Bölüm 4-5

…ÇOKLU REGRESYON MODELİ…
Bir bağımlı değişkene etki eden çok sayıda bağımsız
değişkeni analize dahil ederek çoklu regresyon modeli
uygulanabilir.
Y=b1 + b2 X2 + b3 X3 + u
Y=b1 + b2 X2 + b3 X3 +...+ bk Xk + u
EKKY varsayımları çoklu regresyon analizinde de geçerlidir.
…ÇOKLU REGRESYON MODELİ…
Tütün
Miktarı
Gelir
Fiyat
59.20
65.40
62.30
64.70
67.40
64.40
68.00
73.40
75.70
70.70
76.2
91.7
106.7
111.6
119.0
129.2
143.4
159.6
180.00
193.0
23.50
24.40
32.10
32.40
31.10
34.10
35.30
38.70
39.60
46.70
…ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ…
Ŷi  b̂1  b̂ 2 X2  b̂ 3 X3
Katsayıların Tahmini
Normal Denklemler ile,
Ortalamadan Farklar ile,
…NORMAL DENKLEMLER…
 Y  nb̂   X b̂   X b̂
 YX   X b̂   X b̂   X X b̂
 YX   X b̂   X X b̂   X b̂
1
2
2
3
3
2
2
2
1
2
2
2
3
3
2
3
3
1
2
3
2
3
3
SY=? , n , SX2=? , SX3=? ,SYX2= ? , SYX3= ?,
SX2X3= ? , SX22=? , SX32=?
Tütün Miktarı Gelir
Fiyat
Y
X2
X3
YX2
YX3
59.20
76.2
23.50
4511.04
1391.20
65.40
91.7
24.40
5997.18
1595.76
62.30
106.7
32.10
6647.41
1999.83
64.70
111.6
32.40
7220.52
2096.28
67.40
119.0
31.10
8020.60
2096.14
64.40
129.2
34.10
8320.48
2196.04
68.00
143.4
35.30
9751.20
2400.40
73.40
159.6
38.70
11714.6
2840.58
75.70
180.0
39.60
13626.0
2997.72
70.70
193.0
46.70
13645.1
3301.69
SY=671.20 SX2=1310.40 SX3=337.90 SYX2=89454.17 SYX2=22915.64
X2X3
1790.70
2237.48
3425.07
3615.84
3700.90
4405.72
5062.02
6176.52
7128.00
9013.10
SX2X3=46555.35
X22
5806.44
8408.89
11384.89
12454.56
14161.00
16692.64
20563.56
25472.16
32400.00
37249.00
SX22=184593.14
X32
552.2
595.3
1030.41
1049.76
967.2
1162.81
1246.09
1497.69
1568.16
2180.89
SX32=22915.64
…NORMAL DENKLEMLER…
671.20  10 b̂1  1310.40 b̂ 2  337.90b̂ 3
89454.17  1310.40 b̂1  184593.14b̂ 2  46555.35b̂ 3
22915.64  337.90 b̂1  46555.35b̂ 2  11850.63b̂ 3
…NORMAL DENKLEMLER…
-131.04/ 671.20  10 b̂1  1310.40 b̂ 2  337.90b̂ 3
89454.17  1310.40 b̂1  184593.14b̂ 2  46555.35b̂ 3
- 87954.05  1310.40 b̂1  171718.82 b̂ 2  44278.42b̂ 3
89454.17  1310.40 b̂1  184593.14b̂ 2  46555.35b̂ 3
1500.12  12874.32b̂2  2276.93b̂ 3
…NORMAL DENKLEMLER…
-33.79/
671.20  10 b̂1  1310.40 b̂ 2  337.90b̂ 3
22915.64  337.90 b̂1  46555.35b̂ 2  11850.63b̂ 3
- 22679.85  337.90 b̂1  44278.42 b̂ 2  11417.64b̂ 3
22915.64  337.90 b̂1  46555.35b̂ 2  11850.63b̂ 3
235.79  2276.93b̂ 2  432.99b̂ 3
…NORMAL DENKLEMLER…
1500.12  12874.32b̂ 2  2276.93b̂ 3
-5.26 / 235.79  2276.93b̂ 2  432.99b̂ 3
ˆ  2276 .93b
ˆ
1500 .12  12874 .32b
2
3
ˆ  2276 .93b
ˆ
 1240 .26  11976 .65b
2
259.86  897.67b̂ 2
ˆ  0.2895
b
2
3
…NORMAL DENKLEMLER…
1500.12  12874.32(0.2895)  2276.93bˆ 3
1500.12  3727.12  2276.93b̂ 3
 2227  2276.93b̂ 3
ˆ  0.9781
b
3
…NORMAL DENKLEMLER…
671.20  10 bˆ 1  1310.40 (0.2895) 337.90(0.9781)
671.20  10 bˆ 1  379.36  330.50
622.34  10 bˆ 1
ˆ  62.23
b
1
…ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ…
ˆ
Yi  62.23  0.2895X2  0.9781X3
…ORTALAMADAN FARKLAR YOLUYLA…
2
ˆ
ˆ
yx

b
x

b
 2 2  2 3  x2x3
2
ˆ
ˆ
 yx 3  b 2  x 2 x 3  b 3  x 3
bˆ 1  Y  bˆ 2 X2  bˆ 3 X3
Y ?
X2  ? X3  ?
y=? , x2=?, x3=?
Syx2=?, Syx3=?, Sx2x3=?, Sx22=?, Sx32=?
…ORTALAMADAN FARKLAR…
Tütün
Miktarı
Gelir
Fiyat
X2
X3
Y
59.20
76.2
23.50
65.40
91.7
24.40
62.30
106.7
32.10
64.70
111.6
32.40
67.40
119.0
31.10
64.40
129.20
34.10
68.00
143.4
35.30
73.40
159.6
38.70
75.70
180.0
39.60
70.70
193.0
46.70
SY=671.20 SX2=1310.40 SX3=337.90
Y  67.12 X 2  131.04 X 3  33.79
y
-7.92
-1.72
-4.82
-2.42
0.28
-2.72
0.88
6.28
8.58
3.58
x2
-54.84
-39.34
-24.34
-19.44
-12.04
-1.84
12.36
28.56
48.96
61.96
x3
-10.29
-9.39
-1.69
-1.39
-2.69
0.31
1.51
4.91
5.81
12.91
…ORTALAMADAN FARKLAR…
yx2
434.3
67.66
117.3
47.04
-3.37
5.00
10.88
179.3
420.0
221.8
yx3
x2x3
81.50
16.15
8.15
3.36
-0.75
-0.84
1.33
30.83
49.85
46.22
564.3
369.4
41.13
27.02
32.39
-0.57
18.66
140.2
284.4
799.9
x22
3007.43
1547.64
592.4
377.9
144.9
3.39
152.7
815.6
2397.08
3839.04
x32
105.8
88.17
2.86
1.93
7.24
0.10
2.28
24.11
33.76
166.67
Syx2=1500.12 Syx3=235.79 Sx2x3=2276.93 Sx22=12878.32 Sx32 =432.99
…ORTALAMADAN FARKLAR…
-5.26 /
ˆ  2276.93b
ˆ
1500.12  12878.32b
2
3
ˆ  432.99b
ˆ
235.79  2276.93b
2
3
ˆ  2276.93b
ˆ
1500.12  12878.32b
2
3
ˆ  2276.93b
ˆ
 1240.26  11976.65b
2
259.86  897.67b̂ 2
ˆ  0.2895
b
2
3
…ORTALAMADAN FARKLAR…
1500.12  12878.32(0.2895)  2276.93bˆ 3
1500.12  3727.12  2276.93b̂ 3
 2227  2276.93b̂ 3
ˆ  0.9781
b
3
…ORTALAMADAN FARKLAR…
bˆ 1  67.12  (0.2895)(131.04)  (0.9781)(33.79)
ˆ  62.23
b
1
…ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ…
ˆ  62.23  0.2895X  0.9781X
Y
i
2
3
Tütün miktarı
Gelir
Fiyat
…ELASTİKİYETLERİN HESAPLANMASI…
E yx i
Y / Y Y X i
 lim

.
x i 0 X / X i
X i Y
•Nokta Elastikiyet
•Ortalama Elastikiyet
…NOKTA ELASTİKİYET…
X20 = 140
X30 = 38
ˆ  62.23  0.2895X  0.9781X
Y
i
2
3
ˆ
Y0  62.23  0.2895(140)  0.9781(38)
ˆ  65.59
Y
0
…NOKTA ELASTİKİYET…
E YX 2 0
E YX 2 0
Y X 2

.
ˆ
X 2 Y
0
X
20
ˆ
 b2 .
ˆ
Y
140
 0.2895

65.59
Tütünün gelir elastikiyeti
0
0.62
…NOKTA ELASTİKİYET…
E YX 3 0
E YX 3 0
Y X 3

.
ˆ
X 3 Y
0
X
30
ˆ
 b3 .
ˆ
Y
38
 0.9781

65.59
Tütünün fiyat elastikiyeti
0
-0.57
…ORTALAMA ELASTİKİYET…
ˆ  62.23  0.2895X  0.9781X
Y
i
2
3
E YX i
E YX 2
E YX 3
Xi
Y X i  b
ˆ

.
i .
Y
X i Y
131.04 = 0.57
 0.2895.
67.12
33.79
 0.9781.
= -0.49
67.12
Y  67.12 ; X 2  131.04; X 3  33.79
…ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ…
Ŷi  b̂1  b̂ 2 X2  b̂ 3 X3
ˆ
Yi  62.23  0.2895X2  0.9781X3
…ÇOKLU REGRESYON MODELİNDE TAHMİNİN
STANDART HATASI…
s
2
Se i
n k
ˆ ) 2  Se 2  ?
ˆ  ? S(Y  Y
Y
i
i
i
i
ˆ  62.23  0.2895X  0.9781X
Y
i
2
3
…VARYANS FORMÜLLERİNİN
GENELLEŞTİRİLMESİ…
Y  b1  b2 X 2  u
1) Tek açıklayıcı değişkenli model
 
var bˆ2   u2
1
2
x

Y  b1  b2 X 2  b3 X 3  u
2) İki açıklayıcı değişkenli model
 
2
ˆ
var b2   u
 
var bˆ3   u2
2
x
3
  x   x     x x 
x
  x   x     x x 
2
2
2
2
3
Bu ifadeler
determinantla şöyle
yazılabilir.
2 3
2
2
2
2
2
3
2 3
2
…VARYANS FORMÜLLERİNİN
GENELLEŞTİRİLMESİ…
Sapmalar biçiminde yazılmış iki açıklayıcı değişkenli modelin
normal denklemleri şöyledir.
2
ˆ
x
y

b
(
x
  2  2  2 ) bˆ3  ( x2 x3 )
(1)
  x y   bˆ  ( x x ) bˆ  ( x )
(2)
3
2
2 3
3
2
3
Parantez içindeki terimler, örnek gözlemlerinden hesaplanmış
determinantlardır bˆ2 ve bˆ3 ise bilinmeyenlerdir.
…VARYANS FORMÜLLERİNİN
GENELLEŞTİRİLMESİ…
(1) ve (2) nolu denklemin sağ tarafında yer alan bilinenler,
determinant kalıbında yazılabilir.
2
x
 2
x x
2 3
x x
x
2 3
2
3
 A
Her bir parametrenin varyansı, bu parametreye ilişkin
minör determinantının (bütün) determinanta bölümünün
 u2 İle çarpımıdır. Yani…
…VARYANS FORMÜLLERİNİN
GENELLEŞTİRİLMESİ…
  x y   bˆ  ( x ) bˆ  ( x x )
  x y   bˆ  ( x x ) bˆ  ( x )
2
3
 
var bˆ2 için
 
var bˆ2   u2
2
2
2
2
2 3
2
x
2
 x2 x3
x
x x
2
2
2 3
Ve..
3
3
x x
x
x x
x
2 3
2
3
2 3
2
3
2 3
(1)
2
3
(2)
  u2
2
x
3
x x x
x x x
2
2
2 3
2 3
2
3
2
x
2  3
 u
A
…VARYANS FORMÜLLERİNİN
GENELLEŞTİRİLMESİ…
 
var bˆ3
için
2
x
2
 
var bˆ3   u2
x x
x
x x
2 3
2
2
2 3
x x
x
x x
x
2 3
2
3
2 3
2
3
  u2
2
x
2
x x x
x x x
2
2
2 3
2 3
2
3
2
x
2  2
 u
A
…VARYANS FORMÜLLERİNİN
GENELLEŞTİRİLMESİ…
3) Üç açıklayıcı değişkenli model Y  b1  b2 X 2  b3 X 3  b4 X 4  
Normal denklemin sağ tarafında görülen bilinen terimlerin
determinantı şöyledir:
x x x x x
x x x x x
x x x x x
2
2
2 3
2 3
2
3
2 4
3 4
2 4
3 4
2
4
 B
…VARYANS FORMÜLLERİNİN
GENELLEŞTİRİLMESİ…
Y  b1  b2 X 2  b3 X 3  b4 X 4  
Daha önce iki açıklayıcı değişkenli model için açıklanan
işlemleri burada da yenilersek varyansları determinant
cinsinden şöyle yazabiliriz.
  için:
var bˆ2
2
x
 2
 x2 x3
 
var bˆ2  
2
u
x x
2 4
x x x x
x x x
x x x
2 3
2
3
3 4
B
2 4
3 4
2
4
2
x
 3

2
u
x x
x
3 4
2
4
x x
3 4
B
…VARYANS FORMÜLLERİNİN
GENELLEŞTİRİLMESİ…
2
x
2
x x
x x
2 3
 
var bˆ3   u2
2 4
x x x x
x x x
x x x
2 3
2
3
3 4
B
2 4
3 4
2
4
x x x
x x x
2
2

2
u
2 4
2
4
2 4
B
…VARYANS FORMÜLLERİNİN
GENELLEŞTİRİLMESİ…
x x x x x
x x x x x
x x x x x
2
2
 
2
ˆ
var b4   u
2 3
2 3
2
3
2 4
3 4
B
2 4
3 4
2
4
x x x
x x x
2
2

2
u
2 3
2
3
2 3
B
…VARYANS FORMÜLLERİNİN
GENELLEŞTİRİLMESİ…
Katsayı tahminlerinin varyanslarını gösteren daha önceki
ifadeler incelenecek olursa, şu genelleme yapılabilir.
k sayıda açıklayıcı değişken içeren bir
tahminlerinin varyansı iki determinantın
oranından hesaplanabilir.
modelin
birbirine
…VARYANS FORMÜLLERİNİN
GENELLEŞTİRİLMESİ…
Örneğin bˆk nın varyansı aşağıdaki ifadedir.
  
var bˆk
2
u
  x12

  x1 x2


 x x
1 k

  x12

  x1 x2


 x x
1 k

x x
x x
1
2
1
2
x x
x x
x x
2
k
1
2
1
2
x
2
xk
x x
x x


2 k 


2 
 xk 
 x1 xk 
 x2 xk 


2 
 xk 
1
k
…Çoklu Regresyon Modelinde Tahminin Standart Hatası…
Tütün Gelir
Y
X2
59.20
76.2
65.40
91.7
62.30
106.7
64.70
111.6
67.40
119.0
64.40
129.2
68.00
143.4
73.40
159.6
75.70
180.0
70.70
193.0
SY=671.20
Fiyat
X3
23.50
24.40
32.10
32.40
31.10
34.10
35.30
38.70
39.60
46.70
Ŷ
61.30455
64.91151
61.72264
62.84776
66.26159
66.28019
69.21737
70.58173
75.60724
72.42623
SŶ  671 .16
e
-2.10
0.49
0.58
1.85
1.14
-1.88
-1.22
2.82
0.09
-1.73
e2
4.429131
0.238622
0.333345
3.430793
1.295977
3.535114
1.48199
7.942646
0.008604
2.97987
Se = 0.040 Se2 = 25.68
…Çoklu Regresyon Modelinde Tahmincilerin Standart
Hataları…
s
Se
25.68


nk
10  3
s(bˆ2 )  s
 1.9154
2
i
3.6686 =1.9154
Sx
2
2
2
Sx2 Sx3  (Sx2 x3 )
2
3
432 .99
(12878 .38 )( 432 .99 )  (2276 .93)
2
=0.0637
…Çoklu Regresyon Modelinde Tahmincilerin Standart
Hataları…
s(bˆ3 )  s
 1.9154
Sx
2
2
2
Sx2 Sx3  (Sx2 x3 )
2
2
12878 .38
(12878 .38 )( 432 .99 )  (2276 .93) 2
2
2
2
2


X
x

X
x
2 3
3  2   x2 x3
2 1
Var (b1 )  s .  

2
2
2
 n
 x2  x3  ( x2 x3 ) 
=0.3473
…Çoklu Belirlilik Katsayısı…
2
RBD
S
ŷ
R 2
 2
TD
Sy

b 2 Syx 2  b 3Syx3
Sy
2
0.2895 (1500 .12 )  (0.9781 )( 235 .79 )
= 0.8879  0.89

228 .90
R
2
HBD
 1
TD
1 R
2
 1
HBD
Se 2

 2
TD
Sy
Se 2
Sy 2
25 .68
 1
= 0.8879  0.89
228 .90
25 .68

228 .90
= 0.11
…Düzeltilmiş Belirlilik Katsayısı…
R2 değeri yeni bağımsız değişken eklendiğinde daima
artar, R2 de payın değeri artarken payda aynı kalır. Bu
sakıncayı ortadan kaldırabilmek için aşağıdaki düzeltilmiş
belirlilik katsayısı hesaplanabilir:
10  1 


2 n 1 
 1  (1  0.89 )
R  1  (1  R )
= 0.86


nk
10  3 


2
R R
2
2
Çoklu korelasyon katsayısı (R) : Y bağımlı değişkeni ile X
bağımsız değişkenleri arasındaki ilişkinin derecesini
göstermektedir.
…Basit Korelasyon Katsayıları…
ryx2  r12 
ryx3 
r13 
rx 2 x 3  r23 
rx3x 2  r32 
Syx 2
1500 .12

Sx 22 Sy 2
Syx3
Sx 32 Sy
(12878 .38)( 228 .90 )

2
Sx 2 x 3

Sx 32 Sx 22
235 .79
(432 .99 )( 228 .90 )
2276 .93
= 0.7490
= 0.9642
(12878 .38)( 432 .99 )
Sx 22 Sx 32
Sx 3 x 2
= 0.8737

2276 .93
(432 .99 )(12878 .38)
= 0.9642
…Kısmi Korelasyon Katsayıları…
 yx
 yx
 yx
2
 b̂ 2  x  b̂3  x 2 x 3
3
 b̂ 2  x 2 x 3  b̂3  x
2
 b̂ 2  x  b̂3  x 2 x 3
2
2
2
2
2
ˆ
b2  x2   yx2  bˆ3  x2 x3
İfadenin her iki yanı
x
2
2
bölünürse
2
3
…Kısmi Korelasyon Katsayıları…
b̂ 2
yx


x
2
2
2
 b̂3
x x
x
2
3
2
2
b̂2  b̂12  b̂3b̂32
X2’nin Y’ye
Toplam Etkisi
=
X2’nin Y’ye
Doğrudan Etkisi
-
X2’nin Y’ye
Dolaylı Etkisi
0.2895  0.1165  (0.9781)(0.1768)
0.2895  0.2894
…Kısmi Korelasyon Katsayıları…
r12.3 
r13.2 
r23.1 
r12  r13r23
0.8737  (0.7490)(0.9642)

=0.8623
2
2
(1  r )(1  r ) [1  (0.7490) ][1  (0.9642) ]
2
13
2
23
r13  r12r23
(1  r )(1  r )
2
12
2
23
r23  r12 r13

0.7490  (0.8737)(0.9642)
= -0.7242
[1  (0.8737) ][1  (0.9642) ]
2
2
0.9642  (0.8737)(0.7490)

=0.9612
2
2
(1  r )(1  r ) [1  (0.8737) ][1  (0.7490) ]
2
12
2
13
…Kısmi Regresyon Parametrelerinin Ayrı Ayrı Testi…
1.Aşama
H0: b 2 = 0
H1 : b 2  0
2.Aşama
a=?
= 0.05
; S.d.=? = n-k =10-3 = 7
ta,sd =? t0.05,7=? =2.365
3.Aşama
t hes 
4.Aşama
b̂ 2  b
*
2
s(b̂ 2 )
?
0.2895  0

0.0637
|thes= 4.5447 | > |ttab= 2.365 |
H0 hipotezi reddedilebilir
=4.5447
…Kısmi Regresyon Parametrelerinin Ayrı Ayrı Testi…
1.Aşama
H0: b 3 = 0
H1 : b 3  0
2.Aşama
a=?
= 0.05
; S.d.=? = n-k =10-3 = 7
ta,sd =? t0.05,7=? =2.365
3.Aşama
t hes 
4.Aşama
b̂3  b
*
3
s(b̂3 )
?
0.9781  0

0.3473
|thes=- 2.8163 | > |ttab= 2.365|
H0 hipotezi reddedilebilir
=-2.8163
…Regresyon Parametrelerinin Topluca Testi…
Y=b1 + b2 X2 + b3 X3 + u (Sınırlandırılmamış Model)(SM)
Y=b1 + u
(Sınırlandırılmış Model)(SR)
(SR)
H0: b 2 = b 3 = 0
1.Aşama
H1 : b i  0
2.Aşama
Fa,f
a=?
1,f2
= 0.05
; f1=?
f2=?
=? F0.05,2,7=? =4.74
= k-1 = 3-1=2
= n-k =10-3=7
…Regresyon Parametrelerinin Topluca Testi…
3.Aşama
R /( k  1)
0.8879 /(3  1)
=27.7221
Fhes 
 ?
2
(1  0.8879) /(10  3)
(1  R ) /( n  k )
4.Aşama
2
Fhes= 27.7221 > Ftab= 4.74
H0 hipotezi reddedilebilir
…Varyans Analiz Tablosu…
Değişkenlik
SKT
RBD
HBD
203.2235 3-1
25.6725 10-3
TD
228.8960 10-1
sd
SKTO
101.6117
3.6675
Fhes
27.7060
F-Anlamlılık
[0.0005]
…Güven Aralıkları…
b̂2  t a / 2s(b̂2 )
= 0.2895  2.365 (0.0637)
0.1370 < b2 < 0.4381
b̂3  t a / 2s(b̂3 )
= -0.9781  2.365 (0.3473)
-1.7887 < b3 < -0.1466
Sabit Terimsiz Bağlanım(Regresyon) Modeli
Yi  b1  b 2 X i  ui
Yi  b 2 X i  ui
YX
b 
X
Sabit Terimsiz Bağlanım Modeli

i
2
i
2

i
s
s(b ) 
X
2

0<b2<1
2
i
Sabit Terimsiz Bağlanım Modeli
Sabit Terimsiz Bağlanım Modelinin Özellikleri
1) Sabit terimsiz regresyonda Σei lerin sıfıra eşit olması şart değildir.
2) Sabit terimsiz regresyonda r2 belirlilik katsayısı uygun bir ölçü değildir.
Çünkü bu katsayının sabit terimsiz regresyonda negatif değer alması söz
konusu olabilmektedir.
Sabit Terimsiz Bağlanım Model Örnekleri
İmalat Sanayi Mamülleri Üretim Fonksiyonları
Üretim faktörleri girdileri sıfırken çıktı yani üretim de sıfır olmalıdır.
Orijinden Geçen Uzun Dönem Tüketim Fonksiyonu
b1 sabitinin pozitif değeri bize ekonomik birimlerin gelir seviyeleri
sıfırken daha önce yaptıkları tasarrufları tükettiklerini ve daha
önceki dönemlerde üretilmiş mallardan faydalandıklarını ifade
etmektedir.
Kapalı bir ekonominin daha önce ürettiği tüketim malları stoku
yoksa, b1 değeri sıfırdan büyük olamaz.
Bu halde gelir seviyesi sıfıra indiğinde tüketim geliri aşacak, bu da
negatif bir tasarrufa karşılık gelecektir.
Sabit Terimsiz Bağlanım Model Örnekleri
Gelirden bağımsız ve kısıtlanması mümkün olmayan tüketim
seviyesi b1'e bağımsız tüketim harcamaları denir.
Bu durum kısa dönemde söz konusu olur.
Buna karşılık, daha önceki birikmiş tasarruflara bağlı olarak belli bir
tüketim seviyesi b1 in varlığının kabulünün uzun dönemde hiç bir
anlamı olmaz.
Sabit Terimsiz Bağlanım Model Örnekleri
Portföy Teorisi
Bir yatırım projesinin toplam riski, iki riskten oluşur: Sistematik risk veya
piyasa riski ve sistematik olmayan risk.
Sistematik olmayan risk firmanın yönetim şartları, firmalar arası rekabet,
grevler ve tüketici davranışlarındaki değişmeler gibi faktörlere bağlıdır.
Sistematik risk , Piyasa faiz oranlarının değişmesi, enflasyon riski, finansal
piyasalardaki değişmeler gibi faktörlere bağlıdır
Sabit Terimsiz Bağlanım Model Örnekleri
Finansal Varlıkları Fiyatlama Modelinin Beta Katsayısı, projelerin
sistematik riskini ölçmeye yarar.
Finansal Varlıklar Fiyatlama Modeli :
Ri - rf = ßi (Rm - rf) + ui
Ri = i finansal varlığı verim oranı
Rm = Piyasa portföyü verim oranı (riskli varlıklardan oluşan)
rf = Risksiz piyasa verim oranı (hazine bonosunun 90 günlük verim
oranı gibi)
ßi = Finansal varlığın sistematik riski (Beta katsayısı)
ui = hata terimi
Sabit Terimsiz Bağlanım Model Örnekleri
Yi = ai + ßi Xi + ui
Yi = Şirketin yıllık verimlilik oranı (%)
Xi = Piyasa portföyü yıllık verimlilik oranı (%)
ßi = Eğim katsayısı, portföy teorisinde Beta katsayısı (Sistematik
Risk)
Yi = 1.0899 Xi
s (bi): (0.1916) , Se2 = 3425.285
t
(5.6884)
Yi= 1.2797 + 1.0691 Xi
s (bi) (7.6886) (0.2383)
t = (0.1664) (4.4860)
…DOĞRUSAL OLMAYAN
REGRESYON MODELLERİ…
Tam Logaritmik Modeller
Yarı-Logaritmik Model
*Log-Doğ Model(Üstel Model)
*Yarı-Logaritmik Model Doğ - Log Model
Polinomial Model
…Tam Logaritmik Model…
X3
Y
b2>1
0<b2<1
Y2
b2<0
Y1
X2
X2
(X3 sabit tutulduğunda)
…Tam Logaritmik Model(Üslü model-log-log
Modeller-Sabit Elastikiyetli Modeller)…
Y  b1. X
b2
veya
log Y  log b1  b2 log X  log u
logY  Y
log X  X
*
Y  b  b2 X
*
*
1
*
log b1  b1*
*
 b̂1* ve b̂ 2 tahminler i sapmasızdı r
 b̂ 2 tahmini eğrinin heryerinde aynıdır.
 b1  anti log b̂ tahmini sapmalıdır .
*
1
Y  b1. X
b2
Y X dY X
E yx  lim

.
X 0 X Y
dX Y
dY
b2 1
Y '
 b1.b2 X
dX
Y’nin eşiti üstteki denklemde yerine konursa
EYX
1
X
 b1.b2 X . .

b
2
b2
X b1 X
b2
…Tam Logaritmik Model…
Birden fazla bağımsız değişken olduğunda
Y  b1. X . X  X .eu
b3
3
b2
2
bk
k
lnY =lnb1 + b2 lnX2+ b3 lnX3 + ... + bk lnXk + u lne
Y* =b1 *+ b2 X2*+ b3 X3* + ... + bk Xk* + u
Y*  b̂1*  b̂ 2 X*  e
SY*  nb̂1*  b̂ 2 SX*
SY*X*  SX*b̂1*  b̂ 2 SX*2
b̂  ?
*
1
b̂ 2  ?
Y  b1. X X
b2
2
Y '  b1.b2 . X
b3
3
b2 1
2
X
b3
3
1
1
 b2 .Y
 b2 .(b1. X X )
X2
X2
b2
2
b3
3
Y
Y X 2
1 X2
E yx 
 b2 .Y
X 2 Y
X2 Y
 b2
Y
Uygulama 4.3 (207-210)
80
60
40
20
0
0
100
200
300
400
X
LNY
Uygulama 4.3 (207-210)
4.4
4.2
4.0
3.8
3.6
3.4
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
LNX
Uygulama 4.3 (207-210)
Hanehalkı
1
2
3
4
5
3.8140
3.8091
3.8317
3.5225
3.8801

21
22
23
24
25
Y*=lnY

4.0646
4.2921
4.1454
4.2841
4.2214
X*=lnX
3.9570
4.3623
4.4859
3.9905
4.7135

X*Y*=ln(X) ln(Y) X*2=[ln(X)]2 Y*2=[ln(Y)]2
15.0920
15.6578
14.5466
16.6164
19.0297
14.5092
17.1886
20.1233
14.6819
14.0565
15.9241
12.4080
18.2889
22.2171
15.0552



5.2029
5.9216
5.2554
5.5099
5.5969
21.1477
25.4161
21.7857
23.6050
23.6268
27.0702
35.0653
27.6192
30.3590
31.3253
16.5210
18.4221
17.1843
18.3535
17.8202
101.1449 124.0374
504.5211
622.8097
410.3199
Uygulama 4.3 (207-210)
*

Y
Y*  n
*
*

X
X 
n
101.1449 = 4.0458

25
124.0374 = 4.9615

25
1
Σx = ΣX (ΣX)2
n
2
Sx*2
2
1
= 622.8097 (124.0374)2 =7.3986
25
1
Σxy = ΣXY n
Sy*x* = 504.5211 -
(ΣX) (ΣY)
1
(124.0374) (101.1449) =2.6911
25
Uygulama 4.3 (207-210)
 x * y* 2.6911 = 0.3637

b̂ 2 
*2
7.3986
x
b1* = Y* - b2X*
= 4.0458 - (0.3637) 4.9615 = 2.2413
Ŷ* = 2.2413 + 0.3637 X*
ln Ŷ = 2.2413 + 0.3637 ln X
Ŷ = 9.4056 X0.3637
[ln(9.4046) = 2.2413]
…Üretim Fonksiyonu…
Y  b1X .X
b2
2
b3
3
Y= Üretim X2=Emek ; X3=Sermaye
Y
Y = Emeğin Marjinal Verimliliği
 b2
X 2
X2
Y
Y = Sermayenin Marjinal Verimliliği
 b3
X 3
X3
lnY = -3.4485 + 1.5255 lnX2 + 0.4858 lnX3
(t)
(-1.43)
(2.87)
n=15 Düz-R2= 0.8738
(4.82)
…Yarı-Logaritmik Model…
Log-Doğ Model(Üstel Model)
Ye
b1  b 2 X
e e
b1
b2X
Y
Ae
b2X
Y
b X
Y = Ae 2
b X
Y = Ae 2
A
b >0
2
b <0
2
A
(a)
X
(b)
X
…Yarı-Logaritmik Fonksiyon…
Log-Doğ Model(Üstel Model)
lnY = b1 +b2 X+ u
d ln Y
d Y/Y Y' deki nisbi değişme
1 dY

b2 

 .
X' deki mutlak değişme
dX
dX
Y dX
E yx
dY X

dX Y
= ( b2Y ) X
Y
= b2 X
Artış Hızı Modeli
Log-Doğ Model(Üstel Model)
lnY = b1 +b2 t + u
r = (Antilog b2 - 1) . 100
Y= İş hacmi(1983-1988)
ln Y = 4.638 + 0.131 t
r=
=
=
=
(Antilog 0.131 - 1) . 100
(1.13997 - 1) . 100
(0.139971) . 100
% 14
Örnek
1969-1983 yıllarına ait GSMH verileri aşağıdadır. Buna göre büyüme hızını
bulunuz.
Y
t
logY
logY*t
t2
Ytahmin
e
GSMH
YIL
LOGGSMH
LOGGSMH_YIL
YILKARE
YTAHMIN
HATA
1969
1088.000
1.000000
6.992096
6.992096
1.000000
6.990414
0.001682
1970
1086.000
2.000000
6.990257
13.98051
4.000000
7.017268
-0.027012
1971
1122.000
3.000000
7.022868
21.06860
9.000000
7.044122
-0.021254
1972
1186.000
4.000000
7.078342
28.31337
16.00000
7.070976
0.007365
1973
1254.000
5.000000
7.134094
35.67047
25.00000
7.097830
0.036263
1974
1246.000
6.000000
7.127694
42.76616
36.00000
7.124685
0.003009
1975
1231.000
7.000000
7.115582
49.80907
49.00000
7.151539
-0.035957
1976
1298.000
8.000000
7.168580
57.34864
64.00000
7.178393
-0.009813
1977
1370.000
9.000000
7.222566
65.00309
81.00000
7.205247
0.017319
1978
1438.000
10.00000
7.271009
72.71009
100.0000
7.232101
0.038907
1979
1479.000
11.00000
7.299121
80.29034
121.0000
7.258955
0.040166
1980
1475.000
12.00000
7.296413
87.55696
144.0000
7.285809
0.010604
1981
1512.000
13.00000
7.321189
95.17545
169.0000
7.312663
0.008525
1982
1480.000
14.00000
7.299797
102.1972
196.0000
7.339518
-0.039720
1983
1535.000
15.00000
7.336286
110.0443
225.0000
7.366372
-0.030086
obs
lnY = b1 +b2 t + u
LOG(GSMH)= 6.963560+ 0.026854YIL
t
(461.0034)
(16.16401)
Prob
(0.0000)
(0.0000)
=
(Antilog b2 - 1) . 100
r = (Antilog 0.02685- 1) . 100
Ücret Modeli
Log-Doğ Model(Üstel Model)
Aşağıdaki ücret modeli Uygulama 9.3’den alınmıştır.(s.427)
Modelde:
Y:Haftalık Kazanç ($) ; X2: Tecrübe ; X3 : Eğitim Kategorisi
lnY = 1.19 + 0.033 X2 + 0.074 X3
…Yarı-Logaritmik Fonksiyon…
Doğ - Log Model
Y = b1 +b2 lnX+ u
Y
Y
Y = b 1+ b lnX
2
Y = b 1+ b lnX
2
b >0
2
b <0
2
(a)
X
(b)
X
…Yarı-Logaritmik Fonksiyon…
Doğ - Log Model
Y = b1 +b2 lnX+ u
dY 1
dY
d Y  Y' deki mutlak değişme
b2 


X' deki nisbi değişme
d lnX d X (1 / X) d X/X
E yx
d Y X b2 X
b2



dX Y
XY
Y
Hedonik Model
Doğ - Log Model
Y = b1 +b2 lnX2+ b3 lnX3 + u
Fiyat = -1.749.97 + 299.97 ln(m2) - 145.09 ln(YatakOda)
(t)
(-6.8)
(7.5)
Prob.
Düz-R2= 0.826
(-1.7)
[0.1148]
sd=11
Polinomial Fonksiyonlar
Y = b1 + b2 X + b3 X2 + b4 X3 + ... + bk+1 Xk + u
Kuadratik Model:
Y = b1 + b2 X + b3 X2 + u
dY
= b2 + 2b3 X = 0  X0= -b2 / 2b3
dX
d 2Y
= 2b3
2
dX
Eğer b3<0 ise X0 noktası maksimumdur
Eğer b3>0 ise X0 noktası minimumdur
Polinomial Fonksiyonlar
Kuadratik Model
OM= Ortalama Maliyet ; Çıktı =Üretimİndeksi
GMİ= Girdi Maliyetleri İndeksi
OM = 10.52 - 0.175 Çıktı + 0.0009 (Çıktı)2 + 0.02 GMİ
(t)
(14.3) (-9.7)
Düz-R2=0.978
(7.8)
sd=16
(14.45)
Polinomial Fonksiyonlar
Kübik Model
TM= Toplam Maliyet ;Q =Üretim Miktarı
TM
Q (adet)
45 0
193
1
226
2
240
3
244
4
257
5
260
6
274
7
350
9
420
10
Y (T op lam Maliyet )
•
40 0
•
35 0
30 0
25 0
•
20 0
297
8
•
•
•
•
•
•
•
15 0
X (Ür et im)
10 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Polinomial Fonksiyonlar
Kübik Model
Y = b1 + b2 X + b3 X2 + b4 X3 + u
b1 > 0, b2 > 0
b3 < 0
b32 < 3b2 b4
TM = 141.76 + 63.47 Q - 12.96 Q2 + 0.94 Q3
s(bi) (6.37)
(4.78)
R2 =0.998
sd=6
(0.98)
(0.059)
En Yüksek Olabilirlik Yöntemi
İstatistikte, tüm anakütleler kendilerine karşılık gelen bir olasılık
dağılımı ile tanımlanırlar.
Basit(sıradan) en küçük kareler yöntemi, özünde olasılık dağılımları
ile ilgili herhangi bir varsayım içermez.
Bu yüzden, çıkarsama yapmada BEK tek başına bir işe yaramaz.
BEK, genel bir tahmin yaklaşımından çok regresyon doğrularını
bulmada kullanılabilecek bir hesaplama yöntemi olarak görülmelidir.
86
BEK yönteminden daha güçlü kuramsal özellikler gösteren
bir başka nokta tahmincisi EYO, yani “en yüksek olabilirlik”
(maximum likelihood) yöntemidir.
En yüksek olabilirlik yönteminin ardında yatan temel ilke şu
beklentidir:
“Rassal bir olayın gerçekleşmesi, o olayın, gerçekleşme olasılığının
en yüksek olay olmasındandır.”
Bu yöntem, 1920’li yıllarda˙Ingiliz istatistikçi Sir Ronald A.
Fisher (1890-1962) tarafından bulunmuştur.
Ki-kare testi, bayesgil yöntemler ve çeşitli ölçüt modelleri gibi birçok
istatistiksel çıkarım yöntemi, temelde EYO yaklaşımına
dayanmaktadır.
87
EYO yöntemini anlayabilmek için, elimizde dağılım katsayıları
bilinen farklı anakütleler ve rassal olarak belirlenmiş bir
örneklem olduğunu varsayalım:
Bu örneklemin farklı anakütlelerden gelme olasılığı farklı ve bazı
ana kütlelerden gelme olasılığı diğerlerine göre daha yüksektir.
Elimizdeki örneklem, eğer bu anakütlelerden birinden alınmışsa,
“alınma olasılığı en yüksek anakütleden alınmış olmalıdır” diye
düşünülebilir.
88
Kısaca:
1. Anakütlenin olasılık dağılımı belirlenir veya bu yönde bir
varsayımda bulunulur.
2. Eldeki örneklem verilerinin, hangi katsayılara sahip anakütleden
gelmiş olma olasılığının en yüksek olduğu bulunur.
YALTA (2007 – 2008 Ders Notları)
89
Regresyon Katsayılarının En Yüksek Olabilirlik Tahminleri
Y
b1 + b2Xi
b1
Xi
X
Y = b1 + b 2X + u modelinde katsayıların en yüksek olabilirlik tahminleri
yapılmadan önce modelde hata terimi olmadığını ifade edelim. Nokta ile gösterilen
yerde Y değerine karşılık gelen X değerinin Xi değerine eşit olduğu görülmektedir.
90
Y
b1 + b2Xi
b1
Xi
X
Eğer modele hata terimini eklersek hataların belli bir ortalama ve varyansa bağlı
olarak normal dağıldığını varsayabiliriz.
91
Y
b1 + b2Xi
b1
Xi
X
Şekilde gösterilen dağılış hata teriminin önceden tahmin edilen dağılışıdır.
Gerçekte hata teriminin dağılışının belli bir değere bağlı olarak modelde normal
dağıldığını varsayabiliriz.
92
Y
b1 + b2Xi
b1
Xi
X
Ayrıca yatay eksene göre bakıldığında; şekilde gösterilen dağılış X=Xi durumunda
Y’nin tahmini dağılımını da ifade etmektedir.
93
Y
b1 + b2Xi
b1
Xi
X
Y değeri b1 + b2Xi e yaklaştıkça göreceli olarak daha yüksek yoğunluğa sahip
olmaktadır.
94
Y
b1 + b2Xi
b1
Xi
X
Bununla birlikte b1 + b2Xi den uzaklaştıkça yoğunluk azalmaktadır.
95
Y
b1 + b2Xi
b1
Xi
X
Yi ‘nin ortalama değeri b1 + b2Xi ve hata terimlerinin standart sapması da s,
olduğunu varsayarsak.
96
Y
1
f (Yi ) 
e
 2
1 Y  b  b X
  i 1 2 i
2




2
b1 + b2Xi
b1
Xi
X
Yi ’lerin olasılık yoğunluk fonksiyonları f(Yi) fonksiyonu ile ifade edilebilir.
97
İki Değişkenli Basit Regresyon Modelinin En Yüksek
Olabilirlik Yöntemi İle Tahmini
Tek denklemli ekonometrik modellerin tahmininde EKKY dışında kullanılan
alternatif yöntem En Yüksek Olabilirlik Yöntemidir. Büyük örneklerde her iki
yöntemde yakın sonuçlar vermektedir.
Küçük örneklerde ise EYOBY’de
s  e / n
2
2
olup sapmalıdır.
EKKY’de ise
s  e / n  2
2
2
sapmasızdır.
98
EYOBY’’nin regresyon modeline uygulanışı şöyledir:
Yi  b1  b2 X i  ui
Y bağımlı değişkeninin
E (Yi )  b1  b2 X i
ortalamalı
var(Yi )  s 2
varyanslı normal ve Yi değerlerinin bağımsız dağıldığı varsayılmaktadır. Yani
Yi  N(b1  b 2 Xi , s )
2
(1)
99
Bu ortalama ve varyansla Yi nin Y1, Y2,…,Yn değerlerinin
bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir:
f (Y1 , Y2 ,..., Yn | b1  b2 X i , s )
2
Y’ler birbirinden bağımsız olduğundan, bu bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu,
n tane bireysel yoğunluk fonksiyonunun çarpımı olarak yazılabilecektir.
f (Y1 ,Y2 ,...,Yn | b1  b 2X i ,s )  f (Y1 | b1  b 2X1,s ).f (Y2 | b1  b 2X 2 ,s )
2
(2)
...f (Yn | b1  b 2 X n ,s )
2
2
2
(2) deki f(Yi), (1) deki ortalama ve varyanslı normal dağılımlı yoğunluk
fonksiyonu olup şöyle ifade edilir:
100
1
f (Yi ) 
e
 2
1 Y  b  b X
  i 1 2 i
2




2
(3)
(3)’ü (1) deki her Yi yerine koyarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:
1
f (Y1 )  ...  f (Yn ) 
e
 2
1  Y1  b1  b 2 X 1  2
 

2


1
 ... 
e
 2
1  Yn  b1  b 2 X n  2
 

2


(4)
Ortak yoğunluk fonksiyonları her bir yoğunluk fonksiyonunun çarpımına
eşittir.
(4) de Yi ler bilindiğinde ve b1,b2 ve s2 ler bilinmediğinde (4) ifadesine en
yüksek olabilirlik fonksiyonu adı verilir ve L(b1,b2,s2) şeklinde gösterilir.
101
1
L β1 ,β 2 ,σ | Y1 ,...,Yn  
e
σ 2π
2
1  Y1 β1 β2 X1 
 
2
2
σ

1

2
L  b1 , b 2 ,    n
e
n
 ( 2 )

1
2
(
1
 ... 
e
σ 2π
Yi  b1  b 2 X i

1  Yn β1 β2 X n 
 
2
2
σ

(5)
)2
En yüksek olabilirlik yöntemi bilinmeyen bi parametrelerinin, verilen Y’nin
gözlenme olasılığının ençok(maksimum) olacak tarzda tahmini esasına dayanır.
Bu sebepten b’lerin EYOBY’ ile tahmin için (5) fonksiyonunun maksimumunun
araştırılması gerekir. Bu türevdir, türev için en kısa yol
(5) in log. nın
alınmasıdır.
102

1  Y1  b1  b 2 X1  2
1  Yn  b1  b 2 X n  2 
 
 

 
 1
1
2

2

  ... 

ln L  ln 
e
e 

 2
  2



2
n
1  Yi  b1  b 2 X 
2 n
ln L   ln   ln 2   

2
2
2 


 ln L 1  Yi  b1  b 2 X 


  *2

1

0
b1
2
2
 Yi  nb1  b 2  Xi
2
 ln L 1  Yi  b1  b 2 X i 
X
Y

b
X

b
X



 Xi   0 i i 1 i 2 i
  *2
2
b 2
2

103
 ln L
 2
 ln L

2
2


Y

b

b
X

n 1 1
 i
1
2

 *2*
2
2
2
4

 n   Yi  b1  b 2 X 
2
2

3
0
2


Y

b

b
X
 i
2
1
2
 
n
104