örnek varyansının örnekleme dağılımı

ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE
TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ
• Doç. Dr. Ali Kemal ŞEHİRLİOĞLU
1
TEMEL KAVRAMLAR
PARAMETRE:
ÖRNEK
İSTATİSTİĞİ
(PARAMETRE
• Populasyonun
sayısal
TAHMİNLEYİCİSİ):
açıklayıcı bir ölçüsüdür ve
anakütledeki
tüm • Bir örneğin sayısal betimsel
elemanlar
dikkate
ölçüsüdür
ve
örnekteki
alınarak hesaplanabilir.
gözlemlerden hesaplanır.
• Ana kütledeki tek bir • Diğer bir deyişle bilinmeyen bir
eleman
dahi
işlemin
parametrenin sayısal değerini
dışında kalır ise elde
bulabilmek (tahminlemek) için
edilen sonuç parametre
kullanılır.
olarak kabul edilemez.
2
PARAMETRE VE ÖRNEK
İSTATİSTİKLERİ İÇİN ÖRNEKLER
Parametre 
• Anakütle ortalaması 
• Anakütle Medyan M
• Anakütle Varyansı 2
• Anakütle Standart
sapması

• Anakütle Oranı
P
Örnek istatistiği ˆ
• Örnek ortalaması
• Örnek Medyanı
• Örnek Varyansı
• Örnek Standart
sapması
• Örnek Oranı
x
m
s2
s
p
3
Bir Populasyon Parametresi Hakkında En Geniş
Bilgiyi Hangi Örnek İstatistiğinin İçerdiğine Nasıl
Karar Verilecek?
Örneğin anakütle ortalaması  için
• Aritmetik ortalama
• Geometrik ortalama
• Harmonik ortalama
• Medyan
vb. örnek istatistiklerinden hangisi tercih
edilmelidir.
4
Örnek 1 a
Bir zar atılışında x üst yüzdeki sayıyı göstersin. E(x)=
anakütle parametresini (anakütle ortalamasını)
bulunuz.
x
1
2
3
4
5
6
P(x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
xP(x) 1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
6/6
6
1 2
6 21
  E ( x)   xP( x)    ......    3,5
6 6
6 6
x 1
5
Örnek 1b
•Ancak bu  değerinin bir an için bilinmediği ve
bunu tahmin etmek için populasyondan 3 örnek
alındığını varsayılsın.
6
• Zar 3 kez atılsın ve örnek sonuçları; x1=2, x2=2,
x3=6 elde edilsin.
x
 x 2  2  6 10


 3,333
n
3
3


1
2
m=2
SONUÇ:
x
ve m=2 hesaplanabilir.
 =3.5
3
4

5
6
X=3.3
değeri  değerine daha yakındır.
7
•Zar 3 kez daha atılsın ve örnek sonuçları; x1=3, x2=4,
x3=6 elde edilsin.
13
x
 4,3
3
ve m=4

1
2


3
4

5
6
x
m
SONUÇ: m değeri  değerine daha yakındır.
8
Örnek İçin Yorum
1. Örnekten hesaplanan örnek istatistikleri (tahminleyiciler) birer
şans değişkenidir.
2. Ne örnek aritmetik ortalaması
x
Ne de örnek medyanı (m) ,
populasyon ortalamasına daima daha yakındır
denilemez.
Sonuçların genellenebilmesi için örnek istatistiklerinin
dağılışına gerek duyulmaktadır.
9
ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI
• Anakütleden n adet ölçümden
x1, …, xn oluşan bir örnekten
alınmış olsun.
• Anakütledeki eleman sayısı N
olsun.
• Anakütleden alınabilecek her
biri n adet eleman içeren tüm
N
mümkün örnek sayısı:    k
n
10
ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI
• Bu koşullar (N, n) altında
hesaplanabilecek örnek
istatistiği sayısı k adettir.
• Örnek istatistiğinin
anakütlesindeki eleman sayısı k
olur.
• Örnek verilerinden hesaplanan
bir örnek istatistiği için elde
edilen bu anakütle örnekleme
dağılışı olarak adlandırılır.
11
ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI
• Örnekleme dağılımı bu
istatistiğin bir olasılık
dağılışıdır.
• Örnekleme dağılımı
anakütledeki eleman sayısı N ve
n örnek hacminin bir
fonksiyonudur.
12
ÖRNEK İSTATİSTİKLERİNİNTAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ
 sapmasızlık
 minimum varyanslılık
Eğer bir tahminleyici bu iki özelliği de sağlıyor ise buna
en iyi tahminleyici-etkin tahminleyici denir.
13
SAPMASIZLIK
 Eğer örnek istatistiğinin örnekleme dağılışının
anakütle ortalaması populasyon parametresine
eşit ise bu istatistiğe parametrenin
sapmasız tahminleyicisi
denir.
 E ˆ  

14
: Parametre
A, B : İstatistik
f(A)
A

 için sapmasız örnek istatistiği
f(B)
Sapma

B
 için sapmalı örnek istatistiği
15
ÖRNEK 3 Sapmasızlık
Anakütle ortalaması için aritmetik ortalama sapmasız
fakat medyan sapmalı bir tahminleyicidir.
Ex  
E  m  
Sapmasız
P(X)
Sapmalı
A
C
 x
m
X
16
MİNİMUM VARYANS
 Anakütle parametresi  olsun.
 Parametrenin tahminleyicileri; ˆ1 ,
olsun.
 Eğer,
V ˆi  V ˆj i  j  1,..., k  1
,ˆk
   
ise
ˆi tahminleyicisi  parametresinin minimum
varyanslı tahminleyicisidir.
17
ÖRNEK: MİNİMUM VARYANS
 Anakütle parametresi  (anakütle
ortalaması) olsun.
 Parametrenin alternatif tahminleyicileri;
ˆ1  x
ˆ2  G.O
ˆ3  H .O
ˆ4  m
olsun.
 V  x   V  m   V  G.O   V  H .O 
x tahminleyicisi  parametresinin minimum
varyanslı tahminleyicisidir.
18
ÖRNEK: ETKİN TAHMİNLEYİCİ
 Anakütle parametresi  (anakütle
ortalaması) olsun.
 Parametrenin alternatif tahminleyicileri;
ˆ1  x
ˆ2  G.O
ˆ3  H .O
ˆ4  m
olsun.
 E  x    ve
V  x   V  m   V  G.O   V  H .O 
x tahminleyicisi  parametresinin etkin
tahminleyicisidir.
19
ÖRNEK: ETKİN TAHMİNLEYİCİ
P(X)
Ortalamanın
örnekleme
dağılışı
B
Medyanın
örnekleme
dağılışı
A

X
20
ÖRNEKLEME DAĞILIMI ÖRNEK HACMİNİN BİR
FONKSİYONUDUR
Örnek Hacmi büyüdükçe tahminleyicinin varyansı küçülür.
P(X)
Büyük
örnek
hacimli
durum
B
Küçük
örnek
hacimli
durum
A

X
21
ÖRNEK :
Aritmetik ortalama x , anakütle ortalamasının
 sapmasız bir tahminleyicisi midir?
0 3 12
x
P(x) 1/3 1/3 1/3
N
  E  x    xi P ( xi )
i 1
1 1
1
 0    3    12  
3 3
 3
5
22
ÖRNEK :
0 1 2 3 4 5 6 8 9 12
x
P  x  1/27 3/27 3/27 1/27 3/27 6/27 3/27 3/27 3/27 1/27
N
 x  E  x    xi P ( xi )
i 1
 1   3 
 0    1  
 27   27 
5
 1 
 12  
 27 
23
ÖRNEK 3:
Sonuç:
Ex  
olduğundan aritmetik ortalama (tahminleyici),
anakütle ortalamasının (parametrenin)
sapmasız bir tahminleyicisidir.
24
ÖRNEK :
Örnek medyanı m, anakütle ortalamasının 
sapmasız bir tahminleyicisi midir?
0
3
12
m
P(m) 7/27 13/27 7/27
 7   13 
 7 
E  m    mi P  mi   0    3    12  
i
 27   27 
 27 
 4.56
E m  
25
ÖRNEK 3:
Sonuç:
E m  
olduğundan örnek medyanı (tahminleyici),
anakütle ortalamasının (parametrenin)
sapmalı bir tahminleyicisidir.
26
ÖRNEK :
Aritmetik ortalama x , anakütle ortalamasının 
Minimum Varyanslı bir tahminleyicisi midir?
0 3 12
x
1
P(x) 13 13
3
2
x
0 9 144
x2P(x) 0 9 3 144 3
E  x 2    xi2 P ( xi ) 
  V  x  E  x
2
x
153
 52
3
 26
2
153
3
   E  x 
2

27
ÖRNEK 3
Aritmetik ortalamanın varyansı  x2
xi
0 1 2 3 4 5 6 8 9 12
3
3
3
6
3
3
3
1
1
1
P  xi 
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
0 1 4 9 16 25 36 64 81 144
xi 2
xi 2 P  xi  0 3 27 12 27 9 27 48 27 150 27 108 27 192 27 243 27 144 27
909
E  x    xi P  xi  
27
2
2
V  x   E ( x )   E ( x )
909

 (5)2
27
=8,66
2
2
28
ÖRNEK 3
Örnek medyanının varyansı 
mi
P(mi)
mi2
2
mi P(mi)
E m
2
0
7
3
13
27
0
0
12
27
9
117
2
m
7
27
144
27
1008
27
   m P  m   41.66
2
i
i
V  m   E ( m )   E ( m) 
 41.66  (4.56)2
=20.86
2
2
29
ÖRNEK 3
Sonuç:
V  x   V m
Aritmetik ortalama x , anakütle ortalamasının
 Sapmasız ve Minimum Varyanslı
bir tahminleyicisidir.
30
BEKLENEN DEĞER VE VARYANS
OPERATÖRLERİNİN ÖZELLİKLERİ
BEKLENEN DEĞER OPERATÖRÜ E(.)
Şans değişkeni x anakütle ortalaması  ve
2
anakütle varyansı  olsun.
a ile b birer sabit sayı olmak üzere,
 E(a)=a
 E(ax)=aE(x)=a
 E(ax+b)=aE(x)+b=a+b
31
BEKLENEN DEĞER VE VARYANS
OPERATÖRLERİNİN ÖZELLİKLERİ
VARYANS OPERATÖRÜ V(.)
Şans değişkeni x anakütle ortalaması  ve
anakütle varyansı 2 olsun.
a ile b birer sabit sayı olmak üzere,
 V(a)=0
2
2 2
 V(ax)=a V(x)= a 
 V(ax+b)= a2V(x)= a22
32
MERKEZİ LİMİT TEOREMİ
 Şans değişkeni x’in dağılımı ne olursa
olsun bu anakütleden alınan n hacimli
örneklerden hesaplanan aritmetik
ortalamanın x dağılımı yaklaşık olarak
normal dağılıma sahiptir.
 Örnek hacmi büyüdükçe aritmetik
ortalamanın x dağılımının normal
dağılıma yakınsaması artar.
33
Şans Değişkenlerinin
Standartlaştırılması
• Standart değişkenler genellikle z ile
gösterilir.
• ortalaması sıfır, E(z)=0
• Varyansı bir, V(Z)=1.
şans değişkeni-anakütle ortalaması
z
anakütle standart sapması
34
BAZI ÖNEMLİ TAHMİNLEYİCİLER İÇİN
ÖRNEKLEME DAĞILIMLARININ
BELİRLENMESİ
 Aritmetik ortalama x
2
 Örnek varyansı s
 Örnek oranı p
35
BİR DAĞILIMIN BELİRLENMESİ
• Dağılışın tipinin belirlenmesi,
(Normal, Üstel, Poisson vb.)
• Dağılımın parametrelerinin
belirlenmesi
36
ARİTMETİK ORTALAMA x İÇİN
ÖRNEKLEME DAĞILIMI
Şans değişkeni x anakütle ortalaması  ve
anakütle varyansı 2 olsun.
x

i 1 i
x
n
x1  x2   xn

n
n
Cevaplanması gereken sorular
 Dağılımın tipi?
 Parametreleri;
Ex  ?
V x  ?
37
DAĞILIMIN TİPİ
• Merkezi limit teoremine göre aritmetik
ortalamanın dağılımı yaklaşık olarak
normal dağılıma sahiptir.
• Normal dağılımın parametreleri:
– Anakütle ortalaması
– Anakütle varyansı
38
Dağılımın Parametreleri: Aritmetik
Ortalama için Anakütle Ortalaması
  in1 xi  1
Ex  E
  E  x1  

 n  n


1
n
E  x        
n
n
Ex  
 E  xn  
39
Dağılımın Parametreleri: Aritmetik
Ortalama için Anakütle Varyansı
  i 1 xi
V x V 
 n

1
2

V  x   2  
n
n
V x 

 1
  2 V  x1  
 n
2
n
2
    2
n
 V  xn  
2
n
40
ARİTMETİK ORTALAMA x İÇİN
ÖRNEKLEME DAĞILIMI

 
x ~N   x ;    N   x ; 
n 

2
x
2
x
41
Aritmetik Ortalamanın
Standartlaştırılması
x - x
z
x
x - x
z
x n
42
Normal olmayan dağılışlardan
örnekleme
•Merkezi eğilim
Anakütle dağılışı
= 10
x  
•Yayılma

x 
n
– Yerine koyarak
örnekleme
 = 50
X
Örnekleme dağılışı
n=4
 X = 5
n =30
X = 1.8
X- = 50
X
43
Normal dağılış gösteren bir
anakütleden örnekleme
•Merkezi eğilim
Anakütle dağılışı
= 10
x  
•Yayılma

x 
n
Yerine konularak
örnekleme
 = 50
X
Örnekleme dağılışı
n=4
 X = 5
n =16
X = 2.5
X- = 50
X
44
Merkezi limit teoremi
Örnek
hacmi
yeterince
büyükse
(n  30) ...

x 
n
x  
Örnekleme
dağılışı
hemen hemen
normal olur.
X
45
ÖRNEK 3
•Telekom’da çalışan bir
uzman, uzun zaman
yaptığı gözlemlerden,
telefon konuşma
sürelerinin (x),
 = 8 dk. &  = 2 dk. olan
normal dağılış gösterdiğini
belirlemiştir.
25 görüşme rasgele
seçilirse, örnek
ortalamasının 7.8 & 8.2
dakika arasında çıkması
olasılığı nedir?
© 1984-1994 T/Maker Co.
46
Çözüm
X   7.8  8
Z

  .50
 n 2 25
X   8.2  8

 .50 Standart Normal
Örnekleme dağılışıZ 
 n 2 25
Dağılış
X = .4
=1
.3830
.1915 .1915
7.8 8 8.2 X
-.50 0 .50
Z
47
ÖRNEK ORANI: p
 Birbirinden bağımsız n adet Bernoulli Deneyinin bir
araya gelmesi sonucunda x başarı sayısı Binom
Dağılımına sahiptir.
 Başarı olayının populasyon oranının bilinmediği
durumlarda olasılık hesaplamaları için kullanacak dağılışı
belirlemek bir problemdir olarak.
 Örnek olarak bir yeni ilin A partisi için oy oranının
belirlenmesi veya yeni çıkan bir derginin tüm rakip
dergiler dikkate alında satış yüzdesinin belirlenmesi
verilebilir.
48
ÖRNEK ORANI: p
 Bu gibi örneklerde anakütle başarı olasılığını “” ’yi
tahminlemek amacıyla populasyondan alınan örnekten
elde edilen bilgiler doğrultusunda örnek oranı p
hesaplanır.
 İlgilenilen
başarı olasılığının ’nin bilinmediği
durumlarda n hacimlik örnek alındığında ve x örnekteki
başarı sayısı olarak ele alındığında, örnekten elde edilen
başarı olasılığı (örnek oranı);
x
p
n
49
ÖRNEK ORANI p İÇİN
ÖRNEKLEME DAĞILIMI
Şans değişkeni x sabit n hacimli denemede
ortaya çıkan başarı sayısı olsun. x ~B  n;  
Örnek oranı:
x
p
n
Cevaplanması gereken sorular
 Dağılımın tipi?
 Parametreleri;
p  E  p  ?
 p2  V  p   ?
50
DAĞILIMIN TİPİ
• Merkezi limit teoremine göre örnek oranının
dağılımı eğer n örnek hacmi yeterince büyük ise
yaklaşık olarak normal dağılıma sahiptir.
• Bunun temel sebebi örnek oranının, n adet
denemede ortaya çıkan ortalama başarı sayısını
temsil etmesidir.
• Normal dağılımın parametreleri:
– Anakütle ortalaması
– Anakütle varyansı
51
Dağılımın Parametreleri: Örnek Oranı
için Anakütle Ortalaması
x 1
E  p  E    E  x
n n
n
E  p 
n
E  p  
Not: x şans değişkeni binom dağılımına
sahip olduğundan:
E(x)=n
52
Dağılımın Parametreleri: Örnek oranı
için Anakütle Varyansı
 x 1
V  p  V    2 V  x
n n
n 1   
V  p 
n2
 1   
V  p 
n
Not: x şans değişkeni binom dağılımına
sahip olduğundan:
V(x)=n(1-)
53
ÖRNEK ORANI p İÇİN
ÖRNEKLEME DAĞILIMI



1




2
p ~N   p ;  p   N   ;

n


54
Örnek Oranının Standartlaştırılması
z
z
p - p
p
p-
 1    n
55
Örnek Hacminin Örnek Oranı Üzerindeki
Etkisi
Anakütle oranı  sabitken örnek hacmi arttığında örnek
oranının standart hatası küçülür.
Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi örnek hacmi arttığında
p’in
kendi
ortalaması
etrafında
yoğunlaştığı
görülmektedir.
f ( p)
n=400
n=100
.68 .72 .76
.80 .84 .88 .92
p
56
ÖRNEK 4
Büyük bir populasyondan alınan 3 ölçüm ile ilgili
örneğe dönersek x başarı sayısının örnekte tek sayı
gelme olayını göstermek üzere örnek oranının
beklenen değerini ve varyansını bularak dağılımını
elde ediniz.
57
ÖRNEK 4
pi
0/3 1/3
2/3 3/3
pi2
0/9 1/9
4/9 9/9
P(pi) 8/27 12/27 6/27 1/27
E ( p )   pi P  pi 
i
E ( p)     p
E ( p) 
8  0  12  1  6  2  1  3 
            0.33
27  3  27  3  27  3  27  3 
58
ÖRNEK 4
I. YÖNTEM  p2  V  p    1   
n
 (1   ) 0.33(1  0.33)
 p2 

 0.074
n
3
II. YÖNTEM 
2
p
 E ( p 2 )   E ( p)
2
E ( p 2 )   pi2 P  pi 
i
E( p2 ) 
8  0  12  1  6  4  1  9 
            0.185
27  9  27  9  27  9  27  9 
 p2  E ( p 2 )   E ( p)  0.185  (0.33) 2  0.074
2
59
ÖRNEK 5
Gelirler Genel Müdürlüğü’ne göre, bütün vergi
beyannamelerinin % 75’i vergi iadesine yol açmaktadır. 100
beyannamelik bir rassal örneklem alınmıştır.
a) Vergi iadesine yol açan beyannamelerin örneklem
oranının ortalaması kaçtır?
b) Örneklem oranının varyansı kaçtır?
c) Örneklem oranının standart hatası kaçtır?
d) Örneklem oranının 0,8’den büyük olma olasılığı kaçtır?
60
ÖRNEK 5
Çözüm:
a)
E ( p)    0,75
b)
 
2
p
 (1   )
n
0,75(1  0,75)
 
 0,001875
100
2
p
c) Standart Sapma (ya da Standart Hata)
   p  0,001875  0,0433
2
p
61
ÖRNEK 5
d) P( p  0,8)  ?
P ( p  0,8)  P (
p 
p

0,8  
p
)
0,8  0,75
0,8  0,75
 P( z 
)  P( z 
)
0,0433
0,0433
 P ( z  1,15)  0,5  0,3749  0,1251
62
Ki-Kare Dağılışı

2
v
=
(n - 1) s 2
2
n = örnek miktarı
s 2 = örnek varyansı
2 = anakütle varyansı
df = serbestlik derecesi = n – 1=v
63
Ki-Kare Dağılışı
 Ki-kare dağılımının tek bir parametresi
vardır: v
 Bu parametre genel olarak serbestlik
derecesi olarak adlandırılır.
2
  v şeklinde gösterilir.
 Ki-kare dağılımı normal (standart normal)
dağılıma sahip şans değişkenlerinden elde
edlilir.
64
Ki-Kare Dağılışı
Şans değişkenleri xi ler normal dağılıma sahip
olmak üzere, Örnek varyansı:
s
2
x  x


i
n 1
2
  n  1 s 2    xi  x 
2
Eşitliğin her iki tarafı anakütle varyansına
bölünerek
 n  1 s
2
2
x  x


i
2
2
  n21
65
Ki-Kare Dağılışı
Ki-kare şans değişeninin beklenen değeri:
E   v2   v
Ki-kare şans değişeninin varyansı:
V   v2   2v
66
Ki-kare istatistiğinin dağılışının
özellikleri
1.
ki-kare dağılışı simetrik değildir
2.
Serbestlik derecesi arttıkça, dağılış daha simetrik
hale gelir (normale yaklaşır)
df = 10
Simetrik değil
df = 20
0
x2
0
5 10 15 20
25 30 35 40 45
Tüm değerler sıfır veya pozitif
67
ÖRNEK VARYANSININ
ÖRNEKLEME DAĞILIMI
Anakütle ortalaması  x ve anakütle varyansı  x2 olan bilinmeyen bir
populasyondan x1, x2,…, xn ile gösterilen n adet rassal bir örnek
alındığında populasyon varyansı aşağıdaki gibi bir beklenen değer
ifadesine eşittir:
 x2  E ( xi  x )2
Populasyon ortalaması  x bilinmediğinde yerine x konularak örnek
varyansı aşağıdaki gibi tanımlanır.
n
1
2
sx2 
(
x

x
)
 i
n  1 i 1
68
ÖRNEK VARYANSININ
ÖRNEKLEME DAĞILIMI
Varyansı  x2 olan bir populasyondan alınan n hacimlik bir
örneğin örnek varyansı s x2 olarak ifade edildiğinde;
2
n

1
s
  x

2

2
n 1 
s 
2
x
 x2  n21
 n  1
69
ÖRNEK VARYANSININ
ÖRNEKLEME DAĞILIMI

s x2 ’nin örnekleme dağılımının ortalaması  x2 ’dir.
E  sx2  
 x2 E   n21 
 n  1

 x2  n  1
 n  1
E ( sx2 )   x2
70
ÖRNEK VARYANSININ
ÖRNEKLEME DAĞILIMI
 s x2 ’nin örnekleme dağılımının varyansı, örnekleme
dağılımın Ki- Kare dağılımına uygun olduğunu
sonucundan hareketle ;
    V  
V s   V 

2
n

1


 n  1


4
2 x  n  1
2
V sx 
2
 n  1
4
2 x
2
V  sx  
 n  1
2
x
2
x
2
n 1
4
x
2
n 1

 
71