Öklit

Öklit
Matematikte ispat yöntemini ilk kullanan kişinin Thales (Tales)
(MÖ. 624 – 547) olduğu düşünülmektedir. Euclides (Öklit), ispat
yöntemini ince bir ustalıkla geometriye uyarlayarak 13 kitaptan
oluşan “Elements” adlı eserini yazmıştır. Bu eser zaman içinde
Euclides
(MÖ 323 – 283)
yeniden düzenlenmiş, deney ve gözlemlere dayalı empirik
genellemeler terk edilmiş, yerine postulat ve ispatlara dayalı Öklit
Geometrisi kullanılmaya ve öğretilmeye başlanmıştır. 19. Yüzyıl
sonlarına kadar bilinen ve öğretilen tek geometri dalı olan Öklit
Geometrisi hala ortaöğretimde temel ders olarak gösterilmektedir.
Öklit geometrisine, Aksiyomatik Geometri, Sentetik Geometri veya
İspatlı Geometri denildiği de olur.
Öklit postulatları
Doğruluğu herkes tarafından kabul edilen açık seçik doğru önermelere aksiyom denir.
Doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayan ama doğru olarak kabul edilen önermelere postulat denir.
Öklit postulatları
1. İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.
2. Bir doğru parçası sınırsız bir şekilde uzatılabilir.
3. Merkezi ve yarıçapı verilen bir çember çizilebilir.
4. Bütün dik açılar eştir.
5. Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir tek paralel doğru çizilebilir.
İspat biçimleri
1) İki kolonlu ispat biçimi
İlk kolon “ifadeler”, diğer kolon “gerekçeler” den oluşur. Sıra numaraları karşılıklı gelecek
biçimde yazılır.
2) Akış diyagramlı ispat biçimi
Kutu ve oklar kullanılır.
3) Paragraf ispat biçimi
Detaylı açıklamalara yer verilir.
İki kolonlu ispat biçimi
D
Teorem : “Birbirini bütünleyen eş iki açı dik açıdır.”
İki kolonlu ispat
Gerekçeler
İfadeler:



1) m ABD  m DBC
2)

1) Verilen
ABD ve DBC bütünler açılar
   
4) m  ABD   m  ABD   180
5) m  ABD   90
6) m DBC   90
3) m ABD  m DBC  180o
7)
A
o
2) Verilen
3) Bütünler açı tanımından
4) 1 ve 3 ten
o
5) Dört işlem özelliklerinden
o
6) 1 ve 5 ten
ABD ve DBC dik açılar
7) Dik açı tanımından
B
C
Paragraf ispat biçimi
Teorem : “Birbirini bütünleyen eş iki açı dik açıdır.”
Paragraf ispat


D

m ABD  m DBC
ABD ve


Verilen
DBC bütünler açılar


A

B
C
m ABD  m DBC verildiğinden ve bütünler iki açının ölçüleri toplamı 180o olduğundan
m(DBC) yerine m(ABD)






yazılarak m ABD  m ABD  180o elde edilir.


Buradan 2m ABD  180o olur ve sadeleştirme yapılarak m ABD  90o bulunur.



Diğer taraftan m ABD  m DBC
halde dik açı tanımından
ABD

olduğundan


m DBC  90o elde edilir. O
ve DBC dik açıdır.
Alıştırma 1
Teorem : “Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180o dir.”
Paragraf ispat
A
D
E
B
C
Alıştırma 2
Teorem : “Üçgenin iki iç açısının ölçüleri toplamı diğer köşedeki dış açının
ölçüsüne eşittir.”
A
İki kolonlu ispat
B
C
Ödev
Teorem : “Bir dik üçgende dik kenar uzunluklarının kareleri toplamının hipotenüs uzunluğunun
karesine eşittir.