Slayt 1

DOĞRUSAL
PROGRAMLAMA
LP Modelinin Kurulması – Örnek 1

EMA Meyvacılık Almanya’ya elma, muz ve armut
ihraç etmektedir. Kasalarda stoklanan bu ürünlerin
birim stoklama maliyetleri sırasıyla 7YTL, 6 YTL ve 9
YTL’dir. Bir kasa elma 5m2, bir kasa muz 8m2 ve bir
kasa armut da 10m2 alan kaplamaktadır. Firmanın
depolama kapasitesi ise 1000m2’dir. Muz çabuk
bozulduğu için firma bu meyveden en fazla 150 kasa
stoklayabilmektedir. Elma ve armuda olan talep
değişkenliğinden dolayı firma bu iki meyvenin her
birinden en az 50’şer kasa güven stoku
bulundurmak
zorundadır.
Firmanın
toplam
stoklama maliyetini minimize eden doğrusal
programlama modelini kurunuz.
2
LP Modelinin Kurulması – Örnek 1
Karar değişkenleri:
x1 = elma stoğu
x2 = muz stoğu
x3 = armut stoğu
Amaç fonksiyonu:
Zenk. = Toplam stoklama maliyeti
Zenk. = 7x1+6x2+9x3
Kısıtlar:
1. Kısıt depolama alanı
2. Kısıt muz stoğuna ilişkin kısıt
3. Kısıt elma stoğuna ilişkin kısıt
4. Kısıt armut stoğuna ilişkin kısıt
5x1+8x2+10x3≤1000
x2 ≤150
x1 ≥ 50
x3 ≥ 50
Pozitiflik kısıtı
x1, x2, x3 ≥ 0
3
LP Modelinin Kurulması – Örnek 2



Bir postane haftanın farklı günlerinde tam gün çalışacak farklı
sayıda işçi istihdam etmek istemektedir. Her gün için tam gün
çalışması istenilen işçi sayısı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.
Çalışma yasalarına göre tam gün çalışan her işçi, haftanın birbirini
izleyen beş gününde çalışmak zorundadır, ardından da iki gün
dinlenmektedir.
Postane günlük gereksinimlerini sadece tam gün çalışan işçiler
kullanarak karşılamak istemektedir. İstihdam edilmesi gereken
tam gün çalışacak işçi sayısını minimize etmek için gerekli LP
modelini kurunuz.
Pazartesi
17
Salı
13
Çarşamba
15
Perşembe
19
Cuma
14
Cumartesi
16
Pazar
11
4
LP Modelinin Kurulması – Örnek 2



Karar değişkenleri;
xi = i gününde işe başlayan işçi sayısı (i = 1,2,…,7)
Amaç fonksiyonu;
Zenk. = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
Kısıtlar;
Her gün için çalışması gereken min. işçi sayısı verildiğine göre,
x1 +
x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 17
(Pazartesi)
x1 + x2
+ x5 + x6 + x7 ≥ 13
(Salı)
x1 + x2 + x3
+ x6 + x7 ≥ 15(Çarşamba)
x1 + x2 + x3 + x4
+ x7 ≥ 19
(Perşembe)
x1 + x2 + x3 + x4 + x5
≥ 14
(Cuma)
x2 + x3 + x4 + x5 + x6
≥ 16
(Cumartesi)
x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 11
(Pazar)
xi ≥ 0 (i = 1,2,…,7)
5
LP Modelinin Kurulması – Örnek 3







Sailco şirketi gelecek üçer aylık dönemlerde ne kadar üretim yapması
gerektiğini saptamak istemektedir. Üçer aylık 4 dönem için talep sırasıyla;
40, 60, 75 ve 25 teknedir. Şirket talebi zamanında karşılamalıdır.
Birinci üç aylık dönemin başında şirketin 10 teknelik stoku bulunmaktadır.
Her üç aylık dönemin başında o dönemde ne kadar üretim yapılacağına
karar verilmesi gerekmektedir.
Bir dönemde üretilen teknelerin o dönemin talebini karşılamak için
kullanılabileceği varsayılmaktadır.
Her üç aylık dönem boyunca şirket normal mesai ile tekne başına toplam
$400’a toplam maksimum 40 tekne üretebilmektedir.
Fazla mesai ile işçi çalıştırarak tekne başına toplam 450$’a daha fazla
tekne üretebilmektedir.
Her üç aylık dönemin sonunda (o dönemin üretimi yapılıp talebi
karşılandıktan sonra) tekne başına $20 stoklama maliyeti ortaya
çıkmaktadır.
Gelecek üçer aylık 4 dönem için üretim ve stok maliyetlerini minimize
edecek bir üretim programı hazırlanmak istenmektedir.
6
LP Modelinin Kurulması – Örnek 3



Firmanın her üç aylık dönem için normal mesai ve fazla mesai ile
ne kadar üretim yapılması gerektiğini belirlemesi gerekmektedir.
Bu durumda karar değişkenleri:
xt = t. üç aylık dönemde normal mesai ile üretilen teknelerin sayısı
($400/tekne) (t = 1,2,3,4)
yt = t. üç aylık dönemde fazla mesai ile üretilen tekne sayısı
($450/tekne) (t = 1,2,3,4)
Her üç aylık dönem sonundaki stok (elde kalan tekne sayısı) için
belirlenen karar değişkeni:
it = t. üç aylık dönem sonunda şirketin elinde kalan tekne sayısı
(t = 1,2,3,4)
Toplam maliyet = Normal mesai ile tekne üretim maliyeti
+ fazla mesai ile tekne üretim maliyeti
+ stok maliyetleri
7
LP Modelinin Kurulması – Örnek 3





Şirketin amaç fonksiyonu:
Zenk. = 400x1 + 400x2 + 400x3 + 400x4 + 450y1 + 450y2
+ 450y3 + 450y4 + 20i1 + 20i2 + 20i3 + 20i4
t dönemi sonundaki stok = (t -1)dönemi sonundaki stok
+ t dönemi üretimi – t dönemi talebi
t dönemi talebi dt ile gösterildiğinde (d1=40, d2=60, d3=75, d4=25)
it = it-1 + (xt + yt) – dt
(i0 = 10)
it-1 + (xt + yt) ≥ dt olması halinde t dönemi talebi karşılanabilecektir, it
+ dt ≥ dt yani it ≥ 0 olması kısıtı talebin karşılanmasını
kesinleştirecektir.
Kısıtlar:
Normal mesai ile
x1 ≤ 40,
x2 ≤ 40,
x3 ≤ 40,
x4 ≤ 40
üretim kısıtları
i1 = 10 + x1 + y1 – 40
i2 = i1 + x2 + y2 – 60
Stok kısıtları
i3 = i2 + x3 + y3 – 75
i4 = i3 + x4 + y4 – 25
it ≥ 0,
yt ≥ 0,
xt ≥ 0
(t = 1,2,3,4)
8
DOĞRUSAL PROGRAMLAMA
SORUNLARINDA GRAFİKSEL
ÇÖZÜM YÖNTEMİ
9
Grafiksel Çözüm Yöntemi-Minimizasyon Sorunu
X2
4
X1=3/5=0,6
X2=6/5=1,2
Zenk=12/5=2,4
3
2
Zenk = 2 x1 + x2
3x1 + x2 ≥ 3
4x1 + 3 x2 = 6
x1 + 2 x 2 ≤ 6
x 1, x 2 ≥ 0
1
x1+ 2x2≤6
0
3x1+x2≥3
1
2
3
4
5
6
X1
4x1+3x2=6
10
SİMPLEKS YÖNTEMİ
11
Simpleks Yöntemi – Örnek

Bir işletme x1 ve x2 gibi iki ürün üretmektedir.
Mamul
Üretim
faktörü
X1
X2
A
7
6
84
B
4
2
32
Kar
11
4
Kapasite
Zenb. = 11 x1 + 4 x2 + 0s1 + 0s2
7 x1 + 6 x2 + s1 = 84
4 x1 + 2 x2 + s2 = 32
x1, x2, s1, s2 ≥ 0
84/7 = 12
32/4 = 8
Zenb. = 11 x1 + 4 x2
7 x1 + 6 x2 ≤ 84
4 x1 + 2 x2 ≤ 32
x1, x2 ≥ 0
Başlangıç Simpleks Tablo
Cj
11
Değişken
karışımı
nicelik X1
4
0
0
X2
s1
s2
0
s1
84
7
6
1
0
0
s2
32
4
2
0
1
0
0
0
0
0
11
4
0
0
Zj
Cj - Zj
12
Simpleks Yöntemi – Örnek


Çözümden çıkacak değişkenin sırasındaki bütün değerler kesişme
değerine bölünerek, yeni tabloda bir önceki çözümdeki sıranın yerine
geçecek sıra belirlenir.
Diğer sıralardaki değerlerin hesaplanması için aşağıdaki formül
kullanılır:
(eski sıradaki değer) – [(eski sıradaki kesişme değeri) x (yerine geçen
sıradaki o kolona isabet eden değer)]
Birinci Simpleks Tablo (Optimal)
Cj
11
4
0
0
Değişken
karışımı
nicelik
X1
X2
s1
s2
0
s1
28
0
5/2
1
-7/4
11
x1
8
1
1/2
0
¼
88
11
11/2
0
11/4
0
-3/2
0
-11/4
Zj
Cj - Zj
X1 = 8
s1 = 28
Z = 88
13
BÜYÜK M YÖNTEMİ
14
BÜYÜK M YÖNTEMİ – ÖRNEK 1
Z = 2x1 + 3x2 + 0s1 – MY1
x1 + 2x2 + s1
=4
x1 + x2 + 1Y1 = 3
x1, x2, s1, Y1 ≥ 0
Zenb. = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 ≤ 4
x1 + x2 = 3
x1, x2 ≥ 0
Başlangıç Simpleks Tablo
Cj
2
3
0
-M
Değişken
karışımı
nicelik
X1
X2
s1
Y1
0
s1
4
1
2
1
0
4/2=2
-M
Y1
3
1
1
0
1
3/1=3
-3M
-M
-M
0
-M
2+M
3+M
0
0
Zj
Cj – Zj
15
BÜYÜK M YÖNTEMİ – ÖRNEK 1
Birinci Simpleks Tablo
Cj
2
3
0
-M
Değişken
karışımı
nicelik
X1
X2
s1
Y1
3
x2
2
1/2
1
1/2
0
2/(1/2)=4
-M
Y1
1
1/2
0
-1/2
1
1/(1/2)=2
6-M
3/2-M/2
3
3/2+M/2
-M
M/2+1/2
0
-3/2-M/2
0
Zj
Cj – Zj
İkinci Simpleks Tablo (Optimal)
Cj
2
3
0
-M
Değişken
karışımı
nicelik
X1
X2
s1
Y1
2
x1
2
1
0
-1
2
3
X2
1
0
1
1
-1
7
2
3
1
1
0
0
-1
-M-1
Zj
Cj – Zj
X1 = 2
X2 = 1
Z =7
16
BÜYÜK M YÖNTEMİ – ÖRNEK 2
Zenk. = x1 + x2
2x1 + x2 ≥ 6
x1 + 2x2 = 4
x1, x2 ≥ 0
Z = x1 + x2 + 0s1 + MY1 + MY2
2x1 + 1x2 - s1 + Y1 = 6
x1 + 2x2
+ Y2 = 4
x1, x2, s1, Y1, Y2 ≥ 0
Başlangıç Simpleks Tablo
Cj
1
1
0
M
M
Değişken
karışımı
nicelik
X1
X2
s1
Y1
Y2
M
Y1
6
2
1
-1
1
0
6/2=3
M
Y2
4
1
2
0
0
1
4/1=4
10M
3M
3M
-M
M
M
1-3M
1-3M
M
0
0
Zj
Cj – Zj
17
BÜYÜK M YÖNTEMİ – ÖRNEK 2
Birinci Simpleks Tablo
Cj
Değişken
karışımı nicelik
1
1
0
M
M
X1
X2
s1
Y1
Y2
1
X1
3
1
1/2
-1/2
1/2
0
3/(1/2)=6
M
Y2
1
0
3/2
1/2
-1/2
1
1/(3/2)=2/3
3+M
1
1/2+3/2M -1/2+1/2M
1/2-1/2M
M
0
1/2-3/2M
-1/2+3/2M
0
Zj
Cj – Zj
1/2-1/2M
İkinci Simpleks Tablo (Optimal)
Cj
Değişken
karışımı nicelik
1
1
0
M
M
X1
X2
s1
Y1
Y2
1
X1
8/3
1
0
-2/3
2/3
-1/3
1
X2
2/3
0
1
1/3
-1/3
2/3
10/3
1
1
-1/3
1/3
1/3
0
0
1/3
M-1/3
M-1/3
Zj
Cj – Zj
X1 = 8/3
X2 = 2/3
Z = 10/3
18