Yeniden Düzenlemiş Simpleks

END 503
Doğrusal Programlama
Yeniden Düzenlenmiş
Simpleks (Revised
Simplex
)
İ.Kara,2007
Yeniden Düzenlenmiş Simpleks
(Revised Simplex)
MODEL
x0 – Σcjxj = 0
Σaijxj = bi
xj≥0
K.A.
ENK x0
İ.Kara,2007
1  C 
A

0
A


^
^ 1
1 C B B 1 
1  C B 
B
B 

1 
B 
B 
0
0
^
^
b  (0, b1 , b2 ,..., bm )T
 ^ ^  1 z1  c1 z 2  c2 ... x 0 
B  A B  

y1
y2
... x B 

 0
^ 1 ^
1 C B B 1  0 C B B 1b 
B b
  1 
1   
B  b  B b 
0
^ 1
İ.Kara,2007
x0
xB
STS
1
CBB-1
CBB-1b
0
B-1
B-1b
İ.Kara,2007
Algoritma
A1: Bir temel uygun çözümden
hareketle ilk tablo düzenlenir.
Temel Dışı
CBB-1
B-1
İ.Kara,2007
STS
CBB 1b
B-1b
A2: Temel dışı her j için, zj=cBB-1aj
hesaplanıp, zj-cj’lerle eniyilik
sınaması yapılır.
İ.Kara,2007
A3: xk temele girecek değişken iken,
yk=B-1ak hesaplanarak, zk-ck ile
birlikte tabloya yeni sütun eklenir.
TD
C BB 1
B-1
STS
C BB 1b
B-1b
İ.Kara,2007
xk
zk-ck
yk
A4:
 xs

ENK 
: ysk  0  xr
s
 ysk

İ.Kara,2007
bulunur.
A5: B matrisinde ar çıkartılıp, ak eklenir.
Yeni B-1’e karşı gelen tablo
düzenlenip, A2’ye dönülür. (yrk
elemanı 1 diğer 0 olacak şekilde,
satır işlemler). Yeni B-1 basit
matrislerle kolaylıkla bulunabilir.
İ.Kara,2007
Faydaları
1. Bellekte mxn yerine, mxm
büyüklükte matris tutulur.
2. Öncelikle zj-cj’ler, eniyi ise B-1 R’ye
gerek yok.
3. Her ardıştırmada yapılan toplama ve
çıkartma sayısı da daha az.
İ.Kara,2007
Örnek
2 x1 + 2x2 – x3 ≤ 15
x1 – x2 + 2x3 = 20
xj≥0
k.a.
Enb x0 = 2x1 + x2 + x3
İ.Kara,2007
1. Kısıta x4 aylak değişkeni,
2. Kısıta x5 yapay değişkeni eklenir.
XB=[x4
B=
x5]T
1
0
0
1
CB=[0
-M]
İ.Kara,2007
İlk Tablo
1
0
0
0
1
0
-M
0
1
-20M
15
20
İ.Kara,2007
z1= [0 -M][2
z2= [0 -M][2
z3= -2M,
1]T = -M,
-1]T = M,
x3 temele alınır.
İ.Kara,2007
z1-c1 = -M-2
z2-c2 = M-1
z3-c3 = -2M-1
y3 = B-1a3 = [-1 2]T ve z3-c3 = -2M-1
tabloya son sütun olarak eklenir.
x0
1
0
0
x4
0
1
0
x5
-M
0
1
STS
-20M
15
20
İ.Kara,2007
x3
-2m-1
-1
2
Temelden x5 çıkartılıp, satır işlemleri
yapılırsa;
x0
1
0
0
x4
0
1
0
x3
1/2
1/2
1/2
STS
10
25
10
İ.Kara,2007
Temel dışı x1, x2 ve x5 için zj-cj’ler:
z1-c1 = [0 1/2][2
z2-c2 = -3/2
z5-c5 = M + 1/2
1]T – 2 = -3/2
İ.Kara,2007
x1 veya x2 temele alınır.
x2 temele alınırsa.
1
1/2 2
5/2
y2 = B-1a2 =
=
0
1/2 -1
-1/2
ve z2-c2 = -3/2 tabloya eklenir.
İ.Kara,2007
x0
1
0
0
x4
0
1
0
x3
1/2
1/2
1/2
STS
10
25
10
x4 temelden çıkar.
İ.Kara,2007
x2
-3/2
3/2
-1/2
x0
1
0
0
x4
x3
?0
1
2/3 1/3
1/3 2/3
z1-c1 = [1 1][2
z4-c4 = 1
z5-c5 = M + 1
STS
35
50/3
50/3
1]T – 2 = 1
İ.Kara,2007
Her j için zj-cj ≥ 0, eniyi çözüm,
x2=50/3
x3=50/3
Enbx0=35
İ.Kara,2007