limit - Erguven.net

LİMİT
BİR FONKSİYONUN LİMİTİ
TANIM
A  R ve f: A – {xo}  R ‘ye bir fonksiyon F(x) olsun. x değişkeni xo  R sayısına
yaklaştığında f(x) fonksiyonu da t  R’ye yaklaşıyorsa t gerçel sayısına x, xo’a yaklaşırken
f(x) fonksiyonunun limiti denir ve lim
f(x) = t
x  xo
şeklinde gösterilir.
SAĞDAN VE SOLDAN LİMİT:
SAĞDAN LİMİT:
y = f(x) fonksiyonunda x, xo  R değerine sağ taraftan yaklaşırken f de bir t1  R değerine
yaklaşıyorsa t1’e fonksiyonun sağdan limiti denir ve lim
f(x) = t1 biçiminde
x  x +o
gösterilir.
SOLDAN LİMİT:
y = f(x) fonksiyonunda x, xo  R değerine sol taraftan yaklaşırken f de bir t2  R değerine
yaklaşıyorsa t2 ye fonksiyonun soldan limiti denir ve lim
f(x) = t2
x  x-o
ÖRNEK:
f(x) =
x2 + 1, x  0 ise,
x + 1 , x < 0 ise,
fonksiyonun x = 0 noktasında limiti nedir?
ÇÖZÜM:
lim f(x) = lim (x2 + 2) = 02 + 1 = 1
x  0+
x  0+
lim f(x) = lim (x + 1) = 0 + 1 = 1
x  0-
x  0-
O halde lim f(x) = 1 dir.
x0
LİMİT TEOREMLERİ:
1) lim (f(x)  g(x)) = lim
x  x0
x  x0
2) lim (f(x).g(x)) = lim
x  x0
3) lim
f(x)  lim g(x)
x  x0
f(x).lim g(x)
x  x0
x  x0
c = c (c  R)
x  x0
1
4) lim (c.f(x)) = c . lim
x  x0
f(x)
x  x0
5) g(x)  0 ve lim g(x)  0 ise
x  x0
lim f ( x )
f ( x ) x x 0
lim

x x 0 g(x )
lim f ( x )
x x 0
6) n  N+ olmak üzere


n
lim f x    lim f ( x )
x x 0
x

x
 0

n
7) n tek doğal sayı ise,
lim
n
x x 0
f ( x )  n lim f ( x )
x x 0
8) n çift doğal sayı ve f(x)  0 ise
lim
x x 0
n
f ( x )  n lim f ( x )
x x 0
9) lim f ( x )  lim f ( x )
x x 0
x x 0
2
ÖRNEK:
( x  1)( x  2)
ifadesi neye eşittir?
x 2
x 1
lim
ÇÖZÜM:
( x  1). lim ( x  2)
( x  2)( x  2) xlim
x 2
 2
x 2
x 1
lim ( x  1)
lim
x 2
(2  1).( 2  2)
2 1
1 .4 4


3
3

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ
1) lim
Sinx
x
 lim
1
x

0
x
Sinx
2) lim
tan x
x
 lim
1
x

0
x
tan x
x 0
x 0
Sin (mx ) m

x 0
nx
n
3) lim
Sin (mx ) m

x 0 Sin ( nx )
n
4) lim
3
tan( mx ) m

x 0
nx
n
5) lim
Sin (mx ) m

x 0 tan( nx )
n
6) lim
ÖRNEKLER:
Sin 7 x 7

x  0 3x
3
1. lim
Sin 5x 5

x 0 Sin 2 x
2
2. lim
tan 2 x 2

x 0 Sin 3.x
3
3. lim
tan x 1

x 0 2 x
2
4. lim
4
BELİRSİZLİKLER VE LİMİTLERİ
0
BELİRSİZLİĞİNİN LİMİTİ:
0
A)
ÖRNEK:
x 2  4x  3
lim
x 1 2x 2
 5x  7
ifadesinin değeri nedir?
ÇÖZÜM:
x 2  4x  3
lim
x 1 2 x
2
x 2  4x  3
lim
x 1 2 x 2

 5x  7
 5x  7

0
dıı .
0
 lim
( x  1)( x  3)
 1)( 2 x  7)
x 1 ( x
1 3
2

2.1  7
9
B)

BELİRSİZLİĞİN LİMİTİ:

ÖRNEK:
lim
x 
x3 1
x 2  3x  6
limitinin değeri nedir?
5
ÇÖZÜM:
lim
x 
x3 1
x  3x  6
2



Payın derecesi paydadan büyük olduğundan
lim
x 
x3 1
x 2  3x  6



1
ÇÖZÜMLÜ TEST


1. lim 1111x   2 değeri aşağıdakilerden hangisidir?
x 0
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
Çözüm 1.:
lim x   0 dır. O halde,
x 0 



lim 1111x   2  lim 11110  2
x 0
x 0

6
E) 2
 lim (1  2)  1
x 0 
Cevap: B
x3  x
2. lim
x 1 x 2
A) 
limitinin değeri nedir?
 6x  7
1
2
B) 
1
3
C)
1
4
D)
2
7
E)
3
4
Çözüm 2.:
lim
x 1
x3  x
x  6x  7
2

13  1
1  6.1  7
2

0
dıı .
0
x ( x  1)( x  1) 1.(1  1) 2 1

 
x 1 ( x  1)( x  7)
1 7
8 4
lim
Cevap: C
TÜREV VE UYGULAMALARI
TANIM: y = f(x) fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli, x0  (a,b) olsun.
7
f (x)  f (x 0 )
limiti bir gerçel sayı ise,
x x 0
x  x0
lim
bu limite y = f(x) fonksiyonunun x = x0 noktasındaki TÜREVi denir ve f’(x0) şeklinde
gösterilir.
ÖRNEK:
f : R  R, f(x) = -x2 + 2 fonksiyonunun x0 = 1 noktasındaki türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f(1) = - 12 + 2 = 1
 x2  2 1
f’(1)  lim
x 1
x 1
 x2 1
x 1 x  1
 lim
 ( x  1)( x  1)
 (1  1)  2
x 1
x 1
 lim
NOT:
8
g' ( x o ).
f’(x0) =
g( x 0 )
g( x 0 )
, g( x 0 )  0 ise
Yok , g( x 0 )  0 ise,
ÖRNEK:
f(x) = |x2 – 4| fonksiyonu verilir.
a) f’(2) = ?
b) f’(1) = ?
ÇÖZÜM:
a) f (2) =|22 – 4| = 0 olduğu için fonksiyonun x = 2 noktasında türevi yoktur.
b)
f ' (1)  lim
x 2  4  12  4
x 1
x 1
 x2  4  3
x 1
x 1
 lim
 x2 1
x 1 x  1
 lim
 ( x  1)( x  1)
 (1  1)  2
x 1
x 1
 lim
TÜREV ALMA KURALLARI:
9
1) c  R olmak üzere
f (x) = c  f’(x) = 0
2) f (x) = x  f’(x) = 1
3) f (x) = cx  f’(x) = c
4) f (x) = c . xn  f’(x) = c . n . xn-1
5) f (x) = c . un  f’(x) = c . n . un-1 . u’x
6) f (x) = u  v  f’(x) = u’x  v’x
7) f (x) = u . v  f’(x) = u’x . v + v’x . u
8) f (x) = u . v . t  f’(x) = u’x . v. t + v’x . u . t
+ t’x . u . v
9) f (x) =
u ' .v  v' .u
u
 f ' (x)  x 2 x
v
v
10) f (x) =
m
u 
n
n
m
u
n
1
n
 f ' ( x )  .u m .u ' x
m
ÖRNEKLER:
1. f (x) = 5  f’(x) = 0
2. f (x) = 
2
 f’(x) = 0
3
3. f (x) = x5  f’(x) = 5x4
4. f (x) = x  f’(x) = 1
5. f (x) = 2x  f’(x) = 2
6. f (x) =
5
3x 4
5
5 1
 f ' ( x )  3. .x 4
4
1
 f ' (x) 
15 4 15 4
x 
x
4
4
10
7. f (x) = x4 – x3 + 2x – 3 fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2
8. f (x) = (3x2 + 5)11 fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f’(x) = 11 (3x2 + 5)10 . (3x2 + 5)’
= 11(3x2 + 5)10 . 6x
= 66x (3x2 + 5)10
9. f (x) =
2x  7
fonksiyonunun türevi nedir?
3x  5
ÇÖZÜM:
f ' (x) 

(2x  7)'.(3x  5)  (2x  7)(3x  5)'
(3x  5) 2
2(3x  5)  3(2 x  7)
(3x  5) 2
olur.

6 x  10  6 x  21
(3x  5)
2

 31
(3x  5) 2
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ:
A)
1) f (x) = Sinx  f’(x)=Cosx
2) f (x) = Cosx  f’(x) = - Sinx
3) f (x) = tanx  f’(x) = 1 + tan2x

1
2
Cos x
 Sec 2 x
11
4) f (x) = Cotx  f’(x) = - (1 + Cot2x)

1
2
Sin x
 Co sec 2 x
ÖRNEKLER:
1. f (x) = Secx  f’(x) = ?
ÇÖZÜM:
f ( x )  Secx 
f ' (x) 
1
ise
Cosx
0.Cosx  (Sinx .1)
2
Cos x
f ' (x) 
Sinx
Cos 2 x
 tan x.Secx Dir.
2. f (x) = Cosec  f’(x) =?
ÇÖZÜM:
f ( x )  Co sec x 
f ' (x) 
f ' (x) 
1
ise
Sinx
0.Sinx  Cosx.1
Sin 2 x
 Cosx
Sin 2 x
 Cotx.Co sec x
B.
1) f (x) = Sin[u[x]]  f’(x) = u’(x) . Cos[u(x)]
2) f (x) = Cos [u(x)]  f’(x) = - u’(x) . Sin [u(x)]
3) f (x) = tan [u(x)]  f’(x) = u’(x) [1 + tan2u(x)]
12
 f ' (x) 
u' (x)
Cos 2 [u ( x )]
 f ' ( x )  u ' ( x ).Sec 2 [u ( x )]
4. f (x) = Cot[u(x)]  f’(x) = -u’(x) [1 + Cot2u(x)]
 f ' (x)  
u' (x)
Sin 2 u ( x )
 f ' ( x )   u ' ( x ).Co sec 2 [u ( x )]
ÖRNEKLER:
1. f (x) = Sin3x  f’(x) = 3Cos3x
2. f (x) = tan(x2 – 1)  f’(x) = ?
ÇÖZÜM:
f’(x) = (x2 –1)’ . [1 + tan2(x2 – 1)]
f’(x) = 2x [1 + tan2 (x2 – 1)]
3. f (x) = Sin (tan x) fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f’(x) = Cos (tanx) . (tanx)
 Cos(tan x ).

1
Cos 2 x
Cos(tan x )
Cos 2 x
4. f (x) = 2Sin3 x + 3Cos2x  f’(x) = ?
ÇÖZÜM:
f’(x) = 2.3.Sin2x . (Sin x)’ + 3.2 Cosx . (Cosx)’
f’(x) = 6Sin2x . Cosx + 6 Cosx . ( - Sin x)
13
İNTEGRAL
TANIM:
f: [a,b]  R ve F:[a, b]  R ye tanımlı iki fonksiyon olsun, x  [a,b] için, F’(x) = f(x)
yazılabilirse F(x)’e f(x)’in ilkel fonksiyonu yada integrali denir.
 F’(x) dx = F(x) veya
 f(x) dx = F(x) şeklinde gösterilir.
ÖRNEK:
f (x) = 2x2  f’(x) = 4x   4xdx = 2x2
f (x) = 2x2 – 1  f’(x) = 4x   4xdx = 2x2 – 1
f (x) = 2x2 + 3  f’(x) = 4x   4xdx =2x2 + 3
BELİRSİZ İNTEGRAL ÖZELLİKLERİ:
A.  f’(x) dx = f(x) + C
B.  d[f (x)] = f (x) + C
C.   f (x)dx =   f (x) dx (   R)
D.  [f (x)  g(x)] dx= 
E.
f(x) dx   g (x)dx
d
[  f (x) dx] = f (x)
dx
F. d[  f (x)dx] = f(x) dx
ÖRNEKLER:
1.  2x dx = x2 + C
2. 
d(3x2) = 3x2 + C
14
3.  5x4dx = 5  x4dx
4.  (x3 + x)dx =  x3 dx +  x dx
5.
d
[  2x dx] = 2x
dx
6. d  (x3dx) = x3dx
ÖRNEKLER:
x 51
x6
C
C
1.  x dx 
5 1
6
5
2.  12dx = 12x + C
3.  (1  x 3 )dx  x 
x4
C
4
4.  (x3 + x2 – 2)2 (3x2 + 2x)dx = ?
ÇÖZÜM 4:
x3 + x2 – 2 = u  (3x2 + 2x) dx = du
2
 u du 
u3
( x 3  x 2  2) 3
C
C
3
3
TRİGONOMETRİK İNTEGRAL:
A.  Cos x dx = Sin x + C
B.  Sin x dx = - Cosx + C
C.  Sec2x dx =  (1 + tan2x) dx

1
Cos 2 x
dx  tan x  C
15
D.  Cosec2x dx =  (1 + Cot2x) dx =
=
1
Sin 2 x
dx  Cotx  C
ÖRNEKLER:
1.  Cos2x . Sin x dx =
ÇÖZÜM:
Cosx = u  -Sin x dx = du
 Sin x dx = - du
2
2
 u . (-du) = -  u . du

u3
Cos 3 x
C 
C
3
3
2.  Sin 3x dx = ?
ÇÖZÜM:
1
 Sin 3xdx   Cos3x  C
3
3.  Cos (2x + 1) dx = ?
ÇÖZÜM:
 Cos(2x  1)dx 
1
Sin (2x  1)  C
2
LOGARİTMİK VE ÜSTEL İNTEGRAL:
A. 
1
du  ln u  C
u
16
B. 
f ' ( x )dx
 ln f ( x )  C
f (x)
C.  eu du = eu + C
D.  a u du 
au
C
ln a
ÖRNEKLER:
1. 
1
dx  ln | x |  C
x
2.  tan x dx = ?
ÇÖZÜM:
 tan xdx  
Sinx
dx
Cosx
Cos x = u  - Sin x dx = du
 Sin x dx = - du

 du
1
   du
u
u
= - ln |u| + C = - ln |Cos x| + C
3.  ex dx = ex + C
4.  2 x dx 
2x
C
ln 2
17