DcIFERENScIYEL DENKLEMLERcIN KLZMML

T.C.
SÜLEYMAN DEMI·REL ÜNI·VERSI·TESI·
FEN BI·LI·MLERI· ENSTI·TÜSÜ
DUHAMEL ÇARPIMLI I·NTEGRO-DI·FERENSI·YEL
DENKLEMLERI·N ÇÖZÜMLERI·NI·N VARLIK VE TEKLI·K
PROBLEMLERI·
Sevim ACAR
Dan¬şman: Yrd. Doç. Dr. Suna SALTAN
YÜKSEK LI·SANS TEZI·
MATEMATI·K ANABI·LI·M DALI
ISPARTA, 2010
I·ÇI·NDEKI·LER
Sayfa
I·ÇI·NDEKI·LER....................................................................................................
i
ÖZET...................................................................................................................
ii
ABSTRACT........................................................................................................
iv
TEŞEKKÜR........................................................................................................
vi
SI·MGELER DI·ZI·NI·............................................................................................
vii
1: GI·RI·Ş..............................................................................................................
1
1:1: Temel Kavramlar..........................................................................................
4
2: ANALI·TI·K FONKSI·YONLARIN DUHAMEL ÇARPIMI.............................
7
2:1: Banach Cebiri Örne¼
gi...................................................................................
14
3: ANALI·TI·K UZAYLARDA I·NTEGRAL OPERATÖRÜNÜN KOMUTANTI
17
3:1: J Operatörünün Komutantlar¬....................................................................
19
3:2: A(D) Uzay¬n¬n I·zomor…zmleri......................................................................
25
4: I·NTEGRO-DI·FERENSI·YEL DENKLEM SI·STEMI·NI·N ÇÖZÜMÜ..............
28
5: KAYNAKLAR.................................................................................................
35
ÖZGEÇMI·Ş.......................................................................................................... 37
i
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
DUHAMEL ÇARPIMLI I·NTEGRO-DI·FERENSI·YEL DENKLEMLERI·N
ÇÖZÜMLERI·NI·N VARLIK VE TEKLI·K PROBLEMLERI·
Sevim ACAR
Süleyman Demirel Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬
Dan¬şman: Yrd. Doç. Dr. Suna SALTAN
Bu çal¬şma dört bölümden oluşmaktad¬r.
I·lk bölümde, Duhamel çarp¬m¬ ile ilgili bilgi verilmiş ve konunun tarihi gelişimine
de¼
ginilmiştir. Lineer operatör, kompakt operatör, Banach uzay¬, Banach cebiri ve analitik fonksiyon gibi temel kavramlar tan¬mlanm¬şt¬r.
I·kinci bölümde, Duhamel çarp¬m¬tan¬mlanm¬ş ve analitik fonksiyonlar uzay¬n¬n Duhamel çarp¬m¬na göre bir cebir oldu¼
gu gösterilmiştir. Analitik fonksiyonlar uzay¬ndaki
bir f fonksiyonunun Duhamel anlam¬nda tersinin olmas¬için gerekli ve yeterli koşulun
f (0) 6= 0 oldu¼
gu ispatlanm¬şt¬r. Daha sonra bir Banach cebiri örne¼
gi verilmiştir.
Üçüncü bölümde, J integral operatörü ele al¬nm¬ş ve bu operatörün komutant¬belirlenmiştir. Bu komutant¬n hangi koşul alt¬nda terse sahip oldu¼
gu incelenerek
'( )x(z) +
Zz
0
' (z +
t)x(t)dt = g(z)
denkleminin çözülebilir ve bu çözümün tek oldu¼
gu gösterilmiştir.
Dördüncü bölümde ise,
Zz
n
X
d
fij (z +
dz
t) xj (t) dt = gi (z) ;
j=1
ii
i = 1; 2; :::; n
integro-diferensiyel denklem sisteminin çözülebilir olmas¬için gerek ve yeter şart verilmiştir. Ard¬ndan bu sistemin çözümünün tekli¼
gi ispatlanm¬şt¬r.
Anahtar Kelimeler: Duhamel çarp¬m¬, - Duhamel çarp¬m¬, integro diferensiyel denklem sistemi, komutant, integral operatörü.
2010, 37 sayfa
iii
ABSTRACT
M.Sc. Thesis
EXISTENCE AND UNIQUENESS PROBLEMS OF SOLUTIONS OF
INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DUHAMEL
PRODUCT
Sevim ACAR
Süleyman Demirel University
Graduate School of Applied and Natural Sciences
Mathematics Department
Supervisor: Asst. Prof. Dr. Suna SALTAN
This thesis is composed of four chapters.
In the …rst chapter, Duhamel product is mentioned and also historical development of
the topic is noticed. Basic consepts such as linear operator, compact operator, Banach
space, Banach algebra and analytic function are de…ned.
In the second chapter, Duhamel product is de…ned and it is shown that the space of
analytic functions is an algebra with respect to Duhamel product. It is proved that
any f function in the space of analytic functions has inverse with respect to Duhamel
product if and only if f (0) 6= 0.
In the third chapter, the integral operator J
is treated and the commutant of the
operator is established. It is examined under which condition the commutant has an
inverse. Thus, it is shown that the equation
Zz
0
'( )x(z) + ' (z +
t)x(t)dt = g(z)
is solvable and the solution is unique.
In the …nal chapter, necessary and su¢ cient condition is given for the integro-di¤erential
equation system
Zz
n
X
d
fij (z +
dz
t) xj (t) dt = gi (z) ;
j=1
iv
i = 1; 2; :::; n
is solvable. Then, the uniqueness of the equation system is proved.
Key Words: Duhamel product, -Duhamel product, integro-di¤erential equation system, commutant, integral operator.
2010, 37 pages
v
TEŞEKKÜR
Bu çal¬şman¬n belirlenmesi ve yürütülmesi esnas¬nda ilgi ve alakas¬n¬esirgemeyen, dan¬şman hocam Yrd. Doç. Dr. Suna SALTAN’a teşekkürlerimi sunar¬m.
Ayr¬ca bu çal¬şma 1915-YL-09 nolu proje kapsam¬nda Süleyman Demirel Üniversitesi
Bilimsel Araşt¬rma Projeleri Koordinasyon Birimi taraf¬ndan desteklenmiştir. Bu desteklerinden dolay¬SDÜBAP’a teşekkür ederiz.
Sevim ACAR
ISPARTA, 2010
vi
SI·MGELER DI·ZI·NI·
C
Kompleks say¬lar kümesi
KerA
A n¬n çekirde¼
gi
D(z0 ; r)
z0 merkezli r yar¬çapl¬aç¬k disk
Hol(D)
Analitik fonksiyonlar uzay¬
Konvolüsyon çarp¬m¬
~
Duhamel çarp¬m¬
D';
-Duhamel operatörü
J
Integral operatör
0
fJ g
J operatörünün komutant¬
p(x)
X üzerindeki yar¬norm
vii
1: GI·RI·Ş
Operatör kalkülüsünün temeli 19: yüzy¬l¬n başlar¬na kadar uzan¬r. Pekçok bilimadam¬(Leibniz, Lagrange, Cauchy, Laplace, Boole vd.) operatör kalkülüsün yöntemlerini uygulamac¬lar¬n kullan¬m¬na sunmuş olsa da, bunun …zikteki ve teknik
problemlerdeki sistematik kullan¬m¬ ilk olarak Oliver Heaviside’¬n çal¬şmalar¬
ile ortaya konulmuştur. Heaviside, operatör kalkülüsü elektrodinamik ve elektrik mühendisli¼
ginin önemli problemlerine başar¬l¬şekilde uygulam¬şt¬r. Operatör kalkülüse farkl¬bir yaklaş¬m¬, 1930 da cebirsel mant¬g¼¬kullanarak Polonyal¬
matematikçi Jan Mikusinski geliştirmiştir (Mikusinski, 1956; Krabbe, 1970).
Mikusinski taraf¬ndan ifade edilen,
(f
g)(z) =
Zz
f (z
t)g(t)dt
0
konvolüsyon çarp¬m¬pek çok analiz problemi ve bunlar¬n uygulamalar¬nda kayda
de¼
ger bir öneme sahiptir (Mikusinski, 1956).
Konvolüsyon çarp¬m¬Heaviside’¬n operatör kalkülüsüne direkt bir yaklaş¬m olarak
ortaya konulmuştur. Bu yaklaş¬m,
V f (z) =
Zz
f (t)dt
0
Volterra integral operatörü ile konvolüsyon çarp¬m¬aras¬ndaki ba¼
glant¬ya dayan¬r.
Bu ba¼
glant¬, V nin f1g in konvolüsyon operatörü oldu¼
gu ile ifade edilebilir. Yani,
Vf =1 f
dir. Böylece, elde edilen ilişki, farkl¬fonksiyon uzaylar¬nda, Volterra integral operatörünün komutantlar¬n¬n ifade edilmesini sa¼
glar.
Duhamel çarp¬m¬, Mikusinski’nin konvolüsyon çarp¬m¬n¬n türevi olarak tan¬m-
1
lan¬r ve
d
(f ~ g)(z) =
dz
Zz
f (z
t)g(t)dt =
0
Zz
0
f (z
t)g(t)dt + f (0)g(z)
0
şeklinde ifade edilir.
Konvolüsyon çarp¬m¬ gibi, Duhamel çarp¬m¬ da analizin çeşitli problemlerinde
birçok uygulamaya sahiptir.
Örne¼
gin, adi diferensiyel denklemler teorisinde,
matematiksel …zi¼
gin s¬n¬r de¼
ger problemlerinde (Wigley, 1974), Mikusinski’nin
operatör hesab¬nda önemli rol oynar (Mikusinski, 1956).
I·lk olarak Wigley, Hol(D) birim diskdeki analitik fonksiyonlar uzay¬olmak üzere,
Duhamel çarp¬m¬ile birlikte bu uzay¬n cebir oldu¼
gunu incelemiştir (Wigley, 1974).
Daha sonra, (Hol(D); ~) cebirinin kapal¬ideallerinin tan¬mlanmas¬nda Duhamel
çarp¬m¬n¬kullanm¬şt¬r. Wigley ayn¬çal¬şmada matematiksel …zi¼
gin bir s¬n¬r de¼
ger
probleminin tüm çözümlerinin Duhamel çarp¬m¬ taraf¬ndan üretildi¼
gini göstermiştir.
Bir başka çal¬şmas¬nda Wigley, p
1 olmak üzere H p (D) Hardy uzay¬n¬n, Duhamel
çarp¬m¬alt¬nda bir Banach cebiri yap¬s¬belirtti¼
gini ifade etmiştir (Wigley, 1975).
Buradan yola ç¬karak Merry…eld ve Watson, Duhamel çarp¬m¬n¬ kullanarak
H p (D
D) Banach uzay¬n¬n baz¬özelliklerini incelemişlerdir (Merry…eld and Wat-
son, 1991).
Nagnibida (1981), taraf¬ndan yap¬lan çal¬şmada, z0 =
noktas¬na göre y¬ld¬z
şekilli basit ba¼
glant¬l¬ D bölgesindeki analitik fonksiyonlar¬n uzay¬ A(D) olmak
üzere, A(D) uzay¬nda J operatörünün komutantlar¬tan¬mlanm¬şt¬r. Burada J ;
A(D) uzay¬nda tan¬ml¬integral operatörüdür ve aşa¼
g¬daki biçimde ifade edilmektedir:
J f (z) =
Zz
2
f (t)dt
Böylece, A(D) uzay¬ndaki Duhamel çarp¬m¬, f; g 2 A(D) olmak üzere,
d
(f ~ g)(z) =
dz
Zz
f (z +
t)g(t)dt
şeklinde ifade edilmiş ve -Duhamel çarp¬m¬olarak isimlendirilmiştir.
Bu tan¬m gözönüne al¬narak, J operatörünün T komutant¬, T = D'; olmak
üzere, ' 2 A(D) için,
D'; f = f ~ ' =
Zz
0
' (z +
t)f (t)dt + '( )f (z)
şeklindedir. Yani, J operatörünün A(D) uzay¬ndaki komutant¬D'; " -Duhamel
operatörü" dür.
Nagnibida (1984) ve Tkachenko’nun (1979), yapt¬klar¬ çal¬şmalarda
= 0 için
Duha-mel çarp¬m¬n¬n uygulamalar¬na örneklerdir.
Son y¬llardaki, Duhamel çarp¬m¬ uygulamalar¬ Karaev ve Tuna (2004), Karaev
(2005), Karaev ve Saltan (2005), Gürdal (2009) ¬n çal¬şmalar¬nda yer almaktad¬r.
3
1:1: Temel Kavramlar
Tan¬m 1.1.1. X ve Y iki vektör uzay olmak üzere T : X ! Y şeklinde tan¬ml¬
T operatörü verilsin. Her ;
2 C için ve her f; g 2 X için
T ( f + g) = T (f ) + T (g)
eşitli¼
gi sa¼
glan¬yorsa T operatörüne lineer operatör denir (Dunford and Schwartz,
1966).
Tan¬m 1.1.2. X ve Y normlu uzaylar, D(T )
X olmak üzere T : D(T ) ! Y bir
operatör olsun. Verilen " > 0 say¬s¬na karş¬l¬k kx
x0 k <
koşulunu gerçekleyen
her bir x 2 D(T ) için
kT x
olacak şekilde bir
T x0 k < "
> 0 say¬s¬ var ise T operatörüne x0 2 D(T ) noktas¬nda
süreklidir denir.
Her x 2 D(T ) noktas¬nda T sürekli ise, T operatörü süreklidir denir (Kreyszig,
1989).
Tan¬m 1.1.3. T : X ! Y lineer operatör olsun. T alt¬nda Y nin s¬f¬r eleman¬na
dönüşen elemanlar¬n kümesine T nin çekirde¼gi denir ve KerT ile gösterilir. Yani,
KerT = fx 2 T : T (x) = 0g
dir (Kreyszig, 1989).
Tan¬m 1.1.4. X ve Y iki topolojik uzay olsun. X den Y ye sürekli, birebir, örten
ve tersi de sürekli bir T operatörü mevcut ise T ye izomor…zm denir (Kreyszig,
1989).
Tan¬m 1.1.5. X bir metrik uzay olsun. E¼
ger bir M
X kümesinin her dizisinin
yak¬nsak bir alt dizisi varsa ve M ye ait ise M kümesine kompakt küme denir
(Kreyszig, 1989).
4
Tan¬m 1.1.6. X ve Y normlu lineer uzaylar ve T : X ! Y
olsun. Her s¬n¬rl¬M
lineer operatör
X kümesi için T (M ) kompakt ise T operatörüne kompakt
lineer operatör denir (Kreyszig, 1989).
Tan¬m 1.1.7. X normlu vektör uzay¬olsun. X tam ise (yani X deki her Cauchy
dizisi yak¬nsak ise) X uzay¬na Banach uzay¬ denir (Kreyszig, 1989).
Tan¬m 1.1.8. A kompleks (veya reel) vektör uzay¬ olsun. Her x; y; z 2 A ve
her
kompleks (veya reel) say¬s¬için A üzerinde aşa¼
g¬daki özellikleri sa¼
glayan bir
çarp¬m işlemi varsa bu uzaya kompleks (reel) cebir denir.
i) (x:y) = ( x):y = x:( y)
ii) x:(y + z) = x:y + x:z ve (x + y):z = x:z + y:z
ii) x:(y:z) = (x:y):z
E¼
ger A bir cebir ve her x; y 2 A için x:y = y:x oluyorsa A ya de¼gişmeli veya
komütatif cebir denir. A n¬n çarpma işlemine göre etkisiz eleman¬varsa yani her
x 2 A için
x:e = e:x = x
olacak şekilde e 2 A varsa A ya birim elemanl¬cebir ve e ye A n¬n birim eleman¬
(etkisiz eleman¬) denir (Rudin, 1991).
Tan¬m 1.1.9. A cebiri üzerinde tan¬mlanan norm her x; y 2 A için
kxyk
kxk kyk
şart¬n¬sa¼
gl¬yorsa ve A n¬n birim elemana sahip olmas¬halinde
kek = 1
ise A ya normlu cebir denir.
(A; k:k) normlu cebiri tam ise bu normlu cebire Banach cebiri denir.
Burada kxyk
kxk kyk özelli¼
gine normun altçarp¬msal özelli¼gi ad¬verilir (Rudin,
1991).
5
Tan¬m 1.1.10. S
C olmak üzere f : S ! C kompleks fonksiyonu ve z0 2 S
verilsin. O halde f kompleks fonksiyonu z0 noktas¬n¬n bir
D(z0 ; r) = fz 2 C : jz
z0 j < rg
komşulu¼
gunun bütün noktalar¬nda türevlenebilir ise f , z0 noktas¬nda analitiktir
denir.
Başka bir deyişle, f fonksiyonu z0 noktas¬n¬n her D(z0 ; r) komşulu¼
gunda yak¬nsak
1
P
an (z z0 )n Taylor serisine sahip ise f , z0 noktas¬nda analitiktir denir.
n=0
E¼
ger f kompleks fonksiyonu bir S bölgesinin bütün noktalar¬nda analitik ise
f ye S kümesi üzerinde analitiktir denir. f kompleks fonksiyonu C nin tüm
noktalar¬nda analitik ise f ye tam fonksiyon denir (Rudin, 1987).
Teorem 1.1.11. S
C aç¬k bir küme ve f , g S üzerinde analitik fonksiyonlar
olsunlar. Bu durumda
i) f + g fonksiyonu S kümesinde analitiktir.
ii) f:g fonksiyonu S kümesinde analitiktir.
f
iii) g 6= 0 olmak üzere, fonksiyonu S kümesinde analitiktir (Rudin, 1987).
g
Teorem 1.1.12. f fonksiyonu bir z0 noktas¬nda analitik ise, fonksiyonun her
mertebeden türevi de o noktada analitiktir (Rudin, 1987).
Teorem 1.1.13. f fonksiyonu bir z0 noktas¬nda analitik olsun. z0 noktas¬n¬n
komşulu¼
gundaki z ler için, f fonksiyonu
f (z) =
1
X
an (z
z0 )n =
n=0
1
X
f (n) (z0 )
n=0
n!
(z
z0 )n
Taylor aç¬l¬m¬na sahiptir. Bu kuvvet serisi bir D(z0 ; r) diski üzerinde mutlak
yak¬nsak ve bu diskin kompakt alt kümeleri üzerinde düzgün yak¬nsakt¬r (Rudin,
1987).
6
2: ANALI·TI·K FONKSI·YONLARIN DUHAMEL ÇARPIMI
Bu bölümde, birim disk üzerindeki analitik fonksiyonlar uzay¬n¬n baz¬özellikleri
incelenmiş ve Duhamel çarp¬m¬tan¬mlanarak, bu uzay¬n Duhamel çarp¬m¬na göre
bir cebir oldu¼
gu gösterilmiştir.
Daha sonra, analitik fonksiyonlar uzay¬ndaki bir f fonksiyonunun Duhamel anlam¬nda tersinin olmas¬için gerekli ve yeterli koşulun f (0) 6= 0 oldu¼
gu ispatlanm¬şt¬r.
Tan¬m 2.1. D = fz 2 C : jzj < 1g birim disk olmak üzere,
(
Hol(D)= f (z) : f (z) =
1
X
n=0
fb(n)z n
)
kümesine birim disk üzerinde tek de¼gerli analitik fonksiyonlar¬n uzay¬ denir. Burada fb(n), f fonksiyonunun n: Taylor katsay¬s¬d¬r. fb(n) =
f (n) (0)
n!
şeklinde ifade
edilir (Karaev ve Saltan, 2005).
Tan¬m 2.2. ffn gn>0 2 Hol(D) dizisi verilsin. E¼
ger her K
için fn
D kompakt kümesi
f (n ! 1), yani
sup kfn (z)
z2K
f (z)k ! 0; n ! 1
ise, ffn g dizisi f de¼
gerine Hol(D) de düzgün yak¬nsakt¬r veya kompakt yak¬nsakt¬r
denir (Karaev ve Saltan, 2005).
Tan¬m 2.3. Hol(D) birim disk üzerinde tek de¼
gerli analitik fonksiyonlar¬n uzay¬
olmak üzere, f; g 2 Hol(D) için,
(f
g)(z) =
Zz
f (z
t)g(t)dt
0
ifadesine f ve g fonksiyonlar¬n¬n konvolüsyon çarp¬m¬ denir (Krabbe, 1970; Dimovski, 1990).
7
Duhamel çarp¬m¬konvolüsyon çarp¬m¬n¬n türevi olarak ifade edilir.
Tan¬m 2.4. f; g 2 Hol(D) için,
d
(f ~ g)(z) =
dz
Zz
f (z
Zz
t)g(t)dt =
0
0
f (z
t)g(t)dt + f (0)g(z)
(2.1)
0
ifadesine f ve g fonksiyonlar¬n¬n Duhamel çarp¬m¬ denir (Wigley, 1974).
f ve g analitik fonksiyonlard¬r. f (z
t) analitik fonksiyon olup, türevi de analitik
fonksiyondur. Analitik fonksiyonun belirsiz integrali de analitik oldu¼
gundan f ve
g nin Duhamel çarp¬m¬analitik fonksiyondur.
Tan¬m 2.5. f 2 Hol(D) olmak üzere, Hol(D) uzay¬üzerindeki integral operatörü
Zz
f (t)dt
f (t)dt =
Zz X
1
J : f (z) !
0
ile tan¬mlan¬r (Wigley, 1974).
f 2 Hol(D) için
Jf (z) =
Zz
0
=
1
X
n=0
=
1
X
0
fb(n)
Zz
n=0
fb(n)tn dt
tn dt
0
fb(n) n+1
z
n
+
1
n=0
şeklinde olup integral operatörü Hol(D) uzay¬nda analitiktir.
Şimdi Hol(D) uzay¬n¬n Duhamel çarp¬m¬na göre birimli cebir oldu¼
gunu gösterelim.
f; g; h 2 Hol(D) ve
skaler olmak üzere,
8
i) (f ~ g) = ( f ) ~ g = f ~ ( g) oldu¼
gunu gösterelim.
0 z
Z
@ f 0 (z
(f ~ g)(z) =
0
=
Zz
0
f (z
1
t)g(t)dt + f (0)g(z)A
t)g(t)dt + f (0)g(z)
0
= (( f ) ~ g) (z)
0
(f ~ g)(z) =
@
Zz
0
f (z
0
=
Zz
f (z
=
Zz
f (z
0
1
t)g(t)dt + f (0)g(z)A
t)g(t)dt + f (0)g(z)
0
0
t) g(t)dt + f (0) g(z)
0
= (f ~ ( g)) (z).
Her z 2 C için sa¼
gland¬g¼¬ndan (f ~ g) = ( f ) ~ g = f ~ ( g) dir.
ii) f ~ (g + h) = (f ~ g) + (f ~ h) oldu¼
gunu gösterelim.
d
(f ~ (g + h)) (z) =
dz
Zz
d
=
dz
Zz
f (z
t) (g(t) + h(t)) dt
f (z
d
t)g(t)dt +
dz
0
0
Zz
f (z
t)h(t)dt
0
= (f ~ g)(z) + (f ~ h)(z):
Her z 2 C için sa¼
gland¬g¼¬ndan f ~ (g + h) = (f ~ g) + (f ~ h) d¬r.
iii) f ~ (g ~ h) = (f ~ g) ~ h oldu¼
gunu gösterelim.
Bunun için f ~g = a ve g ~h = b olmak üzere a~h = f ~b oldu¼
gunu göstermemiz
9
yeterlidir. Bu sebeple,
d
dz
Zz
d
t)g(t)dt = a(t) ve
dz
f (z
0
olur.
Zz
a(z
t)h(t)dt =
0
Zz
0
t dönüşümü yap¬l¬rsa
Zz
a(z
g(z
t)h(t)dt = b(t)
0
0
olup k = w
Zz
t)h(t)dt =
0
=
@
Zz
Zz
k)g(k)dk A h(t)dt
t
0
0
@
Z0 Z
f (z
1
Zz
f (z
w)g(w
0
f (z
w)g(w
1
t)dwA h(t)dt
t)h(t)dwdt
T
dir. Burada T , 0
t
w
z ile belirlenmiş bir üçgendir. I·ntegral alma s¬ras¬n¬n
de¼
giştirilmesiyle,
Zz
a(z
t)h(t)dt =
Zz
f (z
=
Zz
f (z
0
0
0
w) @
Zw
g(w
0
1
t)h(t)dtA dw
w)b(w)dw
0
elde edilir. Her iki taraf¬n türevi al¬n¬rsa,
d
dz
Zz
a(z
d
t)h(t)dt =
dz
0
Zz
0
yani, f ~ (g ~ h) = (f ~ g) ~ h olur.
Böylece (Hol(D); ~) cebirdir.
10
f (z
t)b(t)dt
Ayr¬ca f (z) = 1, (Hol(D); ~) için birim elemand¬r. g 2 Hol(D) olmak üzere,
Zz
d
(1 ~ g)(z) =
dz
1:g(t)dt = g(z)
0
ve
d
(g ~ 1)(z) =
dz
Zz
g(z
t)1dt =
0
=
Zz
Zz
0
g (z
t)dt + g(0)1
0
z
dg(z
t) + g(0)1 =
g(z
t) j +g(0) = g(z)
0
0
dir. Buradan 1 ~ g = g ~ 1 = g oldu¼
gu görülür. Yani f (z) = 1 birim elemand¬r.
O halde (Hol(D); ~) birimli cebirdir.
Bu son özellik konvolüsyon çarp¬m¬n¬n de¼
gişme özelli¼
ginden direkt olarak da elde
edilebilir.
Uyar¬: Hol(D) uzay¬ Duhamel çarp¬m¬na göre birim elemana sahip olmas¬na
ra¼
gmen konvolüsyon çarp¬m¬na göre birim elemana sahip de¼
gildir. Gerçekten,
(f
g)(z) =
Zz
f (z
t)g(t)dt
0
eşitli¼
ginde z = 0 için integral s¬f¬r olur. Dolay¬s¬yla F
f =f
F = 1 olacak
şekilde bir F bulunamaz.
Duhamel çarp¬m¬nda ise,
(f ~ g)(z) =
Zz
0
f (z
t)g(t)dt + f (0)g(z)
0
eşitli¼
ginde z = 0 için f (0) 6= 0 koşulunu sa¼
glayan her fonksiyon ~-tersinebilir
olup, f ~ 1 = 1 ~ f = f dir.
Teorem 2.6. f 2 Hol(D) olsun. f in ~-tersinebilir olmas¬için gerek ve yeter
koşul f (0) 6= 0 olmas¬d¬r (Wigley, 1974).
11
I·spat: f nin ~-tersinebilir oldu¼
gunu kabul edelim. Bu durumda f (0) 6= 0
oldu¼
gunu göstermeliyiz. f , Hol(D) de ~-tersinebilir ise z 2 D olmak üzere,
(f ~ g)(z) = (g ~ f )(z) = 1
olacak şekilde bir g 2 Hol(D) fonksiyonu vard¬r. z = 0 oldu¼
gunda,
(f ~ g)(0) =
Z0
0
f (0
t)g(t)dt + f (0)g(0) = f (0)g(0) = 1
0
olup, buradan f (0) 6= 0 oldu¼
gu görülür.
Şimdi teoremin di¼
ger taraf¬n¬ispatlayal¬m.
f (0) 6= 0 oldu¼
gunu kabul edelim. Bu durumda f in ~ tersinebilir oldu¼
gunu
gösterelim.
h 2 Hol(D) olmak üzere h(z) = f (0)
bozmadan f (0) = 1 (6= 0) ald¬g¼¬m¬zda, f (z) = 1
fDr = z 2 D : jzj
f (z) olsun.
h(z) olarak ifade edilebilir.
rg (0 < r < 1) bölgesini göz önüne alal¬m. Dr
0
z 2 Dr için, h (z)
Genelli¼
gi
D olup
M olacak şekilde en az bir M > 0 say¬s¬vard¬r. z 2 Dr ve
jzj = r olmak üzere,
jh(z)j = jh(z) ~ 1j =
Zz
0
olup, jh(z)j
n
0
h (t)dt
Zz
0
h (t) jdtj
0
M
Zz
jdtj
0
M r dir.
0 için h[n] = h
| ~h~
{z ::: ~ h} olsun.
n tane
h[0] = 1 ve h[1] (z)
Mr
1!
dir.
h[n] (z)
M n rn
d [n]
ve
h (z)
n!
dz
12
M n rn 1
(n 1)!
M jzj = M r
oldu¼
gunu kabul edelim. Bu durumda,
M n+1 rn+1
(n + 1)!
h[n+1] (z)
oldu¼
gunu gösterelim.
h[n+1] (z)
=
h ~ h[n]
=
Zz
=
Zz
d
=
dz
Zz
t)h[n] (t)dt
h(z
0
0
t)h[n] (t)dt + h(0)h[n] (z)
h (z
0
h (z
0
Zz
Zr
Zz
n
0
[n]
h (z
t)h (t)dt
0
t) h[n] (t) dt
0
M 1M n n
r dt
n!
M n+1
n!
0
n+1
olur. Şimdi h[n+1] in türevini yani
n+1
0
n+1
M
M
r
M n+1 rn+1
j=
=
n! n + 1 0
n! n + 1
(n + 1)!
=
n+1 r
d
d [n+1]
h
dz
ifadesini hesaplayal¬m.
0
1
Zz
d [n+1]
d
d @d
h
(z) =
(h ~ h[n] )(z) =
h(z t)h[n] (t)dtA
dz
dz
dz dz
0 z
10
0 z
1
Z
Z
d @
d @
0
0
h (z t)h[n] (t)dtA =
h[n] (z t)h (t)dtA
=
dz
dz
0
0
Her iki taraf¬n mutlak de¼
gerini ald¬g¼¬m¬zda,
d [n+1]
h
(z)
dz
=
=
0
d @
dz
Zz
Zz
h[n] (z
0
0
h (z
t)
0
d [n]
h (t)dt
dt
Zz
0
Zr
n 1
Zz
t)h (t)dtA =
0
M nM
(n 1)!
1
d =
0
13
M n+1 rn
n!
d [n]
h (z
dz
0
t)h (t)dt
0
0
h (z
t)
d [n]
h (t) dt
dt
elde edilir.
Böylece
1
P
M n rn
n=0
n!
serisi ile ifade edilebilen g 2 Dr fonksiyonu bulabiliriz.
X
M 2 r2
M n rn
g(z) = 1 + M r +
+ ::: +
+ ::: =
h[n] (z)
2!
n!
n=0
1
şeklinde olup, h[n] (z)
g(z)
M n rn
n!
oldu¼
gundan,
1
X
M n rn
n=0
n!
1
X
(M r)n
=
n=0
n!
= eM r
eM
bulunur. Sonuç olarak g fonksiyonunun Dr de analitik oldu¼
gunu söyleyebiliriz.
Dr bölgesi key… oldu¼
gundan g, D de analitiktir. O halde,
f ~ g = (1
h) ~
1
X
h[n] (z)
n=0
= (1
h) ~ (1 + h + (h ~ h) + (h ~ h ~ h) + :::)
= [(1
h) ~ 1] + [(1
h) ~ h] + [(1
h) ~ (h ~ h)] + :::
= 1
olur ki bu da g fonksiyonunun f in tersi oldu¼
gunu gösterir. Yani, f ~ tersinebilirdir.
Sonuç 2.7. f ve g 2 Hol(D) olsun. f orjinde p: mertebeden s¬f¬ra sahip, ayn¬
şekilde g de orjinde q: mertebeden s¬f¬ra sahip ve p
O halde f ~ h = g olacak şekilde (q
q oldu¼
gunu kabul edelim.
p): mertebeden s¬f¬ra sahip bir h 2 Hol(D)
vard¬r (Wigley, 1974).
14
2:1: Banach Cebiri Örne¼
gi
Bu k¬s¬mda, D y¬ld¬z şekilli bir bölge olmak üzere, bu bölgedeki analitik fonksiyonlar¬n alt uzay¬ olan B nin Duhamel çarp¬m¬na göre Banach cebiri oldu¼
gunu
gösterece¼
giz. Önce gerekli tan¬mlar¬verelim.
Tan¬m 2.1.1. D
C olsun. E¼
ger D1 = D \ A1 6= ?, D2 = D \ A2 6= ? ve
D = D1 [ D2 olacak şekilde C içinde ayr¬k ve aç¬k A1 ve A2 kümeleri bulunam¬yorsa D kümesine ba¼glant¬l¬küme denir (Rudin, 1987).
Tan¬m 2.1.2. Ba¼
glant¬l¬aç¬k kümeye bölge denir (Rudin, 1987).
Tan¬m 2.1.3. D
C aç¬k bir küme olsun. Bir z0 2 D noktas¬için, her z 2 D
noktas¬n¬z0 a birleştiren do¼
gru parças¬D de bulunuyor ise, yani her z 2 D ve her
2 (0; 1) için z + (1
) z0 2 D ise, D ye z0 noktas¬na göre y¬ld¬z şekilli bölge
denir (Wigley, 1974).
gerli fonksiD orjine göre y¬ld¬z şekilli s¬n¬rl¬ bir bölge ve C (1) (D) kompleks de¼
yonlar¬n vektör uzay¬olsun. Bu durumda
C (1) (D) = f : f 2 C(D) sürekli, f 0 2 C(D) mevcut ve sürekli
dir.
ve ; pozitif sabit say¬lar ve F 2 C (1) (D) olmak üzere C (1) (D) daki norm,
1
kF k = sup jF (x; y)j +
2
(x;y)2D
!
sup jFx (x; y)j + sup jFy (x; y)j
(x;y)2D
(x;y)2D
şeklinde tan¬mlan¬r.
B
C (1) (D) olmak üzere, B, D de analitik fonksiyonlar¬n alt uzay¬olsun. C (1) (D)
Banach uzay¬ve B kapal¬alt uzay oldu¼
gundan B de bir Banach uzay¬d¬r.
f 2 B olmak üzere, Cauchy-Riemann denklemleri ile yukar¬daki norm ifadesi,
0
kf k = sup jf (z)j + sup f (z)
z2D
z2D
şeklinde yaz¬l¬r.
15
f; g 2 B iken f ~ g 2 B oldu¼
gundan (B; ~) cebirdir. Dolay¬s¬yla,
(f ~ g)(z) =
Zz
f (z
t)g(t)dt + f (0)g(z)
=
Zz
f (z
t)g (t)dt + f (z)g(0)
0
0
0
0
ve
(f ~ g) (z) =
0
Zz
0
f (z
0
0
0
t)g (t)dt + f (0)g (z) + f (z)g(0)
0
d¬r. Buradan,
j(f ~ g)(z)j
0
d sup jf j sup g + sup jf j sup jgj
ve
(f ~ g) (z)
0
0
0
0
0
d sup f sup g + sup jf j sup g + sup f sup jgj
bulunur. Burada supremumlar D üzerinden al¬nm¬ş ve D nin orjinden s¬n¬ra
maksimum uzakl¬g¼¬d olarak ifade edilmiştir.
Şimdi B nin Banach cebiri oldu¼
gunu gösterece¼
giz. Bunun için
kf ~ gk
kf k kgk
oldu¼
gunu göstermek yeterlidir.
kf ~ gk =
j(f ~ g)(z)j +
(f ~ g) (z)
0
0
d sup jf j sup g + sup jf j sup jgj
+
=
0
0
0
0
d sup f sup g + sup jf j sup g + sup f sup jgj
sup jf j sup jgj + ( d + ) sup jf j sup g
0
0
+ sup f sup jgj + d sup f sup g
16
0
0
2
olur.
, d+
,
kf ~ gk
, d
2
ve
= 2d al¬n¬rsa,
= 2,
2 sup jf j sup jgj + 4d sup jf j sup g
0
0
0
+2d sup f sup jgj + 2d2 sup f sup g
4 sup jf j sup jgj + 4d sup jf j sup g
0
0
0
+4d sup f sup jgj + 4d2 sup f sup g
=
2 sup jf j + 2d sup f
0
0
0
2 sup jgj + 2d sup g
0
kf k kgk
elde edilir.
Böylece, B nin Duhamel çarp¬m¬na göre bir Banach cebiri oldu¼
gunu göstermiş
olduk. Bu cebir, de¼
gişmeli, birleşmeli ve birimlidir.
Teorem 2.6 y¬(B; ~) Banach cebiri için aşa¼
g¬daki biçimde ifade edebiliriz.
Teorem 2.1.4. f 2 B nin ~ tersinebilir olmas¬için gerek ve yeter koşul f (0) 6= 0
olmas¬d¬r (Wigley, 1974).
I·spat: Teorem 2.6 n¬n ispat¬na benzer olarak verilebilir.
17
3:
ANALI·TI·K
UZAYLARDA
I·NTEGRAL
OPERATÖRÜNÜN
KOMUTANTI
Bu bölümde, y¬ld¬z şekilli D bölgesindeki analitik fonksiyonlar uzay¬ üzerinde
tan¬mlanan integral operatörü ele al¬nm¬ş ve bu operatörün komutant¬belirlenmiştir. Komutant operatörünün sürekli, tersinin mevcut ve tersinin de sürekli
oldu¼
gu ispatlanm¬ş, böylece her g için
'( )x(z) +
Zz
0
' (z +
t)x(t)dt = g(z)
denkleminin çözümünün var ve tek oldu¼
gu araşt¬r¬lm¬şt¬r. Bunun için '( ) 6= 0
şart¬n¬n sa¼
gland¬g¼¬gösterilmiştir.
Önce bu bölümde, kullanaca¼
g¬m¬z baz¬tan¬m ve teoremleri verelim.
Tan¬m 3.1. X, K cismi (K=R veya C) üzerinde bir vektör uzay olsun.
p:X!R
dönüşümü her x; y 2 X ve
i) p(x)
2 K için,
0
ii) p( x) = j j p(x)
iii) p(x + y)
p(x) + p(y)
koşullar¬n¬sa¼
glarsa p dönüşümüne X üzerinde yar¬norm denir ve bu yar¬norma
göre X uzay¬na yar¬normlu uzay denir (Yosida, 1980).
Tan¬m 3.2. Yar¬normlu X uzay¬ndaki her (xn ) Cauchy dizisi X de bir noktaya
yak¬ns¬yor ise, yani X tam uzay ise, X yar¬normlu uzay¬na Frechet uzay¬ denir
(Yosida, 1980).
Teorem 3.3. X lokal konveks uzay olsun. Bu uzay üzerindeki topoloji fpg yar¬
norm sistemi (ailesi) ile belirlenir (Freese and Cho, 2001).
Teorem 3.4. X ve Y lokal konveks uzaylar olmak üzere, fpg ve fqg, X ve Y
18
nin topolojilerini üreten yar¬norm sistemleri olsun. T : D (T )
X ! Y lineer
operatörünün sürekli olmas¬için gerek ve yeter koşul her x 2 D (T ) ve her q 2 fqg
yar¬ normu için,
q (T x)
p (x)
olacak şekilde bir p 2 fpg yar¬ normu ve pozitif bir
say¬s¬n¬n var olmas¬d¬r
(Yosida, 1980).
Tan¬m 3.5. X normlu uzay ve T , X üzerinde bir operatör olsun. A : X ! X
sürekli, lineer operatör olmak üzere,
0
fT g = fA : AT = T Ag
0
kümesine T operatörünün komutant¬ denir ve fT g ile gösterilir (Conway, 2000).
Teorem 3.6. (Runge Teoremi) D, C kompleks uzay¬nda s¬n¬rl¬ve basit ba¼
glant¬l¬bir bölge ve K, D nin kompakt bir altkümesi olsun. D deki her analitik f (z)
fonksiyonuna K üzerinde düzgün yak¬nsayan bir Pn (z) polinomlar dizisi vard¬r
(Lax, 2002).
19
3:1: J Operatörünün Komutantlar¬
sabit kompleks bir say¬ olmak üzere, D basit ba¼
glant¬l¬ bölgesi C kompleks
uzay¬nda z0 =
noktas¬na göre y¬ld¬z şekilli bir bölge olsun. D deki tek de¼
gerli
analitik fonksi-yonlar¬n uzay¬A(D) olsun. Bu uzay, kompakt yak¬nsakl¬g¼a sahip
topolojik bir uzayd¬r. A(D) uzay¬üzerindeki J integral operatörü her f 2 A(D)
için,
(J f )(z) =
Zz
f (t)dt
şeklinde tan¬mlan¬r.
Şimdi A(D) uzay¬nda, J operatörünün komutantlar¬n¬ifade edelim. J opera0
törünün komutant¬T olmak üzere, fJ g = fT : T J = J T g şeklinde tan¬mlan¬r.
Her f 2 A(D) için bu eşitlik sa¼
glan¬r. O halde k
0 olmak üzere f = z k için,
T J zk = J T zk
olur. Böylece,
Zz
tk+1 z
z k+1
T J z k = T ( tk dt) = T (
j) = T (
k+1
k+1
k+1
k+1
)=
T z k+1
k+1
k+1
T1
k+1
elde edilir.
k+1
T z k+1
k+1
T1
= J T zk
k+1
eşitli¼
ginde her iki taraf¬k + 1 ile çarparsak,
T z k+1
bulunur. Yani her k
k+1
T 1 = (k + 1)J T z k
0 için,
T z k+1 =
k+1
T 1 + (k + 1)J T z k
20
(3.1)
elde edilir. Buradan tümevar¬m metodu ile,
T zk =
k
X
k!
s
s!
s=0
Jk
s
!
(3.2)
T1
eşitli¼
gi elde edilir.
Bu ifadenin do¼
gru oldu¼
gunu gösterelim.
k = 1 için
Tz = T1 + J T1
eşitli¼
ginin do¼
gru oldu¼
gu (3:1) denkleminden görülür.
k = n için,
T zn =
n
X
n!
s!
s=0
s
Jn
!
s
(3.3)
T1
eşitli¼
ginin do¼
gru oldu¼
gunu kabul edelim.
k = n + 1 için,
n+1
X
(n + 1)!
T z n+1 =
s
s!
s=0
J n+1
s
!
(3.4)
T1
eşitli¼
ginin do¼
gru oldu¼
gunu göstermeye çal¬şal¬m.
(3:1) eşitli¼
ginden,
T z n+1 =
n+1
T 1 + (n + 1)J T z n
oldu¼
gunu biliyoruz. Burada T z n ifadesi yerine (3:3) eşitli¼
gini yazarsak,
T z n+1 =
=
n+1
n+1
T 1 + (n + 1)J
T1 +
n+1
X
(n + 1)!
s=0
s!
s=0
n
X
(n + 1)!
s=0
=
n
X
n!
s
s!
s!
J n+1
s
!
s
s
Jn
J n+1
s
s
!
!
T1
T1
T1
bulunur. Böylece (3:4) eşitli¼
ginin do¼
grulu¼
gu gösterilmiş olur.
(3:2) eşitli¼
gindeki J k s T 1 ifadesini hesaplamak amac¬yla (J f ) operatörünün m:
21
kuvvetini bulal¬m.
(J f )(z) =
dir.
Zz
f (t)dt
Zz
Zz Zt
(J f )(z) = J (J f (z)) = J ( f (t)dt) = ( f ( )d )dt
2
Rt
u = f ( )d ve dv = dt olmak üzere k¬smi integrasyon metodu ile,
Zt
2
(J f )(z) =
= z
Zz
z
f ( )d t j
Zz
Zz
f (t)dt
tf (t)dt = z
tf (t)dt =
Zz
Zt
Zz
f ( )d
(z
tf (t)dt
t)f (t)dt
elde edilir. Benzer şekilde, k¬smi integrasyon metodunun tekrarlanmas¬yla,
Zz Zt
(J 3 f )(z) =
[ (t
t2
=
2
Zt
z2
=
2
=
Zz
Zz
)f ( )d ]dt =
Zz
z
f ( )d j
f (t)dt
z2
(
2
t2
2
Zz
Zz
Zt
(t f ( )d )dt
Zt
z
[t
f ( )d j
t2
f (t)dt
2
t2
f (t)dt
2
2
z
Zz
2t + t )f (t)dt =
Zz Zt
(
f ( )d )dt
Zz
tf (t)dt +
Zz
Zz
f (t)dt
t)2
(z
2!
t2 f (t)dt]
t2 f (t)dt
şeklinde olur. Tümevar¬m metodunun uygulanmas¬yla, (J f ) operatörünün m:
kuvveti,
m
(J f )(z) =
Zz
(z t)m 1
f (t)dt
(m 1)!
(3.5)
şeklinde hesaplan¬r. Böylece (3:2) eşitli¼
gindeki J k s T 1 operatörünü (3:5) for-
22
mülünü kullanarak ifade edersek,
J k sT 1 =
Zz
t)k s 1
T 1dt
s 1)!
(z
(k
olur ve (3:2) formülü,
T zk =
k
X
k!
s=0
s
s!
Zz
t)k s 1
T 1dt
s 1)!
(z
(k
olarak elde edilir. Eşitlik s = k için aç¬k yaz¬ld¬g¼¬nda,
k
Tz =
k
T1 +
k 1
X
k!
s
s!
s=0
Zz
(z
(k
t)k s 1
T 1dt
s 1)!
(3.6)
bulunur. Binom aç¬l¬m¬ndan,
k 1
X
k(k 1)!
s!(k s 1)!
s=0
s
t)k
(z
s 1
= (z +
t)k
1
oldu¼
gu gözönünde bulundurulursa, her (k = 0; 1; :::) için,
k
Tz =
k
T1 + k
Zz
(z +
t)k 1 T 1dt
(3.7)
elde edilir.
(n)
(n)
(n)
c0 ; c1 ; :::; cn ; ::: kompleks say¬lar olmak üzere, (3:7) eşitli¼
gini k = 0; 1; 2; :::; n; :::
23
(n)
(n)
(n)
için aç¬k yaz¬p ve s¬ras¬yla c0 ; c1 ; :::; cn ; ::: say¬lar¬yla çarpal¬m.
(n)
(n)
k = 0 için c0 T 1 = c0 T 1 + 0
k = 1 için
(n)
c1 T z
k = 2 için
(n)
c2 T z 2
=
(n)
c1
=
T1 +
(n)
c2
(n)
2
(n)
k = 3 için c3 T z 3 = c3
3
(n)
c1
T1 +
Zz
t)0 T 1dt
(z +
(n)
2c2
(n)
T 1 + 3c3
Zz
(z +
t)T 1dt
Zz
(z +
t)2 T 1dt
..
.
Bu ifadeler taraf tarafa topland¬g¼¬nda,
(n)
(n)
(n)
(n)
(n)
T c0 1 + c1 z + ::: + cn z n + ::: = c0 1 + c1
z
(n) R
(n)
+ c1 + 2c2
(n)
z
(n) R
(z +
t)dt + ::: + ncn
n
+ ::: + cn
(z +
+ ::: T 1
t)n 1 dt T 1
elde edilir. Runge Teoreminden,
(n)
(n)
(n)
n
c0 1 + c1 z + c2 z 2 + ::: + c(n)
n z + :::
polinom dizisi D nin herhangi bir kompakt alt kümesinde f de¼
gerine düzgün
yak¬nsar. Böylece,
(n)
(n)
(n)
n
lim (c0 1 + c1 z + c2 z 2 + ::: + c(n)
n z + :::) = f (z)
n!1
olarak ifade edilir. Benzer şekilde,
(n)
(n)
lim (c0 1 + c1
n!1
(n)
+ c2
2
+ ::: + c(n)
n
n
+ :::) = f ( )
d¬r. Türev operatörünün A(D) üzerinde sürekli oldu¼
gu gözönünde bulundurul-
24
du¼
gunda, (3:7) ifadesi,
T f (z) = f ( )T 1 +
Zz
0
f (z +
t)T 1dt
şeklinde yaz¬labilir. '(z) 2 A(D) olmak üzere ' = T 1 denilirse,
(T f )(z) = f ( )'(z) +
Zz
0
'(z)f (z +
t)dt
olur. Konvolüsyon çarp¬m¬n¬n de¼
gişme özelli¼
ginden,
(T f )(z) = '( )f (z) +
Zz
0
' (z +
(3.8)
t)f (t)dt
yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla, J operatörünün (3:8) eşitli¼
gi ile ifade edilebilen T komutant¬için bir ' 2 A(D) fonksiyonu vard¬r.
Tersine, ' 2 A(D) herhangi bir fonksiyon olmak üzere, A(D) uzay¬nda J integral
operatörünün T komutant¬(3:8) formülü ile tan¬mlan¬r ve T operatörü süreklidir.
f 2 A(D) olmak üzere, A(D) topolojik uzay¬üzerindeki yar¬norm,
p(f ) = max jf (z)j
z2K D
şeklinde ifade edilir. T komutant operatörünün süreklili¼
gini göstermek için bu
yar¬norm tan¬m¬kullan¬l¬r.
p(T f ) =
max j(T f )(z)j = max '( )f (z) +
z2K D
z2K
j'( )j max jf (z)j +
z2K
Zz
0
' (z +
Zz
0
' (z +
t)f (t)dt
t) jf (t)j jdtj
0
j'( )j + max ' (t) d(K) max jf (z)j
t2K
bulunur. Burada K, D bölgesinde
z2K
noktas¬n¬içeren kompakt bir küme ve d(K)
25
da bu kümenin çap¬d¬r.
c > 0 bir sabit olmak üzere,
p(T f )
c p(f )
eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r. Bu da T nin süreklili¼
gini gösterir.
Dolay¬s¬yla aşa¼
g¬daki teorem ispatlanm¬ş olur.
Teorem 3.1.1. A(D) uzay¬nda J operatörünün komutant¬n¬n T olmas¬ için
gerek ve yeter koşul ' 2 A(D) bir fonksiyon olmak üzere her f 2 A(D) için,
(T f )(z) = '( )f (z) +
Zz
0
' (z +
t)f (t)dt
olmas¬d¬r.
Sonuç 3.1.2. ' 2 A(D) olmak üzere, J operatörünün T 1 = '(z) olacak şekilde
bir tek T komutant¬mevcuttur.
I·spat: Kabul edelim ki J operatörünün T1 ve T2 gibi iki tane komutant¬mevcut
0
olsun. Yani T1 , T2 2 fJ g olmak üzere,
T1 1 = '(z) ve T2 1 = '(z)
olsun. Bu ifadeleri taraf tarafa ç¬kard¬g¼¬m¬zda, T1
(T1
T2 )1 = 0
bulunur. (3:8) eşitli¼
ginde, f 2 A(D) olmak üzere T yerine T1
(T1
bulunur. Böylece, T1
0
T2 2 fJ g olur ve
T2 )f (z) =
Zz
T2 al¬n¬rsa,
0
0 =0
T2 = 0 olup, T1 = T2 dir. Yani J operatörünün bir tek
T komutant¬vard¬r.
Sonuç 3.1.3. J operatörünün komutant¬n¬n s¬f¬r olmas¬(T = 0) için gerek ve
yeter koşul T 1 in s¬f¬r olmas¬d¬r.
26
3:2: A(D) Uzay¬n¬n I·zomor…zmleri
Bu k¬s¬mda, J
integral operatörünün komutant¬ olan T operatörünün hangi
koşulda terse sahip oldu¼
gu bulunup, bu koşul alt¬nda,
'( )x(z) +
Zz
0
' (z +
t)x(t)dt = g(z)
denkleminin tek bir çözümü oldu¼
gu gösterildi.
Şimdi T operatörünü iki operatörün toplam¬şeklinde yaz¬p tersini araşt¬ral¬m.
0
(3:8) eşitli¼
gini, '( ) = 1 ve ' =
2 A(D) seçerek, her f 2 A(D) için,
(T f )(z) = f (z) +
Zz
(z +
t)f (t)dt
= (E + L)f (z)
şeklinde yazabiliriz. Burada E; A(D) uzay¬nda birim operatör ve
(Lf )(z) =
Zz
(z +
t)f (t)dt
dir. Amac¬m¬z E + L operatörünün terse sahip oldu¼
gunu göstermektir. Yani,
(E + L)
1
=
1
X
( 1)n Ln
n=0
oldu¼
gunu gösterece¼
giz.
Önce,
noktas¬n¬ içeren D bölgesindeki K kompakt kümesi için, her z 2 K
olmak üzere,
n
j(Ln f )(z)j
max j (t)j
t2K
max jf (t)j
t2K
)n
(z
n!
(3.9)
eşitsizli¼
ginin sa¼
gland¬g¼¬n¬gösterelim. Bunun için tümevar¬m metodunu kullanaca¼
g¬z.
27
n = 1 için, tan¬mdan
Zz
j(Lf )(z)j =
Zz
(z +
t)f (t)dt
j (z +
t)j jf (t)j jdtj
max j (t)j max jf (t)j
t2K
t2K
Zz
jdtj
= max j (t)j max jf (t)j jz
t2K
j
t2K
oldu¼
gu görülür.
n=m
1 için do¼
gru oldu¼
gunu kabul edelim.
m 1
(Lm 1 f )(z)
max jf (t)j
max j (t)j
t2K
t2K
jz
jm 1
(m 1)!
(3.10)
n = m için do¼
gru oldu¼
gunu gösterelim. Bunun için (3:10) ifadesini kullanal¬m.
j(Lm f )(z)j =
Zz
(z +
t)(Lm 1 f )(t)dt
m
max j (t)j
max jf (t)j
t2K
t2K
m
=
elde edilir. Burada t
1
(m
1)!
Zz
max j (t)j
max jf (t)j
t2K
t2K
1
(m
1)!
jz
jm
m!
Zz
jm
jt
1
dt
2 [ ; z] oldu¼
gundan,
jt
m 1
j
dt =
1
(m
1
1)! m
Zz
d jt
jm =
jz
m!
jm
dir. Dolay¬s¬yla (3:9) eşitsizli¼
gi ispatlanm¬ş oldu. Böylece A(D) üzerindeki yar¬
norm p olmak üzere,
p(Ln f )
Ck p(f )
28
(3.11)
şeklinde ifade edilir. Ln operatörü süreklidir. Ln sürekli operatörü ( 1)n sabiti ile
çarp¬ld¬g¼¬nda yine sürekli olacakt¬r. (3:9) eşitsizli¼
gini n = 0; 1; 2; ::: için yazarak,
1
X
( 1)n ile çarp¬p taraf tarafa toplad¬g¼¬m¬zda
( 1)n Ln serisi elde edilir. Bun=0
radan, (3:11) eşitsizli¼
gini kullanarak,
"
1
X
p( ( 1)n Ln f )
n=0
Ck
1
X
n
( 1)n
n=0
n!
#
p(f )
(Ck e )p(f )
şeklinde hesaplan¬r. Burada
1
X
n
n
( 1)
n=0
1
X
n
( 1)n
n=0
dir. Dolay¬s¬yla
1
X
serisi yak¬nsak bir seridir ve
n!
n!
=e
( 1)n Ln f serisi yak¬nsak olup, sürekli lineer bir operatör
n=0
belirler.
1
1
X
X
n n
( 1)n Ln (E + L) = I
(E + L) ( 1) L =
n=0
n=0
eşitli¼
ginin sa¼
glanmas¬E+L nin terse sahip bir operatör oldu¼
gunu gösterir. Dolay¬s¬yla T operatörü de terse sahiptir.
Teorem 3.2.1. J operatörünün komutant¬ olan T nin, A(D) de izomor…zm
olmas¬için gerek ve yeter koşul '( ) = (T 1) jz= 6= 0 iken, T nin (3:8) eşitli¼
gini
sa¼
glamas¬d¬r.
Sonuç 3.2.2. ' 2 A(D), '( ) 6= 0 için, A(D) uzay¬nda, T 1 = '(z) olacak
şekilde bir tek T izomor…zmi vard¬r.
Sonuç 3.2.3. '; g 2 A(D) olsun. '( ) 6= 0 ise,
'( )x(z) +
Zz
0
' (z +
29
t)x(t)dt = g(z)
(3.12)
denkleminin A(D) de çözümü var ve tekdir (Nagnibida, 1981).
I·spat: '( ) 6= 0 olmak üzere, (3:12) denkleminin sol taraf¬E + L biçiminde ifade
edilirse
('( )E + L' )x = g
olur. ('( )E + L' ) terse sahip oldu¼
gundan her iki taraf¬bu operatörün tersi ile
çarparsak,
x(z) = ('( )E + L' ) 1 g
elde edilir. Böylece çözüm
x(z) =
1
X
( 1)n Ln'
n=0
şeklinde ifade edilir ve bu tekdir.
30
!
g
4: I·NTEGRO DI·FERENSI·YEL DENKLEM SI·STEMI·NI·N ÇÖZÜMÜ
Bu bölümde, -Duhamel çarp¬m¬n¬n tan¬m¬verilmiş ve bu tan¬m¬n kullan¬lmas¬
ile ifade edilen
Zz
n
X
d
fij (z +
dz
j=1
t) xj (t) dt = gi (z)
(i = 1; 2; :::; n)
integro-diferensiyel denklem sisteminin çözülebilirli¼
gi incelenmiştir.
D basit ba¼
glant¬l¬ bölgesi C kompleks uzay¬nda z0 =
noktas¬na göre y¬ld¬z
şekilli bir bölge olsun. D deki tek de¼
gerli analitik fonksiyonlar¬n uzay¬olan A(D),
kompakt yak¬nsakl¬g¼a sahip topolojik bir uzayd¬r.
Tan¬m 4.1. f; g 2 A(D) için,
d
(f ~ g)(z) =
dz
=
Zz
ifadesine f ve g fonksiyonlar¬n¬n
Zz
f (z +
f 0 (z +
t)g(t)dt
(4.1)
t)g(t)dt + f ( )g(z)
-Duhamel çarp¬m¬ denir ve ~ ile gösterilir
(Nagnibida, 1981).
Burada integralin de¼
gişkeni olan t, z ve
üze-rindedir ve (z +
noktalar¬n¬ birleştiren do¼
gru parças¬
t) 2 D noktas¬da ayn¬do¼
gru parças¬üzerinde yer al¬r.
f; g 2 A(D) oldu¼
gunda f ~ g 2 A(D) olup, A(D) uzay¬, -Duhamel çarp¬m¬na
göre bir cebirdir.
A(D) uzay¬ üzerindeki
üzere, g 2 A(D) için,
-Duhamel çarp¬m¬ kavram¬n¬ Df; bir operatör olmak
Df; g = f ~ g
olarak ifade edebiliriz.
31
Ayr¬ca A(D) uzay¬ndaki integral operatörünün f 2 A(D) olmak üzere,
(J f ) (z) =
Zz
f (t)dt
şeklinde ifade edildi¼
gini biliyoruz.
Bu kavramlar ¬ş¬g¼¬nda Nagnibida’n¬n çal¬şmas¬ndaki Teorem 3:1:1 ve Sonuç 3:2:3
ün ifadesini tekrar ele alal¬m.
Her '; f 2 A(D) olmak üzere, T nin J operatörünün komutant¬ olmas¬ için
aşa¼
g¬daki eşitli¼
gi sa¼
glamas¬gerekti¼
ginden söz etmiştik.
(T f )(z) = '( )f (z) +
Bu eşitlik,
Zz
0
' (z +
t)f (t)dt
-Duhamel çarp¬m¬ tan¬m¬ gözönüne al¬nd¬g¼¬nda T = D'; olmak
üzere,
D'; f = ' ~ f
d
=
dz
Zz
'(z +
= '( )f (z) +
şeklinde yaz¬labilir. Böylece, J
t)f (t)dt
Zz
0
' (z +
t)f (t)dt
operatörünün komutant¬ D';
Duhamel operatörü ile ifade edilebilir.
O zaman, Sonuç 3:2:3 aşa¼
g¬daki şekli ile ele al¬n¬r.
'; g 2 A(D) olmak üzere '( ) 6= 0 oldu¼
gunda,
'~x=g
denkleminin çözümü vard¬r ve tekdir.
32
biçiminde
-
Biz burada, Nagnibida’n¬n bu sonucunu aşa¼
g¬da verilen integro-diferensiyel denklem sistemi için benzer sonuçlar¬ispatlayarak genelleştirece¼
giz.
fi;j 2 A(D), (i; j = 1; 2; :::; n) ve gi 2 A(D) olmak üzere,
f11 (z) ~ x1 (z) + f12 (z) ~ x2 (z) + : : : + f1n (z) ~ xn (z) = g1 (z)
f21 (z) ~ x1 (z) + f22 (z) ~ x2 (z) + : : : + f2n (z) ~ xn (z) = g2 (z)
..
..
..
..
.
.
.
.
fn1 (z) ~ x1 (z) + fn2 (z) ~ x2 (z) + : : : + fnn (z) ~ xn (z) = gn (z)
integro-diferensiyel denklem sistemini gözönünde bulundural¬m.
Uygun şart-
lar alt¬nda bu sistemin çözümünün varl¬g¼¬n¬ve tekli¼
gini ispatlamaya çal¬şaca¼
g¬z.
Bu sistem -Duhamel çarp¬m¬n¬n tan¬m¬kullan¬larak, i = 1; 2; :::; n olmak üzere,
Zz
n
X
d
fij (z +
dz
j=1
t) xj (t) dt = gi (z)
şeklinde de ifade edilebilir.
Önce baz¬temel tan¬mlar¬hat¬rlayal¬m.
Tan¬m 4.2. A = (aij )n
n
kare matrisinde, bir aij eleman¬n¬n bulundu¼
gu i: sat¬r
ile j: sütunun ç¬kar¬lmas¬yla elde edilen (n
1): mertebeden alt kare matrisin
determinant¬na, A matrisinin aij eleman¬n¬n minörü denir ve genellikle Mij ile
gösterilir.
A = (aij )n
n
matrisinde bir aij eleman¬n¬n minörü olan Mij nin ( 1)i+j ile çarp¬l-
mas¬yla elde edilen say¬ya, aij eleman¬n¬n işaretli minörü ya da kofaktörü denir
ve Aij = ( 1)i+j Mij şeklinde ifade edilir (Kuiper, 1962).
Tan¬m 4.3. A, n
n tipinde bir kare matris olsun. A matrisinin aij elemanlar¬
yerine bu elemanlar¬n Aij kofaktörleri yaz¬larak elde edilen matrisin transpozesine A mat-risinin ek matrisi ya da adjoint matrisi denir. EkA veya Adj(A) ile
gösterilir (Kuiper, 1962).
Tan¬m 4.4. A, n
n tipinde bir matris olsun. Adj(A)A = AAdj(A) = det(A)I
33
olmak üzere, det(A) 6= 0 ise A matrisinin tersi
A
1
=
1
Adj(A)
det(A)
d¬r (Kuiper, 1962).
Tan¬m 4.5.
a11 x1 + a12 x2 + ::: + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ::: + a2n xn = b2
..
..
.
.
an1 x1 + an2 x2 + ::: + ann xn = bn
sistemi verilsin. Sistemin katsay¬lar matrisi A olmak üzere det(A) 6= 0 ise sistemin bir tek çözümü vard¬r ve bu çözüm, jAi j, A matrisinin i: sütunu yerine
b = (b1 ; b2 ; :::; bn )> vektörünün yaz¬lmas¬yla elde edilen matrisin determinant¬olmak üzere,
xi =
jAi j
;
jAj
i = 1; 2; :::; n
şeklindedir (Kuiper, 1962).
Teorem 4.6. F (z) = (fij (z))ni;j=1 ve G(z) = (gi )ni=1 2 A(D) olmak üzere,
f11 (z) ~ x1 (z) + f12 (z) ~ x2 (z) + : : : + f1n (z) ~ xn (z) = g1 (z)
f21 (z) ~ x1 (z) + f22 (z) ~ x2 (z) + : : : + f2n (z) ~ xn (z) = g2 (z)
..
..
..
..
.
.
.
.
fn1 (z) ~ x1 (z) + fn2 (z) ~ x2 (z) + : : : + fnn (z) ~ xn (z) = gn (z)
(4.2)
sisteminin A(D) de çözümünün var ve tek olmas¬için gerek ve yeter koşul
0
1
f (z) f12 (z) ::: f1n (z)
B 11
C
B
C
B f21 (z) f22 (z) ::: f2n (z) C
C
~- det B
B
C
..
..
..
..
B
C
.
.
.
.
A
@
fn1 (z) fn2 (z) : : : fnn (z)
olmas¬d¬r.
34
6= 0
z=
Burada F (z) nin -Duhamel çarp¬m¬na göre hesaplanan determinant¬"F (z) nin
~-determinant¬" olarak ifade edilmiş ve ~-det(F (z)) ile gösterilmiştir.
0
f11 (z) f12 (z)
:::
f1n (z)
1
C
B
C
B
B f21 (z) f22 (z) ::: f2n (z) C
C katsay¬lar matrisi olmak üzere,
I·spat: F (z) = B
C
B
..
..
..
..
C
B
.
.
.
.
A
@
fn1 (z) fn2 (z) : : : fnn (z)
(4:2) sistemi
0
1 0
1
x (z)
g (z)
B 1
C B 1
C
B
C B
C
B x2 (z) C B g2 (z) C
C B
C
F (z) ~ B
(4.3)
B .. C = B .. C
B . C B . C
@
A @
A
xn (z)
gn (z)
şeklinde yaz¬labilir.
(4:3) sisteminin A(D) uzay¬nda çözülebilir olmas¬için, F (z) matrisinin -Duhamel
çarp¬m¬anlam¬nda tersinebilir olmas¬gerekir.
Böylece aşa¼
g¬daki iddiay¬ispatlamak yeterlidir.
F (z) nin ~-tersinebilir olmas¬için gerekli ve yeterli koşul
~- det(F (z)) jz= 6= 0
olmas¬d¬r.
Kabul edelim ki F (z), ~-tersinebilir olsun. Bu takdirde, H(z) = (hij (z))ni;j=1 ,
n
n tipinde bir matris olmak üzere,
F (z) ~ H(z) = H(z) ~ F (z) = I
35
olacak şekilde bir H(z) matrisi mevcuttur.
0
B
B
B
F (z) ~ H(z) = I = B
B
B
@
1 0
0
0
..
.
0
..
.
1
..
.
..
.
0 0
1
C
C
C
C
C
C
A
1
ifadesinde her iki taraf¬n ~-determinant¬n¬alal¬m.
0
B
B
B
~- det(F (z) ~ H(z)) = ~- det B
B
B
@
1 0
0
..
.
0
1
..
.
0
..
.
..
.
0 0
1
1
C
C
C
C
C
C
A
(4.4)
Klasik teoride, A ve B gibi iki matrisin çarp¬mlar¬n¬n determinant¬n¬n, determinantlar¬n¬n çarp¬m¬na eşit oldu¼
gunu biliyoruz.
det(AB) = det(A) det(B)
dir. Bu ifadenin ~-çarp¬m¬için de do¼
gru oldu¼
gu kolayca gösterilebilir. Yani,
~- det(F (z) ~ H(z)) =
(~- det F (z) )~ (~- det H(z))
dir.
Bu eşitli¼
gi (4:4) ifadesinde yerine yazarsak,
0
B
B
B
(~- det F (z)) ~ (~- det H(z)) = ~- det B
B
B
@
1 0
0
..
.
1
..
.
0 0
= 1 ~ 1 ~ 1::: ~ 1
= 1
36
0
..
.
0
..
.
1
1
C
C
C
C
C
C
A
bulunur.
Buradan (~
det F (z)) jz= 6= 0 oldu¼
gu görülür.
Tersine, kabul edelim ki (~-det F (z)) jz= 6= 0 olsun.
-Duhamel çarp¬m¬na göre, F (z) katsay¬lar matrisinin adjoint (ek) matrisi,
0
F11 (z) F12 (z) ::: F1n (z)
B
B
B F21 (z) F22 (z) ::: F2n (z)
c
Adj(F (z)) = F (z) = B
B
..
..
..
..
B
.
.
.
.
@
Fn1 (z) Fn2 (z) ::: Fnn (z)
1
C
C
C
C
C
C
A
şeklinde ifade edilir. Fij (z), fij eleman¬n¬n kofaktörü olup,
Fij = ( 1)i+j Mij
eşitli¼
gi ile ifade edilir. Mij ise fij eleman¬n¬n ~-minörüdür.
~-det F (z) 2 A(D) ve (~-det F (z)) jz= 6= 0 oldu¼
gundan, Nagnibida’n¬n üçüncü
bölüm-de söz etti¼
gimiz sonucunu kullanarak (Nagnibida, 1981), ~-det F (z) fonksiyonunun (A(D); ~) cebirinde, ~-tersinebilir oldu¼
gunu söyleyebiliriz. ~-det F (z)
1~
fonksiyonunun tersini
~- det F (z)
ile gösterelim.
O zaman, F (z) matrisi ~-tersinebilirdir ve bu ters matris
1~
~- det F (z)
F c (z)
şeklinde ifade edilebilir.
Böylece, homogen olmayan lineer denklem sistemlerinin çözümünde kullan¬lan
Cramer metodunun uygulanmas¬ile, (4:2) sisteminin bir tek çözümü vard¬r ve bu
37
çözüm,
0
x1 (z)
B
B
B x2 (z)
B
B ..
B .
@
xn (z)
1
C
C
C
C=
C
C
A
1~
~- det F (z)
şeklinde ifade edilebilir.
(4:2) sistemini
0
g1 (z)
B
B
B g2 (z)
c
F (z) ~ B
B ..
B .
@
gn (z)
1
C
C
C
C
C
C
A
= 0 olmas¬ durumunda düşünelim. Bu durumda Duhamel
çarp¬m¬n¬n,
d
(f ~ g)(z) =
dz
Zz
f (z
t)g(t)dt
0
şeklinde ifade edildi¼
gini biliyoruz.
= 0 olsun ve bu nokta D bölgesinin s¬n¬r noktas¬ olsun. Yani 0 2 @D dir.
Böylece aşa¼
g¬daki lemma verilebilir.
Lemma 4.7. f 2 A(D) ve lim f (z) 6= 0 olmak üzere, f ~ g = 1 olacak şekilde
z!0
z2D
g 2 A(D) mevcuttur.
Lemman¬n ispat¬, Wigley (1974) in çal¬şmas¬n¬n bir sonucu oldu¼
gundan verilmemiştir.
Teorem 4.6 gözönüne al¬narak, Lemma 4.7 nin bir sonucu aşa¼
g¬daki şekilde ifade
edilmiştir.
Teorem 4.8.
= 0 ve 0 2 @D olsun. D orjine göre y¬ld¬z şekilli bir bölge olmak
üzere, Teorem 4.6 n¬n bütün şartlar¬n¬n sa¼
gland¬g¼¬n¬kabul edelim.
d
(f ~ g)(z) =
dz
Zz
f (z
t)g(t)dt
0
Duhamel çarp¬ml¬ (4:2) sisteminin çözümünün var ve tek olmas¬ için gerekli ve
yeterli koşul
0
B
B
lim ~ - det B
z!0
@
z2D
olmas¬d¬r.
f11 (z)
..
.
f1n (z)
C
..
C
6 0
C=
.
A
fn1 (z) : : : fnn (z)
38
:::
..
.
1
5. KAYNAKLAR
Conway, J.B., 2000. A Course in Operator American Mathematical Society, 372p.
U.S.A.
Dimovski, I., 1990. Convolutional Calculus. Kluwer Academic Publishers, 184p.
Dordrecht.
Dunford, N., Schwartz, J.T., 1966. Linear Operators. Part I. Interscience, 858p.
New York.
Freese, R.W., Cho, Y.J., 2001. Geometry of Linear 2-Normed Spaces. Nova
Science Publishers, 299p. New York.
Gürdal, M., 2009. Description of Extended Eigenvalues and Extended Eigenvec
tors of Integration Operator on the Wiener Algebra.
Expositiones
Mathematicae, 27, 2, 153-160.
Karaev, M.T., Tuna, H., 2004. Description of Maximal Ideal Space of Some Ba
nach Algebra with Multiplication as Duhamel Product. Complex Variab
les, 49, 6, 449-457.
Karaev, M.T., Saltan, S., 2005. A Banach Algebra Structure for the Wiener Algeb
ra W (D) of the Disc. Complex Variables: Theory and Applications, 50,
299-305.
Karaev, M.T., 2005. Some Applications of the Duhamel Product. Journal of
Mathematical Sciences, 129, 4, 4009-4017.
Krabbe, G., 1970. Operational Calculus. Springer-Verlag, 349p. New York.
Kreyszig, E., 1989. Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley
Classics Library Edition, 688p. New York.
Kuiper, N.H., 1962. Linear Algebra and Geometry. North-Holland Publishing
Company, 285p. Amsterdam.
39
Lax, P.D., 2002.
Functional Analysis.
Wiley-Interscience, 578p.
Canada.
Merry…eld, K.G., Watson, S., 1991. A Local Algebra Structure for H p of the Poly
disc. Colloqium Mathematicum, 62, 73-79.
Mikusinski, J., 1956. Operational Calculus. Pergemon Press, 495p. Oxford
Warszawa.
Nagnibida, N.I., 1981. Description of Commutants of Integration Operator in
Analytic Spaces. Sibirskii Matematicheskii Zhurnal, 22, 5, 125-131.
Nagnibida, N.I., 1984. Operators Commuting with the Multiple Integration in the
Space of Analytic Functions. Sibirskii Matematicheskii Zhurnal, 27, 2,
255-262.
Rudin, W., 1987. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, 412p. New York.
Rudin, W., 1991.
Functional Analysis.
McGraw-Hill, 423p.
New York.
Tkachenko, V.A., 1979. Operators that Commute with Generalized Integration in
Spaces of Analytic Functionals. Mathematical Zametki, 25, 2, 271-282.
Yosida, K., 1980.
Functional Analysis.
Springer-Verlag, 501p.
New York.
Wigley, N.M., 1974. The Duhamel Product of Analytic Functions. Duke Mathematical Journal, 41, 211-217.
Wigley, N.M., 1975. A Banach Algebra Structure for H p . Canadian Mathematical Bulletin., 18, 597-603.
40
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Sevim Acar
Doğum Yeri ve Yılı
: ANTALYA 1985
Medeni Hali
: Bekar
Yabancı Dili
: İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
: Kumluca Anadolu Lisesi 1999-2002
Lisans
: Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat
Fakültesi Matematik Bölümü 2003-2007
Yüksek Lisans
: Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri
Enstitüsü Matematik Bölümü 2007-…
Yayınları (SCI ve diğer makaleler)
Saltan, S. and Acar, S., “On the Solvability of Some System of Integro-Differential
Equations” XXII. Ulusal Matematik Sempozyumu, 31 Ağustos-3 Eylül 2009, İzmir.
41