mtk 491 olasılık uygulama 3

MTK 491 OLASILIK
UYGULAMA 3
(0506)
1. Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangileri olasılık ya da olasılık yoğunluk fonksiyonudur?
−x
λ
a) f (x ) = λ e ,
x>0
f (x ) = 3e −3x ,
x>0
= 0,
x≤0
−1
b)
f (x ) = (1 − p) x −1 , x = 1,2,3,...
c)
= 0,
ö.d.
f (x ) = (5 − x ) 10 , x = 1,2,3,4
d)
= 0,
ö.d.
Cevap : b ve d olasılık ya da olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
2.
f (x ) = ce −3x ,
= 0,
x>0
x≤0
veriliyor.
a) c=?
b) F(x ) = ?
c) P(− 1 < X ≤ 6) olasılığını olasılık yoğunluk fonksiyonundan ve dağılım
fonksiyonundan yararlanarak bulunuz.
d) P(X ≤ 26) = ? , P(X > 1) = ?
Cevap :
F(x ) = 1 − e −3 x , x > 0,
a)c=3; b)
= 0,
x ≤ 0 ; c) 0.9999; d) 1, 0.04979.
= 1,
x→∞
3.
x2
,
c
= 0,
f (x ) =
x = 1,2,3,4,
veriliyor.
ö.d.
a) c sabitinin değerini bulunuz.
b) F(x ) = ?
c) P(X = 2) , P(X > 1) , P(X ≥ 1) olasılıklarını hem dağılım hem de olasılık
fonksiyonundan yararlanarak bulunuz.
d) Bulduğunuz dağılım fonksiyonundan yararlanarak olasılık fonksiyonuna geçiniz.
Cevap :
F(x ) = 0,
= 1 / 30,
a)c=30; b)
= 5 / 30,
= 14 / 30,
= 1,
x < 1,
1≤ x < 2
2 ≤ x < 3 ; c) 4/30, 29/30, 1.
3≤ x < 4
4≤x
4.
x
, 0 < x ≤ 1,
2
1
= ,
1 < x ≤ 2,
veriliyor.
2
3− x
=
, 2<x≤3
2
= 0,
ö.d.
f (x ) =
a) F(x ) = ?
b) P(0 < X < 2.5) = ?
c) Bulduğunuz dağılım fonksiyonundan yararlanarak olasılık yoğunluk fonksiyonuna
geçiniz.
Cevap:
F(x ) = 0,
x < 0,
2
= x / 4,
a)
0 < x ≤1
= (1 / 4 ) + (( x − 1) / 2 ),
1< x ≤ 2
(
; b) 0.9375.
)
= (1 / 4 ) + (1 / 2 ) + (3x / 2 ) + x / 4 , 2 < x ≤ 3
2
= 1,
3≤ x
5. X ve Y raslantı değişkenlerinin bileşik olasılık fonksiyonu aşağıda verilmiştir.
x
y
0
1
2
0 1/2 1/4 0
1 0 1/8 1/8
a) Marjinal dağılımları bulunuz.
b) P(X = 1, Y = 0) = ? , P(X = 1) = ? , P(Y = 0) = ? , P(X ≤ 1) = ?
c) Y raslantı değişkeninin 1 değerini aldığını bilindiğine göre X raslantı değişkeninin
koşullu dağılımını bulunuz.
6.
f (x , y ) = kx ( x − y), 0 < x < 1, - x < y < x
= 0,
ö.d.
veriliyor.
a) k=?
b) f (x ) = ?, f (y ) = ?
Cevap: a) 2; b)...
7.
f (x , y ) = 24 xy, 0 < x < 1, 0 < y < 1, x + y < 1
veriliyor. P(X + Y < 0.5) = ?
= 0,
ö.d.
Cevap: 1/16.
8.
f (x , y ) = 24 y(1 − x − y), x > 0, y > 0, x + y < 1
= 0,
ö.d.
değişkenleri bağımsız mıdır?
veriliyor.
f (x ) = ?, f (y ) = ?
Bu
raslantı
9.
f (x , y ) = 0.25(2 x + y), 0 < x < 1,0 < y < 2
veriliyor. f (x ) = ?, f (y ) = ? Bu raslantı değişkenleri
= 0,
ö.d.
bağımsız mıdır? f (x Y > 1) = ? F(x Y > 1) = ?