doğal sđstemlerđn güç kanunu davranışı

advertisement
14. ULUSAL MAKĐNA TEORĐSĐ SEMPOZYUMU, UMTS2009
Orta Doğu Teknik Üniversitesi Kuzey Kıbrıs Kampusu, 2-4 Temmuz 2009
DOĞAL SĐSTEMLERĐN GÜÇ KANUNU DAVRANIŞI
Barış Yıldız*, Serhan Özdemir** ve Belgin Ergenç*
(*) Đzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü, 35430 ĐZMĐR
(**) Đzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Makine Mühendisliği Bölümü, 35430 ĐZMĐR
barisyildiz@iyte.edu.tr, serhanozdemir@iyte.edu.tr, belginergenc@iyte.edu.tr
ÖZET
Bu yazıda doğal sistemlerin güç kanunu davranışı tartışılmıştır. Güç kanununa uyduğu bilinen iki
örnek sistem sunulmuştur. Durum çalışması olarak da ECG verisi güç kanunu bakış açısıyla
işlenmiştir. Hastaların ECG verisi sıklık etki alanında incelenmiştir. Sağlıklı kalbin ritim bozukluğu
olan kalbin tersine belirli bir sıklık aralığında neredeyse sabit güç tayfına sahip olduğu
görülmüştür. Sonuçlar ritim bozukluğu olan kabin güç kanunu ilişkisine sahip olduğunu
göstermiştir.
Anahtar Sözcükler: Kalp ritim bozukluğu, güç kanunu
POWER-LAW BEHAVIOR OF NATURAL SYSTEMS
ABSTRACT
In this paper power-law behavior of natural systems is discussed. Two example systems known to
have power-laws are presented. As a case study, ECG data is processed through a power law
perspective. ECG data of patients are analyzed in frequency domain. It is seen that normal heart
rhythm has a power spectra that remains almost constant through a frequency range, in contrast to
the spectra of the ECGs of patients with arrhythmia. Results show that arrhythmic heart dynamics
has a power-law relationship.
Keywords: Arrhythmia, power-law
1. GĐRĐŞ
Güç kanunu fonksiyonları birçok doğal
sürecin
ölçeklenme
davranışının
modellenmesinde
kullanılmaktadır.
Bu
fonksiyonlar tek değişkenli polinomlardır ve
ölçeklemeyle değişimsizlik özelliğini gösterir.
Temelde güç kanunu fonksiyonları
y=axk+ε
(1)
olarak verilir. Burada a ve k sabitlerdir. K
ölçekleme katsayısı olarak bilinir. Güç
kanunun en önemli özelliklerinden biri olan
ölçeklemeyle
değişimsizlik
özelliğini
aşağıdaki gibi örnekleyebiliriz.
f(cx)=a(cx)k=ckf(x)~f(x)
(2)
Bu davranış eşitliğin her iki tarafının da
logaritması alındığında doğrusal bir ilişki
üretmektedir. Log-log grafiklerde düz bir
çizgi ortaya çıkar ve bu genelde güç
kanununun parmak izi olarak adlandırılır.
Gelir dağılımı, aile soyadları, sözcüklerin
kullanımı, şehirlerin nüfusu gibi birçok doğal
olmayan ve biyolojik canlılarda soy
tükenmesi, yangınlar, depremlerin büyüklüğü
gibi birçok doğal olarak gerçekleşen olaylar
güç kanunu dağılımına göre dağılmıştır. Bir
sistemdeki bir niteliğin güç kanunu dağılışı
güçsüz ya da küçük oluşumların sık olduğuna
buna karşın güçlü ya da büyük oluşumların ise
nadir gerçekleştiğine işaret eder [1-3].
Bazı karmaşık sistemlere kolay açıklamalar
sağlamasından dolayı bu özellikteki sistemler
hakkında araştırmalar gözde olmuştur.
Kalbimiz de üzerine birçok çalışma yapılan
karmaşık bir sistemdir. Bu çalışmada ise
sağlıklı ve ritim bozukluğu olan kalp ECG’leri
incelenmiştir. Bu bölümün ardından, 2.
bölümde yangınlar ve depremler güç kanunu
davranışları açısından sunularak durum
çalışmamız için öngörü oluşturulmaya
çalışılmıştır.
Ardından,
çalışmamızın
sonuçları verilerek yazı sonlandırılmıştır.
2.
GÜÇ
KANUNU
SĐSTEMLER
DAVRANIŞLI
Yazının bu kısmında yangınlardan ve
depremlerden söz edilmektedir. Depremler
daha fazla olmakla birlikte bu iki sistem bilim
insanları arasında oldukça gözdedir. Bilim
adamları bu iki sistemin güç kanununa
uyduğunda
hemfikirdir.
Depremlerin
büyüklüğü ve yangınlardaki kayıp ya da
hasarın sıklığı güç kanununa göre dağılmıştır.
2.1. Yangınlar
Genelde ısını etkisiyle bir madde ve oksijenin
hızlı kimyasal tepkimesine ateş, zarara yol
açan büyük ateşe ise yangın denir. Basitçe,
yangınlar orman yangınları ve şehir yangınları
olarak ikiye ayrılır. Orman yangınlarında
hasar yanan alan ile ölçülürken, şehir
yangınlarında hasar parasal hasar ya da
insanlar üzerindeki etkisi gibi farklı biçimde
ölçülür. Hem şehir yangınlarının hem de
orman yangınlarının güç kanunu dağılışına
sahip olduğu benimsenmiştir. Eğer orman
yangınlarında yanan alan genişliği olarak
ölçülürse sıklık genişlik dağılımı iyi bir güç
kanunu sağlamaktadır [4].
Orman yangınlarının birçok büyüklükte
mükemmel güç kanunu dağılımı gösterdiği
[5]’te gösterilmiştir. ABD ve Avustralya’daki
orman yangınlarının birikimli olmayan sıklık
alan istatistikleri incelenmiştir. Sıklık alan
istatistikleri ölçekleme katsayısı 1,3 ile 1,5
arasında değişen güç kanunu dağılımı
vermektedir. 1986 ve 1995 arasında BD Fish
ve Doğal Yaşam Servis Alanları’ndaki 4284
yangının güç kanunu dağılımı şekil 1 de
gözlemlenebilmektedir.
Şekil 1. Yangınların güç kanunu davranışı
Kayıp
açısından
bakıldığında
orman
yangınlarından farklı olan şehir yangınları da
güç kanunu dağılımına sahiptir. 1986 ile 1995
arasında Çin’deki şehir yangınlarının 2,1
ölçekleme katsayısıyla güç kanunu dağılımına
uyduğu [4]’te gösterilmiştir. Çalışmada Anhui
eyaleti ve ülkenin tamamı için benzer güç
kanunu özellikleri ortaya çıkarılmıştır.
Buradan yangınların değerlendirilen alan
ölçeğinde değişimsizlik gösterdiği sonucuna
varılabilir. Buna ek olarak değişik zaman
aralıklarındaki güç kanunu ilişkisinin benzer
olduğu [4]’te gösterilmiştir. Bu da şehir
yangınlarının zaman ölçeğinde değişimsizliğe
sahip olduğu sonucuna varılabilir.
2.2. Depremler
Depremler yeryüzü plakalarının birbirine
doğru hareketinden kaynaklanan stresin doğal
olarak atılmasının yoludur. En gözde güç
kanunu ilişkilerinden biri depremlerde
gözlenmektedir. Yıllardır depremlerin küresel
olarak Gutenberg-Richter (GR) ölçeklemesine
uyduğu kabul edilir [5]. GR ölçeklemesi
depremlerin sıklığının ve büyüklüğünün güç
kanununa dağılımını belirtir [1,3]. Bir bölgede
meydana gelen depremlerin oranı genel olarak
GR sıklık büyüklük ilişkisini sağlar.
log NCE=-bM+log a
(3)
Burada NCE, belirli bir alan ve zamanda
M’den büyük depremlerin birikimli sayısıdır.
a ve b sabitlerdir. Genelde b 0,8 ile 1,2
arasında değişir. a ise hesaba katılan alanın
sismik düzeyinin ve alan genişliğinin
ölçüsüdür [6].
1980 ile 1994 yılları arasındaki Güney
Kalifornia depremleri [5]’te incelenmiştir.
Sonuçlar b=1,05 ve a=2,06x105 yıl-1 olacak
şekilde
GR
güç
kanunu
ilişkisini
göstermektedir. Buna ek olarak, şekil 2 de
görüleceği gibi değişik zaman dilimlerinde
(1980-1984, 1985-1989, 1990-1994) birbirine
benzer güç kanunu ilişkisi elde edilmiştir.
Buradan sismik olayların yıldan yıla düzenli
dağıldığı ve zamanın fonksiyonu olmadığı
sonucuna ulaşılabilir.
elde edilmiştir ve 7680 ölçüm noktasına
sahiptir. Ölçümler 60 saniye boyunca
alınmıştır.
Öncelikle, sağlıklı olduğu rapor edilen
kişilerin ECG verisi incelenmiştir. Şekil 3’te
elektriksel
sinyalin
zamanla
değişimi
verilmektedir. Şekil 4’te ise güç tayfı
analizinin log-log çizimi verilmektedir.
Burada x ekseni sıklık ve y ekseni desibel
cinsinden gücü vermektedir. Grafiklerden de
gözlemleneceği gibi sağlıklı kişilerin ECG
verisi güç kanunu sergilememektedir.
Şekil 3. Sağlıklı kişinin ECG verisinin zamanda
grafiği
Şekil 2. Depremlerin güç kanunu davranışı
3.
DURUM
ÇALIŞMASI:
RĐTĐM
BOZUKLUĞU OLAN ECG VERĐSĐNĐN
ANALĐZĐ
Temelde kalbin düzensiz atışına ritim
bozukluğu (arrhythmia) denir. Kalbin yavaş
veya hızlı atışlarını içermektedir. Çoğu
durumda ritim bozukluğu çok zararlı değildir
ancak yaşamsal organlara yeterli kan
sağlanmadığında zarar verici olabilir. Kalp
yukarıdan aşağıya hareket eden elektriksel bir
pompadır. Kalpteki bu elektriksel işaretin
dağıtımındaki bir sorun düzensiz atışa neden
olabilir [7].
Çalışmamızda 8 kişinin [8,9]’dan elde edilen
ECG verisi incelenmiştir. Bu 8 kişiden 3’ü
sağlıklı ve 5’i ritim bozukluğuna sahip olarak
bildirilmiştir. Ritim bozukluğu gözlenen ECG
verisi 360 Hz de alınmıştır ve toplamda 21800
ölçüm
noktası
içermektedir.
Sağlıklı
Kişilerden alınan ECG verisi ise 128 Hz de
Şekil 4. Sağlıklı kişinin ECG verisnin güç tayfında
log-log grafiği
Sağlıklı kişilerin verisinin incelenmesinin
ardından ritim bozukluğuna sahip olduğu
rapor
edilmiş
kişilerin
ECG
verisi
incelenmiştir. Şekil 5’te zamana karşı
elektriksel değişimin çizimi veriliştir. Şekil
6’da güç tayfı analizinin log-log çizimi
verilmektedir. Burada x ekseninde sıklık ve y
ekseninde güç verilmektedir. 5 hastanın
tamamının ECG verisi güç kanunu
sergilemektedir. Güç kanunu dağılımının
parmak izi olarak bilinen doğrusal çizgi şekil
6’da görülebilmektedir. Ritim bozukluğundaki
güç kanunu dağılımları 1,7 ile 2,0 arasında
değişen ölçekleme katsayısına sahiptir. Đlginç
olan bir sonuç da ritim bozukluğu olan kalp
verisinin
güç
kanunun
ölçeklemeyle
değişimsizlik özelliğini sağlamasıdır. Şekil 7
de toplamda 21800 ölçüm noktasına sahip
verinin ilk 1000 ölçüm değerleri alınarak
yapılan güç tayfı analizin sonucu verilmiştir.
Burada güç kanunu ilişkisinin bütün
ölçümlerle yapılan analizdeki ilişkiye
benzerliği açıkça görülmektedir.
Şekil 5. Ritim bozukluğu olan kişinin ECG verisinin
zamanda grafiği
Şekil 6. Ritim bozukluğu olan kişinin ECG verisinin
güç tayfında log-log grafiği
Şekil 7. Ritim bozukluğu olan kişinin ECG verisinin
ilk 1000 ölçüm noktası için güç tayfında log-log
grafiği
4. SONUÇ
Bu yazıda sağlıklı ve ritim bozukluğuna sahip
ECG verisi çalışması verilmiştir. Güç kanunu
ilişkisi, bu özelliğe sahip olduğu kabul edilen
iki doğal olay örnek verilerek açıklanmıştır.
Durum çalışması, ritim bozukluğuna sahip
kalbi, yangın ve deprem dinamikleriyle
ilişkilendirebileceğimiz
sonuçlar
ortaya
koymuştur. Buna karşın sağlıklı kalp güç
kanunu ilişkisi göstermemiştir.
Depremler, yangınlar ve ritim bozukluğuna
sahip kalpte ortak olabilecek noktanın ne
olduğunun bulunması araştırılmaya değer bir
konu olarak gözükmektedir. Buna bir
yaklaşım ritim bozukluğu olan kalpte
büyüklüğü sıklığa ters orantılı birçok ufak
deprem meydana geldiği olabilir.
Bu konuda ortak bir kanı olmamasına karşın
genelde güç kanunu davranışı gösteren sistem
“Self-Organized Criticality” olarak bilinen
kavramla ilişkilendirilmektedir. Daha önceki
çalışmada ise ritim bozukluğu olan kalbin
yalnız güç kanunu davranışı üzerinde
durulmaktadır [10]. Örnek olarak kalbi
depremlerle ilişkilendirdiğimizde ise şu
yorum yapılabilir. Ufak depremlerin sık
büyük depremlerin seyrek olması biriken
gerilimin kısa zamanda atılması ve sonuçta
daha az zarar vermesi anlamına gelir. Sürekli
ufak depremlerin olmadığı bir durum
düşünüldüğünde biriken gerilimin bir anda
atılmasının daha zarar verici olacağı açıktır.
Bu durumda ritim bozukluğu olan insanlarda
kalbin kendini daha büyük bir sorundan
koruma mekanizması olduğu öne sürülebilir.
Bu bağlamda ritim bozukluğu olan kişilerde
kalp krizi görülme olasılığının araştırılması
ileriye
yönelik
bir
çalışma
olarak
görülmektedir.
KAYNAKÇA
1.
2.
3.
4.
Bak, P., How Nature Works, Springer-Verlag, New York, 1996
Boccara, N., Modeling Complex Systems, Springer-Verlag, New York, 2004
Jensen, H.J., Self-Organized Criticality, Cambridge University Press, Cambridge, 1998
Song, W.G., Zhang, H.P., Chen, T., Fan, W.C., “Power-law distribution of city fires”, Fire
Safety Journal, Elsevier, 2003, 453-465
5.
Malamud, B.D., Turcotte, D.J., “Cellular-Automata Models Applied to Natural Hazards”,
Computing in Science & Engineering, IEEE, 2000, 42-51
6.
Turcotte, D.J., Malamud, B.D., “Landslides, forest fires, and earthquakes: example of selforganized critical behavior”, Physca A, Elsevier, 2004, 580-589
7.
How
the
Heart
Works,
http://www.nhlbi.nih.gov/health/dci/Diseases/hhw/hhw_whatis.html, National Heart
Lung and Blood Institute, Mart 2009
8.
The
MIT-BIH
Arrhythmia
Database,
http://www.physionet.org/physiobank/database/mitdb/, National Institutes of Health,
Ocak 2009
9.
The
MIT-BIH
Normal
Sinus
Rhythm
Database,
http://www.physionet.org/physiobank/database/nsrdb/, National Institutes of Health, Ocak
2009
10.
Luo, S., Urrusti, J.L., Tompkins, W.J., “ECG Arrhythmia Analysis Based on Inverse
Power-law Spectra”, Engineering in Medicine and Biology Society, 1993. Proceedings of the
15th Annual International Conference of the IEEE,1993, 798-799, 28-31 Ekim 1993
Download