Çarpanlara Ayırma 1-) Ortak Çarpan Parantezine Alma: Örnek-1) 5 4 3 a a a a 26.10.2010 2 İfadesini çarpanlara ayırınız. Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 2 Örnek-2) a 2 ab 4a 4b 26.10.2010 İfadesini çarpanlara ayırınız. Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 3 2-) Özdeşliklerden Yararlanarak Çarpanlara Ayırmak a-) İki Terimin Toplam ve Farkının Karesi: (a b) a 2ab b 2 2 2 (a b) a 2ab b 2 26.10.2010 2 2 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 4 b-) İki Kare Farkı: a b (a b).(a b) 2 26.10.2010 2 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 5 c-) İki Terimin Toplamının ve Farkının Küpü: (a b) a 3a b 3ab b 3 3 2 2 3 (a b) a 3a b 3ab b 3 26.10.2010 3 2 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 2 3 6 d-) İki Küp Farkı ve Toplamı: a b (a b).(a ab b ) 3 3 2 2 a b (a b).(a ab b ) 3 26.10.2010 3 2 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 2 7 **Özdeşlik: n herhangi bir pozitif doğal sayı olmak üzere: x n y n ( x y).( x n1 x n2 y x n3 y 2 ... xy n2 y n1 ) 26.10.2010 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 8 Örnek: x y 7 7 İfadesini çarpanlara ayırınız x7 y 7 ( x y).( x6 x5 y x 4 y 2 x3 y 3 x 2 y 4 xy 5 y 6 ) 26.10.2010 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 9 Örnek: x y 6 6 İfadesini çarpanlara ayırınız x y ( x y).( x x y x y x y xy y ) 6 26.10.2010 6 5 4 3 2 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 2 3 4 5 10 Örnek: x 32 5 İfadesini çarpanlara ayırınız x 2 ( x 2).( x 2 x 4 x 8 x 16) 5 26.10.2010 5 4 3 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 2 11 **Özdeşlik: n tek doğal sayı ise; x n y n ( x y).( x n1 x n2 y x n3 y 2 ... xy n2 y n1 ) 26.10.2010 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 12 Örnek: x 32 5 İfadesini çarpanlara ayırınız x 2 ( x 2).( x 2 x 4 x 8x 16) 5 26.10.2010 5 4 3 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 2 13 3-) ax bx c 2 Biçimindeki Üç Terimlileri Çarpanlara Ayırma: 1.Durum: x 2 nin katsayısı 1 ise, yani a=1 ise; x bx c 2 26.10.2010 İfadesinde çarpımları c, toplamları b olan iki sayı bulunur. Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 14 Örnekler: x 13x 12 2 12 1 x 13x 12 ( x 1).( x 12) 2 ( 12.1=12 =c 26.10.2010 ve 12+1=13=b olduğundan ) Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 15 Örnekler: x 7 x 12 x 2 7 x 10 x 16 x 60 x 10 x 16 2 2 2 x2 x 2 x 2x 8 2 26.10.2010 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 16 2.Durum: x 2 nin katsayısı 1 den farklı ise: Örnek: 6x x 2 İfadesini çarpanlara ayırınız. 6x x 2 -3x+4x=x olduğundan; 2 2 3x 2 2x -1 26.10.2010 6 x x 2 (3x 2).(2 x 1) 2 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 17 Örnekler: 5a 4a 12 12 x 20 x 25 8 x 2 x 15 6 x 5 x 25 2 2 2 26.10.2010 2 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 18 Değişken Değiştirerek Çarpanlara Ayırma: Örnek: x 10 x 21 4 2 İfadesini çarpanlarına ayırınız Çözüm: x 10 x 21 ( x ) 10 x 21 4 2 2 2 2 x2 u u 2 10u 21 (u 3).(u 7) 3 7 ( x 2 3).( x 2 7) 26.10.2010 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 19 Örnek: (3x 1)2 (3x 1) 6 İfadesini çarpanlarına ayırınız Çözüm: 3x 1 u u u 6 (u 3).(u 2) 2 -3 2 (3 x 1 3).(3 x 1 2) (3x 4).(3 x 1) 26.10.2010 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 20 Polinomlarda E.K.O.K ve E.B.O.B En az iki polinomun e.k.o.k. u bulunurken; 1-) Verilen polinomlar çarpanlara ayrılır 2-) Ortak olanların en büyük üslüleri ve ortak olmayanların çarpımı ile e.k.o.k. bulunur. Örnek: P( x) 6.( x 1)2 .( x 1) Q( x) 10.( x 1).( x 1)3 ise bu polinomların e.k.o.k. u: E.k.o.k.[ P( x); Q( x)] 30.( x 1) .( x 1) 2 26.10.2010 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 3 21 En az iki polinomun e.b.o.b. u bulunurken; 1-) Verilen polinomlar çarpanlara ayrılır 2-) Ortak bölenlerin en küçük üslüleri alınıp çarpılarak e.b.o.b. bulunur. Örnek: P( x) 6 x.( x 1) Q( x) 15 x 2 .( x 1) 2 İse bu polinomların e.b.o.b. u; E.b.o.b.[ P( x); Q( x)] 3x.( x 1) 26.10.2010 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 22 Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi: B ( x ) 0 olmak üzere; P( x) B( x) rasyonel ifadesinin payı ve paydası ayrı ayrı çarpanlarına ayrılır. Ortak çarpanlar sadeleştirilir. 26.10.2010 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 23 Örnek1: x 2 25 x5 İfadesini sadeleştiriniz. Çözüm: x 5 x5 2 26.10.2010 2 ( x 5).( x 5) x 5 ( x 5) Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 24 Örnek2: x3 1 x2 x 1 İfadesini sadeleştiriniz. Çözüm: x3 13 ( x 1).( x 2 x 1) x 1 2 2 x x 1 x x 1 26.10.2010 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 25 Örnek3: 2 x3 16 ( x 2 4).( x 2 2 x 4) İfadesini sadeleştiriniz. Çözüm: 2.( x3 8) ( x 2 4).( x 2 2 x 4) 2.( x3 23 ) 2 2 ( x 2 ).( x 2 2 x 4) 2 2.( x 2).( x 2 2 x 4) 2 ( x 2).( x 2).( x 2 x 4) x2 26.10.2010 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 26 Örnek4: 2ax 2 2abx 2ax ax ab a ifadesini sadeleştiriniz. Çözüm: 2ax 2 2abx 2ax ax ab a 26.10.2010 2ax( x b 1) a.( x b 1) Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 2x 27 Örnek5: a 3 b3 (a b)2 ab ifadesini sadeleştiriniz. Çözüm: a 3 b3 (a b)2 ab (a b).(a 2 ab b 2 ) 2 a 2ab b 2 ab (a b).(a 2 ab b 2 ) a b 2 2 a ab b 26.10.2010 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 28 Örnek6: 2 x2 x 1 2 x 1 : 2 x 1 x 1 ifadesini sadeleştiriniz. Çözüm: 2 x 2 x 1 (2 x 1).( x 2) 2x -1 x 1 2 x 2 x 1 2 x 1 (2 x 1).( x 2) . x 1 : 2 ( x 1).( x 1) 2 x 1 x 1 x 1 x2 x 1 26.10.2010 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 29 Örnek7: a 2 2a 3 a 1 : 2 a 5a 6 a 2 ifadesini sadeleştiriniz. Çözüm: 3 -1 a 2 2a 3 a 1 a 1 (a 3).(a 1) a 2 : . 2 a 5a 6 a 2 a 1 (a 2).(a 3) a 1 2 26.10.2010 3 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 30 Örnek8: x.( x 2) 4 x3 8 : 2 2 x x x x2 ifadesini sadeleştiriniz. Çözüm: x 2 2 x 4 x3 23 x2 2 x 4 x2 x 2 : 2 . 3 3 x.( x 1) x x 2 x.( x 1) x 2 -2 1 2 x2 2 x 4 x2 x 2 x 2x 4 ( x 2).( x 1) . . x.( x 1) ( x 2).( x 2 2 x 4) x.( x 1) ( x 2).( x 2 2 x 4) 26.10.2010 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 1 x 31 Rasyonel Denklemler: P( x) 0 denklemine B ( x ) 0 olmak üzere; B( x) rasyonel denklem denir. ise ( P(x)=0 ve B(x)≠0 ) eşitliğini sağlayan x sayılarının her birine denklemin kökü, P( x) 0 köklerin oluşturduğu kümeye de çözüm B( x) kümesi denir. 26.10.2010 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 32 Örnek1: x 2 4 2 x 1 x 2 x 3x 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: x 2 4 x.( x 2) 2.( x 1) 4 2 x 1 x 2 x 3x 2 ( x 1).( x 2) ( x 1).( x 2) ( x 1).( x 2) (x-2) (x-1) -2 -1 x2 2 x 2 x 2 4 ( x 1).( x 2) ( x 1).( x 2) 26.10.2010 x 2 4 x2 6 x 6 Ç { 6, 6} 2 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 33 Örnek2: 7x 3 x2 x 6 ifadesini basit kesirlerin toplamı biçiminde yazınız. Çözüm: 7x 3 7x 3 x 2 x 6 ( x 3).( x 2) 3 A B x3 x2 x-2 -2 x+3 A.( x 2) B( x 3) A.x 2. A B.x 3.B ( A B).x 2. A 3.B ( x 3).( x 2) ( x 3).( x 2) ( x 3).( x 2) A B 7 2. A 3.B 3 26.10.2010 17 5 18 B 5 A 7x 3 17 18 2 x x 6 5 x 15 5 x 10 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi İbrahim KOCA 34 Örnek3: (2001-ÖSS) 10 x 5 A B x2 4x 5 x 5 x 1 olduğuna göre, A – B kaçtır? Çözüm: 10 x 5 10 x 5 A B 2 x 4 x 5 ( x 5).( x 1) x 5 x 1 x+1 -5 A.( x 1) B.( x 5) ( x 5).( x 1) x-5 1 A.x A B.x 5B ( x 5).( x 1) A B 10 A 5B 5 26.10.2010 ( A B).x A 5B ( x 5).( x 1) 15 15 2 A B 5 2 B 2 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi A İbrahim KOCA 5 10 5 2 2 35