KÜTLE TRANSFERİ DR. HÜLYA ÇAKMAK Moleküler Difüzyon (Fick Kanunu) Dr. Hülya Çakmak Gıda Mühendisliği Bölümü Bir akışkan içerisinde toplam konsantrasyon sabitse moleküler difüzyon (Fick’in 1. kanunu) aşağıdaki gibi yazılır; 𝑑𝑐𝐴 ∗ 𝐽𝐴𝑧 = −𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑧 burada JAz* A bileşeninin z yönündeki moleküler difüzyona ait molar akısıdır (kg mol A/m2s), DAB A molekülünün B içerisindeki moleküler difüzivitesi (m2/s), cA A bileşeninin konsantrasyonu (kg mol/m3) ve z ise difüzyon uzaklığıdır (m). Moleküler difüzyon veya moleküler aktarım her bir molekülün akışkan içerisinde rastgele hareketidir. Dr. Hülya Çakmak Gıda Mühendisliği Bölümü Moleküler Difüzyon (Fick Kanunu) Şekilde görüldüğü gibi A molekülü B molekülleri arasında rastgele bir rota takip ederek 1 noktasından 2 noktasına moleküler difüzyon ile ilerlemektedir. 1 noktası etrafında A molekülü sayısı B noktası etrafındakinden fazlaysa, 1 noktasından 2 noktasına A molekülü difüzyonu, 2 noktasından 1 noktasına giden A moleküllerinden fazla olacaktır. Örneğin bir su bardağı suyun içerisine kırmızı bir boya damlatıldığında, boya molekülleri su içerisinde moleküler difüzyonla yavaşça dağılacaktır. Boyanın su içerisinde dağılım hızını arttırmak için su kaşıkla karıştırılabilir, böylece konvektif kütle aktarımı oluşacaktır. Isı aktarımındaki iletim ve taşınım, kütle aktarımındaki moleküler difüzyon ve konvektif kütle aktarımı ile analojiktir. Dr. Hülya Çakmak Gıda Mühendisliği Bölümü Moleküler Difüzyon (Fick Kanunu) Moleküllerin difüzyonunda öncelikli olarak akışkanın tamamının hareketsiz olduğu düşünülür. Moleküllerin difüzyonu konsantrasyon gradyanına bağlı olarak gerçekleşir. A ve B’nin iki bileşenli karışımı için Fick kanunu yazıldığında; 𝑑𝑥𝐴 ∗ 𝐽𝐴𝑧 = −𝑐𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑧 burada c; A ve B’nin toplam konsantrasyonunu (kg mol A+B/m3) göstermektedir, xA ise A ve B karışımı içerisindeki A bileşeninin mol fraksiyonunu göstermektedir. c sabitse; cA=cxA ve cdxA=d(cxA)=dcA olur. Böylece toplam konsantrasyon sabit olduğunda; 𝐽𝐴𝑧 ∗ = −𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑐𝐴 𝑑𝑧 olarak yazılır. ÖRNEK He ve N2 gazlarının karışımı bir boru içerisinde 298K ve 1 atm toplam basınçta borunun tamamında sabit olarak bulunmaktadır. Borunun bir ucu olan 1 noktasında He’nin kısmi basıncı PA1=0.6 atm ve borunun 0.2 m uzağındaki diğer ucundaki kısmi basıncı ise PA2=0.2 atm’dir. He-N2 gaz karışımının difüzivitesi kararlı halde DAB= 0.687ˣ10-4 m2/s ise He’nin kütle transfer akısını hesaplayınız. Toplam basınç P sbt ise c ideal gaz kanununa göre; 𝑛 𝑉 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 𝑃 = 𝑅𝑇 = 𝑐 burada n kgmol A+B, V hacim, R ideal gaz sbt 8314.3m3Pa/kgmol.K, c; kgmol A+B/m3, 𝐽𝐴𝑧 ∗ = −𝐷𝐴𝐵 𝑐𝐴1 = 𝑛𝐴 𝑉 = 𝑑𝑐𝐴 𝑑𝑧 = 𝐷𝐴𝐵 𝑃𝐴1 𝑅𝑇 (𝑐𝐴1 −𝑐𝐴2 ) 𝑧2−𝑧1 𝐽𝐴𝑧 ∗ = 𝐷𝐴𝐵 (𝑃𝐴1 −𝑃𝐴2 ) 𝑅𝑇(𝑧2−𝑧1 ) PA1=0.6atm=0.6*1,01325*105Pa=6.08*104Pa, PA2=0.2atm=0.2*1,01325*105Pa=2.027*104 Pa ∗ 𝐽𝐴𝑧 = 0.687 ∗ 10 Dr. Hülya Çakmak − 4 (6.08∗104−2.027∗104) =5.63*10-6 8314.3∗298(0.2−0) Gıda Mühendisliği Bölümü kgmol A/sm2 Konvektif Kütle Transfer Katsayısı Bir akışkan katı bir cisim yüzeyi üzerinden zorlamalı taşınım hareketiyle akmaktayken cisimden akışkana veya tam tersi için konvektif kütle transfer hızını aşağıdaki gibi açıklayabiliriz; 𝑁𝐴 = 𝑘𝑐 𝑐𝐿1 − 𝑐𝐿𝑖 Burada kc kütle transfer katsayısını m/s, cL1 kütle halindeki akışkan konsantrasyonunu kg mol A/m3 ve cLi ise katı yüzeyinin hemen üzerindeki akışkan konsantrasyonunu göstermektedir. Dr. Hülya Çakmak Gıda Mühendisliği Bölümü Dr. Hülya Çakmak Gıda Mühendisliği Bölümü GAZLARIN MOLEKÜLER DİFÜZYONU 1. Gazların Eşmolar-Ters Akım Difüzyonu Bir boruyla bağlı olan iki geniş kapta bulunan A ve B gazları sabit P toplam basıncında kararlı halde moleküler difüzyona sahip olduğunu düşünelim. Her iki kabın karıştırılmasıyla konsantrasyonlar her bir kapta sbt kalmaktadır. Kısmi basınçlar; pA1>pA2 ve pB2>pB1 dir. A molekülleri sağdaki kaba difüze olurken, B molekülleri soldaki kaba difüze olmakta ve toplam basınç P her yerde sbt olduğu için sağdaki kaba difüzlenen A moleküllerinin sayısı soldaki kaba difüzlenen B moleküllerinin sayısına eşit olmak zorundadır. Eşit olmasaydı toplam basınç P sbt kalmazdı! 1. Gazların Eşmolar-Ters Akım Difüzyonu 𝐽𝐴𝑧 ∗ = −𝐽𝐵𝑧 ∗ difüzyon yönü belli olduğu için z indisi ortadan kaldırılır; ∗ Dr. Hülya Çakmak Gıda Mühendisliği Bölümü 𝐽𝐵 = 𝑑𝑐𝐵 −𝐷𝐵𝐴 𝑑𝑧 P=PA+PB old. için; c=cA+cB ve her iki tarafın türevi alınırsa; dcA= -dcB olur. 𝑑𝑐𝐴 𝑑𝑐𝐵 ∗ ∗ 𝐽𝐴𝑧 = −𝐷𝐴𝐵 = −𝐽𝐵 = −(−)𝐷𝐵𝐴 𝑑𝑧 𝑑𝑧 ve dcA= -dcB old. için DAB=DBA olur. A ve B gazlarının iki bileşenli karışımı için A’nın B gazı içerisine difüzyonunu gösteren DAB nin, B’nin A içerisine difüzyonu olan DBA’ya eşit olduğunu gösterir. Örnek Amonyak gazı (A) 0.1 m uzunluğundaki homojen bir tüp içerisinde 298K ve 1.0132*105Pa basınçta bulunan N2 gazı (B) içerisine difüze olmaktadır. (Gazlar konu anlatımında bulunan şekilde yerleştirilmiştir) 1 noktasında pA1=1.013*104 Pa ve 2 noktasında pA2=0.507*104 Pa ve DAB=0.23*10-4 m2/s ise kararlı halde Dr. Hülya Çakmak Gıda Mühendisliği Bölümü 𝐽𝐴 ∗ ve 𝐽𝐵 ∗ ’yi hesaplayınız. GAZLARIN MOLEKÜLER DİFÜZYONU 2. A ve B Gazlarının Difüzyonu ve Taşınım Dr. Hülya Çakmak Gıda Mühendisliği Bölümü Şimdiye kadar Fick’in difüzyon kanununda akışkanın durgun olduğunu ve iki bileşenli A ve B karışımının taşınımla akışının olmadığını kabul etmiştik. 𝐽𝐴𝑧 ∗ difüzyon akısı konsantrasyon gradyanına bağlı olarak oluşmuştu. A moleküllerinin sağ tarafa doğru sabit bir noktadan geçerken ki hızı pozitif akı olarak alınıp 𝐽𝐴𝑧 ∗ kgmol A/m2s’dir. Bu akı A bileşenlerinin difüzyon hızına çevrildiğinde; 𝑚𝑜𝑙𝐴 𝑚 𝑘𝑔 𝑚𝑜𝑙 𝐴 ∗ 𝐽𝐴𝑧 𝑘𝑔 2 = 𝑣𝐴𝐷 × 𝑐𝐴 𝑚 𝑠 𝑠 𝑚3 burada vAD A bileşeninin difüzyon hızını (m/s) göstermektedir. Eğer yığın halindeki sıvı sağa doğru hareket halindeyse veya konvektif akış varsa; Tüm akışkanın sabit bir noktada molar ortalama hızı vM (m/s) ile gösterilir. A bileşeni hala sağ tarafa doğru difüze olmakta ancak ancak onun difüzyon hızı vAD artık hareketli bir akışkana göre ölçülmektedir. 2. A ve B Gazlarının Difüzyonu ve Taşınım Sabit bir yerdeki gözlemci için A bileşeni, yığın halindeki akışkandan daha hızlı hareket etmektedir çünkü difüzyon hızı vAD, yığın fazın hızına VM ilave edilmektedir. Matematiksel olarak; durgun bir noktaya göre A bileşeninin hızı, difüzyon hızı ve ortalama/konvektif hızın toplamına eşittir; Dr. Hülya Çakmak Gıda Mühendisliği Bölümü 𝑣𝐴 = 𝑣𝐴𝐷 + 𝑣𝑀 ve denklemin her iki tarafını cA ile çarparsak; 𝑐𝐴 𝑣𝐴 = 𝑐𝐴 𝑣𝐴𝐷 + 𝑐𝐴 𝑣𝑀 burada her üç terim de akıyı temsil eder ve ilk terim cAvA ,NA akısını kgmol A/m2s göstermektedir. Böylelikle; 𝑁𝐴 = 𝐽𝐴 ∗ + 𝑐𝐴 𝑣𝑀 olur ve durgun noktaya göre tüm akışın toplam akısı N olursa; 𝑁 = 𝑐𝑣𝑀 = 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 𝑁𝐴 +𝑁𝐵 𝑐 𝑣𝑀 = 𝑐𝐴 ∗ 𝑁𝐴 = 𝐽𝐴 + 𝑁 + 𝑁𝐵 𝑐 𝐴 2. A ve B Gazlarının Difüzyonu ve Taşınım 𝑁𝐴 = 𝐽𝐴 ∗ + ∗ 𝐽𝐴 = 𝑐𝐴 𝑐 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 𝑑𝑥𝐴 −𝑐𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑧 𝑑𝑥 ve old. İçin; 𝑐 Dr. Hülya Çakmak Gıda Mühendisliği Bölümü 𝑁𝐴 = −𝑐𝐷𝐴𝐵 𝐴 + 𝐴 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 bu denklik difüzyona ek olarak taşınım 𝑑𝑧 𝑐 olduğu durumda NA akısının genel denkliğidir. Aynı denklik B bileşeni için yazılırsa; 𝑑𝑥𝐵 𝑐𝐵 𝑁𝐵 = −𝑐𝐷𝐵𝐴 + 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 𝑑𝑧 𝑐 Her iki denklikte NA ve NB akıları arasındaki ilişki bilinirse çözülebilir. Eş molar ters akım difüzyon olduğunda NA= -NB olacaktır ve konvektif kısımı içeren terim sıfır olur dolayısıyla denklik aşağıdaki hale gelir; 𝑁𝐴 = 𝐽𝐴 ∗ = -𝑁𝐵 = −𝐽𝐵 ∗ Dr. Hülya Çakmak Gıda Mühendisliği Bölümü GAZLARIN MOLEKÜLER DİFÜZYONU 3. A bileşeninin Durgun ve Difüze Olmayan B Bileşeni İçerisine Difüzyonu (Özel Durum) A bileşeninin durgun ve difüze olmayan B bileşeni içerisine difüze olması durumu genellikle kararlı halde oluşur. Bu durumda difüzyon yolunun sınırında sanki B bileşenine karşı geçirmez bir katman vardır. Şekil a’daki gibi saf bir sıvı örneğin benzen (A) dar bir tüpün dibinde iken büyük miktarlarda inert veya difüze olmayan hava (B) tüpün üstünden geçirilir. Benzen buharı (A) tüp içerisinde bulunan hava (B) içerisine difüze olacaktır. 1 noktasındaki sınır katmanı havaya karşı geçirmezdir çünkü hava benzen sıvısı içerisinde çözünemez. Ayrıca 2 noktasında pA2=0’dır çünkü yüksek hacimlerde hava geçirilmektedir. GAZLARIN MOLEKÜLER DİFÜZYONU 3. A bileşeninin Durgun ve Difüze Olmayan B Bileşeni İçerisine Difüzyonu (Özel Durum) Dr. Hülya Çakmak Gıda Mühendisliği Bölümü Diğer bir örnek verilecek olursa Şekil b’deki gibi hava (A) içerisindeki NH3 buharının (B), su içerisine nüfuz etmesi incelenebilir. Burada su havayı geçirmez özelliktedir, çünkü hava su içerisinde oldukça düşük çözünürlüğe sahiptir. Dolayısıyla B difüze olmadığı için NB=0’dır. A bileşeninin durgun ve difüze olmayan B bileşeni içerisine difüzyonunu hesaplarken genel denklikte NB=0 yazıldığında; 𝑁𝐴 = −𝑐𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑥𝐴 𝑑𝑧 + 𝑐𝐴 𝑐 𝑁𝐴 + 0 konvektif akı Toplam basınç P sbt. ve c=P/RT ve cA/c=pA/P old. için; 𝑁𝐴 = − 𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑝𝐴 𝑅𝑇 𝑑𝑧 + 𝑝𝐴 𝑁 𝑃 𝐴 Denklem düzenlenirse; 𝑁𝐴 = − 𝐷𝐴𝐵 𝑃 𝑃−𝑝𝐴2 𝑙𝑛 𝑅𝑇(𝑧2 −𝑧1 ) 𝑃−𝑝𝐴1 GAZLARIN MOLEKÜLER DİFÜZYONU 3. A bileşeninin Durgun ve Difüze Olmayan B Bileşeni İçerisine Difüzyonu (Özel Durum) 𝐷𝐴𝐵 𝑃 𝑃 − 𝑝𝐴2 𝑁𝐴 = − 𝑙𝑛 𝑅𝑇(𝑧2 − 𝑧1 ) 𝑃 − 𝑝𝐴1 Dr. Hülya Çakmak Gıda Mühendisliği Bölümü 𝑃 = 𝑝𝐴1 + 𝑝𝐵1 = 𝑝𝐴2 + 𝑝𝐵2 𝑝𝐵1 = P − 𝑝𝐴1 B bileşeni için logaritmik ortalama değer; 𝑝𝐵2 −𝑝𝐵1 𝑝𝐴1 −𝑝𝐴2 𝑝𝐵𝑀 = = ln( 𝑝𝐵2 𝑝𝐵1 ) ln(P − 𝑝𝐴2 P − 𝑝𝐴1 ) 𝐷𝐴𝐵 𝑃 𝑁𝐴 = − (𝑝𝐴1 − 𝑝𝐴2 ) 𝑅𝑇 𝑧2 − 𝑧1 𝑝𝐵𝑀 𝑝𝐵2 = P − 𝑝𝐴2 ÖRNEK Dar bir metal tüpün tabanında bulunan su 293K sabit sıcaklıkta tutulmaktadır (Şekil a’daki gibi). Havanın toplam basıncının 1.01325*105 Pa (1 atm) ve sıcaklığının 293K (20°C) olduğu bilinmektedir. Tüpün içindeki su buharlaşarak hava içerisine difüzlenmekte ve difüzyon yolu z2-z1 0.1524 m olduğu bilinmektedir. Kararlı halde suyun buharlaşma hızını kg mol/m2s olarak hesaplayınız. Suyun difüzivitesi 293 K ve 1 atm basınçta 0.25*10-4 m2/s olarak verilmiştir. Dr. Hülya Çakmak Gıda Mühendisliği Bölümü 20°C’de suyun buhar basıncı PA1=0.0231 atm, PA2=0 atm GAZLARIN MOLEKÜLER DİFÜZYONU 4. Farklı Kesit Alanlardan Difüzyon Bundan önceki kısımlarda kararlı halde ve sabit yüzey alandan difüzyonu incelemiştik. Ancak bazı durumlarda kesit alanı değişken olabilir; Dr. Hülya Çakmak Gıda Mühendisliği Bölümü 𝑁𝐴 = A/s). 𝑁𝐴 𝐴 burada 𝑁𝐴 birim saniyede difüze olan kg mol A’yı gösterir (kgmol Küreden Difüzyon: Bu difüzyon şekli bir sıvı damlasının buharlaştığı durumda örneğin bir naftalin küresinin buharlaşması ya da sıvı içerisinde bulunan küre şekilli mikroorganizmalara besin öğelerinin difüzyonu sırasında gerçekleşebilir. 𝑁𝐴 = 𝑁𝐴 4𝜋𝑟1 2 𝑁𝐴 4𝜋𝑟 2 r2>>r1 ve 1/r2≡0 olduğunda = 𝑁𝐴1 = 𝐷𝐴𝐵 𝑃 − 𝑅𝑇𝑟1 𝑝𝐵𝑀 (𝑝𝐴1 − 𝑝𝐴2 ) 4. Farklı Kesit Alanlardan Difüzyon ÖRNEK Dr. Hülya Çakmak Gıda Mühendisliği Bölümü 2 mm çapa sahip naftalin küresi 318K sıcaklık ve 1.01325*105 Pa basınçta çok büyük hacimli ve durgun hava içerisinde asılı kalmıştır. Naftalinin yüzey sıcaklığı 318K ve buhar basıncı 0.555 mmHg olarak kabul edilmektedir. Naftalinin hava içerisindeki difüzivitesi 318K’de DAB=6.92*10-6 m2/s ise naftalinin yüzeyden buharlaşma hızını hesaplayınız. 4. Farklı Kesit Alanlardan Difüzyon Şekildeki gibi bir küre buharlaşmaya başladığında r yarıçapı zamanla giderek azalacaktır. Kürenin tamamının buharlaşması için geçen süre hesaplanırken geçici bir kararlı hal durumu varsayılarak difüzyon akısı denkliği çözülmektedir. Dr. Hülya Çakmak Gıda Mühendisliği Bölümü 𝑡𝐹 = 𝜌𝐴 𝑟1 2 𝑅𝑇𝑝𝐵𝑀 2𝑀𝐴 𝐷𝐴𝐵 𝑃 (𝑝𝐴1 −𝑝𝐴2 ) Burada r1 kürenin ilk çapı, ρA kürenin yoğunluğu, MA da molekül ağırlığını göstermektedir. Difüzivite değeri sıcaklık ve basınca bağlı olarak değişmektedir. Eğer belli bir sıcaklık ve basınçta verilen DAB değerini farklı basınç ve sıcaklıkta kullanmamız gerekirse; 𝐷𝐴𝐵 ∝ 𝑇 1.75 ve 𝐷𝐴𝐵 ∝ 1/𝑃
