10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar

10.Konu
Tam sayıların inşası
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Tam sayılar kümesi
Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma
Pozitif ve negatif tam sayılar
Tam sayılar kümesinde çıkarma
Tam sayılar kümesinde sıralama
Bir tam sayısının mutlak değeri
Tam sayılar kümesinde bölme ve kalanlı bölme
Bir tam sayısının bölenleri
Tam sayılarının ortak bölenleri
Aralarında asal sayılar
Alıştırmalar
1.Tam sayılar kümesi
)
olsun. Eğer
) ikilisine denktir, denir.
).
(
) ( )
)(
1.Tanım: (
) ikilisi (
ise (
) (
Simgesi: (
(
)( )
ise ve yalnız böyle
Örnek: ( ) ( ) doğrudur. 3+3 = 2+4
( ) ( ) yanlıştır. 3+5 ≠ 2+4
)( )
1.Teorem: (
olsun.
kümesinde
(
) ( )
biçiminde tanımlanan
bağıntısı bir denklik
bağıntısıdır.
İspat:
)
(
) (
)
1. Yansıyan: (
)( )
2. Simetrik: (
olsun.
(
) (
)
(
) (
)
3. Geçişli: [(
) (
ve
) ve (
) (
)]
(
(̅̅̅̅̅̅̅̅)
{(
)|(
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
….
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
{(
{(
{(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)
)
)
(
(
(
{(
{(
)(
)(
)(
)(
)
)
(
(
)
(
) (
) (
)
)
)
)
)
)
)
1
)
2.Tanım: (
olmak üzere
kümesinde tanımlanan denklik
) yi eleman olarak alan (̅̅̅̅̅̅̅̅) denklik sınıfına bir tam
bağıntısına göre (
sayı denir.
Tam sayılar kümesi ile gösterilir.
2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma
1.Tanım: Tam sayılar kümesinde tanımlanan,
(
) ) (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) işlemine toplama denir.
((̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) tam sayısına (̅̅̅̅̅̅̅̅)
(
) tam sayılarının toplamı denir.
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
(
) biçiminde gösterilir. Yani, (
)
(
) (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
Tam sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
2.Tanım: Tam sayılar kümesinde tanımlanan,
(
) ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
) işlemine çarpma denir.
((̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
(
) tam sayısına (
)
(
) tam sayılarının çarpımı
denir.
(̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
(
) biçiminde gösterilir. Yani,
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
(
) (
) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)
Tam sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
1.Teorem: (
) matematik yapısı değişmeli ve birimli bir halkadır.
(
) (̅̅̅̅̅̅̅)
2.Teorem: (̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
a) (̅̅̅̅̅̅̅̅)
(̅̅̅̅̅̅̅) = ̅̅̅̅̅̅̅
(
)
(̅̅̅̅̅̅̅)
olsun.
(̅̅̅̅̅̅̅̅) = ̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅̅̅̅̅̅̅̅
(
) (̅̅̅̅̅̅̅) = ̅̅̅̅̅̅̅
(
) (̅̅̅̅̅̅̅)
b)
3.Teorem: (
(̅̅̅̅̅̅̅̅) = ̅̅̅̅̅̅̅
(
)
) halkası bir tamlık bölgesidir.
3.Pozitif ve negatif tam sayılar
olmak üzere,
önermelerin biri ve yalnız biri
doğrudur.
)
1.Teorem: (
olsun.
ve bir
önermelerden sadece bir tanesi doğrudur:
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)
a) (̅̅̅̅̅̅̅̅)
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
)
(
)
b) (
(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
c) (̅̅̅̅̅̅̅̅)
1.Sonuç: (̅̅̅̅̅̅̅̅)
(̅̅̅̅̅̅̅̅)
a)
için aşağıdaki
olsun.
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)
2
b)
c)
2.Teorem:
yapısı, (
(̅̅̅̅̅̅̅̅)
(̅̅̅̅̅̅̅̅)
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)
{(̅̅̅̅̅̅̅̅) (̅̅̅̅̅̅̅̅)
ve
) matematik yapısına izomorftur.
olsun. (
) matematik
1.Tanım: (̅̅̅̅̅̅̅̅)
olsun.
̅̅̅̅̅̅̅
(
) sayısına pozitif tam sayı denir.
a)
(̅̅̅̅̅̅̅) sayısına negatif tam sayı denir.
b)
(̅̅̅̅̅̅̅) sayısına sıfır denir ve (
)
c)
yazılır.
- pozitif tam sayılar kümesi,
- negatif tam sayılar kümesi.
( ) veya ̅̅̅̅̅̅̅
( ) biçiminde
olmak üzere her tam sayı ̅̅̅̅̅̅̅
yazılabilir.
(̅̅̅̅̅̅̅)
( )
ve ̅̅̅̅̅̅̅
,
{
4.Tam sayılar kümesinde çıkarma
1.Tanım:
olsun.
( ) tam sayısına
Farkı bulmak işine çıkarma denir.
Simgesi: x-y
1.Teorem:
a)
)
b) (
nin farkı denir.
olsun.
( )
( ) (
)
5.Tam sayılar kümesinde sıralama
1.Tanım:
(̅̅̅̅̅̅̅̅) ve
(̅̅̅̅̅̅̅) olsun.
yerine bazen
yazılır.
veya
ifadesi
biçimde
yazılır.
1.Teorem:
olsun
olması için,
olacak biçimde pozitif
bir sayısının var olması gerektir ve yeter.
2.
olsun.
a)
b) (
)
dir.
c)
için,
d)
için,
3.Teorem: de tanımlanan bağıntısı bir sıralama bağıntısıdır. kümesi bu
bağıntıya göre tam sıralı bir kümedir.
3
6. Bir tam sayısının mutlak değeri
1.Tanım:
| |
olsun.
{
biçiminde tanımlanan | | sayısına x in mutlak değeri denir.
| |
fonksiyonuna mutlak değer fonksiyonu denir.
1.Teorem:
| |
(
olduğuna göre,
)
2.Teorem:
| |
| |
a)
| |
| |
b)
| |
c)
| |
d)
(
| |
e)
(
| |= | | | |
f)
| | | | |
g)
|
| | |
h)
| | | | |
i)
|
| | |
j)
olsun.
| |
| |
| |
)
)
|
| |
|
| |
7.Tam sayılar kümesinde bölme ve kalanlı bölme
1.Tanım:
ve
olsun. b=ax olacak biçimde bir x tam
sayısı varsa, a ya b nin bir çarpanı (veya b ye a nin bir katı) denir. x
sayısına b nin a ya bölümü denir.
a sayısı b nın br çarpanı ise, b sayısı a sayısına bölünebiliyor denir ve a|b
biçiminde gösterilir ve ‘a böler b’ diye okunur.
2.Tanım:
olsun. x ve y herhangi tam sayılar olduğuna göre,
ax+by tam sayısına a ve b sayılarının bir lineer toplamı denir.
1.Teorem:
|
|(
ve |
2.Teorem:
|
ve |
3.Teorem:
olsun.
)
olsun.
veya
olsun.
4
|
ve
1.Tanım:
|
|
ve ,
olsun.
yı b ye kalanlı olarak bölmek demek,
ve
| |
olacak biçimde bir
tam sayısı ile r doğal sayısını bulmak demektir.
Bu durumda a ya bölünen, b ye bölen, q sayısına bölüm, r sayısına kalan
denir.
1.Teorem:
a sayısı b sayısına kalanlı bölünebilir.
Kalanlı bölmede elde edilen bölüm ve kalan birer tanedir.
8.Bir tam sayısının bölenleri
ise sıfırdan farklı her tam sayı a nın bir bölenidir.
ise -1,1, -a, a sayilarından biri a nın bir bölenidir.
{B(a)} ile a tam sayısının bölenlerinin kümesi gösterilir.
{B(0)}=
{
{B(8)}={-8, -4, -2, -1,1,2,4,8}
9.Tam sayılarının ortak bölenleri
1.Tanım: Sıfırdan farklı iki ve b tam sayısının her ikisini tam bölen x
tam sayısına bu sayıların ortak bir böleni denir.
ve b tam sayılarının ortak bölenlerinin kümesi {OB(a,b)} biçiminde
)
{ ( ) { ( )
gösterilir. Tanıma göre, { (
Örnek: { ( ) ={-2,-1,1,2}
1.Teorem:
olsun.
{ (
)
|
( ).
2.Teorem:
olsun.
ve
| | ise
{ (
)
{ ( )
İspat:
{ (
)
( |
| )
|(
) ( |
| )
{ ( )
{ ( )
( |
| ) ( |
|(
))
| )
( |
{ (
)
) ={-4,-2,-1,1,2,4}
Örnek: { (
36=28.1+8
28=8.3+4
{ (
)
{ ( )
2.Tanım: Sıfırdan farklı
tam sayılarından her birini tam
plarak bölen bir x tam sayısına bu sayıların ortak bir böleni denir.
tam sayılarının ortak bölenlerinin kümesi
{OB(
)} biçiminde gösterilir. Tanıma göre,
{ (
)
{ ( )
{ ( )
{ ( ).
3.Tanım: En az biri sıfırdan farklı iki tam sayı ve b olsun. ve b
sayıların ortak bölenlerinin kümesinin en büyük elemanına ortak bölenlerin
en büyüğü denir.
5
ve b tam sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü OBEB(a,b) biçiminde
gösterilir. Tanıma göre, OBEB(a,b)=OBEB(|a|,|b|).
OBEB(38,28) =4
3.Teorem: En az biri sıfırdan farklı iki tam sayı ve b olsun.
OBEB(a,b)=r n olacak biçimde bir ve yalnız bir tane pozitif r n tam sayı vardır.
Bu sayı ve b tam sayıların lineer toplamı olacak yazılabilir: r n=ma+nb.
İspat:
a>b olsun.
{OB(a,b)}= {OB (b, )}
{OB (b, )}= {OB (
)}
{OB (
)}= {OB (
)}
…
{OB(a,b)}= {OB (b,
)}= {OB (
)}= {OB (
)}=
…= {OB (
)}=B{ }
=ma+nb
Bu yönteme Öklid Algoritması denir.
Alharezmi – Musa Oğlu Harezmi Mehmet (İX yüzyılın başı)
Örnek: OBEB{-118,26}=?
Çözümü: OBEB{-118,26}= OBEB{118,26}
118=26.4+14
26=14.1+12
14=12.1+2
12=2.6+0
OBEB{118,26}=2
2=14-12=14-(26-14)=2.14-26;
14=118-26.4
2=2.14-26=2.(118-26.4)-26=2.118-9.26
10.Aralarında asal sayılar
1.Tanım: En az biri sıfırdan farklı olan ve b tam sayılarının ortak
bölenlerinin en büyüğü 1 ise bu iki sayıya aralarında asal sayılar denir.
)
ve b tam sayılarının aralarında asal olduğu (
biçiminde
)
(
)
gösterilir. (
1.Teorem: En az biri sıfırdan farklı olan ve b tam sayılarının
aralarında asal olması için,
olacak biçimde m ve n tamsayılarının
bulunması gerekir ve yeter.
İspat:
( )
6
(
)
(
)
iki tam sayınını OBEB, bu tam
sayıların lineer toplamı olarak yazılabildiğinden,
olacak biçimde
m ve n tamsayıları vardır.
( )
olacak biçimde m ve n tamsayılarının var.
(
)
(
)
(
)
d>0
)
)
2.Teorem:
olsun. (
ve ( )
ise (
3.Teorem (Gauss Teoremi):
olsun.
)
|( ) ve (
ise |
4.Teorem:
olsun.
)
|
| ve (
ise ( )|
11.Alıştırmalar
(
) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
) =?
1. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
2. Tam sayıların hangileri pozitif, hangileri negatif, hangileri sıfırdır:
(
)
a) ̅̅̅̅̅̅̅
(
)
b) ̅̅̅̅̅̅̅
(
)
c) ̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
)
d) (
e) ̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅̅̅̅̅̅̅
)
f) (
|3x+4|+|x|≤20 açık önermesinin de doğruluk kümesi nedir?
n çift sayı olduğuna göre, 48|n (n2-4) olduğunu gösteriniz.
OBEB(1517,2021)=?
)
)
ve (
ise (
olduğunu gösteriniz.
OBEB(108,64)=d ve d=108x+64y olduğuna göre d,x,y tam sayıları
bulunuz.
8.
için 7|(11a+b) ise 7|(10a+3b) olduğunu gösteriniz.
3.
4.
5.
6.
7.
7