?
c) 620$ ve 770$ arasında haftalık maaş alma olasılığı
nedir?
d) 620’den daha az veya 780$’den daha fazla haftalık
maaş alma olasılığı nedir?

t-dağılımı ve t-değerleri
t-dağılımı:
Şekli normal dağılım eğrisine benzemekle birlikte,
kuyruklarda daha fazla alanı bulunan ve
serbestlik derecesi ile tanımlanan dağılımdır.
t-dağılımının özellikleri:
1. t-dağılım eğrisi simetrik ve çan şeklindedir ve
merkezi 0 civarında bulunmaktadır.
2. Tamamen serbestlik derecesi, yada s.d. (bir
parametrenin tahmin edilmesinde kullanılan
bağımsız bilgi sayısı) ile tanımlanmaktadır
3. t-dağılım eğrisinin altında kalan alan 1’e eşittir.
4. x-eksenine yatay asimtotiktir.
Normal dağılım ve t-dağılımının karşılaştırılması:
t-dağılımı tablosu:
t-dağılımı tablosu
s.d.
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
1
3.078
6.314
12.706
31.821
63.657
2
1.886
2.920
4.303
6.965
9.925
3
1.638
2.353
3.182
4.541
5.841
4
1.533
2.132
2.776
3.747
4.604
5
1.476
2.015
2.571
3.365
4.032
t-dağılımı tablosu:
1. Üst satırdaki sayılar, t-değerinin sağındaki alanı ()
ifade etmektedir.
2. Sol sütundaki sayılar serbestlik derecesini ifade
etmektedir (s.d. = n – 1).
3. İlgili sütun ve satırın kesiştiği hücredeki değer tdeğeridir.
t0.025 ve s.d.= 25 ise t-değerini bulunuz.
Student
t-dağılımı
t-Distribution
tablosuTable
d.f.
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
23
1.319
1.714
2.069
2.500
2.807
24
1.318
1.711
2.064
2.492
2.797
25
1.316
1.708
2.060
2.485
2.787
26
1.315
1.706
2.056
2.479
2.779
t0.025 = 2.060
Kaç serbestlik derecesi t0.010 = 4.604 sonucunu vermektedir?
Student
t-dağılımı
t-Distribution
tablosuTable
d.f.
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
1
3.078
6.314
12.706
31.821
63.657
2
1.886
2.920
4.303
6.965
9.925
3
1.638
2.353
3.182
4.541
5.841
4
1.533
2.132
2.776
3.747
4.604
5
1.476
2.015
2.571
3.365
4.032
d.f. = 4
s.d.=17 ve sağındaki alan 0.1’e eşit olan t-değerini
bulunuz.
Student
t-dağılımı
t-Distribution
tablosuTable
d.f.
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
15
1.341
1.753
2.131
2.602
2.947
16
1.337
1.746
2.120
2.583
2.921
17
1.333
1.740
2.110
2.567
2.898
18
1.330
1.734
2.101
2.552
2.878
19
1.328
1.729
2.093
2.539
2.861
t0.100 = 1.333