eşdeğer kuvvet çifti

Ödev 7
• Şekilde gösterilen
kablolarda 0.5 kN’un
üzerinde çekme kuvveti
oluşmaması için asılı
olan kovanın ağırlığını
(W) bulunuz.
W
E noktasının SCD’ı
3

  Fx  0 FED . cos 30  FEB ( )  0
5
FED  0.693FEB

4
  Fy  0 FED . sin 30  FEB ( )  W  0
5
0.8 FEB  0.5(0.693FEB )  W
FEB  0.872W
1
B noktasının SCD’ı
3

  Fx  0 FBC . cos 30  FBE ( )  FBA  0
5
4
  Fy  0 FBC . sin 30  FBE ( )  0
5
0.5 FBC  0.8 FBE  0.8  0.872W

2
FBC  1.395W
1.395W (cos 30)  0.6(0.872W )  FBA
FBA  FAB  1.731W
3
En riskli durum [3]
0.5  1.731W
W  0.289kN
Momentler Prensibi
(Varignon teoremi)
• Bu ilke, bir kuvvetin bir noktaya göre
momentinin bu kuvvetin bileşenlerinin
bu noktaya göre momentlerinin eşit
olduğunu ifade eder.
• Vektörel çarpımın dağılma özelliğinin
kullanılmasına dayanır.
• İki boyutlu problemlerde, kuvveti
kartezyen bileşenlerine ayırdıktan
sonra moment analizini skaler analizle
yapmak mümkündür.
4
Momentler Prensibi (Varignon teoremi)
F kuvvetine dik mesafeyi (d)
bulmaya gerek kalmadan,
bileşenlerine ayırmak daha
pratik !
5
Örnek 14
• O noktasında oluşan
momenti belirleyiniz.
ÇÖZÜM 1
6
ÇÖZÜM 2
7
ÇÖZÜM 3
(5kN)cos75
8
Ödev 8
6m
• Sokak lambasını
kaldırmak için F
kuvvetinin A noktasında
2250 Nm saatin tersi
yönünde moment
oluşturması
gerekmektedir. Bu
durumda F kuvvetinin
şiddeti ne olmalıdır?
3m
Cevap: 953.39 N
9
Bir kuvvetin bir eksene göre momenti
• Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti hesaplanırken, moment
ve moment ekseninin, kuvvet ve moment kolunu içeren
düzleme daima dik olduğu unutulmamalıdır. Bazen bu
momentin, söz konusu noktadan geçen belirli bir eksen
üzerindeki bileşenini bulmak gerekebilir. Skaler veya vektörel
analiz kullanılabilir.
Örn:
Bulonu gevşetebilecek
moment y ekseni
etrafındaki My momentidir.
x ekseni etrafında oluşan
momentin bulonu
gevşetmeye bir etkisi yoktur.
12
Skaler hesap
• F kuvvetinin y ekseni etrafında moment yaratan
moment kolu: “dy=dcos” olduğuna göre,
M= Fdy = F(dcos)
olarak bulunur.
13
Vektörel hesap
• Şekilde gösterilen F
kuvvetinin y eksenine göre
momentini bulmak için
önce, F kuvvetinin y ekseni
üzerinde herhangi bir nokta
“O”ya göre momenti
bulunur.
Mo momentinin y eksenine göre izdüşümü olan My bileşeni (y ekseni etrafındaki
moment) ise skaler çarpım kullanılarak bulunur.
(sonuç skaler)
y eksenindeki birim vektör
14
Genelleştirince:
  
M a  ua (r  F )
Bu çarpıma skaler üçlü çarpım denir.
Vektörler kartezyen formda ifade edilirse;
Skaler üçlü çarpım determinant formda da yazılabilir:
15
1. Satır
2. Satır
3. Satır
1.satır: a-a' ekseninin yönünü belirleyen birim vektörün kartezyen bileşenleri
2.satır: a-a ekseninin herhangi bir yerinden, F kuvvetinin etki çizgisinin herhangi bir
yerine olan pozisyon vektörünün kartezyen bileşenleri
3. satır: F kuvvetinin kartezyen bileşenleri
Ma belirlendiğinde Ma’yı kartezyen vektör şeklinde ifade edebiliriz :
Ma negatif çıkarsa


M a  M aua
 
M a u a ‘nın tersi yönündedir.
16
Ödev 9
•
Cevap : 100 Nm
F kuvvetinin OA borusunun
doğrultusundan geçen eksene göre
oluşan momentin şiddetini bulunuz.
Kartezyen vektör cinsinden ifade
ediniz. Ve moment ekseninin yön
kosinüslerini bulunuz.
17
KT
18
KT
19
ÖRNEK:
Şekil 4’deki dikdörtgen levha A ve B dirsekleri ve CD kablosu ile yz-düzlemindeki
bir duvara bağlanmıştır. CD kablosunun taşıdığı kuvvet 200 N’dur. D’nin
koordinatları: D(0, 360, 120) mm’dir. Buna göre tel tarafından C noktasına
uygulanan bu kuvvetin;
.
a)A noktasına göre momentini
b)AE eksenine göre momentini bulunuz
Kuvvet Çiftleri
• Kuvvet çifti, aralarındaki dik uzaklık d olan, aynı
büyüklükte ve zıt yöndeki paralel iki kuvvet
olarak tanımlanır.
• Bileşke kuvvet sıfır olduğundan, kuvvet çiftinin
tek etkisi dönme eğilimi yaratmaktır.
Kuvvet çifti ile üretilen moment, bir O
noktasında
oluşan
iki
kuvvetin
momentleri toplamına eşittir.
   


 
M  rB  F  rA  ( F )  (rB  rA )  F
     
rB  rA  r r  rB  rA
  
M  r F
Momentin, rA, rB konum vektörlerine
değil, sadece kuvvetler arasındaki konum
vektörüne bağlı olması nedeniyle, kuvvet
çiftinin momentinin bir serbest vektör
olduğu, herhangi bir noktada etki
21
edebileceği söylenebilir.
Skaler Formülasyon
Kuvvet çiftinin momenti:
M  Fd
F= kuvvetlerden birinin büyüklüğü
d= kuvvetler arasındaki dik uzaklık (moment kolu)
Kuvvet çifti momentinin doğrultu ve yönü sağ el kuralı
ile belirlenir.
Vektörel Formülasyon
Kuvvet çiftinin momenti vektörel (çapraz)
çarpımla:
  
M  r F
22
Eşdeğer (Denk) Kuvvet Çiftleri
• İki farklı kuvvet çifti, aynı şiddet ve yöne sahip moment etkisi
yaratıyorsa, bu iki kuvvet çiftine “eşdeğer kuvvet çifti” denir.
M= 30 N (0.4 m) = 40 N (0.3 m) = 12 Nm
23
Bileşke Moment
• Kuvvet çifti momentleri, serbest
vektörler olduğundan vektörel
olarak toplanabilirler.



M  M1  M 2

 
MR  r F
• Cismin üzerine ikiden fazla kuvvet
çifti momenti etki ediyorsa bu
kavram genelleştirilebilir.
24
Örnek 15
• Üç farklı kuvvet çiftinin
cisim üzerinde yarattığı
bileşke momenti skaler
hesapla bulunuz.
MR  M
 M R   F1d1  F2 d 2  F3d 3
 (200 N )(0.4 m)  (450 N )(0.3 m)  (300 N )(0.5 m)
 95 Nm  95 Nm
25
Örnek 16
Boruya etkiyen iki kuvvet çiftinin yaratmış
olduğu momentin bileşkesini bulunuz.
26
Ödev 10
Boruya etkiyen kuvvet çiftinin
momentini belirleyiniz.
Cevap : -1299 j Nmm
27
25 N
25 N
25 N
25 N
KT
28
KT
29
Kuvvet ve Kuvvet Çifti Sistemlerinin Basitleştirilmesi
•
Bazen bir kuvvet ve moment sistemini daha basit ve eşdeğer başka bir kuvvet
sistemine indirgemek gerekebilir. Bu eşdeğer sistem belli bir noktaya etkiyen
bileşke kuvvet ve momentten oluşmalıdır. Bu yeni sistem, orijinal sistemle aynı dış
etkileri yaratıyorsa, yeni kuvvet sistemine “eşdeğer kuvvet sistemi” denir.
•
Dış etkiler,
– Eğer cisim herhangi bir yere bağlı değilse ötelenme ve dönme etkileridir
– Eğer cisim mesnetli ise (bağlı) yarattığı mesnet tepkileridir
30
Kuvvet ve kuvvet çifti sisteminin bileşkesi
•
Bir rijit cisme kuvvetler ve kuvvet çifti momentlerinden oluşan
bir sistem etkiyorsa, cisim üzerindeki dış etkileri, kuvvet ve
kuvvet çifti momenti bileşkelerini kullanarak incelemek daha
basittir.
•
M kuvvet çifti momenti, bir serbest vektör olduğundan,
doğrudan O noktasına taşınır.
F1 ve F2 kayan vektörlerdir ve O noktası bu kuvvetlerin etki çizgisi
üzerinde olmadığından moment oluşturur. Oluşan momentler de
O noktasına taşınmalıdır.
•

 
M 1  r1  F1

 
FR  F1  F2

 
M 2  r2  F2




M R  M  M1  M 2


 FR  Fi 

M RO   M O   M
31
• Eğer kuvvet sistemi x-y düzleminde
ise, ve momentler de bu düzleme
dik (z ekseni doğrultusunda) ise,
yukarıdaki vektör formülasyon,
skaler formülasyon halini alır.
FRx   Fx
FRy   Fy
M RO   M O ,i   M j
32
Örnek 17
Etkiyen kuvvetleri O noktasında eşdeğer
kuvvet ve moment sistemine indirgeyin.
Kuvvet Toplamı
33
Moment Toplamı
34
Örnek 18
Soru: Etkiyen kuvvetleri ve momenti O
noktasında eşdeğer bileşke kuvvet ve
moment sistemine indirgeyin.
Problem 3 boyutlu olduğu için vektörel
analizle daha kolay çözülebilir, bunun
yanısıra skaler çözüm de yapmak
mümkündür.
35
VEKTÖREL ANALİZ
Kuvvet Toplamı
36
Moment Toplamı
37
Kuvvet Sistemlerinin Daha da Basitleştirilmesi
• Bir kuvvet sistemi, aynı noktaya etkir veya aynı düzlemde
bulunur ya da paralelse, tek bir P noktasında etkiyen bir tek
bileşke kuvvete indirgenebilir. Çünkü bu hallerin herbirinde FR
ve MRO kuvvet sistemi, herhangi bir O noktasında
basitleştirildiğinde daima birbirine dik olur.
38
Bir noktadan geçen kuvvet sistemleri
• Bütün kuvvetlerin etki çizgileri O noktasından geçiyorsa, kuvvet sistemi
moment oluşturmaz. Eşdeğer kuvvet sistemi kuvvetlerin vektörel
toplamıyla bulunur:


FR   Fi
39
Düzlemsel Kuvvet Sistemleri
Kuvvetlerin bulunduğu düzleme dik doğrutulu kuvvet çifti momentleri içerebilen
düzlemsel kuvvet sistemleri tek bir bileşke kuvvete indirgenebilir.
Kuvvetlerin bileşkesi :


olarak
FR   F hesaplanır ve yine aynı düzlemdedir.
Kuvvetlerin oluşturduğu moment ekseni bu düzleme diktir. Dolayısıyla kuvvetlerin bileşkesi
FR O noktasına göre aynı momenti yaratacak şekilde, O’dan d kadar mesafede
konumlandırılabilir.


 
M RO   M   r  F
40
Paralel kuvvet sistemleri
• Bu sistem z eksenine paralel kuvvetlerden oluşmaktadır. Bu
durumda, O noktasındaki bileşke kuvvet de z eksenine paralel
olmak zorundadır.


FR   Fi
41
• Her bir kuvvet x-y düzlemindeki bir O noktasına taşındığında, bileşke kuvvet
sadece x ve y eksenlerine göre bileşenlere sahip olan bir kuvvet çifti momenti
üretir. Buna göre, oluşan bileşke momenti, FR bileşke kuvvetine diktir. Bu
nedenle kuvvet sistemi daha da basitleştirilerek tek bir FR kuvvetine
indirgenebilir. “d” mesafesi şu şekilde bulunur:
42
WR  W1  W2
W1d1  W2 d 2
d
WR
43
Örnek 19
• Kirişe etkiyen kuvvet
ve moment sistemini
eşdeğer tek bir
kuvvete indirgeyiniz
ve kirişi kestiği yeri
bulunuz.
44
Kuvvet Toplamı
45
Moment Toplamı
46
ÖRNEK:
Şekil 1’de görülen yükleme sistemini eşdeğer tekil kuvvete
indirgeyiniz ve bileşke kuvvetin yerini belirleyiniz.
10 kNm
Örnek 20
Şekildeki vince etkiyen kuvvetleri
eşdeğer tek bir kuvvete indirgeyin
ve bu kuvvetin etki çizgisinin AB
kolonunu ve BC kirişini kestiği yerleri
belirleyiniz.
175 N
Kuvvet Toplamı
260
48
Moment Toplamı
=
=
175 N
49
Veya;
=
x0

y  2.29 m
y  11m  x  10.9 m
175 N
50
Ödev 11
Şekilde gösterilen döşeme birbirine
paralel dört kuvvetin etkisi
altındadır. Eşdeğer tekil kuvvetin
yönünü ve yerini bulunuz.
Cevap: FR= -1400 N
x= 3 m ; y= 2.5 m
51
KT
52
KT
53
ÖRNEK:
Aşağıda y eksenine paralel 4 adet kuvvetin şiddetleri ve
xz düzlemini kestiği noktaların koordinatları verilmiştir.
Bu kuvvetlere eşdeğer bileşke kuvvetin şiddetini ve
uygulama noktasını bulunuz.
Fi (kN)
5
-10
-20
15
(xi, zi) (m)
(-3,-2)
(-1,3)
(2,2)
(3,-1)