yapı sistemlerinde sonlu elemanlar yöntemi

YAPI SĠSTEMLERĠNDE SONLU
ELEMANLAR YÖNTEMĠ
Prof.Dr. Metin AYDOĞAN
Ġ.T.Ü.ĠnĢaat Fakültesi, ĠnĢaat Müh. Bölümü
Betonarme Yapılar Bilim Dalı
Tel-Faks:0212-285 3835
E-posta: aydoganm@itu.edu.tr
aydogan1951@gmail.com
GĠRĠġ
Sonlu elemanlar yöntemi çok güçlü ve çağdaş bir sayısal hesaplama yöntemidir. Son 40 yılda bilgisayarların
hızlı gelişimine paralel olarak gelişen sayısal hesap yöntemleri içinde çok önemli bir yer tutmaktadır. Bu sayısal
yaklaşım yöntemi her ne kadar orijinal olarak yapı sistemleri için geliştirilmiş ise de dayandığı esasların
genelliği dolayısıyla yöntem, akışkanlar mekaniği, zemin mekaniği, uçak mühendisliği, nükleer mühendislik,
kaya mekaniği, elektromanyetik alanlar, termal analiz ve daha sayabileceğimiz pek çok mühendislik ve fizik
problemlerinin çözümünde araç olarak kullanılmaktadır.
Karşılaştığımız mühendislik problemlerin küçük bir kısmının analitik çözümü mevcuttur. Bu, çözüm aranan
bölgede çözüme ait matematiksel ifadelerin bulunabilmesi, yani sonsuz noktada çözümün bilinmesi anlamına
gelmektedir. Analitik çözümler yalnızca fizik problemin bazı basitleştirilmiş ve sadeleştirilmiş matematik
modelleri için elde edilebilir. Uygulamada karşılaşılan pek çok mühendislik problemi için kapalı çözüm bulmak
mümkün değildir. Ekseriya deneyimli mühendisler veya araştırmacılar problemin tabiatına çok uzak olmayan
basitleştirmeler ve varsayımlar altında yaklaşık çözümlere ulaşmaktadırlar. Ancak, örneğin düzgün olmayan
geometri, karışık sınır koşulları, üniform olmayan yüklemeler, lineer olmayan malzeme davranışı gibi
nedenlerle bu gibi kapalı çözümlerin elde edilmesi çok güçleşmekte veya olanaksız hale gelmektedir. Sonlu
elemanlar yönteminin kullanılması halinde bu gibi durumlara ait yaklaşık çözümler kolaylıkla elde
edilebilmektedir.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
2/83
Sayısal yöntemlerin pek çoğunda çözüm, bilinmeyen büyüklüklerin bölge içinde belirli bazı ayrık noktalardaki
yaklaşık değerlerinin bulunmasına yöneliktir (Örneğin bir kirişin belirli noktalarında çökme değerlerinin
bulunması gibi). Yani çözüm, bölgedeki bu seçilmiş noktalardaki değerlerin bulunması işlemine
indirgenmektedir. Bölgede belirli bir sayıda noktayı seçme işlemine ayrıklaştırma denir. Bir bölgeyi
ayrıklaştırmanın yolu onu küçük parçalara, ünitelere, bölmektir. Bu küçük parçalar bir araya gelerek orijinal
yapıyı temsil ederler. Böylece tüm yapıyı bir seferde çözmek yerine, bu küçük üniteler için çözüm yapılıp bir
araya getirilerek orijinal bölgeye ait çözüm elde edilebilmektedir. Bu suretle küçük parçalar için yapılan basit
yaklaşımlar ile bölgenin tümü için kabul edilebilir sonuçlar elde etmek mümkün olabilmektedir. Ancak daha iyi
sonuç elde etmek için orijinal yapıyı daha küçük ünitelere bölmek, yani daha çok sayısal veri işlemek gerekir
ki, bu da mutlaka kapasiteli bilgisayarlar ve bilgisayar programları kullanımı gerektirir.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
3/83
SONLU ELEMANLAR YÖNTEMĠ NEDĠR?
Sonlu elemanlar yönteminin esası çözüm aranan yapıyı, bölgeyi veya cismi çok sayıda küçük sonlu
elemanlara, kısaca elemanlara, bölmektir. Bir, iki veya üç boyutlu olabilen bu elemanlar düğüm ya da düğüm
noktası adı verilen noktalarda birbirlerine bağlanmaktadırlar. Örnek olmak üzere (Şekil.1) de bir, iki ve üç
boyutlu elemanlardan örnekler gösterilmiştir. (Şekil.2) de ise düzensiz bir geometriyi haiz bir levhanın üçgen
sonlu elemanlarla ayrıklaştırılması, veya idealleştirilmesi, görülmektedir. Bu problemin sonlu elemanlar
yöntemi ile çözümü sonucunda aranan büyüklüklerin, örneğin x ve y doğrultusundaki yer değiştirmelerin, dolu
yuvarlaklar ile gösterilen düğüm notalarındaki sayısal değerleri elde edilecektir. Eleman düğüm noktalarındaki
aranan büyüklüklerin sayısal değerleri düğüm nokta serbestlikleri olarak adlandırılmaktadır.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
4/83
Aranan büyüklüğün eleman içindeki değişimi için seçimi kolay, matematik işlemlerin yapılması basit ve
problemin fiziği ile uyumlu, yani davranışı yansıtan, sürekli fonksiyonlar, örneğin polinomlar, seçilmektedir. Bu
fonksiyonlara elemanın yer değiştirme şeklini tanımladığı için genel olarak şekil fonksiyonları adı verilir.
Seçilen fonksiyonların eleman içindeki davranışa katkıları, örneğin polinom seçilmesi halinde polinomun
katsayıları, düğüm noktalarındaki aranan büyüklükler cinsinden tayin edilebilmektedir. Yani çözüm yapılıp
düğüm noktalarındaki bilinmeyenler elde edildikten sonra eleman içindeki değişim belirlenmiş demektir. Sonlu
eleman içinde davranışı iyi bir şekilde temsil eden fonksiyonlar yardımıyla oluşturulan elemana ait özellikler
orijinal yapı için bir araya getirildiğinde tüm yapıyı iyi bir yaklaşımla temsil edebilmektedir.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
5/83
Sonlu elemanlar yöntemi yardımıyla çoğu mühendislik problemlerinin çözümünde karşılaşılan;
Çözüm bölgesinin düzensiz geometriye haiz olması,
Karışık ve süreksiz sınır koşullarının varlığı,
Yüklemenin üniform olmaması, süreksiz ve tekil yüklerin varlığı,
Malzemenin heterojen (beton gibi) olması, anizotrop(ahşap gibi) olması
gibi problemler kolaylıkla çözülebilir. Sonlu elemanlar yöntemi lineer ve lineer olmayan sistemlere, keza statik
olduğu gibi dinamik problemlere de uygulanabilir. Yukarıda sayılan önemli üstünlükler yanında yöntemin
genellikle kapasiteli bilgisayarlara ve özellikle amaca yönelik ya da genel bilgisayar programlarına (software)
gereksinimi olduğu unutulmamalıdır.
Bu seminerin kapsamı içinde anlatılanlar yapı sistemleri ve özel olarak sonlu elemanlar deplasman yöntemi
sınırları içinde kalacak ise de ifadeler ve kavramların genel olduğu ve tüm mühendislik problemleri için
kullanılabileceği unutulmamalıdır.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
6/83
HESAPTA ĠZLENEN YOLUN BASĠT YAY PROBLEMĠ ĠLE ÖZETLENMESĠ
Sonlu elemanlar yönteminde izlenen yol basit yay örneği ile açıklanmaya çalışılacaktır. (Şekil.3a) da yay
katsayısı s [kN/m] olan lineer bir yay görülmektedir. Yay eksenel P [kN] kuvveti altında u [m] kadar
çökmektedir. Fizikten, potansiyel enerji kavramını kullanarak, yük yer değiştirme bağıntısı
P=s.u
(1)
olarak elde edilir. Burada s yayın rijitliği olup çökme değerini birim yapan kuvvete eşittir. Eksenel yüklü kolon
lineer yaya benzetilebilir (Şekil.3b). Bu durumda gerilme şekil değiştirme bağıntısı ve kolon rijitliği
u=1 için
(2)
olur. 1 noktasında kolona aşağıya yönlü birim yer değiştirme uygular ve 2 noktasından tutarsak 1 noktasında
AE / l , 2 noktasında ise -AE / l kuvvetini elde ederiz. Benzer olarak 1 noktasında kolonu tutar 2 noktasında
birim yer değiştirme uygularsak 2 noktasında AE/l, 1 noktasında –AE/l kuvvetlerini buluruz. Bu, 1 noktası u1
kadar yer değiştirirse 1 ve 2 noktasındaki uç kuvvetleri sırasıyla u1. A E / l ve -u1. AE/ l değerlerini alır
sonucunu verir.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
7/83
Benzer olarak 2 noktası u2 kadar yer değiştirirse 1 ve 2 noktasındaki uç kuvvetleri sırasıyla
-u2 .AE/ l ve u2 .AE/ l değerlerini alır. Bu sonuçları süperpozisyon kuralını uygulayarak matris formunda
özetlersek uçlarından Q1 ve Q2 eksenel yüklü kolona ait yük yer değiştirme bağıntısı, denge denklemleri,
aşağıdaki gibi olur:
(3)
Burada eksenel yüklü kolona ait en basit sonlu eleman rijitlik matrisi [k] (4) ifadesi ile verilmiş olup (3) denge
denklemlerinin katsayıları matrisinden ibarettir.
(4)
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
8/83
Rijitlik matrisinin elemanları tesir katsayıları olup matrisin herhangi bir kij terimi j düğüm noktasında birim yer
değiştirmeden i düğüm noktasında oluşan kuvveti göstermektedir. Herhangi bir sonlu elemanın rijitlik matrisi
(1) yer değiştirme modeline, yani seçilen şekil fonksiyonuna, (2) elemanın geometrisine ve (3) malzeme
özellikleri veya bünye denklemlerine (gerilme-yer değiştirme bağıntılarına) bağlıdır. Bu en basit örnekte
element rijitlik matrisi doğrudan yazılmıştır ve kesindir. Ancak genel halde incelenen sonlu eleman ortamında
problemin fiziği ve geometrisine uygun yaklaşım fonksiyonları (şekil fonksiyonları) yazlarak eleman rijitlik
matrisi çıkarılır ve bu sabit kesitli çubuk sistemler dışında yaklaşıktır. Yaklaşımın sıhhati seçilen fonksiyon ile
çok yakından ilgilidir. Ancak hemen çoğu kez polinomlarla çok iyi yaklaşımlar elde edilebildiğini söylemek
mümkündür. Eleman rijitlik matrislerinin bulunmasına ilişkin ayrıntılar ileride verilecektir.
A1 ve A2 en kesit alanlarını haiz eksenel yüklü bir kolon alalım (Şekil.4a). Bu kolon sistemine ait yer, şekil
değiştirme ve gerilme değerlerini bulmak istiyoruz. Kolon iki adet bir boyutlu sonlu elemana bölünmüştür. Bu
sistemde toplam 3 adet düğüm noktası bulunmaktadır. Aynı sistem keza yay katsayıları,rijitlikleri, s1 ve s2 olan
iki adet yay ile de temsil edilebilir (Şekil.4b). Her bir sonlu elemanın rijitlik bağıntıları (4) ifadesi yardımıyla
aşağıdaki gibi hesaplanır.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
9/83
Şimdiki adımda tüm sistem için denge denklemlerini bulmak üzere eleman rijitliklerini bir araya getirmek
istiyoruz. Yani her bir elemana ait rijitlik ve yükleme matrislerinden sisteme ait (global) rijitlik ve yükleme
matrisleri elde edilecektir. Bu amaçla en çok kullanılan yöntem biriktirme yöntemidir. Yöntem, aynı bir düğüm
noktasında birleşen, dolayısıyla aynı yer değiştirmeyi yapan elemanlara sadece o noktaya komşu noktalardan
katkı yapılması esasına dayanmaktadır. Örnek olarak seçtiğimiz basit sistemde 1 noktasına ait rijitlik teriminin 3
noktasına katkısı bulunmamaktadır.
Sisteme ait denge denklemleri (5) ifadesi ile verilmiş olup burada [K] sistem rijitlik matrisi (veya daha genel
olarak sistem davranış matrisi), {R}sistem toplam yük vektörü, {U} sistem yer değiştirme vektörüdür.
[K] . {U} = {R}
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
(5)
10/83
Örneğimize dönelim. Eleman denklemlerini bir araya getirerek (5) ifadesi örnek sistem için aşağıda yazılmıştır:
Burada R3 , 3 noktasındaki reaksiyonu göstermektedir. Sisteme ait denklem sistemi geometrik sınır koşulları
uygulanmaksızın çözülemez. Geometrik sınır koşulu yapının sınırlarında veya kenarlarındaki yer değiştirme
değerlerinin yerine koyulması ile uygulanır. Örneğimizde kolon tabanı tutulmuş olduğundan geometrik sınır
koşulu tabandaki yer değiştirmenin, burada u3 değerinin, sıfıra eşit olduğudur. Bu koşulu yukarıdaki denklemde
son satır ve sütunu kaldırmak suretiyle uygulayabiliriz. Dolayısıyla sınır koşulları uygulanmış sistem
denklemleri aşağıdaki hale dönüşür:
Bir araya getirilmiş ve sınır koşulları uygulanmış denklem sistemi çözülerek problemin bilinmeyenleri,burada
boy kısalmaları, elde edilir. Lineer denklem sistemlerinde bu işlem matris teknikleri ile kolayca halledilebilir.
Lineer olmayan problemler ile özdeğer problemlerinde başka teknikler uygulanır. Örnek problemin
bilinmeyenleri
u1 = 695.3125 / 375000. = 1.85417*10-3 m, u2 = 195.3125/375000. = 0.520833*10-3 m
olarak elde edilir.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
11/83
Eleman şekil değiştirmeleri ve gerilmeler tasarımda kullanmak amacıyla hesaplanmalıdır. Her iki eleman için
hesaplanan şekil değiştirme ve gerilmelerin sayısal değerleri aşağıda verilmiştir:
Burada (-) işareti basıncı göstermektedir.
Bu basit örnek yardımıyla gösterildiği gibi sonlu eleman
özetlenebilir:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
analizinde izlenen yol aşağıdaki altı adımda
Çözüm aranan bölgenin ayrıklaştırılması (bölgenin sonlu elemanlara bölünmesi, eleman ağı teşkili,
idealleştirme),
Şekil fonksiyonlarının seçimi (yapı problemlerinde yer değiştirme modeli),
Eleman davranış (rijitlik) matrisinin varyasyon ilkesi veya ağırlıklı artıklar yöntemlerinden biri ile
çıkarılması,
Eleman denklemlerinin bir araya getirilmesi ve sınır koşullarının uygulanması
Tüm sistemin çözülerek bilinmeyenlerin (yapı problemlerinde genellikle yer değiştirmelerin) elde edilmesi,
Tasarım veya kontrol amacına yönelik olarak diğer büyüklüklerin düğüm nokta bilinmeyenlerinden
hareketle hesabı (yapı mekaniğinde eleman şekil değiştirme ve gerilmelerinin hesabı).
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
12/83
GENEL SONLU ELEMAN DENKLEMLERĠ
Sonlu eleman denklemleri için genel olarak kullanılabilen bir ifade yapı sistemlerinde çok kullanılan potansiyel
enerjinin minimumu ilkesinden hareket edilerek elde edilebilir. Bu amaçla önce bazı tanımlar yapmaya
gereksinim vardır. Bu tanımların çoğu matris formunda yapılacaktır.
u : yer değiştirme fonksiyonu veya yer değiştirme fonksiyonlarından oluşan vektör
ae : düğüm noktası serbestliklerinden (bilinmeyenlerinden) oluşan vektör
N : şekil fonksiyonları matrisi (u=N ae )
ε : şekil değiştirme vektörü
L : yer değiştirmeleri şekil değiştirmelere bağlayan lineer operatör (ε =Lu=LN ae )
B : düğüm noktası serbestliklerini şekil değiştirmelere bağlayan matris (B =LN )
σ: gerilme vektörü   D(   0 )   0
D : elastisite matrisi
ε0: ilkel şekil değiştirme vektörü (örneğin sıcaklık değişimi)
σ0: ilkel gerilme vektörü (örneğin öngerilme)
b : hacım kuvvetlerinden oluşan vektör (birim hacme gelen kuvvetler)
s : yüzey kuvvetlerinden oluşan vektör(birim alana gelen kuvvetler)
fp : düğüm noktası yüklerinden oluşan vektör
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
13/83
Minimum potansiyel enerji ilkesi “bir yapıda geometrik sınır koşullarını sağlayan çözümler içinde denge
denklemlerini sağlayan çözüme ait toplam potansiyel enerji minimumdur” şeklinde tanımlanabilir. Burada
toplam potansiyel enerji iki ayrı enerjinin toplamı olarak ifade edilebilir: İç potansiyel enerji(şekil değiştirme
enerjisi), Ui ve sisteme etkiyen dış yüklerden oluşan dış potansiyel enerji, Ue . Yani
= Ui + Ue olup dış
potansiyel enerji ters işaretle dış kuvvetlerin yaptığı işe eşit alınarak (zira yer değiştirme esnasında potansiyel
enerjide bir azalma söz konusudur) -Ue=+We ile = Ui - We yazılabilir. Toplamın minimumu varyasyon
hesabından
(6)
olarak elde edilir. Matris bağıntılar yardımıyla iş ifadeleri
(7a)
(7b)
şeklinde yazılabilir. (6) eşitliğinden
(8)
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
14/83
Lineer elastik malzeme halinde
σ=D(ε-ε0)+σ0 (Genel Hooke kanunu-eksenel yüklü kolon halinde D=E) yazılarak
(9)
(10)
elde edilir. Bu sonuç bütün statik ve lineer elastik problemlere ait sonlu eleman karakteristiklerini bulmak için
kullanılabilir. D matrisi homogen, izotrop sistemlerde elastisite modülü ve Poisson oranı ile belirlenir.
Şekil değiştirmeleri düğüm nokta yer değiştirmelerine bağlayan matris
(11)
olup ilgili büyüklükler yerine koyulup varyasyon işlemi yapıldığında sonuç olarak lineer elastik sistemlerde (12)
bağıntısı elde edilir.
(12)
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
15/83
Burada ae vektörü bilinmeyenlerden oluşur ve koordinatların fonksiyonu olmadığından integral dışına
alınabilir. Sonuçta (13) bağıntısı elde edilir.
(13)
burada
(14)
olup eleman rijitlik matrisi Ke aşağıda verilmiştir.
(15)
Buradaki eleman eşdeğer tekil düğüm nokta kuvvetleri aşağıda gösterilmiştir:
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
16/83
BĠR BOYUTLU HAL (EKSENEL ġEKĠL DEĞĠġTĠRME)
Örneğin (Şekil.5) de görülen tek boyutlu eksenel yüklü çubuk probleminde yer değiştirme (parametre)
fonksiyonu
Şekil.5- Tek boyutlu (eksenel şekil değiştirme) sonlu eleman
u = c1 + c2.x
(21)
şeklinde 1.derece polinom olarak ifade edilebilir. Burada her bir düğüm noktasındaki boyuna yer değiştirme
düğüm nokta serbestliği olarak alınmıştır. İki noktadan bir doğru geçeceğinden yer değiştirme fonksiyonu lineer
(21) bağıntısı ile verilebilir ve bu durum problemin fiziği ile de uyumludur. i düğüm noktasında u(xi) = ui ve j
düğüm noktasında, u(xj) = uj uç koşulları yardımıyla c1 ve c2 katsayıları aşağıda izlenen yol ile kolayca bulunur:
(22)
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
17/83
veya matris formunda
(23)
olur. Sabitler vektörü hesaplanıp yerine konulursa
(24)
bulunur. Matris tersi alınıp yerine konulur ve çarpım yapılırsa
(25)
(26)
olur. Burada Ni ve Nj i ve j düğüm noktalarındaki serbestliklere ait şekil fonksiyonlarıdır.
(27)
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
18/83
Şekil fonksiyonlarının özelliklerini burada kolayca görmek mümkündür. Herhangi bir düğüm nokta
serbestliğine ait şekil fonksiyonu o noktada o serbestlik için 1 değerini, diğer noktalarda ve diğer tüm
serbestlikler için 0 değerini alır (Şekil.6). Eleman içinde herhangi bir noktadaki yer değiştirme değeri
süperpozisyon kuralı ile elde edilir.
Şekil.6- İki noktalı lineer eleman şekil fonksiyonlarının değişimi
Yer değiştirme fonksiyonu u, matris formunda
u = N ae
(28)
olup bu sonlu eleman için şekil fonksiyonları matrisi N ve düğüm noktası bilinmeyenlerine ait vektör a e
aşağıdaki gibi tanımlanır:
N = [ Ni(x) Nj(x) ) ]
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
,
ae = [ ui
uj ] T
(29a,b)
19/83
Tek boyutlu eksenel şekil değiştirme elemanı için paragraf başında tanımlanan büyüklükler
(30a,b,c)
(31)
(32a,b)
olarak elde edilir. Burada L ve D(1x1), N ve B (1x2) boyutlu matrislerdir. Bu büyüklüklerle (2x2) boyutlu
eleman rijitlik matrisi l uzunluklu ve sabit A en kesit alanlı çubuk için
(33)
olarak elde edilir.
Ke matrisinin (2x2) boyutunda olması rastlantı değildir. Zira eleman üzerinde 2 düğüm noktası ve her bir
noktada 1 adet olmak üzere toplam 2 serbestlik bulunmaktadır. Dolayısıyla kare rijitlik matrisinin boyutu toplam
serbestlik sayısı olan 2 dir.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
20/83
DÜZLEM ÇERÇEVE ELEMANI
Bu halde her bir düğüm noktasında 3 serbestlik bulunmaktadır (Şekil.7). Bunlar x ekseni doğrultusunda yer
değiştirme , y ekseni doğrultusunda yer değiştirme ve z ekseni etrafında dönmedir.
Şekil.7- Çerçeve eleman ,düğüm noktası serbestlikleri ve pozitif yönler
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
21/83
Düğüm noktası serbestliklerinden oluşan vektör ae
(34)
olup eleman rijitlik matrisi Ke
(35)
olarak elde edilmiştir. Üniform yayılı yük için ankastrelik uç tesirleri:
(36)
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
22/83
ĠKĠ BOYUTLU GERĠLME ANALĠZĠ
LEVHA SONLU ELEMANLAR: DÜZLEM GERĠLME , DÜZLEM ġEKĠL DEĞĠġTĠRME
Bu bölümde çok kullanılan iki boyutlu üçgen ve dikdörtgen sonlu elemanlardan bahsedilecektir. Ancak daha
önce düzlem gerilme ve düzlem şekil değiştirme kavramları kısaca açıklanacaktır.
Düzlem Gerilme
Düzlem gerilme halinde ince bir levha ortalama düzlemine paralel olarak yüklenmektedir. Bu halin tanımı
(37)
olarak verilmektedir (Şekil.8). Burada z indisli gerilme bileşenleri düzlem dışı değerleri göstermekte olup hepsi
sıfırdır. Elemanda x ve y doğrultularında hacım kuvvetleri olabilir. Bu hale pek çok durumda rastlanabilir.
Örneğin yatay yük taşıyan perde duvarlar, yüksek kirişler gibi.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
23/83
Şekil.8- Düzlem gerilme hali (tüm yükler x-y düzlemindedir).
Elastik halde yazılan gerilme şekil değiştirme bağıntısında D elastisite matrisi malzemenin izotrop veya
anizotrop olması hallerine bağlıdır. Burada sadece izotropik hal konu edilmiştir.
σ=D(ε-ε0)+σ0
D matrisi ve vektörü düzlem gerilme ve düzlem şekil değiştirme halleri için farklıdır.
Homojen izotrop malzeme için genelleştirilmiş Hooke kanunu
(38a)
(38b)
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
(38c)
24/83
olup burada Poisson oranı, E elastisite modülü, G ise kayma modülüdür.G ile E arasındaki ilişki (39) bağıntısı
ile verilmiştir.
(39)
(38) bağıntıları ve bu arada ilkel gerilme ve şekil değiştirmeleri de göz önüne alırsak
(40a)
(40b)
(40c)
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
25/83
eşitlikleri bulunur. Sonlu eleman formülasyonuna giren tanımlar düzlem gerilme elemanlar için aşağıdaki gibi
yapılabilir:
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(46) ifadesinde sıcaklık genleşme katsayısını, sıcaklık farkını göstermektedir.
İzotrop malzeme halinde sıcaklık değişimi halinde kayma şekil değiştirmesi olmadığına dikkat ediniz. Düzlem
dışı şekil değiştirme sıfırdan farklı ve aşağıdaki değeri haizdir:
(47)
Burada zz0 sıcaklık değişmesi halinde tT olarak alınacaktır.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
26/83
Düzlem ġekil DeğiĢtirme
Düzlem şekil değiştirme halinde düzlem dışı gerilmeler sıfır olur.
(48)
Örnek olmak üzere boylu boyunca giden bir istinat duvarı, bir baraj gövdesi düzlem şekil değiştirme şeklinde
idealleştirilebilir. Burada da yükler yalnızca x-y düzlemindedir.
Bu halde elastisite matrisi düzlem gerilme halinden farklıdır. Lineer, elastik ve izotropik malzeme için düzlem
şekil değiştirme haline ait gerilme-şekil değiştirme bağıntıları Hooke kanunu yardımıyla aşağıdaki gibi
yazılabilir:
(49a)
(49b)
(49c)
Burada  Lame sabiti (50) ifadesiyle verilmiştir.
(50)
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
27/83
, , 0 ve 0 „ın yukarıdaki tanımları kullanılarak elastisite matrisi aşağıdaki gibi elde edilir:
(51)
Sıcaklık değişimi hali için ilkel şekil değiştirme vektörü
(52)
Düzlem dışı σzz gerilmesi sıfırdan farklı olup düzlem şekil değiştirme hali için
(53)
bağıntısı ile verilir. Burada zz0 sıcaklık değişmesi halinde tT olarak alınacaktır.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
28/83
Levha Sonlu Elemanlar
Düzlem gerilme analizi yapmak amacıyla genellikle üçgen ve dikdörtgen sonlu elemanlar kullanılır (Şekil.9).
Şekil.9- Üçgen ve dikdörtgen levha sonlu elemanlar
Eleman uç serbestlikleri (Şekil.10) da gösterilmiştir. Şekilden de görülebileceği üzere uç serbestlikleri her bir
düğüm noktasında x ve y doğrultularındaki yer değiştirmelerden ibarettir.
Şekil.10- Üçgen ve dikdörtgen levha sonlu elemanlar uç serbestlikleri
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
29/83
Bu durumda üçgen levha elemanda toplam 6, dikdörtgen levha elemanda ise toplam 8 serbestlik bulunmaktadır.
Üçgen elemanda yer değiştirme fonksiyonları
(54a,b)
olup örneğin u yer değiştirme fonksiyonu için matris formunda
(55)
yazılabilir. Buradaki ci katsayıları tek boyutlu örnektekine benzer olarak hesaplanıp aynı şekilde Ni şekil
fonksiyonları (x,y) koordinatlarının fonksiyonu olarak bulunur. x ve y doğrultusundaki yer değiştirme
fonksiyonları katsayılar dışında aynı olup i,j ve k noktalarına ait şekil fonksiyonları u ve v yer değiştirmeleri
için aynı bulunur.Bir boyutlu haldekine benzer olarak
(56a,b)
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
30/83
yer değiştirme fonksiyonları şekil fonksiyonları ve uç serbestlikleri cinsinden ifade edilir. Üçgen eleman için yer
değiştirme fonksiyonlarından oluşan vektör olup şekil fonksiyonları matrisi
(57)
dir. Şekil değiştirme düğüm noktaları yer değiştirme matrisi B= LN ile verilmekte olup düzlem gerilme haline
ait
(58)
bağıntıları yardımıyla L ve B matrisleri kolayca elde edilir.
(59a,b)
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
31/83
Burada düğüm noktası yer değiştirmelerinden oluşan vektör ae
(60)
olur. Bu hale ait Ke rijitlik matrisi (6x6) boyutunda olacaktır.
Dikdörtgen levha sonlu eleman halinde yer değiştirme fonksiyonları
(61a,b)
olup ci katsayıları önceki örneklerdeki gibi tayin edilerek
(62a,b)
şeklinde yer değiştirme fonksiyonları şekil fonksiyonları ve uç serbestlikleri cinsinden hesaplanır. Bu haldeki
gerilme ve şekil değiştirme vektörleri ve lineer operatör matrisi L üçgendekinin aynıdır. Bu halde N ve B
matrisleri (2x8), rijitlik matrisi de (8x8) boyutlarında olacaktır. Keza ae vektörü de
(63)
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
32/83
Levha problemlerinde öncelikle problemin türü, düzlem gerilme ya da düzlem şekil değiştirme, belirlenmelidir.
Sonuçta düğüm notalarındaki yer değiştirmeler ve bunlardan hareketle şekil değiştirme ve gerilmeler hesaplanır.
Bu değerler birim boya gelen kuvvetler (kN/m) olarak bulunur. Kalınlığa bölünerek gerilme bulunur. Bu
gerilmeler x ve y yönündeki normal gerilmeler ile kayma gerilmeleri olup buradan asal gerilmelere
mukavemetin bilinen bağıntıları yardımıyla geçilir.
Levha elemanları kullanarak eksenel simetrik yüklü cisimlerin gerilme analizi yapılabilir. Dönel simetri
dolayısıyla açıdan bağımsız olan durum 3 boyutlu yerine 2 boyutlu analize olanak sağlar. Ancak bu duruma
karşı gelen lineer operatörün yukarıda (59a) bağıntısı ile verilenden farklı olduğuna dikkat edilmelidir.
Ekte üçgen ve dikdörtgen levha elemanlar için rijitlik ve gerilme matrisleri verilmiştir.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
33/83
ĠNCE PLAKLARIN EĞĠLMEYE GÖRE HESABINA AĠT SONLU ELEMANLAR
Ġnce Plak Teorisine Kısa Bir BakıĢ
Plaklar ortalama düzlemine dik olarak yüklenen 2 boyutlu düzlemsel taşıyıcılardır. Kalınlıkları diğer iki plan
boyutu yanında küçük olan ve bu suretle iki boyutlu olarak hesap edilen plaklara ince plak denir. Kalınlığın
ortasından geçen düzleme ortalama düzlem adını alır. İnce plaklarda genellikle klasik küçük yer değiştirme
teorisini esas alan Kirchoff teorisi kullanılır. Bu teoride yapılan varsayımlar aşağıda sıralanmıştır:
1.
2.
3.
4.
Plak çökmeleri kalınlığı yanında küçüktür.
Şekil değiştirmeden önce ortalama düzleme dik olan düzlem, şekil değiştirmeden sonra da dik kalır
(düzlem
kesit düzlem kalır ve kayma şekil değiştirmeleri ihmal edilmiştir).
Ortalama düzleme dik gerilme bileşeni sıfırdır.
Şekil değiştirmiş düzlemin herhangi bir kesitteki eğimi küçük olup, eğimin karesi birin yanında ihmal
edilebilir.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
34/83
(Şekil.11) de x-y düzleminde bulunan ve z düzleminde q yükü ile yüklenmiş bir plakta yer değiştirme ve iç
kuvvetler pozitif yönleri ile gösterilmiştir.
Şekil.11- Eğilme etkisindeki ince plakta yer değiştirmeler ve iç kuvvetler
İnce plakta gerilme şekil değiştirme bağıntıları aşağıdaki gibidir:
(64)
(65)
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
35/83
Plak diferansiyel denklemi
(66)
olup burada K[kN/m3] temel radye plağı halinde zemin yatak katsayısını göstermektedir.
Plak Sonlu Elemanlar
İnce plakların eğilmesi problemi için kullanılabilecek bir sonlu eleman modeli her bir düğüm noktasında en az 3
adet serbestlik bulundurur. Bunlar düğüm noktasının çökmesi ve iki eksen etrafında dönmesidir (Şekil.12). i
düğüm noktası yer değiştirme vektörü (67a) bağıntısı ile dönmeleri çökmelere bağlayan ilişkiler (67b,c) ile
verilmiştir. Plak probleminin, şekil değiştirme vektörü ,(68), eğriliklerden , gerilme vektörü (69) momentlerden
ibarettir.
Şekil.12- 12 serbestlik dereceli plak sonlu eleman koordinat eksenleri ve d.n.serbestlikleri
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
36/83
(67a,b,c)
(68)
(69)
Elastisite matrisi (70) bağıntısı ile verilmiştir.
(70)
Bu tanımlardan sonra sonlu elemanlar yönteminde izlenen genel yol burada da aynen izlenerek plak sonlu
eleman ifadeleri bulunur. Örneğin 12 serbestlikli dikdörtgen plak sonlu elemanda şekil fonksiyonlarının
tanımlanması için 12 terimli çökme fonksiyonu alınır. Bu fonksiyon 3.dereceden tam polinoma ait tüm terimleri
ihtiva ettiği gibi daha yüksek mertebeden iki terim daha bulundurur:
(71)
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
37/83
Şekil fonksiyonunun daha önce yapılmış tanımı hatırlanarak ve (67) bağıntılarını kullanarak 12 serbestlikli plak
eleman için şekil fonksiyonları matrisi ,[N], teşkil edilir. Bununla yer değiştirme fonksiyonu
(72)
(73)
(74)
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
38/83
Yukarıdaki bağıntılar yardımıyla genel formülasyona uygun olarak eleman rijitlik matrisi kolayca elde edilir:
(75)
Eleman bazında
(76)
yazılabilir.Burada
(77)
olup dış etkilere ait bileşenlerin integral ifadeleri aşağıda verilmiştir:
(78a)
(78b)
(78c)
(78d)
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
39/83
Eleman gerilme matrisi, [S],
(79)
olarak elde edilir.Tüm sistem için denge denklemleri aşağıdaki gibi yazılır:
(80)
Burada [K] sistem rijitlik matrisi, {ɑ}, tüm düğüm noktalarındaki serbestlikleri (bilinmeyenleri) içeren vektör,
{f}, elemanların üzerindeki yüklerin düğüm noktalarına olan katkılarının eklenmesiyle oluşturulan vektör, {R}
ise doğrudan sistem düğüm noktalarına etkitilen yüklerden oluşan vektörü göstermektedir.
Ekte 12 serbestlik dereceli ince plak sonlu eleman için rijitlik ve gerilme matrisleri verilmiştir.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
40/83
UYGULAMALAR
1. örnek; X yönünde 2x5m ve Y yönünde 2x4m açıklıklı 3m yükseklikli uzay betonarme çerçeve örneğidir.
Kolon kesitleri 40x40cm, kiriş enkesit boyutları içte 30x80cm, dışta 30x100cm dir.
Malzemeye ait Elastisite modülü E= 3.00E+7 kN/m2, Poisson oranı v=0.20 Yük birimi kN dur.
Bu örnek iki farklı yaklaşımla ele alınmıştır. İlk durumda B aksında yer alan kiriş enkesitleri 30x100cm dir.
İkinci durumda ise kısa doğrultuda ki iç kiriş enkesiti olarak daha rijit bir kesit değeri (30x200cm) girilerek
sistem davranışı incelenmiştir.
Kirişlerdeki yayılı yük değerleri; 1 ve 3 akslarında 22.8 kN/m, 2 aksında 39.0 kN/m, A ve C akslarında 16.9
kN/m ve B aksında 27.2 kN/m dir.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
41/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
42/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
43/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
44/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
45/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
46/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
47/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
48/83
İkinci durum olan B aksı kiriş kesitlerinin 30x200cm olarak ele alınması;
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
49/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
50/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
51/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
52/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
53/83
2. örnek; yatay yüklere maruz 3m genişlikli ve 5m yükseklikli betonarme bir perde kesit tesirlerinin hesabına
aittir. Burada 4x5 dikdörtgen levha (düzlem gerilme) sonlu eleman ağı kullanılmıştır (yatayda 4x0.75m,
düşeyde 5x1.0m).
Malzemeye ait Elastisite modülü E= 2.85E+7 kN/m2, Poisson oranı v=0.20 , levha kalınlığı h=0.25m dir.
Yük birimi kN dur.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
54/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
55/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
56/83
3. örnek; 4 kenarından ankastre dikdörtgen bir plağa aittir. Plak 5.35kN/m2 üniform yayılı yük ve ortasından
50kNluk bir yüke maruzdur. Plak kare olup kenar uzunlukları 4.0m dir. Burada 4x4 plak sonlu eleman ağı
kullanılmıştır(eleman boyutları 1.0x1.0m dir).
Malzemeye ait Elastisite modülü E=3.00E+7 kN/m2, Poisson oranı v=0.20, plak kalınlığı h=0.15m dir.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
57/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
58/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
59/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
60/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
61/83
4. örnek; kirişsiz bir döşeme plağına aittir. Plak 13.5kN/m2 üniform yayılı yüke maruzdur. Plak kare olup
ölçüleri 24x24m dir. Çözümde Sap2000 programında 100cm aralıklara bölünmüş sonlu eleman düzeni
kullanılmıştır.
Malzemeye ait Elastisite modülü E=3.00E+7 kN/m2, Poisson oranı v=0.20, plak kalınlığı h=0.25m dir.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
62/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
63/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
64/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
65/83
Maksimum çökme değeri 0,0058m dir.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
66/83
M11 (X) yönü eğilme momenti değerleri:
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
67/83
M22 (Y) yönü eğilme momenti değerleri:
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
68/83
Kirişsiz döşeme plağının dış konturuna 25x75cm boyutunda çepeçevre bir kiriş konulmuştur.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
69/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
70/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
71/83
Maksimum çökme değeri 0,0039m dir.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
72/83
M11 (X) yönü eğilme momenti değerleri:
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
73/83
M22 (Y) yönü eğilme momenti değerleri:
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
74/83
5. örnek; 8 katlı bir betonarme binanın radye temel çözümüne aittir.
Şekilde gösterilen 75 cm kalınlığındaki radye temelin verilen düşey yükler altında hesabı yapılacaktır. Zemin
yatak katsayısı K=3000 t/m3, zemin emniyet gerilmesi σzem=18 t/m2 dir.
Çözümde Sap2000 programında 100cm aralıklara bölünmüş sonlu eleman düzeni kullanılmıştır.
Malzemeye ait Elastisite modülü E=3.0E+7 kN/m2, Poisson oranı v=0.20 dir.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
75/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
76/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
77/83
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
78/83
G+Q kombinasyonu altında oluşan çökme değerleri:
Maksimum çökme 0,0041m değerine karşılık gelen σzmax=0,0041*3000=12,27t/m2 dir.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
79/83
G+Q kombinasyonu altında oluşan M11 (X) yönü eğilme momenti değerleri:
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
80/83
G+Q kombinasyonu altında oluşan M22(Y) yönü eğilme momenti değerleri:
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
81/83
SEÇĠLMĠġ KAYNAKLAR:
[1] Çakıroğlu, A.,Özden, E., Özmen, G.,(1974) Yapı Sistemlerinin Hesabı için Matris Metotları ve Elektronik
Hesap Makinası Programları, C.I ve II, İ.T.Ü.Kütüphanesi, Sayı.1005, İstanbul.
[2] Özden, K., (1996) Mühendislikte Sonlu Elemanlar Yöntemi (Ders Notları,İngilizce),
Fakültesi,İstanbul.
İ.T.Ü. İnşaat
[3] Aydoğan, M. , Omurtag M.H. (2010) Mühendislikte Sonlu Elemanlar Yöntemi (Ders Notları,İngilizce),
İ.T.Ü. İnşaat Fakültesi,İstanbul.
[4] Zienkiewicz, O.C. ,(1977) The Finite Element Method in Engineering Science,3rd edition. Mc.Graw Hill,
London.
[5]
Stasa, Frank.L. ,(1986) Applied Finite Element Analysis for Engineers, CBS Publ. Japan Ltd.
[6]
Przemieniecki, J.S.,(1968) Theory of Matrix Structural Analysis, Mc.Graw Hill Book Company,London.
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
82/83
TEŞEKKÜRLER..
Yapı Sistemlerinde Sonlu Elemanlar Yöntemi
Prof. Dr. Metin AYDOĞAN
83/83