6 Vektör Uzay

6
Vektör Uzay
Not: X bir vektör uzay¬ ve M
X olsun. boy X ile X uzay¬n¬n boyutunu,
s(M ) ile M kümesinin kardinalitesini, span M ile M kümesinin gerdi¼
gi uzay¬ve
ile s¬f¬r vektörünü gösterece¼
giz.
Soru 6.1 Al¬ş¬lm¬ş toplama ve çarpma işlemleri alt¬nda tüm reel say¬lar¬n oluşturdu¼
gu kümenin bir boyutlu bir reel vektör uzay¬ ve tüm kompleks say¬lar¬n
oluşturdu¼
gu kümenin ise bir boyutlu bir kompleks vektör uzay¬oluşturdu¼
gunu
gösteriniz.
Çözüm: i) Al¬ş¬lm¬ş toplama ve çarpma işlemleri alt¬nda R’nin bir reel
vektör uzay¬ oldu¼
gunu biliyoruz. Şimdi R’nin boyutunu belirleyelim. Bunun
için x0 6= 0 olacak şekilde x0 2 R alal¬m. M = fx0 g olmak üzere x0 = 0
oldu¼
gundan
= 0 olaca¼
g¬ndan M kümesi lineer ba¼
g¬ms¬z bir kümedir. Her
x
x0 yaz¬labildi¼
ginden span M = R olur. O halde M kümesi R
x 2 R için x =
x0
için bir baz olup boy R = s(M ) = 1 elde edilir.
ii) Tüm kompleks say¬lar¬n oluşturdu¼
gu kümenin bir kompleks vektör uzay¬
olarak boyutu i ş¬kk¬na benzer şekilde 1 olarak belirlenir.
Soru 6.2 Al¬ş¬lm¬ş toplama ve çarpma işlemleri alt¬nda tüm kompleks say¬lar¬n
oluşturdu¼
gu kümenin iki boyutlu reel vektör uzay¬oldu¼
gunu gösteriniz.
Çözüm: Al¬ş¬lm¬ş toplama ve çarpma işlemleri alt¬nda C’nin reel bir vektör
uzay¬oldu¼
gunu biliyoruz. Şimdi C’nin boyutunu belirleyelim. Bunun için M =
f1; ig kümesini göz önüne alal¬m. 1+ i = 0 oldu¼
gunda = = 0 olaca¼
g¬ndan
M kümesi lineer ba¼
g¬ms¬zd¬r. Şimdi key… z 2 C alal¬m. O halde x; y 2 R olmak
üzere z = x + iy şeklinde ifade edilir. Bu ise span M = C oldu¼
gunu gösterir.
s(M ) = 2 oldu¼
gunan boy C = 2 olur. Yani C uzay¬R cismi üzerinde iki boyutlu
bir vektör uzay¬d¬r.
Soru 6.3 n boyutlu bir vektör uzay¬nda, herhengi bir eleman¬n e1 ; e2 ; :::; en baz
vektörlerinin lineer kombinasyonu olarak tek türlü ifade edildi¼
gini gösteriniz.
n
n
X
X
Çözüm: Kabul edelim ki bir x vektörü için x =
e
=
j j
j ej
j=1
ve baz¬ j’ler için
n
X
(
j
j )ej
=
j
6=
j
olsun. O halde
n
X
j=1
j ej
=
n
X
j=1
j ej
oldu¼
gundan
j=1
elde edilir. Di¼
ger yandan e1 ; e2 ; :::; en vektörleri lineer ba¼
g¬m-
j=1
s¬z oldu¼
gundan her j için
j
j
= 0 olup
j
=
j
gerçeklenir. Bu ise çelişkidir.
Soru 6.4 Her j = 1; 2; :::; n için xj (t) = tj olmak üzere fx1 ; x2 ; :::; xn g kümesinin
C[a; b] uzay¬nda lineer ba¼
g¬ms¬z bir küme oldu¼
gunu gösteriniz.
13
Çözüm: Kabul edelim ki
0
@
n
X
j xj
j=1
n
dn X
dtn j=1
yazarsak
n
X
j xj
=
olsun. O halde her t 2 [a; b] için
j=1
1
A (t) = 0 olur yani
j
j t = n!
n
n
X
j xj (t)
=
j=1
n
X
j
jt
= 0 gerçeklenir. Buradan
j=1
= 0 elde edilir. Yani
n
= 0 olur. Şimdi
n+
n
X1
jt
j
=0
j=1
n
X1
j
jt
= 0 olur. Yine türev al¬narak
n 1
= 0 gerçeklenir. Bu
j=1
şekilde devam edilerek n = n 1 = ::: =
lineer ba¼
g¬ms¬z oldu¼
gunu gösterir.
1
= 0 bulunur ki bu da sistemin
Soru 6.5 Y bir X vektör uzay¬n¬n bir alt uzay¬ olsun. Bir x 2 X eleman¬n¬n
Y ’ye göre eş kümesi x + Y ile gösterilir ve
x + Y := fx + y : y 2 Y g
ile tan¬mlan¬r. Farkl¬eş kümeler X uzay¬n¬n bir parçalanmas¬n¬oluşturur.
(w + Y ) + (x + Y )
=
(x + Y )
=
(w + x) + Y
x+Y
işlemleri alt¬nda bütün eş kümlerin s¬n¬f¬bir vektör uzay meydana getirir. Bu
vektör uzay¬na X’in Y ’ye göre bölüm uzay¬ ad¬ verilir ve X=Y ile gösterilir.
Buna göre X = R3 ; Y = f(y; 0; 0) : y 2 Rg olmak üzere X=Y bölüm uzay¬n¬
bulunuz.
Çözüm: Tan¬m¬ gere¼
gi R3 =Y = x + Y : x 2 R3 oldu¼
gundan öncelikle
3
x 2 R olmak üzere x + Y kümelerini belirleyelim. Her x = (x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3
için
x+Y
=
=
=
fx + y : y 2 Y g
f(x1 ; x2 ; x3 ) + (y; 0; 0) : y 2 Rg
f(x1 + y; x2 ; x3 ) : y 2 Rg
elde edilir. O halde
R3 =Y = ff(x1 + y; x2 ; x3 ) : y 2 Rg : x1 ; x2 ; x3 2 Rg
s¬n¬f¬elde edilir.
14